Sinüs ve kosinüs fonksiyonlar n geçmiflte bir seri olarak tan mlam flt k.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Sinüs ve kosinüs fonksiyonlar n geçmiflte bir seri olarak tan mlam flt k."

Transkript

1 58. Trigonometrik Fonksiyonlr ve Pi Sy s Sinüs ve kosinüs fonksiyonlr n geçmiflte bir seri olrk tn mlm flt k. Tn mlr n mstl m: 2i1 3 5 i x x x sin x ( 1) x i0 ( 2 i 1)! 3! 5! 2i 2 4 i x x x cos x ( 1) 1 i0 ( 2 i )! 2! 4! Tbii sl nd, tn mlr flöyle: 2i1 n i x sin x lim n ( 1), i0 ( 2 i 1)! 2i n i x cos x lim n ( 1). i0 ( 2 i )! Bu bölümde sinüs ve kosinüs fonksiyonlr n n temel birkç özelli ini bulc z ve sy s n tn mlyc z. Serilerin k smi toplm nd x = 0 l rsk, sin 0 = 0 ve cos 0 = 1 buluruz. Ayr c sin x ve cos x sy lr n n her x gerçel sy s için oldu- unu gözlemleyelim, yni yukrdki seriler her xiçin yk nskt r, htt mutlk yk nskt r. Bu D lembert K sts ndn he- 609

2 Trigonometrik Fonksiyonlr ve Pi Sy s men ç kr (bkz. Teorem 32.1). Doly s yl yukrdki sin ve cos serileri den ye giden birer fonksiyon tn mlrlr. Am noktsl yk nskl ktn çok dh iyisini kn tlm flt k geçen bölümde: sin x ve cos x serilerinin k smi toplmlr sin ve cos fonksiyonlr n her s n rl kümede düzgün yk nsrlr; doly - s yl sin ve cos fonksiyonlr her yerde süreklidir (Sonuç 57.5). Serilere bk nc hemen görülece i üzere, sin(x) = sin x ve cos(x) = cos x olur; örne in, 2i1 n i sin( ) lim ( ) ( x x ) n 1 i0 ( 2 i 1 )! 2i1 n i x lim n ( 1) sin x. i0 ( 2 i 1)! Yni sinüs tek bir fonksiyondur, kosinüs ise çift. Bir bflk deyiflle sinüs fonksiyonunun grfi i O(0, 0) nokts n göre simetriktir ve kosinüs fonksiyonunun grfi i y eksenine göre simetriktir. Bütün bunlrdn, sinüs ve kosinüs fonksiyonlr n x 0 iken nlmn n yeterli oldu unu gösterir. fiimdi çok yrrl iki eflitlik kn tlyl m: Teorem Her x, yiçin fl dki eflitlikler geçerlidir: sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x, cos(x + y) = cos x cos y sin y sin x. Kn t: Bu eflitlikler Teorem 31.6 d ç klnn Cuchy çrp m ndn ç kr. Cuchy çrp m n kullnrk sin x cos y ve sin y cos x serilerini hesplyl m ve bulduklr m z toplyl m. fins m z yver giderse sin(x + y) bulc z. Önce sin x cos y yi hesplmk mc yl, 2i i y x2i 0, y2i ( 1), ( 2 i )! 2i1 i x x2i1 ( 1), y2i 1 0 ( 2 i 1)!

3 58. Trigonometrik Fonksiyonlr ve Pi Sy s 611 ll m. O zmn, teoremdeki z k, i j k, tek, çift i j z k x i y j x y i jk i j olur. Doly s yl k çiftse z k = 0 d r. fiimdi k n n tek oldu unu vrsy p ve k yerine 2k+1 l p z 2k+1 i hesplyl m: k z2k1 x i y i ( ki) 2i1 2( ki) k i x ki y ( 1) ( 1) i0 ( 2 i 1)! ( 2( k i))! k ( 1) 2i1 2k2i k k x y ( 1). i0 ( 2 i 1)! ( 2 k 2 i )! 2i1 2k2i k ( 2k 1)! x y i0( 2i 1)!( 2k 2i)! ( 2k 1)! k ( 1) k 2k 1 2i1 2k2i x y. ( 2k 1)! i0 2i 1 Bu toplm flöyle de yzbiliriz: k ( 1) 2k 1 u v z2k1 x y 2k 1 uv2k1 u ( )!, tek u Demek ki Teorem 31.6 y göre, sin x cos y, yukrdki bu z 2k+1 lerin toplm d r. Bunu kl m zd tutup yn yöntemle sin y cos x serisini hesplyl m. Hesplr yeniden ypmy gerek yok; yukrdki formülde x ile y yi de ifltirelim: sin y cos x, fl dki t 2k+1 lerin toplm d r. t k ( 1) ( 2k 1)! 2k1 uv2k1, u tek k 2k 1 u y x u ( 1) 2k 1 u v x y 2k 1 uv2k1 u. ( )!, çift u Demek ki sin x cos y + sin y cos x, z 2k+1 ile t 2k+1 lerin toplm n n, yni, v

4 Trigonometrik Fonksiyonlr ve Pi Sy s k ( 1 2k 1 u v z2k1 t2k1 ) x y ( 2k1)! uv2k1 u 2k1 k xy ( 1) ( ) ( 2k1)! terimlerinin toplm ndn olufln seridir. Bu seri de elbette sin(x + y) nin serisidir. Birinci eflitlik kn tlnm flt r. kinci eflitlik de yn yöntemle ve kolyl kl kn tlnbilir. Bu formüllerde y yerine y y d x l rsk, sin(x y) = sin x cos y sin y cos x, cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y, sin(2x) = 2sin x cos x, cos(2x) = cos 2 x sin 2 x cos 2 x + sin 2 x= 1 formüllerini buluruz. (Not: Burd cos 2 x, (cos x) 2 nlm n gelmektedir.) Sonuç S = {x : sin x = 0} toplmsl bir gruptur, yni 0 bu kümededir ve bu kümeden iki elemn n frk ve toplm d bu kümededir. Özel olrk, Sise = 0 Solur. Kn t: Afl dki formüllerden hemen ç kr. sin(x y) = sin x cos y sin y cos x sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x Sonuç cos x ve sin x, 1 ile 1 rs ndd r. Kn t: cos 2 x + sin 2 x = 1 eflitli inin bir sonucudur. Önsv (0, 6) rl nd sinüs fonksiyonu pozitif de- erler l r. Kn t: sin x fonksiyonunun tn m nd terimleri ikifler ikifler gruplyl m. O zmn, sin x, terimleri

5 58. Trigonometrik Fonksiyonlr ve Pi Sy s 613 4i1 4i3 4i1 x x x 2 x 4i 1 4i 3 4i 1 1 ( )! ( )! ( )! 4i 2 4i 3 ( )( ) oln seriye (yni sonsuz toplm) eflittir. Bu terimlerin her birinin belli bir (0, ) rl nd pozitif olduklr n kn tlyc z, yni 2 x 1 ( 4i 2)( 4i 3) terimlerinin her i do l sy s için belli bir (0, ) rl nd pozitif olduklr n kn tlyc z. Am bu terimlerin en küçü ü i = 0 için bulunn terimdir. Demek ki, 1 x 2 /6 > 0 eflitsizli iyle bo uflml y z. = 6 lmk yeterli. Önsv Birsy s için, S = {x : sin x = 0} kümesi ye eflittir. Kn t: Önsv 58.4 e göre 0, S nin bir yo unlflm nokts olmz. Sonuç 58.2 ye göre S nin hiç yo unlflm nokts olmz. E er S = {0} ise = 0 lmk yeterli. Bundn böyle S nin {0} olmd n vrsyl m. S ise S oldu undn ve S nin yo unlflm nokts olmd ndn, S nin en küçük pozitif elemn vrd r. Bu elemn diyelim. Sonuç 58.2 ye göre S. Tersini kn tlyl m: S olsun. E er = 0 ise. Bundn böyle 0 olsun. yerine lrk, n n pozitif oldu unu vrsybiliriz. n = [/] ise, n / < n + 1 olur. Yni, n < (n + 1) olur ve doly s yl 0 n < ve, nsiçindeliklerinden doly, Sonuç 58.2 ye göre n = 0 ve = n = olur.

6 Trigonometrik Fonksiyonlr ve Pi Sy s Henüz yukrd bulunn sy s n n henüz 0 olmd n bilmiyoruz. Bunu d birzdn kn tlyc z. = () oldu- undn yi negtif olmyck biçimde seçebiliriz. Öyle ypl m, bundn böyle 0 olsun. Önsv Sinüs fonksiyonu 0 dn büyük bir sy d s f r de erini l r, yni > 0 d r. Kn t: Her x > 0 için sin x > 0 eflitsizli ini vrsyl m. O zmn, sin(2x) = 2sin x cos x denkleminden, x > 0 ise cos x > 0 ç kr; doly s yl, 0 < cos(2x) = cos 2 x sin 2 x bulunur, yni sin x < cos x. Ayr c, her x, y > 0 için, cos(x + y) = cos x cos y sin y sin x < cos x cos y cos x olur, ki bu d kosinüs fonksiyonunun 0 üzerinde zln oldu unu gösterir. Bu ve cos 2 x + sin 2 x = 1 denkleminden de sinüs fonksiyonunun 0 üzerinde rtn oldu unu nlr z. Teorem 52.1 den, lim x cos x ve lim x sin x limitlerinin oldu u orty ç kr. Bu limitlere s rs yl c ve s diyelim. Elbette 0 s c 1. Gene cos 2 x + sin 2 x = 1 eflitli inden doly c 2 + s 2 = 1 ç kr. cos(2x) = cos 2 x sin 2 x denkleminden de, c 2 s 2 = c ç kr. Bu iki denklemi toplrsk, 2c 2 c 1 = 0 buluruz. Çözersek c = 1 y d 1/2 ç kr, ki c 0 olmk zorund oldu undn, c = 1 bulunur. Am kosinüs 0 d 1 de erini l -

7 58. Trigonometrik Fonksiyonlr ve Pi Sy s 615 yor ve x rtt kç zl yor ve sonsuzd d 1 e yk ns yor. Bundn kosinüsün sbit 1 fonksiyonu oldu u ç kr. Demek ki sinüs de sbit 0 fonksiyonuymufl. Bu, Önsv 58.4 le çeliflir. Demek ki sinüs pozitif sy lrd 0 dn küçükeflit olbiliyor. Sinüs sürekli bir fonksiyon oldu undn, Arde er Teoremi nden doly, sinüsün pozitif bir sy d 0 de eri ld nlfl - l r. Demek ki > 0 imifl. nin S kümesinin en küçük pozitif sy s oldu un dikktinizi çekerim. Demek ki, = min {x > 0 : sin x = 0}. Bundn ve Önsv 58.4 ten, 6 bulunur. Teorem cos(/2) = 0, sin(/2) = 1, cos = 1. Ayr c her xiçin, sin(x + /2) = cos x, cos(x + /2) = sin x sin(x + ) = sin x, cos(x + ) = cos x, sin(x + 2) = sin x, cos(x + 2) = cos x olur. Ayr c sy s, herhngi bir xiçin, sin(x + 2) = sin x ve cos(x + 2) = cos x eflitliklerinin s lnd en küçük pozitif sy d r. Kn t: 0 = sin = 2sin(/2)cos(/2). Öte yndn /2, yni sin(/2) 0. Demek ki cos(/2) = 0. Bundn d sin(/2) = 1 ç kr. Am sin(/2) = 1 olsyd, sinüsün süreklili inden ve Önsv 58.4 ten doly, sinüsün 0 l /2 rs nd bir yerde, yni den küçük bir sy d 0 olms gerekirdi, ki bu mümkün de ildir. Demek ki sin(/2) = 1. Burdn d, cos = cos 2 (/2) sin 2 (/2) = 1

8 Trigonometrik Fonksiyonlr ve Pi Sy s ç kr. Devm edelim: sin(x + /2) = sin x cos (/2) + sin(/2) cos x = cos x ve benzer flekilde cos(x + /2) = cos x cos (/2) sin x sin(/2) = sin x. Bu eflitlikleri, = /2 + /2 yzrk iki def uygulrsk sin(x + ) = sin x, cos(x + ) = cos x elde ederiz. Son eflitlikleri, 2 = + yzrk iki def uygulrsk sin(x + 2) = sin x cos(x + 2) = cos x elde ederiz. Teoremin son k sm n gelelim. sy s, herhngi sbit bir x için, sin(x + 2) = sin x ve cos(x + 2) = cos x eflitliklerinin s lnd en küçük pozitif sy olsun. O zmn, cos(2) = cos((x + 2) x) = cos 2 x + sin 2 x = 1 olur. Bundn d 1 = cos(2) = cos 2 sin 2 = (1 sin 2 ) sin 2 = 1 2sin 2 ve sin = 0 ç kr. Di er trigonometrik eflitlikleri okur l flt rm olrk b rk - yoruz.

9 59. çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm Tn m D flbükey bir fonksiyon, fl d gösterildi i gibi grfi i çnk nten gibi yukr do ru oln bir fonksiyondur. y x D flbükey bir fonksiyon Am grfi i fl dki gibi oln bir fonksiyon d flbükey de- ildir: y x D flbükeylik gri bölgede bozuluyor; grfik gri lnd fl y dönük. 617

10 çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm Yukrdki örnekteki gibi bir fonksiyon d flbükey olms d fonksiyonun içbükey oldu u tn m bölgeleri olbilir. y x Fonksiyonun d flbükey oldu u bölgeler gri renkte. Bunlr grfi in yukr y dönük oln bölgeleridir. D flbükey fonksiyonun mtemtiksel tn m flöyle: I, nin bir rl ve ƒ : I bir fonksiyon olsun. E er I dn l nn her < x < b elemnlr için, ƒ(x) de eri, fl dki flekilde gösterilen u sy s ndn küçükeflitse, o zmn ƒ ye denir. y ƒ() u ƒ(x) ƒ(b) x b x Tn mdki u sy s n n ns l belirlendi i herhlde flekilden nlfl l yordur: u sy s, (, ƒ()) nokts yl (b, ƒ(b)) nokts ndn geçen kiriflin üstündeki, birinci koordint x oln nokts - n n ikinci koordint. ile b rs ndki her x nokts, bir ve bir tek t (0, 1) sy s için, x = (1 t) + tb (1) olrk yz lbilir. Nitekim (1) eflitli inin s lnms için, koly bir hespl görülebilece i üzere,

11 59. çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm 619 t x ( 2) b lmk yeterli ve gereklidir. Bunun tersi de do rudur: Her t (0, 1) sy s için, (1 t) + tb sy s ile b rs ndd r. fiimdi, d flbükeylik tn m n biçimsel olrk verebiliriz: I ve ƒ yukrdki gibi olsunlr. E er her, b I ve her t (0, 1) için, ƒ((1 t) + tb) (1 t)ƒ() + tƒ(b) (3) ise, o zmn ƒ fonksiyonun denir. y ƒ() (1 t)ƒ()+ tƒ(b) ƒ((1 t)+ tb) ƒ(b) (1 t)+ tb b x (3) formülünde (1) ve (2) formüllerini kulln rsk, d flbükeyli e eflde er bir tn m elde ederiz: Her x (, b) için, ( x) x ( ) b x b ( ) ( 4 b b ) Birz dh fl k bir formülsyon flöyle: ƒ nin d flbükey olms için yeter ve gerek koflul, her, b I için ve toplm 1 oln her pozitif, sy lr için, ƒ( + b) ƒ() + ƒ(b) (5) eflitsizli idir. Dikkt: D flbükey bir fonksiyonun tn m kümesinin her zmn bir rl k oldu u vrsy l r.

12 çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm Örnek x 1/ x kurl yl tn mlnn g : >0 fonksiyonu d flbükeydir. Ayn kurll tn mlnn h : <0 fonksiyonu d d flbükeydir. Am tn m kümesi bir rl k olmd ndn, gene yn kurll tn mlnn ƒ : \ {0} fonksiyonunun d flbükey olup olmd sorusu sorulmz. y = h(x) = 1/ x y = g(x) = 1/ x ƒ(x) = 1/ x kurl yl tn mlnm fl ƒ : \ {0} fonksiyonu iki d flbükey prçdn oluflms n krfl n d flbükey de il. Örnek ƒ(x) = x 2 formülüyle tn mlnn fonksiyon bütün üzerine d flbükeydir. Bunu kn tlmk için, her t(0, 1) için, ((1 t) + tb) 2 (1 t) 2 + tb 2 eflitsizli ini kn tlmm z lz m. Hesplrdn korkmzsn z ve /b yerine x koyrsn z, eflitsizli in her ve b için do ru oldu- unu kn tlmk çok koly. ƒ fonksiyonun içbükey olms demek, ƒ fonksiyonunun d flbükey olms demektir; bir bflk deyiflle (3), (4) ve (5) eflitsizliklerinin ters çevrilmesi, yni fonksiyonun fl y dönük olms demektir. E er tn mdki eflitsizlikleri ( ) keskin eflitsizliklere (<) dönüfltürürsek, keskin içbükey ve keskin d flbükey kvrmlr n ulfl r z.

13 59. çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm 621 D flbükeyli in (doly s yl içbükeyli in de) eflde er bir tn - m fl d. Önsv I, nin bir rl ve ƒ : I bir fonksiyon olsun. ƒ nin d flbükey bir fonksiyon olms için gerek ve yeter koflul, I n n < x < b eflitsizliklerini s lyn her, x, b elemnlr için, ( x) ( ) ( b) ( x) x b x eflitli inin s lnms d r, yni, fl dki flekilde görüldü ü gibi, kirifllerin e iminin s gittikçe rtms d r. y = ƒ(x) x b Kn t: ƒ nin d flbükey oldu unu vrsyl m. t x b olsun. O zmn, x = (1 t) + tb olur. D flbükeyli in tn m ndn, ( x) b x ( ) x ( b b b ) ç kr. Bu eflitsizlikten ƒ() ç kr rsk, ( x) ( ) ( b) ( ) x b elde ederiz. lk eflitsizlikten bu sefer ƒ(b) ç kr rsk, ( x) ( b) ( ) ( b) b x b

14 çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm elde ederiz. Son iki eflitsizlik istedi imizi verir. fiimdi koflulun s lnd n vrsyl m. Kofluldn ƒ(x) i tecrit etti imizde, ynen ( x) b x ( ) x b ( b b b ) koflulunu elde ederiz. E er t yukrdki gibiyse, bu d tm tm n (3) kofluludur D flbükeylik ve Süreklilik D flbükey ve içbükey fonksiyonlr çok vhfli fonksiyonlr olmz, örne in zorunlu olrk süreklidirler. Teorem D flbükey ve içbükey fonksiyonlr süreklidirler. Kn t: I, nin bir rl ve ƒ : Id flbükey bir fonksiyon olsun. b I olsun. I dn < b < c eflitsizliklerini s lyn ve c sy lr seçelim. x(b, c) rstgele olsun. < b < x oldu- undn, (4) formülünden (x le b nin yerlerini de ifltirirerek), ( b) b ( ) x b x ( x x ) elde ederiz. Burdn d ( x) x ( b ) b x b b ( ) ç kr. Ayr c b < x < c oldu undn, gene (4) eflitsizli inden, ( x) x b ( ) c b c c x c b ( b) buluruz. Demek ki, x b x x b b x b b c b c c x ( ) ( ) ( ) ( ) cb ( b). fiimdi, bu formülde, b < x < c eflitsizli ini bozmdn x i b ye götürelim. Sol ve s trflr ƒ(b) ye eflit olurlr ve ( b ) lim ( x ) ( b x b ),

15 59. çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm 623 yni ç kr. Benzer flekilde, ( b) lim ( x) x b eflitli i kn tln r. Demek ki, lim xb ƒ(x) = ƒ(b) ve ƒ sürekli. çbükey fonksiyonlr için kn t benzerdir. ( b) lim ( x) x b D flbükey Fonksiyonlr n Çrp m ki d flbükey fonksiyonun çrp m d flbükey midir? Yn t, net bir hy r! Örnek 1. ƒ(x) = x 2 ve g(x) = 1 fonksiyonlr d flbükeydir m ƒ g çrp m d flbükey olmd gibi keskin içbükeydir. Örnek 2. ƒ(x) = x 2 ve g(x) = x fonksiyonlr d flbükeydir m ƒ g çrp m d flbükey de ildir. Bu iki örne e dikktlice bkrsk, sorunun fonksiyonlrdn birinin bzen negtif de erler lms nd ytt n snbiliriz. Sorun burd ytm yor, pozitif d flbükey fonksiyonlr n çrp m d d flbükey olmybiliyor: Örnek 3. ƒ(x) = x 2 ve g(x) = (x 1) 2 fonksiyonlr d flbükeydir m ƒ g çrp m d flbükey de ildir. Nitekim e er = 0, b = 1 olrk l rsk ve t (0, 1) herhngi bir sy ys, (ƒ g)((1 t) + tb) = (ƒ g)(t) = t 2 (t 1) 2 ve (1 t)(ƒ g)() + t(ƒ g)(b) = 0 olur. Demek ki, (ƒ g)((1 t) + tb) > (1 t)(ƒ g)() + t(ƒ g)(b)

16 çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm olur ve ƒ g fonksiyonu d flbükey olmz. Gene de d flbükey fonksiyonlr n çrp m hkk nd bir teorem do ru. Sdece heyecn ktmk mc yl de il, dh pedgojik olms için teoremin önce kn t n verelim, önermesini dh sonr yzr z. ki pozitif ve d flbükey fonksiyon ll m: ƒ ve g. Bunlr n çrp m n n d flbükey oldu unu kn tlmk istiyoruz. Bu sonucun ynl fl oldu unu bildi imizden, kn tlmk istiyoruz yerine kn tlmy çl fll m demek dh z ynl fl olurdu. ve b tn m rl ndn iki sy olsun. t (0, 1) rstgele olsun. t(ƒ g)() + (1t)(ƒ g)(b) (ƒ g)(t + (1t)b), yni tƒ()g() + (1 t)ƒ(b)g(b) ƒ(t + (1t)b) g(t + (1t)b) (*) eflitsizli ini kn tlmk istiyoruz. ƒ ve g nin d flbükey oldu unu bildi imizden, tƒ() + (1t)ƒ(b) ƒ(t + (1t)b), tg() + (1t)g(b) g(t + (1t)b), eflitsizliklerini biliyoruz. ƒ ve g fonksiyonlr pozitif olduklr ndn, bu iki eflitsizli i trf trf çrp p, [tƒ() + (1t)ƒ(b)][tg() + (1t)g(b)] ƒ(t + (1t)b) g(t + (1t)b) eflitsizli ini elde ederiz. Demek ki (*) eflitsizli ini kn tlmk için, tƒ()g() + (1t)ƒ(b)g(b) [tƒ() + (1t)ƒ(b)][tg() + (1t)g(b)] eflitsizli ini kn tlmk yeterli. Bu son eflitsizlik de, tƒ()g() + (1t)ƒ(b)g(b) t 2 ƒ()g() + (1t) 2 ƒ(b)g(b) + t(1t)(ƒ()g(b) + ƒ(b)g()) eflitsizli ine denk. Eflitsizli in s ndki ilk iki terime sol geçirip, pozitif oln tt 2 terimlerini sdelefltirirsek, son eflitsizli in ƒ()g() + ƒ(b)g(b) ƒ()g(b) + ƒ(b)g() eflitsizli ine denk oldu unu görürüz. Bu d, (ƒ() ƒ(b))(g() g(b)) 0

17 59. çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm 625 eflitsizli ine denktir. Bu eflitsizlik de ƒ() > ƒ(b) g() > g(b) nlm n gelir. Bir teorem kn tld k. Teorem E er ƒ ve g fonksiyonlr pozitif ve d flbükeylerse ve her, b için ƒ() > ƒ(b) g() > g(b) ise, o zmn ƒ g de d flbükeydir. Doly s yl ƒ pozitif ve d flbükeyse ve n ise ƒ n fonksiyonu d d flbükeydir; özel bir durum olrk, x x n fonksiyonu d flbükeydir Üs Almn n Bükeyli i Asl nd, bu bölümde kn tlyc m z üzere, her r 1 gerçel sy s için, x x r fonksiyonu d flbükeydir. (Teorem 59.3 ten doly bunu [1, 2) rl ndki r sy lr için kn tlmk yeterli. Am bu vntjdn yrrlnmm z gerek klmyck.) Bir sonrki sonuç, x x r fonksiyonunun her r 1 kesirli sy s için d flbükey oldu unu söylüyor. Arks gelecek: Teorem 59.5 ve Önsv E er r 1 bir kesirli sy ys x x r fonksiyonu üzerine d flbükeydir. Kn t [Görkem Özky]: Bir r = p/q 1 kesirli sy s seçelim. Burdki p ve q sy lr pozitif do l sy lrd r ve q p dir. ƒ(x) = x r olsun. Sv Her x için, 1 rx 1 x r. Kn t: E er x [0, 1] ise, eflitsizlik Teorem 38.2, Sv 1 de kn tlnm flt r. E er x > 1 ise, 1 rx 1 r 0 < 1 x r olur. E er x < 0 ise, y = x > 0 tn m n yp p, 1 + ry (1 + y) r eflitsizli ini kn tlmm z gerekti ini görürüz. r yerine p/q ll m:

18 çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm p 1 1 q y y p eflitsizli ini kn tlml y z. Her iki trf n d binom ç l m n yprsk, eflitsizli ini kn tlmm z gerekti ini görürüz. Am q p ve 0 < y oldu undn, q i q p i q y i q p i y i i i 0 0 i eflitsizli ini kn tlmm z yeterli. Bu son eflitsizli i kn tlmk için de, her i = 0, 1,..., q için q i p p i i q i eflitsizli ini, yni sdelefltirerek, 1 q! 1 p! i q ( q i)! i p ( p i)! ve bir def dh sdelefltirerek, q( q1) ( q( i1)) p( p1) ( p( i1)) i i q p ve bir def dh sdelefltirerek, q q i q p i q y i p p i y i i i 0 0 i i i q q q p p p eflitsizli ini kn tlmm z gerekti ini görürüz. Her prntezin pozitif bir sy oldu un dikktinizi çekeriz. Demek ki, her j = 1, 2,..., i 1 için, j j 1 1 q p eflitsizli ini kn tlmk yeterli. Am p q oldu undn, bu d briz. Sv kn tlnm flt r.

19 59. çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm 627 Sv Her c gerçel sy s için, öyle u ve v gerçel sy - lr vrd r ki, c (x) = ux + v tn m n yprsk, her x için ƒ(x) c (x) ve ƒ(c) = c (c) olur. Kn t: c = 0 ise u = v = 0 ll m. Bundn böyle c0 olsun. Birinci svd x yerine 1 x/c koyl m. Birz hespl, r c x r c r ( 1 r) x r ( x) c elde etti imizi görürüz. E er x = c ise eflitlik elde edilir. fiimdi, u r c r r ve v = c ( 1 r) c olsun. Önsv 59.4 ün Kn t n n Sonu: Her c gerçel sy s için yukrdki gibi do rusl bir c fonksiyonu seçelim. c nin Sv d belirtilen özelliklerinden doly, ƒ(x) = mx{ c (x) : c } = x (x) olur. c fonksiyonlr do rusl olduklr ndn d flbükeydirler ve d flbükey fonksiyonlr n mksimumu d flbükeydir deyip kn t bitirebiliriz m bunun yr nt lr n girelim ki herhngi bir kuflku klms n: Her t [0, 1] ve b gerçel sy lr için, ƒ((1 t) + tb) = mx{ c ((1 t) + tb) : c } mx{(1 t) c () + t c (b)) : c } (1 t)mx{ c () : c } + tmx{ c (b)) : c } = (1 t)ƒ() + tƒ(b). Kn t m z tmmlnm flt r. Nihyet, istedi imiz sonucun yr s n kn tlybiliriz: Teorem E er r 1 bir gerçel sy ys x x r fonksiyonu üzerine d flbükeydir, doly s yl süreklidir.

20 çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm Kn t: Limiti r oln bir (q n ) n kesirli sy dizisi için, r yi ( q n) n sy dizisinin limiti olrk tn mlm flt k (Bölüm 49). Limit lm eflitsizlikleri korudu undn, teorem bir önceki önsvdn ç kr. Bu fonksiyonlr n grfikleri fl d. ƒ(x) = x 3 ƒ(x) = x 2 ƒ(x) = x r büyüdükçe, x x r fonksiyonu (1, 1) rl nd yss lfl r; bu rl n d fl nd ise dh h zl yklfl r exp Fonksiyonunun D flbükeyli i fiimdi de meflhur exp fonksiyonunun d flbükey oldu unu kn tlyc z. ƒ(x) = exp x 1

21 59. çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm 629 Teorem exp fonksiyonu d flbükeydir; doly s yl süreklidir. Kn t: < b ve t(0, 1) için, (1 t)exp + t exp b exp((1 t) + tb) eflitsizli ini kn tlml y z. Bu eflitsizli i, (1 t)e + te b e (1t) + tb biçiminde yzrsk birz dh l fl k oldu umuz bir yz l m kvufluruz. Her iki trf d e y bölersek, bun denk oln (1 t) + te b et(b ) eflitsizli ini elde ederiz. Son olrk, c = b yzrsk, kn tlmm z gereken eflitsizlik, (1 t) + te c e tc olrk k sl r. fiimdi e c yerine tn m oln c i 0 i! yzl m. Böylece kn tlmk istedi imiz eflitsizlik, i 1 t t c t c i0 i0 i! i! eflitsizli ine dönüflür. Bu eflitsizlikte soldki t sy lr ve her iki trft d bulunn 1 sy lr n sdeleflir. Bu sdeleflmeyi yprsk, i c t c t i1 i1 i! i! elde ederiz. Bu eflitsizli i kn tlmk için, her i 1 için, soldki serinin i inci teriminin s dki serinin i inci teriminden küçükeflit oldu unu kn tlmk yeterli. Bu d t t i demektir, ki 0 < t < 1 oldu undn bu eflitsizlik do rudur Ters Fonksiyonun Bükeyli i Bir vey birkç fonksiyonun d flbükeyli inden yol ç krk bflk fonksiyonlr n d fl y d içbükeyli ini kn tlybiliriz miyiz? Evet. ƒ d fl/içbükeyse, tn mdn doly ƒ iç/d flbükeydir. D fl/ çbükey fonksiyonlr n toplm d fl/içbükeydir. i i i i i

22 çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm ƒ ve g d flbükey fonksiyonlrs mx{ƒ, g} fonksiyonu d flbükeydir. (Am min{ƒ, g} d flbükey olmybilir.) ƒ d fl/içbükeyse, her ve b sy s için ƒ(x + b) fonksiyonu d d fl/içbükeydir. Am ƒ d flbükeyse, ƒ hep pozitif de erler ls bile, 1/ƒ hkk nd genellikle pek bir fley söyleyemeyiz. Mesel ƒ(x) = 1 + x 2 fonksiyonu d flbükeydir m 1/ƒ ne içbükey ne de d flbükeydir (bkz. bir sonrki flekil). ƒ(x) = 1 + x g(x) = 1 + x 2 d flbükey 1 içbükey 1 d flbükey E er ƒ : IJ içbükey bir efllemeyse, ƒ nin tersi oln ƒ 1 : JI fonksiyonunun d flbükey y d içbükey olms gerekti ini söyleyebilir miyiz? Hy r. Örne in ƒ(x) = x 2 formülüyle tn mlnm fl ƒ : <0 >0 fonksiyonu ve tersi oln ƒ 1 (x) = x fonksiyonu d flbükeydir (neden?) Öte yndn exp : >0 fonksiyonu d flbükey bir efllemedir (Teorem 59.6) m tersi oln log fonksiyonu içbükeydir (kn t birzdn). Afl dki teorem, d flbükey bir fonksiyonun tersinin iç y d d flbükeyli i hkk nd bir bilgi veriyor.

23 59. çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm 631 Teorem I ve J, nin iki ç k rl olsun. ƒ : IJ d flbükey bir fonksiyon olsun. E er ƒ rtns ƒ 1 içbükeydir. E er ƒ zlns ƒ 1 d flbükeydir. Teoremi kn tlmdn önce d fl/içbükeyli in tn m n denk bir bflk koflul bull m. Önsv I, nin bir rl ve ƒ : I bir fonksiyon olsun. ƒ nin d flbükey bir fonksiyon olms için gerek ve yeter koflul, I n n her x 1 < x < x 2 elemnlr için, eflitli inin s lnms d r. ( x) ( x1) ( x2) ( x) x x1 x2 x y = ƒ(x) x 1 x x 2 Kn t: ƒ nin d flbükey oldu unu vrsyl m. x x1 t x2 x1 olsun. O zmn, x = (1 t)x 1 + tx 2 olur. D flbükeyli in tn m ndn, x2 x x x1 ( x) ( x1) ( x2) x2 x1 x2 x1 olur. Bu eflitsizlikten ƒ(x 1 ) ç kr rsk, ( x) ( x1) ( x2) ( x1) x x1 x2 x1

24 çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm elde ederiz. Ayn eflitsizlikten bu sefer ƒ(x 2 ) ç kr rsk, ( x) ( x2) ( x1) ( x2) x2 x x2 x1 elde ederiz. Son iki eflitsizlik istedi imizi verir. fiimdi koflulun s lnd n vrsyl m. Kofluldn ƒ(x) i tecrit etti imizde, ynen x2 x x x1 ( x) ( x1) ( x2) x2 x1 x2 x1 koflulunu elde ederiz. E er t yukrdki gibiyse, bu d ynen (3) kofluludur. Teorem 59.7 nin Kn t : Önsv 59.8 i uygulyc z. J den y 1 < y < y 2 sy lr n seçelim. x 1, x, x 2 sy lr, I dn ƒ(x 1 ) = y 1, ƒ(x) = y, ƒ(x 2 ) = y 2 olck biçimde seçilsin. ƒ nin rtn oldu unu vrsyl m. O zmn x 1 < x < x 2 olur. ƒ d flbükey oldu undn, Önsv 59.8 e göre y y1 y2 y x x1 x2 x eflitsizli i geçerlidir. Py ve pyddki tüm terimler pozitif olduklr ndn, x x1 x2 x y y1 y2 y elde ederiz. Bu d ynen Önsv 59.8 e (y d benzerine) göre, ƒ 1 içbükey demektir. kinci önermenin kn t yn d r. Teorem E er 0 < r < 1 bir gerçel sy ys x x r fonksiyonu >0 üzerinde içbükeydir, doly s yl süreklidir.

25 59. çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm 633 Kn t: Her x 0 için (x r ) 1/r = x ve (x 1/r ) r = x oldu undn, >0 rl ndn rl n giden x x r fonksiyonunun tersi x x 1/r fonksiyonudur. Sonuç flimdi Teorem 59.3 ve 59.7 den hemen ç kr Yerel/Globl Minimum/Mksimum D fl/içbükey fonksiyonlr, nlizin vzgeçilmezi oln eflitsizlikleri kn tlmk için çok güçlü bir kvrmd r. Birçok uygulms n görece iz. Xve ƒ : Xbir fonksiyon olsun. E er her x X için ƒ(x) ƒ() oluyors, y ƒ nin minimumu y d globl minimumu d verilir. Bu durumd ƒ() y ƒ nin minimum de- eri d verilir. E er y içeren ç k bir I rl için, ƒ(x) ƒ() koflulu her xxi için s ln yors, y yerel minimum d verilir. Globl minimum her zmn bir yerel minimumdur elbet m tersi do ru olmk zorund de ildir. Yerel ve globl mksimum ve mksimum de er benzer flekilde tn mln r. y = ƒ(x) b c, b ve c yerel minimumlr. ve c globl minimum de iller. E er tn m kümesi görünenden ibretse b globl minimumdur. Teorem I bir rl k ve ƒ : Id flbükey bir fonksiyon olsun. i. Her yerel minimum yn zmnd globl bir minimumdur ve e er keskin d flbükeyse ƒ nin en fzl bir globl minimumu vrd r.

26 çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm ii. E er keskin d flbükeyse ƒ nin mksimum de erini veren noktlr nck I n n uç noktlr olbilirler. Kn t: i., ƒ nin yerel minimumu olsun. J, her xij sy s için ƒ(x) ƒ() eflitsizli inin s lnd y içeren ç k bir rl k olsun. xiherhngi bir elemn olsun. O zmn, öyle bir 0 < vrd r ki, her t(0, ) sy s için, (1 t) + txij olur. Demek ki, (1 t)ƒ() + tƒ(x) ƒ((1 t) + tx) ƒ(), yni (1 t)ƒ() + tƒ(x) ƒ(), olur. Bundn d, briz sdelefltirmelerden sonr, ƒ(x) ƒ() ç - kr. Demek ki globl minimummufl. fiimdi ve b, minimum de eri veren iki de iflik sy olsun. ve b globl minimum olduklr ndn, ƒ() = ƒ(b) dir. Her t (0, 1) sy s için, ƒ((1 t) + tb) (1 t)ƒ() + tƒ(b) = (1 t)ƒ() + tƒ() = ƒ() ƒ((1 t) + tb), yni ƒ((1 t) + tb) = ƒ() olur. Demek ki ƒ, ile b rs nd bir sbittir. Am bu d keskin d flbükeylikle çeliflir. ii. fiimdi n n I n n içinde oln yerel bir mksimum oldu unu vrsyl m. O zmn I n n içinde öyle bir ç k J rl vrd r ki, b < < c eflitsizliklerini s lyn her b, cjsy lr için, ƒ(b) < ƒ() ve ƒ(c) < ƒ() olur. Böyle b ve c sy lr seçelim. = (1 t)b + tc eflitli ini s lyn bir t (0, 1) ll m. D flbükeyli in tn m ndn doly, ƒ()= ƒ((1 t)b + tc) (1 t)ƒ(b) + tƒ(c) mx{ƒ(b), ƒ(c)} ƒ() olur. Demek ki ƒ() = mx{ƒ(b), ƒ(c)}. Ayr c e er ƒ(b) ƒ(c) ise,

27 59. çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm 635 ƒ()= ƒ((1 t)b + tc) (1 t)ƒ(b) + tƒ(c) < mx{ƒ(b), ƒ(c)} ƒ() olur, bir çeliflki. Demek ki ƒ(b) = ƒ() = ƒ(c) ve ƒ, J üzerinde sbit de er ln bir fonksiyon. Bu d ƒ nin keskin d flbükeyli iyle çeliflir. b b d flbükey bir ltküme d flbükey olmyn bir ltküme Al flt rmlr 1. E er p 1 ve, b > 0 ise, ( + b) p 2 p1 p + 2 q1 b q eflitsizli ini kn tly n. 2. E er bir I rl üzerine tn mlnm fl bir ƒ sürekliyse ve her, biiçin, b ( ) ( b ) 2 2 eflitsizli ini s l yors ƒ nin d flbükey oldu unu kn tly n. 3 [D flbükey Kümeler]. A 2 olsun. E er her, baiçin, ve b rs ndki do ru prçs d A n n içindeyse, A y d flbükey denir. (Bu kvrm kolyl kl n boyutlu n uzy n geniflletilebilir.) Bir bflk deyiflle, e er her, b A ve her t (0, 1) için, (1 t) + tb A ise A y d flbükey denir. (Burd, b = (b 1, b 2 ) ise, tb = (tb 1, tb 2 ) olrk tn mlnm flt r.) 2 elbette d flbükeydir. 3. E er A bir rl ks ve ƒ : I d flbükeyse, ƒ nin grfi inin üstünde kln noktlr kümesinin, yni {(x, y) 2 : y > ƒ(x)} kümesinin d flbükey oldu unu kn tly n.

28 çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm 3b. Sonlu y d sonsuz sy d d flbükey kümenin kesifliminin d flbükey oldu unu kn tly n. 3c. E er A 2 ise, A y içeren tüm d flbükey kümelerin kesifliminin, A y içeren d flbükey bir küme oldu unu kn tly n. Bu kümeye A n n d flbükey zrf dersek ve bu kümeyi dbz(a) olrk gösterirsek, dbz(a) n n A y içeren en küçük d flbükey küme oldu unu kn tly n (yni dbz(a), A y içeren her d flbükey kümenin ltkümesidir.) 3d. fiu özellikleri kn tly n: i. Adbz(A), ii. dbz(dbz(a)) = dbz(a), iii. dbz(ab) = dbz(a) dbz(b), iv. dbz() =. 3e. Afl dki üç fleklin herbirinin d flbükey zrf n bulun. 3f. A 2 olsun. A n n d flbükey olms için, Her x 1,..., x n A ve toplm 1 oln her t 1,..., t n (0, 1) için t 1 x t n x n elemn A dd r koflulunun yeter ve gerek oldu unu kn tly n. 3g. Yukrdki kofluldki gibi bir t 1 x t n x n nokts n x 1,..., x n noktlr n n d flbükey kombinsyonu d verilir. A 2 olsun. A n n noktlr n n tüm d flbükey kombinsyonlr kümesinin A n n d flbükey zrf oldu unu kn tly n. 3h. A 2 olsun. A n n tüm üç nokt kümelerinin tüm d flbükey kombinsyonlr kümesinin A n n d flbükey zrf oldu unu kn tly n. 3i. A, B 2 ve tolsun. A + B = { + b : A, bb} ve ta = {t : A}

29 59. çbükey - D flbükey Fonksiyonlr ve Üs Alm 637 olsun. E er A ve B d flbükeyse bu kümelerin de d flbükey olduklr n kn tly n. A n n d flbükey olms n n, her t(0, 1) için (1 t)a + taa içindeli inin yeter ve gerek oldu unu kn tly n. 4. A 2 d flbükey bir küme ve ƒ : Abir fonksiyon olsun. ƒ nin d flbükey olms n n tn m n verin. E er ƒ d flbükeyse her u için, {x : ƒ(x) < u} ve {x : ƒ(x) u} seviye kümelerinin d flbükey olduklr n kn tly n. 5. Yukrdki iki l flt rmy 2 den n ye genellefltirin. 6 [Crthéodory Teoremi]. A n olsun. A n n tüm üç noktlr n n tüm d flbükey kombinsyonlr n n kümesinin A n n d flbükey zrf oldu unu kn tly n. 7. 1,..., n ve olsun. {(x 1,..., x n ) n : 1 x n x n < }, {(x 1,..., x n ) n : 1 x n x n }, {(x 1,..., x n ) n : 1 x n x n = } kümelerinin d flbükey olduklr n kn tly n. Bundn, herhngi bir sy d do rusl eflitli in y d eflitsizli in ortk çözümleri kümesinin d flbükey oldu unu kn tly n.

Limit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit

Limit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit Kpk Konusu: Gerçel S lr V: Süreklilik Limit Limit v = ƒ() Bir bflk örne e bkl m. < c < b olsun. ƒ: [, b] \ {c}, grfi i fl dki gibi oln bir fonksion olsun. Fonksion c nokts nd tn mlnmm fl. Os fonksion c

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Fen Liseleri Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Fen Liseleri Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar Mtemtik ünys, 005 Güz o ufl Ünirsitesi Mtemtik Kulübü en Liseleri Yr flms 005 Soru Yn tlr 1. 005 006 sy s n n 11 e bölümünden kln kçt r? Çözüm: 005 3(mod 11) oldu undn 005 006 3 006 = (3 5 ) 401 3 3 (mod

Detaylı

Bir a C temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [a] gerçel

Bir a C temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [a] gerçel 14. Gerçel Sy lrd Dört fllem Bir temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [] gerçel sy s n götüren ƒ : fonksiyonunu ele ll m: ƒ() = []. Bu fonksiyon elette örtendir. flte resmi:......... ƒ ƒ() = [] =

Detaylı

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi

Kesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı

Detaylı

S ralama. Kapak Konusu: S ralamalar

S ralama. Kapak Konusu: S ralamalar Mtemtik Dünys, 00 K fl Kpk Konusu: S rlmlr S rlm x lk yz d her fleyin s rlnmyc n gördük. Am bu, hiçbir fley s rlnmz nlm n gelmez tbii ki. Bz fleyler bl gibi s rln r. Örne in ÖSS s nv sonuçlr n göre gençlerimiz

Detaylı

1.BÖLÜM SORU. (x+3) (4x 2 13) = 3(x+3) denklemini sa layan x de- erlerinin çarp m kaçt r? x+3 kümesi afla dakilerden hangisidir?

1.BÖLÜM SORU. (x+3) (4x 2 13) = 3(x+3) denklemini sa layan x de- erlerinin çarp m kaçt r? x+3 kümesi afla dakilerden hangisidir? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin u s s nd kinci Dereceden Denklemler, Eflitsizlikler ve Prol konusund çözümlü sorulr er lmktd r. Bu konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik ollr,

Detaylı

Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler

Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler Mtemtik Düns, 2005 Yz Kpk Konusu: Konikler Geçen z d, ir koni in denkleminin, düzlemin eksenlerini döndürerek ve öteleerek, 0, c ve ƒ sitleri için, 2 + c 2 = 0, 2 = ƒ, 2 + c 2 = 1, d = 2 içiminde z lilece

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. Reel say larda her a ve b için a 2 b 2 = (a+b) 2 2ab biçiminde bir ifllemi tan mlan yor.

1.BÖLÜM SORU SORU. Reel say larda her a ve b için a 2 b 2 = (a+b) 2 2ab biçiminde bir ifllemi tan mlan yor. .BÖLÜM MATEMAT K Derginin u sy s n fllem ve Moüler Aritmetik konusun çözümlü sorulr yer lmkt r. Bu konu, ÖSS e ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içine

Detaylı

Hiperbolde Yolculuk (ve Poncelet Teoremleri)

Hiperbolde Yolculuk (ve Poncelet Teoremleri) Kpk Konusu: oncele Teoremleri Hiperbolde Yolculuk (ve oncele Teoremleri) Bu yz d hiperbolleri ele lc z. Tek bfl n... Yz m zdki her fley. Nzmi lker le Nâz m Terzio lu nun yzd Konikler [fiirkei üreibiye

Detaylı

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre,

TEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre, TI BSINCI TEST - 1 1 1 π dir π Bun göre, 4 > 1 CEV B de ve cisimlerinin e ypt klr s nçlr eflit oldu un göre, SX S Z + 4 8 S Y I II III CEV B Tu llr n X, Y ve Z noktlr n ypt s nç, X S Y S Z S dir Bun göre,

Detaylı

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.

BÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a. MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir

Detaylı

Fonksiyonlara Genel Girifl

Fonksiyonlara Genel Girifl Mtemtik Dünys, 00 K fl Kpk Konusu: Fonksiyonlr Fonksiyonlr Genel Girifl. Tn m. Fonksiyon kvrm n n mtemti in en önemli kvrmlr nn iri olu unu söylemek fonksiyon kvrm n üyük hks zl k olur. Fonksiyon, mtemti

Detaylı

ege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16

ege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16 Orn Ornt Özellikleri TEST : 91 1. 0,44 0,5 = 0,22 5. + 3 = 5 2 2. 3. 4. oldu un göre, kçt r? A) 0,2 B) 0,25 C) 0,5 D) 0,6 E) 0,75 y = 3 4 + y oldu un göre, y orn kçt r? A) 7 B) 1 C) 1 D) 7 E) 10 oldu un

Detaylı

Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullanabiliriz? Alan tahmin etmede kullanabiliriz.

Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullanabiliriz? Alan tahmin etmede kullanabiliriz. 4.1 Aln Neler Ö renece iz? Geometrik flekillerin lnlr n hesplyc z. Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullnbiliriz? Aln thmin etmede kullnbiliriz. Söz Vrl Prlelkenrsl bölge Bir y içinde yklfl k lt metre krelik

Detaylı

Süreklilik. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit

Süreklilik. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit Mtemtik Düns, 2008-III Mtemti in en önemli ve en temel konulr ndn birine geldik: Süreklilik. Her zmnki gibi öne kvrm n sezgisel nlm n ç kll m. Bz fonksionlr n grfi inde kopukluk oktur, bz lr nd ise tm

Detaylı

FONKS YONLAR. Fonksiyon. Fonksiyon Olma Şartları. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

FONKS YONLAR. Fonksiyon. Fonksiyon Olma Şartları. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu FONKS YONLR Fonksion ve o olmn iki küme olsun. krtezen çrp m n n lt kümelerine nt denir. u nt lrdn dki rtlr s lnlr kümesinden kümesine tn mlnm onksion denir. Fonksionlr genelde, g, h gii küçük hrlerle

Detaylı

Geometri Köflesi. Napoléon un bilimi ve matemati i sevdi i, hatta. Napoléon ve Van Aubel Teoremleri. Mustafa Ya c

Geometri Köflesi. Napoléon un bilimi ve matemati i sevdi i, hatta. Napoléon ve Van Aubel Teoremleri. Mustafa Ya c temtik ünys, 2004 z Npoléon ve n uel Teoremleri Npoléon un ilimi ve mtemti i sevdi i, htt ir ölçüde yetenekli oldu u d ilinir. ünyy fethetmeye çl flmktn ve imprtorluk mesle inden rt kln zmnlr nd, sürekli

Detaylı

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5

Komisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5 Komisyon LES EŞİT ĞRILIK ve SYISL DYLR TMMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 97-605-36-1-5 Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem kdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem kdemi Yy. Eğt. Dn.

Detaylı

Olas l k Hesaplar (II)

Olas l k Hesaplar (II) Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele

Detaylı

Uzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme

Uzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme MTEMT K Uzunluklr Ölçme Çevre ln Zmn Ölçme S v lr Ölçme Hcmi Ölçme Temel Kynk 5 Uzunluklr Ölçme UZUNLUKLRI ÖLÇME Çevremizde metre, sntimetre, milimetre vey bunlr n herhngi ikisi ile söyledi imiz uzunluklr

Detaylı

A A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 4.

A A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki TEMEL MATEMAT K TEST  bölümüne iflaretleyiniz. 4. TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevplyc n z soru sy s 40 t r + u bölümdeki cevplr n z cevp k d ndki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflretleyiniz.. ( + )y + = 0 (b ) + 4y 6 = 0 denklem sisteminin çözüm

Detaylı

SORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise

SORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise GMR erginin bu sy s nd Çokgenler ve örtgenler konusund çözümlü sorulr yer lmktd r. u konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel bilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içinde ht rltmy

Detaylı

JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim

JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim JOVO STEFNOVSKİ NUM CELKOSKİ Sekizyıllık İlköğretim Syın Öğrenci! u kitp, ders proğrmınd öngörülen ders mlzemesini öğrenmek için yrdımcı olcktır. Vektörler, öteleme ve dönme hkkınd yeni ilginç bilgiler

Detaylı

Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir

Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir 53. Fonksiyon Dizilerinin Noktasal Yak nsamas Xherhangi bir küme olsun. Mesela Xolabilir (ama olmayabilir de). Her n do al say s için bir ƒ n : X fonksiyonu verilmifl olsun. O zaman her xxiçin ayr bir

Detaylı

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri Yükseköğretime Geçiş Sınvı (Ygs) / Nisn 0 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. 0,5, işleminin sonuu kçtır? 0,5 0, A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7 Çözüm 0,5 0,5, 0, 05 50 5.5.4 5.5. 4 4 0 5 .. 4.6 6 işleminin sonuu

Detaylı

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n

Detaylı

12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI

12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI 12. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Progrmın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 12. sınıf mtemtik öğretim progrmı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Mtemtiksel Süreç Becerileri

Detaylı

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI KARŞI AKIŞI SU SOĞUTMA KUESİ BOYUTANIDIRIMASI Yrd. Doç. Dr. M. Turh Çob Ege Üiversitesi, Mühedislik Fkultesi Mkie Mühedisliği Bölümü turh.cob@ege.edu.tr Özet Bu yzımızd ters kışlı soğutm kulelerii boyut

Detaylı

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi 25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak

Detaylı

DERS 1. Sayı Kümeleri ve Koordinatlar

DERS 1. Sayı Kümeleri ve Koordinatlar DERS Syı Kümeleri ve Koordintlr. Kümeler. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri küme kvrmıdır. Okuyucunun küme kvrmın ybncı olmyıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kbul ediyoruz. Bununl berber, kümelerle

Detaylı

Ard fl k Say lar n Toplam

Ard fl k Say lar n Toplam Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara

Detaylı

Sistem Dinamiği ve Modellemesi. Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması Doğrusal Sistemlerin Zaman Davranışı

Sistem Dinamiği ve Modellemesi. Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması Doğrusal Sistemlerin Zaman Davranışı Sim Dinmiği v Modllmi Doğrul Simlrin Sınıflndırılmı Doğrul Simlrin Zmn Dvrnışı Giriş: Sim dinmiği çözümlmind, frklı fizikl özlliklr şıyn doğrul imlrin krkriiklrini blirlyn ml bğınılr rınd bnzrlik noloji

Detaylı

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini

Detaylı

OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI

OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI OKUL DENEYİMİ VE KAYNAŞTIRMA UYGULAMALARI Uygulm Yönerge Kitpçığı 11.02.2015 ESOGÜ Eğitim Fkültesi Özel Eğitim Bölümü ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAKÜLTESİ ÖZEL EĞİTİM BÖLÜMÜ 2014-2015 BAHAR

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac

Detaylı

Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n

Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

Bir yaz mda, kimbilir hangisinde,

Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

Kontak İbreli Termometreler

Kontak İbreli Termometreler E-mil: Fx: +49 661 6003-607 www.jumo.net www.jumo.co.uk www.jumo.us Veri Syfsı 608523 Syf 1/8 Kontk İbreli Termometreler Özellikler Pnel montj vey ek cihz gibi proses değeri göstergeli sıcklık kontrolörü

Detaylı

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k} Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,

Detaylı

ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1

ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1 ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1 1) ( y) (y ) ifdesinin çrpnlrındn biri şğıdkilerden hngisidir? A) y B) y C) y D) y E) y 1) ( y) (y ) ifdesini düzenleyip, ortk prnteze lmy çlışlım. ( y) (y ) ( y)( y) (

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ. (19-22 Ağustos 2013 Akyaka)

PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ. (19-22 Ağustos 2013 Akyaka) PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ (19-22 Ağustos 213 Akyk) Pljlr Çevre Bilinçlenirme Projesi 19-22 Ağustos trihleri rsın TÜRÇEV Muğl Şuesi ve Akyk Beleiyesi iş irliği ile gerçekleştirili. Proje TÜRÇEV

Detaylı

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur.

LYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur. Mtemtik SAĞDAN VE SOLDAN YAKLAŞMA Yndki tblod bir değişkeninin 4 sısın sğdn ve soldn klşımı ifde edilmiştir. u durumu genellemek gerekirse; değişkeni re el s ı sın, dn kü çük de ğer ler le k l şı or s,

Detaylı

BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI

BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI BİLİMSEL SÜREÇLERİN KAZANIMINA YÖNELİK BİR PROGRAM ÇALIŞMASI Dilek ARDAÇ, Ebru MUĞALOĞLU Boğziçi Üniversitesi, Eğitim Fkültesi, OFMA Eğitimi Bölümü, İSTANBUL ÖZET: Çlışm bilimsel süreçlerin kznımını mçlyn

Detaylı

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir. FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle

Detaylı

BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI

BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI BÖLÜM II B. YENĐ ÇELĐK BĐNALARIN TASARIM ÖRNEKLERĐ ÖRNEK 6 ĐKĐ DOĞRULTUDA SÜNEKLĐK DÜZEYĐ YÜKSEK MERKEZĐ ÇAPRAZ PERDELĐ ÇELĐK BĐNANIN TASARIMI 6.1. SĐSTEM... 6/ 6.. YÜKLER... 6/4 6..1. Düşey Yükler...

Detaylı

ANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ DOKTORA TEZĐ YARI-SONSUZ ZAMAN SKALALARI ÜZERĐNDE STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ. Adil HUSEYNOV ANKARA 2010

ANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ DOKTORA TEZĐ YARI-SONSUZ ZAMAN SKALALARI ÜZERĐNDE STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ. Adil HUSEYNOV ANKARA 2010 ANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ DOKTORA TEZĐ YARI-SONSUZ ZAMAN SKALALARI ÜZERĐNDE STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜ Adil HUSEYNOV MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI ANKARA 200 Her hkkı sklıdır ÖZET Doktor Tezi

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...

Detaylı

Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran

Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran 51. Limitler ve Sonsuzlar Bu bölümde, içinde hem limiti hem de sonsuzlar bar nd ran kavramlardan söz edece iz. Örne in lim ƒ() = b, lim a ƒ() = b ve lim ƒ() = gibi eflitliklerin matematiksel anlamlar n

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

Yan t Bilinmeyen Bir Soru

Yan t Bilinmeyen Bir Soru Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl 48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir

Detaylı

Mil li E i tim Ba kan l Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Bafl kan l n n 30.12.2009 ta rih ve 334 sa y l ka ra r ile ka bul edi len ve 2010-2011 Ö re tim

Mil li E i tim Ba kan l Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Bafl kan l n n 30.12.2009 ta rih ve 334 sa y l ka ra r ile ka bul edi len ve 2010-2011 Ö re tim Mil li i tim kn l T lim ve Ter bi ye u ru lu fl kn l n n 0..009 t rih ve s y l k r r ile k bul edi len ve 00-0 Ö re tim Y l n dn iti b ren uy gu ln ck oln prog r m gö re h z r ln m flt r. Genel Müdür Temel

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir

Detaylı

Yeniflemeyen Zarlar B:

Yeniflemeyen Zarlar B: Yeniflemeyen Zarlar Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A > B ve B > C eflitsizliklerinden,

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ

TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., Cilt:4, Syı:2, 2014,57-69/Ordu Univ. J. Sci. Tech., Vol:4, No:2,2014,57-69 TÜRKİYE DE İLLERİN TRAFİK GÜVENLİĞİNİN ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ (AHP)İLE BELİRLENMESİ ÖZET Emine

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu

Detaylı

Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k

Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k 8. Yak nsak Diziler 8.1. Yak nsakl k Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k ama kan tlamad k. Kan tlayamazd k da, çünkü yak nsamak kavram n henüz tan mlamad k. Bu bölümde matematikte

Detaylı

İntegralin Uygulamaları

İntegralin Uygulamaları Bölüm İntegrlin Uygulmlrı. Aln f ve g, [, b] rlığındki her x için f(x) g(x) eşitsizliğini sğlyn sürekli fonksiyonlr olmk üzere y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = ve x = b düşey doğrulrı rsındki S bölgesini

Detaylı

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır? RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine

Detaylı

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak

Detaylı

SORU. m(cdo ) = = 20 olur. OB = OD = OC = r den; m(bco ) = 30, m(dco ) = 20 ve. [AB ile [AD B ve D noktalar nda çembere te ettir.

SORU. m(cdo ) = = 20 olur. OB = OD = OC = r den; m(bco ) = 30, m(dco ) = 20 ve. [AB ile [AD B ve D noktalar nda çembere te ettir. GMR eginin bu sy s nd Çembede ç l, Kiiflle ötgeni, e et Kiifl Özelliklei konusund çözümlü soul ye lmktd. u konud, ÖSS de ç kn soul n çözümü için geekli temel bilgilei ptik yoll, soul m z n çözümü içinde

Detaylı

LKÖ RET M MATEMAT K 8 Ö RETMEN KILAVUZ K TABI. Lokman GÜNDO DU

LKÖ RET M MATEMAT K 8 Ö RETMEN KILAVUZ K TABI. Lokman GÜNDO DU LKÖ R M MM K 8 Ö RMN KILVUZ K I Lokmn GÜNO U u kitp, Millî itim knl lim ve erbiye Kurulu flknl n n 8.06.00 trih ve 6 sy l krr yl 0-0 ö retim y l ndn itibren (befl) y l süreyle ders kitb olrk kbul edilmifltir.

Detaylı

Yrd. Doç. Dr., Süleyman Demirel Üniversitesi, Yalvaç Meslek Yüksek Okulu

Yrd. Doç. Dr., Süleyman Demirel Üniversitesi, Yalvaç Meslek Yüksek Okulu PERSONEL SEÇĐMĐNĐN ANALĐTĐK HĐYERARŞĐ PROSESĐ YÖNTEMĐYLE GERÇEKLEŞTĐRĐLMESĐ ÖZET Orhn ADIGÜZEL Glolleşmenin neden olduğu ilgi ve teknolojideki gelişmeler, işletmeleri ve kurumlrı dh kliteli insn kynğın

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k.

Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k. 21. nin Biricikli i Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k. Bu özelliklerin bir listesini ç karal m: 1), s ral bir cisimdir. 2) tamd r, yani nin her temel (ya da Cauchy) dizisi de yak

Detaylı

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. 5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu

Detaylı

Koniklerin Simetrileri, Odak Noktalar ve Do rultmanlar Ali Nesin* / Engin Yard mc ** /

Koniklerin Simetrileri, Odak Noktalar ve Do rultmanlar Ali Nesin* / Engin Yard mc ** / Mtemtik Düns, 005 Yz Kpk Konusu: Koniker Konikerin Simetrieri, dk Noktr ve Do rutmnr i Nesin* / nesin@igi.edu.tr Engin Yrd mc ** / enginrdimci@hoo.co.uk Bir önceki z d, düzemde, do rutmn denien ir do rusun

Detaylı

Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y

Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y 9. Yak nsak Dizilerle Dört fllem ve S ralama Yak nsak diziler kümesini Y ile gösterelim. Bu bölümde Y kümesinde toplama, ç karma, çarpma ve kimi zaman da bölme ifllemlerini yapabilece imizi gösterece iz.

Detaylı

2009 Soruları. c

2009 Soruları. c Hırvt ıstn Ulusl Mtemt ık Ol ımp ıytı Tkım Seçme Sınvı Geometr ı 2009 Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Hırvtistn d ypıln 2009 yılı TST yni Tkım Seçme Sınvın it geometri sorulrı

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ

BÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ BÖLÜM : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ (Rndom Vribles Giriş: Bölüm de olsılık fonksionu, denein örneklem uzını oluşurn sonuçlrın erimleri ile belirleniordu. Örneğin; iki zr ıldığınd, P gelen 6 olsı sırlı ikilinin

Detaylı

SAYI KÜMELERİ. Örnek...1 :

SAYI KÜMELERİ. Örnek...1 : SAYILAR SAYI KÜMELERİ RAKAM S yı l r ı i f d e e t m ek i ç i n k u l l n d ı ğ ı m ız 0,,,,,,6,7,8,9 semollerine rkm denir. DOĞAL SAYILAR N={0,,,...,n,...} k üm e s i n e d o ğ l s yı l r k üm e s i d

Detaylı

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ

DENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ A. DENEYĠN AMACI : Direnç devrelerinde eşdeğer direnç ölçümü ypmk. Multimetre ile voltj ve kım ölçümü ypmk. Ohm knununu sit ve prtik devrelerde nlmy çlışmk. B. KULLANILACAK AAÇ VE MALZEMELE : 1. DC güç

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d

Detaylı