Matematik Olimpiyatları İçin

Transkript

1 ONU NLTIMLI Mtemtik Olimpiytlrı İçin enzerlik LİS MTMTİ OLİMPİYTLRI İÇİN Mustf Yğı, Osmn kiz

2

3 enzerlik Mustf Yğı Osmn kiz İki çokgenin köşeleri rsınd ire-ir eşleme ypılırs eşleştirilen köşelere krşılıklı köşeler, u köşeleri oluşturn kenrlrın elirttiği çılr krşılıklı çılr ve eşlenen rdışık köşelerin elirttikleri kenrlr d krşılıklı kenrlr diyelim. O zmn çokgenlerde enzerliği şöyle tnımlyiliriz: rlrınd irer-ir eşleme ypıln iki çokgenin krşılıklı çılrı eş ve krşılıklı kenrlrı orntılıys u eşlemeye enzerlik, çokgenlere de enzer çokgenler denir. enr uzunluklrıyl kuruln orntının orntı sitine de enzerlik ornı denir. İki çokgenin enzerliği semolüyle gösterilir. Ylnız eşlikte olduğu gii enzerlikte de enzer oln çokgenlerin köşelerini yzrken sır önemlidir. İki frklı doğru prçsı enzerdir. [] [] irinin oyu r diğerinin oyu r ise enzerlik ornı : dir. İki frklı eşkenr üçgen enzerdir. irinin ir kenrının oyu r diğerinin ir kenrının oyu r ise enzerlik ornı : dir. Tepe çılrı eş oln iki frklı ikizkenr üçgen enzerdir. irinin ir yn kenrının oyu r diğerinin ir yn kenrının oyu r ise enzerlik ornı : dir. İki frklı kre enzerdir. L irinin ir kenrının oyu r diğerinin ir kenrının oyu r ise enzerlik ornı : dir. L

4 enzerlik O M İki frklı çemer enzerdir. (O, ) (M, ) irinin yrıçpının oyu r diğerinin yrıçpının oyu r ise enzerlik ornı : dir. Üçgenlerde enzerlik ksiyomu. İki üçgenin köşeleri rsınd ypıln ir eşlemede krşılıklı irer çılrı eş ve u çıyı elirten kenrlrın uzunluklrı krşılıklı olrk orntılı ise u üçgenler enzerdir. u ksiyom enr-çı-enr enzerlik ksiyomu denir ve kıs... enzerliği olrk ifde edilir. Örneğin yukrdki ve üçgenlerinde ve çılrı eş olup, u çıyı elirten kenrlrın uzunluklrı rsınd eşitliği geçerliyse olur. u orntının siti de enzerlik d e ornıdır. d e ve iki frklı üçgen olsun. f e ğer u iki üçgenin iç çı ölçüleri ynıys üçgenlere... enzerliği gereğine enzerlerdir denir. İki çı ölçüsü eşit ise üçünüsü el meur eşit olğındn u enzerliğe.. enzerliği de denir. iz de öyle ypğız. Yukrdki iki üçgen için doğru eşleme şöyle olmlıdır:. d e f Örnek. Ynd verilmiş üç krenin işretlenmiş üç köşesi doğrusldır. relerin kenrlrı sırsıyl r, r ve r olduğun göre,, rsınd geçerli oln ğıntıyı ulunuz. d

5 enzerlik Çözüm: relerin krşılıklı kenrlrı irirlerine prlel olduğundn trnn üçgenler irirlerine enzerdir. şleme ypılırs eşitliğinden = ulunur. - - Yukrdki soru eşkenr üçgenlerle de sorulilir. ve üçgenleri yine enzer çıkğındn = hlen sğlnır. Htt herhngi ir düzgün çokgen kullnılrk d u trz ir soru üretmek mümkündür. urd d ile üçgenleri enzer olur ki eşleme ypılırs yine = eşitliğine erişilir. Örnek. M, L, ve irer eşkenr üçgen,,,, doğrusl M, L,, doğrusl = 8 r, = r olduğun göre = kç r dir? M L 8 Çözüm: Herhngi ir eşkenr üçgenin ir kenr uzunluğu, komşu eşkenr üçgenlerin ir kenr uzunluğunun geometrik ortsı çıktığındn rdışık kenrlrın geometrik dizi oluşturduğunu nlıyoruz. = y r olsun. = 8y eşitliğinden y = 8 ulunur. iğer yndn y = eşitliğinden de = 7 ulunur. M L 8 y y 8 y Örnek. ir dik üçgen, ir kre, = r = y r, = z r, olduğun göre, y, z rsınd geçerli oln ğıntıyı ulunuz. y z Çözüm: ir kre olduğundn = = y r olduğunu hemen not edelim. m() = β ve m() = α olsun. α + β = 90º olduğundn m() = α ve m() = β olur. u d ile y y y z 3

6 enzerlik üçgenlerinin enzerliği nlmın gelir. u üçgenler rsınd eşlem ypılırs y y z orntısındn y = z elde edilir. ile üçgenlerinin enzer olmlrın seep oln şey dörtgenin kre olmsı değil çısının dik olmsıdır. emek istediğimiz ir dikdörtgen ols d y = z eşitliği geçerlidir. y z Örnek. ir üçgen ir eşkenr üçgen,,, doğrusl m() = 60 o, = r, = r, = r, olduğun göre,, rsındki ğıntıyı ulunuz. o 60 Çözüm: Hemen eşkenr üçgenin kenr uzunluklrını ve çı ölçülerini şekil üzerine yzlım. Verilere göre m() = α ve m() = olsun. m() = ve m() = α olduğunu görmek zor olms gerek. O hlde trlı üçgenler yni ile enzerdir. şleme ypılırs eşitliğinden = ulunur. o 60 o 60 o o urlın geçerli olmsı için üçgeninin eşkenr olmsın gerek yoktur. = olk şekilde ikizkenr olsun ve çısının ölçüsü u ikizkenr üçgenin ir tn çısının ölçüsüne eşit olsun yeter. Örnek. ir üçgen,, doğrusl, m() = 45 =,, = 3 r, = r olduğun göre = kç r dir? 45 o 3 Çözüm: m() = m() = 45 olduğunu hemen not edelim. yrı = = r olsun. iğer yndn m() = α ve m() = olsun. o 45 o 45 o

7 enzerlik m() = ve m() = α olduğunu görmek zor olms gerek. O hlde trlı üçgenler yni ile enzerdir. şleme ypılırs eşitliğinden = 6 ulunur. u durumd 3 6 olmlıdır. Örnek. ve irer eşkenr üçgen [], = r = r, = r, olduğun göre,, rsınd geçerli ğıntıyı ulunuz. Çözüm: m() = α ve m() = θ dersek α + θ = 60º olduğundn m() = θ olur. ve çılrı d eş olduğundn ile üçgenleri enzerdir. u üçgenlerde eşleme kurulurs eşitliğinden = ulunur. 60 o 60 o öyle ir durum sdee eşkenr üçgende değil, diğer düzgün çokgenlerde de vrdır. Trlı üçgenler dim enzerdir. Örnek. ir üçgen X Y Z olduğun göre XYZ üçgeni için şğıdkilerden hngisi dim doğrudur? X Z Y ) şkenr üçgendir. ) İkizkenr üçgendir. ) ile enzerdir. ) ile enzerdir. ) ile enzerdir. Çözümü: üçgeninde,, çılrının ölçüleri sırsıyl α,, olsun. X, Y ve Z dörtgenlerinin iç çılrının ölçülerini toplrsk XYZ üçgeninin de X, Y, Z çılrının ölçülerini α,, olrk uluruz. O hlde XYZ üçgeni ile enzerdir. X Z Y 5

8 enzerlik öyle ir XYZ üçgeni üçgeninin dışınd d oluşilir. m() = m(zxy) m() = m(xyz) m() = m(yzx) olduğundn XYZ olur. Y Z X Örnek. ir üçgen m() = m() = r = y r = z r olduğun göre, y, z rsınd geçerli ğıntıyı ulunuz. y z Çözümü: m() = m() = α diyelim. yrı m() = olsun. Trlı oln üçgeni ile üçgeninin ikişer çısı eş olduklrındn enzerlerdir. şleme ypılırs y y z çıkr ki düzenlenirse = y(y + z) elde edilir. y z Teorem [Tles]. Verilen iki doğruyu kesen prlel doğrulr, u iki doğru üzerinde orntılı doğru prçlrı yırır. Yni şekle göre;. nıt: ile çılrı yöndeş olduğundn eş olup, ile üçgenleri ortk ir çısın ship olduklrındn.. enzerliği gereği olur. O hlde krşılıklı kenrlrı orntılıdır. Tn çılrının krşılrındki kenrlrın uzunluklrını ornlyrk şlylım: yni. İçler dışlr çrpımı eşitlenirse, + = + yni = ulunur. üzenlenirse sonuun ulşılır. 6

9 enzerlik Tles Teoremi nin rşıtı. Tles Teoremi nin krşıtı doğru mudur? Yni ynı şekilde ise // midir? Olms olur mu? k k k k k+ k+ k olsun. = r ve = r dersek, = k r ve = k r olur. Şimdi ve üçgenlerine odklnlım. Her ikisinin de çılrı ortkken yn kenrlrının ornı / olduğundn... enzerliği gereğine enzerlerdir. Mdem enzerler o hlde iç çılrı ynı ölçüde olmlıdırlr. ile çılrının eşit ölçülü olmlrı // nlmın gelir. emek ki teoremin tersi de doğruymuş! Şimdi orntılı doğru prçlrıyl ilgili iki teorem vereeğiz. Teorem. İki prlel doğrunun iri üzerinde,, noktlrı diğeri üzerinde,, noktlrı lınıyor. ' ' ' ' ise,, doğrulrı noktdştır. O ' ' ' d' d nıt: ve doğrulrı ir O noktsınd kesişiyor olsunlr. Tles Teoremi gereği O ' ' O' olur. iğer yndn ve doğrulrı d ir O noktsınd kesişsinler. Yine Tles Teoremi gereği O' ' ' O' ' O olur. O hlde O ' = O ' diye O = O olmlıdır. O ' ' 7

10 enzerlik Teorem. ik vey geniş ir çı oln XOY çısı ile OX üzerinde ve gii iki nokt, OY üzerinde de ve gii iki nokt veriliyor. ğer ise // olur. O ' ' O' nıt: noktsındn ye ir prlel çizelim. unun OY yi kestiği nokt olsun. Tles Teoremi gereği O ' ' O' olur. Öte yndn hipoteze göre O ' '' O' imiş. Öyleyse ' ' ' '' olur ve urdn = ulunur. Hluki XOY çısı dik vey geniş vrsyıldığındn noktsındn OY ye uzunluğund ir tek eğik çizgi çizileilir. Şu hlde ile çkışıktır yni // olmlıdır. X ' O ' '' Y Teorem. ymuğunun [] köşegeni üzerinde lınn ir noktsındn tnlr çizilen prlel ir doğru ve kenrlrını sırsıyl ve noktlrınd kesmektedir. // // ve = ise =. nıt: üçgeninde Tles Teoremi nden ve üçgeninde Tles Teore- mi nden ulunur. u iki eşitlik irlikte çözülürse istenilen eşitlik elde edilir. urd noktsı ymuğun köşegenlerinin kesim noktsıdır yni,, noktlrı doğrudştır. Ort(y) ve ters ort(y) üçgen. Ort tnlrdn oluşn üçgene () ort üçgen vey orty üçgen denir. Orty üçgenin lnı orijinl üçgenin () lnının /4 ü, çevresi ise / si kdrdır. Nsıl ki üçgenine üçgeninin ort üçgeni deniyor, üçgenine de üçgeninin ters ort(y) üçgeni denir. Teorem. Herhngi ir üçgeni ve u üçgenin köşesinden geçen ir doğru çizilsin. ve köşelerinden u doğruy indirilen dikme yklrı ve, [] kenrının ort noktsı d olsun. üçgeni ikizkenrdır. 8

11 enzerlik nıt: noktsındn ye indirilen dikme yğı olsun. [], ymuğund ort tn olur. dikmesi ynı zmnd kenrorty olduğundn = yni üçgeni ikizkenrdır. (yrı doğru üçgeni kesse de kurl geçerli) Teorem. Yndki şekilde XY //, YZ // ve ZT // veriliyor. O hlde X T X T yni dir. d nıt: Tles Teoremi gereği, X Y Z T. X Y Z T X Y T d Z Teorem. Yndki üçgeninde // ve // veriliyor. = r, = y r ve = z r ise y. y z y z nıt: Tles Teoremi nden olduğundn knıt iter. y y z Teorem [eleek]. Yndki şekilde // ise. nıt: ile ters çılr olduğundn eştir. ile ve ile çı çiftleri de irer iç-ters çı olduklrındn eştirler. O hlde.. enzerliği gereği olur. ş şekillerin krşılıklı kenrlrı orntılı olğındn eşleme kurulurs knıt iter. Örnek. ir kre = {} H, H = r, H = 4 r olduğun göre = kç r dir? H 4 9

12 enzerlik Çözüm: üçgeninde Öklid Teoremi nden doğn = 4 H eşitliğinden H = r ulunur. H ve H dik üçgenlerinde Pisgor teoremlerinden = 5 r ve = 5 r ulunur ki urdn nin krenin kenrının ort noktsı olduğunu nlrız. O hlde keleekte trlı üçgenler eştir, dolyısıyl = H = r olmlıdır. H 4 Örnek. prlelkenr [] köşegen =, = P = r, PQ = r, Q = r, olduğun göre = = olduğunu gösteriniz. P Q Çözümü: = = k r dersek = k r olur. iğer yndn = = t r dersek = t r olur. k P k Q k t P Q t t Yukrd trnmış soldki keleekte enzerlik ornı : olduğundn + = olmlıdır. Sğd trnmış keleekte de enzerlik ornı : olduğundn + = olmlıdır. u iki denklemi ortk çözersek = = uluruz. Örnek. ir üçgen, = = r, = = r, = r, = 8 r, = 9 r, olduğun göre = kç r dir? 8 9 Çözüm: den geçen L doğrusunu çizerek şekildeki trlı keleekleri oluşturlım. Sğdki keleekten L = 6 r ve L = 8 r ulunur. Soldki keleekten de = 6 r dir. L dik üçgeninde Pisgor Teoremi nden L = 30 r, dolyısıyl = r olmlıdır. Soldki keleekte enzerlik ornındn = 4 ulunur L Örnek. ir prlelkenr,, ve,, doğrudş [] köşegen P = r, P = r, L = r, L = d r, olduğun göre ( + ) = ( + d) olduğunu gösteriniz. P L d 0

13 enzerlik Çözüm: Şekildeki gii ir trm ypılırs trnn d keleek olur trnmyn d. = r ve = y r diyelim. üyük keleekten /y ornı ( + )/( + d) ye, küçük keleektense / y eşit olur. O hlde d elde edilir ki içler-dışlr çrpımındn ( + ) = ( + d) ulunur. P y L d Örnek. prlelkenr [] köşegen,,, doğrudş = {}, = r, = r, = r olduğun göre = ( + ) olduğunu gösteriniz. Çözüm: Şekildeki gii ir trm yprsk yine hem trnn keleek olur hem de trnmyn. = r ve Y = y r olsun. /y ornı küçük keleekten /, üyük keleektense /( + ) ye eşit olur. O hlde eşitliğinden = ( + ) ulunur. y Örnek. Yndki şekilde //, //, = {} = r = r = y r olduğun olduğunu gösteriniz. y Çözüm: doğrusunu yönünde uztrk şeklin slınd ir öneki örnekteki şekille ynı olduğunu nlrız. = r ve = y r olduğundn üstte ulduğumuz formülü uygulrsk; = ( ) ( + y ) = ( ) (y ) = y y + y = + y elde ederiz. Şimdi eşitliğin her iki ynını y çrpımın ölelim. ulunur. y - y- y y eşitliğinden y y

14 enzerlik Örnek. // // = {} = r = r = r = d r olduğun = d olduğunu gösteriniz. d Çözüm: Trmmızı yine yukrdki gii yplım. = r ve Y = y r olsun. /y ornı üyük keleekten /, küçük keleektense d/ ye eşit olur. O hlde d eşitliğinden = d ulunur. d y Teorem. Yndki şekilde = {} // // = y r, = r = z r ise olur. y z y z nıt: // olduğundn yn şekilde trnmış şekil ir keleektir. enzerlik ornı y/z olduğundn = yk r dersek = zk r olur. üçgeninde // olduğundn ile üçgenleri yk enzerdir. şleme kurulurs y z z y y eşitliğinden zy = z + y elde edilir. şitliğin her iki ynı yz çrpımın ölününe y z eşitliği knıtlnmış olur. zk z Sonuç: Yndki ymuğund hem hem de olğındn = y dir. y L y

15 enzerlik Örnek. Yndki şekilde = {} // // = r = r = r = d r olduğun göre = d olduğunu gösteriniz. d Çözüm: = m r ve = n r olsun. Trlı keleekten dolyı m n d dir. üçgeninde Tles teoreminden dolyı d m dir. n O hlde eşitliğinden = d ulunur. d m n d Örnek. Yndki şekilde // // = 4 r = 8 r olduğun göre = kç r dir? 4 8 Çözüm: üçgeninde : = olduğundn Tles Teoremi gereği : = olmlıdır. O hlde = k r denirse = k r olur. u d trlı keleekte enzerlik ornının : olduğu nlmın gelir. u yüzden = = / = 6 olmlıdır. k k 4 8 Örnek. ir üçgen = 3 = = = {L} olduğun göre = 3y olduğunu gösteriniz. L y Çözüm: ve noktlrındn ye prlel olk şekilde çizilen doğrulr yi sırsıyl ve R de kessin. izi sonu götüreek keleeğe ulşmış olduk. = r denirse = 3 r olur. Şimdi ile üçgenlerinin enzerliğinden = 3k r dersek = 4k r olur. = verildiğinden = k r olur. = olduğundn üçgeninde [R] ort tn olur ki u yüzden R = k r olur. Sonuç olrk keleekte enzerlik ornı : 3 ulunduğundn = 3y dir. Yni soruln orn 3 olmlıdır. 3 R k y L 3k 4k k 3

16 enzerlik enzer iki üçgende eşleme ypmyı öğrenmiştik. O hlde şu n için, yeteri kdr veriye ship iki dik üçgen enzerse soruln değeri ulileek durumdyız. kt u dersimizde dik üçgenlerde eşleme ypmktn dh kıs sürede sonuç veren teknikler göstererek, sıkç krşılşıln soru tiplerini de formülize edeeğiz. Örneğin yukrd verilen iririne enzer iki dik üçgeni ele llım. enzer olduklrını nerden mi nldık? Hem ikisi de dik üçgen hem de ikisinin α ölçülü irer dr çısı vr. Zten u durumd diğer dr çı d eşit ölçülü olmk zorund olduğundn.. enzerliği gereğine öyle dedik. Neyse devm edelim: ski ilgilerle sorumuzu çözeek olursk, soldkinde α nın krşısındki kenr () ölü sğdkinde α nın krşısındki kenr (d) eşittir soldkinde diğer dr çının krşısındki kenr () ölü sğdkinde diğer dr çının krşısındki kenr () diyerek, çıkn d orntısını çözeektik. imse unun zor ir iş olduğunu söylemez m şekle en z 4 kere dönmek gerekiyor orntıyı yzilmek için. Tvsiyemiz şudur: Her iki dik üçgende de tn α değerlerini irirlerine eşitleyin (Tii eğer hipotenüs uzunluklrı verilmiş y d soruluyors sin α vey os α değerlerini eşitlememiz gerekiyor): d. d ir örnekle derdimiz dh iyi nltırız snırım. Örneğin, 3 H soldki üçgende değerinin sorulduğunu frzedelim. çısıyl H çısının ynı ölçülü olduklrını iliyoruz. H üçgeninde tn(h) = / olduğundn tn() değeri de / olmlıdır. Yni = + = 6 olmlıdır. urdn = 5 ulunur. 3 + H Sdee soru çözerken değil, teorem knıtlrken ile u metotlr işimizi kolylştırır. Örneğin dh öne Öklit Teoremi ni vermiş ve knıtını üç det Pisgor Teoremi irden kullnrk ypmıştık. Hluki; h p k 4

17 enzerlik yukrdki dik üçgeninde m() = m() = α olduğundn ile üçgenleri enzer olup, h k tn α p h eşitliğinden hemeneik h = pk eşitliğine ulşilirdik. hsı d vr: p k ve üçgenlerinden p osα p k yzrk = p(p+k) eşitliğine, ve üçgenlerinden k sin α p k yzrk = k(p+k) eşitliğine ulşilirdik. Htt u syede dh öneden ilmediğimiz şk eşitlikler de ulmk mümkün oluyor. Örneğin, h p k ve üçgenlerinden h k sin α yzrk h = k eşitliğine, ynı üçgenlerden p h sin α yzrk h = p eşitliğine ulşıyoruz. izim için yeni oln u iki eşitliği iririne ölersek de p elde ediliyor. Ne güzel değil mi? k Örnek. ve irer dik üçgen = 6 r = = 5 r olduğun göre = kç r dir?

18 enzerlik Çözüm: üçgeninde muhteşem üçlü gereği = 5 r dir. [] ort tnı çizilirse = = 3 r ve = 4 r olur. m() = α ise m() = α olğındn ile üçgenlerinin enzerliği görülür. üçgeninde os α = 4/5 olduğundn üçgeninde de öyle olmlıdır. urdn = 5/4 r ulunur ki, = 8 r olduğundn = = 7 4 olmlıdır / Örnek. ir üçgen = = 5 r = 8 r = 6 r olduğun göre = kç r dir? Çözüm: Ne zmn ikizkenr üçgen gördünüz mü tn dik indirin demiştik. İndirin. m() = α ise m() = α olur. u d trlı üçgenlerin enzerliği nlmın gelir. dik üçgeninde sin α = 3/5 olduğundn = 3 r olur. ikizkenr olduğundn de 3 r uzunluktdır. O hlde = 4 olmlıdır Örnek. dik üçgen = 5 r = 0 r olduğun göre = kç r dir? 5 0 Çözüm:, ve üçgenleri enzerdir. üçgeninin dik kenrlrının ornı : olduğundn diğerlerinde de öyle olmlıdır. O hlde = r ise = r ve = 4 r olur. = 5 = 0 olduğundn = ve = = 4 ulunur Örnek. üçgen,,, = 5 r, = 4 r olduğun göre = = kç r dir? k 5k- 4 H 4k 6

19 enzerlik Çözüm: den ye indirilen dikme yğı H olsun. H ir dikdörtgen ve H = 4 r olur. Trlı üçgenlerin enzerliğinden = 5k r ise H = 4k r ve H = 5k r olur. Öklit Teoremi nden = (5k )(9k ) k 4 olur ki urdn 45 olur. İşlemler ypılırs = 9 4 olrk ulunur. 7 Örnek. ir dik ymuk //,, = r, = r, = r olduğun göre = olduğunu gösteriniz. nıt: [] yi yönünde uztrk yndki prlelkenrını oluşturlım. // olduğundn olur. Öklit Teoremi nden = ulunur. Örnek. ir dik ymuk,,, = 4 r, = 6 r, = 3 r olduğun göre = kç r dir? 4 6 Çözüm: İki yoldn çözeeğiz. İlki irz öne verdiğimiz teoremi kez kullnk, ikinisi kez. 3 irini yol. ile üçgenlerinin enzerliğinden 43 = 6 eşitliğinden = r olduğunu hemen not edelim. den ye indirilen dikme yğı olsun. ir dikdörtgen olur. O hlde = = 5r olur. üçgeni diğer trlı üçgenlerle enzer olduğundn = 5r ve = = 5 olur İkini yol. = r olduğunu ulduktn sonr şekildeki gii L dikdörtgenini oluşturlım. L = 8 r olur. ve L üçgenlerinin enzerliğinden 8 = 4 L yni L = 4 r ulunur. L = 8 r çıktığındn = 8 r olmlıdır. O hlde = 5 ulunur. L

20 enzerlik Örnek. ir dik üçgen = r = 8 r = = 6 r olduğun göre = kç r dir? Çözüm: üçgeni 6-8-0, üçgeni de 9--5 üçgeni olduklrındn enzerdirler. O hlde m() = m() olur. iğer yndn m() = m(h) olduğundn ikizkenr üçgendir. den ye inilen dikme yğın H diyelim. H = H = 3 r olur. Tles Teoremi nden nın 3 yni = 3 r olduğunu iliyoruz. 3 H = 5 ten = 5 4 olrk ulunur. ir dik üçgen içine, köşeleri üçgen üstünde olup dik kenrlr oturk şekilde sonsuz frklı syıd dikdörtgen çizileilir. kt unlrdn sdee tnesi kredir. İlk olrk u kreye yoğunlşğız. Teorem. ik kenr uzunluklrı r ve r oln ir dik üçgenin içine, dik kenrlr oturk şekilde çizileileek en üyük krenin ir kenrının uzunluğu r dir. nıt: renin krşılıklı kenrlrı irirlerine prlel olduğundn m() = α dersek m() = α olur. u d ile üçgenlerinin enzerliği nlmın gelir. renin ir kenr uzunluğun r deyip, u üçgenleri kullnrk tn α orntısını kurrsk = + = ( + ) = - - 8

21 enzerlik dolyısıyl d ulunur. Çözüm: n kıs iç çıortyın en uzun kenr giden olduğunu iliyoruz. O hlde hipotenüse inen iç çıortyın oyunu rdığımızı unutmyın. u iç çıortyın hipotenüsü kestiği nokt olsun. den dik kenrlr dikmeler inerseniz, [] nin slınd meşur kremizin köşegeni olduğunu nlrsınız. renin ir kenr uzunluğu irim olduğundn = r olmlıdır. 3 6 Şimdiki örneklerimizde dik kenrlr değil de hipotenüse oturn krelerle ilgili olk. ir dik üçgenin içine, köşeleri üçgenin üstünde olup hipotenüse oturk şekilde sonsuz frklı dikdörtgen çizileilir. kt unlrdn sdee tnesi kredir. Şimdi u kreye odklnğız. u krenin ir kenr uzunluğunu ulmk yukrdki kdr koly olmyk m ir kere formülü çıkrdık mı rtık rht edeeğiz. Hemen ilgili teoremi verip knıtlylım. Teorem. Hipotenüs uzunluğu r, hipotenüse it yüksekliği nin uzunluğu h r oln ir dik üçgenin içine hipotenüse oturk şekilde çizileileek en üyük krenin ir kenr uzunluğu h r dir. h nıt: dik üçgenine enzer oln, ve üçgenlerinin hiçirinde iki kenr uzunluğu ilinmediğinden, dik kenrlr üzerine oturn krenin ir kenr uzunluğunu ulurken kullndığımız tekniği urd kullnmyız. O hlde kenrlr dışınd ir ele- L mnı kullnrk eşleme kurmlıyız. ile üçgenleri enzer olduğundn u üçgenlerde hipotenüse inilen dikmeler rsınd ir eşleme ypğız. N üçgeninin hipotenüsüne inen yüksekliğinin oyu h r olduğundn eşleme kurulurs h h h h h h ( h) h h eşitliğinden h olduğu knıtlnmış olur. 9

22 enzerlik Örnek. dik üçgen MN ire kre L ir kre = 3 r = 4 r olduğun göre üyük krenin ir kenr uzunluğu küçük krenin ir kenr uzunluğundn kç r fzldır? L N M Çözüm: relerin hngisi üyük, hngisi küçük şekle krk nlşılmıyor. iz en iyisi her iki krenin de ir kenr uzunluğunu ullım. O zmn üyük küçük elli olur. MN kresinin ir kenr uzunluğu = 3 r ve = 4 r olduğundn 3 4 r dir L kresinin ir kenr uzunluğu d = 5 r ve ye inen yüksekliğin oyu,4 r diye 5, r dir. u durumd krelerin kenrlrının frkı r olrk ulunur. 5,4 7, slınd u son teorem sdee dik üçgene özgü değildir. iz teoremi knıtlrken üçgenlerin enzer olduğunu dik üçgenden fydlnrk ulmdık ki ikliği sdee yüksekliğin oyunu ulurken kullndık. O hlde ir kenrının ve o kenr inen yüksekliğinin oyu ilinen her üçgende, yüksekliğin indiği kenr oturn ve köşeleri üçgen üstünde oln ir krenin ir kenrının oyu hesplnilir. Hesplylım klım nsıl ir şey çıkıyor? ile enzer olduğundn h h hh h h h h h- h emek ki genel kurl şuymuş: ir üçgenin herhngi ir kenrı üzerine dört köşesi de üçgenin üstünde olk şekilde ir kre çizilirse o krenin ir kenrının oyu, krenin oturduğu kenrın oyuyl o kenr it yüksekliğin oyunun çrpımı ölü toplmıdır. Örnek. ir üçgen ir kre ln() = 50 r = 0 r, olduğun göre = kç r dir? 0 0

23 enzerlik Çözüm: renin oturduğu kenrın uzunluğu elli olduğun göre o kenr yni kenrın it yüksekliğin oyu lzım ize. O yüksekliğin oyun h r diyelim. 0 h 50 olduğundn h = 5 olmlıdır. Şimdi formülümüzü uygulyiliriz: olmlıdır. Örnek. ir üçgen = 6 r = 8 r = = r olduğun göre kçtır? 6 8 Çözüm: İki frklı yoldn çözeeğiz. Seçim size klmış. irini yol. ve üçgenlerinin enzer olduklrını iliyoruz. u üçgenlerin hipotenüsleri ve hipotenüslerine inen dikmeleri rsınd eşleme kurğız. = 0 r ve ye inen yüksekliği oyu 4,8 4,8 0 4,8 r olduğundn eşitliğinden ulunur ,8-8 İkini yol., ve üçgenlerinin enzerliğine dikkt edin. Her iri 3k-4k-5k üçgenidir. olylık çısındn = 0 olsun. O zmn = 5 r ve = 4 r olur. = 49 = 6 eşitliğinden = 6 0 ve = 0 = olur Teorem. dik üçgeninin köşesine it H yüksekliği çiziliyor. Oluşn H ve H dik üçgenlerinin iç çemer yrıçplrının ornı, dik üçgeninin dik kenrlrının ornınddır. H nıt: H ve H dik üçgenleri enzerdir. enzer üçgenlerin iç çemer yrıçplrının ornı d enzerlik ornınddır. Hipotenüsler ornı / olduğundn yrıçplr ornı d olur. ir doğru, ir üçgeninin ve kenrlrını sırsıyl köşelerden frklı X ve Y noktlrınd kessin. u doğru, üçgenden küçük ir üçgen yırır. XY üçgeni. u küçük üçgenin, ilk üçgene enzer olmsı iki durumd mümkündür:

24 enzerlik X Y Y X ir, soldki gii, XY nin tn yni ye prlel olmsıyl, ir de sğdki gii ( ye ntiprlel) olmsıyl. irini durumu dh öne yrıntılı olrk inelemiştik. Şimdi ikini durumu msy ytırğız. Teorem. ir üçgen m() = m() = r = r = r = d r ise ( + ) = ( + d) olur. d Çözüm: m() = α ve m() = olsun. Sorud verilen eş çılrın ölçüsü de olsun. ile üçgenlerinin.. gereğine enzer olduğunu Metin Şentürk ile görmüştür snırım. erhl iki üçgen rsınd eşleme kurlım: d orntısınd içler-dışlr çrpımı ypılırs ( + ) = ( + d) eşitliği knıtlnmış olur. d u teoremin tersi de doğrudur. Yni ( + ) = ( + d) ise yine ile üçgenleri enzer olurlr. u sefer seeimiz.. değil... olur. Çünkü + +d ( + ) = ( + d) eşitliği d şeklinde de düzenleneilir. u d ile üçgenlerinin iki kenrı orntılıyken u kenrlrının elirttiği çılrın eş olmsın gelir. Teorem. üçgeninin kenrı üzerinde m() = m() olk şekilde ir noktsı lınsın. Öyleyse =. nıt: ile üçgenleri hem verilen çılr hem de çılrı eş olduğundn.. gereğine enzerdirler. şleme ypılırs = eşitliğine rhtlıkl erişilir. u teoremin tersi de doğrudur.

25 enzerlik Örnek. ir üçgen H = {} H = m(h) = m(h) X = r ln() = k r olduğun göre k kçtır? H Çözüm: H = = r ve = r olsun. H ve H üçgenlerinin enzerliğinden = H H = ( + ) çıkr. iğer ( ) ln() = olduğundn ln() = dir. u durumd k = demektir. H Örnek. ir üçgen m() = α m() = 90 + α = 5 r = 7 r olduğun göre = kç r dir? Çözüm: den ye çıkıln dikmenin doğrusunu kestiği nokt olsun. ir dik üçgen ve ir ikizkenr üçgen olur. O hlde = 5 r dir. iğer Yndn den ye inilen dikme yğınd diyelim. = = m r olsun. Öklid Teoremi gereği 5 = m (m + 7) olur, denklem çözülürse m = 9 ulunur ki, urdn = 0 olduğu nlşılır. 5 m m Örnek. ir üçgen = m() = m() = r = y r = z r olduğun göre y = z olduğunu gösteriniz. y z 3

26 enzerlik Çözüm: ve üçgenlerinde, verilenler dışınd, çısı d ortk olduğundn u üçgenler enzerdir. O hlde ikizkenr ise üçgeni de ikizkenrdır. u durumd = y r olur. şleme kurulurs y z y eşitliğinden y = z ulunur. -z z y y Örnek. ir üçgen m() = m() = α = r = r = r olduğun = ( + ) olduğunu gösteriniz. Çözümü: İki frlı yoldn çözeeğiz.. irini yol. iç çıortyını çizelim. m() = m() olğındn ikizkenr olur ve undn dolyı = = r dersek, = r olur. iğer yndn m() = α ve m() = α olduğundn ile üçgeni enzer olurlr. u enzerlikten doğn eşlemeyi kurlım: irini eşitlikten, ikini eşitliktense yni = ( + ) ulunur. - ulunur. u iki değer eşitlenirse = İkini yol. Yn şekildeki gii ikizkenr üçgeni oluşturulurs üçgeni de ikizkenr olur. m() = m() olduğundn formülümüzü kullniliriz: = ( + ) olğı şikr. h öne Stewrt Teoremi ni nlttığımız derste de u soruyu ikizkenr üçgenler için ulduğumuz zrif Stewrt formülüyle çözmüştük. itmedi, dh iç çıorty dersinde de şk çözümler göstereeğiz. Htt dileyen yrım çı formüllerini kullnrk trigonometri ile de çözeilir. Örnek. enrlr uzunluklrı rdışık oln tek α-α üçgeni şğıdkilerden hngisidir? ) ) ) ) )

27 enzerlik nıt: Yukrıdki şekilden de nlşıldığı üzere en kıs kenr olmz, de en uzun kenr olmz. iz yi ortn kul edelim, yi de en küçük. Çelişki çıkrs diğer şıklrı ineleyeeğiz. enrlr rdışık olduğundn = p +, = p, = p olsun. O hlde = ( + ) formülünde yerlerine yzlım. p = p(p ) olur. urdn p = çıkr ki (,, 3) değerleri üçgen oluşturmz, şimdi diğer şıkkı ineleyelim. en uzun en kıs olsun. = p, = p +, = p llım. = ( + ) formülünde yerlerine yzlım. (p + ) = (p )(p ) diye p + p + = p 3p + olur, urdn d p = 5 çıkr. undn şk p değeri ulunmyğındn (4, 5, 6) ulunileek tek çözümdür. Örnek [99 merikn Mtemtik Olimpiydı]. çısı geniş ve çısı çısının ktı oln kenrlrı tmsyılı çevree en küçük üçgen (8, 6, 33) kenrlrın shiptir. nıtlyınız. nıt: Şrtlrı sğlyn çevree en küçük üçgen yn şekilde verilen üçgeni olsun. iç çıortyı yi N de kessin. = ( + ) olduğunu iliyoruz. urd ile + rlrınd sl olmlıdır. eğilse, den frklı ir d ortk öleni ulunurdu ve u ortk ölen yı d ölerdi. enrlrı d, d, oln üçgense hem ye enzer hem de dh küçük d çevreli olurdu. u ise üçgeninin seçilişine uymz. urdn öylee rlrınd sl ve + syılrının tmkre olduklrını çıkrıyoruz. N = m, + = n, = mn (m, n N + ) olsun. üçgeninde üçgen eşitsizliği < + yi, çısının geniş olmsı d > + yi veriyor. u eşitsizlikleri m ve n türünden yzdığımızd 3 < n/m < eşitsizliğini elde ediyoruz. u eşitsizlikler m =,, 3 olduğund hiçir n değeri için sğlnmzlr. un göre m 4 ve n 3m 48 olur, o hlde n 7 olmlıdır, dolyısıyl d + + = mn + n = 77 olmlıdır. Sonuçt d hsi geçen en küçük çevreyi 77 ve un ğlı olrk (,, ) değerlerini (8, 6, 33) olrk uluruz. Teorem. Yukrdki şekillerde =. nıt: İlk üç şekilde ile üçgenleri enzerdir. Son şekilde de ile üçgenleri enzerdir. şlemeler ypılırs = eşitliğine erişilir. 5

28 enzerlik Teorem Menelus]. ir üçgen olmk üzere,, üzerinde sırsıyl,, noktlrı verilsin.,, noktlrının doğrusl olmsı için gerek ve yeter şrt.. olmsıdır. Teorem [ev]. ir üçgen olmk üzere,, üzerinde sırsıyl,, noktlrı verilsin., ve nin noktdş olmsı için gerek ve yeter şrt.. olmsıdır. Menelus ve Sev teoremleri üzerinde ilerleyen ölümlerde yrıntılı olrk durulktır. ÇÖZÜMLÜ PROLMLR Prolem. üçgeninin kenrı üzerinde ir noktsı verilsin [] üzerinde lınn ir P noktsı için P ve P krşısındki kenrlrı ve noktlrınd kessin. // olmsı için gerek ve yeter şrtın = olduğunu gösteriniz. Çözüm: // ise yni. dir. Sev ğıntı- sındn.. olup sındn.. ise // olduğunu gösterir. ise = dir. Sev ğıntı- olup = olduğundn olur. u Prolem. ir doğru üzerinde,, ve şk ir doğru üzerinde,, noktlrı verilsin. ğer //, // ise // olduğunu gösteriniz. 6

29 enzerlik P P P P ve P P P P P P Çözüm: ğer doğrulr prlel ise = olup prlelkenr olur. urdn // olur. oğrulr prlel olmyıp kesim noktlrı P olsun. u durumd P P gösterir. olup trf trf çrprsk orntısı elde edilir. u ise // olduğunu P Prolem 3. dörtgeninde // olmk üzere [] üzerinde lınn ir noktsı için = olsun. ve, yi sırsıyl O ve P de kessin. O = P ise = +. olduğunu gösteriniz. / // O P / Çözüm: O = P olduğundn u durumd O ve O k k O P olsun. olylık olmsı çısındn = llım. O P k P P olduğundn = k ve O O k olur. ur- k dn k yni k = k + olur. = k ve +. = + k olduğundn = +. olur. // Prolem 4. dörtgeninde // ve < olsun. ve kenrlrı üzerinde sırsıyl lınn ve noktlrı için // ise olduğunu gösteriniz. Prolem 5. üçgeninde ve çıortylrı verilsin. üzerinde lınn ir M noktsının ve ye uzklıklrı toplmının ye uzklığın eşit olduğunu gösteriniz. Çözüm: M noktsındn,, ye inilen dikme yklrı sırsıyl P, Q, R ve ve noktlrındn kenrlr inilen dikme yklrı, L, X, Y olsun. u durumd = L = p ve X = Y = q olur. MQ // L ve MP // X olduğundn MQ M p Y R M Q L PX 7

30 enzerlik ve MP q M olur. u eşitlikleri trf trf ornlr ve toplrsk MQ MP M M olur. p q M M MQ. q ve MP. p Y // RM // olduğundn p.5 den M MR q M p MR olup p. q MQ MP MR MP. p MQ. q u eşitlik düzenlenirse MP MQ MQ MP MR MR q p MR q MQq. p MR MP. p olur. eşitliğini elde ederiz. Prolem 6. üçgeninin [] çıortyı üzerinde lınn ir P noktsının,, kenrlrı üzerindeki dik izdüşümleri sırsıyl,, dir. P ile in kesim noktsı R ise R nin yi ortldığını gösteriniz. Çözüm: çıorty olduğundn m(p ) = m(p ) dir. R den geçen ye prlel doğru ve yi sırsıyl ve de kessin. u durumd // olur. m(p ) = m(pr ) = 90 0 olduğundn m(p ) = m(p R) = m(p R) = m(p ) olur. m(p ) = m(pr ) = 90 0 olduğundn m(p ) = m(p R) = m(p R) = m(p ) olur. u durumd (P R) = m(p R) olup P ikizkenrdır. PR olduğundn R = R dir. // olduğu göz önüne lınırs R, yi ortlr. R // // Prolem 7.[lnhett]. üçgeninde yükseklik olmk üzere üzerinde ir P noktsı lınsın. P ve P ise olduğunu gösteriniz. Çözüm: dn geçen ye prlel doğruyu ve sırsıy P ve Q d kessin. u durumd P ve Q olur. üçgeninde Q P Q Sev teoreminden.... olup Q = P olur. PQ P olduğundn PQ ikizkenr olup m() = m() olur. Prolem 8. dikdörtgeninin ve kenrlrının ort noktlrı sırsıyl M ve N dir. kenrının uzntısı üzerinde ir P noktsı lınsın. PN ile nin kesim noktsı Q ise QMN PMN olduğunu gösteriniz. 8

31 enzerlik M T Q N P Çözüm: MN ile nin kesim noktsı olmk üzere MN ye d dik oln doğru MQ yu T de kessin. u durumd MTN ikizkenr olup m(tmn) = m(tnm) dir. MN // ve T // olduğundn olur. u durumd TN // PM olmlıdır. olyısı ile m(pmn) = m(tnm) QN Q QT QP Q QM olup m(pmn) = m(tnm) = m(qmn) olur. Prolem 9. ir d doğrusu üzerinde verilen sırd, M, N, noktlrı için M = MN = N olsun. doğrusu üzerinde olmyn ir noktsı llım. ye prlel ir doğru [], [M], [N] yi sırsıyl,, de kessin. = 3. olduğunu gösteriniz. Çözüm: ve den geçen ye prlel doğrulr yi sırsıyl H ve de kessin. yrı, N yi G de kessin. u durumd G N N N. N H G G olup =. G olur. olduğundn G =.H olup = M M M. M 4.H olur. H // olduğundn H 4 olduğundn = 3. dir. H M N G Prolem 0. üçgeninin,, kenrlrının ort noktlrı sırsıyl,, dir. çısının çıortyı yi M de, çısının çıortyı yi N de kessin. MN O, O P ve O Q ise = PQ olduğunu gösteriniz. Çözüm: M ve N çıorty olduğundn M N ol- M N MN N M duğundn MN // dir. u durumd M M ise = : = olduğundn M M dir. yrı olur. iğer trftn M M MN. olup NM MN (*) olur. yrı MN // ve = olduğundn OM = ON olup MN üçgeninde P ve Q kesenlerine göre Menleus teoreminden P Q ve olur. // MN olduğundn PN M QM N N M O P Q 9

32 enzerlik M olup N Q P QM olur. u durumd // QP dir. Q ymuğund PN olur. (*) eşitliği göz önüne lınırs = PQ olur. PQ MN Prolem. dikdörtgeninde dn ye inilen dikme yğı olmk üzere [] üzerinde ve nin rsınd olk şekilde keyfi ir noktsı lınsın. den geçen ye dik doğru ile nin kesim noktsı P ve P den geçen ye dik doğru ile nin kesim noktsı Q olsun. m(p) = m(q) olduğunu gösteriniz. Q Çözüm: P = R olsun. üçgeninde R diklik merkezi olduğundn R olur. u durumd R // // olup R R P P dir. P P olduğundn P // ve P Q olmlıdır. u durumd PQ ve P Q olduğundn noktsı PQ üçgeninin diklik merkezi olup m(p) = m(q) dir. P R Prolem. r çılı üçgeninde yüksekliği verilsin. den ye inilen dikme yğı ve [] üzerinde ir noktsı lınsın. olmsı için gerek ve yeter şrtın olduğunu gösteriniz. Çözüm: den geçen ye prlel doğru yi G de kessin. ise G olur. u durumd m(g) = m() olur. u durumd olup G olur. u durumd olur. rşıt durumun isptını lıştırm olrk ırklım. G ve G // olduğundn G G Prolem 3. üçgeninde ve kenrortylrı verilsin. kenrı üzerinde lınn ir P noktsındn geçen ve ye prlel oln doğrulr ve yi Q ve R de kessin. ve nin QR yi üç eş prçy yırdığını gösteriniz. Çözüm: = G, QR = M, PQ = X, QR = N, PR = Y olsun. u durumd enzer şekilde RN RQ 3 QM QX G QR QP olup olur. u durumd QM = MN = NR olur. 3 Q X G R M N Y P 30

33 enzerlik Prolem 4. prlelkenrınd > olup noktsındn ve ye inilen dikme yklrı sırsıyl P ve Q dur..p +.Q = olduğunu gösteriniz. Q Çözüm: den ye inilen dikme yğı R olsun. R P olduğundn.r = P. dir. R Q olduğundn.r = Q. dir. u eşitlikleri trf trf toplrsk,.r +.R = P. + Q. olup urdn (R + R) = = P. + Q. = P. + Q. olur. R P Prolem 5. prlelkenrının ve kenrlrı üzerinde sırsıyl ve noktlrı verilsin. ile nin kesim noktsı G ise olduğunu gösteriniz. G Çözüm: köşegeni üzerinde lınn ve noktlrı için // // olsun. u durumd ve dir. olduğundn = olup G olur. G G G G G Prolem 6. üçgeninin iç teğet çemerinin merkezi I olup ve kenrlrı üzerinde sırsıyl P ve Q noktlrı verilsin. P. = I ve Q. = I ise P, I, Q noktlrının doğrusl olduğunu gösteriniz. Çözüm: I ve I çıortydır. P. = I ise Q : I = I : ve m(i) = m(qi) olduğundn QI I olur. olyısı ile m(qi) = m(i) ve m(i) = m(iq) dur. enzer şekilde PI I olup m(i) = m(ip) olur. u durumd P, I, Q noktlrı doğrusldır. LIŞTIRM PROLMLRİ. üçgen olup nin uzntısı üzerinde ir noktsı verilsin. nin çısının dış çıortyı olmsı için gerek ve yeter şrtın olduğunu gösteriniz.. dik üçgeninde m() = 90 0 olup yüksekliktir. ve nin ort noktlrı sırsıyl ve ise m() = m() olduğunu gösteriniz. 3

34 enzerlik 3. prlelkenrının,,, kenrlrı üzerinde sırsıyl,,, noktlrı lınsın. ğer prlelkenr ise u prlelkenrlrın ğırlık merkezlerinin çkışık olduğunu gösteriniz. 4. üçgeninde G ğırlık merkezi olup G den geçen ye prlel doğru ve yi sırsıyl ve de kessin. G =, G = olup nin ort noktsı ise olduğunu gösteriniz. 5. dörtgeninde // dir. ve kenrlrının uzntılrı üzerinde sırsıyl P ve Q noktlrı verilsin. PQ, ve yi sırsıyl M ve N de, ve yi sırsıyl X ve Y de kessin. PM = QN ise MX = NY olduğunu gösteriniz. 6. kre olmk üzere dn geçen ir doğru kenrını P de yi Q de kessin. P Q olduğunu gösteriniz. 7. üçgeninin ve yükseklikleri üzerinde sırsıyl ve noktlrı verilsin. m = m = 90 0 ise = olduğunu gösteriniz. 8. prlelkenr olup noktsındn ve ye inilen dikme yklrı sırsıyl P ve Q ise PQ ve üçgenlerinin enzer olduğunu gösteriniz. 9. üçgeninde çıorty olup ve kenrlrının ort noktlrı sırsıyl ve dir. ile nin kesim noktsı H ise H olduğunu gösteriniz 0. prlelkenrın d çısı dr olup [ ve [ üzerinde sırsıyl M ve N noktlrı verilsin. = N ve = M ise N ve NM üçgenlerinin enzer olduğunu gösteriniz.. prlelkenr olmk üzere ve köşegenleri üzerinde sırsıyl lınn P ve Q noktlrı için PQ // olsun. P = X ve Q = Y ise XY // olduğunu gösteriniz.. üçgeninde çıorty olsun. =4 ve + = 54 ise =? 3. onveks dörtgeninde m = m, m = m ve = 4, = 3, = 6 ise =? 3

35 enzerlik 4. prlelkenrının köşegeni üzerinde lınn M ve N noktlrı için M = N olsun. MP // ve NP // olk şekilde seçilen P noktsının üzerinde olduğunu gösteriniz. 5. üçgeninin ve kenrı üzerinde sırsıyl lınn ve noktlrı için // olsun. = G olmk üzere G den geçen ye prlel doğru ve yi sırsıyl M ve N de kessin. M : N = : olduğunu gösteriniz. 6. üçgeninin iç ölgesinde ir P noktsı verilsin. P noktsının,, kenrlrının ort noktlrın göre simetriği oln noktlr sırsıyl,, ise ve,, in noktdş olduğunu gösteriniz. 7. üçgeninde m() = 60 0 olup,, kenrlrı üzerinde sırsıyl lınn X, Y, Z noktlrı için XYZ eşkenr dörtgendir. Z ile Y nin kesim noktsı ise YZ = Y.Y olduğunu gösteriniz. 8. üçgeninde yüksekliği verilsin. den ye inilen dikme yğı ve nin ort noktsı olsun.,, nin kesim noktsı H ise m() = 90 0 olduğunu gösteriniz. 9. eşkenr dörtgeninde =0 dir. kenrı üzerinde seçilen ir N noktsı için N ve M de kesişsin. M ile N nin kesim noktsı ise m()=? 4 eylül 0. üçgeninde,, kenrlrının ort noktlrı sırsıyl,, olmk üzere m = m olmsı için gerek ve yeter şrtın m = m olduğunu gösteriniz. 33