İÇERİK. 1. Bölüm : Tanımlar...sayfa Bölüm : Matematik ve Müziğin Arasındaki İlişkinin. İncelenmesi sayfa Bölüm: Sonuç...

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İÇERİK. 1. Bölüm : Tanımlar...sayfa 3- 2. Bölüm : Matematik ve Müziğin Arasındaki İlişkinin. İncelenmesi sayfa 10-31. 3. Bölüm: Sonuç..."

Transkript

1 İÇERİK 1. Bölüm : Tanımlar....sayfa Bölüm : Matematik ve Müziğin Arasındaki İlişkinin İncelenmesi sayfa Bölüm: Sonuç... sayfa Bölüm: Kaynaklar..sayfa

2 MÜZİĞİN MATEMATİĞİ 1. BÖLÜM: Tanımlar Projenin iyi olarak anlaşılması için öncelikle müziğin tanımı yapılmalıdır; fakat her insan müziğe farklı bir şekilde yaklaştığı için kesin bir tanım yapmak mümkün değildir. Müziği seslerin ritim, melodi ve harmoniyle anlamlı bir şekilde sıralanması olarak tanımlayabiliriz. Müziğin tanımını anlayabilmek için de sesin ne olduğuna bakmamız lazım. Ses; atmosferde kulağımız tarafından algılanan basınç değişimleridir ve dalga halinde yayılır. Sesin bir frekansı, boyu, periyodu ve hızı vardır. Sesin frekansı bir saniyedeki titreşim sayısıdır ve birimi Hertz(Hz)dir (Hertz, 19. yüzyılda radyo dalgalarının nasıl oluştuğunu keşfeden bilim adamının adıdır.). Ritim; bir dizede, bir notada vurgu, uzunluk veya ses özelliklerinin, durakların düzenli bir biçimde tekrarlanmasından doğan ses uyumudur. 2

3 Ritim Çeşitleri: 2/4 lük ritim: Her ölçüde 2 tane 4 lük nota vardır. 4/4 lük ritim: Her ölçüde 4 tane 4 lük nota vardır. 3/4 lük ritim: Her ölçüde 3 tane 4 lük nota vardır. 3

4 5/8 lik ritim: Her ölçüde 5 tane 8 lik nota vardır. 6/8 lik ritim: Her ölçüde 6 tane 8 lik nota vardır. Tam Ses Aralık / Yarım Aralık: İki nota arasındaki mesafeye aralık denir. Klasik batı müziğindeki kullanılan sisteme eşit tamperaman (tampere) sistemi denir. Bu sitemde, bir tam ses (örneğin, Do-Re) iki eşit parçaya ayrılır. Elde edilen her bir parçaya bir yarım aralık adı verilir. Aşağıdaki örnekte görülebileceği gibi Do majör gamında Mi-Fa ve Si-Do notaları arasında yarım aralık vardır. Diğer notaların arası ise tam aralıktır. Do / Do# = Re / Re Batı Müziği Ses Sistemi "Tampere Sistem" Bu müzik sisteminde bir tam ses aralığı eşit iki parçaya bölünmektedir. Nedir bu tam ses? Yanyana duran iki sesin birbiri arasındaki frekans uzaklığı bize, o aralığın uzak yani tam veya yakın yani yarım aralık olduğunu gösterir. Bundan yola çıkarak seslerin gerçek frekans değerlerini vermek yerine şöyle bir örnekleme yapacağım. İlk örnek ses aralığımız DO-RE aralığı olsun. Tam seslik aralığı 100, Yarım seslik aralığı da 50 birim farklılık olarak varsayarsak; DO sesinin frekans değerini 100 RE sesinin frekans değerinide 200 olarak kabul edelim. 4

5 Bu yaklaşım ile görülmektedir ki; DO-RE ses aralığı TAM aralıktır. Tampere Sistemdeki Doğal Aralıklar şu şekilde sıralanırlar: DO-RE = TAM (geniş-uzak aralık) RE-Mi = TAM (geniş-uzak aralık) Mi-FA = YARIM (dar-yakın aralık) FA-SOL = TAM (geniş-uzak aralık) SOL-LA = TAM (geniş-uzak aralık) LA-Si = TAM (geniş-uzak aralık) Si-DO = YARIM (dar-yakın aralık) Aralıkların uzaklıklarını başka bir grafikle böyle anlatabiliriz. Bunlara ek olarak Ses Değiştiriciler diye adlandırdığımız işaretlerden bahsetmemiz gerekecek. Diyez (#) : Diyez, uyguladığımız sesi yarım ses tizleştiren (incelten) işarettir. Notanın sol tarafına yerleştirilir. Bemol ( ) : Bemol, uyguladığımız sesi yarım ses pesleştiren (kalın) işarettir. Notanın sol tarafına yerleştirilir. 5

6 Armonide karşımıza çıkan dizilerden en bilinenleri Majör ve Minör dizilerdir. Majör Dizi: 3Tam + 1Yarım + 2Tam + 1Yarım aralıktan meydana gelen dizidir. Minör Dizi: 2Tam + 1Yarım + 3Tam + 1Yarım + 2Tam aralıktan meydana gelen dizidir. Not: Tam aralıklar ayrı ayrı hesaplanmalıdırlar. Örn: 3Tam=1T+1T+1T gibi Akor: Belirli kurallar çerçevesinde tınlatılan en az 3 sesin oluşturduğu kümeye verilen isimdir. Temel Akorlar (1-3-5): 3 sesten meydana gelirler. İlk ses dizinin 1. sesi, ikinci ses dizinin 3. sesi, üçüncü ses ise dizinin 5. sesidir. Örnek : Birinci Çevirim Akorlar (1-3-6) : İlk ses dizinin 3. sesi, ikinci ses dizinin 5. sesi, üçüncü ses dizinin 8. sesidir. Örnek: Mi SOL DO İkinci Çevirim Akorlar (1-4-6) : İlk ses dizinin 5. sesi, ikinci ses dizinin 8. sesi, üçüncü ses dizinin 3. sesidir. 6

7 Örnek: SOL DO Mi Yukarıda bahsettiğimiz Temel ve Çevirim akorlar Minör Akorlar için de aynen geçerlidir. Ben sadece örnek teşkil etmesi bakımından Majör bir dizi üzerinde çalıştım. Tam Aralıklar: 4 aralığı tam aralık olarak adlandırıyoruz: Unison: 2 farklı ses kaynağının verdiği aynı frekanstaki sestir. Örneğin gitar ve keman unison çalsın dendiğinde iki enstrüman aynı frekanstaki notayı çalar. Tam 4 lü (T4): 5 yarım sesten oluşur. Tam 5 li (T5): 7 yarım sesten oluşur. Oktav (Tam 8 li): 12 yarım sesten oluşur. Herhangi bir gamın ilk ve son sesi arasındaki aralıktır. Bir diğer değişle, bir notanın 7 nota inceltilerek elde edilen ince sesine kadar olan bölüme bir oktav denir. Mesela; kalın do dan ince do ya kadar olan 8 notalık ses dizisi bir oktav sayılmaktadır. (Oktav denilebilmesi için nota değil ses aralığı önemlidir.) *T : tam ses Bizim sesleri ince veya kalın olarak algılamamızın sebebi seslerin titreşimindeki farklılıklardır. Düşük titreşimli sesleri kalın (bas), yüksek titreşimli sesleriyse ince (tiz) 7

8 algılarız. Sesin kalınlığına (ya da inceliğine) ''perde" denir. Yüksek frekanslı sesler yüksek perdeli, düşük frekanslı sesler düşük perdeli seslerdir. Ton: Müzikte diatonik (doğal major) gamda bir tam aralık olarak tanımlanan ton belli bir frekansta ve perdede üretilen saf ses anlamında kullanılır. Örneğin bir ses çatalı (diyapozon) titreştirildiğinde ortaya çıkan 440 Hz frekansındaki Do (C) notası saf bir tondur. Saf tonlar doğal ortamda fazla karşılaşılmayan ve genellikle müzik aletleri veya ses üreteçleri aracılığıyla üretilen seslerdir. Yüksek frekanslı (yüksek perdeden) sesler tiz düşük frekanslı (düşük perdeden) sesler pes (bas) olarak algılanır. Müzikle matematik arasındaki en önemli ilişkilerden ikisinin de altın oran ve Fibonacci sayıları olduğu ileride açıklanacaktır. Altın oranı açıklayacak olursak: Bir doğru parçasının (AB), altın orana uygun bir şekilde C noktasından bölündüğünü düşünelim. Bu nokta öyle bir yerdedir ki küçük parçanın (AC) büyük parçaya (CB) oranı, bütün doğrunun (AB), küçük parçaya (AC) oranına eşittir. a b biçimine dönüştürülebilir. Bu denklemin pozitif kökü altın orandır. Fibonacci sayıları 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, şeklinde bir sonraki sayının ondan önceki iki sayının toplamına eşit olduğu sayı 8

9 dizisidir. Fibonacci sayılarının altın oranla arasında ilginç bir ilişki vardır. Dizideki ardışık iki sayının oranı, sayılar büyüdükçe Altın Oran'a yaklaşır. 2. BÖLÜM: Matematik ve Müziğin Arasındaki İlişkinin İncelenmesi Sanat ve bilim birbirinden ayrı iki dal olarak kabul edilir. Sanat ve bilimin ayrı kabul edilmesi gibi, sanata bağlı müzik ve bir bilim olan matematik arasında bir ilişki düşünülememiştir. Her ne kadar bu iki dal farklı olarak algılansa da aralarında çok sıkı bir ilişki vardır ve bu ilişkinin incelenmesi Eski Yunanlılara kadar uzanır. Eski Yunan da müzik matematiğin 4 ana dalından biri olarak kabul edilmiştir. Pisagor Okulu ndaki programda müzik; aritmetik, geometri ve astronomiyle aynı düzeyde görülüyordu. Matematik (değişmeyenin çalışması) Miktar Büyüklük tek başına alakalı hareketsiz hareket halinde (kesin olan) (göreli olan) (stabil olan) (hareketli olan) Aritmetik Müzik Geometri Astronomi Şekil 1: Pisagor Okulu ndaki program Matematiğin müzik üzerindeki etkisini ilk olarak görebileceğimiz yer müzik parçalarının yazımındadır. Bir müzik parçasında ritim ( 4:4 lük, 3:4 lük gibi ), belirli bir ölçüye göre vuruşları birlik, ikilik, dörtlük, sekizlik, onaltılık,... gibi olan notalar bulunur. Fark edildiği 9

10 gibi bunlar ikinin üsleri biçiminde ifade edilirler. Belirli bir ritimde, değişik uzunluktaki notalar, belirli bir ölçüye uydurulur. Her ölçünün ise değişik uzunluktaki notaları kullanan belirli sayıda vuruştan oluştuğu görülür. MÖ 6. yy.da yaşamış ve bugün kullanılmakta olan müzikal dizinin oturmasına katkı sağlamış olan Pisagor çıkan sesin ve notanın, çekilen teli uzunluğuna bağlı olduğunu gözlemlemiştir. Pisagor 12 birimlik teli ikiye bölmüş ve oktavı elde etmiştir. Elde edilen 6 birimlik yeni tel (telin ½ si) kesilmeden önceki telin çıkardığı sesin bir oktav tizini çıkarmaktadır. Pisagor 8 birimlik tel (telin 2/3ü) ile 5li aralığı, 9 birimlik tel (telin ¾ ü) ile 4lü aralığı bulmuştur. Antik devirde dört sesin bir arada duyulması prensibi "tetrakord" olarak adlandırılmakta ve müzik teorisinin temel kuralı olarak sayılmaktaydı. Böylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 ile elde edilmiştir. Pisagor oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir. Pisagor un matematik ve müzikle kurduğu bir diğer ilişkiyi kürelerin müziği (kürelerin armonisi)nde, görebiliyoruz. Kürelerin armonisi Pisagor un, evrenin armoni gösteren sayılarla düzenlendiği fikri üzerine kurulu bir varsayımıdır. Bu varsayıma göre, müzikal oranlara göre dizilmiş gezegenler arasındaki uzaklıklar müzikal aralıklara denk gelmektedir. Notalara paralel olarak sayıların da belirli bir düzene bağlı olduğunu savunan Pisagor un bu varsayımında dokuz gezegenin, hareketleriyle, algılayamadığımız, uyumlu bir ses oluşturduğu öne sürülür. 10

11 Müzikte ritimlerin ifadesinde kullanıldığı gibi aralıklarda ve bunların belirlenmesinde de matematik kullanılır: *T: tam ses *M: majör *m: minör 1 M 2 m M 3 m 4T 5T M 6 m M 7 m 8 Unison oktav Ve 5. Aralıklarda majöre tam sayı(1,2, ) karşılık gelirken, minöre kesirli sayı(1.5, 4.5 ) gelir. 6. ve 7. Aralıklarda ise minöre tam sayı karşılık gelirken, majöre kesirli sayı gelir. Örneğin; Pisagor oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir. 2/3:3/4=8/9 (5T-4T=2M ) 2/3 sol notası ¾ fa notası Piyanoda: Fa fa diyez sol Do Re Mi Fa Sol La Si Do ½ ½ ½ + ½ = 1 (tam sayı),majör 11

12 (5T-4T=2M ) Majör ( fa ve sol )=2 ses Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir. Devam edecek olursak; 8/9.8/9=64/81 (2M+2M=3M) Esas sesimiz "do" olsun. Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü "sol" sesini, ¾ ü "fa" sesini, 8/9 i ise "re" sesini, 64/81 i ise " mi" sesini vermektedir. Diğer aralıkları kısaca şöyle sıralayabiliriz; 3/4:8/9=27/32 4T-2T=3m ¾ fa notası 8/9 re notası ¾ : 8/9 =27/32 (4T - 2T = 3m) Fa re 4T - 2T = 3 m minör (1/2+1/2+1/2 ) ( Do ya göre 4 lü aralık = do,re,mi,fa) ( re mi fa ) ( Do ya göre 2 li aralık = do,re) 2:27/32=16/27 6M 2:64/82=81/128 6m 2: 8/9=9/16 7m 12

13 Bu şekilde gidildiği zaman; Do, re, mi, fa, sol, la, si, do sesleri sırasıyla; 1, 8/9, 64/81, ¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2 oranları ile ifade edilir. Daha önceden Pisagor un, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde ettiğini söylemiştik. Fakat bir notaya 6 kez tam ton ilave edildiğinde neredeyse o notanın oktavı elde edilmiştir ki bu da "Pisagor koması" olarak adlandırılır. Böyle bir durum ortaya çıktığı zaman Pisagor sisteminde bazı değişikliklere gerek duyulmuş ve böylece zaman içinde tampere edilmiş bir şekilde 12 eşit yarım tonluk bir sistem geliştirilmiştir. Bu sistem de bugün klasik batı müziğinde kullanılan tampereman sistem denir. Böylece 1 tam ton 8/9 ile değil iki yarım ton ile gösterilmiştir. Tampere edilmiş 5li, 7 yarım ton ile ifade edilmektedir ve bu da, Pisagor 5lisinden daha küçük bir aralıktır. 4lü ise, 5 yarım ton ile ifade edilir ve Pisagor 4lüsünden daha büyüktür. Yapılan bazı çalışmalarda insan kulağının hala Pisagor aralıklarını tercih ettiğini gösterse de günümüzde kullanılan tampere edilmiş sistemden vazgeçmek mümkün değildir (Reid,1995). Euclid (M.Ö. 300)'in çalışmaları temel olarak Pisagor'a dayanır, ancak Pisagor ve Euclid iki önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar; kurulan majör dizideki Majör 3'lü ve Majör 6'lı aralıklarda. Örneğin Do dizisinde Euclid'in Majör 3'lüsü 4/5=64/80 iken, Pisagor için bu; 64/81=8/9.8/9 dur (Archibald,1923: 10). Eski Yunan da fark edilen bir başka şey de akor basılırken notaların birbirine uyumudur. Basılan notayla en iyi uyum sağlayan notaların, o notanın frekansının tamsayı katları olan frekansa sahip olan notalardır. Örneğin 220 Hz.lik bir frekansa sahip bir notayla en iyi uyumu gösterecek 13

14 notaların frekansları 440 Hz, 660 Hz, 880 Hz, 1100 Hz.dir. Her ne kadar günümüzdeki müzik anlayışında buna dayanılmasa da, insan kulağının bunu aradığı bilinmektedir. Doğuşkan Doğanın mucizesi olan doğuşkan sesler doğal olarak akor oluşturur. örneğin do sesinin üst doğuşkanlarına bakacak olursak sırası ile: do, do, sol, do, mi... seslerini buluruz. bu seslerden inci dereceleri çekecek olursak: do-mi-sol elde ederiz.(oktav farklılıkları gözardı edilir) bu da bize do majör akorunu verir. *İki ucundan tutturulmuş gergin bir tel çekilip bırakıldığında, oluşan dalgalar telin iki ucuna doğru hareket eder ve eşiklerden yansıyarak geri dönerler. Dönüşte karşılaşan bu titreşimler üst üste binişir, sonra ayrılıp eşiklere kadar giderek yeniden yansır. Bu telin titreşimi sönene kadar böylece sürer.* Ayhan Zeren, Müzik fiziği adlı kitabında doğuşkanlar hakkında bu şekilde bahsetmiştir. Bunu tanım olarak alıp matematiksel oranları ile açıklamak ise, matematikle ilişkisine girer. Sözgelimi, bir obua sesi ile bir klarnet sesini bir birinden ayırabilmemizi sağlayan, bu çalgıların çaldıkları sesin üzerinde oluşan doğuşkanların bir birinden farklı güçte duyulmalarıdır. Bir tel titreştiği zaman çıkan ses asla tek başına duyulmaz. Bir cismin titreşimi sonucu çıkan ses her zaman o sesin üstünde ve altında oluşan diğer seslerle birlikte oluşur. Bu üst seslere üst doğuşkanlar, alt seslere ise alt doğuşkanlar denir. Daha sonra elde edilen bilgiler, doğuşkanların sadece teller üstünde değil, aynı zamanda üflemeli çalgılarda da bulunduğunu ortaya koydu. Farklı bir üfleme tekniği sayesinde havanın boru içerisinde yaptığı çarpışmalar buna sebep oluyordu. Aşağıda da bahsedeceğim gibi hiçbir ses doğada tek başına bulunmaz ve doğuşkanlara sahiptir, ancak eğitimli bir kulağa sahip kişi yukarı doğru 4 sese kadar duyabilir. 14

15 Resimde de görülebildiği üzere, herhangi bir tel üzerinde basılan bir do notası, önce 8li aralık yukarıya ki bize bir üstteki do notasını veriyor-, daha sonra 8li aralığın üstüne 5li bi aralık sol- üstüne 4lü bir aralık daha daha da üstten do- ve yine yukarı 3lü aralık şeklinde gidiyor. Bu sadece ilk dört sestir ve bu aralıklar gittikçe daralırlar. Bu notalar aynı aralık düzeniyle aşağı yönde de karşımıza çıkar. Bu aralıkların belli bir oranları vardır. Eğer bu seslerin kendi arasındaki iliskilere bakarsak, belirli armonik oranların belirli armonik aralıklara denk geldiğini fark ederiz. Örneğin 2:1 armonik oranı bize Oktav, 3:2 armonik oranı ise Tam Besli aralığını verir. İlk bakısta göze çarpan diğer önemli armonik oranları ve aralıkları ise söyledir; 2:1 Oktav 3:2 Tam Besli 4:3 Tam Dörtlü 5:4 Major (Büyük) Üçlü 7:6 Minor (Küçük) Üçlü 9:8 Major (Büyük)İkili Yaylılar için doğuşkanların iki çeşit gösterimi vardır; İlki, doğuşkan çıkması istenen notanın üstüne koyulan bir 0 (sıfır) dır. Bu yöntem size hangi teknikle elde etmenizi söylemez, sadece o notanın doğuşkan çıkmasını ister. Birazdan göreceğimiz gibi bir notanın doğuşkanının çıkması için 4 farklı yol vardır. İkinci gösterim ise doğuşkanı çıkması istenen notayı bir paralel kenar şeklinde yazmaktır. (bkz. Örnek) Bu bestecinin müzisyene sağladığı bir kolaylıktır. Çünkü direkt olarak dokunulacak notayı göstermektedir. 15

16 5. doğuşkanı elde etmenin 4 farklı yöntemi vardır. Bunlar; - Telin B3lüsüne, yani 7/6 sına dokunmak 16

17 -Telin B6lısına dokunmak -Telin 5/2 sine, yani B3lünün oktavına dokunmak -Telin 5/4 üne, yani B3lünün 2 üst oktavına dokunmak Müzikle matematik arasındaki bir diğer ilişki ise altın orandır. Pisagor aralıklarından ve tetrakordtan bahsederken 6, 8, 9 ve 12 birimlik tellerden bahsedilmişti. Altın oranla bu aralıklar arasında eşitliği bulunmuştur. Ayrıca çeşitli bestelerde melodik, ritmik ve dinamik unsurların altın oranı içerdiği bilinmektedir. Ayrıca insan kulağına en uyumlu aralığın 8/5 frekansı aralığında Majör 6 lı olduğu bilinmektedir. Bu olguyu şaşırtıcı kılan ise bu oranın altın orana ( 1.618) çok yakın olmasıdır. Müziğin matematikteki altın oranla ilişkisinden sonra Fibonacci sayılarıyla da ilişkili olduğu şaşırtıcı değildir. Béla Bartók, altın oranı kullanan bestecilerdendir. "Bartók, Fibonacci sayıları ile bir dizi oluşturmuş ve bu dizinin elemanlarını bestelerinde kullanmıştır" (Aktarma Gönen, 1998: 13). "Music for strings, percussion and celeste" parçasının ilk bölümünde en önemli kısım, 89 ölçünün 55. ölçüsünde kullanılmıştır (Rustin, 1998). Debussy nin Reflections in Water adlı eserinde de altın oran ve Fibonacci sayılarının izleri görülmektedir. 17

18 34, 21, 13 ve 8 sayılarıyla işaretli tuşlar sıralasıyla kullanılmıştır ve eserin geneli de altın orana uymaktadır. Fibonacci sayılarını en çok kullanılan müzik aletlerinden piyanoda da görmekteyiz. Piyanoda bir oktavda 13 tuş vardır. Bunlardan 8 i beyaz, 5 i siyahtır. Siyah tuşlar da 2 tane ve 3 tane olmak üzere ayrılmışlardır. Bu düzen de bize Fibonacci sayılarını hatırlatmaktadır (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ) Birçok müzik aletinin biçimi de matematiksel kavramlarla ilgilidir. Örneğin, aşağıdaki şekilde üstel fonksiyonun grafiği çizilmiştir. Telli ve üflemeli çalgıların biçimleri bu üstel eğrinin biçimine benzer. 2 1 Matematikçi J. Fourier, 19. yüzyılda müzikal seslerin niteliğinin incelemiştir ve müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadelerle tanımlanabileceğini ve 18

19 bunun da periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini ispatlamıştır. Müzik aletleri yapılırken Fourier in ifadesinden yararlanılmaktadır. Yapılan müzik aletinin periyodik ses grafiği, bu aletler için ideal olan grafikle karşılaştırılır. Görüldüğü gibi bir müzik parçasının üretilmesinde matematikçilerle müzikçilerin birlikteliği çok önemlidir. Şekil 2: fonksiyonunun grafiği Matematiğin ve müziğin bir diğer ilişkisi de frekanslarda görülebilir. Yüksek frekanslı sesler yüksek perdeli, düşük frekanslı sesler düşük perdeli seslerdir. Müzik, genellikle rasgele seslerden değil, belli frekanslardaki seslerin kullanımıyla yapılır. Bunlar, notalardır. Bir telli çalgının çalışma prensibini anlayarak, notaların nasıl ortaya çıktığını keşfedebiliriz. Bir çalgının teline, telin herhangi bir yerine parmağımızı bastırmadan vurduğumuzda çıkan sese armonik denir. Bu, aynı zamanda, tek telli çalgının çıkarabileceği en kalın sestir. Buna ''çalgının temel frekansı''da denir. Çalgının temel frekansının 264 Hz olduğunu varsayalım. Bu frekans, bir piyanonun dördüncü oktavındaki "Do" notasının frekansıdır (Buna kısaca Do4 diyelim). Telin rasgele seçeceğimiz yerlerine parmağımızla bastırıp, tele vurarak değişik frekansta sesler elde edebiliriz. Bu seslerin çoğu bize anlamsız gelir. Ancak, parmağımızı telin tam ortasına 19

20 basarak tele vurursak, kulağımıza daha anlamlı gelen bir ses duyarız. Bu, telin ikinci armoniğidir. Bu ses, bir oktav yukarıdaki Do notasıdır (Do5) ve frekansı telin temel frekansının iki katıdır; yani 528 Hz'dir. Şimdi, telin yarı uzunluğunu tekrar ikiye bölelim; telin 1/4'üne basalım. Telin kısa tarafına vuralım. Duyacağımız ses yine Do (Do6) notasıdır, ama bu kez frekans dört katına çıktı. Yani, bir oktav daha inceldi. Böylece, ''oktav'' kavramı önceden tanımlandığı gibi, kendiliğinden de tanımlanmış oldu. Bir notanın bir oktav yukarısı, onun frekansının iki katı hızlı titreşen ses anlamına geliyor. Burada görebileceğimiz gibi, oktavlar arası çok basit matematiksel bir ilişki var. Beynimiz bir şekilde, bu matematiksel ilişkiyi algılayabiliyor ve aralarında matematiksel bir ilişki bulunan sesler bize uyumlu geliyor. Aslında, telin tam ortasına göz kararı basmak zordur Bunu, çıkan sesi dinleyerek yaparsak telin tam ortasını bulabiliriz. Müzik kulağı iyi olan biri telin tam ortasını çok hassas olarak bulabilir. Kulağımızın, gözümüze göre çok daha duyarlı bir ölçüm aleti olduğunu söylersek pek de yanılmayız. Oktav, bir telin en basit biçimde bölünmesiyle elde edildiğine göre, değişik notalar oluştururken kuşkusuz ona da temel olacak. Bir oktav aralıklı iki Do sesi arasında nasıl bir sayısal ilişki varsa öteki notalar arasında da benzer bir ilişki var. Eğer bir oktavı rasgele değil de belirli oranlarda bölecek olursak farklı notalar elde ederiz. Değişik kültürler, tarihte oktavı değişik oranlarda bölerek notaları elde etmişler. Batı kültüründe, bir oktav 7'ye bölünürken, başka kültürlerde farklı oranlarda ve miktarda bölünmüş. Çin'de bir oktav 5 ' e, Arabistan ' da 17'ye, Hindistan'daysa 22'ye bölünmüş. 20

21 Günümüzde batı müziğinde genel olarak kullanılan sistem, oktavın 7'ye bölünmesiyle elde edilen 7 notalı sistemdir. Notalar arasında da matematiksel bir ilişki vardır. Şimdi, bu ilişkinin nasıl ortaya çıktığına bakalım. Oktavdan sonraki en önemli aralık ''beşli''dir. Bunun için tel üçe bölünür ve 2/3 oranındaki uzun bölümü titreştirilir. Beşli denmesinin nedeni, başlangıç boyundaki telle, boyu onun 2/3'ü oranındaki telin verdiği seslerin arasında beş notanın bulunmasıdır. Bu aralık, bir tenor ile bas ya da soprano ile alto arasındaki farktır. Bazı iki sesle söylenen şarkılarda şarkıcılar sesleri arasında bir beşli farkla söylerler. Bir başka aralıksa, dörtlü olarak adlandırılır ve teli 3/4 oranında bölerek elde edilen sesle orijinal ses arasındadır. Tüm bu notalarla elde edilen sesler, kulağa çok uyumlu gelir Bu nedenle, çoğu geleneksel müzikte bu uyum gözlenebilir. Telimizin temel frekansını 1 kabul edersek, ikinci armoniğin frekansı 2 olur (telin tam ortasına basa rak elde ettiğimiz ses). Bu durumda yukarıda sözünü ettiğimiz bölünmeleri, ondalık sayılar biçiminde yazabiliriz. Bu durumda: 1 (1/1), 1,33: (4/3), 1,5 (3/2) ve 2 (2/1) sayılarını el de ederiz. Do4'ün frekansının 264 olduğunu biliyoruz. Bu frekansı 4/3'le çarptığımızda, Fa4'ün frekans olan 352'yi; 3/2'yle çarptığımızda Sol4'ün frekansı olan 396'yı elde ederiz. 2'yle çarptığımızda zaten bir oktav yukarıdaki Do5'in frekansın bulacağımızı biliyoruz. Bu dört notadan oluşan nota takımının, Orpheus'un çalgısı Lir'in akordu olduğu söylenir. Bugün kullanılan 7 notalı sisteme göre sayısal bölünmeyi sürdürürsek, yedi notaya karşılık gelen frekans oranları şöyle olur: Do (1), Re (1,125), Mi (1,250), Fa (1,333), Sol (1,500), La (1,667), Si (1,875) Do4'ün frekansını 264 olarak bildiğimize göre, 264'ü bu sayılarla çarparsak, öteki notaların frekansını elde edebiliriz. Buna göre, Re4 297, Mi4 330, Fa4 352, Sol4 396, La4 440, Si 496, Do5 528 olmaktadır. Görüldüğü üzere, ses ve müzik fizik ve matematikle yakından ilişkilidir. Sesin nasıl oluştuğunu, yayıldığını; notaların nasıl oluşturulduğunu, aralarında nasıl bir ilişki olduğu çok basit fizik ve matematik bilgisiyle anlaşılabilir. 21

22 Şekil 3, bazı ses sinyallerini göstermektedir. Spektrum kavramını açıklamak için bu diyagramı kullanacağız. Sinyal spektrumları, farklı notaları veya karmaşık ses sinyallerini oluşturan saf sinyalleri gösterir. Eğer bir siren veya ıslık gibi sabit periyodik sinyalleri alırsak, spektrum zamana bağlı olarak sabittir ve sadece bir değeri gösterir (Şekil 6a'daki tek çizgi). Bunun sebebi, her sesi aslında sinüs dalgası olan saf sinyallerin bileşimi olarak düşünebilmemizdir. İleride Fransız matematikçisi Fourier'in 19. yüzyılda ses sinyallerinin sinüs sinyalleri olarak ifade edilebileceğini gösterdiğini göreceğiz. Bu bize müzik işin içine girdiğinde, akorddan bahsetme şansı vermektedir. Şekil 3a: Saf sinüs sinyali (basit ve periyodik) Şekil 3b: İki sinüs sinyalinin birleşimi Şekil 3c: Kare dalga (karmaşık ama periyodik) 22

23 Şekil 3d: Rastgele sinyal (karmaşık ve periyodik değil) Şekil 3: Ses sinyalleri ve spektrumları Sesi bilgisayar ile işleme, sesi havadaki basınç değişimlerini bilgisayarın anlayabileceği sayılara dönüştürmektir. Bunun için bir mikrofon ile basınçtaki değişimleri elektrik sinyallerine, bir örnekleyici ile elektrik sinyallerini sayılara dönüştürürüz. Örnekleyici genel bir terimdi ve ADC(Analog to Digital Converter - Analog Dijital Dönüştürücü) elektronik anlamındaki adıdır. Bu işlemleri bilgisayarlarda ses kartları yapar. Ses kartının noktaları(numaraları) kaydetme hızına örnekleme frekansı denir. Şekil 4, örnekleme frekansının ses sinyali ve onun Fourier dönüşümü ile hesaplanmış spektrumunu nasıl etkilediğini göstermektedir. Matematiksel formülü aşağıdadır: 23

24 Şekli 4a: İntegral Dönüşümü Zaman ve frekans alanında sonsuz ve sürekli Şekil 4b: Fourier Serileri. Zaman içinde periyodik ve frekans alanında ayrık Şekil 4c: Örneklenmiş Fonksiyonlar. 24

25 Zaman içinde ayrık ve frekans alanında periyodik Şekil 4d: Ayrık Fourier Dönüşümü Hem zaman hem frekans alanında periyodik ve ayrık Bu, sürekli dalganın ayrık noktalar serisine dönüşümü spektrumu periyodik yapar. Eğer sinyalde periyodik ise spektrum da ayrık(noktalar serisi) olur ve sadece sonlu sayıdaki frekans için hesaplamak yeterlidir. Şimdi Şekil 4d'deki durumla karşı karşıyayız. Ses sinyali ve spektrumu noktalar serisi olarak biliniyor ve bu noktalar zaman ve frekans alanında 0 Hz'den örnekleme frekansının yarısına kadar değişiyor. Bütün bu şekiller sonunda orijinal ses biraz kayba uğruyor. Bilgisayar sadece önemli zamanlardaki sesi biliyor. Bu kaydın çalınabilir ve yeterince iyi olduğundan emin olabilmek için sesi örneklerken dikkatli olmalıyız. Yapılacak ilk iş, kaydedilecek en büyük frekansın örnekleme frekansının yarısına küçük olmasına dikkat etmektir. Bu şart sağlanmazsa yüksek frekanslar daha düşük frekans gibi kaydedilir ve berbat bir kayıt olur. Bu durum Şekil 5'de gösterilmektedir: 25

26 Şekil 5a: Aliasing Üstteki: Örnekleme frekansı maksimum frekansa eşittir ve örnekleyici tarafından DC sinyal olarak görünür. Aşağıda: fs frekans örneği değerindeki frekans bileşeni DC sinyal gibi yorumlanır. Şekil 5b: Aliasing. Üstte: (1/N)fs değerindeki frekans Aşağıda: [ (N+1)/N ]fs değerindeki frekans bileşeni (1/N)fs olarak yorumlanır. Örneklenmiş sinyali bu belirli davranışı, en iyi Shannon teoremi olarak bilinir. Shannon, bu olayı açıklayan matematikçidir. Aynı durum genellikle arabaların tekerlerinde de görünür.bu tekerlerin sanki ters tarafa dönüyormuş gibi görünmelerinin sebebi, filmlerdeki stroboskobik etkidir.bunun anlamı örnekleme frekansının yarısından büyük frekansları 26

27 elemeniz gerekir. Bunu yapmazsanız, orijinal ses yanlış seslere bölünür. CD'lerin örnekleme frekansını(44.1 KHz) ele alalım;22 KHz üzerindeki frekansların yok olması gerekir. İstenmeye frekanslardan kurtulmak için süzgeçler kullanılır. Süzgeçler, sesin bir kısmını ileten veya koruyan cihazlardır. Örneğin alçak geçiren süzgeçler, duyulmaya ancak örneklemeyi bozan yüksek frekansları (yarasaların fısıltıları) geçirmez. Şekil 6: Pratikte süzgeç ve ideal süzgeç I: İdeal süzgeç P: Pratikteki süzgeç R: Ripple B: Etkin bad genişliği Süzgeç, sinyallerin hem zamanını hem de spektrumunu değiştiren cihazdır.200 Hz'de alçak geçiren filtreden geçen 100 Hz'lik kare dalga, sinüz sinyali olur çünkü spektrumunun üst kısmı yok olur. Benzer şekilde, 1000 Hz'lik bir piyano notası 1200 ya da 1500 Hz'lik filtreden geçtiğinde, fısıltı gibi duyulur. Bir sesin en alçak frekansı, temel frekans olarak adlandırılır. Diğerleri bileşendir ve harmonik frekanslar olarak adlandırılırlar. 27

28 Zaman alanında, süzgeçler, bozulma(distorsiyon) adı verilen değişikliklere neden olurlar. Bunun temel nedeni harmonikler arasındaki zaman farklarıdır. Bir süzgecin bir sinyal üzerindeki etkisini görebilmek için basit bir kare dalgana (şekil 10a), spektrumunun genliğine(şekil 10b), spektrumunun fazına(şekil 10c) bakalım. Bu kare dalga, bir süzgeç gibi t=0'dan t=t anına kadar sesi geçirir.bu darbenin spektrumu, süzgeçin frekans tepkisini gösterir. Gördüğümüz gibi sinyal frekansı ne kadar büyükse frekans bileşenleri arasındaki zaman farkı o kadar büyük olur ve genlik de o kadar küçük olur Şekil 7a: Zaman sinyali. t=0 anındaki dikdörtgensel darbe Şekil 7b: Spektrum (Genlik) 28

29 Şekil 7c: Spektrum (Faz) Şekil 8, dikdörtgensel süzgecin sinüs sinyali gibi basit bir sinyal üzerindeki etkilerini göstermektedir. Şekil 8a: Dikdörtgensel darbe. t=0 anındaki darbe. Şekil 8b: Ses darbesi 29

30 Sesi T anında aniden kesme, sinüs dalgasının spektrumunda yeni frekansları oluşturur. Eğer süzülmüş sinyal, fazla karışık(şekil 3c'deki kare dalga gibi) ise frekans bileşenleri, süzgecin çıkışında bozukmuş sinyaller oluşturur. Notalar ve saf frekanslar Bir nota, diğerleri arasında, kendi ses seviyesi olarak tanımların ve bu ses seviyesi notanın temel frekansı olarak düşünülebilir. Bunu bilerek, notaları frekansları, aşağıdaki formülle hesaplanabilir: ( (OKTAV - 4) + ( TON - 10) / 12 ) FREKANS (hertz olarak)= REFERANS 2 B>REFARANS olarak 440 Hz'deki 4. oktavdan A notasını kullanırsak, diğerlerini 1'den 12'ye kadar (C'den B'ye kadar) hesaplayabiliriz: Nota Oktav C (do) 32,70 65,41 130,8 261,6 523, C # (do diyez) 34,65 69,30 138,6 277,2 554, D (re) 36,71 73,42 146,8 293,7 587, E b (mi bemol) 38,89 77,78 155,6 311,1 622, E (mi) 41,20 82,41 164,8 329,6 659, F (fa) 43,65 87,31 174,6 349,2 698, F # (fa diyez) 46,25 92,50 185,0 370,0 740,

31 G (sol) 49,00 98,00 196,0 392,0 784, A b (la bemol) 51,91 103,8 207,6 415,3 830, A (la) 55,00 110,0 220,0 440,0 880, B b (si bemol) 58,27 116,5 233,1 466,2 932, B (si) 61,74 123,5 246,9 493,9 987, Notaların frekans olduğunu düşünmek, bir notanın bir aletten diğerine nasıl değiştiğini açıklamaktan uzaklaşırız. Aynı zamanda, notanın nasıl çalındığını(pizzicato ya da legato), hangi alette çalındığını, glissando, vibrato gibi efektleri hesaba katmalıyız. Bunun için, notalar, zamana karşı spektrum olan sonogram yardımıyla incelenebilirler. Sonogram, zaman karşı bütün harmonik frekansların görünmesini sağlar. T: Zaman A: Genlik F: Frekans Şekil 9: Bir sonogram Bugünlerde, elektronik ses kayıt ve çalma cihazları, ses oluşturmak için sentezleyiciler veya ses depolayan ve değişik ses seviyelerinde çalan örnekleyiciler gibi tamamen yapay cihazlar kullanmaktadırlar. Örneklenmiş sandalye gıcırtısından bir çello konseri vermek mümkündür. Bunu herkes yapabilir ve bir enstrüman çalabiliyor olmanız gerekmemektedir. Tek bir notanın karakteristiği aşağıdaki şekilde verilmiştir: 31

32 1: Yükselme A. Pozitif Genlik 2:Durma T: Zaman 3: Kaybolma Şekil 10: Bir notanın karakteristiği Eğri, sesin zamana karşı küresel sesliliğinin evrimini gösterir.bu tip eğrilere zarf denir çünkü sinyal(şeklin gri parçası) tamamen paketleniyor.yükselen kısmına yükselme denir ve enstrümana bağlı olarak birçok değişik şekilde olabilir.ikinci kısım durma denir ve notanın asıl kısmıdır.perküsyon enstrümanları dışındakiler için en uzun süren kısımdır.üçüncü kısım, enstrümana göre şeklini ve uzunluğunu değiştirebilir. Enstrümanlar, müzisyenlerin bu üç kısmı istedikleri gibi değiştirme şansı vermektedir. Piyanonun tuşların farklı hızlarda basmak, notanın yükselme alanını, pedallar ise kaybolma alanını etkiler. Her üç kısım da ses çeşitliliğini sonsuz yapan kendi spektrumuna(rengine) sahiptir. Harmonik frekanslar, yanı seviyede değişmezler. Bas frekanslar daha uzun sürmek isterler ve sesin rengi başlangıcında ve sonunda aynı olmaz. Aralık Tanıma göre, bir cihazı frekans aralığı, enstrümanın frekans aralığıyla ilintilidir. Her iki durumda da terimler, bir enstrümanın çalabileceği frekans veya ses seviyesi aralığını tanımlar. Bununla birlikte, enstrümanın çalabileceği en yüksek frekans, yukarıdaki dizide verilmiş olan temel frekansa eşittir. Yani, eğer sesin bütün renklerini kaydedebilmek için enstrümanın çalabileceği en yüksek frekanstan daha yüksek frekansları kaydedebilen bir cihaz olmalı. Kısa bir frekans aralığı, bir alçak geçiren süzgeç olarak işlev görür ve yüksek frekans harmonilerini kaydetmez. Bu da sesin dolgunluğunu yok eder. Pratikte, insan 32

33 kulağının duyabildiği frekans aralığına(20hz - 20KHz) sahip cihazlar gerekir. Genellik 20 Khz'in üstüne çıkmalıdır çünkü cihazlar kesme frekansının altında sesi bozarlar. Harmonikler ve Nota Bütünleri Yukarıdaki notaların frekans dizisini analiz edersek, müzisyenler harmonik frekanslar arasında bazı benzerlikler ve nota bütünü oluşturan notaları bulurlar. Harmonik frekanslar, temel frekansların çeşitlerin içerir. Böylece, 32,7 Hz'deki C notası için harmonik frekanslar aşağıdaki gibi olur: Harmonik Frekans 32,7 65,4 98,1 130, ,2 228,9 261,6 Nota C C G C E G B b C Burada bir nota bütünün neden mükemmel (C-E-G-C) ya da yedinci (C-E-G-Bb) olarak bilindiğini görüyoruz: Nota bütünü içindeki notaların frekansları, temel (C notasının) frekansının harmonikleri olarak dizilmişlerdir. 33

34 SONUÇ Müzik ve matematik birbirinden farklı disiplinler olarak algılansa da birbirleriyle müthiş bir uyum ve ilişki içerisindedir. Bu ilişki, antik çağlardan günümüze dek çeşitli matematikçilerin dikkatini çekmiş ve araştırmalarına konu olmuştur. Projemizde, matematik ve müzik arasındaki ilişkiyi akademik seviyemiz ve birikimimiz çerçevesinde olabildiğince detaylandırarak inceledik. Daha geniş bir zaman diliminde, bu derin ve kapsamlı konunun proje bazında geliştirilebilir olduğuna inanıyoruz. 34

35 KAYNAKLAR: Aralık 2005; Michael Beer; Mathematics and Music: Relating Science to Arts? Taylor, C., Exploring Music, Instıtute of Physics Publishing, 1994 Johnston, I., Measured Tones, Instıtute of Physics Publishing, 1994 Yrd. Doç. Dr. Ece KARŞAL Kocaeli Üniversitesi Güzel Sanatlar Fakültesi Müzik Bölümü Başkanı 35

36 Music and Mathematics From Phythagoras to Fractals Edited by John Fauvel, Raymond Flood and Robin Wilson (OXFORD University) Music and Mathematics (Thomas M. Fiore) 36

T.Pappas'ın "Yaşayan Matematik" isimli kitabının önsözünde şunlar yazılıdır: "Matematikten duyulan zevk bir şeyi ilk kez keşfetme deneyimine benzer.

T.Pappas'ın Yaşayan Matematik isimli kitabının önsözünde şunlar yazılıdır: Matematikten duyulan zevk bir şeyi ilk kez keşfetme deneyimine benzer. Matematik ve Müzik T.Pappas'ın "Yaşayan Matematik" isimli kitabının önsözünde şunlar yazılıdır: "Matematikten duyulan zevk bir şeyi ilk kez keşfetme deneyimine benzer. Çocuksu bir hayranlık ve şaşkınlık

Detaylı

SES DALGALARı Dalgalar genel olarak, mekanik ve elektromanyetik dalgalar olmak üzere iki ana gruba ayrılır. Elektromanyetik dalgalar, yayılmak için bi

SES DALGALARı Dalgalar genel olarak, mekanik ve elektromanyetik dalgalar olmak üzere iki ana gruba ayrılır. Elektromanyetik dalgalar, yayılmak için bi SES FĠZĠĞĠ SES DALGALARı Dalgalar genel olarak, mekanik ve elektromanyetik dalgalar olmak üzere iki ana gruba ayrılır. Elektromanyetik dalgalar, yayılmak için bir ortama ihtiyaç duymazlar ve boşlukta da

Detaylı

Müziğin Alfabesi Notalardır. =

Müziğin Alfabesi Notalardır. = TEMEL MÜZİK EĞİTİMİ Müziğin Alfabesi Notalardır. = Nota: Seslerin yüksekliklerini (incelik/kalınlık) ve sürelerini göstermeye yarayan işaretlerdir. Müziğin alfabesini, yani notaları öğrenmek için çeşitli

Detaylı

TEMEL MÜZİK EĞİTİMİ 5. HAFTA

TEMEL MÜZİK EĞİTİMİ 5. HAFTA TEMEL MÜZİK EĞİTİMİ 5. HAFTA GAMLAR Tam Ses Aralık (ing. whole tone interval) / Yarım Aralık: İki nota arasındaki mesafeye "aralık" denir. Klasik batı müziğindeki eşit tamperaman sistemde, bir tam ses

Detaylı

1.Bölüm Ses, Ses bileşenleri, İnsan kulağının duyarlılığı, İşitsel-Fizyolojik yeğinlik, Grafik gösterme biçimleri Prof. Dr.

1.Bölüm Ses, Ses bileşenleri, İnsan kulağının duyarlılığı, İşitsel-Fizyolojik yeğinlik, Grafik gösterme biçimleri Prof. Dr. AKUSTİK TEMEL KONULARI SUNUMU 1.Bölüm Ses, Ses bileşenleri, İnsan kulağının duyarlılığı, İşitsel-Fizyolojik yeğinlik, Grafik gösterme biçimleri Prof. Dr. Neşe Yüğrük AKDAĞ MİMARİ AKUSTİK AKUSTİK BİLİMİNİN

Detaylı

Bilal ELÇİ tarafından düzenlenmiştir.

Bilal ELÇİ tarafından düzenlenmiştir. SES BU ÜNİTEDE BİLMENİZ GEREKENLER 1. Bir ses dalgasının belli bir frekans ve genliği olduğunu 2. Sesin titreşimler sonucu oluştuğunu 3. Ses yüksekliğinin sesin ince veya kalın olması anlamına geldiğini

Detaylı

TÜRK MÜZİĞİ SERTİFİKA EĞİTİM PROGRAMI

TÜRK MÜZİĞİ SERTİFİKA EĞİTİM PROGRAMI 1 İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ TÜRK MÜZİĞİ SERTİFİKA EĞİTİM PROGRAMI I.KUR PROGRAMI 2 MÜZİK NEDİR! Duygularımızı, düşüncelerimizi veya olayları anlatmak amacıyla ölçülü ve düzenli seslerin sanat düşünceleri içerisinde

Detaylı

TME Hafta Ders Notları

TME Hafta Ders Notları TME 110 6. Hafta Ders Notları Akorlar Şimdiye kadar müziğin yatay yapılarıyla (melodi, gam) ilgilendik. Bu bölümde müziğin dikey yapısını, yani armoniyi inceleyeceğiz. Bir eseri icra ederken, kimi zaman

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

5. Elektriksel Büyüklüklerin Ölçülebilen Değerleri

5. Elektriksel Büyüklüklerin Ölçülebilen Değerleri Elektrik devrelerinde ölçülebilen büyüklükler olan; 5. Elektriksel Büyüklüklerin Ölçülebilen Değerleri Akım Gerilim Devrede bulunan kaynakların tiplerine göre değişik şekillerde olabilir. Zamana bağlı

Detaylı

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET TİTREŞİM VE DALGALAR Periyodik Hareketler: Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin

Detaylı

Sevdiğim Birkaç Soru

Sevdiğim Birkaç Soru Sevdiğim Birkaç Soru Matematikte öyle sorular vardır ki, yanıtı bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman yıllar sonra yanıtın çok basit olduğu anlaşılır. Bir

Detaylı

DENEY 3: DTMF İŞARETLERİN ÜRETİLMESİ VE ALGILANMASI

DENEY 3: DTMF İŞARETLERİN ÜRETİLMESİ VE ALGILANMASI DENEY 3: DTMF İŞARETLERİN ÜRETİLMESİ VE ALGILANMASI AMAÇ: DTMF işaretlerin yapısının, üretim ve algılanmasının incelenmesi. MALZEMELER TP5088 ya da KS58015 M8870-01 ya da M8870-02 (diğer eşdeğer entegreler

Detaylı

Muhammed ERKUŞ. Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK

Muhammed ERKUŞ. Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK Hazırlayan: Sunan: Muhammed ERKUŞ Sefer Ekrem ÇELİKBİLEK 20047095 20043193 FİBONACCİ SAYILARI ve ALTIN ORAN Fibonacci Kimdir? Leonardo Fibonacci (1175-1250) Pisalı Leonardo Fibonacci Rönesans öncesi Avrupa'nın

Detaylı

Sürekli-zaman İşaretlerin Ayrık İşlenmesi

Sürekli-zaman İşaretlerin Ayrık İşlenmesi Sürekli-zaman İşaretlerin Ayrık İşlenmesi Bir sürekli-zaman işaretin sayısal işlenmesi üç adımdan oluşmaktadır: 1. Sürekli-zaman işaretinin bir ayrık-zaman işaretine dönüştürülmesi 2. Ayrık-zaman işaretin

Detaylı

KLASİK FRAKTALLAR FRAKTAL ÖZELLİKLERİ VE BOYUT

KLASİK FRAKTALLAR FRAKTAL ÖZELLİKLERİ VE BOYUT KLASİK FRAKTALLAR FRAKTAL ÖZELLİKLERİ VE BOYUT.. KENDİNE BENZERLİK VE AFİNİTE Fraktal özelliklerinden bir diğeri de kendine benzerlikdir. Geometrik açıdan, aynı şekle sahip olan geometrik şekiller birbirine

Detaylı

HAFTA 11: ÖRNEKLEME TEOREMİ SAMPLING THEOREM. İçindekiler

HAFTA 11: ÖRNEKLEME TEOREMİ SAMPLING THEOREM. İçindekiler HAFA 11: ÖRNEKLEME EOREMİ SAMPLING HEOREM İçindekiler 6.1 Bant sınırlı sürekli zaman sinyallerinin örneklenmesi... 2 6.2 Düzgün (uniform), periyodik örnekleme... 3 6.3 Bant sınırlı sürekli bir zaman sinyaline

Detaylı

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu)

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu) BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Sinyal Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan bir fonksiyon olup veri işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga

Detaylı

Leyla Yıldırım Bölüm BÖLÜM 2

Leyla Yıldırım Bölüm BÖLÜM 2 BÖLÜM 2 PERİYODİK HAREKETLERİN ÜSTÜSTE GELMESİ Birçok fiziksel durum, aynı sistemde iki veya daha fazla harmonik titreşimin aynı anda uygulanmasını gerektirir. Burada aşağıdaki temel kabule bağlı olarak

Detaylı

ARMONİYE YABANCI SESLER

ARMONİYE YABANCI SESLER ARMONİYE YABANCI SESLER GEÇİT, İŞLEME, BASAMAK, GECİKME SESLERİ GEÇİT Geçit sesi, bir ezgi akora ait bir sesten (örneğin akorun 3lüsünden), akora ait olan bir başka sese (örneğin akorun 5lisine) geçmek

Detaylı

10. SINIF KONU ANLATIMLI. 3. ÜNİTE: DALGALAR 3. Konu SES DALGALARI ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

10. SINIF KONU ANLATIMLI. 3. ÜNİTE: DALGALAR 3. Konu SES DALGALARI ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 10. SINIF KONU ANLATIMLI 3. ÜNİTE: DALGALAR 3. Konu SES DALGALARI ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 2 Ünite 3 Dalgalar 3. Ünite 3. Konu (Ses Dalgaları) A nın Çözümleri 1. Sesin yüksekliği, sesin frekansına bağlıdır.

Detaylı

6. DENEY Alternatif Akım Kaynağı ve Osiloskop Cihazlarının Kullanımı

6. DENEY Alternatif Akım Kaynağı ve Osiloskop Cihazlarının Kullanımı 6. DENEY Alternatif Akım Kaynağı ve Osiloskop Cihazlarının Kullanımı Deneyin Amacı: Osiloskop kullanarak alternatif gerilimlerin incelenmesi Deney Malzemeleri: Osiloskop Alternatif Akım Kaynağı Uyarı:

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Müzik Teorisi ve Solfeje Giriş I

Müzik Teorisi ve Solfeje Giriş I Müzik Teorisi ve Solfeje Giriş I Bu yazı serisiyle birlikte plaj gitaristi avına çıkıyoruz. Gitarın bir ergen enstrümanı haline gelmesi bu çağın vebası. Birkaç akorun basılması ve tellere vurulacak birkaç

Detaylı

ALTERNATİF AKIMIN TEMEL ESASLARI

ALTERNATİF AKIMIN TEMEL ESASLARI ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ DERSİ ALTERNATİF AKIMIN TEMEL ESASLARI Dr. Öğr. Üyesi Ahmet ÇİFCİ Elektrik enerjisi, alternatif akım ve doğru akım olarak

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Hatalar ve Bilgisayar Aritmetiği

Hatalar ve Bilgisayar Aritmetiği Hatalar ve Bilgisayar Aritmetiği Analitik yollardan çözemediğimiz birçok matematiksel problemi sayısal yöntemlerle bilgisayarlar aracılığı ile çözmeye çalışırız. Bu şekilde Sayısal yöntemler kullanarak

Detaylı

ADC Devrelerinde Pratik Düşünceler

ADC Devrelerinde Pratik Düşünceler ADC Devrelerinde Pratik Düşünceler ADC nin belki de en önemli örneği çözünürlüğüdür. Çözünürlük dönüştürücü tarafından elde edilen ikili bitlerin sayısıdır. Çünkü ADC devreleri birçok kesikli adımdan birinin

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ANALOG FİLTRELEME DENEYİ

ANALOG FİLTRELEME DENEYİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ANALOG FİLTRELEME DENEYİ Ölçme ve telekomünikasyon tekniğinde sık sık belirli frekans bağımlılıkları olan devreler gereklidir. Genellikle belirli bir frekans bandının

Detaylı

EEM 202 DENEY 9 Ad&Soyad: No: RC DEVRELERİ-II DEĞİŞKEN BİR FREKANSTA RC DEVRELERİ (FİLTRELER)

EEM 202 DENEY 9 Ad&Soyad: No: RC DEVRELERİ-II DEĞİŞKEN BİR FREKANSTA RC DEVRELERİ (FİLTRELER) EEM 0 DENEY 9 Ad&oyad: R DEVRELERİ-II DEĞİŞKEN BİR FREKANTA R DEVRELERİ (FİLTRELER) 9. Amaçlar Değişken frekansta R devreleri: Kazanç ve faz karakteristikleri Alçak-Geçiren filtre Yüksek-Geçiren filtre

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

10. Sınıf. Soru Kitabı. Dalgalar. Ünite. 3. Konu. Ses Dalgası. Test Çözümleri. Sismograf

10. Sınıf. Soru Kitabı. Dalgalar. Ünite. 3. Konu. Ses Dalgası. Test Çözümleri. Sismograf 10. Sınıf Soru Kitabı 3. Ünite Dalgalar 3. Konu Ses Dalgası Test Çözümleri Sismograf 2 3. Ünite Dalgalar Test 1 in Çözümleri 1. Ses dalgalarının hızı ortamı oluşturan moleküllerin birbirine yakın olmasına

Detaylı

Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-3

Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-3 Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-3 Faz ve Grup Hızı Güç ve Enerji Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Eğik Gelişi Dik Kutuplama Paralel Kutuplama Faz ve Grup

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL

ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Tilbe GÖKÇEL DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Emel ERGÖNÜL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI... 3 2. GİRİŞ... 3

Detaylı

Bölüm 16 CVSD Sistemi

Bölüm 16 CVSD Sistemi Bölüm 16 CVSD Sistemi 16.1 AMAÇ 1. DM sisteminin çalışma prensibinin incelenmesi. 2. CVSD sisteminin çalışma prensibinin incelenmesi. 3. CVSD modülatör ve demodülatör yapılarının gerçeklenmesi. 16.2 TEMEL

Detaylı

Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri

Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri 1.11.013 Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri 4.-5. hafta Merkezi eğilim ölçüleri, belli bir özelliğe ya da değişkene ilişkin ölçme sonuçlarının, hangi değer etrafında toplandığını gösteren ve veri grubunu

Detaylı

Akor Şifreleri Doğrultusunda Yaratıcı İcra Teknikleri

Akor Şifreleri Doğrultusunda Yaratıcı İcra Teknikleri Prof. Server Acim Bas Gitar Öğrencileri İçin Akor Şifreleri Doğrultusunda Yaratıcı İcra Teknikleri Çeşitli Örnekler ve Açıklamaları İçeren Ders Notları 03 yılında, Server AİM tarafından LaTeX ve GNU/LilyPond

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

Ses Dalgaları Testlerinin Çözümleri. Test 1 in Çözümleri

Ses Dalgaları Testlerinin Çözümleri. Test 1 in Çözümleri 3 Ses Dalgaları Testlerinin Çözümleri 1 Test 1 in Çözümleri 1. Ses dalgalarının hızı ortamı oluşturan moleküllerin birbirine yakın olmasına ve moleküllerin kinetik enerjisine bağlıdır. Yani ses dalgalarının

Detaylı

TEMEL MÜZİK KAVRAMLARI

TEMEL MÜZİK KAVRAMLARI TEMEL MÜZİK KAVRAMLARI Müziğin alfabesi notalardır: Nota: Seslerin yüksekliklerini (incelik/kalınlık) ve sürelerini göstermeye yarayan işaretlerdir. Müziğin alfabesini, yani notaları öğrenmek için çeşitli

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu

İşaret ve Sistemler. Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu İşaret ve Sistemler Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu Fourier Serileri Periyodik işaretlerin spektral analizini yapabilmek için periyodik işaretler sinüzoidal işaretlerin toplamına dönüştürülür

Detaylı

İşaret ve Sistemler. Ders 1: Giriş

İşaret ve Sistemler. Ders 1: Giriş İşaret ve Sistemler Ders 1: Giriş Ders 1 Genel Bakış Haberleşme sistemlerinde temel kavramlar İşaretin tanımı ve çeşitleri Spektral Analiz Fazörlerin frekans düzleminde gösterilmesi. Periyodik işaretlerin

Detaylı

TIBBİ ENSTRUMANTASYON TASARIM VE UYGULAMALARI SAYISAL FİLTRELER

TIBBİ ENSTRUMANTASYON TASARIM VE UYGULAMALARI SAYISAL FİLTRELER TIBBİ ENSTRUMANTASYON TASARIM VE UYGULAMALARI SAYISAL FİLTRELER SUNU PLANI Analog sayısal çevirici FIR Filtreler IIR Filtreler Adaptif Filtreler Pan-Tompkins Algoritması Araş. Gör. Berat Doğan 08/04/2015

Detaylı

MATEMATİĞİN GEREKLİLİĞİ

MATEMATİĞİN GEREKLİLİĞİ Dr. Serdar YILMAZ MEÜ Fizik Bölümü Ses dalgalarının özellikleri 2 MATEMATİĞİN GEREKLİLİĞİ Matematik, yaşamı anlatmakta kullanılır. Matematik yoluyla anlatma, yanlış anlama ve algılamayı engeller. Yaşamda

Detaylı

DENEY 7 DALGALI GERİLİM ÖLÇÜMLERİ - OSİLOSKOP

DENEY 7 DALGALI GERİLİM ÖLÇÜMLERİ - OSİLOSKOP DENEY 7 DALGALI GERİLİM ÖLÇÜMLERİ - OSİLOSKOP Amaç: Bu deneyin amacı, öğrencilerin alternatif akım ve gerilim hakkında bilgi edinmesini sağlamaktır. Deney sonunda öğrencilerin, periyot, frekans, genlik,

Detaylı

YILDIZLARIN HAREKETLERİ

YILDIZLARIN HAREKETLERİ Öz Hareket Gezegenlerden ayırdetmek için sabit olarak isimlendirdiğimiz yıldızlar da gerçekte hareketlidirler. Bu, çeşitli yollarla anlaşılır. Bir yıldızın ve sı iki veya üç farklı tarihte çok dikkatle

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

T.C. AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ ANTALYA DEVLET KONSERVATUVARI İLK VE ORTA ÖĞRETİM ÖZEL YETENEK KULAK SINAVI İÇERİKLERİ

T.C. AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ ANTALYA DEVLET KONSERVATUVARI İLK VE ORTA ÖĞRETİM ÖZEL YETENEK KULAK SINAVI İÇERİKLERİ 1 T.C. AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ ANTALYA DEVLET KONSERVATUVARI İLK VE ORTA ÖĞRETİM ÖZEL YETENEK KULAK SINAVI İÇERİKLERİ İlkokul 1 1 ses, 2 ses, 2/4 lük iki ölçü ezgi ve ritim (sekizlik, onaltılık, terazi) (ikinci

Detaylı

Şekil-1. Doğru ve Alternatif Akım dalga şekilleri

Şekil-1. Doğru ve Alternatif Akım dalga şekilleri 2. Alternatif Akım =AC (Alternating Current) Değeri ve yönü zamana göre belirli bir düzen içerisinde değişen akıma AC denir. En çok bilinen AC dalga biçimi Sinüs dalgasıdır. Bununla birlikte farklı uygulamalarda

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin

Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin Bu yazıda hile yapıyorum... Bir yerde bir hata var. Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin K endinden ve birden başka sayıya bölünmeyen a asal denir. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 asal dır. Ama 35 asal

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII Enerji ölçümünden sonra Sonucu E i olan enerji ölçümünden sonra parçacık enerji özdurumu u i de olacak ve daha sonraki ardışık tüm enerji ölçümleri E i enerjisini verecektir. Ölçüm yapılmadan önce enerji

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

TEMEL NOTA BĠLGĠSĠ. Öncelikle porte üzerindeki notaları tanıyalım:

TEMEL NOTA BĠLGĠSĠ. Öncelikle porte üzerindeki notaları tanıyalım: TEMEL NOTA BĠLGĠSĠ Nota, müziğin alfabesidir. Bir müzik eserinin tüm özellikleriyle nesilden nesile aktarılmasını sağlar. Notanın 2 temel özelliği bizim için büyük önem arz eder. Birincisi her notanın

Detaylı

Ses Dalgaları. Test 1 in Çözümleri

Ses Dalgaları. Test 1 in Çözümleri 34 Ses Dalgaları 1 Test 1 in Çözümleri 3. 1. 1 Y I. Sonar II. Termal kamera 2 Z 3 Sesin yüksekliği ile sesin frekansı aynı kavramlardır. Titreşen bir telin frekansı, telin gerginliği ile doğru orantılıdır.

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir.

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. İşaretli Tamsayı Gösterimi 1. İşaretli Büyüklük Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. Örnek

Detaylı

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 11 Çözümler

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 11 Çözümler Adam S. Bolton bolton@mit.edu MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 11 Çözümler 15 Mayıs 2002 Problem 11.1 Tek yarıkta kırınım. (Giancoli 36-9.) (a) Bir tek yarığın genişliğini iki katına çıkarırsanız, elektrik

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İLETİŞİM LABORATUARI SAYISAL FİLTRELER

ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İLETİŞİM LABORATUARI SAYISAL FİLTRELER SAYISAL FİLTRELER Deney Amacı Sayısal filtre tasarımının ve kullanılmasının öğrenilmesi. Kapsam Ayrık zamanlı bir sistem transfer fonksiyonunun elde edilmesi. Filtren frekans tepkes elde edilmesi. Direct

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ Anten Parametrelerinin Temelleri Samet YALÇIN Anten Parametrelerinin Temelleri GİRİŞ: Bir antenin parametrelerini tanımlayabilmek için anten parametreleri gereklidir. Anten performansından

Detaylı

YAPI FİZİĞİ 2 HACİM AKUSTİĞİ Prof. Dr. Neşe Yüğrük Akdağ Yıldız Teknik Üniversitesi Yapı Fiziği Bilim Dalı

YAPI FİZİĞİ 2 HACİM AKUSTİĞİ Prof. Dr. Neşe Yüğrük Akdağ Yıldız Teknik Üniversitesi Yapı Fiziği Bilim Dalı YAPI FİZİĞİ 2 HACİM AKUSTİĞİ 1. Bölüm Prof. Dr. Neşe Yüğrük Akdağ Yıldız Teknik Üniversitesi Yapı Fiziği Bilim Dalı Yapı Fiziği II-Hacim Akustiği 1 MİMARİ AKUSTİK YAPI AKUSTİĞİ/NOISE CONTROL (-Gürültü

Detaylı

BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR Bölümün Amacı Öğrenci, Analog haberleşmeye kıyasla sayısal iletişimin temel ilkelerini ve sayısal haberleşmede geçen temel kavramları öğrenecek ve örnekleme teoremini anlayabilecektir.

Detaylı

ZAMAN VE FREKANS DOMENLERİNDE ÖRNEKLEME

ZAMAN VE FREKANS DOMENLERİNDE ÖRNEKLEME Bölüm 6 ZAMAN VE FREKANS DOMENLERİNDE ÖRNEKLEME VE ÖRTÜŞME 12 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme 6.1 GİRİŞ Bu bölümün amacı, verilen bir işaretin zaman veya frekans domenlerinden

Detaylı

DENEY FÖYÜ 4: Alternatif Akım ve Osiloskop

DENEY FÖYÜ 4: Alternatif Akım ve Osiloskop Deneyin Amacı: DENEY FÖYÜ 4: Alternatif Akım ve Osiloskop Osiloskop kullanarak alternatif gerilimlerin incelenmesi Deney Malzemeleri: 5 Adet 1kΩ, 5 adet 10kΩ, 5 Adet 2k2Ω, 1 Adet potansiyometre(1kω), 4

Detaylı

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 8 Çözümler

MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 8 Çözümler Adam S. Bolton bolton@mit.edu MIT 8.02, Bahar 2002 Ödev # 8 Çözümler 24 Nisan 2002 Problem 8.1 RLC devresi. (a) Derste (ve Giancoli Kesim 31-6,s. 780 de) tartışıldığı gibi, bir akımın bir maksimuma (rezonans)

Detaylı

ANOLOG-DİJİTAL DÖNÜŞTÜRÜCÜLER

ANOLOG-DİJİTAL DÖNÜŞTÜRÜCÜLER ADC ve DAC 1 BM-201 2 ANOLOG-DİJİTAL DÖNÜŞTÜRÜCÜLER Maksimum ve minimum sınırları arasında farklı değerler alarak değişken elektriksel büyüklüklere analog bilgi ya da analog değer denir. Akım ve gerilim

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ Sabit kabul edilen bir noktaya göre bir cismin konumundaki değişikliğe hareket denir. Bu sabit noktaya referans noktası denir. Fizikte hareket üçe ayrılır Ötelenme Hareketi:

Detaylı

EEM HABERLEŞME TEORİSİ NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

EEM HABERLEŞME TEORİSİ NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EEM3006 - HABERLEŞME TEORİSİ Dersin Öğretim Elemanı: Yrd. Doç. Dr. Yasin KABALCI Ders Görüşme

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu, Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut

Detaylı

Alternatif Akım; Zaman içerisinde yönü ve şiddeti belli bir düzen içerisinde değişen akıma alternatif akım denir.

Alternatif Akım; Zaman içerisinde yönü ve şiddeti belli bir düzen içerisinde değişen akıma alternatif akım denir. ALTERNATiF AKIM Alternatif Akım; Zaman içerisinde yönü ve şiddeti belli bir düzen içerisinde değişen akıma alternatif akım denir. Doğru akım ve alternatif akım devrelerinde akım yönleri şekilde görüldüğü

Detaylı

Alternatif Akım Devre Analizi

Alternatif Akım Devre Analizi Alternatif Akım Devre Analizi Öğr.Gör. Emre ÖZER Alternatif Akımın Tanımı Zamaniçerisindeyönüveşiddeti belli bir düzen içerisinde (periyodik) değişen akıma alternatif akımdenir. En bilinen alternatif akım

Detaylı

Bernoulli Denklemi, Basınç ve Hız Yükleri Borularda Piezometre ve Enerji Yükleri Venturi Deney Sistemi

Bernoulli Denklemi, Basınç ve Hız Yükleri Borularda Piezometre ve Enerji Yükleri Venturi Deney Sistemi Bernoulli Denklemi, Basınç ve Hız Yükleri Borularda Piezometre ve Enerji Yükleri Venturi Deney Sistemi Akışkanlar dinamiğinde, sürtünmesiz akışkanlar için Bernoulli prensibi akımın hız arttıkça aynı anda

Detaylı

GÜNEŞİN ELEKTROMANYETİK SPEKTRUMU

GÜNEŞİN ELEKTROMANYETİK SPEKTRUMU GÜNEŞİN ELEKTROMANYETİK SPEKTRUMU Güneş ışınımı değişik dalga boylarında yayılır. Yayılan bu dalga boylarının sıralı görünümü de güneş spektrumu olarak isimlendirilir. Tam olarak ifade edilecek olursa;

Detaylı

NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

NİĞDE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ History in Pictures - On January 5th, 1940, Edwin H. Armstrong transmitted thefirstfmradiosignalfromyonkers, NY to Alpine, NJ to Meriden, CT to Paxton, MA to Mount Washington. 5 January is National FM

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Direnç(330Ω), bobin(1mh), sığa(100nf), fonksiyon generatör, multimetre, breadboard, osiloskop. Teorik Bilgi

Direnç(330Ω), bobin(1mh), sığa(100nf), fonksiyon generatör, multimetre, breadboard, osiloskop. Teorik Bilgi DENEY 8: PASİF FİLTRELER Deneyin Amaçları Pasif filtre devrelerinin çalışma mantığını anlamak. Deney Malzemeleri Direnç(330Ω), bobin(1mh), sığa(100nf), fonksiyon generatör, multimetre, breadboard, osiloskop.

Detaylı

İŞARET ve SİSTEMLER (SIGNALS and SYSTEMS) Dr. Akif AKGÜL oda no: 303 (T4 / EEM)

İŞARET ve SİSTEMLER (SIGNALS and SYSTEMS) Dr. Akif AKGÜL oda no: 303 (T4 / EEM) İşaret ve Sistemler İŞARET ve SİSTEMLER (SIGNALS and SYSTEMS) Dr. Akif AKGÜL aakgul@sakarya.edu.tr oda no: 303 (T4 / EEM) Kaynaklar: 1. Signals and Systems, Oppenheim. (Türkçe versiyonu: Akademi Yayıncılık)

Detaylı

RF MİKROELEKTRONİK GÜRÜLTÜ

RF MİKROELEKTRONİK GÜRÜLTÜ RF MİKROELEKTRONİK GÜRÜLTÜ RASTGELE BİR SİNYAL Gürültü rastgele bir sinyal olduğu için herhangi bir zamandaki değerini tahmin etmek imkansızdır. Bu sebeple tekrarlayan sinyallerde de kullandığımız ortalama

Detaylı

4. ÜNĠTE : SES. Ses, bir noktadan baģka bir noktaya doğru dalgalar halinde yayılır. Bu dalgalar titreģimler sonucunda meydana gelir.

4. ÜNĠTE : SES. Ses, bir noktadan baģka bir noktaya doğru dalgalar halinde yayılır. Bu dalgalar titreģimler sonucunda meydana gelir. 4. ÜNĠTE : SES 1 SES; madde moleküllerinin titreģimiyle oluģan bir dalga hareketidir(titreģim hareketidir). Ses; katı, sıvı veya gaz gibi maddesel bir ortamda yayılır. BoĢlukta ses yayılmaz. *Havası boģaltılmıģ

Detaylı

HAFTA 8: FOURIER SERİLERİ ÖZELLİKLERİ. İçindekiler

HAFTA 8: FOURIER SERİLERİ ÖZELLİKLERİ. İçindekiler HAFA 8: FOURIER SERİLERİ ÖZELLİKLERİ İçindekiler 4.4. Fourier serisinin özellikleri... 2 4.4.1 Doğrusallık özelliği (Linearity property)... 2 4.4.2 Zamanda tersine çevirme özelliği (ime Reversal Property)...

Detaylı

1. IŞIK BİLGİSİ ve YANSIMA

1. IŞIK BİLGİSİ ve YANSIMA 1. IŞIK BİLGİSİ ve YANSIMA Işığın Yayılması Bir ışık kaynağından çıkarak doğrular boyunca yayılan ince ışık demetine ışık ışını denir. Işık ışınları doğrusal çizgilerle ifade edilir. Bir ışık kaynağından

Detaylı

Şeklinde ifade edilir. Çift yan bant modülasyonlu işaret ise aşağıdaki biçimdedir. ile çarpılırsa frekans alanında bu sinyal w o kadar kayar.

Şeklinde ifade edilir. Çift yan bant modülasyonlu işaret ise aşağıdaki biçimdedir. ile çarpılırsa frekans alanında bu sinyal w o kadar kayar. GENLİK MODÜLASYONU Mesaj sinyali m(t) nin taşıyıcı sinyal olan c(t) nin genliğini modüle etmesine genlik modülasyonu (GM) denir. Çeşitli genlik modülasyonu türleri vardır, bunlar: Çift yan bant modülasyonu,

Detaylı

İnce Antenler. Hertz Dipolü

İnce Antenler. Hertz Dipolü İnce Antenler Çapları boylarına göre küçük olan antenlere ince antenler denir. Alanların hesabında antenlerin sonsuz ince kabul edilmesi kolaylık sağlar. Ancak anten empedansı bulunmak istendiğinde kalınlığın

Detaylı

Bölüm 13 FSK Modülatörleri.

Bölüm 13 FSK Modülatörleri. Bölüm 13 FSK Modülatörleri. 13.1 AMAÇ 1. Frekans Kaydırmalı Anahtarlama (FSK) modülasyonunun çalışma prensibinin anlaşılması.. FSK işaretlerinin ölçülmesi. 3. LM5 kullanarak bir FSK modülatörünün gerçekleştirilmesi.

Detaylı

TEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ

TEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ TEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ 1 İstatistik İstatistik, belirsizliğin veya eksik bilginin söz konusu olduğu durumlarda çıkarımlar yapmak ve karar vermek için sayısal verilerin

Detaylı

MATEMATİK ve DOĞA. Ayşe AYRAN Prof. Dr. Neşet AYDIN Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü

MATEMATİK ve DOĞA. Ayşe AYRAN Prof. Dr. Neşet AYDIN Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü MATEMATİK ve DOĞA Ayşe AYRAN Prof. Dr. Neşet AYDIN Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü ÖZET Leonardo Fibonacci 13. yy yaşamış İtalyan bir matematikçidir. Fibonacci

Detaylı

Sayısal Filtre Tasarımı

Sayısal Filtre Tasarımı Sayısal Filtre Tasarımı Sayısal Filtreler Filtreler ayrık zamanlı sistemlerdir. Filtreler işaretin belirli frekanslarını güçlendirmek veya zayıflatmak, belirli frekanslarını tamamen bastırmak veya belirli

Detaylı

8. ALTERNATİF AKIM VE SERİ RLC DEVRESİ

8. ALTERNATİF AKIM VE SERİ RLC DEVRESİ 8. ATENATİF AKIM E SEİ DEESİ AMAÇA 1. Alternatif akım ve gerilim ölçmeyi öğrenmek. Direnç, kondansatör ve indüktans oluşan seri bir alternatif akım devresini analiz etmek AAÇA oltmetre, ampermetre, kondansatör

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Elektromanyetik Dalgalar. Test 1 in Çözümleri

Elektromanyetik Dalgalar. Test 1 in Çözümleri 38 Elektromanyetik Dalgalar 1 Test 1 in Çözümleri 1. Radyo dalgaları elektronların titreşiminden doğan elektromanyetik dalgalar olup ışık hızıyla hareket eder. Radyo dalgalarının titreşim frekansı ışık

Detaylı