T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI FİBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRAFLAR

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI FİBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRAFLAR"

Transkript

1 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI İBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRALAR YÜKSEK LİSANS TEZİ HURİYE KORKMAZ BALIKESİR, OCAK - 06

2 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI İBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRALAR YÜKSEK LİSANS TEZİ HURİYE KORKMAZ Jüi Üyelei : Pof. D. Recep ŞAHİN (Tez Daışmaı) Doç. D. Sebahatti İKİKARDEŞ Doç. D. Musa DEMİRCİ BALIKESİR, OCAK - 06

3

4 ÖZET İBONACCİ SAYILARI VE ÜÇGENSEL GRALAR YÜKSEK LİSANS TEZİ HURİYE KORKMAZ BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI (TEZ DANIŞMANI: PRO. DR. RECEP ŞAHİN) BALIKESİR, OCAK - 06 Bu tezi amacı üçgesel gafla yadımıyla iboacci özdeşlikleii ispatlaıı vemekti. Tez üç bölümde oluşmuştu. Biici bölümde iboacci hakkıda bilgi ve iboacci ve Lucas dizileii taımı ile iboacci özdeşliklei veilmişti. İkici bölümde foksiyouu taımı ve ilgili teoemle veilmiş. Ayıca iboacci özdeşlikleii foksiyou olduğu gösteilmişti. So bölümde öce üçgesel gaf taımı veilmişti. Daha soa iboacci özdeşlikleii üçgesel gafla yadımıyla ispatlaı icelemişti. ANAHTAR KELİMELER:iboacci sayılaı, iboacci özdeşliklei, Üçgesel gaf. i

5 ABSTRACT IBONACCİ NUMBERS AND TRIANGLE GRAPHS MSC THESIS HURİYE KORKMAZ BALIKESIR UNIVERSITY INSTITUTE O SCIENCE MATHEMATICS (SUPERVISOR: PRO.DR.RECEP ŞAHİN ) BALIKESİR, JANUARY 06 The aim of this thesis is to give the poof of the iboacci equalities by the tiagle gaphs. This thesis cosist of thee chapte. I the fist chapte, it is give the ifomatio about iboacci the defiitio of the iboacci ad Lucas sequeces ad thei equalities. I the secod chapte, it is give the defiitio of fuctio the theoems elated with the fuctio. Also, it is showed that iboacci equalities ae fuctios. I the last chapte, fistly, it is give the defiitio of the tiagel gaph. Late, it is ivestigated the poofs of the iboacci equalities by the tiagle gaphs. KEYWORDS: iboacci umbes, iboacci equalities, Tiagle gaph. ii

6 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET...i ABSTRACT...ii İÇİNDEKİLER... iii ŞEKİL LİSTESİ... iv TABLO LİSTESİ... v SEMBOL LİSTESİ... vi ÖNSÖZ... vii. ÖN BİLGİ.... iboacci ve Lucas Sayı Dizilei.... ONKSİYONUN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ oksiyou oksiyouu Temel Özelliklei Catala Özdeşliğii oksiyolala İspatı ÜÇGENSEL GRALAR Üçgesel Gaf Oluştuma (,0,0), (,,0), (,,) Vektöleiyle Üçgesel Gaf Oluştuma (,), (,), (,) Vektölei içi Üçgesel Gaf Oluştuma Bazı iboacci ve Lucas Özdeşlikleii Üçgesel Gaf Yadımıyla İspatı SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR iii

7 ŞEKİL LİSTESİ Sayfa Şekil 3.: (e,e,e 3 ) ile oluştuula üçgesel gaf... 6 Şekil 3.: (,0,0),(0,,0),(0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf Şekil 3.3: (,0,0), (,,0), (,,) ile oluştuula üçgesel gaf Şekil 3.4: (,0), (0,) ile oluştuula üçgesel gaf Şekil 3.5: (,0,-), (,,), (,,4) ile oluştuula üçgesel gaf Şekil 3.6: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf Şekil 3.7: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf Şekil 3.8: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf Şekil 3.9: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf Şekil 3.0: (0,,0), (,0,), (,,3) ile oluştuula üçgesel gaf Şekil 3.: (0,,0), (,0,), (,,3)ile oluştuula üçgesel gaf Şekil 3.: (,-,0), (0,,0), (0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf Şekil 3.3: (,,), (0,,0), (0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf Şekil 3.4: (-,0,0), (3,,0), (0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf Şekil 3.5:(0,0,0,), (0,0,,0), (0,0,0,0), (0,,0,0), (,0,0,0) ile oluştuula üçgesel gaf...4 iv

8 TABLO LİSTESİ Sayfa Tablo.: iboacci ve Lucas sayı özdeşliklei.... v

9 SEMBOL LİSTESİ iboacci dizisi L Lucas dizisi X ( ) { 0} üzeide taımlı foksiyo e A B( ) ( xy, ) ( xyz,, ) -ici vektö Bi foksiyou Bi foksiyou İki boyutlu uzayda vektö Üç boyutlu uzayda vektö vi

10 ÖNSÖZ Bu çalışmaı otaya çıkaılmasıda akademik bilgi ve biikimiyle baa destek ola daışma hocam Pof. D. Recep Şahi'e; çalışmamı biçok aşamasıda yadımıı gödüğüm hocalaım Doç. D. Sebahatti İkikadeş ve Doç. D. ıat Ateş'e içtelikle teşekkü ediyoum. Bugülee gelmemde emekleii esigemeye, he zama yaımda olup, kahımı çeke aileme sosuz teşekküle. vii

11 . ÖN BİLGİ İtalya matematikçi Leoado de Pisa, geçek ismi yeie, ilius Boaccio (Boaccio u oğlu) kelimeleii kısaltılmışı iboacci ile bilii. iboacci Aap sayı sistemi kousuda kafa yodu ve Libe Abaci (Hesaplama Yötemlei, Abaküs Kitabı) adlı eseii 0 yılıda yayıladı. Bu kitap, iboacci seisi (iboacci sayı dizisi) i temeli ola, bi çift tavşaı doğuaak eslii çoğaltmasıı ele ala bi poblemi de alatıyodu. iboacci i ülü sousu: Bi çift yetişki tavşa, he ay yei bi çift tavşa yavulamaktadı. Bu yavula, bi ayı souda eişki hale gelmekte ve soaki he ay yei bi çift yavu yapmaktadı. Hehagi bi ay souda yavulaı ve yetişki tavşalaı sayısıı buluuz. Bu süe zafıda tavşalaı hiçbiii ölmediği vasayılacaktı. Daha soa Edouad Lucas, iboacci dizisii yeide keşfetti ve bu diziyi geçek bulucusua atfetti [].. iboacci ve Lucas Sayı Dizilei iboacci sayı dizisi 0 = 0 ve = başlagıç koşullaı ile veile, 0 tamsayı olmak üzee geel teimi = ola bi dizidi. Buada 0,,,,3,5,8,3,,34,55,89,44,33, sayılaı iboacci Sayı dizisii oluştuu[]. Beze şekilde Lucas sayı dizisi L 0 = ve L = başlagıç koşullaı ile veile, 0 tamsayı olmak üzee geel teimi L = L + L + + ola bi dizidi.

12 Bu sayı dizisi şeklide oluşmuştu [].,,3,4,7,,8,9,47,76,3,99,3,5, iboacci ve Lucas sayı dizilei ile ilgili bağıtılada bazılaı aşağıdaki gibidi []. Tablo.: iboacci ve Lucas sayı özdeşliklei. = = = (.) (.) (.3) = + (.4) m + m m m m + m m m L + L = LL (.5) L L + = (.6) + 5 L + L = (.7) L + L = + (.8) m m m L m m L m= m (.9) m L L = 5L (.0) + m m m L L = 5 (.) L = 5 (.) L = (.3) + = L (.4) + = L (.5) + + L = + (.6) = L (.7) + L L = (.8) + + +

13 Tablo.:( devamı) m + m m m + = L (.9) m + m m m = L (.0) L = ( tek) (.) L = + (.) 5 + 3L = L + (.3) L = + ( çift) (.4) + + L = + (.5) L = (.6) + 3 3

14 . ONKSİYONUN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ. oksiyou.. Taım: { 0} kümesi üzeide taımlı bi X ( ) foksiyou ( + 3) = ( + ) + ( + ) X X X X (.) idigeme bağıtısıı sağlıyosa X ( ) foksiyoua foksiyou dei []. Şimdi aşağıdaki foksiyolaı bie foksiyou olduğuu gösteelim... Öeme: X ( ) = ( ) bi foksiyoudu []. İspat: X ( ) = ( ) foksiyou içi (.) eşitliğii yazalım. Buada buluu. Şimdi diyelim. Böylece + 3 ( ) [ + + ] = ( + ) ( + ) = ve B A 3 A = = = [( ) + ( ) ] ( ) B( ) = [( ) ( ) + ( ) ( ) ] ( ) buluu. = [( ) ( ) ] ( ) = 4

15 Buada da A B = olduğu göülü...3 Öeme: X = bi foksiyoudu []. + = olduğuu biliyouz. Buada (.) eşitliği kullaılısa olaak buluu. Bu eşitlikte diyelim. Böylece = = ve = + A + = A = ( 4) + + B + + ( + 3) = ( + )(3 + ) + ( ) ( + ) ( + ) + + = (.) ve = B ( ) = + = [ ( + ) ( ) + ( + ) + ( ) ] [( ) ( ) ] ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) = = ( ) + ( ) (.3) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) buluu. 5

16 (.) ve (.3) eşitlikleide = = ( ) = ( + ) ( ) + ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) = = = + ( ) ( ) + ( ) olaak buluu ve ispat bite. = + X..4 Öeme: = bi foksiyoudu []. X İspat: = foksiyou içi (.) eşitliği kullaılısa elde edili. Buada = + 3 ( + ) ( + ) ( + ) = + ve ( ) = ( ) + bağıtılaıda yaalaalım. Böylece = ( + 3) ( + ) ( + 3) ( ) + 3 = ( 3 )( ) ( )( ) = = + + (.4)

17 = ( ) = ( ) + ( + ) ( + 3) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) = = (.5) ( + ) = + ( + ) ( + ) = 3 + ( ) + (.6) ( + ) buluu (.4),(.5) ve (.6) eşitlikleide = = + ( ) = + = elde edili...5 Öeme: olmak üzee + X = bi foksiyodu []. İspat: X + = foksiyou içi (.) eşitliği kullaılısa [ ] = elde edili. Buada + = m olsu. Böylece [ ] = + m m+ + m+ + m 7

18 buluu. Şimdi, diyelim. Buada ve = m ve [ ] A = m A ( )( ) = + + m+ m + m+ + m+ + m B = + = (.7) m+ + m+ + m m ( )( ) = + + m + + m + m + = m+ + m+ + m m [ ] B = m+ + m+ + m m m+ + m (.8) = m+ + m+ + m m elde edili. (.7) ve (.8) eşitlikleide yaalaaak buluu. = B A..6 Öeme: X = L, X = L+ L, X L foksiyoudu []. = bie İspat: : Lucas özdeşlikleii ispatı yukaıda ispatlaıı yaptığımız iboacci özdeşlikleii ispatıyla bezedi. 8

19 . oksiyouu Temel Özelliklei.. Yadımcı Teoem: A B tamsayı olsu. Bu duum da = foksiyolaı ve sabit bi X = A ( + 0 ) Y = 0 A ve A B foksiyodula []. ± de.. Yadımcı Teoem: A B = bie foksiyou olsu. olmasıdı []. A B k 0,, = = içi A ( k) = B( k)..3 Yadımcı Teoem: A = B, { 0} foksiyola olsu. kümesi üzeide taımlı B A = i he ikisi ya ( + ) = ( + ) + i) X X X ya da ( + ) = ( + ) + ( + ) + ii) X 3 X X X eşitlikleii sağlasa olu []. A = B k= 0,, içi Ak = Bk 9

20 .3 Catala Özdeşliğii oksiyolala İspatı 4 + = 0 di []..3. Yadımcı Teoem: İspat: 0 içi A = 4( ) + olsu. (3 ) ( + 3) ( 3) Yadımcı Teoem.. de A bi foksiyodu. Yadımcı Teoem.. de tüm değelei içi A =0 dı..3. Teoem: (Catala Özdeşliği) di []. İspat: Buada = + m = m + olaak alıı. Ayıca 0 ve di. Şimdi m A = ve + B = ( ) ( ) diyelim. Yadımcı Teoem.. de A ve B( ) bie foksiyodu. Buada =,,3 içi = ve B = A + = ve B = A + 0

21 A = ve 3 B 3 = olu. = = B olduğu kolayca göülü. Buada 3,,,3 ike A = 0 ise A() = = =. = 0 ( + ) ( ) (+ 0) ( 0) 0 B = = =.0 = 0 A B =, 0 ve buluu. A = = =. = ( ) ( 0) B = ( ) = ( ) = 0 A = B A(3) = = =. = 0 3 (3 + ) (3 ) 3 (3+ 0) (3 0) B 3 = = = 0 A ( 3) = B( 3) 0 Eğe = ise A = = =.0 = ( + ) ( ) (+ ) ( ) ( ) ( ) B = ( ) = ( ) = A B =,

22 A = = =. = ( ) ( + ) ( ) (+ ) ( ) = = = ( ) B A = B ve A 3 = = = 3. = 3 (3 + ) (3 ) 3 (3+ ) (3 ) 3 3 B 3 = = = A ( 3) = B( 3) buluu. Eğe = ise (+ ) A = = =.( ). = ( ) A ( + ) ( ) (+ ) ( ) = = = ( ). = ( ) B = B ve buluu. A = = = 3.0 = + + ( ) ( ) B = ( ) = ( ) = = B A A 3 = = = 5. = ( ) 3 (3 + ) (3 ) 3 (3+ ) (3 ) (3 ) (3 ) B 3 = ( ) = ( ) = ( ) A ( 3) = B( 3)

23 Eğe = 3 ise (+ ) A = = = 3.( ). = 4 ( + ) ( ) (+ 3) ( 3) 3 B = = =.4 = 4 A B =, 3 ve (+ ) A = = = 5.( ). = 4 ( + ) ( ) (+ 3) ( 3) 3 B = = =.4 = 4 A = B A 3 = = = 8.0 = B 3 = = = 4 A ( 3) = B( 3) buluu. Böylece 4 ike Yadımcı Teoem.. de A = B elde edili. 3 (3 ) (3 ) = + ( + 3) ( 3) ve B ( 3 ) = ( ) A(3) 4 A(3) B(3) = 4 + ( ) ( ) (3 ) (3 ) ( + 3) ( 3) 3 3 = 4 di. Yadımcı Teoem.3. de 3 + A(3) B(3) = 4 + ( ) [ ] (3 ) ( + 3) ( 3) A ( 3) B( 3) (3 ) (3 ) 4 [ 4 ] = + = 4 4= 0 = elde edili. 3

24 Ayı şekilde; A ( ) = + ve + A() B() = + ( ) ( ) B = ( ) ( ) + B = + + = + = + ( ) = 0 Α = elde edili. Α = + + ve B = buluu. + Α Β = + = + + ( )( ) + = + + = = = + + = = + = + 4

25 Buada, tek sayı ise ve çift sayı ise elde edili. Α Β = + = = 0 Α Β = = = 0 5

26 3. ÜÇGENSEL GRALAR 3. Üçgesel Gaf Oluştuma e, e, e 3 aşağıdaki üçgesel gaftaki yeleştiile vektöle olsu. e = e + e e 4 3 fomülüyle veile vektö olsu. Şekil 3.: (e,e,e 3 ) ile oluştuula üçgesel gaf. Böyle bi e 4 vektöüe e3, e ve e ile üetile vektö dei. e4 vektöü içi e = e, e : e = e + e e (3.) sembolüü kullaacağız []. e, e : e e, e : e e, e : e olduğua dikkat edelim. Buada (3.) bağıtısıı (.) de veile idigeme bağıtısıı bi geelleme bağıtısı olduğu kolayca göülebili. Böyle devam edesek e, e, e, e = e + e e, e = e + e e, (3.)

27 e = e + e e, şeklide sosuz elemalı vektölei bi dizisii oluştuabiliiz. buluu. + Bu diziyi (,, ) {,, } 3 e e e ile gösteeceğiz. 3 3 e e e vektölei doğal tabaı seçilise ilk dokuz vektö aşağıdaki gibi (,0,0 ), ( 0,,0 ), ( 0,0, ), (,, ), (,3,6) e = e = e = e = e = Buada e, e4, e6,, e gafı üst yaısıda, e, e3, e5,... e + gafı alt yaısıda ye alı. Şekil 3.: (,0,0),(0,,0),(0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. Şekil 3. kullaılaak aşağıdakile kolayca göülebili: (a) e ( abc,, ) = vektöleii he bi gidisi iki iboacci sayısıı çapımıdı. İlk dokuz teim içi vektöle biçimli olula. (b) e ( abc,, ) = i omu a b c (,, ) (3.3) ( 3 ) + + toplamıdı. Buada Ν (,, ) x x x omu x + x + x 3 olaak taımlaı. 7

28 (c) e e e + i gidileii mutlak değei (üçgesel gafı üst yaısıda) ve e (üçgesel gafı alt yaısıda) iboacci sayılaıdı. Öeği; ( 40, 65,04) ( 6,0,5 ) (,, ) = bu bize vektölei he 9 0 bi gidisii iboacci sayılaıı bi toplamı olaak yazmamıza yadımcı olu. (a) ve (b) de 6 içi ( ) + ( ) + ( ) = ( + + ) (3.4) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) olduğu göülü ki bu bize aşağıdaki yadımcı teoemi ilk kısmıı ispatıı vei. Ayıca olduğu uutulmamalıdı. + + = (a) ve (b) i iyi icelemesiyle ilk dokuz vektöü he bi gidisii iboacci sayılaıı çapımlaıı toplamı olaak yazılabileceği ve dolayısıyla ii v kısımlaıı olduğu göülebili []. aşağıdaki yadımcı teoemi 3.. Yadımcı Teoem:. iboacci sayısı olsu, bua göe aşağıdaki özdeşlikle vadı. ( i)( ) + ( ) + ( ) = ( + ) ( ii) 3 = ( iii) 3 = ( iv) = ( v) =

29 İspat: Bu özdeşliklei üçgesel gafla kullaaak gömek mümküdü. Buada, a) e 4 de başlayaak ilk adışık k vektöü ilk gidileii toplamı bi iboacci sayısıı bi mükemmel kaesii egatif işaetlisidi. Öeği; k = içi ilk 3 vektöü ilk gidileii toplamı ( ) + ( ) + ( 6) = 9= 3 = 4 b) e 4 de başlayaak ilk k vektöü ikici gidileii toplamı hehagi iki iboacci sayısıı çapımıdı. Öeği; k = 4 içi e4, e5, e6, e 7 vektöleii ikici gidilei toplamı = 39 = 3.3 =. 4 7 c) He vektöü gidilei iki iboacci sayısıı bi çapımıdı. Eğe ( abc,, ) böyle bi vektö ise c b a=± olu. Öeği; e 7 = ( 5,4, 40) içi Ayıca = = 4 5; = = ; 40 = 5.8 = 5. 6 elde edili. c b a=± de = olu. d) Üçgesel gafı üst yaısıı hehagi adışık iki vektöü alıısa (öeği,,,, ) abc,, ABC,, ile gösteilise ( e e ) ( e e ) ve ola ( ) ve Öeği; e 6 ve 8 C c= ( B b) + ( A a) buluu. e vektöleii ele alalım. e = ( ), e = ( ) 6 6,0, = ( 65 0) + ( 40 6) 8 40, 65,04 9

30 e) Üst yaıı adışık iki vektöü (beze olaak alt yaıı) alııp ( abc,, ) ( CBA,, ) ile gösteilise bütü gidile iki iboacci sayısıı çapımıdı. a ve A ı çapımı bi iboacci sayısıı dödücü kuvvetide bi eksikti. ve Öeği; =, 6.04 = 5,.40 = 3,5.73 = Böylece (a) da (e) ye kada olala bize iyi bilie 5 tae özdeşliği vei. Öeği (e) yi alaak "Bi iboacci sayısıı dödücü kuvvetii bi eksiği, 4 tae iboacci sayısıı çapımdı. " özdeşliğii buluuz. Yai, = Geli-Cesáo özdeşliği göülü [] (,0,0), (,,0), (,,) Vektöleiyle Üçgesel Gaf Oluştuma 3.. Taım: X : foksiyou ( + 3) = ( + ) + ( + ) X X X X (3.5) özdeşliğii sağlıyosa X ( ) bi foksiyoudu dei [3]. 0

31 3.. Öeme: a) X( ) = ( ), b) X = ( + ), c) X = + + t, d) X + X L + =, e) =, f) + + t X = L L, g) X = L +, h) X = L t foksiyolaı bie foksiyodu [3]. İspat: + + a) X( ) = ( ) özdeşliği içi (3.5) eşitliğii yazasak buluu. Buada diyelim ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ve B = ( ) + ( ) ( ) A 3 A = = ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) B = = ( ) Buada A B = di. b) X = ( + ) özdeşliği içi (3.5) eşitliğii yazasak = buluu.

32 Buada = ve B = + A diyelim. Böylece = + kullaaak, iboacci geel teimi + olacağıda = + ve = = A ( ) = = = + B = = buluu. Böylece A B = elde edili. buluu. Buada ve X = özdeşliği içi (3.5) eşitliğii yazasak c) + + t [ ] = t t t + + t = t 3 A [ ] B = + olaak eşitliği ayıalım t t + + t

33 Böylece = t 3 A ( )( ) = t+ + t = t t + t t [ ] B = t t + + t t + t t + + t = = t t + t t olu. Yai A B = elde edili. buluu. d) X = + özdeşliği içi (3.5) eşitliğii yazasak [ ] = buluu.buada + = molsu. Böylece [ ] = + m+ 6 m+ 4 m+ m = + + m+ 6 m+ 4 m+ m+ + + = + m+ 4 m+ m+ m+ 4 m+ m Ayı şekilde = m + m + m e) =, f) X = L+ L+ t, g) X = L +, h) X = + L+ t X L + eşitlikleii bie foksiyo olduklaı gösteilebili. 3

34 3..3 Yadımcı Teoem: A( ) ve B( ) bi foksiyo olsu. Bu duumda A B k 0,, = = içi A ( k) B( k) = di [3] Öeme: ve L. iboacci ve Lucas sayılaı olsu Bu duumda olu [ 3]. L = 4 + İspat: Buada olu. L m = L ve m m m + m = m 0 içi özdeşliği sağ ve sol taafıı A ve B( ) olaak taımlayalım. = ve B = A L 4 + A ve B( ) foksiyodu ; k = 0 ise ve ( 0) A = L = L ( L ) = = = 4

35 + ( ) B 0 = = = = = B A 0 = 0 = 0 k = ise A = L 4 + = L = L 0 3 =.. = ve + B = = = = B A = = k = ise A = L = L = L = +.. = 0 3 ve B = = = 0 0 Α =Β = 0 Böylece 3.. Yadımcı Teoemide A B = olduğu göülü Öemesii üçgesel gaf yadımıyla ispatıı veelim. Buada 5

36 (,0,0 ), ( 0,,0 ), ( 0,0,) e = e = e = 3 alalım. (,, ) e e + e e + e + e ü ilk dokuz teimi aşağıdaki gibi veili. 3 u = e = 0 0 u = e + e = 0, u = e + e + e =, 3 3 u = u + u u, Şekil 3.3: (,0,0), (,,0), (,,) ile oluştuula üçgesel gaf. Dizimizi ilk dokuz teimide aşağıdaki ilgiç duumla göülebili. (i) İkici gidile ile + iboacci sayılaıı bi çapımıdı [3]. Öeği; =. =, =. =, 6 =.3 =, (ii) He bi vektöü biici ve ikici gidileii fakı iboacci sayısıı kaesidi [3]. Öeği; 7 6 = =, = 4 =,3 04 = 9 = 3 4 6

37 Yukaıdaki (i) ve (ii) iboacci ve Lucas teimleideki ilk gidiyi açıklamayı bizlee göstei. (iii) He vektöü ilk gidilei L biçimlidi [3]. 4 Öeği; L = 3. = 7, L = = 6, (i),(ii) ve (iii) kullaaak yukaıdaki gafı ilk dokuz vektöü içi olduğu göülü [3]. Ayıca L = 4 + (iv) İlk k + teimi üçücü gidileii toplamı bi iboacci sayısıı kaesidi [3]. (v) He vektöü ikici ve üçücü gidilei iboacci sayılaıı bi çapımıdı.toplamlaı da başka bi iboacci sayısıdı [3]. Öeği; + = 3 =, 6 + = 8 =,5 + 6 = = (,), (,), (,) Vektölei içi Üçgesel Gaf Oluştuma Bu kısımda iboacci sayılaıı toplamıı içee iki özdeşlik suacağız. Bulaı ispatlaıı üçgesel gaf kullaaak yapacağız Öeme: = (i) ( ii) + ( ) = olu [3]. 7

38 İspat: e (, 0 ), e ( 0,) = = ve u = e+ e, u = e+ e, u3 = e+ e alalım. Başlagıçta e + e i iki kez alıdığıa dikkat ediiz. Buada (,, ) u u u ilk o teimi aşağıdaki gibi veili. 3 Şekil 3.4: (,0), (0,) ile oluştuula üçgesel gaf. Buada (i) ( u, u ), 5 3 u9, u7, u3, u, gafı üst yaısıı vektöleii gidilei d i faklaı bazı iboacci sayılaıı 3 katıdı [3]. İlk üç fak 0 = 9 = 3 4, = 43 = 3 ve = 095 = 30 olu. (ii) Adışık d i lei toplamı kaedi [3]. Öeği; 9= 3, =, = 44 8

39 (i) ve (ii) de =, = olduğu göüleceğide Öeme (3.3.)-(i) ispatlaı [3]. Buada gafı alt yaısıı iceleyelim. İlk 5 vektöü gidilei = = 34 = olduğuu göstei. Böylece öeme (3.3.)-(ii) ispatlaı [3]. 3.4 Bazı iboacci ve Lucas Özdeşlikleii Üçgesel Gaf Yadımıyla İspatı L L + = [3] Öeme: İspat: (, 0, ), (,, ), (,, 4) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülüü yadımıyla gafı diğe vektöleii oluştualım[3]. Şekil 3.5: (,0,-), (,,), (,,4) ile oluştuula üçgesel gaf. 9

40 u + vektöüü üçücü gidisi L + Lucas sayısıı vei. Öeği; 4 = L, = L, 9 = L, u + vektöüü ikici gidisi Öeği; iboacci sayısıı vei. =, 4 =, 9 =, u + vektöüü biici gidisi Öeği; [ L =, =, = ] = L = L 3 + L değeii vei Öeme: = + [3]. İspat: (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülüü kullaaak gafı diğe vektöleii elde edebiliiz. 30

41 Şekil 3.6: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. sayısı tek ike u + 3 vektöüü biici gidilei + iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; =, 9 =, 64 = 4 6 sayısı tek ike u + vektöüü ikici gidilei iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; 0 =, =, 9 = 0 4 sayısı tek ike u+ 4 u+ i ikici teimleii fakı iboacci sayısıı vei. Öeği; 0 = =, 9 = 8 =, 6 sayısı çift ike u + vektöüü biici gidilei iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; =, 4 =, 5 =, 3 5 sayısı çift ike u + 4 vektöüü ikici gidilei + iboacci sayısıı kaesii vei. 3

42 sayısı çift ike u + u i ikici teimleii fakı iboacci sayısıı vei. Yukaıda veilelede yaalaılaak = özdeşliği ispatlaı Öeme: + = + + [3]. İspat: (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) u = u = u = kullaılaak 3 u = u + u u + fomülüü de yadımıyla diğe vektölei elde edebiliiz. Şekil 3.7: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. sayısı hem tek hem de çift ike u + 3 vektöüü biici gidilei iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; 4 =, 64 =,

43 sayısı hem tek hem de çift ike u + 3 vektöüü ikici gidilei iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; =, 9 =, 4 hem çift hem tek ike u + 3 vektöüü biici gidisi ve ikici gidisii toplamı + iboacci sayısıı vei. Öeği; 4 + = 5 =, = 3 =, Öeme: + = + [3]. İspat: : (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülü kullaılaak diğe vektölei elde edebiliiz. Şekil 3.8: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. 33

44 3 u + vektöüü biici gidilei + iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; 4 =, 64 =, + 5+ u + 3 vektöüü ikici gidilei iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; =, 9 =, 4 3 u vektöüü biici gidisi ve ikici gidisii fakı + + iki iboacci sayısıı çapımıı vei. Öeği; 9 4 =, 5 9 =, Öeme: + = [3]. (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. (,, ), ( 0,, ), (, 0, ) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülü kullaılaak diğe vektölei elde edebiliiz. 34

45 Şekil 3.9: (,,), (0,,-), (,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. u + vektöüü biici gidisi iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; =, 9 =, 4 u + vektöüü üçücü gidisi + vei. iki iboacci sayısıı çapımıı Öeği; 0 =, 6 =, u + vektöüü biici gidisi ve üçücü gidisi aasıdaki fak di. Öeği; 3 6 = 4 5, = 64 63, Öeme: i = + [3]. i= İspat: ( 0,, 0 ), (, 0, ), (,, 3 ) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. 35

46 ( 0,, 0 ), (, 0, ), (,, 3) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülü kullaılaak diğe vektölei elde edebiliiz... Şekil 3.0: (0,,0), (,0,), (,,3) ile oluştuula üçgesel gaf. sayısı tek ike u + vektöüü ( üçücü gidisi biici gidisi ) iki iboacci sayısıı çapımıı vei. oaı + Öeği; 9 = 3 4, sayısı çift ike u vektöüü tüm gidileii toplamı sayılaıı toplamıı vei. Öeği; iboacci i i= i, i= + + = 36

47 + = [3] Öeme: İspat: ( 0,, 0 ), (, 0, ), (,, 3 ) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. ( 0,, 0 ), (, 0, ), (,, 3) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülü kullaılaak diğe vektölei elde edebiliiz... Şekil 3.: (0,,0), (,0,), (,,3)ile oluştuula üçgesel gaf. u + vektöüü biici gidisi iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; 64 =, 44 =, 6 8 u + vektöüü ikici gidisi + vei. iki iboacci sayısıı çapımıı Öeği; 4 =,68 =,

48 u + vektöüü biici gidisi ve ikici gidisi aasıdaki fak değeii vei. Öeği; =, 5 4 =, Öeme: = + [3]. İspat: (,, 0 ), ( 0,, 0 ), ( 0, 0,) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. (,, 0 ), ( 0,, 0 ), ( 0, 0,) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülü kullaılaak diğe vektölei elde edebiliiz... Şekil 3.: (,-,0), (0,,0), (0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. 38

49 u + vektöüü ikici gidisi + 3 iki iboacci sayısıı çapımıı vei. 3 Öeği; 05 =, 7 =, u + vektöüü üçücü gidisi + + vei. iki iboacci sayısıı çapımıı Öeği; 6 =, 5 =, u + vektöüü ikici gidisi ve üçücü gidisi asıdaki fak değeii vei. Öeği; =, =, Öeme: = + [3]. İspat: (,, ),( 0,,0 ),( 0,0, ) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. (,, ), ( 0,,0 ), ( 0,0,) u = u = u = ile 3 u = u + u u + fomülü kullaılaak diğe vektölei elde edebiliiz. 39

50 Şekil 3.3: (,,), (0,,0), (0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. u vektöüü ikici gidisi iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; =, 4 =, 3 u + vektöüü biici gidisii tes işaetlisi iki iboacci sayısıı çapımıı vei. Öeği; 6 =, 5 =, u + vektöüü üçücü gidisi iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; 5 =, 64 =, = + [3] Öeme: İspat: (,0,0 ),( 3,,0 ),( 0,0,) vektöleii kullaaak özdeşliği üçgesel gaf yadımıyla ispatlayabiliiz [3]. 40

51 (,0,0 ), ( 3,,0 ) ve ( 0,0,) u = u = u vektölei ile 3 u = u + u u + fomülüü kullaılaak diğe vektölei elde edebiliiz Şekil 3.4: (-,0,0), (3,,0), (0,0,) ile oluştuula üçgesel gaf. sayısı tek ike u + vektöüü biici gidisii fazlası + iboacci sayısıı vei. Öeği; + = 3 =, 87 + = 89 =, 7 sayısı çift ike u + vektöüü biici gidisii eksiği + iboacci sayısıı vei. Öeği; 7 = 5 =, 36 = 34 =, 5 9 u + vektöüü ikici gidisi + iki iboacci sayısıı çapımıı vei. Öeği; 3 =, 0 =,

52 u + vektöüü ikici gidisi ve üçücü gidisii toplamı + iboacci sayısıı kaesii vei. Öeği; = 8 =, = 3 =, Öeme: ( + ) ( ) = + [3]. İspat: 6 e =(0,0,0,), e =(0,0,,0), e 3 =(0,0,0,0), e 4 =(0,,0,0) ve e 5 =(,0,0,0) vektölei kullaılaak e = 5e + 5e 5e 5e + e (3.6) fomülüü yadımıyla diğe vektölei bulup, üçgesel gafı oluştuabiliiz. (3.6) idigeme bağıtısıı elde etmek içi deklemi kullaılı [3]. e (3.7) = e+ = 4

53 Şekil 3.5: (0,0,0,), (0,0,,0), (0,0,0,0), (0,,0,0),(,0,0,0) ile oluştuula üçgesel gaf. He bi e ( ab,, cd, ) i = vektöüü gidilei 6 a, b, c ve 6d sayılaı döt iboacci sayısıı çapımıdı. Öeği; e 6 = ( 5,5, 5,) içi 6a = 6.5 = =..3.5 = b=.5 = =..3.5 = c=.5 = 0 0 =...5 = 3 5 6d = 6. = 6 6 =...3 = 3 4 a+ b c+ d eşitliğide bi iboacci sayısıı dödücü kuvvetii vei. Öeği; = 6 = = = 8 = 3 = = 65 = 5 = 5 43

54 6a = d = b= c= ( ) a+ d = ( ) b c= a+ d + b c= ( + ) ( ) = ( + ) ( ) = = olsu. Böylece 3 ( + ) ( ) = + 6 elde edili

55 4. SONUÇ VE ÖNERİLER Bu tezde iboacci ve Lucas özdeşlikleide bazılaıı foksiyou olduğu gösteilmişti. veilmişti. Ayıca bazı iboacci özdeşlikleii üçgesel gafla kullaılaak ispatlaı Beze yötem kullaılaak diğe iboacci ve Lucas özdeşlikleii ispatı veilebili. Ayıca yei özdeşlikle buluabili. Bu yötem kullaılaak Geelleştiilmiş iboacci,lucas sayı dizileide ispatla yapılabili. Ayıca yötem Pell, Pell-Lucas sayı dizileide de kullaılabili. 45

56 5. KAYNAKLAR [] R.A. Dulap, Altı Oa ve iboacci Sayılaı, (Tübitak),03. [] C.L. Lag ve M.L. Lag,iboacci Numbes ad Idetities, axiv:math/303.56v [math.nt] (03). [3] C.L. Lag ve M.L. Lag,iboacci Numbes ad Tivalet Gaphs, axiv:math/ v [math.nt] (03). [4] C.L. Lag ve M.L. Lag, iboacci Numbes ad Idetities II, axiv:math/ v4 [math.nt] (03). [5] C.L. Lag ve M.L. Lag, Recuece Of Poduct Of Recusive uctios, axiv:math/ v3 [math.nt] (03). [6] C.L. Lag ve M.L. Lag, Geealised Biomial Coefficiets Ad Jade s Theoem, axiv:math/305.46v [math.nt] (03). [7] C.L. Lag ve M.L. Lag,Thee Tem Recuece Ad Residue Completeess, axiv:math/ v [math.nt] (03). [8] Civciv, H., iboacci ve Lucas matis dizilei ve özelliklei, Doktoa tezi, Koya Selçuk Üivesitesi e Bilimlei Estitüsü, Matematik Aabilim Dalı, Koya(009) [9] Akgül, R., iboacci Sayısal Yaı Guplaı, Yüksek Lisas tezi, Diyabakı Dicle Üivesitesi e Bilimlei Estitüsü, Matematik Aabilim Dalı, Diyabakı(008) [0] Akçağıl, Ş., iboacci Sayılaı ve Altı Oa, Yüksek Lisas tezi, Balıkesi Üivesitesi e Bilimlei Estitüsü, Matematik Aabilim Dalı, Balıkesi(005) [] Şe, E., iboacci Sayılaı, Altı Oa ve Uygulamalaı,Lisas bitime ödevi, Gebze İlei Tekoloji Estitüsü e akültesi Matematik Bölümü, Matematik Aabilim Dalı, Gebze(008) [] Voobiev, N.N., iboacci Numbes (Spige Basel AG),00 46

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ (

Detaylı

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK MÜHENDİSLİĞİ PROGRAMI ADİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN CHEBYSHEV POLİNOMLARI İLE ÇÖZÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ Sema

Detaylı

ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK

ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK ÖABT ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ MATEMATİK DENEME SINAVI ÇÖZÜMLERİ ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ DENEME SINAVI / çözümlei. DENEME. Veile öemelede yalız III kesi olaak doğudu. Bu edele doğu cevap seçeeği B di..

Detaylı

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;

Detaylı

Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) c) faklı dağıtılabili! Özdeş üç kutuya pay, pay, pay dağıtımı yapılısa; pay ala kutuu diğeleiyle ola özdeşliği bozul

Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) c) faklı dağıtılabili! Özdeş üç kutuya pay, pay, pay dağıtımı yapılısa; pay ala kutuu diğeleiyle ola özdeşliği bozul Kutu Poblemlei (Tekalı Kombiasyo) KUTU PROBLEMLERİ Bu kouyu öekle üzeide iceleyeek geellemele elde edelim Öek a) faklı ese, kutuya pay, kutuya pay ve kutuya pay olacak şekilde kaç faklı dağıtılabili? b)

Detaylı

İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK

İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK Kostadi Teçevski Aeta Gatsovska Naditsa İvaovska Yovaka Teçeva Smileski İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK DÖRT YILLIK MESLEKİ OKULLARA AİT SINIF IV İKTİSAT - HUKUK MESLEĞİ EKONOMİ TEKNİSYENİ Deetleyele: D. Bilyaa

Detaylı

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007)

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007) MEKANİK TİTREŞİMLER TİTREŞİM ÖLÇÜMÜ: Titeşim ölçümü oldukça kapsamlı bi koudu ve mekaik, elektik ve elektoik bilgisi içeiklidi. Titeşim ölçümleide titeşim geliği (ye değiştime-displacemet, hız-velocity

Detaylı

RADYAL EPİTÜREVLERİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA

RADYAL EPİTÜREVLERİN BAZI ÖZELLİKLERİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA ISSN:306-3 e-joual of New Wold Scieces Academ 009 Volume: 4 Numbe: 4 Aticle Numbe: 3A006 PHSIAL SIENES eceived: abua 009 Accepted: Septembe 009 Seies : 3A ISSN : 308-7304 009 www.ewwsa.com Goca İceoğlu

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI

BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI T.C. FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI Muammed ÇINAR TEZ YÖNETİCİSİ Pof. D. Miail ET YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ELAZIĞ-2007

Detaylı

5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte

5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte Deneme - / Mat MTEMTİK DENEMESİ Çözümle. 7 7 7, 0, 7, + + = + + 03, 00,, 3 0 0 7 0 0 7 =. +. +. 3 = + + = 0 bulunu.. Pa ve padaa eklenecek saı olsun. a- b+ b =- a+ b+ a & a - ab+ a =-ab-b -b & a + b =

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA

DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMLEKTİK GEOMETRİ E. ATA Özet Bu maalede dual uateyola üzede smlet gu, smlet etö uzayı e smlet

Detaylı

8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin

8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin . MAEMAİK çapıldığıda, çapım olu? 6 ifadesi aşağıdakilede hagisi ile ) 6 + ifadesie eşit ) D) 6 + 8. f( ) ile taımlı f foksiouu e geiş taım kümesi aşağıdaki sg( ) lede hagisidi? 6,@ ) 6,@ ) ^, h, ^, +

Detaylı

r r r r

r r r r 997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde

Detaylı

TG 2 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 2 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlei he hakkı saklıdı. Hagi amaçla olusa olsu, testlei tamamıı veya bi kısmıı

Detaylı

Tümevarım ve Özyineleme

Tümevarım ve Özyineleme Tümevaım ve Özyieleme CSC-59 Ayı Yapıla Kostati Busch - LSU Tümevaım Tümevaım ço ullaışlı bi ispat teiğidi. Bilgisaya bilimleide, tümevaım algoitmalaıı özellileii aıtlama içi ullaılı. Tümevaım ve öz yieleme

Detaylı

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014 YÖRÜNGE MEKANİĞİ Yöüngeden Hız Hesabı Küçük bi cismin yöüngesi üzeinde veilen hehangi bi noktadaki hızı ve bu hızın doğultusu nedi? Uydu ve çekim etkisinde bulunan cisim (Ye, gezegen, vs) ikili bi sistem

Detaylı

OLASILIK SAYMA PROBLEMLERİ:

OLASILIK SAYMA PROBLEMLERİ: OLASILIK SAYMA PROBLEMLERİ: TOPLAMA YÖNTEMİ: Bi E olayı E veya E olaylaıda biii geçekleşmesiyle oluşuyo, E olayı içi seçeek, E olayı içi m seçeek vasa, E olayı içi +m seçeek vadı. E=E E ve E E =Ø içi:

Detaylı

ÖZET Yüse Lisas Tezi İSTTİSTİKSEL LİMİT NOKTLRI Filiz KOCBIYIK aa Üivesitesi Fe Bilimlei Estitüsü Matemati abilim Dalı Daışma: Pof. D. Ciha Oha Bu tez

ÖZET Yüse Lisas Tezi İSTTİSTİKSEL LİMİT NOKTLRI Filiz KOCBIYIK aa Üivesitesi Fe Bilimlei Estitüsü Matemati abilim Dalı Daışma: Pof. D. Ciha Oha Bu tez NKR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSNS TEZİ İSTTİSTİKSEL LİMİT NOKTLRI Filiz KOCBIYIK MTEMTİK NBİLİM DLI NKR 2005 He haı salıdı ÖZET Yüse Lisas Tezi İSTTİSTİKSEL LİMİT NOKTLRI Filiz KOCBIYIK

Detaylı

Aritmetik Fonksiyonlar

Aritmetik Fonksiyonlar BÖÜM V Aiteti osiyola Taı 5. Taı üesi oğal sayıla ola, : N C, şeliei osiyolaa aiteti osiyola ei., içi.. oşuluu sağlaya aiteti osiyolaa ise çaısal osiyola ei. Öe He N içi, ve 3 0 şelie taılaa osiyola bie

Detaylı

NÜKLEER FİZİĞİN BORSAYA UYGULANMASI: OPSİYON FİYATLARININ MESH FREE YÖNTEM ile MODELLENMESİ

NÜKLEER FİZİĞİN BORSAYA UYGULANMASI: OPSİYON FİYATLARININ MESH FREE YÖNTEM ile MODELLENMESİ NÜKLEER FİZİĞİN BORAYA UYGULANMAI: OPİYON FİYATLARININ MEH FREE YÖNTEM ile MODELLENMEİ M. Bilge KOÇ ve İsmail BOZTOUN Eciyes Üi. Fe-Ed. Fak. Fizik Bölümü 38039 Kaysei ÖZET Bu çalışmada eoik üklee fiziği

Detaylı

5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos

Detaylı

VEKTÖRLER 1. BÖLÜM. Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : u = AB yada u ile gösterilir.

VEKTÖRLER 1. BÖLÜM. Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : u = AB yada u ile gösterilir. . BÖLÜM VEKTÖRLER Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallaında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektiksel yük, gibi büyüklükle, cebisel kallaa göe ifade edilile. B tü çoklklaa Skale

Detaylı

Cebir Notları. Geometrik Dizi ( ) ( ) Mustafa YAĞCI,

Cebir Notları. Geometrik Dizi ( ) ( ) Mustafa YAĞCI, www.mustfygci.com, 006 Cebi Notlı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Geometik Dizi Aitmetik diziyi bi htılylım bklım. Tüm dışık teimlei sıdki fkl sbitti. Yi stgele bi ilk teim vdı, o ilk teime bi d eel syısı

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

2. TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLARI

2. TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLARI TEMEL İSTATİSTİK KAVRAMLARI İstatistik Kavamı İstatistik bi olaya (eve, aa kütle,toplu, kolektif ve yığı şeklideki) ait veilei (aket, deey ve gözlem vb) toplaaak sayısal olaak ifade edilmesii ve bu veilei

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ.Gup: Vize sou önekleindeki son gup (Routh-Huwitz testi) soula dahildi. Bunla PID soulaıyla bilikte de soulabili..) Tansfe fonksiyonu

Detaylı

ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Öncelikle çembein tanımını hatılayalım. Neydi çembe? Çembe, düzlemde bi noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktala kümesiydi. O halde çembein analitik incelenmesinde en önemli

Detaylı

ATOM MODELLER THOMSON ATOM MODEL. -parçacığının sapma açısı, ( ) ; tan θ = k. q α.q ç 1. 2 2.E k b

ATOM MODELLER THOMSON ATOM MODEL. -parçacığının sapma açısı, ( ) ; tan θ = k. q α.q ç 1. 2 2.E k b ATOM MODLLR THOMSON ATOM MODL TOR ; Bu modele göe atom yaklaşık 10 10 mete çaplı bi küe şeklidedi. Pozitif yükle bu küe içie düzgü olaak Dağıtılmıştı. Negatif yüklü elektola ise küe içide atomu leyecek

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

PROBLEM SET I KASIM = 50 p ML + M + L = [50 p ML + M + L] Q = Q

PROBLEM SET I KASIM = 50 p ML + M + L = [50 p ML + M + L] Q = Q PROBLEM SET I - 4 11 KASIM 009 Sou 1 (Besanko ve Baeutigam, s. 56 (00)): Aşa¼g daki gibi bi üetim fonksiyonu veilsin: = 50 p ML + M + L a - Bu üetim fonksiyonunun ölçe¼ge göe getiisini bulunuz. He iki

Detaylı

4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR

4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR 4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR Tım 4.1. M, bi G gubuu bi lt kümei olu. M yi kpy, G i bütü lt guplıı keitie M i üettiği (doğuduğu) lt gup dei ve M ile göteili. M i elemlı d M gubuu üeteçlei (doğuylı) dei. Öeme

Detaylı

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540 Önek 1 1.8 kn yük altında 175 dev/dak dönen bi mil yatağında çalışacak bilyeli ulman için, 5 saat ömü ve %9 güvenililik istemekteyiz. Öneğin SKF kataloğundan seçmemiz geeken inamik yük sayısı (C 1 ) nedi?

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ A.BURCU ÖZYURT SERİM

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ A.BURCU ÖZYURT SERİM TC YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CEBİRSEL RICCATI DENKLEMLERİNİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ ABURCU ÖZYURT SERİM DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN PROF DR MUSTAFA BAYRAM İSTANBUL,

Detaylı

Fresnel Denklemleri. 2008 HSarı 1

Fresnel Denklemleri. 2008 HSarı 1 Feel Deklemle 8 HSaı 1 De İçeğ Aa Yüzeyde Mawell Deklemle Feel şlkle Yaıma Kıılma 8 HSaı Kayak(la Oc ugee Hech, Alfed Zajac Addo-Weley,199 Kuaum leko-diamğ (KDİ, Rchad Feyma, (Çev. Ömü Akyuz, NAR Yayılaı,

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

DENEY 1-A MÜHENDĐSLĐKTE ĐSTATĐSTĐKSEL YÖNTEMLER

DENEY 1-A MÜHENDĐSLĐKTE ĐSTATĐSTĐKSEL YÖNTEMLER ühedislikte Đstatistiksel Yötele /. AAÇ DENEY -A ÜHENDĐSLĐKTE ĐSTATĐSTĐKSEL YÖNTELER Deeyi aacı, istatistiksel yötelei düzesiz davaış göstee oluşulaa uygulaasıı gösteekti. Çap ve oto devi sayısı ölçüleek

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

FZM450 Elektro-Optik. 7.Hafta. Fresnel Eşitlikleri

FZM450 Elektro-Optik. 7.Hafta. Fresnel Eşitlikleri FZM45 leko-ok 7.Hafa Feel şlkle 28 HSaı 1 7. Hafa De İçeğ Feel şlkle Yaıma Kıılma lekomayek dalgaı dalga özellkle kullaaak ışığı faklı kıılma de ah yüzeydek davaışı celeecek 28 HSaı 2 Feel şlkle-1 Şekldek

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. TRAKYA ÜNİVRSİTSİ FN BİLİMLRİ NSTİTÜSÜ HİDROSTATİK BASINÇ LKTRİK ALAN V MANYTİK ALANIN DÜŞÜK BOYUTLU YAPILARA TKİSİ Sema MİNZ DOKTORA TZİ TRAKYA ÜNİVRSİTSİ FİZİK ANABİLİM DALI Daışma 1) Pof. D. Hasa

Detaylı

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU BÖLÜM GAUSS KANUNU.1. ELEKTRİK AKISI Elektik akısı, bi yüzeyden geçen elektik alan çizgileinin sayısının bi ölçüsüdü. Kapalı yüzey içinde net bi yük bulunduğunda, yüzeyden geçen alan çizgileinin net sayısı

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar:

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar: Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kllanılan Temel Matematiksel Fonksiyonla: Unit Step fonksiyon, Implse fonksiyon: Unit Step Fonksiyon: Tanim: Unit Step fonksiyon aşağıdaki gibi iki şekilde tanımlanabili

Detaylı

YX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b

YX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b Kadelen Bisküvi şiketinin on şehideki eklam statejisi Radyo-TV ve Gazete eklamı olaak iki şekilde geçekleşmişti. Bu şehiledeki satış, Radyo-TV ve Gazete eklam veilei izleyen tabloda veilmişti. Şehi No

Detaylı

ÜNİTE: KUVVET VE HAREKETİN BULUŞMASI - ENERJİ KONU: Evrende Her Şey Hareketlidir

ÜNİTE: KUVVET VE HAREKETİN BULUŞMASI - ENERJİ KONU: Evrende Her Şey Hareketlidir ÜNTE: UET E HAREETN BUUŞMASI - ENERJ NU: Evende He Şey Haeketlidi ÖRNE SRUAR E ÇÖZÜMER. x M +x Bi adam önce noktasından noktasına daha sona ise noktasından M (m) 3 3 (m) noktasına geldiğine göe adamın

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FARKLI POTANSİYELLERDE SINIRLANDIRILMIŞ ÇOK ELEKTRONLU KUANTUM NOKTA YAPILARIN ELEKTRONİK ÖZELLİKLERİ SUDE KART YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI Koya,

Detaylı

TEBLİĞ. Enerji Piyasası Düzenleme Kurumundan: PERAKENDE SATIŞ HİZMET GELİRİ İLE PERAKENDE ENERJİ SATIŞ FİYATLARININ DÜZENLENMESİ HAKKINDA TEBLİĞ

TEBLİĞ. Enerji Piyasası Düzenleme Kurumundan: PERAKENDE SATIŞ HİZMET GELİRİ İLE PERAKENDE ENERJİ SATIŞ FİYATLARININ DÜZENLENMESİ HAKKINDA TEBLİĞ 30 Aalık 2012 PAZAR Resmî Gazee Sayı : 28513 (2. Mükee) TEBLİĞ Eeji Piyasası Düzeleme Kmda: PERAKENDE SATIŞ HİZMET GELİRİ İLE PERAKENDE ENERJİ SATIŞ FİYATLARININ DÜZENLENMESİ HAKKINDA TEBLİĞ BİRİNCİ BÖLÜM

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

YENİ BİR BORÇ ÖDEME MODELİ A NEW LOAN AMORTIZATION MODEL

YENİ BİR BORÇ ÖDEME MODELİ A NEW LOAN AMORTIZATION MODEL Süleyma Demel Üvestes Sosyal Blmle Esttüsü DegsYıl: 203/, Sayı:7 Joal of Süleyma Demel Uvesty Isttte of Socal ScecesYea: 203/, Nme:7 YENİ Bİ BOÇ ÖDEME MODELİ ÖZET Allah EOĞLU Bakala taafıa e çok kllaıla

Detaylı

Çözüm Kitapçığı Deneme-3

Çözüm Kitapçığı Deneme-3 KAMU PESONEL SEÇME SINAVI ÖĞETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞETİM MATEMATİK ÖĞETMENLİĞİ - OCAK 7 Çözüm Kitapçığı Deeme- u testlei he hakkı saklıdı. Hagi amaçla olusa olsu, testlei tamamıı vea i kısmıı Mekezimizi

Detaylı

BÖLÜM 2 D YOT MODELLER

BÖLÜM 2 D YOT MODELLER BÖLÜM YOT MOELLER.1. Bi diyodu liee olmaya davaıı lei yöde kutulamı bi joksiyouu akım-geilim kaakteistii gei bi bölgede ekil-.1 deki gibi üstel bi deiim göstei. cak, geek küçük geekse büyük akımlaa dou

Detaylı

Çözüm Kitapçığı Deneme-4

Çözüm Kitapçığı Deneme-4 KMU PERSONEL SEÇME SINVI ÖĞRETMENLİK LN İLGİSİ TESTİ LİSE MTEMTİK ÖĞRETMENLİĞİ -5 ŞUT 7 Çözüm Kitapçığı Deneme- u tetlein he hakkı aklıdı. Hangi amaçla olua olun, tetlein tamamının vea bi kımının Mekezimizin

Detaylı

tepav PARA POLİTİKASINDA YENİ ARAYIŞLAR ve TCMB 2 Ocak2012 R201202 RAPOR Türkiye Ekonomi Politikaları Araştırma Vakfı GİRİŞ

tepav PARA POLİTİKASINDA YENİ ARAYIŞLAR ve TCMB 2 Ocak2012 R201202 RAPOR Türkiye Ekonomi Politikaları Araştırma Vakfı GİRİŞ RAPOR Ocak R epav Tükiye Ekoomi Poliikalaı Aaşıma Vakfı Faih ÖZATA Diekö, TEPAV Fias Esiüsü PARA POLİTİASINDA ENİ ARAIŞLAR ve TCMB GİRİŞ Tükiye Cumhuiye Mekez Bakası TCMB ı Nisa de öemli değişiklikle yapıla

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

Nokta (Skaler) Çarpım

Nokta (Skaler) Çarpım Nokta (Skale) Çapım Statikte bazen iki doğu aasındaki açının, veya bi kuvvetin bi doğuya paalel ve dik bileşenleinin bulunması geeki. İki boyutlu poblemlede tigonometi ile çözülebili, ancak 3 boyutluda

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 2

LYS MATEMATİK DENEME - 2 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

TG 3 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK

TG 3 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 9 Mat TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun testlein tamamının

Detaylı

EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015. Bireysel emeklilik sistemine ilişkin olarak aşağıdakilerden hangisi(leri) yanlıştır?

EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015. Bireysel emeklilik sistemine ilişkin olarak aşağıdakilerden hangisi(leri) yanlıştır? EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015 Sou-1 Bieysel emeklilik sistemine ilişkin olaak aşağıdakileden hangisi(lei) yanlıştı? I. Bieysel emeklilik sistemindeki biikimle Sosyal Güvenlik Sistemine

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

TG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK u testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya bi

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY FİZ11 FİZİK Ankaa Üniesitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankaa Aysuhan OZANSOY Bölüm-III : Doğusal (Bi boyutta) Haeket 1. Ye değiştime e Haeketin Tanımı 1.1. 1 Mekanik Nedi? 1.. Refeans çeçeesi, Konum, Ye

Detaylı

T.C. ĐNÖNÜ ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ BARIŞ BAYKANT ALAGÖZ

T.C. ĐNÖNÜ ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ BARIŞ BAYKANT ALAGÖZ T.C. ĐNÖNÜ ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ DEĞĐŞKEN GRADYANLI ELEKTRĐKSEL ALANDA MEYDANA GELEN UZAY YÜKLERĐNĐN MODELLENMESĐ VE BENZETĐMĐ BARIŞ BAYKANT ALAGÖZ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ ELEKTRĐK-ELEKTRONĐK

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

MATLAB GUI TABANLI ELEKTROMIKNATIS DEVRE TASARIMI VE ANALİZİ

MATLAB GUI TABANLI ELEKTROMIKNATIS DEVRE TASARIMI VE ANALİZİ PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 005 : 11 : 1 : 13-19

Detaylı

KARMAŞIK SAYILAR ÇALIŞMA SORULARI 1 1.

KARMAŞIK SAYILAR ÇALIŞMA SORULARI 1 1. KARMAŞIK SAYILAR ÇALIŞMA SORULARI.., +.,.,. +.,,. +, + Re( ) İm( ) +. olmak üere? olmak üere.. + )? (. 6 +.. 9 + 8 ( ) olduğua göre İm (Z) Re (Z)?. + + 9 + 6 +... + 89 6. 0 + + +... + 7. P(x) x 7 + x x

Detaylı

Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi

Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi Jounal of Engineeing and Naual Sciences Mühendislik ve Fen Bilimlei Degisi Sigma 5/4 ENERGY DECAY FOR KIRCHHOFF EQUATION Müge MEYVACI Mima Sinan Güzel Sanala Ünivesiesi, Fen-Edebiya Fakülesi, Maemaik Bölümü,Beşikaş-İSTANBUL

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004 DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh. 129-138 Ocak 2004 CEBİRSEL KATSAYILI HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN FARK DENKLEMLERİ İLE ÇÖZÜMÜ (SOLUTION OF HOMEGENEOUS DIFFERANTIAL

Detaylı

EGM96 JEOPOTANSİYEL MODELİ,TG99 TÜRKİYE JEOİDİ VE GPS/NİVELMAN İLE ELDE EDİLEN JEOİT ONDÜLASYONLARININ KARŞILAŞTIRILMASI

EGM96 JEOPOTANSİYEL MODELİ,TG99 TÜRKİYE JEOİDİ VE GPS/NİVELMAN İLE ELDE EDİLEN JEOİT ONDÜLASYONLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Selçuk Üivesitesi Jeodezi ve Fotogameti Müedisliği Öğetimide 30. Yõl Semozyumu16-18 Ekim 00 Koya SUNULMUŞ BİLDİRİ EGM96 JEOPOTANSİYEL MODELİTG99 TÜRKİYE JEOİDİ VE GPS/NİVELMAN İLE ELDE EDİLEN JEOİT ONDÜLASYONLARININ

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

BTZ Kara Deliği ve Grafen

BTZ Kara Deliği ve Grafen BTZ Kaa Deliği ve Gafen Ankaa YEF Günlei 015 1-14 Şubat 015, ODTÜ Ümit Etem ve B. S. Kandemi BTZ Kaa Deliği Gafen ve Eği Uzay-zamanla Beltami Tompeti ve Diac Hamiltonyeni Eneji Değelei ve Gafen Paametelei

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

Optoelektronik Ara Sınav-Çözümler

Optoelektronik Ara Sınav-Çözümler Optelektk Aa Sıav-Çöümle s (.57 ) Su : Dğusal laak kutuplamış ışık ç elektk ala 5 π + t + ( + ) 5 velmekted. uada ala gelğ ˆ ˆ se bu ışık dalgasıı, a) aetk alaı (vektöel) ç b fade tüet ( pua) b) Otamı

Detaylı