ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Ayça Hatce TÜRKAN GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 007

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce TÜRKAN YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI Bu tez 08 / 08 /007 Tarhde Aşağıdak Jür Üyeler Tarafıda Oybrlğ/ Oyçokluğu İle Kabul Edlmştr. İmza Prof.Dr. Hamza EROL DANIŞMAN İmza Prof.Dr. Fkr AKDENİZ ÜYE İmza Prof.Dr. Mehmet TÜMAY ÜYE Bu tez Esttümüz İstatstk Aablm Dalıda hazırlamıştır. Kod No: Prof. Dr. Azz ERTUNÇ Esttü Müdürü İmza ve Mühür Bu çalışma Türkye Blmsel ve Tekolojk Araştırma Kurumu (TÜBİTAK)-Blm İsaı Destekleme Dare Başkalığı (BİDEB) tarafıda desteklemştr. Not: Bu tezde kullaıla özgü ve başka kayakta yapıla bldrşler, çzelge, şekl ve fotoğrafları kayak gösterlmede kullaımı, 5846 sayılı Fkr ve Saat Eserler Kauudak hükümlere tabdr.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Ayça Hatce Türka ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI Daışma: Prof.Dr. Hamza EROL Yıl: 007, Sayfa: 4 Jür: Prof.Dr. Hamza EROL Prof.Dr. Fkr AKDENİZ Prof.Dr. Mehmet TÜMAY Blm ve tekolojdek hızlı gelşmeler hayatımıza yö vermektedr. Yelkler dur durak blmedğ ortamda ayakta kalmak, kazaç sağlamak ç rekabetç olmak gerekr. Tüketc veya kullaıcı daha y şartlarda barıablmek, daha y şlere mza atablmek ç buluduğu ortama ayak uydurmak zorudadır. Buları yaı sıra ürüler se özellklere göre değerledrlmektedr. Şüphesz e öeml özellklerde br ürüü güvelrlğdr. Bu düşücede hareketle bu çalışmada, öcelkle güvelrlk, rsk foksyou ve küvet eğrs gb öeml kavramlarla brlkte ele alıacaktır. Sora ürüler yaşam sürelere ışık tutacak güvelrlk aalzde kullaıla tek değşkel dağılımlar, k değşkel dağılımlar, karma dağılımlar, karıştırılmış dağılımlar ve bleşk dağılımlar celeecektr. Bu statstksel dağılım modellerde yaygı bçmde kullaılalara lşk temel özellkler ve parametre tahmler araştırılacaktır. Güvelrlk, yük ve mukavemet kavramları le tekrar ele alııp, çeştl dağılımlarla örekledrlecektr. Ayrıca, blgsayar çağıda yaşadığımız uutulmamış, yazılım güvelrlğde kullaıla statstksel dağılımlara da yer verlecektr. Aahtar kelmeler: Güvelrlk, statstksel dağılım modeller, doaım ve yazılım güvelrlğ. I

4 ABSTRACT MSc. THESIS STATISTICAL DISTRIBUTION MODELS USED IN RELIABILITY ANALYSIS Ayça Hatce TÜRKAN DEPARTMENT OF STATISTICS INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervsor: Prof.Dr. Hamza EROL Year: 007, Pages: 4 Jury: Prof.Dr. Hamza EROL Prof.Dr. Fkr AKDENİZ Prof.Dr. Mehmet TÜMAY Quck developmets the scece ad techology gves drecto to our lfe. It has to be compettve to stad stll ad make proft the evromet that productve ovatos are o-stop. Cosumer or user has to keep step wth the stuato to lve better codtos ad sg o better works. Besdes, products are evaluated accordg to ther qualty. No doubt, oe of the most mportat qualty s relablty of the product. So, frstly relablty wll be hadled wth the mportat cocepts lke hazard fucto ad bathtub curve ths study. The, uvarate dstrbutos, bvarate dstrbutos, mture dstrbutos, med dstrbutos ad compoud dstrbutos that are used the relablty aalyss whch lghte the products lfetme. Ma propertes ad parameter estmators related to these statstcal dstrbuto models whch are commoly used wll be searched. Relablty wll be hadled aga wth the load ad stegth cocepts ad eamplfed wth varous dstrbutos. Also, t s t forgotte that we lve computer age ad t s gve a place to statstcal dstrbutos that are used software relablty. Key words: Relablty, Statstcal dstrbuto models, Hardware ad Software relablty. II

5 TEŞEKKÜR Bu tez hazırlaması sürecde değerl blgler ve kayaklarıı bemle paylaşa daışmaım sayı Prof.Dr. Hamza EROL a; yardımlarıı esrgemeye İstatstk bölümü öğretm elemalarıa; destek sağlaya TÜBİTAK a teşekkürlerm suarım. Ayrıca eğtm ve öğrem hayatım boyuca madd ve maev katkılarıı bede hçbr zama esrgemeye aleme teşekkürü br borç blrm. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ......I ABSTRACT......II TEŞEKKÜR......III İÇİNDEKİLER...IV TABLOLAR DİZİNİ...IX ŞEKİLLER DİZİNİ...X. GİRİŞ.... ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Güvelrlk Parametreler Dağılım Foksyoları Hata Oraı Parçalardak Değşm Güve Aralığı Yeleme Teors (Reewal Theory) Eşevrel ve Evre Uyumsuz Yapılar Modele Dayalı Dyagramlar Blok Dyagramlar Kusur Ağaç Aalz (FTA) Olay Ağaç Aalz Durum Dyagramları (State Dagrams) Teork Metodlar Kuyruk Teors Asmptotk Aalz Boole Cebr Bayes Yaklaşımı Mote Carlo Smülasyou Optmzasyo (E İyleme) Dğerler TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR...5 IV

7 3.. Güvelrlk Aalzde Kullaıla İstatstksel Dağılımlarla İlgl Temel Kavramlar ve Taımlar Güvelrlk Kousuda Temel Açıklamalar Br Ürüü Güvelrlğ Koşullu Güvelrlk Foksyou Oarılamaz Parçalar Oarılablr Parçalar Rsk Oraı Foksyouu Geel Formu Ser Sstemler Paralel Sstemler Geel Ser-Paralel Sstemler GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI TEK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Normal Dağılım Normal Dağılımdak Parametreler Tahm Normal Dağılımı Uygulama Alaları Logormal Dağılım Logormal Dağılımdak Parametreler Tahm Logormal Dağılımı Uygulama Alaları Üstel Dağılım Üstel Dağılımdak Parametreler Tahm Üstel Dağılımı Uygulama Alaları Webull Dağılımı Webull Dağılımıdak Parametreler Tahm Webull Dağılımıı Uygulama Alaları Raylegh Dağılımı Raylegh Dağılımıdak Parametreler Tahm Raylegh Dağılımıı Uygulama Alaları Uç Değer (Etreme Value) Dağılımı Uç Değer Dağılımıdak Parametreler Tahm Uç Değer Dağılımıı Uygulama Alaları...98 V

8 4.7. Dğer Dağılımlar Beroull Dağılımı Bom Dağılımı Posso Dağılımı Gama Dağılımı Geometrk Dağılım Negatf Bom Dağılımı Solda Kesk/Keslmş Logstc Dağılım GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İKİ DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Freud u İk Değşkel Üstel Dağılımı Freud u İk Değşkel Üstel Dağılımıdak Parametreler Tahm Marshall ve Olk İk Değşkel Üstel Dağılımı Marshall ve Olk İk Değşkel Üstel Dağılımıdak Parametreler Tahm Ldley ve Sgpurwalla ı İk Değşkel Üstel Dağılımı İk Değşkel Pareto Dağılımı Yaşam Süres Dağılımı ç Ver Çftler Aalz GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELLERİ Geel Blgler Webull Dağılımlarıı Karması Webull Dağılımlarıı Karmasıdak Parametreler Tahm Normal Dağılımları Karması Normal Dağılımları Karmasıdak Parametreler Tahm Üstel Dağılımları Karması Üstel Dağılımları Karmasıdak Parametreler Tahm...46 VI

9 7. GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN DİĞER İSTATİSTİKSEL KARMA DAĞILIM MODELİ VE BİLEŞİK DAĞILIM MODELİ Güvelrlk Aalzde Kullaıla Dğer Karma Dağılım Modeller Güvelrlk Aalzde Kullaıla Bleşk Dağılım Modeller Rastgele Termler Toplamı Stadart Gama Dağılımı Bleşk Posso Dağılımı Bleşk Posso Sürec Bleşk Posso Sürec Özellkler Bleşk Negatf Bom Dağılımı Geelleştrlmş Dağılım Posso-Bom Dağılımı YÜK MUKAVEMET GÜVENİLİRLİK MODELLERİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Yük Mukavemet Güvelrlk Model I Bazı Özel Durumlar Normal Dağılım Durumu Üstel Dağılım Durumu Üstel ve Normal Dağılım Durumu Yük Mukavemet Güvelrlk Model II Freud u İk Değşkel Üstel Dağılım Durumu Marshall ve Olk İk Değşkel Üstel Dağılım Durumu DONANIM VE YAZILIM GÜVENİLİRLİĞİNDE KULLANILAN BAZI İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ Doaım Güvelrlğ ç Küvet Eğrs Yazılım Güvelrlğ ç Küvet Eğrs Doaım Yazılım İlşks Yazılım Güvelrlk Mühedslğ Öeml Kavramları Yazılım Güvelrlk Modeller Jelsk Morada Model Schck-Wolverto Model...86 VII

10 Goel-Okumoto Model Bayes Yazılım Güvelrlk Büyüme Modeller Lttlewood ve Verrall Bayes Model SONUÇLAR VE ÖNERİLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ VIII

11 TABLOLAR DİZİNİ SAYFA Tablo 9.. Doaım ve Yazılım Özellkler Karşılaştırılması...76 Tablo 9.. Yazılım güvelrlk hata oraı modeller...80 IX

12 ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA Şekl 3.. Güvelrlk ve güvelmezlk arasıdak lşk...5 Şekl 3.. Oarılamaz ürü ç zamaa bağımlı güvelrlk foksyou...7 Şekl 3.3. Oarılablr ürüde hata/başarısızlık umues...8 Şekl 3.4. Küvet eğrs...3 Şekl 3.5. İk bleşel ser sstem...3 Şekl 3.6. m bleşel ser sstem...33 Şekl 3.7. İk bleşel paralel sstem...34 Şekl 3.8. bleşel paralel sstem...35 Şekl 3.9. Ser-paralel sstem...36 Şekl 4.. Normal dağılımda µ 0 ve σ 0. 5, σ, σ 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...4 Şekl 4.. Normal dağılımda σ ve µ, µ 0, µ parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...4 Şekl 4.3. Normal dağılımda µ 0 ve σ, σ 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula F ( t) dağılım foksyolarıı grafkler...43 Şekl 4.4. Normal dağılımda µ 0 ve σ 3, σ parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula R ( t) güvelrlk foksyolarıı grafkler...43 Şekl 4.5. Normal dağılımda µ 5 ve σ, σ 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula h ( t) rsk foksyolarıı grafkler...44 X

13 Şekl 4.6. Logormal dağılımda µ 0 ve σ, σ 0. 5, σ 0. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...5 Şekl 4.7. Logormal dağılımda σ ve µ 0, µ 0. 3, µ parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...5 Şekl 4.8. Logormal dağılımda µ 0 ve σ 0. 6, σ parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula F ( t) dağılım foksyolarıı grafkler...5 Şekl 4.9. Logormal dağılımda µ 0 ve σ 0. 6, σ parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula h ( t) rsk foksyolarıı grafkler...53 Şekl 4.0. µ log(0000) ve σ parametre değerleryle logormal dağılıma sahp gelr rastgele değşke ç f ( t) olasılık yoğuluk foksyouu grafğ...55 Şekl 4.. İk parametrel üstel dağılımda µ ve λ, λ 0. 5, λ 0. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...6 Şekl 4.. Br parametrel üstel dağılımda λ 0. 5, λ ve λ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...6 Şekl 4.3. Br parametrel üstel dağılımı R ( t) güvelrlk ve ( t) F dağılım foksyolarıı grafkler...6 Şekl 4.4. Br parametrel üstel dağılımı h ( t) rsk foksyouu grafğ...63 Şekl 4.5. Tekl akım ölçüm sstem Şekl 4.6. Paralel, özdeş üç akım ölçüm sstem Şekl 4.7. Orta değer seçc rölel sstem.. 66 XI

14 Şekl 4.8. İk parametrel Webull dağılımıda σ ve η 0. 5 η η 4 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...74 Şekl 4.9. İk parametrel Webulll dağılımıda σ ve η, η 0. 5, η 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula F ( t) dağılım foksyolarıı grafkler...74 Şekl 4.0. İk parametrel Webulll dağılımıda σ ve η, η 0. 5, η 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula R ( t) güvelrlk foksyolarıı grafkler...75 Şekl 4.. İk parametrel Webull dağılımıda σ ve η, η 0. 5, η 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula h ( t) rsk foksyolarıı grafkler...75 Şekl 4.. Stadart Webull dağılımıda η 0. 75, η, η. 5, ve η 3 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık foksyolarıı grafkler...76 Şekl 4.3. Raylegh dağılımıda β 0. 5, β ve β parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...8 Şekl 4.4. Raylegh dağılımıda β. 5, β 3 ve β 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...8 Şekl 4.5. Raylegh dağılımı R ( t) güvelrlk ve ( t) F dağılım foksyolarıı grafkler...83 Şekl 4.6. Raylegh dağılımıı h ( t) rsk foksyouu grafğ...83 Şekl 4.7. [ 0,3] kapalı aralığıda, Raylegh dağılımıa lşk ( t) F dağılım foksyouu grafğ...85 XII

15 Şekl 4.8. I. tp uç değer dağılımıda µ ve σ 0. 5, σ, σ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...95 Şekl 4.9. I. tp uç değer dağılımıda µ ve σ 0. 5, σ, σ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula F ( t) dağılım foksyolarıı grafkler...96 Şekl I. tp uç değer dağılımda µ ve σ 0. 5, σ, σ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula R ( t) güvelrlk foksyolarıı grafkler...96 Şekl 4.3. I. tp uç değer dağılımıda µ ve σ 0. 5, σ, σ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula h ( t) rsk foksyolarıı grafkler...97 Şekl 4.3. I.tp uç değer dağılımıda σ ve µ 0. 5, µ, µ. 5 parametre değerler ç MATLAB paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler...97 Şekl Solda kesk/keslmş logstc dağılımda µ 00 ve σ 8. 5, σ 4. parametre değerler ç GRAPHER paket programı kullaılarak oluşturula f ( t) olasılık yoğuluk foksyolarıı grafkler.0 Şekl Solda kesk/keslmş logstc dağılımda µ 00 ve σ 8. 5, σ 4. parametre değerler ç GRAPHER paket programı kullaılarak oluşturula R ( t) güvelrlk foksyolarıı grafkler..0 Şekl Solda kesk/keslmş logstc dağılımda µ 00 ve σ 8. 5, σ 4. parametre değerler ç GRAPHER paket programı kullaılarak oluşturula h ( t) rsk foksyolarıı grafkler... Şekl 8.. Rastgele yük ve sabt mukavemet durumuda bleşe güvelrlğ...65 Şekl 8.. Rastgele mukavemet ve sabt yük durumuda bleşe güvelrlğ...66 Şekl 8.3. Rastgele mukavemet ve rastgele yük durumuda bleşe güvelrlğ..67 Şekl 9.. Doaım güvelrlğ ç küvet eğrs...74 XIII

16 Şekl 9.. Yazılım güvelrlğ ç küvet eğrs...75 Şekl 9.3. Kusur çerk foksyou grafğ...83 Şekl 9.4. Kusur tespt oraı foksyou grafğ...83 XIV

17 . GİRİŞ Ayça Hatce TÜRKAN. GİRİŞ Tarh boyuca salık, geleceğ tahm etme gayret çde olmuştur. Güümüzde sstemler, alt sstemler ve bleşeler ç güvelrlğ tahm etmek bu gayret br ürüüdür. Güvelrlk, br ese taımlamış br amacı bell br zama aralığıda, tam olarak yere getrme olasılığıdır (Betley 993, Adrews ve Moss 00). So ell yılda moder tekoloj yükselmesyle brlkte güvelrlk kavramı daha da öem kazamıştır. Brçok alada yaygı olarak kullaıla statstk blm, güvelrlk aalzde de olasılık dağılımlarıyla brlkte öeml br yer edmştr. Güvelrlk aalzde, olasılık dağılımlarıda keskl dağılımlar belrl br zama aralığıda gerçekleşe hata sayısı gb keskl olaylarla lglerler. Sürekl dağılımlar se zamaa karşı dayama süres gb herhag br değer ala değşkeler modellemek ç kullaılırlar (Moss 005). Olasılık dağılımları sstemler, alt sstemler veya bleşeler ç zamaa karşı bozulma ya da arızalama modeller olarak yaygı bçmde kullaılırlar (Hah ve Shapro 967, Betley 993). Br sstem yaşam süres; üretm mktarı, üretm ç kullaıla madde veya çevresel koşullardak değşm gb brçok faktöre bağlıdır. Öce sstem ya da sstem br alt sstem veya sstem br bleşe ç süre br rastgele değşke olarak alıarak zamaa karşı bozulma ya da arızalama ç uygu br olasılık model oluşturulur. Sora oluşturula olasılık modeldek parametreler tahm edlr. Ayrıca oluşturula olasılık modeller sağ kalım (survval) foksyou, rsk (hazard) foksyou gb bazı özellkler celer (Meeker ve Escobar 998). Bu tez çalışmasıda güvelrlk aalzde kullaıla ormal dağılım, üstel dağılım, log-ormal dağılım, webull dağılımı, raylegh dağılımı ve uç değer dağılımı gb bazı tek değşkel (uvarate) statstksel dağılım modeller; k değşkel (bvarate) üstel dağılım (Kotz ve Sgpurwalla 999, Nadarajah ve Kotz 006a, 006b) ve k değşkel pareto dağılımı (Gupta 00) gb bazı k değşkel statstksel dağılım modeller; webull dağılımlarıı karması (Patra ve Dey 999, Bucar ve ark. 004) gb bazı karma (mture/med) dağılım modeller ve özellkler

18 . GİRİŞ Ayça Hatce TÜRKAN celemştr. Ayrıca bleşk Posso dağılımı (Feller 968) gb bazı bleşk (compoud) dağılım modeller le lgl açıklamalara yer verlmştr. Bu dağılım modeller özellkle karmaşık sstemler güvelrlk modellemelerde ve aalzde uygulama alaları araştırılmıştır. Doaım güvelrlğde ve yazılım güvelrlğde kullaıla bazı dağılımlarla lgl açıklamalara yer verlmştr. Tez kc bölümüde kouyla lgl öcek çalışmalar celemştr. Bu bölüm lk güvelrlk teorler üzere br özet telğ taşımaktadır. Bu bölümde güümüz çalışmalarıa kayaklık ede, teor ve metodları geçmş hakkıda blg verlmştr. Tez üçücü bölümüde kouyla lgl temel kavramlar açıklamış ve taımlar verlmştr. Öcelkle statstksel dağılımlara lşk temel taımları yer aldığı bu bölümde, güvelrlk kavramı üzerde durulmuş, bu kavramla lşkl küvet eğrs ele alımıştır. Ayrıca, ser, paralel ve geel sstemlerde güvelrlk araştırılmıştır. Tez dördücü bölümüde güvelrlk aalzde kullaıla bazı tek değşkel dağılım modeller açıklamıştır. Bu dağılım modeller açıklaırke dağılım foksyou, beklee değer, varyas, medya, mod gb dağılımları taımlayıcı özellkler yaı sıra güvelrlk foksyou, rsk foksyou gb özellkle güvelrlk kousuda değer kazaa özellkler celemştr. Verle blgler, grafklerle desteklemştr. Ayrıca parametre tahmler ve uygulama alaları verlmştr. Tez beşc bölümüde güvelrlk aalzde kullaıla bazı k değşkel dağılım modeller ele alımıştır. Bu dağılımlara lşk bazı özellkler ve kullaım alalarıı açıklamasıı yaı sıra paramete tahmler de suulmuştur. Tez altıcı bölümüde güvelrlk aalzde kullaıla karma dağılım modeller araştırılmıştır. Bu bölümde karma dağılımları geçmş ve gereksm ede açıklamıştır. Üstel, Webull ve ormal dağılımları karması üzerde durulmuş ve parametre tahmlere yer verlmştr. Tez yedc bölümüde güvelrlk aalzde kullaıla dğer karma dağılım model ve bleşk (compoud) dağılım model celemştr. Bu bölümde

19 . GİRİŞ Ayça Hatce TÜRKAN dğer karma dağılım model ve bleşk dağılım model öreklerle açıkladığı taımlara yer verlmştr. Tez sekzc bölümüde yük mukavemet güvelrlk modeller açıklamıştır. Bu bölümle güvelrlk kavramıa, yük ve mukavemet kavramlarıı yardımıyla farklı br yaklaşım suulmuş olup daha öce sözü edle ormal ve üstel dağılımları uygulamaları yapılmıştır. Tez dokuzucu ve so bölümüde doaım ve yazılım güvelrlğ kousu araştırılmıştır. Bu bölümde doaım ve yazılımı farklılıkları üzerde durulmuştur. Özellkle yazılım güvelrlğde kullaıla bazı güvelrlk modeller kullaım şekller açıklamıştır. Yaygı bçmde kullaıla modeller tabloyla özetlemştr. 3

20 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Geçmş yüzyıla bakıldığıda, brçok güvelrlk çalışmasıı so 50 yıl çde yapıldığı görülmektedr (Rueda ve Pawlak 004). Bu çalışmalar güümüz çalışmalarıa da kayaklık etmektedr. Güvelrlk aalz çalışma alaı güvelrlk parametreler gösterm, yeleme teors (reewal theory) (Watso ve Leadbetter 964, Gedeko ve ark. 969), eşevrel yapıları (coheret structure) (Boutskas ve Koutras 000, Tstmdels ve ark. 00, Adrews ve Beeso 003), modellere dayalı dyagramı, teork metodları ve çeştl tekkler çerr. Modellere dayalı dyagram, blok dyagramları (block dagrams) (Kleerma ve Wess 954, Blato 957), kusur ağaç aalz (fault tree aalyss-fta) (Adrews 00), olay ağaç aalz (evet tree aalyss-eta) (Papazoglou 998, Adrews ve Duett 000a, 000b) ve akış grafkler (flowgraphs) (Haap 964, Dolozza 966) çermektedr. Teork metodlar kuyruk teors (queueg theory) (Ouhb ve Lmos 999), asmptotk aalz (asymptotc aalyss) (Takacs 959, Gedeko 964a, 964b, Pogozhev 964), Boole cebr (Boolea algebra) (Fratk 954), Bayes metoduu (Bayesa method) (Hultg ve Robso 994, Kerscher ve ark. 998), Mote Carlo smülasyouu (Mote Carlo smulato) (Belyaev ve ark. 967) ve optmzasyo tekkler çerr. Güvelrlk araştırmalarıa so 50 yılda yapıla katkıları güümüz çalışmaları üzerde etks büyüktür. Güümüzde kullaıla dağılım foksyoları üzere Webull (939, 95), Epste (948), Epste ve Sobel (953) öeml etkler olmuştur. Lotka (939), Campbell (94), Feller (94, 968), Co (960, 96), Smth (954, 958), Co ve Smth (953), Barlow ve Huter (959, 960), Gedeko (964a, 964b), Solov yev (970a, 970b) güvelrlk ç teorler gelştrmşlerdr. Takacs (959) ı yayıları asmptotk çalışmalara başlagıç telğdedr. Güvelrlk aalz arkasıda dura teorler geçmş yaklaşık olarak 773 yılıda Perre-Smo Laplace ı Laplace döüşümüü gelştrdğ ve 8 de Theore aalytque des probabltes sml yayıı yaptığı döeme rastlamaktadır. Adre Adreevch Markov 880 yılıda Markov zcr gelştrmştr (Rueda ve 4

21 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN Pavlak 004). Buula brlkte so 50 yıla kadar güvelrlk araştırmalarıa çok öem verlmemştr. So 50 ve 60 yıl güvelrlğ altı çağıdır. Brçok buluş ve araştırmaı br merak ya da gereksm soucu ortaya çıktığı düşüülürse güvelrlk aalz de br gereksm soucu ortaya çıktığıı tahm etmek çok da zor değldr. Moder tekoloj hareket kazamasıyla tcar ve asker sektörlerde güvel ürülere gereksm duyulmuştur. Güvelrlk aalz; otomobl edüstrsde, havacılık edüstrsde, letşm sstemlerde, roketlerde olduğu gb atış sstem çalışmasıda kullaılmıştır. Brçok bezer aalz tekğ bugü hala kullaılmaktadır. Bu teorler yeleme teors (reewal theory), Markov modeller, bleşe öem ölçüler, Mote Carlo smülasyouu, Bayes yaklaşımıı ve optmzasyo tekkler çerr. Blok dyagram aalz gb güvelrlk hesaplamalarıda kullaıla e y ble metodlar, bu teorlere dayaır. Ayı teorler kullaa uygulamalar hızladırılmış yaşam test, bakımı, yazılım güvelrlğ, ağ güvelrlğ ve sstem güvelrlğ çerr. ISO 840 ye göre güvelrlk belrl br zamada çevresel ve şletmsel koşullar altıda br eşyaı gerekl foksyou yere getrme yeteeğ olarak taımlaır. Ushakov (000) moder güvelrlk teorler altı gruba ayırır. Bular saf güvelrlk aalz, geçerllk, kalımlılık, güve, güvelk ve yazılım güvelrlğdr. Bu bölümde sözü edle teorler çoğu Ushakov (000) tarafıda taımlaa saf güvelrlk aalz kavramıa dahldr... Güvelrlk Parametreler Güvelrlk teorlerde kullaıla parametreler çalışmadak kouları ya da kavramları özellkler göstermek ç kullaılır.... Dağılım Foksyoları Dağılım foksyoları, br sstem çalışır durumda olduğu ya da çalışır durumda olmadığı süre özellkler göstermek ç kullaılır. E etkl dağılım foksyoları, materyal yorulma hatasıı taımlamak ç kullaıla Webull 5

22 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN dağılımıa (Webull 939) ve Epste ve Sobel (953) hayat test ç oluşturduğu üstel dağılıma dayalıdır. Webull, materyallerde yorulma ömrüü ve uç değer teors lgl koularıı çalışmıştır. Webull (939), materyaller yaşam süres açıklaması ç br dağılımı yaklaşık dağılım olarak ögörmüştür. Bu dağılım daha sora Webull dağılım olarak adladırılmıştır. Dael (945) plk mukavemet le lgl çalışmasıda ormal dağılımı kullamıştır. Epste (948) artırımlı hasarları büyüklüğü koulu çalışmasıda logormal dağılım foksyouu ve uç değer teors lgl koularıı kullamıştır. Webull (95) farklı uygulamalar ç Webull dağılımıı braz farklı formuu kullamıştır. Davs (95) hata dağılımları ç hata verler ve uyumu ylğ testler aalz etmştr. Üstel dağılıma ayrıcalık taımıştır. Kao (956, 958) u yaptığı çalışmalarda Webull dağılımıa öem verdğ görülmektedr. Buehler (957) füze ürüler güvelrlğ hesaplamak ç bom dağılıma başvurmuştur. Brbaum ve Sauders (958) damk yük altıdak yapıları ömrü ç ustaca hazırlamış br statstksel model sumuşlardır. Bu modelde hata oraı bozulma ve yıpramaı br foksyou olarak kullaılmıştır. Sabt yük özel durumu, oları yaşam mukavemet ç gama dağılımıı öermelere olaak sağlamıştır. Herd (959) çeştl dağılımları uygulamalarıı, yoğuluk foksyolarıı, varyas, ortalama ve hata oralarıı özetlemştr. Tate (959) mmum varyas yasız tahm edcs elde etmştr. Co (960), gama olasılık dağılımıa sahp T rastgele değşke eğer tüm sstem yaşam süres gösteryorsa, yedek bleşe sayısıı Laplace döüşüm ters kullamada hesaplaableceğ göstermştr. Zele ve Daemller (96) üstel dağılıma dayaa brçok yaşam test prosedürüü sağlam olmadığıı ortaya çıkarmıştır. Nylader (96) yaşam test dağılım foksyoları üzere br özet hazırlamıştır. Blato ve Jacobs (96) da br lste sağlamıştır. Shortle ve Medel (00) yaşam süres uzaylarıı fzksel Ökld uzayları olmadığıı fakat dferasyel geometrde lf demet yığııı eşdeğer olduğuu göstermştr.... Hata Oraı Barlow ve ark. (963) tae bağımsız özdeş dağılıma sahp rastgele değşkede arta hata oraı büklüm teorem (creasg falure rate covoluto 6

23 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN theorem) kaıtlamak ç toplam poztflğ (total postvty) kullamışlardır. Barlow ve Marshall (964) arta hata oraı (Icreasg Falure Rate-IFR) dağılımlarıı sıırlarıa lşk br çalışma yapmışlardır. Barlow ve Proscha (965) güvelrlk üzere br ktap yazmışlardır. Bu ktap mooto sstemler geel kavramlarıı, mooto azala ve arta hata oralarıyla dağılımlarıı çermektedr. Ross (97) eşevrel sstem ç ortalamaı üstüdek arta hata oraı (Icreasg Falure Rate o the Average-IFRA) kapama (closure) teorem kaıtlamıştır. Block ve Savts (976), Barlow ve arkadaşları tarafıda çalışıla ve tae bağımsız özdeş dağılıma sahp rastgele değşkelere lşk teorem spatıı kısaltmışlardır...3. Parçalardak Değşm Meltzer (956) modül güvelrlğ fades elde etmek ç varyas aalz kullamıştır. Burada amaç parçaları özellkler sumaktır. Blato (958) ekpma güvelrlğde olası değşmler tahm etmştr. Modül güvelrlkler, ekpma güvelrlğde büyük değşklğe ede olduğuu göstermştr. Dreste (959, 960), parça dayaıklılığıı ürü dayaıklılığı le lşkl olduğuu fade etmştr...4. Güve Aralığı Buehler (957), füze güvelrlk hesaplamalarıda ürüler güve aralıklarıı oluşturmak ç bom parametrelere başvurmuştur. Steck (958), Madasky (958) ve Roseblatt (963) bezer çalışmalar yapmışlardır. Joh ve Leberma (966) Webull dağılımı ç güvelrlk güve sıırıı hesaplamışlardır. Thoma ve ark. (970), Webull dağılımı ç güve aralığı ve güvelrlğ tolerası tahmler maksmum lkelhood yötemyle yapmıştır. Martz ve Dura (985), bleşeler test verlere dayalı sstem güvelrlğde güve tahm değerledrmek ç Bootstrap metodua başvurmuştur. 7

24 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN.. Yeleme Teors (Reewal Theory) Lotka (939), Campbell (94), Feller (94, 968), Co (960, 96) ve Smth (954, 958) güvelrlk ç yeleme teors gelşmde büyük katkıda bulumuşlardır. Yeleme teors, yeleme problem çözmek ç kullaılır. Başarısız bleşe yesyle derhal değştrleceğ varsayılır. Bleşeler toplam ömrü ş sürese katkı sağlar. tae yedek ese ömrüü tahm etmek ç bleşe beklee toplam ömrü tahm edleblr. Lotka (939) edüstryel yedek ese problem ç yeleme teorse başvurmuştur. Campbell (94), sabt aralıklı yeleme ve br ütede hata olması durumuda değşm malyete etklğ koulu çalışmasıda yeleme teorse başvurmuştur. Feller (94), yeleme teors matematksel br blg dalı olarak gelştrmştr. Blackwell (948), belrl br zamada yelee olayları beklee sayısıı hesaplamıştır. Doob (948), olasılığa göre yeleme teors tartışmıştır. Feller (949) yelee olaylar üzere br çalışma yapmıştır. Bu çalışmada yelee olayları beklee sayısı ve ou varyasıa keskl yeleme sürec ç br formül oluşturulmuştur. Co ve Smth (953) yeleme teors drekt spatıı yapmışlardır. Smth (954) sürekl yelee süreç ç yelee olayları beklee sayısıı ve ou varyasıı hesaplayarak, yelemş stokastk süreç teors taımlamıştır. Smth, t sosuza gderke değer leer foksyoa yaklaştığıı göstermştr. Smth (958), yeleme teorsde özellkle yelee olaylar üzere ble matematksel souçları buluduğu br özet hazırlamıştır. Smth (959), yelee olayları beklee değer le lgl teorem spatlamış ve yelee olayları beklee sayısıı, ou varyasıı t sosuza gderke leer foksyoa yaklaştığıı bulmuştur. Barlow ve Huter (959, 960), sstem güvelrlğ ç matematksel modeller başlıklı k makale yayılamışlardır. Co (96), yeleme teors üzere br ktap çıkarmıştır. Co u hem ked, hem de Isham le brlkte yürüttüğü çalışmalarıı güvelrlk teors gelşme güçlü br etks olmuştur (Co ve Isham 980). Bu da güvelrlk modellemesde stokastk sürece başvurmak ç ye yollar açmıştır. Watso ve Leadbetter (964), rsk foksyou aalz üzere çalışmışlardır. Gedeko ve ark. (969) tarafıda oarılablr 8

25 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN sstemlerde, asmptotk aalze ve güvelrlk ver aalze lşk çok sayıda souç çere Rusça ve İglzce dllerde ktaplar yayılamıştır..3. Eşevrel ve Evre Uyumsuz Yapılar Brbaum ve ark. (96), eşevrel sstemler güvelrlğ hesaplamak ç eşevrel yapılar üzere br çalışma yapmışlardır. Bu çalışmadak düşüce; bleşe hatası yüzüde sstem hata olasılığıı hesaplamasıdır. Brbaum (955), rastgele değşke yapısal bleşe hatalarıı göstermek ç kullamıştır. Daha öce Moore ve Shao (956) tarafıda çalışıla ağ güvelrlğ ve eşevrel yapılar kousu Brbaum ve ark. (96) tarafıda geşletlmştr. Olar, paralel ya da ser düzelemş çoklu bleşe yapılarıda güvelrlğ çalışırke vektör aalz tekklere başvurmuşlardır. Esary ve Proscha (963), ble yapıda steğe bağlı k kutuplu ağı alt ve üst sıırlarıı elde etmşlerdr. Sıırlar ağları yolu ve kestler eksksz kümeler aracılığıyla açıklamıştır. Brbaum ve Esary (965), kl eşevrel sstemlerde modüller taımlamış ve çalışmışlardır. Brbaum ve ark. (966), ortalamaı üstüdek arta hata oraı teorem eşevrel sstem ç taımlamışlardır. Brbaum (969), karmaşık sstem aalzde, daha öce Kolmogorov (945) tarafıda oluşturula kl hata tp (bary falure type) göstermler ola aşağı ( dow ) ve yukarı ( up ) göstermler kullaarak ye br akım başlatmıştır. Ross (97), eşevrel sstem ç IFRA teorem br spatıı yapmıştır. Satyaarayaa ve Prabhakar (978), eşevrel yapılar ç daha etkl olasılık hesaplamaları taımlamışlardır. Olar eşevrel sstem ç güvelrlk lteratürüe bağımsızlık kavramıı kazadırmışlardır. Satyaarayaa ve Chag (983), eşevrel sstemde faktör algortmasıı tek yölü ağlar ç e etkl algortma olduğuu kaıtlamışlardır. Bedell ve Asell (984), eşevrel yapı ç tutarsızlık koşullarıı çalışmışlardır. Huseby (989), bağımsızlık kavramı üzere daha soyut brleştrlmş br teor oluşturmuş ve tam güvelrlk hesaplamalarıa lşk uygulama le eşevrel sstem ç bağımsızlığı çalışmıştır. Fu ve Koutras (995), bağımsız bleşel ve eşevrel yapı ç sıır bulmuştur. Tstmdels ve ark. (00), geetk algortmayı kullaarak bu sıırları bulmak ç br prosedür oluşturmuştur. Boutskas ve Koutras (000), eşevrel yapı ç geelleştrlmş 9

26 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN sıırları hesaplamışlardır. Iagak ve Heley (980) ve Jackso (983), evre uyumsuz br sstemle lgl öeml çalışmalar yapmışlardır. Adrews ve Beeso (003), öem ölçüsüü evre uyumsuz sstemlere dahl etmek ç Brbaum (969) tarafıda ortaya atıla bleşe öem ölçüler geşletmş ve geelleştrmştr..4. Modele Dayalı Dyagramlar Modele dayalı dyagramlar, sstem görsel olarak suumuu sağlar. Model, mühedslere ve matematkçlere matematksel aalze başvurmada öce hedef sstem daha y alaşılmasıa olaak sağlar. Blok dyagramları yaı sıra kusur ağaç aalz (Fault Tree Aalyss-FTA), olay ağaç aalz (Evet Tree Aayss- ETA), durum dyagramı (state dagram) ve akış grafkler (Oltork 963, Haap 964, Dolozza 966) de güvelrlk aalzde kullaılır..4.. Blok Dyagramlar Kleerma ve Wess (954), güvelrlk lşkler göstermek ç güvelrlk blok dyagramıı kullamış ve matematksel gösterm öermştr. Blato (957), güç kayaklarıı ve bezer üteler göstermek ç ek sembollerle mühedslk blok dyagramıı kullamış ve buu matematksel gösterm öermştr..4.. Kusur Ağaç Aalz (FTA) Kusur ağaç aalz br Mutema füzesde gerçekleşeblecek br kazaı olasılığı çalışmasıı br soucu olarak ortaya çıkmış ve Watso aalz projesde yer almıştır (Rausad 005). FTA, rsk değerledrmesde e çok kullaıla tekklerde brdr. Holtzma ve Marshall (960), FTA yı blok etketledrmelerde kullamışlardır. Rosethal (980), FTA ç aalz malyet düşürmeye yöelk br yaklaşım kullamıştır. Duga ve ark. (99), damk FTA yötem gelştrmşlerdr. Coudert ve Madre (993), büyük kusur ağaçlarıı (^0 temel olaylı) çözümüde kl karar dyagramlarıı (Bary Decso Dagrams-BDD) kullamışlardır. Doyle ve Duga (995); statk kusur ağaçlarıı, ardışık ve bağımlı 0

27 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN olmaya hata davraışı ç kullaılableceğ bulmuşlardır. Dutut ve Rauzy (996), bağımsız alt ağaçları taımlaya doğrusal zama algortmasıı (lear-tme algorthm) gelştrmşlerdr. Aad ve Soma (998), bağımlılıklar ve kusur ağaçlarıı aalz ç ayrıştırma metodua (decomposto method) başvurmuşlardır. Adrews (00), çok şlevl sstemlerde FTA yı kullamıştır Olay Ağaç Aalz Papazoglou (998), küme teors ve olasılık teors temel kavramlarıı kullaarak olay ağaçları yapısı ç matematksel br gösterm gelştrmştr. Adrews ve Duett (000a, 000b), sstemlere düzgü olay ağaç aalz uygulamışlardır Durum Dyagramları (State Dagrams) Durum dyagram; kuyruk teors ç çok popüler br göstermdr. Kolmogorov (945) uçaksavar yagıı yüzüde oluşa uçak hasar olasılığıı aalz etmek ç kl durumu kullamıştır. Fratk (954), bleşeler durumuu göstermek ç üç durum kullamıştır. Takacs (959), br sstem durumlarıı göstermek ç k durum kullamıştır. Barlow ve Huter (959), çalışır durumdak veya bozulmuş durumdak br üte durumuu göstermek ç aç-kapa model (o-off model) kavramıa başvurmuşlardır. Bu gülerde, güvelrlk aalzde çalışır durum ve bozulmuş durumla brlkte Markov model yaygı bçmde kullaılmaktadır. Elsayed ve Zebb (979), çok durumlu araçları aalz etmşlerdr..5. Teork Metodlar Dğer alalarda kullaıla br çok teork metod güvelrlk aalz ç de uygulaablr. E popüler metodlarda bazıları kuyruk teors, asmptotk (kavuşmaz) aalz, Boole cebr, Bayes yaklaşımıı, Mote Carlo smülasyouu ve optmzasyou çerr. Dğerler geetk algortmayı (Tstmdels ve ark. 00) ve modüler ayrışımı (Bod 970) çerr.

28 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN.5.. Kuyruk Teors Barlow ve Huter (959), sstem güvelrlğ ç Markov modele başvurmuşlardır. Bharucha-Red (960) ve Kelso ve Koohara (960), sstem kullaılırlık ve bakımı çalışmalarıda kuyruk teors kullamışlardır. Breder ve Tater (96), bleşe yıkıcı hatalarıı etkler düşümek ç Markov tekkler kullaılableceğ göstermşlerdr. Pogozhev (964), hata ya da başarısızlık ç Posso sürec kullamıştır. Gedeko ve ark. (969), güvelrlk problemler, özellkle bakım ve yedekleme problemler, çözmek ç kuyruk teorse başvurmuşlardır. Solov yev (970a, 970b), sstem güvelrlğ ç kuyruk teorse başvurmuştur. Duga ve ark.(993), hata çere sstemler güvelrlk çalışmasıda Markov modeller kullamışlardır. Ouhb ve Lmos (999), sstem kullaılırlığı ve güvelrlğ çalışmasıda yarı Markov model kullamıştır. Frcks ve Trved (003), bleşe öem ölçüsüü hesaplamak ç Markov reward model (MRM) ortaya koymuştur. Lefebvre (003), Mote Carlo smülasyoua alteratf olarak faydasızlığı (kullaılmazlığı) hesaplamak ç hata oraı üzere yaşlama etks göstermek amacıyla homoje olmaya posso yötem (Nohomogeeous Posso Process-NHPP) kullamıştır..5.. Asmptotk Aalz Smth (954), yelee olayları sayısıı ve ou varyasıı asmptotk özellğ celemştr. Moore ve Shao (956), ağ güvelrlğ üzere asmptotk aalz yapmışlardır. Takacs (959), k durumlu metodu asmptotk dağılımıı hesaplamıştır. Gedeko (964a, 964b), kullaılablrlğ yüksek sstemler aalz ç asmptotk metodu kullamıştır. Pogozhev (964), k aahtar asmptotk teoremde br geelleştrmştr Boole Cebr Gates (95), Boole cebr sstemler güvelrlğ hesaplamak ç kullamıştır. Fratk (954), üç farklı durumlu bleşeler ç Boole cebre

29 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN başvurmuştur. Me (959), karmaşık sstemler göstermek ç Boole foksyolarıı kullamıştır Bayes Yaklaşımı Bazovsky (96), Mosteller ve ark. (96) güvelrlk ç Bayes teorem kullaımıı öermşlerdr. Martz ve Waller (98), güvelrlk aalzde Bayes yaklaşımıı kullaıldığı çalışmalar yayılamışlardır. Hultg ve Robso (994), oarılablr ser sstemlerde Bayes yaklaşımıı kullamıştır. Kerscher ve ark. (998), gelşmekte ola ye ürüler güvelrlğ teledrmek ç Bayes blgler kullaarak ye br yötem gelştrmşlerdr Mote Carlo Smülasyou Brçok durumda eştlk çözümler zorluğu edeyle tam br aaltk çözüm yapılamaz. Bu tp durumlarda problem çözmek ç Mote Carlo smülasyou popüler br alteratftr. Frstma (958), güvelrlğ tahm etmek ç Mote Carlo modeller kullamıştır. Blato ve Jacobs (96), güvelrlğ tahm ç Mote Carlo smülasyouu da çde buluduğu tekkler kullamıştır. Belyaev ve ark. (967), Mote Carlo smülasyouu kullaarak güve tahm üzere bazı souçlar elde etmştr Optmzasyo (E İyleme) Moskowtz ve Mclea (956), optmal fazlalık üzere lk çalışmayı yapmışlardır. Gordo (957), optmum bleşe fazlalığıı çalışmıştır. Bellma ve Dreyfus (958), optmal fazlalığı buluuşuda damk algortmaya başvurmuşlardır. Kettelle (96), optmal problem çözümü ç damk programlama algortmasıda etkl ve pratk br değşklk öermştr. Barlow ve ark. (963), k olası türde hatalı bleşeler ç optmal fazlalığı hesaplamışlardır. Barlow ve Proscha (965) çalışmalarıda optmal bakım ve optmal fazlalık problemler detaylı br suusuu vermştr. Proscha ve Bray (965), çoklu kısıtlamalar altıda güvelrlk ç e uygu metodları gelştrmşlerdr. Tllma ve ark. (980), 3

30 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ayça Hatce TÜRKAN optmzasyo metodları üzere daha ler gelşmlerle optmum sstem güvelrlğ çere br çalışma yapmışlardır..6. Dğerler Bu kısımda dğer bölümlerde olmaya tekk, teor ve metodlar celemştr. Lpp (957), karmaşık çok parçalı ser, paralel ağlar ç matematksel göstermler çıkarmıştır. Flehger (958), sstem farklı sevyelere fazlalık ekleyerek güvelrlğ gelştrmey öermştr. Phlpso (959), tüm güvelrlk şekl, ayrık aralıklar ç güvelrlkler bleşmlerde elde edlebldğ göstermştr. Kaufma ve Kaufma (960), her araç ç K faktör hesabı kullaımıı dahl edldğ üç tahm tekğ taımlamıştır. Cramer ve Kamps (000), her br hata üzere rsk oralarıı ayarlamak ç bölme katsayısıı kullaarak k -out-of- sıralı sstemler ömrüü matematksel gösterm çalışmışlardır. Tstmdels ve ark. (00), güvelrlk sıırlarıı bulmak ç geetk algortmayı kullamışlardır. Kerscher ve ark. (003), tahmde bulaık matığa (Fuzzy logc) başvurmuştur. Marseguerra ve ark. (003) güvelrlk tahm ç yapay sr ağlarıı kullamışlardır. 4

31 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR 3.. Güvelrlk Aalzde Kullaıla İstatstksel Dağılımlarla İlgl Temel Kavramlar ve Taımlar TANIM 3.. Değer br deey soucuyla belrtle br değşkee rastgele değşke der (Akdez 006). TANIM 3.. X br rastgele değşke olsu. X alableceğ değerler sayısı solu veya sayılablr sosuzlukta se X e keskl rastgele değşke der (Akdez 006). TANIM 3.3. X br rastgele değşke olsu. X br aralıkta ya da brde çok aralıkta her değer alablyorsa X e sürekl rastgele değşke der (Akdez 006). (,,..., N) TANIM 3.4. X solu sayıdak,...,, N değerler f ( ) P( X ), olasılıkları le alable keskl rastgele değşke olsu. Bu durumda aşağıdak koşulları sağlaya f ( ) foksyoua X olasılık foksyou der (Hogg ve Crag 995, Akdez 006).. f ( ) 0 N. f ( ), tüm ler ç TANIM 3.5. X, ( ), aralığıda taımlaa sürekl rastgele değşke olsu. Aşağıdak koşulları sağlaya f ( ) foksyoua X rastgele değşke olasılık yoğuluk foksyou der (Hogg ve Crag 995, Akdez 006). eşttr.). ( ) 0 f +. f ( ) d ( ( ) f eğrs altıda kala ve ekse le sıırlaa ala e 5

32 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN TANIM 3.6. X, f ( ) olasılık foksyoua sahp keskl rastgele değşke olsu. X dağılım foksyou, ( ) P( X ) f ( ) F (3.) dr (Evas ve ark. 993, Akdez 006). TANIM 3.7. X, f ( ) olasılık yoğuluk foksyoua sahp sürekl rastgele değşke olsu. X dağılım foksyou, ( ) f ( y) F dy (3.) dr (Evas ve ark. 993, Akdez 006). (,,..., N ) TANIM 3.8. X solu sayıdak,...,, N değerler f ( ) P( X ), olasılıkları le alable keskl rastgele değşke olsu. X beklee değer veya ortalaması, E ( X ), aşağıdak eştlkle verlr (Kapada ve ark. 005, Akdez 006). E N ( X ) f ( ) (3.3) TANIM 3.9. X, f ( ) olasılık yoğuluk foksyoua sahp sürekl rastgele değşke olsu. X beklee değer veya ortalaması, E ( X ), aşağıdak eştlkle verlr (Kapada ve ark. 005, Akdez 006). + ( X ) f ( ) E d + (3.4) 6

33 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN TANIM 3.0. X br rastgele değşke olsu. X ortalaması E ( X ) µ se X varyası, Var ( X ) veya Akdez 006). ( X ) E ( X ) σ aşağıdak gb taımlaır (Evas ve ark. 993, [ ] E( X ) ( E(X ) Var ) µ σ (3.5) TANIM 3.. X, f ( ) olasılık foksyoua sahp keskl br rastgele değşke olsu. X rastgele değşke momet çıkara foksyou, M ( t) E( ( t) ) ep( t) f ( ) ep (3.6) eştlğ le fade edlr (Evas ve ark. 993). TANIM 3.. X, f ( ) olasılık yoğuluk foksyoua sahp sürekl br rastgele değşke olsu. X rastgele değşke momet çıkara foksyou, M + () t E( ( t) ) ep( t) f ( ) ep d (3.7) eştlğ le fade edlr (Evas ve ark. 993). TANIM 3.3. X, f ( ) olasılık foksyoua sahp keskl br rastgele değşke olsu. ( ) r g foksyouu beklee değere X rastgele değşke sıfır etrafıdak r. momet der. momet, r r ( X ) f ( ) µ r le gösterle merkez ya da sıfır etrafıdak r. µ E (3.8) r veya 7

34 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN ( t) r d M µ r t 0 (3.9) r dt eştlğ le fade edlr (Kapada ve ark. 005). TANIM 3.4. X, f ( ) olasılık yoğuluk foksyoua sahp sürekl br rastgele değşke olsu. ( ) r değşke sıfır etrafıdak r. momet der. etrafıdak r. momet, g foksyouu beklee değere X rastgele µ r le gösterle merkez ya da sıfır r r ( X ) f ( ) + µ E d (3.0) r veya ( t) r d M µ r t 0 (3.) r dt eştlğ le fade edlr (Kapada ve ark. 005). değşke TANIM 3.5. f ( ) olasılık foksyoua sahp keskl br X rastgele µ r le gösterle ortalama etrafıdak r. momet, r r µ r E µ ( ) µ f (3.) dr (Kapada ve ark. 005). TANIM 3.6. f ( ) olasılık yoğuluk foksyoua sahp sürekl br X rastgele değşke µ r le gösterle ortalama etrafıdak r. momet, r + r E µ µ r µ f ( ) d (3.3) 8

35 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN dr (Kapada ve ark. 005). TANIM 3.7. Br dağılımı α 3 le gösterle çarpıklığı, µ 3 α 3 (3.4) 3 µ dr. Tek tepel dağılımlarda µ 0 se sola, µ 0 se sağa çarpıklık söz kousudur. 3 3 µ 0 3 se dağılım smetrktr (Hah ve Shapro 967). TANIM 3.8. Br dağılımı α 4 le gösterle svrlğ, µ α 4 (3.5) µ 4 dr. Dağılımları svr ya da basık olmaları kousuda yorum stadart ormal dağılıma göre yapılır. Stadart ormal dağılımı svrlğ üçtür. α 3 se dağılım stadart ormal dağılımda daha svr, α 3 se dağılım stadart ormal dağılımda daha basıktır (Hah ve Shapro 967). 4 4 TANIM 3.9. Br X rastgele değşke modu, e yüksek olasılığa sahp rastgele değşke değerdr (Evas ve ark. 993). TANIM 3.0. f ( ) olasılık foksyoua sahp keskl tptek br X rastgele değşke medyaı, ( u) f 0. 5 (3.6) u eştlğ sağlaya X değerdr (Evas ve ark. 993). 9

36 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN TANIM 3.. f ( ) olasılık yoğuluk foksyoua sahp sürekl tptek br X rastgele değşke medyaı, ( u) f du 0. 5 (3.7) eştlğ sağlaya X değerdr (Evas ve ark. 993). TANIM 3.. f ( ) olasılık yoğuluk foksyoua sahp sürekl br X rastgele değşke dağılım foksyou foksyou F ( ) olmak üzere, h ( ) ( ) F( ) f (3.8) foksyoua rsk foksyou der (Ireso ve ark. 996). TANIM 3.3. X ve X sürekl rastgele değşkeler se, (, ) P( X X ) f (3.9), şeklde verle ve aşağıdak koşulları sağlaya foksyo ( ) X, X değerler ç ortak olasılık yoğuluk foksyou veya ortak olasılık dağılımı olarak adladırılır (Hogg ve Crag 995).. ( ) 0 f + +,. f ( ) d ( ( ), d sıırlaa ala e eşttr.) f, eğrs altıda kala ve ekse le foksyoları, TANIM 3.4. X ve X sürekl rastgele değşkeler se ortak dağılım ( ) P( X, X ) f ( u, v), F dudv (3.0) 0

37 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN şekldedr (Kapada ve ark. 005). TANIM 3.5. X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları f (, ) olsu. X marjal olasılık foksyou, + ( ) f ( ) f, d (3.) şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM 3.6. X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları f (, ) olsu. X marjal olasılık foksyou, + ( ) f ( ) f, d (3.) şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM 3.7. X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları ( ), dağılımı, ( / ) (, ) f ( ) f olsu. X verlmşke X koşullu f f (3.3) şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM 3.8. X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları ( ), dağılımı, ( / ) (, ) f ( ) f olsu. X verlmşke X koşullu f f (3.4)

38 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM 3.9. X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları ( ), beklee değer, E ( X X ) f olsu. X verlmşke X koşullu (, ) f ( ) f / d (3.5) + şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları ( ), beklee değer, E ( X X ) f olsu. X verlmşke X koşullu (, ) f ( ) f / d (3.6) + şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM 3.3. X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları f (, ) olsu. X ve X rastgele değşkeler ortak momet çıkara foksyou, + +,, dd ( t t ) E( ep( t + t )) ep( t + t ) f ( ) M (3.7) eştlğ le verlr (Hogg ve Crag 995). TANIM 3.3. X ve X sürekl rastgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyoları f (, ) olsu. X rastgele değşke ortalaması µ ; X rastgele değşke ortalaması µ olsu. X ve X rastgele değşkeler kovaryası,

39 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN Cov ( X X ) E [( X )( X µ )] E ( X X ) E ( X ) E ( ) µ (3.8), X şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM X ve X sürekl rastgele değşkeler olsular. X rastgele değşke varyası σ ; X rastgele değşke varyası σ olsu. X ve X rastgele değşkeler korelasyo katsayısı ρ, ρ ( X, X ) Cov σ σ (3.9) eştlğ le verlr (Hogg ve Crag 995). TANIM X ve X sürekl rastgele değşkeler olsular. X rastgele değşke varyası σ, X ve X rastgele değşkeler korelasyo katsayısı ρ olsu. X verlmşke X koşullu varyası, ( X / X ) σ ( ρ ) Var (3.30) şekldedr (Hogg ve Crag 995). TANIM X ve X sürekl rastgele değşkeler olsular. X rastgele değşke varyası σ, X ve X rastgele değşkeler korelasyo katsayısı ρ olsu. X verlmşke X koşullu varyası, ( X / X ) σ ( ρ ) Var (3.3) şekldedr (Hogg ve Crag 995). 3

40 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN 3.. Güvelrlk Kousuda Temel Açıklamalar 3... Br Ürüü Güvelrlğ Br ürü ç güvelrlk, sağlıklı çalışmasıa devam etme olasılığı olarak taımlaablr. Güvelrlk zamala azalırke, güvelmezlk zamala artar. Herhag br zamada, br ürü ya şler durumdadır ya da arızalı/çalışamaz durumdadır. Başarısızlık olasılığı güvelmezlk, başarı olasılığı güvelrlk olarak fade edleblr. Güvelrlk ve güvelmezlk foksyoları ç sırasıyla R ( t) ve F ( t) göstermler kullaılmıştır. Güvelrlk foksyou ç bazı uygulamalarda R ( t) yere S ( t) kullaımı terch edlr. Buu ede de güvelrlk yere sağ kalım fades kullaılmasıdır. sayıdak özdeş bleşeler br teste tab tutulsu. ( t t, t) 0 aralığıda, b ( t) sayıdak bleşe başarısız olduğu, ( t) zama s sayıdak bleşe se sağ kaldığı gözles ( ( t) + ( t) ). Bu durumda t aıda ( t) güvelrlk, R () t b s 0 s ( t) () t + () t ( t) s 0 R le gösterle (3.3) s b olur. Dğer br fadeyle t zamaa karşı dayama rastgele değşke se, t aıda güvelrlk foksyou, ( t) P( T t) R (3.33) şeklde fade edlr (Kadfel 987). Böylece, ( t) + F( t) R (3.34) 4

41 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN dr. Ya, t aıda br ürüü güvelrlğ le başarısızlık olasılığı toplamı dr. Zamaa karşı dayama rastgele değşke t, f ( t) olasılık yoğuluk foksyoua sahp se (3.34) eştlğde, R () t F() t f ( u) t du (3.35) 0 elde edlr (Kadfel 987). (3.35) eştlğ t ye göre türev alıırsa, dr dt ( t) () t f (3.36) buluur (Elsayed 996). güvelmezlk güvelrlk f(t) P(t<a) Şekl 3.. Güvelrlk ve güvelmezlk arasıdak lşk. ( Koşullu Güvelrlk Foksyou a t Koşullu güvelrlk hesaplamaları, daha öce belrl br sürede şlev başarıyla tamamladığı ble br üte özel br sürede şlev başarıyla 5

42 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN tamamlaması olasılığıı hesaplama olaağı sağlar. Öyleyse, koşullu güvelrlk foksyou kullaılmış ekpmaları güvelrlğ olarak düşüüleblr. GÖREV : görev görev SÜRE : süret süret SONUÇ : başarılı blmyor ( Burada t : ye görev ç süre ve T : başarıyla tamamlamış esk göreve at süre olmak üzere koşullu güvelrlk foksyou R ( t T) ( + t) R( T) R T / (3.37) eştlğ le verlr Oarılamaz Parçalar Oarılamaz br ürüde bulua N tae parça T süresce test edls ve gerçekleşe hatalar/arızalar kaydedls. T süresce N parçada hata/arıza gözledğ ve. hataı/arızaı T de gerçekleştğ varsayılır. Bua göre, N parça N T ç toplam dayama süres dr. Ortalama dayama süres se MTTF N N T (3.38) eştlğ le verlr. λ le gösterle ortalama hata oraı da 6

43 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN N λ (3.39) N T şekldedr. Görüldüğü gb ortalama hata oraı, ortalama dayama süres çarpmaya göre tersdr. t T de N taes çalışır durumda ola parçaları sayısı olacaktır. Bua bağlı olarak, R ( N ), t 0 da ke t T de 0 olur. N t T de 0 Şekl 3.. Oarılamaz ürü ç zamaa bağımlı güvelrlk foksyou (Betley 993). Şekl 3. celedğde. dkdörtge ç yükseklk, uzuluk T ve ala N T dr. Böylece MTTF, grafğ altıdak alaa eşttr. N ke R keskl N güvelrlk foksyou, sürekl güvelrlk foksyou olur. Böylece, R ( t) altıdak T 0 ala R() t dt olur. Geel olarak, sürekl güvelrlk foksyou csde MTTF, 7

44 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN 0 () t MTTF R dt (3.40) şeklde fade edlr (Betley 993). MTTF, zamaa karşı dayama süres ç kullaıla rastgele değşke beklee değer ya da ortalamasıdır (Ireso ve ark 996, Elsayed 996) Oarılablr Parçalar Oarılablr ürüde bulua N tae parça T süresce test edls. T D : j hataı/arızaı gerçekleştğ zamala, arızalı parçaı oarılmış olarak yere koup çalışmaya başladığı zama arasıda geçe sürey, ya arıza/çalışmama süres gösters. Bua göre, N F hata/arıza sayısı olmak üzere toplam N T D j F arıza/çalışmama süres, dr. Şekl 3.3. Oarılablr ürüde hata/başarısızlık umues (Betley 993). Bu durumda ortalama çalışmama süres, 8

45 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN MDT N F N F j T D j (3.4) olarak taımlaır. Ayrıca çalışma süres, F Çalışma süres NT T N j D j NT N F MDT (3.4) dr. Ortalama dayama süres se MTBF NT N N F (3.43) F MDT bçmdedr. Ortalama hata oraı da N F λ (3.44) NT N MDT F olarak fade edlr. Görüldüğü gb ortalama hata oraı, hatalar arası ortalama süre çarpmaya göre tersdr. A le gösterle kullaılablrlk toplam çalışma süres test sürese bölümüdür. N F MTBF MTBF A (3.45) N MTBF + N MDT MTBF + MDT F F U le gösterle kullaılmazlık se toplam arıza/çalışmama süres test sürese bölümüdür. U MDT (3.46) MTBF + MDT So k eştlk yardımıyla, A +U (3.47) 9

46 3. TEMEL TANIM VE AÇIKLAMALAR Ayça Hatce TÜRKAN buluur (Betley 993, Adrews ve Moss 00) Rsk Oraı Foksyouu Geel Formu [ ] t zama aralığıda, br bleşe başarısızlık olasılığı,,t t f () t dt F( t) F( t) R( t) R( t) (3.48) t şeklde yazılablr (Elsayed 996). t aıda öce br hataı gerçekleşmedğ blyorke [ ] t aralığıda brm zamada başarısızlık olasılığı hata oraı olarak,t taımlaır. Hata oraı, P ( t T < t/ T > t) P( t T < t) t t ( t t ) P( T > t ) F( t) F( t) ( t t ) R( t ) (3.49) eştlğ le verlr (Kadfel 987). Hata oraı güvelrlk foksyou yardımıyla, P ( t T < t/ T > t) R( t) R( t) t t ( t t ) R( t ) (3.50) olarak yazılır. (3.50) dek eştlkte t, t ve t, t + t le yer değştrlrse bu eştlk P ( t T < t/ T > t ) R( t) R( t + t) t t tr() t (3.5) olarak yede yazılablr. Dğer tarafta rsk foksyou, t sıfıra yaklaşırke hata oraıı lmt olarak taımlaır. Ya rsk foksyou, alık hata oraıdır. Böylece rsk foksyou, h () t ( t) R( t + t) tr() t R() t lm R d R() t 0 dt t (3.5) şeklde elde edlr. (3.36) dak eştlk yardımıyla, 30