MAK 210 SAYISAL ANALİZ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MAK 210 SAYISAL ANALİZ"

Transkript

1 MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK Sayısal Analiz 1

2 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan oluşan grafikler için ara değerlerin bulunması işlemi interpolasyon olarak; verilen noktaların dışındaki değerlerin bulunması işlemi de ekstrapolasyon olarak adlandırılır. İnterpolasyon için yaygın olarak kullanılan yöntem, noktalardan geçen polinom kullanmaktır. (n + 1) adet (x i, y i ) noktası tablo veya grafik olarak verilmiş olsun. Bu noktalardan geçen polinom denkleminin bulunması yanında ara noktalardaki x değerlerine karşılık gelen y değerlerinin hesaplanması interpolasyon bölümünün konusudur. Öncelikle, interpolasyon tekniklerinin uygulanmasında kolaylık sağlayan bazı tanımlar ve sonlu fark tabloları verilecek daha sonra interpolasyon teknikleri izah edilecektir. MAK Sayısal Analiz 2

3 İleri Sonlu Farklar Bir y = f(x) fonksiyonunun, eşit aralıklı h = x x 0, x 1, x n değerlerine karşılık gelen değerleri (y 0, y 1, y n ) tablo veya grafik halinde verilmiş olsun. Buna göre birinci mertebeden ileri sonlu farklar; y 0 = y 1 y 0 = f x 0 + h f x 0 (0 noktasına ait ileri sonlu fark) y 1 = y 2 y 1 = f x 1 + h f x 1 (1 noktasına ait ileri sonlu fark) y i = y i+1 y i = f x i + h f x i (i noktasına ait ileri sonlu fark) MAK Sayısal Analiz 3

4 y y 2 y 1 y i y 0 y i+1 h h h. x 0 x 1 x 2. x i x i+1 x Şekil 5.1 Ayrık noktalar için ileri sonlu farklar İkinci mertebeden ileri sonlu farklar ise, 0 noktası için 2 y 0 = y 0 = y 1 y 0 = y 1 y 0 = y 2 y 1 (y 1 y 0 ) MAK Sayısal Analiz 4

5 2 y 0 = y 2 2y 1 + y 0 şeklinde ifade edilecektir. En genel halde i. noktası için ikinci dereceden ileri sonlu fark ifadesi 2 y i = y i+2 2y i+1 + y i olarak yazılabilir. Üçüncü veya daha yüksek mertebeden ileri sonlu farklar benzer şekilde 3 y 0 = 2 y 0 = ( y 0 ) = tanımlanabilir. Bu şekilde tanımlanan ileri sonlu farkların tablo halinde düzenlenmesi kolaylık sağlar. Ardışık farklar alınarak sonlu fark tablosunun MAK Sayısal Analiz 5

6 nasıl hazırlanacağı aşağıda örnekte gösterilmiştir. Bu tabloda x 0 ile numaralandırılan satıra temel satır denir. İnterpolasyon polinomları kısmında da görüleceği üzere bu satırın seçimi probleme göre belirlenir. Örnek 5.1: Aşağıdaki değerler verildiğine göre ileri sonlu fark tablosunu oluşturunuz. x = y = MAK Sayısal Analiz 6

7 Çözüm: Verilen y değerlerinin ardışık olarak farkları alınıp ilgili yerlere yazılarak ileri sonlu fark tablosu aşağıdaki gibi oluşturulabilir. Görüldüğü gibi 6 nokta verildiğinde en fazla 5. mertebeden sonlu fark hesaplanabilmektedir. x y y 2 y 3 y 4 y 5 y x 0 = (-7)=4 9-4=5 10-5=5 8-5=3 4-3=1 x 1 = (-3)=9 19-9= =8 12-8=4 x 2 = = = =12 x 3 = = =30 x 4 = =67 x 5 = MAK Sayısal Analiz 7

8 Geriye Sonlu Farklar n tane eşit h aralıklı nokta (x i, y i ) verilmiş olsun. Birinci mertebeden geriye sonlu farklar; y 0 = y 0 y 1 = f x 0 f x 0 h (0 noktasına ait geriye sonlu fark) y 1 = y 1 y 2 = f x 1 f x 1 h ( 1 noktasına ait geriye sonlu fark) y i = y i y i 1 = f x i f x i h (i noktasına ait geriye sonlu fark) MAK Sayısal Analiz 8

9 y y 0 y 1 y 2 y 3 h h h. x 3 x 2 x 1 x 0 x Şekil 5.2 Ayrık noktalar için geriye sonlu farklar şeklinde; ikinci mertebeden geriye sonlu farklar ise, 2 y 0 = y 0 = y 0 y 1 = y 0 y 1 = y 0 y 1 (y 1 y 2 ) MAK Sayısal Analiz 9

10 2 y 0 = y 0 2y 1 + y 2 şeklinde ifade edilecektir. En genel halde i. noktası için ikinci dereceden geriye sonlu fark ifadesi 2 y i = y i 2y i 1 + y i 2 olarak yazılabilir. Üçüncü veya daha yüksek mertebeden geriye sonlu farklar benzer şekilde 3 y 0 = 2 y 0 = ( y 0 ) =.. prensibinden hareketle elde edilebilir. MAK Sayısal Analiz 10

11 Örnek 5.2: Yukarıdaki örneğe ait geriye doğru sonlu fark tablosunu oluşturunuz. Çözüm: Ardışık farklar alınıp uygun konumlara yazarak aşağıda geriye sonlu farklar tablosu elde edilir. x y y 2 y 3 y 4 y 5 y x 5 = 0-7 x 4 = (-7)=4 x 3 = (-3)=9 5 x 2 = = x 1 = = x 0 = = MAK Sayısal Analiz 11

12 Tablodan görüldüğü gibi sonlu fark değerleri ileri sonlu fark değerleriyle aynı olmakla beraber tablodan şekli değişmiş ve beşinci mertebeden sonlu fark en son noktaya karşılık gelmiştir. MAK Sayısal Analiz 12

13 Merkezi Sonlu Farklar n tane eşit h aralıklı nokta (x i, y i ) verilmiş olsun. Birinci mertebeden merkezi sonlu farklar ara noktalarda aşağıdaki gibi tanımlanır: δy 1 2 = y 1 y 0 δy 3 2 = y 2 y 1... (1 2 noktasında merkezi fark) (3 2 noktasında merkezi fark) δy i+1 2 = y i+1 y i (i noktasında merkezi fark) İkinci mertebeden merkezi sonlu farklar ise verilen noktalarda MAK Sayısal Analiz 13

14 δ 2 y 1 = δ δy 1 = δ y y 1 2 = δy 3 2 δy 1 2 = y 2 y 1 (y 1 y 0 ) δ 2 y 1 = y 2 2y 1 + y 0 şeklinde bulunur. i. noktası için genel ifade ise y y i y i+1 y 0 y 1 h. x 0 x1 x 1. 2 x i x i+1 x Şekil 5.3 Ayrık noktalar için merkezi sonlu farklar MAK Sayısal Analiz 14

15 δ 2 y i = y i+1 2y i + y i 1 olarak yazılabilir. Üçüncü veya daha yüksek mertebeden geriye sonlu farklar benzer şekilde δ 3 y i+1 2 = δ 2 δy i+1 2 = δ(δ δy i+1 2 ) = prensibinden hareketle elde edilebilir. Merkezi farklar da bu formüllerle bulunabileceği gibi daha pratik ve toplu halde olması açısından fark tablosu halinde hazırlanır. Bu tablonun nasıl hazırlanacağı aynı örnek üzerinde açıklanacaktır. MAK Sayısal Analiz 15

16 Örnek 5.2: Yukarıdaki örneğe ait merkezi doğru sonlu fark tablosunu oluşturunuz. Çözüm: Yine verilen sayılardan ardışık farklar alıp ara noktalara yazarak merkezi sonlu fark tablosu aşağıdaki gibi elde edilir. Bu tabloda sayısal değerler aynı olup 5. mertebeden sonlu fark merkez bölgede ortaya çıkmıştır. x y y 2 y 3 y 4 y 5 y x 2 = 0-7 x 1 = 1-3 x 0 = 2 6 x 1 = 3 25 x 2 = 4 62 x 3 = (-7)=4 6-(-3)=9 25-6= = = MAK Sayısal Analiz 16

17 İNTERPOLASYON POLİNOMLARI Bir y = f(x) sürekli fonksiyonu sonlu n adet (y i, x i ) ayrık noktalarından meydana geldiği kabul edilirse herhangi i, i + 1 noktaları arasındaki bir x değerine karşılık gelen y değeri interpolasyon teknikleriyle yaklaşık olarak bulunabilir. Bu amaçla, verilen noktalardan geçen eğri denklemleri kullanılır. Tablo veya grafik halinde verilen belirli noktalardan geçen eğri denkleminden yararlanarak, ara noktalardaki değerlerin bulunması işleminde genellikle polinomlar kullanılmaktadır. Nasıl ki verilen iki noktadan bir doğru, yani birinci dereceden bir polinom geçer, verilen n + 1 adet noktadan da n. dereceden bir polinom bulunabilir. Bir başka ifadeyle n. dereceden bir polinom bulmak için en az n + 1 tane sayısal değer x 0, y 0, x 1, y 1 (x n, y n ) verilmelidir. Verilen nokta sayısına göre polinomun aldığı form ayrı ayrı elde edilecektir. MAK Sayısal Analiz 17

18 Lineer İnterpolasyon Aralarındaki mesafe h olan (x 0, y 0 ) ve (x 1, y 1 ) gibi iki nokta verilmiş olsun. Bu noktalardan geçen doğru denklemi kolayca yazılabilir. y y 0 x x 0 = y 1 y 0 x 1 x 0 y = y 0 + y 1 y 0 x 1 x 0 (x x 0 ) MAK Sayısal Analiz 18

19 y y 1 y r y p e y 0 h sh x 0 x x 1 x Şekil 5.4 Lineer İnterpolasyon veya ileri sonlu fark tanımlarıyla y = y 0 + y 0 h (x x 0) MAK Sayısal Analiz 19

20 h = x 1 x 0 ve y 0 = y 1 y 0 yazılabilir. Yeni bir parametre tanımıyla bu ifade daha kısa ve kullanışlı bir formda yazılabilir. (x x 0 ) h nın belli bir yüzdesi olarak alınırsa, yani x x 0 = s. h s = x x 0 h y = y p = y 0 + s. y 0 bulunur. Burada p indisi interpolasyon polinomu anlamında kullanılmıştır. Bu ifade kullanılarak x ara noktasına karşılık y p değeri hesaplanabilir. Ancak lineer interpolasyon ile elde edilen bu değer, gerçek fonksiyonun verceği y r değerinden MAK Sayısal Analiz 20

21 farklıdır. Aradaki fark oluşan hata (e) dir. Örnek 5.4: Zamana bağlı bir değişken için t = y = değerler verildiğine göre t = 1.1 için y değerini bulunuz. Gerçek değer ise mutlak hatayı hesaplayınız. MAK Sayısal Analiz 21

22 Çözüm: Verilen değerlere göre ileri sonlu fark tablosu aşağıdaki gibi hazırlanabilir. t y y 2 y Temel satır olarak t 0 = 1.0 alınırsa, h = t = 0.5 ile s = t t 0 h = = 0.2 ve aranan değer lineer interpolasyon ile MAK Sayısal Analiz 22

23 y 1.1 = (0.2) y 1.1 = olarak bulunur. Buna göre mutlak hata e = = 6.04x10 3 olur. Eğer temel satır olarak t 0 = 0.5 alınırsa s = t t 0 h = ile istenen değerler = 1.2 y 1.1 = = e = = 12.7x10 3 MAK Sayısal Analiz 23

24 İkinci dereceden (Quadratik) İnterpolasyon Eşit aralıklı x 0, y 0, x 1, y 1 ve (x 2, y 2 ) noktalarından geçen ikinci dereceden bir polinom, veya y p = Ax 2 + B. x + C y p = b 0 + b 1 x x 0 + b 2 (x x 0 )(x x 1 ) formunda yazılabilir. Birinci denklemdeki A,B ve C katsayılarının bulunması için verilen noktalar kullanılırsa MAK Sayısal Analiz 24

25 y y 2 y = f(x) e y 0 y 1 y = y p h h x 0 x x 1 x 2 x Şekil 5.5 Quadratik İnterpolasyon x 0, y 0 için y 0 = A. x B. x 0 + C x 1, y 1 için y 1 = A. x B. x 1 + C MAK Sayısal Analiz 25

26 x 2, y 2 için y 2 = A. x B. x 2 + C denklemleri elde edilir. Bu üç lineer denklem çözülerek A,B,C katsayıları bulunur ve polinomda yerine yazılırsa y p = 1 + s. (s 3) 2 y 0 + s 2 s. y 1 + s(s 1) 2 y 2 bulunur. Burada, s = x x 0 h dır. İleri sonlu fark kullanılırsa denklem MAK Sayısal Analiz 26

27 y p = y 0 + s. y 0 + s(s 1) 2 2 y 0 (5.19) şeklinde de yazılabilir. Burada A,B,C katsayılarının bulunması amacıyla lineer denklem sisteminin çözülmesi uzun işlemleri gerektirmiştir. Aynı sonuca yukarıda verilen ikinci tip polinomun kullanılması ile ulaşmak daha kolaydır. İkinci tip polinomdaki b 0, b 1, b 2 katsayıları için yine verilen noktalar kullanılırsa x 0, y 0 için b 0 = y 0 x 1, y 1 için b 1 = (y 1 y 0 ) h = y 0 h x 2, y 2 için b 2 = y 2 y 1 y 1 y 0 h h = 2 y 0 x 2 x 0 2h 2 MAK Sayısal Analiz 27

28 ifadeleri elde edilir. Bu katsayıların yerlerine konması ile elde edilecek interpolasyon polinomu Eşt.(5.19) ile aynı olacaktır. Örnek 5.5: Yukarıdaki soruyu quadratik interpolasyonla çözünüz. Çözüm: Burada 2 y 0 terimini içeren birinci satır temel satır olarak seçilmelidir. Buna göre aynı sonlu fark tablosu kullanılırsa y p 1.1 = x = değeri ve hata MAK Sayısal Analiz 28

29 e = = 1.435x10 3 olarak hesaplanır. Görüldüğü gibi ikinci dereceden interpolasyonda hata daha da azalmıştır. MAK Sayısal Analiz 29

30 Newton-Gregory İlerleme Polinomu Yukarıdaki yol izlenerek n + 1 noktadan geçen n. dereceden bir interpolasyon polinomu elde edilebilir. n. dereceden polinom y p = b 0 + b 1 x x 0 + b 2 x x 0 x x b n x x 0 x x 1 (x x n 1 ) şeklinde yazılarak b 0, b 1, b 2,, b n katsayıları bulunabilir. Bu katsayıların bulunup yerine konmasıyla oldukça uzun bir ifade elde edilir. Bu ifade, aralıkların eşit ve h olması halinde daha basit bir hale gelir. Bu basit ifadeye aşağıdaki yol izlenerek te ulaşılabilir. Eşit aralıklı (x i, y i ) noktaları (i = 0,1,2,, n) verilmiş olsun. İleri sonlu farklardan yararlanarak y 1, y 2, değerleri MAK Sayısal Analiz 30

31 y 0 = y 1 y 0 y 1 = y 0 + y 0 = 1 +. y 0 2 y 0 = y 2 2. y 1 + y 0 y 2 = 2 y y 1 y 0 veya denkleme y 0 ekleyip çıkarırsak, y 2 = 2 y y 1 y 0 + y 0 = y 0 y 2 = (1 + ) 2. y 0 bulunur. Yapılan işlemler benzer şekilde tekrarlanarak, y 3 = (1 + ) 3. y 0 MAK Sayısal Analiz 31

32 y 4 = (1 + ) 4. y 0 ve herhangi bir x değerine karşılık gelen interpolasyon değeri y p = (1 + ) s. y 0 şeklinde yazılabilir. Bu son ifade Binom serisine açılarak, y p = y 0 + s y 0 + s(s 1) 2! 2 y 0 + s(s 1)(s 2) 3! 3 y 0 + MAK Sayısal Analiz 32

33 + s s 1 s 2 s (n 1) n! n y 0 Newton-Gregory ilerleme polinomu diye de adlandırılan bu ifade C n s = s n = s. s 1. s 2 [s n 1 ] n! tanımı ile, y p = y 0 + s 1 y 0 + s 2 2 y s n n y 0 şeklinde de yazılabilir. Taylor serisinin hatasına benzer olarak bu polinomun hata MAK Sayısal Analiz 33

34 terimi de e p = s n + 1 hn+1 y n+1 (x s ) olacaktır. Burada x s incelenen aralıkta (x 0 x n aralığı) herhangi bir x değeri olup y fonksiyonu bilinmediği durumlarda n + 1. türevin de tam olarak hesaplanamayacağı açıktır. Çoğu zaman olduğu gibi fonksiyonun bilinmediği durumlarda türevin yaklaşık tahmini için ileride de verileceği gibi sonlu fark formüllerinden yararlanmak mümkündür. Fonksiyonunun n + 1. türevi için sonlu fark ifadesi y n+1 n+1 y h n+1 MAK Sayısal Analiz 34

35 olduğu ileride gösterilecektir. Buradan da şu söylenebilir ki verilen noktalardan geçen n + 1. dereceden polinomla n. dereceden polinom arasındaki fark yaklaşık hata terimi olacaktır. Zira polinoma ilave edilen her terim, yakınsak seri olması halinde gittikçe küçülecektir. Newton-Gregory Gerileme Polinomu Yukarıdaki gibi işlemlere başvurarak, geri sonlu farkları içeren ve (n + 1) tane eşit aralıklı (x i, y i ) noktalarından geçen n. dereceden bir polinom y p = y 0 + s y 0 + s(s + 1) 2! 2 y 0 + s(s + 1)(s + 2) 3! 3 y 0 + MAK Sayısal Analiz 35

36 + s s + 1 s + 2 [s + n 1 ] n! n y 0 olarak elde edilebilir. Bu polinom Newton-Gregory gerileme polinomu diye de adlandırılır. Merkezi Fark İnterpolasyon Polinomları Merkezi farkları kullanan interpolasyon polinomları benzer işlemlerle elde edilebilir. Eşit aralıklı (n + 1) noktadan geçen n. dereceden merkezi fark polinomları referans alınan noktaya göre farklı şekillerde ortaya çıkar. Daha karmaşık olan bu polinomların çıkarılışına girmeden sonuç denklemleri verilecektir. MAK Sayısal Analiz 36

37 Lagrange İnterpolasyon Polinomu Buraya kadar verilen yüksek dereceden interpolasyon polinomları eşit aralıklı noktalar halinde kullanılabilir. Ancak aralıklar her zaman eşit olmayabilir. Aralıklar eşit değilse ya yukarıda verilen polinomlar yeni duruma uyarlanır veya Lagrange interpolasyon polinomu kullanılır. En basit haliyle iki nokta kullanan lineer interpolasyon denklemini (Eşt. 5.13) tekrar ele alıp yeniden düzenlersek y = y 0 + y 1 y 0 x 1 x 0 (x x 0 ) y = y 0 + x x 0 x 1 x 0 y 1 x x 0 x 1 x 0 y 0 MAK Sayısal Analiz 37

38 y = 1 x x 0 x 1 x 0 y 0 + x x 0 x 1 x 0 y 1 y = x x 1 x 0 x 1 y 0 + x x 0 x 1 x 0 y 1 elde edilir. Bu ifadeyi n nokta için genelleştirmek mümkündür. Eşit aralıklı olmayan n adet (x i, y i ) noktalarından (i = 1,2,, n) geçen n + 1. dereceden Lagrange interpolasyon polinomu, y p = x x 2. x x 3 x x n x 1 x 2. x 1 x 3 x 1 x n y 1 + MAK Sayısal Analiz 38

39 x x 1. x x 3 x x n y x 2 x 1. x 2 x 3 x 2 x 2 + n + x x 1. x x 2 x x n 1 x n x 1. x n x 2 x n x n 1 y 2 formundadır. Bu genel ifade daha kısa olarak y p x = L i x. y i şeklinde yazılabilir. Burada n i=1 L i x = x x 1 x x 2 x x i 1 x x i+1 (x x n ) x i x 1 x i x 2 (x i x i 1 )(x i x i+1 )(x i x n ) MAK Sayısal Analiz 39

40 L i x = n j=1 j i x x j x i x j çarpım terimini göstermektedir. Örnek 5.6: 1.1,10.6, 1.7,15.2 ve (3.0,20.3) noktalarından geçen bir polinom bulunuz ve x = 2.3 değerine karşılık gelen y değerini hesaplayınız. MAK Sayısal Analiz 40

41 Çözüm: x aralıkları eşit olmadığından Lagrange polinomu kullanabiliriz. x y x x x y p x = (x 1.7)(x 3.0) (x 1.1)(x 3.0) ( )( ) ( )( ) 15.2 (x 1.1)(x 1.7) + (3 1.1)(3 1.7) 20.3 = 1.97x x ve x = 2.3 için y p (2.3) = elde edilir. MAK Sayısal Analiz 41

42 Ters İnterpolasyon Bu ana kadar verilen bir bağımsız değişkenin değerine karşılık fonksiyonun alacağı y değerinin nasıl bulunacağı üzerinde durulmuştur. Bazı durumlarda ise, verilen y değerine karşılık bağımsız değişken x in bulunması problemi ile karşılaşılır. Ters interpolasyon diye adlandırılan bu işlem iki şekilde yapılabilir. Bunlardan birincisi verilen noktalardan y p (x) polinomu geçirilerek verilen x değerine karşılık polinomdan y değerinin hesaplanması işlemine geçmektir. Ancak polinom üç veya daha yüksek dereceden ise y değerini bulmak için nonlineer denklem çözüm yöntemlerinden birinin kullanılması gerekir. İkinci yol ise, verilen tablo değerlerinin yer değiştirilerek, yani x değerlerini y, y değerlerinin de x sütunu olarak alınıp sonlu fark tablosunun hazırlanması ve interpolasyonun yapılmasıdır. MAK Sayısal Analiz 42

43 Ancak bu durumda y değerleri arasındaki fark eşit olmadığından ancak Lagrange interpolasyonu kullanılabilir. Çok Değişkenli İnterpolasyon Bağımsız değişken sayısı birden fazla ise çok değişkenli interpolasyon gerekir. Tek değişkenli interpolasyon teknikleri çok değişkenli durumlara genişletilebilir. Ancak bağımsız değişken sayısı arttıkça ifadeler uzayıp karmaşıklaşır. Dolayısıyla fazla detaya girmeden mühendislikte de daha fazla karşılaşılan iki değişkenli durumlar ele alınacaktır. Bağımsız değişkenleri x ve y olan bir u(x, y) fonksiyonu için belli sayıda (x i, y i, u i ) noktası verilmiş olsun. Herhangi x ve y ara değerlerine karşılık fonksiyonun alacağı değeri bulmak için başvurulacak yollardan biri, tek değişkenli MAK Sayısal Analiz 43

44 yöntemlerden birini iki yönde, mesela önce x, sonra da y yönünde ardışık uygulanarak sonuca ulaşmaktır. İkinci yolda ise verilen noktalardan geçen bir yüzey denklemi oluşturup interpolasyon yapmaktır. Verilen noktalardan geçen 2. dereceden bir eğrisel yüzey denklemi, genel olarak, u p = a 0 + a 1 x + a 2 y + a 3 x 2 + a 4 y 2 + a 5 xy şeklinde yazılabilir. Bu ifadede katsayıların bulunması problemin en önemli kısmıdır. Dolayısıyla, işlemi daha basit hale getirmek için genelde iki yaklaşık yöntem kullanılır. Üçgen Yöntemi: İnterpolasyon kullanılacak noktalar bir üçgen oluşturuyor ve sorulan nokta (x, y) bu üçgenin içinde kalıyorsa MAK Sayısal Analiz 44

45 u p = a 0 + a 1 x + a 2 y şeklinde bir düzlem denklemi kullanılabilir. Dikdörtgen Yöntemi: İnterpolasyonda kullanılacak dört nokta varsa ve bunlar bir dikdörtgen oluşturuyorsa u p = a 0 + a 1 x + a 2 y + a 3 xy ifadesine göre interpolasyon yapılabilir. Burada katsayıların bulunmasını kolaylaştırma için bu ifade u p = a 0 + b x x 0 + c y y 0 + d(x x 0 )(y y 0 ) şeklinde de yazılabilir (Şekil 5.5). Dikdörtgenin köşe noktalarındaki u fonksiyon MAK Sayısal Analiz 45

46 değerlerini kullanarak katsayılar (x 0, y 1 ) (x 1, y 1 ) (x, y) y x (x 0, y 0 ) (x 1, y 0 ) Şekil 5.7 Dört nokta kullanan iki değişkenli interpolasyon a = u(x 0, y 0 ) b = u x 1, y 0 u(x 0, y 0 ) x MAK Sayısal Analiz 46

47 c = u x 0, y 1 u(x 0, y 0 ) y d = u x 1, y 1 + u x 0, y 0 u x 0, y 1 u(x 1, y 0 ) x y olarak kolayca elde edilir. MAK Sayısal Analiz 47

48 Örnek 5.7: Bir sıvının viskozitesi (v) farklı (T) sıcaklıklarında ölçülerek tablo halinde verilmiştir. T( ) v(cst) a) Viskozitenin sıcaklıkla değişimini gösteren 3. dereceden uygun bir polinom bulunuz. b) Sıfır derecede viskoziteyi hesaplayınız. c) Viskozitenin 0.6 olduğu T sıcaklığını bulunuz. MAK Sayısal Analiz 48

49 Çözüm: a) 3. dereceden polinom 4 nokta kullanır. Verilen nokta sayısı ise 7 olduğundan verilen datanın 4 tanesi uygun bir şekilde seçilmelidir. İlk 4 veya son 4 noktanın alınması yerine belli aralıklarda tüm aralığı kapsayacak şekilde 4 noktanın seçilmesi daha uygun olacaktır. Birer atlayarak 4 noktayı seçip yeni bir sonlu fark tablosu hazırlayalım. İleri sonlu fark polinomu kullanmak istersek tablo aşağıdaki gibi olacaktır. T v v 2 v 3 v MAK Sayısal Analiz 49

50 3. Dereceden ileri fark interpolasyon polinomu y p = v = v 0 + s v 0 + s(s 1) 2! 2 v 0 + s(s 1)(s 2) 3! 3 v 0 T 0 = 5, v 0 = 5.33 ve s = T T 0 20 alınırsa v = T x10 3 T x10 5 T 3 elde edilir. b) Bulunan polinomu kullanarak T = 0 için v = cst bulunur. Veya tüm noktaları kullanarak interpolasyon yapılabilir. Örneğin tüm noktaları kullanarak ve ilerleme polinomunu 6. terime kadar alarak, s = (T T 0 ) 20 = (T + 5) 10 ile viskozite değeri v 0 = cst elde edilir. MAK Sayısal Analiz 50

51 c) Bu soru için ters interpolasyon yapmak gerekir. Bunun için tabloda viskozite ve sıcaklık sütunlarını yer değiştirip Lagrange interpolasyonu yapılabilir. Veya bulduğumuz 3. dereceden interpolasyon polinomu kullanabiliriz: T x10 3 T x10 5 T 3 = 0.6 Bu nonlineer denklem uygun bir yöntemle çözülerek 25 ile 35 arasında beklenen kök değeri T = olarak elde edilir. MAK Sayısal Analiz 51

52 5.6: Bir y = f(x) fonksiyonuna ait ölçüm değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. x y a) Verilen noktalardan geçen interpolasyon polinomunun derecesi en fazla kaç olabilir? b) Bu polinomu bulunuz. c) x=0.8 için y nedir? d) y=5 için x ne olabilir? MAK Sayısal Analiz 52

53 Çözüm 5.6: a) Verilen nokta sayısı 4 olduğu için en fazla 3. Dereceden bir polinom elde edebiliriz. b) x y y 2 y 3 y c) 3. dereceden ileri fark interpolasyon polinomu s(s 1) y p = y = y 0 + s y y 2! 0 + s(s 1)(s 2) 3 y 3! 0 x 0 = 0.5 y 0 = 0.65 s = (x x 0 ) 0.5 MAK Sayısal Analiz 53

54 İleri sonlu fark tablosundaki terimler ve diğer ifadeler Newton- Gregory ilerleme polinomunda yerine yazılırsa 3. dereceden polinom aşağıdaki gibi elde edilir: c) x = 0.8 için y = y = x x 0.5 x (x 0.5)(x 1)(x 1.5) MAK Sayısal Analiz 54

55 Lagrange interpolasyon denklemini kullanarak y=5 için x değerini bulabiliriz. y p = x 1.2 x 6.65 x x x 6.65 x x x 1.2 x x x 1.2 x ( ) y 5 = x = MAK Sayısal Analiz 55

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

12. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

12. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 1. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi SONLU FARKLAR İNTERPOLASYONU İleri Yönlü Sonlu Farklar İterpolasyonu

Detaylı

HATA VE HATA KAYNAKLARI...

HATA VE HATA KAYNAKLARI... İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün

Detaylı

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI .. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme

Detaylı

Regresyon ve İnterpolasyon. Rıdvan YAKUT

Regresyon ve İnterpolasyon. Rıdvan YAKUT Regresyon ve İnterpolasyon Rıdvan YAKUT Eğri Uydurma Yöntemleri Regresyon En Küçük Kareler Yöntemi Doğru Uydurma Polinom Uydurma Üstel Fonksiyonlara Eğri Uydurma İnterpolasyon Lagrange İnterpolasyonu (Polinomal

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir oktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJEİ AMACI: Bu projede herhangi bir koniğin üzerindeki veya dışındaki bir noktadan

Detaylı

Akışkan Kinematiği 1

Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

dir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir.

dir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir. SAYISAL İNTEGRASYON TEK KATLI İNTEGRASYON Sayısal integrasyon çok geniş bir konudur. Burada problemli olmayan (genelde integrantın tekilliği olmayan, fazla salınım yapmayan, yaklaşım problemi bulunmayan)

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş 1.Hafta Sayısal çözümleme nümerik analiz nümerik çözümleme, approximate computation mühendislikte sayısal yöntemler Computational mathematics Numerical analysis

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Hessien Matris-Quadratik Form Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar Giriş Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için

Detaylı

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI

PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI PROJENİN AMACI: Polinom fonksiyon yardımıyla özdeş nesnelerin farklı kutulara istenilen koşullardaki dağılım sayısının hesaplanması

Detaylı

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM Yavaş değişen akımların analizinde kullanılacak genel denklem bir kanal kesitindeki toplam enerji yüksekliği: H = V g + h + z x e göre türevi alınırsa: dh d V = dx dx

Detaylı

Boole Cebri. (Boolean Algebra)

Boole Cebri. (Boolean Algebra) Boole Cebri (Boolean Algebra) 3 temel işlem bulunmaktadır: Boole Cebri İşlemleri İşlem: VE (AND) VEYA (OR) TÜMLEME (NOT) İfadesi: xy, x y x + y x Doğruluk tablosu: x y xy 0 0 0 x y x+y 0 0 0 x x 0 1 0

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

İM 205-İnşaat Mühendisleri için MATLAB. Irfan Turk Fatih Üniversitesi,

İM 205-İnşaat Mühendisleri için MATLAB. Irfan Turk Fatih Üniversitesi, İM 205-İnşaat Mühendisleri için MATLAB Irfan Turk Fatih Üniversitesi, 2013-14 Konular 1) İnterpolasyon 2) Polinom Fonksiyonu 3) Sayısal İntegral Fonksiyonları 4) Sayısal İntegral Alma 5) Diferansiyel Denklemleri

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

İTKİLİ MOTORLU UÇAĞIN YATAY UÇUŞ HIZI

İTKİLİ MOTORLU UÇAĞIN YATAY UÇUŞ HIZI İTKİLİ MOTORLU UÇAĞIN YATAY UÇUŞ HIZI Mustafa Cavcar Anadolu Üniversitesi Havacılık ve Uzay Bilimleri Fakültesi 26470 Eskişehir Yatay uçuş sabit uçuş irtifaında yeryüzüne paralel olarak yapılan uçuştur.

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

MİNTERİM VE MAXİTERİM

MİNTERİM VE MAXİTERİM MİNTERİM VE MAXİTERİM İkili bir değişken Boolean ifadesi olarak değişkenin kendisi (A) veya değişkenin değili ( A ) şeklinde gösterilebilir. VE kapısına uygulanan A ve B değişkenlerinin iki şekilde Boolean

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Şekil 6.2 Çizgisel interpolasyon

Şekil 6.2 Çizgisel interpolasyon 45 Yukarıdaki şekil düzensiz bir X,Y ilişkisini göstermektedir. bu fonksiyon eğri üzerindeki bir dizi noktayı birleştiren bir seri düzgün çizgi halindeki bölümlerle açıklanabilir. Noktaların sayısı ne

Detaylı

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Kapalı-döngü denetim sisteminin geçici-durum davranışının temel özellikleri kapalı-döngü kutuplarından belirlenir. Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde, kapalı-döngü

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-II Fonksiyonların Bükeyliği Maksimum - Minimum Problemleri Belirsiz Haller MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların grafiklerinin

Detaylı

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Jeodezi 7 1 Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Elipsoid yüzeyinin küçük parçalarında oluşan küçük üçgenlerin (kenarları 50-60 km den küçük) hesaplanmasında klasik jeodezide

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ REGRESYON KATSAYILARININ GÜVEN ARALIĞI = + REGRESYON KATSAYILARININ GÜVEN ARALIĞI

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ REGRESYON KATSAYILARININ GÜVEN ARALIĞI = + REGRESYON KATSAYILARININ GÜVEN ARALIĞI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Deney Tasarımı ve Regresyon Analizi Regresyonda Güven Aralıkları ve Hipotez Testleri Doç. Dr. Nihal ERGİNEL-2015 REGRESYON KATSAYILARININ GÜVEN ARALIĞI + in güven aralığı : i-) n 30

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır.

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum)

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7 YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x

Detaylı

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 POLİNOMLAR Test -. I. P x x 5 II. III. P x x P x ifadelerinden hangileri polinom belirtir? 6. P x x x x 7 polinomunun katsayılar toplamı A) B) C) D) 0 E) 9 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III

Detaylı

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım

2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım 2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi 6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

W değerini minimum yapmak ve 7 " değişkenli fonksiyonu kurmak için +!, + ", + #,.., + 7 katsayılarının elde edilmesi gerekmektedir.

W değerini minimum yapmak ve 7  değişkenli fonksiyonu kurmak için +!, + , + #,.., + 7 katsayılarının elde edilmesi gerekmektedir. 432 POLİNOMİYAL EN-KÜÇÜK KARELER FONKSİYONU Doğrusal bir fonksiyon kullanılarak verilerin uygun hale getirilmesi yanında, 7 nci dereceden polinom şeklinde fonksiyonlar kullanılarak veriler için uygun fonksiyonlar

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

İki Boyutlu Eliptik Tipi Diferansiyel Sınır Değer Problemleri İçin MathCAD Kullanılımı

İki Boyutlu Eliptik Tipi Diferansiyel Sınır Değer Problemleri İçin MathCAD Kullanılımı İki Boyutlu Eliptik Tipi Diferansiyel Sınır Değer Problemleri İçin MathCAD Kullanılımı Vahid Ferecov Rafet Akdeniz Namık Kemal Üniversitesi, Çorlu Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 kışkan Statiğine Giriş kışkan statiği (hidrostatik, aerostatik), durgun haldeki akışkanlarla

Detaylı

Hatalar ve Bilgisayar Aritmetiği

Hatalar ve Bilgisayar Aritmetiği Hatalar ve Bilgisayar Aritmetiği Analitik yollardan çözemediğimiz birçok matematiksel problemi sayısal yöntemlerle bilgisayarlar aracılığı ile çözmeye çalışırız. Bu şekilde Sayısal yöntemler kullanarak

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim :  (264) Sayısal Analiz. Giriş. Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

7. Sunum: Çok Fazlı Devreler. Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık

7. Sunum: Çok Fazlı Devreler. Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık 7. Sunum: Çok Fazlı Devreler Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık 1 Üç Fazlı Devreler Üç fazlı devreler bünyesinde üç fazlı gerilim içeren devrelerdir.

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI Örnek 9: Aşağıdaki açık çevrim blok diyagramının transfer fonksiyonunu bulunuz? 2 BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME

Detaylı

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli

Detaylı

6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.5. Doğrusal olmayan fonksiyonların eğimi Doğrusal fonksiyonlarda eğim her noktada sabittir

Detaylı

ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ

ÜSTEL DÜZLEŞTİRME YÖNTEMİ ÜSEL DÜLEŞİRME YÖNEMİ ÜSEL DÜLEŞİRME YÖNEMİ Bu bölüme kadar anlatılan yöntemler zaman içinde değişmeyen parametre varsayımına uygun serilerin tahminlerinde kullanılmaktaydı. Bu tür seriler deterministik

Detaylı

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder.

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder. 2. ÇOK KATLI İNTEGRALLER, DİFERENSİYEL DENKLEMLERE GİRİŞ 2.1. Çok Katlı İntegraller 2.1.1. İki Katlı İntegraller Fonksiyonu bir B bölgesinde sınırlı yani için olsun. B bölgesi alt bölgelere ayrılırsa;

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta GİRİŞ OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta Mühendislik açısından bir işin tasarlanıp, gerçekleştirilmesi yeterli değildir. İşin en iyi çözüm yöntemiyle en verimli bir şekilde yapılması bir anlam ifade eder.

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

DENEY-1: NEWTON KURALINA UYMAYAN AKIŞKANLARIN REOLOJİK DAVRANIŞLARI

DENEY-1: NEWTON KURALINA UYMAYAN AKIŞKANLARIN REOLOJİK DAVRANIŞLARI DENEY-1: NEWTON KURALINA UYMAYAN AKIŞKANLARIN REOLOJİK DAVRANIŞLARI 1-) Viskozite nedir? Kaç çeşit viskozite vardır? Açıklayınız. 2-) Kayma incelmesi ve kayma kalınlaşması nedir? Açıklayınız. 3-) Reoloji

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı