Matematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Matematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2"

Transkript

1 Matematk olarak ormal dağılım foksyou f ( ) ep ( ) Şeklde fade edlr. Burada μ artmetk ortalama, σ se stadart sapma değer gösterr ve dağılım foksyou N(μ, σ) otasyou le gösterlr. Bu deklem geometrk görütüsü aşağıdak şeklde görüldüğü gdr. İstatstk deeyler %90 ı u şekl altıdak alt alaları düşüülmes le yapılır. Bu eğrler altıda kala alaı tegral yolu le hesaplaması güç olduğuda dolayı alaları hesaı ç aşağıdak çzelge hazırlamıştır. Bu çzelgede sayısal olarak verle alalar - da artı r stadart ormal değşke ola e kadar taralı yerdr. Bu çzelgedek alaları de çıkarılması le ayı stadart değşke ç alam sevyes elde edlr. Çzelge yardımıyla alam sevyes ve stadart değşke r verlmes le dğer uluur. Bu çzelgede yararlamak ç öce ormal (Gaussa) dağılıma uyduğu elrlee ver daha öce açıklaa şeklde stadart değer uluması gerekr. Gauss (ormal) htmal foksyou her türlü elrszlk kousuu temel dağılım foksyou olarak teledrlr. Belrszlk kouları le çalışaları adları g öğremeler gereke r dağılımdır. İstatstk çalışmalarda oldukça sık kullaıla ormal dağılım test yapılalmes ç aşağıdak adımlar zlemeldr.. Kotrol edlecek değşke geldğ toplum veya örek kümes artmetk ortalaması ve stadart sapması kullaılarak stadartlaştırılır. Bu stadart değşkee sıama üyüklüğü der. Böylece değşke rmszleştrlmş, artmetk ortalama sıfır ve varyas se re eşt hale gelmştr. Dğer r fade le stadard dağılım foksyou aşağıdak hal alarak Stadart ormal dağılım adıı alır.

2 f ( ) e. Test e kadarlık r hata lmt çde yapılacağıa ya alam sevyese karar verlmeldr. Alam sevyes geelde %5 olarak kullaılır ama elrszlğ çok yüksek alalarda u %0 a kadar çıkmaktadır. Çok hassas davraılmak steyorsa %5 te daha küçük değerler seçlelr. 3. Stadart hale döüştürüle değerler htmal dağılım foksyouda karşılık geldğ değerler Normal dağılım talosuda okuur. Okuma yapılırke - a eklemeler yapılarak geldğ düşüülür. ukardak şeklde de görüldüğü g ortalamada sağa ve sola 3 stadart sapma eğr toplamda %99.8 temsl etmektedr. Bu eğr altıda ulua ve - da verle r stadart değşkee kadar ola toplam ala değşm aşağıdak şeklde görüldüğü gdr. P(z)

3 Bu alaı değere p derse, ou tamamlayıcısı ya + a kadar ola ala q = -p dr. Stadart ormal dağılım çok kullaıldığıda, stadartlaştırılmış rastgele değşke ç F(z) şeklde özel r otasyo kullaılır. Aslıda F(z), rastgele değşke - le verle z değer arasıda kalma htmal gösterr. F(z) = P(- <<z) F(z) matematksel olarak tegral yolu le değer s F (z) ep( ) d olarak ulumalıdır. Bu tegral alıması zor olduğuda aşağıdak çzelge stadart olarak düzelemştr. Bu htmaller stadart değşke sadece artı değerler ç verlmştr. Stadart ormal dağılımı smetrk (sıfır etrafıda) olması ede le eks değerler F(-z) = -F(z) eştlğde faydalaılarak hesaplaır. Stadart olmaya r ormal dağılımda rastgele değşke a ve g k değer arasıdak htmal deklem değerler stadartlaştırılmasıyla elde edlecektr. Bu durumda a P ( a ) F( ) F( ) Şeklde hesap edlr. Örek: Ortalaması 0, stadart sapması 30 ola r ormal dağılımda a) P(>80) ) P( 80)

4 c) P( -80) d) P(50 80) olma htmal ulalım. a) P(z) z = (-μ)/σ z = (80-0)/30 z = Normal dağılım talosuda P(z>) = 0.5-P() = = 0.08 = %.8 ) P( 80) P(z) z = P() = P( 80) = (0.5)+P() = = = %

5 c)..p( -80) z-80 = (-80-0)/30 = taloda u değer smetrğ ola 3.33 e karşılık gele htmal değere aktığımızda rre eşt olacaktır. Eğr sol tarafıdak toplam değerde ua karşılık gele değer çıkardığımızda souçta eğr sol kuyruğuda te küçük değerler htmaller ulualecektr. P(-3.33) = 0.5-P(3.33) = = = %0.05 P(z) d)... P(50 80) z50 = (50-0)/30 = P(z50 =) = P(z80 =) = P(z) P(50 80) = P(z50 =)-P(z80 =) = = = %3.59

6 Örek: Br ölgede alıa rçok kaya umuesde elde edle meral oraıı ortalaması %, stadart sapması %.6 olarak ormal dağılıma uyduğu alaşılmıştır. Tamame rastgele alıacak umuelerde elde edlecek cevher yüzdeler a) %5 veya daha az ) %4 veya daha fazla c) %8 veya daha az, %8 le %5 arasıda olması htmaller hesaplayıız. Çözüm: Alatıla otasyoa göre ortalama ve stadart sapma.6 olarak verlmştr. a- Bu parametrelerde yararlaarak %5 ç stadart ormal değşke olarak z z = (5-)/.6 =.88 uluacaktır. Stadart ormal dağılım çzelges kullaılması le P(<5) = P(z <.88) = Bezer olarak 4 değer stadart karşılığı z =.5 tr. e stadart ormal dağılım çzelgesde, cevher yüzdes %4 veya daha az olması htmal ç uluur. Tüm dağılım foksyou altıdak ala e eşt olduğuda cevher %4 veya daha fazla olma htmal le souç hesaplaır P( 4) = -P(<4) = -P(z<.5) = a- 8 değer stadart karşılığı, z -.5 tr. Acak, stadart ormal dağılım çzelges sadece artı şaretl sayılar ç geçerldr. Eks şaretl stadart değşkeler hesaplaması ç foksyou smetrk olması özellğde yararlaılır. Stadart değşke -.5 e eşt veya oda daha az olması htmal.5 e eşt veya oda daha fazla olması htmale eşttr. Öcek şıkta verle çözümde de yararlamak üzere ulua souç; P(z -.5) = P(z>.5) = Normal dağılım eğrs şeklde ve altıdak alada cevher yüzdes %8 le %5 arasıda ulumasıı htmal %5 de küçük olması htmalde, %8 de küçük olması htmal çıkarılmasıa eşt olduğu alaşılır. Böylece aşağıdak souç uluur P(8<<5) = P( 5)-P( 8) = =

7 "Matematkçler Pres" olarak da le Carl Fredrch Gauss (esk yazım kuralıyla Gauß), yılları arasıda yaşamış ülü Alma matematkç ve lm adamıdır. Üstü zekası heüz okumayı lmyor olmasıa rağme toplama ve çıkarmayı yapaldğde dolayı ö plaa çıkmaktadır. Güç koşullarla sağladığı eğtm 4 yaşıda r asl verdğ destek sayesde tamamlamayı aşardı. 6 yaşıda Eukledes Geometrs' alteratf olacak r geometr hazırladı. 795 yılıda Göttge Üverstes'e grd. Üverste yıllarıda, sadece pergel ve cetvel kullaarak o yed kearlı düzgü r çokge çzlmes metoduu ulmuştur. Bu uluşu mezarıı üzere oyulmuştur. Archmedes tarafıda aşlatıla u geleeğ r matematkçy etkledğ alaşılmaktadır. 799 yılıda Cer Temel Teorem olarak le ('c derecede r deklem tam tae kökü vardır) teorem kaıtlayarak doktora dereces aldı. 83 yılıda mayetk olayları ölçülmes sağlaya rm sstem gelştrd. Bu edele mayetk akı rme, gauss adı verld. 833 yılıda r telgraf chazı gelştrd.ayrıca lkokulda öğretme öğreclerde 'de 00'e kadar ola sayıları toplamıı stemştr.buu üzere Gauss, "Gaus ötem" le soruyu çözer ve öğretmee verr.öğretme soruu soucuu hesaplayarak Gauss'u doğru soucu ulduğuu görmüştür.

8 NORMAL DAĞILIM İÇİN DÖNÜŞÜMLER Daha öcede ahsedldğ g r çok değşke ormal (Gaussa) dağılım özellğ göstermez. Öreğ düşük rüzgar şddetler sıklıkla gözledğ fakat uu yaıda fırtıalı durumları da aralıklarla gerçekleştğ r ölgedek rüzgar şddet düşüelm.

9 Sıklık (frekas) Rüzgar Şddet (km/saat) Bu değerler ormal dağılıma yaklaştırmak ç geelde logartmk döüşüm yapılır. Logartmk döüşüm soucuda verler sııf aralıkları gttkçe daralacak ve dağılım ormal e yaklaşacaktır. Logartmk döüşüm, verler = log İle elde edle dz le fade edlr. Bu tür değşkelere logartmk dağılmış değşkeler adı verlr. Bu dağılımı özellğ verler yere artık verler düşüülerek ve ormal dağılım özellklerde yararlaarak kolayca elrleelr. ukardak rüzgar şddet dağılımı logartmk döüşüm yardımıyla ormal dağılıma yaklaştırılmıştır. Sıklık (frekas) Rüzgar Şddet logartması

10 değşkeler artmetk ortalaması, ler csde uları çarpımlarıı - c derecede köküü alıması le uluur Bu şleme ayı zamada geometrk ortalama adı da verlr. Logartmk olarak döüştürülmüş r verler geometrk varyası da S Şeklde fade edlr. Ver şlemlerde logartmk döüşüm dağılımı smetrk yapmasıda aşka varyası daha degel ya sat hale getrmek çde kullaılalr. Logartmk döüşümü yaıda kullaılalecek dğer r döüşüm se kare-kök şlemdr. a; Şeklde döüşüm kullaılır. Buu dışıda verler kc = Veya üçücü = 3 Derecede kuvvetler alıması sıklık düyagramıı smetrğe doğru yaklaştıralr. Kuvvet döüşümler üyük ver değerler küçüklerde çok daha fazlaca üyüyerek yayılmasıı sağlar. Baze egatf çarpıklığa sahp verler yaklaşık olarak ormal dağılım hale getrlmesde = arcs Şeklde r döüşüm de yararlı olalr. Kısacası ütü u döüşümlerde amaç verlerde smetrk dağılım foksyou elde etmeye çalışmak ve ormal dağılıma yaklaşarak uygulamada kolaylıklar ortaya çıkarmaktır.

11 VERİLERİN HOMOJENLİĞİ (TEKTÜRLÜLÜĞÜ) VE HOMOJENLEŞTİRİLMESİ Br ver dzs homoje (tektür) olmayışlarıı çeştl edeler vardır. Bular sa faktörü (atropojek) olup olmamasıa göre k aa kümede toplamak mümküdür. İsa etkler (yalış okuma, değerledrme) veya ölçüm chazları kayaklı sorular (arıza, yer değşklğ, çevre etklerdek değşm) verler tektürlülükte ya kedlere at doğasıda saptırır. Öreğ r su toplama havzası çde zsz veya alt yapılar tamamlamada şaatları yoğuluklu olarak artması soucuda su kaltesde krleme ortaya çıkması tektür olmaya su kaltes ver dzler eklemese ede olur. Verler statstk olarak şlemese aşlamada öce u tür çoktürlülükler elrleerek ölçümlerde çıkarılması ve ver dzs tektür hale döüştürdükte sora statstksel özellkler ve parametreler elrlemes gerekr. Aks taktrde ulua statstk parametreler olayı fzğ yasıtmaz ve yapıla, uygulamalar da hatalı olur. Ver homojelkler tespt ç r çok test yapılmaktadır. Bular temelde parametrk ve parametrk olmaya testler olarak kye ayrılır. Bu testler yapılalmes ç aşağıdak adımları zlemes gerekmektedr.. Öcelkle dz ç geçerl olalecek varsayımlar aşta taımlamalıdır.. apılacak statstk test alamlılık sevyese karar verlmeldr. Bu r akıma yapılacak testtek hata sıırıı verr. 3. Test yapılacağı ölge tek kuyruklumu yoksa çft kuyruklu mu olacağı kararlaştırılmalıdır. 4. Karar verle alam sevyese karşı gele sıır değer teork test toplum sıklık (frekas) foksyouda uluur. Bu adımda uygu çzelgelerde yararlaılır. 5. Seçle statstğ örek ver dzs parametres göz öüde tutularak test üyüklüğü hesaplaır. 6. Buu sıır değer le ver dzsde hesaplaa test üyüklüğü kıyaslaır. Test üyüklüğüü değer sıır değerde küçük se ver homojedr aks durumda ver homoje değldr. PARAMETRELER ÖNTEMİ Homoje ver setde parametreler yaklaşık sattrler. Acak karşılaştırılma yapılalmes ç e azıda k parametre değer uluması gerekr. a r dz ked çde homoje olalmes ç o dz herhag r alt dzs stele parametres toplam ver dzs parametrelerde öeml r farkıı olmaması gerekyor. Pek u fark asıl uluacaktır.örek olması açısıda uu cevaı Bağıl Hata yötem le ulualmektedr. Bağıl Hata Test İstele, olayı elrlee geel parametres (P) le ver dzs veya alt kümes kısm parametres (Pk) arasıdak ağıl (relatf) hataı, BH stee sıırlar çersde olması gerekr. Bu hata sıırlar geelde %5 le %0 arasıda değşr. Bu durumda Bağıl hata

12 B H P P İ P İ K İhtmal hesaplarıda ldğ g htmal toplamları aşamaz. Ayıı şeklde hata değerler %00 ü geçemez. Buda doalyı Pk değer üyük ola parametrede seçlmes gerekmektedr. Pk değer BH değer geelde yüzde le fade edlr ve %5 BH %0 olması ster. Bağıl hata test hem pratklğ hem de kauller olmamasıda dolayı sıklıkla kullaılmaktadır. Bu testte ortalamalar kullaıldığı g dğer parametreler varyas, stadart sapma çde yapılalr. Örek: Aşağıdak zama sersde rüzgar şddetler verlmştr. Bu ver dzs tektür olup olmadığıı tartışıız Rüzgar Şddet (m/s) m Rüzgar Şddet(m/s) Zama Ortalama Bağıl Hata Vort Vort Vort Vort Vort Souç: Ver geel ortalaması le her r parçaı ağıl ortalamaları arasıda %0 da düşük lşk uluduğuda ver çsel olarak tektür ya homojedr. PARAMETRİK OLMAAN ÖNTEMLER Şu aa kadar açıklaa yötemler htmal dağılımlarıa ve oları parametrelere ağlı olduklarıda parametrktr. Döüşümlerle ormal hale getrlemye ver

13 durumlarıda ye yötemlere htyaç duyulmaktadır. Bazı durumlarda ya aşırı uç olaylarda (fırtıa, sel, ekoomde krz, farkada eklemedk sıradışı kazalar...) değşkeler aldıkları değerler ormal dağılıma uymazlar ve ua döüştürülemezler. Bağıl sıklık (frekas) 0 Bu durumlarda verler döüşümlerle ormalleştrmeye uğraşmada doğruda parametrk olmaya yötemler uygulamasıa geçlmeldr. Parametrk olmaya yötemler verler sıklık dyagramlarıa dayamaz, acak oları zaf olarak verle azı özellklere ağlıdırlar. Bularda e çok kullaılaı verler dz çdek merteeler elrlemese dayaır. Geel olarak parametrk olmaya yötemler parametrk olalarda daha zayıf temellere dayaırlar acak lk yaklaşımlar ç terch edlrler.buları e çok le K-Kare testdr. K-Kare Test Normal dağılım özellkler göz öüde tutarak statstk testlerde faydalı ola k-kare (Ch-square) dağılımıı lmek fayda getrecektr. Eğer ormal dağılım ola r toplumda tae değşke seçlr ve daha sora u değşkeler ormal dağılımı ortalama ve stadart sapması le stadartlaştırılır ve uları her r kareler alıdıkta sora toplaırsa Büyüklüğü elde edlr. Bu r örek statstğ teşkl ettğde örekte öreğe değşklk gösterr. Bu dağılım taım gereğ asla eks değerler almaz, üyük değerler çok üyük olalr ve uu soucuda da eğr sağa çarpık r durum gösterr.

14 P(z) Burada ver sayısıa eşt olarak fade edle serestlk dereces (v = ) ve çeştl alam sevyeler (rsk yüzdeler) ç ektek çzelge verlmştr. Bu dağılımı e öeml kullaım yer örekte elde edle ağıl sıklık dyagramıı oa uygu olduğu saıla r teork ağıl sıklık foksyoua uyum sağlayıp sağlayamadığıı sıamasıdır. Buu yapalmek ç test-ylğ (goodess of test) adı altıda r test kullaılır. Buu ç, öreğ, ver teşkl ettğ örek foksyou ortalaması μ ve stadart sapması, σ, ola r ormal dağılımda geldğ temel varsayımı yapılır. Karşıt varsayım se örek foksyou (ver dzs) öyle r dağılımda gelmedğdr. Öcelkle temel varsayımı geçerl olduğu kaul edlerek uu doğruluğu test edlr. Bu test adımları ç;. Test üyüklüğü taımlamalı. Stadart ormal dağılımı altıdak ala eşt aralıklı m sayıda alt aralıklara ölüür 3. Göz öüde tutula örektek verler rastgele olarak -c alt aralığı çe düşmes yüzdes (htmal) u alt aralık üstüdek eğr altı alaıa eşttr. Bu htmaller lmes le o aralığa, verde kaç taes düşeceğ hesaplamak mümküdür. Alt aralığa düşme yüzdes y se verde u alt aralığa düşe ver sayısı y olarak hesaplaır. Böyle r test statstk üyüklüğü ( ) y y Deklem le sağlaır. Burada, -c alt aralığa düşe ver dzsde (örek foksyouda) ulua ağıl sıklıktır.

15 Talo: K-kare test VERİNİN HOMOJENLEŞTİRİLMESİ (TEK TÜRLEŞTİRİLMESİ) Şu aa kadar r çok defalar dış veya ç etkelerde dolayı verelerde hatalar olaleceğde söz edld. Bu hataları görülelmes ç öcelkle koordat eksede verler çzlmes tavsyesde sürekl güdeme getrld. Bua lave olarak homojelk (tek türlülük) testler gerçekleştrld. Ver homoje olmadığı ve azı etkelerde dolayı r ölümüde soru yaşadığı tespt edlrse e yapmak gerekr? Very asıl homoje şekle döüştürmek gerekr. Buu r çok yötem ulumaktadır, aşlıcaları; parametrk olalar (ortalama, ağırlıklı ortalama, mod, medya) ve parametrk olmayalar (terpolasyo, çft kütleler v.) Parametrk yötemler uygulamak ç öcelkle ver fzksel hatalarda (yalış kayıt, kayıt alete a dış etkeler v.) kayakladığıı tespt edlmş olması ve yalış/ölçülmemş ver aralığıı 5 te üyük olmaması gerekr. Öreğ aşağıda Şuat, Mart ve Nsa aylarıda 8 gü oyuca ölçülmüş sıcaklık vers değerler görüldüğü gdr. Fakat şeklde de görüleceğ üzere hatalı değerler ölçülmüştür. Bu durumda u hatalı değerler yere ver yapısıı ozmada, gerçek duruma yakı hag değerler yerleştrlelr?

16 Sıcaklık (C) Zama Tespt edle aralığa ser ortalaması, mode (e sık değer), medya (orta değer) değerlerde rs yerleştrlelr. Bu serde hatalı verler harç tutulmasıyla ortalamaı, mode ve medya değerler sırasıyla 7.5, 3.7, 6.6 olarak hesaplamıştır. veya terpolasyo gerçekleştrlelr. İterpolasyou yapmak ç a. Kaç tae ver eksk veya sorulu olduğu elrler, tae olsu. Soru ola ölgede r öcek, Vö ve r sorak, Vs verler tespt edlr c. Tespt edle u soru olmaya verler arasıdak fark, + aralık sayısıa ölüür. Buu soucuda V ö Vs Aralır değ. ( ) d. Br öcekde r sorake artırarak veya azaltarak (küçükte üyüğe veya üyükte küçüğe) ulua aralık değer ardışık olarak ekler/çıkarılır; ukarıda sorulu olduğu tespt edle ver elrlee parametrk yötemlerle düzeltlmş değerl grafğ aşağıdak gdr. Bu durumda ver gdşatıa göre karar verlmeldr.

17 Sıcaklık (C) Sıcaklık (Ortalama) Sıcaklık(Mode) Sıcaklık(Medya) Sıcaklık(İterpolasyo Zama ukarıda öerle ver tamamlama yötemler kısa sürel veya az oşluklu aralıklar çdr. Aralıkları uzu olması ve daha öemls a sıçramalar vaya kaymaları gözlemes durumuda very tamamlamak/doğrulaştırmak ç öerle yötemlerde r taes Çft Kütleler (ığışım) Test dr. ÇİFT KÜTLELER (IĞIŞIM) TESTİ Br ver dzsde elrl r değerde sora verde a sıçramalar veya homojelğ ozacak çeştl dış etkler ulualr. Bu durumda ver homojelğ araştırmak ç ezer özellkler ve yapıyı göstere e az üç tae lave ver guruua htyaç duyulmaktadır. Öreğ A, B, C ve D ayı farkada tuğla üretm yapa dört makadır. A ı vers homojelğ test edelmemz ç dğer stasyoları verlerde de yararlamamız gerekyor. Br alamda referas test değerler kullamış oluyoruz. Aşağıdak taloda A, B, C ve D makalarıı 5 aylık tuğla üretm mktarları ulumaktadır. A ı vers tektürlülüğüde şüphe edlrse çft kütleler test aşağıdak adımlara göre yapılır. Ay AG Üretm BG Üretm CG Üretm DG Üretm Sayısı 0 6 Sayısı 0 6 Sayısı 0 6 Sayısı

18 Bu Durumda atay eksee B, C ve D makalarıı ardışık toplamlamlarıı, düşey eksee A ı üretm ardışık toplamlarıe karşı gelecek şeklde şaretlersek Dğerler Ardışık Toplam Üretm 0 6 A ı Ardışık Toplam Üretm Elde edle u değerler ve eksee karşı gelecek şeklde şaretledğde eğer ütü verler r leer doğru etrafıda saçılıyorlarsa ver homojedr. Fakat aşağıda görüldüğü g elrl r kırılma oktası varsa u durumda ver tektürlülükte (homojelkte) ozulmaya aşladığı alaşılır

19 A Makasıı Ardışık Toplamları B, C ve D Makalarıı Ardışık Toplamları Bu ozulma aşağıdak şeklde farklı doğruları çzlmesyle daha et görülecektr A Makasıı Ardışık Toplamları α α B, C ve D Makalarıı Ardışık Toplamları Düzeltmeler yapılalmes ç kırık oktaı sağıdak verler kırık oktada öcek doğruu üzere gelecek şeklde düzeltlmes gerekr. Bu düzeltme yapılalmes ç Kırık okta öces ve sorası eğrler eğmler sırasıyla α ve α olmak üzere gösterlrse A makasıı. Aydak düzeltlmş verler, AD ayı makaı gözlemş değerlerde, AG ta( ) A D A G ta( )

20 Formülüde elde edlr. Öerle yötem le düzeltlmş ve lk değerledrmede ele alıa değerler aşağıdak gdr 80.0 A ı Düzeltmede öcek değerler A ı duzeltmede sorak değerler A Makasıı Üretm Mktarları DEĞİŞKENLERİN İLİŞKİLENDİRİLMESİ Şu aa kadar yapıla değerledrmelerde geelde tek ver kümes üzerde duruldu ve özellkler aktarılmaya çalışıldı. Fakat fzksel olaylarda k veya daha fazla değşke etkldr. Buu e ast öreğ herkes ldğ termodamktek gazları kauu olarak le ağıtıda sıcaklık, asıç ve hava yoğuluğuu (hacm) rre fzksel lşkledrlmesdr. Bütü mühedslk dallarıda değşkeler rrleryle lşkledrlmştr. Bu lşkledrmeler ağıtılar le fade etmek gerekr. Elde edle ağıtılar le sstem model yapılmış olur. Bu ağıtılar değşkeler sıır değerler gözöüde tutularak gerçekleştrlr. Böylece ye ölçümler yapmada r değşkede dğer kurula ağıtıı doğruluk derecese göre hesaplaır. Bu tür hesaplamalar yapılırke değşkelerde rs ağımsız dğer ağımlı değşke olarak taımlaır. Bağımlı değşkee aze tahm edle dğere se tahm ettrc adı verlr. Bu ağıtılar ayı zamada rer foksyodur = F() Burada tahm edle ve tahm ettrcdr. Bu fade ze k değşke arasıda r ağıtıı uluduğuu syler ama uu açık fades hakkıda lg vermez. Bu fade açık fadeler arasıda aşağıda gösterldğ g değşk foksyolar ulualr.

21 log = a+(log) log = a-(log) = a++c +d 3 = a+ = a-

22 = a-+c = a++c Bu foksyoel ağıtılarda hags eldek ve değşkeler örek foksyou ver dzlere e y şeklde uyduğuu elrlemes özellkle öemldr. Foksyoları elde etmek ç öcelkle a,, c parametreler hesaplaması gerekmektedr. Verle u öreklerde ağımlı-ağımsız veya tahm edle-tahm ettrc değşkeler arasıda çok güçlü r lşk ulumaktadır. Br alamda tamame matematksel yaklaşımlardır. Gerçek uygulamalarda u uyum hç r zama u kadar mükemmel olamaz, elde edlse yapıla çalışmada şüphe etmek gerekr. Başka r fade le tahm ettrc kullaılarak tahm edle ulmaya yaraya deklemler oluşturulduğuda hatalar ortaya çıkacaktır. a u deklemler ağımlı, tahm edle değşke %00 temsl edemyecektr. ukardak deklemler g tam r ağıtıı ve temslrlğ olmamasıı r çok see ulumaktadır. Bu edeler aşlıcaları şu şeklde sıralaalr a. apıla ölçümler hata çermes,. Olayı ked yapısıda elrszlk uluması, c. Br değşkee aşka r değl r çok değşke tesr etmes. Bu edelerle kl ağıtılar araştırılırke e y lşky göstere foksyolar elrleerek yapıla temslrlklerdek/tahmlerdek hataları e küçük olması arzu edlr. SAÇILMA DİAGRAMI İk değşke arasıdak lşk elrlemes ç öcelkle fzksel özellklere akmak gerekr. Fzksel olarak ağımlılıkları olmaya olaylar ayı zamada lşkl de olamazlar. İlşkl görüseler dah ağımlı olmadıklarıda alamsız r lşk vardır dyelrz. Öreğ, saahı erke saatlerde saat 09:30 a kadar yeryüzüe güeş ışıımı artarak ulaşır ayı zamada trafktek araç sayısıda artar. eryüzüe ulaşa güeş ışıımı mktarı le trafktek araç sayısıı lşkledrmek alamsız olacaktır.

23 İk değşke arasıdak fzksel alamlı lşky ulmak ç öcelkle e geel kuralımız ola koordat eksede şaretleme yapmak gerekr. Değşkelerde ağımsız ola, eksee ve ağımlı ola ya tahm edle eksee karşılık gelecek şeklde düşüülür. Öcelkle herhag r matematksel lşk düşüülmede drek olarak u ekseler oyuca şaretleme gerçekleştrlr. Bu şaretlemeler soucuda oluşa şekle saçılma dyagramı adı verlr. Saçılma dyagramıda dkkat çeklmes gereke öeml r okta urdak ver şlememş olduğudur. a deey veya ölçüm soucuda elde edlmştr. ve g k olay/deey soucuda = {,, 3,..., } = {,, 3,..., } aşağıdak saçılma dyagramı elde edlecektr. Bu dyagramı elde edlmesyle rlkte olay veya deey verlere uygulaalecek e y foksyo araştırması yapılır. ukardak saçılma dyagramıa uygulaalecek e y foksyo d = a + şekldek doğrusal deklemdr. d = a + Bu deklem ayı zamada ortalama durumu a le temsl edlmektedr.bu deklemde elde edle parametreler a = f(,) ve = f(,) dr. Verye ağlı olarak elde edle u parametreler deklemde yere yerleştrlmesyle her r ç ye d değerler elde edlmş olacaktır. a saçılma dyagramıda elde edle deklem aracılığyla hesaplaacak herr değer

24 = {,, 3,..., } d = {d, d, d3,..., d} olacaktır. Buu alamı yapıla deey veya ölçüle olayı öcesde ve sorasıdak Tahm edle/bağımlı değşke değerler rrde farklı olacağıdır. a aralarıdak düşey hata hata mktarı, h olamak üzere h = d kadar olacaktır. = d + h = a + h (, d) (, ) Bu seçle doğru deklemdek hedef, doğruu mümkü olduğu kadar saçılma dyagramıdak tüm oktalara yakı olması ya temsl özellğ olmasıdır. Bu yakılık ve temslrlkte amaç geçrle doğruda ola okta sapmalarıı varyasıı e küçüklemese karşı gelr. Geel olarak, eksee parelel düşey sapmalar esas alıdığıda e küçük varyas ya r alamda hata temslrlğ kadar ölçüm uluması halde h m ( d ) olur. Elde edle deklem değer yere yerleştrlmesyle h m ( ( a )) Verye uydurula deklemde hata toplamlarıı mmum olması gerekmektedr. Hata kare toplamlarıı, HT olarak fade edersek H T h ( a )

25 Bu fade e küçüklemes, mmze edlelmes ç a ve ye göre ayrı ayrı kısm türev alıarak sıfıra eştlemes gerekmektedr. Böylece, 0 ) ( ) ( T a a H a a. Her k tarafı e ölümesyle a a Elde edlr, souçta hesaplaa eştlk le elde edle doğruu tam ortasıda mutlaka ), ( ı geçmes gerekr. 0 ) ( ) ( T a H a Eştlğ her k tarafıı ye ölümesyle. a Daha öce elde edle a Deklem de kullaılmasıyla k lmeyel k deklem çözümüde

26 . Ve a Şeklde fade edlerek yere yerleştrlmesyle kolaylıkla ulualr. Bu parametreler hesaplaalmes ç öcelkle etkl ola ütü değşkeler teker teker talo oluşturularak hesaplaır. Bu değşkeler hesaplamasıyla rlkte deklem oluşturulur. Ayrıca u parametreler.. a ve. Ayrıca katsayısı ) ( ) )( ( Şeklde de ulualr. Stadartlaştırma şlem verlere uygulamasıyla rlkte verler ortalamaları sıfır ve stadart sapmaları da r olduğuda u durumda ütü deklemlerde stadart verler ç katsayısı; y a katsayısı ulumasıyla deklemde hesaplaacaktır. Pratk Regresyo Kuralı

27 Doğrusal regresyo deklem çözümü pratk azı yötemlerle kolaylıkla yapılalr. Aa deklemde a ve g k parametre lmeye olduğuda uları çözülmes ç verler csde k dekleme htyaç vardır. E küçük kareler yötem uygulaması soucuda ulua deklem ezer şeklde aşağıdak adımlar zleerek ulualr. Bua göre a. Ayı doğrusal deklem her k tarafıdak değşkeler artmetk ortalamasıı alıırsa a deklem elde edlr.. İkc adımda aa deklem her k tarafıı öce sağ taraftak ağımsız değşke le çarptıkta sora eştlğ her k tarafıdak değşkeler ortak artmetk ortalamaları alıırsa. a deklem elde edlmş olacaktır. c. Bu şeklde elde edle k artmetk ortalamalı deklem ortak çözümüde parametreler hesaplaalecektr. Bu adımlar r çzelge yardımıyla özetleecek olursa aşağıdak değerler elde edlecektr Bu pratk regresyo şlem doğrusal (leer) olmak üzere kde fazla değşke olması durumuda da kullaılır. Öreğ = a+ +cz + du g dört değşkel dklem,, Z ve U verlerde a,, c ve d parametreler hesaı ç gerekl dört deklem uluuşuda öcelkle deklem her k tarafıı artmetk ortalamasıı alıması le a cz du elde edlr. Daha sora sırası le aa deklem k tarafı, sağ taraftak ağımsız değşkeler her r le çarpılarak artmetk ortalamalar alıırsa a Z az Z cz cz du duz ve

28 U au U czu du Deklemler elde edlr. Bu artmetk ortalamaları çere 4 deklemde 4 lmeye (a,, c ve d) ulualr. Regresyo Kauller Regresyou verlere uygulamada öce kaullere dkkat edlmeldr. Kaullerde azıları uygu değlse mutlaka verler azı döüşümlerle kaullere uygu hale getrlmeldr.bu kauller; doğrusallık, ormallk, eşt varyas ve hata ortalamalarıı sıfır olması Doğrusallık: Regresyo çözülmes le saçılma dyagramıda geel gdş temsl ede r doğruu uyguluğu test edlr. Geel gdş r doğru şeklde olmazsa söyleeler geçerllğ yoktur. Doğrusallık ç gerektğde döüşüm yapılır. E sık kullaıla doğrusalaştırma yötem değşkelerde re veya ks logartmk döüşüme ta tutulmasıdır. Normallk Kaulü: Doğrusal regresyo çözümlemeler geçerllğ ç değşkeler Gaussa (ormal) dağılıma uyması gerekr.e azıda smetrk veya ormale yakı sıklık yoğuluk foksyoları ulumalıdır. Bulara akılmadığı taktrde mutlaka artık (hata, h = d) termler ormal dağılı olması gerekr. Hata Ortalamalarıı Sıfır Olması: Elde edle hata ortalamalarıı sıfır olması gerekr.aks taktrde a ve/veya katsayıları taraflı olacaktır. Eşt Varyas: Artık termler şartlı dağılım foksyolarıı varyasaları ağımsız değşke ya ekse oyuca değşmemeldr. Varyası değşke olması durumuda hesaplaa regrasyo katsayılarıı ks de taraflıdır KORELASON KATSAISI İk değşke arasıdak ağımlılığı e kadar kuvvetl olduğuu tespt etmek ç r kıyaslamaya htyaç ulumaktadır. Br alamda k değşke arasıdak lşk yöü, dereces ve alamlılığıı tay ç kullaıla r ölçütür. Her r değşke ked çde ç ağımlılık olarak fade edle ağımlılığı olduğu g ked aralarıda dış ağımlılık olarak fade edle lşks ulumaktadır. İç ağımlılıkta verler stele adım kadar ked çde kaydırılarak aralarıdak lşkye akılır. Bu derste dış ağımlılıkta ahsedlecektr. BAĞIMSIZ OLALAR

29 Hatırlaacak Tarf: A ve B olayları eğer ve acak P(A B) = P(A).P(B) se ağımsızdır. İkde fazla olay acak P(A B C) = P(A).P(B).P(C) durumuda ağımsızdır. Teorem: Eğer A ve B ağımsız olaylar se ve ksde htmaller sıfırda farklı se A ve B kümeler e az r ortak oktası vardır. Bağımsız olaylara verlecek e çarpıcı öreklerde r taes kartezya koordat sstemdr. Kartezye koordatlarda ve y arasıdak açı 90º olup ağımlı olmamayı fade etmektedr ve sadece r oktada kesşm gerçekleşmektedr. Belrl r koordatı ya kesşm altıda kala ala se ordat ve apss değerler çarpımıyla elde edlmektedr. (A B) B (A).(B) 0 A Başka r fade le r vektörü dğer üzerde zdüşümü varsa ağımlıdır yoksa ağımsızdır. Aralarıdak ağımlılık cosα le doğruda lşkldr. a a. İk vektör aralarıda doğru oratılı olarak lşkldrler a. İk vektör aralarıda ters oratılı olarak lşkldrler

30 c. İk vektör arasıda herhag r oaratı veya lşk yoktur. d. İk vektör arasıda aralarıdak açıı ya cosα zdüşümü oraıda oratı ve lşk vardır. a.cos.. a a a a.. cos k z j y a k z j y cos z y z y z z y y olacaktır. Bu kouda ahsedle vektörler ayı oyuttadırlar. Bu durumada k rer oyutlu k vektör arasıdak açısal lşk cos a. a

31 Olup u ayı zamada r le gösterle korelasyo (lşk) katsayısıa eşttr. Pay ve paydadak her r term toplam ver sayısı ola ye ölümesyle r cos Bu eştlk sıklıkla kullaıla korelasyo lşk katsayısıdır. Korelasyo katsayısı - r + arasıda değşr. a. Kosüüs fadesde leceğ g paralelk ve ayı yöde olma durumuda cos(0)= değer alacaktır. Bu durumda ayı yöde tam doğru oratılı ola k değşke arasıda kuvvetl r ağımlılık vardır ve aralarıdak korelasyo katsayısı.0 a yaklaşmıştır. Matematksel foksyolarda tam.0 olalr ama gerçek uygulamalarda u değere yaklaşacaktır. e kuvvetl doğrusal ağımlılıkta 0.9 r + olmaktadır. d = a + R.0. İk vektörü ters oratılı olması ya tam farklı yölerde olması durumuda aralarıdak açı 80 dr. Bu durumda cos (80) = -.0 dır, ya k değşke arasıda ters yöde tam ters oratılı r lşk/ağımlılık ulumaktadır. Aralarıdak korelasyo katsayısı -.0 a yaklaşmıştır. Matematksel foksyolarda tam -.0 olalr ama gerçek uygulamalarda u değere yaklaşacaktır. e kuvvetl doğrusal ağımlılıkta -.0 r -0.9 olmaktadır.

32 c. Buları dışıdak hallerde korelasyo katsayısı k değşke arasıdak açıya göre farklılık gösterecektr. Aralarıdak açıı 90º olması durumuda k değşke rrde tamame ağımsızdır ve her hag r lşk ulumamaktadır. a cos(90) = 0 d. Dğer durumlarda se aralarıdak açıı kosüüsü oraıda doğru veya ters oratı uluacaktır. Stadartlaştırmaı r çok faydası daha öceler ayrıtılı olarak alatılmıştır. Bulara lave olarak korelasyo katsayısıı ulumasıda stadart verler kullaılması durumuda ortalama sıfır ve varyas değerler olacaklarıda, stadart ve y değşkeler kullaılmasıyla, korelasyo katsayısı, r r cos y r d = a + R -.0 Ry 0.0

33 Olarak sade ve ast r şeklde ulualecektr. Bütü ulara lave olarak Doğrusal r deklem ulumasıyla rlkte varyas temslrlğ açısıda düşüüldüğüde Toplam Varyas = Temsl Edlele Varyas + Hata Varyası VarT = VarTem + Varh Her k tarafı Toplam varyas ola VarT ye ölümesyle Var Var T T Var Var Tem T Var Var h T Var Var Tem T Var Var h T ve ulua deklem le temsl edlele varyas Var Var Tem T Var h R Var T a ortadak term e e kadar yaklaşırsa elrllk, temslrlk o kadar yüksek olacaktır. Bu katsayıya Belrllk katsayısı (coeffcet of determato) adı verlr. Bu katsayıı karekökü R r Korelasyo katsayısıa eşttr. Br çok yerde korelasyo katsayısı yere elrllk katsayısı verlmektedr.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1 ĐÇI DEKILER Sayfa. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş.. Đstatstk.3. Populasyo.4. Örek.5. Brm.6. Parametre.7. Değşke 3.8. Ver ve Ver Tpler 3.9. Toplama Sembolü 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6. VERĐLERĐ

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2 Parametrk Olmaya İstatstk Çözümlü Sorular - Soru Böbrek hastalarıa at Kreat (KRT) değerlere lşk br araştırma yapılmak stemektedr. Buu ç rasgele seçle hastaya at Kreat değerler aşağıdak gb elde edlmştr

Detaylı

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma Kocael Üerstes Sosyal Blmler Esttüsü Dergs (4) 27 / 2 : 5-77 Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma Şeket Alper Koç Özet: Bu çalışmada haleler üzere teork r araştırma yapılacaktır. Belrl arsayımlar altıda

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek Fasal Yöetm Örek lar Güz 2015 Güz 2015 Fasal Yöetm Örek lar 2 Örek FİNNSL YÖNETİM ÖRNEKLER 1000 TL %10 fazde kaç yıl süreyle yatırıldığıda 1600 TL olur? =1000 TL, FV=1600 TL, =0.1 FV (1 ) FV 1600 (1 )

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarhl ve 25391 sayılı Resm Gazete'de yayımlamıştır.) Amaç BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayaak Madde 1 Bu Yöetmelğ amacı, 4857 sayılı İş Kauuu 53 ücü maddes

Detaylı

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr.

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr. İSTATİSTİK DERSİ (BAÜ Müh-Mm Fakültes Dr. Bau Yağcı KAYNAKLAR Mühedslkte Olasılık, İstatstk, Rsk ve Güvelrlk Altay Güdüz Blgsayar (Ecel Destekl Uygulamalı İstatstk Pro. Dr. Mustaa Akkurt Mühedsler ç İstatstk

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere

Detaylı

MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK. Prof. Dr. Hüseyin Çelebi Ders Notları

MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK. Prof. Dr. Hüseyin Çelebi Ders Notları MEÜ. Mühedslk Fakültes Jeoloj Mühedslğ Bölümü MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK YÖNTEMLER VE UYGULAMALAR Prof. Dr. Hüsey Çeleb Ders Notları Mers 007 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 1 Brkaç ülü sözü İstatstk! Matematğ

Detaylı

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Zama Skalasıda Bo-Co Regresyo Yötem Atlla Özur İŞÇİ Sbel PAŞALI GÖKTAŞ ATMACA 3 M. Nyaz ÇANKAYA 4 Özet Hata term

Detaylı

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24 İÇİNDEKİLER SİMGE LİSTESİ... KISALTMA LİSTESİ... v ÇİZELGE LİSTESİ... v ŞEKİL LİSTESİ... v ÖNSÖZ... v ÖZET... x ABSTRACT... x GİRİŞ... BÖLÜM : OLASILIK DAĞILIMLARI VE OLASILIK YOĞUNLUKLARI... BÖLÜM : OLASILIK

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde

Detaylı

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları 5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Olasılığı Tolaablrlk Kuralı: 5.6. Olasılığı çarım kuralı: 5.7. Değl ağıtısı: 5.8. Koşullu

Detaylı

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON)

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON) BÖÜM 4 KASİK OPTİMİZASYON TEKNİKERİ KISITI OPTİMİZASYON 4. GİRİŞ Öcek bölülerde de belrtldğ b optzaso probleler çoğuluğu kısıtlaıcı oksolar çerektedr. Kısıtlaasız optzaso problelerde optu değer ede oksou

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Operasyonel Risk İleri Ölçüm Modelleri

Operasyonel Risk İleri Ölçüm Modelleri Bakacılar Dergs, Sayı 58, 006 Grş Operasyoel Rsk İler Ölçüm Modeller Çalışma k bölümde oluşmaktadır. İlk bölümde operasyoel rskler ölçülmes kapsamıda hag ler ölçüm modeller kullaılması gerektğ, söz kousu

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

Tuğba SARAÇ Yük. Endüstri Mühendisi TAI, Ankara tsarac@tai.com.tr. Özet. 1. Giriş. 2. Gözden Geçirmeler. Abstract

Tuğba SARAÇ Yük. Endüstri Mühendisi TAI, Ankara tsarac@tai.com.tr. Özet. 1. Giriş. 2. Gözden Geçirmeler. Abstract YKGS2008: Yazılım Kaltes ve Yazılım Gelştrme Araçları 2008 (9-0 ekm 2008, İstabul) Yazılım Ürü Gözde Geçrmeler Öem, Hazırlık Sürec ve Br Uygulama Öreğ The Importace of the Software Product Revews, Preparato

Detaylı

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ TALEP TAHMİNLERİ Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ Yöetm e temel foksyolarıda br ola plalama, e kaba taımıyla, şletme geleceğe yöelk alıa kararları br bleşkesdr. Geleceğe yöelk alıa kararları başarısı yöetcler yaptıkları

Detaylı

Ölçme Hataları ve Normal Dağılım

Ölçme Hataları ve Normal Dağılım Ölçme Hataları ve Normal Dağılım Yıl 967. Fzk ders mekak laoratuarıda rc laoratuar. Kousu: Ölçme ve çft kefel terazler hassasyet. Mesaj: ey ölçerse ölç, ölçmek stedğ şey ulamazsı, ölçü alet hassasyet sıırları

Detaylı

Bağıl Değerlendirme Sisteminin Simülasyon Yöntemi ile Test Edilmesi: Kilis 7 Aralık Üniversitesi Örneği

Bağıl Değerlendirme Sisteminin Simülasyon Yöntemi ile Test Edilmesi: Kilis 7 Aralık Üniversitesi Örneği Akademk Blşm 11 - III. Akademk Blşm Koferası Bldrler 2-4 Şubat 2011 İöü Üverstes, Malatya Bağıl Değerledrme Sstem Smülasyo Yötem le Test Edlmes: Kls 7 Aralık Üverstes Öreğ Kls 7 Aralık Üverstes, Blgsayar

Detaylı

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz; Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9

Detaylı

WEİBULL DAĞILIMININ ÖLÇEK VE BİÇİM PARAMETRELERİ İÇİN İSTATİSTİKSEL TAHMİN YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

WEİBULL DAĞILIMININ ÖLÇEK VE BİÇİM PARAMETRELERİ İÇİN İSTATİSTİKSEL TAHMİN YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI İstabul Tcaret Üverstes Sosal Blmler Dergs Yıl:8 Saı:5 Bahar 2009 s.73-87 WEİBULL DAĞILIMII ÖLÇEK VE BİÇİM PARAMETRELERİ İÇİ İSTATİSTİKSEL TAHMİ YÖTEMLERİİ KARŞILAŞTIRILMASI Flz ÇAKIR ZEYTİOĞLU* ÖZET Güümüzde

Detaylı

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research

Detaylı

Olabilirlik Oranı Yöntemine Dayalı, Yapısal Homojen Olmayan Varyans Testlerinin Piyasa Modeli İçin Karşılaştırılması

Olabilirlik Oranı Yöntemine Dayalı, Yapısal Homojen Olmayan Varyans Testlerinin Piyasa Modeli İçin Karşılaştırılması Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:6, Sayı:, Yıl:011, ss.135-144 Olablrlk Oraı Yöteme Dayalı, Yaısal Homoje Olmaya Varyas Testler Pyasa Model İç Karşılaştırılması Flz KARDİYEN

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

Rasgele sayıda bağımlı aktüeryal risklerin beklenen değeri için alt ve üst sınırlar

Rasgele sayıda bağımlı aktüeryal risklerin beklenen değeri için alt ve üst sınırlar www.saskcler.org İsaskçler Dergs (8) 64-74 İsaskçler Dergs Rasgele sayıda bağımlı aküeryal rskler beklee değer ç al ve üs sıırlar Fah Tak Kırıkkale Üverses Fe-Edebya Faküles, İsask Bölümü 7-ahşha,Kırıkkale,

Detaylı

REGRESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KARELER VE EN KÜÇÜK MEDYAN KARELER YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

REGRESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KARELER VE EN KÜÇÜK MEDYAN KARELER YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI FEN DEGİSİ (E-DEGİ). 8, 3() 9-9 EGESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KAELE VE EN KÜÇÜK MEDYAN KAELE YÖNTEMLEİNİN KAŞILAŞTIILMASI Özlem GÜÜNLÜ ALMA, Özgül VUPA Dokuz Eylül Üverstes, Fe-Edebyat Fakültes,

Detaylı

AES S Kutusuna Benzer S Kutuları Üreten Simulatör

AES S Kutusuna Benzer S Kutuları Üreten Simulatör AES S Kutusua Bezer S Kutuları Ürete Smulatör M.Tolga SAKALLI Trakya Üverstes Blgsayar Mühedslğ tolga@trakya.edu.tr Erca BULUŞ Trakya Üverstes Blgsayar Mühedslğ ercab@trakya.edu.tr Adaç ŞAHİN Trakya Üverstes

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA

ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA İstabul Tcaret Üverstes Fe Blmler Dergs Yıl: 11 Sayı: Güz 01 s. 19-35 ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA Cası KAYA 1, Oza KOCADAĞLI Gelş: 30.05.01 Kabul: 14.1.01

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ Bu bölümdeki yötemler, bilimeye POPULASYON PARAMETRE değeri hakkıda; TAHMİN yapmaya yöelik ve, KARAR vermekle ilgili, olmak üzere iki grupta icelemektedir. Parametre

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Ayça Hatce TÜRKAN GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 007 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ İSTATİSTİK Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özka GÖRGÜLÜ Tavsye Edle Kayak Ktaplar Her öğrec keds tuttuğu düzel otlar.. Akar, M. ve S. Şahler, (997). İstatstk. Ç.Ü. Zraat Fakültes Geel Yayı No: 74, Ders

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

İşletme İstatistiği. [Type the document subtitle] Ege Yazgan ve Yüce Zerey 10/21/2003

İşletme İstatistiği. [Type the document subtitle] Ege Yazgan ve Yüce Zerey 10/21/2003 ISTANBUL BİLGİ UNİVERSİTY İşletme İstatstğ [Type the documet subttle] Ege Yazga ve Yüce Zerey 1/1/3 [Type the abstract of the documet here. The abstract s typcally a short summary of the cotets of the

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 9 Sayı: 1 s. 1-7 Ocak 2007 HİDROLİK PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE TAŞIMA MATRİSİ YÖNTEMİ

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 9 Sayı: 1 s. 1-7 Ocak 2007 HİDROLİK PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE TAŞIMA MATRİSİ YÖNTEMİ DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ lt: 9 Sayı: s -7 Ocak 7 HİDROLİK PROBLEMLERİNİN ÇÖÜMÜNDE AŞIMA MARİSİ YÖNEMİ (MEHOD OF RANSFER MARIX O HE ANALYSIS OF HYDRAULI PROBLEMS) Rasoul DANESHFARA*,

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE 1 ölüm maçları İSTTİSTİKSEL THMİLEME VE YORUMLM SÜRECİ ÖREKLEME VE ÖREKLEME DĞILIMLRI u bölümde öğreeceklerz. Örekleme gereksm ve yötemler celemek. Örekleme hatası kavramıı taımlamak Örekleme dağılışı

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ Mühedlk Fakülte, Make Mühedlğ Bölümü Zekerya Grg DENİZLİ, 05 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI Ööz Mühedlkte vermeye başladığım Otomatk Kotrol der daha y alaşılablme ç bu otlar hazırlamaya

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ Clt: 2 Sayı: 3 sh 87-02 Ekm 200 VOLTERRA SERİLERİ METODU İLE DOĞRUSAL OLMAYAN SİSTEMLERİN FREKANS BOYUTUNDA ANALİZİ İÇİN NET TABANLI ARAYÜZ TASARIMI (DESIGN

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

DİŞLİ ÇARKLAR PLANET SİSTEMLERİ 12-02. 2013 Nisan. www.guven-kutay.ch. M. Güven KUTAY / 2013-Nisan-14 Yeniden elden geçirilmiş çıktı.

DİŞLİ ÇARKLAR PLANET SİSTEMLERİ 12-02. 2013 Nisan. www.guven-kutay.ch. M. Güven KUTAY / 2013-Nisan-14 Yeniden elden geçirilmiş çıktı. 3 Nsa www.guve-kutay.ch DİŞLİ ÇARLAR LANET SİSTELERİ -. üve UTAY / 3-Nsa-4 Yede elde geçrlş çıktı. 3-Nsa4 www.guve-kutay.ch Sevgl eş FİSUN ' a ÖNSÖZ Br kouyu blek deek, ou eldek kalara göre kullaablek

Detaylı

PORTFÖY OPTİMİZASYONUNDA ORTALAMA MUTLAK SAPMA MODELİ VE MARKOWITZ MODELİNİN KULLANIMI VE İMKB VERİLERİNE UYGULANMASI

PORTFÖY OPTİMİZASYONUNDA ORTALAMA MUTLAK SAPMA MODELİ VE MARKOWITZ MODELİNİN KULLANIMI VE İMKB VERİLERİNE UYGULANMASI Süleyma Demrel Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs Y.2008, C.3, S.2 s.335-350. Suleyma Demrel Uversty The Joural of Faculty of Ecoomcs ad Admstratve Sceces Y.2008, vol.3, No.2 pp.335-350. PORTFÖY

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ İstatistik kelimesii kökei Almaca olup devlet alamıa gelmektedir. İstatistik kelimesi gülük hayatta farklı alamlarda kullaılmaktadır. Televizyoda bir futbol müsabakasıı izleye bir

Detaylı

EMEKLİLİK YATIRIM FONLARI DEĞERLENDİRMESİ AÇIKLAMA NOTLARI VE VARSAYIMLAR

EMEKLİLİK YATIRIM FONLARI DEĞERLENDİRMESİ AÇIKLAMA NOTLARI VE VARSAYIMLAR EMEKLİLİK YATIRIM FONLARI DEĞERLENDİRMESİ AÇIKLAMA NOTLARI VE VARSAYIMLAR 2013 yılı fo getrs 02/01/2013-02/01/2014 tarhl brm pay değerler kullaılması le hesaplamıştır. 2013 yılı karşılaştırma ölçütü getrs

Detaylı

Lojistik Regresyonda Meydana Gelen Aşırı Yayılımın İncelenmesi

Lojistik Regresyonda Meydana Gelen Aşırı Yayılımın İncelenmesi Yüzücü Yıl Üverstes, Zraat Fakültes, Tarım Blmler Dergs (J. Agrc. Sc.), 008, 18(1): 1-5 Araştırma Makales/Artcle Gelş Tarh: 10.06.007 Kabul Tarh: 7.1.007 Lojstk Regresyoda Meydaa Gele Aşırı Yayılımı İcelemes

Detaylı

Biyoistatistik (Ders 9: Korelasyon ve Regresyon Analizi)

Biyoistatistik (Ders 9: Korelasyon ve Regresyon Analizi) KORELASYON ve REGRESYON ANALİZLERİ Yrd. Doç. Dr. Üal ERKORKMAZ Sakarya Üverstes Tıp Fakültes Byostatstk Aablm Dalı uerkorkmaz@sakarya.edu.tr SİSTEM, ALT SİSTEM ve SİSTEM DİNAMİKLERİ Doğa br aa sstemdr.

Detaylı

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ AKIŞKA BORUSU ve ATİLATÖR DEEYİ. DEEYİ AMACI a) Lüle ile debi ölçmek, b) Dairesel kesitli bir borudaki türbülaslı akış şartlarıda hız profili ve eerji kayıplarıı deeysel olarak belirlemek ve literatürde

Detaylı

α kararlı dağılım, VaR, Koşullu VaR,, Finansal α KARARLI DAĞILIMLARLA FİNANSAL RİSK

α kararlı dağılım, VaR, Koşullu VaR,, Finansal α KARARLI DAĞILIMLARLA FİNANSAL RİSK Marmara Üverstes İ.İ.B.F. Dergs YIL 00 CİLT XXVIII SAYI I S. 549-57 Özet KARARLI DAĞILIMLARLA FİNANSAL RİSK ÖLÇÜMÜ Ömer ÖNALAN * Bu çalışmada fasal kayıları kalı kuyruklu kararlı dağılım zledğ varsayımı

Detaylı

İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI

İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI Ahmet ERGÜLEN * Halm KAZAN ** Muhtt KAPLAN *** ÖZET Arta rekabet şartları çersde karlılıklarıı korumak ve

Detaylı

NİĞDE İLİ RÜZGAR ENERJİSİ POTANSİYELİ WIND ENERGY POTENTIAL OF NIGDE PROVINCE

NİĞDE İLİ RÜZGAR ENERJİSİ POTANSİYELİ WIND ENERGY POTENTIAL OF NIGDE PROVINCE Niğde Üiersitesi Mühedislik Bilimleri Dergisi, Cilt 1, Sayı, (1), 37-47 NİĞDE İLİ RÜZGAR ENERJİSİ POTANSİYELİ Uğur YILDIRIM 1,* Yauz GAZİBEY, Afşi GÜNGÖR 1 1 Makie Mühedisliği Bölümü, Mühedislik Fakültesi,

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre Devre Analz Teknkler DEE AAĐZ TEKĐKEĐ Bu zamana kadar kullandığımız Krchoffun kanunları ve Ohm kanunu devre problemlern çözmek çn gerekl ve yeterl olan eştlkler sağladılar. Fakat bu kanunları kullanarak

Detaylı

İleri Teknoloji Bilimleri Dergisi Journal of Advanced Technology Sciences ISSN:2147-3455

İleri Teknoloji Bilimleri Dergisi Journal of Advanced Technology Sciences ISSN:2147-3455 İler Tekoloj Blmler Dergs Joural of Advaced Techology Sceces ISSN:47-3455 GÜÇ SİSTEMLERİNDE HARMONİKLERİN KRİTİK DEĞERLERE ETKİSİ Yusuf ALAŞAHAN İsmal ERCAN Al ÖZTÜRK 3 Salh TOSUN 4,4 Düzce Üv, Tekoloj

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

İNTERNET SERVİS SAĞLAYICILIĞI HİZMETİ SUNAN İŞLETMECİLERE İLİŞKİN HİZMET KALİTESİ TEBLİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM

İNTERNET SERVİS SAĞLAYICILIĞI HİZMETİ SUNAN İŞLETMECİLERE İLİŞKİN HİZMET KALİTESİ TEBLİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM 17 Şubat 01 CUMA Resmî Gazete Sayı : 807 TEBLİĞ Bilgi Tekolojileri ve İletişim Kurumuda: İNTERNET SERVİS SAĞLAYICILIĞI HİZMETİ SUNAN İŞLETMECİLERE İLİŞKİN HİZMET KALİTESİ TEBLİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam,

Detaylı

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ

MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ MEKANİK TESİSATTA EKONOMİK ANALİZ Mustafa ÖZDEMİR İ. Cem PARMAKSIZOĞLU ÖZET Düya çapıda rekabeti ö plaa çıktığı bu gükü şartlarda, e gelişmiş ürüü, e kısa sürede, e ucuza üretmek veya ilk yatırım ve işletme

Detaylı

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ DERS NOTU 07 KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ, LM EĞRİSİ VE PARA TALEBİ FAİZ ESNEKLİĞİ Bugünk dersn çerğ: 1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ... 1 1.1 İŞLEMLER (MUAMELELER) TALEBİ... 2 1.2 ÖNLEM (İHTİYAT) TALEBİ...

Detaylı

LABORATUVARIN İŞ HİJYENİ ÖLÇÜM, TEST VE ANALİZ HİZMETLERİ KAPSAMINDA AKREDİTASYON BELGESİ ALMASI ZORUNLULUĞU OLAN PARAMETRE LİSTESİ

LABORATUVARIN İŞ HİJYENİ ÖLÇÜM, TEST VE ANALİZ HİZMETLERİ KAPSAMINDA AKREDİTASYON BELGESİ ALMASI ZORUNLULUĞU OLAN PARAMETRE LİSTESİ LABORATUVARIN İŞ HİJYENİ ÖLÇÜM, TEST VE ANALİZ HİZMETLERİ KAPSAMINDA AKREDİTASYON BELGESİ ALMASI ZORUNLULUĞU OLAN PARAMETRE LİSTESİ Sıra No Parametre 1 Kişisel Soluabilir Tozları Kosatrasyou 2 İşyeri Ortamı

Detaylı

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Ünsal M.; Varol, A.: Soğutma Kulelernn Boyutlandırılması İçn Br Kuramsal 8 Mayıs 990, S: 8-85, Adana 4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Asaf Varol Fırat Ünverstes, Teknk Eğtm Fakültes,

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

ARAŞTIRMA MAKALESİ / RESEARCH ARTICLE

ARAŞTIRMA MAKALESİ / RESEARCH ARTICLE ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ A Uygulamalı Blmler ve Mühedslk ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY A Appled Sceces ad Egeerg Clt/Vol.: 3-Sayı/No: : 5-63 (202 ARAŞTIRMA

Detaylı

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ Geel olrk 4 tp yötem kullılır.. Düz çzg yötem: Mlı değer zml doğrusl olrk zldığı vrsyılır. Mlı hzmet ömrü boyuc her yıl ç yı mktr mortsm olrk yrılır. V V d = S d:

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ 4. HAFTA ISF44 SERMAYE PİYASALAR VE MENKUL KIYMETLER YÖNETİMİ PARANIN ZAMAN DEĞERİ VE GETİRİ ÇEŞİTLERİ Doç. Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr 2 Paraı Zama Değeri Paraı Zama Değeri Yatırım

Detaylı

Box ve Whisker Grafiği

Box ve Whisker Grafiği www.memetaarayl.com Bölümü Amaçları DEĞİŞKELİK ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKOOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aarayl@deu.edu.tr Bu Bölümü tamamladıta ora eler yapablecez: Bo ve Wher grağ ouma

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası 13. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı 18 22 Nisa 2011, Akara ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

Detaylı

Bir tahmin edicinin sapması, beklenen değeriyle gerçek parametre arasındaki fark olarak tanımlanır.

Bir tahmin edicinin sapması, beklenen değeriyle gerçek parametre arasındaki fark olarak tanımlanır. 6. EN KÜÇÜK KARELER TAHMİNLERİNİN ÖZELLİKLERİ 6. TAHMİN EDİCİLERDE ARANAN ÖZELLİKLER Geellkle br tahm aa kütle parametres gerçek değere yakı olmasıı ve b gerçek parametre yakılarıda dar br aralıkta değşmes

Detaylı

GRİ MARKOV KESTİRİM MODELİ KULLANILARAK DÖVİZ KURU TAHMİNİ

GRİ MARKOV KESTİRİM MODELİ KULLANILARAK DÖVİZ KURU TAHMİNİ Joural of Ecoomcs, Face ad Accoutg (JEFA), ISSN: 48-6697 Year: 4 Volume: Issue: 3 CURRENCY EXCHANGE RATE ESTIMATION USING THE GREY MARKOV PREDICTION MODEL Omer Oala¹ ¹Marmara Uversty. omeroala@marmara.edu.tr

Detaylı

Süleyman Demirel Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Y.2008, C.13, S.1 s.111-131.

Süleyman Demirel Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Y.2008, C.13, S.1 s.111-131. Süleyman Demrel Ünverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Y.008, C.3, S. s.-3. BİREYSEL EMEKLİLİK FONLARINDA FON YAPILARININ KARMA DENEMELER YÖNTEMİ İLE İNCELENMESİ EXAMINING THE STRUCTURE OF FUNDS BY MIXTURE

Detaylı

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI TDK Temel Devre Kavramları ve Kanunları /0 TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI GĐRĐŞ: Devre analz gerçek hayatta var olan fzksel elemanların matematksel olarak modellenerek gerçekte olması gereken sonuçların

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Gülesen ÜSTÜNDAĞ BAZI PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLERİN İNCELENMESİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 005 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

Yatırım Projelerinde Kaynak Dağıtımı Analizi. Analysis of Resource Distribution in Investment Projects

Yatırım Projelerinde Kaynak Dağıtımı Analizi. Analysis of Resource Distribution in Investment Projects Uşak Üiversitesi Sosyal Bilimler Dergisi (2012) 5/2, 89-101 Yatırım Projeleride Kayak Dağıtımı Aalizi Bahma Alp RENÇBER * Özet Bu çalışmaı amacı, yatırım projeleride kayak dağıtımıı icelemesidir. Yatırım

Detaylı

BİLGİNİN EĞİTİM TEKNOLOJİLERİNDEN YARARLANARAK EĞİTİMDE PAYLAŞIMI

BİLGİNİN EĞİTİM TEKNOLOJİLERİNDEN YARARLANARAK EĞİTİMDE PAYLAŞIMI The Turkish Olie Joural of Educatioal Techology TOJET July 2005 ISSN: 106521 volume Issue Article 16 BİLGİNİN EĞİTİM TEKNOLOJİLERİNDEN YARARLANARAK EĞİTİMDE PAYLAŞIMI Yard. Doç. Dr. Bahadti RÜZGAR Marmara

Detaylı

Kİ-KARE VE KOLMOGOROV SMİRNOV UYGUNLUK TESTLERİNİN SİMULASYON İLE ELDE EDİLEN VERİLER ÜZERİNDE KARŞILAŞTIRILMASI

Kİ-KARE VE KOLMOGOROV SMİRNOV UYGUNLUK TESTLERİNİN SİMULASYON İLE ELDE EDİLEN VERİLER ÜZERİNDE KARŞILAŞTIRILMASI C.Ü. İktsad ve İdar Blmler Dergs, Clt 4, Sayı 1, 3 6 Kİ-KARE VE KOLMOGOROV SMİRNOV UYGUNLUK TESTLERİNİN SİMULASYON İLE ELDE EDİLEN VERİLER ÜZERİNDE KARŞILAŞTIRILMASI H. BİRCAN, Y. KARAGÖZ ve Y. KASAPOĞLU

Detaylı

İstanbul Göztepe Bölgesinin Makine Öğrenmesi Yöntemi ile Rüzgâr Hızının Tahmin Edilmesi

İstanbul Göztepe Bölgesinin Makine Öğrenmesi Yöntemi ile Rüzgâr Hızının Tahmin Edilmesi Makie Tekolojileri Elektroik Dergisi Cilt: 8, No: 4, 011 (75-80) Electroic Joural of Machie Techologies Vol: 8, No: 4, 011 (75-80) TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR www.tekolojikarastirmalar.com e-issn:1304-4141

Detaylı

MAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler

MAK312 ÖLÇME ve DEĞERLENDİRME OTOMATİK KONTROL LABORATUARI 1. Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlendiriciler MAK32 ÖLÇME ve DEĞELENDİME OTOMATİK KONTOL LABOATUAI Elektriksel Ölçümler ve İşlemsel Kuvvetlediriciler AMAÇLA:. Multimetre ile direç, gerilim ve akım ölçümleri, 2. Direç ölçümüde belirsizlik aalizii yapılması

Detaylı

Bölüm 5: Hareket Kanunları

Bölüm 5: Hareket Kanunları Bölüm 5: Hareket Kauları Kavrama Soruları 1- Bir cismi kütlesi ile ağırlığı ayımıdır? 2- Ne zama bir cismi kütlesi sayısal değerce ağırlığıa eşit olur? 3- Eşit kollu terazi kütleyi mi yoksa ağırlığı mı

Detaylı

AÇIK ĐŞLETME BASAMAKLARI TENÖR KONTROLÜNDE JEOĐSTATĐSTĐKSEL TAHMĐN MODELĐ SEÇĐMĐ

AÇIK ĐŞLETME BASAMAKLARI TENÖR KONTROLÜNDE JEOĐSTATĐSTĐKSEL TAHMĐN MODELĐ SEÇĐMĐ Eskişehir Osmagazi Üiversitesi Müh.Mim.Fak.Dergisi C.XXI, S., 2008 Eg&Arch.Fac. Eskişehir Osmagazi Uiversity, Vol..XXI, No:, 2008 Makalei Geliş Tarihi : 2.02.2007 Makalei Kabul Tarihi : 23.03.2007 AÇIK

Detaylı

MATEMATıciN ESTETiCi ÜZERINE ON AESTHETICS OF MATHEMATICS

MATEMATıciN ESTETiCi ÜZERINE ON AESTHETICS OF MATHEMATICS Hacettepe Üiversitesi Eğitim Fakültesi ergisi 22: 130-134 {2002} J. of [ Ed 22 MATEMATıciN ESTETiCi ÜZERINE ON AESTHETICS OF MATHEMATICS Cahit PESEN* ÖZET: Matematik, diziliş ve iç uyum ile karakterize

Detaylı