Sayısal Analiz Ders Notları. Arzu Erdem. Kaynaklar

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Sayısal Analiz Ders Notları. Arzu Erdem. Kaynaklar"

Transkript

1 Sayısal Analiz Ders Notları Arzu Erdem c 0/03 Bahar dönemi mühendislik notları Kaynaklar An Introduction to Numerical Analysis for Electrical and Computer Engineers, Christopher J Zarowski, A JOHN WILEY & SONS, INC PUBLICATION, 004 An Introduction to Numerical Analysis, Endre Süli and David F Mayers, Cambridge University Press, 003 Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic Approach, McGraw-Hill, 980 Numerical Analysis Using MATLAB and Spreadsheets, Steven T Karris, Orchard Publications, 004 Numerical Methods and Analaysis, James I Buchanan, Peter R Turner, McGraw-Hill, 99 Numerical Methods for Mathematics, Science & Engineering, John H Mathews, Prentice Hall, 99 Applied Numerical Analysis Using Matlab, Laurene V Fausett, Prentice Hall, 999 Sayısal analiz, Galip Oturanç, 008 Sayısal analiz ve mühendislik uygulmaları, İrfan Karagöz, 00 gmailcom, web page: May, 03

2

3

4 Contents List of Figures List of Tables v vii Chapter 0 Giriş Giriş Neden Sayısal Yöntemler? Sayısal Analizin Geçmişi 3 Sayısal Analize Genel Bir Bakış Açısı 4 Sayısal Yöntemlerin Sınıflandırılması Chapter Sayı sistemleri ve hatalar (Number Systems and Errors) 3 Sayı sistemleri ve hatalar (Number Systems and Errors) 3 Tam Sayıların Gösterimleri (The Representation of Integers) 3 Kesirli Sayıların Gösterimleri (The Representation of Fractions) 5 3 Kayan Noktalı İşlemler (Floating Point Arithmetic) 7 4 Hata Analizi ve Hatanın Yayılması (Error Analysis & Propagation of Error) 8 Chapter 3 f (x) = 0 Formundaki Lineer Olmayan Denklemlerin Çözümleri (The Solution of Nonlinear Equations f (x) =0) 3f (x) = 0 Formundaki Lineer Olmayan Denklemlerin Çözümleri (The Solution of Nonlinear Equations f (x) =0) 3 Sabit Nokta İterasyonu (Fixed Point Iteration) 4 3 İkiye Bölme Yöntemi (Bisection Method) 9 33 Regula Falsi Yöntemi (Regula Falsi Method) 34 Newton Raphson Yöntemi (Newton Raphson Method) 6 35 Kirişler Yöntemi (Secant Method) Başlangıç Yaklaşımı ve Yakınsaklık Kriterleri (Initial Approximation and Convergence Criteria) Aitken Yöntemi (Aitken s Process) Muller Yöntemi (Muller Yöntemi) 37 Chapter 4 Ax = b formundaki lineer sistemlerin Çözümleri (The solution of Linear Systems Ax = b) Matris ve Vektörlerin Özellikleri (Properties of Vectors and Matrices) 39 4 Lineer Denklem Sistmelerinin Çözümleri için Direkt Yöntemler (Direct Methods for Linear Systems of Equations) 49 4 Üçgensel Sistemler(Triangular Systems) 49 4 Cramer Kuralı(Cramer s Rule) 5 43 Gauss Eliminasyonu ve Merkezi Nokta(Gauss Elimination and Pivoting) 5 44 LU Çarpanlarına Ayırma Yöntemi (LU Factorization Method) Hata Analizi (Error Analysis) 6 Isaac Newton, 4 ocak 643 yılında Woolsthorpe-Ingiltere doğumlu 3 mart 77, Londra-Ingiltere de öldü 7 yaşında CambridgedeLucasianbaşkanlığını yaptı iii

5 iv CONTENTS 43 Lineer Denklem Sistmelerinin Çözümleri için İteratif Yöntemler (Iterative Methods for Linear Systems of Equations) Richard Yöntemi (Richard s Method) Jacobi İterasyonu(Jacobi Iteration) Gauss-Seidel İterasyonu(Gauss-Seidel Iteration) 7 Chapter 5 İnterpolasyon (Interpolation) Polinom İnterpolasyonu (Polynomial Interpolation) 77 5 Temel Yaklaşım (Naive Approach) Lagrange Polinomları (Lagrange Polynomial) Newton Yöntemi (Newton Method) 8 55 Bölünmüş Farklar (Divided Differences) 83 Chapter 6 Sayısal İntegral (Numerical Integration) Dikdörtgenler kuralı (Rectangular rule) 87 6 Sol Nokta kuralı (Left-point rule) 87 6 Sağ Nokta kuralı (Right-point rule) Orta nokta kuralı (Midpoint rule) 88 6 Newton - Cotes Formülü (Newton Cotes Formulas) Yamuk Yöntemi (Trapezoidal Rule) 9 64 Genelleştirilmiş yamukformülü (Composite Trapezoidal Rule) 9 65 Simpson Yöntemi (Simpson s Rule) Genelleştirilmiş SimpsonYöntemi (Composite Simpson s Rule) 94 Bibliography 97 Bibliography 97

6 List of Figures Algoritma 3 0luk sistemden lik sisteme dönüşüm 4 3 0luk sistemdeki ondalık sayıların lik sisteme dönüşümü 6 3 Topun su yüzeyindeki durumu 3 Denklemin grafiği 33 Ara değer teoreminin uygulaması 3 34 Ara değer teoremi için ters örnek! 3 35 e x x fonksiyonu 4 36 g (x) = ex ve y = x fonksiyonları 4 37 g (x) =ln(x +)vey = x fonksiyonları 5 38 (a) 0 <g (x) < oldugu durum - monoton yakınsaklık (b) <g (x) < 0 oldugu durum - salınımlı yakınsaklık (c) g (x) > oldugu durum - monoton ıraksaklık (d) g (x) > oldugu durum - salınımlı ıraksaklık 6 39 x = 3 3x +0grafiği 7 30x = e05x grafiği 8 3İkiye Bölme Yöntemi 9 3x 3 +4x 0 fonksiyonu 0 33x =tanx, x [4, 45] denklemi 34Regula Falsi Yöntemi 35İkiye Bölme ve Regula Falsi Yöntemlerinin yakınsaklıklarının karşılaştırılması 4 36İkiye bölme yönteminin Regula Falsi yönteminden daha iyi yakınsadığı durum 4 37f (x) =x x fonksiyonu cos (e x ) e x =0,x [0, ] 5 39Newton Raphson Yöntemi 6 30exp (x) 5sin ( ) πx 7 3f (x) =x sin (x) fonksiyonu 8 3Kirişler Yöntemi 30 33Kirişler Yönteminin yakınsaklığı 3 34x 3 +cos(x) fonksiyonu 3 35cos (x) + sin (x)+x fonksiyonu 3 36x 3 x x + fonksiyonun grafiği f (r n ) <εkoşulu 34 38r n noktası r δ ve r + δ aralığının içinde kalması durumu r n r <δve f (r n ) <εkoşulları 35 v

7 vi LIST OF FIGURES 330 r n r <δveya f (r n ) <εkoşullarından birinin olmadığı durum 36 33Muller Yöntemi x + y + z 5=0,x+4y + z 4=0,x+ y +3z 3=0düzlemleri 39 4 Determinant Denklemin grafiği 74

8 List of Tables lik sistem ve 0luk sistem dnşm tablosu 5 Cozum 8 Cozum 8 3 x 3 +4x 0 = 0, x [, ] denkleminin çözümünü ikiyebölme yöntemi ile bulunması 4 x = tanx, x [4, 45] denkleminin çözümünüikiyebölme yöntemi ile bulunması 5 x x =0,x [0, ] denkleminin regula falsi yöntemi ile çözümü 5 6 +cos(e x ) e x =0,x [05, 5] denkleminin regula falsi yöntemi ile çözümü 5 7 exp(x) 5sin ( ) πx =0, denkleminin çözümünü r0 =05 başlangıç noktası ve Newton-Raphson yöntemi ile bulunması 8 8 x sin (x) = 0 denkleminin çözümünü r 0 = başlangıç noktası ve Newton-Raphson yöntemi ile bulunması 8 9 değerini Newton Raphson yöntemi ile ve r0 =,ε =0 4 seçerek 4 basamak kesinliğe göre hesaplanması 30 0 x 3 +cos(x) =0, r 0 =,r = 0 balangıç iterasyonları verilerek kirişler yöntemi ile çözümü 3 cos (x) + sin (x) +x =0, r 0 =0,r = 0 başlangıç iterasyonları verilerek kirişler yöntemi ile çözümü 33 vii

9 Chapter 0 Giriş Giriş Neden Sayısal Yöntemler? Matematikte değişik tipte denklem türleri ile kaşılaşmak mümkündür Bunlardan bazıları önceki matematik derslerinde ele alınmıştır Örneğin lineer denklemler ax + b = 0,a,b IR,a 0 denkleminin çözümünü x = b/a olarak elde etmiştik Bunun yanısıra lıneer olmayan pek çoğu için ki bunlardan en kolayı ax +bx+c = 0,a,b,c IR,a 0 tipinde dereceden polinomlar(parabol) dır Bu denklemin iki çözmünü x,x olarak adalandırırsak çözümleri x i = b± b 4ac a, i =, ile gösterilir 6 yüzyılda Italyan matematikçiler Niccolo Fontana Tartaglia ( ), Lodovico Ferrari (5 565) ve Girolamo Cardano (50 576) Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus adlı makalelerinde 3ve 4 dereceden polinomlar için bu formüle çok da benzer olmayan bir formül ortaya koydular Tabi bulunan bu formüllerin genellemesi, şu ana kadar, derecesi 5 ve 5 ten büyük hehangi bir polinomun köklerini bulmak için genelleştirilemedi Örneğin x 5 4x = 0 denklemi gibi Polinom denklemlerini çözümleri için genel anlamada bir formül olmadığı için bu türlü ve hatta daha genel anlamda f (x) = 0 formunda tüm denklemlerin çözümleri için yaklaşımlar verilicektir Burada bir denklemin çözümü var mıdır? ve eğer çözüm varsa bu çözümü nasılbuluruz? sorularının cevabını arayacağız Bu derste görüceğimiz başka bir konu ise f (x) fonksiyonunun x 0,x,, x n gibi belli noktalarda değerleri verildiğinde bu f (x) fonksiyonunu nasıl oluşturabilirizdir Diğer bir konu ise integralle ilgilidir 0 exp (x) dx veya π cos (x) dx 0 integrallerini hesaplayabilirken 0 exp ( x ) dx veya π 0 cos ( x ) dx gibi integralleri nasıl hesaplayabilir hakkında konuşucağız Ele alınacak olan tüm nümerik tenkniklerin belli oranda hata payı olduğu gibi bu hata paylarındaki analizler verilcektir Sayısal yöntemlerde, yinelemeli hesaplar için bilgisayar çözümlerine ihtiyaç duyacağız Sayısal Analizin Geçmişi Nümerik algoritmaların geçmişi çok eski zamanlara dayanmaktadır Eski Mısırda The Rhind Papyrus (650 MÖ) basit bir denklemin kökleri nasıl bulunuru açıklamıştır Archimedes of Syracuse (87- MÖ) ise geometrik eşkillerinin hacimlerin, alanların veya uzunlukların nasıl hesaplandığını bulmuştur Yaklaşımını bulma yöntemi kullanılmı sayısal integrallemenin ruhunu oluşturmuştur ki bu ise saac Newton and Gottfried Leibnitz in öcülüğünde matematiksel hesaplamanın gelişimine katkıda bulunmuştur Nümerik hesaplamanın gelişiminin büyük bir kısmı, matematiksel modellemenin fiziksel gerçekliğe(fiziksel olaylar,mühendislik, tıp, ticaret vbgibi) uygulamalarıyla Newton and Leibnitz tarafından hesaplamanın keşfi ile başlamıştır Bu matematik modeller zaman zaman açık bir şekilde çözülemediğinden sayısal yöntemlere ihtiyaç duyulmuştur Sayısal analizdeki en önemli gelişmelerden bir diğeri de Napier (64) tarafından logaritmanın keşfidir Newton çeşitli problemlerin sayısal çözümleri için bazı yöntemler bulmuştur Onlardan bir kaçı kök bulma ve polinomların interpolasyonudur Newtonu takip eden 8 ve 9 yüzyıldaki matematikçilerin çok büyük bir kısmı, matematiksel problemlerin sayısal çözümlerinde büyük katkılar sağlamışlardır Bunlardan bazıları Leonhard Euler ( ), Joseph-Louis Lagrange (736-83), and Karl Friedrich Gauss ( ) tır 800 li yıllarin sonlarında matematikçilerin büyük bir kısmı ilgi alanları çerçevesinde sayısal analizi kullanmış olupgelişimlerde bulunulmaya devam etmektedir

10 0 GIRIŞ 3 Sayısal Analize Genel Bir Bakış Açısı Sayısal analiz, problemlerin sayısal çözümlerinin teorik gelişmeleri ve bunların bilgisayar programlarına etkisi ve güvenilirliği ile ilgilenmektedir Pek çok sayısal analizci küçük alt alanlarda çalışmalarını sürdürmekte olmasına rağmen genel bir perspektif ve ilgiyi paylaşmaktadırlar Bunlardan bazıları şunlardır: () Genel anlmada bir problem direkt olarak çözülemiyorsa problemi, probleme çok yakın olan ve problemden daha kolay başka bir problem ile değiştirmek Örneğin nümerik integralleme ve kök bulma yöntemleri () Lineer cebir, reel analiz ve fonksiyonel analiz alanlarında oldukça geniş bir kullanım alanına sahiptir (3) Hata ile ilgili temel bir merak söz konusudur Hatanın büyüklüğü ve onun analitik formu bunlarda bazılarıdır şıkta bahsedildiği üzere problemin kendisi değilde yaklaşık problem ele alındığında hesaplamalrdan doğüacak bir hata kaçınılmazdır Dahası hatanın formunu anlamak sayısal metodun yakınsaklık davranışını iyileştirecek şekilde tahmin etme yöntemini oluşturur (4) Kararlılık, problemlerdekiparameterelerinveyaverilerdekiküçük değişimlerekarşıproblemingöstermiş olduğu hassasiyet olarak adalandırılır ve sayısal analzide oldukça öenmli bir konudur Örneğin p (x) = (x ) (x ) (x 3) (x 4) (x 5) (x 6) (x 7) = x 7 8x 6 + 3x 5 960x x 3 3 3x x 5040 polinomunun köklerinden biri 5 ve 6 dır x 6 teriminin önündeki katsayıyı 800 ile değiştirdiğimizde 5459±0540i, olarak buluyoruz ki değerde oldukça büyük bir değişim vardır Bu türlü polinomlara, kök bulma problemlerine göre kararlı olmayan veya iyi tanımlı olmayan polinomlarda denir Bu anlamda problemlerin çözümleri için geliştirilen sayısal yöntemler, orjinal problemin çözülmesinden daha fazla hassasiyet taşırlar Dahası, orjinal problemin kararlı ve iyi tanımlı olduğuda incelenmelidir Bu türlü konuları özelliklede sayısal lineer cebirde görebilirsiniz (5) Numerik analizciler, bilgisayar aritmetiğini kullanan sonlu ifadelerin etkileri ile oldukça ilgilidirler Bu türlü problemleri yine sayısal lineer cebirde görüceğiz (Örneğin yuvarlama hatasını içeren büyük problemler gibi) (6) Nümerik analizciler, algoritmaların etkisinin ölçümü ile oldukça ilgilidirler Belirli algoritmanın maaleiyeti nedir sorusu onlar için çok önemlidir Örneğin, n denklem içeren Ax = b lineer denklemini çözerken n 3 miktarında aritmeatik işlem kullanılmaktadır Bunu diğer problemlerin çözümleri için sayısal yöntemlerle nasıl kaşılaştırabiliriz? 4 Sayısal Yöntemlerin Sınıflandırılması () Sayı sistemleri ve hatalar (Number Systems and Errors) () Denklemlerin köklerinin bulunması (The Solution of Equations) (3) Lineer denklem sistemlerinin çözümlerinin bulunması (Matrices and Systems of Linear Equations) (4) Optimizasyon (Optimization) (5) İnterpolasyon (Interpolation) (6) Eğri uydurma (Regression) (7) Sayısal integral (Integration by numerical methods) (8) Sayısal türev (Numerical differentiation) (9) Adi Diferansiyel denklemlerin çözümleri(the Solution of Ordinary Differential Equations) (0) Kısmi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri (Numerical Solution of Partial Differential Equations)

11 Chapter Sayı sistemleri ve hatalar (Number Systems and Errors) Sayı sistemleri ve hatalar (Number Systems and Errors) Tam Sayıların Gösterimleri (The Representation of Integers) Hayatımızda sayıları ondalıklı sistemlerde kullanırız Buna göre 57 sayısının ondalık gösterimini 57 = = olarak yazabiliriz Buna göre herhangi bir tam sayıyı, katsayıları 0 ile 9 arasında değişicek şekilde polinom olarak ifade edebiliriz Bunun için kullanmış olduğumuz gösterim aşağıdaki gibidir: a 0,a,a,, a n {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} için N = (a n a n a 0 ) 0 = a n 0 n + a n 0 n + + a 0 0 0, Neden 0 luk sistem kullanıldığına dair temel bir gerçek de bulunmamaktadır Bununla birlikte elektriksel tepkilerde açık(on)-kapalı(off) ifadeleri kullanılmaktadır ve bunların bilgisayarlarda gösterimleri ikili sistemlerle (binary system) ifade edilir Bu ifadelerde ise taban olup olup, polinomun katsayıları 0 ile dir Negatif olmayan bir tamsayıyı lik sistemde aşağıdaki gibi gösteririz a 0,a,a,, a n {0, } için N = (a n a n a 0 ) = a n n + a n n + + a 0 0, Bilimsel çalışmalarda kullanılan pek çok çalışma lik sistemde işlem yapsada bilgisayar kullanıcıların çoğunluğu 0luk sistemde çalışmayı tercih ederler Bu sebepten ötürü iki sistemin birbirine çevirilmesi gerekmektedir lik sistemden 0luk sistme çeviriyi lik sitemin tanımından direk olarak verebiliriz Örneğin Bunu genel olarak aşağıdaki algoritma ile verebiliriz () = + 0 =3 (0) = =3 Algoritma N =(a n a n a 0 ) x, 0 <x<0 doğal sayısının 0 tabanında N = b 0 olarak gösteririz ki burda b 0 aşağıdaki yinelemeli işlemler sonucunda elde edilir: 3 Figure Algoritma

12 4 SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS) b n = a n b n = a n + b n x b n = a n + b n x b n 3 = a n 3 + b n x b = a + b x b 0 = a 0 + b x Örnek (0) ifadesini yukarıdaki algoritmasını kullanarak 0luk sisteme dönüştürünüz Çözüm 0 = a 3 a a a 0 b 3 = a 3 = b = a + b 3 =+ =3 b = a + b =0+ 3=6 b 0 = a 0 + b =+ 6=3 (0) = b 0 =3 Örnek 3 (0000) ifadesini yukarıdaki algoritmasını kullanarak 0luk sisteme dönüştürünüz Çözüm 0000 = a 4 a 3 a a a 0 b 4 = a 4 = b 3 = a 3 + b 4 =0+ = b = a + b 3 =0+ =4 b = a + b =0+ 4=8 b 0 = a 0 + b =0+ 8=6 (0000) = b 0 =6 Örnek 4 87 ifadesini lik sisteme dönüştürünüz Çözüm 87 = 93 + b 0 = 93 = 46 + b = 46 = b =0 3 = + b 3 = = 5 + b 4 = 5 = + b 5 = = + 0 b 6 =0 Figure 0luk sistemden lik sisteme b 7 = 87 = (00) dönüşüm Uyarı 5 lik sistemden 8lik sisteme dönüşüm yaparken veya 8lik sistemden lik sisteme dönüşüm yaparken aşağıdaki tablıyou kullanırız ve sayıları 3 hane olarak birler basamağından başlayarak ayırırız

13 (347) 8 = ( (0) (00) () ) = (000) (00) = ( (0) () (0) ) = (73)8 SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS) 5 Table lik sistem ve 0luk sistem dnşm tablosu 0luk sistem lik sistem 0 (0) () (0) 3 () 4 (00) 5 (0) 6 (0) 7 () 8 (000) 9 (00) 0 (00) Örnek 6 (347) 8 ifadesini lik sisteme dönüştürünüz Çözüm Örnek 7 (00) ifadesini 8lik sisteme dönüştürünüz Çözüm Kesirli Sayıların Gösterimleri (The Representation of Fractions) Tanım 8 x bir pozitif tam sayı ve x I bu sayıdan küçük en büyük tam sayı olmak üzere x F = x x I ifadesine x reel sayısının kesirli kısmı denir ve aşağıdaki şekilde gösterilir: x F = b k 0 k, 0 b k < 0 Eğer b k sayısı herhangi bir sayıda sıfır oluyorsa kesirli ifade durdurulmuştur denir Örneğin 4 =05= kesirli ifadesi durdurulmuştur ancak k=0 3 =03333 = Notasyon x = a n a n a 0 b b reel sayısını 0luk sistemde (a n a n a 0 b b ) 0 veya lik sistemde (a n a n a 0 b b ) olarak göstericeğiz

14 6 SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS) Algoritma 9 N =(0b b ) 0, reel sayısının x tabanında aşağıdaki işlemlerle elde ederiz: f 0 = 0b b d = (x f 0 ) I,f =(x f 0 ) F d = (x f ) I,f =(x f ) F d 3 = (x f ) I,f 3 =(x f ) F N = (0d d ) x Örnek 0 (07) 0 ifadesini lik sisteme dönüştürünüz Çözüm 07 =4 d =(4) I =,f =(4) F =04 04 =08 d =(08) I = 0,f =(08) F =08 08 =6 d 3 =(6) I =,f 3 =(6) F =06 06 = d 4 =() I =,f 4 =() F =0 0 =04 d =(04) I = 0,f 5 =(04) F =04 (07) 0 = ( 0000 ) Örnek (065) 0 ifadesini lik sisteme dönüştürünüz Çözüm Figure 3 0luk sistemdeki ondalık sayıların lik sisteme dönüşümü 065 = 5 d =(5) I =,f =(5) F =05 05=05 d =(05) I = 0,f =(05) F =05 05 = d 3 =() I =,f 3 =() F =0 0=0 d 4 =(0) I = 0,f 4 =(0) F =0 (065) 0 =(00) Örnek (00) ifadesini 0luk sisteme dönüştürünüz Çözüm Algoritma 9 yi kullanabiliriz: 0 (00) = (00) (00) = (00) d = ((00) ) I = (0) =(6) 0,f = ((00) ) F =(00) 0 (00) = (00) (00) =(0) d = ((0) ) I = (0) =() 0,f =((0) ) F =(0) 0 (0) = (00) (0) = (0) d 3 = ((0) ) I = (0),f 3 = ((0) ) F =(0) (065) 0 = (0)

15 838 = fl c ( 838) = ,fl f ( 838) = SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS) 7 : 3 Kayan Noktalı = = İşlemler (Floating Point Arithmetic) Bilgisayar (computing) camiasında reel sayılara reel sayı değil de kayan noktalı sayı denmesinin nedeni noktanın yerinin değiştirilebilir olmasından kaynaklanıyor olmasıymış misal reel sayıları göstermek için 8 basamak kullanalım dersek , , , , vs şeklinde sayıları gösterebiliyoruz eğer sabit noktalı kullanım olsaydı, her sistemin ben noktadan sonra en fazla şu kadar basamak gösteririm şeklinde tasarlanması gerekirdi Öyle olunca noktadan sonra üç basamak göstereceğim denilirse 93 gösterilebilir ama 934 gösterilemezdi Tanım 3 n basamaklı β tabanındaki kayan noktalı x sayısının en genel halde gösterimi aşağıdaki gibidir: x = ± (0d d ) β β e burada 0d d sayısına mantis (mantissa-ondalık kısım), e sayısına da kuvvet (exponent) denir d 0ise kayan noktalı x sayısına normalleştirilmiştir denir Tanım 4 k, bir bilgisayarın kayan noktalı hesaplamalarındaki kullanımlarındaki maksimum basamak olmak üzere x = ± (0d d d k ) β β e kayan noktalı sayısını türlügösterimi vardır Bunlardan si kesilmiş kayan nokta gösterimidir(chopped floating number representation) ve aşağıdaki şekilde verilir: fl c (x) =± (0d d d k ) β β e diğer gösterim ise yuvarlanmış kayan nokta gösterimidir(rounded floating number representation) ve aşağıdaki şekilde verilir: fl r (x) =± (0d d d k r k ) β β e Burada r k sayısı d k d k+ d k+ ondalıklı sayısının en yakın tamsayıya yuvarlaması ile oluşur Örnek 5 fl c ( 3) =?,flf ( 3) =?,flc ( 838) =?,fl f ( 838) =?( ondalık basamaklı kayan nokta gösterimleri nelerdir?) Çözüm 3 ( ) ( ) = 06 fl c = ,fl f = Tanım 6 x = ± (0d d d k ) β β e kayan noktalı sayısı ile fl c (x) veya fl r (x) arasındaki farka yuvarlama hatası denir Yuvarlama hatası x sayısına bağlı olup aşağıdaki bağıntı geçerlidir fl c (x) = x + xδ c, β k <δ c < 0 fl r (x) = x + xδ r, δ r < β k

16 8 SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS) Örnek 7 x =0 0,y = olmak üzere x + y ve x y ifadelerini ondalık basamaklı kayan nokta gösterimleriyle bulup yuvarlama hatalarını elde ediniz Çözüm x = ,y = x + y = x + y = fl c (x + y) =00 0 δ c = = = fl r (x + y) =00 0 δ r = = = x y = = = fl c (x y) = δ c = = = Hata Analizi ve Hatanın Yayılması (Error Analysis & Propagation of Error) Sayısal yöntemlerde pek çok problemin çözümü için hesapladığımız değerler gerçek değerler olmayabilir Bu anlamda özelliklede sayısal algortimaların gelişmesinde bize rehberlik edicek olan bazı tanımlamaları vermemiz gerekmektedir Tanım 8 x gerçek değerine yaklaşık değeri x ile gösterelim Buna göre E x = x x ifadesine hata (error) ifadesine de bağıl hata (relative error) denir R x = x x x,x 0 Örnek 9 değerleri için hata ve bağıl hatayı bulunuz Çözüm (a) x = 3459 x =34 (b) y = ỹ = (c) z = z = E x = x x = = R x = x x x = = E y = y ỹ = = 4 R y = y ỹ y = 4 = E z = z z = = R z = z z z = =05 Tanım 0 Çok kompleks bir matematiksel ifade daha elementer işlemler içeren bir formül ile yer değiştirdiğinde kesme hatası (truncation error) kavramı meydana gelmektedir Genel anlamda sayısal yöntemlerin kesilmesinden elde edilen hatadır

17 SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS) 9 Örnek ifadesinde ilk 4 toplamı: aldığımızda kesme hatası meydana gelecektir e x =+x + x4! + x6 xn ! n! +x + x4! + x6 3! Tanım Yuvarlama hatası (round-off error) özelliklede bilgisayardaki kısıtlı depolamadan kaynaklamktadır Örneğin 0 = ( 0000 ) olmasına rağmen bilgisayarda bu değer son hanesine kadar alınamayacağından belli bir ondalıktan sonra kesilip yuvarlanmaktadır Tanım 3 Örneğin x = ve y = sayılarını ele alalım x y = = farkı bize x ve y sayılarının ilk 6 hanesi aynı olduğunu söylemektedir ki virgülden sonra 5 sayının aynı olması demektir Bu gibi ifadelere basamakların anlamını yitirmesi (loss od significance digits) de denir Örnek 4 f (x) =x ( x + x ),g(x) = ve g (500) değerlerini bulunuz x x++ x fonksiyonları için f (500) Çözüm ( ) f (500) = = 500 ( ) = = g (500) = = = =748 gerçekte f (x) veg (x) fonksiyonları cebirsel olarak birbirine denk olmasına rağmen elde edilen sayısal sonuçlar aynı olmamaktadır ve gerçekte g (500) = 748 değeri gerçek değer olan ifadesinin 4 basamağa yuvarlanmış halidir Not Hatanın artmasını (propogation of error) toplama, çarpmada şu şekilde verebilir x gerçek değerine yaklaşık değeri x, y gerçek değerine yaklaşık değeri ỹ ile gösterelim Buna göre x = x + E x y = ỹ + E y () Toplamada hata artışını Toplamdaki hata, hataların toplamıdır şeklinde ifade edebiliriz x + y =( x + E x )+(ỹ + E y )=( x + ỹ)+(e x + E y ) () Çarpmada hata artışını biraz daha karmaşıktır: xy =( x + E x )(ỹ + E y )= xỹ + xe y + ỹe x + E x E y olarak elde ederiz ki x ve ỹ burda den büyük bir değerde ise xe y, ỹe x terimleri yeterince büyük olabilir Tanım 5 Bir sayısal yöntemde başlangıçta verilen değerlerdeki küçük hatalar sonuca da küçük hata olarak yansıyorsa bu yöteme kararlıdır (stable) aksi durumda ise kararlı değildir (unstable) denir

18 0 SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS) Örnek 6 p (x) = (x ) (x ) (x 3) (x 4) (x 5) (x 6) (x 7) = x 7 8x 6 + 3x 5 960x x 3 3 3x x 5040 polinomunun köklerinden biri 5 ve 6 dır x 6 teriminin önündeki katsayıyı 800 ile değiştirdiğimizde 5459 ± 0540i, olarak buluyoruz ki değerde oldukça büyük bir değişim vardır Bu türlü polinomlara, kök bulma problemlerine göre kararlı olmayan veya iyi tanımlı olmayan polinomlar da denir

19 Chapter 3 f (x) =0Formundaki Lineer Olmayan Denklemlerin Çözümleri (The Solution of Nonlinear Equations f (x) =0) f 3(x) = 0 Formundaki Lineer Olmayan Denklemlerin Çözümleri (The Solution of Nonlinear Equations f (x) = 0) ax + b =0,a 0 türündeki denklemleri çözmek oldukça kolaydır ve hatta lineer olmayan ax + bx + c =0,a,b,c IR,a 0 denklemlerinin çözümünü de kolayca bulabiliriz Ancak 3 mertebden ve daha yüksek polinomlar için çözüm bulmak her zaman çok kolay olmamaktadır Şimdi ise özgül ağırlığı 06 veyarıçapı 55cm olan bir topun suda ne kadar battığını bulucak bir problemi ele alalım Newton un 3 hareket kuralına göre topun ağırlığı suyun kaldırma kuvvetine eşit olacaktır Topun ağırlığı =(Topun Hacmi) (Topun yoğunluğu) (Y ercekimi ivmesi) ( ) 4 = 3 πr3 (ρ b ) (g) R := Topun yarıçapı (m metre) ρ b := Topun yoğunluğu ( kg/m 3) g := Yercekimi ivmesi ( m/s ) Kaldırma kuvveti = Yer değiştiren suyun ağırlığı = (suyun altında kalan topun hacmi) ( (suyun yoğunluğu) (Yercekimi ivmesi) = πx R x ) (ρ w ) (g) 3 x := topun batan kısmının yüksekliği ρ w := suyun yoğunluğu ( kg/m 3) Figure 3 Topun su yüzeyindeki durumu

20 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) Newton un 3 hareket kuralına göre ( ) 4 3 πr3 (ρ b ) (g) =πx ( R x 3 ( 4R 3 ρ b =3x R x 3 4R 3 ρ b 3x Rρ w + x 3 ρ w =0 ) (ρ w ) (g) ) ρ w 4R 3 ρ b 3x R + x 3 =0 ρ w γ b := ρ b =06 (topun özgül ağırlığı) ρ w R =55cm =0055m x + x 3 =0 Bu ise lineer olmayan bir denklem olup topun batan kısmının yüksekliğini gösteren x i bulmak bundan sonraki ilgileniceğimiz konu olucaktır Ki bu denklemin kökleri, , , olup grafiğini aşağıdaki gibi verebiliriz y x Figure 3 Denklemin grafiği Problem Buna göre bu konu altında f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve sınırlı bir fonksiyon olmak üzere f (r) =0koşulunu sağlayacak şekilde r [a, b] çözümünü bulabilirmiyiz sorusunun cevabını bulmaya çalışacağız ki bu durumda 3 soru aklımıza gelmektedir () Bir fonksiyonun çözümünün var olup olmadığını nasıl bulabiliriz? () Çözüm varsa çözümü nasıl bulabiliriz? (3) Bulduğumuz çözüm, gerçek çözüme ne kadar yakınsaktır? 3 sorunun cevabı için yakınsaklık tanımını verelim: Tanım 3 olsun Eğer lim x n = x n x n+ x c x n x p koşulu sağlanıyorsa {x n } dizisine p mertebeden yakınsaktır denir ve p ye de yakınsaklık derecesi denir sorunun cevabını aşağıda verelim Diğer soruların cevabını ise bu konudaki altbaşlıklarla vermeye çalışacağız Teorem 3 f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve sınırlı bir fonksiyon olmak üzere f (a) f (b) 0 koşulunu sağlasın O halde f (r) =0koşulunu sağlayan r [a, b] vardır

21 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)3 Figure 33 Ara değer teoreminin uygulaması Uyarı 33 Burda dikkat edilmesi gereken en önemli noktalardan birisi ise fonksiyonun sürekli ve sınırlı olmasıdır Eğere bu koşullardan biri sağlanmıyorsa yukaridaki teoremi uygulamamız mümkün değildir Figure 34 Ara değer teoremi için ters örnek! Örnek 34 Aşağıdaki fonksiyonların verilen aralıklarda çözümünün olup olmadığını belirtiniz () f (x) =e x x, [ 5, 3] ve [ 3, ] () f (x) =cos(x)+ x, x radyan olarak alınacak, [, ] ve [, 3] (3) f (x) = ln (x) 5+x, [, 3] ve [3, 5] Çözüm () f (x) =e x x f ( 5) f ( 3) = > 0 olduğundan [ 5, 3] aralığında kök yoktur f ( 3) f ( ) = < 0 olduğundan [ 5, 3] aralığında kök vardır () f (x) =cos(x)+ x f ( ) f () = 375 > 0 olduğundan [, ] aralığında kök yoktur f () f (3) = 655 < 0 olduğundan [, 3] aralığında kök vardır

22 4 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) (3) f (x) = ln (x) 5+x f () f (3) = > 0 olduğundan [, 3] aralığında kök yoktur f (3) f (5) = 4507 < 0 olduğundan [3, 5] aralığında kök vardır 3 Sabit Nokta İterasyonu (Fixed Point Iteration) Sabit nokta iterasyonunun ana fikri f (x) =0 denklemini x = g (x) formuna getirmektir Örnek 35 e x x =0denklemini x [, ] aralığında x = g (x) şekline getiriniz y x Figure 35 e x x fonksiyonu Çözüm f (x) = e x x =0,x [, ] x = ex = g (x) g () = e =08594 / [, ] olduğundan bu şekilde dönüştüremeyiz y Figure 36 g (x) = ex ve y = x fonksiyonları x e x = x + x =ln(x +)=g (x) g () = ln ( +)= 0986 [, ], g () = ln ( +)= 6094 [, ] olduğundan bu formu kullanmalıyız

23 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)5 y Figure 37 g (x) =ln(x +)vey = x fonksiyonları x Tanım 36 g (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli,sınırlı ve g (x) [a, b] olsun x n+ = g (x n ),n=0,,, 3, (3) ile verilen yineleme formülüne sabit nokta veya basit iterasyon (fixed point iteration or simple iteration)denir x n,n 0 sayılarına iterasyon n = 0 durumunda x 0 sayısına başlangıç iterasyonu denir Eğer (3) ile tanımlanan {x n } dizisi x noktasına yakınsak ise x sayısı g (x) fonksiyonunun sabit noktasıdır: Gerçekten x = g ( x) lim n x n = x ise ( ) x = lim x n+ = lim g (x n)=g lim x n = g ( x) n n n Yöntemi aşağıdaki şekilde verebiliriz: Algoritma 37 Adım : Adım : x 0 başlangıç iterasyonunuveε>0 hata payını verin ve n =0alın x n+ = g (x n ) formülü ile bir sonraki iterasyonu elde ediniz Adım 3: x n+ x n >εise n yi arttırın (n = n +) ve adıma gidiniz Adım 4: Bulunan x n+ sayısını x = g (x) denkleminin çözümü olarakbelirtiniz Problem (3) ile tanımlanan {x n } dizisi ne zaman yakınsaktır? Teorem 38 g (x) ve g (x) fonksiyonu (a, b) aralığında sürekli ve x (a, b) sabit noktayı göstersin (i) Eğer x [a, b] için g (x) K< koşulu sağlanıyorsa x 0 (a, b) için (3) ile tanımlanan {x n } dizisi x sabit noktasına yakınsar (ii) Eğer x [a, b] için g (x) > koşulu sağlanıyorsa (3) ile tanımlanan {x n } dizisi x sabit noktasına yakınsamaz x noktasına ıraksak sabit nokta (repulsive fixed point) denir ve iterasyon da lokal olarak ıraksaklık gösterir

24 6 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) (a) (b) (c) (d) Figure 38 (a) 0 <g (x) < oldugu durum - monoton yakınsaklık (b) <g (x) < 0 oldugu durum - salınımlı yakınsaklık (c) g (x) > oldugu durum - monoton ıraksaklık (d) g (x) > oldugu durum - salınımlı ıraksaklık Proof (i) Öncelikle (3) ile tanımlanan {x n} dizisinin [a, b] aralığında olduğunu gösterelim: Ara değer teoremini kullanarak aşağıdaki sonucu elde ederiz: x x = g ( x) g (x 0 ) = g (c 0 )( x x 0 ) = g (c 0 ) x x 0 K x x 0 < x x 0 <δ x (a, b) Şimdi tümevarım yöntemi ile x n (a, b) olsun x n+ (a, b) olduğunu gösterelim: x x n+ = g ( x) g (x n ) = g (c n )( x x n ) = g (c n ) x x n K x x n < x x n <δ x n+ (a, b) Şimdi ise x x n+ K n x x 0 olduğunu gösterelim Yukarıda x x K x x 0 olduğunu göstermiştik Tümevarım yönteminden faydalanarak x x n K n x x 0 olduğunu kabul edelim Buna göre x x n+ g ( x) g (x n ) = g (c n )( x x n ) = g (c n ) x x n K x x n KK n x x 0 = K n x x 0 Buna göre x x n+ K n x x 0 olduğunu göstermiş oluruz Burada limit aldığımızda, 0 <K< olduğundan: lim n x x n+ lim n Kn x x 0 =0

25 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)7 Sonuç 39 g (x) ve g (x) fonksiyonu (a, b) aralığında sürekli ve x (a, b) sabit noktayı göstersin Eğer x [a, b] için g (x) K< koşulu sağlanıyorsa x 0 (a, b) için (3) ile tanımlanan iterasyonun yakınsaklık derecesi dir Ve dahası x x n K n x x 0, n x x n Kn x x 0 K hata değerlendirmeleri geçerlidir Proof Teorem 38 in ispatında görüldüğü üzere x x n+ K x x n elde ederiz Buna göre tanım 3 den yakınsaklık derecesini olarak elde ederiz Ve yine Teorem 38 den x x n K n x x 0, n değerlendirmesini elde ederiz x x n = g ( x) g (x n ) = g (c n )( x x n ) K x x n = K x x n + x n x n K x x n + K x n + x n x x n K K x n + x n x x = g (x ) g (x 0 ) = g (c 0 )(x x 0 ) K x x 0 x 3 x = g (x ) g (x ) = g (c )(x x ) K x x K x x 0 x n x n = g (x n ) g (x n ) = g (c n )(x n x n ) K x n x n K n x x 0 ifadesini yerine yazdığımızda sonucu elde ederiz Örnek 30 x 3 3x 0 = 0, x [, 4] fonksiyonun çözümünü sabit nokta iterasyonu ile bulunuz Başlangıç iterasyonux 0 =5, hata payı ε =0 4 ve virgülden sonra 4 basamak alınız Çözüm x 3 3x 0 = 0 x = x3 0 ifadesini alamayız çünkü x =için x3 0 = 3 0 = / [, 4] x 3 3x 0 = 0 x 3 =3x +0 x = 3 3x +0 x =için = 8439 [, 4] x = 4 için =3 748 [, 4] x = 3 3x +0=g (x) g (x) = 3= 3 =0357 < 3 3 (3x + 0) 3 (3x + 0) 0 y Figure 39 x = 3 3x +0grafiği x

26 8 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) Table Cozum İterasyon x g(x) Eps hata Devam/Dur-Karar Çözüm y=x 0,5000,9044 0,000,5,9044 3,06 0,000,4044 Devam 0,7 3,06 3,0789 0,000 0,578 Devam 0,9 3 3,0789 3,0807 0,000 0,067 Devam 0, 4 3,0807 3,0808 0,000 0,008 Devam 0,3 5 3,0808 3,0809 0,000 E-04 Dur çözüm=3,0808,5 Örnek 3 x = e05x, x [0, ] fonksiyonun çözümünü sabit nokta iterasyonu ile bulunuz Başlangıç iterasyonu x 0 =0,ve3 iterasyona kadar hesaplayıp virgülden sonra 4 basamak alınız Çözüm x = g (x) = e05x g (0) = 05,g() = g (x) = 4 e05x = olduğundan sabit nokta iterasyonunu kullanabiliriz y Figure 30 x = e05x grafiği x Table Cozum İterasyon x g(x) Eps Devam/Dur Devam/Dur-Karar Çözüm y=x 0 0,0000 0,5000 0,000 0,5 0,5000 0,640 0,000 0,5 Devam 0 0,5 0,640 0,6893 0,000 0,4 Devam 0 0,54 3 0,6893 0,7057 0,000 0,0473 Devam 0 0,56

27 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)9 3 İkiye Bölme Yöntemi (Bisection Method) f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve sınırlı bir fonksiyon olmak üzere f (r) =0koşulunu sağlayacak şekilde r [a, b] çözümünü bulmak için İkiye Bölme Yöntemi için aşağıdaki algoritmayı uygularız: Figure 3 İkiye Bölme Yöntemi Algoritma 3 Adım : ε>0 hata payını verin ve n =0alınız ve başlangıç aralığı a 0 = a, b 0 = b seçerek [a 0,b 0 ] şeklinde belirleyiniz Adım : r n = a n + b n şeklinde aralığın orta noktasını alınız Adım 3: Eğer f (r n )=0ise r = r n şeklinde çözümü eldeederiz Adım 4: Eğer f (a n ) f (r n ) < 0 ise a n+ = a n,b n+ = r n seçerek yeni aralığı [a n+,b n+ ]=[a n,r n ] şeklinde belirleyiniz Adım 5: Eğer f (r n ) f (b n ) < 0 ise a n+ = r n,b n+ = b n seçerek yeni aralığı [a n+,b n+ ]=[r n,b n ] şeklinde belirleyiniz Adım 6: Eğer a n b n >εise n yi arttırın (n = n +) ve adıma gidiniz aksi durumda işleme son ver Problem Algoritma 3 ile verilen ikiye bölme yönteminin yakınsaklığı nedir? durur? İterasyon ne zaman Teorem 33 (İkiye bölme teoremi-bisection theorem) f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve sınırlı bir fonksiyon olmak üzere f (r) = 0 koşulunu sağlayan r [a, b] olsun Eğer f (a) f (b) 0 koşulunu sağlanıyorsa Algoritma 3 de tanımlanan {r n } n=0 dizisi x = r çözümüne yakınsaktır ve r r n b a,n=0,,, n+ eşitsizliği sağlanır ε>0 hata payını göstermek üzere maksimum iterasyon sayısı (n max )aşağıdaki şekilde verilir: ln (b a) ln (ε) n max = ln () Proof r ve r n [a, b] aralığında olduğundan aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz r r n b n a n

28 0 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) ( a) Eğer a = a 0,b = r 0 = a0+b0 ise b a = b0 a0 ( b) Eğer a = r 0 = a0+b0,b = b 0 ise b a = b0 a0 ( a) Eğer a = a,b = r = a+b ise b a = b a = b0 a0 ( b) Eğer a = r = a+b,b = b ise b a = b a = b0 a0 Tümervarım yöntemi ile b n a n = b0 a0 olduğunu kabul edelim n (n a) Eğer a n = a n,b n = r n = an +bn ise b n a n = bn an = b0 a0 n (n b) Eğer a n = r n = an +bn,b n = b n ise b n a n = bn an = b0 a0 n Böylece r r n b n a n = b 0 a 0 n+ sonucunu elde ederiz b 0 a 0 n+ = b a n+ ε b a ε n n ln ( ) b a ε n max = ln () ln (b a) ln (ε) ln () Not İkiye bölme yöntemi, en yavaş yakınsaklığa sahip bir yöntem olmasına rağmen hatalı sonuçlanmayan bir yöntemdir Örnek 34 x 3 +4x 0 = 0, x [, ] denkleminin çözümünü ikiye bölme yöntemi ile bulunuz Hata payı ε =0 6 ve virgülden sonra 6 basamak alınız y x -4 Figure 3 x 3 +4x 0 fonksiyonu Çözüm

29 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) Table 3 x 3 +4x 0 = 0, x [, ] denkleminin çözümünü ikiyebölme yöntemi ile bulunması İterasyon a f(a) b f(b) f(a)*f(b)<0mı? r=(a+b)/ f(r) eps devam Kök 0, ,000000, , KökVar,5,375 0,00000 Devam, ,000000,500000, KökVar,5 -, ,00000 Devam, ,796875,500000, KökVar,375 0,609 0,00000 Devam 3, ,796875, ,609 KökVar,35-0, ,00000 Devam 4,3500-0,848389, ,609 KökVar, , ,00000 Devam 5, ,350983, ,609 KökVar, ,0964 0,00000 Devam 6, ,096409, ,609 KökVar, , ,00000 Devam 7, ,096409, ,03364 KökVar,3638-0,034 0,00000 Devam 8,3638-0,0338, ,03364 KökVar, , ,00000 Devam 9,3638-0,0338, ,00008 KökVar, ,0603 0,00000 Devam 0, ,0607, ,00008 KökVar, , ,00000 Devam, ,007974, ,00008 KökVar, , ,00000 Devam, ,003946, ,00008 KökVar,3653-0,0093 0,00000 Devam 3,3653-0,0093, ,00008 KökVar, , ,00000 Devam 4, ,00095, ,00008 KökVar, ,0004 0,00000 Devam 5, ,00043, ,00008 KökVar,365-0,0007 0,00000 Devam 6,3650-0,00065, ,00008 KökVar,3658-3,3E-05 0,00000 Devam 7,3658-0,000033, ,00008 KökVar,3653 0, ,00000 Devam 8,3658-0,000033,3653 0, KökVar, ,00000 Devam 9, ,000000, , KökYok, ,00000 Dur Çözüm=,3653 Örnek 35 x =tanx, x [4, 45] denkleminin çözümünü ikiye bölme yöntemi ile bulunuz Hata payı ε =0 3 ve virgülden sonra 3 basamak alınız y x Figure 33 x =tanx, x [4, 45] denklemi Çözüm

30 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) Table 4 x = tanx, x [4, 45] denkleminin çözümünü ikiye bölme yöntemi ile bulunması İterasyon a f(a) b f(b) f(a)*f(b)<0 mı? r=(a+b)/ f(r) eps devam Kök 0 4,000,84 4,500-0,37 Kök Var 4,50,44 0,00 Devam 4,50,44 4,500-0,37 Kök Var 4,375,54 0,00 Devam 4,375,54 4,500-0,37 Kök Var 4,438 0,885 0,00 Devam 3 4,438 0,885 4,500-0,37 Kök Var 4,469 0,44 0,00 Devam 4 4,469 0,44 4,500-0,37 Kök Var 4,485 0,63 0,00 Devam 5 4,485 0,63 4,500-0,37 Kök Var 4,493 0,008 0,00 Devam 6 4,493 0,008 4,500-0,37 Kök Var 4,497-0,074 0,00 Devam 7 4,493 0,008 4,497-0,074 Kök Var 4,495-0,03 0,00 Devam 8 4,493 0,008 4,495-0,03 Kök Var 4,494-0,0 0,00 Devam 9 4,493 0,008 4,494-0,0 Kök Var 4,494-0,0 0,00 Dur Çözüm =4, Regula Falsi Yöntemi (Regula Falsi Method) İkiye bölme yönteminin yakınsaklık hızı oldukça yavaş olduğundan bu yöntem geliştirilmiştir f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve sınırlı bir fonksiyon olmak üzere f (r) =0koşulunu sağlayacak şekilde r [a, b] çözümünü bulmak için Regula Falsi Yöntemi için öncelikle (a, f (a)) noktası ile (b, f (b)) noktalarını birleştiren doğru praçasının x eksenini kestiği noktanın eğim yardımıyla bulunması hedef alınmıştır: f (b) f (a) m = b a ve bunun için aşağıdaki algoritmayı uygularız: = 0 f (b) c b c = f (b) a f (a) b f (b) f (a) Figure 34 Regula Falsi Yöntemi Algoritma 36 Adım : ε>0 hata payını verin ve n =0alınız ve başlangıç aralığı a 0 = a, b 0 = b seçerek [a 0,b 0 ] şeklinde belirleyiniz Adım : r n = f (b n) a n f (a n ) b n f (b n ) f (a n ) şeklinde noktayı bulunuz Adım 3: Eğer f (r n )=0ise r = r n şeklinde çözümü eldeederiz

31 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)3 Adım 4: Eğer f (a n ) f (r n ) < 0 ise a n+ = a n,b n+ = r n seçerek yeni aralığı [a n+,b n+ ]=[a n,r n ] şeklinde belirleyiniz Adım 5: Eğer f (r n ) f (b n ) < 0 ise a n+ = r n,b n+ = b n seçerek yeni aralığı [a n+,b n+ ]=[r n,b n ] şeklinde belirleyiniz Adım 6: Eğer a n b n >εise n yi arttırın (n = n +) ve adıma gidiniz aksi durumda işleme son ver Problem Algoritma 36 ile verilen Regula Falsi yönteminin yakınsaklığı nedir? Teorem 37 f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında mertebeye kadar türevi var ve sürekli bir fonksiyon olmak üzere eğer f (a) < 0 <f(b) ve f (x) 0(f (x) 0) koşulunu sağlanıyorsa Algoritma 36 de tanımlanan {r n } n=0 dizisi x = r çözümüne yakınsaktır Proof f (x) 0,x [a, b] =[a 0,b 0 ]koşulu ile f fonksiyonunun konveksliği sonucunu elde ederiz Böylece p 0 (x) =c 0 x + d 0 şeklinde bir doğru için f (x) p 0 (x) koşulu sağlanır p 0 (r 0 ) = 0 olduğundan yukarıdaki eşitsizliklten f (r 0 ) 0 Bu durumda yeni aralığımız [a,b ]=[r 0,b 0 ] Eğer f (r 0 )=0iseyöntem yakınsaktır aksi durumda yine f (x) 0,x [a,b ]=[r 0,b 0 ] [a 0,b 0 ]koşulu ile p (x) =c x + d şeklinde bir doğru için f (x) p (x) ifadesi geçerlidir p (r ) = 0 olduğundan yukarıdaki eşitsizliklten f (r ) 0 Bu durumda yeni aralığımız [a,b ]=[r,b ] Ve bu yöntemi bu şekilde devam ettirdiğimizde r k a k = r k olucak şekilde monoton artan bir dizi elde ederiz Diğer yandan sağ sınır hiçbir zaman değişmemektedir: b k = b k = = b 0 ve b k r k a k = r k sağlandığından monoton artan {r n } n=0 dizisi üstten sınırlı olduğundan yakınsaktır Buna göre r n = f (b n) a n f (a n ) b n f (b n ) f (a n ) lim r f (b n ) r n f (r n ) b n n = lim r = f (b 0) r f (r) b 0 n n f (b n ) f (r n ) f (b 0 ) f (r) (r b 0 ) f (r) =0 f (r) =0,r b 0 Not f (x) 0 olduğu durumda yakınsaklık iyi tanımlı olmayıp çözümün bulunması zorlaşır Aşağıdaki şekilde ikiye bölme yöntemi ile regula falsi yönteminin yakınsaklıklarını gösterebiliriz Buna göre genel anlamda regula falsi yönteminin yakınsaklığı daha iyidir denilebilir

32 4 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) Figure 35 İkiye Bölme ve Regula Falsi Yöntemlerinin yakınsaklıklarının karşılaştırılması Tabiikiherfonksiyoniçin bu genellemeyi yapmak yanlıştır Bu sorunun cevabını evet olarak vermek her zaman doğru olmayabilir Örneğin eğer başlangıç aralığını hileli olarak oldukça yakın değerlerde belirlersek ikiye bölme yönteminin yakınsaklığının daha iyi olduğunu belirtebiliriz Aşağıdaki şekilde verilen f (x) = sign (arctan (x)) 0 arctan(x) π fonksiyonu buna bir örnektir: Figure 36 İkiye bölme yönteminin Regula Falsi yönteminden daha iyi yakınsadığı durum Örnek 38 x x =0, x [0, ] denkleminin çözümünü regulafalsiyöntemi ile bulunuz Hata payı ε =0 5 ve virgülden sonra 5 basamak alınız

33 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)5 y x Çözüm Figure 37 f (x) =x x fonksiyonu Table 5 x x =0,x [0, ] denkleminin regula falsi yöntemi ile çözümü İterasyon a f(a) b f(b) f(a)*f(b)<0 mı? r=(f(b)a-f(a)b)/(f(b)-f(a))f(r) eps devam Kök 0 0, ,00000, ,50000 Kök Var 0, ,0367 0,0000 Devam 0, , , ,0367 Kök Var 0, ,007 0,0000 Devam 0, , , ,007 Kök Var 0,643 0,0009 0,0000 Devam 3 0, , ,643 0,0009 Kök Var 0,640 0,0000 0,0000 Devam 4 0, , ,640 0,0000 Kök Var 0,649 0,0000 0,0000 Devam 5 0, , ,649 0,0000 Kök Var 0,648-0,0000 0,0000 Dur Çözüm =0,648 Örnek 39 +cos(e x ) e x =0, x [05, 5] denkleminin çözümünü regulafalsiyöntemi ile bulunuz Hata payı ε =0 3 ve virgülden sonra 3 basamak alınız(cos fonksiyonu için radyan alınız) y x Figure 38 +cos(e x ) e x = 0, x [0, ] Çözüm Table 6 +cos(e x ) e x =0,x [05, 5] denkleminin regula falsi yöntemi ile çözümü İterasyon a f(a) b f(b) f(a)*f(b)<0 mı? r=(f(b)a-f(a)b)/(f(b)-f(a))f(r) eps devam Kök 0 0,500,90,500-3,7 Kök Var 0,783 0,794 0,00 Devam 0,783 0,794,500-3,7 Kök Var 0,93 0,353 0,00 Devam 0,93 0,353,500-3,7 Kök Var 0,979 0,7 0,00 Devam 3 0,979 0,7,500-3,7 Kök Var 0,998 0,044 0,00 Devam 4 0,998 0,044,500-3,7 Kök Var,005 0,0 0,00 Devam 5,005 0,0,500-3,7 Kök Var,007 0,003 0,00 Dur Çözüm =,007

34 6 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) 34 Newton Raphson Yöntemi (Newton Raphson Method) Eğer f (x),f (x),f (x) fonksiyonları x = r çözümü civarında sürekli fonksiyon ise Newton-Raphson yöntemini kullanabiliriz Newton-Raphson Yöntemi için öncelikle r 0 gibi bir başlangıç noktası verilirşekile göre r 0 noktasından geçen eğimi aşağıdaki şekilde verebiliriz: m = f (r ) f (r 0 ) = f (r 0 ) f (r )=0 0 f (r 0) = f (r 0 ) r = r 0 f (r 0) r r 0 r r 0 f (r 0 ) Figure 39 Newton Raphson Yöntemi ve bunun için aşağıdaki algoritmayı uygularız: Algoritma 30 Adım : ε>0 hata payını verin ve n =0alınız ve başlangıç aralığı r 0 başlangıç noktasını belirleyiniz Eğer f (r 0 )=0ise başka bir r 0 noktası seçiniz Adım : r n+ = r n f (r n) f,n=0,,, (r n ) şeklinde noktayı bulunuz Adım 3: Eğer r n+ r n >εise n yi arttırın (n = n+) ve adıma gidiniz aksi durumda f (r n )=0 ise işleme son veriniz değil ise r r n olarak çözümü eldeediniz Teorem 3 f (x) fonksiyonu [a, b] aralığında mertebeye kadar türevi var ve sürekli bir fonksiyon olmak üzere eğer f (r) =0koşulunu sağlayacak şekilde çözüm mevcut ise ve f (r) 0koşulunu sağlanıyorsa r 0 [r δ, r + δ] olucak şekilde δ >0 için Algoritma 30 de tanımlanan {r n } n=0 dizisi x = r çözümüne yakınsaktır Uyarı 3 g (x) =x f (x) f (x) ile tanımlanan fonksiyona Newton-Raphson iterasyon fonksiyonu denir Isaac Newton, 4 ocak 643 yılında Woolsthorpe-Ingiltere doğumlu 3 mart 77, Londra-Ingiltere de öldü 7 yaşında CambridgedeLucasianbaşkanlığını yaptı

35 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)7 Proof Şekilde neden r 0 başlangıç iterasyonunuçözüme oldukça yakın seçmeliyiz veya neden mertebeye kadar türevlenebilir ve türevi sürekli bir fonksiyon seçiyoruz sorularının çok net bir cevabını alamıyoruz ancak ispatta neden bu varsayımlarda bulunuyoruz açıklmaya çalışacağız f (x) fonksiyonunun x = r 0 noktasındaki Taylor seri açılımını verirsek f (x) =f (r 0 )+f (r 0 )(x r 0 )+f (c) (x r 0),! c, r 0 ile x arasında bir değer x = r değerini yazdığımızda 0=f (r) =f (r 0 )+f (r 0 )(r r 0 )+f (c) (r r 0) bu ifade ile eğer r 0 başlangıç noktasır noktasına oldukça yakın olduğunda (r r0)! terimi yeterince küçük bir değer alıcaktır Böylece 0 f (r 0 )+f (r 0 )(r r 0 ) r r 0 f (r 0) f (r 0 ) olarak elde ederiz Buna göre yukarıdaki yaklaşımı sonraki noktayı bulmak için kullanabiliriz r r 0 f (r 0) f (r 0 ) ve daha sonra r 0 noktasının sırasıyla r k ile değiştirdiğimizde Newton-Raphson iterasyonunu kurmuş oluruz Yakınsaklığı değerlendirmek için sabit nokta iterasyonundaki koşulun sağlanması gerekmektedir: g (x) =x f (x) f (x) g (x) = (f (x)) f (x) f (x) (f (x)) = f (x) f (x) (f (x)) Eğer f (r) =0koşulunu sağlayacak şekilde bir çözüm var ise yukarıdaki tanımlamadan g (r) =0dırveg sürekli fonksiyon olduğundan g (x) <,x [r δ, r + δ] koşulunu sağlayacak şekilde δ >0 bulmak mümkündür Böylece koşulu sağlanır f (x) f (x) (f (x)) <,x [r δ, r + δ] Örnek 33 exp (x) 5sin ( ) πx =0, denkleminin çözümünü r0 =05 başlangıç noktası ve Newton- Raphson yöntemi ile bulunuz Hata payı ε =0 5 ve virgülden sonra 5 basamak alınız(cos fonksiyonu için radyan alınız)! y x - - Figure 30 exp (x) 5sin ( ) πx Çözüm f (x) =exp(x) 5sin ( ) πx f (x) =e x 5 π cos ( πx)

36 8 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) Table 7 exp (x) 5sin ( ) πx = 0, denkleminin çözümünü r0 =05 başlangıç noktasıve Newton-Raphson yöntemi ile bulunması İterasyon r f(r) f'(r) eps devam Kök 0 0, ,8868-3, ,0000 0,068 0, ,8349 0,0000 Devam 0,4630 0,0859-6, ,0000 Devam 3 0,496 0, , ,0000 Devam 4 0,497-0,0000-6, ,0000 Devam 5 0,497-0,0000-6, ,0000 Dur Çözüm =0,497 Örnek 34 x sin (x) =0denkleminin çözümünü r 0 = başlangıç noktası ve Newton-Raphson yöntemi ile bulunuz Hata payı ε =0 6 ve virgülden sonra 5 basamak alınız(sin fonksiyonu için radyan alınız) y Figure 3 f (x) =x sin (x) fonksiyonu Çözüm f (x) =x sin (x) f (x) =x cos x x Table 8 x sin (x) = 0 denkleminin çözümünü r 0 = başlangıç noktası ve Newton- Raphson yöntemi ile bulunması İterasyon r f(r) f'(r) eps devam Kök 0, ,8447, ,00000, ,4857 3,586 0,00000 Devam,484 0,03539,6985 0,00000 Devam 3,4097 0,0006, ,00000 Devam 4,4096 0,00000, ,00000 Dur Çözüm =, Problem Algoritma 30 ile verilen Newton-Raphson yönteminin yakınsaklığı nedir? Tanım 35 f (x) fonksiyonu M mertebeye kadar türevlenebilir ve türevleri sürekli bir fonksiyon olmak üzere f (r) =f (r) = = f (M ) (r) =0,f (M) (r) 0

37 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0)9 koşulu sağlanıyorsa x = r noktasına M dereceden kök denir Eğer M =ise basit kök, M =ise katlı kök de denebilir Lemma 36 Eğer f (x) fonksiyonu x = r noktasında M dereceden köke sahip ise olacak şekilde sürekli h (x) fonksiyonu mevcuttur f (x) =(x r) M h (x),h(r) 0 Örnek 37 f (x) =x 3 3x + fonksiyonunun x = basit köküdür ve x =ise çift katlı köküdür f ( ) = 0 f (x) = 3x 3 f ( ) 0 f () = 0 f () = 0 f (x) = 6x f () 0 f (x) = (x ) (x +) Teorem 38 Algoritma 30 ile verilen Newton-Raphson yönteminde tanımlanan {r n } n=0 dizisi x = r çözümüne yakınsaktır Eğer x = r basit kök ise yakınsaklık derecesi dir ve r r n+ f (r) f (r) r r n eğer x = rmmertebeden bir kök ise yakınsaklık derecesi dir ve r r n+ M M r r n Proof 0 f (r n )+f (r n )(r r n )+f (c) (r r n) ifadelerini taraf tarafa çıkardığımızda elde ederiz ki buradan sonucunu çıkartırız 0 f (r n )+f (r n )(r n+ r n ) 0 f (r n )(r r n+ )+f (c) (r r n) r r n+ f (r) f (r) r r n Uyarı 39 (Newton-Raphson yönteminin yakınsaklığının arttırılması) Eğer x = r fonksiyonun M mertebeden bir kökü ise yukarıdaki teoremden yakınsaklık mertebesinin olduğunu belirtmiştik Eğer yakınsaklık mertebesini arttırmak istiyorsak r n+ = r n M f (r n) f,n=0,,, (r n ) iterasyonunu kullanabiliriz Örnek 330 değerini Newton Raphson yöntemi ile ve r 0 =,ε =0 4 seçerek 4 basamak kesinliğe göre hesaplayınız!!

38 30 3 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN ÇÖZÜMLERI (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) =0) Çözüm f (x) =x =0 f (x) =x Table 9 değerini Newton Raphson yöntemi ile ve r 0 =,ε =0 4 seçerek 4 basamak kesinliğe göre hesaplanması İterasyon r f(r) f'(r) eps devam Kök 0, ,00000, ,000 #DEĞER! #DEĞER!, ,5000 3, ,000 Devam,4667 0,00694, ,000 Devam 3,44 0,0000,8843 0,000 Dur Çözüm =, ,44 0,00000,8843 0,000 Dur Çözüm =, ,44 0,00000,8843 0,000 Dur Çözüm =, ,44 0,00000,8843 0,000 Dur Çözüm =, ,44 0,00000,8843 0,000 Dur Çözüm =, ,44 0,00000,8843 0,000 Dur Çözüm =, ,44 0,00000,8843 0,000 Dur Çözüm =, Kirişler Yöntemi (Secant Method) Newton Raphson yönteminde herbir iterasyonda f (x) vef (x) fonksiyonlarının değerlerini hesaplamak zorundayız Genel anlmada bu hesaplama açısından daha fazla zahmetli olmakla birlikte elementer işlemleri içermeyen fonksiyonlar için (içinde integral veya toplam bulunduran fonksiyonlar için) değerlerin hatalı hesaplanmasına da yol açabilmektedir Bu anlamda türevi hesaplamadan diğer iterasyonu bulabileceğimiz kirişler yöntemi geliştirilmiştirkirişler yöntemi için öncelikle r 0 ve r gibi bir başlangıç noktaları verilirşekile göre r 0 noktasından geçen eğimi aşağıdaki şekilde verebiliriz: m = f (r ) f (r 0 ) = f (r ) f (r ) = 0 f (r ) r r 0 (f (r )=0) r = r f (r ) r r 0 r r r r f (r ) f (r 0 ) Figure 3 Kirişler Yöntemi

Sayısal Analiz Ders Notları. Arzu Erdem. Kaynaklar

Sayısal Analiz Ders Notları. Arzu Erdem. Kaynaklar Sayısal Analiz Ders Notları Arzu Erdem c 01/013 Bahar dönemi mühendislik notları 1 Kaynaklar An Introduction to Numerical Analysis for Electrical and Computer Engineers, Christopher J. Zarowski, A JOHN

Detaylı

MB5002 NÜMERİK ANALİZ

MB5002 NÜMERİK ANALİZ MB500 NÜMERİK ANALİZ Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Emel YAVUZ DUMAN İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik-Bilgisayar Bölümü c 01, Emel Yavuz Duman Tüm hakkı saklıdır. Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI .. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir.

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. İşaretli Tamsayı Gösterimi 1. İşaretli Büyüklük Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. Örnek

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Sembolik Programlama1. Gün. Sembolik Programlama. 20 Eylül 2011

Sembolik Programlama1. Gün. Sembolik Programlama. 20 Eylül 2011 Sembolik Programlama 1. Gün Şenol Pişkin 20 Eylül 2011 Sunum Kapsamı MuPAD İçerik Başlangıç 1. Bölüm: Cebirsel işlemler 2. Bölüm: Denklem çözümleri MuPAD Kısaca MuPAD Bilgisi ve Tarihçesi MuPAD Diğer Araçlar

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

Prof.Dr. ÜNAL ERKAN MUMCUOĞLU. merkan@metu.edu.tr

Prof.Dr. ÜNAL ERKAN MUMCUOĞLU. merkan@metu.edu.tr Ders Bilgisi Ders Kodu 9060528 Ders Bölüm 1 Ders Başlığı BİLİŞİM SİSTEMLERİ İÇİN MATEMATİĞİN TEMELLERİ Ders Kredisi 3 ECTS 8.0 Katalog Tanımı Ön koşullar Ders saati Bu dersin amacı altyapısı teknik olmayan

Detaylı

2 Hata Hesabı. Hata Nedir? Mutlak Hata. Bağıl Hata

2 Hata Hesabı. Hata Nedir? Mutlak Hata. Bağıl Hata Hata Hesabı Hata Nedir? Herhangi bir fiziksel büyüklüğün ölçülen değeri ile gerçek değeri arasındaki farka hata denir. Ölçülen bir fiziksel büyüklüğün sayısal değeri, yapılan deneysel hatalardan dolayı

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 4.1. Aritmetik işlemler Bu bölümde öğrencilerin lisede bildikleri aritmetik işlemleri hatırlatacağız. Bütün öğrencilerin en azından tamsayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini

Detaylı

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri)

FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 YAZ OKULU DERS İÇERİĞİ. (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) Bölümü Dersin Kodu ve Adı K MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1- Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2- Fonksiyonlar,

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

Sayıtlama Dizgeleri. (a n a n-1 a n1 a n0. b 1 b 2 b m )r. simgesi şu sayıyı temsil eder.

Sayıtlama Dizgeleri. (a n a n-1 a n1 a n0. b 1 b 2 b m )r. simgesi şu sayıyı temsil eder. 1 Sayıtlama Dizgeleri Hint-Arap Sayıtlama Dizgesi Sayıları göstermek (temsil etmek) için tarih boyunca türlü simgeler kullanılmıştır. Sümerlerin, Mısırlıların, Romalıların ve diğer uygarlıkların kullandıkları

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

T.C. MALTEPE ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK LİSANS PROGRAMI. 2013-14 Güz Yarıyılı. 1 yıl 1. yarıyıl Lisans Zorunlu

T.C. MALTEPE ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK LİSANS PROGRAMI. 2013-14 Güz Yarıyılı. 1 yıl 1. yarıyıl Lisans Zorunlu AKTS Kredisi 5 T.C. MALTEPE ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK LİSANS PROGRAMI Dersin adı: 2013-14 Güz Yarıyılı Genel Matematik I Dersin Kodu emat 151 1 yıl 1. yarıyıl Lisans Zorunlu 3 s/hafta

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI 6. SINIF 5. SINIF TÜM KONULARI 1.ÜNİTE: Geometrik Şekiller 1) Verileri Düzenleme, Çokgenler ve Süsleme 2) Dörtgenler 3)

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. SAYISAL DEVRE TASARIMI EEM122 Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI SAYISAL TASARIM 4. Baskı Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. SAYISAL DEVRE NEDİR? Mühendisler, elektronik

Detaylı

Algoritma ve Akış Diyagramları

Algoritma ve Akış Diyagramları Algoritma ve Akış Diyagramları Bir problemin çözümüne ulaşabilmek için izlenecek ardışık mantık ve işlem dizisine ALGORİTMA, algoritmanın çizimsel gösterimine ise AKIŞ DİYAGRAMI adı verilir 1 Akış diyagramları

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu, Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 1 YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 RASYONEL SAYILAR KÜMESİ VE ÖZELLİKLERİ 07 BASİT EŞİTSİZLİKLER

Detaylı

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1

Test 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1 Test 6. Teorem: a R ve a ise a dir. Kanıt: Varsayalım ki, olsun. a a olduğundan a 0 dır. Bu durumda, eşitsizliğin yönü değişmeden, a a olur. Demek ki, a a dir. Fakat bu durum a hipotezi ile çelişmektedir.

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda

Detaylı

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2014-2015 ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI FİNAL PROGRAMI

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2014-2015 ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI FİNAL PROGRAMI II. YARIYIL Soyut Matematik II Mat. 1. Grup Prof.Dr.A.FIRAT 01.06.2015 08:30-10:00 C 012, C 013, C 118, C 119 Mathematics II Mat. 1. Grup Prof.Dr.İ.ÇANAK 10.06.2015 15:00-16:30 C 117, C 118, C 119, C 013

Detaylı

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Kompleks Matematik EEE203 3 3+0 3 4

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Kompleks Matematik EEE203 3 3+0 3 4 DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Kompleks Matematik EEE203 3 3+0 3 4 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü İngilizce Lisans Zorunlu / Yüz Yüze Dersin

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206 99 EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3- Yıl: 99-6 İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERENSİYEL DENKLEM SINIFI İÇİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE TAM ÇÖZÜMLERİ THE

Detaylı

Kimya Mühendisliğinde Uygulamalı Matematik

Kimya Mühendisliğinde Uygulamalı Matematik Fen Bilimleri Enstitüsü Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı Kimya Mühendisliğinde Uygulamalı Matematik DERS BİLGİ FORMU DERS BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Yarıyıl Kimya Mühendisliğinde Uygulamalı Matematik T

Detaylı

BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR

BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR İÇİNDEKİLER BİRİNCİ BÖLÜM SAYILAR 1.1 Tamsayılarda İşlemler... 2 1.1.1 Tek, Çift ve Ardışık Tamsayılar... 5 1.2 Rasyonel Sayılar... 6 1.2.1 Kesirlerin Birbirine Çevrilmesi... 7 1.2.2 Kesirlerin Genişletilmesi

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe)

OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) OLİMPİYATLARA HAZIRLIK İÇİN FONKSİYONEL DENKLEM PROBLEMLERİ ve ÇÖZÜMLERİ (L. Gökçe) Merak uyandıran konulardan birisi olan fonksiyonel denklemlerle ilgili Türkçe kaynakların az oluşundan dolayı, matematik

Detaylı

BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA

BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA Yrd. Doç. Dr. Beytullah EREN beren@sakarya.edu.tr 0264 295 5642 Excel - Hücreler Excel de hücrelere hangi değerler girilebilir? Metin Rakam Tarih ve Saat Formül 1 HÜCRE SEÇİMİ Matematikteki

Detaylı

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.

Detaylı

Dersi Alan Dersi Veren Dersin Optik Kod Dersin Adı Saat Öğr. Grubu Öğretim Üyesi Yeri

Dersi Alan Dersi Veren Dersin Optik Kod Dersin Adı Saat Öğr. Grubu Öğretim Üyesi Yeri T. C. E. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi Haftalık Ders Programı İkinci Öğretim A. Fakülte İçinde "BÖLÜMÜMÜZ" Öğrencilerine Verdiğimiz Dersler I. YARIYIL 1104001062003

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

Bilgisayar Programlama MATLAB

Bilgisayar Programlama MATLAB What is a computer??? Bilgisayar Programlama MATLAB Prof. Dr. İrfan KAYMAZ What Konular is a computer??? MATLAB ortamının tanıtımı Matlab sistemi (ara yüzey tanıtımı) a) Geliştirme ortamı b) Komut penceresi

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

Mikrobilgisayarda Aritmetik

Mikrobilgisayarda Aritmetik 14 Mikrobilgisayarda Aritmetik SAYITLAMA DİZGELERİ Sayıları göstermek (temsil etmek) için tarih boyunca türlü simgeler kullanılmıştır. Konumuz bu tarihi gelişimi incelemek değildir. Kullanılan sayıtlama

Detaylı

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2014-2015 ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI BÜTÜNLEME PROGRAMI

EGE ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2014-2015 ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI BÜTÜNLEME PROGRAMI II. YARIYIL Soyut Matematik II Mat. 1. Grup Prof.Dr.A.FIRAT 22.06.2015 15:00-16:30 C 012, C 013 Mathematics II Mat. 1. Grup Prof.Dr.İ.ÇANAK 23.06.2015 15:00-16:30 C 012, C 013 Bilgisayar (A Grubu) Mat.

Detaylı

Meslek Yüksek Okulları İçin UYGULAMALI MATEMATİK. İstanbul, 2009

Meslek Yüksek Okulları İçin UYGULAMALI MATEMATİK. İstanbul, 2009 i Meslek Yüksek Okulları İçin UYGULAMALI MATEMATİK Yrd.Doç.Dr. Kamil TEMİZYÜREK Beykent Üniversitesi Öğretim Üyesi Yrd.Doç.Dr. Nurdan ÇOLAKOĞLU Beykent Üniversitesi Öğretim Üyesi İstanbul, 2009 ii Yay

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

T. C. E. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ. 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi Haftalık Ders Programı

T. C. E. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ. 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi Haftalık Ders Programı T. C. E. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi Haftalık Ders Programı A. Fakülte İçinde "BÖLÜMÜMÜZ" Öğrencilerine Verdiğimiz Dersler I. YARIYIL 405001072003 Soyut Matematik

Detaylı

SAYISAL ANALİZ DERS NOTLARI

SAYISAL ANALİZ DERS NOTLARI SAYISAL ANALİZ DERS NOTLARI YRD. DOÇ. DR. MUSTAFA SÖNMEZ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ AKSARAY ÜNİVERSİTESİ 008 İÇINDEKILER. SAYISAL ANALİZ VE SAYISAL HATALAR... 5.. Giriş... 5. Niye Hesap Tabloları?... 5..

Detaylı

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E)

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E) İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi MAT 152 Genel Matematik II Final Sorularının Çözümleri: 1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir?

Detaylı

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları

Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI İşaret akış diyagramları blok diyagramlara bir alternatiftir. Fonksiyonel bloklar, işaretler, toplama noktaları

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR. UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ

Detaylı

T. C. E. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ. 2013-2014 Öğretim Yılı Güz Dönemi Haftalık Ders Programı

T. C. E. Ü. FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ. 2013-2014 Öğretim Yılı Güz Dönemi Haftalık Ders Programı A. Fakülte İçinde "BÖLÜMÜMÜZ" Öğrencilerine Verdiğimiz Dersler I. YARIYIL 405001072003 Soyut Matematik I 08.00-12.00 Mat. 1.gr. Prof.Dr.A.FIRAT A 003 405001072003 Soyut Matematik I 08.00-12.00 Mat. 2.gr.

Detaylı

2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ

2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ 2014 - LYS TESTLERİNE YÖNELİK ALAN STRATEJİLERİ YGS sonrası adayları puan getirisinin daha çok olan LYS ler bekliyor. Kalan süre içinde adayların girecekleri testlere kaynaklık eden derslere sabırla çalışmaları

Detaylı

Ders #9. Otomatik Kontrol. Kararlılık (Stability) Prof.Dr.Galip Cansever. 26 February 2007 Otomatik Kontrol. Prof.Dr.

Ders #9. Otomatik Kontrol. Kararlılık (Stability) Prof.Dr.Galip Cansever. 26 February 2007 Otomatik Kontrol. Prof.Dr. Der #9 Otomatik Kontrol Kararlılık (Stability) 1 Kararlılık, geçici rejim cevabı ve ürekli hal hataı gibi kontrol taarımcıının üç temel unurundan en önemli olanıdır. Lineer zamanla değişmeyen itemlerin

Detaylı

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için, Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. ab iki basamaklı saısı b ile bölündüğünde, bölüm 5 ve kalan b 5 tir. u şartlara uan kaç farklı ab iki basamaklı saısı vardır? ) 5 6 7 5. a, b, c, d, e sıfırdan farklı tamsaılar

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

MS Excel. Excel Microsoft Office in bir parçasını oluşturur. Office 2007, Office 2010, Office 2013, Office 2016

MS Excel. Excel Microsoft Office in bir parçasını oluşturur. Office 2007, Office 2010, Office 2013, Office 2016 MS Excel Elektronik tablolama veya hesaplama programı olarak da adlandırılan Excel, girilen veriler üzerinde hesap yapabilme, tablolar içinde verilerle grafik oluşturma, verileri karşılaştırıp sonuç üretebilme

Detaylı