YAYILI KÜTLE TAŞIYAN DİKDÖRTGEN PLAĞIN SERBEST TİTREŞİM FREKANSLARI

Transkript

1 PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜENDİ SLİ K Bİ L İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : : 7 : : 5- YAYILI KÜTLE TAŞIYAN DİKDÖRTGEN PLAĞIN SERBEST TİTREŞİM FREKANSLARI Osmn KOPMAZ, Sevd TELLİ Uludğ Üniversitesi, Mühendislik-Mimrlık Fkültesi, Mkine Mühendisliği Bölümü, Görükle/Burs Geliş Trihi :.. ÖZET Bu çlışmd düzgün yyılı ek kütle tşıyn bir plğın doğl freknslrının bulunmsı için bir metot sunulmktdır. Polinom şeklindeki frekns denklemi, plğın hreket denklemine stndrt Glerkin prosedürü uygulnrk elde edilmektedir. Anliz sonuçlrının genel uygulnbilirliğini sğlmk için eklenti kütlenin yeri, birim ln düşen yoğunluğu ve oturm lnı ile ilgili boyutsuz prmetreler tnımlnmıştır. Dh sonr en düşük üç freknsın, öneminden ötürü özellikle temel freknsın bu boyutsuz prmetrelere göre değişimi incelenmiştir. Ayrıc, syısl bir örnekle bu metodun özel bir hl olrk konsntre kütle tşıyn plklrın incelenmesinde de kullnılbileceği gösterilmiştir. Son olrk, böyle bir eklentinin konumunun ve kütlesinin bir plğın modl yüzeyleri ve nodl çizgilerine etkisi rştırılmıştır. Anhtr Kelimeler : Dikdörtgen plk, Kısıtlı plk, eviside fonksiyonlrı, Plk freknslrı, Modl yüzeyler NATURAL FREUENCIES OF A RECTANGULAR PLATE CARRYING A DISTRIBUTED MASS ABSTRACT In this pper, n nlyticl method is presented to find the eigenfrequencies of plte crrying n ttchment which consist of uniformly distributed mss. The frequency eqution of polynomil type is obtined by pplying the stndrd Glerkin procedure to the eqution of motion. The nondimensionl prmeters which re ssocited with the loction, the re density nd the distribution of the mss, re defined in order to mke the nlysis results generlly pplicble. Then, the vrition of the three lowest frequencies, especilly of the fundmentl frequency due to its significnce, with respect to these nondimensionl prmeters is investigted. Furthermore, it is shown by numericl exmple tht the method cn be used to study pltes with concentrted mss s specil cse. Finlly, the effects of the loction nd the mss of such n ttchment on the modl surfces nd nodl lines of plte re investigted. Key Words : Rectngulr plte, Constrined plte, eviside s functions, Plte frequencies, Modl surfces. GİRİŞ Asm köprü tşıyıcı hltlrı, mkine monte edilmiş döşemeler, üzerinde tşıt vey tren ktrı bulunn köprüler gibi çeşitli eklentileri (ttchment tşıyn kısıtlnmış (constrined esnek ypılr mühendislik uygulmlrınd sıkç rstlnmktdır. Bu eklentiler genellikle yrık (discret sistemlerden ibrettir vey en zındn böyle modellenebilir. Kısıtlı sözcüğü ise eklentilerin vrlığının, orijinl tşıyıcı sistemin hreketi üzerine getirdiği kısıtlmlr işret etmektedir. Yyılı kütle tşıyn kiriş ve çubuklr it çlışmlr olmkl berber (Chn nd Zhng, 995; Chn, et ll. 996; Chn et ll., 998 eklentileri hiz plklr ilişkin çlışmlrd dh çok konsntre kütle vey tekil yylrl dontılmış sistemler ele lınmktdır (Rossi nd Lur, 996; Ch, 997; Wu nd Luo,

2 lbuki prtikte kütleler genellikle yyılı hlde bulunmktdır. Bu çlışmd belirli bir bölgesinde yyılı kütle tşıyn bir plğın serbest eğilme titreşimleri ve freknslrı incelenmektedir. Bu mçl iki boyutlu eviside fonksiyonlrın dylı mtemtiksel bir model geliştirilmiş ve hreket denklemi Glerkin prosedürüyle yrıştırılrk sistemin krkteristik denklemine ulşılmıştır. Mtemtiksel model kütlesiz vey konsntre kütleli plk hllerinin incelenmesine de imkn vermektedir. Ayrıc kütleyi tnımlyn çeşitli boyutsuz prmetrelere göre nlizler ypılmış, plğın nodl çizgileri ve modl yüzeyleri mtlb ortmınd grfikler şeklinde elde edilmiştir.. MATEMATİK MODEL VE AREKET DENKLEMİ Şekil de gösterilen sistemdeki izotropik, dikdörtgen plğın eni, boyu ve klınlığı sbit ve sırsıyl, b ve h olsun. Plk, dört kenrındn bsit mesnetlenmiştir. Boyutlrı c ve d oln yyılı ve dikdörtgensel bir kütle plğın üzerinde Şekil de görülen trzd yerleştirilmiştir. Kütlenin, xy tkımının orijinine en ykın oln köşesinin koordintlrı (x,y olsun. Burd kütlenin üzerinde yer ldığı plk bölgesinin eğilmesini engellemediği vrsyılcktır. Bu şrtlr ltınd plğın hreket denklemi: y (;b 3 E h D ( ( ν şeklinde tnımlnmktdır. Burd E, ν ve h sırsıyl plğın elstisite modülü, Poisson ornı ve klınlığıdır. Ayrıc, ve plğın ve yyılı kütlenin ln yoğunluğu yni birim ln düşen kütlesidir. Nihyet, ( denkleminin sğındki fonksiyonu dört det eviside fonksiyonunun şğıdki gibi bir kombinsyonudur: (x, y,x, y,c,d vey (x, y,x, y,c,d [ (x x (x x c ] [ (y y (y y d ] + (x x, y y (x x, y y d 3(x x c, y y 4(x x c, y y d (3 Tek ve iki boyutlu i ve fonksiyonlrı rsındki ilişki şöyledir: (x x, y y (x x (y y (x x, y y d (x x (y y d 3(x x c, y y (x x c (y y 4 (x x c, y y d (x x c (y y d (4 y +d/ y c x x +c/ d (; x Glerkin prosedürünü uygulmk için ( denkleminin gerçek çözümüne: Nx Ny w (x, y,t W ij (x, yqij(t (5 i j Şekil. Yyılı kütleli plk serisiyle yklşılcktır. Burd W ij ler kısıtsız, bsit mesnetli plğın modl fonksiyonlrı olup, D (w xxxx + w xxyy + w yyyy + w&& w&& ( (x, y, x, y, c, d W ij (x, y iπx jπ y sin sin (6 b olmktdır. Burd w w(x,y,t plk ort düzleminin enine sehimlerini ve x ile y indisleri de x ve y değişkenlerine göre kısmi türevleri temsil etmektedir. D plğın eğilme ktılığı olup, şeklindedirler. (5 bğıntısı ( denkleminde yerleştirilir, denklemi yeniden düzenlenir ve ( x, y b bölgesi üzerinde integre edilirse şğıdki denkleme ulşılır: Mühendislik Bilimleri Dergisi 7 ( 5-6 Journl of Engineering Sciences 7 ( 5-

3 4 r s b π + D qrs b 4 (7 Nx Ny b + qrs + b Iij,rs q ij 4 & & i j Bu denklemdeki her terim b ile bölünür ve 4 b ψ (8 rs π [ r + ( s ψ ] D 4 ω (9 şeklinde tnımlnn büyüklükler kullnılırs (7 denklemi şu şekli lır: && q rs + ωrs q rs Burd; I ij,rs + 4 r,..., N x Nx i ( α α ( β β ( α α ( β β ( α α ( β β ( α α ( β β Ny Iij,rs & q ij j s,..., N y α (icosiπ sin rπ (i r π rsiniπcosrπ i r, j s i r, j s i r, j s i r, j s ( ( ( α ( + sin rπ (3 4r π α ( γ + sin r π( + γ (5 4r π β (jcos jπ sinsπ (j s π ssin jπcossπ (6 β ( + sin sπ (7 4s π β (j s π [ jcos jπ( + δ sinsπ( + δ ssin jπ( + δcossπ( + δ ] (8 β ( δ + sin sπ( + δ (9 4sπ x ( y ( b c γ ( d δ (3 b olmktdır. ( denklemindeki indisleri zltmk için m N y (r- + s i,r,...,n x (4 n N y (i- + j j,s,...,n y (5 ile tnımlnn yeni m ve n indisleri işe ktılcktır. NN x N y, olmk üzere m ve n, den N ye kdr tmsyı değerler lmktdırlr. Neticede ( denklemi şğıdki gibi yzılbilir: N && qm + ωm q m + 4 In,m q n && n (6 denkleminde m,..., N (6 α (i r π [ icosiπ( + γ sin rπ( + γ rsiniπ( + γcosrπ( + γ ] (4 q& n ω qn & (7 konulduğund şğıdki denklem tkımı elde edilmektedir: Mühendislik Bilimleri Dergisi 7 ( 5-7 Journl of Engineering Sciences 7 ( 5-

4 ω m q m n N 4 In,m + δnm ω qn (8 m,...,n (8 denklem tkımı mtris denklemi olrk, [ ] { q } ω [ I ] + [ ] { q } ω (9 şeklinde de ifde edilebilir. Bu denklemde, [ ω ] ω ω kl 4 I k,l O ωn (3 (3 ile verilen bir mtristir. [I] birim mtrisi temsil etmektedir. (9 denklemi [] I [ ] ω + ω { q } { } (3 şeklinde tekrr düzenlenirse (3 deki ktsyılr mtrisinin çık şekli ( + ω ω ω M M N, ω ω ( + ω ω N, ω olup [] ise elemnlrı 3 ω 3 ω N,3 ω L L, N ω, N ω L ( + N, N ω ωn oln determinntı sistemin doğl freknslrını verecektir. 3. SONUÇLAR Merkezi (x +c/, y +d/ de oln yyılı bir kütle tşıyn dikdörtgen bir plğın doğl freknslrı yukrıd çıklnn metotl tyin edildi. Anck bşlngıçt bu freknslrın hngi modlrl ilişkili (33 olduğu göz önüne lınmdı ve bunun yerine bulunn freknslr en küçükten en büyüğe sırlndı. esplmlrd gerekli bzı boyutsuz prmetre değerleri şğıdki gibi seçildi: b c d ψ.5, γ., δ. b, N x 5, N y 5, N N x N y 5 Kütlesiz (kısıtlmsız plğın ilk yirmibeş modu kullnıldığındn bunlr krşılık gelen yirmibeş frekns Tblo de prntez içinde hngi modlr krşı geldikleri belirtilerek küçükten büyüğe sırlnmıştır. Tblo. Dikdörtgen Plğın Boyutsuz Özfreknslrı ψ.5 için ω (ω ω 4 (ω ω (ω ω 5 (ω ω 3 (ω ω 6 (ω ω 4 (ω ω 7 (ω ω 5 (ω ω 8 (ω ω 6 (ω ω 9 (ω ω 7 (ω ω (ω ω 8 (ω ω (ω ω 9 (ω ω (ω ω (ω ω 3 (ω ω (ω ω 4 (ω ω (ω ω 5 (ω ω 3 (ω / Özfreknslr ( D ile çrpılrk boyutsuzlştırılmıştır. Plk, sınır şrtlrı ve geometrisi bkımındn simetriye ship olduğundn incelemelerin dörtte bir plk üzerinde ypılbileceği çıktır. Dolyısıyl ve prmetrelerine.5 rtımlrl ten e kdr ( hriç değerler tnmıştır. Belirli bir - değer çifti için yyılı kütlenin merkezi boyutsuz koordintlr olrk ( + γ/, +δ/ de yerleştirilmiş olmktdır. (-γ ve (-δ için bulunn kısıtlı (kütle tşıyn plğın ilk yirmibeş freknsı Tblo de verilmektedir. Mühendislik uygulmlrı için genelde en önemlisi temel frekns olduğundn, bu freknsın yyılı kütlenin merkez koordintlrın göre değişimi Mtlb.ın üç boyutlu grfik özelliklerinden yrrlnılrk çizdirilmiştir (Şekil ye bkz. Bu esnd ve hriç diğer prmetrelerin tümü sbit tutulmuştur. Mühendislik Bilimleri Dergisi 7 ( 5-8 Journl of Engineering Sciences 7 ( 5-

5 Tblo. Üzerinde Yyılı Kütle Tşıyn Dikdörtgen Plğın Özfreknslrı. ψ.5, γ δ., (-γ, (-δ, ω ω 4.5 ω.9 ω ω 7.43 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω 63.3 ω ω ω 99 ω ω ω ω Şekil 4. Üçüncü özfreknsın yyılı kütlenin konumun göre değişimi. ψ.5, γ., δ., ornı etkisi rştırılck diğer önemli bir prmetre olrk görünmektedir. Beklendiği gibi rttıkç temel frekns zlmktdır. Frklı mertebeden ornlrı için çizdirilen grfiklerde bu olgu çıkç gözükmektedir, Şekil 5 ve Şekil. Birinci özfreknsın yyılı kütlenin konumun göre değişimi. ψ.5, γ., δ., Kütlenin yerleşiminin diğer, mesel ikinci ve üçüncü freknslr etkisi hkkınd d bir fikir edinmek için benzer grfikler çizdirilmiştir, Şekil 3 ve 4 e bkz. ω Şekil 5. Birinci özfreknsın frklı ornlrı için yyılı kütlenin konumun göre değişimi ψ.5, γ., δ. ω Şekil 3. İkinci özfreknsın yyılı kütlenin konumun göre değişimi. ψ.5, γ., δ., ω Şekil 6. Birinci özfreknsın frklı ornlrı için yyılı kütlenin konumun göre değişimiψ.5, γ., δ. Mühendislik Bilimleri Dergisi 7 ( 5-9 Journl of Engineering Sciences 7 ( 5-

6 için oldukç büyük değerler lıp γ ve δ iyice küçültüldüğünde konsntre kütle tşıyn bir plğ it sonuçlr elde edilmektedir. Mesel, δ., γ. ve 5 seçildiğinde kendi kütlesinin /5 i kdr bir konsntre kütle tşıyn plk hli elde edilir. Bir krşılştırm ypmk mcıyl Wu ve Luo (997 d incelenen plk ve eklentisine it prmetreler kullnılrk ilk beş frekns hespltıldı. Burd sunuln metot, Wu ve Luo (997 deki metot ve kesin çözümden bulunn sonuçlr Tblo 3 te gösterilmiştir. Sonuçlrın mukyesesi burd sunuln yklşımın konsntre kütle tşıyn plklr için de uygun olduğunu göstermektedir. Tblo 3. Wu ve Luo (997 d incelenen plğın ilk 5 frekns değerleri. ψ,,, m eklenti 5 kg. Sunuln Metot Wu ve Luo (997 Tm Çözüm ω ω ω ω ω Kütlenin oturm lnının freknslrı nsıl etkilediği de rştırıldı. Merkezi plk merkeziyle çkışn dikdörtgensel eklentinin kütlesi sbit tutulup, γ ve δ y frklı değerler verilerek temel freknsın nsıl değiştiği incelenmiştir (Şekil 7. Eklentinin tbn lnı değişimine krşılık kütlesinin sbit klmsı ornın müdhle edilerek sğlnmıştır. Şekil 7 den de görüldüğü gibi, sbit eklenti kütlesi için oturm lnı rttıkç, yni γ ve/vey δ değerleri büyüdükçe temel frekns d yükselmektedir. Şekil 8 de ise eklentinin kütlesi ile eni vey boyunun sbit tutulmsı hlinde temel freknsın, kütle oturm lnının plk lnın ornın göre nsıl değiştiği gösterilmiştir. Bu eğriler, ψ.5, m eklenti / m plk., N 5, değerleri için çizdirilmiştir. Burd verilmemekle birlikte kre plk hlinde sbit ve eşit γ ve δ değerlerine it eğrilerin simetriden ötürü çkıştıklrı gözlenmiştir. ω γ:sbit δ:sbit Kutle oturm lnı/plk lnı Şekil 8. Sbit δ ve γ değerleri için birinci özfreknsın lnlr ornın göre değişimi Ek kütleyle dontılmış plğın doğl freknslrın krşılık gelen modl yüzeyler de incelenmiştir. Bu incelemelerde kütle birisi plk merkezinde diğeri ise plğın dörtte birlik kısmının merkezinde olmk üzere iki frklı konumd ypılmıştır. Çeşitli freknslr ele lınmkl berber burd yer drlığı nedeniyle sdece ikinci frekns it modl yüzeyin grfikleri ktrılcktır. Şekil 9( d, γ δ.5 ve kütle merkezinin plk merkezinde olmsı hlinde ikinci frekns it modl yüzey gösterilmiştir. ω.5 W.5 δ.. γ Şekil 7. Birinci özfreknsın yyılı kütlenin frklı boyutlrın göre değişimi ψ.5, m eklentit /m plk.. Şekil 9. ( İkinci frekns it modl yüzey, γ δ.5, Kütle ve plk merkezleri çkışık Mühendislik Bilimleri Dergisi 7 ( 5- Journl of Engineering Sciences 7 ( 5-

7 Şekil 9(b de ise bu mod it nodl çizgi görülüyor Şekil 9. (b İkinci frekns it nodl çizgi, γ δ.5, Kütle ve plk merkezleri çkışık Verilen prmetre değerleri prtik olrk eklentisiz bir plğ krşılık gelmekte olup nodl çizginin seyrinden ve yüzeyin incelenmesinden bunun - modunu temsil ettiği nlşılmktdır. Diğer prmetrelerin tümü sbit tutulmk şrtıyl eklentinin merkezi sğ üst dörtte bir plğın merkeziyle çkışck trzd yerleştirilmesi hlinde de ikinci frekns tekbül eden modl yüzey ve nodl çizgiler çizdirilmiş ve eklentinin bu konum değişikliğinin kütle miktrının prtik olrk ihml edilebilir oluşu nedeniyle etkisi olmdığı gözlenmiştir., γ δ. lınmsı (ki bu değerler plk kütlesininin / ine eşit bir ek kütle demektir hlinde de kütle merkezinin yerleşiminin etkin olmdığı ve ikinci freknsın hl - modunu temsil ettiği görülmüştür. Anck plk kütlesinin on ktın ship bir ek kütleye krşılık gelen, γ δ. değerleri için kütlenin yerleşiminin modl yüzey üzerindeki etkisinin büyük olduğu Şekil ( ve Şekil ( nın krşılştırılmsındn hemen nlşılmktdır. Kez nodl çizgilerde de ciddi değişiklikler gözlenmektedir (Şekil (b ve (b. W Şekil. (b İkinci frekns it nodl çizgi, γ δ., Kütle ve plk merkezleri çkışık W Şekil (. İkinci frekns it modl yüzey, γ δ., Kütle sğ üst dörtte bir plğın merkezinde Şekil. (b İkinci frekns it nodl çizgi, γ δ., Kütle sğ üst dörtte bir plğın merkezinde Şekil. ( İkinci frekns it modl yüzey, γ δ., Kütle ve plk merkezleri çkışık 4. DEĞERLENDİRME Bu çlışmd yyılı bir ek kütle tşıyn bir plğın doğl freknslrı ve bun ilişkin modl yüzeyleri tyin edilmiştir. Glerkin prosedürüne dynn bir metot geliştirilmiş ve boyutsuzlştırm ypılrk Mühendislik Bilimleri Dergisi 7 ( 5- Journl of Engineering Sciences 7 ( 5-

8 kısıtlnmış plğın doğl freknslrını veren krkteristik denklem elde edilmiştir. Yoğunluk ornı, kütle oturm lnının plk lnın ornı gibi bzı boyutsuz prmetrelerin freknslrı nsıl etkilediği de rştırılmıştır. Ayrıc sunuln metodun konsntre (lumped vey tekil kütle tşıyn plklrın incelenmesine de elverişli olduğu gösterilmiştir. Bu çlışmdn çıkrıln önemli bir sonuç d bir ypı elemnı olrk plğın doğl freknslrının ekli kütleyi (ki genelde plk olrk göz önüne lınbilecek oln döşemeye monte edilmiş bir mkine kütlesini temsil eder uygun trzd yerleştirmek suretiyle döşemenin freknslrını mkine kynklı titreşim freknsındn uzklştırm olnğının vr olduğunun nlşılmsıdır. Nodl çizgilerin ise ek kütlenin plk kütlesine göre ornı rttıkç önemli değişiklere uğrdığı d gösterilmiştir. Burdki metot, eklentileri oln bir plkt zorlnmış titreşimlerin incelenmesinde de izlenebilir. 5. KAYNAKLAR Ch, P. D Free Vibrtion of Rectngulr Plte Crrying Concentrted Mss. Journl of Sound nd Vibrtion (7, Chn, K. T., Leung, T. P., Wong, W. O Free Vibrtion of Simply Supported Bem Prtilly Loded With Distributed Mss. Journl of Sound nd Vibrtion (9, Chn, K.T., Wng, X Free vibrtion of Timoshenko Bem Prtilly Loded With Distributed Mss. Journl of Sound nd Vibrtion (6, Chn, K.T., Wng, X.., Leung, T. P Free Vibrtion of Bems With Two Sections of Distributed Mss. Journl of Vibrtion nd Acoustics (, Chn, K. T., Zhng, J. Z Free Vibrtion of Cntilever Tube Prtilly Filled With Liquid. Journl of Sound nd Vibrtion (8, Rossi, R. E., Lur, P. A. A Symmetric nd Antisymmetric Norml Modes of Cntilever Rectngulr Plte: Effect of Poisson s Rtio nd Concentrted Mss. Journl of Sound nd Vibrtion (95, Wu, J. S., Luo, S. S Use of the Anlyticl nd Numericl Combined Method in the Free Vibrtion Anlysis of Rectngulr Plte With ny Number of Point Msses nd Trnsltionl Springs. Journl of Sound nd Vibrtion (, Mühendislik Bilimleri Dergisi 7 ( 5- Journl of Engineering Sciences 7 ( 5-