SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI"

Transkript

1 SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Yrd Doç Dr Hüse Bıroğu İSTANBUL 6

2 İÇİNDEKİLER SAYFA -GİRİŞ SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ HATA TANIMI SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI 5 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI 7 GRAFİK METODU 7 ORTA NOKTA METODU 7 HATALI KONUM METODU (Leer terposo ötem 9 BASİT TEK NOKTALI ARDIŞIK METOD 5 NEWTON-RAPHSON METODU 5 Newto-Rphso ötemde ht z 5 Newto-Rphso ötem k bme eer om dekem sstem çözümüe ugumsı 6 SEKANT METODU 5 7 KATLI KÖKLER 6 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ 9 GRAFİK METODU DETERMİNANTLAR VE CRAMER KURALI BİLİNMİYENLERİN ELİMİNASYONU ( ok edmes YÖNTEMİ GAUSS ELİMİNASYONU METODU 5 GAUSS-JOURDAN METODU 7 6 TERS MATRİS METODU 9 6 Guss-Jord ötem mtrser ters buumsı uguışı 9 7 ALT ÜST ÜÇGEN MATRİSLERE AYIRMA METODU 5 7 Guss emso ötem e t üst üçge mtrsere ırm şem 5 7 Crout Beşeere ırm ötem (Crout decomposto 8 8 KAREKÖK METODU (Choesk ötem 9 İTERASYON YÖNTEMİ (Guss-Sede ötem 6 5 EĞRİYE UYDURMA 7 5 YAKLAŞTIRMA (Regressso METODU 7 5 Doğru kştırm metodu 7 5 Poom kştırm metodu 5 5 İk değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek 5 5 Çok değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek 5

3 5 İNTERPOLASYON 55 5 Leer terposo (r değer bum 55 5 Kudrtk terposo 56 5 Newto terposo poomuu gee ormu: 57 5 İterposo poomrıı ktsırıı bumk ç dğer br ötem Lgrge terposo poomu 59 6 SAYISAL İNTEGRAL 6 6 NEWTON-KOT İNTEGRAL FORMÜL 6 6 Trpez (muk kurı 6 6 İtegr böges eşt prç böerek muk kurıı uguışı 6 6 Smpso u / kurı 6 6 IMPROPER İNTEGRAL (sıırrı sosuz o tegr 68 7 SAYISAL TÜREV 69 7 İLERİ DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER 7 7 GERİYE DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER 7 7 MERKEZİ FARKLAR METODU İLE TÜREVLER 7 8 ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER 7 8 EULER METODU 7 8 İeştrmş Euer metodu 7 8 HEUN METODU 75 8 RUNGE-KUTTA METODU 76 8 İKİNCİ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU 76 8 ÜÇÜNCÜ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU 76 8 DÖRDÜNCÜ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU 76 8 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ YÖNTEMİ SINIR DEĞER PROBLEMLERİ 8 85 ATIŞ YÖNTEMİ 8 85 SONLU FARKLAR YÖNTEMİ 8 9 KIMİ TÜREVLİ DENKLEMLER85 9 SONLU FARKLAR YÖNTEMİ86 9 LAPLACE DENKLEMİ86 9 ÇÖZÜM TEKNİĞİ87 EK A Tor Sers 9 EK B Dh öcek seeere t sıv sorurı ve çözümer 9

4 -GİRİŞ Mühedskte doğdk orı ve ouşumrı bmse ötemere şı şeş kurrı çok öemdr Bu kurr sığı kuımı suuck et, chz, mke, pı ve sstemer ouşturumsıd, şetmesde ve geştrmesde kuımktdır Doğdk or ve ouşumr bmse ötemere ceerke değer değştkçe orı ser ve ouşumrı soucuu etkee büükükere değşkeer der İceeme soucud değşkeer rsıdk şkerde tbo değerer çeşt grker ve cebrse, derse ve tegr dekemer ve sstemer ede edr İkc derecede cebrse dekemer sısı z om cebrse dekem sstemer eer derse dekemer ve sstemer, düzgü geometre shp kısm türev eer derse dekemer ve sstemer tk ötemere çözüme gdmese krşıık dğer durumrd pek ko ommktdır Htt çoğu kere bu mksızdır Bud doı büük dekem sstemer, eer omm durumu ve krmşık geometr durumrıd sıs ötemer ve deese ötemer ugumktdır So ırd bgsr tekoosdek geşmeer sıs ötemer oğuuğuu ve etkğ rtırmıştır SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ Sıs ötemerde ouşbecek htrı kesme, uvrtm htsı ve seçe mtemtk modede kk htr ork sbrz Kesme htsı, üksek mtemtk oksorı hespırke kuı sererde ı term sısı bğıdır Yuvrtm htsı, pı şemerde ger çe sırd vrgüde sor ı rkm sısı bğıdı Mtemtk modede kk ht Gerçek durum e mtemtk mode rsıdk rk bğıdır HATA TANIMI Doğru değer kşık değer Ht Ht Doğru değer - kşık değer E t Doğru değer - kşık değer Bğı ht ht / doğru değer Bğı gerçek üzde ht ε t (gerçek ht / doğru değer % Bğı kşık üzde ht ε ( kşık ht / kşık değer % Ardışık metotrd uguışı ε (( şmdk kşık değer br öcek kşık değer/ (şmdk kşık değer %

5 SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRIMASI Dekemer köker ( dekem sğ değerer ( hesbı Leer dekem sstemer çözümü kök A A C A A C çözüm Eğr udurumsı ( ( Nümerk tegr Regreso Iterposo (kştırm (r değer bum ( b I d I eğr tıdk ( 5

6 5 Nümerk türev Türev: ( sıs türev (Δ ( LmΔ d Δ d ( türev Nümerk türev : d ( Δ (Δ ( d Δ Δ 6 Ad derse dekemer d dt Δ (t, Δt t e bğı çözümü: θ tg θ (t, (t, Δt t t t t 7 Kısm türev derse dekemer u u (, ve e bğı ork u hespır 6

7 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI ( dekem sğ değerere bu dekem köker der Örek ork derecede ( b c dekem köker b ± b c eştğ e koık buuur Herhg br ( dekem köker her zm bu kdr ko hespmz Buu ç sıs ötemer geştrmştr GRAFİK METODU Bu ötemde ( dekem öçek br Şekde çzr Eğr ekse kestğ ( c oktr okum çışıır 5 Örek ork prşütü ş krkterze ede dekem ee ım gm v c mt [ e ] (c / Burd v hızı, g erçekm vmes, m Küte ve c de hvı drec gösteror c Vere v m/s, m68, kg, g98 m/s, t s değerer e c hv drec hespmk ç g m mt (c [ e ] (c / v şekde ukrıdk dekem düzeep buu sıır p c c değer ukrıdk grkte c,7 değer okubrz ORTA NOKTA METODU ( r ( u / ( ( * ( u < se ( dekem (, u rığıd e z br kökü vrdır r ( u / ( r u ( * ( r < se u r ( * ( r > se r ( * ( r se r köktür 7

8 Örek ( - - çözüm - ( u 5 ( - (5 ( * (5-6 < r (5/ r,5 (,5,5 (* (,5 < u,5 ( u,5 r (,5/ r,75 (,75-9 ( * (,75 >,75 (,75, u,5 r,5 (,5 56 (,75 * (,5 < u,5 ε (,5-,75/,5 % ε % (,75, u,5 r,9 (,9 -, (,75 * (,9 >,9 ε 6, % (,9, u,5 r, ( r ( ( r < u, ε,97 % (,9, u, r,985 ( r -6 ( ( r >,985 ε,5 % (,985, u, r,75 ( r - ( ( r < u,75 ε,75 % (,985, u,75 r,99 ( r -99 ( ( r >,99 ε,59 % (,99, u,75 r,999 ε, % 8

9 HATALI KONUM METODU ( Leer terposo ötem ( ( u ( r u r ( r u ( r u u ( (u u ( ( u Örek ( - ( çözüm -, u 5 ç ( - ( u (, u rığıd e z br kökü vrdır ( ( u < oduğud ( dekem r 5 ( -5 / (-- r,6 ε (,6 /,6 % %,6 ( -, r 5 (,6-5 / (-,- r,86 ε 9, %,86 ( -,5 r 5 (,86-5 / (-,5- r,95 ε,5 %,95 ( -,975 r 5 (,95-5 / (-,975- r,98 ε, %,98 ( -,68 r 5 (,98-5 / (-,68- r,99 ε,7 %,99 ( -, r 5 (,99-5 / (-,- r,98 ε, % ε (,998,99 /,998 %, % 9

10 BASİT TEK NOKTALI ARDIŞIK METOD Bu ötemde ( oksou ( ( ock şekde k prç rıır Bu ırım g ( şekde obr ( ( g ( ( ε ( / % ε t ( t / t % kök Örek ( e - ( ( e ( e - - kök, ( e - 8 ( 6 kök 6 8

11 Yukrıdk eştkere şğıdk tbo zıbr e -X % % ε t ε, , 7,6789,69 5, 6,9,69,57, 8,,57,66,8 7,,66,5596 6,89,,5596,5796,8 5,9,5796,565,,8,565,57,,9,57,56879,75,,56879,5688,99,6,5688,5665,6,55,5665,567557,8,,567557,5669,7,,5669,5678,,65,5678,56766,,8

12 5 NEWTON RAPHSON METODU ( ( eğm ( kök ( ( ( ( ( Newto- Rphso ötem rıc Tor sersde çıkrbrz ve bu o ht z de pıır Ek dek tek değşke ( oksou oktsıd Tor serse çıımıı göz öüe ım Burdk çıımd ere, ere zrsk şğıdk eştğ ede ederz ( Burd ξ, e rsıd br değerdr ( ( ( (ξ ( mertebede türev çere termerde sorker ımz ve ( ıırs ( ( ( eştğ zıır Burd Newto-Rphso ötemde ede ede şğıdk dekem ede edr ( ( 5 Newto-Rphso ötemde ht z r : kökü gerçek değer Tor sere ereştrp bud kşık dekem çıkrıırs ( ( ( r (ξ (r _ ( ( ( ( (r (ξ (r E t, r (öcek gerçek ht E t, r ( gerçek ht eştker ukrıdk dekeme ereştrrsek ( Et, (ξ Et, eştğ ede ederz Çözümü kısdığı düşüüürse ve ξ, r kısr ve böece gerçek kök değere

13 E t, ( r E ( r t, dekemde htı kbc öcek htı krese ortıı oduğu görüür ( Kudrtk kıskık Örek 5 ( ( Gerçek çözüm -, ( ( ε ( / % ( ε, % -,5 -,5 -,5 -,5 -,69756,9 -, ,9,6 -,9 -,9 5 Newto Rphso ötem k bme eer om dekem sstem çözümüe ugumsı Ek dek k değşke oksorı Tor sersde ere, ere, ere, ere ıp brc mertebede türev termerde sork termer mzsk şğıdk dekem ede ederz (, ( (,, ( (, ( İk bme eer dekem sstem u(, v(, şekde gösterrsek ukrıdk Tor sersde ede ede eştğ bu her k dekeme rı rı ugummız gerekr u(, u(, u(, u(, ( ( v(, v(, v(, v(, ( ( Sstem çözümüü rdığımız ç

14 , ( u, ( v omıdır Arıc u, ( u v, ( v ıırs dekem sstem şğıdk gb düzeeebr u u u u u v v v v v Böece ve büüküker bme kbu ede k bme eer dekem sstem ede edr Bu sstem Krmer kurı göre çözüürse şğıdk eştker buuur v u v u u v v u v u v u u v v u Örek 5 u(, - u(, v(, 57 v(, u, u, v, 6 v ( 6 ( ( 57 ( 6 ( (

15 ( ( 57( ( ( 6 (,767588,9767,767588,9767,98,57987,98,57987,99975, ,99975, , ,7, ,7 6 SEKANT METODU Newto-Rphso ötem ç gerek o türev m şem bzı poom ve oksord zordur Bu ötemde türev ere sou rkr türev ormüü kuıır ( ( Newto Rphso Yötem ( burdk ( ere ( ( ( kşık değer ıır Bu dekemde şğıdk şekde ede edr ( ( ( ( k değer ve - bşgıçt vermedr Bu bşgıçt vere k değer kökü rı trrıd omk zorud değdr ( ( ( - kök - 5

16 Örek 6 ( - ( çözüm -, ( (, ε % ( ( İ - ε, % - -,6 - -,6 -, , , ,7 -, , ,999997,75 5 -, , ,6 6 -, ,5 7 KATLI KÖKLER ( - k ktı kök ( (- (- (- ( Burd k ktı köktür - - ( - üç ktı kök ( (- (- (- (- ( 6 Burd ktı köktür ( dört ktı kök ( (- (- ( - (- (- ( Burd ktı köktür - - 6

17 ( u( oksou e ( oksouu köker ıdır ( Bu durumd ( ere u( oksouu köker rştırıır Örek ork Newto- Rphso ötem uguırs şğıdk dekem ede edr u( u ( Bu dekemde u ( ere ( ( ( ( u ( [ (] ( ( [ ( ] ( ( ( u( des e göre türev ııp kours ( ktı köker ç ede düzeemş Newto Rphso ötem kşım dekem ede edr Örek 7 ( (- (- ( - ( k ktı köktür Stdrt Newto-Rphso ötem e çözüm (, ( ( ε %,5,5,75,,75,875,9,875,975 6,67,975,96875,6,96875,9875,587,9875,99875,787,99875,996975,9,996975, ,957, ,9995,978 7

18 Örek 7 ( (- (- (- ( 5 7 Stdrt Newto-Rphso ötem e çözüm ç ( 7, ( 6 eştker [5 ( ]dekemde ere zrsk dekem ede ederz Bu dekem kurk şğıdk tbou düzeeebrz ε, %,85786,85786, ,5, , ,668,88655,9989 8,8,9989, ,, ,977655,7,977655, ,7, ,99675,56,99675, ,8, , ,, ,999998,76 Geştrmş Newto-Rphso ötem ç ede ede ( ( ( ( (6 eştğ kurk şğıdk tbo ouşturuur ε, %,5658,5658,866,868,866,9,8,9,9 8

19 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ Öcek böümde tek br ( dekem sğ değerer buuuşu tıdı Şmd se (,,,, (,,,, şekde det dekem ı d sğ değerer rştırıcktır,,,, Eğer bu (,,,, dekemer şğıdk gb ours bu dekem ssteme eer dekem sstem der, c, c, c, c Burd, c sbterdr Leer dekem sstem mtrs gösterm [ A ] { } { C } şekdedr Burd çözüm mtrs { } [ A ] - {C} şekde zıır Bu mtrser şğıdk gb çık şekde zıbr [ A], [], [ C ] c c c c 9

20 Leer dekem sstem çözümüde şğıdk metodr uguır Grk metodu Determtr ve Crmer kurı Bmeer emsou (ok edmes Guss Emso metodu 5 Ters mtrs metodu (Guss Jord ötem 6 İterso ötem (Guss Sede ötem 7 At üst üçge mtrsere ırm metodu 8 Krekök metodu ( Choesk ötem, smetrk bt mtrser ç GRAFİK METODU Bu ötem kde z bme çere dekem sstemere ugumz Fkt çözümü geometr rdımı e orumu pıbr Örek X X 8 - X X X X X Çözüm X, X -X X X X 5 6 X -(/ X X -(/ X X -(/ X X / -X X X X X -(,/5 X X, -(/ X X X

21 DETERMİNANTLAR VE CRAMER KURALI Bu ötem de z bme dekem sstemer ç kuışı değdr Üç Bme dekem sstem ç bu ötem şğıdk gb uguır c c c D c c c D, c D, D c c c c c Örek,,5,5,9,,,5,,67,,,5,67,9,,5,,,5,78 D,5,9,, 9 D,,,,5,,,,5,,5,67,9,5,67,,,5,69,,,,56 9,5 9, 8 D, D,

22 BİLİNMİYENLERİN ELİMİNASYONU (ok edmes YÖNTEMİ Bu ötem k bme eer dekem sstemer üzerde gösterem ( c ( c ( dekem, ( dekem e çrpııp topırs ok edmş our ( ( ( c ( c ( ( ( c c c c Bu değer ( dekemde ere ereştrrse c Örek 8 (8 ( (8 ( (, ( ( (

23 GAUSS ELİMİNASYONU METODU Bmeer emsou ötem sstemtk he getrmş şekdrbu ötem eer dekem sstemere şğıdk şekde uguır ( c ( c ( c ( c İk öce ( dekem dışıdk bütü dekemerde ok edr Buu ç ( dışıdk bütü dekemere şğıdk şem uguır ( (,,, Bu şem ugudıkt sor dekem sstem şğıdk durum ger ( c ( c ( c ( c Bezer şekde kc dekemde tbre sork dekemerde sır e bmeerde ok edrse şğıdk dekem sstem ede edr,,, ( c ( c ( c ( ( ( ( c Bu sstemde bmede bşrk gere doğru ere kom şem e bütü bmeer şğıdk ormüer e hespır

24 c ( ( ( c ( (,,, Örek (,,, 7, 7,85 ( (,, 9, 7,,, Bu dekem ssteme ( ( ve ( ( şemer pıırs,, 7,85 ( ( -, -, 7,85 (,,,, (, [7 (,] [, (,] 9, (,,,, (, [, (,] [ *(,] 7, 7,85 7,85 (,, ( 7,,9 (,9, 7,85 9,567 7,65 (,9 dekem sstem ede edr Bu sstemde so stır ( ( şem pıırs 7, (,, 7,85 ( 7,,9 9,567 (, 7,8 Bu so ede ede sstemde bmeer so dekemde k dekeme doğru ere kom e ede edr So ( dekemde 7,8 7, buuur Bu değer e (, dekeme gdp ord hespır 7,,9 7, 9, ( 567,5

25 5 Buu bu ve değerer ( dekemde ere ereştrerek bmede çözüür ( ( 85 7, 7,,,5, Örek (, 5,, ( ( ( ( ( ( ,5,5,5,5 8,5,5 5,5,5,5,5,5 5

26 ,5,5,5,5,5,5 5,5 (,5,5 (,5 8,5 (,5,5,5,5,5 (,5 (,5 ( (,5 ( (,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 5,5 (,5,5,5 7,5,5,5 5,5 6,5,5,5 7,5 7,5 7,5 5,5,5,5 7,5 6,5 (,5 ( 6,5 7,5,5,5 7,5,5,5, 5,5 6,5 6,, 6,, 6,,, 6,5,5 7,5,5 6,5,, 5 7,5,5 6,5,5,5,5 5,5,5,, ( 5 5, Ede ede çözüm değerer sğmsı 5 ( ( ( 5 5 ( ( 5 5 ( 5 5 ( 6 ( ( 5 7 6

27 5 GAUSS-JOURDAN METODU Bu ötemde [ A ]{} { c} dekem sstem her k trı [ A] []{} I [ A] {} c Ssteme döüştürüür e sod çrpırk Örek / / / 5 / 5/ 6 7,5,5,75 (,5 (,5,75 (,5 5 (,5 (,75 (,5 (,5 (,75,75,75 6,75 7,75,5,5,5,5,5 5,5,5,75,5,5,5,75,5 8,5,5,5,5,5,5,5,5,5 5,5,5,5 (,5,75,5(,5,75,5 (,5,5,5 (,5,5 (,5 8,5 (,5 (,5,5,5(,5,5,5(,5 7

28 ,5,5 7,5,5,5,5,5,5 6,5,5,5,5,5,5,5,5,5 (,6667,5,5(,86667 (,6667,5,5,6667 (,6667,86667,86667,86667,6665,5,6667,,9,666, ,,6665,665,5,5,6667,667,9,665,666,5,86667,667 5 Bu ede ede rttırımış mtrs şğıdk rttırımış mtrse eşt oduğud 5 böece,, 5, çözüm değerer buumuş our 8

29 9 6 TERS MATRİS METODU Ters mtrs ötemde ı ktsır mtrse shp eer dekem sstemerde rkı İkc tr vektörer ç çözümer dh ko ede edr 6 Guss-Jord ötem mtrser ters buumsı uguışı [ ]{} {} c A dekem sstem her k trı [ ] A e çrpıırs {} [ ] {} c A ede edr [ ] A mtrs e şğıdk gb te dekem sstem ede edr,,, Bu te sstem [ ] [ ] [ ] A Y I [ ] [ ] Y A şekde gösterebr Burd zıck [ ] I A rttırımış mtrs [ ] K I ( [ ] [ ] [ ] I Y K [ ] [ ] Y K mtrse döüştürüürse [ ] [ ] A K ede edr Çükü [ ][ ] [ ] I Y A oduğu göre [][ ] [ ] K Y I our Arıc [ ] [ ] A Y ve brm mtrse br mtrs çrpımı kedse eşt oduğud [ ][ ] [ ] Y Y I dır burd [ ] [ ] K Y ve souç ork [ ] [ ] A K buuur

30 k k k k k k k k k k k k k k k k Örek 6 7,85,, 9,, 7, 7,,,,, 5, 7, 5,, dekem sstemer çözüüz [ ],,, 7,,, A,,, 7,,,

31 ,,, 7, /, /,/ /,,, 7,,,666667, ( ( (,*,,666667,,,*,,*,,*,,666667,*,,,*( 7,*,,,666667,,,,9,,9 7,,,666667,,,,9 7, / 7,,/ 7,,9/ 7, 7,/,,666667,,,,9,8,79,76,,666667, ( (,9 *,,7,9 * (,,7,9*,,9*,9,8,79,76,*,,,,7,*,67,*,,7,9,,8,79,76,799,75,6857 /,,7 /,,9 /,,/,,8,79,76,799,75,6857,99879,698,778,8,79,76,799,75,6857

32 ,68,68,7,7,,68* (,,7,7 *,8 (,,7,68*,7,,7 *,7,7,68*,,7 *,,99879,89,56,779,997,9,6986,6798,86,9988 [ A ],89,56,779,997,9,6986,6798,86,9988 Böece ktsır mtrs [ A ] o Bütü sstemer çözümü: {} [ A] {} c dekem e ede edr İk sstem çözümü:,89,56,779,997,9,6986,6798,86,9988 7,85 9, 7,,8,886 7,5 kc sstem çözümü:,89,997,56,9,779,6986,6798,86, ,9979 7,7,955

33 Örek 6 [ A ] {} c ,5,5,75,5 ( (,5 (,5 (,75 (,5 ( (,5 5 (,5 (,75 (,5 ( (,5 (,5 (,75 (,5,5,5,5,5,5 5,5,5,75,5,5,5,5,75,5,5,5,5,5 (,5,5(,5,75,5(,5,5,5(,,5(,,5,5, ( 5,5 (,5,5 (,5,5 (,,5(,5,5(,5,5,5(,5,5,5(,,5(,,,5,5 7,5,5,5,5,, 7,,,,6,,5,5,5,5 *,5,5,5,5 (,667,,5*,9,,5(, (,667,,5*,9,,5(,,667,9, (,667, *,9, (,,5*,,5*,, *,

34 ,,8,68,,,,9,667,666,9,5,5,666,9,66,667 ( ( ( ( (,5,5,65,5,67 *,,,67,,,9,67,5*,,,5,6,9,5,5,7 *,,,7,6,6,7,9,,7,6,7,7,5,5,65,5,8,5,958,788,666,5,666,58,5,9,58 [ ],5,5,65,5,8,5,958,788,666,5,666,58,5,9,58 A,5,5,65,5,8,5,958,788,666,5,666,58,5,9, ,5* 6*,5* 7,65*,5*5,8* 7,5* 6,958*,788*5,666* 7 * 6,5*,666*5,58* 7,5* 6,9*,58*5 5

35 7 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ALT ÜST ÜÇGEN MATRİSLERE AYIRMA METODU İLE ÇÖZÜMÜ: [ A ]{} { C}, [ A ]{} { C} { } [ U ]{} { D}, [ U ]{} { D} { } [ L] {[ U]{} { D} } [ A]{ } { C} [ L ][ U] [ A] (Burd [ L ] t üçge mtrs, [ U ] se üst üçge mtrstr [ L ]{ D} { C} Bu so dekemde { } D çözüüp [ U ]{} { D} dekemde ere koup { } bmee vektörü bu dekemde hespır 7 Guss emso ötem e t üst üçge mtrsere ırm şem [ A ] [ L ], [ U] ( [ ] [ L][ U] A L L L L L L 5 L ( ( ( (

36 6 Bu durumu dğer bütü er ç geeeştrrsek Burd,,, dr ede ederz ( / ( / ( / ( / Bu şemer ç geeeştrebr ( / ( / Burd,,, dır / ( Bu eştk geeeştrrse / ( Burd,5,, dır Bezer şekde devm edrse soud ( ( ( ( L L L L L L L mtrs ede edr

37 Örek 7 [ A ] { C } [ A ] [ L][ U] [ L ] [ U ],5,5 7,5,5,5,,75,5,5 (,5 [,5( ]/,5 (,5 [,5( ]/,5,,5 7,5 (,5,*,5 / 7,5 ( (,,6 [ L ],75,5,5,6,, [ ]{ D} { C} L, d 5,75,5,5 d 5 d,6 d 6,, d 7,75d d d,75 *5 d, 5 7

38 ,5d,6d d 6 d 6,5*5,6* (,5 d,5d,d,d d 7 d,5*5,*,5,* 6,5 7 d [ U ]{} { D} 6,5 6,,5,5 7,5,5,5, 5,5 6,5 6, 5 7 Crout Beşeere ırm ötem : (Crout decomposto üzerde gösterş : u u u u u u,,,,,,, u u u u u u u,,,, u, u, u u u,,, L, u u u ( u / u u u ( u / u u u ( u /,,, L, 8

39 u u,,, L, u ( u u /,,5, L, u u u,,5, L, Crout t üst üçge mtrsere ırm ötem herhg br sısı ç ormüer:,,,, u,,, L, ç,,, k uk,,, k,, u k k u k, k,, L, k k u k Örek 7 u u u u u u 5,,,,,,, u,,, u u u u,5,75 9 u,5 u

40 , ç k uk,,, k k u k u k, k, kuk k ve ç ve ç u (,5, 5 u (,5 ve ç u,5 (, 5 ve ç u u 5 (,5 (,5 7, 5 ve ç u u,5,5,5 u ( u / [( (,5]/,5 u, ( ( ( ve k ç 5 ve k ç u ( u / [ (,75]/,5 u, 5 ve k ç u ( u u / [ (,75 (,5]/ 7,5 u so ork (,75 (,5(,5 (,6667, u u u buuur,6667 5,5 7,5,5,,5,5,5,75,5,6667 Bu ede ede t ve üst üçge mtrser dekem sstem çözümüe uguışı

41 ,5 7,5,5, d d d d d 5 d 5 / d,75 d,5d d *,75 /,5 d, 5 d d 7,5d 6 d [6 *,75 * (,5]/ 7,5 d, d,5d d,d 7 (7,75,5 *,5 *,86667 /, d d,5,5,5,75,5,6667,75,5,86667,6667 *,86667,86667,6667 * 5,5,5,5,5,5,75,5,5 * 5,5 *,75,5 * (,5* 5,75*,75

42 8 KAREKÖK METODU ( Choesk ötem : Bu ötem smetrk ve pozt tumı ktsır mtrs ç uguır Özeke bu durumdk bt mtrserde uguır [ ] A pozt tımı omıdır Y bütü vektörer ç {}[ ]{} Q A Q T > omıdır ve A, A, A,, [ ] A det A heps pozt omsı gerekr [ ] [ ][ ] U L A [ ] [ ] [ ] T T T L U A Smetrk mtrserde [ ] [ ] T A A oduğud [ ] [ ][ ] T L L A our

43 ,,,, L ( / (,,, L, / ( / (, L, / k,, L, ç gee ormü: kk kk k k ( /,,, L, k k k k Bu şemer soucud ede ede [ L ] mtrs dekem sstem çözümüde şğıdk eştker rdımı kuıır [ L ]{ D} { C} dekemde ede ede { } [ L] T {} { D} dekemde ere koup { } D sütu mtrs stee çözüm mtrs buuur d c d ( c d /,,, L, d d [ d ]/,,, L,

44 Örek ,5,,, (,5, 965 (,5* /,965, 9 (,5 *,5 /,965, 655, (,9 * ( *,5,9*,655 /,575, 8, 59,5,655 (,8,5,5,965,9,655,575,8, 59 d d d d 7 9 d d,5,5d,965d 7 d (7,5 *,5 /,965 d 5, 8 d,9d,575d 9 d (9,5,9* 5,8 /, 575 d 7,

45 ,5d,655d,8d,59d d,,5,965,9,575,59,,5,655,8,59,5 5,8 7,,,575,8 7, (7,,8* /,575 5,965,9,655 5,8 (5,8,9* 5,655* /,965,5,5,5 (,5,5( 5,5* / 5

46 9 İTERASYON YÖNTEMİ (Guss Sede ötem : c c c c Dekem sstemde her dekemde er çözüp şğıdk eştker ede edr ( c / c / ( ( c / ( c / ( ε, % Örek 9,, 7,85, 7, 9,,, 7, Dekem sstem terso ötem e çözümü ç şğıdk dekemer kuıır ( 7,85,, / ( 9,,, / 7 7,,, / ( Bu dekemer rdımı e şğıdk tbo ouşturuur ε,, % ε,, % ε,, %, , ,7958, ,7958 7,5695, ,7958 7,5695,5, ,9966 7,5695,8, ,9966 7,98,8 6

47 5 EĞRİYE UYDURMA ( 5 5 ( Doğru kştırm eer regresso Leer terposo ( Eğrse terposo 5 YAKLAŞTIRMA (Regresso METODU 5 Doğru kştırm (Leer regresso ötem: Bu ötemde doğru kşımdk htrı kreer topmıı mumum pck doğru dekem rştırıır Htı çerecek şekde doğru dekem: E sekdedr Burd E htı gösterr E Htrı kreer topmı: S r E ( 7

48 8 şekde zıır Bu ede ede htrı kreer topmıı mumum pck ve değer bur göre ıck türever sıır eşterek buuur ( S r ( S r ( S S r / Thm stdrt spm : S S t Topm stdrt spm : Burd t ( S t r t S S S r tım ktsısı : r correto ktsısı: Örek 5 Aşğıdk tbo değerer br doğru kştırı (,5 8,5765,687,5,86,565,,8,7,,65,65 5,5,5, , 6,6, ,5,98,99,7,99

49 Bu tbodk vererde ve şğıdk eştkerde 7 7, 9, 5 7, 7, 8 8, 7 7,, ede ede bu değerer kurk doğru dekem ç gerek ktsır hespır 7 *9,5 8* 7 * (8,89857,8579,89857*, 7857 ve doğru dekem şğıdk gb zıır,7857,89857 Bu doğruu grğ ve tbo değerer şğıdk şekde zeebr ,7 S,957 ( Topm stdrt spm 7 S,99,775 ( Stdrt thm ht 7 / S < S oduğud bu örek ç doğru kştırm ugu br seçmdr / 9

50 5 Poom kştırm metodu m L m E Burd E ht ve resüdü m E L S m m r ( L m Bu htrı kreer topmı,,, L, m ktsırı göre rı rı türever ıırs şğıdk dekemer ede edr S L r m ( m S L r m ( m S m ( L m r S L r m m ( m m Türev şem soud buu bu dekemer sıır eştep tekrr düzeerse şğıdk dekem sstem ede edr m m L m m L m m L m m m m m m,,, L, çözüür L Bu dekem sstemde 5

51 S / Sr (m Stdrt thm ht r S S t r koreso (şk,bğtı ktsısı S t S t ( Örek 5 Aşğıdk tbod buu, değerer derecede poom kştırı ( (, 5,, 7,7,7,86,6,,858 7,,,89,9 9,, , 7,,99 5,6 5,9,7657 m, 6,, 5, 5,, , 5 5, 6 55, 5, 979, 585, 6, , 8 Yukrıd buduğumuz bmeer ktsırıı bu dekem sstemde ere kours şğıdk dekem sstem ede edr , , ,8 Bu dekem sstem çözümüde buu,7857,, 599,, 867 değerer e şğıd çze derece poom zıır 5

52 ,7857,599, S 5 6,7657, (Stdrt thm ht 6 5,9,7657 (krrıık ktsısı 5,9 / r r,9995 (Bu souç uumu çok oduğuu gösterr 5 İk değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek Burd doğru dekem düzem dekem he döüşür E E htsıı kreer topmı S r ( şekde zıır Bu dekem ı şekde,, bme ktsırı göre türever ııp sıır eşterse S ( ( ( r Sr Sr 5

53 5 dekemer ede edr Bu dekemer sıır eştep ktsırı göre düzeerse bme te eer dekem zıır Bu dekem sstem şğıdk gb mtrs ormud zıbr 5 Çok değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek E m m L dekemdek E htsıı kreer topmı ve türever ukrıdk gb düzeerse şğıdk mtrs ormudk dekem sstem ede ederz m m m m m m m m m (m S S r / ( stdrt thm ht

54 Örek 5 Aşğıdk k değşke tbo değerer k değşke eer dekeme uduru 5, 9 6,5 5, , ,5 5 8,5 6 6,5 5 6,5 76,5 8,5 8 5 Bu dekem sstem çözümüde 5,, ede ede değerer e şğıdk dekem zıır 5 Vere tbo değerer e Buu düzem dekem uumu şğıdk grk üzerde zeebr

55 5 İNTERPOLASYON 5 Leer terposo (r değer bum ( ( ( ( ( ( ( ( ( (, ( ( ( Örek 5 6, , 869? (, 6978 Çözüm:, 6, ( ( (,5859, ε t 8, % 6 Çözüm:,,869 ( ( (,698, ε t, % (,698,

56 5 Kudrtk terposo ( b b ( b ( ( (- ( b b b b b b b (- (- ( (- b b b b b b (-5 b (-6 (- dekemde ere zıırs b ( (-7 ede edr Bu buu (-7 eştğ ve ere değşke (- dekemde ere zıırs b ( ( (-8 dekem buuur Bu (-8 ve (-7 dekem (- de ere kour ve rıc ere zıırs şğıdk dekem ede edr b ( ( (-9 ( ( Örek 5 (, (, 869, 6 (, (?,869 b b b, 698,797595, b, b 56

57 (,698(,5876( ( (,56586 ε t 8, % 5 Newto terposo poomuu gee ormu mertebede poom det ver oktrı gerektrr ( b b( L b ( ( L( b ( b [, ] b [,, ] [,, L,, ] b Burd [, ] ( ( [,, k ] [, ] [, ] k k [, [, L,, ],, L, ] [,, L, ] ( ( ( [, ] ( ( [,, ] L ( ( L( [,, L, ] Örek ( (, 869 ( 6, ( 5,6979 derecede poom ( b b( b ( ( b( ( ( 57

58 b ( b,869 [, ] b,797595,869 [, ] 6 b,698,755,6979, [, ],86 5 6,755,698 [,, ] 6 b,86,755 [,, ],95 5,95 (,5876 [,,, ] 5 b,5876 b b, (,698(,5876( (,786555( ( ( 6 (, ε t 9,% 5 İterposo poomrıı ktsırıı bumk ç dğer br ötem ( L Bu poomdk oktsı gerekr,,,, L te ktsıı bumk ç te ver Örek ork ç bme dekem ede edr Bu gereke ver oktrı [,( ], [,( ], [,( ] şekdedrbur ( dekemde ere rı rı kours şğıdk dekem sstem ede edr ( ( ( Bu dekem sstemde bme,, ktsırı buuur 58

59 Örek 5 (, (, 869, 6 (, ,869,7976 Bu dekem sstem çözümüde,669586,, 758,, 587 (,6696,76,587 (, 5658 (,695 ( ( 5 ( Lgrge terposo ormüü Newto terposo ormüüü dh kuış he getrmş şekdr Burd böümüş rkrı hesbı gerek kmz ( L ( ( Burd L ( Brc derecede ( ç Lgrge terposo poomu : 59

60 6 ( ( L ( ( L ( ( L ( L ( L ( L ( ( ( İkc derecede ç Lgrge terposo poomu : ( ( L ( ( L ( ( L ( ( L ( L ( L ( L ( L ( L ( ( ( ( Üçücü derecede ç Lgrge terposo poomu : ( ( L ( ( L ( ( L ( ( L ( ( L ( L ( L ( L ( L ( L ( L ( L

61 6 ( ( ( ( ( Lgrge terposo poomuu Newto terposo poomud çıkrıışı ], [ ( ( ( ( ( ( ( ], [ ( ( ( ( ( ( ( Örek 55 (, 869, (, , ( Brc derecede Lgrge poomu ç çözüm: ( ( ( ( * *,869 *,869 * ( 698, ( İkc derecede Lgrge poomu ç çözüm: ( ( ( ( 6 6 ( * *,869 *, ,5658 ( *, *, * 6 6 (

62 6 SAYISAL İNTEGRAL ( I b ( d b 6 NEWTON-KOT İNTEGRAL FORMÜLÜ I b ( d b ( d L ( 6 Trpez (muk kurı ( (b ( b I b ( d b ( d (b ( ( ( ( b 6

63 b (b ( I [( ( ] d b (b ( (b ( I [( b b ] b (b ( (b ( b I (b b b b (b ( (b ( ( b b ([b ( I (b ( b / ] (b[b ( b b / ] (b [(b (] I ((b (b (b [(b (] I ((b ((b (b [(b (] I ( (b I (b 6 İtegr böges eşt prç böüerek muk kurıı uguışı: I (d (d L (d Burd (,,, L, det oktdır b h Prçrı geşğdr I ( h ( ( ( h ( L h h I [( ( ( ( ( ( I (b ] ( 6

64 E (b t (ξ (ξ Burd kc türev bütü böge çde ortm değerdr Böece kşık ht şğıdk gb zıbr (b E Örek 6 (, I,8 ( d Bu tegr tk ork çözüürse I,65 buuur Burd, b,8 dır,8 8 ç h, ve,,,, 8 5,5 6, 6 7, 7 8, 8 değerer şğıdk ormüde ere kours ( I (b I (,8 ( ( ( [ (, (, (, (, (,5 (,6 (,7 ] (,8 * 8 (, (,, 89 (,, 88 (,, 67 (,, 56 (,5,5 (,6, 6 (,7, 6 (,8, I,,8 [,89,88,67,56,5,6,6 ], 6 I,68 Et,65,68 Et,97 6

65 ,65,68 ε t * ε t, %,65 (b E b ( d b ( ( 5 8 8,8,8 (d ( d,8,8 (d *,8 5 * (,8 / 8 * (,8 (b (d 8 6 E (,8 E ( 6 E, * 8 E ε * ε,99 %,68 / 8 * (,8 / 65

66 6 Smpso u / kurı Burdk /, h üçe böüdüğü çdr I b ( d b ( d b Eğer b ve ( ere kc derecede Lgrge poomu ıırs tegr şğıdk şeke ger ( ( ( ( ( ( I [ ( ( ( ( ( ( ( ( ( Bu ıtegr şem soucud ede ede dede gereke kıstmr pıdıkt sor tegr ormüü şğıdk şek ır h I [( ( ( ] Eğer (, b rığı eşt prç böüürse ] d I (d (d L (d I (b ormüü buuur ( ( ( (,,5,,6 66

67 Örek 6 (, I,8 ( d Bu tegr tk ork çözüürse I,65 buuur Burd, b,8 dır,8 8 ç h, ve,,,, 8 5,5 6, 6 7, 7 8, 8 değerer şğıdk ormüde ere kours I (b ( ( ( (,,5,,6 I (,8 ( [ (, (, (,5 (,7] [(, (, (,6 ] (,8 * 8 (, (,, 89 (,, 88 (,, 67 (,, 56 (,5,5 (,6, 6 (,7, 6 (,8, I,,8 I,68 [,89,67,5,6 ] [,88,56,6], E t,65,68 E t,6666,65,68 ε t * εt,8 %,65 67

68 6 IMPROPER İNTEGRAL (Sıırrı sosuz o tegr b (d / / b t (/ t dt b A b (d (d A (d d dt, A t t t, t A b (d (d / A A b (d (d (d A B A (d B (d d dt, A t t t, t A t (d (/ tdt (d / A A B / B t (/ tdt Örek 6 N( e π / d N (? N( π ( / e d e / d d dt, A t t t, t A 68

69 / e d / t e / t dt,556 e / d,5 N ( (,556,5 N(,89 π 7 SAYISAL TÜREV Türev tımı: ( ( ( d ( d ( Lm ( ( ( Br oksou Tor serse çıımıd dırk şğıdk bğıtı zıbr ( ( ( ( h h L h Burd ( çözüebr ( ( ( h ( h O (h ( ( ( O (h h Şekde zıbr Ve 69

70 ( ( ( h ( O (h bu kc türev ormüü e brkte şğıdk gb ouşturubr ( ( ( h ( ( h ( h ( ( ( h ( O (h O (h 7 İLERİ DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Brc mertebede türev: ( ( ( h ( ( ( h ( İkc mertebede türev: ( ( ( h ( ( ( 5( ( h ( Üçücü mertebede türev: ( ( ( ( ( h ( ( ( ( Dördücü mertebede türev: h 8( 5( ( ( ( ( ( ( ( 5 ( 6( h ( ( h ( 6( ( ( 7

71 7 7 GERİYE DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Brc mertebede türev: h ( ( ( h ( ( ( ( İkc mertebede türev: h ( ( ( ( h ( ( 5( ( ( Üçücü mertebede türev: h ( ( ( ( ( h ( ( ( 8( 5( ( Dördücü mertebede türev: ( h ( ( 6( ( ( ( 5 ( h ( ( ( 6( ( ( ( 7 MERKEZİ FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Brc mertebede türev: h ( ( ( h ( 8( 8( ( ( İkc mertebede türev: h ( ( ( ( h ( 6( ( 6( ( ( Üçücü mertebede türev: h ( ( ( ( ( 8h ( 8( ( ( 8( ( (

72 Dördücü mertebede türev: ( ( ( ( ( ( ( 6( ( h 9( ( 56( ( 6h 9( ( ( Örek 7 ( (5? (5? Atk çözüm: ( Sıs çözüm: ( (5, (5, (5, (5,6595,6979 (5 (5, , 5, (5, (5, (5,699 *,6595,6979 (5 (,, (5, 985 7

73 8 ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER,5 8,5 Şekde vere dekem şğıdk derse dekem gösterdğ eğrerde sdece brsdr d 8,5 d [ 8,5] d tegr soucu şğıd gb br eğr es gösterr,5 8,5 C 6 c c c c c- c - - Bu durumd tek br eğr ber omsı ç C tegr sbt hespbeceğ koşurı vermes gerekr Derse dekemer sıs çözümüde geştre ötemerde bzırı şğıd vermştr 8 EULER METODU d (, d (, h ht e değer esk değer eğm * dım h 7

74 Örek 8 d d (,75 (7? Atk çözüm: d d c ( c C c (,75 koşuuu kuırsk,75 c ve böece buuur Burd (7,857 7 Sıs çözüm: (, h (, ve h ıırs c (5 ( (- ( / *,75 (,75/ (5,565 (6 (5 (- (5 / 5 *,565 (,565/5 (6,5 (7 (6 (- (6 /6 *,5 (,5/6 (7,75,857,75 ε %,857 t,5% 8 İeştrmş Euer metodu / (, h (, h / / Örek 8 Yukrıdk örek eştrmş Euer ötem e çözüürse Ye ı şekde h ıırs (,5 ( (- ( / *,5,75 (,75/ *,5 (,5,6565 (5 ( (- (,5 /,5 *,75 (,6565/,5* (5, (5,5 (5 (- (5 / 5 *,5,6667 (,6667/5 *,5 (5,5,575 (6 (5 (- (5,5 / 5,5 *,6667 (,575/5,5 * (6,55 7

75 (6,5 (6 (- (6 / 6 *,5,55 (,55/6 *,5 (6,5,69 (7 (6 (- (6,5 / 6,5 *,55 (,69/6,5 * (7,,857, ε t % ε t,8 %,857 8 HEUN METODU Bu metott Euer metodudk c oktdk türev ere ve ( c oktdk türever rtmetk ortmsı ıır (, (, (, h (, (, h Örek 8 d d (,75 (7? ( tk çözümde (7,857 7 h ıırs 5 ( *,565 5 ( ( 5 * h ( *, ( ( * h ( *, ( ( * h ε t %,6,5,

76 8 RUNGE-KUTTA METODU Ruge-Kutt metodu, Tor serer e kşımdk hssset, üksek mertebede türevere htç dumd kbdğde, üksek hssset rdığı durumrd terch edr Ruge-Kutt metodu şğıdk ormd zıbr φ(,, h h Burd φ (,, h oksou rtım oksou derbu söz kousu rıktk eğm gösterr Artım oksou gee ormd şğıdk gb zıbr φ k k k Burd r sbt k r se şğıdk gbdr k (, k ( ph, q k h k ( p h, q k h q k h k ( p h, q,kh q,kh q, kh Burd p ve q r sbterdr 8 İkc derecede Ruge-Kutt metodu ( k k h k (, k ( ph, q k h ç ve (, termer e kc mertebede Tor sers zıırs (, (, h h! Burd (, zcr kurı e beremedr (, (, d (, d Bu kc türev Tor ormüüde ere zıırs d h (, h d! ( İk değşke oksord Tor sers g g g ( r, s g (, r s Bu ormü ukrıdk k değşke okso çere k eştğ ç uguırs k ( ph, qkh (, ph qkh O( h Bu k eştğ k (, eştğ e brkte k de ere zıırs 76

77 h (, h (, ph q h (, Oh ( ve termer br r topırs [ (, (, ] h [ p q(, ] h O( h d Bu dekem dekeme (, oduğu göz öüe ırk krşıştırıırs d p q buuur Burd dekem bmee oduğud çok sıd çözüm ede edebr Tek düzetme ktsıı Heu ötem ( / /, /, p q Bu prmetreer ere kours ( k k h k (, k ( h, kh Ort okt metodu (,, p q kh k (, k ( h, kh Rsto ötem ( /,, p q ( k k h k (, k ( h, kh 8 Üçücü derecede Ruge-Kutt metodu ( k k k h 6 k (, k ( h, kh k ( h, k h k h 77

78 8 Dördücü derecede Ruge-Kutt metodu ( k k k k h 6 k (, k ( h, kh k ( h, kh k ( h, k h Örek 8 d 8 e 5 d, 8 (, e 5 8*5, d 5, h 5 k (5, e (, 5 (e *5 k (5, 75 e k (5, k (75,8886 e k (5, k (75,56 e k (5 5, k (5,69665 e ( (5, (e *5 k (5,8 e k (5,8 6575* k (65, e 5 9 k (5 5, k (65,58 e k (5 5, k (75, 97 e (

79 8 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ METODU c mertebede br derse dekem te brc mertebede derse dekemde ouş br ssteme döüştürüebr d d d d d d (,,, L, (,,, L, (,,, L, Bu sstem çözümü ç br oktsıdk vermes gerekr L değerer (koşurıı,,, Örek 8 d s λs λ s t d s s v v dt Atk çözüm : s ACos λ t BS λ t v A λ S λ t B λ Cos λ t A s s s Cos B v λ λ t v S λ λ t Örek 8 d s π s dt 6 t d s 8 v t de s? v? Atk çözüm : π 7 π s 8Cos t S t 6 π 6 s 8, π π π v S t Cos t v 8,97997 Euer ötem e ümerk çözüm: d s π Bu ötemde s kc mertebede derse dekem şğıdk gb k dt 6 te derse dekemde ouş br derse dekem ssteme döüştürüür 79

80 ds dv π v, s dt dt 6 ds dv s s ( h, v v ( h dt dt π s s v h, v v s h 6 h, ıırs şğıdk tbo değerer buuur t s v s v, 8 9,,786756, 9,,786756,786755,585,,786755,585,5977,96,,5977,96,65559,9785,5,65559,9785,7886,58857,6,7886,58857,8677,9,7,8677,9 5, ,7985,8 5, ,7985 6, ,675,9 6, ,675 7, ,979 7, ,979 8,678 8,

Sonlu kanat Teorisi Açıklık oranıküçük kanatlar etrafındaki akımın fiziksel yapısı

Sonlu kanat Teorisi Açıklık oranıküçük kanatlar etrafındaki akımın fiziksel yapısı Sou kt Teor çıkık orıküçük ktr etrfıdk kımı fke pıı çıkık orı küçük (R < -5 ktr çıkık orı büük (R > -5 ktr UCK5 erodmk der otrı UCK5 erodmk der otrı çıkık orıküçük ktr etrfıdk kımı fke pıı çıkık orıükek

Detaylı

DİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)...

DİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)... ÜNİTE GERÇEK TOPLAM SAYI ÇARPIM DİZİLERİ ARİTMETİK SEMBOLÜ DİZİ Böüm Dizier GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ GEOMETRİK DİZİ SERİLER DİZİLER..................................................................

Detaylı

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın

Detaylı

Bayesci Yapısal Eşitlik Modellerinde Parametre Tahminlemesi. Parameter estimation in Bayesian Structural Equation Modeling

Bayesci Yapısal Eşitlik Modellerinde Parametre Tahminlemesi. Parameter estimation in Bayesian Structural Equation Modeling üzüü ı Üverstes Fe Bmer Esttüsü Dergs/ Jour of he Isttute of Ntur & Aed Sees 8 -:33-38 3 Arştırm es/reserh Arte Bes ıs Eşt odeerde Prmetre hmemes Sem Şehroğu rett Out üzüü ı Üverstes İsttst Böümü üzüü

Detaylı

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required

Detaylı

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL BÖLÜM SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL. Blgsyrl türe.. Bölümüş rk tblolrıyl türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç er oktlrıd türe.. Yüksek mertebede türeler. Syısl tegrl.. Trpez krlı.. Romberg

Detaylı

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ Geel olrk 4 tp yötem kullılır.. Düz çzg yötem: Mlı değer zml doğrusl olrk zldığı vrsyılır. Mlı hzmet ömrü boyuc her yıl ç yı mktr mortsm olrk yrılır. V V d = S d:

Detaylı

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e Eski Büyükdere Asfaltı No: 17/A Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e Eski Büyükdere Asfaltı No: 17/A Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE T ULULRR DENETİ K Th: 17.05.2012 y: 2012/57 Ku: İ R K Ü L E R R O R 117 Nu Kv Tvk Ouş Tvk O, Tvk T İş v Tvk pck O Kuu v Kuuuş L Ö: Dh öc 46 Nu kü yyğ 117 Nu Kv Tvk vk v vk uuck ş y g ğşkk y ğ Kv Tvk u

Detaylı

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ

Detaylı

HARİTA MÜHENDİSLERİ için SAYISAL ÇÖZÜMLEME

HARİTA MÜHENDİSLERİ için SAYISAL ÇÖZÜMLEME HRİ MÜHENDİSLERİ ç SYISL ÇÖZÜMLEME Doç Dr emel BYRK GÜMÜŞHNE HRİ MÜHENDİSLERİ İÇİN SYISL ÇÖZÜMLEME Bu ktı er kkı sklıdır Yrı ılı olmksıı ktı tmmı ve erg r ölümü çr şeklde çoğltılıp ılm Yr dres: Doç Dr

Detaylı

IDDM YARDIMIYLA TERS MATRİS HESAPLAMA. Kadınhanı, KONYA, e-posta: aocdiken@selcuk.edu.tr

IDDM YARDIMIYLA TERS MATRİS HESAPLAMA. Kadınhanı, KONYA, e-posta: aocdiken@selcuk.edu.tr SDÜ FEN EDEBİT FKÜLTESİ FEN DERGİSİ E-DERGİ. 8,, 98- DDM RDML TERS MTRİS HESPLM O ÇBKDİKEN *, Ke DN ** * Seçu Üverte, Kdıhı MO, Bgyr Teooer ve Prog, Kdıhı, KON, e-pot: ocde@ecu.edu.tr ** Seçu Üverte, dd

Detaylı

S C. I n t e r n a t i. n a l. d d e. 19 Mayıs Mah.19 Mayıs Cad. Nova Baran Plaza No.4 Kat.21 Şişli-İstanbul / TÜRKİYE

S C. I n t e r n a t i. n a l. d d e. 19 Mayıs Mah.19 Mayıs Cad. Nova Baran Plaza No.4 Kat.21 Şişli-İstanbul / TÜRKİYE T ULULRR DENETİ VE....Ş. K Th: 02.01.2013 y: 2013/03 Ku: İ R K Ü L E R R O R u Tş Vg T İşk G Tğ R G y. Ö: 31.12.2012 h v 28514 (4. ük) y R G yy 42 N.u u Tş Vg G Tğ; 1.1.2013 h, u ş vg şk, u Tş Vg Kuuu

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e Eski Büyükdere Asfaltı No: 17/A Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e Eski Büyükdere Asfaltı No: 17/A Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE T ULULRR DENETİM Mb f K Th: 25.11.2011 y: 2011/51 Ku: İ R K Ü L E R M b R O R Dv Muhb 22 (DM 22) G ö İşk M Bg çk R G y Ö: Dv Muhb 22 (DM 22) G ö İşk M Bg çk 2011/51 u kü y vş. İg kü şğ y vş. f Ek Büyük

Detaylı

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris

DERS 3. Matrislerde İşlemler, Ters Matris DES Mrislerde İşleler, Ters Mris Mrisler Mrislerle ilgili eel ılrııı ıslı e sır ve e süu oluşurk içide diiliş e sıı oluşurduğu lo ir ris deir ir ris geellikle şğıdki gii göserilir ve [ ij ], i ; j risii

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek Fasal Yöetm Örek lar Güz 2015 Güz 2015 Fasal Yöetm Örek lar 2 Örek FİNNSL YÖNETİM ÖRNEKLER 1000 TL %10 fazde kaç yıl süreyle yatırıldığıda 1600 TL olur? =1000 TL, FV=1600 TL, =0.1 FV (1 ) FV 1600 (1 )

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

BÖLÜM 2 EĞRİ UYDURMA VE İNTERPOLASYON

BÖLÜM 2 EĞRİ UYDURMA VE İNTERPOLASYON BÖÜ EĞRİ UYDURA VE İTERPOASYO - Grş İterpolo polomlrı Bölümüş rlr 4 Eşt rlılı ot dğılımlrı ç bt rlr 5 Küb ple eğrler Kım üb ple eğrler 7 Br üze üzerde terpolo 8 E-üçü reler lşımı Bölüm - Eğr udurm ve terpolo

Detaylı

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ AKM 5-BÖÜM -UYGUAMA SORU VE ÇÖZÜMERİ 1. Aşğıd erilen dimi, iki otl ız lnını dikkte lınız: V (, ) (.66.1) i (.7.1) j B kış lnınd ir drm noktsı r mıdır? Vrs nerededir? Kller: 1. Akış dimidir.. Akış -otldr.

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1 IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

CEV1132 / MTM2112 SAYISAL ANALİZ 2013-2014 BAHAR YARIYILI DERS PLANI

CEV1132 / MTM2112 SAYISAL ANALİZ 2013-2014 BAHAR YARIYILI DERS PLANI KOORDİNATÖR : Doç. Dr. Gürdal KANAT DERSİN YERİ VE ZAMANI : CEV1132 GR.1 Çarşamba FZ-082 11:00 12:50 CEV1132 GR.2 Çarşamba FZ-083 11:00 12:50 CEV1132 GR.3 Çarşamba FZ-082 15:00 16:50 CEV1132 GR.4 Çarşamba

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I.

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I. TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 3 Kontrol Sistemleri I Ara Sınav 8 Haziran 4 Adı ve Soyadı: Bölüm: No: Sınav süresi dakikadır.

Detaylı

HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI

HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI ZORUNLU DERSLER Matematiğin Temelleri (3-0) 3: Sembolik Mantık; Kümeler Kuramı; Kartezyen Çarpım; Bağıntılar; Fonksiyonlar; Birebir ve Örten Fonksiyonlar;

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İÇ-İÇE TASARIMLARDA DAYANIKLI ANALİZ VE UYGULAMALARI. İklim GEDİK

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İÇ-İÇE TASARIMLARDA DAYANIKLI ANALİZ VE UYGULAMALARI. İklim GEDİK NKR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSNS TEZİ İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ VE UYGULMLRI İklm GEDİK İSTTİSTİK NBİLİM DLI NKR 00 er hkkı sklıdır ÖZET Yüksek Lss Tez İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ

Detaylı

Türkiye Geneli Deneme Sınavı

Türkiye Geneli Deneme Sınavı r KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI EĞİTİM BİLİMLERİ TESTİ Türe Gee Deee Sv Çöü Kçğ 1 Bu eser her h sdr Hg ç ours osu, eser ve r s Y od o edes, fooğrf çees, herhg r o çoğs, s d us sr Bu sğ ur gere e soruuuğu

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Compatible stem taper and volume equations for Brutian pine stands in Burdur Region

Compatible stem taper and volume equations for Brutian pine stands in Burdur Region SDÜ Orm Fkütes Dergs SDU Fcty of Forestry Jor, : 85-9 Arştırm mkes/reserc rtce Brdr öres kııçm meşcereer ç ym gövde çpı ve gövde cm dekemer geştrmes Rm Öçek,*, kkı v, s Krtepe, Nevt Gürevk, Rüstem Kırış

Detaylı

e i n b u l b u b u b u b u

e i n b u l b u b u b u b u ŞEHRİN KODU YENİDEN TANIMLANIYOR 4 5 YEŞİLİN YENİ KODU 7 %80 YEŞİL ALAN 36 MUTLU GELECEĞİN YENİ KODU 8 9 310 11 SPORTMEN YAŞAMIN YENİ KODU 2 Bk 90 Lük Dr Rpy Hzmr 7/24 Güvk (Kpı Dvr Kmr Sm) 210 Arçık Oprk

Detaylı

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Lineer Cebir ve Vektörler EEE118 2 3+0 3 4

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Lineer Cebir ve Vektörler EEE118 2 3+0 3 4 DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Lineer Cebir ve Vektörler EEE118 2 3+0 3 4 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü İngilizce Lisans Zorunlu / Yüz Yüze

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

Gelir Vergisi Oranları 2014 Yılına Ait Gelir Vergisi Tarifesi

Gelir Vergisi Oranları 2014 Yılına Ait Gelir Vergisi Tarifesi T ULULRR DENETİ VE....Ş. K Üc G D 19 y h. 19 y. Nv B N:4 K:21 Şş-İu / TÜRKİE E T : +90 212 286 47 27 x : +90 212 286 10 51 www..c Vg O 11.000 TL y k 15% 27.000 TL 11.000 TL ç 1.650 TL, 20% 97.000 TL'.27.000

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

S. NO ÜRÜN KODU ÜRÜN CİNSİ BİRİM FİYAT PLASTİK KALEMLER 2 PLS-100 PLASTİK KALEM 0,670 2 PLS-110 PLASTİK KALEM 0,670 2 PLS-120 PLASTİK KALEM 0,630 3

S. NO ÜRÜN KODU ÜRÜN CİNSİ BİRİM FİYAT PLASTİK KALEMLER 2 PLS-100 PLASTİK KALEM 0,670 2 PLS-110 PLASTİK KALEM 0,670 2 PLS-120 PLASTİK KALEM 0,630 3 S. NO ÜRÜN KODU ÜRÜN CİNSİ BİRİM FİYAT PLASTİK KALEMLER 2 PLS-100 PLASTİK KALEM 0,670 2 PLS-110 PLASTİK KALEM 0,670 2 PLS-120 PLASTİK KALEM 0,630 3 PLS-130 PLASTİK KALEM 0,400 3 PLS-140 PLASTİK KALEM 0,640

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROA ÜNİERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Eg ARICAN NİTEL YANIT DEĞİŞKENE SAHİP REGRESYON MODELLERİNDE TAHMİN YÖNTEMLERİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, ÇUKUROA ÜNİERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı Trce ve Kellogg Yöemleri Kullılrk İegrl Operörlerii Özdeğerlerii Nümerik Hesı Erk Tşdemir () ; Yüksel Soyk () ; Melih Göce (3) (¹)Kırklreli Üiversiesi, Kırklreli, Türkiye, erksdemir@homil.com (²)Büle Ecevi

Detaylı

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü Fırt Üiversitesi Mühedislik Fkültesi Elektrik - Elektroik Mühedisliği Bölümü ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Hzırly: Arş. Gör. Göky BAYRAK ELAZIĞ-008 İletim Htlrıı Elektriksel Ypısı ) Sürekli Durum:Nomil

Detaylı

DUYURU. o f. I n t. r n. o n. ı z. P o. 19 Mayıs Mah. 19 Mayıs Cd. Nova Baran Plaza No:4 Kat:21 Şişli-İstanbul / TÜRKİYE

DUYURU. o f. I n t. r n. o n. ı z. P o. 19 Mayıs Mah. 19 Mayıs Cd. Nova Baran Plaza No:4 Kat:21 Şişli-İstanbul / TÜRKİYE T ULULRR DENETİ VE....Ş. K Th: 12.12.2014 y: 2014/20 Ku: DUURU 19 y h. 19 y. Nv B N:4 K:21 Şş-İu / TÜRKİE Kv İ L Çk / İp E Tp Dkç İ O V İşk Duyuu Ö: KDV İ K Rp uş h g cy (KDV gş kyk) ük İ Vg D gök y p

Detaylı

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise; 4- SAYISAL İNTEGRAL c ϵ R olmk üzere F() onksiyonunun türevi () ise ( F () = () ); Z ` A d F ` c eşitliğindeki F()+c idesine, () onksiyonunun elirsiz integrli denir. () onksiyonu [,] R için sürekli ise;

Detaylı

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere

Detaylı

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON)

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON) BÖÜM 4 KASİK OPTİMİZASYON TEKNİKERİ KISITI OPTİMİZASYON 4. GİRİŞ Öcek bölülerde de belrtldğ b optzaso probleler çoğuluğu kısıtlaıcı oksolar çerektedr. Kısıtlaasız optzaso problelerde optu değer ede oksou

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Dr. Mehmet AKSARAYLI MERKEZİ EĞİLİM ve DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜLERİ Ders / Tanımayıcı İstatstker Yer Öçüer (Merkez Eğm Öçüer) Duyarı Ortaamaar Artmetk ort. Tartıı Artmetk Geometrk ort. Kare ort. Harmonk ort. Duyarı

Detaylı

S. NO ÜRÜN KODU ÜRÜN CİNSİ BİRİM FİYAT PLASTİK KALEMLER

S. NO ÜRÜN KODU ÜRÜN CİNSİ BİRİM FİYAT PLASTİK KALEMLER S. NO ÜRÜN KODU ÜRÜN CİNSİ BİRİM FİYAT PLASTİK KALEMLER 2 PLS-100 PLASTİK KALEM 0,67 2 PLS-110 PLASTİK KALEM 0,67 2 PLS-120 PLASTİK KALEM 0,63 3 PLS-130 PLASTİK KALEM 0,40 3 PLS-140 PLASTİK KALEM 0,64

Detaylı

MEKANİK TİTREŞİMLER. n serbestlik dereceli bir sistem için doğal frekans ifadesi esneklik matrisi kullanılarak şu şekilde verilmiş idi, L (1)

MEKANİK TİTREŞİMLER. n serbestlik dereceli bir sistem için doğal frekans ifadesi esneklik matrisi kullanılarak şu şekilde verilmiş idi, L (1) MEKANİK TİTREŞİMER DUNKEREY METODU Ço serbestl derecel ssteler. doğl fresı, sste oluştur her br serbestl derecese t doğl freslr csde ylşı olr fde edlebletedr. Duerley trfıd verle bu forülsyo l doğl fres

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

o f S C I n t r n o n ı z P o 19 Mayıs Mah. 19 Mayıs Cd. Nova Baran Plaza No:4 Kat:21 Şişli-İstanbul / TÜRKİYE

o f S C I n t r n o n ı z P o 19 Mayıs Mah. 19 Mayıs Cd. Nova Baran Plaza No:4 Kat:21 Şişli-İstanbul / TÜRKİYE T ULULRR DENETİ VE....Ş. F K Th: 02.10.2014 y: 2014/41 Ku: İ R K Ü L E R F R O R Dh İş Rj Tğ (İhc:2006/12) Dğşkk p D Tğ (İhc:2006/12) R G y. Ö: "1 K 2014 h gç k ü hcç hc hhüüü kp şk ş güük y y kk y g k

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri)

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) Bölümü Dersin Kodu ve Adı K MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1- Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2- Fonksiyonlar,

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

DUYURU. I n t. r n. ı z. 19 Mayıs Mah. 19 Mayıs Cd. Nova Baran Plaza No:4 Kat:21 Şişli-İstanbul / TÜRKİYE

DUYURU. I n t. r n. ı z. 19 Mayıs Mah. 19 Mayıs Cd. Nova Baran Plaza No:4 Kat:21 Şişli-İstanbul / TÜRKİYE T ULULRR DENETİ VE....Ş. K Th: 03.06.2014 y: 2014/09 Ku: DUURU KDV G Uygu Tğ Hkk Ö: : KDV G Uygu Tğ hkk uygu yş u, u v çk kuu h çş k. Bu k, öck uu kykğ öü şk Tğ hükü y vk, yş u k uy, u uu h y ş h g çşş.

Detaylı

Sipariş No. Ürün Adı ve Özellikleri Boyut Birim Fiyatı

Sipariş No. Ürün Adı ve Özellikleri Boyut Birim Fiyatı Sipriş N Ürü Adı ve Özeikeri Byu Biri Fiyı A LT1001100 B Jje / A Kie /Şiifi Psik Kpkı/Br 33 25 2,54 USD A LT1001110 B Jje / A Kie /Şiifi Psik Kpkı/Br 33 50 2,78 USD A LT1001120 B Jje / A Kie /Şiifi Psik

Detaylı

TEST SORULARI Öğlen STATİK-MUKAVEMET 1. YIL İÇİ SINAVI. Adı /Soyadı : No : İmza: Örnek Öğrenci No xaxxxxbcd

TEST SORULARI Öğlen STATİK-MUKAVEMET 1. YIL İÇİ SINAVI. Adı /Soyadı : No : İmza: Örnek Öğrenci No xaxxxxbcd STTİK-MUKVEMET 1. YI İÇİ SINVI dı /Soadı : No : İmza: 06-11-2013-Öğlen Örnek Öğrenci No 010030403 abcd Şekildeki kabloda minimum ve maksimum kablo kuvvetleri ile 1 ve 2 uzunluklarını bulunuz Kablo denklem

Detaylı

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR. UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ

Detaylı

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e Eski Büyükdere Asfaltı No: 13 Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e Eski Büyükdere Asfaltı No: 13 Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE T ULULRR DENETĠ VE....ġ. K Th: 08.05.2012 y: 2012/54 Ku: İ R K Ü L E R Kuu Vg G Tğ y R O R Ö: 13/6/2006 h v 5520 y Kuu Vg Kuuu uygu şk çk y vş up 1.u Kuu Vg G Tğ g öü y yp ğşkk y ğ 6 N u Kuu Vg G Tğ 2012/54

Detaylı

En iyi donanımlı yatlarla en iyi hizmet

En iyi donanımlı yatlarla en iyi hizmet Bi Cruisr 00 + TH Dufour r'lg 0 Kopri + TH KP Fi Döri 0 Oc is is M M Hz Hz ADB 0-0 Tm p B Pr Pr Y A Ti Y A Y / Hf Kim / Ism 0 Kirm Fi Lis 0 Ks Ar Ei 0 Ks E Ei Br 0 -.0.0.0.0.0 MI.0.0.0.0.0 Oc Smos 0 0

Detaylı

basit cebirsel denkleminin geçerli olduğunu varsayalım. denklemine ait İAD. çıkış düğümüne olan ve kazancı a

basit cebirsel denkleminin geçerli olduğunu varsayalım. denklemine ait İAD. çıkış düğümüne olan ve kazancı a İşret Aış Drmlrı: İşret Aış Drmlrı (İAD), blo drmlrın bstleştrlmş hl olr örüleblr. Ft, İAD fzsel örünüş ve mtemtsel urllr bğlılı ısındn zım urllrı dh serbest oln blo drmlrındn frlıdır. Blo drmlrı, rmşı

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

29.000 TL'nin 12.000 TL'si için 1.800 TL, fazlası. 106.000 TL'nin 29.000 TL'si için 5.200 TL, fazlası 27%

29.000 TL'nin 12.000 TL'si için 1.800 TL, fazlası. 106.000 TL'nin 29.000 TL'si için 5.200 TL, fazlası 27% T ULULRR DENETİ VE....Ş. F K G Vg O G Vg T Üc G D Vg O 12.000 TL y k 15% 29.000 TL' 12.000 TL' ç 1.800 TL, F 20% 106.000 TL' 29.000 TL' ç 5.200 TL, 27% 106.000 TL' 106.000 TL' ç 25.990 TL, 35% Üc Dşk G

Detaylı

Özet: Yeni Teşvik Mevzuatına ilişkin hazırlamış olduğumuz çalışmamız 2012/74 nolu Sirkülerimizde yer almaktadır.

Özet: Yeni Teşvik Mevzuatına ilişkin hazırlamış olduğumuz çalışmamız 2012/74 nolu Sirkülerimizde yer almaktadır. T ULULRR DENETİ K Th: 29.06.2012 y: 2012/77 Ku: İ R K Ü L E R Tşvk vu Hkk R O R Ö: Tşvk vu şk hş uğuu çş 2012/74 u kü y k. yg, Ek Büyük N: 17/ Güy K: 5 k-iu / TÜRKİE E T : +90 212 286 47 27 x : +90 212

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2.

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2. AIŞIRMAAR 8 BÖÜM R ÇÖZÜMER R cos N 4N 0 4sin0 N M 5d d N ve 4N luk kuv vet lein çu bu ğa dik bi le şen le i şekil de ki gi bi olu nok ta sı na gö e top lam tok; τ = 6 4sin0 + cos4 = 4 + 4 = Nm Çubuk yönde

Detaylı

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma Kocael Üerstes Sosyal Blmler Esttüsü Dergs (4) 27 / 2 : 5-77 Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma Şeket Alper Koç Özet: Bu çalışmada haleler üzere teork r araştırma yapılacaktır. Belrl arsayımlar altıda

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei

Detaylı

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi 6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

Ç NDEK LER I. C LT KONULAR Sayfa 1. Lineer Cebire Giri... 2. Lineer Denklem Sistemlerinin Elemanter lemlerle Çözümü

Ç NDEK LER I. C LT KONULAR Sayfa 1. Lineer Cebire Giri... 2. Lineer Denklem Sistemlerinin Elemanter lemlerle Çözümü ÇNDEKLER I. CLT KONULAR 1. Lineer Cebire Giri... 1 Lineer Modeller... 3 Lineer Olmayan Modeller... 3 Dorunun Analitik Analizi.. 5 Uzayda Geometrik Büyüklükler. 7 Lineer Cebir ve Lineerite 10 Lineer Denklem

Detaylı

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için, Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI KARŞI AKIŞI SU SOĞUTMA KUESİ BOYUTANIDIRIMASI Yrd. Doç. Dr. M. Turh Çob Ege Üiversitesi, Mühedislik Fkultesi Mkie Mühedisliği Bölümü turh.cob@ege.edu.tr Özet Bu yzımızd ters kışlı soğutm kulelerii boyut

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

414 Sıra No'lu Vergi Usul Kanunu Genel Tebliği Resmi Gazete'de Yayınlandı.

414 Sıra No'lu Vergi Usul Kanunu Genel Tebliği Resmi Gazete'de Yayınlandı. T ULULRR DENETİ VE....Ş. K Th: 20.02.2012 y: 2012/23 Ku: İ R K Ü L E R Ek Büyük N: 17/ Güy K: 5 k-iu / TÜRKİE E T : +90 212 286 47 27 x : +90 212 286 10 51 www..c R O R 414 N'u Vg Uu Kuu G Tğ R G' y. Ö:

Detaylı

Sistem-atik Membran Kapak Sipariş Takip ve Üretim Takip Sistemi;

Sistem-atik Membran Kapak Sipariş Takip ve Üretim Takip Sistemi; S i s t e m - a t i k M e m b r a n K a p a k S i p a r i T a k i p v e Ü r e t i m T a k i p S i s t e m i ; T ü r k i y e l d e b i r i l k o l a r a k, t a m a m e n m e m b r a n k a p a k ü r e t

Detaylı

İçindekiler 1 GENEL KAVRAM ve TANIMLAR 2 TEMEL YASALAR ve KORUNUM DENKLEMLERİ vii

İçindekiler 1 GENEL KAVRAM ve TANIMLAR 2 TEMEL YASALAR ve KORUNUM DENKLEMLERİ vii 1 GENEL KAVRAM ve TANIMLAR 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sürekli Ortam Yaklaşımı..... 2 1.2.1 Bir Maddenin Moleküler ve Atomik Seviyeleri... 3 1.2.2 Sürekli Ortam İçin Sınırlamalar... 4 1.3 Laminar ve Türbülanslı

Detaylı

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e Eski Büyükdere Asfaltı No: 13 Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e Eski Büyükdere Asfaltı No: 13 Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE T ULULRR DENETĠ VE....ġ. K Th: 02.03.2012 y: 2012/25 Ku: İ R K Ü L E R R O R İhc Zuu v K K Rk E p cy D Dş Tc y Tğ (Tğ N: 2011/18) Dğşkk p D Tğ y Ö: İhc Zuu v K K Rk E p cy D Dş Tc y Tğ (Tğ N: 2011/18)

Detaylı

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Kompleks Matematik EEE203 3 3+0 3 4

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Kompleks Matematik EEE203 3 3+0 3 4 DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Kompleks Matematik EEE203 3 3+0 3 4 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü İngilizce Lisans Zorunlu / Yüz Yüze Dersin

Detaylı

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2014-2015 ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI BÜTÜNLEME PROGRAMI

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2014-2015 ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI BÜTÜNLEME PROGRAMI II. YARIYIL Soyut Matematik II Mat. 1. Grup Prof.Dr.A.FIRAT 22.06.2015 15:00-16:30 C 012, C 013 Mathematics II Mat. 1. Grup Prof.Dr.İ.ÇANAK 23.06.2015 15:00-16:30 C 012, C 013 Bilgisayar (A Grubu) Mat.

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz; Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9

Detaylı

Fizik 101: Ders 16. Konu: Katı cismin dönmesi

Fizik 101: Ders 16. Konu: Katı cismin dönmesi Fizik 0: Ders 6 Konu: Katı cisin dönesi Döne kineatiği Bir boyutlu kineatik ile benzeşi Dönen sistein kinetik enerjisi Eylesizlik oenti Ayrık parçacıklar Sürekli katı cisiler Paralel eksen teorei Rotasyon

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

I n t. r n. ı z. Eski Büyükdere Asfaltı No: 17/A Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE. E Tel : +90 212 286 47 27 Fax : m+90 212 286 10 51 e l

I n t. r n. ı z. Eski Büyükdere Asfaltı No: 17/A Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE. E Tel : +90 212 286 47 27 Fax : m+90 212 286 10 51 e l T ULULRR DENETĠ VE....ġ. K Th: 26.06.2012 y: 2012/71 Ku: İ R K Ü L E R Ek Büyük N: 17/ Güy K: 5 k-iu / TÜRKİE E T : +90 212 286 47 27 x : +90 212 286 10 51 www..c R O R ş v Gş Dk g j Dk İşk Tğ y Ö:. G,

Detaylı

BİRİNCİ YIL 1. YARIYIL KODU DERSİN ADI T U K AKTS. TAR - 153 Ata Meken Tarihi I 2 0 0 1 İNG-101/ RUS-101. İngilizce I/ Rusça I 2 4 4 6

BİRİNCİ YIL 1. YARIYIL KODU DERSİN ADI T U K AKTS. TAR - 153 Ata Meken Tarihi I 2 0 0 1 İNG-101/ RUS-101. İngilizce I/ Rusça I 2 4 4 6 KIRGIZİSTAN TÜRKİYE MANAS ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ UYGULAMALI MATEMATİK VE ENFORMATİK LİSANS PROGRAMI DERSLERİN YARIYILLARA GÖRE DAĞILIMI BİRİNCİ YIL 1. YARIYIL TAR - 153 Ata Meken Tarihi

Detaylı

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre Devre Analz Teknkler DEE AAĐZ TEKĐKEĐ Bu zamana kadar kullandığımız Krchoffun kanunları ve Ohm kanunu devre problemlern çözmek çn gerekl ve yeterl olan eştlkler sağladılar. Fakat bu kanunları kullanarak

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e 19 Mayıs Caddesi No:4 Nova Baran Plaza Kat: 21 Şişli-İstanbul / TÜRKİYE

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e 19 Mayıs Caddesi No:4 Nova Baran Plaza Kat: 21 Şişli-İstanbul / TÜRKİYE T ULULRR DENETİ VE....Ş. K Th: 06.12.2012 y: 2012/126 Ku: İ R K Ü L E R D Tk İş Hkk Duyuu R O R Ö: 01.07.2012 h yüüüğ g 6102 y Tük Tc Kuu u gş uğu yk c kuu g hükü. 2013 y ç c hg, v şk k cğ v kucğ şk ü,

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

Okaliptüs Ağaçlandırmaları İçin Uyumlu Gövde Çapı ve Gövde Hacim Modellerinin Geliştirilmesi

Okaliptüs Ağaçlandırmaları İçin Uyumlu Gövde Çapı ve Gövde Hacim Modellerinin Geliştirilmesi I. Us Akdez Orm ve Çevre Sempozym 6-8 Ekm 0, Khrmmrş Okptüs Ağçdırmrı İç Uym Gövde Çpı ve Gövde cm Modeer Geştrmes Rmz ÖÇELĠK s ALKAN SDÜ Orm Fkütes, Orm Mühedsğ Böümü, Isprt rmzozcek@sd.ed.tr, hsk@sd.ed.tr

Detaylı

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e Eski Büyükdere Asfaltı No: 13 Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE

o f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e Eski Büyükdere Asfaltı No: 13 Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE T ULULRR DENETİ VE....Ş. K Th: 13.04.2012 y: 2012/45 Ku: İ R K Ü L E R Tşvk k çk R O R Ö: 5 N 2012 güü Bşk Rcp Tyyp Eğ y şvk pk çkş. Bu çk v k gü Ek Bkğ yp çk kk k y şvk g h 2012/45 u kü y k. İg çk şğ

Detaylı