MAT1009 Matematik I. Ders Notları. Dokuz Eylül Üniversitesi

Transkript

1 MAT9 Matematik I Ders Notları Dokuz Eylül Üniversitesi 26

2 2

3 İçindekiler Fonksiyonlar 5. Polinomlar Trigonometrik Fonksiyonlar Üstel Fonksiyonlar Fonksiyon Grafikleri Fonksiyonlar ile dört işlem Bileşke Fonksiyon Ters Fonksiyon Limit ve Türev Limit Alma Kuralları Süreklilik Sonsuzluk İçeren Limitler Teğetler, Hızlar ve Diğer Değişim Hızları Teğet Doğrusu Problemi Anlık Hız Problemi Türev Türev Kuralları Zincir Kuralı Parametrik Eğrilerin Teğetleri Kapalı Fonksiyonların Türevleri Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi Logaritma Fonksiyonlarının Türevi Doğrusal Yaklaştırımlar ve Diferansiyeller Türev Uygulamaları Bağımlı Hız Maksimum ve Minimum Değerler Ortalama-Değer Problemi Türevler ve Bir Eğrinin Eğimi Artan ve Azalan Fonksiyonlar Yerel Minimum/Maksimum Noktaları Bükeylik Belirsizlik Durumları ve L Hospital Kuralı Belirsiz Çarpımlar Belirisiz Farklar Belirsiz Kuvvetler Optimizasyon Problemleri Bir Fonksiyonun İlkeli

4 4 İÇINDEKILER 5 Integral 7 5. Alan ve Uzaklık Uzaklık Problemi Belirli İntegral İntegralin Hesaplanması Belirli İntegrallerin Özellikleri Yerine Koyma Kuralı Kısmi İntegral Alma Trigonometrik İntegraller Trigonometrik Dönüşümler Kısmi Kesirler Has Olmayan İntegraller Integralin Uygulamaları Alan Parametrik eğrilerin Sınırladığı Alanlar Hacimler Yay Uzunluğu Bir Fonksiyonun Ortalama Değeri

5 Bölüm Fonksiyonlar Bir f fonksiyonu, bir A kümesinin her x öğesini, bir B kümesinin tek bir f(x) öğesine taşıyan bir kuraldır. Genellikle A ve B kümelerinin gerçel sayıların kümeleri olduğu fonksiyonları düşüneceğiz. A kümesine fonksiyonun tanım kümesi denir. f(x) sayısına f fonksiyonunun x deki değeri denir. x sayısı A kümesi içinde değişirken, f(x) in tüm olası değerlerinin kümesine f nin görüntü kümesi denir. f nin tanım kümesinin herhangi bir öğesini temsil eden sembole, bağımsız değişken denir. Görüntü kümesinin herhangi bir öğesini temsil eden sembole, bağımlı değişken denir. Bir fonksiyonu en iyi anlamanın yolu grafiğidir. Tanım kümesi A olan bir fonksiyonun grafiği {(x, f(x)) x A} ile betimlenen sıralı ikililer kümesidir. Başka bir deyişle, f nin grafiği, x tanım kümesinde ve y = f(x) olmak koşulu ile düzlemdeki (x, y) noktalarının kümesidir. Şekil. Grafik, f nin tanım ve görüntü kümelerini, sırası ile x ve y ekseni üzerinde Şekil.2 deki gibi şekillendirmemize de yardımcı olur. Şekil.2 Düşey doğru ölçütü xy düzlemindeki bir eğrinin x in bir fonksiyonunun grafiği olması için gerekli ve yeterli koşul, her düşey doğrunun bu eğriyi en fazla bir noktada kesmesidir. Tanım kümesinin farklı parçalarında farklı biçimde tanımlanmış fonksiyona parçalı fonksiyon denir. Örneğin; f(x) = { x, x x 2, x > 5

6 6 BÖLÜM. FONKSIYONLAR Şekil.3: Düşey Doğru Ölçütü x iken f(x) in değeri x, x > iken f(x) in değeri x 2 dir. Parçalı tanımlı fonksiyonlara vereceğimiz bir sonraki örnek mutlak değer fonksiyonudur. x = { x, x x, x < Şekil.4 Tanım kümesindeki her x için f( x) = f(x) koşulunu sağlayan f fonksiyonuna çift fonksiyon denir. Örneğin f(x) = x 2 fonksiyonu için f( x) = ( x) 2 = x 2 = f(x) sağlandığından f çifttir. Bu fonksiyonların önemi, grafiklerinin y eksenine göre simetrik olmasıdır(şekil.5). Yalnızca x için grafik çizildiğinde, tüm grafik y eksenine göre simetri alınarak bulunur. Şekil.5 Tanım kümesindeki her x için f( x) = f(x) koşulunu sağlayan f fonksiyonuna tek fonksiyon denir. Örneğin f(x) = x 3 fonksiyonu tektir çünkü f( x) = ( x) 3 = x 3 = f(x) dir. Tek fonksiyonların grafikleri başlangıç noktasına göre simetriktir.(şekil.6). Eğer x değerleri için grafik biliniyorsa, tüm grafik eldeki grafiğin başlangıç noktaı etrafında 8 döndürülmesiyle elde edilir. Şekil.7 daki grafik A dan B ye kadar yükselmekte, B den C ye kadar düşmekte ve C den D ye kadar tekrar yükselmektedir. f fonksiyonu [a, b] aralığında artan, [b, c] aralığında azalan, [c, d] aralığında ise yine artandır.

7 .. POLINOMLAR 7 Şekil.6 Şekil.7 x ve x 2 noktaları a ve b arasında, x < x 2 koşulunu sağlayan herhangi iki nokta ise, f(x ) < f(x 2 ) olduğuna dikkat ediniz. Bu özelliği artan fonksiyonun tanımı için kullanacağız. I aralığındaki her x < x 2 için f(x ) < f(x 2 ) ise, f fonksiyonu I aralığında artandır denir. I aralığındaki her x < x 2 için f(x ) > f(x 2 ) ise, f fonksiyonu I aralığında azalandır denir. Her bir x değeri için, p > iken f(x + p) = f(x) eşitliğini sağlayan fonksiyonlara p periyoduna sahip periyodik fonksiyon denir.. Polinomlar n bir tamsayı, a, a, a 2,..., a n sabit gerçel sayılar olmak üzere P (x) = a n x n + a n x n a 2 x 2 + a x + a şeklindeki fonksiyonlara polinom denir. Her polinomun tanım kümesi R = (, ) kümesidir. a, a, a 2,..., a n sayılarına polinomun katsayıları denir. Eğer ilk katsayı a n ise, n sayısına polinomun derecesi denir. Örneğin, P (x) = 2x 6 x x3 + 2 derecesi 6 olan bir polinomdur. Derecesi olan polinom P (x) = mx + b biçiminde olacağından, doğrusal bir fonksiyondur. Derecesi 2 olan bir polinom P (x) = ax 2 + bx + c biçimindedir ve kuadratik fonksiyon (veya ikinci dereceden polinom) adını taşır. İkinci dereceden polinomların grafiği parabol olur ve grafikleri, bir sonraki bölümde göreceğimiz gibi y = ax 2 parabolünün kaydırılması ile elde edilir. a > ise, parabolun ağzı yukarıya, a < ise aşağıya doğru açıktır (Şekil.8). Derecesi 3 olan bir polinom ax 3 + bx 2 + cx + d biçimindedir ve kübik fonksiyon adını taşır. a sabit bir sayı olmak üzere, f(x) = x a biçimindeki fonksiyonlara kuvvet fonksiyonları denir. Bazı özel durumları düşünelim: n pozitif bir tamsayı olmak üzere, a = n ise n =, 2, 3, 4 ve 5 olduğu f(x) = x n fonksiyonlarının grafikleri aşağıdaki grafiklerde görülmektedir. (Bunlar yalnızca bir terimi olan polinomlardır.)

8 8 BÖLÜM. FONKSIYONLAR Şekil.8: y = x 2 + x + y = 2x 2 + 3x + Şekil.9 Yukarıdaki şekilden görüleceği gibi n artarken f(x) = x n, yakınında düzleşmekte, x için dikleşmektedir. (x küçükse, x 2 daha küçük, x 3 daha da küçük, x 4 ondan da küçük, v.b. olacaktır.) Şekil. n pozitif bir tamsayı olmak üzere, a = n ise f(x) = x/n = n x fonksiyonuna kök fonksiyonu denir. n = 2 ise, f(x) = x, tanım kümesi [, ), grafiği ise x = y 2 parabolünün üst kolu olan kare-kök fonksiyonudur. n

9 .2. TRIGONOMETRIK FONKSIYONLAR 9 tamsayısının çift olması durumunda, y = x /n fonksiyonunun grafiği y = x fonksiyonunun grafiğine benzer. n = 3 durumunda f(x) = 3 x, tanım kümesi R olan (her gerçel sayının küp-kökü vardır) küp-kök fonksiyonudur ve grafiği aşağıda verilmiştir. n tek ise, (n > 3) y = n x nin grafiği y = 3 x fonksiyonunkine benzer. a = ise şekil de, f(x) = x = /x in grafiği verilmiştir. Şekil. P ve Q gibi iki polinomun oranı olarak ifade edilebilen f(x) = P (x) Q(x) f fonksiyonuna rasyonel (kesirli) fonksiyon denir. Tanım kümesi: Q(x) olan tüm x sayılarıdır. Tanım kümesi {x x } olan f(x) = /x fonksiyonu da rasyonel bir fonksiyondur. Yine örnek olarak f(x) = 2x4 x 2 + fonksiyonu da tanım kümesi {x x ±2} olan olan x 2 4 bir rasyonel fonksiyondur. Polinomlardan(toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma gibi) cebirsel işlemler ile elde edilebilen f fonksiyonuna cebirsel fonksiyon denir. Rasyonel fonksiyonlar cebirsel fonksiyonlardır. fonksiyonları da cebirsel fonksiyonlardır. f(x) = x 2 + g(x) = x4 6x 2 x + x + (x 2) 3 x +.2 Trigonometrik Fonksiyonlar Kalkülüste açı birimi olarak (aksi belirtilmediği sürece) radyan kullanılır. Örneğin, f(x) = sin x ile radyan ölçümü x olan açının sinüsünü anlarız. Dolayısı ile, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının grafikleri, şekil de gösterildiği gibidir. Şekil.2 Şekil.3

10 BÖLÜM. FONKSIYONLAR Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının tanım kümesi (, ), görüntü kümesi [, ] kapalı aralığıdır. Bu nedenle her x için sin x cos x ya da mutlak değer gösterimi ile sin x cos x olur. Sinüs fonksiyonunu sıfırları π nin tamsayı katlarıdır; başka bir değişle n tamsayı olmak üzere, x = nπ için sin x = dır. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının en önemli özelliği periyodik olmaları ve periyodlarının 2π olmasıdır. Bu, x in tüm değerleri için sin(x + 2π) = sin x cos(x + 2π) = cos x olması demektir. Tanjant fonksiyonunun sinüs ve kosinüs fonksiyonalrı ile ilişkisi, denklemleriyle verilir. Grafiği verilmiştir. tan x = sin x cos x Şekil.4 x = ±π/2, ±3π/2,... değerleri için cos x = olduğundan, bu değerlerde tanımlı değildir. Görüntü kümesi (, ) aralığıdır. Tanjant fonksiyonu periyodiktir ve periyodu π dir: tan(x + π) = tan x..3 Üstel Fonksiyonlar Bu tür fonksiyonlar, taban a nın pozitif bir sabit olduğu f(x) = a x biçimindeki fonksiyonlardır. Her iki durumda da tanım kümesi (, ) ve görüntü kümesi (, ) dur. Üstel fonksiyonların en çok kullanılanı e x (doğal üstel fonksiyon) fonksiyonudur. Buradaki e sayısı üstel fonksiyonun y eksenini eğimi olacak şekilde kesmesini saylayan sayıdır. e sayısı irrasyonel bir sayıdır ve e sayısının ilk 5 basamağı e dir. Transandantal (aşkın) fonksiyonlar olarak da bilinen bu tür fonksiyonlar trigonometrik, üstel ve logaritma fonksiyonlarını içerdikleri gibi, hiç bir ad verilmemiş diğer pek çok fonksiyonu da içerirler.

11 .3. ÜSTEL FONKSIYONLAR Şekil.5 Şekil.6 Örnek. Aşağıdaki fonksiyonların türlerini belirleyiniz. (a) f(x) = 5 x (b) g(x) = x 5 (c) h(x) = + x x (d) u(t) = t + 5t 4 Çözüm. (a) f(x) = 5 x fonksiyonu üstel bir fonksiyondur. (Kuvveti x dir.) (b) g(x) = x 5 fonksiyonu bir kuvvet fonksiyonudur. (Taban x dir.) aynı zamanda derecesi 5 olan bir polinomdur. (c) h(x) = + x cebirsel bir fonksiyondur. x (d) u(t) = t + 5t 4 derecesi 4 olan bir polinomdur.

12 2 BÖLÜM. FONKSIYONLAR.4 Fonksiyon Grafikleri Bir fonksiyonun grafiğine dönüşümler uygulayarak yeni fonksiyonlar elde edebiliriz. Bu fikirler bize bir çok fonksiyonun grafiğini hızlıca çizebilme yeteneğini kazandıracaktır. Aynı zamanda, verilen grafiklerin denklemlerini bulabileceğiz. Önce ötelemeleri düşünelim. Eğer c pozitif bir sayı ise, y = f(x) + c fonksiyonunun grafiği y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin yukarı doğru c birim kaydırılması ile elde edilir (bunun nedeni tüm y-koordinatlarının c kadar arttırılmasıdır). g(x) = f(x c) ile tanımlanan g fonksiyonunun x sayısındaki değeri, f nin x c sayısındaki değeridir (başka bir deyişle, x in c birim solundaki değer). Bu nedenle, y = f(x c) fonksiyonunun grafiği, y = f(x) grafiğinin c birim sağa kaydırılmış halidir. c > olmak üzere, Şekil.7 incelenmelidir. c > olmak üzere, Şekil.7 incelenmelidir. Şekil.7 Yatay ve düşey kaydırmalar c > olsun. y = f(x) + c nin grafiğini elde etmek için, y = f(x) grafiğini yukarı doğru c birim kaydırınız. y = f(x) c nin grafiğini elde etmek için, y = f(x) grafiğini aşağıya doğru c birim kaydırınız. y = f(x c) nin grafiğini elde etmek için, y = f(x) grafiğini sağa doğru c birim kaydırınız. y = f(x + c) nin grafiğini elde etmek için, y = f(x) grafiğini sola doğru c birim kaydırınız.

13 .4. FONKSIYON GRAFIKLERI 3 Şimdi germe ve yansıma dönüşümlerini ele alalım. c > ise, y = cf(x) fonksiyonunun grafiği, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin düşey doğrultuda c kadar gerilmesi ile elde edilir (çünkü her y-koordinatı aynı c sayısı ile çarpılmıştır). y = f(x) fonksiyonun grafiği, y = f(x) grafiğinin x eksenine göre yansımasıdır, çünkü (x, y) noktası (x, y) noktası ile yer değiştirmektedir. c > ve c olmak üzere, Şekil.8 incelenmelidir. Şekil.8 Yatay ve düşey germe ve yansıma c > olsun. y = cf(x) in grafiğini elde etmek için, y = f(x) in grafiğini düşey olarak c kadar geriniz. y = (/c)f(x) in grafiğini elde etmek için, y = f(x) in grafiğini düşey olarak c kadar büzünüz. y = f(cx) in grafiğini elde etmek için, y = f(x) in grafiğini yatay olarak c kadar büzünüz. y = f(x/c) in grafiğini elde etmek için, y = f(x) in grafiğini yatay olarak c kadar geriniz. y = f(x) in grafiğini elde etmek için, y = f(x) in grafiğinin x ekseninde yansımasını alınız. y = f( x) in grafiğini elde etmek için, y = f(x) in grafiğinin y ekseninde yansımasını alınız.

14 4 BÖLÜM. FONKSIYONLAR Örnek 2. Verilen y = x in grafiğine dönüşümler uygulayarak y = x 2, y = x 2, y = x, y = 2 x ve y = x fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz. Çözüm.. y = x in grafiği: Şekil.9a birim aşağı kaydırarak y = x 2 fonksiyonunun grafiği: Şekil.9b birim sağa kaydırarak y = x 2 fonksiyonun grafiği: Şekil.9c. 4. x ekseninde yansımasını alarak y = x in grafiği: Şekil.9d. 5. düşey yönde 2 birim gererek y = 2 x in grafiği: Şekil.9e. 6. y ekseninde yansıma alarak y = x in grafiği: Şekil.9f. (a) x (b) x 2 (c) x 2 (d) x (e) 2 x (f) x Şekil.9 Örnek 3. f(x) = x 2 + 6x + fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm. Tam kareye tamamlayarak, grafiğin denklemini y = x 2 + 6x + = (x + 3) 2 + olarak yazarız. İstenilen grafiği, y = x 2 parabolünü önce 3 birim sola, sonra birim yukarıya kaydırarak buluruz. (Şekil.2)

15 .5. FONKSIYONLAR ILE DÖRT IŞLEM 5 Şekil.2 Örnek 4. y = x 2 fonksiyonunun garfiğini çiziniz. Çözüm. Önce y = x 2 parabolünü çizeriz. Bu, y = x 2 parabolünün birim aşağıya kaydırılmasıyla elde edilir. < x < iken x 2 parabolü x-ekseninin altında kaldığından, y = x 2 in grafiğini, bu kısmın grafiğini x eksenine göre yansıtarak buluruz. (Şekil.2) Şekil.2.5 Fonksiyonlar ile dört işlem f ve g gibi iki fonksiyon, sayıların toplanması, çıkarılması, çarpılması ve bölünmesine benzer şekilde birleştirilerek, f + g, f g, f g ve f/g gibi yeni fonksiyonlar elde edilebilir. f + g toplamını, (f + g)(x) = f(x) + g(x) (.) ile tanımlarsak, denklem. in sağ tarafı ancak f(x) ve g(x) in her ikisininde tanımlı olduğu, diğer bir deyişle, x in hem f nin hem de g nin tanım kümesinde olduğu zaman anlamlıdır. f nin tanım kümesi A, g nin tanım kümesi B ise, f + g fonksiyonunun tanım kümesi, bu iki tanım kümesinin kesişimi A B dir. f ve g, tanım kümeleri A ve B olan fonksiyonlar olsun. f + g, f g, fg, ve f/g fonksiyonları tablodaki gibi tanımlanır.

16 6 BÖLÜM. FONKSIYONLAR (f + g)(x) = f(x) + g(x) tanım kümesi = A B (f g)(x) = f(x) g(x) tanım kümesi = A B (fg)(x) = f(x)g(x) tanım kümesi = A B (f/g)(x) = f(x)/g(x) tanım kümesi = {x A B : g(x) } Örnek 5. f(x) = x, g(x) = 4 x 2 ise, f + g, f g, fg, ve f/g fonksiyonlarını bulunuz. Çözüm. f(x) = x fonksiyonunun tanım kümesi [, ) dur. g(x) = 4 x 2 fonksiyonunun tanım kümesi, 4 x 2, yani x 2 4 eşitsizliğini sağlayan x değerlerinden oluşur. Her iki tarafın kare kökünü alırsak, x 2, veya 2 x 2 elde ederiz. Dolayısıyla, g fonksiyonunun tanım kümesi [ 2, 2] aralığıdır. f ve g nin tanım kümelerinin kesişimi [, ) [ 2, 2] = [, 2] kümesidir. Böylece tanımlardan, (f + g)(x) = x + 4 x 2 x 2 (f g)(x) = x 4 x 2 x 2 (fg)(x) = x 4 x 2 = 4x x 3 x 2 ( f g ) (x) = x x = 4 x 2 4 x 2 x < 2 buluruz. f/g nin tanım kümesinde g(x) = veren x = ±2 noktalarının olmaması gerektiğinden, f/g nin tanım kümesi [,2) aralığıdır..6 Bileşke Fonksiyon Verilen f ve g fonksiyonları için f g bileşke fonksiyonu (ya da f ve g nin bileşkesi), (f g)(x) = f(g(x)) olarak tanımlanır. f g fonksiyonunun tanım kümesi, g nin tanım kümesindeki, g nin görüntüsü f nin tanım kümesinde olan x lerden oluşur. Başka bir deyişle, (f g)(x), hem g(x) hem de f(g(x)) tanımlı olduğu zaman tanımlıdır. f g fonksiyonunu anlamanın en iyi yolu Şekil.22 deki gibi ok gösterimidir. Şekil.22

17 .6. BILEŞKE FONKSIYON 7 Örnek 6. f(x) = x 2 ve g(x) = x 3 ise, f g ve g f bileşke fonksiyonlarını bulunuz. Çözüm. (f g)(x) = f(g(x)) = f(x 3) = (x 3) 2 (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = x 2 3 Not : Örnekte görüldüğü gibi, genelde f g g f dir. f g, önce g sonra f nin uygulanması ile bulunur. Örnekteki f g fonksiyonu, önce 3 çıkartan sonra da kare alan fonksiyon iken, g f önce kare alan sonra 3 çıkartan fonksiyondur. Örnek 7. f(x) = x ve g(x) = 2 x ise aşağıdaki fonksiyonları ve tanım kümelerini bulunuz. (a) f g (b) g f (c) f f (d) g g Çözüm. a. (f g)(x) = f(g(x)) = f( 2 x) = 2 x = 4 2 x f g fonksiyonunun tanım kümesi {x 2 x } = {x x 2} = (, 2] dir. b. (g f)(x) = g(f(x)) = g( x) = 2 x x fonksiyonun tanımlı olması için x olmalıdır. 2 x fonksiyonunun tanımlı olması için 2 x olmalıdır. Bu, x 2 veya x 4 olmasını gerektirdiğinden, x 4 olur. Buradan g f fonksiyonunun tanım kümesi olarak [, 4] bulunur. c. (f f)(x) = f(f(x)) = f( x) = x = 4 x f f fonksiyonunun tanım kümesi [, ) aralığıdır. d. (g g)(x) = g(g(x)) = g( 2 x) = 2 2 x Bu ifadenin tanımlı olması için 2 x ya da x 2 ve 2 2 x olmalıdır. Son eşitsizlik 2 x 2 ya da 2 x 4 olmasına denktir. Bu da 2 x 2 demek olduğundan, g g nin tanım kümesi [ 2, 2] kapalı aralığıdır. Örnek 8. Verilen F (x) = cos 2 (x + 9) için, F = f g h olacak biçimde f, g ve h fonksiyonlarını bulunuz. Çözüm. F (x) = [cos(x + 9)] 2 olduğundan F fonksiyonu önce 9 ile toplama, sonra toplamın kosinüsünü alma ve en sonunda da kare alma demektir. Böylece olarak alırsak, elde ederiz. h(x) = x + 9 g(x) = cos x f(x) = x 2 (f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x + 9)) = f(cos(x + 9)) = [cos(x + 9)] 2 = F (x)

18 8 BÖLÜM. FONKSIYONLAR.7 Ters Fonksiyon Tanım. Aynı değeri iki kez almayan bir f fonksiyonuna, başka bir deyişle x x 2 için f(x ) f(x 2 ) koşuluna sağlayan bir fonksiyona, bire-bir fonksiyon denir. Şekil.23 de görüldüğü gibi yatay bir doğru f nin grafiğini birden fazla noktada kesiyorsa, f(x ) = f(x 2 ) olan farklı x ve x 2 olacağından f fonksiyonu bire-bir değildir. Şekil.23 Bu nedenle, bir fonksiyonun bire-bir olması için geometrik bir ölçüt verebiliriz. Yatay Doğru Ölçütü : Bir fonksiyonun bire-bir olması için gerek ve yeter koşul, hiç bir yatay doğrunun grafiği bir kezden fazla kesmemesidir. Tanım 2. f, tanım kümesi A, görüntü kümesi B olan bire-bir bir fonksiyon olsun. f fonksiyonunun tersi, f, tanım kümesi B, görüntü kümesi A olan ve B kümesindeki her y için ile tanımlanan fonksiyondur. f (y) = x f(x) = y f in tanım kümesi = f nin görüntü kümesi f in görüntü kümesi = f nin tanım kümesi. Örneğin, f(x) = x 3 fonksiyonun tersi f (x) = x /3 fonksiyonudur. Eğer y = x 3 ise, f (y) = f (x 3 ) = (x 3 ) /3 = x dir.

19 .7. TERS FONKSIYON 9 Şekil.24 Uyarı : f gösterimindeki bir kuvvet değildir. Başka bir deyişle, f ile /f(x) birbirine eşit değildir. Geleneksel olarak x ile bağımsız değişkeni gösterdiğimizden, eğer f ile çalışıyorsak tanımda x ve y nin yerlerini değiştirip f (x) = y f(y) = x (.2) yazarız.tanımda y yi ve (.2) de x i yerine koyarak, yok etme kuralları olarak bilinen f (f(x)) = x x A ve f(f (x)) = x x B formüllerini elde ederiz. Ters fonksiyon hesaplamaları aşağıdaki adımlarla yapılabilir.. y = f(x) yazınız. 2. Bu denklemde x i y cinsinden çözünüz (olanaklıysa). 3. f fonksiyonunu x in fonksiyonu olarak yazabilmek için x ve y nin yerlerini değiştiriniz. Bu da y = f (x) biçiminde bir ifade verir. Örnek 9. f(x) = x fonksiyonunun tersini bulunuz. Çözüm. Yukarıda verilen adımlara uyarak, önce y = x yazarız. Sonra, bu denklemi x için çözeriz: Son olarak, x ile y nin yerlerini değiştiririz: x 3 = y 2 x = 3 y 2 x = 3 y 2 y = 3 x 2 Dolayısıyla, verilen fonksiyonun tersi f (x) = 3 x 2 dir. f fonksiyonunun tersini bulma adımlarında x ile y nin yerlerini değiştirme adımı, bize f fonksiyonunun grafiğini f nin grafiğinden bulma yöntemini de verir. f(a) = b için yeterli ve gerekli koşul f (b) = a olduğundan, (a, b) noktasının f nin grafiği üzerinde olması için yeterli ve gerekli koşul (b, a) noktasının f in grafiği üzerinde olmasıdır. Diğer yandan (b, a) noktasının y = x doğrusuna göre yansımasıdır. f nin grafiğinin y = x doğrusuna göre yansıması, f fonksiyonunun grafiğini verir. Örnek. Aynı düzlemde f(x) = x fonksiyonunun ve tersinin grafiklerini çiziniz. Çözüm. Önce, y = x eğrisini (y 2 = x, ya da x = y 2 parabolünün üst yarı kolu) çizeriz. Daha sonra bunu y = x doğrusuna yansıtıp, f in grafiğini buluruz. Grafiği doğrulama amacıyla, f in ifadesinin, x > için f (x) = x 2 olduğuna dikkat ediniz. Dolayısıyla, f fonksiyonunun grafiği, y = x 2 parabolünün sağ yarı koludur, ve bu sonuç grafik uyumludur.

20 2 BÖLÜM. FONKSIYONLAR Şekil.25 Şekil.26 a > ve a için, f(x) = a x fonksiyonu artan veya azalan olduğundan, Yatay Doğru Ölçütü gereğince, bire-birdir. Bu nedenle, tersi f vardır. Bu fonksiyona a tabanına göre logaritma fonksiyonu adı verilir ve log a ile gösterilir. Ters fonksiyon için f (x) = y f(y) = x koşulunu kullanırsak, log a x = y a y = x elde ederiz. Bu nedenle, < x için log a x, a tabanının x sayısını vermesi için gerekli olan üssüdür. Örneğin 3 =, olduğundan, log. = 3 dür. Yok etme kuralları f(x) = a x ve f (x) = log a x özelinde kullanılırsa log a (a x ) = x, x R a log a x = x, x > elde edilir. log a x logaritma fonksiyonunun tanım kümesi (, ), görüntü kümesi ise R dir. Grafiği ise y = a x fonksiyonunun y = x doğrusuna göre yansımasıdır. Şekil.27, < a için bir örnektir. ( En önemli logaritma fonksiyonlarının tabanı a > dir.) < x için y = a x fonksiyonu çok artan bir fonksiyon olduğundan, < x değerleri için y = log a x fonksiyonu çok yavaş artan bir fonksiyondur. Şekil.28, a sayısının farklı değerleri için log a x fonksiyonlarının grfiklerini vermektedir. log a = olduğundan, tüm logaritma fonksiyonlarının grafikleri (, ) noktasından geçerler.

21 .7. TERS FONKSIYON 2 Şekil.27 Şekil.28 Logaritma fonksiyonunun birkaç özelliği. x, y > log a (xy) = log a x + log a y ( ) x 2. x, y > log a = log y a x log a y 3. x > log a (x r ) = r log a x (Burada r gerçel sayıdır.) e tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir ve özel bir göseterime sahiptir: Doğal logaritma fonksiyonunu tanımlayan özellikler biçimini alır. Özel olarak x = alırsak, log e x = ln x ln x = y e y = x ln(e x ) = x x R e ln x = x x > ln e = elde ederiz. Herhangi tabana göre logaritmayı aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. log a x = ln x ln a, a >, a Üstel fonksiyon y = e x in ve tersi doğal logaritma fonksiyonunun grafikleri Şekil.29 de gösterilmiştir. y = e x eğrisi, y eksenini eğimle kestiğinden, y = ln x eğrisi, x eksenini eğimle keser.

22 22 BÖLÜM. FONKSIYONLAR Şekil.29 Örnek. y = ln(x 2) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm. Şekil.29 te verilen y = ln x fonksiyonunun grafiğini sağ tarafa iki birim kaydırarak y = ln(x 2) grafiğini(şekil.3a), sonra da aşağıya bir birim kaydırarak y = ln(x 2) fonksiyonunun grafiğini (Şekil.3b) elde ederiz. (a) (b) Şekil.3 Artan bir fonksiyon olan ln x, < x değerleri için çok yavaş artar. ln x, x in tün pozitif kuvvet fonksiyonlarından daha yavaş büyür. Bu gerçeği görmek için y = ln x ve y = x /2 = x fonksiyonlarının grafikleri Şekil.3 de çizilmiştir. Başlangıçta iki fonksiyon da benzer davranış gösterirken, daha sonra kök fonksiyonunun logaritmadan daha hızlı büyüdüğü görülmektedir.

23 .7. TERS FONKSIYON 23 (a) (b) Şekil.3.

24 24 BÖLÜM. FONKSIYONLAR

25 Bölüm 2 Limit ve Türev Tanım 3. x değerlerini a sayısına yeteri kadar yakın (her iki yönden de) ancak a dan farklı alarak, f(x) değerini L sayısına istediğimiz kadar yaklaştırabiliyorsak, x değişkeni a sayısına yaklaşırken, f(x) in limiti L dir der ve lim x a f(x) = L yazarız. Matematiksel bir yazım kullanırsak, ile tanımlanmaktadır. ε >, δ >, < x a < δ f(x) L < ε (2.) lim x a f(x) = L limiti için diğer bir gösterim şekli x a iken f(x) L dir ve x değişkeni a sayısına yaklaşırken, f(x) değerleri L ye yaklaşır şeklinde okunur. Limit tanımındaki x a ifadesine dikkat ediniz. Bu, x değişkeni a sayısına yaklaşırken f(x) in limitini bulmak için, x = a değerini hiç düşünmediğimiz anlamına gelir. Aslında f(x) fonksiyonu, x = a noktasında tanımlı bile olmayabilir. Önemli olan, yalnızca f(x) fonksiyonunun a nın yakınında nasıl tanımlandığıdır. Şekil 2. Şekil 2. de üç fonksiyonun grafiği verilmiştir. Üçüncü şekilde f(a) tanımlı değildir ve ikinci şekilde de f(a) L dir. Ancak tüm durumlarda, a da ne olduğundan bağımsız olarak lim x a f(x) = L dir. 25

26 26 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV Örnek 2. Heaviside fonksiyonu H, H(t) = {, t <, t olarak tanımlanır. [Bu fonksiyon adını elektrik mühendisi Oliver Heaviside(85-925) den almıştır ve t = anında şalteri indirilen devredeki elektrik akımını ifade etmek için kullanılabilir.] Grafiği Şekil 2.2 de verilmiştir. Şekil 2.2 t değişkeni a soldan sağdan yaklaştığında H(t), a yaklaşır. t, a sağdan yaklaştığında, H(t) bu kez e yaklaşır. Bu nedenle t sıfıra yaklaşırken, H(t) nin yaklaştığı tek bir değer olmadığından lim x H(t) yoktur. Bir önceki örnekte H(t) değerinin, t, a sağdan yaklaşırken a, t nin a soldan yaklaşması durumunda e yaklaştığını gözledik. Bunu simgesel olarak lim H(t) = ve lim H(t) = t t + ile gösteririz. t sembolü t nin yalnızca dan küçük değerlerini düşündüğümüzü gösterir. Aynı şekilde t +, t nin yalnızca dan büyük değerlerini düşündüğümüzü gösterir. Tanım 4. x değişkeni a dan küçük olacak şekilde a ya yeterince yakın yakın alınarak, f(x) değerleri L sayısına istenildiği kadar yakın yapılabiliyorsa, x değişkeni a ya yaklaşırken f(x) in soldan limiti [veya x değişkeni a ya soldan yaklaşırken f(x) in limiti] L dir deriz ve lim f(x) = L x a yazarız. Benzer biçimde, x değişkeninin a dan büyük olması koşulunu getirirsek, x değişkeni a ya yaklaşırken f(x) in sağdan limiti L dir denir ve lim f(x) = L x a + yazarız. Dolayısıyla, x a + sembolü, yalnızca x > a değerlerini düşündüğümüz anlamına gelir. Teorem. lim x a f(x) = L lim f(x) = L ve lim x a + f(x) = L dir. x a

27 27 Şekil 2.3 Örnek 3. Bir g fonksiyonunun grafiği Şekil 2.4 de verilmiştir. Bunu kullanarak (eğer varsa) aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. a) lim g(x) b) lim g(x) c) lim g(x) x 2 x 2 + x 2 d) lim x 5 g(x) e) lim g(x) x 5 + f) lim g(x) x 5 Şekil 2.4 Çözüm. Grafikten x değişkeni 2 ye soldan yaklaşırken, g(x) in 3 e yaklaştığını, buna karşılık x değişkeni 2 ye sağdan yaklaşırken g(x) in e yaklaştığını görürüz. Dolayısıyla a) lim g(x) = 3 ve b) lim g(x) = olur. x 2 x 2 + c) Sağ ve sol limitler farklı olduğu için, lim x 2 g(x) olmadığı sonucuna varırız. Grafikten ayrıca olduğu görülmektedir. d) lim g(x) = 2 ve e) lim g(x) = 2 x 5 x 5 + f) Bu kez sağ ve sol limitler aynıdır ve dolayısıyla, lim x 2 g(x) = 2 elde ederiz. Buna rağmen g(5) 2 dir.

28 28 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV 2. Limit Alma Kuralları c sabit bir sayı ve lim x a f(x) ve lim x a g(x) limitleri varsa, Örnek 4.. lim x a [f(x) + g(x)] = lim x a f(x) + lim x a g(x) 2. lim x a [f(x) g(x)] = lim x a f(x) lim x a g(x) 3. lim x a [c.f(x)] = c. lim x a f(x) 4. lim x a [f(x).g(x)] = lim x a f(x). lim x a g(x) 5. Eğer; lim x a g(x) ise f(x) lim f(x) lim x a g(x) = x a dir. lim g(x) Limit kurallarını ve f ile g nin Şekil 2.5 de verilen grafiklerini kullanarak (varsa) aşağıdaki limitleri bulunuz. a) lim [f(x) + 5g(x)] x 2 b) lim x [f(x)g(x)] c) lim x 2 f(x) g(x) x a Şekil 2.5 Çözüm. a) f ve g nin grafiklerinden olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla lim [f(x) + 5g(x)] = x 2 lim f(x) = ve lim x 2 g(x) = x 2 lim f(x) + lim [5g(x)] x 2 x 2 = lim f(x) + 5 lim g(x) x 2 x 2 Kural ile Kural 3 ile = + 5( ) = 4 dür.

29 2.. LIMIT ALMA KURALLARI 29 b) lim x f(x) = 2 olduğunu görüyoruz. Ancak lim x g(x) limiti yoktur çünkü sağ ve sol limitler farklıdır: lim g(x) = 2 lim x g(x) = x + Dolayısıyla Kural 4 ü kullanamayız. Sol limit sağ limite eşit olmadığı için, verilen limit yoktur. c) Grafik yardımı ile lim f(x).4 ve lim g(x) = x 2 x 2 buluruz. Ancak bölenin limiti olduğundan, Kural 5 i kullanamayız. Pay sıfırdan farklı bir sayıya yaklaşırken, payda a yaklaştığından limiti yoktur. 6. n pozitif tamsayı olduğunda lim x a [f(x)] n = [lim x a f(x)] n dir. 7. lim x a c = c 8. lim x a x = a 9. n pozitif tamsayı olmak üzere lim x a x n = a n dir. Örnek 5.. n pozitif tamsayı olmak üzere lim x a n x = n a dır. (n çift ise, a > varsayarız.) Her adımı açıklayarak, aşağıdaki limiti bulunuz. lim x 5 (2x2 3x + 4) Çözüm. lim x 5 (2x2 3x + 4) = lim x 5 (2x 2 ) lim x 5 (3x) + lim x 5 4 (kural ve 2) = 2 lim x 5 x 2 3 lim x 5 x + lim x 5 4 (kural 3) = 2(5 2 ) 3(5) + 4 (kural 7, 8 ve 9) = 39 Ancak aşağıdaki örneklerin sergilediği gibi, doğrudan yerine koyma yöntemi ile tüm limit değerleri bulunamaz. Örnek 6. x 2 lim limitini bulunuz. x x Çözüm. f(x) = (x 2 )/(x ) olsun. f() değeri tanımlı olmadığı için limiti x = koyarak bulamayız. Paydanın limiti olduğu için Bölüm kuralını da kullanamayız. Bunun yerine cebir bilgimizi kullanmalıyız. x 2 x = (x )(x + ) x

30 3 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV olarak çarpanlara ayıralım. Buradan x in pay ve paydanın ortak çarpanı olduğunu görürüz. x değişkeni e giderken limit alındığında x olduğundan x dır. Dolayısı ile sadeleştirme yapabiliriz. Böylece limiti x 2 lim x x = lim x (x )(x + ) x = lim x (x + ) = + = 2 olarak buluruz. Örnek 7. (3 + h) 2 9 lim limitini bulunuz. h h Çözüm. F (h) = (3 + h)2 9 olarak tanımlayalım. F () tanımlı olmadığından, lim F (h) limitini h = değerini h h yerine koyarak hesaplayamayız. Fakat F (h) yi cebirsel olarak sadeleştirirsek, F (h) = (h2 + 6h + 9) 9 = h2 + 6h = 6 + h h h buluruz. (h değişkeni a yaklaşırken, yalnızca h değerlerini düşündüğümüzü hatırlayınız.) Dolayısıyla olur. (3 + h) 2 9 lim = lim(6 + h) = 6 h h h Örnek 8. lim t t limitini bulunuz. t 2 Çözüm. Paydanın limiti olduğundan Bölüm kuralını doğrudan kullanamayız. Buradaki cebirsel işlem, paydadaki kare kökten kurtulmaktır: lim t t t 2 = lim t t t t t = lim t (t 2 + 9) 9 t 2 ( t ) = lim t t 2 t 2 ( t ) = lim t t = lim (t 2 + 9) + 3 t = = 6 Bazı limitleri almak için en iyi yöntem önce sağ ve sol limitleri almaktır. Aşağıdaki teorem limitin varlığı için yeterli ve gerek koşulun sağ ve sol limitlerin varlığı ve eşitliği olduğunu ifade etmektedir.

31 2.. LIMIT ALMA KURALLARI 3 Teorem 2. lim f(x) = L için gerekli ve yeterli koşul x a lim x a x a f(x) = L = lim f(x) dir. + Tek yönlü (sağ ve sol) limitleri alırken Limit Kurallarının bu tür limitler için de geçerli olduğu gerçeğini kullanırız. Örnek 9. lim x = olduğunu gösteriniz. x Çözüm. Mutlak değer fonksiyonunun x = { x, x x, x < olarak tanımlandığını hatırlayınız. < x için x = x olduğundan, elde ederiz. x < için x = x dir ve dolayısıyla dir. Teorem gereğince lim x x =. lim x = lim x = x + x + lim x = lim x x ( x) = Şekil 2.6 Örnek 2. x lim limitinin olmadığını kanıtlayınız. x x Çözüm. x lim x + x = lim x x + x = lim = x + x lim x x = lim x x x = lim = x ( ) Sağ ve sol limitler farklı olduklarından, Teorem gereğince aranılan limit yoktur. f(x) = x /x fonksiyonunun grafiği Şekil 2.7 de verilmiştir ve yanıtımızı desteklemektedir.

32 32 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV Şekil 2.7 Teorem 3. x in a ya yakın (x = a dışında) değerleri için f(x) g(x) ise ve x değişkeni, a ya yaklaşırken f(x) ve g(x) in limitleri varsa lim f(x) lim g(x) olur. x a x a Teorem 4. x in a ya yakın (x = a dışında) değerleri için f(x) g(x) h(x) ve lim x a f(x) = lim x a h(x) = L ise lim g(x) = L x a dir. Şekil 2.8 Kimi zaman Sandviç Teoremi olarak da anılan Sıkıştırma Teoreminin anlamı Şekil 2.8 da açıklanmıştır. Bu teorem, g(x) fonksiyonu a yakınında f(x) ve h(x) arasında sıkışmışsa, ve a sayısında f ve h fonksiyonlarının limitleri var ve L ye eşitse, zorunlu olarak g fonksiyonunun da a daki limitinin L olduğunu söyler. Örnek 2. lim x x2 sin x =? Çözüm. Önce, lim sin limiti olmadığından, x x lim x x2 sin x = lim x x2 lim x sin x

33 2.2. SÜREKLILIK 33 eşitliğini kullanamayacağımıza dikkat edin. Bununla birlikte, sin x olduğundan, Şekil 2.9 de gösterildiği gibi x 2 x 2 sin x x2 elde ederiz. Şekil 2.9 lim x x2 = ve lim( x 2 ) = olduğunu biliyoruz. Sıkıştırma teoreminde x f(x) = x 2, g(x) = x 2 sin x ve h(x) = x2 alarak lim x x 2 sin x = buluruz. 2.2 Süreklilik Bazı örneklerde x değişkeni a ya yaklaşırken f fonksiyonunun limitinin fonksiyonun a noktasındaki değeri olarak hesaplanabildiğini fark etmiştik. Bu özelliğe sahip fonksiyonlara a noktasında süreklidir denir. Sürekliliğin matematiksel tanımının, bu kelimenin günlük anlamına oldukça yakın olduğunu ileride göreceğiz. (Sürekli bir olay, kesintiye ve ani değişikliğe uğramadan devam eder.) Tanım 5. f fonksiyonun a sayısındaki sürekliliği eşitliğini sağlamasıdır. lim f(x) = f(a) x a a noktasında sürekli olmayan bir f fonksiyonuna a noktasında süreksizdir denir. Tanıma göre, açıkça belirtilmemiş olsa da, bir fonksiyonun a noktasındaki sürekliliği aşağıdaki koşulların sağlanmasını gerektirmektedir:. f(a) tanımlıdır (a sayısı f nin tanım kümesindedir). 2. lim x a f(x) limiti vardır ve lim x a f(x) = f(a) dır. Geometrik olarak, bir aralıktaki her noktada sürekli olan bir fonksiyonu, grafiği kesintisiz bir fonksiyon olarak düşünebilirsiniz. Bu, kalemle grafiği takip ettiğinizde, kalemi kaldırmadan grafiği izleyebilmeniz demektir.

34 34 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV Şekil 2. Şekil 2. Örnek 22. Grafiği Şekil 2. de verilen fonksiyonun sürekli olmadığı noktaları bularak, nedenlerini açıklayınız. Çözüm. a = noktasında fonksiyonun grafiğinde bir kesinti olduğundan, fonksiyon bu noktada süreksiz görünmektedir. Bunu matematiksel olarak, f() değeri tanımsız olduğundan fonksiyonun noktasında süreksiz olduğu şeklinde açıklarız. Grafik a = 3 noktasında da kesintiye uğramaktadır. Ancak, buradaki süreksizliğin nedeni farklıdır. Burada f(3) tanımlıdır. Ancak, sağ ve sol limitler farklı olduklarından lim x 3 f(x) limiti yoktur ve bundan dolayı f, 3 noktasında sürekli değildir. a = 5 noktası fonksiyon için nasıl bir noktadır? Bu noktada f(5) tanımlıdır ve lim x 5 f(x) limiti vardır (sağ ve sol limitler eşittir). Ancak lim x 5 f(x) f(5) olduğundan, f fonksiyonu 5 noktasında sürekli değildir. Örnek 23. Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olmadığı noktaları bulunuz.. f(x) = x2 x 2 2. f(x) = x 2, x x 2, x = x 2 x 2, x 2 3. f(x) = x 2 4. f(x) = [ x ], x = 2

35 2.2. SÜREKLILIK 35 Çözüm.. f(x) = x2 x 2 x 2 f(2) tanımlı olmadığından, f fonksiyonu 2 noktasında sürekli değildir. 2. f(x) = x 2, x, x = Burada f() = tanımlıdır. Ancak lim f(x) = lim limit yoktur. Bu nedenle, f fonksiyonu noktasında x x2 sürekili değildir. x 2 x 2, x 2 3. f(x) = x 2, x = 2 Bu örnekte f(2) = tanımlıdır ve vardır. x x 2 x 2 (x 2)(x + ) lim f(x) = lim = lim = lim(x + ) = 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 lim f(x) f(2) x 2 olduğundan, f fonksiyonu 2 noktasında sürekli değildir. 4. Tam değer fonksiyonu f(x) = [ x ] tam sayılarda süreksizdir çünkü n bir tam sayı ise, lim x n [ x ] limiti yoktur. Şekil 2.2

36 36 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV Şekillerde, örnekte çalışılan fonksiyonların grafiklerini vermektedir. Örneklerin tümünde grafik bir kalem ile izlenirse, var olan bir delik veya kesinti veya atlama nedeniyle kalem kaldırılmadan grafiğin çizilmesi olası değildir. (a) ve (c) örneklerindeki süreksizliklere giderilebilir süreksizlikler denir. Çünkü yalnız 2 noktasında f fonksiyonunu yeniden tanımlayarak süreksizliği giderebiliriz. [g(x) = x + fonksiyonu süreklidir.] (b) deki süreksizlik türüne sonsuz süreksizlik denir. (d) deki süreksizlik türüne ise, fonksiyon bir değerden diğerine sıçradığından, sıçrama tipi süreksizlik adı verilir. Tanım 6. f fonksiyonunun. a da sağdan sürekli olması : lim f(x) = f(a) eşitliğini sağlaması; x a + 2. a da soldan sürekli olması ise lim f(x) = f(a) eşitliğini sağlaması olarak tanımlanır. x a Bir aralığın tüm noktalarında sürekli olan fonksiyona o aralıkta süreklidir denir. (Fonksiyon, aralığın uç noktalarının yalnızca bir tarafında tanımlanmış ise bu noktalarda süreklilik, sağdan veya soldan süreklilik anlamındadır.) Teorem 5. c bir sabit, f ve g fonksiyonları a sayısında sürekli fonksiyonlarsa, aşağıdaki fonksiyonlar da a noktasında süreklidir: f. f + g 2. f g 3. cf 4. fg 5. g, g(a) ise Örnek 24. Her polinom gerçel sayıların tümünde, R = (, ) da süreklidir. Her rasyonel (kesirli) fonksiyon tanım kümesinde süreklidir. Örnek 25. Bir kürenin hacminin, yarıçapına göre sürekli bir biçimde değiştiğini söyleyebiliriz. Bunun nedeni V (r) = 4 3 πr3 ün yarıçap r nin bir polinomu olmasıdır. Benzer biçimde, dik olarak 5 ft/sn hızla havaya fırlatılan bir topun t saniye sonraki yüksekliğini veren h = 5t 6t 2 fonksiyonu da, polinom olduğundan, süreklidir. Dolayısıyla topun yüksekliği zamana göre sürekli bir biçimde değişir. Örnek 26. x 3 + 2x 2 lim limitini bulunuz.. x 2 5 3x Çözüm. f(x) = x3 + 2x 2 fonksiyonu rasyonel bir fonksiyondur ve teorem gereğince, tanım kümesi olan {x 5 3x R x 5 3 } kümesinde süreklidir. Bu nedenle x 3 + 2x 2 lim = lim x 2 5 3x f(x) = f( 2) = ( 2)3 + 2( 2) 2 = x 2 5 3( 2) dir.

37 2.2. SÜREKLILIK 37 Not: f fonksiyonunun grafiği f nin grafiğinin y = x doğrusuna göre yansıması olduğundan, f sürekli bir fonksiyonsa, f fonksiyonu da süreklidir. (f fonksiyonunun grafiğinde kesinti yoksa, y = x doğrusuna göre yansımasında da kesinti yoktur.) Teorem 6. Aşağıdaki fonksiyonlar tanım kümelerinde sürekli fonksiyonlardır: Polinomlar Trigonometrik fonksiyonlar Üstel fonksiyonlar Kök fonksiyonları Rasyonel fonksiyonlar Ters trigonometrik fonksiyonlar Logaritmik fonksiyonlar Örnek 27. lim x π sin x limitini bulunuz. 2 + cos x Çözüm. y = sin x fonksiyonu, teoremden dolayı süreklidir. Paydadaki y = 2 + cos x fonksiyonu, iki sürekli fonksiyonun toplamı olduğundan, süreklidir. Bu fonksiyon hiç bir zaman değildir çünkü her x için cos x olduğundan, her yerde 2+cos x > dır. Böylece, f(x) = sin x fonksiyonu her yerde süreklidir. Dolayısıyla, sürekli fonksiyonun tanımından, 2 + cos x sin x lim x π 2 + cos x = lim f(x) = f(π) = sin π x π 2 + cos π = 2 = olur. Teorem 7. f fonksiyonu b de sürekli ve lim x a g(x) = b ise, lim f(g(x)) = f(b) x a dir. Başka bir deyişle, dir. ( ) lim f(g(x)) = f lim g(x) x a x a Örnek 28. ( ) x lim arcsin limitini bulunuz. x x Çözüm. arcsin sürekli bir fonksiyon olduğundan, teoremi uygulayabiliriz: ( ) ( x lim arcsin ) x = arcsin lim = arcsin x x x x ( lim x ( ) = arcsin lim x + = arcsin x 2 = π 6 ) x ( x)( + x)

38 38 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV Teorem 8. g fonksiyonu a da, f fonsiyonu da g(a) sürekli ise, (f g)(x) = f(g(x)) olarak verilen f g bileşke fonksiyonu a noktasında süreklidir. Örnek 29. Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olduğu yerleri bulunuz:. h(x) = sin(x 2 ) 2. F (x) = ln( + cos x) Çözüm.. g(x) = x 2 ve f(x) = sin x olmak üzere h(x) = f(g(x)) dir. Bir polinom olduğu için, g fonksiyonu R de süreklidir. f fonksiyonu da her yerde süreklidir. Böylece, teoremden, h = f g fonksiyonu R de süreklidir. 2. Teoremden, f(x) = ln x ve (y = ve y = cos x her yerde sürekli olduklarından) g(x) = + cos x süreklidir. Dolayısıyla, teoremden, F (x) = f(g(x)) fonksiyonu tanımlı olduğu her yerde süreklidir. ln(+cos x) fonksiyonunun tanımlı olması için + cos x > olmalıdır. Dolayısıyla, cos x = olduğu zaman tanımlı değildir, ve bu durum x = ±π, ±3π,... olduğunda gerçekleşir. Böylece, F fonksiyonu π nin tek katlarında süreksizdir ve bu değerlerin arasındaki aralıklarda süreklidir. Şekil 2.3 Teorem 9. f fonksiyonu kapalı [a, b] aralığında sürekli, N sayısı f(a) ile f(b) arasında herhangi bir sayı olsun. (a, b) aralığında, f(c) = N eşitliğini sağlayan bir c sayısı vardır. Ara değer teoremi, sürekli bir fonksiyonun f(a) ile f(b) arasındaki her değeri aldığını söyler. Bu özellik, Şekil 2.4 de gösterilmiştir. N değeri [(a) da olduğu gibi] bir kez veya [(b) de olduğu gibi] bir kaç kez alınabilir. Özel olarak, Ara değer teoreminin bir uygulaması, aşağıdaki örnekte olduğu gibi, denklemlerin köklerinin yerlerinin belirlenmesidir. Örnek 3. 4x 3 6x 2 + 3x 2 = denkleminin ile 2 arasında bir kökü olduğunu gösteriniz.

39 2.3. SONSUZLUK İÇEREN LIMITLER 39 Şekil 2.4 Çözüm. f(x) = 4x 3 6x 2 + 3x 2 olsun. Verilen denklemin bir çözümünü, diğer bir deyişle, ile 2 arasında f(c) = olacak şekilde bir c sayısı arıyoruz. Dolayısıyla, teoremde a =, b = 2 ve N = alalım. f() = = < ve f(2) = = 2 > ve böylelikle f() < < f(2) elde ederiz. Bu, N = sayısının f() ile f(2) arasında olduğunu verir. f fonksiyonu bir polinom olduğundan her yerde süreklidir. Dolayısıyla, ara değer teoremi ile ve 2 arasındaki bir c sayısı için f(c) = olmalıdır. Bu da verilen denklemin ile 2 arasında bir kökü olması demektir. 2.3 Sonsuzluk İçeren Limitler Şekil 2.5 y = /x 2 fonksiyonunun değerler tablosunu ve şekildeki grafiğini inceleyerek lim x limitinin olmadığı, ve x i a yeterince yakın alarak, /x 2 değerlerinin istenildiği kadar büyük yapılabileceği sonucuna varabiliriz. Dolayısıyla f(x) in değerleri sonlu bir sayıya yaklaşmaz ve lim(/x 2 ) limiti yoktur. Bu tür davranışı x betimlemek için lim x x 2 x 2 = gösterimini kullanırız. Bu işaretini bir sayı olarak düşündüğümüz anlamına gelmediği gibi, limitin var olduğu anlamına da gelmez. Bu yalnızca limitin olmamasının nedeninin ifadesidir: x değişkeni a yeterince yakın alınarak, /x 2 istenildiği kadar büyütülebilir. Not: Genişletilmiş reel sayılar kümesi ve özellikleri derste detaylı bir şekilde incelenecektir. Genellikle, x değişkeni a ya yaklaşırken f(x) in değerlerinin giderek büyüdüğünü (veya sınırsız olarak arttığını ) göstermek için, simgesel olarak lim x a f(x) =

40 4 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV yazarız. lim x a f(x) = gösterimi, x değişkeni a ya yeterince yakın (sağından veya solundan) ama a dan farklı alınarak, f(x) değerlerinin istenildiği kadar büyük yapılabilineceği anlamına gelir. Şekil 2.6 lim f(x) = gösterimi x değişkeni a ya yaklaşırken f(x) in limiti eksi sonsuz ya da x değişkeni a ya x a yaklaşırken, f(x) sınırsız olarak azalır olarak okunabilir. Şekil 2.7 Örnek olarak lim ( x ) x 2 = verilebilir. Benzer tanımlar x a gösteriminin yalnız a dan küçük x değerlerini ve benzer biçimde x a + gösteriminin yalnız x > a değerlerini düşündüğümüz anlamına geldiği anımsanarak tek yönlü limitler için de verilebilir. lim f(x) = x a lim f(x) = x a + lim f(x) = lim x a f(x) = x a + Tanım 7. Aşağıdakilerin en az birinin doğru olması durumunda, x = a doğrusuna, y = f(x) eğrisinin düşey asimptotu denir. lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = x a x a x a + lim f(x) = lim x a f(x) = lim x a f(x) = x a +

41 2.3. SONSUZLUK İÇEREN LIMITLER 4 Şekil 2.8 Şekil 2.9 Örnek 3. lim x 3 + 2x ve lim x 3 x 3 2x limitlerini bulunuz. x 3 Çözüm. x in değeri, 3 ten büyük ve 3 e yakın ise, payda x 3 küçük ve pozitif bir sayı ve pay 2x de 6 ya yakın olacağından, 2x/(x 3) oranı büyük bir pozitif sayı olacaktır. Buradan sezgisel olarak lim x 3 + 2x x 3 = olduğunu görürüz. Benzer biçimde, x in 3 ten küçük ve 3 e yakın değerleri için x 3 negatif ve küçük bir sayıdır, ama 2x yine pozitif bir sayıdır(6 ya yakın). Dolayısıyla 2x/(x 3) sayısal değeri büyük negatif bir sayı olur. Böylece lim x 3 2x x 3 = elde ederiz. y = 2x/(x 3) eğrisinin grafiği Şekil 2.2 verilmiştir. x = 3 düşey bir asimptotdur. Tanıdık y = tan x ve y = ln x fonksiyonlarının grafiklerinde de düşey asimptotlar vardır. Şekil 2.2 bakarak olduğunu görürüz. Aynı zamanda, Şekil 2.2 de lim ln x = x + lim tan x = + x (π/2)

42 42 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV Şekil 2.2 olduğu görülür. Aslında, n tamsayı olmak üzere x = (2n + )π/2 doğrularının herbiri y = tan x eğrisinin düşey asimptotudur. Şekil 2.2 f fonksiyonu (, ) aralığında tanımlı olsun. lim f(x) = L x ifadesi, x in değeri yeterince büyük seçilerek, f(x) değerinin L ye istenildiği kadar yakın yapılabileceği anlamını taşır. Tanımın geometrik açıklaması Şekil 2.22 verilmiştir. Bir f fonksiyonunun (yatay asimptot denilen) y = L doğrusuna yaklaşmasının bir çok yolu olduğuna dikkat ediniz. Şekil 2.22

43 2.3. SONSUZLUK İÇEREN LIMITLER 43 Örnek 32. f(x) = x2 x 2 olmak üzere; + lim f(x) = x Şekil 2.23 e dönersek, x in sayısal olarak büyük negatif değerleri için f(x) değerlerinin e yaklaştığını görürüz. x i negatif sayılardan sınırsız olarak küçülterek, f(x) değerini e istediğimiz kadar yakın yapabiliriz. Bu, x 2 lim x x 2 + = olarak ifade edilir. Genel olarak, Şekil 2.24 da görüldüğü gibi, Şekil 2.23 lim f(x) = L x gösterimi, x negatif sayılardan yeteri kadar küçülterek, f(x) değerlerinin L saysına istenildiği kadar yakın yapılabileceğini ifade eder. Burada da bir sayı değildir, ancak sıklıkla L dir olarak okunur. Tanım 8. Eğer lim denir. x f(x) = L veya lim Şekil 2.24 lim f(x) = L ifadesi, x eksi sonsuza giderken, f(x) in limiti x f(x) = L ise, y = L doğrusuna y = f(x) eğrisinin yatay asimptotu x Örnek 33. x 2 lim x x 2 = olduğundan y = doğrusu, Şekil 2.23 deki eğrinin yatay asimptotudur. +

44 44 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV Örnek 34. İki yatay asimptotu olan bir eğri örneği y = tan x dir. lim x tan x = π 2 lim x tan x = π 2 olduğundan, y = π/2 ve y = π/2 doğrularının her ikisi de yatay asimptotlardır. (Bu, x = ±π/2 doğrularının tanjant eğrisi grafiğinin düşey asimptotu olanlarındandır.) (2.2) Şekil 2.25 Örnek 35. lim x x ve lim limitlerini bulunuz. x x Çözüm. x büyükken /x in küçük olduğunu gözlemleyiniz. Örneğin, =,. =, =,.. dir. Gerçekten x i yeterince büyük seçerek /x i a istediğimiz kadar yakın yapabiliriz. Tanım gereğince lim x x = elde ederiz. Benzer şekilde x in negatif büyük değerleri için /x negatif ve küçük olur. Böylece lim x x = buluruz. Buradan, y = doğrusunun (x-ekseni) y = /x eğrisi için yatay asimptot olduğu sonucuna ulaşırız.(eğri şekilde verilen hiperboldür.)

45 2.3. SONSUZLUK İÇEREN LIMITLER 45 Şekil 2.26 Daha önce verilen Limit Kuralları nın çoğu sonsuzdaki limitlerde de geçerlidir. Verilen Limit Kuralları nın (Kural 9 ve dışında) x a yerine x veya x konduğunda da geçerli olduğu kanıtlanabilir. Özel olarak, n pozitif bir tamsayı olmak üzere lim x x n =, lim x x n = dır. Örnek 36. lim x 3x 2 x 2 5x 2 limitini bulunuz. + 4x + Çözüm. Kesirli bir fonksiyonun sonsuzdaki limitini bulmak için önce pay ve paydayı, paydadaki x in en büyük kuvvetine böleriz. (Yalnızca x in büyük değerleri ile ilgilendiğimizden, x varsayabiliriz.) Bu örnekte paydadaki x in en büyük kuvveti x 2 olduğundan limit kurallarından lim x 3x 2 x 2 5x 2 + 4x + = lim x = 3x 2 x 2 x 2 5x 2 +4x+ x 2 lim (3 x x 2 ) x 2 lim (5 + 4 x x + ) = x 2 3 x = lim 2 x 2 x x + x 2 x 2 lim x lim 3 lim x x lim lim x x x lim x x 2 = = 3 5 x 2 buluruz. Benzer bir hesaplama x iken alınan limitin yine 3/5 olduğunu verir. Şekil 2.27 verilen kesirli fonksiyonun y = 3/5 yatay asimptotuna yaklaşmasını göstererk bu hesaplamaların sonucunu sergilemektedir.

46 46 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV Şekil 2.27 Örnek 37. y = (x-ekseni), y = e x doğal üstel fonksiyonunun grafiği için yatay bir asimptottur. lim x ex =. (2.3) Örnek 38. lim x e/x limitini bulunuz. Çözüm. t = /x değişkeni için, x iken t olduğunu biliyoruz. Böylece (2.3) den lim x e/x = lim t et = olur. Örnek 39. lim sin x limitini bulunuz. x Çözüm. x artarken, sin x değerleri ile arasında sonsuz kez salınır. Bu nedenle lim sin x limiti yoktur. x lim f(x) = x

47 2.3. SONSUZLUK İÇEREN LIMITLER 47 gösterimi, x büyürken f(x) değerlerinin de büyüdüğünü ifade eder. Aşağıdaki gösterimlerin de anlamları benzerdir: lim f(x) = x lim f(x) = lim x f(x) = x Şekil 2.28 lim x ex = lim x x3 = x iken y = e x, y = x 3 den çok daha hızlı büyümektedir. lim x x3 = Şekil 2.29 Örnek 4. lim x (x2 x) limitini bulunuz. Çözüm. lim x (x2 x) = lim x x2 lim x = x yazılamayacağına dikkat ediniz. Limit Kuralları bir sayı olmadığından sonsuz limitlerde kullanılmazlar. ( tanımlanamaz.) Ancak hem x hem de x sınırsız olarak büyüdüğünden yazabiliriz. lim x (x2 x) = lim x(x ) = x Örnek 4. x 2 + x lim limitini bulunuz. x 3 x

48 48 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV Çözüm. Pay ve paydayı(paydadaki polinomun en yüksek kuvveti olan) x ile bölerek, x iken x + ve 3/x olduğundan, buluruz. x 2 + x lim x 3 x = lim x + x 3 x = 2.4 Teğetler, Hızlar ve Diğer Değişim Hızları 2.4. Teğet Doğrusu Problemi Bir C eğrisi, y = f(x) denklemi ile verilmiş olsun. C eğrisinin P (a, f(a)) noktasındaki teğetini bulmak istersek, P nin yakınındaki x a, koşulunu sağlayan bir Q(x, f(x)) noktasını alarak P Q kiriş doğrusunun eğimini hesaplarız: Şekil 2.3 m P Q = f(x) f(a) x a x değeri a ya yaklaştıkça, Q noktası da eğri üzerinden P noktasına yaklaşacaktır. Eğer m P Q bir m sayısına yaklaşırsa, t teğetini P den geçen ve eğimi m olan doğru olarak tanımlarız. (BU, teğet doğrusunun, Q noktası ve P ye yaklaşırken P Q kiriş doğrularının limit durumu olduğunu söylemek demektir.) Şekil 2.3

49 2.4. TEĞETLER, HIZLAR VE DIĞER DEĞIŞIM HIZLARI 49 Tanım 9. Eğer aşağıdaki limit varsa, y = f(x) eğrisinin P (a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusu, P (a, f(a)) noktasından geçen ve eğimi f(x) f(a) m = lim x a x a olan doğrudur. Örnek 42. y = x 2 parabolünün P (, ) noktasındaki teğet doğrusunun denklemini bulunuz. Çözüm. a = ve f(x) = x 2 olduğundan, eğim m = f(x) f() x 2 lim = lim x x x x = lim (x )(x + ) x x = lim(x + ) = + = 2 x dir. Doğru denkleminin nokta-eğim biçimini kullanarak, (, ) noktasındaki teğet doğrusunun denkleminin y = 2(x ) ya da y = 2x olduğunu buluruz. Bir eğrinin bir noktasındaki teğetinin eğimini, eğrinin o noktadaki eğimi olarak da adlandırırız. Bunun ardındaki fikir, eğrinin üzerindeki noktaya yeterince odaklanıldığında eğrinin adeta bir doğru gibi görünmesidir. Şekil 2.32 Şekillerde bu işlemi, y = x 2 eğrisi için göstermektedir. Ne kadar çok odaklanılırsa, parabol o denli bir doğruya benzemektedir. Başka bir deyişle, eğri adeta teğet doğrusundan ayırt edilemez hale gelmektedir. Teğet doğrusunun eğimi için, bazı durumlarda kullanımı daha kolay olan bir başka ifade vardır. h = x a olsun, o zaman olur. Dolayısıyla, P Q kiriş doğrusunun eğimi x = a + h m P Q = f(a + h) f(a) h olur. (Şekilde, h > durumu gözterilmiştir ve Q, P nin sağındadır. h < durumunda Q, P nin solunda olmalıdır.)

50 5 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV Şekil 2.33 x, a ya yaklaştıkça, h nin de a yaklaştığına dikkat ediniz (çünkü h = x a dır). Dolayısıyla, tanımdaki teğet doğrusunun eğiminin ifadesi f(a + h) f(a) m = lim (2.4) h h biçimine dönüşür. Örnek 43. y = 3/x hiprbolünün (3, ) noktasındaki teğet doğrusunun denklemini bulunuz. Çözüm. f(x) = 3/x olsun. O halde (3, ) noktasındaki teğetin eğimi f(3 + h) f(3) m = lim h h = lim h = lim h h h(3 + h) = lim h 3 + h = 3 olur. Dolayısıyla, (3, ) noktasındaki teğetin bir denklemi olur ve y = (x 3) 3 x + 3y 6 = biçiminde sadeleşir. Hiperbol ve teğeti şekilde gösterilmektedir. 3 3+h = lim h h 3 (3+h) 3+h h Şekil 2.34

51 2.4. TEĞETLER, HIZLAR VE DIĞER DEĞIŞIM HIZLARI Anlık Hız Problemi s = f(t), hareket denklemi uyarınca bir doğru boyunca hareket eden bir cisim düşünelim. Burada s, cismin başlangıç noktasından başlayarak (yönü de dikkate alan) yer değiştirmesini göstersin. Hareketi tanımlayan f fonksiyonuna cismin konum fonksiyonu denir. Şekil 2.35 t = a ile t = a + h arasındaki zaman aralığında konumdaki değişim, f(a + h) f(a) olur. Bu zaman aralığındaki ortalama hız ortalama hız = yer değiştirme zaman ile ifade edilir ve şekildeki P Q kiriş doğrusunun eğimi ile aynıdır. = f(a + h) f(a) h Şekil 2.36 Şimdi ortalama hızları, daha da kısa [a, a + h] zaman aralıklarında hesapladığımızı varsayalım. Başka bir deyişle, h sıfıra yaklaşsın. t = a anındaki v(a) hızını (ya da anlık hızı) bu ortalama hızların limiti olarak tanımlarız: v(a) = lim h f(a + h) f(a) h (2.5) Bu, t = a anındaki hızın, P deki teğet doğrusunun eğimine eşit olduğu anlamına gelir.

52 52 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV 2.5 Türev Daha önce y = f(x) denklemi ile ifade edilen bir eğrinin x = a noktasındaki teğetinin eğimini m = lim h f(a + h) f(a) h olarak tanımladık. Aynı zamanda konum fonksiyonu s = f(t) ile verilen bir cismin t = a anındaki hızının f(a + h) f(a) v(a) = lim h h olduğunu gördük. Aslında herhangi bir bilim ya da mühendislik dalında ne zaman bir değişim hızı hesaplasak yukarıdaki gibi limitler ortaya çıkar. Bu biçimdeki limitlerle çok yaygın olarak karşılaşıldığından, bunlar için özel bir isim ve gösterim kullanılır. Tanım. Eğer varsa, aşağıdaki limite, f fonksiyonunun a sayısındaki türevi denir ve f (a) ile gösterilir: f (a) = lim h f(a + h) f(a) h (2.6) Eğer x = a + h yazarsak, h = x a olur ve h nin a yaklaşması için gerekli ve yeter koşul x in a ya yaklaşmasıdır. Dolayısıyla, teğet doğrularını bulurken gördüğümüz gibi, türevin tanımını ifade etmenin eşdeğer bir yolu şudur: f f(x) f(a) (a) = lim (2.7) x a x a Örnek 44. f(x) = x 2 8x + 9 fonksiyonunun a noktasındaki türevini bulunuz. Çözüm. Tanımdan, f f(a + h) f(a) [(a + h) 2 8(a + h) + 9] [a 2 8a + 9] (a) = lim = lim h h h h = lim h a 2 + 2ah + h 2 8a 8h + 9 a 2 + 8a 9 h 2ah + h 2 8h = lim = lim(2a + h 8) = 2a 8 h h h Önceki bölümde bir f fonksiyonunun sabit bir a sayısındaki türevi üzerinde durduk: f f(a + h) f(a) (a) = lim (2.8) h h Burada bakış açımızı değiştirelim ve a nın değişken olduğunu varsayalım. Denklem 2.8 de, a nın yerine bir x değişkeni koyarsak, f f(x + h) f(x) (x) = lim (2.9) h h elde ederiz. Bu limitin var olduğu her x sayısına bir f (x) sayısı karşıgelir. Dolayısıyla, f f nin türevi olarak adlandırılan ve denklem 2.9 ile tanımlanan yeni bir fonksiyon olarak ele alınabilir. x deki f (x) değerinin, geometrik olarak f nin grafiğinin (x, f(x)) noktasındaki teğet doğrusunun eğimi olarak yorumlanabileceğini biliyoruz. f fonksiyonu f nin türevi olarak adlandırılır çünkü f den denklem 2.9 deki limit işlemi ile türetilmiştir.

53 2.5. TÜREV 53 Örnek 45. f(x) = x 3 x ise, f (x) için bir formül bulunuz. Çözüm. Türevi hesaplamak için denklem 2.9 yi kullandığımız zaman, h nin değişken olduğunu ve limit hesabı yapılırken x in sabit olarak değerlendirildiğini hatırlamalıyız. f (x) f(x + h) f(x) [(x + h) 3 (x + h)] [x 3 x] = lim = lim h h h h = lim h x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 x h x 3 + x h 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 h = lim = lim(3x 2 + 3xh + h 2 ) = 3x 2 h h h Örnek 46. f(x) = x ise, f türevini bulunuz. f nün tanım kümesini bulunuz. Çözüm. f (x) f(x + h) f(x) x + h x = lim = lim h h h h = lim h x + h x h x + h + x x + h + x (x + h) x = lim h h( x + h + x) = = x + x 2 x f (x) = 2 x x > ise, f (x) vardır, bu nedenle f nün tanım kümesi (, ) olur. Bu küme, f nin tanım kümesi olan [, ) kümesinden küçüktür. Bağımsız değişkenin x, bağımlı değişkenin y olduğu geleneksel y = f(x) gösterimini kullanırsak, türev için kullanılan bazı yaygın gösterimler aşağıdaki gibidir. f (x) = y = dy dx = df dx = d f(x) = Df(x) dx D ve d/dx sembolleri türev alma işlemini ifade ettiğinden türev alma operatörleri olarak adlandırılır. Leibniz tarafından ortaya konulan dy/dx sembolü (şimdilik) bir oran olarak değerlendirilmemelidir; yalnızca f (x) ile eşanlamlıdır. Buna karşın, özellikle değişim gösterimi ile birlikte kullanıldığında çok yararlı ve anlamlı bir gösterimdir. Türevin tanımını Leibniz gösterimi ile, dy dx = lim y x x şeklinde yazabiliriz. dy/dx türevinin bir a sayısındaki değerini, Leibniz gösterimi ile, dy dx ya da dy ] x=a dx olarak ifade ederiz ve bu gösterim ile f (a) eşanlamlıdır. x=a

54 54 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV Tanım. Eğer f (a) varsa, f fonksiyonuna a da türevlenebilirdir denir. Eğer f bir (a, b) [ya da (a, ) ya da (, a) ya da (, )] açık aralığındaki her sayıda türevlenebilirse, f fonksiyonu (a, b) açık aralığında türevlenebilirdir denir. Örnek 47. f(x) = x fonksiyonu nerede türevlenebilirdir? Çözüm. Eğer x > ise, x = x olur ve h yi, x + h > koşulunu sağlayacak kadar küçük seçebiliriz ve bu nedenle x + h = x + h olur. Dolayısıyla x > için f (x) x + h x (x + h) x h = lim = lim = lim h h h h h h = lim = h elde ederiz ve bu nedenle x > için f türevlenebilirdir. Aynı şekilde, eğer x < ise, x = x olur ve h yi, x + h < koşulunu sağlayacak kadar küçük seçebiliriz. ve bu nedenle x + h < ve dolayısıyla x + h = (x + h) olur. Dolayısıyla, x < için f (x) x + h x (x + h) ( x) h = lim = lim = lim h h h h h h = lim = h elde ederiz ve bu yüzden x < için f türevlenebilirdir. x = için şunu incelemeliyiz; f () f( + h) f() + h h = lim = lim = lim h h h h h h (limit var ise) Sağ ve sol limitleri ayrı ayrı hesaplayalım: ve + h h lim = lim h + h h + h = lim h h + h = lim = h + + h h lim = lim h h h h = lim h h h = lim =. h ( ) Bu limitler farklı olduğundan, f () yoktur. Dolayısıyla f, dışındaki her noktada türevlenebilirdir. f nün formülünü f (x) = {, x > ise, x < ise olarak verebiliriz ve grafiği Şekil(b) deki gibidir. f () ın var olmaması gerçeği, geometrik olarak y = x in (, ) noktasında teğet doğrusunun olmaması olgusunda yansıtılmaktadır. (Bkz. Şekil(a).) Süreklilik ve türevlenebilirliğin her ikisi de, bir fonksiyon için sahip olması istenilir özelliklerdir. Aşağıdaki teorem bu özelliklerin nasıl ilişkili olduklarını göstermektedir. Teorem. Eğer f, a sayısında türevlenebilirse f, a sayısında süreklidir.

55 2.5. TÜREV 55 Şekil 2.37 Not: Teoremin tersi yanlıştır; bir başka deyişle, sürekli fakat türevlenebilir olmayan fonksiyonlar vardır. Örneğin, f(x) = x fonksiyonu, lim f(x) = lim x = = f() x x olduğundan da süreklidir. Fakat, bir önceki örnekte f nin da türevlenebilir olmadığını gösterdik. Eğer f fonksiyonunun grafiğinde köşe veya kırılma varsa, f nin grafiğinin o noktada teğeti yoktur ve f, o noktada türevlenebilir değildir. (f (a) değerini hesaplamaya çalıştığımızda, sağ ve sol limitlerinin farklı olduğunu görürüz.) En son verdiğimiz teorem, bir fonksiyonun türevi olmamasının bir başka yolunu verir. Eğer f, a sayısında sürekli değilse, f nin a da türevlenebilir olmadığını söyler. Bu nedenle, f süreksiz olduğu noktada (örneğin, sıçrama biçimindeki süreksizlerde) türevlenebilir değildir. Üçüncü bir olasılık ise, eğrinin x = a da düşey bir teğet doğrusuna sahip olmasıdır. Bir başka ifadeyle, f a da sürekli ve lim f (x) = x a olmalıdır. Bu, x a ya yaklaştıkça, teğet doğrularının dikleşmesi demektir. Şekil2.38 ele aldığımız üç olasılığı da göstermektedir. Şekil 2.38 f türevlenebilir bir fonksiyonsa, f de bir fonksiyondur, dolayısıyla f nün kendisininde (f ) = f ile gösterilen bir türevi olabilir. Bu yeni f fonksiyonu, f nin ikinci türevi olarak adlandırılır, çünkü f nin türevinin türevidir. Leibniz gösterimini kullanarak, y = f(x) fonksiyonunun ikinci türevini aşağıdaki gibi yazarız. d dx ( ) dy = d2 y dx dx 2 Örnek 48. f(x) = x 3 x ise, f (x) i bulunuz.

56 56 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV Çözüm. Daha önce, f (x) = 3x 2 olduğunu bulmuştuk. Dolayısıyla, ikinci türev f (x) f (x + h) f (x) [3(x + h) 2 ] [3x 2 ] = lim = lim h h h h 3x 2 + 6xh + 3h 2 3x 2 + = lim = lim(6x + 3h) = 6x h h h Genel olarak, ikinci türevin anlamınıdeğişim hızının değişim hızı olarak açıklayabiliriz. Bunun en bilinen örneği aşağıda tanımlayacağımız ivme dir. Doğru boyunca hareket eden bir cismin konum fonksiyonu s = f(t) ise, bu fonksiyonun birinci türevinin, cismin hızını zamanın bir fonksiyonu olarak gösterdiğini biliyoruz: v(t) = f (t) = df dt Hızdaki zamana göre anlık değişim hızı olan a(t), nesnenin ivmesi olarak adlandırılır. Öyleyse, ivme fonksiyonu hız fonksiyonunun türevidir ve bu nedenle konum fonksiyonunun ikinci türevidir: a(t) = v (t) = f (t) Genelleştirirsek, f nin n inci türevi f (n) ile gösterilir ve f fonksiyonunun n kez türevinin alınmasıyla elde edilir. y = f(x) ise, y (n) = f (n) = dn y dx n yazarız. Bir eğrinin, teğet noktasının çevresinde, o noktadaki teğet doğrusuna çok yakın olduğunu görmüştük. Aslında, türevlenebilir bir fonksiyonungrafiğindeki bir noktaya doğru odaklandıkça, grafiğin o noktadaki teğet doğrusuna daha çok benzediğine dikkat etmiştik. Bu gözlem, fonkiyonlar için yaklaşık değerler bulma yöntemlerinden birinin temelini oluşturur. Fikir şudur: Bazen bir fonksiyonun f(a) değerini hesaplamak kolay olabilirken, f nin buna yakın değerlerini hesaplamak zor (dahası, olanaksız) olabilir. Bu nedenle, grafiği f nin (a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusu olan L doğrusal fonksiyonunun kolay hesaplanan değeriyle yetiniriz. Şekil 2.39 Genelde, (a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusunu, x sayısı a ya yakınken y = f(x) eğrisinin yaklaştırımı olarak kullanırız. Bu teğet doğrusunun denklemi y = f(a) + f (a)(x a) dır ve f(x) f(a) + f (a)(x a) yaklaştırımına f nin a daki doğrusal yaklaştırımı ya da teğet doğrusu yaklatırımı denir. Grafiği teğet doğrusu olan L(x) = f(a) + f (a)(x a) doğrusal fonksiyonu, f nin a daki doğrusallaştırılması olarak adlandırılır.

57 2.5. TÜREV 57 Örnek 49. f(x) = x fonksiyonunun a = deki doğrusal yaklaştırımını bulunuz. Daha sonra bunu.99,. ve.5 sayılarının yaklaşık değerlerini bulmak için kullanırız. Bulduğunuz değerler sayıların gerçek değerlerinden fazla mı, yoksa az mıdır? Çözüm. Öncelikle, y = x fonksiyonunun x = deki teğet doğrusunun eğimi olan f () değerini bulmalıyız. Daha önceki örneklerde f (x) = 2 x olarak bulmuştuk. Dolayısıyla, f () = olur ve (, ) noktasındaki teğet doğrusunun denklemi 2 y = 2 (x ) ya da y = 2 x + 2 ve doğrusal yaklaştırım x L(x) = 2 x + 2 olur. Özel olarak,.99 L(.99) = 2 (.99) + 2 =.995 elde ederiz.. L(.) = 2 (.) + 2 =.5.5 L(.5) = 2 (.5) + 2 =.25 (.99 = ,. =.499,.5 =.247 ) Şekilde y = x fonksiyonu ve onun doğrusal yaklaştırımı L(x) = 2 x + 2 fonksiyonunun grafikleri çizilmiştir. Yaklaşık değerlerimizin gerçek değerlerden fazla olduğunu görmekteyiz, çünkü teğet doğrusu eğrinin üzerindedir. Şekil 2.4 Aşağıdaki tabloda doğrusal yaklaştırımdan elde edilen değerler, gerçek değerlerle yaklaştırılmaktadır. Tablo ve Şekilde, teğet doğrusu yaklaştırımının, x değişkeni e yakınken iyi yaklaşık değerler verdiğine, fakat x değişkeni den uzaklaştıkça elde edilen değerlerin gerçek değerlere yakınlıklarının azaldığına dikkat ediniz.

58 58 BÖLÜM 2. LIMIT VE TÜREV

59 Bölüm 3 Türev Kuralları Kural. Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, dir. d dx [cf(x)] = c d dx f(x) Kural 2. Toplam-Fark Kuralı f ve g türevlenebilir ise, dir. d d [f(x) ± g(x)] = dx dx f(x) ± d dx g(x) Kural 3. Çarpım Kuralı f ve g türevlenebilir ise, dir. d d d [f(x)g(x)] = f(x) [g(x)] + g(x) dx dx dx [f(x)] Kural 4. Bölüm Kuralı f ve g türevlenebilir fonksiyonlarsa, dir. d dx [ ] f(x) g(x) d = dx g(x) [f(x)] f(x) d dx [g(x)] [g(x)] 2 59

60 6 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI Kural 5. Sabit Fonksiyon Türevi : d dx (c) = Kural 6. Kuvvet Kuralı Her n gerçel sayısı için, dir. d dx (xn ) = nx n Örnek 5. d dx (x3 6x + 5) = d dx (x3 ) 6 d dx (x) + d dx (5) = (3x 2 ) 6() + = 3x 2 6 Örnek 5. Aşağıdaki türevleri alınız. (a) f(x) = x 2 (b) y = 3 x 2 Çözüm. İki durumda da, fonksiyonu x in üssü olarak yeniden yazarız. (a) f(x) = x 2 olduğundan, n = 2 için Kuvvet Kuralını uygularız: f (x) = d dx (x 2 ) = 2x 2 = 2x 3 = 2 x 3 (b) dy dx = d dx ( 3 x 2 ) = d dx (x2/3 ) = 2 3 x(2/3) = 2 3 x /3 Örnek 52. y = x 4 6x eğrisi üzerindeki, teğet doğrusunun yatay olduğu noktaları bulunuz. Çözüm. Yatay teğetler, türevin olduğu noktalardaki teğetlerdir. Öncelikle, dy dx = d dx (x4 ) 6 d dx (x2 ) + d dx (4) = 4x3 2x + = 4x(x 2 3)

61 6 elde ederiz. dy dx = 4x(x2 3) Dolayısıyla, x = ve x 2 3 denkleminin kökleri olan x = ± 3 için dy/dx = olur. Bu nedenle, verilen eğri x =, x = 3 ve x = 3 için yatay teğetlere sahiptir. Bu değerlere karşılık gelen noktalar (, 4), ( 3, 5) ve ( 3, 5) dir. Şekil 3. Örnek 53. f(t) = t( t) fonksiyonunun türevini alınız. Çözüm.. Yol: Çarpım kuralını kullanarak, f (t) = t d d ( t) + ( t) dx dx ( t) = t( ) + ( t) 2 t /2 = t + t 2 t = 3t 2 t 2. Yol : Üs kuralını kullanarak, f(t) fonksiyonunu yeniden yazarsak, türevini çarpım kuralını kullanmadan da alabiliriz. Böylece, f(t) = t t t = t /2 t 3/2 f (t) = 2 t /2 3 2 t/2 elde edilir. Bu örnek, bazen fonksiyonların çarpımını sadeleştirmenin, çarpım kuralını kullanmaktan daha kolay olduğunu göstermektedir. Örnek 54. g(4) = 2 ve g (4) = 3 olmak üzere, f(x) = x. g(x) ise, f (4) değerini bulunuz. Çözüm. Çarpım kuralını uygulayarak, f (x) = d ( ) d x. g(x) = x. dx dx (g(x)) + g(x). d ( ) x dx = x. g (x) + g(x). 2. x /2 = x. g (x) + g(x) 2 x

62 62 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI elde ederiz. Dolayısıyla, f (4) = 4. g (4) + g(4) 2 4 = = 6.5 olur Örnek 55. y = x2 + x 2 x olsun. Bu durumda, y = (x 3 + 6) d dx (x2 + x 2) (x 2 + x 2) d dx (x3 + 6) (x 3 + 6) 2 = (x3 + 6)(2x + ) (x 2 + x 2)(3x 2 ) (x 3 + 6) 2 = (2x4 + x 3 + 2x + 6) (3x 4 + 3x 3 6x 2 ) (x 3 + 6) 2 = x4 2x 3 + 6x 2 + 2x + 6 (x 3 + 6) 2 elde edilir. Not : F (x) = 3x2 + 2 x x fonksiyonunun türevini bölüm kuralını kullanarak almak mümkündür. Ancak, önce bölmeyi yapmak ve fonksiyonu F (x) = 3x + 2x /2 biçiminde yazdıktan sonra türevi almak çok daha kolaydır. Kural 7. Doğal Üstel Fonksiyonun Türevi : d dx (ex ) = e x Kural 8. Üstel Fonksiyonun Türevi : a >, a gerçel sayısı için d dx (ax ) = a x ln a dır. Örnek 56. f(x) = e x x, ise f ve f fonksiyonlarını bulunuz.

63 63 Çözüm. Fark kuralını kullanarak, f (x) = d dx (ex x) = d dx (ex ) d dx (x) = ex elde ederiz. İkinci türevi, f nün türevi olarak tanımladık. Bu nedenle, elde ederiz. Örnek 57. f (x) = d dx (ex ) = d dx (ex ) d () = ex dx y = e x eğrisinin hangi noktasındaki teğet doğrusu y = 2x doğrusuna paraleldir? Çözüm. y = e x olduğundan, y = e x dir. Sorudaki noktanın x koordinatı a olsun. Bu noktadaki teğet doğrusunun eğimi e a olur. Teğet doğrusu, eğimi, y = 2x doğrusunun eğimiyle aynı, başka bir deyişle 2 olduğunda, bu doğruya paralel olacaktır. Eğimleri eşitlersek,e a = 2 a = ln 2 elde ederiz. Dolayısıyla, aranılan nokta (a, e a ) = (ln 2, 2) dir. Şekil 3.2 Örnek 58. a. f(x) = xe x ise, f (x) i bulunuz. b. f nin n-inci türevi, f (n) (x) i bulunuz. Çözüm. a. Çarpım kuralından, f (x) = d dx (xex ) = x d dx (ex ) + e x d dx (x) = xex + e x. = (x + )e x elde ederiz. b. Çarpım kuralını ikici kez kullanarak, f (x) = d dx [(x + )ex ] = (x + ) d dx (ex ) + e x d (x + ) dx = (x + )e x + e x. = (x + 2)e x

64 64 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI elde ederiz. Çarpım kuralının art arda uygulanmasıyla, f (x) = (x + 3)e x f (4) (x) = (x + 4)e x elde edilir. Aslında, art arda gelen her türev alma ile başka bir e x terimi eklenir, bu nedenle olur. f (n) (x) = (x + n)e x Örnek 59. y = e x /( + x 2 ) eğrisinin (, e/2) noktasındaki teğet doğrusunun denklemini bulunuz. Çözüm. Bölüm kuralından, d dy ( + x2 ) dx = dx (ex ) e x d dx ( + x2 ) ( + x 2 ) 2 = ( + x2 )e x e x (2x) ( + x 2 ) 2 = ex ( x) 2 ( + x 2 ) 2 elde ederiz. Dolayısıyla, (, e/2) deki teğet doğrusunun eğimi, dy dx = x= dır. Bu, (, e/2) noktasındaki teğet doğrusunun yatay ve denkleminin y = e/2 olduğunu ifade etmektedir. [Foksiyonun artan olduğuna ve (, e/2) deki teğet doğrusunu keserek geçtiğine dikkat ediniz.] Şekil 3.3 Kural 9. Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri : d d (sin x) = cos x dx d d (cos x) = sin x dx d dx (tan x) = sec2 x (sec x) = sec x tan x dx (csc x) = csc x cot x dx d dx (cot x) = csc2 x

65 65 Örnek 6. f(x) = vardır? sec x + tan x fonksiyonunun türevini alınız. Hangi x değerleri için f nin grafiğinin yatay teğeti Çözüm. Bölüm kuralı f (x) = ( + tan x) d d (sec x) sec x ( + tan x) dx dx ( + tan x) 2 = ( + tan x) sec x tan x sec x sec2 x ( + tan x) 2 f (x) = sec x [tan x + tan2 x sec 2 x] ( + tan x) 2 = sec x (tan x ) ( + tan x) 2 verir. Yanıtı sadeleştirmek için, tan 2 x + = sec 2 x özdeşliğini kullandık. sec x hiç sıfır olmadığından, yalnız tan x = için f (x) = olduğunu görürüz ve bu n tamsayı olmak üzere x = nπ + π/4 değerinde gerçekleşir. Örnek 6. cos x fonksiyonunun 27 inci türevini bulunuz. Çözüm. f(x) = cos x fonksiyonunun ilk bir kaç türevi aşağıdaki gibidir: f (x) = sin x f (x) = cos x f (x) = sin x f (4) (x) = cos x f (5) (x) = sin x Ardışık türevlerin, dört adımda bir yinelendiğini ve n, 4 ün bir katı olmak üzere, f (n) (x) = cos x olduğunu görürüz. Bu nedenle, f (24) (x) = cos x olur ve üç kez daha türev alırsak f (27) (x) = sin x elde ederiz.

66 66 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI 3. Zincir Kuralı F (x) = x 2 + fonksiyonunun türevini almanızın istendiğini varsayalım. Daha önce öğrendiğimiz türev alma kuralları ile F (x) i hesaplamanız olanaklı değildir. F nin bir bileşke fonksiyonu olduğunu gözlemleyiniz. Gerçekten de y = f(u) = u ve u = g(x) = x 2 + ise y = F (x) = f(g(x)), bir başka deyişle F = f g yazabiliriz. f ve g nin her ikisinin de türevlerinin nasıl alınacağını biliyoruz, dolayısıyla F = f g fonksiyonunun türevinin, f ve g nin türevleri cinsinden nasıl bulunduğunu söyleyen bir kural yararlı olacaktır. f g bileşke fonksiyonunun türevi, f ve g nin türevlerinin çarpımıdır. Bu, türev alma kurallarının en önemlilerinden biridir ve Zincir Kuralı olarak adlandırılır. Bu, türevleri değişim hızları olarak ele aldığımızda, akla yatkın görünmektedir. du/dx i, u nun x e göre değişim hızı, dy/du yu, y nin u ya göre değişim hızı ve dy/dx i, y nin x e göre değişim hızı olarak düşününüz. u, x in iki katı bir hızla değişiyorsa ve y, u nun üç katı hızla değişiyorsa, y nin x in altı katı bir hızla değişmesi mantıklı görünmektedir ve bu nedenle dy dx = dy du du dx olmasını bekleriz. Teorem. f ve g türevlenebilir fonksiyonlar ve F = f g fonksiyonu, F (x) = f(g(x)) biçiminde tanımlanan bileşke fonksiyonu ise, F türevlenebilir bir fonksiyondur ve F, F (x) = f (g(x))g (x) (3.) çarpımı ile verilir. Leibniz gösteriminde, y = f(u) ve u = g(x) türevlenebilir fonksiyonlarsa, dy dx = dy du du dx dir. (3.2) Örnek 62. F (x) = x 2 + ise F (x) i bulunuz. Çözüm. (Denklem (3.) yi kullanarak): Bu bölümün başında F fonksiyonunu f(u) = u ve g(x) = x 2 + olmak üzere F (x) = (f g)(x) = f(g(x)) biçiminde ifade etmiştik. olduğundan, f (u) = 2 u /2 = 2 u ve g (x) = 2x F (x) = f (g(x)) g (x) = 2 x 2 + 2x = x x 2 + elde ederiz. (Denklem (3.2) ü kullanarak): u = x 2 + ve y = u ise F (x) = dy du du dx = 2 u 2x = 2 x 2 + 2x = x x 2 + dir.

67 3.. ZINCIR KURALI 67 Not : Zincir Kuralı nı kullanırken, dışarıdan içeriye doğru hesap yaparız. Formül (3.), önce dıştaki f fonksiyonunun (içteki g(x) fonksiyonunda) türevini aldığımızı ve daha sonra bunu, içteki fonksiyonun türeviyle çarptığımızı söyler. Örnek 63. (a) y = sin(x 2 ) ve (b) y = sin 2 x fonksiyonlarının türevini alınız. Çözüm. (a) y = sin(x 2 ) ise, dıştaki fonksiyon sinüs ve içteki fonksiyon kare alma fonksiyonudur, dolayısıyla Zincir Kuralı ndan dy dx = d dx sin(x2 ) = cos(x 2 d ) dx x2 = 2x cos(x 2 ) elde ederiz. (b) sin 2 x = (sin x) 2 olduğuna dikkat ediniz. Burada, dıştaki fonksiyon kare alma ve içteki fonksiyon sinüs fonksiyonudur. Dolayısıyla, dy dx = d dx (sin x)2 = 2 sin x cos x olur. Yanıt, 2 sin x cos x olarak bırakılabilir ya da (yarım açı formülü olarak bilinen trigonometrik özdeşlik kullanılarak) sin 2x olarak yazılabilir. Örnek 64. y = (x 3 ) fonksiyonunun türevini alınız. Çözüm. Zincir Kuralı kullanılarak elde edilir. dy dx = d dx (x3 ) = (x 3 ) 99 d dx (x3 ) = (x 3 ) 99 3x 2 = 3x 2 (x 3 ) 99 Örnek 65. g(t) = ( ) t 2 9 fonksiyonunun türevini bulunuz. 2t + Çözüm. Zincir Kuralı ve Bölüm Kuralı nı birleştirerek g (t) = ( ) t 2 8 ( ) d t 2 9 2t + dt 2t + = ( ) t 2 8 (2t + ) 2(t 2) 45(t 2)8 9 2t + (2t + ) 2 = (2t + ) elde ederiz.

68 68 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI Örnek 66. y = e sin x fonksiyonunun türevini alınız. Çözüm. Burada içteki fonksiyon g(x) = sin x ve dıştaki fonksiyon f(x) = e x üstel fonksiyonudur. Dolayısıyla, Zincir Kuralı ndan, dy dx = d dx (esin x ) = e sin x d dx (sin x) = esin x cos x olur. Örnek 67. y = e sec 3θ fonksiyonunun türevini alınız. Çözüm. Dıştaki fonksiyon üstel fonksiyon, ortadaki fonksiyon sekant fonksiyonu ve en içteki fonksiyon üç katını alma fonksiyonudur. Dolayısıyla, dy dθ = e sec 3θ d dθ (sec 3θ) = esec 3θ sec 3θ tan 3θ d dθ (3θ) = 3esec 3θ sec 3θ tan 3θ elde ederiz. 3.2 Parametrik Eğrilerin Teğetleri x = f(t), y = g(t) parametrik denklemleriyle verilen eğriyi ele alalım: f ve g türevlenebilir fonksiyonlar ve y, x in türevlenebilir bir fonksiyonu olmak üzere, eğri üzerindeki bir noktadaki teğet doğrusunu bulmak istediğimizi varsayalım. Eğimi yani dy i bulmamız gerek. Zincir Kuralından dx elde ederiz. dy dt = dy dx dx dt dx dt ise, eşitlikten dy/dx i çekebiliriz. dy dt = dy dx dx dt dx dt ise dy dx = dy dt dx dt dir. (3.3) Eğriyi bir parçacığın izlediği yol olarak düşünürsek, dy/dt ve dx/dt parçacığın düşey ve yatay hızları olur. Örnek 68. x = 2 sin 2t y = 2 sin t parametrik eğrisinin ( 3, ) noktasındaki teğet doğrusunun denklemini bulunuz.

69 3.3. KAPALI FONKSIYONLARIN TÜREVLERI 69 Çözüm. t parametre değerine karşılık gelen noktada, eğim dy dx = dy dt dx dt = d (2 sin t) dt = d dt (2 sin 2t) 2 cos t 2(cos 2t)(2) = cos t 2 cos 2t dir. ( 3, ) noktası t = π/6 parametre değerine karşılık gelir, bu yüzden bu noktadaki teğetin eğimi dy dx = cos(π/6) 3/2 3 t=π/6 2 cos(π/3) = 2(/2) = 2 olur. Dolayısıyla, teğet doğrusunun denklemi y = 3 2 (x 3) ya da y = 3 2 x 2 dir. 3.3 Kapalı Fonksiyonların Türevleri Şimdiye kadar karşılaştığımız fonksiyonlar, bir değişkenin bir başka değişken cinsinden açık olarak ifade edilmesiyle tanımlanabiliyordu. Örneğin, y = x 3 + ya da y = x sin x veya genel olarak, y = f(x) gibi. Buna karşılık, bazı fonksiyonlar veya x 2 + y 2 = 25 (3.4) x 3 + y 3 = 6xy (3.5) gibi x ve y arasındaki bir bağıntı aracılığıyla kapalı olarak tanımlanır. Bazı durumlarda, böyle bir denklemden y yi x e bağlı bir fonksiyon (veya fonksiyonlar) olarak elde etmek olanaklıdır. Örneğin, Denklem (3.4) den y yi çekersek, y = ± 25 x 2 elde ederiz, ve böylece kapalı Denklem (3.4) in belirlediği iki fonksiyon dir. f(x) = 25 x 2 ve g(x) = 25 x 2 Şekil 3.4 f ve g nin grafikleri x 2 + y 2 = 25 çemberinin alt ve üst yarı-çemberleridir. Denklem (3.5) dan elle hesap yaparak y yi, x e bağlı bir fonksiyon olarak elde etmek kolay değildir. Yine de (3.5), Descartes folyumu olarak adlandırılan, şekilde gösterilen eğrinin denklemidir, ve kapalı olarak y yi x e bağlı çeşitli fonksiyonlar olarak tanımlar. f nin Denklem (3.5) ile kapalı olarak tanımlanan bir fonksiyon olduğunu söylediğimizde, x 3 + [f(x)] 3 = 6xf(x)

70 7 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI Şekil 3.5 Şekil 3.6 eşitliğinin, f nin tanım kümesindeki her x değeri için doğru olduğunu kastederiz. Neyse ki y nin türevini bulmak için verilen denklemde y yi x cinsinden çözme gereksinimi duymayız. Onun yerine kapalı türev alma yöntemini kullanabiliriz. Bu, denklemin iki tarafının x e göre türevini almayı ve sonuçtaki denklemlerden y nü çekmeyi içerir. Bu bölümdeki örnekler ve alıştırmalarda her zaman, verilen denklemin kapalı bir biçimde y yi x e bağlı türevlenebilir bir fonksiyon olarak tanımladığı ve dolayısıyla, kapalı türev alma yönteminin uygulanabildiği varsayılmıştır. Örnek 69. a. x 2 + y 2 = 25 ise dy dx i bulunuz. b. x 2 + y 2 = 25 çemberinin (3, 4) noktasındaki teğetinin denklemini yazınız. Çözüm.. Yol: a. x 2 + y 2 = 25 denkleminin iki tarafının türevini alalım: d dx (x2 + y 2 ) = d dx (25) d dx (x2 ) + d dx (y2 ) = y nin x e bağlı bir fonksiyon olduğunu anımsayarak ve Zincir Kuralı nı kullanarak, d dx (y2 ) = d dy (y2 ) dy dy = 2y dx dx

71 3.3. KAPALI FONKSIYONLARIN TÜREVLERI 7 elde ederiz. Dolayısıyla dır. Şimdi bu denklemi dy/dx için çözeriz: 2x + 2y dy dx = dy dx = x y b. (3, 4) noktasında x = 3, y = 4 dür. Buradan dy dx = 3 4 elde ederiz. Dolayısıyla çemberin (3, 4) noktasndaki teğetinin denklemi y 4 = 3 (x 3) ya da 3x + 4y = 25 dir Yol: x 2 + y 2 = 25 denkleminden, y = ± 25 x 2 elde ederiz. (3, 4) noktası y = 25 x 2 üst yarıçemberinin üzerinde olduğundan, f(x) = y = 25 x 2 fonksiyonunu ele alırız. Zincir Kuralı nı kullanarak türev alırsak f (x) = 2 (25 x2 ) /2 d dx (25 x2 ) = 2 (25 x2 ) /2 x ( 2x) = 25 x 2 elde ederiz. Böylece f 3 (3) = = 3 olur ve birinci çözümde olduğu gibi teğetin denklemi 3x + 4y = dir. Not : Az önceki örnek, denklemden y yi x cinsinden çekmek olanaklı olsa bile kapalı türev almanın daha kolay olabildiğini göstermektedir. dy/dx = x/y ifadesi türevi, x ve y nin her ikisi cinsinden vermektedir. Bu ifade denklem tarafından hangi fonksiyonunun belirlendiğinden bağımsız olarak doğrudur. Örneğin, y = f(x) = 25 x 2 için dy dx = x y = x 25 x 2 ve y = g(x) = 25 x 2 için elde ederiz. Örnek 7. dy dx = x y = (a) x 3 + y 3 = 6xy ise, y nü bulunuz. x 25 x 2 = x 25 x 2 (b) x 3 + y 3 = 6xy denklemiyle verilen Descartes folyumu eğrisinin (3, 3) noktasındaki teğetini bulunuz. Çözüm. (a) y yi x e bağlı bir fonksiyon olarak düşünerek, y 3 terimi için zincir ve 6xy terimi için çarpım kuralını kullanarak, x 3 + y 3 = 6xy denkleminin iki tarafının x e göre türevini alırsak, 3x 2 + 3y 2 y = 6y + 6xy ya da x 2 + y 2 y = 2y + 2xy

72 72 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI elde ederiz. Bu denklemden y nü çekersek: x 2 + y 2 y = 2y + 2xy y 2 y 2xy = 2y x 2 (y 2 2x)y = 2y x 2 elde ederiz. x = y = 3 için y = 2y x2 y 2 2x y = = dir. Bu nedenle folyumun (3, 3) noktasındaki teğetinin denklemi y 3 = (x 3) ya da x + y = 6 dır. Örnek 7. sin(x + y) = y 2 cos x ise y nü bulunuz. Çözüm. x e göre kapalı türev alarak ve y nin x e bağlı bir fonksiyon olduğunu anımsayarak, cos(x + y) ( + y ) = 2yy cos x + y 2 ( sin x) elde ederiz. (Sol tarafta zincir kuralını ve sağ tarafta çarpım ve zincir kurallarını kullandığımıza dikkat ediniz.) cos(x + y) ( + y ) = 2yy cos x + y 2 ( sin x) y içeren terimleri bir araya toplarsak, cos(x + y) + y 2 sin x = (2y cos x)y cos(x + y) y elde ederiz. Bu nedenle, olur. y = cos(x + y) + y2 sin x 2y cos x cos(x + y) 3.3. Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi Ters trigonometrik fonksiyonların türevlenebilir olduklarını varsayarak, bunların türevlerini almak için kapalı türev alma yöntemini kullanabiliriz. arcsin fonksiyonunun tanımını anımsayınız: y = sin x sin y = x ve π 2 y π 2 anlamına gelir. sin y = x in x e göre kapalı türevini alırsak, elde ederiz. cos y dy dx = veya dy dx = cos y dy dx = cos y

73 3.4. LOGARITMA FONKSIYONLARININ TÜREVI 73 π/2 y π/2 olduğundan, cos y dır, bu yüzden cos y = sin 2 y = x 2 olur. Dolayısıyla, dy dx = cos y = x 2 dir. d dx (sin x) = x 2 y = arctan x fonksiyonunun türevinin formülü de benzer bir yolla elde edilir: Örnek 72. f(x) = x arctan x fonksiyonunun türevini alınız. d dx (tan( ) (x)) = + x 2. Çözüm. f (x) = x ( ) + ( x) 2 2 x /2 + arctan x = x 2( + x) + arctan x 3.4 Logaritma Fonksiyonlarının Türevi d dx (log a x) = x ln a (3.6) özel olarak a = e alırsak d dx (ln x) = x. (3.7) Örnek 73. y = ln(x 3 + ) fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm. Zincir kuralını kullanmak için u = x 3 + diyelim. Bu takdirde y = ln u ve dy dx = dy du du dx = u du dx = x 2 + (3x2 ) = 3x2 x 3 + Genel olarak örnekte verilen zincir kuralı ile formül 3.7 yi birleştirirsek d dx (ln u) = du u dx veya d dx (ln g(x)) = g (x) g(x) (3.8) elde ederiz.

74 74 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI Örnek 74. f(x) = ln x fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm. Burada logaritma fonksiyonu iç fonksiyon olduğundan Zincir kuralını kullanarak elde edilir. f (x) = 2 (ln x) /2 d dx (ln x) = 2 ln x x = 2x ln x Örnek 75. f(x) = ln x ise f (x) türevini bulunuz. Çözüm. olduğundan f(x) = f (x) = olarak elde edilir. Böylece her x için f (x) = /x olur. Örnek 76. y = x3/4 x 2 + (3x + 2) 5 fonksiyonunun türevini bulunuz. { ln x, x > ln( x), x < x, x > x ( ) = x, x < Çözüm. Denklemin her iki tarafının logaritmasını alıp, basitleştirmek için logaritmanın özelliklerini kullanalım: ln y = 3 4 ln x + 2 ln(x2 + ) 5 ln(3x + 2) kapalı olarak tanımlanan bu fonksiyonun x e göre türevini alırsak dy dx y = 3 4 x + 2 2x x x + 2 olur. Buradan dy/dx i çözersek elde ederiz. dy dx dy dx y = 3 4x + x x x + 2 ( 3 = y 4x + x x ) 3x + 2 = x3/4 x 2 + (3x + 2) 5 ( 3 4x + x x ) 3x + 2

75 3.5. DOĞRUSAL YAKLAŞTIRIMLAR VE DIFERANSIYELLER 75 Not: Taban değişken, üs sabit olduğunda, Kuvvet kuralı [(x n ) = nx n ] ile; taban sabit, üs değişken olan [(a x ) = a x ln a] üstel fonksiyonların türev alma kurallarını, birbirinden dikkatlice ayırt etmelisiniz. Genel olarak üs ve tabanlar için dört durum söz konusudur d dx (ab ) = (a ve b sabittir.) d dx [f(x)b ] = b[f(x)] b f (x) d dx [ag(x) ] = a g(x) (ln a)g (x) d dx [f(x)]g(x) türevini bulmak için aşağıdaki örnekte olduğu gibi logaritmik türev kullanılabilir. Örnek 77. y = x x fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm.. Yol : Logaritmik türevi kullanırsak ln y y y y = ln x x = x ln x = x x + (ln x) 2 x ( = y x + ln x ) 2 = x x x ( ) 2 + ln x 2 x elde ederiz. 2. Yol : Diğer yöntem için x x = ( e ln x) x yazalım. d ( x ) x dx = d ( e ) x ln x = e x ln x d dx dx ( x ln x) ( ) = x x 2 + ln x 2. x 3.5 Doğrusal Yaklaştırımlar ve Diferansiyeller y = f(x) eğrisinin (a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusunun denklemi y = f(a) + f (a)(x a) dir. f(x) f(a) + f (a)(x a) (3.9) yaklaştırımına f fonksiyonunun a noktasındaki doğrusal yaklaştırımı ya da teğet doğrusu yaklaştırımı denir. L(x) = f(a) + f (a)(x a) (3.) fonksiyonuna f fonksiyonunun a noktasındaki doğrusallaştırılması denir. x, a ya yakın olduğunda f(x) L(x) doğrusal yaklaştırımı gerçek değere yakındır.

76 76 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI Şekil 3.7 Örnek 78. f(x) = x + 3 fonksiyonunun a = noktasındaki doğrusallaştırılmasını bulunuz ve bunu kullanarak 3.98 ve 4.5 sayılarının yaklaşık değerlerini hesaplayınız. Çözüm. f(x) = (x + 3) /2 fonksiyonunun türevi f (x) = 2 (x + 3) /2 = 2 x + 3 dür. Buradan f() = 2 ve f () = 4 elde ederiz. Bu değeri denklem 3. de yerine koyarsak doğrusallaştırmanın olduğunu görürüz. Buna karşılık gelen (3.9) doğrusal yaklaştırımı L(x) = f(x) + f ()(x ) = (x ) = x 4 L(x) = x 4 x x 4 dür. Özel olarak, olur =.995 ve = = = Şekil 3.8

77 3.5. DOĞRUSAL YAKLAŞTIRIMLAR VE DIFERANSIYELLER 77 Örnekteki doğrusal yaklaştırım şekilde gösterilmiştir. Gerçekten x, e yakın iken teğet doğru yaklaştırımının verilen fonksiyona iyi bir yaklaştırım olduğunu görebilirsiniz. Elbette bir hesap makinesi 3.98 ve 4.5 in yaklaşık değerini bize verir, fakat doğrusal yaklaştırımlar tüm bir aralık üzerinde kullanılabilecek bir yaklaştırım verir. Türevlenebilir bir f fonksiyonu için, y = f(x) ise, dx diferansiyeli bağımsız bir değişkendir. Diğer bir deyişle, dx e herhangi bir gerçel sayı değeri verilebilir. Buradan dy diferansiyeli dy = f (x)dx (3.) denklemi ile dx cinsinden tanımlanır. Sonuç olarak dy bir bağımlı değişkendir; dy değişkeni x ve dx değerlerine bağlıdır. Eğer dx e özel bir değer verilir ve x, f nin tanım bölgesinden özel bir sayı olarak alınırsa, dy nin sayısal değeri bulunur. Diferansiyellerin geometrik anlamı aşağıda gösterilmiştir. Şekil 3.9 P (x, f(x)) ve Q(x + x, f(x + x)), f nin grafiği üzerindeki noktalar ve dx = x olsun. y deki değişimin karşılığı y = f(x + x) f(x) dir. P R teğet doğrusunun eğimi f (x) türevidir. Dolayısıyla, S den R ye olan yönlü uzaklık f (x)dx = dy dir. Sonuç olarak, x değeri dx miktarı kadar değiştiğinde, y, y = f(x) eğrisinin artma yada azalma miktarını, dy ise teğet doğrusunun artma yada azalma miktarını (doğrusallaştırmadaki değişimi) göstermektedir. Şekilden x küçüldükçe y dy yakalaşımının daha iyi olduğunu söyleyebiliriz. Eğer dx = x a yazarsak, x = a + dx olur ve (3.9) deki doğrusal yaklaştırımları diferansiyel gösterimi ile yeniden yazarsak olur. Örneğin f(x) = x + 3 fonksiyonu için elde edilir. Eğer a = ve dx = x =.5 alırsak, f(a + dx) f(a) + dy dy = f (x)dx = dy = dx 2 x =.25 ve 4.5 = f(.5) f() + dy = 2.25 değerini buluruz. Örnek 79. Bir kürenin yarıçapı en fazla.5 cm lik ölçüm hatası ile 2 cm olarak ölçülmüştür. Yarıçap için bu değer kullanılırsa kürenin hacim hesabında yapılan maksimum hata ne olur?

78 78 BÖLÜM 3. TÜREV KURALLARI Çözüm. Kürenin yarıçapına r dersek, hacim V = 4 3 πr3 dür. Eğer r nin ölçüm hatası dr = r ile gösterilirse, V nin hacim hesabında buna karşı gelen hata V dir ve dv = 4πr 2 dr diferansiyeli ile yaklaştırılabilir. r = 2 ve dr =.5 alınırsa, dv = 4π(2) 2 (.5) 277 olur. Hacim hesabındaki maksimum hata yaklaşık 277 cm 3 tür. Not: Örnekteki mümkün olabilecek hata oldukça büyük gözükmesine rağmen, bu hatanın büyüklüğü, hatanın toplam hacime bölünmesi ile elde edilen göreli hata ile daha iyi anlaşılır: V V dv V = 4πr2 dr 4 = 3 dr 3 πr3 r. Böylece, hacimdeki göreli hata, yarıçaptaki göreli hatanın yaklaşık 3 katı olur. Örnek te yarıçaptaki göreli hata yaklaşık olarak dr/r =.5/2.24 hacimdeki göreli hata ise yaklaşık.7 dir. Hatalar yarıçapta %.24 ve hacimde %.7 olmak üzere yüzdelik hata olarak da ifade edilebilir.

79 Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4. Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek yarıçapının artış hızını ölçmekten çok daha kolaydır. Bağımlı hız problemlerindeki fikir, bir niceliğin değişim hızını (ölçümü daha kolay olabilen) diğer bir niceliğin değişim hızı cinsinden hesaplamaktır. Bunun için yöntem; iki niceliğe bağlı bir denklem bulmak ve sonra zincir kuralını kullanarak her iki tarafın zamana göre türevini almaktır. Örnek 8. Küresel bir balon içine hava pompalandığında balonun hacmi cm 3 /sn hızla artıyor. Balonun çapı 5 cm olduğunda yarıçapındaki artış hızı ne kadardır? Çözüm: İki şeyi tanımlamakla başlıyoruz: verilen bilgi: havanın hacminin artış hızı cm 3 /sn dir. bilinmeyen: çap 5 cm olduğunda yarıçapın artış hızıdır. Anımsanması gereken ana düşünce değişim hızlarının türevler olduğudur. Bu problemde, hacim ve yarıçap t zamanına bağlı fonksiyonlardır. Hacmin zamana göre artış hızı dv/dt türevi ve yarıçapın artış hızı dr/dt türevidir. Verileni ve bilinmeyeni yeniden aşağıdaki gibi ifade edebiliriz: verilen: dv dt = cm3 /sn bilinmeyen: r = 25 cm olduğunda dr dt dv/dt ve dr/dt arasında bağlantı kurmak için önce V ile r arasında kürenin hacim formülü ile bağlantı kuracağız: V = 4 3 πr3 Verilen bilgileri kullanmak için bu denklemin her iki tarafının t ye göre türevini alacağız. Sağ tarafın türevini almak için zincir kuralını kullanmaya gereksinim vardır: dv dt = dv dr dr dt = 4πr2 dr dt dv dt = 4πr2 dr dt. 79

80 8 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Şimdi bu denklemden bilinmeyeni çözelim. dr dt = dv 4πr 2 dt Eğer bu denklemde r = 25 ve dv/dt = koyarsak dr dt = 4π(25) 2 = 25π elde ederiz. Buradan balonun yarıçapının (/25π) cm/sn hızla arttığını görürüz. Örnek 8. ft uzunluğundaki bir merdiven dik bir duvara dayanıyor. Merdivenin altı ft/sn hızla kayarak duvardan uzaklaşırsa, merdivenin alt kısmının duvardan uzaklığı 6 ft olduğu anda üstünün duvardan aşağıya kayma hızı nedir? Çözüm: İlk olarak Şekil 4. deki gibi bir şema çizelim ve adlandıralım. Şekil 4. Merdivenin altından duvara olan uzaklık x ft ve merdivenin tepesinden yere olan uzaklık y ft olsun. Burada x ve y değerleri t (zaman) nin fonksiyonlarıdır. Bize dx/dt = ft/sn olduğu veriliyor ve x = 6 ft olduğunda dy/dt değerini bulmamız isteniyor. Problemde, x ve y arasındaki ilişki Pisagor Teoremi ile elde edilir: x 2 + y 2 =

81 4.. BAĞIMLI HIZ 8 Zincir kuralını kullanarak her iki tarafın t ye göre türevini alırsak olur ve bu denklemden isteneni çözersek 2x dx dt + 2y dy dt = dy dt = x dx y dt buluruz. x = 6 olduğunda Pisagor Teoreminden y = 8 olur. Bu değerleri ve dx/dt = i yukarıdaki denklemde yerine koyarsak dy dt = 6 8 () = 3 4 ft/sn elde ederiz. dy/dt nin negatif olmasının anlamı merdivenin üstünden yere olan uzaklığın (3/4) ft/sn oranında azalmasıdır. Diğer bir deyişle, merdivenin üstü duvardan (3/4) ft/sn hızla aşağıya doğru kaymaktadır. Örnek 82. Bir su tankı, taban yarıçapı 2 m ve yüksekliği 4 m olan ters çevrilmiş bir koni şeklindedir. Eğer tank içine 2 m 3 /da hızla su pompalanırsa, derinlik 3 m olduğu zaman su seviyesinin artış hızını bulunuz. Çözüm: İlk olarak Şekil 4.2 deki gibi bir çembersel koni çizip isimlendirme yapalım. V, r, h sırasıyla suyun t anındaki hacmi, yüzeyinin yarıçapı ve yüksekliği olsun. Burada t dakika ile ölçülmüştür. Şekil 4.2 Bize dv/dt = 2 m 3 /da olduğu veriliyor ve h = 3 m olduğunda dh/dt değerini bulmamız isteniyor. V ve h arasındaki ilişki V = 3 πr2 h denklemi ile verilir. Fakat V yi sadece h nin fonksiyonu olarak ifade etmek çok yararlıdır. r yi yok etmek için Şekil 4.2 deki benzer üçgenleri kullanırız. Buradan elde ederiz. Bunu V de terine yerleştirirsek r h = 2 4 ve r = h 2 V = 3 π ( h 2 olur. Şimdi her iki tarafın t ye göre türevini alabiliriz: ) 2 h = π 2 h3 dv dt = π dh h2 4 dt

82 82 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI ve böylece dir. h = 3m ve dv/dt = 2m 3 /da yı yerine koyarsak buluruz. dh dt = 4 dv πh 2 dt dh dt = 4 π(3) 2 2 = 8 9π.28 m/da 4.2 Maksimum ve Minimum Değerler Diferansiyel hesabın en önemli uygulamalarından biri, bir işi yapmanın en iyi yolunu bulmak olan optimizasyon problemleridir. Maliyeti minimum yapmak için bir kutunun şekli nasıl olmalıdır? Bir uzay mekiğinin maksimum ivmesi ne olmalıdır? (Bu ivmenin etkilerine katlanmak zorunda olan astronotlar için önemli bir sorudur.) Bu problemler bir fonksiyonun maksimum ya da minimum değerlerini bulmaya indirgenebilir. Şimdi ilk olarak maksimum ve minimum değerlerle tam olarak ne demek istediğimizi açıklayalım. Tanım 2. f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır. f(c) sayısına f nin D deki maksimum değeri denir. Benzer olarak, D içindeki her x için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak minimumu vardır ve f(c) sayısına f nin D deki minimum değeri denir. f nin maksimum ve minimum değerlerine f nin uç değerleri denir. Şekil 4.3 Şekil 4.3, d noktasında mutlak maksimuma ve a noktasında mutlak minimuma sahip olan bir f fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. Bu grafik üzerindeki en üstteki noktanın (d, f(d)) ve en alttaki noktanın (a, f(a)) noktası olduğuna dikkat ediniz.

83 4.2. MAKSIMUM VE MINIMUM DEĞERLER 83 Tanım 3. x noktası c ye yakın olduğunda f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında bir yerel maksimumu (ya da [ göreli maksimum) vardır denir. ] Bunun anlamı c yi içeren bir açık aralık içindeki her x için f(c) f(x) olmasıdır. Benzer olarak, x noktası c ye yakın olduğunda f(c) f(x) ise f nin c noktasında bir yerel minimumu vardır denir. Örnek 83. Her x için ve herhangi bir n tamsayısı için cos x cos 2nπ = olduğundan, f(x) = cos x fonksiyonu (yerel ve mutlak) minimum değeri olan i sonsuz kez alır. Benzer olarak herhangi bir n tamsayısı için cos(2n + )π = fonksiyonun minimum değeridir. Örnek 84. f(x) = x 2 ise her x için x 2 olduğundan f(x) f() dır. Dolayısıyla f() = değeri f nin mutlak (ve yerel) minimum değeridir. Bu y = x 2 parabolü üzerindeki en alttaki noktanın başlangıç noktası olduğu gerçeğine karşılık gelir. Bununla beraber, parabol üzerinde en üst nokta yoktur ve bu yüzden bu fonksiyonun maksimum değeri de yoktur.

84 84 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Örnek 85. Şekil 4.4 de gösterilen f(x) = x 3 fonksiyonunun grafiğinden, fonksiyonun hem mutlak maksimum hem de mutlak minimum değerlerinin olmadığını görüyoruz. Aslında yerel uç değerleri yoktur. Şekil 4.4 Şekil 4.5 de f(x) = 3x 4 6x 3 + 8x 2 x 4 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Şekil 4.5 Buradan f() = 5 in yerel maksimum ve f( ) = 37 nin mutlak maksimum olduğunu görürüz. [Bu mutlak maksimum bir yerel maksimum değildir. Çünkü uç noktada oluşmuştur.] Ayrıca f() = yerel minmum ve f(3) = 27 hem yerel hem de mutlak minimumdur. Burada f nin x = 4 de ne yerel ne de mutlak maksimum olmadığına dikkat ediniz.

85 4.2. MAKSIMUM VE MINIMUM DEĞERLER 85 Teorem 2. f fonksiyonu bir [a, b] kapalı aralığında sürekli ise, c ve d sayıları, [a, b] kapalı aralığında olmak üzere, f(c) mutlak maksimum değerini ve f(d) mutlak minimum değerin alır. Şekilde, Uç Değer Teoreminin hipotezlerinden birini kaldırdığımızda (süreklilik ya da kapalı aralık) fonksiyonun uç değerlere sahip olması gerekmediğini gösterir. Uç Değer Teoremi bir kapalı aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun bir maksimum ve bir minimum değere sahip olduğunu söyler, fakat bu uç değerlerin nasıl bulunacağı konusunda bir şey söylemez. Yerel uç değerleri arayarak işe başlayalım. Şekil 4.6, c de bir yerel maksimumu ve d de bir yerel minimumu olan bir f fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. Maksimum ve minimum noktalarda teğet doğruları yataydır ve bunun sonucu olarak her birinin eğimi dır. Türevin teğet doğrusunun eğimi olduğunu biliyoruz. Bu nedenle f (c) = ve f (d) = dır. Şekil 4.6 Fermat teoremi bu sonucun türevlenebilir fonksiyonlar için daima doğru olduğunu söyler.

86 86 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Teorem 3. Fermat Teoremi : f (c) = dır. Eğer f, c noktasında yerel maksimuma ya da minimuma sahip ve f (c) varsa f (c) = olduğunda f nin c noktasında maksimumu ya da minimumu olması gerekmez. (Diğer bir deyişle, Fermat teoreminin tersi genelde doğru değildir.) Şekil 4.7: f () = fakat maksimum yada minimum yok Şekil 4.8: f() = minimum değer fakat f () yok. Tanım 4. f bir fonksiyonu ve c sayısı f nin tanım kümesi içinde olsun. Eğer f (c) = ya da f (c) yoksa c ye f nin bir kritik sayısı denir. Örnek 86. f(x) = x 3/5 (4 x) fonksiyonunun kritik sayılarını bulunuz. Çözüm: Çarpım kuralı ile f (x) = 3 5 x 2/5 (4 x) + x 3/5 ( ) = 3(4 x) 5x 2/5 x 3/5 = 3(4 x) 5x 5x 2/5 = 2 8x 5x 2/5

87 4.2. MAKSIMUM VE MINIMUM DEĞERLER 87 olur. [Aynı sonuç, ilk olarak f(x) = 4x 3/5 x 8/5 yazılarak elde edilebilir.] f (x) = 2 8x 5x 2/5 Böylece, f (x) = dan 2 8x = olur. Buradan x = 3 2 elde ederiz. x = noktasında türev yoktur. Sonuç olarak, 3 ve kritik sayılardır. 2 Kritik sayının tanımından sonra Fermat teoremi aşağıdaki gibi de yazılabilir: Teorem 4. Eğer f nin c de bir yerel maksimumu ya da minimumu varsa, c noktası f nin bir kritik sayısıdır. Kapalı Aralık Yöntemi Bir [a, b] kapalı aralığında tanımlanan bir sürekli fonksiyonun mutlak maksimum ya da minimum değerlerini bulmak için:. f nin (a, b) deki kritik sayılardaki değerlerini bulunuz. 2. Aralığın uç noktalarında f nin değerlerini bulunuz. 3.. ve 2. adımlardaki değerlerin en büyüğü mutlak maksimum değeri, en küçüğü ise mutlak maksimum değeridir. Örnek 87. f(x) = x 2 sin x, x 2π fonksiyonunun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini tam olarak bulunuz. Çöüzüm: f(x) = x 2 sin x fonksiyonu [, 2π] aralığında süreklidir. f (x) = 2 cos x olduğundan, cos x = 2 f (x) = olur. Bu x = π/3 ya da 5π/3 iken olur. Bu kritik noktalardaki f değerleri f(π/3) = π 3 2 sin π 3 = π f(5π/3) = 5π 3 2 sin 5π 3 = 5π dir. Uç noktalarda f nin aldığı değerler f() = ve f(2π) = 2π 6.28 dir. Bu dört değeri karşılaştırdığımızda mutlak minimum değeri f(π/3) = π 3 3, mutlak maksimum değeri ise f(5π/3) = 5π olarak bulunur.

88 88 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI 4.3 Ortalama-Değer Problemi Teorem 5. Eğer f fonksiyonu [a, b] aralığında türevlenebilir bir fonksiyon ise a ve b arasında ya da denk olarak eşitliğini sağlayan bir c sayısı vardır. f (c) = f(b) f(a) b a f(b) f(a) = f (c)(b a) Bu teoremin akla uygun olduğunu geometrik bir yorumla görebiliriz. Şekil 4.9 türevlenebilir iki fonksiyonun grafikleri üzerinde A(a, f(a)) ve B(b, f(b)) noktalarını göstermektedir. Şekil Türevler ve Bir Eğrinin Eğimi 4.4. Artan ve Azalan Fonksiyonlar Kural. Artan/Azalan Testi (a) Bir aralıkta f (x) > ise, bu aralıkta f artandır. (b) Bir aralıkta f (x) < ise, bu aralıkta f azalandır. Bu testin adına kısaca Ar/Az Testi diyelim. Örnek 88. f(x) = 3x 4 4x 3 2x fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

89 4.4. TÜREVLER VE BIR EĞRININ EĞIMI 89 Çözüm: f (x) = 2x 3 2x 2 24x = 2x(x 2)(x + ) Ar/Az Testi ni kullanmak için nerede f (x) >, nerede f (x) < olduğunu bilmek zorundayız. Bu f (x) in çarpanlarının işaretlerine bağlıdır. Bu çarpanlar, 2x, x 2 ve x + dir. Gerçel doğruyu uç noktaları,, 2 kritik sayıları olan aralıklara bölelim ve çalışmamızı bir çizelgeye yerleştirelim. Artı işareti, verilen ifadenin pozitif, eksi işareti, verilen ifadenin negatif olduğunu gösterir. Dolayısıyla f(x) = 3x 4 4x 3 2x fonksiyonunu (, ) aralığında AZALAN, (, ) aralığında ARTAN, (, 2) aralığında AZALAN, (2, ) aralığında ise ARTAN dır Yerel Minimum/Maksimum Noktaları Daha önce f nin c de bir yerel maksimumu ya da minimumu varsa, c nin f nin bir kritik sayısı olması gerektiğini(fermat Teoremi), fakat her kritik sayıda bir maksimum ya da minimumun ortaya çıkmayacağını hatırlayalım. Bunun sonucu olarak bir kritik sayıda f nin bir yerel maksimumu ya da minimumu olup olmadığını anlayacağımız bir teste ihtiyacımız var. Kural. Birinci Türev Testi Bir f sürekli fonksiyonunun bir kritik sayısının c olduğunu varsayalım. (a) Eğer f türevi c de pozitiften negatife değişirse, f nin c de bir yerel maksimumu vardır. (b) Eğer f türevi c de negatiften pozitife değişirse, f nin c de bir yerel minimumu vardır. (c) Eğer f türevi c de işaret değiştirmezse (f, c nin iki yanında pozitif ya da negatif ise), f nin c de yerel maksimumu ve minimumu yoktur. Örnek 89. f(x) = 3x 4 4x 3 2x fonksiyonunun yerel minimum ve maksimum değerlerini bulunuz. Çözüm: Bu fonksiyonun önceki örnekteki fonksiyon olduğunu anımsayınız. O örnekteki çizelgeden f türevinin noktasında negatiften pozitife değiştiğini görürüz. Dolayısıyla f( ) =, Birinci Türev Testi ile bir yerel minimum değeridir. Benzer şekilde f türevi, 2 de negatiften pozitife değişir. Burada f(2) = 27 de bir yerel minimum değeridir. Ayrıca f() = 5 bir yerel maksimum değeridir, çünkü f türevi da pozitiften negatife değişir.

90 9 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Bükeylik Tanım 5. Bir f fonksiyonunun f türevi bir I aralığı üzerinde artan bir fonksiyon ise f fonksiyonu (ya da grafiği) I üzerinde dışbükeydir denir. Eğer f türevi bir I aralığı üzerinde azalan bir fonksiyon ise f fonksiyonu I üzerinde içbükeydir denir.

91 4.4. TÜREVLER VE BIR EĞRININ EĞIMI 9 Tanım 6. Bir eğrinin bükeyliğinin yönünün değiştiği noktaya büküm noktası denir. Şekildeki eğri P de dışbükeylikten içbükeyliğe ve Q da içbükeylikten dışbükeyliğe değişir. Dolayısıyla P ve Q noktaları eğrinin büküm noktalarıdır. Kural 2. Bükeylik Testi (a) I aralığındaki her x için f (x) > ise I üzerinde f nin grafiği dışbükeydir. (b) I aralığındaki her x için f (x) < ise I üzerinde f nin grafiği içbükeydir. Bükeylik Testi nin bir sonucu maksimum ve minimum değerleri veren aşağıdaki testtir. Kural 3. İkinci Türev Testi: f türevinin c nin yakınında sürekli olduğunu varsayalım. (a) f (c) = ve f (c) > ise f nin c de bir yerel minimumu vardır. (b) f (c) = ve f (c) < ise f nin c de bir yerel maksimumu vardır. NOT f (c) = olduğunda İkinci Türev Testi sonuç vermez. Diğer bir deyişle, bu noktada bir maksimum veya bir minimum olabilir ya da her ikisi de olmayabilir. Bu test f (c) tanımlı olmadığında da geçerli değildir. Böyle durumlarda Birinci Türev Testi kullanılmalıdır. Her iki testin kullanılabildiği durumlarda Birinci Türev Testi ni kullanmak çoğu kez daha kolaydır. Örnek 9. y = x 4 4x 3 eğrisinin bükeyliğini, büküm noktalarını, yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini tartışınız. Bu bilgileri kullanarak eğrinin grafiğini çiziniz.

92 92 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Çözüm: Eğer f(x) = x 4 4x 3 ise f (x) = 4x 3 2x 2 = 4x 2 (x 3) olur. Kritik sayıları bulmak için birinci türevi a eşitleriz. f (x) = 2x 2 24x = 2x(x 2) f (x) = 4x 3 2x 2 = 4x 2 (x 3) = Buradan x = ve x = 3 elde ederiz. İkinci türev testini kullanabilmek için f nü kritik sayılarda hesaplarız. f () = f (3) = 36 > f (3) = ve f (3) > olduğu için f(3) = 27 yerel minimumdur. f () = olduğu için ikinci türev testi kritik sayısı için bir bilgi vermez. Fakat x < ve < x < 3 için f (x) < olduğu için birinci türev testi f(x) in da yerel minimum veya maksimumunun olmadığını söyler. İkinci türevin köklerini: olarak buluruz. f (x) = 2x(x 2) = x = veya x = 2 (, ) noktası büküm noktasıdır, çünkü ikinci türev bu noktada işaret değiştirir.

93 4.4. TÜREVLER VE BIR EĞRININ EĞIMI 93 Örnek 9. f(x) = x 2/3 (6 x) /3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm: Fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini hesaplayalım. f (x) = 4 x x /3 (6 x) 2/3 f (x) = 8 x 4/3 (6 x) 5/3 x = 4 olduğunda f (x) = ve x = ya da x = 6 olduğunda f (x) tanımlı olmadığından, 4, 6 noktaları kritik sayılardır. Gerçel doğruyu uç noktaları, 4, 6 kritik sayıları olan aralıklara bölelim ve çalışmamızı bir çizelgeye yerleştirelim. Artı işareti, verilen ifadenin pozitif, eksi işareti, verilen ifadenin negatif olduğunu gösterir. f, x = da işaret değiştirdiği için f() = yerel minimumdur. f, x = 4 te işaret değiştirdiği için f(4) = 2 5/3 yerel maksimumdur. f, x = 6 da işaret değiştirmediği için burada yerel maksimum/minimum yoktur. f (x) = 8 x 4/3 (6 x) 5/3 İkinci türev testi yalnızca x = 4 te kullanılabilir, çünkü x = da ve x = 6 da f yoktur. f ni inceleyelim (6, ) noktası büküm noktasıdır, çünkü ikinci türev bu noktada işaret değiştirir.

94 94 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Eğrinin (, ) ve (6, ) noktalarında düşey teğetleri olduğuna dikkat ediniz. Çünkü, x ve x 6 iken f (x). Örnek 92. f(x) = e /x fonksiyonunun asimptotlarla birlikte birinci ve ikinci türevlerini kullanarak grafiğini çiziniz. Çözüm: f nin grafiğini çizmek için ilk olarak y = yatay asimptotu (kesik çizgi ile gösterilmiştir) ile eğrinin asimptotlarının yakınındaki parçalarını çizeriz. Bu parçalar limitler hakkındaki bilgileri ve f nin hem (, ) hem de (, ) da azalan olduğunu yansıtır. Burada f() tanımlı olmamasına karşın, x iken f(x) olduğuna dikkat edilmelidir. Şekil9(b) de büküm noktası ve bükeylik ile ilgili bilgileri birleştirerek grafiği tamamlarız. f nin tanım kümesi {x x } kümesidir. Dolayısıyla x iken f nin sağdan ve soldan limitlerini hesaplayarak düşey asimptotlarını kontrol edebiliriz. olduğunu biliyoruz. Buradan çıkar. Bu x = ın düşey asimptot olduğunu gösterir. x + iken /x lim x e/x = + x iken /x olduğunu biliyoruz. Buradan çıkar. lim x e/x =

95 4.4. TÜREVLER VE BIR EĞRININ EĞIMI 95 x, iken /x ve lim x e/x = e = dır. Yani y = yatay asipmtottur. Şimdi f nin birinci türevini hesaplayalım. Zincir kuralı ile f (x) = e/x x 2 dir. Her x için x 2 > ve e /x > olduğundan, her x için f (x) < dır. Dolayısıyla f fonksiyonu, (, ) ve (, ) aralıklarında azalandır. Kritik sayı olmadığından, f nin yerel maksimum/minimum u yoktur. İkinci Türev: e /x > ve x 4 > olduğundan, ve f (x) = x2 e /x ( /x 2 ) e /x (2x) x 4 = e/x (2x + ) x 4 x > 2 x < 2 (x ) iken f (x) > iken f (x) < olur. Böylece eğri (, 2 ) aralığında iç bükey, ( 2, ) ve (, ) aralıklarında dış bükeydir. ( 2, e 2 ) noktası büküm noktasıdır.

96 96 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI 4.5 Belirsizlik Durumları ve L Hospital Kuralı Teorem 6. L Hospital Kuralı a noktasının yakınında (belki a noktası dışında), f ve g fonksiyonlarının türevlenebilir ve g (x) olduğunu varsayalım. ya da lim f(x) = ve lim g(x) = x a x a lim f(x) = ± ve lim g(x) = ± x a x a olsun.(diğer bir ifadeyle ya da belirsizliği olsun.) O zaman, sağ taraftaki limit varsa (ya da veya ise), f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) olur. NOT L Hospital Kuralı aynı zamanda tek yönlü limitler, sonsuzdaki ve eksi sonsuzdaki limitler için de geçerlidir. Diğer bir ifadeyle x a yerine x a +, x a, x ve x sembollerinden biri gelebilir. Örnek 93. lim x ln x limitini bulunuz. x Çözüm: lim x olduğundan L Hospital Kuralı nı uygulayabiliriz: ln x = ln = ve lim(x ) = x lim x ln x x = lim x = lim x x = d (ln x) dx = lim d dx (x ) x /x Örnek 94. lim x e x limitini hesaplayınız. x2 Çözüm: olduğundan L Hospital Kuralı ile lim x ex = ve lim x x2 = lim x e x x 2 = lim x e x 2x

97 4.5. BELIRSIZLIK DURUMLARI VE L HOSPITAL KURALI 97 dir. x iken e x ve 2x olduğundan L Hospital Kuralı uygulanabilir: buluruz. Örnek 95. lim x π sin x limitini bulunuz. cos x e x lim x x 2 = lim e x x 2x = lim e x x 2 = Çözüm: Eğer burada L Hospital Kuralı nı koşullarını kontrol etmeden uygularsak elde ederiz. Bu yanlıştır! lim x π sin x cos x = lim x π cos x sin x = lim x π sin x cos x x π iken paydaki sin x olmasına rağmen paydadaki cos x ifadesi sıfıra yaklaşmaz. Dolayısıyla burada L Hospital Kuralı uygulanamaz. Aslında bu limiti hesaplamak kolaydır, çünkü fonksiyon süreklidir ve payda π de sıfırdan farklıdır: 4.5. Belirsiz Çarpımlar lim x π sin x cos x = sin π cos π = ( ) = Eğer lim f(x) = ve lim g(x) = (ya da ) x a x a ise lim f(x)g(x) x a limitinin değerinin, eğer varsa, ne olacağı açık değildir. Bu tür limit, türü belirsizlik olarak adlandırılır. f g çarpımını bölüm şeklinde yazarak bu durumu ele alabiliriz: f g = f /g ya da f g = g /f Verilen limiti ya da türü belirsizliğe dönüştürüp böylece L Hospital Kuralı nı kullanabiliriz. Örnek 96. lim x ln x limitini hesaplayınız. x + Çözüm: Verilen limit belirsizdir. Çünkü x + için birinci çarpan (x), a yaklaşırken ikinci çarpan (ln x), a yaklaşır. x = /(/x) yazarak x + iken /x elde ederiz. Dolayısıyla L Hospital Kuralı nı uygulayarak buluruz. ln x lim x ln x = lim x + x + /x = lim x + = lim x +( x) = x x 2

98 98 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI NOT Bu örneği çözerken bir başka seçenek x lim x ln x = lim x + x + / ln x yazmak olabilirdi. Bu türü belirsizlik verir, ama L Hospital Kuralı nı uygularsak baştakinden daha karmaşık bir ifade elde ederiz. Genelde belirsiz bir çarpımı yeniden yazarken daha basit bir limit elde edeceğimiz durumu seçmeye çalışırız Belirisiz Farklar ise lim f(x) = ve lim g(x) = x a x a lim[f(x) g(x)] x a limiti türü belirsizlik olarak adlandırılır. Farkı bölüme çevirerek ya da çalışırız. türü belirsizlik elde etmeye Örnek 97. lim x tan x) limitini hesaplayınız. x (π/2) (sec Çözüm: x (π/2) iken sec x ve tan x olduğundan verilen limit belirsizdir. Burada ortak paydayı kullanırız: lim x tan x) x (π/2) (sec = ( lim x (π/2) cos x sin x ) cos x = sin x lim x (π/2) cos x = cos x lim x (π/2) sin x = x (π/2) iken sin x ve cos x olmasının, L Hospital Kuralı nı uygulamayı haklı çıkardığına dikkat ediniz Belirsiz Kuvvetler limitinden çeşitli belirsizlik durumları ortaya çıkar. lim x a [f(x)]g(x) lim x a f(x) = ve lim x a g(x) = türü lim x a f(x) = ve lim x a g(x) = türü lim x a f(x) = ve lim x a g(x) = ± türü

99 4.5. BELIRSIZLIK DURUMLARI VE L HOSPITAL KURALI 99 Bu üç durumdan her biri ya doğal logaritma alarak: y = [f(x)] g(x) ise ln y = g(x) ln f(x) yada üstel fonksiyon şeklinde yazarak: [f(x)] g(x) g(x) ln f(x) = e (Bu yöntemlerin her ikisinin de bu fonksiyonların türevlerini bulurken kullanıldığını anımsayınız.) Her iki durumda da türü g(x) ln f(x) belirsiz çarpımını elde ederiz. Örnek 98. lim x +( + sin 4x)cot x limitini hesaplayınız. Çözüm: İlk olarak x + iken + sin 4x ve cot x olduğundan verilen limitin belirsiz olduğuna dikkat ediniz. y = ( + sin 4x) cot x olsun. O zaman ln y = ln[( + sin 4x) cot x ] = cot x ln( + sin 4x) olur, = ln( + sin 4x) lim ln y = lim x + x + tan x ln( + sin 4x) tan x ( belirsizliği) dolayısıyla L Hospital Kurali ile = lim x + 4 cos 4x +sin 4x sec 2 x = 4 buluruz.buraya kadar ln y nin limitini hesapladık. Fakat biz y nin limitini bulmak istiyoruz. Bunu bulmak için y = e ln y olduğunu kullanalım: Örnek 99. lim x xx limitini bulunuz. + lim x +( + sin 4x)cot x = lim x + y = lim x + eln y = e 4 Çözüm: Herhangi bir x > için x =, ama herhangi bir x için x = olduğundan bu limitin belirsiz olduğuna dikkat ediniz. Fonksiyonu üstel şekilde yazarak devam edebiliriz: x x = (e ln x ) x = e x ln x daha önce L Hospital kuralını kullanarak lim x ln x = olduğunu gösterdik. Dolayısıyla x + lim x + xx = lim x + ex ln x = e = dir.

100 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI 4.6 Optimizasyon Problemleri Örnek. 24 ft çiti olan bir çiftçi, bu çit ile bir kenarı ırmağa sınır olan dikdörtgensel bir arazi çevirmek istiyor. Irmak boyunca çit çekmesine gerek yoktur. En büyük alana sahip arazinin boyutları nedir? Çözüm: Bu problemde neler olduğunu hissetmek için birkaç özel durumu deneyelim. Aşağıda (ölçeklenmemiş), 24 ft lik teli kullanmanın olası yollarından üçünü göstermektedir. Sığ, geniş bölgeleri ya da derin, dar bölgeleri denediğimizde küçük alanlar elde ettiğimizi görüyoruz. En büyük alanı arada bulunan şeklin vereceği akla yatkındır. Şekil 4. genel durumu göstermektedir. Dikdörtgenin A alanını maksimum yapmak istiyoruz. x ve y sırasıyla dikdörtgenin derinliği ve genişliği olsun. Bu durumda A yı x ve y cinsinden ifade ederiz: Şekil 4. A = xy A yı tek değişkenli fonksiyon olarak ifade etmek istiyoruz. Bu nedenle y yi x cinsinden yazarak yok edeceğiz. Bunun için, telin toplam uzunluğunun 24 ft olduğu bilgisini kullanırız. Buradan, olur. Bu denklemden y = 24 2x elde ederiz ve 2x + y = 24 A = x(24 2x) = 24x 2x 2 buluruz. A = 24x 2x 2 x ve x 2 (aksi takdirde A < ) olduğuna dikkat ediniz. Şimdi A(x) = 24x 2x 2 x 2

101 4.6. OPTIMIZASYON PROBLEMLERI fonksiyonunu maksimum yapmak istiyoruz. Türev A (x) = 24 4x dir. Kritik sayıları bulmak için, 24 4x = denklemini çözerek, x = 6 buluruz. A nın maksimum değeri ya bu kritik sayıda ya da aralığın bir uç noktasında oluşur. A() =, A(6) = 72 ve A(2) =, olduğundan, Kapalı Aralık Yöntemi maksimum değeri A(6) = 72 olarak verir. [Alternatif olarak, her x için A (x) = 4 < olduğundan A daima iç bükeydir ve x = 6 deki yerel maksimum bir mutlak maksimum olmalıdır.] Sonuç olarak, dikdörtgensel bölgenin derinliği 6 ft ve genişliği 2 ft olmalıdır. Örnek. L yağ koymak için silindir biçiminde bir teneke kutu yapılmak isteniyor. Metal maliyeti minumum olan kutu üretmek için boyutları bulunuz. Çözüm: Şekil 4. deki gibi, yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir silindir çiziniz. Şekil 4. Metal maliyetini minimum yapmak için, silindirin toplam yüzey alanını (alt, üst ve yan) minumum yaparız. Şekil 4.2 den, kenarların, boyutları 2πr ve h olan bir dikdörtgensel levhadan yapıldığını görürüz. Şekil 4.2 Bu nedenle silindirin yüzey alanı A = 2πr 2 + 2πrh olur.

102 2 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI h yi yok etmek için hacmin L olarak verildiğini, cm 3 alarak kullanırız. Böylece den olur.bunu A nın ifadesinde yerine koyarsak elde ederiz. Şimdi A = 2πr 2 + 2πr πr 2 h = h = (πr 2 ) ( ) πr 2 = 2πr r A(r) = 2πr r > r fonksiyonunu minimum yapmak istiyoruz.kritik sayıları bulmak için A(r) nin türevini alırız: A (r) = 4πr 2 r 2 = 4(πr3 5) r 2 Burada πr 3 = 5 olduğunda A (r) = olur. Bu nedenle tek kritik sayı r = 3 5 π dir. A nın tanım kümesi (, ) olduğundan bir önceki örnekteki gibi uç noktaları kullanamayız. Ama r < 3 5 π için A (r) < ve r > 3 5 π için A (r) > olduğunu, dolayısıyla A nın kritik sayısının solundaki her r için azaldığını ve sağındaki her r için arttığını gözlemleyebiliriz. Böylece, r = 3 5 π mutlak minimumu vermelidir. [Alernatif olarak, r + iken A(r) ve r iken A(r) olduğundan, A(r) nin bir minumum değeri olmalı ve bu minimum değer kritik sayıda meydana gelmelidir. Bkz. Şekil 4.3] r = 3 5 π değerine karşılık gelen h değeri Şekil 4.3 h = πr 2 = 5 π(5/π) 2/3 = 2 3 π = 2r dir. Böylece kutunun maliyetini minimum yapmak için yarıçap 3 5 π olmalıdır. Örnek 2. y 2 = 2x parabolü üzerinde (, 4) noktasına en yakın olan noktayı bulunuz. cm ve yükseklik yarıçapın iki katı, yani çap

103 4.7. BIR FONKSIYONUN İLKELI 3 Çözüm: (x, y) ve (, 4) noktaları arasındaki uzaklık d = (x ) 2 + (y 4) 2 ile verilir. (Bkz. Şekil 4.4) Şekil 4.4 Ama, (x, y) parabolün üzerindeyse, x = y 2 /2 dir ve d nin ifadesi ( d = ) 2 2 y2 + (y 4) 2 olur. (İkinci seçenek, y = 2x alarak d yi yalnızca x cinsinden ifade edebilirdik.) d yi minimum yapmak yerine karesini minimum yapacağız: d 2 = f(y) = ( ) 2 2 y2 + (y 4) 2 (d 2 nin minimumu ile d nin minimumunun aynı noktada meydana geldiğine, ama d 2 ile çalışmanın d ile çalışmaktan daha kolay olduğuna dikkat ediniz.) Türev alırsak ( ) f (y) = 2 2 y2 y + 2(y 4) = y 3 8 elde ederiz, dolayısıyla y = 2 olduğunda f (y) = olur. y < 2 için f (y) < ve y > 2 için f (y) > olduğunu gözlemleyiniz. Buradan Mutlak Uç Değerler için Birinci Türev Testi ne göre mutlak minimum y = 2 de meydana gelir. (Yalnızca, problemin geometrik yapısından ötürü en yakın noktanın olduğunun fakat en uzak noktanın olmadığının açık olduğunu söyleyebilirdik.) Karşı gelen x değeri x = y 2 /2 = 2 dir. Böylece y 2 = 2x parabolü üzerinde (, 4) noktasına en yakın olan nokta, (2, 2) noktasıdır. 4.7 Bir Fonksiyonun İlkeli Tanım 7. Eğer bir I aralığındaki her x için F (x) = f(x) ise, F fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir.

104 4 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI Örneğin, f = x 2 olsun. Eğer Kuvvet Kuralı nı aklımızda tutarsak, f nin bir ilkelini bulmak zor değildir. F (x) = 3 x3 ise F (x) = x 2 = f(x) dir. Fakat G(x) = 3 x3 + fonksiyonu da G (x) = x 2 yi sağlar. Böylece hem F hem de G fonksiyonları f nin ilkelleridir. Gerçekten, C bir sabit olmak üzere, H(x) = 3 x3 + C biçimindeki her fonksiyon f nin bir ilkelidir. Teorem 7. F fonksiyonu bir I aralığı üzerinde f nin bir ilkeli ise, C herhangi bir sabit olmak üzere, F (x) + C (4.) f nin I üzerindeki en genel ilkelidir. Örnek 3. Aşağıdaki fonksiyonların en genel ilkellerini bulunuz. (a) f(x) = sin x (b) f(x) = /x (c) f(x) = x n, n Çözüm: (a) F (x) = cos x ise F (x) = sin x olur. Bu nedenle sin x in bir ilkeli cos x dir. Teoremden en genel ilkeli G(x) = cos x + C dir. (b) d dx (ln x) = olduğunu anımsayınız. Bu nedenle (, ) aralığında /x in genel ilkeli ln x + C dir. Aynı zamanda, her x için d dx (ln x ) = x olduğunu öğrenmiştik. Teorem, f(x) = /x in genel ilkelinin sıfırı içermeyen herhangi bir aralıkta ln x + C olduğunu söyler. Özel olarak, (, ) ve (, ) aralıklarının her birinde bu doğrudur. Böylece f nin genel ilkeli { F (x) = ln x + C eğer x > ln( x) + C 2 eğer x < dir. (c) x n nin ilkelini bulmak için Kuvvet Kuralı nı kullanırız. Aslında, n ise, d dx ( ) x n+ = n + (n + )xn n + = x n dir. Böylece f(x) = x n nin genel ilkeli F (x) = xn+ n + + C olur. f(x) = x n bir aralık üzerinde tanımlı olduğundan bu n için geçerlidir. Eğer n negatif (fakat n ) ise bu ı içermeyen herhangi bir aralıkta geçerlidir.

105 4.7. BIR FONKSIYONUN İLKELI 5

106 6 BÖLÜM 4. TÜREV UYGULAMALARI

107 Bölüm 5 Integral 5. Alan ve Uzaklık Alan Problemi a dan b ye kadar y = f(x) eğrisinin altında kalan S bölgesinin alanını bulalım. Burada S bölgesi, Şekil 5. de gösterildiği gibi, [f(x) olacak şekilde] sürekli bir f fonksiyonu x = a, x = b düşey doğruları ve x-ekseniyle sınırlanan bölgedir. Şekil 5.: S = {(x, y) a x b, y f(x)} Alan sözcüğünün anlamı nedir? Kenarları doğrulardan oluşan bir bölge için bu soruyu yanıtlamak kolaydır. Örneğin bir dikdörtgen için alan, uzunluğuyla genişliğinin çarpımı olarak tanımlanmıştır. Bir çokgenin alanı, onu üçgenlere ayırıp, bu üçgenlerin alanları toplanarak bulunur. Ancak, kenarları eğrilerden oluşan bir bölgenin alanını bulmak bu kadar kolay değildir. Alan hesabı için dikdörtgenler kullanarak, S bölgesine bir yaklaşım elde edeceğiz, sonra dikdörtgenlerin sayısını arttırarak dikdörtgenlerin toplam alanının limitini hesaplayacağız. 7

108 8 BÖLÜM 5. INTEGRAL Örnek 4. Dikdörtgenler kullanarak, dan e kadar, y = x 2 eğrisinin altında kalan alanı yaklaşık olarak bulunuz. (Şekil 5.2 de gösterilen parabolik bölge). Şekil 5.2 Çözüm: Öncelikle, S nin alanının ile arasında olması gerektiğini görelim: kenar uzunluğu olan bir kare S bölgesini kapsar. Şekil 5.3 Ancak bundan daha iyisini yapabiliriz. Şekil 5.4a(a) daki gibi x = 4, x = 2, x = 3 düşey doğrularını çizerek S 4 yi S, S 2, S 3 ve S 4 şeritlerine ayıralım. [Bkz. Şekil 5.4a]. (a) Şekil 5.4 (b) Bu şeritlerin her birinin tabanı kendi tabanına eşit, yüksekliği ise şeridin sağ kenar uzunluğuna eşit olan bir

109 5.. ALAN VE UZAKLIK 9 dikdörtgen gibi düşünebiliriz [ [Bkz. Şekil 5.4b]. Diğer bir deyişle, bu dikdörtgenlerin yüksekliği, f(x) = x 2 fonksiyonunun sırasıyla, ] [, 4 4, ] [, 2 2, 3 ] [ ] 3, 4 4, alt aralıklarının sağ uç noktalarındaki değerleridir. Her dikdörtgenin genişliği ( 2 ( ) 2 ( ) ) ve yükseklikleri, sırasıyla,, ve 2 dir. Bu dikdörtgenlerinin 2 4 alanlarının toplamını R 4 ile gösterirsek R 4 = 4 ( ) ( ) ( ) = 5 32 = elde ederiz. Şekilden, S nin alanının(a), R 4 den küçük olduğunu görüyoruz, dolayısıyla A < dir. Şekil 5.4b deki dikdörtgenlerin yerine Şekil 5.5 deki küçük dikdörtgenleri kullanırsak, Şekil 5.5 bu dikdörtgenlerin yüksekliklerini, f yi alt aralıkların sol uç noktalarında hesaplayarak dikdörtgenlerin toplam alanı L 4 = ( ) ( ) olur. S nin alanının L 4 den büyük olduğunu görüyoruz, dolayısıyla A için.2875 < A < ( ) 3 2 = =.2875 alt ve üst sınırlarını elde ederiz. Bu işlemleri daha fazla sayıda dikdörtgen kullanarak yineleyebiliriz. Şekil 5.6, S bölgesinin genişlikleri eşit uzunlukta olan sekiz dikdörtgene bölüşünü gösteriyor. Şekil 5.6: R 8 ve L 8

110 BÖLÜM 5. INTEGRAL Küçük dikdörtgenlerin (L 8 ) alanları toplamını ve büyük dikdörtgenlerin (R 8 ) alanları toplamını hesaplayarak, A için öncekinden daha iyi alt ve üst sınır elde ederiz: < A < Dolayısıyla, soruya verilebilecek olası bir yanıt, S nin gerçek alanının ile arasında bir değer olduğudur. Bölgelerin sayısını arttırarak daha iyi sınırlar bulabiliriz. Tablo, n tane dikdörtgen için yapılan benzer hesaplarla, yüksekliklerin sol uç noktalarda hesaplandığı (L n ) ve sağ uç noktalarda hesaplandığı (R n ) değerlerini gösterir. n L n R n Tablodaki değerler, n arttıkça R n nin /3 e yaklaştığını düşündürür.bir sonraki örnek bunun doğruluğunu gösterir. Örnek 5. İlk örnekdeki S bölgesi için büyük dikdörtgenlerin alanları toplamının e yaklaştığını, diğer bir deyişle 3 olduğunu gösteriniz. lim n R n = 3 Çözüm: R n Şekil 5.7 de görülen dikdörtgenlerin alanlarının toplamıdır. Dikdörtgenlerin genişlikleri /n, yükseklikleri ise f(x) = x 2 fonksiyonunun /n, 2/n, 3/n,..., n/n noktalarındaki değerleridir, Şekil 5.7

111 5.. ALAN VE UZAKLIK bu yüzden dikdörtgenlerin yükseklikleri sırasıyla (/n) 2, (2/n) 2, (3/n) 2,..., (n/n) 2 olur. Böylece R n = n ( ) 2 + n n ( ) n n ( ) ( n ) 2 n n n = n n 2 ( n 2 ) = n 3 ( n 2 ) dir. Burada ilk n pozitif tam sayısının karalerinin toplamı formülüne gereksinim duyarız. Formül (5.) i, R n nin ifadesine yerleştirince n 2 = n(n + )(2n + ). (5.) 6 bulunur. Böylece, R n = n(n + )(2n + ) (n + )(2n + ) = n3 6 6n 2 lim n = lim (n + )(2n + ) n 6n 2 = lim n 6 ( ) ( ) n + 2n + n ( = lim + ) ( 2 + ) n 6 n n n = 6 2 = 3 Alt yaklaşık toplamlarının da e yaklaştığı, diğer bir deyişle, 3 olduğu gösterilebilir. lim n L n = 3 Şekillerden, n arttıkça, L n ve R n nin, S nin alanına daha yakın değerler aldığını görüyoruz. Bu yüzden A alanını, n sonsuza giderken R n ve L n nin limiti olarak tanımlarız. A = lim R n = lim n L n = 3.

112 2 BÖLÜM 5. INTEGRAL Şekil 5. Örneklerdeki fikirleri uygulayarak, Şekil 5. deki daha genel bir S bölgesinin alanını bulalım. Önce Şekil 5. da görüldüğü gibi, S yi genişlikleri eşit olan n tane S, S 2,..., S n şeritlerine ayıralım. [a, b] aralığının uzunluğu b a dır. Dolayısıyla her bir şeridin genişliği x = b a n olur. Bu şeritler, [a, b] aralığını, x = a ve x n = b olmak üzere [x, x ], [x, x 2 ], [x 2, x 3 ],..., [x n, x n ] şeklinde n alt aralığa böler. Bu alt aralıkların sağ uç noktaları x = a + x, x 2 = a + 2 x, x 3 = a + 3 x,... dır. S i yi, genişliği x, yüksekliği f(x i ) olan bir dikdörtgen gibi düşünelim (Bkz. Şekil 5.). Şekil 5. Dikdörtgenin alanı f(x i ) x dir. S nin alanını yaklaşık olarak, dikdörtgenlerin alanlarını toplayarak bulabiliriz, bu da R n = f(x ) x + f(x 2 ) x f(x n ) x

113 5.. ALAN VE UZAKLIK 3 Şekil 5.2 dir. Şekil 5.2 bu yaklaşımı, n = 2, 4, 8, 2 için göstermektedir. Şeritlerin sayısı arttıkça, başka bir deyişle n iken, bu yaklaşımın gittikçe iyileştiğine dikkat ediniz. Bu yüzden S bölgesinin A alanı aşağıdaki gibi tanımlanır. Tanım 8. Sürekli bir f fonksiyonunun grafiği altında kalan bölgenin A alanı, yaklaştırım dikdörtgenlerinin toplam alanının limitidir: A = lim n R n = lim n [f(x ) x + f(x 2 ) x f(x n ) x] (5.2) f sürekli olduğundan, tanımdaki limitin her zaman var olduğu kanıtlanabilir. Sol uç noktaları kullandığımızda sonucun değişmeyeceği de gösterilebilir: A = lim n L n = lim n [f(x ) x + f(x ) x f(x n ) x] (5.3) Aslında i inci dikdörtgenin yüksekliğini, sol ya da sağ uç noktalar yerine, f nin, [x i, x i ] alt aralığındaki herhangi bir x i deki değeri olarak alabilirdik. x, x 2,..., x n sayılarına örnek noktalar denir. Şekil 5.3, örnek noktaların uç noktalar olarak alınmadığı dikdörtgenlerle yaklaşımı göstermektedir. Dolayısıyla S nin alanı daha genel olarak A = lim n [f(x ) x + f(x 2) x f(x n) x] (5.4) şeklinde ifade edilir. Terim sayısı fazla olan toplamları kısaca göstermek için çoğunlukla sigma gösterimini kullanırız. Örneğin, n f(x i ) x = f(x ) x + f(x 2 ) x f(x n ) x i=

114 4 BÖLÜM 5. INTEGRAL Şekil 5.3 Dolayısıyla, Denklem (5.2), (5.3) ve (5.4) deki alan ifadeleri olarak yazılabilir. A = lim n A = lim n A = lim n n f(x i ) x i= n f(x i ) x i= n f(x i ) x i=

115 5.2. UZAKLIK PROBLEMI Uzaklık Problemi Her andaki hızı bilinen bir cismin belli bir zaman diliminde gittiği uzaklığı bulunuz. (Bir anlamda bu daha önce ele aldığımız hız probleminin tersidir.) Eğer hız sabitse, uzaklık problemi uzaklık = hız zaman formülüyle kolayca çözülür. Eğer hız değişiyorsa gidilen uzaklığı bulmak bu kadar kolay değildir. Örnek 6. Bir atletin hızı yarışın ilk üç saniyesinde artmaktadır. Atletin yarım saniyelik dilimlerdeki hızı tabloda gösterilmiştir. Atletin bu üç saniyede koştuğu yol için alt ve üst sınırlar bulunuz. Zaman t(sn) Hız v(m/sn) Çözüm: Tablodan da görebileceğimiz gibi atlet sürekli hızlanmaktadır. O yüzden eğer her zaman aralığı için, o aralığın sonundaki hızı alırsak gittiği yolu fazla hesaplamış, eğer her zaman aralığı için o aralığın başındaki hızı alırsak da gittiği yolu az hesaplamış oluruz. Her zaman aralığını.5 sn olduğuna dikkat ederek, önce ilk duruma göre yaklaşık ne kadar yol gittiğini bulalım: R n = = 44.8 Şimdide ikinci duruma göre yaklaşık olarak ne kadar yol gittiğini bulalım: L n = Buna göre atlet en fazla 44.8 ft en az 34.7 ft yol gitmiştir = Belirli İntegral Alan hesaplarken lim n n i= f(x i ) x = lim n [f(x ) x + f(x 2) x f(x n) x] (5.5) şeklinde bir limitin ortaya çıktığını gördük. Bu tip limitler, f nin pozitif olmak zorunda olmadığı, birçok değişik durumlarda da karşımıza çıkar. (5.5) deki benzer limitlerle, eğrilerin uzunluğunu, cisimlerin hacmini, kütle merkezini, su basıncından kaynaklanan kuvveti ve yapılan işi bulmak gibi bir çok niceliği hesaplarken karşılaşıldığını göreceğiz. Dolayısıyla bu tip limitler için özel bir ad ve gösterim kullanacağız.

116 6 BÖLÜM 5. INTEGRAL Tanım 9. f fonksiyonu a x b aralığında tanımlı ve sürekli olsun, [a, b] kapalı aralığını x = (b a)/n eşit uzunluğunda n alt aralığa ayıralım. Alt aralıkların uç noktaları x (= a), x, x 2,..., x n (= b) olsun ve her alt aralıktan, x i noktası [x i, x i ] de olacak şekilde x, x 2, x 3,..., x n, örnek noktalarını seçelim. Bu durumda, a dan b ye f nin belirli integrali olarak tanımlanır. b a f(x)dx = lim n n f(x i ) x i= NOT : b a f(x)dx gösteriminde f(x), integrali alınan fonksiyon, a, b integralin sınırları; a alt sınır, b üst sınır olarak adlandırılır. İntegrali hesaplama sürecine de integral almak denir. NOT 2 : b a f(x)dx belirli integrali bir sayıdır; x değişkenine bağlı değildir. Aslında x yerine istediğimiz harfi koyabiliriz, integralin değeri değişmez: b a f(x)dx = b a f(t)dt = b a f(r)dr NOT 3 : Karşılaştığımız fonksiyonların çoğunun sürekli olmasına karşın, tanımdaki limit, f nin sonlu sayıda giderilebilir ya da sıçrama tipi süreksizliği olduğunda da vardır. Dolayısıyla, bu tip fonksiyonların da belirli integralini tanımlayabiliriz. NOT 4 : Tanımda karşılaştığımız n f(x i ) x i= toplamına Riemann toplamı denir. Eğer f pozitifse, Riemann toplamını, yaklaştırım dikdörtgenlerinin toplam alanı olarak yorumlayabileceğimizi biliyoruz (Bkz. Şekil 5.4). Şekil 5.4

117 5.3. BELIRLI İNTEGRAL 7 b Buradaki tanım ile alan tanımını karşılaştırırsak, altında kalan alan olduğunu görürüz. (Bkz. Şekil 5.5) a f(x)dx belirli integralinin a dan b ye kadar, y = f(x) eğrisinin Şekil 5.5 Eğer f, Şekil 5.6 teki gibi hem pozitif hem de negatif değerler alıyorsa, Riemann toplamı x-ekseninin üstünde kalan dikdörtgenlerin toplam alanı ile, x-ekseni altında kalan dikdörtgenlerinin toplam alanının farkıdır. Şekil 5.6 Bu tip Riemann toplamlarının limiti, 5.7 de gösterilen durumu ortaya çıkarır. Belirli integral, alanların farkı olan net alan olarak yorumlanabilir: b a f(x)dx = A A 2 Burada A, x-ekseninin üstünde ve f nin grafiğinin altında kalan, A 2 ise x-ekseninin altında ve f nin grafiğinin üstünde kalan alını gösterir. Şekil 5.7

118 8 BÖLÜM 5. INTEGRAL Örnek 7. lim n n [x 3 i + x i sin x i ] x i= limitini [, π] üzerinde bir integral olarak ifade ediniz. Çözüm: Verilen limiti tanım ile karşılaştırdığımızda, f(x) = x 3 + x sin x ve x i = x i seçersek aynı limit ifadelerini elde ederiz. (Bu durumda, örnek noktalar sağ uç noktalardır ve limit, Denklem 5.3 gibidir.) a = ve b = π verildiğinden, integrali n π [x 3 i + x i sin x i ] x = (x 3 + x sin x)dx olarak yazabiliriz. lim n i= 5.4 İntegralin Hesaplanması Bir belirli integrali, tanımı kullanarak hesaplarken, toplamlarla nasıl çalışacağımızı bilmeliyiz. Aşağıdaki üç denklem pozitif tam sayıların kuvvetlerinin toplamını verir. n i = i= n(n + ) 2 (5.6) n i 2 n(n + )(2n + ) = 6 (5.7) n [ ] n(n + ) 2 i 3 = 2 (5.8) i= i= Geri kalan formüller sigma gösterimiyle çalışabilmek için basit kurallardır: n c = nc (5.9) Örnek 8. 3 i= n ca i = c i= n (a i + b i ) = i= n (a i b i ) = i= (x 3 6x)dx integralini hesaplayınız. n a i (5.) i= n a i + i= n a i i= n b i (5.) i= n b i (5.2) i=

119 5.5. BELIRLI İNTEGRALLERIN ÖZELLIKLERI 9 Çözüm: n alt aralık için, x = b a n dir. x =, x = 3/n, x 2 = 6/n, x 3 = 9/n ve genel olarak = 3 n x i = 3i n dir. Sağ uç noktaları aldığımızdan Deklem 3 ü kullanabiliriz: 3 (x 3 6x)dx = lim n n i= 3 = lim n n f(x i ) x = lim n i= n f i= [ n (3i ) 3 ( 3i 6 n n n 3 = lim n n [ 8 = lim n i= n 4 { 8 = lim n n 4 [ 27 n 3 i3 8 ] n i n i= i 3 54 n 2 [ n(n + ) 2 ] n i i= ) ] ( ) 3i 3 n n ] } 2 54 n(n + ) n 2 2 [ ( 8 = lim + 2 ( 27 + n 4 n) ) ] n = = 27 4 = 6.75 f hem pozitif hem de negatif değerler alındığından bu integral bir alan olarak yorumlanamaz. Ancak Şekil 5.8 da gösterilen A ve A 2 alanlarının A A 2 farkı olarak yorumlanabilir. 3 Şekil 5.8: (x 3 6x)dx = A A 2 = Belirli İntegrallerin Özellikleri. c bir sabit sayı olmak üzere c dx = c(b a) b a

120 2 BÖLÜM 5. INTEGRAL a b a a b a b f(x)dx = f(x)dx = a [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx b a b f(x)dx + a g(x)dx 5. c bir sabit olmak üzere b a b cf(x)dx = c a f(x)dx b a c a [f(x) g(x)]dx = b f(x)dx + c b a f(x)dx = b f(x)dx b a a f(x)dx g(x)dx Örnek 9. İntegralin özelliklerini kullanarak (4 + 3x 2 )dx integralini hesaplayınız. Çözüm: Özellik 4 ve 5 i kullanarak elde ederiz. Özellik den olduğunu biliyoruz ve daha önce Örnek. f(x)dx = 7 ve 8 (4 + 3x 2 )dx = 4 dx + 3x 2 dx = 4 dx = 4( ) = 4 4 dx + 3 x 2 dx = /3 olduğunu bulmuştuk. Buradan (4 + 3x 2 )dx = 4dx + 3 f(x)dx = 2 olduğu biliniyorsa, x 2 dx x 2 dx = = 5 bulunur. 8 f(x)dx i bulunuz.

121 5.5. BELIRLI İNTEGRALLERIN ÖZELLIKLERI 2 Çözüm: Özellik 7 den olur. Böylece 8 8 f(x)dx = f(x)dx f(x)dx f(x)dx = f(x)dx f(x)dx = 7 2 = 5 dir. İntegralleri Karşılaştırma Özellikleri 8. a x b iken f(x) ise f(x)dx dır. b a b b 9. a x b iken f(x) g(x) ise f(x)dx g(x)dx dır. a a. a x b iken m f(x) M ise m(b a) b a f(x)dx M(b a) dır. Örnek. Özellik u kullanarak e x2 dx integraline alt ve üst sınır bulunuz. Çözüm: f(x) = e x2 fonksiyonu [, ] aralığında azalan bir fonksiyon olduğundan, mutlak maksimum değeri M = f() =, mutlak minimum değeri ise m = f() = e dir. Özellik dan ya da dir. e.3679 olduğundan e ( ) e.367 e x2 dx ( ) e x2 dx e x2 dx yazabiliriz. Bu örneğin sonucu Şekil 5.9 de gösterilmiştir. İntegral aşağıdaki dikdörtgenin alanından büyük, karenin alanından küçüktür.

122 22 BÖLÜM 5. INTEGRAL Şekil 5.9 Teorem 8. f fonksiyonu [a, b] aralığında sürekliyse, f fonksiyonunun herhangi bir F ilkeli, başka bir deyişle F = f için b a f(x)dx = F (b) F (a) dır. Örneğin, f(x) = x 2 nin bir ilkelinin F (x) = 3 x3 olduğunu biliyoruz. Değer Bulma Teoremi bize olduğunu söyler. Değer Bulma Teoremi ni uygularken gösterimini kullanarak F = f olmak üzere x 2 dx = F () F () = = 3 ] b F (x) = F (b) F (a) a b a ] b f(x)dx = F (x) a yazılabilir. Sıkça kullanılan diğer gösterimler F (x) b ] b [F ve (x) dir. a a 3 Örnek 2. e x dx integralini hesaplayınız. Çözüm: f(x) = e x fonksiyonunun bir ilkeli F (x) = e x olduğundan Değer Bulma Teoremi ni kullanarak elde ederiz. 3 e x dx = e x] 3 = e3 e

123 5.5. BELIRLI İNTEGRALLERIN ÖZELLIKLERI 23 Örnek 3. b π/2 olmak üzere x = dan x = b ye kadar kosinüs eğrisinin altında kalan alanı bulunuz. Çözüm: f(x) = cos x fonksiyonunun bir ilkeli F (x) = sin x olduğundan dir. A = b ] b cos x dx = sin x = sin b sin = sin b Özel olarak b = π/2 alırsak, dan π/2 ye kadar kosinüs eğrisinin altında kalan alanın, sin(π/2) = olduğunu kanıtlamış oluruz. İlkeller ile integraller arasındaki ilişkiden dolayı f nin ilkelini göstermek için geleneksel olarak belirsiz integral olarak adlandırılan f(x)dx gösterimi kullanılır. Dolayısıyla, f(x)dx = F (x), F (x) = f(x) anlamına gelir. Belirli ve belirsiz integralin arasındaki ayrıma dikkat etmelisiniz. b a f(x)dx belirli integrali bir sayı, f(x)dx belirsiz integrali ise bir fonksiyondur. f fonksiyonunun I aralığındaki bir ilkeli F ise f nin bu aralıktaki en genel ilkelinin, C herhangi bir sabit olmak üzere F (x) + C şeklinde olduğunu anımsayınız. Örneğin, dx = ln x + C x formülü ( içermeyen her aralıkta) doğrudur, çünkü d dx ln x = x için bir tane olmak üzere), bütün ilkeller ailesini de gösterebilir. gösterimi f nin herhangi bir ilkelini ya da (her C

124 24 BÖLÜM 5. INTEGRAL [f(x) + g(x)]dx = cf(x)dx = c f(x)dx + f(x)dx g(x)dx x n dx = xn+ + C n + (n ) dx x = ln x + C e x dx = e x + C a x dx = ax ln a + C sin xdx = cos x + C cos xdx = sin x + C sec 2 xdx = tan x + C csc 2 xdx = cot x + C sec x tan xdx = sec x + C csc x cot xdx = csc x + C x 2 + dx = tan x + C x 2 dx = sin x + C Örnek 4. Gösterim konusundaki uzlaşmamızı ve belirsiz integraller tablosunu kullanarak (x 4 2 sec 2 x)dx = x 4 dx 2 sec 2 xdx = x5 5 2 tan x + C = 2x 5 2 tan x + C elde ederiz. Yanıtın türevini alarak doğruluğunu kontrol etmelisiniz.

125 5.5. BELIRLI İNTEGRALLERIN ÖZELLIKLERI 25 3 Örnek 5. (x 3 6x)dx integralini hesaplayınız. Çözüm: Değer Bulma Teoremi nden elde ederiz. 3 ] 3 (x 3 6x)dx = x4 4 6x2 2 = ( ) ( ) = = Örnek 6. ( 2x 3 6x + 3 ) x 2 dx integralini bulunuz. + Çözüm: Değer Bulma Teoremi nden 2 ( 2x 3 6x + 3 ) ] 2 x 2 dx = 2 x x tan x = ] 2 2 x4 3x tan x = 2 (24 ) 3(2 2 ) + 3 tan 2 = tan 2 dir. Bu, integralin kesin değeridir. Örnek t 2 + t 2 t t 2 dt integralini hesaplayınız.

126 26 BÖLÜM 5. INTEGRAL Çözüm: Önce integrali alınan fonksiyonu bölme yaparak sadeleştirmemiz gerekir: 9 2t 2 + t 2 t t 2 dt = 9 (2 + t /2 t 2 )dt = 2t + t3/2 3 2 ] 9 t = 2t t3/2 + t ] 9 [ (9)3/2 + 9 ] ( /2 + )[ (9)3/2 + 9 ] ( /2 + ) = = F (x) in, x değişkenine göre y = F (x) in değişim hızını verdiğini ve F (b) F (a) nın x, a dan b ye değişirken, y deki değişikliği verdiğini biliyoruz. Dolayısıyla Değer Bulma Teoremi ni yeniden Teorem 9. Değişim hızının integrali toplam değişimi verir: olarak ifade edebiliriz. b a F (x)dx = F (b) F (a) Örneğin, V (t) bir su deposundaki suyun t anındaki hacmiyse V (t) türevi, t anında suyun depoya t anındaki akış hızını verir. Dolayısıyla t 2 t V (x)dx = V (t 2 ) V (t ) depodaki su miktarının, t ile t 2 anları arasında farkıdır. Bir çubuğun, sol uçtan, herhangi bir x noktasına kadar kütlesi m(x) ise doğrusal yoğunluğu ρ(x) = m (x) dir. Dolayısıyla b a ρ(x)dx = m(b) m(a) çubuğun x = a ile x = b noktaları arasında kalan kısmının kütlesidir. Bir topluluğun nüfusunun artış hızı dn/dt ise t 2 t dn dt dt = n(t 2) n(t ) nüfusun t den t 2 ye kadar olan zaman dilimindeki artışıdır.

127 5.5. BELIRLI İNTEGRALLERIN ÖZELLIKLERI 27 Bir cisim, düzgün bir doğru boyunca konum vektörü s(t) olacak şekilde hareket ediyorsa, hızı v(t) = s (t) dir. Dolayısıyla, t 2 t v(t)dt = s(t 2 ) s(t ) (5.3) cismin t den t 2 ye kadar olan zaman dilimindeki yer değişikliğidir. Daha önce bunun pozitif yönde hareket eden bir cisim için doğru olduğunu tahmin etmiştik, şimdi, her durumda doğru olduğunu kanıtlamış olduk. Bir zaman diliminde gidilen yolu bulmak istersek, (parçacık sağa giderken) v(t) ve (parçacık sola giderken) v(t) olan aralıkları incelemeliyiz. Her iki durumda da uzaklık, v(t) fonksiyonunun integrali alınarak hesaplanır. Bu yüzden, t 2 olur. Cismin ivmesi a(t) = v (t) dir. Dolayısıyla, t anından t 2 ye kadar hızdaki değişikliktir. Örnek 8. t v(t) dt = gidilen toplam yol (5.4) t 2 t a(t)dt = v(t 2 ) v(t ) Bir parçacık, bir doğru boyunca, (saniyede metre cinsinden) v(t) = t 2 t 6 hızıyla hareket etmektedir. (a) Parçacığın t 4 zaman dilimindeki yer değişimini bulunuz. (b) Bu zaman diliminde gittiği yolu bulunuz. Çözüm: (a) Denklem (5.3) den, yer değişimi s(4) s() = 4 v(t)dt = 4 ] 4 (t 2 t 6)dt [ t 3 = 3 t2 2 6t = 9 2 olur. Bu cismin t = 4 anındaki konumunun, başlangıç konumunun 4.5 m solunda olması anlamına gelir. (b) v(t) = t 2 t 6 = (t 3)(t + 2) olduğundan, [, 3] aralığında v(t) ve [3, 4] aralığında v(t) dır.dolayısıyla, Denklem (5.4) ten gidilen yol dir. 4 v(t) dt = = = 3 3 = [v(t)]dt + 3 ( t 2 + t + 6)dt + v(t)dt [ t3 3 + t t ] 3 +, 7m 4 3 [ t 3 (t 2 t 6)dt 3 t2 2 6t ] 4 3

128 28 BÖLÜM 5. INTEGRAL Kural 4. f fonksiyonu [a, b], aralığında sürekli ise, x g(x) = f(t)dt a a x b olarak tanımlanmış olan g fonksiyonu f nin bir ilkelidir. Diğer bir deyişle a < x < b için g (x) = f(x) dir. Türev için Leibniz gösterimini kullanarak, f sürekli olduğunda bu teoremi d dx x a f(t)dx = f(x) olarak yazabiliriz. Bu eşitlik kabaca, f nin önce integralini sonrada sonucun türevini alırsak, başlangıçtaki f fonksiyonuna geri döneceğimizi söyler. Örnek 9. g(x) = x + t 2 dt fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm: f(t) = + t 2 sürekli olduğundan, Kalkülüsün Temel Teoremi Kısım bize verir. Örnek 2. d dx x4 sec t dt yi bulunuz. g (x) = + x 2 Çözüm: Burada Kalkülüsün Temel Teoremi Kısın i Zincir Kuralı yla birlikte kullanmamız gerektiğine dikkat ediniz. u = x 4 olsun d x4 sec t dt = d u sec t dt = d u sec t dt du (Zincir K.) dx dx du dx = sec u du dx (KTT den) = sec(x 4 ) 4x 3 elde ederiz.

129 5.6. YERINE KOYMA KURALI 29 Şimdi, Temel Teoremin iki kısmını bir araya getireceğiz. İntegral ve türevi ilişkilendirdiği için Kısım temel olarak alınır. Ancak Değer Bulma Teoremi de, integral ve türev arasında bir ilişki verir, dolayısıyla bu teoremi, Temel Teorem Kısım 2 olarak yeniden adlandırıyoruz. g(x) = x a f(t)dt ise g (x) = f(x) dir. f nin herhangi bir F ilkeli, başka bir deyişle F = f için 5.6 Yerine Koyma Kuralı Kural 5. b a f(x)dx = F (b) F (a) dır. u = g(x) değer kümesi I aralığı olan türevlenebilir bir fonksiyon ve f fonksiyonu I aralığında sürekliyse, f(g(x)) g (x) dx = f(u) du (5.5) olur. Örnek 2. Örnek : x 3 cos(x 4 + 2) dx integralini bulunuz. Çözüm: du = 4x 3 dx diferansiyeli, 4 çarpanı dışında, integralin içinde yer aldığından, u = x değişken değişikliğini yaparız. Bu yüzden, x 3 dx = du/4 ve Yerine Koyma Kuralı ndan x 3 cos(x 4 + 2) dx = cos u 4 du = cos u du 4 = 4 sin u + C = 4 sin(x4 + 2) + C olur. Son aşamada başlangıçtaki x değişkenine dönmemiz gerektiğine dikkat ediniz. Yerine Koyma Kuralının temel fikri, karmaşık bir integrali daha basit bir hale dönüştürmektir. Bu başlangıçtaki x değişkeninden, x e bağlı bir fonksiyon olan u ya geçilerek yapılır. Örnek 22. 2x + dx integralini hesaplayınız.

130 3 BÖLÜM 5. INTEGRAL Çözüm:. yol: Bu durumda u = 2x + olsun. du = 2dx, ve dx = du/2 olur. Dolayısıyla, Yerine Koyma Kuralı 2x u du + dx = 2 = u /2 du 2 = 2 u3/2 3/2 + C = 3 u3/2 + C verir. = 3 (2x + )3/2 + C 2. yol: Olası bir başka değişken değişikliği de u = 2x + dir. Bu durumda du = dx 2x + bundan dolayı dx = 2x + du = u du olur. (Ya da u 2 = 2x +, ve bundan dolayı 2u du = 2 dx olduğunu gözlemleyiniz.) Böylece 2x + dx = u u du = u 2 du elde edilir. = u3 3 + C = 3 (2x + )3/2 + C Örnek 23. x dx integralini bulunuz. 4x 2 Çözüm: u = 4x 2 olsun. Dolayısıyla du = 8x dx buradan x dx = 8du olur ve x dx = du = u /2 du 4x 2 8 u 8 bulunur. = 8 ( ) 2 u + C = 4x C Örnek 24. e 5x dx integralini hesaplayınız. Çözüm: u = 5x alırsak, du = 5 dx, buradan dx = 5du olur. Bundan dolayı e 5x dx = e u du = 5 5 eu + C = 5 e5x + C dir. Örnek 25. tan x dx integralini hesaplayınız.

131 5.6. YERINE KOYMA KURALI 3 Çözüm: Önce tanjantı, sinüs ve cosinüs cinsinden yazalım: tan x dx = sin x cos x dx Bu, du = sin x dx ve buradan sin x dx = du olduğundan u = cos x seçmemiz gerektiğini gösterir: sin x tan x dx = cos x dx = u du = ln u + C = ln cos x + C ln cos x = ln ( cos x ) = ln (/ cos x ) = ln sec x olduğundan, sonuç tan x dx = ln sec x + C biçiminde de yazılabilir. Kural 6 (Belirli İntegraller İçin Yerine Koyma Kuralı). g fonksiyonu [a, b] aralığında, f fonksiyonu u = g(x) in değer kümesinde sürekliyse, olur. b a f(g(x))g (x) dx = g(b) g(a) f(u) du (5.6) Örnek i kullanarak 4 2x + dx integralini hesaplayınız. Çözüm: u = 2x + ise dx = du/2 olur. İntegralin yeni sınırlarını belirlemek için olduğuna dikkat edelim. Dolayısıyla x =, u = 2 + = ve x = 4, u = = 9 9 2x + dx = u du = ] 9 3 u3/2 = 3 (93/2 3/2 ) = 26 3 olur. 5.6 i kullandığımızda, integrali aldıktan sonra x değişkenine dönmediğimizi gözlemleyelim. Diğer bir deyişle u cinsinden bir ifadeyi u nun uygun değerleri arasında hesaplıyoruz. Örnek dx integralini hesaplayınız. (3 5x) 2

132 32 BÖLÜM 5. INTEGRAL Çözüm: u = 3 5x olsun. du = 5dx buradan da dx = du/5 olur. x = iken u = 2, x = 2 iken u = 7 dir. Böylece 2 dx (3 5x) 2 = du u 2 = [ ] 7 = ] 7 5 u 2 5u 2 = ( ) = 2 4 Örnek 28. e ln x x dx integralini bulunuz. Çözüm: du = dx/x integralde göründüğünden u = ln x alırız. x = iken u = ln = ; x = e iken u = ln e = dir. Buradan e ln x ] x dx = u du = u2 = 2 2 Simetrik Fonksiyonların İntegralleri f fonksiyonunun [ a, a] aralığında sürekli olduğunu varsayalım. (a) f çift fonksiyonsa [f( x) = f(x)], (b) f tek fonksiyonsa [f( x) = f(x)], a a a a a f(x) dx = 2 f(x) dx = dır. f(x) dx dir. Örnek 29. f(x) = x 6 + fonksiyonu, f( x) = f(x) eşitliğini sağladığından çifttir, dolayısıyla olur. 2 2 (x 6 + ) dx = 2 2 (x 6 + ) dx [ ] 2 ( ) 28 = 2 7 x7 + x = = 284 7

133 5.7. KISMI İNTEGRAL ALMA 33 Örnek 3. tan x f(x) = + x 2 fonksiyonu, f( x) = f(x), + x4 eşitliğini sağladığından tektir, dolayısıyla olur. tan x + x 2 + x 4 dx = 5.7 Kısmi İntegral Alma f(x)g (x) dx = f(x)g(x) g(x)f (x) dx (5.7) formülü kısmi integral formülü olarak adlandırılır. Anımsanması daha kolay gösterim için u = f(x), v = g(x) olsun. Diferansiyelleri dv = g (x)dx ve du = f (x)dx dir, dolayısıyla Yerine Koyma Kuralı na göre kısmi integral alma formülü udv = uv vdu (5.8) Örnek 3. x sin x dx integralini bulunuz. Çözüm: u = x, dv = sin xdx ise du = dx, v = cos x olur, dolayısıyla x sin x dx = x( cos x) ( cos x) dx = x cos x + cos x dx = x cos x + sin x + C olur. Örnek 32. ln x dx integralini hesaplayınız. Çözüm: Burada u = ln x, dv = dx ise du = dx, v = x dir. Kısmi integral alarak, x ln x dx = x ln x x dx x = x ln x dx = x ln x x + C elde ederiz.

134 34 BÖLÜM 5. INTEGRAL Bu örnekte f(x) = ln x türevi f den daha basit olduğundan kısmi integral alma etkili olmuştur. Örnek 33. x 2 e x dx integralini bulunuz. Çözüm: x 2 nin türevi alındığında basitleştiğine dikkat ediniz. Bu yüzden u = x 2, dv = e x dx seçeriz. Buradan du = 2xdx, v = e x olur. Kısmi integral alma yöntemi, x 2 e x dx = x 2 e x 2 xe x dx verir. Elde ettiğimiz xe x dx integrali, başlangıçtaki integralden daha basittir ama hala apaçık ortada değildir. Bunun için u = x, dv = e x dx alarak kısmi integrali bir kez daha kullanırız. du = dx, v = e x olduğundan xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + C dir. Bunu yukarıdaki denklemde yerine koyarak, x 2 e x dx = x 2 e x 2 xe x dx = x 2 e x 2xe x + 2e x + C (C = 2C) elde ederiz. Örnek 34. e x sin x dx integralini hesaplayınız. Çözüm: Türevi alınınca ne e x ne de sin x fonksiyonu basitleşir. u = e x, dv = sin x dx seçelim. O zaman, du = e x dx ve v = cos x polur, dolayısıyla, kısmi integral e x sin x dx = e x cos x dx + e x cos x dx (5.9) verir. Elde ettiğimiz e x cos x dx integrali için tekrardan kısmi integrali uygulayalım. Bu kez, u = e x ve dv = cos x dx alalım. Buradan du = e x dx ve v = sin x olur ve e x cos x dx = e x sin x e x sin x dx (5.2) dir. Denklem 5.2 i denklem 5.9 te yerine koyarsak e x sin x dx = e x cos x + e x sin x + e x sin x dx elde ederiz. İki yana e x sin x dx eklersek 2 e x sin x dx = e x cos x + e x sin x elde ederiz. Denklemi sadeleştirip, integral sabitini eklersek e x sin x dx = 2 ex (sin x + cos x) + C buluruz.

135 5.8. TRIGONOMETRIK İNTEGRALLER 35 Kısmi integrasyon ve Değer bulma teoremi Kısmi integral formülünü, Değer Bulma Teoremi yle birleştirirsek, belirli integralleri, kısmi integrallerle hesaplayabiliriz. f ve g nün sürekli olduğunu varsayarak ve Değer Bulma Teoremi ni kullanarak, a dan b ye kadar denklem 5.7 in her iki yanını da hesapladığımızda elde ederiz. b a ] b b f(x)g (x) dx = f(x)g(x) a a g(x)f (x) dx (5.2) Örnek 35. tan x dx integralini hesaplayınız. Çözüm: u = tan x, dv = dx ise du = tan x dx dx, v = x olur. Denklem x2 ] = x tan x x + x 2 dx = tan tan = π 4 x + x 2 dx x + x 2 dx verir. Bu integrali hesaplamak için, t = + x 2 değişken değişikliğini yapalım. Bu durumda, dt = 2x dx, dolayısıyla x dx = dt/2 olur. x = iken t = ; x = iken t = 2 olduğundan, x + x 2 dx = 2 dt 2 2 = ] 2 ln t 2 = 2 (ln 2 ln ) = 2 ln 2 dir. Dolayısıyla dir. tan x dx = π 4 ln Trigonometrik İntegraller Trigonometrik integraller, altı temel trigonometrik fonksiyonun cebirsel kombinasyonunu içeren integrallerdir. Örneğin, sec x dx, cos 2 x sin 3 x dx, tan 4 x dx Genel fikir, bulmak istediğimiz karmaşık trigonometrik integralleri, trigonometrik özdeşlikler kullanarak daha kolay çözümlenebilen integrallere dönüştürebilmektir.

136 36 BÖLÜM 5. INTEGRAL Sinüs ve Kosinüs Çarpımları m ve n negatif olmayan tamsayılar olmak üzere sin m x cos n x dx formundaki integraller. Durum m tek ise, m yi 2k + olarak yazar ve sin m x = sin 2k+ x = (sin 2 x) k sin x = ( cos 2 x) k sin x eşitliğini kulanırız. Sonra tek kalan sin x i integraldeki dx ile birleştirerek sin x dx yerine d(cos x) yazarız. Örnek 36. sin 3 x cos 2 x dx integralini hesaplayınız. Çözüm: sin 3 x cos 2 x dx = = = = sin 2 x cos 2 x sin x dx ( cos 2 x) cos 2 x [ d(cos x)] ( u 2 )(u 2 )( du) (u 4 u 2 ) du = u5 5 u3 3 + C = cos5 x 5 cos3 x 3 + C Durum 2 m çift ve n tek ise, n yi 2k + olarak yazar ve cos n x = cos 2k+ x = (cos 2 x) k cos x = ( sin 2 x) k cos x eşitliğini kullanırız. Sonra tek kalan cos x i integraldeki dx ile birleştirerek cos x dx yerine d(sin x) yazarız. Örnek 37. cos 5 x dx integralini hesaplayınız.

137 5.8. TRIGONOMETRIK İNTEGRALLER 37 Çözüm: cos 5 x dx = = = = cos 4 x cos x dx ( sin 2 x) 2 d(sin x) ( u 2 ) 2 du ( 2u 2 + u 4 ) du = u 2 3 u3 + 5 u5 + C = sin x 2 3 sin3 x + 5 sin5 x + C Durum 3 m ve n çift ise sin 2 x = trigonometrik özdeşliklerini kullanırız. cos 2x, cos 2 + cos 2x x = 2 2 Örnek 38. sin 2 x cos 4 x dx integralini hesaplayınız. Çözüm: ( ) ( ) cos 2x + cos 2x 2 sin 2 x cos 4 x dx = dx 2 2 = ( cos 2x)( + 2 cos 2x + cos 2 2x) dx 8 = ( + cos 2x cos 2 2x cos 3 2x) dx 8 = [ x + C sin 2x + C 2 ] (cos 2 2x + cos 3 2x) dx cos 2 2x terimini içeren integrali şu şekilde çözümleriz: cos 2 2x dx = ( + cos 4x) dx 2 = (x + 4 ) 2 sin 4x + C 3 cos 3 2x terimini içeren integrali ise şu şekilde çözümleriz: cos 3 2x dx = ( sin 2 2x) cos 2x dx = ( u 2 ) du 2 = ( sin 2x ) 2 3 sin3 2x + C 4

138 38 BÖLÜM 5. INTEGRAL Çözümlediğimiz bu integralleri kullanarak sin 2 x cos 4 x dx = [ x + C sin 2x + C 2 = [ x + C sin 2x + C 2 2 = ( x 6 4 sin 4x + ) 3 sin3 2x + C ] (cos 2 2x + cos 3 2x) dx (x + 4 sin 4x ) C 3 2 ( sin 2x ) ] 3 sin3 2x C 4 Kareköklerden Kurtulmak Örnek 39. π/4 + cos 4x dx integralini hesaplayınız. Çözüm: Karekökten kurtulmak için cos 2 θ = + cos 2θ 2 veya + cos 2θ = 2 cos 2 θ özdeşliğini kullanırız. Böylelikle π/4 π/4 π/4 + cos 4x dx = 2 cos 2 2x dx = 2 cos 2 2x dx = 2 π/4 cos 2x dx = 2 π/4 cos 2x dx = 2 sin 2x 2 ] π/4 = 2 ( ) = tan x ve sec x Kuvvetlerinin İntegralleri tan x, sec x ve karelerinin integrallerini, tan 2 x = sec 2 x sec 2 x = + tan 2 x özdeşliklerini kullanarak tanjant ve sekant fonksiyonlarının kuvvetlerini içeren integralleri hesaplayabiliriz. Örnek 4. tan 4 x dx integralini hesaplayınız.

139 5.8. TRIGONOMETRIK İNTEGRALLER 39 Çözüm: tan 4 x dx = = = = tan 2 x tan 2 x dx = tan 2 x (sec 2 x ) dx tan 2 x sec 2 x dx tan 2 x dx tan 2 x sec 2 x dx (sec 2 x ) dx tan 2 x sec 2 x dx sec 2 x dx + dx ilk integralde u = tan x dönüşümünü yaparak, ikinci ve üçüncü integralde ise bildiğimiz integralleri kullanarak tan 4 x dx = 3 tan3 x tan x + x + C sonucunu elde ederiz. Sinüs ve Kosinüslerin Çarpımları Uygulamada karşılaştığımız sin mx sin nx dx, sin mx cos nx dx, cos mx cos nx dx trigonometrik integrallerini hesaplamak için şu özdeşikleri kullanırız: sin mx sin nx = [cos(m n)x cos(m + n)x] (5.22) 2 sin mx cos nx = [sin(m n)x + sin(m + n)x] (5.23) 2 cos mx cos nx = [cos(m n)x + cos(m + n)x] (5.24) 2 Örnek 4. sin 3x cos 5x dx integralini hesaplayınız. Çözüm: m = 3 ve n = 5 ile (5.23) eşitliğinden sin 3x cos 5x dx = [sin( 2x) + sin 8x] dx 2 = (sin 8x sin 2x) dx 2 cos 8x cos 2x = + + C 6 4 elde edilir.

140 4 BÖLÜM 5. INTEGRAL 5.8. Trigonometrik Dönüşümler a bir reel sayı olmak üzere a 2 + x 2 x 2 a 2 a 2 x 2 ifadelerini içeren integralleri hesaplamak için trigonometrik dönüşümler kullanırız. Trigonometrik Dönüşümler - Durum a 2 + x 2 ifadesinin olduğu integrallerde dönüşümü kullanılır. Böylelikle ifadeleri sırasıyla ve x = a tan θ a 2 + x 2 ve dx a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 θ = a 2 ( + tan 2 θ) = a 2 sec 2 θ dx = a sec 2 θ dθ ifadelerine dönüşür. x = a tan θ dönüşümünde ilk değişken θ ya geri dönüş yapabilmek için, x = a tan θ dönüşümünün tersinir olmasını bekleriz. Dolayısıyla tan fonksiyonunun tanımlı olmasını kullanarak, ( θ = tan x ), π a 2 < θ < π 2 ters dönüşümünü yaparız. Örnek 42. dx integralini hesaplayınız. 4 + x 2 Çözüm: x = 2 tan θ dönüşümünü yaparız. Böylelikle 4 + x 2 = tan 2 θ = 4( + tan 2 θ) = 4 sec 2 θ dx = 2 sec 2 θ dθ ifadelerini kullanarak dx 4 + x 2 = 2 sec 2 θ dθ 4 sec 2 θ = = sec 2 θ dθ ( π sec θ 2 < θ < π olduğu için 2 sec θ dθ sec θ = sec θ olur) = ln sec θ + tan θ + C 4 + x 2 = ln + x C elde ederiz.

141 5.8. TRIGONOMETRIK İNTEGRALLER 4 Trigonometrik Dönüşümler - Durum 2 x 2 a 2 ifadesini içeren integralleri hesaplamada trigonometrik dönüşümünü kullanırız. Böylece ifadeleri sırasıyla x = a sec θ x 2 a 2 ve dx x 2 a 2 = a 2 sec 2 θ a 2 = a 2 (sec 2 θ ) = a 2 tan 2 θ dx = a sec θ tan θ dθ ifadelerine dönüşür. İntegrali almaya başladığımız ilk değişken θ ya geri dönüş yapabilmek için dönüşümümüzün tersinir olmasını bekleriz. Dolayısıyla sec fonksiyonunun tanımından, x = a sec θ dönüşümünün ters dönüşümü olur. Örnek 43. x > 2 5 iken ( θ = sec x ), a dx integralini hesaplayınız. 25x 2 4 θ < π 2, x a ; π 2 < θ π, x a. Çözüm: Öncelikle paydadaki ifadeyi daha açık yazalım: ( 25x 2 4 = 25 x 2 4 ) = 5 x 25 2 x > 2 olduğu için dönüşümü 5 ( ) x = 2 5 sec θ, dx = 2 5 sec θ tan θ dθ, < θ < π 2 olarak yaparız. Böylelikle x 2 ( ) 2 2 = sec2 θ 4 25 = 4 25 (sec2 θ ) = 4 25 tan2 θ ve < θ < π 2 için tan θ > olduğundan x 2 ( ) 2 2 = tan θ = 2 5 tan θ bulunur. Bu dönüşümleri integralde yerine koyarak dx dx (2/5) sec θ tan θ dθ = 25x x 2 (4/25) = 5(2/5) tan θ = sec θ dθ = ln sec θ + tan θ + C 5 5 = 5 ln 5x 25x C elde ederiz.

142 42 BÖLÜM 5. INTEGRAL Trigonometrik Dönüşümler - Durum 3 a 2 x 2 ifadesini içeren integralleri çözmek için trigonometrik dönüşümünü kullanırız. Böylece x = a sin θ a 2 x 2 ve dx ifadeleri sırasıyla a 2 x 2 = a 2 a 2 sin 2 θ = a 2 ( sin 2 θ) = a 2 cos 2 θ dx = a cos θ dθ ifadelerine dönüşür. İntegrali hesaplamayı sonuçlandırmak için orjinal değişken x e geri dönmemiz gerekir. Bunun için x = a sin θ dönüşümünün tersinir olmasını bekleriz. sin fonksiyonun tanımından, ters dönüşüm olur. Örnek 44. x 2 dx integralini hesaplayınız. 9 x 2 ( θ = sin x ), a π 2 θ π 2 Çözüm: x = 3 sin θ, dx = 3 cos θ dθ, π 2 < θ < π 2 9 x 2 = 9 9 sin 2 θ = 9( sin 2 θ) = 9 cos 2 θ dönüşümü ile elde edilir. x 2 dx 9 x 2 = = 9 9 sin 2 θ 3 cos θ dθ 3 cos θ sin 2 θ dθ cos 2θ = 9 2 = 9 2 ( θ sin 2θ 2 dθ ) + C = 9 (θ sin θ cos θ) + C 2 ( = 9 sin x 2 3 x ) 9 x C 3 = 9 2 sin x 3 x 2 9 x 2 + C

143 5.8. TRIGONOMETRIK İNTEGRALLER 43 z = tan(x/2) Dönüşümü Bu trigonometrik dönüşüm, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının bölümleri olduğunda kullanılır. Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla cos x, sin x ve dx için kullanılacak ifadeleri şu şekilde bulabiliriz: + tan 2 x 2 = sec2 x 2 = cos 2 (x/2) özdeşliğinden bulunur. cos 2 x 2 = + z 2 cos x = 2 cos 2 x 2 özdeşliğini ve cos 2 x 2 = yi kullanarak + z2 elde edilir. Diğer taraftan cos x = 2 + z 2 = z2 + z 2 cos x = 2 sin 2 x 2 özdeşliğinden ve cos x = z2 + z 2 den bulunur. Bu kez sin 2 x 2 = cos x 2 = z2 + z 2 2 = z2 + z 2 özdeşliğinden, cos 2 x 2 = + z 2 ve sin2 x 2 = z2 + z 2 den sin x = 2 sin x 2 cos x 2 elde edilir. z = tan x 2 de türev alarak da sin x = 2 z 2 dz = 2 sec2 x 2 dx = 2 + z 2 + z 2 = 2z + z 2 ( + tan 2 x ) dx = 2 2 ( + z2 )dx bulunur. Böylelikle olur. Özetle, z = tan x 2 eşitliklerini kullanırız. dx = 2 + z 2 dz trigonometrik dönüşümünü yaptığımızda cos x = z2 2z, sin x = + z2 + z 2, dx = 2 + z 2 dz Örnek 45. dx integralini hesaplayınız. + sin x + cos x

144 44 BÖLÜM 5. INTEGRAL Çözüm: İntegral, sinüs ve kosinüs bölümlerini içerdiği için z = tan x 2 dönüşümünü uygularız. Böylece ifadelerini kullanarak buluruz. dx + sin x + cos x = z = tan x 2dz, dx = 2 + z 2 cos x = z2 2z, sin x = + z2 + z 2 2dz + z 2 + 2z + z 2 + z2 + z 2 2 = + z 2 + 2z + z 2 dz = = ln z + + C = ln + tan x + C 2 dz z +

145 5.9. KISMI KESIRLER Kısmi Kesirler Rasyonel fonksiyonların (polinomların oranının) integralini almak için onları, kısmi kesirler olarak adlandırılan, integrallerinin nasıl alınacağını bildiğimiz, daha basit kesirlerin toplamı olarak yazarız. Örnek 46. 5x 4 2x 2 dx integralini bulunuz. + x Çözüm: Paydanın doğrusal çarpanlara ayrıldığına dikkat ediniz: 5x 4 2x 2 + x = 5x 4 (x + )(2x ) Payın derecesinin paydanın derecesinden küçük olduğu böyle bir durumda, verilen rasyonel fonksiyonu, A ve B sabit olmak üzere, kısmi türevlerin toplamı olarak yazabiliriz: 5x 4 (x + )(2x ) = A x + + B 2x 5x 4 (x + )(2x ) = A x + + B 2x A ve B değerlerini bulmak için denkemin iki yanını da (x + )(2x ) ile çarparız ve 5x 4 = A(2x ) + B(x + ) 5x 4 = (2A + B)x + ( A + B) elde ederiz. x in katsayıları ile sabit terimler eşit olmalıdır. Dolayısıyla 2A + B = 5 ve A + B = 4 tür. 2A + B = 5 ve A + B = 4 Bu doğrusal denklemleri A ve B için çözerek A = 3 ve B = elde ederiz. Buradan 5x 4 (x + )(2x ) = 3 x + 2x bulunur. Bu kısmi kesirlerin her birinin integralini (sırasıyla u = x + ve u = 2x değişken değişikliğini kullanarak) almak kolaydır. Böylece ( 5x 4 3 2x 2 + x dx = x + ) dx 2x dir. = 3 ln x + ln 2x + C 2 NOT Örnekte payın derecesi paydanınkine eşit veya daha büyük olsaydı ilk önce bölmemiz gerekirdi. Örneğin, 2x 3 x 2 2x + 2 2x 2 + x 2 = x 6 + 5x 4 (x + )(2x ) NOT 2 Paydada ikiden fazla doğrusal çarpan varsa, her çarpan için bir terim eklememiz gerekir. Örneğin, x + 6 x(x 3)(4x + 5) = A x + B x 3 + C 4x + 5

146 46 BÖLÜM 5. INTEGRAL Burada A, B ve C sabitleri, A, B ve C bilinmeyenlerini içeren üç denklemden oluşan sistemi çözerek belirlenir. NOT 3 Doğrusal çarpanlardan biri tekrarlanıyorsa kısmi kesire fazladan terimler eklememiz gerekir. Örneğin : x (x + 2) 2 (x ) = A x B (x + 2) 2 + C x NOT 4 Paydayı olabildiğince çarpanlarına ayırırken, b 2 4ac diskriminantı negatif olan, indirgenemeyen ikinci dereceden a x 2 + b x + c çarpanını elde edebiliriz. Buna karşılık gelen kısmi kesir, A ve B belirlenecek sabitler olmak üzere Ax + B a x 2 + b x + c dir. Bu terimin integralini, kareye tamamlayarak ve dx x 2 + a 2 = ( x ) a tan + C (5.25) a formülünü kullanarak hesaplarız. Örnek 47. 2x 2 x + 4 x 3 + 4x dx integralini hesaplayınız. Çözüm: x 3 + 4x = x(x 2 + 4) daha fazla çarpanlarına ayrılamadığından, 2x 2 x + 4 x(x 2 + 4) = A x + Bx + C x yazarız. x(x 2 + 4) ile çarparsak, 2x 2 x + 4 = A(x 2 + 4) + (Bx + C)x elde ederiz. Katsayıları eşitlediğimizde = (A + B)x 2 + Cx + 4A 2x 2 x + 4 = (A + B)x 2 + Cx + 4A A + B = 2 C = 4A = 4 elde ederiz. Buradan A =, B = ve C = buluruz ve 2x 2 [ x + 4 x 3 dx = + 4x x + x ] x olur. İkinci terimin integralini almak için integralini ikiye ayırırız: x x dx = x x dx dx x dx Birinci integralde, u = x değişken değişikliğini yaparız ve du = 2x dx olur. İkinci integrali, a = 2 alarak Formül (5.25) den hesaplarız: 2x 2 x + 4 x(x 2 dx = + 4) x dx + x x dx x = ln x + 2 ln(x2 + 4) 2 tan (x/2) + K

147 5.. HAS OLMAYAN İNTEGRALLER Has Olmayan İntegraller b a f(x) dx belirli integralini tanımlarken, [a, b] sınırlı aralığında tanımlı olan bir f fonksiyonu aldık ve bu aralıkta f nin sonsuz süreksizliliğinin olmadığını varsaydık. Bu bölümde, belirli integral kavramını, aralığın sonsuz olduğu ve f nin [a, b] üzerinde sonsuz süreksizliği olduğu durumlara genişleteceğiz. Her iki durumda da integrale has olmayan integral denir.. Tip: Sonsuz Aralıklar Tanım 2 (. Tipten Has Olmayan İntegrallerin Tanımı). (a) t f(x) dx integrali, her t a sayısı için varsa, limitin (sonlu bir sayı olarak) var olduğu durumlarda a t f(x) dx = lim f(x) dx t a dir. (b) b t f(x) dx integrali, her t b için varsa, limitin (sonlu bir sayı olarak) var olduğu durumlarda b f(x) dx = b lim f(x) dx t t (c) dir. a f(x) dx ve b yoksa ıraksak olarak adlandırılır. a f(x) dx ve a f(x) dx has olmayan integralleri, söz konusu limitler varsa yakınsak, limitler f(x) dx integrallerinin her ikisi de yakınsaksa, f(x) dx = a f(x) dx + f(x) dx a olarak tanımlarız. (c) şıkkında herhangi bir a gerçel sayısı kullanılabilir.

148 48 BÖLÜM 5. INTEGRAL Örnek 48. x dx integralinin yakınsak ya da ıraksak olduğunu belirleyiniz. Çözüm: Tanımın (a) şıkkından, x dx t = lim t ] t dx = lim x ln x t dur. Limit sonlu bir sayı olmadığında Örnek 49. = lim t (ln t ln ) = lim t ln t = (/x) dx ıraksaktır. x e x dx integralini hesaplayınız. Çözüm: Tanımın (b) şıkkından x e x dx = lim x e x dx t t olur. u = x ve dv = e x dx seçerek kısmi integral alırsak du = dx ve v = e x olur. t x e x dx = x e x] t t t e x dx = t e t + e t x e x dx = t e t + e t t iken e t olduğunu biliyoruz. L Hospital Kuralı ndan lim t t et = lim t t e t = lim t e t dır. Dolayısıyla, olur. = lim t ( et ) = x e x dx = lim t ( t et + e t ) = + =

149 5.. HAS OLMAYAN İNTEGRALLER 49 Örnek 5. dx integralini hesaplayınız. + x2 Çözüm: Tanımın (c) şıkkında a = seçmek işimizi kolaylaştıracaktır: Sağdaki integralleri ayrı ayrı hesaplamalıyız: + x 2 dx = dx = lim + x2 t t + x 2 dx + + x 2 dx dx ] t + x 2 = lim t tan x = lim t (tan t + tan ) = lim t tan t = π 2 dx ] dx = lim dx = lim + x2 t + x2 t tan x t t = lim t (tan tan t) ( = π ) = π 2 2 Her iki integral de yakınsak olduğundan verilen integral de yakınsaktır ve + x 2 dx = π 2 + π 2 = π dir. /( + x 2 ) > olduğundan verilen has olmayan integral y = /( + x 2 ) eğrisinin altında x ekseninin üstünde kalan sonsuz bölgenin alanı olarak yorumlanabilir. Örnek 5. Hangi p değeri için integrali yakınsaktır? x p dx Çözüm: İlk örnekten, p = olduğunda integralin ıraksak olduğunu biliyoruz, dolayısıyla p varsayalım. Bu durumda t x p dx = lim x p+ ] x=t dx = lim t xp t p + x= [ ] = lim t p t p

150 5 BÖLÜM 5. INTEGRAL dir. p > ise p > dır ve t iken t p ve /t p dır. Dolayısıyla p > için x p dx = p olur ve integral yakındaktır. Eğer p < ise p < ve t iken t p = t p olur, dolayısıyla integral ıraksaktır. dx integrali, p > ise yakınsak, p ise ıraksaktır. xp 2. Tip: Sürekli Olmayan Fonksiyonların İntegrali Tanım 2 (2. Tipten Has Olmayan İntegralin Tanımı). (a) f fonksiyonu [a, b) aralığında sürekli ve b noktasında süreksizse, limitin (sonlu bir sayı olarak) var olduğu durumlarda b t f(x) dx = lim f(x) dx t b a a dir. (b) f fonksiyonu (a, b] aralığında sürekli ve a noktasında süreksizse, limitin (sonlu bir sayı olarak) var olduğu durumlarda b b f(x) dx = lim f(x) dx t a + a t dir. b a f(x) dx has olmayan integraline, söz konusu limit varsa yakınsak, yoksa ıraksak denir. (c) f fonksiyonu, a < c < b olan bir c noktasında süreksiz ve her ikisi de yakınsaksa, olarak tanımlarız. b a f(x) dx = c a b f(x) dx + c c a f(x) dx, f(x) dx b c f(x) dx integrallerinin Örnek x 2 dx integralini bulunuz.

151 5.. HAS OLMAYAN İNTEGRALLER 5 Çözüm: Önce, verilen integralin, f(x) = / x 2 nin x = 2 de düşey asimptotu olduğundan, has olmadığına dikkat ediniz. Süreksizlik, [2, 5] aralığının sol uç noktasında olduğundan tanımın (b) şıkkını kullanarak: 5 2 dx x 2 5 dx ] 5 = lim = lim 2 x 2 t 2 + x 2 t 2 + t t buluruz. Dolayısıyla verilen integral yakınsaktır. = lim t 2 + 2( 3 t 2) = 2 3 Örnek 53. π/2 sec x dx integralinin yakınsak ya da ıraksak olduğuna karar veriniz. Çözüm: Verilen integral, lim sec x = olduğundan, has değildir. Tanımın (a) şıkkını kullanarak t (π/2) x (π/2) iken sec t ve tan t olduğundan π/2 sec x dx = lim t (π/2) t sec x dx dur. Dolayısıyla verilen integral ıraksaktır. = lim t (π/2) ln sec x + tan x ] t = lim t + tan t) ln ] t (π/2) [ln(sec = Örnek 54. Olanaklı ise 3 dx integralini hesaplayınız. x Çözüm: x = doğrusu, integrali alınan fonksiyonun düşey asimptotudur. Bu nokta [, 3] aralığının içinde olduğundan, tanımın (c) şıkkında c = alarak: 3 dx x = dx 3 x + dx x

152 52 BÖLÜM 5. INTEGRAL yazarız ve t iken t + olduğundan dx x t = lim t dx x = lim t ln x ] t buluruz. Dolayısıyla 3 dx/(x ) ıraksaktır. Bu, ) integralini hesaplamamıza gerek kalmaz.] = lim t ln ) t (ln = lim ln( t) = t 3 dx/(x ) integralinin de ıraksak olmasını gerektirir. [ dx/(x Uyarı Yukarıdaki örnekte, x = asimptotunu fark etmeseydik ve integrali alınan fonksiyonu sıradan bir integralle karıştırsaydık, aşağıdaki gibi hatalı bir hesap yapabilirdik: 3 dx ] 3 x = ln x = ln 2 ln = ln 2 Bu yanlıştır, integral has olmadığından limitler cinsinden hesaplanmalıdır. Uyarı Bundan böyle b a f(x) dx işaretini gördüğümüzde, [a, b] üzerinde f ye bakarak integralin sıradan bir belirli integral mi yoksa has olmayan bir integral mi olduğuna karar vermemiz gerekmektedir. Örnek 55. ln x dx integralini hesaplayınız. Çözüm: lim x + ln x = olduğundan, f(x) = ln x fonksiyonunun da düşey asimptotu olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla verilen integral has değildir ve ln x dx = lim ln x dx t + t dir. u = ln x ve dv = dx ile kısmi integral alırsak, du = dx/x ve v = x olur. t ln x dx ] = x ln x t t dx = ln t ln t ( t) = t ln t + t elde ederiz. Birinci terimin limitini almak için L Hospital Kuralını kullanırız: lim t ln t t + = lim ln t t + /t = lim /t t + /t 2 = lim t +( t) =

153 5.. HAS OLMAYAN İNTEGRALLER 53 Dolayısıyla dir. ln x dx = lim ln t + t) t +( t = + = Has Olmayan İntegraller İçin Karşılaştırma Testi Bazen has olmayan bir integralin kesin değerini bulmak olanaklı değildir ancak yine de yakınsak mı, ıraksak mı olduğunu bilmek önemlidir. Teorem 2 (Karşılaştırma Teoremi). f ve g nin x a için f(x) g(x) olan sürekli fonksiyonlar olduğunu varsayalım. (a) (b) f(x) dx yakınsaksa, g(x) dx de yakınsaktır. a g(x) dx ıraksaksa, f(x) dx ıraksaktır. a a Tersi doğru olmayabilir: a g(x) dx yakınsaksa, f(x) dx yakınsak da olabilir ıraksak da ve f(x) dx ıraksaksa, g(x) dx ıraksak da olabilir yakınsak da. Örnek 56. a a a e x2 dx integralinin yakınsak olduğunu gösteriniz. Çözüm: e x2 nin ilkeli temel fonksiyon olmadığından, integrali doğrudan hesaplayamayız. e x2 dx = e x2 dx + e x2 dx yazar ve sağdaki ilk integralin sıradan bir belirli integral olduğunu gözlemleriz. e x2 dx = e x2 dx + e x2 dx İkinci integral için,x iken, ve x 2 x x 2 x

154 54 BÖLÜM 5. INTEGRAL olduğunu kullanarak e x2 e x olduğunu görürüz. e x fonksiyonunun integralini hesaplamak kolaydır: t e x dx = lim e x dx = lim (e e t ) = e t t Böylece Karşılaştırma Teoremi nde f(x) = e x ve g(x) = e x2 alırsak, görürüz. Bunun sonucu olarak Örnek 57. e x2 dx yakınsaktır. e x2 dx integralinin yakınsak olduğunu + e x > x x ve (/x) dx ıraksak olduğundan, Karşılaştırma Teoremi nden de ıraksaktır. + e x x dx integrali

155 Bölüm 6 Integralin Uygulamaları 6. Alan f ve g, [a, b] aralığındaki her x için f(x) g(x) eşitsizliğini sağlayan sürekli fonksiyonlar olmak üzere y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = a ve x = b düşey doğruları arasındaki S bölgesini düşünelim. S bölgesinin A alanı A = olarak tanımlanır. g(x) = özel durumunda S, f nin grafiğinin altında kalan bölge olur. b a ( ) f(x) g(x) dx (6.) f ve g nin pozitif olduğu durumda, (6.) nin neden doğru olduğunu şekilden görebilirsiniz. 55

156 56 BÖLÜM 6. INTEGRALIN UYGULAMALARI S = = ( ) ( ) y = f(x) in altında kalan alan y = g(x) in altında kalan alan b a b f(x) dx a g(x) dx = b a ( ) f(x) g(x) dx Örnek 58. Üstten y = e x, alttan y = x ve kenarlardan x = ve x = ile sınırlı olan bölgenin alanını hesaplayınız. Çözüm: Bölge, Şekil 6. de gösterilmiştir. Şekil 6. Üst sınır eğrisi y = e x ve alt sınır eğrisi y = x dir. Dolayısıyla, (6.) deki formülde f(x) = e x, g(x) = x, a =, ve b = kullanırız: A = (e x x) dx = e x ] 2 x2 = e 2 = e.5 Örnek 59. y = 2x x 2 ve y = x 2 parabolleriyle sınırlı olan bölgenin alanını bulunuz. Çözüm: Önce verilen denklemleri ortak çözerek, parabollerin kesiştikleri noktaları buluruz. Bu durumda, x 2 = 2x x 2 veya 2x 2 2x = elde ederiz. Böylece, 2x(x ) = ve dolayısıyla x = veya x = buluruz. Kesişim noktaları (, ) ve (, ) dir. Şekil 6.2 de gördüğümüz gibi üst ve alt sınırlar yüst = 2x x 2 ve y alt = x 2

157 6.. ALAN 57 Şekil 6.2 dir. Dolayısıyla toplam alan olur. A = (2x 2x 2 ) dx = 2 (x x 2 ) dx [ ] x 2 ( = 2 2 x3 = ) = 3 3 Bazı bölgelerle çalışmak için, x değişkenini y nin fonksiyonu olarak düşünmek gerekir. f ve g sürekli ve her c y d için f(y) g(y) olmak üzere, x = f(y), x = g(y), y = c ve y = d denklemleriyle sınırlı olan bölgenin alanı d ( ) A = f(y) g(y) dy olur. c Örnek 6. y = x doğrusu ve y 2 = 2x + 6 parabolüyle sınırlı olan bölgenin alanını bulunuz.

158 58 BÖLÜM 6. INTEGRALIN UYGULAMALARI Şekil 6.3 Çözüm: İki denklemi ortak çözersek, kesişim noktalarını (, 2) ve (5, 4) olarak buluruz. Parabolün denklemini x için çözeriz ve Şekil 6.3 den sağ ve sol sınır eğrilerini x sol = 2 y2 3 ve x sağ = y + olarak buluruz. İntegrali, uygun y değerleri y = 2 ve y = 4 arasında hesaplamalıyız. Böylece A = = = 2 (x sağ x sol ) dy [ (y + ) ( ] 2 y2 3) ( y 3 3 dy = 4 2 ( ) 2 y2 + y + 4 ) ] 4 + y y = 2 6 (64) ( ) = 8 3 dy olarak buluruz. Şekil 6.4 Örnekteki alanı, y yerine x e göre integral alarak da bulabilirdik ama bu durumda hesaplamalar daha karmaşık olurdu. Bölgeyi Şekil 6.4 de görüldüğü gibi, A ve A 2 diye ikiye ayırmamız gerekirdi. Örnekte kullandığımız yöntem, çok daha basit.

159 6.. ALAN Parametrik eğrilerin Sınırladığı Alanlar F (x) olduğu zaman, a dan b ye y = F (x) eğrisinin altında kalan alanın A = Eğer eğri x = f(t), y = g(t), α t β b a F (x) dx olduğunu biliyoruz. parametrik denklemleriyle tanımlanmışsa, o zaman Belirli İntegraller İçin Yerine Koyma Kuralı nı kullanarak, alan formülünü şöyle hesaplayabiliriz: A = b a y dx = β α g(t) f (t) dt ya da α β g(t) f (t) dt Örnek 6. x = r(θ sin θ) y = r( cos θ) sikliodinin bir yayının altında kalan alanı bulunuz. (Bkz. Şekil 6.5) Şekil 6.5 Çözüm: Sikliodin bir yayı, θ 2π değerleriyle elde edilir. y = r( cos θ) ve dx = r( cos θ) dθ ile Yerine Kouma Kuralı nı kullanırsak, A = 2π = r 2 y dx = 2π 2π r( cos θ)r( cos θ) dθ ( cos θ) 2 dθ = r 2 2π ( 2 cos θ + cos 2 θ)dθ = r 2 2π [ 2 cos θ + 2 ( + cos 2θ) ] dθ = r 2 [ 3 2 θ 2 sin θ + 4 sin 2θ ] 2π ( ) 3 = r 2 2 2π = 3πr 2 olarak buluruz.

160 6 BÖLÜM 6. INTEGRALIN UYGULAMALARI Alıştırmalar Aşağıda verilen grafiklerdeki taralı bölgelerin alanlarını hesaplayınız.

161 6.2. HACIMLER Hacimler S yi bir düzlemle kesip, S nin kesiti dediğimiz düzlemsel bölgeyi elde ederek başlayacağız. a x b olmak üzere, x-eksenine dik ve x noktasından geçen P x düzlemindeki S nin kesitinin alanı A(x) olsun. (Bkz. Şekil 6.6. S yi x ten geçen bir bıçakla dilimlediğimizi ve bu dilimin alanını hesapladığımız düşününüz.) x, a dan b ye arttıkça, kesitin alanı A(x) değişecektir. Şekil 6.6 Tanım 22. S, x = a ve x = b arasında uzanan bir cisim olsun. A sürekli bir fonksiyon olmak üzere, x den geçen ve x-eksenine dik olan P x düzlemindeki S nin kesitinin alanı A(x) ise, o zaman S nin hacmi olarak tanımlanır. V = b a V = b a A(x) dx A(x) dx formülünü kullandığımız zaman hatırlamamız gereken önemli nokta, A(x) in, x den geçen ve x-eksenine dik dilimlemeyle elde edilen kesitin alanı olmasıdır. Örnek 62. Yarıçapı r olan bir kürenin hacminin V = 4 3 πr3 olduğunu gösteriniz. Çözüm: Küreyi, merkezi başlangıç noktasında olacak şekilde yerleştirirsek (bkz. Şekil 6.7), P x düzlemiyle kürenin kesişimi, yarıçapı y = r 2 x 2 olan bir çember olur (Pisagor Teoremi nden). Dolayısıyla, bu kesitin alanı A(x) = πy 2 = π(r 2 x 2 )

162 62 BÖLÜM 6. INTEGRALIN UYGULAMALARI Şekil 6.7 olur. a = r ve b = r alarak hacim tanımını kullanırsak V = r r r A(x) dx = r r = 2π (r 2 x 2 ) dx ] r = 2π [r 2 x x3 = 2π 3 = 4 3 πr3 π(r 2 x 2 ) dx ) (r 3 r3 3 Örnek 63. y = x eğrisi, x-ekseni ve x = doğrusuyla sınırlanan bölgeyi x-ekseni çevresinde döndürmekle elde edilen cismin hacmini bulunuz. Şekil 6.8 Çözüm: Bölge, Şekil 6.8 da gösterilmiştir.eğer x-ekseni çevresinde döndürülürse, Şekil 6.9 deki cismi elde ederiz. x den geçen kesit, yarıçapı x olan bir çemberdir. Bu kesitin alanı A(x) = π( x) 2 = πx

163 6.2. HACIMLER 63 Şekil 6.9 olur. Bu cisim x = ile x = arasındadır. Dolayısıyla hacmi V = A(x) dx = πx dx = π x2 2 ] = π 2 Örnek 64. y = x 3, y = 8 ve x = ile sınırlı olan bölgeyi y-ekseni çevresinde döndürerek elde edilen cismin hacmini bulunuz. Şekil 6. Çözüm: Bölge, Şekil 6. de, cisim ise Şekil 6. de gösterilmiştir. Bölge y-ekseni çevresinde döndürüldüğü için y-eksenine dik biçimde dilimlemek ve integrali y ye göre almak daha mantıklı olur. y yüksekliğindeki kesit, yarıçapı x olan çembersel bir disktir. x = 3 y olduğu için, y den geçen kesitin alanı Cisim, y = ve y = 8 arasında kaldığı için hacmi A(y) = πx 2 = π( 3 y) 2 = πy 2/3 V = = π 8 A(y) dy = [ 3 5 y5/3 ] 8 8 = 96π 5 πy 2/3 dy

164 64 BÖLÜM 6. INTEGRALIN UYGULAMALARI Şekil 6. olarak bulunur. Örnek 65. y = x ve y = x 2 eğrileriyle çevrili olan R bölgesi, x-ekseni çevresinde döndürülmüştür. Oluşan cismin hacmini bulunuz. Şekil 6.2 Çözüm: y = x ve y = x 2 eğrileri, (, ) ve (, ) noktalarında kesişir. Aralarındaki bölge, dönel cisim ve x-eksenine dik olan kesit Şekil 6.2 de gösterilmiştir. P x düzlemindeki kesit, iç yarıçapı x 2 ve dış yarıçapı x olan bir halka şeklindedir. Dolayısıyla, alanını bulmak için büyük çemberin alanından küçük çemberin alanını çıkarırız. A(x) = πx 2 π(x 2 ) 2 = π(x 2 x 4 )