MAK 210 SAYISAL ANALİZ
|
|
- Aysel Tekeli
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK Sayısal Analiz 1
2 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan oluşan grafikler için ara değerlerin bulunması işlemi interpolasyon olarak; verilen noktaların dışındaki değerlerin bulunması işlemi de ekstrapolasyon olarak adlandırılır. İnterpolasyon için yaygın olarak kullanılan yöntem, noktalardan geçen polinom kullanmaktır. (n + 1) adet (x i, y i ) noktası tablo veya grafik olarak verilmiş olsun. Bu noktalardan geçen polinom denkleminin bulunması yanında ara noktalardaki x değerlerine karşılık gelen y değerlerinin hesaplanması interpolasyon bölümünün konusudur. Öncelikle, interpolasyon tekniklerinin uygulanmasında kolaylık sağlayan bazı tanımlar ve sonlu fark tabloları verilecek daha sonra interpolasyon teknikleri izah edilecektir. MAK Sayısal Analiz 2
3 İleri Sonlu Farklar Bir y = f(x) fonksiyonunun, eşit aralıklı h = x x 0, x 1, x n değerlerine karşılık gelen değerleri (y 0, y 1, y n ) tablo veya grafik halinde verilmiş olsun. Buna göre birinci mertebeden ileri sonlu farklar; y 0 = y 1 y 0 = f x 0 + h f x 0 (0 noktasına ait ileri sonlu fark) y 1 = y 2 y 1 = f x 1 + h f x 1 (1 noktasına ait ileri sonlu fark) y i = y i+1 y i = f x i + h f x i (i noktasına ait ileri sonlu fark) MAK Sayısal Analiz 3
4 y y 2 y 1 y i y 0 y i+1 h h h. x 0 x 1 x 2. x i x i+1 x Şekil 5.1 Ayrık noktalar için ileri sonlu farklar İkinci mertebeden ileri sonlu farklar ise, 0 noktası için 2 y 0 = y 0 = y 1 y 0 = y 1 y 0 = y 2 y 1 (y 1 y 0 ) MAK Sayısal Analiz 4
5 2 y 0 = y 2 2y 1 + y 0 şeklinde ifade edilecektir. En genel halde i. noktası için ikinci dereceden ileri sonlu fark ifadesi 2 y i = y i+2 2y i+1 + y i olarak yazılabilir. Üçüncü veya daha yüksek mertebeden ileri sonlu farklar benzer şekilde 3 y 0 = 2 y 0 = ( y 0 ) = tanımlanabilir. Bu şekilde tanımlanan ileri sonlu farkların tablo halinde düzenlenmesi kolaylık sağlar. Ardışık farklar alınarak sonlu fark tablosunun MAK Sayısal Analiz 5
6 nasıl hazırlanacağı aşağıda örnekte gösterilmiştir. Bu tabloda x 0 ile numaralandırılan satıra temel satır denir. İnterpolasyon polinomları kısmında da görüleceği üzere bu satırın seçimi probleme göre belirlenir. Örnek 5.1: Aşağıdaki değerler verildiğine göre ileri sonlu fark tablosunu oluşturunuz. x = y = MAK Sayısal Analiz 6
7 Çözüm: Verilen y değerlerinin ardışık olarak farkları alınıp ilgili yerlere yazılarak ileri sonlu fark tablosu aşağıdaki gibi oluşturulabilir. Görüldüğü gibi 6 nokta verildiğinde en fazla 5. mertebeden sonlu fark hesaplanabilmektedir. x y y 2 y 3 y 4 y 5 y x 0 = (-7)=4 9-4=5 10-5=5 8-5=3 4-3=1 x 1 = (-3)=9 19-9= =8 12-8=4 x 2 = = = =12 x 3 = = =30 x 4 = =67 x 5 = MAK Sayısal Analiz 7
8 Geriye Sonlu Farklar n tane eşit h aralıklı nokta (x i, y i ) verilmiş olsun. Birinci mertebeden geriye sonlu farklar; y 0 = y 0 y 1 = f x 0 f x 0 h (0 noktasına ait geriye sonlu fark) y 1 = y 1 y 2 = f x 1 f x 1 h ( 1 noktasına ait geriye sonlu fark) y i = y i y i 1 = f x i f x i h (i noktasına ait geriye sonlu fark) MAK Sayısal Analiz 8
9 y y 0 y 1 y 2 y 3 h h h. x 3 x 2 x 1 x 0 x Şekil 5.2 Ayrık noktalar için geriye sonlu farklar şeklinde; ikinci mertebeden geriye sonlu farklar ise, 2 y 0 = y 0 = y 0 y 1 = y 0 y 1 = y 0 y 1 (y 1 y 2 ) MAK Sayısal Analiz 9
10 2 y 0 = y 0 2y 1 + y 2 şeklinde ifade edilecektir. En genel halde i. noktası için ikinci dereceden geriye sonlu fark ifadesi 2 y i = y i 2y i 1 + y i 2 olarak yazılabilir. Üçüncü veya daha yüksek mertebeden geriye sonlu farklar benzer şekilde 3 y 0 = 2 y 0 = ( y 0 ) =.. prensibinden hareketle elde edilebilir. MAK Sayısal Analiz 10
11 Örnek 5.2: Yukarıdaki örneğe ait geriye doğru sonlu fark tablosunu oluşturunuz. Çözüm: Ardışık farklar alınıp uygun konumlara yazarak aşağıda geriye sonlu farklar tablosu elde edilir. x y y 2 y 3 y 4 y 5 y x 5 = 0-7 x 4 = (-7)=4 x 3 = (-3)=9 5 x 2 = = x 1 = = x 0 = = MAK Sayısal Analiz 11
12 Tablodan görüldüğü gibi sonlu fark değerleri ileri sonlu fark değerleriyle aynı olmakla beraber tablodan şekli değişmiş ve beşinci mertebeden sonlu fark en son noktaya karşılık gelmiştir. MAK Sayısal Analiz 12
13 Merkezi Sonlu Farklar n tane eşit h aralıklı nokta (x i, y i ) verilmiş olsun. Birinci mertebeden merkezi sonlu farklar ara noktalarda aşağıdaki gibi tanımlanır: δy 1 2 = y 1 y 0 δy 3 2 = y 2 y 1... (1 2 noktasında merkezi fark) (3 2 noktasında merkezi fark) δy i+1 2 = y i+1 y i (i noktasında merkezi fark) İkinci mertebeden merkezi sonlu farklar ise verilen noktalarda MAK Sayısal Analiz 13
14 δ 2 y 1 = δ δy 1 = δ y y 1 2 = δy 3 2 δy 1 2 = y 2 y 1 (y 1 y 0 ) δ 2 y 1 = y 2 2y 1 + y 0 şeklinde bulunur. i. noktası için genel ifade ise y y i y i+1 y 0 y 1 h. x 0 x1 x 1. 2 x i x i+1 x Şekil 5.3 Ayrık noktalar için merkezi sonlu farklar MAK Sayısal Analiz 14
15 δ 2 y i = y i+1 2y i + y i 1 olarak yazılabilir. Üçüncü veya daha yüksek mertebeden geriye sonlu farklar benzer şekilde δ 3 y i+1 2 = δ 2 δy i+1 2 = δ(δ δy i+1 2 ) = prensibinden hareketle elde edilebilir. Merkezi farklar da bu formüllerle bulunabileceği gibi daha pratik ve toplu halde olması açısından fark tablosu halinde hazırlanır. Bu tablonun nasıl hazırlanacağı aynı örnek üzerinde açıklanacaktır. MAK Sayısal Analiz 15
16 Örnek 5.2: Yukarıdaki örneğe ait merkezi doğru sonlu fark tablosunu oluşturunuz. Çözüm: Yine verilen sayılardan ardışık farklar alıp ara noktalara yazarak merkezi sonlu fark tablosu aşağıdaki gibi elde edilir. Bu tabloda sayısal değerler aynı olup 5. mertebeden sonlu fark merkez bölgede ortaya çıkmıştır. x y y 2 y 3 y 4 y 5 y x 2 = 0-7 x 1 = 1-3 x 0 = 2 6 x 1 = 3 25 x 2 = 4 62 x 3 = (-7)=4 6-(-3)=9 25-6= = = MAK Sayısal Analiz 16
17 İNTERPOLASYON POLİNOMLARI Bir y = f(x) sürekli fonksiyonu sonlu n adet (y i, x i ) ayrık noktalarından meydana geldiği kabul edilirse herhangi i, i + 1 noktaları arasındaki bir x değerine karşılık gelen y değeri interpolasyon teknikleriyle yaklaşık olarak bulunabilir. Bu amaçla, verilen noktalardan geçen eğri denklemleri kullanılır. Tablo veya grafik halinde verilen belirli noktalardan geçen eğri denkleminden yararlanarak, ara noktalardaki değerlerin bulunması işleminde genellikle polinomlar kullanılmaktadır. Nasıl ki verilen iki noktadan bir doğru, yani birinci dereceden bir polinom geçer, verilen n + 1 adet noktadan da n. dereceden bir polinom bulunabilir. Bir başka ifadeyle n. dereceden bir polinom bulmak için en az n + 1 tane sayısal değer x 0, y 0, x 1, y 1 (x n, y n ) verilmelidir. Verilen nokta sayısına göre polinomun aldığı form ayrı ayrı elde edilecektir. MAK Sayısal Analiz 17
18 Lineer İnterpolasyon Aralarındaki mesafe h olan (x 0, y 0 ) ve (x 1, y 1 ) gibi iki nokta verilmiş olsun. Bu noktalardan geçen doğru denklemi kolayca yazılabilir. y y 0 x x 0 = y 1 y 0 x 1 x 0 y = y 0 + y 1 y 0 x 1 x 0 (x x 0 ) MAK Sayısal Analiz 18
19 y y 1 y r y p e y 0 h sh x 0 x x 1 x Şekil 5.4 Lineer İnterpolasyon veya ileri sonlu fark tanımlarıyla y = y 0 + y 0 h (x x 0) MAK Sayısal Analiz 19
20 h = x 1 x 0 ve y 0 = y 1 y 0 yazılabilir. Yeni bir parametre tanımıyla bu ifade daha kısa ve kullanışlı bir formda yazılabilir. (x x 0 ) h nın belli bir yüzdesi olarak alınırsa, yani x x 0 = s. h s = x x 0 h y = y p = y 0 + s. y 0 bulunur. Burada p indisi interpolasyon polinomu anlamında kullanılmıştır. Bu ifade kullanılarak x ara noktasına karşılık y p değeri hesaplanabilir. Ancak lineer interpolasyon ile elde edilen bu değer, gerçek fonksiyonun verceği y r değerinden MAK Sayısal Analiz 20
21 farklıdır. Aradaki fark oluşan hata (e) dir. Örnek 5.4: Zamana bağlı bir değişken için t = y = değerler verildiğine göre t = 1.1 için y değerini bulunuz. Gerçek değer ise mutlak hatayı hesaplayınız. MAK Sayısal Analiz 21
22 Çözüm: Verilen değerlere göre ileri sonlu fark tablosu aşağıdaki gibi hazırlanabilir. t y y 2 y Temel satır olarak t 0 = 1.0 alınırsa, h = t = 0.5 ile s = t t 0 h = = 0.2 ve aranan değer lineer interpolasyon ile MAK Sayısal Analiz 22
23 y 1.1 = (0.2) y 1.1 = olarak bulunur. Buna göre mutlak hata e = = 6.04x10 3 olur. Eğer temel satır olarak t 0 = 0.5 alınırsa s = t t 0 h = ile istenen değerler = 1.2 y 1.1 = = e = = 12.7x10 3 MAK Sayısal Analiz 23
24 İkinci dereceden (Quadratik) İnterpolasyon Eşit aralıklı x 0, y 0, x 1, y 1 ve (x 2, y 2 ) noktalarından geçen ikinci dereceden bir polinom, veya y p = Ax 2 + B. x + C y p = b 0 + b 1 x x 0 + b 2 (x x 0 )(x x 1 ) formunda yazılabilir. Birinci denklemdeki A,B ve C katsayılarının bulunması için verilen noktalar kullanılırsa MAK Sayısal Analiz 24
25 y y 2 y = f(x) e y 0 y 1 y = y p h h x 0 x x 1 x 2 x Şekil 5.5 Quadratik İnterpolasyon x 0, y 0 için y 0 = A. x B. x 0 + C x 1, y 1 için y 1 = A. x B. x 1 + C MAK Sayısal Analiz 25
26 x 2, y 2 için y 2 = A. x B. x 2 + C denklemleri elde edilir. Bu üç lineer denklem çözülerek A,B,C katsayıları bulunur ve polinomda yerine yazılırsa y p = 1 + s. (s 3) 2 y 0 + s 2 s. y 1 + s(s 1) 2 y 2 bulunur. Burada, s = x x 0 h dır. İleri sonlu fark kullanılırsa denklem MAK Sayısal Analiz 26
27 y p = y 0 + s. y 0 + s(s 1) 2 2 y 0 (5.19) şeklinde de yazılabilir. Burada A,B,C katsayılarının bulunması amacıyla lineer denklem sisteminin çözülmesi uzun işlemleri gerektirmiştir. Aynı sonuca yukarıda verilen ikinci tip polinomun kullanılması ile ulaşmak daha kolaydır. İkinci tip polinomdaki b 0, b 1, b 2 katsayıları için yine verilen noktalar kullanılırsa x 0, y 0 için b 0 = y 0 x 1, y 1 için b 1 = (y 1 y 0 ) h = y 0 h x 2, y 2 için b 2 = y 2 y 1 y 1 y 0 h h = 2 y 0 x 2 x 0 2h 2 MAK Sayısal Analiz 27
28 ifadeleri elde edilir. Bu katsayıların yerlerine konması ile elde edilecek interpolasyon polinomu Eşt.(5.19) ile aynı olacaktır. Örnek 5.5: Yukarıdaki soruyu quadratik interpolasyonla çözünüz. Çözüm: Burada 2 y 0 terimini içeren birinci satır temel satır olarak seçilmelidir. Buna göre aynı sonlu fark tablosu kullanılırsa y p 1.1 = x = değeri ve hata MAK Sayısal Analiz 28
29 e = = 1.435x10 3 olarak hesaplanır. Görüldüğü gibi ikinci dereceden interpolasyonda hata daha da azalmıştır. MAK Sayısal Analiz 29
30 Newton-Gregory İlerleme Polinomu Yukarıdaki yol izlenerek n + 1 noktadan geçen n. dereceden bir interpolasyon polinomu elde edilebilir. n. dereceden polinom y p = b 0 + b 1 x x 0 + b 2 x x 0 x x b n x x 0 x x 1 (x x n 1 ) şeklinde yazılarak b 0, b 1, b 2,, b n katsayıları bulunabilir. Bu katsayıların bulunup yerine konmasıyla oldukça uzun bir ifade elde edilir. Bu ifade, aralıkların eşit ve h olması halinde daha basit bir hale gelir. Bu basit ifadeye aşağıdaki yol izlenerek te ulaşılabilir. Eşit aralıklı (x i, y i ) noktaları (i = 0,1,2,, n) verilmiş olsun. İleri sonlu farklardan yararlanarak y 1, y 2, değerleri MAK Sayısal Analiz 30
31 y 0 = y 1 y 0 y 1 = y 0 + y 0 = 1 +. y 0 2 y 0 = y 2 2. y 1 + y 0 y 2 = 2 y y 1 y 0 veya denkleme y 0 ekleyip çıkarırsak, y 2 = 2 y y 1 y 0 + y 0 = y 0 y 2 = (1 + ) 2. y 0 bulunur. Yapılan işlemler benzer şekilde tekrarlanarak, y 3 = (1 + ) 3. y 0 MAK Sayısal Analiz 31
32 y 4 = (1 + ) 4. y 0 ve herhangi bir x değerine karşılık gelen interpolasyon değeri y p = (1 + ) s. y 0 şeklinde yazılabilir. Bu son ifade Binom serisine açılarak, y p = y 0 + s y 0 + s(s 1) 2! 2 y 0 + s(s 1)(s 2) 3! 3 y 0 + MAK Sayısal Analiz 32
33 + s s 1 s 2 s (n 1) n! n y 0 Newton-Gregory ilerleme polinomu diye de adlandırılan bu ifade C n s = s n = s. s 1. s 2 [s n 1 ] n! tanımı ile, y p = y 0 + s 1 y 0 + s 2 2 y s n n y 0 şeklinde de yazılabilir. Taylor serisinin hatasına benzer olarak bu polinomun hata MAK Sayısal Analiz 33
34 terimi de e p = s n + 1 hn+1 y n+1 (x s ) olacaktır. Burada x s incelenen aralıkta (x 0 x n aralığı) herhangi bir x değeri olup y fonksiyonu bilinmediği durumlarda n + 1. türevin de tam olarak hesaplanamayacağı açıktır. Çoğu zaman olduğu gibi fonksiyonun bilinmediği durumlarda türevin yaklaşık tahmini için ileride de verileceği gibi sonlu fark formüllerinden yararlanmak mümkündür. Fonksiyonunun n + 1. türevi için sonlu fark ifadesi y n+1 n+1 y h n+1 MAK Sayısal Analiz 34
35 olduğu ileride gösterilecektir. Buradan da şu söylenebilir ki verilen noktalardan geçen n + 1. dereceden polinomla n. dereceden polinom arasındaki fark yaklaşık hata terimi olacaktır. Zira polinoma ilave edilen her terim, yakınsak seri olması halinde gittikçe küçülecektir. Newton-Gregory Gerileme Polinomu Yukarıdaki gibi işlemlere başvurarak, geri sonlu farkları içeren ve (n + 1) tane eşit aralıklı (x i, y i ) noktalarından geçen n. dereceden bir polinom y p = y 0 + s y 0 + s(s + 1) 2! 2 y 0 + s(s + 1)(s + 2) 3! 3 y 0 + MAK Sayısal Analiz 35
36 + s s + 1 s + 2 [s + n 1 ] n! n y 0 olarak elde edilebilir. Bu polinom Newton-Gregory gerileme polinomu diye de adlandırılır. Merkezi Fark İnterpolasyon Polinomları Merkezi farkları kullanan interpolasyon polinomları benzer işlemlerle elde edilebilir. Eşit aralıklı (n + 1) noktadan geçen n. dereceden merkezi fark polinomları referans alınan noktaya göre farklı şekillerde ortaya çıkar. Daha karmaşık olan bu polinomların çıkarılışına girmeden sonuç denklemleri verilecektir. MAK Sayısal Analiz 36
37 Lagrange İnterpolasyon Polinomu Buraya kadar verilen yüksek dereceden interpolasyon polinomları eşit aralıklı noktalar halinde kullanılabilir. Ancak aralıklar her zaman eşit olmayabilir. Aralıklar eşit değilse ya yukarıda verilen polinomlar yeni duruma uyarlanır veya Lagrange interpolasyon polinomu kullanılır. En basit haliyle iki nokta kullanan lineer interpolasyon denklemini (Eşt. 5.13) tekrar ele alıp yeniden düzenlersek y = y 0 + y 1 y 0 x 1 x 0 (x x 0 ) y = y 0 + x x 0 x 1 x 0 y 1 x x 0 x 1 x 0 y 0 MAK Sayısal Analiz 37
38 y = 1 x x 0 x 1 x 0 y 0 + x x 0 x 1 x 0 y 1 y = x x 1 x 0 x 1 y 0 + x x 0 x 1 x 0 y 1 elde edilir. Bu ifadeyi n nokta için genelleştirmek mümkündür. Eşit aralıklı olmayan n adet (x i, y i ) noktalarından (i = 1,2,, n) geçen n + 1. dereceden Lagrange interpolasyon polinomu, y p = x x 2. x x 3 x x n x 1 x 2. x 1 x 3 x 1 x n y 1 + MAK Sayısal Analiz 38
39 x x 1. x x 3 x x n y x 2 x 1. x 2 x 3 x 2 x 2 + n + x x 1. x x 2 x x n 1 x n x 1. x n x 2 x n x n 1 y 2 formundadır. Bu genel ifade daha kısa olarak y p x = L i x. y i şeklinde yazılabilir. Burada n i=1 L i x = x x 1 x x 2 x x i 1 x x i+1 (x x n ) x i x 1 x i x 2 (x i x i 1 )(x i x i+1 )(x i x n ) MAK Sayısal Analiz 39
40 L i x = n j=1 j i x x j x i x j çarpım terimini göstermektedir. Örnek 5.6: 1.1,10.6, 1.7,15.2 ve (3.0,20.3) noktalarından geçen bir polinom bulunuz ve x = 2.3 değerine karşılık gelen y değerini hesaplayınız. MAK Sayısal Analiz 40
41 Çözüm: x aralıkları eşit olmadığından Lagrange polinomu kullanabiliriz. x y x x x y p x = (x 1.7)(x 3.0) (x 1.1)(x 3.0) ( )( ) ( )( ) 15.2 (x 1.1)(x 1.7) + (3 1.1)(3 1.7) 20.3 = 1.97x x ve x = 2.3 için y p (2.3) = elde edilir. MAK Sayısal Analiz 41
42 Ters İnterpolasyon Bu ana kadar verilen bir bağımsız değişkenin değerine karşılık fonksiyonun alacağı y değerinin nasıl bulunacağı üzerinde durulmuştur. Bazı durumlarda ise, verilen y değerine karşılık bağımsız değişken x in bulunması problemi ile karşılaşılır. Ters interpolasyon diye adlandırılan bu işlem iki şekilde yapılabilir. Bunlardan birincisi verilen noktalardan y p (x) polinomu geçirilerek verilen x değerine karşılık polinomdan y değerinin hesaplanması işlemine geçmektir. Ancak polinom üç veya daha yüksek dereceden ise y değerini bulmak için nonlineer denklem çözüm yöntemlerinden birinin kullanılması gerekir. İkinci yol ise, verilen tablo değerlerinin yer değiştirilerek, yani x değerlerini y, y değerlerinin de x sütunu olarak alınıp sonlu fark tablosunun hazırlanması ve interpolasyonun yapılmasıdır. MAK Sayısal Analiz 42
43 Ancak bu durumda y değerleri arasındaki fark eşit olmadığından ancak Lagrange interpolasyonu kullanılabilir. Çok Değişkenli İnterpolasyon Bağımsız değişken sayısı birden fazla ise çok değişkenli interpolasyon gerekir. Tek değişkenli interpolasyon teknikleri çok değişkenli durumlara genişletilebilir. Ancak bağımsız değişken sayısı arttıkça ifadeler uzayıp karmaşıklaşır. Dolayısıyla fazla detaya girmeden mühendislikte de daha fazla karşılaşılan iki değişkenli durumlar ele alınacaktır. Bağımsız değişkenleri x ve y olan bir u(x, y) fonksiyonu için belli sayıda (x i, y i, u i ) noktası verilmiş olsun. Herhangi x ve y ara değerlerine karşılık fonksiyonun alacağı değeri bulmak için başvurulacak yollardan biri, tek değişkenli MAK Sayısal Analiz 43
44 yöntemlerden birini iki yönde, mesela önce x, sonra da y yönünde ardışık uygulanarak sonuca ulaşmaktır. İkinci yolda ise verilen noktalardan geçen bir yüzey denklemi oluşturup interpolasyon yapmaktır. Verilen noktalardan geçen 2. dereceden bir eğrisel yüzey denklemi, genel olarak, u p = a 0 + a 1 x + a 2 y + a 3 x 2 + a 4 y 2 + a 5 xy şeklinde yazılabilir. Bu ifadede katsayıların bulunması problemin en önemli kısmıdır. Dolayısıyla, işlemi daha basit hale getirmek için genelde iki yaklaşık yöntem kullanılır. Üçgen Yöntemi: İnterpolasyon kullanılacak noktalar bir üçgen oluşturuyor ve sorulan nokta (x, y) bu üçgenin içinde kalıyorsa MAK Sayısal Analiz 44
45 u p = a 0 + a 1 x + a 2 y şeklinde bir düzlem denklemi kullanılabilir. Dikdörtgen Yöntemi: İnterpolasyonda kullanılacak dört nokta varsa ve bunlar bir dikdörtgen oluşturuyorsa u p = a 0 + a 1 x + a 2 y + a 3 xy ifadesine göre interpolasyon yapılabilir. Burada katsayıların bulunmasını kolaylaştırma için bu ifade u p = a 0 + b x x 0 + c y y 0 + d(x x 0 )(y y 0 ) şeklinde de yazılabilir (Şekil 5.5). Dikdörtgenin köşe noktalarındaki u fonksiyon MAK Sayısal Analiz 45
46 değerlerini kullanarak katsayılar (x 0, y 1 ) (x 1, y 1 ) (x, y) y x (x 0, y 0 ) (x 1, y 0 ) Şekil 5.7 Dört nokta kullanan iki değişkenli interpolasyon a = u(x 0, y 0 ) b = u x 1, y 0 u(x 0, y 0 ) x MAK Sayısal Analiz 46
47 c = u x 0, y 1 u(x 0, y 0 ) y d = u x 1, y 1 + u x 0, y 0 u x 0, y 1 u(x 1, y 0 ) x y olarak kolayca elde edilir. MAK Sayısal Analiz 47
48 Örnek 5.7: Bir sıvının viskozitesi (v) farklı (T) sıcaklıklarında ölçülerek tablo halinde verilmiştir. T( ) v(cst) a) Viskozitenin sıcaklıkla değişimini gösteren 3. dereceden uygun bir polinom bulunuz. b) Sıfır derecede viskoziteyi hesaplayınız. c) Viskozitenin 0.6 olduğu T sıcaklığını bulunuz. MAK Sayısal Analiz 48
49 Çözüm: a) 3. dereceden polinom 4 nokta kullanır. Verilen nokta sayısı ise 7 olduğundan verilen datanın 4 tanesi uygun bir şekilde seçilmelidir. İlk 4 veya son 4 noktanın alınması yerine belli aralıklarda tüm aralığı kapsayacak şekilde 4 noktanın seçilmesi daha uygun olacaktır. Birer atlayarak 4 noktayı seçip yeni bir sonlu fark tablosu hazırlayalım. İleri sonlu fark polinomu kullanmak istersek tablo aşağıdaki gibi olacaktır. T v v 2 v 3 v MAK Sayısal Analiz 49
50 3. Dereceden ileri fark interpolasyon polinomu y p = v = v 0 + s v 0 + s(s 1) 2! 2 v 0 + s(s 1)(s 2) 3! 3 v 0 T 0 = 5, v 0 = 5.33 ve s = T T 0 20 alınırsa v = T x10 3 T x10 5 T 3 elde edilir. b) Bulunan polinomu kullanarak T = 0 için v = cst bulunur. Veya tüm noktaları kullanarak interpolasyon yapılabilir. Örneğin tüm noktaları kullanarak ve ilerleme polinomunu 6. terime kadar alarak, s = (T T 0 ) 20 = (T + 5) 10 ile viskozite değeri v 0 = cst elde edilir. MAK Sayısal Analiz 50
51 c) Bu soru için ters interpolasyon yapmak gerekir. Bunun için tabloda viskozite ve sıcaklık sütunlarını yer değiştirip Lagrange interpolasyonu yapılabilir. Veya bulduğumuz 3. dereceden interpolasyon polinomu kullanabiliriz: T x10 3 T x10 5 T 3 = 0.6 Bu nonlineer denklem uygun bir yöntemle çözülerek 25 ile 35 arasında beklenen kök değeri T = olarak elde edilir. MAK Sayısal Analiz 51
52 5.6: Bir y = f(x) fonksiyonuna ait ölçüm değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. x y a) Verilen noktalardan geçen interpolasyon polinomunun derecesi en fazla kaç olabilir? b) Bu polinomu bulunuz. c) x=0.8 için y nedir? d) y=5 için x ne olabilir? MAK Sayısal Analiz 52
53 Çözüm 5.6: a) Verilen nokta sayısı 4 olduğu için en fazla 3. Dereceden bir polinom elde edebiliriz. b) x y y 2 y 3 y c) 3. dereceden ileri fark interpolasyon polinomu s(s 1) y p = y = y 0 + s y y 2! 0 + s(s 1)(s 2) 3 y 3! 0 x 0 = 0.5 y 0 = 0.65 s = (x x 0 ) 0.5 MAK Sayısal Analiz 53
54 İleri sonlu fark tablosundaki terimler ve diğer ifadeler Newton- Gregory ilerleme polinomunda yerine yazılırsa 3. dereceden polinom aşağıdaki gibi elde edilir: c) x = 0.8 için y = y = x x 0.5 x (x 0.5)(x 1)(x 1.5) MAK Sayısal Analiz 54
55 Lagrange interpolasyon denklemini kullanarak y=5 için x değerini bulabiliriz. y p = x 1.2 x 6.65 x x x 6.65 x x x 1.2 x x x 1.2 x ( ) y 5 = x = MAK Sayısal Analiz 55
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani
DetaylıBÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)
BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması
Detaylı12. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
1. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi SONLU FARKLAR İNTERPOLASYONU İleri Yönlü Sonlu Farklar İterpolasyonu
DetaylıHATA VE HATA KAYNAKLARI...
İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün
DetaylıSONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER
SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Doğrusal Ara Değer Hesabı Lagrance Polinom İnterpolasyonu
DetaylıAyrık zamanlı sinyaller için de ayrık zamanlı Fourier dönüşümleri kullanılmatadır.
Bölüm 6 Z-DÖNÜŞÜM Sürekli zamanlı sinyallerin zaman alanından frekans alanına geçişi Fourier ve Laplace dönüşümleri ile mümkün olmaktadır. Laplace, Fourier dönüşümünün daha genel bir şeklidir. Ayrık zamanlı
Detaylı11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için
Detaylı4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıŞekilde görülen integralin hesaplanmasında, fonksiyonun her verilen bir noktası için kümülatif alan hesabı yapılır.
NÜMERİK İNTEGRASYON Şekilde görülen integralin hesaplanmasında, onksiyonun her verilen bir noktası için kümülati alan hesabı yapılır. Nümerik integrasyonda, integralin analitik değerine, çeşitli yöntemlerle
DetaylıGÜZ DÖNEMİ ARASINAV SORULARI. 1. Sayısal çözümleme ve fonksiyonu tanımlayarak kullanıldığı alanları kısaca açıklayınız?
MAK 05 SAYISAL ÇÖZÜMLEME S Ü L E Y M A N D E M Ġ R E L Ü N Ġ V E R S Ġ T E S Ġ M Ü H E N D Ġ S L Ġ K F A K Ü L T E S Ġ M A K Ġ N A M Ü H E N D Ġ S L Ġ Ğ Ġ B Ö L Ü M Ü I. öğretim II. öğretim A şubesi B
Detaylırasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının
Detaylıbiçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
DetaylıEŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıJeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon
Jeodezide Yöntemleri: ve Lisansüstü Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü e-posta: austun@selcuk.edu.tr Konya, 2007 A. Üstün yöntemleri 1 / 28 Bir soruyu ya
DetaylıYAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki
DetaylıDiferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir.
.. Diferensiyel Denklemler y f (x) de F ( x, y, y, y,...) 0 veya y f ( x, y, y,...) x ve y değişkenlerinin kendileri ve türevlerini içinde bulunduran denklemlerdir. (Türevler; "Bağımlı değişkenin değişiminin
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıMesleki Terminoloji. Sayısal Analiz DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK MEHMET EMRE ÖNDER DOĞAÇ CEM İŞOĞLU
Mesleki Terminoloji DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK Sayısal Analiz MEHMET EMRE ÖNDER - 12011061 DOĞAÇ CEM İŞOĞLU - 11011074 Sayısal Analiz Nedir? Sayısal analiz, yada diğer adıyla numerik analiz,
DetaylıYeşilköy Anadolu Lisesi
Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi
DetaylıÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ
Giriş ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ Sayısal Analiz Nedir? Mühendislikte ve bilimde, herhangi bir süreci tanımlayan karmaşık denklemlerin
DetaylıGözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi
JEODEZİ 6 1 Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi Jeodezik gözlemler, hesaplamalarda kullanılmadan önce, referans elipsoidin yüzeyine indirgenir. Bu işlem, arazide yapılan gözlemler l jeoidin
Detaylı25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ
25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ a-) Routh Hurwitz Kararlılık Ölçütü b-) Kök Yer Eğrileri Yöntemi c-) Nyquist Yöntemi d-) Bode Yöntemi 1 2 3 4 a) Routh Hurwitz Kararlılık
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
DetaylıHARMONİK DENKLEM. Burada göz önüne alınacak problem Dirichlet problemidir; yani fonksiyonun sınırda kendisinin verilmesi halidir. 2 2 (15.
HARMONİK DENKLEM Harmonik denklemin sağ tarafının sıfır olması haline Laplace, sağ tarafının sıfır olmaması haline de Possion denklemi adı verilir. Possion ve Laplace denklemi, kısaca harmonik denklem
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıMATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
DetaylıBÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ
BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini
DetaylıDİFERANSİYEL DENKLEMLER-2
DİFERANSİYEL DENKLEMLER- SINIR DEĞER ve ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde adi diferansiyel denklemlerde sınır ve özdeğer problemleri ( n) ( n1) incelenecektir. F( y, y,..., y, x) 0 şeklinde verilen bir diferansiyel
DetaylıMAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI
.. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıSunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.
Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf
Detaylı7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)
7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 10 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 9-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 1 GİRİŞ Diferansiyel denklemler, mühendislikte fiziksel olayların modellenmesinde sık karşılaşılan denklemlerdendir. Dolayısıyla bu
DetaylıDENKLEMLER CAUCHY-EULER DENKLEMİ. a n x n dn y dx n + a n 1x n 1 dn 1 y
SABİT KATSAYILI DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜREBİLEN DENKLEMLER Bu bölümde sabit katsayılı diferansiyel denklemlere dönüşebilen değişken katsayılı diferansiyel denklemlerden Cauchy Euler ve Legendre difarensiyel
DetaylıDers 9: Bézout teoremi
Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak
DetaylıBÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR
BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen
Detaylıİkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem
DetaylıEĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ
EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıLineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)
DetaylıPROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma
PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir oktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJEİ AMACI: Bu projede herhangi bir koniğin üzerindeki veya dışındaki bir noktadan
DetaylıLys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıOtomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri
Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri H a z ı r l aya n : D r. N u r d a n B i l g i n Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Bir önceki
DetaylıDÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI
KARARLILIK Kontrol sistemlerinin tasarımında üç temel kriter göz önünde bulundurulur: Geçici Durum Cevabı Kararlılık Kalıcı Durum Hatası Bu üç temel spesifikasyon arasında en önemlisi kararlılıktır. Eğer
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Regresyon o EnKüçük Kareler Yöntemi Doğru Uydurma
DetaylıDenklemdeki E ve F değerleri kökün aranacağı ÒEßFÓ sınır değerleri veya ilk değerler olarak tanımlanabilir. Denklem (1.12) de kök
1.. RGULA-FALSI veya SKANT YÖNTMİ u yöntem regula-falsi, sekant veya kiriş yöntemi olarak adlandırılmaktadır. Yöntem, öteleme işlemleri sonucunda kök değerine yani fonksiyonu sıfır yapmaya çalışan değere
DetaylıÖrnek 4.1: Tablo 2 de verilen ham verilerin aritmetik ortalamasını hesaplayınız.
.4. Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri kitleye ilişkin bir değişkenin bütün farklı değerlerinin çevresinde toplandığı merkezi bir değeri gösterirler. Dağılım ölçüleri ise değişkenin
Detaylıx e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıKübik Spline lar/cubic Splines
Kübik spline lar önceki metodların aksine bütün data noktalarına tek bir fonksiyon/eğri uydurmaz. Bunun yerine her çift nokta için ayrı ayrı üçüncü dereceden polinomlar uydurur. x i noktasından geçen soldaki
Detaylı1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?
1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü
DetaylıElastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1
Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
DetaylıRegresyon ve İnterpolasyon. Rıdvan YAKUT
Regresyon ve İnterpolasyon Rıdvan YAKUT Eğri Uydurma Yöntemleri Regresyon En Küçük Kareler Yöntemi Doğru Uydurma Polinom Uydurma Üstel Fonksiyonlara Eğri Uydurma İnterpolasyon Lagrange İnterpolasyonu (Polinomal
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Hessien Matris-Quadratik Form Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar Giriş Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için
Detaylıdir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir.
SAYISAL İNTEGRASYON TEK KATLI İNTEGRASYON Sayısal integrasyon çok geniş bir konudur. Burada problemli olmayan (genelde integrantın tekilliği olmayan, fazla salınım yapmayan, yaklaşım problemi bulunmayan)
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
DetaylıTürev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi
1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıSAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş 1.Hafta Sayısal çözümleme nümerik analiz nümerik çözümleme, approximate computation mühendislikte sayısal yöntemler Computational mathematics Numerical analysis
Detaylımatematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı
matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları
HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki
DetaylıAkışkan Kinematiği 1
Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden
DetaylıFonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz.
8.2. Fonksiyonlarda Limit Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2.1. Değişkenin Limiti Sonsuz sayıda değer alabilen bir x değişkeninin
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı
DetaylıPolinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.
1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Detaylı2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde
Detaylı3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1
3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki
DetaylıELEKTRONİK VE HABERLEŞME MÜHENDİSLİĞİ ÖLÇME VE DEVRE LABORATUVARI DENEY 2
ELEKTRONİK VE HABERLEŞME MÜHENDİSLİĞİ ÖLÇME VE DEVRE LABORATUVARI DENEY 2 2.1. ÇEVRE AKIMLAR YÖNTEMİ Elektrik devrelerinin çözümünde kullanılan en basit ve en kolay yöntemlerden biri çevre akımları yöntemidir.
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
DetaylıSAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME 1 SAYISAL ÇÖZÜMLEME 4. Hafta DENKLEM ÇÖZÜMLERİ 2 İÇİNDEKİLER Denklem Çözümleri Doğrusal Olmayan Denklem Çözümleri Grafik Yöntemleri Kapalı Yöntemler İkiye Bölme (Bisection) Yöntemi Adım
DetaylıLYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
DetaylıBATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER
BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER Yrd. Doç. Dr. Beytullah EREN Çevre Mühendisliği Bölümü BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER Atatürk Barajı (Şanlıurfa) BATMIŞ YÜZEYLERE ETKİYEN KUVVETLER
DetaylıMühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN
Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın
DetaylıBoole Cebri. (Boolean Algebra)
Boole Cebri (Boolean Algebra) 3 temel işlem bulunmaktadır: Boole Cebri İşlemleri İşlem: VE (AND) VEYA (OR) TÜMLEME (NOT) İfadesi: xy, x y x + y x Doğruluk tablosu: x y xy 0 0 0 x y x+y 0 0 0 x x 0 1 0
DetaylıPROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI
PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI PROJENİN AMACI: Polinom fonksiyon yardımıyla özdeş nesnelerin farklı kutulara istenilen koşullardaki dağılım sayısının hesaplanması
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI
0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;
DetaylıŞekil 6.2 Çizgisel interpolasyon
45 Yukarıdaki şekil düzensiz bir X,Y ilişkisini göstermektedir. bu fonksiyon eğri üzerindeki bir dizi noktayı birleştiren bir seri düzgün çizgi halindeki bölümlerle açıklanabilir. Noktaların sayısı ne
DetaylıMatris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
Detaylım=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.
Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,
DetaylıAyrık Fourier Dönüşümü
Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =
DetaylıFONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI
FONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI Bu kısımda bir fonksiyon değerlerinin tablo şeklinde hesaplanması incelenecektir. İncelenecek fonksiyon y=f(x) şeklinde bir değişenli veya z=f(x,y) şeklinde iki
Detaylı