tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır."

Transkript

1 . OLASILIK TEORİSİ İstatistisel araştırmaları temel oularıda biri soucu öcede esi olara bilimeye bazı şasa bağlı olayları (deemeleri) olası tüm mümü souçlarıı hagi sılıla ortaya çıtığıı belirleyebilmetir. Bu soru istatistite olasılı problemi olara adladırılır ve deemeleri bezer oşullarda terarlaabildiği durumlarda çözüm bulma mümüdür. Taım: Olasılı, bir olayı ortaya çıma şasıı taımlaya, 0 ile arasıda bir sayıdır. Taım (Rassal Deey): Souç gözleiceye adar çıtısı bilimeye deeyler, rassal deeylerdir. Çözümü il aşaması rassal deeyi tüm mümü çıtılarıı belirlemesidir. Öreği bir paraı ii ez atılması soucuda üst yüze gele sembolleri tüm mümü durumları bir ümei elemaları olara; T, T, T, Y, Y, T, Y Y S e :, taımlaabilir. Bu edele olasılı ousu üme teorisii bir araç olara ullamatadır.. KÜME TEORİSİ Bu ısımda ümeler A, B gibi büyü harfler ile gösterilecelerdir. Taım (Öre Uzayı): Bir rassal deeyi tüm mümü çıtılarıı ümesi S, bu deeyi öre uzayı olara adladırılır. Öre uzayı içerdiği elema sayısı açısıda ii sııfa ayrılır: a) Sayılabilir (solu/sosuz) elemalı b) Sayılamaz (sosuz) elemalı Eğer bir öre uzayıı elemaları, tam sayıları bir alt ümesi ile birebir ilişili ise öre uzayı sayılabilir elemalıdır. Ayrıca bir öre uzayı solu sayıda elemaa sahip ise sayılabilirdir. Bir ümei elemaları pozitif tam sayılar ümesi ile bire bir eşleşebiliyor ise sayılabilir sosuz elemalı ümedir. Bir diğer öre de pozitif rasyoel sayılar ümesidir. Bu yapıdai ümeler elema sayısı solu ya da sosuz olsa da geellile sayılabilir ümeler olara adladırılırlar. Sayılamayaca adar ço (sosuz) elemaa sahip ümeler içi verilebilece öre, tüm gerçel sayıları taımladığı ümedir. Reel sayıları sayma mümü değildir. Bu tip ümeler daha sora iceleecetir. Sayılabilir ve sayılamaz elemalı öre uzayları arasıdai far sadece ataaca olasılıları belirlemesi açısıda öemlidir.

2 Bazı rassal deemeleri souçlarıda ölçüle özelli sayısı ii ya da daha fazla olabilir. Öreği bir lamba üzeride hem ürettiği ısı eerjisi mitarı X hem de yaydığı ısı eerjisi mitarı Y ölçülebilir. Bu durumda öre uzayı her ii özelliğe ait ümeleri artezye çarpımıda XY elde edilir: S, y : 0 ve0 y Buraya adar ola ısımda rassal bir deeyi tüm mümü souçlarıı göstere öre uzayı S taıtıldı. Faat S bir ümedir ve üme teorisiyle rassallığı matematisel formülasyouu ortaya oymatadır. Bu aşamada sora yapılması geree bir şeyi rassal olara mı ortaya çıtığı ya da bir olay mı olduğuu formülize edilmesidir. Taım (Basit olay): S öre uzayıı oluştura her bir e elemaıa basit olay deir. Taım (Bileşi olay): Bir öre uzayıı herhagi bir alt ümesi (S i ediside dahil) bir olay olara adladırılır. Rassal olayları ümeler ciside ifade edilmesi, olayları tüm mümü birleştirilme ya da maipüle edilmesi durumlarıı üme teorisii yardımıyla belirleebilmesie olaa sağlar. Öreği olaylar ayı zamada meydaa gele, alteratif, arşıt vb gibi taımlaabilir. Öre: Rassal bir deeyi sııftai bir işii seçilmesi ve ampüse asıl geldiği sorusua verdiği cevap olduğu varsayılsı. Yuarıdai şeil öre uzayı içerisidei olayları göstermetedir ve Ve Diyagramı olara adladırılır. Bir öre uzayı içi taımlaa ii uç durum vardır. Biricisi S ümesii taımladığı e büyü alt üme edisidir. İici uç durum ise boş ümedir.

3 Taım (Boş Küme): Elemaı olmaya üme boş Ø ümedir. A= Ø. Bir A ümesidei elema sayısı ümei hacmi (size) olara adladırılır ve A ile gösterilir. Burada A egatif olmaya bir tam sayıdır ve Ø=0 olara taımlaır. Olasılıla ilgili ifadelerde geellile bir ümei olasılığı yerie bir olayı olasılığıda bahsedilir. İl olara ümeleri (olayları) sıralama ve deliğii taımlaya ii ilişi aşağıda verilmiştir: Taım (Kapsama): Eğer A ümesii her elemaı B ümesi tarafıda içeriliyor ise B ümesi A ümesii apsar ve A ümesi B ümesii bir alt ümesidir. A B A B Diğer bir gösterim ise A B şelidedir. Taım (Eşitli): Eğer ii üme tamame ayı elemalara sahip ise eşittir. A B A B ve B A. ELEMANTER KÜME İŞLEMLERİ Herhagi ii olay (veya üme) A ve B verilmiş olsu. Birleşme: A ve B ümelerii birleşimi, A ya da B ümelerie ait elemaları ümesidir: A B : Aveya B Biraç farlı alteratifte oluşa bir olay taımlama istesi. Öreği ampüse gelire ullaıla motorlu taşıt olayı ya araba ya otobüs ya da her iisi birlite ullaılara gerçeleştirilebilir. Bu seyahat ümesii gösterilmesi içi hem arabaı tüm mümü çıtılarıı hem de otobüsü tüm mümü çıtılarıı işaretlemesi gereir.

4 Not: ve ve ya da ifadeleri birbirie arıştırılmamalıdır. Araba ve otobüsü birleşimi gösterme içi araba ve otobüstei her yeri işaretlemesi gereir. Birleşimi ve mi ya da mı ile ifade edildiğii hatırlama içi taralı aladai bir olayı eleri sağlaması gereir soruu göz öüe alıması gereir. Kesişim: A ve B ümelerii esişimi, hem A hem de B ümelerie ait elemaları ümesidir: A B : Ave B Kesişim ii ya da daha fazla olayı hepsii birlite meydaa gelmesiyle oluşa bir olaydır. Öreği, ampüse yapıla seyahati hem araba hem de tre ile gerçeleştiği varsayılsı. Bu olayı gösterilmesi içi araba ve tre olaylarıı çaıştığı bölgedei tüm çıtıları işaretlemesi gereir. Tümleye: A ümesii tümleyei, A ümeside olmaya tüm elemaları ümesidir: A c : A Bir olayı tümleyei, o olayı tersidir. Olay eyi temsil ediyorsa, tümleyei o olayı gerçeleşmemesidir. Öreği ampüse yapıla seyahat yürümeyi içermiyor olsu. Bu olayı gösterme içi S de yürüme haricidei tüm çıtıları işaretlemesi gereir.

5 Ayrıca S c =Ø ve Ø c =S olup (A c ) c =A özdeşlileri geçerlidir. Kesişim ve tümleye işlemlerii bir ombiasyou ola Far işlemi ise ileride açılamıştır. Öreler: Deey: Sııfta bir işii rassal olara seçilmesi Öre Uzayı: S = { Sııftai tüm işiler } A olayı A = işii ere olması ve B olayı B = işii bisiletle ampüse gelmiş olması olsu. Oula bisilet ile gelmemiş ola bir ereği seçildiği varsayılsı. Bua göre aşağıdai olaylar gerçeleşip gerçeleşmemelerie göre icelemiştir. ) A evet ) B hayır 3) A hayır 4) B evet 5) A B = {adı veya bisilet ullaıcısı ya da her iisi} hayır 6) A B = {ere ve bisilet ullamaya} evet 7) A B = {ere ve bisilet ullaa} hayır 8) A B c = A B dışıdai herşey. A B gerçeleşmediği içi A B c gerçeleşmiştir. Ve diyagramları geellile üç olaya adar ullaışlıdır. Bu yüzde ispatlarda ullaılmazlar. Üçte daha fazla olaylar içi bu diyagram çaışmaları göstermede yetersiz olabilir. Öreği,

6 S S S S Bazı öemli üme işlemleri aşağıdai teorem ile taımlamıştır. Teorem: Öre uzayı S üzeride üç olay (üme) A, B, C taımlamış olsu. Burada paratezler işlem sırasıı taımlar ve olduça öemlidir. Öreği (AB)C ümesi A(BC) ümeside farlıdır. Değişme (Commutativity): AB= BA AB= BA Birleşme (Associativity) : A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C Dağılma (Distributive) : A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) De Morga : (AB) c =A c B c (AB) c =A c B c İspat. Sadece De Morga Kuralları ili ispatlaacatır. İspat ii aşamalıdır. İl adımda c c c A B A B olduğu gösterilsi:

7 A B c olsu. Bu durumda A B olmalıdır. Souç olara; A ve B. Bu edele soucu: c A ve c B, diğer bir deyişle; c c A B buluur. İl adımı c c c A B A B İici adımda c c c A B A B olduğu gösterilsi: c c A B olsu. Bu durumda B. Bu edele A B soucu: c A ve, diğer bir deyişle; c c B olmalıdır. Souç olara; A ve A B buluur. İici adımı A c B c A B c Her ii adımı soucu birlite değerledirildiğide: A c B c A B c. Küme teorisi üzerie taımlaa olaylar geel olara ii gruba ayrılırlar: Ayrı olaylar ve eşalı olaylar olma üzere, tümleye olaylar ayrı olayları özel bir durumudur. Eşalı olaylar ise edi içide bağımsız ve bağımlı olaylar olara iiye ayrılırlar. Taım (Eşalı olaylar): Herhagi ii olay A ve B eğer AB ise eşalı olaylardır. Taım (Tümleye olaylar): Herhagi ii olay A ve B eğer AB=S ise tümleye olaylardır. Taım (Ayrı olaylar): İi olay A ve B eğer AB= ise ayrı olaylardır. Buu alamı: A ve B olayları birlite ortaya çıamazlar. Eğer A ortaya çıarsa B olayıı dışlar ve tam tersi de geçerlidir. S Verile A, A, olayları eğer tüm i j içi A i A j = ise iişerli olara ayrı olaylardır. İide fazla ümei, öreği A, B, C çifterli olara ayrı olmaları, AB= AC= BC=

8 durumuda oları hepsii de ayrı olduğu ABC= söyleebilir. Buu tersi geçerli değildir. S Taım (Kümei bölümlemesi): Eğer A, A, çifterli olara ayrı ise ve A, ümeleri S ümesii bir bölümlemesii taımlar. A S ise A, i Bir öre uzayıı birbiride ayrı ümelere ayrıştırılması bölümleme olara adladırılır. Herhagi bir A ümesi içi, S= c A A S i bölümesiyle elde edile B, B, B3, B4 S i bölümleri B,..., B5 S S Not: Herhagi bir B olayı içi B ve B, S i bölümleridir. Herhagi ayrı A ve B ümeleri içi, S=(AA c )(BB c ) =(AB)(AB c )(A c B)(A c B c ) ve herhagi bir ii yölü sııflama, ii ayrı olayı taımlaması, üzerie üçücü bir C olayıı taımlaması ile, S=(AA c )(BB c )(CC c )

9 =(ABC)(ABC c )(AB c C)(A c BC)(A c B c C)(A c BC c ) (AB c C c )(A c B c C c ) olara elde edilir. Böyle bir ayrışımı bileşeleri atom olara adladırılır. Yuarıdai örelerde sırası ile, 4, 8 adet atom vardır. Geel olara adet üme içi adet atom vardır. Bu öre uzayı üzerie taımlaa herhagi bir üme bazı atomları birleşimi olara yazılabilir. Far (Differece): A\B ümesi A ümesie ait olup B ümesie ait olmaya elemaları ümesidir. A\B=AB c =: A ve B Bu işlem değişme ve birleşme özellilerie sahip değildir. Öreği birleşme özelliğii geçerli olmadığı, (A\B)\CA\(B\C) ifadeside görülebilir. Taım (Sigma Cebri): S i alt ümelerii bir olesiyou eğer aşağıdai üç özelliği sağlıyorsa sigma cebri olara adladırılır ve β ile gösterilir. a) (boş üme β i elemaıdır) b) Eğer A ise A c (tümleye işlemie göre apalılı) i c) Eğer A,A,... ise A i olur (sayılabilir sayıda birleşim işlemie göre apalılı). Boş üme Ø, herhagi bir ümei alt ümesidir. Bu edele ØS. Özelli (a) bu alt seti daima sigma cebrie dahil olduğuu belirtir. S=Ø c olduğuda özelli (a) ve (b) S ümesii de daima β ye dahil olduğuu belirtir. Ayrıca De Morga auları ullaılara β i sayılabilir esişimler altıda apalı olduğu görülebilir. Eğer i C i A,A,... ise bu durumda C C A,A,... dir, (özelli b ile) ve A olur. Buula birlite De Morga auu ullaılara, C C A i i i buluur ve özelli (b) ile A i buluur. i A i

10 Öre uzayı S ye ait birço farlı sigma cebri taımlaabilir. Öreği {Ø, S} şelidei ii adet ümei olesiyou bir sigma cebridir ve trivial sigma cebri olara adladırılır. Eğer S solu ya da sayılabilir ise bu öre uzayı üzeride bir sigma cebri olduça olay bir şeilde taımlaır: =S i tüm alt ümeleri, S i edisi Eğer S ümesi adet elemaa sahip ise β dei üme sayısı adettir. Öreği eğer S={,,3} ise β, 3 =8 ümei olesiyouda, ={}, {}, {3}, {,}, {,3}, {,3},{,,3}, Ø oluşur. Eğer S ümesii elemaları sayılamıyor ise bu durumda β yi taımlama zor olabilir. Buula birlite β, ilgileile herhagi bir ümeyi içerece şeilde seçilebilir. Öreği S=(-,) gerçel sayılar ümesi olara taımlamış ise β cebri, [a,b], (a,b], [a,b), (a,b) şelidei tüm ümeleri içerece şeilde seçilebilir. Burada a ve b tüm gerçel sayıları taımlar. Bu durumda β, yuarıda taımlaa ümeleri, mümü sayılabilir sosuz, birleşim ve esişim işlemleri ile elde edilebilece tüm ümeleri içerir..3 OLASILIK TEORİSİNİN TEMELLERİ Bir rassal deeyi çıtısı öre uzayıdai bir elemadır. Rassal deeyi terarlı olara uygulaması durumuda bir çıtıı oluşum sılığı öre uzayıdai elemaı (alt ümei) olasılığı olara düşüülebilir. Öre uzayıdai her bir A olayı içi, bu olayla sıfır ile bir arasıdai bir sayıı eşleştirilmesi amaçlaır. Sıfır ile bir arasıdai bu sayı A olayıı olasılığı olara adladırılır ve (A) ile gösterilir. Basit alamda olasılı, bir ümeyi ölçümleme amacıyla bu ümeye ataa (ya da ait ola) bir sayıdır. Diğer bir ifadeyle olasılı elime alamı olara şası ölçümlemesidir. Bir ümei ya da bir olayı büyülüğüü ölçülmesi içi bazı yötemler mevcuttur. Ayı yötemler buları içerisidei elemaları sayma içi ullaılabilir mi? Aslıda olasılı hesaplaıre yapılaca işlem budur. Faat buu uygu olmadığı bir taım durumlar mevcuttur. Öreği bir ümei ortaya çıma ihtimalii diğeride daha fazla olduğu faat iisii de elema sayılarıı eşit olduğu durumda e olur? Ayı olasılığa mı sahip olmalıdırlar?

11 İl üme: {Feerbahçe azaır} İici üme: {Galatasaray azaır} İi ümei de birer elemaı vardır. Faat şüphesiz i bulara farlı olasılılar verilmelidir. Buula birlite, ayı ada çalışılaca üme sayısı birde fazla olabileceği ve her birie ait olasılıları belirlemesi istediği içi olasılı ümeleri bir fosiyoudur. Olasılı belirli bir fosiyoa göre taımladığı içi il olara fosiyo avramı ele alımalıdır. Bir fosiyo, f(.), bir otalar ümesidei her bir otayı bir diğer otalar ümesidei bir ve yalız bir ota ile ilişiledire bir uraldır (au, formül,vs). İl üme taım ümesi A, iici üme B ise görütü ümesidir. Bir fosiyo: ƒ: ƒ() ve olasılı ümeleri bir fosiyou olduğuda: : S (S) Öre uzayıı tüm alt ümelerii taımladığı ümeler ailesi fosiyouu taım ümesi olara ullaılabilir. Bu aşamada, eğer S sayılamayaca adar ço elema içeriyorsa problem oluşabilir. Ortaya çıa problem, S ümesii sayılamayaca adar ço alt üme içermesi ve bu edele her bir alt ümeye bir olasılı atamasıda sııtı oluşmasıdır. Bu soruu asıl aşıldığı ileride açılaacatır. Buula birlite, S solu elemaa sahip ise her bir alt ümesie bir olasılı atamasıda problem ortaya çımaz. Olasılığı e basit yapıdai taımıı verebilme içi, il aşamada öre uzayıı sayılabilir olduğu varsayılacatır. Taım (Klasi Olasılı): Eğer bir rassal deeyi öre uzayı solu sayıda adet ayrı S e,, e, e ve eşit olasılılı elemaa sahip ise e i i, ve A, öre uzayı üzeride taımlaa A olayıdai basit olayları (e i ) sayısı ise A olayıı gerçeleşme olasılığı (A);

12 A A olara belirleir. Klasi olasılığı yetersiz aldığı ii durum: a) Olayları eşit olasılıla oluşmadığı durumlar b) Öre uzayıı sosuz elemalı olduğu durumlar. Bir öre uzayıdai elemaları eşit olabilirliğe sahip olması bazı ideal oşulları oluşmasıa bağlıdır. Ayrıca şas oyularıı asie doğadai öre uzayıdai elemalar geellile eşit olasılığa sahip değildir. İsaları a grupları bir öre olara verilebilir. Böyle bir durumda bir herhagi bir A olayıı oluşum sılığı asıl belirleir? Cevap açıtır; aaütle üzeride bezer oşullarda deemeler yapılmalıdır. Taım (Göreli freas): Bir rassal deeyi öre uzayı üzerie taımlamış olay A olsu. Deey bezer oşullarda N adet terarlası ve ortaya çıa A olaylarıı sayısı olsu. A olayıı göreli freası: f(a)=/n Öreği hilesiz olduğu düşüüle bir para atıldığıda üst yüze yazı gelmesi A olayı olara taımlası. Değişi deeme sayılarıda gerçeleşe A olayı sayıları ve göreli freasları: N=0 =4 f(a)=0.4 N=00 =47 f(a)=0.47 N=000 =488 f(a)=0.488 Şüphesiz f(a) değeri gerçeleştirile deey sayısı N ile bağımlıdır ve üçü N değerleri içi ço büyü dalgalamalara sahiptir. Burada cevaplaması geree soru, N değeri sosuza gittiğide f(a) oralarıı dizisi ararlı bir değere yaısıyor mu? olacatır. Böyle bir soruya deeysel olara asla cevap verilemez. Çüü limiti doğası gereği deeylere so verilemez. Böyle bir limiti var olduğuu abul etme matematisel bir yalaşımdır: isteildiği adar üçü olabile pozitif bir sayı olma üzere, N>m() oşuluu altıda, N (A) Eşitsizliğii sağlaya bir m() sayısı buluabiliyorsa, lim (A) N N Elde edile bu souç A olayıı deeysel limit freasıdır ve (A) değeri A olayıı gerçeleşme olasılığıdır.

13 Faat (A) limit değeri hala gerçeleştirile deey dizisi souçlarıa bağımlıdır. Deeyler ayı oşullarda geçeleştirilse dahi bir sorai deey dizisii ayı souçları vereceğii garatisi yotur. Bu freaslar üzerie oluşturula geçerli bir teori, yuarıda taımlaa (A) değerii tüm bezer deey dizileri içi ayı olduğuu varsayma zorudadır. Bu teorem ile moder olasılığı temeli ola asiyom olasılığıı ele alma da mümü olmuştur. Taım (Olasılı Küme Fosiyou): Rassal bir deeyi öre uzayı S ve bu ümei üzerie taımlı çifterli ayrı A i A j =, ij olaylar A, A, olsu. Eğer (.) fosiyou; ) (A)0 ) (S)= 3) (A A )=(A )+(A )+ A i i ( Ai ) i oşullarıı sağlıyor ise bu rassal deeyi çıtılarıı olasılı üme fosiyou olara adladırılır. S öre uzayıı her bir A alt ümesi içi (A) sayısıa da A olayıı olasılığı deir. Yuarıdai taımda verile üç özelli olasılı asiyomları olara ya da Kolmogorov asiyomları olara biliir. Asiyom taımı belirli bir fosiyouu asıl seçileceğii belirtmez. Herhagi bir öre uzayı içi pe ço farlı olasılı fosiyou taımlaabilir. Olasılığı bu taımı matematisel bir taım olup, hagi üme fosiyouu olasılı fosiyou olara adladırılabileceğii açılamatadır. Olasılığı bu taımı, verile bir A olayı içi olasılı fosiyouu (.) alacağı değer ile ilgili bilgi vermez. Olaylara ait olasılı değerlerii elde edilmesi içi rassal deeyi modelii taımlaması gerelidir. Olasılı asiyomları ullaılara, daha armaşı olasılıları hesaplamasıda ullaılabilece ola, olasılı fosiyouu pe ço özelliği taımlaabilir. Teorem: Eğer (.) bir olasılı fosiyou ve A ümesi S dei herhagi bir üme ise,

14 a. (Ø) = 0 (Burada Ø boş ümedir) b. (A c )=-(A) c. (A) İspat: a) S=SØ ve S ile Ø ayrı, SØ= Ø, olduğuda (S)=(SØ)=(S)+(Ø) =+ (Ø). b) S=AA c ve A ile A c ayrı, A A c = Ø, olduğuda (S)=(AA c )=(A)+(A c ) = (A)+(A c ). Aşağıda belirtile her özelli hem esili hem de süreli öre uzayıda taımlı olaylar (ümeler) içi geçerlidir. Birleşimi Olasılığı: A ve B olayları S öre uzayıda taımlı ii olay olsu. durum söz ousudur: A B birleşim olasılığı içi ii. A ve B ayrı olaylardır (çaışma yotur): yai A B ϕ. A ve B ayrı olaylar değildir. A B ϕ Birici durum içi Eğer A B i olasılığı, A B ϕ ise A B A B İici durum içi ise, Herhagi bir A ve B olayları içi A B A B A B Not: İici durum içi taımlaa formül ayı zamada birici durum içi de ullaılabilir: A B (ϕ) = 0 Üç ya da daha fazla olay içi, öreği A, B ve C olayları içi A B C A B C A B AC B C A B C

15 Kesişimi Olasılığı: A B içi olay bir formül yotur. İstatistisel bağımsızlığı ullaılabiliyor olması gereir. S Eğer A ve B istatistisel olara bağımsız değillerse, geellile oşullu olasılı ullaılır. Teorem: Eğer (.) bir olasılı fosiyou ve A ile B ümeleri S dei herhagi ii üme ise, a. A C B (B) (A B) b. (A B) (A) (B) (A B) c. Eğer A B ise (A) (B) dir. d. (A-B)=(A)-(AB) İspat: a. Herhagi ii A ve B ümesi içi, B=(AB)(A c B) ve olasılı ifadesi olara, (B)=(AB)(A c B) ve eşitliği sağıdai ii olay ayrı olduğuda, (B)=(AB)+(A c B) b. Herhagi ii A ve B ümesi içi A ve BA c ümeleri birbiride ayrı olduğuda, AB=A(A c B) özdeşliği ullaılara, (AB)=(A)+(A c B)

16 Ayrıca AB=A (A c B) ve eşitliği sağıdai ii olay ayrı olduğuda, (AB)=(A)+ (A c B) Elde edile souçlar yerie oara ispat tamamlaır. (AB)=(A)+(B)-(AB) c. B=A(A c B) ve eşitliği sağıdai ii olay ayrı olduğuda Asiyom 3 ullaılara (B)=(A)+(A c B) Asiyom ullaılara (A c B)0 ve souç olara (B) (A) buluur. d. A=(A-B)(AB) olup eşitliği sağıdai ümeler ayrı olduğu içi (A)=(A-B)+(AB) ispat tamamlaır. Teoremi (b) formülü bir esişim olasılığı içi ullaılabilece faydalı bir eşitsizliği (Boferroi eşitsizliği) taımlar. Taım (Bole eşitsizliği): Herhagi ii A ve B olayı içi A, BS olma üzere AB içi, (AB)(A)+(B) ve eğer AB= ise (AB)=(A)+(B) olara taımlaır. Bu souç ayı zamada ayrı olayları olasılılarıı (ve elema sayılarıı) toplama uralıa uyduğuu belirtir. Boferroi Eşitsizliği: Teoremi (b) formülüde (A B) olduğuda, ve (A) (B) (A B) (A B) (A) (B) elde edile souç Boferroi eşitsizliğii özel halidir. Boferroi eşitsizliği özellile, esişim olasılığıı belirleme istediği faat hesaplamasıı zor ya da imasız olduğu durumlarda olduça faydalıdır. Öreği her biri 0.95 olasılığa sahip A ve B olayları içi her iisii de birlite oluşma olasılığıı sıırı,

17 (AB)=(A)+(B)-=0.90 olara buluabilir. Bireysel olayları olasılıları yeterice büyü olmadıça Boferroi sıırı egatif değer verdiği içi (faat hala doğrudur) ullaışsızdır. Teorem: Eğer (.) bir olasılı fosiyou ise, a. ( A) ( A C ) i i, herhagi bir C, C, bölümlemesi (ayrı olayları) içi. i i (A i ), b. A i herhagi A, A, ümeleri içi, (Boole u eşitsizliği) Boole u eşitsizliği ile Boferroi i eşitsizliği arasıda bir bezerli vardır. Temelde ayıdırlar. Eğer Boole u eşitsizliğide A c ullaılsaydı, c c Ai A i i c burada c i i i c A A ve (A ) (A ) eşitlileri ullaılara A i i (A i i ) A A i i i i i i elde edilir i bu soucu Boferroi eşitsizliğii geel ifadesidir. Taım (Olasılı Uzayı): Bir olasılı uzayı üç elemalıdır, [S, β, (.)]. Burada S öre uzayı, β sigma cebri diğer bir deyişle bir olaylar olesiyou ve (.) ise taım ümesi β ola bir olasılı fosiyoudur..4 SAYMA YÖNTEMLERİ İstatisti problemleride belirli bir durumda ) olaalı bütü seçeeleri ortaya oyma

18 ya da e azıda ) aç farlı olaa buluduğuu belirleme gerelidir Sayma yötemlerii e sı ullaıldığı problemler, solu öre uzayları üzerie taımlaa olaylara bir olasılı ataması durumudur. Geelde sayma problemleri armaşıtır bu edele saymayı basitleştirme üzere problem basit parçalara ayrılır. Elema sayısı N ola bir esili S öre uzayıı lasi olasılı asiyomlarıı (eşit olasılılı ayrı olaylar) sağladığı varsayılsı. Bir A olayıı olasılığıı belirleme içi her biri eşit olasılı ile ortaya çıa ve birbiride ayrı ola mümü durumları sayısıa ve A özelliğii taşıya elemaları sayısıa geresiim vardır. Bu sayıları elde edilebilmesi içi bazı ombiasyo formüllerii ullaılması gerelidir. Bu formüller ii temel presip üzerie urulmuştur: Taım (Toplama): A ve B ayrı olaylar olma üzere, bir A olayı toplam m farlı şeilde ve B olayı ise farlı şeilde oluşuyor ise A ya da B (AB) olayı m+ farlı şeilde oluşabilir. Taım (Çarpma): A olayı toplam m farlı şeilde ve B olayı ise toplam farlı şeilde eşalı olara oluşabiliyor ise, A ve B (AB) olayı m farlı şeilde oluşabilir. Taım (Fatöriyel): Bir pozitif tam sayı içi, ( fatöriyel) değerie eşit ve üçü tüm tam sayıları çarpımıdır. =(-) 3 Burada, olduğuda, = içi 0= olduğu görülebilir. Sayılar büyüdüçe fatöriyel değerii hesaplama zorlaşır. Bu edele yalaşı bir hesaplama değeri Stirlig tarafıda verilmiştir: e Daha güveilir bir yalaşım içi e - yerie e -[-(/)] ullaılabilir. Kullaılaca sayma yötemleri gerçeleştirile öreleme yötemie a. İadeli öreleme

19 b. İadesiz öreleme ve öreğe çıış sırasıa c. Öreğe çıış sırası öemsiz d. Öreğe çıış sırası öemli bağımlıdır. Taım (İadeli Öreleme): Bir popülasyoda öre alıre alıa bir birimli öre eğer bir sorai seçimde terar populasyoa dahil ediliyorsa yai öreğe girme şası yie varsa bu tip örelemeye iadeli öreleme deir. Taım (İadesiz Öreleme): Bir popülasyoda öre alıre alıa bir birimli öre eğer bir sorai seçimde terar populasyoa dahil edilmiyorsa yai bir sorai örete gözleme şası yosa bu tip örelemeye iadesiz öreleme deir. Taım (ermütasyo): Bir S ümesidei elemaları iadesiz örelemedei tüm farlı seçimleri içi ortaya çıa her bir farlı düzelemelerie verile isimdir. Öreği,,3 S ümesi içi permütasyolarıı oluşturduğu üme: S p,,3,,3,,,,3,,3,, 3,,, 3,, Kümei her bir elemaı bir permütasyoa arşılı gelmetedir. Kümei elemaları icelediğide öreğe çıış sırasıı öemli olduğu görülebilir. Taım (Kümei permütasyo sayısı): Bir S ümeside adet elema var ise farlı düzelemeleri (permütasyoları) sayısı: ( )... Kümede öreğe çeile elema sayısı r< oşulu ile sadece r adet ise farlı düzelemeleri (permütasyoları) sayısı: r ( )... r r Neseler bir dairei etrafıda sıralaıca ortaya çıa permütasyolara daire permütasyoları deir. Teorem: Bir daire çevreside sıralaa farlı esei permütasyo sayısı (-)=/ dir

20 Taım (Kombiasyo): Bir S ümesidei elemaları iadesiz örelemedei tüm farlı seçimlerie verile isimdir. Öreği,,3 üme: S S ümesi içi üç elemalı farlı seçimleri (ombiasyoları) oluşturduğu,,3 ii elemalı farlı seçimleri (ombiasyoları) oluşturduğu üme: S,,,3,,3 Gerçete ombiasyo, altüme ile ayı alamı taşır. Taım (Kombiasyo sayısı): Bir S ümeside adet elema var ise r olma üzere r adet elemaı falı seçimlerii sayısı, r ouur: sembolü ile taımlaır ve içide r adet seçim olara C r r r r r Bu sayılar ayı zamada biom atsayıları olara da adladırılır. ermütasyo tüm mümü seçimleri (ombiasyoları) edi içidei tüm mümü farlı düzelemelerii de bir elema olara sayar. Öreği abc ve acb ayı ombiasyo farlı bir permütasyodur. Buula birlite abc ve abd farlı ombimasyolardır..4. İi terimli (Biom) ve Ço terimli (Multiomial) Teoremleri İi terimli (a+b) ifadesii açılımı basit ombiasyo metodu ullaılara gerçeleştirilip daha sora ço terimli durum içi geelleştirilecetir. İi terimli ifade adet terimi çarpımı şelide yazılabilir: (a+b) (a+b) (a+b) Burada problem çarpım soucuda oluşaca ola a -r b r terimii öüdei atsayıları bulabilmetir. Gerçete bu problem ii gruba bölümüş (a ve b) adet çarpaı ortaya çıış sayısıı bulma olara da taımlaabilir. a b a b a

21 Burada =b/a alıara a b a m çarpaı m=,,, içi açılara, (+)=+ 0 (+) =++ 0 (+) 3 = (+) = Souç olara: r r r 0 r r r a a 0 r r a b r a a b a 0 a b a b a b a a b a 0 r r r b a r b a 0 elde edilir. Yuarıda ullaıla yalaşım adet elemaı ii gruba ayrıldığı ve gruplarda birii r adet diğerii -r adet elemaa sahip olduğu varsayımıa uymatadır. Bu adet elemaı ii ategori içi r değiştiçe ortaya çıabilece farlı sıralamalarıı sayısı ombiasyo yalaşımı ile;

22 r r elde edildi. İi terim (ategori) içi bulua souçlar elema adet ategori içi geelleebilir. Her bir ategoridei elema sayısı i, i=,,, ve olsu. Farlı seçimleri (ombiasyoları) sayısı:,,, İspat:,,, Bu souç ullaılara ço terimli açılım; içi elde edile adet çarpada oluşa terimleri, c öüdei c atsayısı buluur. Ço terimli açılım:,,.4. Öreleme ve Öre Uzayıdai Elema Sayısı Üzerie Etisi Öemli ombiasyo problemleride temel yapıyı oluştura biraç stadart sapma metodu vardır. Bu metotlar geellile öreleme ya da atama yötemleri olara iceleirler. Bir torbada de e adar işaretlemiş adet top olduğu ve bularda m adedii farlı oşullar altıda çeildiği varsayılsı. Her bir farlı oşul içi tüm mümü çıtıları sayısıı belirlemesi aşağıda icelemiştir:

23 Durum I. Yerie Koara Öreleme ve Sıralama Öemli Torbada m adet top çeilir. Faat her bir çeile top daha sorai çeilişte öce torbaya iade edilir. Topları üzeridei sayılar çıış sırasıa göre ayıt edilir. Souç olara her m adetli çeiliş içi m adet sayıda oluşa bir (a,,a m ) sıralaması elde edilir. Burada her bir a j, ile m arasıdai herhagi bir sayı olabilir. Sıralama içide ayı sayı terar edebileceği içi bu sıralama bir permütasyo değildir. Tüm mümü durumları sayısıı elde edilmesi içi Saymaı Temel Kuralı uygulaara m buluur. Torbada topu çeilmesi ile altı zarı atılması ya da te bir zarı ara araya altı defa atılması arasıda herhagi bir far yotur. Durum II. Yerie Koymada Öreleme ve Sıralama Öemli Uygulaa öreleme Durum I ile bezer olup te far çeile topu torbaya iade edilmemesidir. Bu durumda oluşa sıralı m adet (a,,a m ) sayıda her bir a j farlı sayıda oluşacatır gibi ısıt oulmuştur. Sıralama içide ayı sayı terar edemeyeceği içi bu sıralama bir permütasyodur. Diğer bir ısıt ise m olmalıdır. Bu tip problemlere Saymaı Temel Kuralı doğruda uygulamamala birlite çözüm, m m bezerdir. Bu eşitliği sol tarafıda m adet çarpa vardır. Eşitliği sağıdai m sembolü sayısıda birer üçülere gide m adet süreli çarpımı belirtmetedir. Durum II permütasyo problemi olara adladırıla problemi özel halii taımlamatadır. Durum III. Yerie Koymada ve Sıralama Öemsiz Bu öreleme yapısıda çeile toplar torbaya iade edilmez ve çeiliş sırası öemsiz olup ayıt edilmez. Souç olara m adet top bir defada çeilmiş olara düşüülebilir. Böyle bir öreleme yapısıda elemalı bir ümede elde edile m elemalı alt ümeler ile ilgileilir. Alt ümeleri sayısıı bulabilme amacıyla il olara Durum II ile bir arşılaştırma yapılması faydalı olacatır. Eğer m adet top iade edilmesizi birer birer çeilip sıralaır ise mümü sıralama sayısı m olacatır. Öreği =5, m=3 içi 3,,5 alt ümesi; S p,3,5,,5,3, 3,,5, 3,5,, 5,,3, 5,3, 3=6 farlı şeilde çeilebilir. Sırlama öemsiz olduğuda adet elema içide m elema; m m m farlı şeilde çeilebilir. Durum IIIa Gruplara Ayrılabile Elemaı ermütasyou

24 Torbadai toplarda adedii Re, adedii Re,, r adedii Re r ile boyadığı varsayılsı. Releri ayırt edilebidiği faat ayı reli topları ayırt edilemediği bilimetedir. Re gruplarıdai elema sayılarıı toplamı r = torbadai top sayısıa eşittir. Bu adet topu ayrıştırılabilir aç düzelemesi vardır? Öre olara =, =, =4 ve reler de sarı ve lacivert olsu. Elde edilebilece farlı düzelemeleri sayısı 6 olara belirleir: Yuarıdai soruyu aaliti olara cevaplama içi tüm topları ayrıştırılabildiği Durum II ile bir arşılaştırma yapılabilir. Reledirile toplar ayı zamada umaraladırılır ise hepsi birbiride ayrıştırılabilir hale gelir. Bu durumda tüm mümü düzelemeleri toplam sayısı, Durum II ullaılara, olara belirleir. Re ile boyaa adet top umaralar yardımı ile adet farlı düzelemeye, Re ile boyaalar ise adet farlı düzelemeye sahip olacatır. Bir re içi elde edile her bir düzeleme bir diğer regi herhagi bir düzelemesi içi serbestçe birleştirilebileceği içi Saymaı Temel Kuralı ullaılara birlite oluşturabileceleri düzeleme sayısı (işaretler diate alıdığıda)... r buluabilir. Araştırıla ou işaretleri olmadığı sadece releri olduğu bir durumdai düzeleme sayısı olduğuda bu sayı, ço terimli atsayısı ile elde edilebilir. Eğer r= ise, ii terimli (biom) atsayısı ile elde edilebilir. Durum IV. Yerie Koara ve Sıralama Öemsiz Torbada m adet top çeilir. Faat her bir çeile top daha sorai çeilişte öce torbaya iade edilir. Topları üzeridei sayılar çıış sırası diate alımada ayıt edilir. Bu problemi çözümü içi farlı bir yalaşı gerelidir. Aşağıda bu yalaşım bir öre üzeride açılaacatır. Öre içi =m=3 alısı. Tüm mümü durumlar aşağıdai tabloda listelemiştir.

25 Her çeim işlemide sora çeile umara sütuua bir otrol işareti () our. İşaret sayısı deeme sayısıa (m) eşit olup bu değer top sayısıda () fazla olabilir. Numaralara ait otrol işaretleri arasıdai boşluları belirtme amacıyla çubular ( ) ullaılmıştır. Ortadai üç sütu so sütuda özetlemiştir. Bu sütu icelediğide üç otrol ve ii çubu içi tüm mümü durumları diate alıdığı görülmetedir. Toplam sayı, Durum III =5, m=3, ya da Durum IIIa =5, =3, = ile çözülebilir. Souç olara 5/3=0. Durum IV dei problem m adet otrol ve - adet çubuğu tüm mümü düzelemeleri problemie döüştürülere çözülmüştür. Eğer adet mümü durum var ise ve bu mümü durumları her biri tabloda olduğu gibi bir utu ile taımlamışlar ise utular arasıda - adet çubu vardır. Durum IIIa içi taımlaa formüller uyguladığıda çıtıları mümü sayısı: m m m ile elde edilebilir. Yuarıda açıladığı üzere ullaılaca sayma yötemleri gerçeleştirile öreleme yötemie falılı gösterebilir. Farlı öreleme durumları içi öre uzayıdai elema sayıları aşağıdai şeilde hesaplaabilir.

26 İadesiz Öreleme İadeli Öreleme Sıra Öemli ( m) m Sıra Öemsiz m m m Tabloda verile durumları açılama amacıyla aşağıda 44 adet sayı içide çeilebilece 6 adet sayı içi arşılaşılabilece farlı öre uzaylarıı elema sayıları hesaplamıştır: a. İadesiz sıralama öemli: Temel sayma teoremie göre il sayı 44 farlı şeilde, iadesiz olduğuda iicisi 43 farlı şeilde seçilebileceğie göre altı adet sayı; =(44/38)= farlı şeilde belirleebilir. Bu souç geellediğide, buluur. ( ) b. İadeli sıralama öemli: Seçile sayı terar iade edildiği içi her bir çeiliş 44 farlı şeilde yapılabileceğide altı adet sayı, =44 6 = farlı şeilde belirleebilir. Bu souç geellediğide, buluur. c. İadesiz sıralama öemsiz: Sıralamaı öemsiz olduğu durumlarda, öre uzayıdai elema sayısı azalır. Altı adet sayı 6543 farlı şeilde ortaya çıabilir. Eğer sıralama öemsiz ise bu durumları tümü öre uzayıdai te bir elemaa arşılı geldiğide, bu sayı sıralamaı öemli olduğu durumda arşılaşıla öre uzayıda bölüere düşülür ve souç olara sıralama öemsiz ise altı adet sayı,

27 farlı şeilde belirleebilir. Bu souç geellediğide, buluur. r r r d. İadeli sıralama öemsiz: Öre uzayı belirlemei e zor olduğu durumdur. Cevap olara heme 44 6 /6543 olduğu söyleebilir, faat bu souç yalıştır. Bu durumu sayma içi 44 adet sayı ya yaa yerleştirilmiş her biri bir diğeride bir arto ile ayrılmış utular olara düşüülebilir ve altı adet sayı ağıtlara yazılıp utuları içie oulur. Mümü durumları sayısı, 44 utu içie oaca 6 adet ağıdı farlı mümü durumlarıı sayısıa eşit olacatır. Kutuları ayıra artolarda ili ve soucusuu oyadığı bir rol yotur. 44 adet utu 45 adet artoa sahiptir faat 43 adet arto diate alıır. Bulara ilave olara 6 adet ağıt mevcuttur. Souç olara 43+6=49 adet ese vardır ve bular 49 Kadar farlı yerleşime sahiptir. Buula birlite sıralama öemli olmadığıda ağıtlar içi 6 ve artolar içi 43 adar durum elemelidir. Souç olara sıralama öemsiz ise altı adet sayı, farlı şeilde belirleebilir..5 MARJİNAL ve ŞARTLI OLASILIK Koşul, olasılıta ullaıla temel araçlarda birisidir. Özellile bölümleme teorisi içi riti ola A B esişim olasılığıı hesaplamasıda işe yarar. Ayrıca tüm stoasti süreçler alaı oşullu olasılığa dayamatadır. Bir sorai süreçte e olacağı, öceside e olduğua yai oşula bağlıdır. Bağımlı olaylar: A ve B ayı öre uzayıda taımlı ii olay olsu. Geellile A ve B arasıda bir bağımlılı olur. Buu alamı şudur: eğer B i gerçeleştiği biliiyorsa, A ı gerçeleşme şası haıdai bilgileri değiştirir. Öre: Bir zar havaya atılıyor. A olayı = 6 gelmesi B olayı = çift sayı gelmesi olsu.

28 Eğer zar hilesiz ise 6 A ve B dir. Eğer B i gerçeleştiği biliiyorsa, A ı gerçeleşme şasıda bir artış olur: (B i gerçeleştiği bilidiğide, A ı gerçeleşmesi) 3 souc souc veya 6 4 veya 6 Bu durumda B verildigide A A B yazılabilir. 3 Soru: B A? B A A verildigide B = (6 geldiği bilidiğide, çift sayı gelmesi) = Elema sayısı ola S öre uzayı üzeride, r adet ayrı A i olayı ve c adet ayrı B j olayı taımlamış olsu. S öre uzayıdai her elemaı eşit olasılığa sahip olduğu (lasi olasılı) varsayımı ile A ve B olayları içi aşağıdai ii yölü tablo oluşturulabilir: B B B c A c A c A r r r rc İl satır ve il sütu hariç ablodai hücrelere ait geel toplam:

29 r c i j ij olup bu hücreleri her biri A i B j olayıa arşılı olaylar eşit olasılılı olduğuda: ij Ai B j Herhagi bir A i olayıı gerçeleşme olasılığı: i i ic Ai c j ya da herhagi bir B j olayıı gerçeleşme olasılığı: r j j rj B j i ij ij ile elde edilebilir. Bu olasılılar sırası ile A i ve B j olaylarıı marjial olasılıları olara adladırılır. Bir S öre uzayı üzerie taımlaa A ve B olayları içi, B olayıı oluşması durumuda A olayıı ortaya çıma olasılığı şartlı olasılıtır ve (A/B) ile gösterilir. Taım (Şartlı Olasılı): Verile olasılı uzayıda ii olay A ve B olsu. Verile B olayı içi A olayıı şartlı olasılığı (B) > 0 içi, (A / B) (A B) (B) olup (B)=0 içi taımsızdır. Not: A B ile (A ve B, sadece B i buluduğu ümede) elde edilebilir A B ile (A ve B, tüm öre uzayı S de) elde edilebilir Öre uzayıı S de B ye çeme içi sembolü yerie B sembolü ullaılmalıdır. B sembolü de ayı sembolü gibi ele alımalıdır. Böylece, C D B C B D B C D B olur. Bezer şeilde verile A olayı içi B olayıı şartlı olasılığı (A) > 0 içi, ( A B) ( B / A) ( A)

30 Yuarıdai ii eşitli ullaılara; A B A/ B ( B) ( B / A) ( A) ifadesi olasılığı çarpım uralı olara adladırılır. Teorem (Çarpım Kuralı): Taımlaa bir olasılı uzayı içi, eğer A,A,,A olayları A... ] 0 oşuluu sağlaya S üzeride taımlamış olaylar ise, [ A [A A... A ] [A ].[A / A].[A 3 / A A]...[A / A... A ] Çarpım uralı aşamalı deeyler içi olduça faydalıdır. Deeyi aşamalı olduğu ve A j olayıı deeyi j-ici aşamasıa göre taımlaa bir olay olduğu varsayılsı. Bu durumda [A j / A... A j ], deeyi il j- aşamasıda oluşa durumlara göre j-ici aşamada e olabileceğii taımlaya bir olayı şartlı olasılığıdır. [./B] bir olasılı fosiyou mudur? Olasılı fosiyou olabilmesi içi üç asiyomu sağlaması gerelidir. a. [A/ B] (A B) (B) 0 her A S içi b. [S/ B] (S B) (B) (B) / (B) c. Eğer A, A,... S dei çifterli ayrı olayları dizisi ise ( i Ai ) B i Ai B A / B i i i [B] A i (B) [A B i i / B] [B] Souç olara verile bir B, (B)>0, olayı içi [./B] bir olasılı fosiyoudur. Teorem (Olasılılar Toplamı Teoremi): Taımlaa bir olasılı uzayı içi, eğer B,B,,B olayları S B j j ve [B j ]>0, j=,, içi, oşullarıı sağlaya S üzeride taımlamış ayrı olaylar ise, her [ A] A içi, j A B j j [ A/ B ]. [ B ] İspat: A olayı ayrı B j olaylarıı her biri ile ola esişimlerii birleşimi j j

31 A j A B j olara taımlaabilir çüü [A] buluur. Bu teorem A B j ler de ayrıtır. Bu durumda A B j j j j [A B j] [A / B j ].[B ] içi de geçerlidir. Not: Yuarıda taımlı B olayları ayrı değilse, c [A] [A/ B].[B] [A/ B ].[B j Olasılılar toplamı teoremi özellile aşamalı olara uygulaa deeylerde faydalıdır. Öreği her birii içide toplar bulua torbalarda bir top çeilme istediği durum ele alıdığıda il öce topu çeileceği torba seçilir daha sora seçile torbada bir top çeilir. Bu tür deeyler içi B j il aşamadai olayı ve A da iici aşamadai olayı taımlar ise, [B j ] ve [A/B j ] olasılılarıı bulma olduça olaydır. Aşamalar halide uygulaa deeylerde birici adımda souca göre oşul taımlama olduça uygudur. [./B] fosiyouu özellileri aşağıdai teoremler ile taımlamıştır. Teorem: [ / B] 0 Teorem: AB= ise (A/B)=(B/A)=0 Teorem: Eğer A ve B, S de taımlı bir olaylar ise [A c / B] [A / B] c ] Teorem: Eğer A, A S ise [A / B] [A A / B] [A A c / B] Teorem: Eğer A, A S ise, [A A / B] [A / B] [A / B] [A A / B] Teorem: Eğer A, B S ve A B ise (AB)= (A) A B B / A A

32 Teorem: Eğer A, B S ve B A ise (AB)= (B) B / A A B A B A Teorem: Eğer A, A S ve A A [A / B] [A / B] Şartlı olasılığı ullaıldığı öemli durumlarda biri aşağıdai teorem ile açılamıştır. Teorem (Bayes Formülü): Taımlaa bir olasılı uzayı içi, eğer B,,B olayları j S B ve [B j ] 0, j=,, içi, oşullarıı sağlaya S üzeride taımlamış ayrı j olaylar ise her A, [A] 0, içi [B / A] buluur. Bu teorem [A / B j [A / B ].[B j ] ].[B j ] içi de geçerlidir. Soucu bilidiği durumda sebebi hagi olasılıla hagi olayda meydaa geldiği ile ilgileir. Olasılılar toplamı teoremide olduğu gibi Bayes formülü de aşamalı olara uygulaa deeyler içi olduça faydalıdır. Aradai far oşul olara iici aşamaı ullaılmasıdır. Diğer bir ifade ile A olayı gerçeleşmiştir ve sebep ola B olayı içi olasılı araştırılmatadır. Bayes teorimi ile oşullu olasılılar tersie çevrilebilir. Yai, B A ifadesi A B ciside ifade edilebilir. Bu ço ullaışlı bir özellitir. Öreği, (sorai olay öcei olay) verilsi. Sorai olayı gözlemleip öcei olayı olasılığı haıda çıarsama yapılma istesi. Bu durumda ullaılmalıdır. (öcei olay sorai olay) Olaylar Ziciri ve Olasılı Ağaçları: Olaylar birbiri ardıa gerçeleştiğide olasılığı hesaplaabilmesi içi çarpım uralı olduça ullaışlıdır. Öre: İçeriside 4 adet beyaz ve adet ırmızı top bulua bir utuda ii top iadesiz olara rastgele seçiliyor. Bua göre:

33 a) İisii de beyaz olması b) İici topu ırmızı olması olasılılarıı buluuz. Çözüm: W i = i-ici topu beyaz olması ve R i = i-ici topu ırmızı olması olsu. a) W W W W W W W 4 6 W ve W W 3 5 Böylece (her iisii de beyaz olması) = W W b) ( iici topu ırmızı olması) olasılığı araştırılmatadır. Bu olasılı il çeilişte hagi topu geldiği oşulua dayadırılmada buluamaz. iici topu ırmızı gelmesi olayı aslıda W R R R W R R Böylece, ( iici topu ırmızı olması) = W R R R 5, R (ayrı olaylar) R W W R R R dir. 3

34 Olasılı Ağaçları: Çarpım uralıı grafisel gösterimidir. İl çeiliş İici çeiliş Koşullu olasılılar dallara yazılır. Kesişimi olasılığıı bulma içi olasılılar çarpılır. 4 6 Öreği: W W ya da R W 3 5 İi ya da daha fazla olay olması durumu: A A A3 6 ü bulma içi çarpım uralı diatlice uygulamalıdır: 4 5 A A A A A 3 3 A A A A A A 3 A A A A A A 3 A A A A A A A A A olduğu hatırlaara olasılı ağacıda 3 3

35 Bu durum adet A,..., A olayı içi geelleştirildiğide, A A A A A A A A A A A A elde edilir. 3 Öre: İçeriside w adet beyaz ve r adet ırmızı top bulua bir utuda iadesiz olara 3 top çeiliyor. Bua göre sırasıyla beyaz-ırmızı-beyaz top çeilme olasılığı edir? Çözüm:.6 BAĞIMSIZ OLAYLAR W R W W R W W R W 3 3 w r w w r w r w r Ele alıa olaylarda birii gözleip gözlememesi olasılığı diğer bir olayı ortaya çııp çımama olasılığıı etilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar deir. Eğer [A/B] olasılığı B olayıa bağımlı değilse, diğer bir deyişle [A/B]=[A] ise A olayı B olayıda bağımsızdır. Taım (Bağımsız Olaylar): Verile bir (S, β, [.]) olasılı uzayı içi, A ve B olayları β üzeride taımlı olsular. A ve B olayları, aca ve aca, a. [A B] (A).(B) b. [A / B] (A), [B]>0 ise c. [B/ A] (B), [A]>0 ise oşulları sağlaıyor ise bağımsız olaylardır. İide fazla A,..., A olayları sadece A A A A A A

36 ise bağımsızdır ve bu taımlaa olaylar içeriside seçile alt olaylar içi de geçerlidir. Yai A, A, A3, A4 olayları i) A A A A i i j olma üzere tüm i, j içi j ii) A A A A A A i j i i j tüm birbiride farlı i, j, içi iii) A A A A A A A ise bağımsızdır A4 Teorem: Eğer A ve B olayları verile bir (S, β, [.]) olasılı uzayıda taımlı birbiride bağımsız olaylar iseler, a. A ve B c b. A c ve B c. A c ve B c olayları da birbiride bağımsızdır. c c İspat: Sadece a şııı ispatı yapılacatır. Bu amaçla [A B ] (A).(B ) olduğu gösterilmelidir. c [A B ] (A) (A B) buluur. (A) (A).(B) (A).( (B)) (A).(B c ) A ve B olaylarıı bağımsızlı özelliği ile A ve B olaylarıı ayrı olaylar olma özelliği temelde ilişili olmala birlite farlı özellilerdir. Öreği ii ayrı olay aca ve aca [A B] (A).(B) 0 ise bağımsızdırlar. Bu durum sadece A ya da B olaylarıı olasılılarıı sıfır olması durumuda gerçeleşir. Eğer [A] 0 ve [B] 0 ise A ve B olaylarıı bağımsız olmaları oları ayrı olaylar olmadılarıı belirtir. Buu tersi de söyleebilir A ve B ayrı olaylar ise bağımsız olaylar değildirler. Keşisimi Olasılığıı Hesaplaması İçi İstatistisel Bağımsızlı: j

37 Öcei bölümlerde A B i doğruda hesaplamasıı zor olduğu belirtilmişti. Bu durumda ii seçee mevcuttur:. Eğer A ve B bağımsız ise A B A B. Eğer A ve B i bağımsız olup olmadıları bilimiyorsa, oşullu olasılı ve çarpım uralı ullaılır. A B A BB Bu yapıı ullaılabilmesi içi A B i hesaplaabiliyor olması gereir. Not: Eğer olaylar fizisel olara bağımsız iseler istatistisel olara da bağımsızdırlar. Öemli bir olasılı uzayı modeli terarlı bağımsız deemelerdir. Bu model bir zar atışı, para atışı yada destede art çeme gibi olaylarda ullaılmatadır. Aşağıdai öre bu ou ile ilgilidir. Öre: İl olara bir zar daha sora bir para atılmata ve so olara da destede bir art çeilmetedir. Her bir deeme aşağıda verile A = araı tura gelmesi B = Zarı 5 yada 6 gelmesi C= Çeile artı sie gelmesi olayları oluşturmatadır. Gerçeleştirile her üç deemei birbiride bağımsız olduğu varsayılsı. Diğer bir deyişle uygulaa bir deeyi soucu bir diğer deeyi soucuu etilememetedir. Bu durumda tüm mümü durumları eşit olabilirliğe sahip olduğu abul edilebilir. Her bir deeme içi mümü durumları sayısı sırası ile, 6 ve 5 dir. Tüm deemeler ümesi içi mümü durumları sayısı bu sayıları çarpılması ile buluabilir. Bu souç ilerii ısımda açılaaca ola saymaı temel uralı ile elde edilmiştir. Ayı ural A, B, C, AB, AC, BC, ABC olaylarıa ait durumları sayısıı elde etme içi de ullaılabilir: A *6*5, B ** 5, C *6* 3 A B **5, A C *6* 3, B C ** 3 A B C **3 Elde edile sayıları S *6* 5 ile bölümesi ile (A)=/, (B)=/3, (C)=/4

38 (AB)=/6, (AC)=/8, (BC)=/ (ABC)=/4 Souçları buluur. Souçlar icelediğide aşağıdai eşitlileri geçerli olduğu olayca doğrulaabilir: (AB)=(A)(B) (AC)=(A)(C) (BC)=(B)(C) (ABC)=(A)(B)(C) Burada diat edilmesi geree durum olaylar olduğu adar deeyleri de bağımsız olduğudur. Eğer (AB)=(A)(B) özelliği sağlaıyor ise A ve B olayları birbiride bağımsızdır. Souç olara bağımsızlı ifadesii göreli olara verile olasılı ölçümüe bağlı olduğu görülebilir. Çiftlerli olara bağımsızlı, orta bağımsızlı alamıa gelmemetedir. Öreği: bir avaozda bir adet ırmızı, bir adet beyaz, bir adet mavi ve bir adet de ırmızı-beyaz-mavi olma üzere 4 adet top bulumatadır. A olayı = topu üzeride ırmızı olması B olayı = topu üzeride beyaz olması C olayı = topu üzeride mavi olması İi top A, B ve C olaylarıı sağlamatadır. Böylece Çiftlerli bağımsızlı: 4 4 A ve B C 4 A B ele alısı. A B tür. Dolayısıyla A B AB şeilde A C AC ve B C BC olara bağımsızdır. 4 dir. dir. Ayı dir. Böylece A, B ve C iişerli A B C ele alısı. ABC A B C Dolayısıyla A, B ve C iişerli olara bağımsız olmalarıa arşı orta olara bağımsız değillerdir. 8 dir.

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak BÖLÜM I OLSILIK Küme teorisi, matematiği geliştirilmesi ve öğretimide gittikçe daha fazla yararlaıla koularda biridir. yrıca olasılıkla ilgili birici bölümü temel aracıdır. Bu kısımda amaç, olasılık kousuda

Detaylı

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio)

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI) 5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat

Detaylı

D( 4 6 % ) "5 2 ( 0* % 09 ) "5 2

D( 4 6 % ) 5 2 ( 0* % 09 ) 5 2 3 BÖLÜM KAALI SİSEMLEDE EMODİNAMİĞİN I KANUNU I Yasaya giriş Birii bölümde eerjii edilide var veya yo edilemeyeeği vurgulamış, sadee biçim değiştirebileeği belirtilmişti Bu ile deeysel souçlara dayaır

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

6.046J/18.401J DERS 9. Post mortem (süreç sonrası) Prof. Erik Demaine

6.046J/18.401J DERS 9. Post mortem (süreç sonrası) Prof. Erik Demaine Algoritmalara Giriş 6.046J/8.40J DERS 9 Rastgele yapılamış iili arama ağaçları Belee düğüm deriliği üseliği çözümleme Dışbüeyli öuramı Jese i eşitsizliği Üstel yüseli Post mortem (süreç sorası Pro. Eri

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P. 0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT TÜME VARIM Tüme varım. Kazaım : Tüme varım yötemii açılar ve uygulamalar yapar. Toplam ve Çarpım Sembolü. Kazaım : Toplam sembolüü ve çarpım

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin.

{ 1 3 5} UYGULAMA-2 OLASILIK HESABI { } i, i = 1, 2,, n elemanına aşağıdaki özelliklere sahip bir p. her bir ω. sayısı karşılık getirilsin. UYGULAMA- OLASILIK HESABI Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω { ω, ω,, ω }, U olmak üzere, Ω ı her bir ω i, i,,, elemaıa aşağıdaki özelliklere sahip bir p i sayısı karşılık getirilsi. ) p 0, i,,...,

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

Sisteme gire aışaı eerjisi; ieti, potasiyel, aış eerjileri ile i eerjii toplamıda oluşmata olup, Q m& g m& Z g Z z0 ref. E g E + E p + u+ E A + gz +u+

Sisteme gire aışaı eerjisi; ieti, potasiyel, aış eerjileri ile i eerjii toplamıda oluşmata olup, Q m& g m& Z g Z z0 ref. E g E + E p + u+ E A + gz +u+ 4. BÖLÜM AÇIK SİSEMLERDE ERMODİNAMİĞİN I. KANUNU Aı aışlı sistemleri sııfladırılması Aı Sistem Aışlı Kararlı aışlı Kararsız aışlı dm dm 0 m& g m& 0 m& g m& dt dt Not: Aı sistemlerde eerji depolaması sözousu

Detaylı

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Seyit Ahmet AKDAĞ, Öder GÜLER İstabul Tei Üiversitesi, Eerji

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Explanation: Number of bracelets made with 2 blue, 2 identical red and n identical black beads.

Explanation: Number of bracelets made with 2 blue, 2 identical red and n identical black beads. http://oeis.org/a - (,,) Origial wor by Ata Aydi Uslu Hamdi Gota Ozmeese.. Explaatio: Number of bracelets made with blue, idetical red ad idetical blac beads. Usage: Chemistry: CROSSRES: A85 A989 A989

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

İstatistik Ders Notları 2018 Cenap Erdemir BÖLÜM 5 ÖRNEKLME DAĞILIMLARI. 5.1 Giriş

İstatistik Ders Notları 2018 Cenap Erdemir BÖLÜM 5 ÖRNEKLME DAĞILIMLARI. 5.1 Giriş İstatistik Ders Notları 08 Ceap Erdemir BÖLÜM 5 ÖRNEKLME DAĞILIMLARI 5. Giriş Öreklem istatistikleri kullaılarak kitle parametreleri hakkıda çıkarsamalar yapmak istatistik yötemleri öemli bir bölümüü oluşturur.gülük

Detaylı

Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deney 2

Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deney 2 Ayrı Sistemler Eletri&Eletroi Mü. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deey 2 Prof. Dr. Aydı Aa Dr. Erol Öe Baatti Karaaya Koray Sistemleri Özellileri 1. Doğrusallı Liearity: y a ay Ölçeleme scalig, a armaşı

Detaylı

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM Nesliha KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 00 ANKARA Nesliha Koza BAŞAK taraıda hazırlaa KANTOROVICH-STANCU

Detaylı

6 (saatte 6 müşteri aramaktadır), servis hızı ise. 0.6e

6 (saatte 6 müşteri aramaktadır), servis hızı ise. 0.6e İST KUYRUK TEORİSİ ARASIAV SORULARI ( MAYIS ). Bir baaı müşteri hizmetleride te işi hizmet vermetedir. Müşteriler ortalama daiada bir arama yapmatadır bua arşı ortalama servis süresi ise daia sürmetedir.

Detaylı

Sistem Dinamiği ve Modellemesi

Sistem Dinamiği ve Modellemesi Sistem Diamiği ve Modellemesi Sistem Nedir? Belli bir görevi yerie getire te bir elemaa veya biribirleri ile fizisel olara ilişiledirilmiş elemalara sistem deir. Sistem Taımı ve Temel Kavramlar Sistem

Detaylı

Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri

Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri C.Ü. Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi 5Cilt 6 Sayı Aralığı İç Notasıda Süresizliğe Sahip Dirac Operatörüü Spetral Özellileri R. Kh. AMİROV ve Y. GÜLDÜ Cumhuriyet Üiversitesi Fe Edebiyat Faültesi

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

ifadesi ile, n kişilik bir topluluktakilerinin doğum günlerinin tümünün farklı olması olasılığını

ifadesi ile, n kişilik bir topluluktakilerinin doğum günlerinin tümünün farklı olması olasılığını Çözüler (Wee tr). Bir taraftai (bu tarafı yuarı taraf abul edeli) uçları iişer iişer, rastgele seçere bağlayalı. Bağlaa çiftlerde birii seçip, çifti oluştura iplere A ve A diyeli. A, aşağıda serbest duruda

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİN. Prof. Dr. Levent ŞENYAY VIII - 1 İSTATİSTİK II

İSTATİSTİKSEL TAHMİN. Prof. Dr. Levent ŞENYAY VIII - 1 İSTATİSTİK II 8 İSTATİSTİKSEL TAHMİN 8.. İstatistiksel tahmileyiciler 8.. Tahmileyicileri Öellikleri 8... Sapmasılık 8... Miimum Varyaslılık 8..3. Etkilik 8.3. Aralık Tahmii 8.4. Tchebysheff teoremi Prof. Dr. Levet

Detaylı

sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir

sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörleri taımlamak içi iki yol vardır: uzayda oktalara karşılık gele bir koordiat sistemideki oktalar veya büyüklük ve yöü ola eseler. Bu kısımda, ede iki vektör taımıı buluduğu açıklaacak

Detaylı

[ ]{} []{} []{} [ ]{} g

[ ]{} []{} []{} [ ]{} g ZAMAN TANIM ALANINDA ÇÖZÜM Yapı özellilerii ortogoalli şartlarıı sağlaaası duruuda, diferasiel hareet delei doğruda üeri ötelerle çözülebilir Depre etisi altıdai ço atlı apılara ugulaa üzere ii arı üeri

Detaylı

4/16/2013. Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin

4/16/2013. Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin 4/16/013 Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyası içi Tahmi Kitle ve Öreklem Öreklem Dağılımı Nokta Tahmii Tahmi Edicileri Özellikleri Kitle ortalaması içi Aralık Tahmii Kitle Stadart Sapması içi Aralık Tahmii

Detaylı

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları İspalarıyla Türev Ala Kuralları Muarre Şai dy f( ) f() y f() y f () li d 0. f() a (a R) ise f ()? f( ) f() a a f () li li 0 0 f () 0 5. f() ise f ()? f () li 0 ( ) ( ) f () li 0 ( ) f () li li 0 ( ) 0.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONVEKS FONKSİYONLAR VE MATRİS EŞİTSİZLİKLERİ Vilda BACAK YÜKSEK LİSANS TEZİ Matemati Aabilim Dalı Temmuz- KONYA Her Haı Salıdır ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ

Detaylı

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1 S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

Gibi faktörlerin alt kümlerindeki kritik faktörler (mali ve operasyonel) dikkate alınarak her bir yöntem için ayrı ayrı olmak üzere ;

Gibi faktörlerin alt kümlerindeki kritik faktörler (mali ve operasyonel) dikkate alınarak her bir yöntem için ayrı ayrı olmak üzere ; KULLANILACAK SOFTWARE: AVRA a) Geel Açılama Uzmaları özel değerledirmeleri ve firmaları prestijleri temel olmala beraber, dereceledirme çalışmalarımızda, eoomi ve matemati bilimlerii birlite ürettiği teorilerde

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahminleme ve Hipotez Testlerine Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahminleme ve Hipotez Testlerine Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahmileme ve Hipotez Testlerie Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üiversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr

Detaylı

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR?

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR? İÇİ ÖREKEME YAPIIR? Zama Kısıdı Maliyeti Azaltma Hata Oraıı Azaltma Souca Ulaşma Hızı Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRİOĞU Araş.Gör. Efe SARIBAY Örekleme Teorisi kousuu içide, Örekleme Tipleri populasyoda örek

Detaylı

BÖLÜM 3. ile gösterilir. m-boyutlu öklit kümesini tanımlayan m adet kümenin kartezyen (Catesian) çarpımı,

BÖLÜM 3. ile gösterilir. m-boyutlu öklit kümesini tanımlayan m adet kümenin kartezyen (Catesian) çarpımı, BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ Bölüm de, doğrusal regresyo tek değişkeli basit model olarak ele alıarak açıklamıştı. Bölüm 4 de ise çok değişkeli (k değişkeli) model içi

Detaylı

T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ. Hikmet Turan EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ

T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ. Hikmet Turan EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ Himet Tura EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE KIRŞEHİR 013 i FEN BİLİMLERİ

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

SEZGİSEL BULANIK CHOQUET İNTEGRAL OPERATÖRÜ YARDIMI İLE OPTİMAL ÜRETİM FAKTÖR SEÇİMİ

SEZGİSEL BULANIK CHOQUET İNTEGRAL OPERATÖRÜ YARDIMI İLE OPTİMAL ÜRETİM FAKTÖR SEÇİMİ SEZGİSE BUANIK CHOQUET İNTEGRA OPERATÖRÜ YARDIMI İE OPTİMA ÜRETİM FAKTÖR SEÇİMİ Murat BEŞER muratbeser @ yahoo.com ÖZET Bu çalışmada il olara -bulaı ümeler ümesi F X i bir alt ümesi ola sezgisel bulaı

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C BLS Öcei erste; DN izilerie,,g, bazlarıı izilişi, RN izilerie,,g,u bazlarıı izilişi ve protei izilerie amio asitleri izilişi baımıa, orta bir alfabe ile yazılmış izileri hizalaması üzerie urulu. Hizalamış

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz; Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9

Detaylı

ELASTİK DAVRANIŞ SPEKTRUMUNUN YAPAY SİNİR AĞI YAKLAŞIMI İLE TAHMİNİ

ELASTİK DAVRANIŞ SPEKTRUMUNUN YAPAY SİNİR AĞI YAKLAŞIMI İLE TAHMİNİ ELASTİK DAVRANIŞ SPEKTRUMUNUN YAPAY SİNİR AĞI YAKLAŞIMI İLE TAHMİNİ ÖZET: E.Ç. Kademir-Mazaoğlu 1 ve Ç. Kademir-Çavaş 1 Yardımcı Doçet, İşaat Müh. Bölümü, Uşa Üiversitesi Doçet, Bilgisayar Bil. Bölümü,

Detaylı

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

DİZİLER - SERİLER Test -1

DİZİLER - SERİLER Test -1 DİZİLER - SERİLER Test -. a,,,,, dizisii altıcı terimi. Geel terimi, a ola dizii kaçıcı terimi dir? 6. Geel terimi, a! ola dizii dördücü terimi 8 8 6. Geel terimi, a k k ola dizii dördücü terimi 6 0 6

Detaylı

KÖKLÜ SAYILAR. 1 n n. x a a x say s na a n n n. kuvvetten kökü denir. Köklü say lar n. çözüm. n n. a özelli inden, çözüm. m n n. çözüm. çözüm.

KÖKLÜ SAYILAR. 1 n n. x a a x say s na a n n n. kuvvetten kökü denir. Köklü say lar n. çözüm. n n. a özelli inden, çözüm. m n n. çözüm. çözüm. KÖKLÜ SAYILAR Köklü Sayılar ve doal say olmak üzere, x =a deklemii salaya hepsi ay zamada birer üslü saydr. = ise a a (karekök a) = ise a (küpkök a) = ise a (. kuvvette kök a) : : = ise a (. kuvvette kök

Detaylı

ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI

ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI YILDIZ TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI Oa GERÇEK FBE Matemati Aabilimdalı Matemati Programıda

Detaylı

6. Uygulama. dx < olduğunda ( )

6. Uygulama. dx < olduğunda ( ) . Uygulama Hatırlatma: Rasgele Değşelerde Belee Değer Kavramı br rasgele değşe ve g : R R br osyo olma üzere, ) esl ve g ) ) < olduğuda D ) sürel ve g ) ) d < olduğuda g belee değer der. c R ve br doğal

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı