İntegral Alma Teknikleri

Transkript

1 Bölüm İnegrl Alm Teknikleri. Yerine Koym Kurlı Kurl. u g(x) değer kümesi I rlığı oln ürevlenebilir bir fonksiyon ve f fonksiyonu I rlığınd sürekliyse, f(g(x)) g (x) f(u) du (.) olur. Örnek. x 3 cos(x 4 + ) inegrlini bulunuz. Çözüm: du 4x 3 difernsiyeli, 4 çrpnı dışınd, inegrlin içinde yer ldığındn, u x 4 + değişken değişikliğini yprız. Bu yüzden, x 3 du/4 ve Yerine Koym Kurlı ndn x 3 cos(x 4 + ) cos u 4 du cos u du 4 4 sin u + C 4 sin(x4 + ) + C olur. Son şmd bşlngıçki x değişkenine dönmemiz gerekiğine dikk ediniz. Yerine Koym Kurlının emel fikri, krmşık bir inegrli dh bsi bir hle dönüşürmekir. Bu bşlngıçki x değişkeninden, x e bğlı bir fonksiyon oln u y geçilerek ypılır.

2 BÖLÜM. İNTEGRAL ALMA TEKNIKLERI Örnek. x + inegrlini hesplyınız. Çözüm: Çözüm : Bu durumd u x + olsun. du, ve du/ olur. Dolyısıyl, Yerine Koym Kurlı x u du + u / du u3/ 3/ + C 3 u3/ + C verir. 3 (x + )3/ + C Çözüm : Olsı bir bşk değişken değişikliği de u x + dir. Bu durumd du x + bundn dolyı x + du u du olur. (Y d u x +, ve bundn dolyı u du olduğunu gözlemleyiniz.) Böylece x + u u du u du elde edilir. u3 3 + C 3 (x + )3/ + C Örnek 3. x inegrlini bulunuz. 4x Çözüm: u 4x olsun. Dolyısıyl du 8x burdn x 8du olur ve x 4x 8 du u 8 u / du bulunur. 8 ( ) u + C 4x 4 + C

3 .. YERINE KOYMA KURALI 3 Örnek 4. e 5x inegrlini hesplyınız. Çözüm: u 5x lırsk, du 5, burdn 5du olur. Bundn dolyı e 5x e u du 5 5 eu + C 5 e5x + C dir. Örnek 5. n x inegrlini hesplyınız. Çözüm: Önce njnı, sinüs ve cosinüs cinsinden yzlım: n x sin x cos x Bu, du sin x ve burdn sin x du olduğundn u cos x seçmemiz gerekiğini göserir: sin x n x cos x u du ln u + C ln cos x + C ln cos x ln ( cos x ) ln (/ cos x ) ln sec x olduğundn, sonuç biçiminde de yzılbilir. n x ln sec x + C

4 4 BÖLÜM. İNTEGRAL ALMA TEKNIKLERI. Belirli İnegrller İçin Yerine Koym Kurlı g fonksiyonu [, b] rlığınd, f fonksiyonu u g(x) in değer kümesinde sürekliyse, olur. Örnek 6.. i kullnrk 4 b f(g(x))g (x) x + inegrlini hesplyınız. g(b) g() f(u) du (.) Proof. Çözüm u x + ise du/ olur. İnegrlin yeni sınırlrını belirlemek için olduğun dikk edelim. Dolyısıyl x, u + ve x 4, u x + u du ] 9 3 u3/ 3 (93/ 3/ ) 6 3 olur.. i kullndığımızd, inegrli ldıkn sonr x değişkenine dönmediğimizi gözlemleyelim. Diğer bir deyişle u cinsinden bir ifdeyi u nun uygun değerleri rsınd hesplıyoruz. Örnek 7. inegrlini hesplyınız. (3 5x) Çözüm: u 3 5x olsun. du 5 burdn d du/5 olur. x iken u, x iken u 7 dir. Böylece (3 5x) 5 7 du u [ ] 7 ] 7 5 u 5u ( ) 4

5 .. BELIRLI İNTEGRALLER İÇIN YERINE KOYMA KURALI 5 Örnek 8. e ln x x inegrlini bulunuz. Çözüm: du /x inegrlde göründüğünden u ln x lırız. x iken u ln ; x e iken u ln e dir. Burdn e ln x ] x u du u Kurl. Simerik Fonksiyonlrın İnegrlleri f fonksiyonunun [, ] rlığınd sürekli olduğunu vrsylım. () f çif fonksiyons [f( x) f(x)], (b) f ek fonksiyons [f( x) f(x)], f(x) f(x) dır. f(x) dir. Örnek 9. f(x) x 6 + fonksiyonu, f( x) f(x) eşiliğini sğldığındn çifir, dolyısıyl olur. (x 6 + ) (x 6 + ) [ ] ( ) 8 7 x7 + x n x f(x) + x fonksiyonu, f( x) f(x), + x4 eşiliğini sğldığındn ekir, dolyısıyl olur. n x + x + x 4

6 6 BÖLÜM. İNTEGRAL ALMA TEKNIKLERI.3 Kısmi İnegrl Alm f(x)g (x) f(x)g(x) g(x)f (x) (.3) formülü kısmi inegrl formülü olrk dlndırılır. Anımsnmsı dh koly göserim için u f(x), v g(x) olsun. Difernsiyelleri dv g (x) ve du f (x) dir, dolyısıyl Yerine Koym Kurlı n göre kısmi inegrl lm formülü udv uv vdu (.4) Örnek. x sin x inegrlini bulunuz. Çözüm: u x, dv sin x ise du, v cos x olur, dolyısıyl x sin x x( cos x) ( cos x) x cos x + cos x x cos x + sin x + C olur. Örnek. ln x inegrlini hesplyınız. Çözüm: Burd u ln x, dv ise du, v x dir. Kısmi inegrl lrk, x ln x x ln x x x x ln x x ln x x + C elde ederiz. Bu örneke f(x) ln x ürevi f den dh bsi olduğundn kısmi inegrl lm ekili olmuşur. Örnek. x e x inegrlini bulunuz.

7 .3. KISMI İNTEGRAL ALMA 7 Çözüm: x nin ürevi lındığınd bsileşiğine dikk ediniz. Bu yüzden u x, dv e x seçeriz. Burdn du x, v e x olur. Kısmi inegrl lm yönemi, x e x x e x xe x verir. Elde eiğimiz xe x inegrli, bşlngıçki inegrlden dh bsiir m hl pçık ord değildir. Bunun için u x, dv e x lrk kısmi inegrli bir kez dh kullnırız. du, v e x olduğundn xe x xe x e x xe x e x + C dir. Bunu yukrıdki denklemde yerine koyrk, x e x x e x xe x x e x xe x + e x + C (C C) elde ederiz. Örnek 3. e x sin x inegrlini hesplyınız. Çözüm: Türevi lınınc ne e x ne de sin x fonksiyonu bsileşir. u e x, dv sin x seçelim. O zmn, du e x ve v cos x polur, dolyısıyl, kısmi inegrl e x sin x e x cos x + e x cos x (.5) verir. Elde eiğimiz e x cos x inegrli için ekrrdn kısmi inegrli uygulylım. Bu kez, u e x ve dv cos x llım. Burdn du e x ve v sin x olur ve e x cos x e x sin x e x sin x (.6) dir. Denklem.6 i denklem.5 e yerine koyrsk e x sin x e x cos x + e x sin x + e x sin x elde ederiz. İki yn e x sin x eklersek e x sin x e x cos x + e x sin x elde ederiz. Denklemi sdeleşirip, inegrl sbiini eklersek e x sin x ex (sin x + cos x) + C buluruz.

8 8 BÖLÜM. İNTEGRAL ALMA TEKNIKLERI Kısmi inegrsyon ve Değer bulm eoremi Kısmi inegrl formülünü, Değer Bulm Teoremi yle birleşirirsek, belirli inegrlleri, kısmi inegrllerle hesplybiliriz. f ve g nün sürekli olduğunu vrsyrk ve Değer Bulm Teoremi ni kullnrk, dn b ye kdr denklem.3 in her iki ynını d hespldığımızd elde ederiz. Örnek 4. b n x inegrlini hesplyınız. ] b b f(x)g (x) f(x)g(x) g(x)f (x) (.7) Çözüm: u n x, dv ise du, v x olur. Denklem.7 + x n x ] x n x x + x n n π 4 x + x x + x verir. Bu inegrli hesplmk için, + x değişken değişikliğini yplım. Bu durumd, d x, dolyısıyl x d/ olur. x iken ; x iken olduğundn, x + x d ] ln (ln ln ) ln dir. Dolyısıyl dir. n x π 4 ln

9 .4. TRIGONOMETRIK İNTEGRALLER 9.4 Trigonomerik İnegrller Trigonomerik inegrller, lı emel rigonomerik fonksiyonun cebirsel kombinsyonunu içeren inegrllerdir. Örneğin, sec x, cos x sin 3 x, n 4 x Genel fikir, bulmk isediğimiz krmşık rigonomerik inegrlleri, rigonomerik özdeşlikler kullnrk dh koly çözümlenebilen inegrllere dönüşürebilmekir..4. Sinüs ve Kosinüs Çrpımlrı m ve n negif olmyn msyılr olmk üzere sin m x cos n x formundki inegrller. Sinüs ve Kosinüs Çrpımlrı : Durum m ek ise, m yi k + olrk yzr ve sin m x sin k+ x (sin x) k sin x ( cos x) k sin x eşiliğini kulnırız. Sonr ek kln sin x i inegrldeki ile birleşirerek sin x yerine d(cos x) yzrız. Örnek 5. sin 3 x cos x inegrlini hesplyınız. Çözüm: sin 3 x cos x sin x cos x sin x ( cos x) cos x [ d(cos x)] ( u )(u )( du) (u 4 u ) du u5 5 u3 3 + C cos5 x 5 cos3 x 3 + C Sinüs ve Kosinüs Çrpımlrı : Durum m çif ve n ek ise, n yi k + olrk yzr ve cos n x cos k+ x (cos x) k cos x ( sin x) k cos x eşiliğini kullnırız. Sonr ek kln cos x i inegrldeki ile birleşirerek cos x yerine d(sin x) yzrız.

10 BÖLÜM. İNTEGRAL ALMA TEKNIKLERI Örnek 6. cos 5 x inegrlini hesplyınız. Çözüm: cos 5 x cos 4 x cos x ( sin x) d(sin x) ( u ) du ( u + u 4 ) du u 3 u3 + 5 u5 + C sin x 3 sin3 x + 5 sin5 x + C Sinüs ve Kosinüs Çrpımlrı : Durum 3 m ve n çif ise rigonomerik özdeşliklerini kullnırız. sin x cos x, cos + cos x x Örnek 7. sin x cos 4 x inegrlini hesplyınız. Çözüm: ( ) ( ) cos x + cos x sin x cos 4 x ( cos x)( + cos x + cos x) 8 ( + cos x cos x cos 3 x) 8 [ x + C + ] 8 sin x + C (cos x + cos 3 x) cos x erimini içeren inegrli şu şekilde çözümleriz: cos x ( + cos 4x) (x + 4 ) sin 4x + C 3

11 .4. TRIGONOMETRIK İNTEGRALLER cos 3 x erimini içeren inegrli ise şu şekilde çözümleriz: cos 3 x ( sin x) cos x ( u ) du ( sin x ) 3 sin3 x + C 4 Çözümlediğimiz bu inegrlleri kullnrk sin x cos 4 x [ x + C + 8 sin x + C [ x + C + 8 sin x + C (x + 4 ) sin 4x C 3 ( x 6 4 sin 4x + ) 3 sin3 x + C ] (cos x + cos 3 x) ( sin x ) ] 3 sin3 x C 4 Kreköklerden Kurulmk Örnek 8. π/4 + cos 4x inegrlini hesplyınız. Proof. Çözüm Kreköken kurulmk için cos θ + cos θ vey + cos θ cos θ özdeşliğini kullnırız. Böylelikle π/4 π/4 π/4 + cos 4x cos x cos x π/4 cos x π/4 cos x sin x ] π/4 ( )

12 BÖLÜM. İNTEGRAL ALMA TEKNIKLERI n x ve sec x Kuvvelerinin İnegrlleri n x, sec x ve krelerinin inegrllerini ve n x sec x sec x + n x özdeşliklerini kullnrk njn ve sekn fonksiyonlrının kuvvelerini içeren inegrlleri hesplybiliriz. Örnek 9. n 4 x inegrlini hesplyınız. Çözüm: n 4 x n x n x n x (sec x ) n x sec x n x n x sec x (sec x ) n x sec x sec x + n x sec x sec x + ilk inegrlde u n x dönüşümünü yprk, ikinci ve üçüncü inegrlde ise bildiğimiz inegrlleri kullnrk n 4 x 3 n3 x n x + x + C sonucunu elde ederiz. Sinüs ve Kosinüslerin Çrpımlrı Uygulmd krşılşığımız sin mx sin nx, sin mx cos nx, cos mx cos nx rigonomerik inegrllerini hesplmk için şu özdeşikleri kullnırız: sin mx sin nx [cos(m n)x cos(m + n)x] (.8) sin mx cos nx [sin(m n)x + sin(m + n)x] (.9) cos mx cos nx [cos(m n)x + cos(m + n)x] (.)

13 .5. TRIGONOMETRIK DÖNÜŞÜMLER 3 Örnek. sin 3x cos 5x inegrlini hesplyınız. Çözüm: m 3 ve n 5 ile (.9) eşiliğinden sin 3x cos 5x [sin( x) + sin 8x] (sin 8x sin x) cos 8x cos x + + C 6 4 elde edilir..5 Trigonomerik Dönüşümler bir reel syı olmk üzere + x x x ifdelerini içeren inegrlleri hesplmk için rigonomerik dönüşümler kullnırız. Trigonomerik Dönüşümler - Durum + x ifdesinin olduğu inegrllerde dönüşümü kullnılır. Böylelikle ifdeleri sırsıyl ve x n θ + x ve + x + n θ ( + n θ) sec θ sec θ dθ ifdelerine dönüşür. x n θ dönüşümünde ilk değişken θ y geri dönüş ypbilmek için, x n θ dönüşümünün ersinir olmsını bekleriz. Dolyısıyl n fonksiyonunun nımlı olmsını kullnrk, ( θ n x ), π < θ < π ers dönüşümünü yprız.

14 4 BÖLÜM. İNTEGRAL ALMA TEKNIKLERI Örnek. inegrlini hesplyınız. 4 + x Çözüm: x n θ dönüşümünü yprız. Böylelikle 4 + x n θ 4( + n θ) 4 sec θ sec θ dθ ifdelerini kullnrk 4 + x sec θ dθ 4 sec θ sec θ dθ ( π sec θ < θ < π olduğu için sec θ dθ sec θ sec θ olur) ln sec θ + n θ + C 4 + x ln + x + C elde ederiz. Trigonomerik Dönüşümler - Durum x ifdesini içeren inegrlleri hesplmd x sec θ rigonomerik dönüşümünü kullnırız. Böylece ifdeleri sırsıyl x ve x sec θ (sec θ ) n θ ( θ sec x ), sec θ n θ dθ ifdelerine dönüşür. İnegrli lmy bşldığımız ilk değişken θ y geri dönüş ypbilmek için dönüşümümüzün ersinir olmsını bekleriz. Dolyısıyl sec fonksiyonunun nımındn, x sec θ dönüşümünün ers dönüşümü olur. θ < π, x ; π < θ π, x. Örnek. x > 5 iken inegrlini hesplyınız. 5x 4

15 .5. TRIGONOMETRIK DÖNÜŞÜMLER 5 Çözüm: Öncelikle pyddki ifdeyi dh çık yzlım: 5x 4 5 ( x 4 ) 5 x 5 ( ) 5 x > olduğu için dönüşümü 5 olrk yprız. Böylelikle x x 5 sec θ, 5 sec θ n θ dθ, < θ < π ( ) sec θ (sec θ ) 4 5 n θ ve < θ < π için n θ > olduğundn x bulunur. Bu dönüşümleri inegrlde yerine koyrk elde ederiz. 5x 4 ( ) 5 5 n θ 5 n θ (/5) sec θ n θ dθ 5 x (4/5) 5(/5) n θ sec θ dθ ln sec θ + n θ + C ln 5x 5x C Trigonomerik Dönüşümler - Durum 3 x ifdesini içeren inegrlleri çözmek için rigonomerik dönüşümünü kullnırız. Böylece x sin θ x ve ifdeleri sırsıyl x sin θ ( sin θ) cos θ cos θ dθ ifdelerine dönüşür. İnegrli hesplmyı sonuçlndırmk için orjinl değişken x e geri dönmemiz gerekir. Bunun için x sin θ dönüşümünün ersinir olmsını bekleriz. sin fonksiyonun nımındn, ers dönüşüm olur. ( θ sin x ), π θ π

16 6 BÖLÜM. İNTEGRAL ALMA TEKNIKLERI Örnek 3. x inegrlini hesplyınız. 9 x Proof. Çözüm x 3 sin θ, 3 cos θ dθ, π < θ < π dönüşümü ile 9 x 9 9 sin θ 9( sin θ) 9 cos θ x 9 x 9 9 sin θ 3 cos θ dθ 3 cos θ sin θ dθ 9 ( θ cos θ 9 9 ( θ ) sin θ + C sin θ dθ ) + C 9 (θ sin θ cos θ) + C ( 9 sin x 3 x ) 9 x 3 + C 3 9 sin x 3 x 9 x + C elde edilir..6 z n(x/) Dönüşümü Bu rigonomerik dönüşüm, sinüs ve kosinüs fonksiyonlrının bölümleri olduğund kullnılır. Trigonomerik özdeşlikler yrdımıyl cos x, sin x ve için kullnılck ifdeleri şu şekilde bulbiliriz: özdeşliğinden bulunur. özdeşliğini ve cos x yi kullnrk + z + n x sec x cos (x/) cos x + z cos x cos x cos x + z z + z

17 .6. Z TAN(X/) DÖNÜŞÜMÜ 7 elde edilir. Diğer rfn özdeşliğinden ve cos x z + z den cos x sin x bulunur. Bu kez sin x cos x z + z z + z özdeşliğinden, cos x + z ve sin x z + z den sin x sin x cos x elde edilir. z n x de ürev lrk d sin x z dz sec x + z + z z + z ( + n x ) ( + z ) bulunur. Böylelikle + z dz Özele, z n x rigonomerik dönüşümünü ypığımızd eşiliklerini kullnırız. cos x z z, sin x + z + z, + z dz Örnek 4. inegrlini hesplyınız. + sin x + cos x Çözüm: İnegrl, sinüs ve kosinüs bölümlerini içerdiği için z n x dönüşümünü uygulrız. Böylece ifdelerini kullnrk buluruz. + sin x + cos x z n x dz, + z cos x z z, sin x + z + z dz + z + z + z + z + z + z + z + z dz ln z + + C ln + n x + C dz z +

18 8 BÖLÜM. İNTEGRAL ALMA TEKNIKLERI.7 Kısmi Kesirler Rsyonel fonksiyonlrın (polinomlrın ornının) inegrlini lmk için onlrı, kısmi kesirler olrk dlndırıln, inegrllerinin nsıl lıncğını bildiğimiz, dh bsi kesirlerin oplmı olrk yzrız. Örnek 5. 5x 4 x inegrlini bulunuz. + x Çözüm: Pydnın doğrusl çrpnlr yrıldığın dikk ediniz: 5x 4 x + x 5x 4 (x + )(x ) Pyın derecesinin pydnın derecesinden küçük olduğu böyle bir durumd, verilen rsyonel fonksiyonu, A ve B sbi olmk üzere, dh bsi kesirlerin oplmı olrk yzbiliriz: 5x 4 (x + )(x ) A x + + B x 5x 4 (x + )(x ) A x + + B x A ve B değerlerini bulmk için denkemin iki ynını d (x + )(x ) ile çrprız ve 5x 4 A(x ) + B(x + ) 5x 4 (A + B)x + ( A + B) elde ederiz. x in ksyılrı ile sbi erimler eşi olmlıdır. Dolyısıyl A + B 5 ve A + B 4 ür. A + B 5 ve A + B 4 Bu doğrusl denklemleri A ve B için çözerek A 3 ve B elde ederiz. Burdn 5x 4 (x + )(x ) 3 x + x bulunur. Bu kısmi kesirlerin her birinin inegrlini (sırsıyl u x + ve u x değişken değişikliğini kullnrk) lmk kolydır. Böylece ( 5x 4 3 x + x x + ) x dir. Kurl 3. 3 ln x + ln x + C Örneke pyın derecesi pydnınkine eşi vey dh büyük olsydı ilk önce bölmemiz gerekirdi. Örneğin, x 3 x x + x + x x 6 + 5x 4 (x + )(x )

19 .7. KISMI KESIRLER 9 Kurl 4. Pydd ikiden fzl doğrusl çrpn vrs, her çrpn için bir erim eklememiz gerekir. Örneğin, x + 6 x(x 3)(4x + 5) A x + B x 3 + C 4x + 5 Burd A, B ve C sbileri, A, B ve C bilinmeyenlerini içeren üç denklemden oluşn sisemi çözerek belirlenir. Kurl 5. Doğrusl çrpnlrdn biri ekrrlnıyors kısmi kesire fzldn erimler eklememiz gerekir. Örneğin : x (x + ) (x ) A x + + B (x + ) + C x Kurl 6. Pydyı olbildiğince çrpnlrın yırırken, b 4c diskriminnı negif oln, indirgenemeyen ikinci dereceden x + b x + c çrpnını elde edebiliriz. Bun krşılık gelen kısmi kesir, A ve B belirlenecek sbiler olmk üzere Ax + B x + b x + c dir. Bu erimin inegrlini, kreye mmlyrk ve x + ( x ) n + C (.) formülünü kullnrk hesplrız. Örnek 6. x x + 4 x 3 + 4x inegrlini hesplyınız. Çözüm: x 3 + 4x x(x + 4) dh fzl çrpnlrın yrılmdığındn, x x + 4 x(x + 4) A x + Bx + C x + 4 yzrız. x(x + 4) ile çrprsk, x x + 4 A(x + 4) + (Bx + C)x (A + B)x + Cx + 4A elde ederiz. Ksyılrı eşilediğimizde x x + 4 (A + B)x + Cx + 4A A + B C 4A 4

20 BÖLÜM. İNTEGRAL ALMA TEKNIKLERI elde ederiz. Burdn A, B ve C buluruz ve x [ x + 4 x 3 + 4x x + x ] x + 4 olur. x x + 4 x 3 + 4x [ x + x ] x + 4 İkinci erimin inegrlini lmk için inegrlini ikiye yırırız: x x + 4 x x + 4 x + 4 Birinci inegrlde, u x + 4 değişken değişikliğini yprız ve du x olur. İkinci inegrli, lrk Formül (.) den hesplrız: x x + 4 x(x + 4) x + x x + 4 x + 4 ln x + ln(x + 4) n (x/) + K

21 .8. HAS OLMAYAN İNTEGRALLER.8 Hs Olmyn İnegrller b f(x) belirli inegrlini nımlrken, [, b] sınırlı rlığınd nımlı oln bir f fonksiyonu ldık ve bu rlık f nin sonsuz süreksizliliğinin olmdığını vrsydık. Bu bölümde, belirli inegrl kvrmını, rlığın sonsuz olduğu ve f nin [, b] üzerinde sonsuz süreksizliği olduğu durumlr genişleeceğiz. Her iki durumd d inegrle hs olmyn inegrl denir..8.. Tip: Sonsuz Arlıklr Tnım. () (b) f(x) inegrli, her syısı için vrs, limiin (sonlu bir syı olrk) vr olduğu durumlrd dir. b f(x) lim f(x) f(x) inegrli, her b için vrs, limiin (sonlu bir syı olrk) vr olduğu durumlrd b f(x) b lim f(x) (c) dir. f(x) ve b yoks ırksk olrk dlndırılır. f(x) ve f(x) hs olmyn inegrlleri, söz konusu limiler vrs ykınsk, limiler f(x) inegrllerinin her ikisi de ykınsks, f(x) f(x) + f(x) olrk nımlrız. (c) şıkkınd herhngi bir gerçel syısı kullnılbilir.

22 BÖLÜM. İNTEGRAL ALMA TEKNIKLERI Örnek 7. (/x) inegrlinin ykınsk y d ırksk olduğunu belirleyiniz. Proof. Çözüm Tnımın () şıkkındn, x lim ] lim x ln x dur. Limi sonlu bir syı olmdığınd Örnek 8. lim (ln ln ) lim ln (/x) ırkskır. x e x inegrlini hesplyınız. Çözüm: Tnımın (b) şıkkındn x e x lim x e x olur. u x ve dv e x seçerek kısmi inegrl lırsk du ve v e x olur. x e x x e x] e x e + e x e x e + e iken e olduğunu biliyoruz. L Hospil Kurlı ndn lim e lim e lim e dır. Dolyısıyl, olur. lim ( e ) x e x lim ( e + e ) +

23 .8. HAS OLMAYAN İNTEGRALLER 3 Örnek 9. inegrlini hesplyınız. + x Proof. Çözüm Tnımın (c) şıkkınd seçmek işimizi kolylşırckır: Sğdki inegrlleri yrı yrı hesplmlıyız: + x lim + x + x + + x ] + x lim n x lim (n + n ) lim n π ] lim lim + x + x n x lim (n n ) ( π ) π Her iki inegrl de ykınsk olduğundn verilen inegrl de ykınskır ve + x π + π π dir. /( + x ) > olduğundn verilen hs olmyn inegrl y /( + x ) eğrisinin lınd x ekseninin üsünde kln sonsuz bölgenin lnı olrk yorumlnbilir. Örnek 3. Hngi p değeri için inegrli ykınskır? x p Çözüm: İlk örneken, p olduğund inegrlin ırksk olduğunu biliyoruz, dolyısıyl p vrsylım. Bu durumd x p lim x p+ ] x lim xp p + x [ ] lim p p

24 4 BÖLÜM. İNTEGRAL ALMA TEKNIKLERI dir. p > ise p > dır ve iken p ve / p dır. Dolyısıyl p > için x p p olur ve inegrl ykındkır. Eğer p < ise p < ve olur, dolyısıyl inegrl ırkskır. iken inegrli, p > ise ykınsk, p ise ırkskır. xp.8.. Tip: Sürekli Olmyn Fonksiyonlrın İnegrli Tnım. p p () f fonksiyonu [, b) rlığınd sürekli ve b noksınd süreksizse, limiin (sonlu bir syı olrk) vr olduğu durumlrd b f(x) lim f(x) b dir. (b) f fonksiyonu (, b] rlığınd sürekli ve noksınd süreksizse, limiin (sonlu bir syı olrk) vr olduğu durumlrd b b f(x) lim f(x) + dir. b f(x) hs olmyn inegrline, söz konusu limi vrs ykınsk, yoks ırksk denir. (c) f fonksiyonu, < c < b oln bir c noksınd süreksiz ve her ikisi de ykınsks, olrk nımlrız. b f(x) c b f(x) + c c f(x), f(x) b c f(x) inegrllerinin

25 .8. HAS OLMAYAN İNTEGRALLER 5 5 Örnek 3. x inegrlini bulunuz. Çözüm: Önce, verilen inegrlin, f(x) / x nin x de düşey simpou olduğundn, hs olmdığın dikk ediniz. Süreksizlik, [, 5] rlığının sol uç noksınd olduğundn nımın (b) şıkkını kullnrk: 5 x 5 ] 5 lim lim x + x + buluruz. Dolyısıyl verilen inegrl ykınskır. Örnek 3. π/ lim + ( 3 ) 3 sec x inegrlinin ykınsk y d ırksk olduğun krr veriniz. Çözüm: Verilen inegrl, lim sec x olduğundn, hs değildir. Tnımın () şıkkını kullnrk (π/) x (π/) iken sec ve n olduğundn π/ sec x lim (π/) sec x dur. Dolyısıyl verilen inegrl ırkskır. lim (π/) ln sec x + n x ] lim + n ) ln ] (π/) [ln(sec

26 6 BÖLÜM. İNTEGRAL ALMA TEKNIKLERI Örnek 33. Olnklı ise 3 inegrlini hesplyınız. x Çözüm: x doğrusu, inegrli lınn fonksiyonun düşey simpoudur. Bu nok [, 3] rlığının içinde olduğundn, nımın (c) şıkkınd c lrk: 3 x 3 x + x yzrız ve iken + olduğundn x lim x lim ln x ] buluruz. Dolyısıyl 3 [ /(x ) ırkskır. Bu, lim ln ) (ln lim ln( ) /(x ) inegrlini hesplmmız gerek klmz.] 3 /(x ) inegrlinin de ırksk olmsını gerekirir. Yukrıdki örneke, x simpounu frk emeseydik ve inegrli lınn fonksiyonu sırdn bir inegrlle krışırsydık, şğıdki gibi hlı bir hesp ypbilirdik: 3 ] 3 x ln x ln ln ln Bu ynlışır, inegrl hs olmdığındn limiler cinsinden hesplnmlıdır. Uyrı Bundn böyle b f(x) işreini gördüğümüzde, [, b] üzerinde f ye bkrk inegrlin sırdn bir belirli inegrl mi yoks hs olmyn bir inegrl mi olduğun krr vermemiz gerekmekedir.

27 .8. HAS OLMAYAN İNTEGRALLER 7 Örnek 34. ln x inegrlini hesplyınız. Çözüm: lim x + ln x olduğundn, f(x) ln x fonksiyonunun d düşey simpou olduğunu biliyoruz. Dolyısıyl verilen inegrl hs değildir ve ln x lim ln x + dir. u ln x ve dv ile kısmi inegrl lırsk, du /x ve v x olur. ln x ] x ln x ln ln ( ) ln + elde ederiz. Birinci erimin limiini lmk için L Hospil Kurlını kullnırız: Dolyısıyl dir. lim ln + ln x lim ln + / lim / + / lim +( ) lim ln + ) +( Hs Olmyn İnegrller İçin Krşılşırm Tesi Bzen hs olmyn bir inegrlin kesin değerini bulmk olnklı değildir nck yine de ykınsk mı, ırksk mı olduğunu bilmek önemlidir. Theorem. f ve g nin x için f(x) g(x) oln sürekli fonksiyonlr olduğunu vrsylım. () (b) f(x) ykınsks, g(x) de ykınskır. g(x) ırksks, f(x) ırkskır.

28 8 BÖLÜM. İNTEGRAL ALMA TEKNIKLERI Tersi doğru olmybilir: g(x) ykınsks, f(x) ykınsk d olbilir ırksk d ve f(x) ırksks, g(x) ırksk d olbilir ykınsk d. Örnek 35. e x inegrlinin ykınsk olduğunu göseriniz. Çözüm: e x nin ilkeli emel fonksiyon olmdığındn, inegrli doğrudn hesplymyız. e x e x + e x yzr ve sğdki ilk inegrlin sırdn bir belirli inegrl olduğunu gözlemleriz. İkinci inegrl için,x iken, ve olduğunu kullnrk e x e x + x x x x e x e x olduğunu görürüz. e x fonksiyonunun inegrlini hesplmk kolydır: e x e x lim e x lim (e e ) e Böylece Krşılşırm Teoremi nde f(x) e x ve g(x) e x lırsk, görürüz. Bunun sonucu olrk Örnek 36. e x ykınskır. e x inegrlinin ykınsk olduğunu + e x x inegrlinin ykınsk olduğunu göseriniz. Çözüm: + e x x ırkskır. > x ve (/x) ırksk olduğundn, Krşılşırm Teoremi nden + e x x inegrli de