SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI"

Transkript

1 SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Yrd Doç Dr Hüse Bıroğu İSTANBUL 6

2 İÇİNDEKİLER SAYFA -GİRİŞ SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ HATA TANIMI SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI 5 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI 7 GRAFİK METODU 7 ORTA NOKTA METODU 7 HATALI KONUM METODU (Leer terposo ötem 9 BASİT TEK NOKTALI ARDIŞIK METOD 5 NEWTON-RAPHSON METODU 5 Newto-Rphso ötemde ht z 5 Newto-Rphso ötem k bme eer om dekem sstem çözümüe ugumsı 6 SEKANT METODU 5 7 KATLI KÖKLER 6 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ 9 GRAFİK METODU DETERMİNANTLAR VE CRAMER KURALI BİLİNMİYENLERİN ELİMİNASYONU ( ok edmes YÖNTEMİ GAUSS ELİMİNASYONU METODU 5 GAUSS-JOURDAN METODU 7 6 TERS MATRİS METODU 9 6 Guss-Jord ötem mtrser ters buumsı uguışı 9 7 ALT ÜST ÜÇGEN MATRİSLERE AYIRMA METODU 5 7 Guss emso ötem e t üst üçge mtrsere ırm şem 5 7 Crout Beşeere ırm ötem (Crout decomposto 8 8 KAREKÖK METODU (Choesk ötem 9 İTERASYON YÖNTEMİ (Guss-Sede ötem 6 5 EĞRİYE UYDURMA 7 5 YAKLAŞTIRMA (Regressso METODU 7 5 Doğru kştırm metodu 7 5 Poom kştırm metodu 5 5 İk değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek 5 5 Çok değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek 5

3 5 İNTERPOLASYON 55 5 Leer terposo (r değer bum 55 5 Kudrtk terposo 56 5 Newto terposo poomuu gee ormu: 57 5 İterposo poomrıı ktsırıı bumk ç dğer br ötem Lgrge terposo poomu 59 6 SAYISAL İNTEGRAL 6 6 NEWTON-KOT İNTEGRAL FORMÜL 6 6 Trpez (muk kurı 6 6 İtegr böges eşt prç böerek muk kurıı uguışı 6 6 Smpso u / kurı 6 6 IMPROPER İNTEGRAL (sıırrı sosuz o tegr 68 7 SAYISAL TÜREV 69 7 İLERİ DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER 7 7 GERİYE DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER 7 7 MERKEZİ FARKLAR METODU İLE TÜREVLER 7 8 ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER 7 8 EULER METODU 7 8 İeştrmş Euer metodu 7 8 HEUN METODU 75 8 RUNGE-KUTTA METODU 76 8 İKİNCİ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU 76 8 ÜÇÜNCÜ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU 76 8 DÖRDÜNCÜ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU 76 8 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ YÖNTEMİ SINIR DEĞER PROBLEMLERİ 8 85 ATIŞ YÖNTEMİ 8 85 SONLU FARKLAR YÖNTEMİ 8 9 KIMİ TÜREVLİ DENKLEMLER85 9 SONLU FARKLAR YÖNTEMİ86 9 LAPLACE DENKLEMİ86 9 ÇÖZÜM TEKNİĞİ87 EK A Tor Sers 9 EK B Dh öcek seeere t sıv sorurı ve çözümer 9

4 -GİRİŞ Mühedskte doğdk orı ve ouşumrı bmse ötemere şı şeş kurrı çok öemdr Bu kurr sığı kuımı suuck et, chz, mke, pı ve sstemer ouşturumsıd, şetmesde ve geştrmesde kuımktdır Doğdk or ve ouşumr bmse ötemere ceerke değer değştkçe orı ser ve ouşumrı soucuu etkee büükükere değşkeer der İceeme soucud değşkeer rsıdk şkerde tbo değerer çeşt grker ve cebrse, derse ve tegr dekemer ve sstemer ede edr İkc derecede cebrse dekemer sısı z om cebrse dekem sstemer eer derse dekemer ve sstemer, düzgü geometre shp kısm türev eer derse dekemer ve sstemer tk ötemere çözüme gdmese krşıık dğer durumrd pek ko ommktdır Htt çoğu kere bu mksızdır Bud doı büük dekem sstemer, eer omm durumu ve krmşık geometr durumrıd sıs ötemer ve deese ötemer ugumktdır So ırd bgsr tekoosdek geşmeer sıs ötemer oğuuğuu ve etkğ rtırmıştır SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ Sıs ötemerde ouşbecek htrı kesme, uvrtm htsı ve seçe mtemtk modede kk htr ork sbrz Kesme htsı, üksek mtemtk oksorı hespırke kuı sererde ı term sısı bğıdır Yuvrtm htsı, pı şemerde ger çe sırd vrgüde sor ı rkm sısı bğıdı Mtemtk modede kk ht Gerçek durum e mtemtk mode rsıdk rk bğıdır HATA TANIMI Doğru değer kşık değer Ht Ht Doğru değer - kşık değer E t Doğru değer - kşık değer Bğı ht ht / doğru değer Bğı gerçek üzde ht ε t (gerçek ht / doğru değer % Bğı kşık üzde ht ε ( kşık ht / kşık değer % Ardışık metotrd uguışı ε (( şmdk kşık değer br öcek kşık değer/ (şmdk kşık değer %

5 SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRIMASI Dekemer köker ( dekem sğ değerer ( hesbı Leer dekem sstemer çözümü kök A A C A A C çözüm Eğr udurumsı ( ( Nümerk tegr Regreso Iterposo (kştırm (r değer bum ( b I d I eğr tıdk ( 5

6 5 Nümerk türev Türev: ( sıs türev (Δ ( LmΔ d Δ d ( türev Nümerk türev : d ( Δ (Δ ( d Δ Δ 6 Ad derse dekemer d dt Δ (t, Δt t e bğı çözümü: θ tg θ (t, (t, Δt t t t t 7 Kısm türev derse dekemer u u (, ve e bğı ork u hespır 6

7 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI ( dekem sğ değerere bu dekem köker der Örek ork derecede ( b c dekem köker b ± b c eştğ e koık buuur Herhg br ( dekem köker her zm bu kdr ko hespmz Buu ç sıs ötemer geştrmştr GRAFİK METODU Bu ötemde ( dekem öçek br Şekde çzr Eğr ekse kestğ ( c oktr okum çışıır 5 Örek ork prşütü ş krkterze ede dekem ee ım gm v c mt [ e ] (c / Burd v hızı, g erçekm vmes, m Küte ve c de hvı drec gösteror c Vere v m/s, m68, kg, g98 m/s, t s değerer e c hv drec hespmk ç g m mt (c [ e ] (c / v şekde ukrıdk dekem düzeep buu sıır p c c değer ukrıdk grkte c,7 değer okubrz ORTA NOKTA METODU ( r ( u / ( ( * ( u < se ( dekem (, u rığıd e z br kökü vrdır r ( u / ( r u ( * ( r < se u r ( * ( r > se r ( * ( r se r köktür 7

8 Örek ( - - çözüm - ( u 5 ( - (5 ( * (5-6 < r (5/ r,5 (,5,5 (* (,5 < u,5 ( u,5 r (,5/ r,75 (,75-9 ( * (,75 >,75 (,75, u,5 r,5 (,5 56 (,75 * (,5 < u,5 ε (,5-,75/,5 % ε % (,75, u,5 r,9 (,9 -, (,75 * (,9 >,9 ε 6, % (,9, u,5 r, ( r ( ( r < u, ε,97 % (,9, u, r,985 ( r -6 ( ( r >,985 ε,5 % (,985, u, r,75 ( r - ( ( r < u,75 ε,75 % (,985, u,75 r,99 ( r -99 ( ( r >,99 ε,59 % (,99, u,75 r,999 ε, % 8

9 HATALI KONUM METODU ( Leer terposo ötem ( ( u ( r u r ( r u ( r u u ( (u u ( ( u Örek ( - ( çözüm -, u 5 ç ( - ( u (, u rığıd e z br kökü vrdır ( ( u < oduğud ( dekem r 5 ( -5 / (-- r,6 ε (,6 /,6 % %,6 ( -, r 5 (,6-5 / (-,- r,86 ε 9, %,86 ( -,5 r 5 (,86-5 / (-,5- r,95 ε,5 %,95 ( -,975 r 5 (,95-5 / (-,975- r,98 ε, %,98 ( -,68 r 5 (,98-5 / (-,68- r,99 ε,7 %,99 ( -, r 5 (,99-5 / (-,- r,98 ε, % ε (,998,99 /,998 %, % 9

10 BASİT TEK NOKTALI ARDIŞIK METOD Bu ötemde ( oksou ( ( ock şekde k prç rıır Bu ırım g ( şekde obr ( ( g ( ( ε ( / % ε t ( t / t % kök Örek ( e - ( ( e ( e - - kök, ( e - 8 ( 6 kök 6 8

11 Yukrıdk eştkere şğıdk tbo zıbr e -X % % ε t ε, , 7,6789,69 5, 6,9,69,57, 8,,57,66,8 7,,66,5596 6,89,,5596,5796,8 5,9,5796,565,,8,565,57,,9,57,56879,75,,56879,5688,99,6,5688,5665,6,55,5665,567557,8,,567557,5669,7,,5669,5678,,65,5678,56766,,8

12 5 NEWTON RAPHSON METODU ( ( eğm ( kök ( ( ( ( ( Newto- Rphso ötem rıc Tor sersde çıkrbrz ve bu o ht z de pıır Ek dek tek değşke ( oksou oktsıd Tor serse çıımıı göz öüe ım Burdk çıımd ere, ere zrsk şğıdk eştğ ede ederz ( Burd ξ, e rsıd br değerdr ( ( ( (ξ ( mertebede türev çere termerde sorker ımz ve ( ıırs ( ( ( eştğ zıır Burd Newto-Rphso ötemde ede ede şğıdk dekem ede edr ( ( 5 Newto-Rphso ötemde ht z r : kökü gerçek değer Tor sere ereştrp bud kşık dekem çıkrıırs ( ( ( r (ξ (r _ ( ( ( ( (r (ξ (r E t, r (öcek gerçek ht E t, r ( gerçek ht eştker ukrıdk dekeme ereştrrsek ( Et, (ξ Et, eştğ ede ederz Çözümü kısdığı düşüüürse ve ξ, r kısr ve böece gerçek kök değere

13 E t, ( r E ( r t, dekemde htı kbc öcek htı krese ortıı oduğu görüür ( Kudrtk kıskık Örek 5 ( ( Gerçek çözüm -, ( ( ε ( / % ( ε, % -,5 -,5 -,5 -,5 -,69756,9 -, ,9,6 -,9 -,9 5 Newto Rphso ötem k bme eer om dekem sstem çözümüe ugumsı Ek dek k değşke oksorı Tor sersde ere, ere, ere, ere ıp brc mertebede türev termerde sork termer mzsk şğıdk dekem ede ederz (, ( (,, ( (, ( İk bme eer dekem sstem u(, v(, şekde gösterrsek ukrıdk Tor sersde ede ede eştğ bu her k dekeme rı rı ugummız gerekr u(, u(, u(, u(, ( ( v(, v(, v(, v(, ( ( Sstem çözümüü rdığımız ç

14 , ( u, ( v omıdır Arıc u, ( u v, ( v ıırs dekem sstem şğıdk gb düzeeebr u u u u u v v v v v Böece ve büüküker bme kbu ede k bme eer dekem sstem ede edr Bu sstem Krmer kurı göre çözüürse şğıdk eştker buuur v u v u u v v u v u v u u v v u Örek 5 u(, - u(, v(, 57 v(, u, u, v, 6 v ( 6 ( ( 57 ( 6 ( (

15 ( ( 57( ( ( 6 (,767588,9767,767588,9767,98,57987,98,57987,99975, ,99975, , ,7, ,7 6 SEKANT METODU Newto-Rphso ötem ç gerek o türev m şem bzı poom ve oksord zordur Bu ötemde türev ere sou rkr türev ormüü kuıır ( ( Newto Rphso Yötem ( burdk ( ere ( ( ( kşık değer ıır Bu dekemde şğıdk şekde ede edr ( ( ( ( k değer ve - bşgıçt vermedr Bu bşgıçt vere k değer kökü rı trrıd omk zorud değdr ( ( ( - kök - 5

16 Örek 6 ( - ( çözüm -, ( (, ε % ( ( İ - ε, % - -,6 - -,6 -, , , ,7 -, , ,999997,75 5 -, , ,6 6 -, ,5 7 KATLI KÖKLER ( - k ktı kök ( (- (- (- ( Burd k ktı köktür - - ( - üç ktı kök ( (- (- (- (- ( 6 Burd ktı köktür ( dört ktı kök ( (- (- ( - (- (- ( Burd ktı köktür - - 6

17 ( u( oksou e ( oksouu köker ıdır ( Bu durumd ( ere u( oksouu köker rştırıır Örek ork Newto- Rphso ötem uguırs şğıdk dekem ede edr u( u ( Bu dekemde u ( ere ( ( ( ( u ( [ (] ( ( [ ( ] ( ( ( u( des e göre türev ııp kours ( ktı köker ç ede düzeemş Newto Rphso ötem kşım dekem ede edr Örek 7 ( (- (- ( - ( k ktı köktür Stdrt Newto-Rphso ötem e çözüm (, ( ( ε %,5,5,75,,75,875,9,875,975 6,67,975,96875,6,96875,9875,587,9875,99875,787,99875,996975,9,996975, ,957, ,9995,978 7

18 Örek 7 ( (- (- (- ( 5 7 Stdrt Newto-Rphso ötem e çözüm ç ( 7, ( 6 eştker [5 ( ]dekemde ere zrsk dekem ede ederz Bu dekem kurk şğıdk tbou düzeeebrz ε, %,85786,85786, ,5, , ,668,88655,9989 8,8,9989, ,, ,977655,7,977655, ,7, ,99675,56,99675, ,8, , ,, ,999998,76 Geştrmş Newto-Rphso ötem ç ede ede ( ( ( ( (6 eştğ kurk şğıdk tbo ouşturuur ε, %,5658,5658,866,868,866,9,8,9,9 8

19 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ Öcek böümde tek br ( dekem sğ değerer buuuşu tıdı Şmd se (,,,, (,,,, şekde det dekem ı d sğ değerer rştırıcktır,,,, Eğer bu (,,,, dekemer şğıdk gb ours bu dekem ssteme eer dekem sstem der, c, c, c, c Burd, c sbterdr Leer dekem sstem mtrs gösterm [ A ] { } { C } şekdedr Burd çözüm mtrs { } [ A ] - {C} şekde zıır Bu mtrser şğıdk gb çık şekde zıbr [ A], [], [ C ] c c c c 9

20 Leer dekem sstem çözümüde şğıdk metodr uguır Grk metodu Determtr ve Crmer kurı Bmeer emsou (ok edmes Guss Emso metodu 5 Ters mtrs metodu (Guss Jord ötem 6 İterso ötem (Guss Sede ötem 7 At üst üçge mtrsere ırm metodu 8 Krekök metodu ( Choesk ötem, smetrk bt mtrser ç GRAFİK METODU Bu ötem kde z bme çere dekem sstemere ugumz Fkt çözümü geometr rdımı e orumu pıbr Örek X X 8 - X X X X X Çözüm X, X -X X X X 5 6 X -(/ X X -(/ X X -(/ X X / -X X X X X -(,/5 X X, -(/ X X X

21 DETERMİNANTLAR VE CRAMER KURALI Bu ötem de z bme dekem sstemer ç kuışı değdr Üç Bme dekem sstem ç bu ötem şğıdk gb uguır c c c D c c c D, c D, D c c c c c Örek,,5,5,9,,,5,,67,,,5,67,9,,5,,,5,78 D,5,9,, 9 D,,,,5,,,,5,,5,67,9,5,67,,,5,69,,,,56 9,5 9, 8 D, D,

22 BİLİNMİYENLERİN ELİMİNASYONU (ok edmes YÖNTEMİ Bu ötem k bme eer dekem sstemer üzerde gösterem ( c ( c ( dekem, ( dekem e çrpııp topırs ok edmş our ( ( ( c ( c ( ( ( c c c c Bu değer ( dekemde ere ereştrrse c Örek 8 (8 ( (8 ( (, ( ( (

23 GAUSS ELİMİNASYONU METODU Bmeer emsou ötem sstemtk he getrmş şekdrbu ötem eer dekem sstemere şğıdk şekde uguır ( c ( c ( c ( c İk öce ( dekem dışıdk bütü dekemerde ok edr Buu ç ( dışıdk bütü dekemere şğıdk şem uguır ( (,,, Bu şem ugudıkt sor dekem sstem şğıdk durum ger ( c ( c ( c ( c Bezer şekde kc dekemde tbre sork dekemerde sır e bmeerde ok edrse şğıdk dekem sstem ede edr,,, ( c ( c ( c ( ( ( ( c Bu sstemde bmede bşrk gere doğru ere kom şem e bütü bmeer şğıdk ormüer e hespır

24 c ( ( ( c ( (,,, Örek (,,, 7, 7,85 ( (,, 9, 7,,, Bu dekem ssteme ( ( ve ( ( şemer pıırs,, 7,85 ( ( -, -, 7,85 (,,,, (, [7 (,] [, (,] 9, (,,,, (, [, (,] [ *(,] 7, 7,85 7,85 (,, ( 7,,9 (,9, 7,85 9,567 7,65 (,9 dekem sstem ede edr Bu sstemde so stır ( ( şem pıırs 7, (,, 7,85 ( 7,,9 9,567 (, 7,8 Bu so ede ede sstemde bmeer so dekemde k dekeme doğru ere kom e ede edr So ( dekemde 7,8 7, buuur Bu değer e (, dekeme gdp ord hespır 7,,9 7, 9, ( 567,5

25 5 Buu bu ve değerer ( dekemde ere ereştrerek bmede çözüür ( ( 85 7, 7,,,5, Örek (, 5,, ( ( ( ( ( ( ,5,5,5,5 8,5,5 5,5,5,5,5,5 5

26 ,5,5,5,5,5,5 5,5 (,5,5 (,5 8,5 (,5,5,5,5,5 (,5 (,5 ( (,5 ( (,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 5,5 (,5,5,5 7,5,5,5 5,5 6,5,5,5 7,5 7,5 7,5 5,5,5,5 7,5 6,5 (,5 ( 6,5 7,5,5,5 7,5,5,5, 5,5 6,5 6,, 6,, 6,,, 6,5,5 7,5,5 6,5,, 5 7,5,5 6,5,5,5,5 5,5,5,, ( 5 5, Ede ede çözüm değerer sğmsı 5 ( ( ( 5 5 ( ( 5 5 ( 5 5 ( 6 ( ( 5 7 6

27 5 GAUSS-JOURDAN METODU Bu ötemde [ A ]{} { c} dekem sstem her k trı [ A] []{} I [ A] {} c Ssteme döüştürüür e sod çrpırk Örek / / / 5 / 5/ 6 7,5,5,75 (,5 (,5,75 (,5 5 (,5 (,75 (,5 (,5 (,75,75,75 6,75 7,75,5,5,5,5,5 5,5,5,75,5,5,5,75,5 8,5,5,5,5,5,5,5,5,5 5,5,5,5 (,5,75,5(,5,75,5 (,5,5,5 (,5,5 (,5 8,5 (,5 (,5,5,5(,5,5,5(,5 7

28 ,5,5 7,5,5,5,5,5,5 6,5,5,5,5,5,5,5,5,5 (,6667,5,5(,86667 (,6667,5,5,6667 (,6667,86667,86667,86667,6665,5,6667,,9,666, ,,6665,665,5,5,6667,667,9,665,666,5,86667,667 5 Bu ede ede rttırımış mtrs şğıdk rttırımış mtrse eşt oduğud 5 böece,, 5, çözüm değerer buumuş our 8

29 9 6 TERS MATRİS METODU Ters mtrs ötemde ı ktsır mtrse shp eer dekem sstemerde rkı İkc tr vektörer ç çözümer dh ko ede edr 6 Guss-Jord ötem mtrser ters buumsı uguışı [ ]{} {} c A dekem sstem her k trı [ ] A e çrpıırs {} [ ] {} c A ede edr [ ] A mtrs e şğıdk gb te dekem sstem ede edr,,, Bu te sstem [ ] [ ] [ ] A Y I [ ] [ ] Y A şekde gösterebr Burd zıck [ ] I A rttırımış mtrs [ ] K I ( [ ] [ ] [ ] I Y K [ ] [ ] Y K mtrse döüştürüürse [ ] [ ] A K ede edr Çükü [ ][ ] [ ] I Y A oduğu göre [][ ] [ ] K Y I our Arıc [ ] [ ] A Y ve brm mtrse br mtrs çrpımı kedse eşt oduğud [ ][ ] [ ] Y Y I dır burd [ ] [ ] K Y ve souç ork [ ] [ ] A K buuur

30 k k k k k k k k k k k k k k k k Örek 6 7,85,, 9,, 7, 7,,,,, 5, 7, 5,, dekem sstemer çözüüz [ ],,, 7,,, A,,, 7,,,

31 ,,, 7, /, /,/ /,,, 7,,,666667, ( ( (,*,,666667,,,*,,*,,*,,666667,*,,,*( 7,*,,,666667,,,,9,,9 7,,,666667,,,,9 7, / 7,,/ 7,,9/ 7, 7,/,,666667,,,,9,8,79,76,,666667, ( (,9 *,,7,9 * (,,7,9*,,9*,9,8,79,76,*,,,,7,*,67,*,,7,9,,8,79,76,799,75,6857 /,,7 /,,9 /,,/,,8,79,76,799,75,6857,99879,698,778,8,79,76,799,75,6857

32 ,68,68,7,7,,68* (,,7,7 *,8 (,,7,68*,7,,7 *,7,7,68*,,7 *,,99879,89,56,779,997,9,6986,6798,86,9988 [ A ],89,56,779,997,9,6986,6798,86,9988 Böece ktsır mtrs [ A ] o Bütü sstemer çözümü: {} [ A] {} c dekem e ede edr İk sstem çözümü:,89,56,779,997,9,6986,6798,86,9988 7,85 9, 7,,8,886 7,5 kc sstem çözümü:,89,997,56,9,779,6986,6798,86, ,9979 7,7,955

33 Örek 6 [ A ] {} c ,5,5,75,5 ( (,5 (,5 (,75 (,5 ( (,5 5 (,5 (,75 (,5 ( (,5 (,5 (,75 (,5,5,5,5,5,5 5,5,5,75,5,5,5,5,75,5,5,5,5,5 (,5,5(,5,75,5(,5,5,5(,,5(,,5,5, ( 5,5 (,5,5 (,5,5 (,,5(,5,5(,5,5,5(,5,5,5(,,5(,,,5,5 7,5,5,5,5,, 7,,,,6,,5,5,5,5 *,5,5,5,5 (,667,,5*,9,,5(, (,667,,5*,9,,5(,,667,9, (,667, *,9, (,,5*,,5*,, *,

34 ,,8,68,,,,9,667,666,9,5,5,666,9,66,667 ( ( ( ( (,5,5,65,5,67 *,,,67,,,9,67,5*,,,5,6,9,5,5,7 *,,,7,6,6,7,9,,7,6,7,7,5,5,65,5,8,5,958,788,666,5,666,58,5,9,58 [ ],5,5,65,5,8,5,958,788,666,5,666,58,5,9,58 A,5,5,65,5,8,5,958,788,666,5,666,58,5,9, ,5* 6*,5* 7,65*,5*5,8* 7,5* 6,958*,788*5,666* 7 * 6,5*,666*5,58* 7,5* 6,9*,58*5 5

35 7 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ALT ÜST ÜÇGEN MATRİSLERE AYIRMA METODU İLE ÇÖZÜMÜ: [ A ]{} { C}, [ A ]{} { C} { } [ U ]{} { D}, [ U ]{} { D} { } [ L] {[ U]{} { D} } [ A]{ } { C} [ L ][ U] [ A] (Burd [ L ] t üçge mtrs, [ U ] se üst üçge mtrstr [ L ]{ D} { C} Bu so dekemde { } D çözüüp [ U ]{} { D} dekemde ere koup { } bmee vektörü bu dekemde hespır 7 Guss emso ötem e t üst üçge mtrsere ırm şem [ A ] [ L ], [ U] ( [ ] [ L][ U] A L L L L L L 5 L ( ( ( (

36 6 Bu durumu dğer bütü er ç geeeştrrsek Burd,,, dr ede ederz ( / ( / ( / ( / Bu şemer ç geeeştrebr ( / ( / Burd,,, dır / ( Bu eştk geeeştrrse / ( Burd,5,, dır Bezer şekde devm edrse soud ( ( ( ( L L L L L L L mtrs ede edr

37 Örek 7 [ A ] { C } [ A ] [ L][ U] [ L ] [ U ],5,5 7,5,5,5,,75,5,5 (,5 [,5( ]/,5 (,5 [,5( ]/,5,,5 7,5 (,5,*,5 / 7,5 ( (,,6 [ L ],75,5,5,6,, [ ]{ D} { C} L, d 5,75,5,5 d 5 d,6 d 6,, d 7,75d d d,75 *5 d, 5 7

38 ,5d,6d d 6 d 6,5*5,6* (,5 d,5d,d,d d 7 d,5*5,*,5,* 6,5 7 d [ U ]{} { D} 6,5 6,,5,5 7,5,5,5, 5,5 6,5 6, 5 7 Crout Beşeere ırm ötem : (Crout decomposto üzerde gösterş : u u u u u u,,,,,,, u u u u u u u,,,, u, u, u u u,,, L, u u u ( u / u u u ( u / u u u ( u /,,, L, 8

39 u u,,, L, u ( u u /,,5, L, u u u,,5, L, Crout t üst üçge mtrsere ırm ötem herhg br sısı ç ormüer:,,,, u,,, L, ç,,, k uk,,, k,, u k k u k, k,, L, k k u k Örek 7 u u u u u u 5,,,,,,, u,,, u u u u,5,75 9 u,5 u

40 , ç k uk,,, k k u k u k, k, kuk k ve ç ve ç u (,5, 5 u (,5 ve ç u,5 (, 5 ve ç u u 5 (,5 (,5 7, 5 ve ç u u,5,5,5 u ( u / [( (,5]/,5 u, ( ( ( ve k ç 5 ve k ç u ( u / [ (,75]/,5 u, 5 ve k ç u ( u u / [ (,75 (,5]/ 7,5 u so ork (,75 (,5(,5 (,6667, u u u buuur,6667 5,5 7,5,5,,5,5,5,75,5,6667 Bu ede ede t ve üst üçge mtrser dekem sstem çözümüe uguışı

41 ,5 7,5,5, d d d d d 5 d 5 / d,75 d,5d d *,75 /,5 d, 5 d d 7,5d 6 d [6 *,75 * (,5]/ 7,5 d, d,5d d,d 7 (7,75,5 *,5 *,86667 /, d d,5,5,5,75,5,6667,75,5,86667,6667 *,86667,86667,6667 * 5,5,5,5,5,5,75,5,5 * 5,5 *,75,5 * (,5* 5,75*,75

42 8 KAREKÖK METODU ( Choesk ötem : Bu ötem smetrk ve pozt tumı ktsır mtrs ç uguır Özeke bu durumdk bt mtrserde uguır [ ] A pozt tımı omıdır Y bütü vektörer ç {}[ ]{} Q A Q T > omıdır ve A, A, A,, [ ] A det A heps pozt omsı gerekr [ ] [ ][ ] U L A [ ] [ ] [ ] T T T L U A Smetrk mtrserde [ ] [ ] T A A oduğud [ ] [ ][ ] T L L A our

43 ,,,, L ( / (,,, L, / ( / (, L, / k,, L, ç gee ormü: kk kk k k ( /,,, L, k k k k Bu şemer soucud ede ede [ L ] mtrs dekem sstem çözümüde şğıdk eştker rdımı kuıır [ L ]{ D} { C} dekemde ede ede { } [ L] T {} { D} dekemde ere koup { } D sütu mtrs stee çözüm mtrs buuur d c d ( c d /,,, L, d d [ d ]/,,, L,

44 Örek ,5,,, (,5, 965 (,5* /,965, 9 (,5 *,5 /,965, 655, (,9 * ( *,5,9*,655 /,575, 8, 59,5,655 (,8,5,5,965,9,655,575,8, 59 d d d d 7 9 d d,5,5d,965d 7 d (7,5 *,5 /,965 d 5, 8 d,9d,575d 9 d (9,5,9* 5,8 /, 575 d 7,

45 ,5d,655d,8d,59d d,,5,965,9,575,59,,5,655,8,59,5 5,8 7,,,575,8 7, (7,,8* /,575 5,965,9,655 5,8 (5,8,9* 5,655* /,965,5,5,5 (,5,5( 5,5* / 5

46 9 İTERASYON YÖNTEMİ (Guss Sede ötem : c c c c Dekem sstemde her dekemde er çözüp şğıdk eştker ede edr ( c / c / ( ( c / ( c / ( ε, % Örek 9,, 7,85, 7, 9,,, 7, Dekem sstem terso ötem e çözümü ç şğıdk dekemer kuıır ( 7,85,, / ( 9,,, / 7 7,,, / ( Bu dekemer rdımı e şğıdk tbo ouşturuur ε,, % ε,, % ε,, %, , ,7958, ,7958 7,5695, ,7958 7,5695,5, ,9966 7,5695,8, ,9966 7,98,8 6

47 5 EĞRİYE UYDURMA ( 5 5 ( Doğru kştırm eer regresso Leer terposo ( Eğrse terposo 5 YAKLAŞTIRMA (Regresso METODU 5 Doğru kştırm (Leer regresso ötem: Bu ötemde doğru kşımdk htrı kreer topmıı mumum pck doğru dekem rştırıır Htı çerecek şekde doğru dekem: E sekdedr Burd E htı gösterr E Htrı kreer topmı: S r E ( 7

48 8 şekde zıır Bu ede ede htrı kreer topmıı mumum pck ve değer bur göre ıck türever sıır eşterek buuur ( S r ( S r ( S S r / Thm stdrt spm : S S t Topm stdrt spm : Burd t ( S t r t S S S r tım ktsısı : r correto ktsısı: Örek 5 Aşğıdk tbo değerer br doğru kştırı (,5 8,5765,687,5,86,565,,8,7,,65,65 5,5,5, , 6,6, ,5,98,99,7,99

49 Bu tbodk vererde ve şğıdk eştkerde 7 7, 9, 5 7, 7, 8 8, 7 7,, ede ede bu değerer kurk doğru dekem ç gerek ktsır hespır 7 *9,5 8* 7 * (8,89857,8579,89857*, 7857 ve doğru dekem şğıdk gb zıır,7857,89857 Bu doğruu grğ ve tbo değerer şğıdk şekde zeebr ,7 S,957 ( Topm stdrt spm 7 S,99,775 ( Stdrt thm ht 7 / S < S oduğud bu örek ç doğru kştırm ugu br seçmdr / 9

50 5 Poom kştırm metodu m L m E Burd E ht ve resüdü m E L S m m r ( L m Bu htrı kreer topmı,,, L, m ktsırı göre rı rı türever ıırs şğıdk dekemer ede edr S L r m ( m S L r m ( m S m ( L m r S L r m m ( m m Türev şem soud buu bu dekemer sıır eştep tekrr düzeerse şğıdk dekem sstem ede edr m m L m m L m m L m m m m m m,,, L, çözüür L Bu dekem sstemde 5

51 S / Sr (m Stdrt thm ht r S S t r koreso (şk,bğtı ktsısı S t S t ( Örek 5 Aşğıdk tbod buu, değerer derecede poom kştırı ( (, 5,, 7,7,7,86,6,,858 7,,,89,9 9,, , 7,,99 5,6 5,9,7657 m, 6,, 5, 5,, , 5 5, 6 55, 5, 979, 585, 6, , 8 Yukrıd buduğumuz bmeer ktsırıı bu dekem sstemde ere kours şğıdk dekem sstem ede edr , , ,8 Bu dekem sstem çözümüde buu,7857,, 599,, 867 değerer e şğıd çze derece poom zıır 5

52 ,7857,599, S 5 6,7657, (Stdrt thm ht 6 5,9,7657 (krrıık ktsısı 5,9 / r r,9995 (Bu souç uumu çok oduğuu gösterr 5 İk değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek Burd doğru dekem düzem dekem he döüşür E E htsıı kreer topmı S r ( şekde zıır Bu dekem ı şekde,, bme ktsırı göre türever ııp sıır eşterse S ( ( ( r Sr Sr 5

53 5 dekemer ede edr Bu dekemer sıır eştep ktsırı göre düzeerse bme te eer dekem zıır Bu dekem sstem şğıdk gb mtrs ormud zıbr 5 Çok değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek E m m L dekemdek E htsıı kreer topmı ve türever ukrıdk gb düzeerse şğıdk mtrs ormudk dekem sstem ede ederz m m m m m m m m m (m S S r / ( stdrt thm ht

54 Örek 5 Aşğıdk k değşke tbo değerer k değşke eer dekeme uduru 5, 9 6,5 5, , ,5 5 8,5 6 6,5 5 6,5 76,5 8,5 8 5 Bu dekem sstem çözümüde 5,, ede ede değerer e şğıdk dekem zıır 5 Vere tbo değerer e Buu düzem dekem uumu şğıdk grk üzerde zeebr

55 5 İNTERPOLASYON 5 Leer terposo (r değer bum ( ( ( ( ( ( ( ( ( (, ( ( ( Örek 5 6, , 869? (, 6978 Çözüm:, 6, ( ( (,5859, ε t 8, % 6 Çözüm:,,869 ( ( (,698, ε t, % (,698,

56 5 Kudrtk terposo ( b b ( b ( ( (- ( b b b b b b b (- (- ( (- b b b b b b (-5 b (-6 (- dekemde ere zıırs b ( (-7 ede edr Bu buu (-7 eştğ ve ere değşke (- dekemde ere zıırs b ( ( (-8 dekem buuur Bu (-8 ve (-7 dekem (- de ere kour ve rıc ere zıırs şğıdk dekem ede edr b ( ( (-9 ( ( Örek 5 (, (, 869, 6 (, (?,869 b b b, 698,797595, b, b 56

57 (,698(,5876( ( (,56586 ε t 8, % 5 Newto terposo poomuu gee ormu mertebede poom det ver oktrı gerektrr ( b b( L b ( ( L( b ( b [, ] b [,, ] [,, L,, ] b Burd [, ] ( ( [,, k ] [, ] [, ] k k [, [, L,, ],, L, ] [,, L, ] ( ( ( [, ] ( ( [,, ] L ( ( L( [,, L, ] Örek ( (, 869 ( 6, ( 5,6979 derecede poom ( b b( b ( ( b( ( ( 57

58 b ( b,869 [, ] b,797595,869 [, ] 6 b,698,755,6979, [, ],86 5 6,755,698 [,, ] 6 b,86,755 [,, ],95 5,95 (,5876 [,,, ] 5 b,5876 b b, (,698(,5876( (,786555( ( ( 6 (, ε t 9,% 5 İterposo poomrıı ktsırıı bumk ç dğer br ötem ( L Bu poomdk oktsı gerekr,,,, L te ktsıı bumk ç te ver Örek ork ç bme dekem ede edr Bu gereke ver oktrı [,( ], [,( ], [,( ] şekdedrbur ( dekemde ere rı rı kours şğıdk dekem sstem ede edr ( ( ( Bu dekem sstemde bme,, ktsırı buuur 58

59 Örek 5 (, (, 869, 6 (, ,869,7976 Bu dekem sstem çözümüde,669586,, 758,, 587 (,6696,76,587 (, 5658 (,695 ( ( 5 ( Lgrge terposo ormüü Newto terposo ormüüü dh kuış he getrmş şekdr Burd böümüş rkrı hesbı gerek kmz ( L ( ( Burd L ( Brc derecede ( ç Lgrge terposo poomu : 59

60 6 ( ( L ( ( L ( ( L ( L ( L ( L ( ( ( İkc derecede ç Lgrge terposo poomu : ( ( L ( ( L ( ( L ( ( L ( L ( L ( L ( L ( L ( ( ( ( Üçücü derecede ç Lgrge terposo poomu : ( ( L ( ( L ( ( L ( ( L ( ( L ( L ( L ( L ( L ( L ( L ( L

61 6 ( ( ( ( ( Lgrge terposo poomuu Newto terposo poomud çıkrıışı ], [ ( ( ( ( ( ( ( ], [ ( ( ( ( ( ( ( Örek 55 (, 869, (, , ( Brc derecede Lgrge poomu ç çözüm: ( ( ( ( * *,869 *,869 * ( 698, ( İkc derecede Lgrge poomu ç çözüm: ( ( ( ( 6 6 ( * *,869 *, ,5658 ( *, *, * 6 6 (

62 6 SAYISAL İNTEGRAL ( I b ( d b 6 NEWTON-KOT İNTEGRAL FORMÜLÜ I b ( d b ( d L ( 6 Trpez (muk kurı ( (b ( b I b ( d b ( d (b ( ( ( ( b 6

63 b (b ( I [( ( ] d b (b ( (b ( I [( b b ] b (b ( (b ( b I (b b b b (b ( (b ( ( b b ([b ( I (b ( b / ] (b[b ( b b / ] (b [(b (] I ((b (b (b [(b (] I ((b ((b (b [(b (] I ( (b I (b 6 İtegr böges eşt prç böüerek muk kurıı uguışı: I (d (d L (d Burd (,,, L, det oktdır b h Prçrı geşğdr I ( h ( ( ( h ( L h h I [( ( ( ( ( ( I (b ] ( 6

64 E (b t (ξ (ξ Burd kc türev bütü böge çde ortm değerdr Böece kşık ht şğıdk gb zıbr (b E Örek 6 (, I,8 ( d Bu tegr tk ork çözüürse I,65 buuur Burd, b,8 dır,8 8 ç h, ve,,,, 8 5,5 6, 6 7, 7 8, 8 değerer şğıdk ormüde ere kours ( I (b I (,8 ( ( ( [ (, (, (, (, (,5 (,6 (,7 ] (,8 * 8 (, (,, 89 (,, 88 (,, 67 (,, 56 (,5,5 (,6, 6 (,7, 6 (,8, I,,8 [,89,88,67,56,5,6,6 ], 6 I,68 Et,65,68 Et,97 6

65 ,65,68 ε t * ε t, %,65 (b E b ( d b ( ( 5 8 8,8,8 (d ( d,8,8 (d *,8 5 * (,8 / 8 * (,8 (b (d 8 6 E (,8 E ( 6 E, * 8 E ε * ε,99 %,68 / 8 * (,8 / 65

66 6 Smpso u / kurı Burdk /, h üçe böüdüğü çdr I b ( d b ( d b Eğer b ve ( ere kc derecede Lgrge poomu ıırs tegr şğıdk şeke ger ( ( ( ( ( ( I [ ( ( ( ( ( ( ( ( ( Bu ıtegr şem soucud ede ede dede gereke kıstmr pıdıkt sor tegr ormüü şğıdk şek ır h I [( ( ( ] Eğer (, b rığı eşt prç böüürse ] d I (d (d L (d I (b ormüü buuur ( ( ( (,,5,,6 66

67 Örek 6 (, I,8 ( d Bu tegr tk ork çözüürse I,65 buuur Burd, b,8 dır,8 8 ç h, ve,,,, 8 5,5 6, 6 7, 7 8, 8 değerer şğıdk ormüde ere kours I (b ( ( ( (,,5,,6 I (,8 ( [ (, (, (,5 (,7] [(, (, (,6 ] (,8 * 8 (, (,, 89 (,, 88 (,, 67 (,, 56 (,5,5 (,6, 6 (,7, 6 (,8, I,,8 I,68 [,89,67,5,6 ] [,88,56,6], E t,65,68 E t,6666,65,68 ε t * εt,8 %,65 67

68 6 IMPROPER İNTEGRAL (Sıırrı sosuz o tegr b (d / / b t (/ t dt b A b (d (d A (d d dt, A t t t, t A b (d (d / A A b (d (d (d A B A (d B (d d dt, A t t t, t A t (d (/ tdt (d / A A B / B t (/ tdt Örek 6 N( e π / d N (? N( π ( / e d e / d d dt, A t t t, t A 68

69 / e d / t e / t dt,556 e / d,5 N ( (,556,5 N(,89 π 7 SAYISAL TÜREV Türev tımı: ( ( ( d ( d ( Lm ( ( ( Br oksou Tor serse çıımıd dırk şğıdk bğıtı zıbr ( ( ( ( h h L h Burd ( çözüebr ( ( ( h ( h O (h ( ( ( O (h h Şekde zıbr Ve 69

70 ( ( ( h ( O (h bu kc türev ormüü e brkte şğıdk gb ouşturubr ( ( ( h ( ( h ( h ( ( ( h ( O (h O (h 7 İLERİ DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Brc mertebede türev: ( ( ( h ( ( ( h ( İkc mertebede türev: ( ( ( h ( ( ( 5( ( h ( Üçücü mertebede türev: ( ( ( ( ( h ( ( ( ( Dördücü mertebede türev: h 8( 5( ( ( ( ( ( ( ( 5 ( 6( h ( ( h ( 6( ( ( 7

71 7 7 GERİYE DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Brc mertebede türev: h ( ( ( h ( ( ( ( İkc mertebede türev: h ( ( ( ( h ( ( 5( ( ( Üçücü mertebede türev: h ( ( ( ( ( h ( ( ( 8( 5( ( Dördücü mertebede türev: ( h ( ( 6( ( ( ( 5 ( h ( ( ( 6( ( ( ( 7 MERKEZİ FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Brc mertebede türev: h ( ( ( h ( 8( 8( ( ( İkc mertebede türev: h ( ( ( ( h ( 6( ( 6( ( ( Üçücü mertebede türev: h ( ( ( ( ( 8h ( 8( ( ( 8( ( (

72 Dördücü mertebede türev: ( ( ( ( ( ( ( 6( ( h 9( ( 56( ( 6h 9( ( ( Örek 7 ( (5? (5? Atk çözüm: ( Sıs çözüm: ( (5, (5, (5, (5,6595,6979 (5 (5, , 5, (5, (5, (5,699 *,6595,6979 (5 (,, (5, 985 7

73 8 ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER,5 8,5 Şekde vere dekem şğıdk derse dekem gösterdğ eğrerde sdece brsdr d 8,5 d [ 8,5] d tegr soucu şğıd gb br eğr es gösterr,5 8,5 C 6 c c c c c- c - - Bu durumd tek br eğr ber omsı ç C tegr sbt hespbeceğ koşurı vermes gerekr Derse dekemer sıs çözümüde geştre ötemerde bzırı şğıd vermştr 8 EULER METODU d (, d (, h ht e değer esk değer eğm * dım h 7

74 Örek 8 d d (,75 (7? Atk çözüm: d d c ( c C c (,75 koşuuu kuırsk,75 c ve böece buuur Burd (7,857 7 Sıs çözüm: (, h (, ve h ıırs c (5 ( (- ( / *,75 (,75/ (5,565 (6 (5 (- (5 / 5 *,565 (,565/5 (6,5 (7 (6 (- (6 /6 *,5 (,5/6 (7,75,857,75 ε %,857 t,5% 8 İeştrmş Euer metodu / (, h (, h / / Örek 8 Yukrıdk örek eştrmş Euer ötem e çözüürse Ye ı şekde h ıırs (,5 ( (- ( / *,5,75 (,75/ *,5 (,5,6565 (5 ( (- (,5 /,5 *,75 (,6565/,5* (5, (5,5 (5 (- (5 / 5 *,5,6667 (,6667/5 *,5 (5,5,575 (6 (5 (- (5,5 / 5,5 *,6667 (,575/5,5 * (6,55 7

75 (6,5 (6 (- (6 / 6 *,5,55 (,55/6 *,5 (6,5,69 (7 (6 (- (6,5 / 6,5 *,55 (,69/6,5 * (7,,857, ε t % ε t,8 %,857 8 HEUN METODU Bu metott Euer metodudk c oktdk türev ere ve ( c oktdk türever rtmetk ortmsı ıır (, (, (, h (, (, h Örek 8 d d (,75 (7? ( tk çözümde (7,857 7 h ıırs 5 ( *,565 5 ( ( 5 * h ( *, ( ( * h ( *, ( ( * h ε t %,6,5,

76 8 RUNGE-KUTTA METODU Ruge-Kutt metodu, Tor serer e kşımdk hssset, üksek mertebede türevere htç dumd kbdğde, üksek hssset rdığı durumrd terch edr Ruge-Kutt metodu şğıdk ormd zıbr φ(,, h h Burd φ (,, h oksou rtım oksou derbu söz kousu rıktk eğm gösterr Artım oksou gee ormd şğıdk gb zıbr φ k k k Burd r sbt k r se şğıdk gbdr k (, k ( ph, q k h k ( p h, q k h q k h k ( p h, q,kh q,kh q, kh Burd p ve q r sbterdr 8 İkc derecede Ruge-Kutt metodu ( k k h k (, k ( ph, q k h ç ve (, termer e kc mertebede Tor sers zıırs (, (, h h! Burd (, zcr kurı e beremedr (, (, d (, d Bu kc türev Tor ormüüde ere zıırs d h (, h d! ( İk değşke oksord Tor sers g g g ( r, s g (, r s Bu ormü ukrıdk k değşke okso çere k eştğ ç uguırs k ( ph, qkh (, ph qkh O( h Bu k eştğ k (, eştğ e brkte k de ere zıırs 76

77 h (, h (, ph q h (, Oh ( ve termer br r topırs [ (, (, ] h [ p q(, ] h O( h d Bu dekem dekeme (, oduğu göz öüe ırk krşıştırıırs d p q buuur Burd dekem bmee oduğud çok sıd çözüm ede edebr Tek düzetme ktsıı Heu ötem ( / /, /, p q Bu prmetreer ere kours ( k k h k (, k ( h, kh Ort okt metodu (,, p q kh k (, k ( h, kh Rsto ötem ( /,, p q ( k k h k (, k ( h, kh 8 Üçücü derecede Ruge-Kutt metodu ( k k k h 6 k (, k ( h, kh k ( h, k h k h 77

78 8 Dördücü derecede Ruge-Kutt metodu ( k k k k h 6 k (, k ( h, kh k ( h, kh k ( h, k h Örek 8 d 8 e 5 d, 8 (, e 5 8*5, d 5, h 5 k (5, e (, 5 (e *5 k (5, 75 e k (5, k (75,8886 e k (5, k (75,56 e k (5 5, k (5,69665 e ( (5, (e *5 k (5,8 e k (5,8 6575* k (65, e 5 9 k (5 5, k (65,58 e k (5 5, k (75, 97 e (

79 8 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ METODU c mertebede br derse dekem te brc mertebede derse dekemde ouş br ssteme döüştürüebr d d d d d d (,,, L, (,,, L, (,,, L, Bu sstem çözümü ç br oktsıdk vermes gerekr L değerer (koşurıı,,, Örek 8 d s λs λ s t d s s v v dt Atk çözüm : s ACos λ t BS λ t v A λ S λ t B λ Cos λ t A s s s Cos B v λ λ t v S λ λ t Örek 8 d s π s dt 6 t d s 8 v t de s? v? Atk çözüm : π 7 π s 8Cos t S t 6 π 6 s 8, π π π v S t Cos t v 8,97997 Euer ötem e ümerk çözüm: d s π Bu ötemde s kc mertebede derse dekem şğıdk gb k dt 6 te derse dekemde ouş br derse dekem ssteme döüştürüür 79

80 ds dv π v, s dt dt 6 ds dv s s ( h, v v ( h dt dt π s s v h, v v s h 6 h, ıırs şğıdk tbo değerer buuur t s v s v, 8 9,,786756, 9,,786756,786755,585,,786755,585,5977,96,,5977,96,65559,9785,5,65559,9785,7886,58857,6,7886,58857,8677,9,7,8677,9 5, ,7985,8 5, ,7985 6, ,675,9 6, ,675 7, ,979 7, ,979 8,678 8,

SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI

SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Yrd Doç Dr Hüse Bıroğu İSTANBUL İÇİNDEKİLER SAYFA -GİRİŞ SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ HATA TANIMI SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI 5 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI

Detaylı

Sonlu kanat Teorisi Açıklık oranıküçük kanatlar etrafındaki akımın fiziksel yapısı

Sonlu kanat Teorisi Açıklık oranıküçük kanatlar etrafındaki akımın fiziksel yapısı Sou kt Teor çıkık orıküçük ktr etrfıdk kımı fke pıı çıkık orı küçük (R < -5 ktr çıkık orı büük (R > -5 ktr UCK5 erodmk der otrı UCK5 erodmk der otrı çıkık orıküçük ktr etrfıdk kımı fke pıı çıkık orıükek

Detaylı

HATA VE HATA KAYNAKLARI...

HATA VE HATA KAYNAKLARI... İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün

Detaylı

DİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)...

DİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)... ÜNİTE GERÇEK TOPLAM SAYI ÇARPIM DİZİLERİ ARİTMETİK SEMBOLÜ DİZİ Böüm Dizier GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ GEOMETRİK DİZİ SERİLER DİZİLER..................................................................

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Sısl Alz SAYISAL ANALİZ EĞRİ UYDURMA (Curve Fttg) Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Sısl Alz İÇİNDEKİLER Eğr Udurm (Curve Fttg) E Küçük Kreler Yötem Doç.Dr.

Detaylı

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın

Detaylı

Ara Değer Hesabı (İnterpolasyon)

Ara Değer Hesabı (İnterpolasyon) Ar Değer Hesbı İterpolso Ardeğer hesbı mühedsl problemlerde sılıl rşılşıl br şlemdr. İterpolso Ble değerlerde blmee rdeğer d değerler bulumsı şlemdr. Geel olr se br osouu 0,,, gb rı otlrd verle 0,,, değerler

Detaylı

Bayesci Yapısal Eşitlik Modellerinde Parametre Tahminlemesi. Parameter estimation in Bayesian Structural Equation Modeling

Bayesci Yapısal Eşitlik Modellerinde Parametre Tahminlemesi. Parameter estimation in Bayesian Structural Equation Modeling üzüü ı Üverstes Fe Bmer Esttüsü Dergs/ Jour of he Isttute of Ntur & Aed Sees 8 -:33-38 3 Arştırm es/reserh Arte Bes ıs Eşt odeerde Prmetre hmemes Sem Şehroğu rett Out üzüü ı Üverstes İsttst Böümü üzüü

Detaylı

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required

Detaylı

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL BÖLÜM SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL. Blgsyrl türe.. Bölümüş rk tblolrıyl türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç er oktlrıd türe.. Yüksek mertebede türeler. Syısl tegrl.. Trpez krlı.. Romberg

Detaylı

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ Geel olrk 4 tp yötem kullılır.. Düz çzg yötem: Mlı değer zml doğrusl olrk zldığı vrsyılır. Mlı hzmet ömrü boyuc her yıl ç yı mktr mortsm olrk yrılır. V V d = S d:

Detaylı

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9 İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

0,1,..., n p polinomu bulma işlemine interpolasyon ve px ( )

0,1,..., n p polinomu bulma işlemine interpolasyon ve px ( ) Ç.Ü Fe Blmler Esttüsü Yl:29 Clt:2-1 İNTERPOLASYON VE KALAN TEORİSİ Iterpolto d Remder Theory Fge GÜLTÜRK Mtemt Ablm Dl Yusuf KARAKUŞ Mtemt Ablm Dl ÖZET Bu çlşmd İterpolsyo tmlmş, Lgrge İterpolsyo Formülü

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

Doç. Dr. Metin Özdemir Çukurova Üniversitesi

Doç. Dr. Metin Özdemir Çukurova Üniversitesi FİZİKTE SAYISAL YÖNTEMLER Doç. Dr. Metin Özdemir Çukurova Üniversitesi Fizik Bölümü 2 ÖNSÖZ Bu ders notları Fizik Bölümünde zaman zaman seçmeli olarak vermekte olduǧum sayısal analiz dersinin hazırlanması

Detaylı

1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ

1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ SAYISAL ANALİZ 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 1 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal analiz yöntemlerinin algoritmik olarak çözümü ve bu çözümlemelerin MATLAB ile bilgisayar ortamında

Detaylı

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e

Detaylı

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e Eski Büyükdere Asfaltı No: 17/A Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e Eski Büyükdere Asfaltı No: 17/A Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE T ULULRR DENETİ K Th: 17.05.2012 y: 2012/57 Ku: İ R K Ü L E R R O R 117 Nu Kv Tvk Ouş Tvk O, Tvk T İş v Tvk pck O Kuu v Kuuuş L Ö: Dh öc 46 Nu kü yyğ 117 Nu Kv Tvk vk v vk uuck ş y g ğşkk y ğ Kv Tvk u

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ 1 SAYISAL ANALİZ 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 2 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal analiz yöntemlerinin algoritmik olarak çözümü ve bu

Detaylı

HARİTA MÜHENDİSLERİ için SAYISAL ÇÖZÜMLEME

HARİTA MÜHENDİSLERİ için SAYISAL ÇÖZÜMLEME HRİ MÜHENDİSLERİ ç SYISL ÇÖZÜMLEME Doç Dr emel BYRK GÜMÜŞHNE HRİ MÜHENDİSLERİ İÇİN SYISL ÇÖZÜMLEME Bu ktı er kkı sklıdır Yrı ılı olmksıı ktı tmmı ve erg r ölümü çr şeklde çoğltılıp ılm Yr dres: Doç Dr

Detaylı

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ

Detaylı

S C. I n t e r n a t i. n a l. d d e. 19 Mayıs Mah.19 Mayıs Cad. Nova Baran Plaza No.4 Kat.21 Şişli-İstanbul / TÜRKİYE

S C. I n t e r n a t i. n a l. d d e. 19 Mayıs Mah.19 Mayıs Cad. Nova Baran Plaza No.4 Kat.21 Şişli-İstanbul / TÜRKİYE T ULULRR DENETİ VE....Ş. K Th: 02.01.2013 y: 2013/03 Ku: İ R K Ü L E R R O R u Tş Vg T İşk G Tğ R G y. Ö: 31.12.2012 h v 28514 (4. ük) y R G yy 42 N.u u Tş Vg G Tğ; 1.1.2013 h, u ş vg şk, u Tş Vg Kuuu

Detaylı

IDDM YARDIMIYLA TERS MATRİS HESAPLAMA. Kadınhanı, KONYA, e-posta: aocdiken@selcuk.edu.tr

IDDM YARDIMIYLA TERS MATRİS HESAPLAMA. Kadınhanı, KONYA, e-posta: aocdiken@selcuk.edu.tr SDÜ FEN EDEBİT FKÜLTESİ FEN DERGİSİ E-DERGİ. 8,, 98- DDM RDML TERS MTRİS HESPLM O ÇBKDİKEN *, Ke DN ** * Seçu Üverte, Kdıhı MO, Bgyr Teooer ve Prog, Kdıhı, KON, e-pot: ocde@ecu.edu.tr ** Seçu Üverte, dd

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüeyt BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüeyt BAYILMIŞ Syısl Alz SAYISAL ANALİZ İNTERPOLASYON Ar Değer Bulm Doç.Dr. Cüeyt BAYILMIŞ Syısl Alz İÇİNDEKİLER Ar Değer Hesbı İterpolsyo Doğrusl Ar Değer

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e Eski Büyükdere Asfaltı No: 17/A Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e Eski Büyükdere Asfaltı No: 17/A Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE T ULULRR DENETİM Mb f K Th: 25.11.2011 y: 2011/51 Ku: İ R K Ü L E R M b R O R Dv Muhb 22 (DM 22) G ö İşk M Bg çk R G y Ö: Dv Muhb 22 (DM 22) G ö İşk M Bg çk 2011/51 u kü y vş. İg kü şğ y vş. f Ek Büyük

Detaylı

III.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t)

III.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t) III.4. YÜKSEK MEREBE AYLOR MEODLARI Saısal tekkler amacı mmum çaba le olablğce uarlı aklaşımlar ele etmektr. Bu eele çeştl aklaşım ötemler vermllğ karşılaştıracak br krtere gereksm varır. İlk ele alıacak

Detaylı

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris DES Mrislerde İşleler, Ters Mris Mrisler Mrislerle ilgili eel ılrııı ıslı e sır ve e süu oluşurk içide diiliş e sıı oluşurduğu lo ir ris deir ir ris geellikle şğıdki gii göserilir ve [ ij ], i ; j risii

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

F= 360. L sayıdaki kapitalin t ortak faiz oranı üzerinden getirecekleri faiz tutarları toplamı gerçek faiz metoduna göre: formülü ile hesaplanır.

F= 360. L sayıdaki kapitalin t ortak faiz oranı üzerinden getirecekleri faiz tutarları toplamı gerçek faiz metoduna göre: formülü ile hesaplanır. BİRDEN AZA KAPİTAE İİŞKİN AİZ İŞEMERİ: =,,,, >0 olmk üzere syıdk kpller, süreler ç fz orlrı üzerde fze verldğde oplu olrk bs fz urlrı: = formülü le hesplblr. ork fz orı olmk üzere, syıdk kpl ork fz orı

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek Fasal Yöetm Örek lar Güz 2015 Güz 2015 Fasal Yöetm Örek lar 2 Örek FİNNSL YÖNETİM ÖRNEKLER 1000 TL %10 fazde kaç yıl süreyle yatırıldığıda 1600 TL olur? =1000 TL, FV=1600 TL, =0.1 FV (1 ) FV 1600 (1 )

Detaylı

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK:

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK: ERİLER Cebir kurllrı ile ck olu te yıyı toplybiliriz. Bu krşılık mtemtik de ouz yıd yıı toplmı ile de ık ık krşılşmktyız. Öreği; 3 yııı odlık çılımı; 3 3 3 = 0,333... = + + +... gibi bir ouz toplmdır.

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ AKM 5-BÖÜM -UYGUAMA SORU VE ÇÖZÜMERİ 1. Aşğıd erilen dimi, iki otl ız lnını dikkte lınız: V (, ) (.66.1) i (.7.1) j B kış lnınd ir drm noktsı r mıdır? Vrs nerededir? Kller: 1. Akış dimidir.. Akış -otldr.

Detaylı

MAT 202-DİFERENSİYEL DENKLEMLER-Güz Dönemi. Ders Uygulama Planı. -

MAT 202-DİFERENSİYEL DENKLEMLER-Güz Dönemi. Ders Uygulama Planı. - MAT 202-DİFERENSİYEL DENKLEMLER-Güz 2016-2017 Dönemi Ders Uygulama Planı 04 02 ve 03 01 Öğretim Üyesi Prof. Dr. Ömer AKIN (Ders Koordinatörü) Prof. Dr. Abdullah ALTIN Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN Ofis No 226

Detaylı

Sayısal Yöntemler (MFGE 301) Ders Detayları

Sayısal Yöntemler (MFGE 301) Ders Detayları Sayısal Yöntemler (MFGE 301) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Sayısal Yöntemler MFGE 301 Güz 2 2 0 3 4 Ön Koşul Ders(ler)i MATH 275 Lineer

Detaylı

Ç NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi...

Ç NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi... ÇNDEKLER II. CLT KONULAR 1. Öz Deer Öz Vektör.. 1 Kare Matrisin Öz Deeri ve Öz Vektörleri... 21 Matrisin Karakteristik Denklemi : Cayley Hamilton Teoremi.. 26 Öz Deer - Öz Vektör ve Lineer Transformasyon

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

FEN BİLİMLERİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

FEN BİLİMLERİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ FEN BİLİMLERİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf / Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS SAYISAL YÖNTEMLER FM-223 2 / 2.YY 2 2+0+0 4 Dersin Dili : Türkçe Dersin Seviyesi : Lisans

Detaylı

KATI BASINCI. 3. Cis min ağır lı ğı G ise, olur. Kap ters çev ril di ğin de ze mi ne ya pı lan ba sınç, Şekil-I de: = P = A = 3P.A

KATI BASINCI. 3. Cis min ağır lı ğı G ise, olur. Kap ters çev ril di ğin de ze mi ne ya pı lan ba sınç, Şekil-I de: = P = A = 3P.A BÖÜ TI BSINCI IŞTIRR ÇÖZÜER TI BSINCI Cis min ğır lı ğı ise, r( r) 40 & 60rr 4rr zemin r r Şekil-I de: I p ters çev ril di ğin de ze mi ne y pı ln b sınç, ı rr 60rr rr 60 N/ m r zemin r + sis + + 4 4 tı

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1 IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)

Detaylı

BÖLÜM 2 EĞRİ UYDURMA VE İNTERPOLASYON

BÖLÜM 2 EĞRİ UYDURMA VE İNTERPOLASYON BÖÜ EĞRİ UYDURA VE İTERPOASYO - Grş İterpolo polomlrı Bölümüş rlr 4 Eşt rlılı ot dğılımlrı ç bt rlr 5 Küb ple eğrler Kım üb ple eğrler 7 Br üze üzerde terpolo 8 E-üçü reler lşımı Bölüm - Eğr udurm ve terpolo

Detaylı

3. Telin kesit alanı, 4. lsıtılan telin diren ci, R = R o. 5. Devreden geçen proton sayısı, q = (N e. 6. X ve Y ilet ken le ri nin di renç le ri,

3. Telin kesit alanı, 4. lsıtılan telin diren ci, R = R o. 5. Devreden geçen proton sayısı, q = (N e. 6. X ve Y ilet ken le ri nin di renç le ri, . ÖÜ EETİ ODE SOU - DEİ SOUN ÇÖZÜEİ. Teln kest alanı, 400 mm 4.0 4 m. a a a a n boyu,, a n kest alanı, a.a a a a Teln drenc se, ρ., 500 4.0 6. 4 5 Ω dur. 40. Telden geçen akım, ohm kanunundan, 40 48 amper

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

GELECEĞİ DÜŞÜNEN ÇEVREYE SAYGILI % 70. tasarruf. Sokak, Park ve Bahçelerinizi Daha Az Ödeyerek Daha İyi Aydınlatmak Mümkün

GELECEĞİ DÜŞÜNEN ÇEVREYE SAYGILI % 70. tasarruf. Sokak, Park ve Bahçelerinizi Daha Az Ödeyerek Daha İyi Aydınlatmak Mümkün www.urlsolar.com S L D-S K -6 0 W ile 1 5 0 W St an d art S o kak L a m ba sı F iya t K arşılaşt ırm a sı kw h Ü c reti Yıllık Tü ke tim Ü cre ti Y ıllık T ü ketim Fa rkı kw Sa at G ü n A y Stan d art

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

CEV1132 / MTM2112 SAYISAL ANALİZ 2013-2014 BAHAR YARIYILI DERS PLANI

CEV1132 / MTM2112 SAYISAL ANALİZ 2013-2014 BAHAR YARIYILI DERS PLANI KOORDİNATÖR : Doç. Dr. Gürdal KANAT DERSİN YERİ VE ZAMANI : CEV1132 GR.1 Çarşamba FZ-082 11:00 12:50 CEV1132 GR.2 Çarşamba FZ-083 11:00 12:50 CEV1132 GR.3 Çarşamba FZ-082 15:00 16:50 CEV1132 GR.4 Çarşamba

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I.

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I. TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 3 Kontrol Sistemleri I Ara Sınav 8 Haziran 4 Adı ve Soyadı: Bölüm: No: Sınav süresi dakikadır.

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedisik Mimrık Fkütesi İşt Mühedisiği Böümü E-Post: oghmettopc@gmicom We: http://mmfogedtr/topc Bigisr Desteki Nümerik Aiz Ders otrı 0 Ahmet TOPÇ A m Üst üçge mtris At

Detaylı

Sayısal Analiz (MATH381) Ders Detayları

Sayısal Analiz (MATH381) Ders Detayları Sayısal Analiz (MATH381) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Sayısal Analiz MATH381 Güz 3 2 0 4 7 Ön Koşul Ders(ler)i MATH 135 Matematik Analiz

Detaylı

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ

YARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ YRIRMLI MTEMTİK TÜREV FSİKÜLÜ Maksimum-Minimum Problemleri MESUT ERİYES MKSİMUM - MİNİMUM PROLEMLERİ Maksimum ve minimum problemlerini çözmek için şu kurallar ugulanır; 1) Maksimum a da minimum olması

Detaylı

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI

HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI ZORUNLU DERSLER Matematiğin Temelleri (3-0) 3: Sembolik Mantık; Kümeler Kuramı; Kartezyen Çarpım; Bağıntılar; Fonksiyonlar; Birebir ve Örten Fonksiyonlar;

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı

İÇİNDEKİLER. iii ÖNSÖZ BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9

İÇİNDEKİLER. iii ÖNSÖZ BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ix BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 1.1. Tanımlar 2 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Çözümü (İntegrali) 5 1.3. Başlangıç Değer ve Sınır Değer Problemleri 7 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

Detaylı

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Diferansiyel Denklemler ve Lineer Cebir BIL271 3 3+0 3 5 Ön Koşul Dersleri Yok Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü Türkçe Lisans

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İÇ-İÇE TASARIMLARDA DAYANIKLI ANALİZ VE UYGULAMALARI. İklim GEDİK

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İÇ-İÇE TASARIMLARDA DAYANIKLI ANALİZ VE UYGULAMALARI. İklim GEDİK NKR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSNS TEZİ İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ VE UYGULMLRI İklm GEDİK İSTTİSTİK NBİLİM DLI NKR 00 er hkkı sklıdır ÖZET Yüksek Lss Tez İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ

Detaylı

Türkiye Geneli Deneme Sınavı

Türkiye Geneli Deneme Sınavı r KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI EĞİTİM BİLİMLERİ TESTİ Türe Gee Deee Sv Çöü Kçğ 1 Bu eser her h sdr Hg ç ours osu, eser ve r s Y od o edes, fooğrf çees, herhg r o çoğs, s d us sr Bu sğ ur gere e soruuuğu

Detaylı

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x Ö.S.S. MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. olduğuna göre, kaçtır? A B C D E Çözüm. -. : ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A B C D E Çözüm :... :....... . olduğuna göre, - ifadesinin

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları

Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Hessien Matris-Quadratik Form Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar Giriş Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için

Detaylı

LAMBALAR BÖLÜM X 6. X MODEL SORU 1 DEK SORULARIN ÇÖZÜMLER. K anahtarı açık iken: Z ve T lambaları yanar. X ve Y lambaları = 2 dir.

LAMBALAR BÖLÜM X 6. X MODEL SORU 1 DEK SORULARIN ÇÖZÜMLER. K anahtarı açık iken: Z ve T lambaları yanar. X ve Y lambaları = 2 dir. ÖÜ 0 ODE SOU 1 DE SOUN ÇÖÜE anahtarı açık ken: ve lambaları yanar. ve lambaları yanmaz. N 1 = dr. 1. 3 1 4 5 6 al nız lam ba sı nın yan ma sı çn 4 ve 6 no lu anah tar lar ka pa tıl ma lı dır. CE VP. U

Detaylı

e i n b u l b u b u b u b u

e i n b u l b u b u b u b u ŞEHRİN KODU YENİDEN TANIMLANIYOR 4 5 YEŞİLİN YENİ KODU 7 %80 YEŞİL ALAN 36 MUTLU GELECEĞİN YENİ KODU 8 9 310 11 SPORTMEN YAŞAMIN YENİ KODU 2 Bk 90 Lük Dr Rpy Hzmr 7/24 Güvk (Kpı Dvr Kmr Sm) 210 Arçık Oprk

Detaylı

S. NO ÜRÜN KODU ÜRÜN CİNSİ BİRİM FİYAT PLASTİK KALEMLER 2 PLS-100 PLASTİK KALEM 0,670 2 PLS-110 PLASTİK KALEM 0,670 2 PLS-120 PLASTİK KALEM 0,630 3

S. NO ÜRÜN KODU ÜRÜN CİNSİ BİRİM FİYAT PLASTİK KALEMLER 2 PLS-100 PLASTİK KALEM 0,670 2 PLS-110 PLASTİK KALEM 0,670 2 PLS-120 PLASTİK KALEM 0,630 3 S. NO ÜRÜN KODU ÜRÜN CİNSİ BİRİM FİYAT PLASTİK KALEMLER 2 PLS-100 PLASTİK KALEM 0,670 2 PLS-110 PLASTİK KALEM 0,670 2 PLS-120 PLASTİK KALEM 0,630 3 PLS-130 PLASTİK KALEM 0,400 3 PLS-140 PLASTİK KALEM 0,640

Detaylı

Compatible stem taper and volume equations for Brutian pine stands in Burdur Region

Compatible stem taper and volume equations for Brutian pine stands in Burdur Region SDÜ Orm Fkütes Dergs SDU Fcty of Forestry Jor, : 85-9 Arştırm mkes/reserc rtce Brdr öres kııçm meşcereer ç ym gövde çpı ve gövde cm dekemer geştrmes Rm Öçek,*, kkı v, s Krtepe, Nevt Gürevk, Rüstem Kırış

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DERS UYGULAMA FORMU

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DERS UYGULAMA FORMU ERCİYES ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DERS UYGULAMA FORMU Ders Adı MM 207 - Mühendislik Matematiği-I Dili : Türkçe Öğretim Yılı ve Yarıyılı 2011-2012-Güz Teori : 3 Pratik

Detaylı

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Lineer Cebir ve Vektörler EEE118 2 3+0 3 4

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Lineer Cebir ve Vektörler EEE118 2 3+0 3 4 DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Lineer Cebir ve Vektörler EEE118 2 3+0 3 4 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü İngilizce Lisans Zorunlu / Yüz Yüze

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( ) . BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI

DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ 01.1.015 ÇALIŞMA SORULARI 1. Aşağıda verilen devrede anahtar uzun süre konumunda kalmış ve t=0 anında a) v 5 ( geriliminin tam çözümünü diferansiyel denklemlerden faydalanarak bulunuz.

Detaylı

Nümerik Analiz. Bilgisayar Destekli. Ders notları 2014 DENKLEM SİSTEMİ ÇÖZÜMÜ, DİREKT. METOTLAR GAUSS indirgeme metodu. m=n Üst üçgen matris

Nümerik Analiz. Bilgisayar Destekli. Ders notları 2014 DENKLEM SİSTEMİ ÇÖZÜMÜ, DİREKT. METOTLAR GAUSS indirgeme metodu. m=n Üst üçgen matris ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedslk Mmrlık Fkültes İşt Mühedslğ Bölümü E-Post: ogu hmettopcu@gmlcom Web: http://mmfoguedutr/topcu Blgsyr Destekl Nümerk Alz Ders otlrı Ahmet TOPÇU m Üst üçge mtrs

Detaylı