Matematik Olimpiyatları İçin

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Matematik Olimpiyatları İçin"

Transkript

1 ONU NLTIMLI Mtemtik Olimpiytlrı İçin enzerlik LİS MTMTİ OLİMPİYTLRI İÇİN Mustf Yğı, Osmn kiz

2

3 enzerlik Mustf Yğı Osmn kiz İki çokgenin köşeleri rsınd ire-ir eşleme ypılırs eşleştirilen köşelere krşılıklı köşeler, u köşeleri oluşturn kenrlrın elirttiği çılr krşılıklı çılr ve eşlenen rdışık köşelerin elirttikleri kenrlr d krşılıklı kenrlr diyelim. O zmn çokgenlerde enzerliği şöyle tnımlyiliriz: rlrınd irer-ir eşleme ypıln iki çokgenin krşılıklı çılrı eş ve krşılıklı kenrlrı orntılıys u eşlemeye enzerlik, çokgenlere de enzer çokgenler denir. enr uzunluklrıyl kuruln orntının orntı sitine de enzerlik ornı denir. İki çokgenin enzerliği semolüyle gösterilir. Ylnız eşlikte olduğu gii enzerlikte de enzer oln çokgenlerin köşelerini yzrken sır önemlidir. İki frklı doğru prçsı enzerdir. [] [] irinin oyu r diğerinin oyu r ise enzerlik ornı : dir. İki frklı eşkenr üçgen enzerdir. irinin ir kenrının oyu r diğerinin ir kenrının oyu r ise enzerlik ornı : dir. Tepe çılrı eş oln iki frklı ikizkenr üçgen enzerdir. irinin ir yn kenrının oyu r diğerinin ir yn kenrının oyu r ise enzerlik ornı : dir. İki frklı kre enzerdir. L irinin ir kenrının oyu r diğerinin ir kenrının oyu r ise enzerlik ornı : dir. L

4 enzerlik O M İki frklı çemer enzerdir. (O, ) (M, ) irinin yrıçpının oyu r diğerinin yrıçpının oyu r ise enzerlik ornı : dir. Üçgenlerde enzerlik ksiyomu. İki üçgenin köşeleri rsınd ypıln ir eşlemede krşılıklı irer çılrı eş ve u çıyı elirten kenrlrın uzunluklrı krşılıklı olrk orntılı ise u üçgenler enzerdir. u ksiyom enr-çı-enr enzerlik ksiyomu denir ve kıs... enzerliği olrk ifde edilir. Örneğin yukrdki ve üçgenlerinde ve çılrı eş olup, u çıyı elirten kenrlrın uzunluklrı rsınd eşitliği geçerliyse olur. u orntının siti de enzerlik d e ornıdır. d e ve iki frklı üçgen olsun. f e ğer u iki üçgenin iç çı ölçüleri ynıys üçgenlere... enzerliği gereğine enzerlerdir denir. İki çı ölçüsü eşit ise üçünüsü el meur eşit olğındn u enzerliğe.. enzerliği de denir. iz de öyle ypğız. Yukrdki iki üçgen için doğru eşleme şöyle olmlıdır:. d e f Örnek. Ynd verilmiş üç krenin işretlenmiş üç köşesi doğrusldır. relerin kenrlrı sırsıyl r, r ve r olduğun göre,, rsınd geçerli oln ğıntıyı ulunuz. d

5 enzerlik Çözüm: relerin krşılıklı kenrlrı irirlerine prlel olduğundn trnn üçgenler irirlerine enzerdir. şleme ypılırs eşitliğinden = ulunur. - - Yukrdki soru eşkenr üçgenlerle de sorulilir. ve üçgenleri yine enzer çıkğındn = hlen sğlnır. Htt herhngi ir düzgün çokgen kullnılrk d u trz ir soru üretmek mümkündür. urd d ile üçgenleri enzer olur ki eşleme ypılırs yine = eşitliğine erişilir. Örnek. M, L, ve irer eşkenr üçgen,,,, doğrusl M, L,, doğrusl = 8 r, = r olduğun göre = kç r dir? M L 8 Çözüm: Herhngi ir eşkenr üçgenin ir kenr uzunluğu, komşu eşkenr üçgenlerin ir kenr uzunluğunun geometrik ortsı çıktığındn rdışık kenrlrın geometrik dizi oluşturduğunu nlıyoruz. = y r olsun. = 8y eşitliğinden y = 8 ulunur. iğer yndn y = eşitliğinden de = 7 ulunur. M L 8 y y 8 y Örnek. ir dik üçgen, ir kre, = r = y r, = z r, olduğun göre, y, z rsınd geçerli oln ğıntıyı ulunuz. y z Çözüm: ir kre olduğundn = = y r olduğunu hemen not edelim. m() = β ve m() = α olsun. α + β = 90º olduğundn m() = α ve m() = β olur. u d ile y y y z 3

6 enzerlik üçgenlerinin enzerliği nlmın gelir. u üçgenler rsınd eşlem ypılırs y y z orntısındn y = z elde edilir. ile üçgenlerinin enzer olmlrın seep oln şey dörtgenin kre olmsı değil çısının dik olmsıdır. emek istediğimiz ir dikdörtgen ols d y = z eşitliği geçerlidir. y z Örnek. ir üçgen ir eşkenr üçgen,,, doğrusl m() = 60 o, = r, = r, = r, olduğun göre,, rsındki ğıntıyı ulunuz. o 60 Çözüm: Hemen eşkenr üçgenin kenr uzunluklrını ve çı ölçülerini şekil üzerine yzlım. Verilere göre m() = α ve m() = olsun. m() = ve m() = α olduğunu görmek zor olms gerek. O hlde trlı üçgenler yni ile enzerdir. şleme ypılırs eşitliğinden = ulunur. o 60 o 60 o o urlın geçerli olmsı için üçgeninin eşkenr olmsın gerek yoktur. = olk şekilde ikizkenr olsun ve çısının ölçüsü u ikizkenr üçgenin ir tn çısının ölçüsüne eşit olsun yeter. Örnek. ir üçgen,, doğrusl, m() = 45 =,, = 3 r, = r olduğun göre = kç r dir? 45 o 3 Çözüm: m() = m() = 45 olduğunu hemen not edelim. yrı = = r olsun. iğer yndn m() = α ve m() = olsun. o 45 o 45 o

7 enzerlik m() = ve m() = α olduğunu görmek zor olms gerek. O hlde trlı üçgenler yni ile enzerdir. şleme ypılırs eşitliğinden = 6 ulunur. u durumd 3 6 olmlıdır. Örnek. ve irer eşkenr üçgen [], = r = r, = r, olduğun göre,, rsınd geçerli ğıntıyı ulunuz. Çözüm: m() = α ve m() = θ dersek α + θ = 60º olduğundn m() = θ olur. ve çılrı d eş olduğundn ile üçgenleri enzerdir. u üçgenlerde eşleme kurulurs eşitliğinden = ulunur. 60 o 60 o öyle ir durum sdee eşkenr üçgende değil, diğer düzgün çokgenlerde de vrdır. Trlı üçgenler dim enzerdir. Örnek. ir üçgen X Y Z olduğun göre XYZ üçgeni için şğıdkilerden hngisi dim doğrudur? X Z Y ) şkenr üçgendir. ) İkizkenr üçgendir. ) ile enzerdir. ) ile enzerdir. ) ile enzerdir. Çözümü: üçgeninde,, çılrının ölçüleri sırsıyl α,, olsun. X, Y ve Z dörtgenlerinin iç çılrının ölçülerini toplrsk XYZ üçgeninin de X, Y, Z çılrının ölçülerini α,, olrk uluruz. O hlde XYZ üçgeni ile enzerdir. X Z Y 5

8 enzerlik öyle ir XYZ üçgeni üçgeninin dışınd d oluşilir. m() = m(zxy) m() = m(xyz) m() = m(yzx) olduğundn XYZ olur. Y Z X Örnek. ir üçgen m() = m() = r = y r = z r olduğun göre, y, z rsınd geçerli ğıntıyı ulunuz. y z Çözümü: m() = m() = α diyelim. yrı m() = olsun. Trlı oln üçgeni ile üçgeninin ikişer çısı eş olduklrındn enzerlerdir. şleme ypılırs y y z çıkr ki düzenlenirse = y(y + z) elde edilir. y z Teorem [Tles]. Verilen iki doğruyu kesen prlel doğrulr, u iki doğru üzerinde orntılı doğru prçlrı yırır. Yni şekle göre;. nıt: ile çılrı yöndeş olduğundn eş olup, ile üçgenleri ortk ir çısın ship olduklrındn.. enzerliği gereği olur. O hlde krşılıklı kenrlrı orntılıdır. Tn çılrının krşılrındki kenrlrın uzunluklrını ornlyrk şlylım: yni. İçler dışlr çrpımı eşitlenirse, + = + yni = ulunur. üzenlenirse sonuun ulşılır. 6

9 enzerlik Tles Teoremi nin rşıtı. Tles Teoremi nin krşıtı doğru mudur? Yni ynı şekilde ise // midir? Olms olur mu? k k k k k+ k+ k olsun. = r ve = r dersek, = k r ve = k r olur. Şimdi ve üçgenlerine odklnlım. Her ikisinin de çılrı ortkken yn kenrlrının ornı / olduğundn... enzerliği gereğine enzerlerdir. Mdem enzerler o hlde iç çılrı ynı ölçüde olmlıdırlr. ile çılrının eşit ölçülü olmlrı // nlmın gelir. emek ki teoremin tersi de doğruymuş! Şimdi orntılı doğru prçlrıyl ilgili iki teorem vereeğiz. Teorem. İki prlel doğrunun iri üzerinde,, noktlrı diğeri üzerinde,, noktlrı lınıyor. ' ' ' ' ise,, doğrulrı noktdştır. O ' ' ' d' d nıt: ve doğrulrı ir O noktsınd kesişiyor olsunlr. Tles Teoremi gereği O ' ' O' olur. iğer yndn ve doğrulrı d ir O noktsınd kesişsinler. Yine Tles Teoremi gereği O' ' ' O' ' O olur. O hlde O ' = O ' diye O = O olmlıdır. O ' ' 7

10 enzerlik Teorem. ik vey geniş ir çı oln XOY çısı ile OX üzerinde ve gii iki nokt, OY üzerinde de ve gii iki nokt veriliyor. ğer ise // olur. O ' ' O' nıt: noktsındn ye ir prlel çizelim. unun OY yi kestiği nokt olsun. Tles Teoremi gereği O ' ' O' olur. Öte yndn hipoteze göre O ' '' O' imiş. Öyleyse ' ' ' '' olur ve urdn = ulunur. Hluki XOY çısı dik vey geniş vrsyıldığındn noktsındn OY ye uzunluğund ir tek eğik çizgi çizileilir. Şu hlde ile çkışıktır yni // olmlıdır. X ' O ' '' Y Teorem. ymuğunun [] köşegeni üzerinde lınn ir noktsındn tnlr çizilen prlel ir doğru ve kenrlrını sırsıyl ve noktlrınd kesmektedir. // // ve = ise =. nıt: üçgeninde Tles Teoremi nden ve üçgeninde Tles Teore- mi nden ulunur. u iki eşitlik irlikte çözülürse istenilen eşitlik elde edilir. urd noktsı ymuğun köşegenlerinin kesim noktsıdır yni,, noktlrı doğrudştır. Ort(y) ve ters ort(y) üçgen. Ort tnlrdn oluşn üçgene () ort üçgen vey orty üçgen denir. Orty üçgenin lnı orijinl üçgenin () lnının /4 ü, çevresi ise / si kdrdır. Nsıl ki üçgenine üçgeninin ort üçgeni deniyor, üçgenine de üçgeninin ters ort(y) üçgeni denir. Teorem. Herhngi ir üçgeni ve u üçgenin köşesinden geçen ir doğru çizilsin. ve köşelerinden u doğruy indirilen dikme yklrı ve, [] kenrının ort noktsı d olsun. üçgeni ikizkenrdır. 8

11 enzerlik nıt: noktsındn ye indirilen dikme yğı olsun. [], ymuğund ort tn olur. dikmesi ynı zmnd kenrorty olduğundn = yni üçgeni ikizkenrdır. (yrı doğru üçgeni kesse de kurl geçerli) Teorem. Yndki şekilde XY //, YZ // ve ZT // veriliyor. O hlde X T X T yni dir. d nıt: Tles Teoremi gereği, X Y Z T. X Y Z T X Y T d Z Teorem. Yndki üçgeninde // ve // veriliyor. = r, = y r ve = z r ise y. y z y z nıt: Tles Teoremi nden olduğundn knıt iter. y y z Teorem [eleek]. Yndki şekilde // ise. nıt: ile ters çılr olduğundn eştir. ile ve ile çı çiftleri de irer iç-ters çı olduklrındn eştirler. O hlde.. enzerliği gereği olur. ş şekillerin krşılıklı kenrlrı orntılı olğındn eşleme kurulurs knıt iter. Örnek. ir kre = {} H, H = r, H = 4 r olduğun göre = kç r dir? H 4 9

12 enzerlik Çözüm: üçgeninde Öklid Teoremi nden doğn = 4 H eşitliğinden H = r ulunur. H ve H dik üçgenlerinde Pisgor teoremlerinden = 5 r ve = 5 r ulunur ki urdn nin krenin kenrının ort noktsı olduğunu nlrız. O hlde keleekte trlı üçgenler eştir, dolyısıyl = H = r olmlıdır. H 4 Örnek. prlelkenr [] köşegen =, = P = r, PQ = r, Q = r, olduğun göre = = olduğunu gösteriniz. P Q Çözümü: = = k r dersek = k r olur. iğer yndn = = t r dersek = t r olur. k P k Q k t P Q t t Yukrd trnmış soldki keleekte enzerlik ornı : olduğundn + = olmlıdır. Sğd trnmış keleekte de enzerlik ornı : olduğundn + = olmlıdır. u iki denklemi ortk çözersek = = uluruz. Örnek. ir üçgen, = = r, = = r, = r, = 8 r, = 9 r, olduğun göre = kç r dir? 8 9 Çözüm: den geçen L doğrusunu çizerek şekildeki trlı keleekleri oluşturlım. Sğdki keleekten L = 6 r ve L = 8 r ulunur. Soldki keleekten de = 6 r dir. L dik üçgeninde Pisgor Teoremi nden L = 30 r, dolyısıyl = r olmlıdır. Soldki keleekte enzerlik ornındn = 4 ulunur L Örnek. ir prlelkenr,, ve,, doğrudş [] köşegen P = r, P = r, L = r, L = d r, olduğun göre ( + ) = ( + d) olduğunu gösteriniz. P L d 0

13 enzerlik Çözüm: Şekildeki gii ir trm ypılırs trnn d keleek olur trnmyn d. = r ve = y r diyelim. üyük keleekten /y ornı ( + )/( + d) ye, küçük keleektense / y eşit olur. O hlde d elde edilir ki içler-dışlr çrpımındn ( + ) = ( + d) ulunur. P y L d Örnek. prlelkenr [] köşegen,,, doğrudş = {}, = r, = r, = r olduğun göre = ( + ) olduğunu gösteriniz. Çözüm: Şekildeki gii ir trm yprsk yine hem trnn keleek olur hem de trnmyn. = r ve Y = y r olsun. /y ornı küçük keleekten /, üyük keleektense /( + ) ye eşit olur. O hlde eşitliğinden = ( + ) ulunur. y Örnek. Yndki şekilde //, //, = {} = r = r = y r olduğun olduğunu gösteriniz. y Çözüm: doğrusunu yönünde uztrk şeklin slınd ir öneki örnekteki şekille ynı olduğunu nlrız. = r ve = y r olduğundn üstte ulduğumuz formülü uygulrsk; = ( ) ( + y ) = ( ) (y ) = y y + y = + y elde ederiz. Şimdi eşitliğin her iki ynını y çrpımın ölelim. ulunur. y - y- y y eşitliğinden y y

14 enzerlik Örnek. // // = {} = r = r = r = d r olduğun = d olduğunu gösteriniz. d Çözüm: Trmmızı yine yukrdki gii yplım. = r ve Y = y r olsun. /y ornı üyük keleekten /, küçük keleektense d/ ye eşit olur. O hlde d eşitliğinden = d ulunur. d y Teorem. Yndki şekilde = {} // // = y r, = r = z r ise olur. y z y z nıt: // olduğundn yn şekilde trnmış şekil ir keleektir. enzerlik ornı y/z olduğundn = yk r dersek = zk r olur. üçgeninde // olduğundn ile üçgenleri yk enzerdir. şleme kurulurs y z z y y eşitliğinden zy = z + y elde edilir. şitliğin her iki ynı yz çrpımın ölününe y z eşitliği knıtlnmış olur. zk z Sonuç: Yndki ymuğund hem hem de olğındn = y dir. y L y

15 enzerlik Örnek. Yndki şekilde = {} // // = r = r = r = d r olduğun göre = d olduğunu gösteriniz. d Çözüm: = m r ve = n r olsun. Trlı keleekten dolyı m n d dir. üçgeninde Tles teoreminden dolyı d m dir. n O hlde eşitliğinden = d ulunur. d m n d Örnek. Yndki şekilde // // = 4 r = 8 r olduğun göre = kç r dir? 4 8 Çözüm: üçgeninde : = olduğundn Tles Teoremi gereği : = olmlıdır. O hlde = k r denirse = k r olur. u d trlı keleekte enzerlik ornının : olduğu nlmın gelir. u yüzden = = / = 6 olmlıdır. k k 4 8 Örnek. ir üçgen = 3 = = = {L} olduğun göre = 3y olduğunu gösteriniz. L y Çözüm: ve noktlrındn ye prlel olk şekilde çizilen doğrulr yi sırsıyl ve R de kessin. izi sonu götüreek keleeğe ulşmış olduk. = r denirse = 3 r olur. Şimdi ile üçgenlerinin enzerliğinden = 3k r dersek = 4k r olur. = verildiğinden = k r olur. = olduğundn üçgeninde [R] ort tn olur ki u yüzden R = k r olur. Sonuç olrk keleekte enzerlik ornı : 3 ulunduğundn = 3y dir. Yni soruln orn 3 olmlıdır. 3 R k y L 3k 4k k 3

16 enzerlik enzer iki üçgende eşleme ypmyı öğrenmiştik. O hlde şu n için, yeteri kdr veriye ship iki dik üçgen enzerse soruln değeri ulileek durumdyız. kt u dersimizde dik üçgenlerde eşleme ypmktn dh kıs sürede sonuç veren teknikler göstererek, sıkç krşılşıln soru tiplerini de formülize edeeğiz. Örneğin yukrd verilen iririne enzer iki dik üçgeni ele llım. enzer olduklrını nerden mi nldık? Hem ikisi de dik üçgen hem de ikisinin α ölçülü irer dr çısı vr. Zten u durumd diğer dr çı d eşit ölçülü olmk zorund olduğundn.. enzerliği gereğine öyle dedik. Neyse devm edelim: ski ilgilerle sorumuzu çözeek olursk, soldkinde α nın krşısındki kenr () ölü sğdkinde α nın krşısındki kenr (d) eşittir soldkinde diğer dr çının krşısındki kenr () ölü sğdkinde diğer dr çının krşısındki kenr () diyerek, çıkn d orntısını çözeektik. imse unun zor ir iş olduğunu söylemez m şekle en z 4 kere dönmek gerekiyor orntıyı yzilmek için. Tvsiyemiz şudur: Her iki dik üçgende de tn α değerlerini irirlerine eşitleyin (Tii eğer hipotenüs uzunluklrı verilmiş y d soruluyors sin α vey os α değerlerini eşitlememiz gerekiyor): d. d ir örnekle derdimiz dh iyi nltırız snırım. Örneğin, 3 H soldki üçgende değerinin sorulduğunu frzedelim. çısıyl H çısının ynı ölçülü olduklrını iliyoruz. H üçgeninde tn(h) = / olduğundn tn() değeri de / olmlıdır. Yni = + = 6 olmlıdır. urdn = 5 ulunur. 3 + H Sdee soru çözerken değil, teorem knıtlrken ile u metotlr işimizi kolylştırır. Örneğin dh öne Öklit Teoremi ni vermiş ve knıtını üç det Pisgor Teoremi irden kullnrk ypmıştık. Hluki; h p k 4

17 enzerlik yukrdki dik üçgeninde m() = m() = α olduğundn ile üçgenleri enzer olup, h k tn α p h eşitliğinden hemeneik h = pk eşitliğine ulşilirdik. hsı d vr: p k ve üçgenlerinden p osα p k yzrk = p(p+k) eşitliğine, ve üçgenlerinden k sin α p k yzrk = k(p+k) eşitliğine ulşilirdik. Htt u syede dh öneden ilmediğimiz şk eşitlikler de ulmk mümkün oluyor. Örneğin, h p k ve üçgenlerinden h k sin α yzrk h = k eşitliğine, ynı üçgenlerden p h sin α yzrk h = p eşitliğine ulşıyoruz. izim için yeni oln u iki eşitliği iririne ölersek de p elde ediliyor. Ne güzel değil mi? k Örnek. ve irer dik üçgen = 6 r = = 5 r olduğun göre = kç r dir?

18 enzerlik Çözüm: üçgeninde muhteşem üçlü gereği = 5 r dir. [] ort tnı çizilirse = = 3 r ve = 4 r olur. m() = α ise m() = α olğındn ile üçgenlerinin enzerliği görülür. üçgeninde os α = 4/5 olduğundn üçgeninde de öyle olmlıdır. urdn = 5/4 r ulunur ki, = 8 r olduğundn = = 7 4 olmlıdır / Örnek. ir üçgen = = 5 r = 8 r = 6 r olduğun göre = kç r dir? Çözüm: Ne zmn ikizkenr üçgen gördünüz mü tn dik indirin demiştik. İndirin. m() = α ise m() = α olur. u d trlı üçgenlerin enzerliği nlmın gelir. dik üçgeninde sin α = 3/5 olduğundn = 3 r olur. ikizkenr olduğundn de 3 r uzunluktdır. O hlde = 4 olmlıdır Örnek. dik üçgen = 5 r = 0 r olduğun göre = kç r dir? 5 0 Çözüm:, ve üçgenleri enzerdir. üçgeninin dik kenrlrının ornı : olduğundn diğerlerinde de öyle olmlıdır. O hlde = r ise = r ve = 4 r olur. = 5 = 0 olduğundn = ve = = 4 ulunur Örnek. üçgen,,, = 5 r, = 4 r olduğun göre = = kç r dir? k 5k- 4 H 4k 6

19 enzerlik Çözüm: den ye indirilen dikme yğı H olsun. H ir dikdörtgen ve H = 4 r olur. Trlı üçgenlerin enzerliğinden = 5k r ise H = 4k r ve H = 5k r olur. Öklit Teoremi nden = (5k )(9k ) k 4 olur ki urdn 45 olur. İşlemler ypılırs = 9 4 olrk ulunur. 7 Örnek. ir dik ymuk //,, = r, = r, = r olduğun göre = olduğunu gösteriniz. nıt: [] yi yönünde uztrk yndki prlelkenrını oluşturlım. // olduğundn olur. Öklit Teoremi nden = ulunur. Örnek. ir dik ymuk,,, = 4 r, = 6 r, = 3 r olduğun göre = kç r dir? 4 6 Çözüm: İki yoldn çözeeğiz. İlki irz öne verdiğimiz teoremi kez kullnk, ikinisi kez. 3 irini yol. ile üçgenlerinin enzerliğinden 43 = 6 eşitliğinden = r olduğunu hemen not edelim. den ye indirilen dikme yğı olsun. ir dikdörtgen olur. O hlde = = 5r olur. üçgeni diğer trlı üçgenlerle enzer olduğundn = 5r ve = = 5 olur İkini yol. = r olduğunu ulduktn sonr şekildeki gii L dikdörtgenini oluşturlım. L = 8 r olur. ve L üçgenlerinin enzerliğinden 8 = 4 L yni L = 4 r ulunur. L = 8 r çıktığındn = 8 r olmlıdır. O hlde = 5 ulunur. L

20 enzerlik Örnek. ir dik üçgen = r = 8 r = = 6 r olduğun göre = kç r dir? Çözüm: üçgeni 6-8-0, üçgeni de 9--5 üçgeni olduklrındn enzerdirler. O hlde m() = m() olur. iğer yndn m() = m(h) olduğundn ikizkenr üçgendir. den ye inilen dikme yğın H diyelim. H = H = 3 r olur. Tles Teoremi nden nın 3 yni = 3 r olduğunu iliyoruz. 3 H = 5 ten = 5 4 olrk ulunur. ir dik üçgen içine, köşeleri üçgen üstünde olup dik kenrlr oturk şekilde sonsuz frklı syıd dikdörtgen çizileilir. kt unlrdn sdee tnesi kredir. İlk olrk u kreye yoğunlşğız. Teorem. ik kenr uzunluklrı r ve r oln ir dik üçgenin içine, dik kenrlr oturk şekilde çizileileek en üyük krenin ir kenrının uzunluğu r dir. nıt: renin krşılıklı kenrlrı irirlerine prlel olduğundn m() = α dersek m() = α olur. u d ile üçgenlerinin enzerliği nlmın gelir. renin ir kenr uzunluğun r deyip, u üçgenleri kullnrk tn α orntısını kurrsk = + = ( + ) = - - 8

21 enzerlik dolyısıyl d ulunur. Çözüm: n kıs iç çıortyın en uzun kenr giden olduğunu iliyoruz. O hlde hipotenüse inen iç çıortyın oyunu rdığımızı unutmyın. u iç çıortyın hipotenüsü kestiği nokt olsun. den dik kenrlr dikmeler inerseniz, [] nin slınd meşur kremizin köşegeni olduğunu nlrsınız. renin ir kenr uzunluğu irim olduğundn = r olmlıdır. 3 6 Şimdiki örneklerimizde dik kenrlr değil de hipotenüse oturn krelerle ilgili olk. ir dik üçgenin içine, köşeleri üçgenin üstünde olup hipotenüse oturk şekilde sonsuz frklı dikdörtgen çizileilir. kt unlrdn sdee tnesi kredir. Şimdi u kreye odklnğız. u krenin ir kenr uzunluğunu ulmk yukrdki kdr koly olmyk m ir kere formülü çıkrdık mı rtık rht edeeğiz. Hemen ilgili teoremi verip knıtlylım. Teorem. Hipotenüs uzunluğu r, hipotenüse it yüksekliği nin uzunluğu h r oln ir dik üçgenin içine hipotenüse oturk şekilde çizileileek en üyük krenin ir kenr uzunluğu h r dir. h nıt: dik üçgenine enzer oln, ve üçgenlerinin hiçirinde iki kenr uzunluğu ilinmediğinden, dik kenrlr üzerine oturn krenin ir kenr uzunluğunu ulurken kullndığımız tekniği urd kullnmyız. O hlde kenrlr dışınd ir ele- L mnı kullnrk eşleme kurmlıyız. ile üçgenleri enzer olduğundn u üçgenlerde hipotenüse inilen dikmeler rsınd ir eşleme ypğız. N üçgeninin hipotenüsüne inen yüksekliğinin oyu h r olduğundn eşleme kurulurs h h h h h h ( h) h h eşitliğinden h olduğu knıtlnmış olur. 9

22 enzerlik Örnek. dik üçgen MN ire kre L ir kre = 3 r = 4 r olduğun göre üyük krenin ir kenr uzunluğu küçük krenin ir kenr uzunluğundn kç r fzldır? L N M Çözüm: relerin hngisi üyük, hngisi küçük şekle krk nlşılmıyor. iz en iyisi her iki krenin de ir kenr uzunluğunu ullım. O zmn üyük küçük elli olur. MN kresinin ir kenr uzunluğu = 3 r ve = 4 r olduğundn 3 4 r dir L kresinin ir kenr uzunluğu d = 5 r ve ye inen yüksekliğin oyu,4 r diye 5, r dir. u durumd krelerin kenrlrının frkı r olrk ulunur. 5,4 7, slınd u son teorem sdee dik üçgene özgü değildir. iz teoremi knıtlrken üçgenlerin enzer olduğunu dik üçgenden fydlnrk ulmdık ki ikliği sdee yüksekliğin oyunu ulurken kullndık. O hlde ir kenrının ve o kenr inen yüksekliğinin oyu ilinen her üçgende, yüksekliğin indiği kenr oturn ve köşeleri üçgen üstünde oln ir krenin ir kenrının oyu hesplnilir. Hesplylım klım nsıl ir şey çıkıyor? ile enzer olduğundn h h hh h h h h h- h emek ki genel kurl şuymuş: ir üçgenin herhngi ir kenrı üzerine dört köşesi de üçgenin üstünde olk şekilde ir kre çizilirse o krenin ir kenrının oyu, krenin oturduğu kenrın oyuyl o kenr it yüksekliğin oyunun çrpımı ölü toplmıdır. Örnek. ir üçgen ir kre ln() = 50 r = 0 r, olduğun göre = kç r dir? 0 0

23 enzerlik Çözüm: renin oturduğu kenrın uzunluğu elli olduğun göre o kenr yni kenrın it yüksekliğin oyu lzım ize. O yüksekliğin oyun h r diyelim. 0 h 50 olduğundn h = 5 olmlıdır. Şimdi formülümüzü uygulyiliriz: olmlıdır. Örnek. ir üçgen = 6 r = 8 r = = r olduğun göre kçtır? 6 8 Çözüm: İki frklı yoldn çözeeğiz. Seçim size klmış. irini yol. ve üçgenlerinin enzer olduklrını iliyoruz. u üçgenlerin hipotenüsleri ve hipotenüslerine inen dikmeleri rsınd eşleme kurğız. = 0 r ve ye inen yüksekliği oyu 4,8 4,8 0 4,8 r olduğundn eşitliğinden ulunur ,8-8 İkini yol., ve üçgenlerinin enzerliğine dikkt edin. Her iri 3k-4k-5k üçgenidir. olylık çısındn = 0 olsun. O zmn = 5 r ve = 4 r olur. = 49 = 6 eşitliğinden = 6 0 ve = 0 = olur Teorem. dik üçgeninin köşesine it H yüksekliği çiziliyor. Oluşn H ve H dik üçgenlerinin iç çemer yrıçplrının ornı, dik üçgeninin dik kenrlrının ornınddır. H nıt: H ve H dik üçgenleri enzerdir. enzer üçgenlerin iç çemer yrıçplrının ornı d enzerlik ornınddır. Hipotenüsler ornı / olduğundn yrıçplr ornı d olur. ir doğru, ir üçgeninin ve kenrlrını sırsıyl köşelerden frklı X ve Y noktlrınd kessin. u doğru, üçgenden küçük ir üçgen yırır. XY üçgeni. u küçük üçgenin, ilk üçgene enzer olmsı iki durumd mümkündür:

24 enzerlik X Y Y X ir, soldki gii, XY nin tn yni ye prlel olmsıyl, ir de sğdki gii ( ye ntiprlel) olmsıyl. irini durumu dh öne yrıntılı olrk inelemiştik. Şimdi ikini durumu msy ytırğız. Teorem. ir üçgen m() = m() = r = r = r = d r ise ( + ) = ( + d) olur. d Çözüm: m() = α ve m() = olsun. Sorud verilen eş çılrın ölçüsü de olsun. ile üçgenlerinin.. gereğine enzer olduğunu Metin Şentürk ile görmüştür snırım. erhl iki üçgen rsınd eşleme kurlım: d orntısınd içler-dışlr çrpımı ypılırs ( + ) = ( + d) eşitliği knıtlnmış olur. d u teoremin tersi de doğrudur. Yni ( + ) = ( + d) ise yine ile üçgenleri enzer olurlr. u sefer seeimiz.. değil... olur. Çünkü + +d ( + ) = ( + d) eşitliği d şeklinde de düzenleneilir. u d ile üçgenlerinin iki kenrı orntılıyken u kenrlrının elirttiği çılrın eş olmsın gelir. Teorem. üçgeninin kenrı üzerinde m() = m() olk şekilde ir noktsı lınsın. Öyleyse =. nıt: ile üçgenleri hem verilen çılr hem de çılrı eş olduğundn.. gereğine enzerdirler. şleme ypılırs = eşitliğine rhtlıkl erişilir. u teoremin tersi de doğrudur.

25 enzerlik Örnek. ir üçgen H = {} H = m(h) = m(h) X = r ln() = k r olduğun göre k kçtır? H Çözüm: H = = r ve = r olsun. H ve H üçgenlerinin enzerliğinden = H H = ( + ) çıkr. iğer ( ) ln() = olduğundn ln() = dir. u durumd k = demektir. H Örnek. ir üçgen m() = α m() = 90 + α = 5 r = 7 r olduğun göre = kç r dir? Çözüm: den ye çıkıln dikmenin doğrusunu kestiği nokt olsun. ir dik üçgen ve ir ikizkenr üçgen olur. O hlde = 5 r dir. iğer Yndn den ye inilen dikme yğınd diyelim. = = m r olsun. Öklid Teoremi gereği 5 = m (m + 7) olur, denklem çözülürse m = 9 ulunur ki, urdn = 0 olduğu nlşılır. 5 m m Örnek. ir üçgen = m() = m() = r = y r = z r olduğun göre y = z olduğunu gösteriniz. y z 3

26 enzerlik Çözüm: ve üçgenlerinde, verilenler dışınd, çısı d ortk olduğundn u üçgenler enzerdir. O hlde ikizkenr ise üçgeni de ikizkenrdır. u durumd = y r olur. şleme kurulurs y z y eşitliğinden y = z ulunur. -z z y y Örnek. ir üçgen m() = m() = α = r = r = r olduğun = ( + ) olduğunu gösteriniz. Çözümü: İki frlı yoldn çözeeğiz.. irini yol. iç çıortyını çizelim. m() = m() olğındn ikizkenr olur ve undn dolyı = = r dersek, = r olur. iğer yndn m() = α ve m() = α olduğundn ile üçgeni enzer olurlr. u enzerlikten doğn eşlemeyi kurlım: irini eşitlikten, ikini eşitliktense yni = ( + ) ulunur. - ulunur. u iki değer eşitlenirse = İkini yol. Yn şekildeki gii ikizkenr üçgeni oluşturulurs üçgeni de ikizkenr olur. m() = m() olduğundn formülümüzü kullniliriz: = ( + ) olğı şikr. h öne Stewrt Teoremi ni nlttığımız derste de u soruyu ikizkenr üçgenler için ulduğumuz zrif Stewrt formülüyle çözmüştük. itmedi, dh iç çıorty dersinde de şk çözümler göstereeğiz. Htt dileyen yrım çı formüllerini kullnrk trigonometri ile de çözeilir. Örnek. enrlr uzunluklrı rdışık oln tek α-α üçgeni şğıdkilerden hngisidir? ) ) ) ) )

27 enzerlik nıt: Yukrıdki şekilden de nlşıldığı üzere en kıs kenr olmz, de en uzun kenr olmz. iz yi ortn kul edelim, yi de en küçük. Çelişki çıkrs diğer şıklrı ineleyeeğiz. enrlr rdışık olduğundn = p +, = p, = p olsun. O hlde = ( + ) formülünde yerlerine yzlım. p = p(p ) olur. urdn p = çıkr ki (,, 3) değerleri üçgen oluşturmz, şimdi diğer şıkkı ineleyelim. en uzun en kıs olsun. = p, = p +, = p llım. = ( + ) formülünde yerlerine yzlım. (p + ) = (p )(p ) diye p + p + = p 3p + olur, urdn d p = 5 çıkr. undn şk p değeri ulunmyğındn (4, 5, 6) ulunileek tek çözümdür. Örnek [99 merikn Mtemtik Olimpiydı]. çısı geniş ve çısı çısının ktı oln kenrlrı tmsyılı çevree en küçük üçgen (8, 6, 33) kenrlrın shiptir. nıtlyınız. nıt: Şrtlrı sğlyn çevree en küçük üçgen yn şekilde verilen üçgeni olsun. iç çıortyı yi N de kessin. = ( + ) olduğunu iliyoruz. urd ile + rlrınd sl olmlıdır. eğilse, den frklı ir d ortk öleni ulunurdu ve u ortk ölen yı d ölerdi. enrlrı d, d, oln üçgense hem ye enzer hem de dh küçük d çevreli olurdu. u ise üçgeninin seçilişine uymz. urdn öylee rlrınd sl ve + syılrının tmkre olduklrını çıkrıyoruz. N = m, + = n, = mn (m, n N + ) olsun. üçgeninde üçgen eşitsizliği < + yi, çısının geniş olmsı d > + yi veriyor. u eşitsizlikleri m ve n türünden yzdığımızd 3 < n/m < eşitsizliğini elde ediyoruz. u eşitsizlikler m =,, 3 olduğund hiçir n değeri için sğlnmzlr. un göre m 4 ve n 3m 48 olur, o hlde n 7 olmlıdır, dolyısıyl d + + = mn + n = 77 olmlıdır. Sonuçt d hsi geçen en küçük çevreyi 77 ve un ğlı olrk (,, ) değerlerini (8, 6, 33) olrk uluruz. Teorem. Yukrdki şekillerde =. nıt: İlk üç şekilde ile üçgenleri enzerdir. Son şekilde de ile üçgenleri enzerdir. şlemeler ypılırs = eşitliğine erişilir. 5

28 enzerlik Teorem Menelus]. ir üçgen olmk üzere,, üzerinde sırsıyl,, noktlrı verilsin.,, noktlrının doğrusl olmsı için gerek ve yeter şrt.. olmsıdır. Teorem [ev]. ir üçgen olmk üzere,, üzerinde sırsıyl,, noktlrı verilsin., ve nin noktdş olmsı için gerek ve yeter şrt.. olmsıdır. Menelus ve Sev teoremleri üzerinde ilerleyen ölümlerde yrıntılı olrk durulktır. ÇÖZÜMLÜ PROLMLR Prolem. üçgeninin kenrı üzerinde ir noktsı verilsin [] üzerinde lınn ir P noktsı için P ve P krşısındki kenrlrı ve noktlrınd kessin. // olmsı için gerek ve yeter şrtın = olduğunu gösteriniz. Çözüm: // ise yni. dir. Sev ğıntı- sındn.. olup sındn.. ise // olduğunu gösterir. ise = dir. Sev ğıntı- olup = olduğundn olur. u Prolem. ir doğru üzerinde,, ve şk ir doğru üzerinde,, noktlrı verilsin. ğer //, // ise // olduğunu gösteriniz. 6

29 enzerlik P P P P ve P P P P P P Çözüm: ğer doğrulr prlel ise = olup prlelkenr olur. urdn // olur. oğrulr prlel olmyıp kesim noktlrı P olsun. u durumd P P gösterir. olup trf trf çrprsk orntısı elde edilir. u ise // olduğunu P Prolem 3. dörtgeninde // olmk üzere [] üzerinde lınn ir noktsı için = olsun. ve, yi sırsıyl O ve P de kessin. O = P ise = +. olduğunu gösteriniz. / // O P / Çözüm: O = P olduğundn u durumd O ve O k k O P olsun. olylık olmsı çısındn = llım. O P k P P olduğundn = k ve O O k olur. ur- k dn k yni k = k + olur. = k ve +. = + k olduğundn = +. olur. // Prolem 4. dörtgeninde // ve < olsun. ve kenrlrı üzerinde sırsıyl lınn ve noktlrı için // ise olduğunu gösteriniz. Prolem 5. üçgeninde ve çıortylrı verilsin. üzerinde lınn ir M noktsının ve ye uzklıklrı toplmının ye uzklığın eşit olduğunu gösteriniz. Çözüm: M noktsındn,, ye inilen dikme yklrı sırsıyl P, Q, R ve ve noktlrındn kenrlr inilen dikme yklrı, L, X, Y olsun. u durumd = L = p ve X = Y = q olur. MQ // L ve MP // X olduğundn MQ M p Y R M Q L PX 7

30 enzerlik ve MP q M olur. u eşitlikleri trf trf ornlr ve toplrsk MQ MP M M olur. p q M M MQ. q ve MP. p Y // RM // olduğundn p.5 den M MR q M p MR olup p. q MQ MP MR MP. p MQ. q u eşitlik düzenlenirse MP MQ MQ MP MR MR q p MR q MQq. p MR MP. p olur. eşitliğini elde ederiz. Prolem 6. üçgeninin [] çıortyı üzerinde lınn ir P noktsının,, kenrlrı üzerindeki dik izdüşümleri sırsıyl,, dir. P ile in kesim noktsı R ise R nin yi ortldığını gösteriniz. Çözüm: çıorty olduğundn m(p ) = m(p ) dir. R den geçen ye prlel doğru ve yi sırsıyl ve de kessin. u durumd // olur. m(p ) = m(pr ) = 90 0 olduğundn m(p ) = m(p R) = m(p R) = m(p ) olur. m(p ) = m(pr ) = 90 0 olduğundn m(p ) = m(p R) = m(p R) = m(p ) olur. u durumd (P R) = m(p R) olup P ikizkenrdır. PR olduğundn R = R dir. // olduğu göz önüne lınırs R, yi ortlr. R // // Prolem 7.[lnhett]. üçgeninde yükseklik olmk üzere üzerinde ir P noktsı lınsın. P ve P ise olduğunu gösteriniz. Çözüm: dn geçen ye prlel doğruyu ve sırsıy P ve Q d kessin. u durumd P ve Q olur. üçgeninde Q P Q Sev teoreminden.... olup Q = P olur. PQ P olduğundn PQ ikizkenr olup m() = m() olur. Prolem 8. dikdörtgeninin ve kenrlrının ort noktlrı sırsıyl M ve N dir. kenrının uzntısı üzerinde ir P noktsı lınsın. PN ile nin kesim noktsı Q ise QMN PMN olduğunu gösteriniz. 8

31 enzerlik M T Q N P Çözüm: MN ile nin kesim noktsı olmk üzere MN ye d dik oln doğru MQ yu T de kessin. u durumd MTN ikizkenr olup m(tmn) = m(tnm) dir. MN // ve T // olduğundn olur. u durumd TN // PM olmlıdır. olyısı ile m(pmn) = m(tnm) QN Q QT QP Q QM olup m(pmn) = m(tnm) = m(qmn) olur. Prolem 9. ir d doğrusu üzerinde verilen sırd, M, N, noktlrı için M = MN = N olsun. doğrusu üzerinde olmyn ir noktsı llım. ye prlel ir doğru [], [M], [N] yi sırsıyl,, de kessin. = 3. olduğunu gösteriniz. Çözüm: ve den geçen ye prlel doğrulr yi sırsıyl H ve de kessin. yrı, N yi G de kessin. u durumd G N N N. N H G G olup =. G olur. olduğundn G =.H olup = M M M. M 4.H olur. H // olduğundn H 4 olduğundn = 3. dir. H M N G Prolem 0. üçgeninin,, kenrlrının ort noktlrı sırsıyl,, dir. çısının çıortyı yi M de, çısının çıortyı yi N de kessin. MN O, O P ve O Q ise = PQ olduğunu gösteriniz. Çözüm: M ve N çıorty olduğundn M N ol- M N MN N M duğundn MN // dir. u durumd M M ise = : = olduğundn M M dir. yrı olur. iğer trftn M M MN. olup NM MN (*) olur. yrı MN // ve = olduğundn OM = ON olup MN üçgeninde P ve Q kesenlerine göre Menleus teoreminden P Q ve olur. // MN olduğundn PN M QM N N M O P Q 9

32 enzerlik M olup N Q P QM olur. u durumd // QP dir. Q ymuğund PN olur. (*) eşitliği göz önüne lınırs = PQ olur. PQ MN Prolem. dikdörtgeninde dn ye inilen dikme yğı olmk üzere [] üzerinde ve nin rsınd olk şekilde keyfi ir noktsı lınsın. den geçen ye dik doğru ile nin kesim noktsı P ve P den geçen ye dik doğru ile nin kesim noktsı Q olsun. m(p) = m(q) olduğunu gösteriniz. Q Çözüm: P = R olsun. üçgeninde R diklik merkezi olduğundn R olur. u durumd R // // olup R R P P dir. P P olduğundn P // ve P Q olmlıdır. u durumd PQ ve P Q olduğundn noktsı PQ üçgeninin diklik merkezi olup m(p) = m(q) dir. P R Prolem. r çılı üçgeninde yüksekliği verilsin. den ye inilen dikme yğı ve [] üzerinde ir noktsı lınsın. olmsı için gerek ve yeter şrtın olduğunu gösteriniz. Çözüm: den geçen ye prlel doğru yi G de kessin. ise G olur. u durumd m(g) = m() olur. u durumd olup G olur. u durumd olur. rşıt durumun isptını lıştırm olrk ırklım. G ve G // olduğundn G G Prolem 3. üçgeninde ve kenrortylrı verilsin. kenrı üzerinde lınn ir P noktsındn geçen ve ye prlel oln doğrulr ve yi Q ve R de kessin. ve nin QR yi üç eş prçy yırdığını gösteriniz. Çözüm: = G, QR = M, PQ = X, QR = N, PR = Y olsun. u durumd enzer şekilde RN RQ 3 QM QX G QR QP olup olur. u durumd QM = MN = NR olur. 3 Q X G R M N Y P 30

33 enzerlik Prolem 4. prlelkenrınd > olup noktsındn ve ye inilen dikme yklrı sırsıyl P ve Q dur..p +.Q = olduğunu gösteriniz. Q Çözüm: den ye inilen dikme yğı R olsun. R P olduğundn.r = P. dir. R Q olduğundn.r = Q. dir. u eşitlikleri trf trf toplrsk,.r +.R = P. + Q. olup urdn (R + R) = = P. + Q. = P. + Q. olur. R P Prolem 5. prlelkenrının ve kenrlrı üzerinde sırsıyl ve noktlrı verilsin. ile nin kesim noktsı G ise olduğunu gösteriniz. G Çözüm: köşegeni üzerinde lınn ve noktlrı için // // olsun. u durumd ve dir. olduğundn = olup G olur. G G G G G Prolem 6. üçgeninin iç teğet çemerinin merkezi I olup ve kenrlrı üzerinde sırsıyl P ve Q noktlrı verilsin. P. = I ve Q. = I ise P, I, Q noktlrının doğrusl olduğunu gösteriniz. Çözüm: I ve I çıortydır. P. = I ise Q : I = I : ve m(i) = m(qi) olduğundn QI I olur. olyısı ile m(qi) = m(i) ve m(i) = m(iq) dur. enzer şekilde PI I olup m(i) = m(ip) olur. u durumd P, I, Q noktlrı doğrusldır. LIŞTIRM PROLMLRİ. üçgen olup nin uzntısı üzerinde ir noktsı verilsin. nin çısının dış çıortyı olmsı için gerek ve yeter şrtın olduğunu gösteriniz.. dik üçgeninde m() = 90 0 olup yüksekliktir. ve nin ort noktlrı sırsıyl ve ise m() = m() olduğunu gösteriniz. 3

34 enzerlik 3. prlelkenrının,,, kenrlrı üzerinde sırsıyl,,, noktlrı lınsın. ğer prlelkenr ise u prlelkenrlrın ğırlık merkezlerinin çkışık olduğunu gösteriniz. 4. üçgeninde G ğırlık merkezi olup G den geçen ye prlel doğru ve yi sırsıyl ve de kessin. G =, G = olup nin ort noktsı ise olduğunu gösteriniz. 5. dörtgeninde // dir. ve kenrlrının uzntılrı üzerinde sırsıyl P ve Q noktlrı verilsin. PQ, ve yi sırsıyl M ve N de, ve yi sırsıyl X ve Y de kessin. PM = QN ise MX = NY olduğunu gösteriniz. 6. kre olmk üzere dn geçen ir doğru kenrını P de yi Q de kessin. P Q olduğunu gösteriniz. 7. üçgeninin ve yükseklikleri üzerinde sırsıyl ve noktlrı verilsin. m = m = 90 0 ise = olduğunu gösteriniz. 8. prlelkenr olup noktsındn ve ye inilen dikme yklrı sırsıyl P ve Q ise PQ ve üçgenlerinin enzer olduğunu gösteriniz. 9. üçgeninde çıorty olup ve kenrlrının ort noktlrı sırsıyl ve dir. ile nin kesim noktsı H ise H olduğunu gösteriniz 0. prlelkenrın d çısı dr olup [ ve [ üzerinde sırsıyl M ve N noktlrı verilsin. = N ve = M ise N ve NM üçgenlerinin enzer olduğunu gösteriniz.. prlelkenr olmk üzere ve köşegenleri üzerinde sırsıyl lınn P ve Q noktlrı için PQ // olsun. P = X ve Q = Y ise XY // olduğunu gösteriniz.. üçgeninde çıorty olsun. =4 ve + = 54 ise =? 3. onveks dörtgeninde m = m, m = m ve = 4, = 3, = 6 ise =? 3

35 enzerlik 4. prlelkenrının köşegeni üzerinde lınn M ve N noktlrı için M = N olsun. MP // ve NP // olk şekilde seçilen P noktsının üzerinde olduğunu gösteriniz. 5. üçgeninin ve kenrı üzerinde sırsıyl lınn ve noktlrı için // olsun. = G olmk üzere G den geçen ye prlel doğru ve yi sırsıyl M ve N de kessin. M : N = : olduğunu gösteriniz. 6. üçgeninin iç ölgesinde ir P noktsı verilsin. P noktsının,, kenrlrının ort noktlrın göre simetriği oln noktlr sırsıyl,, ise ve,, in noktdş olduğunu gösteriniz. 7. üçgeninde m() = 60 0 olup,, kenrlrı üzerinde sırsıyl lınn X, Y, Z noktlrı için XYZ eşkenr dörtgendir. Z ile Y nin kesim noktsı ise YZ = Y.Y olduğunu gösteriniz. 8. üçgeninde yüksekliği verilsin. den ye inilen dikme yğı ve nin ort noktsı olsun.,, nin kesim noktsı H ise m() = 90 0 olduğunu gösteriniz. 9. eşkenr dörtgeninde =0 dir. kenrı üzerinde seçilen ir N noktsı için N ve M de kesişsin. M ile N nin kesim noktsı ise m()=? 4 eylül 0. üçgeninde,, kenrlrının ort noktlrı sırsıyl,, olmk üzere m = m olmsı için gerek ve yeter şrtın m = m olduğunu gösteriniz. 33

11. BÖLÜM. Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen A. PARALELKENAR B. PARALELKENARIN ÖZEL LİKLERİ ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK

11. BÖLÜM. Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen A. PARALELKENAR B. PARALELKENARIN ÖZEL LİKLERİ ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK G O M T R İ www.kdemivizyon.com.tr. ÖÜM Prlelkenr ve şkenr örtgen. PRNR rşılıklı kenrlrı prlel oln dörtgenlere prlelkenr denir. [] // [] [] // [] = =. PRNRIN ÖZ İRİ. rşılıklı çılr eş ve rdışık çılr ütünlerdir.

Detaylı

G E O M E T R İ. Dar Açılı Üçgen. denir. < 90, < 90, < 90 = lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. > 90

G E O M E T R İ. Dar Açılı Üçgen. denir. < 90, < 90, < 90 = lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. > 90 G O M T R İ. ÖLÜM Üçgende çılr. ÜÇGN oğrusl olmyn üç noktyı birleştiren doğru prçlrının birleşim kümesine üçgen denir. ış çı ış çı ış çı. ÇILRIN GÖR ÜÇG N ÇŞİTLR İ r çılı Üçgen Üç çının ölçüsü de 90 den

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC

(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC ÜÇGNLR TRİGONOMTRİK ÖZLLİKLR. Kosinüs Teoremi: Herhngi ir üçgeninin, kenr uzunluklrı,, ise; = +... os = +... os = +... os İspt: Şekilde görüldüğü üçgeni, köşesi ile orijin, kenrı ile ekseni ile çkışk şekilde

Detaylı

GeoUmetri Notları Mustafa YAĞCI, Deltoit

GeoUmetri Notları Mustafa YAĞCI, Deltoit www.mustfgci.cm.tr, 01 GeUmetri Ntlrı Mustf YĞI, gcimustf@h.cm eltit n z ir köşegenine göre simetrik ln dörtgene deltit denir. = ve = lmsı deltidin iki ikizkenr üçgen rındırdığını nltır. Şöle de izh edeiliriz

Detaylı

ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik)

ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik) ÜÇGN LN Üçgende ln Şekilde verilen üçgeninde,, üçgenin köşeleri, [], [], [] üçgenin kenrlrıdır. c b üçgeninin kenrlrı dlndırılırken, her kenr krşısınd bulunn köşenin hrfi ile isimlendirilir. üçgeninin

Detaylı

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI ÜÇGN ÇI-NR ĞINTILRI ir üçgende üük çı krşısınd üük kenr, küçük çı krşısınd küçük kenr ulunur. 3 Şekildeki verilere göre, en uzun kenr şğıdkilerden hngisidir? 3 3 üçgeninde, kenrlr rsınd > > ğıntısı vrs,

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : DÜZGÜN BEŞGEN DÜZGÜN BEŞGEN ÖZELLİK 3 TANIM VE ÖZELLİKLERİ ÖZELLİK 1 ÖZELLİK 2. A Köşe. köşeleri A, B, C, D ve E dir, β θ

Örnek...1 : Örnek...2 : DÜZGÜN BEŞGEN DÜZGÜN BEŞGEN ÖZELLİK 3 TANIM VE ÖZELLİKLERİ ÖZELLİK 1 ÖZELLİK 2. A Köşe. köşeleri A, B, C, D ve E dir, β θ ÜZGÜN ŞGN ( ÜZGÜN ŞGN TNII, ÖZİRİ ĞRNİRR ) ÜZGÜN ŞGN ÖZİ 3 TNI V ÖZİRİ enr syısı 5 oln düzgün çokgene öşe düzgün beşgen denir. üzgün beşgenin; köşeleri,,, ve dir, kenrlrı [], [], β θ [], [] ve [] dır,

Detaylı

YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1

YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1 YGS-YS GOMTRİ ÖZT ÇÖZÜMRİ TST 1 1. 1. y 1 1 + 1 1ʺ 1 1ʹ 17 0ʹ 1 1ʹ ʹ + ʹ 1ʺ ʹ + ʹ 1ʺ 7 0ʹ 1ʺ 0 0ʹ 1ʺ bulunur. 1 y < + 1 y dir. y < 7 + 1 < 7 0 < < 1 in en büyü tm syı değeri 17 in en üçü tm syı değeri

Detaylı

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır? 988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?

Detaylı

ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTALAR

ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTALAR ORTÖĞRETĐM ÖĞRENĐLERĐ RSI RŞTIRM ROJELERĐ YRIŞMSI (2008 2009) ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTLR rojeyi Hzırlyn Öğrencilerin dı Soydı : Sinem ÇKIR Sınıf ve Şuesi : 11- dı Soydı : Fund ERDĐ Sınıf ve Şuesi

Detaylı

7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir.

7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir. 7.SINIF: ÇOKGNLR oğrusl olmyn üç vey dh fzl noktnın birleşmesiyle oluşn kplı geometrik şekillere çokgen denir. n kenrlı bir çokgenin bir dış çısının ölçüsü 360/n dir. n kenrlı bir çokgenin bir iç çısının

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu OĞRU ÇILR Temel Kvrmlr ve oğrud çılr Nokt: Nokt geometrinin en temel terimidir. ni, boyu vey yüksekliği yoktur. İnce uçlu bir klemin kğıt üzerinde bırktığı iz olrk düşünebilirsiniz. oğru: üz, klınlığı

Detaylı

G E O M E T R İ ÖRNEK. AB = 8 br. BC = x br ÇÖZÜM. Cevap C dir. ÖRNEK. [AF] [BF] [AF açıortay BE = EC EF = 1 br AB = 7 br

G E O M E T R İ  ÖRNEK. AB = 8 br. BC = x br ÇÖZÜM. Cevap C dir. ÖRNEK. [AF] [BF] [AF açıortay BE = EC EF = 1 br AB = 7 br G O M T R İ www.kemivizyon.om.tr 3. ÖLÜM Üçgene çı Kenr ğıntılrı 1. < < + < < + < < + ir üçgene ir kenr uzunluğu, iğer iki kenr uzunluklrının toplmınn küçük; mutlk frkınn üyüktür. ÖRNK m() m() m() = r

Detaylı

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır. LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün ÜZGÜN TIGN ( ÜZGÜN TIGN TNIMI, ÖZİİ V NI ĞNİM ) ÜZGÜN TIGN Örnek...2 : TNIM V ÖZİİ enr syısı 6 oln çok - gene lt ıgen denir. ltıgeni için [], [] ve [] köşegenlerinin kesim noktsı oln noktsı dü zgün ltıge

Detaylı

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)

Detaylı

ÜÇGENDE BENZERLİK. Benzerlik. Benzerlik Oranı. Uyarı

ÜÇGENDE BENZERLİK. Benzerlik. Benzerlik Oranı. Uyarı ÜÇN NZRLİK enzerlik eometride benzerlik kvrmı görsel olrk birbiri ile ynı oln şekiller için kullnılır. enzer iki şeklin krşılıklı kenrlrı rsınd sbit bir orn vrdır. iz bu bölümde sdece üçgenler rsındki

Detaylı

T 35 ZAMBAK MERAKLISINA TESTLERİ(GEO): ÇÖZÜM: ŞekildeIBCI=8, IACI=4,m(B)= a,m(c)= q ve = 180 olduğuna göre IABI kaç br dir? A)4 B)5 C)6 D)8 E)10

T 35 ZAMBAK MERAKLISINA TESTLERİ(GEO): ÇÖZÜM: ŞekildeIBCI=8, IACI=4,m(B)= a,m(c)= q ve = 180 olduğuna göre IABI kaç br dir? A)4 B)5 C)6 D)8 E)10 1) Z RII Rİ(GO): 0 0 ŞekildeII=, II=,m()=,m()= ve + = 10 olduğun göre II kç br dir? ) )5 ) ) )10 ÇÖZÜ-1: 0 5 5 5 0 105 ile yi birleştirelim. @ (.. eşliği) olur. ikizkenr olur.unlr göre çılrı simgelendirirsek

Detaylı

ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI

ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI ÜÇGEN VE PİSGOR ĞINTISI KZNIMLR Üçgen kvrmı Üçgen çizimi Üçgenin kenrlrı rsındki ğıntılr Üçgen eşitsizliği Üçgenlerde yükseklik Üçgenlerde kenrorty Üçgenlerde çıorty Kenr ort dikme kvrmı Pisgor ğıntısı

Detaylı

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır?

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır? Mobil Test Sonuç Sistemi Nsıl ullnılır? Tkdim Sevgili Öğrenciler ve eğerli Öğretmenler, ğitimin temeli okullrd tılır. İyi bir okul eğitiminden geçmemiş birinin hytt bşrılı olmsı beklenemez. Hedefe ulşmks

Detaylı

Geometri Notları. Kenar-Açı Bağıntıları Mustafa YAĞCI,

Geometri Notları. Kenar-Açı Bağıntıları Mustafa YAĞCI, www.mustfygi.om, 00 Geometri Notlrı Mustf YĞI, ygimustf@yhoo.om Kenr-çı ğıntılrı Üçgenin tnımını htırlyrk derse şlylım:,, doğrusl olmyn üç nokt olduğund, [], [] ve [] nin irleşimine üçgeni denirdi. ir

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net. EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ www.izmirkpsskursu.net 0 232 445 21 25

Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net. EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ www.izmirkpsskursu.net 0 232 445 21 25 EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ 0 5 5 DÜZLEMDE ÇILR Prlel Ġki Doğrunun Bir Kesenle Yptığı çılr: Tnım: Bşlngıç noktsı ortk iki ışının irleşim kümesine çı denir. d 6 5 d 7 8 O OB OB = BO ÇI ÇEġĠTLERĠ. Dr çı: Ölçüsü

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

7.SINIF: PARALELKENARIN ve ÜÇGENİN ALANI

7.SINIF: PARALELKENARIN ve ÜÇGENİN ALANI 7.SINIF: PRLLKNRIN ve ÜÇGNİN LNI ikdörtgen şeklindeki ir krtonu şekildeki gii işretlenen yerden kesip diğer trf eklediğimizde krtonun eksilmediğini,sdece görüntüsünün değiştiğini görürüz. Prlelkenrd Yükseklik

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk

Detaylı

YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1

YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1 YGS-YS GOMTRİ ÖZT ÇÖZÜMRİ TST 1 1. ʹ. y 1 1 1ʹ y < + 1 y dir. m ^ h olsun. + 1. 1 + 1 1 17 0 17 0 1 1 olur. + + y < 7 + 1 < 7 0 < < 1 in en büyü tm syı değeri 17 in en üçü tm syı değeri + 17 7 bulunur.

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin 4 () ve (bb) iki bsmklı syılr, () ve 1 x=15! +1 y=15!+16 olmk üzere, (bbb) üç bsmklı syılrdır x ile y rsınd kç tne sl syı vrdır? A)0 B)1 C) D) 3 E) 4 b + bb + bbb = 6 olduğun göre, b çrpımı en çok kçtır?

Detaylı

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

FONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ PEDAL DÖRTGENLERİNDE GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER

ÖZEL EGE LİSESİ PEDAL DÖRTGENLERİNDE GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER ÖZEL EGE LİEİ PEDAL DÖRTGENLERİNDE GEOMETRİK EŞİTİZLİKLER HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Güneş BAŞKE Zeynep EZER DANIŞMAN ÖĞRETMEN: ereny ŞEN İZMİR 06 İçindekiler yf. Giriş.... Amç.... Ön Bilgiler...... 3. Yöntem....

Detaylı

Geometri Notları. Dik ve Özel Üçgenler Mustafa YAĞCI,

Geometri Notları. Dik ve Özel Üçgenler Mustafa YAĞCI, www.mustfgci.com, 005 Geometri Notlrı Mustf YĞI, gcimustf@oo.com ik ve Özel Üçgenler ik üçgen. Herngi iki kenrı dik kesişen d şk ir ifdele (iç ve dış) ir çısı dik çı oln üçgenlere dik üçgen denir. ik çının

Detaylı

ÜNİTE DÖRTGENLER VE ÇOKGENLER. 5.1 : Dörtgenler ve Özellikleri 5.2 : Özel Dörtgenler 5.3 : Çokgenler

ÜNİTE DÖRTGENLER VE ÇOKGENLER. 5.1 : Dörtgenler ve Özellikleri 5.2 : Özel Dörtgenler 5.3 : Çokgenler 5 ÜNİT ÖRTGNLR V ÇOGNLR 51 : örtgenler ve Özellikleri 5 : Özel örtgenler 53 : Çokgenler 50 50 0 ünymız yklşık olrk küre biçimindedir Onun üzerinde bir üçgen çizmeye klktığımızd o üçgenin iç çılrının toplmı

Detaylı

MATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir?

MATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir? MTEMTİK TESTİ 1 1 1 1 1. + 4 4 1 ) 0 ) 4 işleminin sonucu kçtır? ) 1 ) 1., irer gerçek syı ve + < 3tür. u syılrın syı doğrusund gösterilişi şğıdkilerden hngisindeki gii olilir? ) -3 - -1 0 1 3 ) -3 - -1

Detaylı

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin

Detaylı

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır?

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır? 99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000 6. Bir lstik çekilip uztıldığınd

Detaylı

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız. Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:

Detaylı

KONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2

KONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2 Sf No.........................................................8-7 Prol....................................................................... 9 - Etkinlikler.....................................................................

Detaylı

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI. 700 doğl syısı için şğıdkilerden kç tnesi doğrudur? I. Asl çrpnı tnedir. II. Asl çrpnlrının çrpımı 0 dir. III. Tmsyı bölenlerinin toplmı 0 dır. IV. Asl çrpnlrının

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. YÖNLÜ

Detaylı

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri Akdemik Personel ve Lisnsüstü Eğitimi Giriş Sınvı ALES / Sonbhr / Syısl II / 7 Ksım 0 Mtemtik Sorulrının Çözümleri. Bölüm şeklindeki kreköklü ifdenin pydsını krekökten kurtrmk için py ve pydyı, pydnın

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

(THE REARRANGEMENT INEQUALITY ) DERS NOTLARI

(THE REARRANGEMENT INEQUALITY ) DERS NOTLARI YENİDEN DÜZENLEME EŞİTSİZLİĞİ (THE REARRANGEMENT INEQUALITY ) DERS NOTLARI www.selin.wordpress.om 7 Şut 009 Bu ders notund re-rrngement inequlity konusu ele lınrk olimpiyt sınvınd çıkmış zı eşitsizlik

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 7 Hzirn 007 Mtemtik I Sorulrı ve Çözümleri.. 7 işleminin sonucu kçtır? A) B) 9 C) D) E) Çözüm. 7..9.. + işleminin sonucu kçtır? 4 8 A) 8 B) 8 C) 8 D) 4 E) 4 Çözüm + 4 8 8 4+

Detaylı

SORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise

SORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise GMR erginin bu sy s nd Çokgenler ve örtgenler konusund çözümlü sorulr yer lmktd r. u konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel bilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içinde ht rltmy

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 7 Nisn 99 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri (0,0 0,8) işleminin sonucu kçtır? 0,00 A) 00 B) 0 C) D), E) 0, Çözüm (0,0 0,00 0,8) 0, 0,00 0, 0,00 0 işleminin sonucu kçtır? A) B) C)

Detaylı

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...

Detaylı

1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun

1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun 99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000. Bir stıcı, elindeki mlın önce

Detaylı

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK Bölüm 4.1. Eşlik

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK Bölüm 4.1. Eşlik Ünite 4 ÜÇGNLR ŞLİK V NZRLİK ölüm 4.1. şlik u ölümde Neler Öğreneceğiz? Üçgenin iç ve dış çılrının ölçüleri toplmını İki üçgenin eşliğini Üçgenin kenrlrı ile çılrı rsındki ilişkiyi Üçgenin kenrlrı rsındki

Detaylı

Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlığı'nın 30.12.2010 tarih ve 330 sayılı kararı ile kabul edilen ve 2011 2012 Öğretim Yılından

Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlığı'nın 30.12.2010 tarih ve 330 sayılı kararı ile kabul edilen ve 2011 2012 Öğretim Yılından Milli ğitim knlığı, Tlim ve Terbie urulu knlığı'nın 0.1.010 trih ve 0 sılı krrı ile kbul edilen ve 011 01 Öğretim Yılındn itibren ugulnck progrm göz önüne lınrk hzırlnmıştır. u kitb n her hkk skl d r ve

Detaylı

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS

YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS Rsonel Sılr YILLAR 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 ÖSS-YGS RASYONEL SAYILAR KESĐR: Z ve 0 olmk üzere şeklindeki ifdelere kesir denir p pd kesirçizgisi KESĐR ÇEŞĐTLERĐ: kesri için i) < ise kesir sit kesirdir

Detaylı

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır? 987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

MATEMATİK.

MATEMATİK. MTEMTİK www.e-ershne.iz. s( \ ) = 6, s( \ ) = 8 tür. kümesinin lt küme syısı ise, kümesinin elemn syısı kçtır?... D. 7 Ynıt:. s( ) =? s( ) = = s( ) = 6 8 s( ) = 6 + + 8 =. Rkmlrı frklı üç smklı üç oğl

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (

Detaylı

Soru 1- Köşegenleri dik kesişen bir dikdörtgende köşegenlerin uzunlukları toplamı 12 ise bu dörtgenin alanı en çok kaç olabilir?

Soru 1- Köşegenleri dik kesişen bir dikdörtgende köşegenlerin uzunlukları toplamı 12 ise bu dörtgenin alanı en çok kaç olabilir? Soru - Köşegenleri dik kesişen bir dikdörtgende köşegenlerin uzunluklrı toplmı ise bu dörtgenin lnı en çok kç olbilir? A) 8 B) C) 6 D) E)6 Köşegenlerin uzunluklrı ve y olsun. Köşegenleri dik kesiştiği

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =? Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1 UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-. A(,, ) ve B(,, ) noktlrı rsındki uklık kç birimdir? 6. A e e e B e e e AB vektörü ile nı doğrultud ıt öndeki birim vektör şğıdkilerden ( e e e ). A(, b, ) B(,, ) noktlrı ve U

Detaylı

ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN

ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN ÖZEL EGE ORTAOKULU ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠLER: Olçr ÇOBAN Sevinç SAYAR DANIġMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ ĠZMĠR 2014 ĠÇĠNDEKĠLER 1. PROJENĠN AMACI... 2 2. GĠRĠġ... 2 3.

Detaylı

İkinci Dereceden Denklemler

İkinci Dereceden Denklemler İkini Dereeden Denkleler İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :,, R ve olk üzere + + denkleine, ikini dereeden ir ilineyenli denkle denir Bu denkledeki,, gerçel syılrın ktsyılr, e ilineyen

Detaylı

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in

Detaylı

DOĞRUDA AÇILAR GEOMETRİ KAF01 TEMEL KAVRAMLAR NOKTA: AÇI ÖLÇÜ BİRMLERİ: DERECE: = 360 2π DOĞRU: RADYAN: KOMŞU AÇI: KAPALI DOĞRU PARÇASI: TÜMLER AÇI:

DOĞRUDA AÇILAR GEOMETRİ KAF01 TEMEL KAVRAMLAR NOKTA: AÇI ÖLÇÜ BİRMLERİ: DERECE: = 360 2π DOĞRU: RADYAN: KOMŞU AÇI: KAPALI DOĞRU PARÇASI: TÜMLER AÇI: ĞRU ÇILR GMTRİ 01 TML VRMLR NT: ĞRU: ÇI ÖLÇÜ İRMLRİ: R: RYN: R = 360 2π PLI ĞRU PRÇSI: MŞU ÇI: YRI ÇI ĞRU PRÇSI: TÜMLR ÇI: ÇI ĞRU PRÇSI: ÜTÜNLR ÇI: PLI YRI ĞRU (IŞIN): R ÇI: ÇI YRI ĞRU: İ ÇI: ÇI: GNİŞ

Detaylı

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?

Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır? RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine

Detaylı

ÜNİTE - 9 GEOMETRİK CİSİMLER

ÜNİTE - 9 GEOMETRİK CİSİMLER ÜNİ - 9 GMRİK İSİMLR KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ RİZMLR Q ve Q birbirine prlel iki düzlem olsun. iri, diğeri Q düzlemindeki birbirine eş iki çokgenin köşeleri krşılıklı olrk birleştirilirse elde edilen

Detaylı

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21.

DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21. Deneme - / Mt MATMATİK DNMSİ. - + -. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur.. + + ulunur. ( ) c m + c m. cc m m. c m.. ulunur. evp evp. Sekiz smklı herhngi ir özel syı cdefgh

Detaylı

olmak üzere C noktasının A noktasına uzaklığı ile AB nin orta dikmesine olan uzaklığının oranının α değerinden bağımsız olduğunu gösteriniz.

olmak üzere C noktasının A noktasına uzaklığı ile AB nin orta dikmesine olan uzaklığının oranının α değerinden bağımsız olduğunu gösteriniz. GOMTRİ 05/0/0. bir üçgen m() =, m() = 90 +, = 5 br, = 7 br, olduğuna göre = x kaç br dir? 5 m 9 0 m 9 0 5 90+ 7 x Çözüm: den ye çıkılan dikmenin doğrusunu kestiği nokta olsun. bir dik üçgen ve bir ikizkenar

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

DENEY 2 Wheatstone Köprüsü

DENEY 2 Wheatstone Köprüsü 0-05 Güz ULUDĞ ÜNİESİTESİ MÜHENDİSLİK FKÜLTESİ ELEKTİK-ELEKTONİK MÜHENDİSLİĞİ ÖLÜMÜ EEM0 Elektrik Devreleri Lorturı I 0-05 DENEY Whetstone Köprüsü Deneyi Ypnın Değerlendirme dı Soydı : Deney Sonuçlrı (0/00)

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160 8 ÖSS. Bir çiftlikte 800 koun 00 inek ve 600 mnd vrdır. Bu hvnlrın tümü bir dire grfikle gösterilirse ineklerle ilgili dilimin merkez çısı kç derece olur? A) 60 B) 0 C) 0 D) 0 E) 60 6. 0 - =p olduğun göre

Detaylı

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR... İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

Işığın Yansıması ve Düzlem Ayna Çözümleri

Işığın Yansıması ve Düzlem Ayna Çözümleri 2 şığın Ynsımsı ve Düzlem Ayn Çözümleri 1 Test 1 1. 38 38 52 52 Ynsıyn ışının yüzeyin normli ile yptığı çıy ynsım çısı denir. Bu durumd ynsım çısı şekilde gösterildiği gibi 38 dir. 4. şıklı cisminin ve

Detaylı

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK MTEMTİK KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MTEMTİK EDİTÖR Turgut MEŞE YZR İdris DOĞN ütün hklrı Editör Yyınlrın ittir. Yyınevinin izni olmksızın, kitbın tümünün vey bir kısmının bsımı, çoğltılmsı ve dğıtımı

Detaylı

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A.

Cevap D. 6. x = 3, y = 7, z = 9 olduğundan x + y < y ve. Cevap C. 7. x ile y aralarında asal olduğundan x 2 ile y sayıları da. Cevap A. eneme - / Mt MTEMTİK ENEMESİ. c - m. c - m -.., bulunur. y. 7, + 7 y + + 00 y + + + y + +, y lınr ı.. ^ - h. ^ + h. ^ + h ^ - h. ^ + h - & & bulunur.. ΩΩΩΩΔφφφ ΩΩφφ ΩΩΔφ 0 evp. ise ^ h ^h 7 ise ^ 7h b

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri 82 E) 9

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri 82 E) 9 Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 9 Hzirn 005 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. 3 (3 ) 3 3 9 (9 ) 9 9 işleminin sonucu kçtır? 0 A) 3 B) 9 C) 7 D) 3 8 E) 9 Çözüm 3 (3 ) 3 3 9 (9 ) 9 9 0 8 3 3 8 80 9 9 3 9 9. 3 3

Detaylı

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 PROBLEMLER İÇİNDEKİLER Syf No Test No ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 SAYI PROBLEMLERİ... 299-314... 01-08 YAŞ PROBLEMLERİ...

Detaylı

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0) BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 7 Hzirn 007 Mtemtik I Sorulrı ve Çözümleri.. 7 işleminin sonucu kçtır? A) B) 9 C) D) E) Çözüm. 7..9.. + işleminin sonucu kçtır? 4 8 A) 8 B) 8 C) 8 D) 4 E) 4 Çözüm + 4 8 8 4+

Detaylı

sayısından en az kaç çıkarmalıyız ki kalan sayı 6,9,12 ve 15 ile kalansız bölünebilsin? ()

sayısından en az kaç çıkarmalıyız ki kalan sayı 6,9,12 ve 15 ile kalansız bölünebilsin? () 1. x,y,z,t rdışık çift syılrdır. Bun göre (xy)-(zt)=. İki smklı () syısının değeri, rkmlrı toplmının 7 ktıdır. Üç smklı () syısının ile ölümünden elde edilen ölüm kçtır. En z dört smklı ir doğl syının

Detaylı

ORAN ve ORANTI-1 ORAN-ORANTI KAVRAMI. 1. = olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin. + c c sisteminin çözümüne. 3. olduğuna göre, nin değeri

ORAN ve ORANTI-1 ORAN-ORANTI KAVRAMI. 1. = olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin. + c c sisteminin çözümüne. 3. olduğuna göre, nin değeri ORAN ve ORANTI- ORAN-ORANTI KAVRAMI A) B) 9 C) 7 D) 5 E). olduğun göre, şğıdki ifdelerin hngisi d doğrudur? + d A) d + 4 + d C) 4 d E) 5 + 5 5 5 + d d + d B) n + m n + md D) d x y z. 4 5 sisteminin çözümüne

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. 5 k 3

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. 5 k 3 Ö.Y.S. 997 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ.,,, k olduğun göre, k kçtır? A) B) C) D) E) Çözüm,,, k k k 7 k. [( ) ( )] [ (9 ) ( )] işleminin sonucu kçtır? A) B) C) D) 9 E) 6 Çözüm [( ) ( )] [ (9 ) ( )] [.(

Detaylı

YAYINA HAZIRLAYANLAR

YAYINA HAZIRLAYANLAR rif ŞYKKUYN Her hkkı sklıdır ve MVSİM SIM YY. Ğ. PZ. SN ve Tİ. LT. ŞTİ ne ittir. Metinler, örnekler, lıştırmlr nen d değiştirilerek lınmz, fotokopi ve bşk bir oll çoğltılrk kullnılmz. YYIN HZIRLYNLR ditör

Detaylı