Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Transkript

1 MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a) biçimleri yle gösterilebilirler. Denklemler ve eşitsizlikler açık önerm elerdir Örnek...1 : P(x): x bir tamsayı ve x 10 önermesi x=-1,3 için doğru x=5 için yanlıştır. Doğruluk Kümesi : Açık önermeyi doğru yapan değerlerin kümesine doğruluk k ümesi denir. Örnek... : P(x): x bir tamsayı ve x 10 önermesinin doğruluk kümesi D ise bu kümeyi bulunuz. Örnek...3 : P(x): x bir tamsayı,(x-)(x-1)(x+3)=0 önerm esinin doğruluk küm esini bulunuz. NİCELEYİCİLER Kesin olarak doğru veya yanlış hüküm içeren ifadelere önerme denir. Matematikte bazı, her, bir tek gibi niceleyicilerle de yapılan önermeler vardır. Örnek...6 : p: Bazı doğal sayılar asaldır. q: Her reel sayının karesi 0'dan büyüktür Bazı nicele yi cisi ile ya pılan önerm elerin doğruluğunu gösterebilmek için en az bir doğru örnek gösterilebilmesi ; her niceleyicisi ile yapılan önermelerin doğru olmadığını gösterebilmek için bir tane yanl ış örnek gösterm ek yeterlidir. Örnek...7 : p: Bazı Doğal sayılar tektir. q: her reel sayı çifttir. r: her sa yı 15 e kalansız olarak bölünebilir. önerm elerinin doğruluk değerlerini bulunu z Matematikte varlıksal niceleyici denen bazı sözcüğü sembolü ile ; evrensel niceleyici denilen her sözcüğü ise sembolü ile ; bir tek niceleyicisi ise! veya sembolü ile belirtilirler. Örnek...4 : P(x,y): x,y birer doğal sayı,3x+y=30 önerm esinin doğruluk küm esini bulunuz. Bazı niceleyicisinin olumsuzu her nicele yi cisi ; her nicele yicisinin olum suzu ise bazı nicele yicisidir. Örnek...5 : P(x,y): x,y birer doğal sayı, x+5y=0 önermesi için P(10,k) 1 ise k kaçtır? Örnek...8 : p: Bazı sayılar asaldır, önermesinin olumsuzu p ı : Her sayı asal değildir, önermesidir. Denklemler ve eşitsizlikler açık önerm lerdir Verilen bir önermeyi q(x) ve bu önermenin olumsuzunu q ı (x) ile gösteri yo rsak q(x) : x : p(x) önermesin olumsuzu q ı (x) : x : p(x) değil önermesi olur. 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 1/6

2 MANTIK Örnek...9 : Önerm elerin değillerini bulunuz p: Bazı doğal sayılar asaldır. q: Her tamsayı 5'e kalansız bölünür r: x R : x +x 0 t:( x R :4 x 0) ( x R :x > 1) Örnek...11 : p: a ve b iki tek sayı ise a.b de tektir. önerm esi bir teorem dir. Bu teoremde hipote z: hüküm: Teoremin ispatlanması : Teoremin doğruluğunun gösterilmesi işlemine teorem in ispatlanm ası denir. Örnek...10 : Önerm enin değilini bulunuz t:( x R :x 0) ( x R :x > 1) Matematiksel İspat Tümdengelim Tümevarım s: Bazı günler tatilse her doğal sayı asaldır. Bir terimin kapsamını, niteliklerini belirleme amaçlı açıklamaya tanım denir. Bir terimin belirlenmesi amacıyla tanımlı veya tanımsız terimler kullanılmasına terimi tanımlama deriz. Aksiyom Doğru olduğu ispatlanmadan kabul edilen önermelere aksiyom denir. Örneğin iki noktadan bir doğru geçer önermesi bir geometri aksiyomdur. Doğrudan İspat Dolaylı İspat a) Olmayana ergi b) Çelişki bulma c) Deneme Yöntemi d) Aksine Örnek verme Doğrudan ispat : Hipotez doğru kabul edilir, hük mün de doğru olduğu gösterilir. Örnek...1 : x-3=7 ise x=5 tir teoremini doğrudan ispat m etodu ile ispatla yın ız. Teorem Doğruluğu gösterilen önerm elere teorem denir. Teoremler p doğru iken p q içimindeki doğru önermelerdir. Buradaki p q önermesine de p ye teoremin hipotezi(varsayım) q ya ise teoremin hükmü (yargı) denir. Örnek...13 : p: a ve b iki tek sayı ise a+b çifttir önermesini doğrudan ispat yöntemiyle ispatla yın ız. 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /6

3 MANTIK Olmayana Ergi (Karşıt ters) Yöntemi : p q yerine buna denk olan q' p' önerm esinin doğru olduğu gösterilir. Örnek...14 : x 16 ise x 4 önermesini olmayana ergi metodu ile ispatla yın ız. Deneme Yöntemi : Değişkenin farklı değerleri önermenin doğruluğunun bakılmasıdır. Eğer verilen önermenin doğru olmadığını gösteren en az bir örnek varsa bu önermenin yanlış olduğu ispatlanm ış olur. (Burada niceleyicilere dikkat edilmesi koşulu vardır) Örnek...17 : En az bir x doğal sayı değeri için x 3-10x > 0 olduğunu gösteriniz ( denem e yöntem i yle) Çelişki Yöntemi : p q önermesinin doğruluğunu göstermek için p q önermesinin değilinin yanlışlığını göstermeye dayanan ispat türüdür. Hipotez kabul edilip yapılan işlemlerle hüküm kısmının değilinin yanlış olduğu gösterilirek (hükümün değilinin yanlışlığı dolayısıyla hükmün doğru olduğu gösterilerek) çelişk i elde edilir. Örnek...15 : P: x=5 ise x =5 teoremini çelişki bulma yolu yla ispat edini z. Örnek...18 : p: her reel sayının karesi 1 den büyüktür önerm esi doğru bir önermedir? ( Ak sine örnek vererek ispatla yın ız) Örnek...16 : p: a tek sayı ise a de tektir önermesini çelişki bulma yöntemiyle ispatlayınız. 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 3/6

4 MANTIK TÜMEVARIM Matematikte ispatlar tümevarım ve tümdengelim olmak üzere iki farklı akıl yürütme yöntemiyle yapılır. Tümdengelim ile tümevarım ilkeleri birbirinin zıttı olan yöntemlerdir. Tümdengelim ilkesinde genelden özele gidilir. Tümevarım yönteminde özelden genele gidilir. Çevremizde gerçekleşen olayları açıklayabilmek için yaptığım ız ölçme, gözlem ve deneyler sonucunda kesin olmasada çevremizdeki olayları tahmin etmeye çalışırız. Matematiksel tümevarım ilkesiyle ulaşılan sonuç kesindir. Matematiksel Tümevarım ilkesi : Bu bölümde incelenecek önermeler herhangi bir n doğal sayısından büyük veya eşit tüm doğal sayılar için geçerli önerm eleri içerm ek tedir. Sonsuz sayıda doğal sayı için belirtilen önermelerin doğruluğuna, sadece sınırlı sayıda doğal sayı denenerek karar verilem ez ( doğruluğu ispat edilem ez) Önerm eler genelde n n 0, P(n): Q(n) biçiminde olup Q(n) kısmında sayıların sağladığı özellik belirtilir. Örnek...19 : n 0,p (n ):(4n+1) n! açık önermesini ele alalım. P(0): (1) =1 0!=1 doğru P(1): (5 ) =5 1!=1 doğru P(): (9) =81!= doğru benzer şekilde n=6 ya kadar ifadeler doğru ama sonrasında ise yanlıştır.dolayısıyla sadece belli sayıda doğal sayı için doğruluk kontrol edilerek p(n) önermesinin doğruluğu söylenemez. Buradaki adımlar bir dominonun devrilen taşları gibi görülebilir. Şöyleki bütün domino taşlarının devrilmesi, ilk domino taşının devrilmesi ve bir sonraki domino taşını ardı ard ına devirm esi yle mümkün olabilir. Örnek...0 : n>0,p (n) : n= n.(n+1), (n N) önermesinin doğruluğunu tümevarım yöntemiyle araştırınız Adım 1 p(1): 1= 1.(1+1) Adım olsun. doğru n>0,p (k ): k= k.(k+1) doğru Bizim göstermemiz gereken (k+1).(k+ ) n>0,p (k+1 ): k+1= olduğudur. (k+1).(k + ) k+1= İfadesini elde etm ek için doğru olduğunu varsaydığımız k.(k +1 ) k= eşitliğininin her iki yanına k+1 ekleyelim k+(k+1)= k.(k+1 ) + (k+1) k. (k+1) P (k+1)= +(k+1)=(k+1) ( k +1 (k+1) (k+) ) = bu ise aranan eşitlik tir. Dolayısıyla verilen P(n) her n>0 için doğrudur. n bir doğal sayı olmak üzere önermelerin doğruluğunu araştırınız Örnek...1 : n>0,p (n): n=n. (n+1) Tümevarım ilkesiyle bir önermenin doğruluğun u göstermek için : Adım 1 p(n) önermesi verilen koşulu sağladığı iddia edilen en küçük doğal sayı n = a için doğru olmalı Adım k>a olmak üzere, p(n) önermesi n = k için ( p(k) önermesi ) doğru varsayıldığında n = k + 1 için de doğru olduğu gösterilebilm edir. 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 4/6

5 MANTIK Örnek... : n>0,p (n): (n 1) = n olduğunu tüm evarım yöntem i yle gösteriniz Örnek...5 : n>0,p (n):1+r+r +r r n-1 = 1 rn 1 r Örnek...3 : n>0,p (n): n. (n+1)= n. (n+1 )(n+ ) 3 Örnek...6 : n 0,P(n): 1. 1! +.! ! n. n! = (n + 1)! -1 olduğunu tüm evar ım yö ntem i yle gösterini z Örnek...4 : n>0,p (n): n = n.(n+1 )(n+1 ) Sınıf Matematik Konu Anlatımı 5/6

6 MANTIK ALIŞTIRMALAR 1) t:( x N :x x 1) önermesinin değilini bulunuz 6) n 0 3 n n. n olduğunu tümevarım yöntemiyle gösteriniz ) t:( x Z :4 x 0) ( x N :-x 3) önermesinin karşıt tersi nedir? n bir doğal sayı olmak üzere, önermelerin doğruluğunu araştır ın ız. ( 3-6) 3) n>3,p (n):n!>3 n 7) p: a ve b iki tek sayı ise a.b de tektir önermesini doğrudan ispat yöntemiyle ispatlayınız. 4) n 0, p(n): 7 n -1 sayısı ile bölünebilir. 8) P: sonsuz sayıda asal sayı vardır önermesini çelişki bulma yoluyla ispat ediniz. 5) n>0,p (n):n 3 n sayısı 3 ile bölünebilir. 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 6/6