Değerler Eğitimi İçin Kullanışlı Bir Araç Olarak Matematiksel Modelleme Etkinlikleri *

Transkript

1 Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri Educational Sciences: Theory & Practice 12 (2) [Ek Özel Sayı/Supplementary Special Issue] Bahar/Spring Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti. Değerler Eğitimi İçin Kullanışlı Bir Araç Olarak Matematiksel Modelleme Etkinlikleri * Bekir Kürşat DORUK a Ahi Evran Üniversitesi Öz Bu araştırmada öğrencilerin matematiksel modelleme etkinlikleriyle çalışmaları sırasında ortaya çıkan, genel eğitimsel değerlerin, matematiksel değerlerin ve matematik eğitimi değerlerinin öğretimine katkı sağlayacak süreçleri ayrıntılı olarak belirlemek amaçlanmıştır. Nitel araştırma yönteminin kullanıldığı çalışmada bütüncül tek durum çalışması deseninden yararlanılmıştır. Bir devlet okulunun 6. ve 7. sınıfında öğrenim gören 58 öğrencinin bir dönem boyunca 8 adet matematiksel modelleme etkinliği ile çalışmaları sırasında yapılan gözlemler, elde edilen video kayıtları, öğrencilerin yazılı çalışmaları ve çalışmalar sonunda yapılan görüşmelerden elde edilen veriler betimsel analizden yararlanılarak incelenmiştir. Sonuç olarak modelleme etkinliklerinin gerek genel eğitimsel değerlerin gerekse matematiksel değerlerin ve matematik eğitimi değerlerinin gelişimine katkı sağlayacak oldukça zengin yaşantılar içerdiği görülmüştür. Anahtar Kelimeler Değerler, Değerler Eğitimi, Matematik Eğitiminde Değerler, Matematiksel Değerler, Matematiksel Modelleme Etkinlikleri. Değerler, toplumların varlıklarını ve beraberliklerini sürdürmeleri, toplum içinde huzur ve güvenin tesisi, dolayısıyla toplumun her alanda gelişimi için önemlidir. Ayrıca bireylerin yaşamlarının her alanında olduğu gibi eğitim yaşamlarında da gerçek anlamda başarıyı yakalamanın yolu olgunlaşmış bir değerler sistemine sahip olmalarından geçer. Yazıcı nın (2006) belirttiği gibi, eğitimleri süresince; öğrencilere, sadece bilişsel ve psiko-motor kazanımların verildiği bir anlayış, toplumu oluşturan * Bu çalışma Ekim 2011 tarihleri arasında Eskişehir de düzenlenen Değerler Eğitimi Sempozyumu nda sunulan bildirinin genişletilmiş halidir. a Dr. Bekir Kürşat DORUK İlköğretim matematik eğitimi alanında yardımcı doçenttir. Çalışma alanları arasında matematik eğitimi, matematik eğitiminde matematiksel modelleme yer almaktadır. İletişim: Ahi Evran Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü, Kırşehir. Elektronik Posta: bkdoruk@gmail.com Tel: Fax: fertlerin, değer, tutum gibi duyuşsal kazanımları elde edememelerine sebep olacaktır. Dolayısıyla, toplumsal bütünlüğün sağlanması ve ortak amaçların belirlenmesi zor, hatta imkânsız hale gelecektir. Kohlberg e (1981) göre okulun temel fonksiyonu toplumun değerlerinin bazılarını devam ettirmek ve sonraki nesillere aktarmaktır. Bir ülkenin eğitim sisteminin temel ilkelerinde, o ülkenin önem verdiği değerler önemli bir yer tutarlar. Eğitim sitemi bireylere bu değerleri kazandırmak amacıyla işler. Bu nedenle değerler eğitiminin okullarımızda sistemli ve etkili bir biçimde yapılması zorunluluğu ortaya çıkmaktadır. Değerler eğitimini sadece belirli derslerle sınırlandırmanın yanlış olacağı, tüm derslerde, hatta yaşamın her alanında bu konuya gereken önemin verilmesinin gerekliliği eğitim çevrelerince kabul görmüş bir görüştür. Ancak araştırmalar (Bishop, Clarkson, FitzSimons ve Seah 2000; Bishop, FitzSimons, Seah ve Clarkson, 1999; Clarkson, FitzSimons, Bishop ve Seah, 2000; Seah ve Bishop

2 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ 2000) değerlerin matematik öğretimi alanındaki araştırmalarda nadiren göz önüne alındığını, programlar hazırlanırken değerler öğretimine gereken önemin verilmediğini ve genel olarak akademik başarıya odaklanıldığını, bunun yanında matematik eğitiminin en önemli unsurlarından biri olan öğretmenlerin de matematikte değerler öğretiminin gerekliliğine inanmadığını göstermektedir. Oysa öğrencilerin kişisel gelişimlerinde büyük rol oynayan değerlerin, matematik dersindeki başarıyı da büyük oranda etkileyeceği gözden kaçmaktadır. Çünkü gerek genel eğitimsel değerler gerekse matematiksel değerler öğrencinin matematiğe ilgi duymasını, onunla çalışmaktan haz almasını büyük oranda etkilemektedir. Matthews (2001) davranışlar için aracı ve öncü olarak görülen değerlerin öğrenme davranışı üzerinde doğrudan bir etkiye sahip olduğunu, genel olarak yüksek değerleri edinmiş öğrencilerin güçlü öğrenme stratejilerine sahip olduklarını belirtmektedir. Ayrıca toplumun ve bireyin geleceği için kafalarını kuru matematiksel bilgilerle doldurmak yerine, matematik eğitimi sırasında öğrenciye sağlam bir değerler sistemi kazandırmak için çaba sarf etmenin gerekliliği de oldukça açık bir gerçektir. Ekonomik Kalkınma ve İşbirliği Örgütü / Uluslar arası Öğrenci Değerlendirme Programı [Organisation for Economic Co-operation and Development / Programme for International Student Assessment] (OECD/PISA) (2003) toplumun okullardan öğrencilere kazandırılmasını beklediği matematiksel okuryazarlığı bireyin matematiğin dünyada oynadığı rolü anlama ve tanımlama, sağlam temelli muhakemeler yapma, yapıcı, ilgili ve düşünceli bir vatandaş olarak bireysel yaşamının gereksinimlerini karşılayacak şekilde matematiği kullanma ve matematikle ilgilenme kapasitesi olarak tanımlamıştır. Yani birey matematiği öğrenmenin yanında onu toplum yararına kullanmasını sağlayacak değerleri de kazanmalıdır. Özetle toplumun sahip olduğu kendine has değerlerin aktarımını, toplumdaki çeşitli sorunların önlenmesini sağlayacak yararlı değerlerin kazanılmasını sağlamak için işe yarar her türlü fırsatı, özellikle de okulları kullanmak bir zorunluluktur (Arizona Department of Education Institu [ADE], 1993). Değerlere dayalı bir eğitim öğrencilerin benlik saygısını güçlendirir, iyimserliklerini destekler, kişisel olarak kendilerini gerçekleştirmelerine, etik kararlar almalarına ve sosyal sorumluluk yüklenmelerine yardımcı olur (Department of Education, Science and Training [DEST], 2003). Buradan hareketle değer eğitiminin, yaşamın her alanı için olduğu gibi, başarılı bir matematik öğrenimi için de gerekli olduğu söylenebilir. Ancak matematik eğitiminde başarıyı yakalamak için, öğrencilere kişisel değerlerin yanında matematiksel değerlerin de kazandırılması oldukça önemlidir. Geleneksel olarak en iyi okullarda bile yalnız akademik başarı üzerinde odaklanıldığını belirten Açıkgöz e (2003) göre, bireyin sosyal ve kişisel yönden gelişmesine yönelik amaçlar öteden beri ihmal edilmiştir. Gerçi Türkiye de 2004 yılından itibaren uygulamaya konulan yeni programlarda duyuşsal alana ait unsurlar yer almaktadır. Örneğin ilköğretim matematik programında öğrencilere matematikle uğraşmaktan zevk alır, matematikle ilgili konuları tartışır, gerçek hayatta matematiğin öneminin farkında olur matematik öğrenmek isteyen kişilere yardımcı olur, matematiğin estetik yönünün farkında olur gibi duyuşsal özelliklerin kazandırılmasının gerekliliği vurgulanmıştır (Milli Eğitim Bakanlığı [MEB], 2009). Ancak değerlerin matematik eğitimi aracılığıyla nasıl kazandırılabileceğine ayrıntılı olarak yer verilmemiştir. Bunun yanında mevcut sınav sistemi öğrencileri, aileleri ve öğretmenleri akademik başarıya odaklanmaya zorlamaktadır (Türk Eğitim Derneği [TED], 2010). Ne yazık ki günümüzde okullarımızda verilen matematik eğitiminde akademik başarıya odaklanma durumu diğer alanlara oranla çok daha bariz bir şekilde görülmektedir. Öte yandan akademik anlamda matematiğin duyuşsal alan öğretimine yönelik çalışmalar yapılsa da bunlar çoğunlukla tutum, inanç ve isteklendirme boyutlarını ele almakta, değerler öğretimi ihmal edilmektedir (Seah ve Bishop, 2000). Dolayısıyla, matematikte değerlerin öğretimine yönelik çalışmalar az ve sınırlı bir düzeyde kalmıştır. Hâlbuki değerler, matematik eğitiminde kalitenin yükseltilmesi konusunda en önemli etkenlerdendir (Seah, 2002). Öğrenciler ancak, matematik öğretiminde matematiğin bilişsel yönü kadar duyuşsal yönüne özellikle değerler öğretimi boyutuna ağırlık verildiğinde matematiğin kesinliğini, güzelliğini, estetiğini, tutarlılığını, soyutluğunu ve ilerlemeci yönünü anlayabilirler (Dede, 2007). Okul yaşamları sırasında matematiksel değerleri edinen bireyler, ilerleyen yıllarda matematikçi olmasalar da (bir tıp doktoru ya da bir iş adamı gibi) formal eğitim yaşamlarını bitirmelerine rağmen büyük bir zevkle matematik problemleriyle ilgilenebilmektedir. O halde onlara bu tutumu kazandıran değerlerin tüm bireylere kazandırılması için özel bir çaba sarf edilmesi, matematik eğitiminde yaşanan sıkıntıların aşılması için oldukça önemlidir. Ne yazık ki toplumda yukarıda bahsedildiği gibi matematiksel estetiği yakalayan insanlar azınlıkta, matematikten çekinen, korkan insanlar ise çoğunluktadır. Matematiğin ana ilgi alanının insanın kendi oluşturduğu objeler olması matematiği anlamanın güç 1654

3 DORUK / Değerler Eğitimi İçin Kullanışlı Bir Araç Olarak Matematiksel Modelleme Etkinlikleri olmamasını gerektirirken, bu objelerin çoğunlukla soyut oluşu da onun ancak güçlükle anlaşılabilmesine yol açar. Ayrıca modern matematik tümdengelimli-aksiyomatik bir yapıdadır ve bir kısmı önceki kısımları anlamadan sonrakileri anlamayı güçleştirecek şekilde hiyerarşik olarak yapılanmıştır (Swadener ve Soedjadi, 1988). Dünya genelinde bu aksiyomatik yapısından ve sosyal tercihleri içermemesinden dolayı, matematiğin herhangi bir değere sahip olmadığı görüşü azımsanmayacak kadar yaygındır. Matematiği kültürle ilişkisiz, duygu ve değerlerden mahrum olarak kabul eden bu dünya görüşü asırlar boyunca, özellikle eski Grekler den beri batı matematikçileri arasında baskın olmuştur (Wong, 2005). Fakat onlar kabul etmese de matematik de kendine özel değerler taşımakta ve gizli de olsa matematik eğitimi sırasında bu değerler aktarılmaktadır (Bishop, 2004). Sam ve Ernest (1997) matematik öğretimiyle ilgili değerleri epistemolojik değerler, sosyal ve kültürel değerler, kişisel değerler olmak üzere üç bölümde sınıflandırmıştır. Bishop ve arkadaşları da (1999) daha ayrıntılı bir sınıflandırmayı, genel eğitimsel değerler, matematiksel değerler ve matematik eğitimi değerleri ana başlıkları altında sunmuştur. Burada sözü edilen genel eğitimsel değerler dürüstlük, yardımseverlik, sorumluluk gibi ahlaki değerlerden oluşmaktadır. Matematiksel değerler ise matematiğin doğası gereği barındırdığı ve onunla etkileşim içerisinde olanların hissedebilecekleri, açıklık, gizem, akılcılık (rationalism), nesnecilik (objectivism), ilerleme, kontrol gibi değerlerdir. Matematiksel değerlerden açıklık, matematiksel fikirlerin, çözümlerin, ispatların herkese açık ortamlarda tartışılarak incelenmesini ifade eder. Bu değer matematiksel bilginin sunumunu teşvik ve fikirlerin özgürce tartışılmasını destekleme anlamında da kullanılabilir. Gizem değeri matematiğin yapısındaki ilginç örüntüleri, hayret verici sonuçları göstermektedir. Merak duygusunu harekete getiren, gerçek yaşamla matematiğin büyüleyici ilişkisini ortaya koyan gerçek hayatla ilişkili sorulan ilginç sorular bu değerin açığa çıktığı durumlardır. Akılcılık değeri matematiksel bilgileri yorumlama, tartışma, açıklama isteme, muhakeme yapma, sorgulama gibi durumlarda ortaya çıkan sonuçların ve açıklamaların hipotezlere, mantığa dayandırılarak yapılması anlamına gelen değerdir. Nesnecilik değeri soyut bir dil içeren matematiğin somutlaştırılmasına aracılık eden değeri ifade eder. Kontrol değeri matematiğin sosyal ortamlardaki problemlerin çözümlerinde ve ileriye yönelik kestirimlerde kullanılarak insana güç kazandırması anlamına gelen değerdir. Ayrıca bu değer matematiğin her zaman doğrulukları kontrol edilebilen cevaplara sahip olmasını da ifade eder. Matematiğin her zaman ilerlemeye açık oluşunu temsil eden ilerleme değeri, matematiğin genelleme yapma ve farklı çözümleri teşvik etme yönünü de içerir. Matematik eğitimi değerleri de matematiğin öğrenilmeye çalışıldığı ortamlarda ortaya çıkan ve öğretmen ve öğrencinin matematik öğretimi ve öğrenimiyle ilgili eğilimlerini belirleyen değerlerdir. Öğretmen ve öğrencilerin içinde yaşadıkları kültüre göre nitelikleri ve sayıları değişiklik gösterebilmekle birlikte genel olarak matematik eğitimi değerlerinden bazıları şöyledir: Kuralcılık değeri, matematik öğreniminde alış yolunun ve belirli standart adımları takip ederek sonuçlara ulaşmayı öngören tümdengelimci yöntemlerin kullanılması eğilimini ifade eder. Eylemcilik değeri ise matematik öğreniminde sezgisel yolları ve buluş yoluyla öğrenmeyi, öğrencinin keşfetmesini ön plana çıkaran değerdir. İşlemsel öğrenme değeri, matematik öğreniminde kural, işlem ve formüllerin öğrenilmesini ve bunların özel sorulara uygulanmasını vurgularken ilişkisel öğrenme değeri ise kavramlar arası ilişkileri ortaya koymaya ve bunlara uygun şemalar oluşturabilmeye önem verir. İlgililik değeri, matematiksel bilgiyi yaşamla ilişkilendirmeyi önemsemeyi, onun günlük problemlerin çözümlerinde kullanımına özen göstermeyi ifade eder. Matematik öğretiminde kuramsal değeri ise matematiğin günlük yaşamla ilgili tanıdık bağlamlardan uzak, teorik olarak öğretilmesini ve öğrenilmesini esas alır. Ulaşılabilirlik değeri matematiksel etkinliklerle herkesin meşgul olabileceğine inanmayı gerektirir. Özelcilik (specialism) değeri ise yalnızca matematiğe yönelik ilgi ve yeteneği olan seçilmiş kişilerin matematiksel etkinliklere katılabileceğini kabul etmeyi içerir. Matematik öğrenme ve öğretmenin nedenleri olarak sırayla listelenen performans beklentilerinden bilme, rutin işlemleri uygulama, araştırma-problem çözme, akıl yürütme ve iletişim adımlarından ilk üçü matematiği, bilinmeyen bir cevabı hesaplarken son ikisi de matematiksel bilgiyi akıl yürütme yeteneğimizi ve fikirleri iletebilmeyi geliştirmek için kullanırken ortaya çıkar. Bu nedenle ilk üç beklentinin baskın olduğu öğrenme durumlarında hesaplama (evaluating) değerinin, son üçünün ağır bastığı öğrenme etkinliklerinde de akıl yürütme (reasoning) değerinin uygulamaları görülür (Horzum ve Kıymaz, 2011; Seah ve Bishop, 2000). Haz alma değeri ise zevk alarak matematik yapmaya, matematiği eğlenerek öğrenmeye önem verme anlamındadır (Chin ve Lin, 2001; Clarkson ve ark., 2000). Matematiğin ve eğitiminin doğal olarak içerdiği yukarıda bahsedilen değerleri dikkate almadan öğretilmeye çalışılan matematik öğrencilerin büyük 1655

4 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ çoğunluğu için kötü sonuçlar doğurabilir. Öğrencilerin bir derse yönelik duyuşsal özellikleriyle akademik başarıları arasında pozitif bir ilişki bulunduğuna dikkat çeken Dede (2007) matematiğin zaten doğal olarak yapısında bulunan değerleri öğrencilerin de keşfedebilmesi için matematik eğitiminde değerler eğitimi boyutuna da önem vermenin gerekliliğini vurgulamıştır. Bu değerleri kazanmış bir öğrenci, iyi bir matematik eğitimi için gerekli olan en temel ve gerekli adımı atmış olacaktır. Çünkü Umay a (2007) göre gerçek dünyadan uyarlanan problem durumlarında, örüntüleri gören, ilişkileri kurabilen, neyi neden bulduğunu, nasıl davranması gerektiğini bilen, kararlarını kendisi veren öğrenen için matematik yaşamın bir parçası, kimi zaman bir anahtar, kimi zamansa bir oyun bir eğlence haline gelebilmektedir. Burada vurgulanan unsurların her biri matematiksel değerler ve matematik eğitimi değerleriyle yakından ilişkilidir. Aksine sınavlarda karşılaşılabilecek bir konuyu iyice pekiştirmek için bol bol alıştırma yaptırma, ya da hoşlanılmayan uygulamalarda kullanmak için çabucak unutulabilecek bazı tekniklerin ön plana çıkarılması matematiğin estetik yönünün kazandırılmasını engellemektedir (King, 2004). Oysa öğrencilerin ilgilerini çekecek kendi çevrelerinden alınan problemlere, yine kendilerine özgü çözümler ürettiği etkinliklerle matematikle uğraşmaktan zevk almaları ve matematiğin dünyasındaki değerleri kazanmaları kolaylaşacaktır. Son yıllarda matematik eğitiminde modelleme etkinliklerinin kullanımı üzerine yapılan çok sayıda araştırma modelleme etkinliklerinin matematik eğitimi için son derece kullanışlı araçlar olduğunu göstermektedir (Bransford, Brown ve Cocking, 1999; English ve Watters, 2004; English, 2010; Lesh ve Doerr, 2003a; Lesh ve Lehrer, 2003; Lesh ve Yoon 2006; Mousoulides, Christou ve Sriraman, 2008; Mousoulides, Pittalis ve Christou, 2006; Swan, Turner ve Yoon 2006). Modelleme etkinlikleri problem çözmeye yepyeni bir boyut kazandırabilecek yapıdadır. Matematiksel modelleme perspektifi; yapılandırmacı yaklaşımı, sosyal yapılandırmacılığı, öğrencilerin matematiksel yapıları geliştirmesiyle ilgili Piagetçi bakışı, üst düzey bilişsel fonksiyonların gelişiminde dilin önemini vurgulayan Vygotsky nin görüşleri üzerine araştırmaları, öğrencilerin öğrenme yörüngeleri üzerine çalışmaları, üstbiliş ve öz-düzenleme üzerine çalışmaları ve bunlar gibi birçok modern araştırmayı bulundukları konumdan daha öteye götürebilecek bir yapıya sahiptir (Lesh ve Doerr). Modelleme, matematiğin bilimsel bilgi üretme yöntemidir. Matematiksel modelleme gerçek yaşamda karşılaşılan durumların matematiksel olarak ifade edilmesidir, matematiği bütün dünyaya yayarak uygulamaktır. Matematiksel modelleme sürecinde gerçek yaşamdan, pür matematiğin dışından doğan bir konu alınır ve bu konu matematiksel olarak ifade edilir, böylece matematiksel teknikler orijinal konuya ışık tutmak için kullanılabilir. Bu anlamda modelleme, çok yönlü bir problem çözme sürecidir (Blum ve Niss, 1989). Modelleme yapılırken gerçek ve matematik arasında gidip gelinir. Modelleme süreci karmaşık bir gerçek yaşam durumuyla başlar. Bu durumdan bir problem ifadesi elde edilir. Buradan matematize etme aracılığıyla bir matematiksel modele ulaşılır. Model üzerinde yapılan matematiksel çalışmayla çözüm bulunabilir. Bu çözüm öncelikle yorumlanır ve daha sonra doğruluğu gösterilir. Eğer çözüm veya seçilen süreç gerçekle uyum sağlamazsa belirli adımlar veya modelleme sürecinin tamamı tekrarlanır. Modellemenin döngüsel süreci Şekil 1 deki gibidir (Stillman, Galbraith, Brown ve Edwards, 2007). Matematiksel modelleme etkinlikleri, matematiksel modellemenin sınıf ortamında öğrenciler Karmaşık gerçek yaşam durumu Gerçek dünya problem ifadesi Matematiksel model Matematiksel çözüm Rapor Modelin gözden geçirilip düzeltilmesi veya çözümün kabulü Çözümün gerçek dünyadaki anlamı Şekil 1. Modelleme Süreci 1656

5 DORUK / Değerler Eğitimi İçin Kullanışlı Bir Araç Olarak Matematiksel Modelleme Etkinlikleri tarafından yapılmasıdır. Bu etkinliklerde küçük gruplar halinde çalışan öğrenciler problem durumunun matematiksel yorumlarını kendileri geliştirir, verilen durumları matematize ederler (Lesh, Hoover, Hole, Kelly ve Post, 2000). Bu etkinlikler çocukların ilgilendikleri temalar çevresinde geliştirilir ve çocukları problem durumunu araştırmak ve açıklığa kavuşturmak için teşvik edecek şekilde düzenlenirler. Modelleme etkinliklerinin sonunda öğrenciler geliştirdikleri modelleri yazılı semboller, sözlü raporlar, kâğıt üzerindeki diyagramlar veya resimler gibi çeşitli gösterim sistemlerini kullanarak arkadaşlarına sunarlar (Fox, 2006). Modelleme etkinliklerine bir örnek olarak, Lesh ve Doerr in (2003a) ilköğretim ikinci kademe düzeyine uyarladıkları, bir gerçek yaşam problem çözme durumu olan, büyük ayak problemi verilebilir. Bu modelleme etkinliği aşağıdaki şekilde düzenlenmiştir: Büyük ayak problemine hazırlık için, öğrenciler New Jersey de yaşayan ve sık sık polise kayıp insanları veya kaçak suçluları bulmada yardımcı olan ünlü iz sürücü Tom Brown la ilgili gazete haberlerini okuyup tartışarak konuya giriş yaparlar. Tom, iz sürme ustalığını ona yaban hayatında araçsız ve yiyeceksiz nasıl yaşayacağını gösteren Apaçi büyükbabasından öğrenmiştir. Sonra Tom ünlü dedektif Sherlock Holmes ile karşılaşır. Tom başka insanların görmedikleri izleri görebilir ve ayak izlerine bakarak, şaşırtıcı bir şekilde bu ayak izinin sahibi olan kişi hakkında kesin tahminlerde bulunabilir. Örneğin, boy uzunluğu, ağırlığı ne kadar? Erkek mi yoksa kadın mı? Ne kadar hızlı koşuyor ve yürüyor? Problem Durumu: Polis bu sabah erken saatlerde, tahminen dün gece geç saatlerde bazı insanların komşu çocuklarının birçoğunun oynadığı parktaki eski tuğla çeşmeyi yeniden inşa ettiğini belirledi. Komşu aileler bunu yapan insanlara teşekkür etmek istediler. Fakat hiç kimse bunu kimin yaptığını görmemişti. Polis olay yerinde birçok ayak izine rastladı. Ayak izlerinin birisi burada görülüyor. (Öğrencilere bir karton üzerindeki, bir basketbol oyuncusuna ait, 16 inç uzunluğunda, 5,5 inç genişliğindeki ayak izi verilir.) Bu ayak izini yapan kişi çok uzun gibi görünüyor. Bu kişiyi ve arkadaşlarını bulmak için bu ayak izinin sahibinin boyunu belirlememiz faydalı olabilir. Sizin göreviniz polise ayak izine baktığı kişinin uzunluğunu belirlemede kullanmak üzere, ona bu konuda güzelce yol gösterebilecek bir araç geliştirmek. Geliştirdiğiniz araç burada gördüğünüz ayak izi için işe yaradığı gibi diğer ayak izleri için de işe yaramalı. Halstead (1996) derslerde değer eğitimi gerçekleştirilirken en çok kullanılabilecek yöntem ve teknikler arasında tartışma temelli yaklaşım, öğrenci merkezli aktif öğrenme stratejileri, proje çalışması, uygulamalı aktiviteler, işbirlikli öğrenme, grup çalışması ve öğrenciler tarafından yönetilen araştırmaları belirtmiştir. Taplin (1998b) problem çözme etkinliklerinin, Suharjo (2007) işbirliğine dayalı öğrenmenin matematik derslerinde değer eğitimi için kullanışlı araçlar olduğunu ifade etmişlerdir. Buradan hareketle geleneksel problem çözme etkinliklerinden farklı olarak öğrencilerin sosyal çevresiyle ilgili bir karmaşık günlük yaşam durumu ile başlayan, çözüm için belirli bir prosedürü bulunmayan, açık uçlu ve rutin dışı problemlerle oluşturulan ve öğrencilerin küçük gruplar halinde çalıştıkları modelleme etkinliklerinin matematik derslerinde değer eğitimine önemli katkılar sağlayabileceği akla gelmektedir. İlgili literatür incelendiğinde matematiksel modelleme etkinliklerinin değerler eğitimi yönünün ayrıntılı olarak incelendiği bir araştırmaya rastlanamamıştır. Bu nedenle bu çalışmada öğrencilerin modelleme etkinlikleriyle çalışırken geçirdikleri yaşantılar sırasında ortaya çıkan ve değer eğitimine katkı sağlayacak fırsatları ayrıntılı olarak belirlemek amaçlanmıştır. Bu amaca ulaşmak için de şu sorular yanıtlanmaya çalışılmıştır: Öğrenciler matematiksel modelleme etkinlikleriyle çalışırken ortaya çıkan (i) genel eğitimsel değerlerin; (ii) matematiksel değerlerin; (iii) matematik eğitimi değerlerinin gelişimine katkı sağlayıcı fırsatlar nelerdir? Araştırma Modeli Yöntem Araştırmada, nitel araştırma yöntemlerinden durum çalışması kullanılmıştır. Durum çalışmalarında bir ya da daha fazla olay, ortam, program, sosyal grup veya diğer birbiriyle ilişkili sistemler derinlemesine incelenir (McMillan, 2000). Durum çalışmaları bir olayı meydana getiren ayrıntıları tanımlamak ve görmek, bir olaya ilişkin olası açıklamaları geliştirmek, bir olayı değerlendirmek amacıyla yapılabilir (Gall, Borg ve Gall, 1996). Bu yöntem, araştırmacıya bir bağlam içerisinde bir grubu, olayları veya ilişkileri derinlemesine inceleme ve yorumlama olanağı sağlayan, elde edilen bulgularla benzer durumlar üzerinde gerçekçi tahminlerden çok analitik genellemeler yapma fırsatı veren nitel araştırma yöntemlerinden biridir (Cohen, Manion ve Morrison, 2000). Araştırmada durum çalışması desenlerinden bütüncül tek durum deseni kullanılmıştır. Her ne kadar araştırma iki farklı sınıf üzerinde yürütülse 1657

6 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ de durum bütüncül ve tek bir ünite olarak ele alınmıştır. Burada ele alınan tek durum modelleme etkinlikleriyle çalışan öğrencilerin geçirdikleri değer eğitimine katkı sağlayıcı yaşantılardır. Öğrencilerle birlikte bir dönem boyunca yürütülen çalışmalardan elde edilen verilerin derinlemesine incelenmesinin araştırma durumuyla ilgili ayrıntılı bilgiler vereceği düşünülmektedir. Çalışma Grubu Katılımcılar kolay ulaşılabilir durum örneklemesi ile belirlenmiştir. Araştırma, Ankara ilinin bir ilçesinde bulunan ve alt sosyo-ekonomik durumdaki öğrencilerin devam ettiği bir ilköğretim okulunda yapılmıştır. Okulda bulunduğu bölgedeki öğrencilerin yanı sıra civar köylerdeki öğrenciler de eğitim almaktadır. Araştırma grubu, öğretim yılındaki, 6. ve 7. sınıf öğrencileri arasından seçilerek oluşturulmuştur. Araştırma grubunda 6B şubesinden 34, 7C şubesinden 24 olmak üzere toplam 58 öğrenci bulunmaktadır. Bu öğrencilerin 30 u kız, 28 i erkektir. Araştırmanın yürütüldüğü sınıflardaki öğrencilerin matematik dersinde bir dönem önceki not ortalamaları 53.6 dır. Okuldaki 8. Sınıf öğrenciler yaklaşan sınav nedeniyle oluşabilecek aksaklıklar düşünülerek çalışma grubuna dahil edilmemiştir. Veri Toplama Aracı Bu araştırmanın verileri matematiksel modelleme etkinliklerinin öğrencilerin matematiği günlük yaşama transfer etme düzeyleri üzerindeki etkilerini araştırmak amacıyla başka bir çalışma için toplanmıştır (Doruk, 2010). Bu çalışmada ise bu veriler farklı bir yönden analiz edilmiştir. Araştırmada kullanılan veriler öğrencilerin matematiksel modelleme etkinlikleriyle çalışmasına rehberlik eden araştırmacının yaptığı gözlemler, çalışmalar sırasında elde edilen video kayıtları, öğrencilerin etkinlikler sırasında kullandıkları çalışma kâğıtları, etkinliklerin sonunda hazırladıkları raporlar ve uygulamaların sonunda yapılan yarı yapılandırılmış görüşmeler yardımıyla elde edilmiştir. Görüşme soruları hazırlanırken öncelikle alanyazın incelenmiş ardından üç öğrenciyle ön görüşme yapılmış, ardından hazırlanan taslak sorulara üç matematik eğitimi alanı uzmanının önerileri doğrultusunda son şekli verilmiştir. Görüşmelerde araştırmacı tarafından öğrencilere Bu dönem birlikte çalıştığımız etkinliklerde amacımız neydi?, Matematiğin yaşamdaki yeri ile ilgili düşüncelerini etkinlikler nasıl etkiledi? gibi sorular yöneltilerek öğrencilerin matematiksel modelleme etkinlikleriyle ilgili düşünceleri ve etkinliklerden sonra matematiğe ve yaşamlarındaki problemlere bakışlarında oluşan değişimler belirlenmeye çalışılmıştır. Uygulama Süreci 6B ve 7C sınıflarında okuyan öğrenciler, matematik dersleri dışında, farklı bir derste, bir dönem boyunca, gerçek yaşamdan bazı durumların ve olguların matematiksel düşünmeyle değişkenlerinin belirlenmesi ve bu değişkenler arasındaki ilişkilerin matematiksel ifadelere aktarılması gibi beceriler gerektiren problem çözme etkinlikleri olan matematiksel modelleme etkinlikleriyle araştırmacının rehberliğinde çalışmışlardır. Çalışmada kullanılmak üzere literatürden derlenen etkinliklerden 8 tanesi araştırma gruplarında uygulanmak üzere çalışmanın yapıldığı okulun şartlarına uyarlanmıştır (Cramer, 2003; Henning ve Keune, 2005; Johnson ve Lesh, 2003; Lesh ve Doerr, 2003a; Mousoulides ve ark., 2006; Swan ve ark., 2006). Etkinlikler English in (2004) kullandığı standart formattan yararlanılarak uygulanmıştır. Bu formata göre ilk olarak öğrencilere bir bağlamı anlatan senaryo verilir ve kavramanın ortaya çıkmasını sağlamak için hazırlık soruları oluşturulur. Bu bölüm süresince öğrencilere hikâye ile ilişkili olarak bir problem sunulur. İkinci olarak öğrenciler küçük gruplarla problem üzerinde çalışarak matematiksel modellerini oluştururlar. Üçüncü olarak öğrenciler oluşturdukları modelleri dinleyicilere, yani sınıf arkadaşlarına sunarlar. Modelleme etkinliklerinin sunum aşaması öğrencilere fikirlerini açıklamak, rahatça dile getirmek, düşüncelerini kanıtlamaya çalışmak ve iletişim becerilerini geliştirmek için fırsatlar sağlar. Dinleyicilerin arkadaşlarına daha başka değerli yaşam becerileri geliştirecek eleştirel sorular sorma şansı vardır. Uygulamaya başlamadan önceki dönem, çalışmanın yapıldığı okulun 8. sınıflarıyla pilot uygulamalar yapılmıştır. Böylece etkinliklerin planlanmasında dikkat edilmesi gereken noktalar belirlenmiş, eksiklikler giderilmiş, ısınma aşaması, modeli oluşturma aşaması, rapor yazma aşaması ve sunum için ayrılması gereken süreler etkinliklerin yapısı göz önünde bulundurularak saptanmıştır. Matematiksel modelleme etkinliklerinde grup çalışmasının önemi birçok araştırmacı tarafından vurgulanmaktadır. Zawojewski, Lesh ve English e (2003) göre geleneksel matematik problem çözme aktivitelerinde, çözülmesi ve ulaşılması beklenen çözüm bir matematiksel (sayısal) sonuç olduğu için paylaşılma gereği yoktur ve bu nedenle sosyal 1658

7 DORUK / Değerler Eğitimi İçin Kullanışlı Bir Araç Olarak Matematiksel Modelleme Etkinlikleri yönü çok zayıftır. Ancak matematiksel modelleme etkinliklerinde model oluşturma ve modeli genelleme ilkeleri, geliştirilen bir modelin paylaşılabilir ve tekrar kullanılabilir olmasını sağlamaktadır. Sınıf içi tartışmalar ve rapor yazımı, öğrencilerin bu çalışmalarından öğrendiklerini pekiştirmeleri için kullanılır. Diğer problem çözümlerinde de olduğu gibi grup çalışması öğrencilerin güvenlerini kazanmalarına, sonuçlarını paylaşarak tartışabilmelerine olanak sağlar. Modelleme etkinliklerinin yukarıda bahsedilen sosyal fonksiyonlarının olması dolayısı ile sosyal yönü olan grup çalışması şeklinde yapılması gerektiği görüşü literatürde birçok araştırmacı tarafından dile getirilmektedir. Bu nedenle matematiksel modelleme etkinlikleriyle çalışma sürecinin gruplar halinde yürütülmesi uygun görülmüştür. Uygulamalara başlamadan önce öğrenciler bir dönem boyunca birlikte çalışmak üzere 5 veya 6 kişilik heterojen gruplara ayrılmışlardır. Zaman kaybını önlemek amacıyla etkinliğin düzenleneceği her dersten önceki arada sınıfın oturma düzeni grupla çalışmaya uygun olacak şekilde düzenlenmiştir. Etkinlikler için yapılarına göre bir, iki ya da üç ders saati yeterli olmuştur. Öğrencilerle her matematiksel modelleme etkinliğinin başlangıcında ısınma çalışmaları yapılmış, daha sonra öğrenciler gruplar halinde verilen yönerge doğrultusunda problemin çözümü için uygun bir model geliştirmeye çalışmışlar, bundan sonra da geliştirdikleri modeli raporlaştırmışlar ve son olarak modellerini sınıfa sunmuşlardır. Sunum sırasında dinleyicilerin soru sormalarına ve sunum yapan grupların modellerini arkadaşlarının eleştirileri doğrultusunda gözden geçirip düzeltmelerine fırsat verilmiştir. Araştırma gruplarında uygulanan ders planlanırken, 1 ders sürecek etkinlikler için dersin ilk 3 dakikası ısınma aşaması, 25 dakikası grupların model geliştirme ve sonuçları raporlama çalışmaları, sonraki 12 dakika ise geliştirdikleri modelleri arkadaşlarına sunma süreci olarak planlanmıştır. İki ders saati süren etkinlikler için ilk 3 dakika ısınma aşamasına, 50 dakika model geliştirme ve rapor yazma çalışmalarına, 27 dakika da geliştirilen modelin sunumuna ayrılmıştır. Verilerin Analizi Araştırmada toplanan verilerin incelenmesinde, elde edilen bulguları düzenlenmiş ve yorumlanmış biçimde okuyucuya sunmak amacıyla betimsel analizden yararlanılmıştır. Bu amaçla öncelikle araştırmanın problemi doğrultusunda, öğrencilerin matematiksel modelleme etkinlikleriyle çalışması sırasında ortaya çıkan ve literatürde yapılan sınıflandırmalara göre matematik derslerinde öğretilen değerlerin farklı türlerini içeren durumlar temalar olarak belirlenmiştir. Her bir modelleme etkinliği sırasında elde edilen, sınıfın tamamına ve gruplara ait kayıtlar bu temalara göre değerlendirilerek öğrencilerin süreç içinde yansıttıkları davranış dağılımlarına bakılmıştır. Böylece matematiksel modelleme etkinlikleriyle çalışma sürecindeki yaşantılarının öğrencilere değerleri kazandırmak için ne gibi fırsatlar sunduğu anlaşılmaya çalışılmıştır. Geçerlik ve Güvenirlik Araştırmanın iç geçerliğini artırmak için araştırmacının da içinde olduğu uygulama süreci olabildiğince uzun tutulmuş, elde edilen dokümanlarla olan etkileşimin uzun süreli olmasına dikkat edilmiştir. Bunun yanında toplanan verilerin araştırma problemine yanıt verme durumu eleştirel bir yaklaşımla irdelenerek derinlik odaklı veri toplama yönteminden yararlanılmıştır. Ayrıca araştırmacının yaptığı gözlemleri desteklemek amacıyla uygulamaların video kayıtlarını alarak, öğrencilerin etkinlikler süresince yaptıkları yazılı çalışmaları dosyalayarak ve çalışmanın sonunda öğrencilerle görüşme yaparak veri kaynakları bakımından çeşitlemeye özen gösterilmiştir. Yine iç geçerlik için konu hakkında genel bilgiye sahip iki uzmanla değerlendirme toplantısı yapılarak uzman incelemesi yönteminden yararlanılmıştır. Dış geçerlik (aktarılabilirlik) için ayrıntılı betimleme yapılmaya çalışılmıştır. Bu amaçla veriler matematik derslerinde öğretilen değer türlerine göre düzenlenerek okuyucuya aktarılmaya çalışılmış, doğrudan alıntılara yer vermeye özen gösterilmiştir. İç güvenirliği (tutarlığı) artırmak amacıyla dışarıdan bir uzman tarafından araştırmanın başından nihayetine kadar tutarlı bir yol izlenip izlenmediği incelenmiş ve olumlu dönüt alınmıştır. Dış güvenirlik (teyit edilebilirlik) içinse araştırma süreci ayrıntılı olarak anlatılmış, uygulamalar sırasında elde edilen dokümanlar bir uzmana inceletilerek ulaşılan sonuçların ham verilerle uygunluğu teyit edilmiş ve bu veriler gerektiğinde tekrar incelenebilecek şekilde saklanmıştır. Bulgular Bu bölümde Bishop ve arkadaşlarının (1999) yaptığı sınıflandırma doğrultusunda oluşturulan temalara göre öğrencilerin matematiksel modelleme etkinlikleriyle çalışmaları sırasında ortaya çıkan, değer eğitimine katkı sağlayıcı durumlar betimlenecektir. 1659

8 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Genel Eğitimsel Değerler Matematiksel Modelleme Etkinliklerinin Tamamında Ortak Olarak Görülen Değerler: Yardımseverlik- İnsanlığa Hizmet: Tüm etkinliklerde öğrenciler çevrelerinde gerçekleşen bir durumda bu durumla ilişkili kişi ya da kuruluşlara yardım etmek amacıyla matematikten yararlanmaya çalışmaktadır. Örneğin öğrenciler büyük ayak probleminde okul bahçesine gizlice kitap bırakan insanlarla ilgili bilgi toplamaya çalışan polis teşkilatına ayak uzunluğundan yararlanarak boy hesaplamayı sağlayacak bir bağıntı geliştirmeye çalışmışlardır. Bir diğer etkinlikte Türkiye İlaç Sanayicileri Odası İlaç Sanayicileri Altın Ödülü nü vermek amacıyla en etkili ilacı belirlemek için ilgili kuruluşa yardımcı olmaya çalışmışlardır. Çalışmalar sırasında öğrencilerin bu yardım etme durumlarını yapay bir durum olarak algılamayıp, ciddiyetle üzerinde durdukları gözlemlenmiştir. Etkinliklerin sonunda yardımcı olmak istedikleri kişi ya da kurumlara mektup yazarak problemi nasıl çözebileceklerini açıklamışlardır (Şekil 2). Öğrencilerle yapılan görüşmelerde de bir öğrencinin Bu dönem birlikte çalıştığımız etkinliklerde amacımız neydi? sorusuna verdiği Sorunlara çözüm bulmaya çalışıyorduk, genellikle toplumsal sorunlara, birinde polise Biz bir arkadaşımızdan yararlanarak izin sahibinin boyunu bulduk. Büşra nın boyunu ölçtük ve 160 cm bulduk. Ayakkabısının boyunu da 24 cm bulduk. İkisinin arasında tam olarak değil de yaklaşık 6 kat var. Bunu da o kişide denedik. Onun ayakkabısının boyu 38 cm idi. Yine 6 katı bulacaktık. O yüzden yaklaşık o da 228 cm çıktı. Şekil 2. Bir Grup Öğrencinin Büyük Ayak Problemi İle İlgili Yazdıkları Mektup ve Sınıftaki Sunumları. yardımcı olduk, diğerinde iş kurmak isteyen birine, bir de ilaç ödülü için birinci seçtik, bunun gibi yanıtında olduğu gibi diğer öğrenciler de matematikten yararlanarak insanlara yardımcı olmaya çalıştıklarını ifade etmişlerdir. İşbirliği, Yardımlaşma: Etkinliklerin tamamı grup çalışması şeklinde gerçekleştirilmiş ve gerek grup içi gerekse gruplar arasında yardımlaşma olanaklarının doğduğu gözlenmiştir. Modelleme etkinliklerinin bazı aşamalarında grubun farklı üyelerinin ön planda diğerlerinin de ona yardımcı konumunda olduğu gözlenmiştir. Örneğin problem durumunun okunup anlaşılmasında ya da raporun yazılmasında okuma ve yazma işini bir üye gerçekleştirirken diğerleri de görüş ve düşünceleriyle katkı sağlamaktadır. Modelleme sürecinin bazı aşamalarında ise grup üyelerinin aralarında tam bir görev paylaşımına gittikleri görülmüştür. Örneğin büyük ayak probleminde gruplar problem durumu üzerinde uzun süren tartışmalardan sonra grup üyelerinin ayak uzunluklarını ve boylarını ölçmeye karar vermişler, bir üye metreyi tutarken diğeri değerleri okumuş bir diğer öğrenci de bu değerlerle tablo oluşturmuştur. Görev paylaşımı sırasında özellikle araç gereç kullanımı gerektiğinde küçük anlaşmazlıklar da yaşanmış, öğrenciler çoğu zaman kendi aralarında bazen de öğretmenin müdahalesiyle araçları sırayla kullanma konusunda anlaşmaya varmışlardır. Başkalarının Düşüncelerine Saygı: Grupların tamamının geliştirdikleri çözümü sınıf arkadaşlarına sunmalarına izin verilmiştir. Etkinliklerin tamamında öğrenciler tarafından birden fazla model geliştirilmiş, farklı gruplar geliştirdikleri farklı modelleri sınıf arkadaşlarına sunarken, dinleyiciler de sorularıyla bu farklı modelin kullanışlılığını anlamaya çalışmışlardır. Cesaret, Özgüven: Öğrencilerin grup içerisinde problemin anlaşılması ve çözümü ile ilgili tartışmalara oldukça sık katıldıkları, bunun yanında grubun geliştirdiği modelin sınıfa sunumu ve işlerliğinin ispatlanmaya çalışılmasında grup sözcüsünün yanında diğer üyelerin de görev aldıkları gözlenmiştir. Tüm etkinliklerde matematik dersinde başarısız olduğunu belirtenler de dahil olmak üzere, öğrenciler yaşamın içinden alınmış olan problem durumlarına matematikten yararlanarak çözüm üretimine aktif olarak katılmışlardır. Problemlerin hiçbirinde model geliştirme süreci başarısızlıkla sonuçlanmamış ve grupların geliştirilen modelin sınıf arkadaşlarına sunumu aşamasında neşe ve heyecan içinde oldukları gözlenmiştir. Aşağıda grup içerisinde ve sınıfa sunum sırasında yaşanan tartışmalara birer örnek verilmiştir. 1660

9 DORUK / Değerler Eğitimi İçin Kullanışlı Bir Araç Olarak Matematiksel Modelleme Etkinlikleri Büyük ayak problemi için çözüm arayışındaki bir grup içinde yaşanan tartışmalardan bir kesit: Ö1: Öğretmenim biz önce ayak izini ölçtük, 38 metre bulduk. A: 38 metre mi? Ö2: Hayır, hayır santimetre. A: 38 metre neredeyse buradan bahçe kapısı kadar olur herhalde değil mi? Ö1: Karıştırmışım öğretmenim. Neyse, sonra arkadaşımız Cafer in ayakkabı boyunu ölçtük 28 cm. Ö3: Boyu da 150 cm. Ö1: Sonra buradan orantı kurmaya karar verdik. Ö2: Öğretmenim bence ters orantı kurmak lazım değil mi? Sevda doğru orantı diyor. A: İnsanların ayak uzunlukları büyüdükçe boyları da büyür mü? Ö1,2,3,4: Evet Ö1: O zaman doğru orantı. A: Ama acaba sadece Cafer e göre orantı kurmak doğru mu? Ö2: Başka ne yapabiliriz ki? Ö3: Hepimizinkine göre hesaplayıp sonra ortalama alsak daha iyi olabilir. A: Bir deneyin bakalım, ama daha hassas bir hesaplama yolu da bulunabilir belki. Bir yarışmada en uygun seçimi yapabilmesi için arkadaşlarına yardımcı olmaya çalışan bir gurup öğrencinin çözümlerini sınıfa sunumları sırasında ortaya çıkan bir tartışma: S: Biz de oyunumuzu oynadık. 2 kez 6 numaralı at bir kez 9 numaralı at birinci geldi. Ama bu şanstan dolayıydı. Normalde 7 numaralı atın birinci olma olasılığı daha yüksek, sayısal verilerden yararlandığımızda bunu bulduk. Mesela 1+8=9. D1:1+ 8 diyemeyiz ki, zarda 6 var, 6 dan büyük yok. S: Doğru. 6+3, 3+6, 5+4, için 1+5, 5+1, 3+3, 3+3, 4+2, yi incelediğimizde 1+6, 6+1, 3+4, 4+3, 2+5, 5+2. D2: 6 nınki de 6 tane 7 ninki de. Neden 7 nin olasılığı en yüksek o zaman? D3: 3 ile 3 ikisi de aynı rakam ama iki kere farklı nasıl gelebilir? D4: O zaman 1+5 ile 5+1 in farkı ne? S: Evet 3+3 ü yanlışlıkla iki kere yazmışım. Ama ilk zarın 1, ikincinin 5 gelmesiyle, ikincinin 1 birincinin 5 gelmesi farklı olaylar. Sorumluluk: Öğrenciler etkinliklerin tamamında kendi sosyal çevreleriyle ilişkili bir problemi yine kendileri çözmeye çalışmışlardır. Problemin çözümü için kendi belirledikleri bir model geliştirmişler ve bu modeli sınıf arkadaşlarının önünde savunmuşlardır. Ayrıca modelleme etkinliklerinin hiçbirinde sürecin tıkanıp kalması durumu yaşanmamış, grupların tamamı farlı düzeylerde kullanışlılığı olan modeller geliştirmişlerdir. Azim, Sabır: Öğrenciler günlük yaşamdan alınan problemlerin çözümü için geliştirdikleri modellerin işlerliğini kontrol ettikten sonra gerekirse modellemenin döngüsel süreci tekrarlanmış, en iyi modele ulaşılmaya çalışılmıştır. Etkinliklerin tamamı çözüm için bir ya da birkaç işlemin uygulanmasının yeterli olmadığı rutin olmayan problemlerden oluşmasına rağmen hiçbir grubun bir aşamada takılıp sürece devam edemediği bir durum yaşanmamıştır. Öğrenciler yaşadıkları kararsızlıkları kendi aralarında tartışarak ya da araştırmacının rehberlik edici sorularıyla aşmışlardır. Etkinlikteki Problem Durumuna Özel Olarak Ortaya Çıkan Değerler: Adalet, Doğru Olanı Savunma: Uzun atlama probleminde öğrenciler okullarından Türkiye genelinde düzenlenecek şampiyonaya öğrenci seçimi konusunda müdür yardımcısı tarafından bilmeden yapılacak olan haksızlığı matematikten yararlanarak önlemişler ve okul idaresine hangi arkadaşlarının okulu temsil etmesinin doğru olacağını matematiksel olarak açıkladıkları bir mektup yazmışlardır (Şekil 3). Öğrencilerin adaletli bir seçim yapılabilmesi için buldukları çözümü sınıf arkadaşlarına sunumlarına bir örnek aşağıda verilmiştir: Şekil 3. Öğrencilerin Okul Müdür Yardımcısına Haksızlığı Önlemek İçin Yazdığı Mektup. 1661

10 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Arkadaşlar biz de ilk başta aritmetik ortalamasını aldık. Daha sonra düşündük biz bu yolu adil bulmadık. Çünkü Büşra nın atladığı çok büyüktü, yani en uzun atladığı 4,28 m unutulamazdı. Yani hani bir kere 2,95 atlamış ama yine de Büşra gitmeli diye düşündük. Yine de aritmetik ortalamayı hesaplayıp sıralamayı kontrol ettik. Gerçekten Şeyda birinci, Fatma ikinci, Büşra ise sonuncuydu. Fakat biz gerçekten Büşra nın gitmesi gerektiğini düşündük. Çünkü zaten üç atlama yapılacak ve galiba bir sorun olmuş 2,95 atladığında, bu 2,95 Büşra nın puanını kötü etkilediği için ortalaması düşük çıkmış. Neden Büşra nın gitmesi gerektiğini açıklamak için olasılık hesapladık. Örnek uzayımız 6, altı atlayış yapmışlar. Büşra üç kere birinci olmuş, Fatma bir kere, Şeyda iki kere. Büşra nın birinci olma olasılığı 3/6, Fatma nınki 1/6, Şeyda nınki 2/6. Bunları sıraya koyduğumuzda en büyük olasılığı Büşra nın bulduk. Bizce Büşra yı yarışmaya göndermeliler. Tutumlu Olma: Seyahat problemi adlı etkinlikte öğrenciler matematikten yararlanarak yaz tatiline çıkan arkadaşlarına en ekonomik yol ve aracı belirleme konusunda yardımcı olmaya çalışmışlardır. İşi Ehline Verme: Yaz işi adlı problemde bir işverenin geçen yıl çalıştırdığı personellerle ilgili verileri inceleyerek, bu yıl hangilerini çalıştırmasının uygun olacağı konusunda öğrenciler uzun hesaplamalar yapmış, birçok faktörü göz önünde bulundurarak işverenin hangi elemanları seçmesinin uygun olacağını belirlemişlerdir. Bazı çalışanların geçen yıl parkın çok yoğun olduğu zamanlarda çok düşük satış yaptığını belirleyen öğrenciler onların bu sene tekrar çalıştırılmasının uygun olmayacağı sonucuna varmışlardır. Bazı guruplar satış elemanlarını parkın en az yoğun olduğu zamanlarda yaptıkları satış miktarlarına göre sıralarken, bazıları da toplam satış miktarını çalışma saatine oranlayarak sıralama yapmayı tercih etmişlerdir (Şekil 5). Kimseye Bildirmeden Yardım Etme: Öğrencilerin büyükçe bir ayak izinin sahibini belirlemek için kullanılmak üzere bir araç geliştirmeye çalıştıkları büyük ayak adlı etkinlikte, bu ayak izinin sahibinin gece vakti gizlice okulun bahçesine yardım amacıyla kitap bırakmış olmasının öğrencilere oldukça ilginç geldiği gözlenmiştir. Bu kişilere teşekkür etmek amacıyla tüm gruplar onun boyunu hesaplamada yararlanabilecekleri bir matematiksel yöntem geliştirmek için çaba sarf etmişlerdir. Matematiksel Değerler Açıklık: Öğrenciler önce kendi grupları içinde tartışarak geliştirdikleri modelin işlerliğini kontrol etmişler ardından günlük yaşam problemi için geliştirilen bu matematiksel çözüm tüm sınıfa sunulmuştur. Sunum yapan gurup çözümlerini ayrıntılı olarak açıklamaya çalışırken dinleyicilerin de dikkatli bir şekilde onları takip ettiği ve sordukları sorularla çözümün geçerliliğini kontrol ettikleri gözlenmiştir. Gizem: Büyük ayak problemi üzerinde çalışan öğrencilerin arkadaşlarının boyları ve ayak uzunluklarını ölçtükten sonra aralarındaki oranın herkeste birbirine çok yakın sayılar çıkması onları şaşırtmıştır. Ayrıca her hafta etkinliğe başlamadan önce öğrencilerin acaba bu sefer ne yapacağız gibi cümlelerle matematikle çözüm bulacakları problem durumu ile ilgili meraklarını dile getirmişlerdir. Akılcılık: Matematiksel modelleme etkinlikleriyle çalışan öğrenciler öncelikle verilen karmaşık günlük yaşam problemini yorumlayarak matematiksel bir probleme ulaşmaya ardından bu problemi çözüp çözümün gerçek yaşam durumuna uygulanmasına ve sonuçların yorumlanmasına çalışmışlardır. Bu sırada öğrenciler geliştirdikleri modellerin işlerliğini grup içerisinde tartışmışlardır. Grupların geliştirdiği modeli sınıf arkadaşlarına sunumu sırasında da sınıf tartışmaları yaşanmış, dinleyiciler geliştirilen modeli sorgulamış, sunum yapan öğrenciler mantığa dayalı açıklamalarla arkadaşlarını ikna etmeye çalışmışlardır. Nesnecilik: Öğrenciler modelleme etkinliklerinin sonunda geliştirdikleri modelleri Şekil 4 te görüldüğü gibi çeşitli gösterim biçimleriyle açıklayarak somutlaştırmaya çalışmışlardır. Sınıf arkadaşlarına yaptıkları sunumlarında da benzer şekilde matematiksel bilgiyi görselleştirmeye çaba sarf etmişlerdir. Kontrol: Etkinliklerin tamamında öğrenciler kendi sosyal çevrelerinde gelişmiş olan bir problem durumda matematikten yararlanarak çözümler geliştirmişlerdir. Ayrıca bir işverenin gelecek yıl hangi işçileri çalıştırmasının daha iyi olacağı, okulda düzenlenecek konsere kaç kişinin davet edilebileceği, tatil yolculuğunun hangi araç ve yolla ne kadara mal olacağı gibi matematiğin geleceğe yönelik planlamalarda insana nasıl avantaj sağladığını görecekleri problemlere başarılı çözümler üretmişlerdir. Etkinliklerden sonra matematiğin yaşamdaki yerine bakışıyla ilgili olarak bir öğrenci düşüncelerini Matematik her yerde var. Bakkala gidiyoruz, para veriyoruz, kasaba gidiyoruz para veriyoruz, ama bu etkinliklerde gördüm ki mesela iş yeri açsam, hangi işçiyi çalıştıracağım veya işten çıkaracağım diye karar verirken de matematik var. şeklinde özetlemiştir. 1662

11 DORUK / Değerler Eğitimi İçin Kullanışlı Bir Araç Olarak Matematiksel Modelleme Etkinlikleri problemlerden farklı yönleri sorulmuş ve alınan yanıtlardan bazılarına aşağıda yer verilmiştir: Evet. Matematiğin daha önce pek, şey düşünmüyordum hani hayatımızda olduğunu ama şimdi fark ettiğim zaman her yerde matematik varmış gibi geliyor bana, mesela ayakkabı boyumuz, kendi boyumuz, kilomuz bunlar arasında bir ilişki var. Önceden de böyle düşünüyordum ama alışveriş gibi şeylerde diye, şimdi daha çok yerde olabilir diye aklıma geliyor. (Tahtaya bir ayakkabı tabanının resmini çizerek) Bu ayakkabı olsun diyelim. Biz şuraya (boyuna) y dedik, enine x dedik. Boyu bulan formülümüz de Boy=x.y/2. Mesela arkadaşımız Murat ın ayakkabısının eni 12, boyu da 26 cm çıktı. 12x26:2=156 oldu. Murat ın gerçek boyu da 156 cm. Ama öbürlerinde tam olmadı, yaklaşık mesela Bayram ınkinde biz 154 bulduk, Bayramınki 158. Şekil 4. Bir Grup Öğrencinin Büyük Ayak Problemine Yönelik Çözümleri ve Sınıftaki Sunumları. İlerleme: Öğrenciler her modelleme etkinliğinde model geliştirmenin döngüsel sürecindeki aşamaları izleyerek çalışmışlardır. Etkinliklerin tamamında öğrenciler buldukları çözümü benzer durumlar için kullanılacak şekilde genellemeye çalışmışlardır. Her grup kendi geliştirdiği modeli sunarken geliştirilen modeller arasındaki farklılıklar tartışılmış, daha kullanışlı modelleri geliştiren gruplar sınıfça alkışlanmıştır. Matematik Eğitimi Değerleri Eylemcilik: Öğretmen etkinlikler boyunca sadece rehberlik görevi yapmış, gerekli yerlerde etkili sorularla yönlendirmelerde bulunmuştur. Öğrenciler sürecin tamamına aktif bir şekilde katılmış, günlük yaşam problemlerine kendi keşfettikleri modellerle çözüm üretmişlerdir. Bir öğrenci bu durumu şöyle ifade etmiştir: -Çözmeye çalıştığımız problemlerin bugüne kadar derslerde karşılaştıklarından farklı yönleri nelerdi? - Burada kendi çözümümüzle buluyoruz. -Kendi çözümümüzle ile ne kastettin? -Yani diğerlerinde bilinen bir yol var, bunda yolu biz yapıyoruz. İlgililik: Etkinliklerin tamamında günlük yaşamdan alınan bir problem durumuna matematik aracılığıyla çözüm üreten öğrencilere dönem sonunda matematikle yaşam arasındaki ilişki ile ilgili düşüncelerinde değişiklik olup olmadığı ve bu etkinliklerin diğer Matematik dersindeki problemler sadece zihnimizi geliştirmek için, bunlarda ise yaşamımızdaki problemleri çözüyoruz. Ulaşılabilirlik: Düzenlenen matematiksel modelleme etkinliklerine her düzeyde öğrenci istekli bir şekilde katılmış, sınıfta akademik başarı yönüyle okuma yazma güçlüğü çekecek kadar düşük seviyede olan bir öğrenci dahi araç gereç kullanımında arkadaşlarına yardımcı olmuş ve onları ilgiyle takip etmiştir. Kendini matematik derlerinde başarısız olarak gören bir diğer öğrenci ise Mesela dersteki problemlerde x, y yazıyor, ben onlardan bir şey anlayamıyorum ama bu problemlerde gayet anlıyorum ifadesini kullanmıştır. Hesaplama, Akıl Yürütme: Öğrenciler etkinliklerde çözüme ulaşabilmek için matematiksel hesaplamalardan, tekniklerden, problem çözme becerilerinden yararlandıkları gibi akıl yürütme becerisi ve iletişim becerisini de daha yoğun bir şekilde kullanmışlardır. Bir örnek olarak yaz işi problemindeki işverene yazdıkları mektup Şekil 5 te verilmiştir. Problemini nasıl çözdüklerine dair bir grubun sınıf arkadaşlarıyla paylaşımlarına da aşağıda yer verilmiştir. Şekil 5. Yaz İşi Problemi İçin Öğrencilerin Yazdıkları Mektup 1663

12 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Biz öncelikle bunun yanında parkın yoğunluk durumu da satışta önemli etkiye sahip cümlesinden yola çıktık. Yani yoğunluk düşük olunca daha böyle zor durumda olursun. Onun için düşük yoğunlukta iyi çalışanı bulmaya çalıştık. (Tahtaya park yoğunluğunun düşük olduğu zamanlarda satıcıların kazandığı paraları çalışma saatlerine bölerek bir çizelge oluşturdular.) - Neden öyle farklı farklı sayılara bölüyorsunuz? - Toplanan parayı çalışma saatlerine bölüyoruz. Böylece saatte ne kadar para kazandıklarını buluyoruz. Daha sonra haziran ayı için ilk altıyı 1. Gizem, 2. Canan, 3. Tarık, 4. Ali, 5. Kaan, 6. Rıza, Temmuz için, 1. Ali, 2. Gizem, 3. Jale, 4. Canan, 5. Kaan, 6. Rıza, Ağustosta 1. yine Gizem, 2. Jale, 3. Canan, 4. Kaan, 5. Ali, 6. Ayten olarak bulduk. Çalışacak olanları da Gizem, Ali, Canan, Kaan, Rıza, Jale olarak sıraladık. Çünkü Gizem üç ayda da yüksek değerlere sahip, Ali üçünde de bir derece yapmış, Canan da iyi durumda, Kaan da öyle. Anten le Rıza yı karşılaştırdık ve Rıza nın daha uygun olduğunu gördük. Jale nin de iki ayda yüksek derecesi olduğundan onu seçtik. Haz Alma: Matematiksel modelleme etkinlikleri öğrencilerin matematik dersleri dışında ve genel olarak serbest etkinlikler yaptıkları bir derste düzenlenmesine rağmen, öğrencilerin etkinliklere büyük bir ilgi ve istekle katıldıkları hatta çoğu zaman zil sesinin farkına varmadıkları gözlenmiştir. Matematik derslerinde başarısız olduğunu ifade eden öğrencilerden biri görüşmeler sırasında Önceden aslında ben matematiği pek sevmiyordum, problemler hayattan olunca, her hafta değişik değişik sorunlar çözüyoruz, hem güzel oldu hem de alıştım şeklindeki ifadesiyle bu etkinliklerdeki matematiksel çalışmalardan zevk aldığını belirtmişidir. Öğrencilerin matematiksel modelleme etkinlikleriyle çalışmaları sırasında ortaya çıkan genel eğitimsel değerler, matematiksel değerler ve matematik eğitimi değerleri Tablo 1 de özetlenmiştir. Tablo 1. Öğrencilerin Modelleme Etkinlikleriyle Çalışmaları Sırasında Öne Çıkan Değerler. Genel Eğitimsel Değerler Yardımseverlik İnsanlığa hizmet Kimseye bildirmeden yardım etme Adalet Tutumlu olma İşbirliği, yardımlaşma Başkalarının düşüncelerine saygı Sorumluluk Sebat, azim, sabır Özgüven Matematiksel Değerler Açıklık Gizem Akılıcılık Nesnecilik Kontrol İlerleme Tartışma Matematik Eğitimi Değerleri Akıl yürütme Erişebilirlik İlgililik Eylemcilik Hesaplama Haz alma Değerler eğitiminin önemi öncelikle daha gelişmiş standartlarda bir toplum oluşturmak için oldukça açık bir şekilde görülmektedir. Alanı biraz daha daraltacak olursak başarılı bir eğitim sistemi için de değerlerin vazgeçilmez olduğunu görebiliriz. Bireysel olarak düşündüğümüzde de başarılı bir eğitim yaşantısına sahip olabilmenin, onun da ötesinde kendini gerçekleştirebilen bireyler olabilmenin olmazsa olmazlarından biri değerler eğitimi olarak karşımıza çıkar. Gerekli değerleri (sorumluluk, sabır, zaman israfından kaçınma gibi) kazanabilmiş bir öğrenci öğrenme ortamındaki bazı noksanlıkları kendi gayretleriyle de giderebilmektedir. Ancak örneğin sorumluluk duygusunu (kendine, ailesine, ülkesine yönelik) kazanamamış bir öğrenci için ne kadar uygun şartlar sağlansa da istenen sonuçları elde etmek zorlaşmaktadır. Matematik eğitimi için genel eğitimsel değerlerin yanı sıra matematiksel bilginin doğasını yansıtan matematiksel değerler (kuramsal değerler) de söz konusudur (Bishop, 2004; Sam ve Ernest, 1997). Matematiğin dünyasındaki kesinliği, estetiği, gücü hissedebilen bir öğrenci için matematikle uğraşmak büyük bir zevk kaynağı haline gelmekte ve bu şekilde matematik eğitimi için güzel bir zemin hazırlanmaktadır. Aksi taktirde okul yaşamlarının ilk yıllarında matematiği seven öğrencilerin ilerleyen yıllarda matematik yaşantıları arttıkça matematiğe ilgileri azalmakta (Ünlü, 2007), ezberlenmesi gereken kurallar yığını olarak algılanan matematik öğrencilerde korku ve nefret duygusu uyandırmaktadır (Sertöz, 2006; Tepedelenlioğlu, 1983). Bu nedenle matematiği öğrencilere daha iyi öğretebilmek amacıyla çok çeşitli yöntem ve tekniklerden yararlanmaya, farklı ortamlar oluşturmaya, teknolojik imkânları seferber etmeye çalışıldığı kadar, belki onlardan daha da fazla, öğrencilere genel 1664

13 DORUK / Değerler Eğitimi İçin Kullanışlı Bir Araç Olarak Matematiksel Modelleme Etkinlikleri eğitimsel değerleri ve matematiksel değerleri kazandırabilmek için çaba sarf edilmelidir. Son yıllarda matematik eğitimiyle ilgili araştırmalarda önemli bir yer tutan matematiksel modelleme etkinliklerinin gerçek yaşamdan alınıyor olması bu etkinliklerin içine öğrencinin içinde yaşadığı toplumda yer alan her türlü değeri entegre edebilme olanağı sunmaktadır. Geleneksel problemlerden farklı olarak buradaki değerleri barındıran günlük yaşam bağlamının yapay olmayışı öğrencilerin bu bağlamı görmezden gelmelerini engellemektedir. Taplin in (1998a) problem çözme aracılığıyla değerler öğretimine örnek olarak verdiği Nick yaşlı komşusuna hafta içi her akşam bir saatin ¼ ü kadar, hafta sonu da ½ si kadar yardım ediyor. Ona yardım etmek için haftada ne kadar zaman harcıyor? şeklindeki bir geleneksel sözel problemde öğrencilerin çözüm için problemin bağlamını göz önünde bulundurmaya fazla da gereksinimleri yoktur. Burada öğrencinin yapacağı iş Blum un (2002) ifadesiyle probleme giydirilen yapay elbiseyi çıkarıp durumu sembollerle ifade edip sonuca ulaşmaktır. Oysa matematiksel modelleme etkinliklerindeki günlük yaşam bağlamı vücuda ait olan cilt gibi, doğal olarak birliktedir ve çözüm aşamasında da bu birliktelik ihmal edilemez. Bu anlamda araştırmanın bulguları da göz önünde bulundurularak modelleme etkinliklerinin değerler eğitimi için geleneksel problem çözme etkinliklerine göre çok daha etkili olduğu düşünülebilir. Öğrencileri tekdüzelikten uzaklaştıran, modelleme yapmalarını gerektiren problemlerle karşılaştırmak, hangi yolda ilerlemeleri gerektiği konusunda daha bilinçli olmalarını sağlayabilir (Olkun, Şahin, Akkurt, Dikkartın ve Gülbağcı, 2009). Aksi halde, hazır kalıplarla problem çözmeye alışan öğrenciler, gerek okulda gerekse okul dışındaki yaşamlarında tanıdıkları kalıplar dışında bir problemle karşılaştıklarında takılıp kalmakta ve çaba sarf etmekten vazgeçmektedirler. Araştırmanın bulguları da dikkate alındığında, öğrencilerin modelleme etkinlikleriyle çalışmaları sırasında takılmaları ya da başarısız olmaları söz konusu olmamakta, ancak daha iyi bir model için süreci gözden geçirmeleri gerekebilmektedir. Buradan hareketle modelleme etkinliklerinin öğrencilere problemlerle baş etme konusunda azim ve sabır değerini kazandırmada geleneksel problemlerden daha avantajlı olduğu düşünülebilir. Yani English ve Watters in (2005) belirttiği gibi modelleme etkinlikleri öğrencilere günümüzün giderek karmaşıklaşan dünyasında gerekli olan sosyal gelişimi sağlamakta geleneksel problem çözme deneyimlerinden çok daha etkilidirler. Günümüzde eğitim dünyasının en önemli sorunlarından biri de öğrencilere sorumluluk değerinin kazandırılmasında yaşanan sıkıntılardır. Tepecik in (2008) ifadesiyle kişinin yetiştiği ortamda, kendisi için seçim yapma ve yaptığı seçimin sonuçlarından sorumlu olma fırsatı, kendi düşüncelerini söyleme ve uygulama olanağı verilmemesi, sorumluluk duygusunun gelişmesini engellemektedir. Araştırmanın bulgularında da görüldüğü gibi öğrencilerin kendi modellerini geliştirdikleri, modellerinin işlerliğini savundukları, rahatça tartışabildikleri modelleme etkinlikleri onlara sorumluluk değerini kazandırmak için oldukça etkili bir yöntem olarak düşünülebilir. Lesh ve Yoon un (2006) belirttiği gibi modelleme etkinliklerinin öğrencileri okul sonrası yaşama hazırlayıcı bir yapısı vardır. Matematiksel modelleme üzerine yapılan araştırmalar, modelleme etkinliklerinde başarı için kritik olan becerilerin, öğrencilerde akademik programlarını tamamladıktan sonra, mühendislik ve iş yönetimi gibi alanlarda uzman iş görüşmecilerinin aradıkları en önemli karakteristik özelliklere benzediğini göstermektedir. Bu araştırmanın bulgularında da görüldüğü gibi öğrencilerin modelleme etkinlikleriyle çalışma sürecinde onlara toplum yaşamında gerekli olacak, yardımseverlik, insanlığa hizmet adalet, tutumlu olma, işbirliği, yardımlaşma, başkalarının düşüncelerine saygı, sorumluluk, sebat, azim, sabır özgüven gibi değerleri edindirecek fırsatlar doğmaktadır. Birçok öğrenci için matematiği öğrenmenin ana amacı sınavlardan yüksek puan almak için bir grup beceri ve teknikte ustalaşmaktır. Bu tek başına birçok öğrenci için çekici bir amaç değildir ve bu yüzden öğretmenlerine bu konuyu neden işliyoruz sorusunu sıkça sorarlar ve birçok öğretmen sadece bu bilgiye bir mühendis olduğunuzda ihtiyacınız olacak veya bu yaşamınızda kullanılabilir gibi üstü kapalı cevaplar verebilirler (Wong, 2005). Oysa matematiksel modelleme etkinlikleri öğrencilere hangi matematiksel bilginin gerçek dünya ile ilgili olduğunu ve gerçek dünyaya uygulanabilir olduğunu bir an için görmeyi sağlar (Sriraman, 2005). Bu ise onlara matematikle ilgilenmekten zevk duyma değerinin gelişimine büyük katkı sağlayacaktır. Araştırma kapsamında öğrencilerle yapılan görüşmeler sırasında etkinliklerden sonra matematiğin yaşamla ilişkisine bakışlarındaki değişimi dile getiren ifadeler modelleme etkinliklerinin bu konudaki kullanışlılığını göstermektedir. Zawojewski ve arkadaşlarının (2003) ortaya koyduğu içerisine sosyal boyutların yerleştirildiği, takım çalışmasını ve iletişimi gerektiren problem çözme etkinlikleri olan matematiksel modelleme etkinliklerinde öğrenciler grup içerisinde tartışırken, grup arkadaşlarını ve diğer grupların sözcülerini dinlerken ve arkadaşlarıyla işbirliği yaparken sos- 1665

14 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ yal ve kültürel değerlerin geliştirilmesi için oldukça uygun ortamlar oluşmaktadır. Stipek in de (1998) belirttiği gibi modelleme etkinliklerinde, gerçek yaşam probleminin çözümünde grup içerisinde etkileşimli olarak çalışan öğrenciler anlamlı matematiksel düşünceler ortaya koymaktadırlar. Çaba gerektirici bu görevlere katılmak matematiksel becerilerin ve güvenin gelişmesine, yani öğrencilerin matematiksel değerler kazanmasına da katkı sağlamaktadır. Araştırmanın bulgularında da görüldüğü gibi, öğrenciler modelleme etkinlikleriyle çalışırken işbirliği, yardımlaşma, başkalarının düşüncelerine saygı, özgüven gibi değerlerin gelişimine katkı sağlayıcı süreçler yaşanmaktadır. Araştırmacıların (Halstead, 1996; Suharjo, 2007; Taplin, 1998b), ayrı ayrı incelediği ve değer gelişimine katkı sağlayacağını öne sürdükleri unsurları matematiksel modelleme etkinlikleri bir araya toplamaktadır. Bu nedenle matematiksel modelleme etkinliklerinin değer eğitimine katkısının tüm bu araştırmalarda belirtilen katkılardan daha yüksek seviyede olacağı söylenebilir. Ayrıca modelleme etkinliklerinin sosyal yönden güçlü yapısı, öğrencilerin sosyal çevrelerinde gerçekleşen veya gerçekleşmesi muhtemel problem durumları oluşu bu etkinlikleri değer eğitimi için diğer problem çözme etkinliklerinden avantajlı hale getirmektedir. Özetle Maaß ın da (2005) belirttiği gibi, modelleme etkinliklerinin matematik derslerine entegresi öğrencileri sosyal vatandaşlar olmaya ve toplum içindeki yaşamları için kritik olan becerilerini geliştirmeye hazırlamaya yardımcı olacaktır. Model ve modelleme bakış açısının önemli temsilcilerinden Lesh ve Doerr (2003b) geleneksel problem çözme etkinliklerinden farklı olarak, bir günlük yaşam problem durumuyla başlayan ve bu problemle birlikte benzer başka problemler için de kullanılabilecek bir modelin sunumuyla sona eren modelleme etkinliklerinin eğitimle ilgili birçok modern araştırmayı bulundukları konumdan daha öteye götürebilecek bir yapıya sahip olduğunu belirtmektedirler. Bu çalışmada da matematik eğitimi değerleri ile ilgili elde edilen bulgulara dikkat edilirse matematiksel modelleme etkinlikleriyle çalışılan öğrenme ortamında günümüz eğitim dünyasının önemle üzerinde durduğu yaklaşımları destekleyici değerlerin öne çıktığı görülmektedir. Örneğin modelleme etkinlikleri sırasında matematik öğreniminde alış yolunu kullanmayı öngören kuralcılık değerini değil, öğrencinin sezgisel yolları kullanarak ve keşfederek öğrenmesini önemseyen eylemcilik değerini ya da matematikle sadece seçkin bazı bireylerin çalışabileceğini kabul eden özelcilik değerini değil, matematiksel etkinliklerle herkesin meşgul olabileceğini öngören ulaşılabilirlik değerini destekleyici yaşantılar ortaya çıkmaktadır. Benzer olarak matematiğin günlük bağlamlardan uzak bir şekilde teorik olarak öğretilmesini gerektiren kuramsal değeri yerine modelleme etkinliklerinde matematiksel bilgiyi günlük yaşamla ilişkilendirmeyi önemseyen ilgililik değeri oldukça baskın görünmektedir. Öğrenme ortamına bu tür değerlerin yansıması son yıllarda eğitim dünyasında önemle üzerinde durulan bir konudur. Toplumun okullardan beklentisi olan ve toplumun harcı niteliğindeki değerlerin öğrencilere kazandırılmasında okul ortamındaki önemli öğelerden olan matematik dersi de etkin olarak kullanılmalıdır. İçerisine her türlü sosyal içeriğin yerleştirilebildiği gerçek yaşam problemleri olan modelleme etkinlikleri bu iş için kullanışlı bir araç olabilir. Matematik öğrenmeyi zevkli hale getirmek, matematiğin yaşamın bir parçası olduğunu algılayabilen bireylerin yetiştirilmesi için gerekli olan matematiksel değerleri kazandırmak için matematiksel modelleme etkinlikleri etkin olarak kullanılabilir. Öğrenmenin daha iyi gerçekleşebilmesi için ortaya atılan modern yaklaşımların her birini bir adım öteye taşıyabilecek nitelikteki matematiksel modelleme etkinliklerini derste kullanan bir öğretmen matematik eğitimi değerlerinden günümüz şartlarına en uygun olanlarına otomatik olarak yönelmiş olacaktır. Bu çalışmada kullanılan etkinlikler değerler eğitimi için özel olarak tasarlanmamış, sadece literatürden derlenen etkinlikler küçük değişiklerle okulun bulunduğu çevreye uyarlanmıştır. Bu nedenle modelleme etkinliklerinin içine sosyal çevreyle ilgili unsurların rahatlıkla yerleştirilebilmesinden yararlanarak değerler eğitimine daha fazla odaklanan etkinlikler tasarlanıp, bu etkinliklerin uygulamalarının incelenmesi yararlı olacaktır. 1666

15 Educational Sciences: Theory & Practice - 12 (2) [Supplementary Special Issue] Spring Educational Consultancy and Research Center Mathematical Modeling Activities as a Useful Tool for Values Education * Bekir Kürşat DORUK a Ahi Evran Üniversitesi Abstract Values education is crucial since it is one of the factors to reach success in education in broader sense and in mathematics education in particular sense. It is also important for educating next generations of societies. However, previous research showed that expected importance for values education was not given in Mathematics courses. In a few studies, it was identified that discussion-based approaches, problem solving strategies and cooperative learning environments made contribution to values education. It can thus be considered that mathematical modeling activities in which school students study cooperatively in small groups, find solutions to daily-life problems using mathematics and share these solutions with their counterparts would be useful. Therefore, in this study, it was aimed to determine the processes in detail which will contribute to the teaching of general educational values, mathematical values and mathematics education values emerging during the experiences which students gain while working with mathematical modeling activities. 58 school students at Grades 6 and 7 constituted the sample of the present study. It was used eight mathematical modeling activities through one semester. The classroom observations, video records and students written documents were investigated using descriptive analysis. As a result, it was argued that modeling activities include very rich settings that would contribute to the development not only of general educational values but also of mathematical values and mathematical education values. Key Words Values, Values Education, Values In Mathematics Education, Mathematical Values, Mathematical Modeling Activities. Values are significant for societies in order to maintain their existence and togetherness, the establishment of peace and trust within the society, thus the development of the society in every aspect. As Yazıcı (2006) mentions, an understanding which advocates development of only cognitive and psycho-motor skills in students will prevent the members of the society from acquiring values. * This study was presented at the Values Education Symposium, October 26 28, 2011, Eskisehir Osmangazi University, Eskişehir, Turkey. a Bekir Kürşat DORUK, PhD., is currently an assistant professor at the Department of Primary Education. His research interests include mathematics education and mathematical modeling in mathematics education. Correspondence: Assist. Prof. Bekir Kürşat DORUK, Ahi Evran Üniversity Faculty of Education Department of Primary Education, Kırşehir/Turkey. bkdoruk@gmail.com Phone: Fax: Therefore, the maintenance of social integrity and the determination of common objectives will become complicated, even impossible. On the same grounds, Kohlberg (1981) postulates that one of the primary functions of the school is to carry on some of the social values. Values education should not be restricted to certain courses. It is crucial to make use of every opportunity for values education (Arizona Department of Education Institute [ADE], 1993). However, research has demonstrated that (Bishop, Clarkson, FitzSimons, & Seah 2000; Bishop, FitzSimons, Seah, & Clarkson, 1999; Clarkson, FitzSimons, Bishop, & Seah, 2000; Seah & Bishop, 2000) in the field of mathematics education, values do not receive enough attention. As a matter of fact, Matthews (2001) argues that values which are viewed as mediators and precursors of behaviors have a direct effect on the learning behavior. Organization for Economic

16 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE Development and Cooperation / International Student Evaluation Program for International Student Assessment [OECD/PISA] (2003) defines mathematical literacy as an individual s capacity to identify and understand the role that mathematics plays in the world, to make well-founded judgments and to use and engage with mathematics in ways that meet the needs of that individual s life as a constructive, concerned and reflective citizen. Education which centers on values promotes optimism in students, helps them realize themselves as an individual and claim social responsibility (Department of Education, Science and Training [DEST], 2003). Hence, it can be argued that values should be given consideration for a successful mathematics education. Nevertheless, traditionally the focus is directed towards academic success in schools whereas the individual s social and personal development is not given enough consideration (Açıkgöz, 2003). In fact, in Turkey, the new curriculum which have been implemented since 2004 host elements related to the affective field, too (Milli Eğitim Bakanlığı [MEB], 2009). However, the current examination system forces the students, families, and teachers to focus on academic success (Türk Eğitim Derneği [TED], 2010). Unfortunately, the state of focusing on academic success in mathematics education is even more observable than other fields. In effect, values are the most important factors in raising the quality of mathematics education (Seah, 2002). Students can understand the precision, beauty, aesthetics, consistency, abstractness and the progressive aspect of mathematics only if the values education dimension is given enough attention (Dede, 2007). Modern mathematics has a deductive-axiomatic nature and in some aspects it is structured hierarchically (Swadener & Soedjadi, 1988). The idea that mathematics does not host any values is widespread worldwide to a considerable degree due to its axiomatic structure and due to the fact that it does not contain social preferences (Wong, 2005). However, mathematics too carries special values of its own and these values are transmitted during mathematics education, in a hidden way though (Bishop, 2004). Bishop et al. (1999) have classified values related to mathematics education under three categories: general educational values, mathematical values and mathematics educational values. General educational values comprise ethical values like honesty, philanthropy and responsibility. As for the mathematical values, they are values like openness, mystery, rationalism, objectivism, progress and control which mathematics carries in its nature. Mathematics educational values are values which emerge in environments where mathematics is learnt and determines teachers and students tendencies towards mathematics education. Some of the values related to mathematics education are listed as follows: Formalism, activism, instrumental learning, relational learning, relevant, theoretical, accessibility, specialism, evaluating, reasoning and pleasure (Chin & Lin, 2001; Clarkson et al., 2000; Horzum & Kıymaz, 2011; Seah & Bishop, 2000). A student who has acquired values related to mathematics will have completed the basic and the most important step needed for a good mathematics education. For, Umay (2007) holds that mathematics is a part of life, sometimes a key, sometimes an entertainment and fun for a learner who works with problem situations adapted from the real world, sees the patterns and manages to form relations, knows why s/he has found that thing, knows how to act, and makes the decisions himself/herself. On the contrary, the emphasis on making a lot of exercises for exam preparation or the emphasis on certain patterns to be used in disliked practices prevents the acquisition of the aesthetic aspect of mathematics (King, 2004). In recent years, a good many studies on mathematical modeling activities have shown that these activities are highly practical for mathematics education (Bransford, Brown, & Cocking, 1999; English, 2010; English & Watters, 2004; Lesh & Doerr, 2003b; Lesh & Lehrer, 2003; Lesh & Yoon 2006; Mousoulides, Pittalis, & Christou, 2006; Mousoulides, Christou, & Sriraman, 2008; Swan, Turner, & Yoon, 2006). Modeling activities have the potential to add a new dimension to problem solving and mathematics education (Lesh & Doerr, 2003a). Mathematical modeling is the expression of real-life situations mathematically (Blum & Niss, 1989). The modeling process begins with a complex real-life situation. A problem statement is formed in relation to this situation. From this point, a mathematical model is obtained through mathematizing. With a mathematical study conducted over the model, a solution can be found. This solution is first interpreted and then its accuracy is validated. If the solution or the process does not comply with the reality, certain steps or the whole modeling process is repeated (Stillman, Galbraith, Brown, & Edwards, 2007). Mathematical modeling activities refer to the performance of mathematical modeling by students. Students who work in these activities in small groups develop the mathematical interpretation of the problem situation by themselves (Lesh, Hoover, 1668

17 DORUK / Mathematical Modeling Activities as a Useful Tool for Values Education Hole, Kelly, & Post, 2000). These activities are developed on the basis of the themes children are interested in so as to encourage children to investigate the problem statement. At the end of the modeling activities, children present the models they have developed to their friends through various demonstration tools (Fox, 2006). Halstead (1996) states that a discussion-based approach, student-centered active learning strategies, project work, applied activities, cooperative learning, group work and student research can be employed in values education. It has been pointed out that problem solving activities (Taplin, 1998b) and cooperative learning (Suharjo, 2007) are practical tools for values education in mathematics classes. In the light of these, it is thought that modeling activities which start with a complex daily life situation related to students social environment, open-ended and non-routine problems as opposed to traditional problem solving activities, and whereby students work in small groups may highly contribute to values education in mathematics classes. An analysis of the related literature shows that no previous study has scrutinized on mathematical modeling activities in values education. Therefore, the present study aims to determine in detail the opportunities students meet when working in modeling activities that might contribute to values education. To this end, the following questions were investigated: What are the contributions of mathematical modeling activities to (i) general educational values; (ii) mathematical values; (iii) mathematics educational values? Method Research Model The case study approach, which is a qualitative research method, was adopted in the present research. In the case study approach, one or more events, environments, programs, social groups or interrelated systems are analyzed in detail (McMillan, 2000). Case studies may be carried out in order to define and see the details comprising an event, develop potential explanations as to an event, and to evaluate an event (Gall, Borg, & Gall, 1996). It is one of the qualitative research methods which give the researcher the opportunity to make in-depth analysis and interpretation, and through the findings arrive at analytical generalizations rather than realistic estimates for similar situations (Cohen, Manion, & Morrison, 2000). In the present research, complimentary single case study design was adopted. Participants The study was carried out in a town of Ankara in a primary school to which low-socio economic status students attend. Students from the area as well as students from the villages nearby received education in the school. The participants were selected from among 6th and 7th graders. Of the 58 students in the sample, 34 students were selected from section 6B and 24 students were selected from 7C. Among these students, 30 were female and 28 were male. The participants were selected on the basis of convenience sampling. Data Collection Instruments The research data were collected for another study aiming to investigate the effects of mathematical modeling activities on students level of transferring mathematics into daily life (Doruk, 2010). As for the present study, these data were analyzed in terms of another aspect. The data used in the study were collected by means of researcher s observation, the worksheets used by the students, the video recordings obtained during the students mathematical modeling activities, the reports prepared at the end of the activities and the semi-structured interviews. The Application Process Mathematical modeling activities were organized for the students as two additional hours weekly (apart from the mathematics course) for a semester. Eight of the activities compiled from the previous literature were adapted to the participants school environment to be used with the research groups (Cramer, 2003; Henning & Keune, 2005; Johnson & Lesh, 2003; Lesh & Doerr, 2003a; Mousoulides et al., 2006; Swan et al., 2006). The activities were applied in the standard format used by English (2004). Data Analysis In the analysis of the collected data, descriptive analysis was utilized. The situations that arose when students were working in modeling activities and included the values related to mathematics education were determined as themes. The collected data were summarized and interpreted in terms of the pre-determined themes. 1669

18 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE Results Through the students mathematical modeling activities, processes which might contribute to some of the general educational values, mathematical values and mathematics educational values were experienced. These values are presented below: General Educational Values Common Values Observed in All of the Mathematical Modeling Activities: Philanthropy- service to humanity, cooperation, helping, respect towards others opinions, courage, self-confidence, responsibility, perseverance, patience. Values which Arise Specially according to the Problem Statement in the Activity: Justice, defending the right one (in the long jump problem), prudence (in the travel problem), handing the task to the master (in the summer job problem) and helping without letting others know (in the big feet problem). Mathematical Values: Openness, mystery, rationalism, objectivism, control, progress. Mathematics Educational Values: Activism, relevant, accessibility, evaluating, reasoning, pleasure. Discussion On the whole, values education is an element which should be taken into consideration in the functioning of the educational system and the individual s education life. As for the mathematics education, general educational values as well as mathematical values (Bishop, 2004; Sam & Ernest, 1997) reflecting the nature of mathematical knowledge are also at work. For a student who can feel the precision, aesthetics and power in the mathematics world, dealing with mathematics is a great source of pleasure and in the same way it paves the way for mathematics education. Otherwise, as the mathematics experiences of the students who love mathematics in the first years of the school increase, their interest in mathematics decreases (Ünlü, 2007); mathematics which is perceived as a set of rules that should be memorized arises feelings of fear and hate in students (Sertöz, 2006; Tepedelenlioğlu, 1983). For this reason, care should be given so that students acquire mathematical values as well as general educational values for a good mathematics education. In contrast to the traditional problems, in modeling activities the daily life context containing modeling activities is not artificial, which prevents students from ignoring it. In a traditional verbal problem exemplified by Taplin (1998a) for values education Nick helps his old neighbor every weekday for ¼ hours, and ½ hours at the weekends. How many hours does he spend helping him? students do not have to consider the problem context in order to find a solution. Here it is expected that as Blum (2002) expresses, the artificial cloth over the problem is taken off and the situation is stated in symbols. In effect, the daily life context cannot be disregarded in the solution step of mathematical modeling activities. The findings obtained in the present research lend support to this idea. Having students encounter problems which distance them from monotony, which require them to do modeling may make them more conscientious about which way to follow (Olkun, Şahin, Akkurt, Dikkartın, & Gülbağcı, 2009). Considering the research findings, it can be argued that modeling activities are more advantageous in terms of giving perseverance and patience values in coping with problems when compared to traditional problems. That is, as English and Waters (2005) state, modeling activities are more effective than traditional problem solving activities in terms of maintaining the social development necessary for today s world which is getting more complicated each day. In the present day, one of the most significant problems of the education world is the problems in having students acquire responsibility value. In Tepecik s words (2008), depriving the individual of the chance to make decisions of their own, be responsible for the results of these decisions, express and realize their own ideas prevent the development of responsibility feeling. As is seen in the research findings, modeling activities in which students develop their own models, defend the functionality of their models and discuss it freely, are highly effective for helping them acquire the responsibility value. As Lesh and Yoon (2006) state, modeling activities prepare students for their life after school. As reflected in the findings of this study, students have the opportunity to acquire values like philanthropy, service to humanity, justice, prudence, respect towards others ideas, responsibility, patience, perseverance, self-confidence which are needed for social life through modeling activities in the study process. The socially strong aspect of modeling activities make these activities more advantageous than other problem solving activities. In the same way, Maaß (2005) states that the integration of modeling activities to mathematics classes will help students become social citizens and improve critical social skills. 1670

19 DORUK / Mathematical Modeling Activities as a Useful Tool for Values Education Mathematical modeling activities help students see which mathematical knowledge is related and applicable to the real world for a moment (Sriraman, 2005). This will help improve the value of taking pleasure in mathematics. The findings obtained in the student interviews within the scope of the research point to the practicality of the modeling activities in this respect. In mathematical modeling activities put forward by Zawojewski, Lesh and English (2003), where social dimensions are integrated, which require team work and communication, students discuss within groups, listen to other group s representatives and cooperate with their friends; thus environments highly suitable for developing social and cultural values emerge. As Stipek (1998) points out, in modeling activities, students work interactively in groups, which contributes to development of mathematical skills and trust. The findings of the present research also lend support to these ideas. The activities used in the present study have not been specially designed for values education but compiled from the previous literature and adapted to students school environment with small changes. Therefore, elements related to social environment can easily be integrated to modeling activities and thus activities which focus more on values education can be designed and the implementation of these activities might be analyzed. References/Kaynakça Açıkgöz, K. Ü. (2003). Aktif öğrenme. İzmir: Eğitim Dünyası Yayınları. Arizona Department of Education Institu [ADE]. (1993). Report of task force on values in education and ımplementation of teaching values in Arizona schools. Phoenix: ADE. Bishop, A. J. (2004, July). Critical Issues in Researching Cultural Aspects of Mathematics Education. Paper presented in Discussion Group 2 at the 10th International Congress on Mathematical Education, Copenhagen, Denmark. Bishop, A., Clarkson, P., FitzSimons, G., & Seah, W. T. (2000). Why study values in mathematics teaching: Contextualising the VAMP project. Retrieved February 25, 2012 from education.monash.edu.au/research/groups/smte/projects/ vamp/hpm2000a.pdf. Bishop, A., FitzSimons,G., Seah, W. T., & Clarkson, P. (1999, December). Values in mathematics education: Making values teaching explicit in the mathematics classroom. Paper Presented at the Combined Annual Meeting of the Australian Association for Research in Education and the New Zealand Association for Research in Education, Melbourne, Australia. Blum, W. (2002). ICMI Study 14: Applications and modelling in mathematics education- discussion document. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 34 (5), Blum, W., & Niss, M. (1989). Mathematical problem solving, modelling, applications, and links to other subjects state, trends and ıssues in mathematics instruction. M. Niss, W. Blum & I. Huntley (Eds.), Modelling applications and applied problem solving (pp. 1-19). England: Halsted Pres. Bransford, J. D., Brown, S. J., & Cocking, R. (1999). How people learn. Washington, D.C.: National Academy Press. Chin, C., & Lin, F. L. (2001). Value-loaded activities in mathematics classroom. In Proceedings of the 25th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2, The Netherlands: Utrecht. Clarkson, P., FitzSimons, G., Bishop, A., & Seah, W. T. (2000, December). Methodology challenges and constraints in the values and mathematics project. Paper Presented at the Annual Meeting of the Australian Association for Research in Education, Sydney, Australia Cohen, L., Manion, L., & Morrison, K. (2000). Research methods in education (5th ed.). London: Routledge. Cramer, K. (2003). Using a translation model for curriculum development and classroom instruction. R. Lesh & H. M. Doerr (Ed.), Beyond constructivism: A models and modeling perspective on mathematics problem solving, learning & teaching (pp ). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Dede, Y. (2007). Matematik öğretiminde değerlerin yeri. Abant İzzet Baysal Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 7 (1), Department of Education Science and Training [DEST]. (2003). Values education study: Final report. Carlton South, Victoria: Curriculum Corporation. Doruk, B. K. (2010). Matematiği günlük yaşama transfer etmede matematiksel modellemenin etkisi. Yayımlanmamış doktora tezi, Hacettepe Üniversitesi, Ankara. English, L. (2004). Mathematical modelling in the primary school. I. Putt, R. Faragher & M. McLean (Eds.), Proceedings of the 27th annual conference of Mathematics Education Research Group of Australasia, Mathematics Education for the Third Millenium: Towards 2010 (pp ). Townsville: MERGA. English, L. D. (2010). Young children s early modelling with data. Mathematics Education Research Journal, 22 (2), English, L. D., & Watters, J. (2004). Mathematical modelling with young children. 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2, English, L. D., & Watters, J. (2005). Mathematical modelling in the early school years. Mathematics Education Research Journal, 16 (3), Fox, J. (2006, July). A justification for mathematical modelling experiences in the preparatory classroom. 29th Annual Conference of Mathematics Education Group of Ausralasia, Canberra, Ausralia. Gall, M., Borg, W., & Gall, J. P. (1996). Educational research an introduction (6th ed.). White Plains: Longman. Halstead, M. J. (1996). Values and values education in schools. In J. M. Halstead & M. J. Taylor (Eds.), Values in Education and Education in Values (pp. 3-13). London: The Falmer Press. Henning, H., & Keune, M. (2005). Levels of modelling competencies. Proceedings of the 4th European Congress of Mathematics Education (pp ), Feliu de Guixols, Spain. Horzum, T. ve Kıymaz, Y. (2011, Eylül). Bir öğretim üyesinin genel matematik dersinde kullandığı matematiksel değerler ve bu değerleri seçme nedenlerinin tespit edilmesi. 10. Matematik Sempozyumu nda sunulan bildiri, İstanbul. 1671

20 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE Johnson, T., & Lesh, R. (2003). A models and modelling perspective on technology-based representational media. R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.), Beyond constructivism: A models and modeling perspective on mathematics problem solving, learning and teaching (pp ). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. King, J. P. (2004) Matematik sanatı (çev. N. Arık). Ankara: Gökçe Ofset. Kohlberg, L. (1981). Philosophy of moral development: Moral stages and the idea of justice. San Francisco, CA: Harper & Row. Lesh, R., & Doer, H. M. (2003a). Foundatations of a models and modelling perspective on mathematics teaching, learning, and problem solving. In R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.), Beyond constructivism: A models and modeling perspective on mathematics problem solving, learning and teaching (pp. 3-33). Mahwah NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Lesh, R., & Doer, H. M. (2003b). In what ways does a models and modeling perspective move beyond constructivism? In R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.), Beyond constructivism: A models and modeling perspective on mathematics problem solving, learning and teaching (pp ). Mahwah NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Lesh, R., & Lehrer, R. (2003). Models and modeling perspectives on the development of students and teachers. Mathematical Thinking and Learning, 5 (2&3), Lesh, R., & Yoon, C. (2006). What is distinctive in (Our views about) models & modelling perspectives on mathematics problem solving, learning, and teaching? In W. Blum, P. Galbraith, H.-W. Henn, M. Niss (Eds.), Modelling and applications in mathematics education: The 14. ICMI study (pp ). New York: Springer. Lesh, R., Hoover, M., Hole, B., Kelly, A., & Post, T. (2000). Principles for developing thought-revealing activities for students and teachers. In R. Lesh & A. E. Kelly (Eds.), Handbook of research design in mathematics and science education (pp ). Mahwah, NY: Lawrence Erlbaum Associates. Maaß, K. (2005). Barriers and opportunities for the ıntegration of modelling in mathematic classes- results of an empirical study. Teaching Mathematics and its Applications, 2 (3), Matthews, B. (2001). The relationship between values and learning. International Education Journal [Educational Research Conference 2001 Special Issue], 2 (4), McMillan, J. H. (2000). Educational research: Fundamentals for consumer (3th ed.). New York: Longman. Milli Eğitim Bakanlığı [MEB]. (2009). İlköğretim matematik dersi 6-8. sınıflar öğretim programı ve kılavuzu. Ankara: Yazar. Mousoulides, M., Pittalis, M., & Christou, C. (2006). Improving mathematical knowledge through modeling in elementary schools. J. Novotna, H. Moraova, M. Kratka & N. Stehlikova (Eds.), Proceedings 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 4, Mousoulides, N., Christou, C., & Sriraman, B. (2008). From problem solving to modelling- a meta analysis. Retrieved September 25, 2008 from MousoulidesChristouSriraman.pdf. Olkun, S., Şahin, Ö., Akkurt, Z., Dikkartın, F. T. ve Gülbağcı, H. (2009). Modelleme yoluyla problem çözme ve genelleme: İlköğretim öğrencileriyle bir çalışma. Eğitim ve Bilim, 34, Organisation for the Economic Co-operation and Development (OECD). (2003). The PISA 2003 assesment framework: mathematics, readings, science and problem solving knowlege and skills. Paris: Author. Sam, L., & Ernest, P. (1997). Values in mathematics education: What is planned and what is espoused? In Brirtish Society for Research into Learning Mathematics. Proceedings of the Day Conference held at University of Nottngham, Seah, W. T. (2002). Exploring teacher clarification of values relating to mathematics education. In C. Vale & J. Roumeliotis & J. Horwood (Eds.), Valuing Mathematics in Society (pp ). Brunswick, Australia: Mathematical Association of Victoria. Seah, W. T., & Bishop, A. J. (2000, April). Values in mathematics textbooks: A view through two Australasian regions. Paper presented at the 81st Annual Meeting of the American Educational Research Association, New Orleans, LA. Sertöz, S. (2006). Matematiğin aydınlık dünyası. Ankara: TÜ- BİTAK Sriraman, B. (2005). Conceptualizing the model-eliciting perspective of mathematical problem solving. Proceedings of the 4th European Congress of Mathematics Education (pp ), Feliu de Guixols, Spain. Stillman, G., Galbraith, P., Brown, J., & Edwards, I. (2007). A framework for success in implementing mathematical modelling in the secondary classroom. Mathematics: Essential Research, Essential Practice 2, Stipek, D. J. (1998). Motivation to learn: from theory to practice. Boston: Allyn and Bacon. Suharjo, B. (2007). Moral values in mathematics education through cooperative learning: A possibility of values education for 2. grade primary school pupils. Jurnal Logos 5 (1), Swadener, M., & Soedjadi, R. (1988). Values, mathematics education and the task of developing pupils personalities: An Indonesian perspective. Educational Studies in Mathematics, 19 (2), Swan, M., Turner, R., & Yoon, C. (2006). The roles of modelling in learning mathematics. In W. Blum, P. Galbraith, H.-W. Henn & M. Niss (Eds.), Modelling and applications in mathematics education. The 14. ICMI study (pp ). New York: Springer. Taplin, M. (1998a). Education in human values through mathematics: Mathematics through education in human values. Hong Kong: Sathya Sai Baba Center of Hong Kong. Taplin, M. (1998b). Promoting education in human values in the regular mathematics classroom. EduMath, 7, (12/98), Tepecik, B. (2008). Sosyal bilgiler dersinde sorumluluk değerinin kazandırılmasına ilişkin öğretmen görüşleri. Yayımlanmamış yüksek lisans tezi, Anadolu Üniversitesi, Eskişehir. Tepedelenlioğlu, N. (1983). Kim korkar matematikten. Ankara: Bilim ve Sanat Yayınları. Türk Eğitim Derneği [TED]. (2010). Ortaöğretime ve yükseköğretime geçiş sistemi. Ankara: Dumat Ofset. Umay, A. (2007). Eski okul arkadaşımız okul matematiğinin yeni yüzü. Ankara: Aydan Web. Ünlü, E. (2007). İlköğretim okullarındaki üçüncü, dördüncü ve beşinci sınıf öğrencilerinin matematik dersine yönelik tutum ve ilgilerinin belirlenmesi. Dumlupınar Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi, 19, Wong, K. Y. (2005, July). Add cultural values to mathematics instruction: A Singapore initiative. Paper presented at the 4th Asian Mathematical Conference, Singapore. Yazıcı, K. (2006). Değerler eğitimine genel bir bakış. Türklük Bilimi Araştırmaları, 19, Zawojewski, S. J., Lesh, R., & English, L. (2003). A models and modeling perspective on the role of small group learning activities. In R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.), Beyond constructivism: A models and modeling perspective on mathematics problem solving, learning and teaching (pp ). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. 1672