2009 Ceb ır Soruları

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "2009 Ceb ır Soruları"

Gülbahar Koçoğlu
7 yıl önce
İzleme sayısı:

Genç Balkan Matemat ık Ol ımp ıyatı 2009 Ceb ır Soruları c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.

1 Genç Balkan Matemat ık Ol ımp ıyatı 2009 Ceb ır Soruları c sbelianwordpress@gmail.com 2009 yılında Bosna Hersek te yapılan JBMO sınavında ki shortlist sorularının cebir kısmının soruları ve çözümleri bu çalışma kağıdında verilmiştir. Size tavsiyemiz önce soruları çözmek için uğraşmanız daha sonrada yaptığınız çözümlerle, özgün çözümleri karşılaştırmanız Soruların çözümlerini Türkçe ye kazandırmamız da yardımlarını esirgemeyen Ioan Serdean ve Alen Serdean a teşekkür ederiz. Kolay gelsin. SBELIAN Σ Junior Balkan Mathematics Olympiads

2 Soru. denklem sistemini tamsayılarda çözünüz. a + b + c = 5 a 3) 3 + b 5) 3 + c 7) 3 = 540 Çözüm. Önce çözümü yaparkn kullanacağımız bir eşitliği yazarak başlayalım. Eğer x + y + z = 0 ise x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz Şimdi bu eşitliği kanıtlayalım. Eğer x + y + z = 0 ise x 3 + y 3 + z 3 = x 3 + y 3 + x y) 3 = x 3 + y 3 x 3 y 3 3xy x + y) = 3xyz Buna göre, a + b + c = 5 ise a 3) + b 5) + c 7) = 0 Eğer çözümün başında verdiğimiz eşitliği kullanırsak 540 = a 3) 3 + b 5) 3 + c 7) 3 = 3 a 3) b 5) c 7) Gerekli sadeleştirmeleri yaparsak eşitliğini elde ederiz. Burada olduğuna göre, olası tek çarpım 80 = = a 3) b 5) c 7) a 3) + b 5) + c 7) = 0 a 3) b 5) c 7) = Buna göre elde edeceğimiz sistemler, a 3 = 4 a 3 = 5 a 3 = 4 b 5 = 5, b 5 = 4, b 5 = 5, c 7 = 9 c 7 = 9 c 7 = 9 olacağından aradığımız üçlüler a 3 = 5 b 5 = 4 c 7 = 9 a, b, c) = {, 0, 6), 2,, 6), 7, 0, 2), 8, 9, 2)} Alternatif Çözüm. Çözümü yaparken uygun değişken değiştirmeler kullanarak çözmeye çalışalım. Buna göre, a 3 = x, b 5 = y, c 7 = z olarak alırsak denklem sistemimiz, x + y4z = 0 x 3 + y 3 + z 3 = 540 Bu belge sbelian.wordpress.com a aittir. 2 c

3 Eğer z = x y değişken değiştirmesini yaparsak, ikinci denklem Buradan 3xy 2 3x 3 y = 540 xyx + y) = 80 xyz = 80 a 3) b 5) c 7) = 80 olacağından, çözümün bundan sonraki kısmı önceki çözümde olduğu gibi Soru 2. Eğer x, y, z, t) için x 2 + y 2 = 4 z 2 + t 2 = 9 xt + yz 6 ise z + x toplamının alabileceği en büyük değeri bulunuz. Çözüm 2. Soruda verilen bilgiler ışığında x 2 + y 2) z 2 + t 2) = 36 = xt + yz) 2 + xz yt) xz yt) 2 ise x + y + z = 0 Buna göre, x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = x + z) 2 + y t) 2 = 3 olacağından z + x toplamı en fazla 3 Buna göre, sağlayan değerler, Alternatif Çözüm. kullanırsak x = 4 3, y = t = 6 3 ve z = 9 3 xt + yz 6 eşitsizliğini ve doruda verilen diğer iki şartı xt + yz) xt + yz) 2 x 2 + y 2) z 2 + t 2) 0 2xyzt x 2 y 2 y 2 t 2 0 xz yt) 2 0 Buna göre, xz = yt olmalıdır. Ayrıca, eğer x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = x + z) 2 + y t) 2 = 3 Bu belge sbelian.wordpress.com a aittir. 3 c

4 olacağından x + z) 2 3 olacağına göre x + z 3 Eğer y = t ve z 2 x 2 = 5 olarak alırsak x = 4, y = t = 6, z = Soru 3. { x + y 2) 2 = y = ax + 5 denklem sisteminin tam olarak üç tane çözüm ikilisine sahip olmasını sağlayan tüm reel a parametrelerini bulunuz. Çözüm 3. Verilen ilk denklemi düzenlersek x + y = x + y = 3 Bu iki eşitlikten birincisinin grafiği her iki eksene göre simetriktir. Bu grafiğin xy pozitif eksende ki görüntüsü x + y = Çizeceğimiz doğru parçasının eksenlerle kesiştiği nokta, 0) ve 0, ) Benzer biçimde grafiğin eksenleri kestiği noktalar, 0), 0, ),, 0) ve 0, ) Benzer biçimde x + y = 3 eşitliğinin grafiğininde eksenleri kestiği noktalar 3, 0), 0, 3), 3, 0) ve 0, 3) Soruda verilen ikinci denklemin grafiğinin eğimi a ve eksenleri kestiği nokta ise 0, 5) olarak kolaylıkla bulunabilir. Çizeceğimiz bu doğru, birinci denklemin grafiği ile, 0), 0) noktalarından geçerken üç noktada kesişirler. Bu durumda da a = 5 a = 5 Soru 4. x, y, z R olmak üzere 0 < x, y, z < ve olarak veriliyor. Buna göre, olduğunu kanıtlayınız. 4 xyz < x) y) z) max { x) y, y) z, z) x} 2a ) 2 > 0 ise a a) /4 Soruda verilen eşitliği kul- Çözüm 4. lanırsak olacağından xyz = x) y) z) xyz) 2 = x x) y y) z z) = 4 3 Bu belge sbelian.wordpress.com a aittir. 4 c

5 eşitliğinden xyz) Buna göre x, y, z sayılarından en az bir tanesi /2 den küçük eşit Varsayalım x /2 ve x /2 Soruda verilen ifadenin olumsuzu olan 4 > max { x) y, y) z, z) x} ifadesinin doğru olduğunu varsayalım. Buradan, Bu eşitsizliklerden x) y < 4, y) z < 4, z) x < 4 ise y < 4 x 4 2 = 2 y > 2 Benzer biçimde Eğer bu sonuçları kullanırsak z < 2, z > 2 8 = > xyz = x) y) z) > = 8 eşitsizliğini elde ederiz ki bu durum açık çelişkidir. İspat tamamlanır. Soru 5. x, y, z R + olmak üzere verilen x 2 + y + ) x 2 + z + ) y 2 + z + ) y 2 + x + ) z 2 + x + ) z 2 + y + ) x + y + z) 2 eşitsizliğini kanıtlayınız. Çözüm 5. Cauchy - Schwarz eşitsizliğini kullanırsak, x 2 + y + ) z 2 + y + ) = x 2 + y + ) + y + z 2) x + y + z) 2 Benzer biçimde x 2 + z + ) y 2 + z + ) x + y + z) 2 ve y 2 + x + ) z 2 + x + ) x + y + z) 2 eşitsizliklerini elde ederiz. Bu üç eşitsizliği taraf tarafa çarparsak soruda istenilen eşitsizlik elde edilir. Bu belge sbelian.wordpress.com a aittir. 5 c

Benzer belgeler

JBMO c Genç Balkan Matematik Olimpiyatları (JBMO) her yıl katılımcı 10 ülkeden

JBMO c Genç Balkan Matematik Olimpiyatları (JBMO) her yıl katılımcı 10 ülkeden Genç Balkan Matemat ık Ol ımp ıyatı JBMO 2009 Sorular ve Çözümler ı c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Genç Balkan Matematik Olimpiyatları (JBMO) her yıl katılımcı 10 ülkeden gelen