NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
|
|
|
- Ceren Buğra
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21
2 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu Polinom Interpolasyonu Newton Formu Problem n + 1 tane (x i, y i ) verisinden oluşan tablosu verilmiş olsun ve x x 0 x 1 x 2 x n y y 0 y 1 y 2 y n p(x i ) = y i (0 i n) olacak şekilde mümkün olan en küçük dereceden bir p polinomu arayal m. Bu tip bir polinoma tabloyu interpole eder (birleştirir) veya tablonun bir interpolasyon polinomu denir denir. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 2 / 21
3 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu Teorem (Polinom Interpolasyonu) E¼ger x 0, x 1,..., x n farkl reel say lar ise, bu durumda key y 0, y 1,..., y n say lar için p n (x i ) = y i (0 i n) olacak şekilde derecesi en fazla n olan tek bir p n polinomu vard r. Ispat (Teklik: ) Bu tipten iki p n ve q n polinomu oldu¼gunu kabul edelim. Bu durumda p n q n polinomu, 0 i n için (p n q n )(x i ) = 0 özelli¼gine sahip olacakt r. p n q n polinomunun derecesi en fazla n olabilece¼ginden dolay, e¼ger 0 polinomu de¼gilse, bu polinom en fazla n tane s f ra sahiptir. Fakat, x i ler farkl olduklar ndan, polinomu n + 1 s f ra sahip olur ki; bu durumda (p n q n )(x) 0 olmal d r. O halde, p n q n dir. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 3 / 21
4 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu n = 0 için, bir p 0 sabit fonksiyonu (derecesi 0 olan polinom) p 0 (x 0 ) = y 0 olacak şekilde seçilebilir. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 4 / 21
5 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu n = 0 için, bir p 0 sabit fonksiyonu (derecesi 0 olan polinom) p 0 (x 0 ) = y 0 olacak şekilde seçilebilir. 0 i k 1 için p k 1 (x i ) = y i olacak şekilde, derecesi k 1 olan bir p k 1 polinomu var olsun. p k y p k (x) = p k 1 (x) + c(x x 0 )(x x 1 ) (x x k 1 ) (1) formunda inşa edelim: Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 4 / 21
6 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu n = 0 için, bir p 0 sabit fonksiyonu (derecesi 0 olan polinom) p 0 (x 0 ) = y 0 olacak şekilde seçilebilir. 0 i k 1 için p k 1 (x i ) = y i olacak şekilde, derecesi k 1 olan bir p k 1 polinomu var olsun. p k y p k (x) = p k 1 (x) + c(x x 0 )(x x 1 ) (x x k 1 ) (1) formunda inşa edelim: p k (x) en fazla k. derecedendir. p k (x i ) = p k 1 (x i ) = y i (0 i k 1) oldu¼gundan, p k 1 in interpole etti¼gi noktalar p k da interpole eder. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 4 / 21
7 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu n = 0 için, bir p 0 sabit fonksiyonu (derecesi 0 olan polinom) p 0 (x 0 ) = y 0 olacak şekilde seçilebilir. 0 i k 1 için p k 1 (x i ) = y i olacak şekilde, derecesi k 1 olan bir p k 1 polinomu var olsun. p k y p k (x) = p k 1 (x) + c(x x 0 )(x x 1 ) (x x k 1 ) (1) formunda inşa edelim: p k (x) en fazla k. derecedendir. p k (x i ) = p k 1 (x i ) = y i (0 i k 1) oldu¼gundan, p k 1 in interpole etti¼gi noktalar p k da interpole eder. Şimdi, p k (x k ) = y k koşulundan, bilinmeyen c katsay s n belirleyelim. Koşul uygulan rsa elde edilir. p k 1 (x k ) + c(x k x 0 )(x k x 1 ) (x k x k 1 ) = y k (2) Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 4 / 21
8 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu n = 0 için, bir p 0 sabit fonksiyonu (derecesi 0 olan polinom) p 0 (x 0 ) = y 0 olacak şekilde seçilebilir. 0 i k 1 için p k 1 (x i ) = y i olacak şekilde, derecesi k 1 olan bir p k 1 polinomu var olsun. p k y p k (x) = p k 1 (x) + c(x x 0 )(x x 1 ) (x x k 1 ) (1) formunda inşa edelim: p k (x) en fazla k. derecedendir. p k (x i ) = p k 1 (x i ) = y i (0 i k 1) oldu¼gundan, p k 1 in interpole etti¼gi noktalar p k da interpole eder. Şimdi, p k (x k ) = y k koşulundan, bilinmeyen c katsay s n belirleyelim. Koşul uygulan rsa p k 1 (x k ) + c(x k x 0 )(x k x 1 ) (x k x k 1 ) = y k (2) elde edilir. c nin çarpanlar 0 olmad klar ndan, Denklem (2) den kesinlikle c çözülebilir. (Neden?) Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 4 / 21
9 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu Elde edilmesi: p k polinomu p k 1 e basitçe tek bir terim eklenerek elde edilir: veya kapal formda p k (x) = c 0 + c 1 (x x 0 ) + c 2 (x x 0 )(x x 1 ) (3) + + c k (x x 0 )(x x 1 ) (x x k 1 ) p k (x) = k i=0 c i i 1 j=0 (x x j ) (4) dir. Burada m < 0 için m j=0(x x j ) = 1 al ş lm ş kabulünü yap yoruz. (4) polinomunun (Newton formu) ilk bir kaç durumu p 0 (x) = c 0 p 1 (x) = c 0 + c 1 (x x 0 ) p 2 (x) = c 0 + c 1 (x x 0 ) + c 2 (x x 0 )(x x 1 ) Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 5 / 21
10 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu p k (x) i hesaplamak için, c 0, c 1,..., c k katsay lar n n bilindikleri varsay larak, içiçe çarp m veya Horner algoritmas olarak adland r lan etkili bir yöntem kullan l r. Bu yöntem u = k i=0 c i i 1 j=0 d j = c 0 + c 1 d 0 + c 2 d 0 d c k d 0 d 1 d k 1 (5) = c 0 + d 0 fc d k 3 [c k 2 + d k 2 (c k 1 + d k 1 (c k ))]g formundaki key bir ifade için kolayl kla aç klanabilir. u yu hesaplama algoritmas şu şekilde üretilir: u k c k u k 1 u k d k 1 + c k 1 u k 2 u k 1 d k 2 + c k 2. u 0 u 1 d 0 + c 0 Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 6 / 21
11 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu katsay lar c k = p k (x) = k i=0 c i i 1 j=0 (x x j ) y k p k 1 (x k ) (x k x 0 )(x k x 1 ) (x k x k 1 ) dan c 0 = y 0 dan başlanarak ardarda hesaplanabilirler fakat ayn sonucu elde eden daha etkili bir yordam mevcuttur. Bu alternatif yöntem, c 0, c 1,..., c k katsay lar n hesaplamak için bölünmüş farklar kullanmaktad r. Bu yöntemi Kesim 2 de sunaca¼g z. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 7 / 21
12 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu Örnek tablo de¼gerleri x y p 3 (x) = 4x x 2 84x 954 polinomundan tan mlanm şt r. E¼ger tablonun Newton interpolasyon polinomunu hesaplarsak, c 0 = 1, c 1 = 2, c 2 = 3, c 3 = 4 olup, p 3 (x) = 1 + 2(x 5) + 3(x 5)(x + 7) + 4(x 5)(x + 7)(x + 6) bulunur. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 8 / 21
13 Lagrange Formu 1 Polinom Interpolasyonu Lagrange Formu p nin (Lagrange formu) p(x) = y 0`0(x) + y 1`1(x) + + y n`n(x) = n y k `k (x) (6) k=1 formunda ifade edilir. Burada, `0, `1,..., `n ler polinomlar olup, x 0, x 1,..., x n nodlar na ba¼gl d rlar, fakat y 0, y 1,..., y n ordinatlar na ba¼gl de¼gildirler. i. konumdaki bir 1 hariç, tüm ordinatlar 0 olabilece¼ginden dolay, δ ij = p n (x j ) = n n y k `k (x j ) = δ ik `k (x j ) = `i (x j ) k=1 k=1 oldu¼gunu görürüz. (Kronecker deltas n n) k = i için δ ki = 1 ve k 6= i için δ ki = 0 ile tan mland ¼g n hat rlayal m.) Bu özelli¼ge sahip bir polinomlar kümesine kolayl kla ulaşabiliriz. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 9 / 21
14 1 Polinom Interpolasyonu Lagrange Formu `0 göz önüne alal m. Bu x 1, x 2,..., x n de 0 de¼gerini alan ve x 0 da 1 de¼gerini alan, n. dereceden bir polinom olacakt r. Aç kça, `0, `0(x) = c(x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) = c n j=1 (x x j ) formunda olmal d r. c nin de¼geri x = x 0 al narak elde edilir ki; 1 = c n j=1 (x 0 x j ) ve buradan dir. c = n j=1 (x 0 x j ) 1 Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 10 / 21
15 1 Polinom Interpolasyonu Lagrange Formu Böylece `0(x) = n j=1 buluruz. `i lerin hepsi, ayn nedenlemeyle `i (x) = n j=1 j6=i x x 0 x j x j x x j (0 i n) x i x j olarak elde edilir. x 0, x 1,..., x n nodlar n n kümesi için bu polinomlar kardinal (temel) fonksiyonlar olarak bilinir. Elimizdeki bu kardinal polinomlar ile Denklem (6) interpolasyon polinomunun Lagrange formunu verir. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 11 / 21
16 1 Polinom Interpolasyonu Lagrange Formu Örnek x tablosunun kardinal fonksiyonlar ve y interpolasyon polinomunun Lagrange formu nedir? Çözüm Nodlar 5, 7, 6, 0 d r. Böylece, kardinal fonksiyonlar Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 12 / 21
17 1 Polinom Interpolasyonu Lagrange Formu Örnek x tablosunun kardinal fonksiyonlar ve y interpolasyon polinomunun Lagrange formu nedir? Çözüm Nodlar 5, 7, 6, 0 d r. Böylece, kardinal fonksiyonlar (x + 7)(x + 6)x `0(x) = (5 + 7)(5 + 6)5 = x(x + 6)(x + 7) Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 12 / 21
18 1 Polinom Interpolasyonu Lagrange Formu Örnek x tablosunun kardinal fonksiyonlar ve y interpolasyon polinomunun Lagrange formu nedir? Çözüm Nodlar 5, 7, 6, 0 d r. Böylece, kardinal fonksiyonlar (x + 7)(x + 6)x `0(x) = (5 + 7)(5 + 6)5 = x(x + 6)(x + 7) (x 5)(x + 6)x `1(x) = ( 7 5)( 7 + 6)( 7) = 1 84 x(x 5)(x + 6) Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 12 / 21
19 1 Polinom Interpolasyonu Lagrange Formu Örnek x tablosunun kardinal fonksiyonlar ve y interpolasyon polinomunun Lagrange formu nedir? Çözüm Nodlar 5, 7, 6, 0 d r. Böylece, kardinal fonksiyonlar (x + 7)(x + 6)x `0(x) = (5 + 7)(5 + 6)5 = x(x + 6)(x + 7) `1(x) = (x 5)(x + 6)x ( 7 5)( 7 + 6)( 7) = 1 84 x(x 5)(x + 6) `2(x) = (x 5)(x + 7)x ( 6 5)( 6 + 7)( 6) = 1 66 x(x 5)(x + 7) Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 12 / 21
20 1 Polinom Interpolasyonu Lagrange Formu Örnek x y tablosunun kardinal fonksiyonlar ve interpolasyon polinomunun Lagrange formu nedir? Çözüm Nodlar 5, 7, 6, 0 d r. Böylece, kardinal fonksiyonlar (x + 7)(x + 6)x `0(x) = (5 + 7)(5 + 6)5 = x(x + 6)(x + 7) `1(x) = (x 5)(x + 6)x ( 7 5)( 7 + 6)( 7) = 1 84 x(x 5)(x + 6) `2(x) = (x 5)(x + 7)x ( 6 5)( 6 + 7)( 6) = 1 66 x(x 5)(x + 7) (x 5)(x + 7)(x + 6) `3(x) = (0 5)(0 + 7)(0 + 6) = (x 5)(x + 6)(x + 7) O halde, interpolasyon polinomu Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 12 / 21
21 1 Polinom Interpolasyonu Lagrange Formu Örnek x tablosunun kardinal fonksiyonlar ve y interpolasyon polinomunun Lagrange formu nedir? Çözüm Nodlar 5, 7, 6, 0 d r. Böylece, kardinal fonksiyonlar (x + 7)(x + 6)x `0(x) = (5 + 7)(5 + 6)5 = x(x + 6)(x + 7) `1(x) = (x 5)(x + 6)x ( 7 5)( 7 + 6)( 7) = 1 84 x(x 5)(x + 6) `2(x) = (x 5)(x + 7)x ( 6 5)( 6 + 7)( 6) = 1 66 x(x 5)(x + 7) (x 5)(x + 7)(x + 6) `3(x) = (0 5)(0 + 7)(0 + 6) = (x 5)(x + 6)(x + 7) O halde, interpolasyon polinomu p 3 (x) = `0(x) 23`1(x) 54`2(x) 954`3(x) Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 12 / 21
22 Genel Form 1 Polinom Interpolasyonu Genel Form Polinom interpolasyonu için, hâlâ di¼ger algoritmalar çeşitli avantajlara ve dezavantajlara sahiptirler. n + 1 (farkl ) noktada önceden verilen de¼gerlere sahip, derecesi n olan bir ve yaln z bir polinom oldu¼gundan, bu algoritmalar ayn polinomu farkl formlarda üretirler. Örne¼gin, polinomu p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n şeklinde x in kuvvetleri cinsinden ifade edilmesini isteyebiliriz. p(x i ) = y i, (0 i n) interpolasyon koşullar, a 0, a 1,..., a n leri belirlemek için n + 1 boyutlu bir lineer denklem sistemi verir: Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 13 / 21
23 1 Polinom Interpolasyonu Genel Form Bu sistem 2 1 x 0 x0 2 x n x 1 x1 2 x n 1 1 x 2 x2 2 x2 n x n xn 2 xn n a 0 a 1 a 2. a n 3 2 = y 0 y 1 y 2. y n formuna sahiptir. Katsay matrisine Vandermonde matrisi denir. Matris tekil de¼gildir fakat s kl kla kötü durumludur. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 14 / 21
24 1 Polinom Interpolasyonu Genel Form A matrisinin durum say s κ(a) = kak A 1 olup, burada kk bir matris (örne¼gin kak = max ij ja ij j) normudur. E¼ger Ax = b nin çözümü sa¼g taraftaki b deki küçük de¼gişikliklere karş duyars z oluyorsa; bu durumda b deki küçük de¼gişimler, hesaplanan x çözümünde de sadece küçük de¼gişimlere neden olur. Bu durumda, A iyi durumludur denir. Bu, κ(a) durum say s n n sadece küçük bir büyüklükte olmas na karş l k gelir. Di¼ger yandan, e¼ger durum say s büyük ise, A kötü durumludur ve Ax = b nin say sal çözümü çok büyük bir şüphe alt nda kabul edilmek zorundad r. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 15 / 21
25 1 Polinom Interpolasyonu Genel Form Art lar: (Newton formu): Nümerik çal şma için, interpolasyon polinomunun Newton formunu kullanmak muhtemelen en iyisidir. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 16 / 21
26 1 Polinom Interpolasyonu Genel Form Art lar: (Newton formu): Nümerik çal şma için, interpolasyon polinomunun Newton formunu kullanmak muhtemelen en iyisidir. Interpolasyon problemine daha fazla veri eklenirse, halihaz rda hesaplanm ş olan katsay lar de¼giştirilmek zorunda de¼gil. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 16 / 21
27 1 Polinom Interpolasyonu Genel Form Art lar: (Newton formu): Nümerik çal şma için, interpolasyon polinomunun Newton formunu kullanmak muhtemelen en iyisidir. Interpolasyon problemine daha fazla veri eklenirse, halihaz rda hesaplanm ş olan katsay lar de¼giştirilmek zorunda de¼gil. Art lar: (Lagrange formu): Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 16 / 21
28 1 Polinom Interpolasyonu Genel Form Art lar: (Newton formu): Nümerik çal şma için, interpolasyon polinomunun Newton formunu kullanmak muhtemelen en iyisidir. Interpolasyon problemine daha fazla veri eklenirse, halihaz rda hesaplanm ş olan katsay lar de¼giştirilmek zorunda de¼gil. Art lar: (Lagrange formu): Bir x i nodlar kümesi için, birinin, örne¼gin deneysel verilerden elde etti¼gi, bu nodlara karş l k gelen bir çok farkl y i de¼gerlerine sahip olmas durumu için kardinal fonksiyonlar ayn kal r Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 16 / 21
29 1 Polinom Interpolasyonu Polinom Interpolasyonunda Hata Polinom Interpolasyonunda Hata Teorem (Polinom Interpolasyonunun Hatas ) f, C n+1 [a, b] de bir fonksiyon olsun ve p de f yi [a, b] aral ¼g ndaki n + 1 tane farkl x 0, x 1,..., x n noktas nda interpole eden, en fazla n. dereceden bir fonksiyon olsun. Bu durumda her bir x 2 [a, b] için f (x) p(x) = 1 (n + 1)! f (n+1) (ξ x ) n i=0 (x x i ) (7) olacak şekilde karş l k gelen bir ξ x 2 (a, b) noktas vard r. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 17 / 21
30 1 Polinom Interpolasyonu Polinom Interpolasyonunda Hata elde ederiz, ki bu da Denklem (7) yi verir. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 18 / 21 Ispat E¼ger x = x i ise, iddia aç k olarak do¼grudur. x 6= x i (sabitlenmiş) varsayal m. w(t) = n (t x i ) φ f p λw i=0 diyelim. Burada λ, φ(x) = 0 yapan herhangi bir reel say d r. Böylece, f (x ) p(x ) λ = olur. Şimdi, φ 2 C w (x ) n+1 [a, b] n + 1 tane x, x 0, x 1,..., x n noktas nda s f r olur. Rolle teoreminden dolay, (a, b) içinde φ 0 en az n + 1 tane farkl s f ra, φ 00 en az n tane farkl s f ra, φ (n+1) en az bir tane ξ x s f r na sahiptir. O halde dir. Buradan φ (n+1) = f (n+1) p (n+1) λw (n+1) = f (n+1) (n + 1)!λ 0 = φ (n+1) (ξ x ) = f (n+1) (ξ x ) (n + 1)!λ = f (n+1) f (x ) p(x ) (ξ x ) (n + 1)! w (x )
31 1 Polinom Interpolasyonu Polinom Interpolasyonunda Hata Örnek E¼ger f (x) = sin x fonksiyonuna [0, 1] aral ¼g ndaki on noktada 9. dereceden bir interpolasyon polinomu ile yaklaş l rsa, bu aral ktaki hata ne kadar büyük olabilirir? Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 19 / 21
32 1 Polinom Interpolasyonu Polinom Interpolasyonunda Hata Örnek E¼ger f (x) = sin x fonksiyonuna [0, 1] aral ¼g ndaki on noktada 9. dereceden bir interpolasyon polinomu ile yaklaş l rsa, bu aral ktaki hata ne kadar büyük olabilirir? Çözüm Bu sorunun yan t için Teorem 2 deki Denklem (13) ü kullanal m. Aç kça f (10) (ξ x ) 1 ve 9 i=1 jx x i j 1 dir. Böylece, her x 2 [0, 1] için, olur. jsin x p(x)j 1 7 < ! Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 19 / 21
33 1 Polinom Interpolasyonu Polinom Interpolasyonunda Hata Teorem (Chebyshev Polinomlar ) [ 1, 1] aral ¼g ndaki x ler için, Chebyshev polinomlar kapal -form ifadesine sahiptir. T n (x) = cos(n cos 1 x) (n 0) jt n (x)j 1 ( 1 x 1) T n cos jπ n = ( 1) n (0 j n) T n cos 2j 1 2n π = 0 (1 j n) Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 20 / 21
34 1 Polinom Interpolasyonu Polinom Interpolasyonunda Hata Teorem ( Interpolasyon Hatas, Chebyshev Nodlar ) E¼ger x i nodlar T n+1 Chebyshev polinomunun kökleri ise, bu durumda Teorem 2 deki hata formülü, (jxj 1 için) jf (x) p(x)j 1 2 n (n + 1)! max f (n+1) (t) jtj1 şeklini al r. Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 21 / 21
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 3 7! Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme 1 / 23 Sabit Nokta
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / 1 Denklemlerin Köklerini Bulma Giriş Denklemlerin Köklerini Bulma
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 1 7! MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER 1 / 15 Kaynaklar Nümerik Analiz-Bilimsel
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 2012
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 0 Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6 7! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ / 9 . LU ve Cholesky
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 5 7! SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL 1 / 23 1 Say sal Türev ve Richardson
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / 27 Çok farkl durumlara uygulanabilen genel bir yöntemdir. Reel de¼gişkenli,
fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L
Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 2012
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi, Gazi Kitabevi 0 Nuri ÖZALP L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 6! L INEER S ISTEMLER IN ÇÖZÜMÜ / . Pivotlama ve
Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,
Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.
1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;
6 Devirli Kodlar. 6.1 Temel Tan mlar
6 Devirli Kodlar 6.1 Temel Tan mlar Tan m S F n q için e¼ger (a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 1 ) 2 S iken (a n 1 ; a 1 ; : : : ; a n 2 ) 2 S oluyorsa S kümesine devirli denir. E¼ger bir C do¼grusal kodu devirli
MIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.112 Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms http://tuba.acikders.org.tr
POL NOMLAR. Polinomlar
POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit
Istatistik ( IKT 253) Normal Da¼g l m Çal şma Metni
TO-ETÜ, Iktisat ölümü Istatistik ( IKT 253) Normal Da¼g l m Çal şma Metni Ortalamas 0, standart sapmas 1 olan normal da¼g l ma standart normal da¼g l m denir ve bu da¼g l m n de¼gerleri z ile gösterilir.
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Lineer Programlama. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Lineer Programlama Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 7 7! Lineer Programlama 1 / 32 Simpleks Algoritmas Standart teknikler anlam
1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?
1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü
(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1
0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m
TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere,
MATEMAT K TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, 0 1 2 3 n P(x) = a x n a x n 1... a x 3 a x 2 a x n n 1 3 2 1 a ifadesine reel katsay l POL NOM denir. 0 a, a, a,..., a say lar na KATSAYILAR,
BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)
BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler
ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir
Iki Boyutlu Sabit Katsay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sistemleri (Euler Metodu)
Iki Boyulu Sabi Kasay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sisemleri (Euler Meodu) Bu bölümde sabi kasay l, lineer, homogen 8 >< d = a 1x + b 1 y >: dy d = a 2x + b 2 y sisemi ele al nmakad r. Burada
İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
Özdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular
Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun
18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Belirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar
Ic. indekiler Belirsiz Integraller 3. Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral................ 3.. Temel Tan mlar ve Sonuc.lar............... 3. Temel Integral Alma Yöntemleri................ 0.. De giṣken
2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k
2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik
POLİNOMLARIN TANIMI. ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI:
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: Dersin Adı POLİNOMLARIN TANIMI 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan polinom belirtir? I. Dersin Konusu 1 5. P x x n 1 7 x 4 n 5 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, bu polinomun derecesi
LYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon
Jeodezide Yöntemleri: ve Lisansüstü Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü e-posta: austun@selcuk.edu.tr Konya, 2007 A. Üstün yöntemleri 1 / 28 Bir soruyu ya
Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
![Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak](/thumbs/17/146647.jpg "Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak")
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için
İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem
BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1
1 BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1 Belli bir özelliğe yönelik yapılandırılmış gözlemlerle elde edilen ölçme sonuçları üzerinde bir çok istatistiksel işlem yapılabilmektedir. Bu işlemlerin bir kısmı
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir
2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve
) 444400 say s ndaki rakamlar n yerleri de¼giştirilerek 7 basamakl kaç farkl say yaz labilir? Çözüm : Bu rakamlar n bütün farkl 7 li dizilişlerinin say s 7! olacakt r. Bu dizilişlerin 4!! soldan ilk rakam
1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri
Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki
Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.
1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI
1998 ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI IR INC I ŞM SORULRI Lise 1- S nav Sorular 1. T = 1! +! + 3! + ::: + 1997! + 1998! toplam n n son iki basama¼g ndaki rakamlar n toplam kaçt r? ) 13 ) 9 C) 6 D) E) Hiçbiri.
1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
Yeşilköy Anadolu Lisesi
Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi
Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi
Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac
3. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
3. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi TAYLOR TEOREMİ Eğer f C n [a,b] ve f n+1 [a,b] de mevcut ise, x
8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I
8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İKİNCİ BASAMAKTAN DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİN ARALIK SALINIM KRİTERİ.
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İKİNCİ BASAMAKTAN DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİN ARALIK SALINIM KRİTERİ Neslihan ÇAVUNT MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 202 Her hakkı saklıdır
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Doğrusal Ara Değer Hesabı Lagrance Polinom İnterpolasyonu
12. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
1. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi SONLU FARKLAR İNTERPOLASYONU İleri Yönlü Sonlu Farklar İterpolasyonu
1) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir?
) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir? Çözüm: Önce, anne ile baban n yan yana oturma durumunu düşünelim. Anne ile
Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama
Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ
tasarım BĐSĐKLET FREN SĐSTEMĐNDE KABLO BAĞLANTI AÇISININ MEKANĐK VERĐME ETKĐSĐNĐN ĐNCELENMESĐ Nihat GEMALMAYAN Y. Doç. Dr., Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi,
Diferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
ÜN TE III L NEER CEB R
ÜN TE III L NEER CEB R MATR SLER Matrisin ki matrisin eflitli i Toplama ifllemi ve özellikleri Matrislerde skalarla çarpma ifllemi ve özellikleri Matrislerde çarpma ifllemi Çarpma ifllemine göre birim
Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 6 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4: Toplam Süre: 6 Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
Analiz III Ara S nav Sorular 24 Kas m 2010
Analiz III Ara S nav Sorular 24 Kas m 2010 1 Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) R n uzay n n aç k olmayan her alt kümesi kapal d r. (b) A = fx 2 [0; 1]
Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z
Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi
Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.
Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
Olas l k Hesaplar (II)
Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele
Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.
Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)
Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu
KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
mat 103. Çal şma Sorular 1
mat 0. Çal şma Sorular. FONKS IYONLA. Aşa¼g daki kurallarla verilen fonksiyonlar n gra klerini çiziniz. (a) f() 4 jj (b) f() jj (c) f() 4 jj (ç) f() j j (d) f() j j (e) f() j j (f) f() j j. Aşa¼g daki
KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ
Giriş ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ Sayısal Analiz Nedir? Mühendislikte ve bilimde, herhangi bir süreci tanımlayan karmaşık denklemlerin
Içindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64
Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Fonksiyonlar Bagnt Fonksiyon 2 Fonksiyonel Denklemlere Giriş 4 Fonksiyonun Gragi 7 Fonksiyon Çeşitleri 8 Bir Fonksiyonun Tersi 20 Bileşke Fonksiyon 23 Tek ve Çift Fonksiyon 25
TEMEL MATEMAT K TEST
TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu
AKDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI
KDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEH IR :... SINIF :...Ö ¼GRETMEN :... eposta :... IMZ :... SINV TR IH I VE ST I : 14 May s 2016 - Cumartesi
TEMEL MATEMAT K TEST
TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla
Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI
Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN
DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I
DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I MATEMAT IK BÖLÜMÜ 203-204 BAHAR YARIYILI D IFERANS IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 2 Nisan 204 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. (5p) Belirsiz katsay lar yöntemini
Bu yaz da dizileri kullanarak birbirinden ilginç
Diziler, Polinomlar, Güçlerin Toplam, Asallar vs Tosun Terzio lu* / tosun@sabanciuniv.edu.tr Bu yaz da dizileri kullanarak birbirinden ilginç birbirinden ba ms z sonuçlar kan tlayaca z. I. Diziler. Bir
PROBLEM SET I ARALIK 2009
PROBLEM SET I - 5 09 ARALIK 009 Soru 1 (Besanko ve Braeutigam (00), sayfa 405): Aşa¼g da tam rekabet piyasas nda faaliyet gösteren bir rman n k sa dönem toplam maliyet fonksiyonu verilmiştir: Piyasa denge
MEB YÖK MESLEK YÜKSEKOKULLARI PROGRAM GELİŞTİRME PROJESİ. 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme.
PROGRAMIN ADI DERSIN ADI DERSİN İŞLENECEĞİ YARIYIL HAFTALIK DERS SAATİ DERSİN SÜRESİ AMAÇLAR 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme. MUHASEBE PROGRAMI MATEMATİK 1. Yıl I. Yarıyıl 3 (Teori:
Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
13. Karakteristik kökler ve özvektörler
13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik
ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI
ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI 1 Rassal Değişken Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir
+..+b 0 Polinomlarının. kongüransını inceleyeceğiz.
POLİNOMLAR VE WİLSON TEOREMİ 9.1 Polinomlar kongüranslar. Polinomları ve onların soyut cebir ile ilgili özelliklerini 4. bölümde geniș ele alacağız. Bu kısımda ise sayılar teorisi açısından bazı özelliklerine
ünite12 POLİNOMLAR Polinomlar
ünite1 POOM = 1 Polinomlar 0 1 1. şağıdakilerden hangileri bir polinom değildir?. x 4 + 3. x 3 3x 5 +. x 6 1 V. x 4 1 + V. 5x 1 8 POOM POOM 5. P(x) = (a )x + (b + 3)x + ab 1 polinomu sabit bir polinom
2.1 Kayan Nokta aritmetiği: Nümerik Analizde Operatorler Genişletme (Kaydırma) Operatörü µ Ortalama Operatörü...
Contents GİRİŞ 5 Hata Çeşitleri 5. Kayan Nokta aritmetiği:..................................... 6. Aritmetik İşlemlerde Hata Analizi............................... 7 Nümerik Analizde Operatorler 8. İleri
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)
ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme
SORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x
SOULA. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim! lim sin(t )dt sin 4 np n! i= n sin i n. q + arcsin belirli integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 3. 4