SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI

Transkript

1 SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Yrd Doç Dr Hüse Bıroğu İSTANBUL 6

2 İÇİNDEKİLER SAYFA -GİRİŞ SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ HATA TANIMI SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI 5 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI 7 GRAFİK METODU 7 ORTA NOKTA METODU 7 HATALI KONUM METODU (Leer terposo ötem 9 BASİT TEK NOKTALI ARDIŞIK METOD 5 NEWTON-RAPHSON METODU 5 Newto-Rphso ötemde ht z 5 Newto-Rphso ötem k bme eer om dekem sstem çözümüe ugumsı 6 SEKANT METODU 5 7 KATLI KÖKLER 6 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ 9 GRAFİK METODU DETERMİNANTLAR VE CRAMER KURALI BİLİNMİYENLERİN ELİMİNASYONU ( ok edmes YÖNTEMİ GAUSS ELİMİNASYONU METODU 5 GAUSS-JOURDAN METODU 7 6 TERS MATRİS METODU 9 6 Guss-Jord ötem mtrser ters buumsı uguışı 9 7 ALT ÜST ÜÇGEN MATRİSLERE AYIRMA METODU 5 7 Guss emso ötem e t üst üçge mtrsere ırm şem 5 7 Crout Beşeere ırm ötem (Crout decomposto 8 8 KAREKÖK METODU (Choesk ötem 9 İTERASYON YÖNTEMİ (Guss-Sede ötem 6 5 EĞRİYE UYDURMA 7 5 YAKLAŞTIRMA (Regressso METODU 7 5 Doğru kştırm metodu 7 5 Poom kştırm metodu 5 5 İk değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek 5 5 Çok değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek 5

3 5 İNTERPOLASYON 55 5 Leer terposo (r değer bum 55 5 Kudrtk terposo 56 5 Newto terposo poomuu gee ormu: 57 5 İterposo poomrıı ktsırıı bumk ç dğer br ötem Lgrge terposo poomu 59 6 SAYISAL İNTEGRAL 6 6 NEWTON-KOT İNTEGRAL FORMÜL 6 6 Trpez (muk kurı 6 6 İtegr böges eşt prç böerek muk kurıı uguışı 6 6 Smpso u / kurı 6 6 IMPROPER İNTEGRAL (sıırrı sosuz o tegr 68 7 SAYISAL TÜREV 69 7 İLERİ DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER 7 7 GERİYE DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER 7 7 MERKEZİ FARKLAR METODU İLE TÜREVLER 7 8 ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER 7 8 EULER METODU 7 8 İeştrmş Euer metodu 7 8 HEUN METODU 75 8 RUNGE-KUTTA METODU 76 8 İKİNCİ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU 76 8 ÜÇÜNCÜ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU 76 8 DÖRDÜNCÜ DERECEDEN RUNGE-KUTTA METODU 76 8 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ YÖNTEMİ SINIR DEĞER PROBLEMLERİ 8 85 ATIŞ YÖNTEMİ 8 85 SONLU FARKLAR YÖNTEMİ 8 9 KIMİ TÜREVLİ DENKLEMLER85 9 SONLU FARKLAR YÖNTEMİ86 9 LAPLACE DENKLEMİ86 9 ÇÖZÜM TEKNİĞİ87 EK A Tor Sers 9 EK B Dh öcek seeere t sıv sorurı ve çözümer 9

4 -GİRİŞ Mühedskte doğdk orı ve ouşumrı bmse ötemere şı şeş kurrı çok öemdr Bu kurr sığı kuımı suuck et, chz, mke, pı ve sstemer ouşturumsıd, şetmesde ve geştrmesde kuımktdır Doğdk or ve ouşumr bmse ötemere ceerke değer değştkçe orı ser ve ouşumrı soucuu etkee büükükere değşkeer der İceeme soucud değşkeer rsıdk şkerde tbo değerer çeşt grker ve cebrse, derse ve tegr dekemer ve sstemer ede edr İkc derecede cebrse dekemer sısı z om cebrse dekem sstemer eer derse dekemer ve sstemer, düzgü geometre shp kısm türev eer derse dekemer ve sstemer tk ötemere çözüme gdmese krşıık dğer durumrd pek ko ommktdır Htt çoğu kere bu mksızdır Bud doı büük dekem sstemer, eer omm durumu ve krmşık geometr durumrıd sıs ötemer ve deese ötemer ugumktdır So ırd bgsr tekoosdek geşmeer sıs ötemer oğuuğuu ve etkğ rtırmıştır SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ Sıs ötemerde ouşbecek htrı kesme, uvrtm htsı ve seçe mtemtk modede kk htr ork sbrz Kesme htsı, üksek mtemtk oksorı hespırke kuı sererde ı term sısı bğıdır Yuvrtm htsı, pı şemerde ger çe sırd vrgüde sor ı rkm sısı bğıdı Mtemtk modede kk ht Gerçek durum e mtemtk mode rsıdk rk bğıdır HATA TANIMI Doğru değer kşık değer Ht Ht Doğru değer - kşık değer E t Doğru değer - kşık değer Bğı ht ht / doğru değer Bğı gerçek üzde ht ε t (gerçek ht / doğru değer % Bğı kşık üzde ht ε ( kşık ht / kşık değer % Ardışık metotrd uguışı ε (( şmdk kşık değer br öcek kşık değer/ (şmdk kşık değer %

5 SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRIMASI Dekemer köker ( dekem sğ değerer ( hesbı Leer dekem sstemer çözümü kök A A C A A C çözüm Eğr udurumsı ( ( Nümerk tegr Regreso Iterposo (kştırm (r değer bum ( b I d I eğr tıdk ( 5

6 5 Nümerk türev Türev: ( sıs türev (Δ ( LmΔ d Δ d ( türev Nümerk türev : d ( Δ (Δ ( d Δ Δ 6 Ad derse dekemer d dt Δ (t, Δt t e bğı çözümü: θ tg θ (t, (t, Δt t t t t 7 Kısm türev derse dekemer u u (, ve e bğı ork u hespır 6

7 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI ( dekem sğ değerere bu dekem köker der Örek ork derecede ( b c dekem köker b ± b c eştğ e koık buuur Herhg br ( dekem köker her zm bu kdr ko hespmz Buu ç sıs ötemer geştrmştr GRAFİK METODU Bu ötemde ( dekem öçek br Şekde çzr Eğr ekse kestğ ( c oktr okum çışıır 5 Örek ork prşütü ş krkterze ede dekem ee ım gm v c mt [ e ] (c / Burd v hızı, g erçekm vmes, m Küte ve c de hvı drec gösteror c Vere v m/s, m68, kg, g98 m/s, t s değerer e c hv drec hespmk ç g m mt (c [ e ] (c / v şekde ukrıdk dekem düzeep buu sıır p c c değer ukrıdk grkte c,7 değer okubrz ORTA NOKTA METODU ( r ( u / ( ( * ( u < se ( dekem (, u rığıd e z br kökü vrdır r ( u / ( r u ( * ( r < se u r ( * ( r > se r ( * ( r se r köktür 7

8 Örek ( - - çözüm - ( u 5 ( - (5 ( * (5-6 < r (5/ r,5 (,5,5 (* (,5 < u,5 ( u,5 r (,5/ r,75 (,75-9 ( * (,75 >,75 (,75, u,5 r,5 (,5 56 (,75 * (,5 < u,5 ε (,5-,75/,5 % ε % (,75, u,5 r,9 (,9 -, (,75 * (,9 >,9 ε 6, % (,9, u,5 r, ( r ( ( r < u, ε,97 % (,9, u, r,985 ( r -6 ( ( r >,985 ε,5 % (,985, u, r,75 ( r - ( ( r < u,75 ε,75 % (,985, u,75 r,99 ( r -99 ( ( r >,99 ε,59 % (,99, u,75 r,999 ε, % 8

9 HATALI KONUM METODU ( Leer terposo ötem ( ( u ( r u r ( r u ( r u u ( (u u ( ( u Örek ( - ( çözüm -, u 5 ç ( - ( u (, u rığıd e z br kökü vrdır ( ( u < oduğud ( dekem r 5 ( -5 / (-- r,6 ε (,6 /,6 % %,6 ( -, r 5 (,6-5 / (-,- r,86 ε 9, %,86 ( -,5 r 5 (,86-5 / (-,5- r,95 ε,5 %,95 ( -,975 r 5 (,95-5 / (-,975- r,98 ε, %,98 ( -,68 r 5 (,98-5 / (-,68- r,99 ε,7 %,99 ( -, r 5 (,99-5 / (-,- r,98 ε, % ε (,998,99 /,998 %, % 9

10 BASİT TEK NOKTALI ARDIŞIK METOD Bu ötemde ( oksou ( ( ock şekde k prç rıır Bu ırım g ( şekde obr ( ( g ( ( ε ( / % ε t ( t / t % kök Örek ( e - ( ( e ( e - - kök, ( e - 8 ( 6 kök 6 8

11 Yukrıdk eştkere şğıdk tbo zıbr e -X % % ε t ε, , 7,6789,69 5, 6,9,69,57, 8,,57,66,8 7,,66,5596 6,89,,5596,5796,8 5,9,5796,565,,8,565,57,,9,57,56879,75,,56879,5688,99,6,5688,5665,6,55,5665,567557,8,,567557,5669,7,,5669,5678,,65,5678,56766,,8

12 5 NEWTON RAPHSON METODU ( ( eğm ( kök ( ( ( ( ( Newto- Rphso ötem rıc Tor sersde çıkrbrz ve bu o ht z de pıır Ek dek tek değşke ( oksou oktsıd Tor serse çıımıı göz öüe ım Burdk çıımd ere, ere zrsk şğıdk eştğ ede ederz ( Burd ξ, e rsıd br değerdr ( ( ( (ξ ( mertebede türev çere termerde sorker ımz ve ( ıırs ( ( ( eştğ zıır Burd Newto-Rphso ötemde ede ede şğıdk dekem ede edr ( ( 5 Newto-Rphso ötemde ht z r : kökü gerçek değer Tor sere ereştrp bud kşık dekem çıkrıırs ( ( ( r (ξ (r _ ( ( ( ( (r (ξ (r E t, r (öcek gerçek ht E t, r ( gerçek ht eştker ukrıdk dekeme ereştrrsek ( Et, (ξ Et, eştğ ede ederz Çözümü kısdığı düşüüürse ve ξ, r kısr ve böece gerçek kök değere

13 E t, ( r E ( r t, dekemde htı kbc öcek htı krese ortıı oduğu görüür ( Kudrtk kıskık Örek 5 ( ( Gerçek çözüm -, ( ( ε ( / % ( ε, % -,5 -,5 -,5 -,5 -,69756,9 -, ,9,6 -,9 -,9 5 Newto Rphso ötem k bme eer om dekem sstem çözümüe ugumsı Ek dek k değşke oksorı Tor sersde ere, ere, ere, ere ıp brc mertebede türev termerde sork termer mzsk şğıdk dekem ede ederz (, ( (,, ( (, ( İk bme eer dekem sstem u(, v(, şekde gösterrsek ukrıdk Tor sersde ede ede eştğ bu her k dekeme rı rı ugummız gerekr u(, u(, u(, u(, ( ( v(, v(, v(, v(, ( ( Sstem çözümüü rdığımız ç

14 , ( u, ( v omıdır Arıc u, ( u v, ( v ıırs dekem sstem şğıdk gb düzeeebr u u u u u v v v v v Böece ve büüküker bme kbu ede k bme eer dekem sstem ede edr Bu sstem Krmer kurı göre çözüürse şğıdk eştker buuur v u v u u v v u v u v u u v v u Örek 5 u(, - u(, v(, 57 v(, u, u, v, 6 v ( 6 ( ( 57 ( 6 ( (

15 ( ( 57( ( ( 6 (,767588,9767,767588,9767,98,57987,98,57987,99975, ,99975, , ,7, ,7 6 SEKANT METODU Newto-Rphso ötem ç gerek o türev m şem bzı poom ve oksord zordur Bu ötemde türev ere sou rkr türev ormüü kuıır ( ( Newto Rphso Yötem ( burdk ( ere ( ( ( kşık değer ıır Bu dekemde şğıdk şekde ede edr ( ( ( ( k değer ve - bşgıçt vermedr Bu bşgıçt vere k değer kökü rı trrıd omk zorud değdr ( ( ( - kök - 5

16 Örek 6 ( - ( çözüm -, ( (, ε % ( ( İ - ε, % - -,6 - -,6 -, , , ,7 -, , ,999997,75 5 -, , ,6 6 -, ,5 7 KATLI KÖKLER ( - k ktı kök ( (- (- (- ( Burd k ktı köktür - - ( - üç ktı kök ( (- (- (- (- ( 6 Burd ktı köktür ( dört ktı kök ( (- (- ( - (- (- ( Burd ktı köktür - - 6

17 ( u( oksou e ( oksouu köker ıdır ( Bu durumd ( ere u( oksouu köker rştırıır Örek ork Newto- Rphso ötem uguırs şğıdk dekem ede edr u( u ( Bu dekemde u ( ere ( ( ( ( u ( [ (] ( ( [ ( ] ( ( ( u( des e göre türev ııp kours ( ktı köker ç ede düzeemş Newto Rphso ötem kşım dekem ede edr Örek 7 ( (- (- ( - ( k ktı köktür Stdrt Newto-Rphso ötem e çözüm (, ( ( ε %,5,5,75,,75,875,9,875,975 6,67,975,96875,6,96875,9875,587,9875,99875,787,99875,996975,9,996975, ,957, ,9995,978 7

18 Örek 7 ( (- (- (- ( 5 7 Stdrt Newto-Rphso ötem e çözüm ç ( 7, ( 6 eştker [5 ( ]dekemde ere zrsk dekem ede ederz Bu dekem kurk şğıdk tbou düzeeebrz ε, %,85786,85786, ,5, , ,668,88655,9989 8,8,9989, ,, ,977655,7,977655, ,7, ,99675,56,99675, ,8, , ,, ,999998,76 Geştrmş Newto-Rphso ötem ç ede ede ( ( ( ( (6 eştğ kurk şğıdk tbo ouşturuur ε, %,5658,5658,866,868,866,9,8,9,9 8

19 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ Öcek böümde tek br ( dekem sğ değerer buuuşu tıdı Şmd se (,,,, (,,,, şekde det dekem ı d sğ değerer rştırıcktır,,,, Eğer bu (,,,, dekemer şğıdk gb ours bu dekem ssteme eer dekem sstem der, c, c, c, c Burd, c sbterdr Leer dekem sstem mtrs gösterm [ A ] { } { C } şekdedr Burd çözüm mtrs { } [ A ] - {C} şekde zıır Bu mtrser şğıdk gb çık şekde zıbr [ A], [], [ C ] c c c c 9

20 Leer dekem sstem çözümüde şğıdk metodr uguır Grk metodu Determtr ve Crmer kurı Bmeer emsou (ok edmes Guss Emso metodu 5 Ters mtrs metodu (Guss Jord ötem 6 İterso ötem (Guss Sede ötem 7 At üst üçge mtrsere ırm metodu 8 Krekök metodu ( Choesk ötem, smetrk bt mtrser ç GRAFİK METODU Bu ötem kde z bme çere dekem sstemere ugumz Fkt çözümü geometr rdımı e orumu pıbr Örek X X 8 - X X X X X Çözüm X, X -X X X X 5 6 X -(/ X X -(/ X X -(/ X X / -X X X X X -(,/5 X X, -(/ X X X

21 DETERMİNANTLAR VE CRAMER KURALI Bu ötem de z bme dekem sstemer ç kuışı değdr Üç Bme dekem sstem ç bu ötem şğıdk gb uguır c c c D c c c D, c D, D c c c c c Örek,,5,5,9,,,5,,67,,,5,67,9,,5,,,5,78 D,5,9,, 9 D,,,,5,,,,5,,5,67,9,5,67,,,5,69,,,,56 9,5 9, 8 D, D,

22 BİLİNMİYENLERİN ELİMİNASYONU (ok edmes YÖNTEMİ Bu ötem k bme eer dekem sstemer üzerde gösterem ( c ( c ( dekem, ( dekem e çrpııp topırs ok edmş our ( ( ( c ( c ( ( ( c c c c Bu değer ( dekemde ere ereştrrse c Örek 8 (8 ( (8 ( (, ( ( (

23 GAUSS ELİMİNASYONU METODU Bmeer emsou ötem sstemtk he getrmş şekdrbu ötem eer dekem sstemere şğıdk şekde uguır ( c ( c ( c ( c İk öce ( dekem dışıdk bütü dekemerde ok edr Buu ç ( dışıdk bütü dekemere şğıdk şem uguır ( (,,, Bu şem ugudıkt sor dekem sstem şğıdk durum ger ( c ( c ( c ( c Bezer şekde kc dekemde tbre sork dekemerde sır e bmeerde ok edrse şğıdk dekem sstem ede edr,,, ( c ( c ( c ( ( ( ( c Bu sstemde bmede bşrk gere doğru ere kom şem e bütü bmeer şğıdk ormüer e hespır

24 c ( ( ( c ( (,,, Örek (,,, 7, 7,85 ( (,, 9, 7,,, Bu dekem ssteme ( ( ve ( ( şemer pıırs,, 7,85 ( ( -, -, 7,85 (,,,, (, [7 (,] [, (,] 9, (,,,, (, [, (,] [ *(,] 7, 7,85 7,85 (,, ( 7,,9 (,9, 7,85 9,567 7,65 (,9 dekem sstem ede edr Bu sstemde so stır ( ( şem pıırs 7, (,, 7,85 ( 7,,9 9,567 (, 7,8 Bu so ede ede sstemde bmeer so dekemde k dekeme doğru ere kom e ede edr So ( dekemde 7,8 7, buuur Bu değer e (, dekeme gdp ord hespır 7,,9 7, 9, ( 567,5

25 5 Buu bu ve değerer ( dekemde ere ereştrerek bmede çözüür ( ( 85 7, 7,,,5, Örek (, 5,, ( ( ( ( ( ( ,5,5,5,5 8,5,5 5,5,5,5,5,5 5

26 ,5,5,5,5,5,5 5,5 (,5,5 (,5 8,5 (,5,5,5,5,5 (,5 (,5 ( (,5 ( (,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 5,5 (,5,5,5 7,5,5,5 5,5 6,5,5,5 7,5 7,5 7,5 5,5,5,5 7,5 6,5 (,5 ( 6,5 7,5,5,5 7,5,5,5, 5,5 6,5 6,, 6,, 6,,, 6,5,5 7,5,5 6,5,, 5 7,5,5 6,5,5,5,5 5,5,5,, ( 5 5, Ede ede çözüm değerer sğmsı 5 ( ( ( 5 5 ( ( 5 5 ( 5 5 ( 6 ( ( 5 7 6

27 5 GAUSS-JOURDAN METODU Bu ötemde [ A ]{} { c} dekem sstem her k trı [ A] []{} I [ A] {} c Ssteme döüştürüür e sod çrpırk Örek / / / 5 / 5/ 6 7,5,5,75 (,5 (,5,75 (,5 5 (,5 (,75 (,5 (,5 (,75,75,75 6,75 7,75,5,5,5,5,5 5,5,5,75,5,5,5,75,5 8,5,5,5,5,5,5,5,5,5 5,5,5,5 (,5,75,5(,5,75,5 (,5,5,5 (,5,5 (,5 8,5 (,5 (,5,5,5(,5,5,5(,5 7

28 ,5,5 7,5,5,5,5,5,5 6,5,5,5,5,5,5,5,5,5 (,6667,5,5(,86667 (,6667,5,5,6667 (,6667,86667,86667,86667,6665,5,6667,,9,666, ,,6665,665,5,5,6667,667,9,665,666,5,86667,667 5 Bu ede ede rttırımış mtrs şğıdk rttırımış mtrse eşt oduğud 5 böece,, 5, çözüm değerer buumuş our 8

29 9 6 TERS MATRİS METODU Ters mtrs ötemde ı ktsır mtrse shp eer dekem sstemerde rkı İkc tr vektörer ç çözümer dh ko ede edr 6 Guss-Jord ötem mtrser ters buumsı uguışı [ ]{} {} c A dekem sstem her k trı [ ] A e çrpıırs {} [ ] {} c A ede edr [ ] A mtrs e şğıdk gb te dekem sstem ede edr,,, Bu te sstem [ ] [ ] [ ] A Y I [ ] [ ] Y A şekde gösterebr Burd zıck [ ] I A rttırımış mtrs [ ] K I ( [ ] [ ] [ ] I Y K [ ] [ ] Y K mtrse döüştürüürse [ ] [ ] A K ede edr Çükü [ ][ ] [ ] I Y A oduğu göre [][ ] [ ] K Y I our Arıc [ ] [ ] A Y ve brm mtrse br mtrs çrpımı kedse eşt oduğud [ ][ ] [ ] Y Y I dır burd [ ] [ ] K Y ve souç ork [ ] [ ] A K buuur

30 k k k k k k k k k k k k k k k k Örek 6 7,85,, 9,, 7, 7,,,,, 5, 7, 5,, dekem sstemer çözüüz [ ],,, 7,,, A,,, 7,,,

31 ,,, 7, /, /,/ /,,, 7,,,666667, ( ( (,*,,666667,,,*,,*,,*,,666667,*,,,*( 7,*,,,666667,,,,9,,9 7,,,666667,,,,9 7, / 7,,/ 7,,9/ 7, 7,/,,666667,,,,9,8,79,76,,666667, ( (,9 *,,7,9 * (,,7,9*,,9*,9,8,79,76,*,,,,7,*,67,*,,7,9,,8,79,76,799,75,6857 /,,7 /,,9 /,,/,,8,79,76,799,75,6857,99879,698,778,8,79,76,799,75,6857

32 ,68,68,7,7,,68* (,,7,7 *,8 (,,7,68*,7,,7 *,7,7,68*,,7 *,,99879,89,56,779,997,9,6986,6798,86,9988 [ A ],89,56,779,997,9,6986,6798,86,9988 Böece ktsır mtrs [ A ] o Bütü sstemer çözümü: {} [ A] {} c dekem e ede edr İk sstem çözümü:,89,56,779,997,9,6986,6798,86,9988 7,85 9, 7,,8,886 7,5 kc sstem çözümü:,89,997,56,9,779,6986,6798,86, ,9979 7,7,955

33 Örek 6 [ A ] {} c ,5,5,75,5 ( (,5 (,5 (,75 (,5 ( (,5 5 (,5 (,75 (,5 ( (,5 (,5 (,75 (,5,5,5,5,5,5 5,5,5,75,5,5,5,5,75,5,5,5,5,5 (,5,5(,5,75,5(,5,5,5(,,5(,,5,5, ( 5,5 (,5,5 (,5,5 (,,5(,5,5(,5,5,5(,5,5,5(,,5(,,,5,5 7,5,5,5,5,, 7,,,,6,,5,5,5,5 *,5,5,5,5 (,667,,5*,9,,5(, (,667,,5*,9,,5(,,667,9, (,667, *,9, (,,5*,,5*,, *,

34 ,,8,68,,,,9,667,666,9,5,5,666,9,66,667 ( ( ( ( (,5,5,65,5,67 *,,,67,,,9,67,5*,,,5,6,9,5,5,7 *,,,7,6,6,7,9,,7,6,7,7,5,5,65,5,8,5,958,788,666,5,666,58,5,9,58 [ ],5,5,65,5,8,5,958,788,666,5,666,58,5,9,58 A,5,5,65,5,8,5,958,788,666,5,666,58,5,9, ,5* 6*,5* 7,65*,5*5,8* 7,5* 6,958*,788*5,666* 7 * 6,5*,666*5,58* 7,5* 6,9*,58*5 5

35 7 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ALT ÜST ÜÇGEN MATRİSLERE AYIRMA METODU İLE ÇÖZÜMÜ: [ A ]{} { C}, [ A ]{} { C} { } [ U ]{} { D}, [ U ]{} { D} { } [ L] {[ U]{} { D} } [ A]{ } { C} [ L ][ U] [ A] (Burd [ L ] t üçge mtrs, [ U ] se üst üçge mtrstr [ L ]{ D} { C} Bu so dekemde { } D çözüüp [ U ]{} { D} dekemde ere koup { } bmee vektörü bu dekemde hespır 7 Guss emso ötem e t üst üçge mtrsere ırm şem [ A ] [ L ], [ U] ( [ ] [ L][ U] A L L L L L L 5 L ( ( ( (

36 6 Bu durumu dğer bütü er ç geeeştrrsek Burd,,, dr ede ederz ( / ( / ( / ( / Bu şemer ç geeeştrebr ( / ( / Burd,,, dır / ( Bu eştk geeeştrrse / ( Burd,5,, dır Bezer şekde devm edrse soud ( ( ( ( L L L L L L L mtrs ede edr

37 Örek 7 [ A ] { C } [ A ] [ L][ U] [ L ] [ U ],5,5 7,5,5,5,,75,5,5 (,5 [,5( ]/,5 (,5 [,5( ]/,5,,5 7,5 (,5,*,5 / 7,5 ( (,,6 [ L ],75,5,5,6,, [ ]{ D} { C} L, d 5,75,5,5 d 5 d,6 d 6,, d 7,75d d d,75 *5 d, 5 7

38 ,5d,6d d 6 d 6,5*5,6* (,5 d,5d,d,d d 7 d,5*5,*,5,* 6,5 7 d [ U ]{} { D} 6,5 6,,5,5 7,5,5,5, 5,5 6,5 6, 5 7 Crout Beşeere ırm ötem : (Crout decomposto üzerde gösterş : u u u u u u,,,,,,, u u u u u u u,,,, u, u, u u u,,, L, u u u ( u / u u u ( u / u u u ( u /,,, L, 8

39 u u,,, L, u ( u u /,,5, L, u u u,,5, L, Crout t üst üçge mtrsere ırm ötem herhg br sısı ç ormüer:,,,, u,,, L, ç,,, k uk,,, k,, u k k u k, k,, L, k k u k Örek 7 u u u u u u 5,,,,,,, u,,, u u u u,5,75 9 u,5 u

40 , ç k uk,,, k k u k u k, k, kuk k ve ç ve ç u (,5, 5 u (,5 ve ç u,5 (, 5 ve ç u u 5 (,5 (,5 7, 5 ve ç u u,5,5,5 u ( u / [( (,5]/,5 u, ( ( ( ve k ç 5 ve k ç u ( u / [ (,75]/,5 u, 5 ve k ç u ( u u / [ (,75 (,5]/ 7,5 u so ork (,75 (,5(,5 (,6667, u u u buuur,6667 5,5 7,5,5,,5,5,5,75,5,6667 Bu ede ede t ve üst üçge mtrser dekem sstem çözümüe uguışı

41 ,5 7,5,5, d d d d d 5 d 5 / d,75 d,5d d *,75 /,5 d, 5 d d 7,5d 6 d [6 *,75 * (,5]/ 7,5 d, d,5d d,d 7 (7,75,5 *,5 *,86667 /, d d,5,5,5,75,5,6667,75,5,86667,6667 *,86667,86667,6667 * 5,5,5,5,5,5,75,5,5 * 5,5 *,75,5 * (,5* 5,75*,75

42 8 KAREKÖK METODU ( Choesk ötem : Bu ötem smetrk ve pozt tumı ktsır mtrs ç uguır Özeke bu durumdk bt mtrserde uguır [ ] A pozt tımı omıdır Y bütü vektörer ç {}[ ]{} Q A Q T > omıdır ve A, A, A,, [ ] A det A heps pozt omsı gerekr [ ] [ ][ ] U L A [ ] [ ] [ ] T T T L U A Smetrk mtrserde [ ] [ ] T A A oduğud [ ] [ ][ ] T L L A our

43 ,,,, L ( / (,,, L, / ( / (, L, / k,, L, ç gee ormü: kk kk k k ( /,,, L, k k k k Bu şemer soucud ede ede [ L ] mtrs dekem sstem çözümüde şğıdk eştker rdımı kuıır [ L ]{ D} { C} dekemde ede ede { } [ L] T {} { D} dekemde ere koup { } D sütu mtrs stee çözüm mtrs buuur d c d ( c d /,,, L, d d [ d ]/,,, L,

44 Örek ,5,,, (,5, 965 (,5* /,965, 9 (,5 *,5 /,965, 655, (,9 * ( *,5,9*,655 /,575, 8, 59,5,655 (,8,5,5,965,9,655,575,8, 59 d d d d 7 9 d d,5,5d,965d 7 d (7,5 *,5 /,965 d 5, 8 d,9d,575d 9 d (9,5,9* 5,8 /, 575 d 7,

45 ,5d,655d,8d,59d d,,5,965,9,575,59,,5,655,8,59,5 5,8 7,,,575,8 7, (7,,8* /,575 5,965,9,655 5,8 (5,8,9* 5,655* /,965,5,5,5 (,5,5( 5,5* / 5

46 9 İTERASYON YÖNTEMİ (Guss Sede ötem : c c c c Dekem sstemde her dekemde er çözüp şğıdk eştker ede edr ( c / c / ( ( c / ( c / ( ε, % Örek 9,, 7,85, 7, 9,,, 7, Dekem sstem terso ötem e çözümü ç şğıdk dekemer kuıır ( 7,85,, / ( 9,,, / 7 7,,, / ( Bu dekemer rdımı e şğıdk tbo ouşturuur ε,, % ε,, % ε,, %, , ,7958, ,7958 7,5695, ,7958 7,5695,5, ,9966 7,5695,8, ,9966 7,98,8 6

47 5 EĞRİYE UYDURMA ( 5 5 ( Doğru kştırm eer regresso Leer terposo ( Eğrse terposo 5 YAKLAŞTIRMA (Regresso METODU 5 Doğru kştırm (Leer regresso ötem: Bu ötemde doğru kşımdk htrı kreer topmıı mumum pck doğru dekem rştırıır Htı çerecek şekde doğru dekem: E sekdedr Burd E htı gösterr E Htrı kreer topmı: S r E ( 7

48 8 şekde zıır Bu ede ede htrı kreer topmıı mumum pck ve değer bur göre ıck türever sıır eşterek buuur ( S r ( S r ( S S r / Thm stdrt spm : S S t Topm stdrt spm : Burd t ( S t r t S S S r tım ktsısı : r correto ktsısı: Örek 5 Aşğıdk tbo değerer br doğru kştırı (,5 8,5765,687,5,86,565,,8,7,,65,65 5,5,5, , 6,6, ,5,98,99,7,99

49 Bu tbodk vererde ve şğıdk eştkerde 7 7, 9, 5 7, 7, 8 8, 7 7,, ede ede bu değerer kurk doğru dekem ç gerek ktsır hespır 7 *9,5 8* 7 * (8,89857,8579,89857*, 7857 ve doğru dekem şğıdk gb zıır,7857,89857 Bu doğruu grğ ve tbo değerer şğıdk şekde zeebr ,7 S,957 ( Topm stdrt spm 7 S,99,775 ( Stdrt thm ht 7 / S < S oduğud bu örek ç doğru kştırm ugu br seçmdr / 9

50 5 Poom kştırm metodu m L m E Burd E ht ve resüdü m E L S m m r ( L m Bu htrı kreer topmı,,, L, m ktsırı göre rı rı türever ıırs şğıdk dekemer ede edr S L r m ( m S L r m ( m S m ( L m r S L r m m ( m m Türev şem soud buu bu dekemer sıır eştep tekrr düzeerse şğıdk dekem sstem ede edr m m L m m L m m L m m m m m m,,, L, çözüür L Bu dekem sstemde 5

51 S / Sr (m Stdrt thm ht r S S t r koreso (şk,bğtı ktsısı S t S t ( Örek 5 Aşğıdk tbod buu, değerer derecede poom kştırı ( (, 5,, 7,7,7,86,6,,858 7,,,89,9 9,, , 7,,99 5,6 5,9,7657 m, 6,, 5, 5,, , 5 5, 6 55, 5, 979, 585, 6, , 8 Yukrıd buduğumuz bmeer ktsırıı bu dekem sstemde ere kours şğıdk dekem sstem ede edr , , ,8 Bu dekem sstem çözümüde buu,7857,, 599,, 867 değerer e şğıd çze derece poom zıır 5

52 ,7857,599, S 5 6,7657, (Stdrt thm ht 6 5,9,7657 (krrıık ktsısı 5,9 / r r,9995 (Bu souç uumu çok oduğuu gösterr 5 İk değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek Burd doğru dekem düzem dekem he döüşür E E htsıı kreer topmı S r ( şekde zıır Bu dekem ı şekde,, bme ktsırı göre türever ııp sıır eşterse S ( ( ( r Sr Sr 5

53 5 dekemer ede edr Bu dekemer sıır eştep ktsırı göre düzeerse bme te eer dekem zıır Bu dekem sstem şğıdk gb mtrs ormud zıbr 5 Çok değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek E m m L dekemdek E htsıı kreer topmı ve türever ukrıdk gb düzeerse şğıdk mtrs ormudk dekem sstem ede ederz m m m m m m m m m (m S S r / ( stdrt thm ht

54 Örek 5 Aşğıdk k değşke tbo değerer k değşke eer dekeme uduru 5, 9 6,5 5, , ,5 5 8,5 6 6,5 5 6,5 76,5 8,5 8 5 Bu dekem sstem çözümüde 5,, ede ede değerer e şğıdk dekem zıır 5 Vere tbo değerer e Buu düzem dekem uumu şğıdk grk üzerde zeebr

55 5 İNTERPOLASYON 5 Leer terposo (r değer bum ( ( ( ( ( ( ( ( ( (, ( ( ( Örek 5 6, , 869? (, 6978 Çözüm:, 6, ( ( (,5859, ε t 8, % 6 Çözüm:,,869 ( ( (,698, ε t, % (,698,

56 5 Kudrtk terposo ( b b ( b ( ( (- ( b b b b b b b (- (- ( (- b b b b b b (-5 b (-6 (- dekemde ere zıırs b ( (-7 ede edr Bu buu (-7 eştğ ve ere değşke (- dekemde ere zıırs b ( ( (-8 dekem buuur Bu (-8 ve (-7 dekem (- de ere kour ve rıc ere zıırs şğıdk dekem ede edr b ( ( (-9 ( ( Örek 5 (, (, 869, 6 (, (?,869 b b b, 698,797595, b, b 56

57 (,698(,5876( ( (,56586 ε t 8, % 5 Newto terposo poomuu gee ormu mertebede poom det ver oktrı gerektrr ( b b( L b ( ( L( b ( b [, ] b [,, ] [,, L,, ] b Burd [, ] ( ( [,, k ] [, ] [, ] k k [, [, L,, ],, L, ] [,, L, ] ( ( ( [, ] ( ( [,, ] L ( ( L( [,, L, ] Örek ( (, 869 ( 6, ( 5,6979 derecede poom ( b b( b ( ( b( ( ( 57

58 b ( b,869 [, ] b,797595,869 [, ] 6 b,698,755,6979, [, ],86 5 6,755,698 [,, ] 6 b,86,755 [,, ],95 5,95 (,5876 [,,, ] 5 b,5876 b b, (,698(,5876( (,786555( ( ( 6 (, ε t 9,% 5 İterposo poomrıı ktsırıı bumk ç dğer br ötem ( L Bu poomdk oktsı gerekr,,,, L te ktsıı bumk ç te ver Örek ork ç bme dekem ede edr Bu gereke ver oktrı [,( ], [,( ], [,( ] şekdedrbur ( dekemde ere rı rı kours şğıdk dekem sstem ede edr ( ( ( Bu dekem sstemde bme,, ktsırı buuur 58

59 Örek 5 (, (, 869, 6 (, ,869,7976 Bu dekem sstem çözümüde,669586,, 758,, 587 (,6696,76,587 (, 5658 (,695 ( ( 5 ( Lgrge terposo ormüü Newto terposo ormüüü dh kuış he getrmş şekdr Burd böümüş rkrı hesbı gerek kmz ( L ( ( Burd L ( Brc derecede ( ç Lgrge terposo poomu : 59

60 6 ( ( L ( ( L ( ( L ( L ( L ( L ( ( ( İkc derecede ç Lgrge terposo poomu : ( ( L ( ( L ( ( L ( ( L ( L ( L ( L ( L ( L ( ( ( ( Üçücü derecede ç Lgrge terposo poomu : ( ( L ( ( L ( ( L ( ( L ( ( L ( L ( L ( L ( L ( L ( L ( L

61 6 ( ( ( ( ( Lgrge terposo poomuu Newto terposo poomud çıkrıışı ], [ ( ( ( ( ( ( ( ], [ ( ( ( ( ( ( ( Örek 55 (, 869, (, , ( Brc derecede Lgrge poomu ç çözüm: ( ( ( ( * *,869 *,869 * ( 698, ( İkc derecede Lgrge poomu ç çözüm: ( ( ( ( 6 6 ( * *,869 *, ,5658 ( *, *, * 6 6 (

62 6 SAYISAL İNTEGRAL ( I b ( d b 6 NEWTON-KOT İNTEGRAL FORMÜLÜ I b ( d b ( d L ( 6 Trpez (muk kurı ( (b ( b I b ( d b ( d (b ( ( ( ( b 6

63 b (b ( I [( ( ] d b (b ( (b ( I [( b b ] b (b ( (b ( b I (b b b b (b ( (b ( ( b b ([b ( I (b ( b / ] (b[b ( b b / ] (b [(b (] I ((b (b (b [(b (] I ((b ((b (b [(b (] I ( (b I (b 6 İtegr böges eşt prç böüerek muk kurıı uguışı: I (d (d L (d Burd (,,, L, det oktdır b h Prçrı geşğdr I ( h ( ( ( h ( L h h I [( ( ( ( ( ( I (b ] ( 6

64 E (b t (ξ (ξ Burd kc türev bütü böge çde ortm değerdr Böece kşık ht şğıdk gb zıbr (b E Örek 6 (, I,8 ( d Bu tegr tk ork çözüürse I,65 buuur Burd, b,8 dır,8 8 ç h, ve,,,, 8 5,5 6, 6 7, 7 8, 8 değerer şğıdk ormüde ere kours ( I (b I (,8 ( ( ( [ (, (, (, (, (,5 (,6 (,7 ] (,8 * 8 (, (,, 89 (,, 88 (,, 67 (,, 56 (,5,5 (,6, 6 (,7, 6 (,8, I,,8 [,89,88,67,56,5,6,6 ], 6 I,68 Et,65,68 Et,97 6

65 ,65,68 ε t * ε t, %,65 (b E b ( d b ( ( 5 8 8,8,8 (d ( d,8,8 (d *,8 5 * (,8 / 8 * (,8 (b (d 8 6 E (,8 E ( 6 E, * 8 E ε * ε,99 %,68 / 8 * (,8 / 65

66 6 Smpso u / kurı Burdk /, h üçe böüdüğü çdr I b ( d b ( d b Eğer b ve ( ere kc derecede Lgrge poomu ıırs tegr şğıdk şeke ger ( ( ( ( ( ( I [ ( ( ( ( ( ( ( ( ( Bu ıtegr şem soucud ede ede dede gereke kıstmr pıdıkt sor tegr ormüü şğıdk şek ır h I [( ( ( ] Eğer (, b rığı eşt prç böüürse ] d I (d (d L (d I (b ormüü buuur ( ( ( (,,5,,6 66

67 Örek 6 (, I,8 ( d Bu tegr tk ork çözüürse I,65 buuur Burd, b,8 dır,8 8 ç h, ve,,,, 8 5,5 6, 6 7, 7 8, 8 değerer şğıdk ormüde ere kours I (b ( ( ( (,,5,,6 I (,8 ( [ (, (, (,5 (,7] [(, (, (,6 ] (,8 * 8 (, (,, 89 (,, 88 (,, 67 (,, 56 (,5,5 (,6, 6 (,7, 6 (,8, I,,8 I,68 [,89,67,5,6 ] [,88,56,6], E t,65,68 E t,6666,65,68 ε t * εt,8 %,65 67

68 6 IMPROPER İNTEGRAL (Sıırrı sosuz o tegr b (d / / b t (/ t dt b A b (d (d A (d d dt, A t t t, t A b (d (d / A A b (d (d (d A B A (d B (d d dt, A t t t, t A t (d (/ tdt (d / A A B / B t (/ tdt Örek 6 N( e π / d N (? N( π ( / e d e / d d dt, A t t t, t A 68

69 / e d / t e / t dt,556 e / d,5 N ( (,556,5 N(,89 π 7 SAYISAL TÜREV Türev tımı: ( ( ( d ( d ( Lm ( ( ( Br oksou Tor serse çıımıd dırk şğıdk bğıtı zıbr ( ( ( ( h h L h Burd ( çözüebr ( ( ( h ( h O (h ( ( ( O (h h Şekde zıbr Ve 69

70 ( ( ( h ( O (h bu kc türev ormüü e brkte şğıdk gb ouşturubr ( ( ( h ( ( h ( h ( ( ( h ( O (h O (h 7 İLERİ DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Brc mertebede türev: ( ( ( h ( ( ( h ( İkc mertebede türev: ( ( ( h ( ( ( 5( ( h ( Üçücü mertebede türev: ( ( ( ( ( h ( ( ( ( Dördücü mertebede türev: h 8( 5( ( ( ( ( ( ( ( 5 ( 6( h ( ( h ( 6( ( ( 7

71 7 7 GERİYE DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Brc mertebede türev: h ( ( ( h ( ( ( ( İkc mertebede türev: h ( ( ( ( h ( ( 5( ( ( Üçücü mertebede türev: h ( ( ( ( ( h ( ( ( 8( 5( ( Dördücü mertebede türev: ( h ( ( 6( ( ( ( 5 ( h ( ( ( 6( ( ( ( 7 MERKEZİ FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Brc mertebede türev: h ( ( ( h ( 8( 8( ( ( İkc mertebede türev: h ( ( ( ( h ( 6( ( 6( ( ( Üçücü mertebede türev: h ( ( ( ( ( 8h ( 8( ( ( 8( ( (

72 Dördücü mertebede türev: ( ( ( ( ( ( ( 6( ( h 9( ( 56( ( 6h 9( ( ( Örek 7 ( (5? (5? Atk çözüm: ( Sıs çözüm: ( (5, (5, (5, (5,6595,6979 (5 (5, , 5, (5, (5, (5,699 *,6595,6979 (5 (,, (5, 985 7

73 8 ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER,5 8,5 Şekde vere dekem şğıdk derse dekem gösterdğ eğrerde sdece brsdr d 8,5 d [ 8,5] d tegr soucu şğıd gb br eğr es gösterr,5 8,5 C 6 c c c c c- c - - Bu durumd tek br eğr ber omsı ç C tegr sbt hespbeceğ koşurı vermes gerekr Derse dekemer sıs çözümüde geştre ötemerde bzırı şğıd vermştr 8 EULER METODU d (, d (, h ht e değer esk değer eğm * dım h 7

74 Örek 8 d d (,75 (7? Atk çözüm: d d c ( c C c (,75 koşuuu kuırsk,75 c ve böece buuur Burd (7,857 7 Sıs çözüm: (, h (, ve h ıırs c (5 ( (- ( / *,75 (,75/ (5,565 (6 (5 (- (5 / 5 *,565 (,565/5 (6,5 (7 (6 (- (6 /6 *,5 (,5/6 (7,75,857,75 ε %,857 t,5% 8 İeştrmş Euer metodu / (, h (, h / / Örek 8 Yukrıdk örek eştrmş Euer ötem e çözüürse Ye ı şekde h ıırs (,5 ( (- ( / *,5,75 (,75/ *,5 (,5,6565 (5 ( (- (,5 /,5 *,75 (,6565/,5* (5, (5,5 (5 (- (5 / 5 *,5,6667 (,6667/5 *,5 (5,5,575 (6 (5 (- (5,5 / 5,5 *,6667 (,575/5,5 * (6,55 7

75 (6,5 (6 (- (6 / 6 *,5,55 (,55/6 *,5 (6,5,69 (7 (6 (- (6,5 / 6,5 *,55 (,69/6,5 * (7,,857, ε t % ε t,8 %,857 8 HEUN METODU Bu metott Euer metodudk c oktdk türev ere ve ( c oktdk türever rtmetk ortmsı ıır (, (, (, h (, (, h Örek 8 d d (,75 (7? ( tk çözümde (7,857 7 h ıırs 5 ( *,565 5 ( ( 5 * h ( *, ( ( * h ( *, ( ( * h ε t %,6,5,

76 8 RUNGE-KUTTA METODU Ruge-Kutt metodu, Tor serer e kşımdk hssset, üksek mertebede türevere htç dumd kbdğde, üksek hssset rdığı durumrd terch edr Ruge-Kutt metodu şğıdk ormd zıbr φ(,, h h Burd φ (,, h oksou rtım oksou derbu söz kousu rıktk eğm gösterr Artım oksou gee ormd şğıdk gb zıbr φ k k k Burd r sbt k r se şğıdk gbdr k (, k ( ph, q k h k ( p h, q k h q k h k ( p h, q,kh q,kh q, kh Burd p ve q r sbterdr 8 İkc derecede Ruge-Kutt metodu ( k k h k (, k ( ph, q k h ç ve (, termer e kc mertebede Tor sers zıırs (, (, h h! Burd (, zcr kurı e beremedr (, (, d (, d Bu kc türev Tor ormüüde ere zıırs d h (, h d! ( İk değşke oksord Tor sers g g g ( r, s g (, r s Bu ormü ukrıdk k değşke okso çere k eştğ ç uguırs k ( ph, qkh (, ph qkh O( h Bu k eştğ k (, eştğ e brkte k de ere zıırs 76

77 h (, h (, ph q h (, Oh ( ve termer br r topırs [ (, (, ] h [ p q(, ] h O( h d Bu dekem dekeme (, oduğu göz öüe ırk krşıştırıırs d p q buuur Burd dekem bmee oduğud çok sıd çözüm ede edebr Tek düzetme ktsıı Heu ötem ( / /, /, p q Bu prmetreer ere kours ( k k h k (, k ( h, kh Ort okt metodu (,, p q kh k (, k ( h, kh Rsto ötem ( /,, p q ( k k h k (, k ( h, kh 8 Üçücü derecede Ruge-Kutt metodu ( k k k h 6 k (, k ( h, kh k ( h, k h k h 77

78 8 Dördücü derecede Ruge-Kutt metodu ( k k k k h 6 k (, k ( h, kh k ( h, kh k ( h, k h Örek 8 d 8 e 5 d, 8 (, e 5 8*5, d 5, h 5 k (5, e (, 5 (e *5 k (5, 75 e k (5, k (75,8886 e k (5, k (75,56 e k (5 5, k (5,69665 e ( (5, (e *5 k (5,8 e k (5,8 6575* k (65, e 5 9 k (5 5, k (65,58 e k (5 5, k (75, 97 e (

79 8 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ METODU c mertebede br derse dekem te brc mertebede derse dekemde ouş br ssteme döüştürüebr d d d d d d (,,, L, (,,, L, (,,, L, Bu sstem çözümü ç br oktsıdk vermes gerekr L değerer (koşurıı,,, Örek 8 d s λs λ s t d s s v v dt Atk çözüm : s ACos λ t BS λ t v A λ S λ t B λ Cos λ t A s s s Cos B v λ λ t v S λ λ t Örek 8 d s π s dt 6 t d s 8 v t de s? v? Atk çözüm : π 7 π s 8Cos t S t 6 π 6 s 8, π π π v S t Cos t v 8,97997 Euer ötem e ümerk çözüm: d s π Bu ötemde s kc mertebede derse dekem şğıdk gb k dt 6 te derse dekemde ouş br derse dekem ssteme döüştürüür 79

80 ds dv π v, s dt dt 6 ds dv s s ( h, v v ( h dt dt π s s v h, v v s h 6 h, ıırs şğıdk tbo değerer buuur t s v s v, 8 9,,786756, 9,,786756,786755,585,,786755,585,5977,96,,5977,96,65559,9785,5,65559,9785,7886,58857,6,7886,58857,8677,9,7,8677,9 5, ,7985,8 5, ,7985 6, ,675,9 6, ,675 7, ,979 7, ,979 8,678 8,