Üçüncü adımda ifade edilen özel kısıtları oluģturabilmek için iki genel yöntem geliģtirilmiģtir:

Transkript

1 TAMSAYILI DOGRUSAL PROGRAMLAMA ALGORİTMALARI TDP Algoritmaları, doğrusal programlamanın baģarılı sonuçlar ve yöntemlerinden yararlanma üzerine inģa edilmiģtir. Bu algoritmalardaki stratejiler üç adım içermektedir: Adım 1. Herhangi bir 0-1 tamsayılı y değiģkenini 0 y 1 sürekli aralığında değerler alacak Ģekilde değiģtirip, bütün tamsayılı değiģkenlerle ilgili tamsayı olma kısıtlarını da kaldırarak çözüm uzayını gevģetin. Böylelikle problem normal doğrusal programlama halini alacaktır. Adım 2. Doğrusal programlama problemini çözerek sürekli durumdaki optimumu belirleyin. Adım 3. Sürekli optimum noktasından baģlayıp, tekrarlı bir Ģekilde özel kısıtlar ekleyerek çözüm uzayında düzeltmeler yapın. Böylelikle tamsayılı gereksinimleri de karģılayacak bir optimum uç noktaya ulaģın. Üçüncü adımda ifade edilen özel kısıtları oluģturabilmek için iki genel yöntem geliģtirilmiģtir: 1. Dal-Sınır (DS) Yöntemi 2. Kesme Düzlemi Yöntemi Gerçi iki yöntemden hiçbiri TDP problemlerini çözmede sürekli daha iyi sonuç vermeyecektir, bununla birlikte, deneyimler dal-sınır yönteminin kesme düzlemi yöntemine göre çok daha baģarılı olduğunu göstermektedir. Dal-Sınır (DS) Algoritması Dal-Sınır Algoritmasının esasları (uygulama ayrıntıları) ileride sayısal bir örnek üzerinde açıklanacaktır. ġimdi DS Algoritmasını özetleyelim. Elimizde bir maksimizasyon problemi olsun ve TDP'nin optimum amaç değerine iliģkin baģlangıç altsınırını da Maks Z = - veya Min Z = kabul edelim. i = 0 olsun Adım 1. (derinleģtirme/sınırlama). Ġncelenecek bir sonraki altproblem için LP i 'yi seçerek çöz ve Ģu üç koģuldan birini kullanarak incelemeyi derinleģtirmeye çalıģ. (a) LP i 'nin optimum z değeri mevcut altsınırdan daha iyi bir amaç değeri veremez. (b) LP i, mevcut altsınırdan daha iyi bir uygun tamsayılı çözüm verir. (c) LP i 'nin uygun çözümü yoktur. Ġki durum ortaya çıkacaktır. (a) LP i derinlemesine tamamen incelenmiģse ve daha iyi bir TDP çözümü bulunmuģsa altsınırı güncelleģtir. Altproblemlerin tümü incelenmiģse dur. Optimum TDP mevcut altsınırla iliģkilidir. Aksi halde i = i + 1 yap ve adımı 1'e git. (b) LP i tamamen incelenmemiģse dallanma için adım 2'ye git. Adım 2. (dallanma). x j tamsayı değiģkenlerinden birini seç fakat bunun LP i çözümündeki optimum değeri x j * tamsayı olmasın x j [x j *] ve x j [x j *] + 1 Ģeklinde iki doğrusal programlama altproblemi oluģturarak [x j *] < [x j ] < [x j *] + 1 bölgesini elimine et. i = i + 1 yap ve adım 1'e git.

2 Bu adımlar maksimizasyon problemleri içindir. Minimizasyon için altsınır yerine baģlangıç değeri z = + olan bir üstsınır alınır. DS Algoritması karma problemlere doğrudan uygulanabilir (değiģkenlerin sadece birkaçı tamsayıdır). Bir değişken sürekliyse bunu hiçbir zaman dallanma değişkeni olarak seçmeyiz. Kesikli değiģkenlerin değerleri tamsayıysa ve amaç değeri de mevcut sınıra göre daha iyiyse, uygun altproblem amaç değeri üzerinde yeni bir sınır verir. EMLAKÇI PROBLEMİ Bir emlakçı gayri-menkul alım satımı ile gelir sağlamaktadır. Hali hazırda satın alabileceği iki tip mesken bulunmaktadır. Triplex villa fiyatı $ ; apartman fiyatı $. Emlakçının elinde kullanılabilecek $ vardır. Satın alabileceği en fazla Triplex villa sayısı 4 tür. Ayrıca bir Triplex villa pazarlamak için 8 saat bir apartman pazarlamak için ise 80 saate ihtiyacı olan emlakçının toplam mesai süresi 280 saaattir. Triplex villa satıģından 2000 $ apartman satıģından 3000 $ kar elde edecek olan emlakçı için en uygun alım satım politikasını belirleyiniz. (x 1 : Triplex villa sayısı x 2 : apartman sayısı ) x 1 4 ve tamsayı Matematiksel model LPR olarak çözülür. (LPRelaxation= normal LP sonuç, tamsayılı olduğu düģünülmeden çözülen sonuç). Tora sonucu z=14.66 x 1 =2.44 x 2 =3.26 olarak bulunur. Bu miktarlarda ev alınamayacağı aģikârdır. * AS (Alt sınır) : LPR sonucunda elde edilmiģ kesirli değiģken değerlerinin bir alt değerlere (x 1 =2 x 2 =3 z=13) yuvarlanması ile elde edilen olurlu tamsayılı çözümdür AS=13 olacaktır. LPR= AS olduğunda optimum tamsayılı çözüm bulunmuģ olur. 1.düğüm sonuçları için değiģken değerlerinden kesir değeri büyük olanı seçeriz..44 >.26 olduğundan x 1 değiģkenini kullanarak dallanmayı baģlatırız. (minimizasyon problemlerinde de yine büyük kesirli olan değiģken seçilir.)dallar sırasıyla x 1 2 ve x kısıtlarının ilave edildiği modelleri ifade eder. Bu dallar sırasıyla 2. ve 3. düğümü oluģturur. Bu düğümler grafiksel ve matematiksel olarak aģağıdaki tablolarda verilmiģtir. 2. düğüm çözüldüğünde (program yardımıyla) LPR (z)=13.9 x 1 = 2 x 2 = 3.3 değerlerini verir. x 1 = 2 x 2 = 3 alındığında AS=13 olacaktır. LPR AS! 3. düğün çözüldüğünde LPR=14.58 x 1 = 3 x 2 = 2.86 olarak bulunur. AS= 12 LPR AS! Bu aģamada dallanmanın hangi düğümden devam edeceğine LPR değerine bakarak karar veririz. (Maksimizasyon probleminde en büyük, minimizasyon probleminde en küçük LPR ye sahip olan düğümü seçeriz.) Bu aģama için 3. düğümden dallandırmaya devam ederiz >13.9 Dallar sırasıyla x 2 2 ve x 3 3 kısıtlarının ilave edildiği modelleri ifade eder. (önceki dallanmadan var olan x 1 3 kısıtı her iki dal için ayrıca geçerlidir)

3 4. düğüm çözüldüğünde LPR=14 x 1 = 4 x 2 = 2 olarak bulunur. bu durumda AS= 14 ve LPR=AS olur. z=14 değeri 1. düğümün AS değerinden de büyüktür. 5. düğüm çözülmeye çalıģıldığında modelin olursuz (infeasible) olduğu anlaģılır. Sonuç optimum tamsayılı çözüm x 1 = 4 x 2 = 2 z=14 dir. Not 1: 4.düğüm LPR değeri 13.5 olsaydı, 2. düğümden dallandırmaya başlardık. Not 2: Bir düğümden dallanarak oluşan düğümler kesinlikle daha yüksek LPR vermezler. Not 3: Olursuz çözüm veren düğümler dallanmazlar. ÖDEV max. z 5x 1 + 4x 2 x 1 + x x 1 + 6x 2 45 ve tam sayı max. z 3x 1 + 2x 2 2x 1 + 5x x 1 + 2x 2 18 ve tam sayı max. z 10x 1 + 3x 2 6x 1 + 7x 2 9 3x 1 + x 2 9 ve tam sayı

4 LPR= x 1 = 2.44 x 1 2 x 1 3 x 2 = 3.26 AS= 13* LPR=13.9 x 1 = 2 x 2 = 3.3 AS= LPR=14.58 x 1 = 3 x 2 2 x 2 3 x 2 = 2.86 AS= 12 LPR=14 x 1 = 4 x 2 = 2 AS= Çözüm yok, Olursuz Her bir düğüm için LPR modeli sırasıyla verilmiģtir. DÜĞÜM 1 x 1 4 DÜĞÜM 2 x 1 4 x 1 2 DÜĞÜM 3 x 1 4 x 1 3 DÜĞÜM 4 x 1 4 (gereksiz kısıt) x 1 3 x 2 2 DÜĞÜM 5 x 1 4 x 1 3 x 2 3

5 2. Kesme Düzlemi Yöntemi DS Algoritmasındaki gibi, Kesme Düzlemi Algoritması da sürekli bir doğrusal programlama probleminin optimum çözümüyle baģlar. Ancak, bu yöntemde dallanma ve sınırlamadan çok, kesme adı verilen özel kısıtlar ardarda oluģturularak çözüm uzayının düzenlenmesine gidilir. Bu düģünceyi önce grafik örnek üzerinde gösterecek, ardından da cebirsel uygulamaya geçeceğiz. AĢağıdaki TDP problemi için Kesme Düzlemi Algoritmasının nasıl kullanılacağını gösterin. maks. z = 7x x 2 -x 1 + 3x 2 6 7x 1 + x 2 35 ve tamsayı Kesme Düzlemi Algoritması, optimum çözümü n tamsayılı bir uç noktada meydana gelmesi için kesmeler ekleyerek çözüm uzayını düzenler. AĢağıda böyle iki kesmenin kullanıldığı bir örnek görülmektedir. x 2 Optimum: (, 3 ) x 2 Optimum: (4, 3) x 2 Optimum: (4, 3) x x x 1 Önce, problemin sürekli olduğunu düģünerek çözümünü yapar ve optimum çözümü (x 1, x 2 ) = (4, 3 ) ; z= 66 olarak buluruz. Ardından 1. kesmeyi ekleriz ve yeni optimumu (x 1, x 2 ) = (4, 3) ve z = 62 olarak bulunur. Daha sonra 2. kesmeyi ekleriz, bu sefer yeni optimum noktası (x 1, x 2 ) = (4, 3) ve z = 58 olarak bulunur. Son çözümdeki değiģkenler, istendiği gibi tamsayı halindedir. Eklenen kesmeler, orijinal uygun tamsayı noktalarının herhangi birini elimine etmez, ama bu kesmeler en az bir tane uygun ya da uygun olmayan tamsayı noktasından geçmelidir. Bunlar, herhangi bir kesme için temel gerekliliklerdir. Genelde, birkaç (sonlu) kesmeyle tamsayılı uç noktaya ulaģılarak istenen sağlanmıģ olur. Gerçekten de, istenen tamsayılı çözümü oluģturmak için gereken kesme sayısı problemin boyutlarından bağımsızdır. Nitekim küçük sayıda az sayıda değiģkeni ve kısıtı olan problemler büyük problemlerden daha çok kesmeye gerek duyabilmektedir. Kesmelerin cebirsel oluşumu: Kesme Düzlemi Algoritması doğrusal programlama problemini sürekli değiģkenler için çözerek iģe baģlar. Elde edilen optimum tabloda tamsayılı olmayan temel değiģken satırlarından biri (kaynak satır) seçilir. Ġstenen kesme, bu kaynak satırın kesirli bileģenlerinden oluģturulur. Bundan dolayı da iģlem kesirli kesme adını alır. ġimdi, bu kesirli kesme iģlemi ele alınacaktır. Burada karmaģık notasyonla ilgilenmekten çok, kesmenin oluģumu sayısal bir örnek üzerinde incelenecektir.

6 Yukarıda grafiksel çözümü verilen problemin optimum çözümünü veren tablo aģağıda olup, birinci kısıtın dolgu değiģkeni x 3 ile, ikincininki ise x 4 ile gösterilmiģtir. Temel x 1 x 2 Çözüm z x x Optimum sürekli değiģken çözümünde x 1 = 4, x 2 = 3, x 3 = 0, ve x 4 = 0 olup z = 66 'dir. Tamsayı kesimi, tüm değiģkenlerin tamsayı olduğu varsayımıyla geliģtirilmiģtir. Burada, orijinal amaç fonksiyonu katsayılarının da tamsayı olması nedeniyle, hesaplanan tamsayılı çözümün z değeri de tamsayı olacaktır. Optimum tablodaki bilgilerden aģağıdaki denklemler yazılabilir: z+ x 3+ x 4=66 x 2 + x 3+ x 4=3 x 1 - x 3+ x 4=4 Bu örnekte optimum tabloda kesirli değerlere sahip olmaları nedeniyle z, x 1 ve x 2 değiģkenlerinin tümü tamsayı olmalıdır. Bunun için, bu üç denklemden her- hangi biri kesmeyi oluģturmak üzere kaynak satırı olarak alınır. Bu amacı gerçekleģtirmek üzere keyfi olarak z denklemini seçelim. Kesirli kesmenin oluģturulması için, tamsayı olmayan katsayıların her biri tamsayılı ve kesirli kısımlarına ayrılır. Burada dikkat edilmesi gereken husus, kesirli kısmın daima pozitif olmasıdır. Örneğin, gibi. z satırındaki katsayıları kısımlarına ayırarak, z+ x 3 + x 4 = buluruz. Tamsayılı kısımları sol tarafta, kesirli kısımları da sağ tarafta toplayarak elde ederiz. Kesme iģlemi x 1 ve x 2 kaynakları için de gerçekleģtirilebilir. Benzer Ģekilde x 1 için; x 1 + x 3 + x 4 =

7 x 2 için; x 2 + x 3 + x 4 = kısıtlar bulunur. Bu üç kesmeden herhangi biri Kesme Düzlemi Algoritmasının birinci yinelemesinde (aģamasında) kullanılabilir. Bundan dolayı, bu üç kesimin hepsinin yineleme öncesinde hesaplanması gerekmez. Kesmenin x 2 satırından baģlanmasına keyfi olarak karar verilmiģ olsun. Bu durumda aģağıdaki iģlemler yapılır: (Kesme 1) Bu kısıt optimum tabloya yeni bir kısıt olarak aģağıdaki gibi eklenir. Temel x 1 x 2 s 1 Çözüm z x x s Bu tablo optimumdur fakat uygun değildir. Uygunluğu sağlamak üzere daul simplex yöntemi uygulandığında aģağıdaki tablo elde edilir. Temel x 1 x 2 s 1 Çözüm z x x x

8 Bu çözümde x 1 ve x 3 hala tamsayı değildir. Yeni kesme satırı olarak x 1 seçilir ve iģlemlere devam edilirse; x 1 + x 3 + x 4 = (Kesme 2) bulunur. Son tabloya bu ikinci kesme eklendiğinde aģağıdaki tablo elde edilmiģ olur: Temel x 1 x 2 s 1 s 2 Çözüm z x x x s Yine dual simpleks uygulandığında; Temel x 1 x 2 s 1 s 2 Çözüm z x x x s elde edilir. Çözüm optimum olup, değiģkenlerin tümü tamsayılı değerler almıģtır (x 1 =4, x 2 = 3, z =58). Son tablodaki katsayıların hepsinin tamsayı çıkın rastlantı değildir. Bu, kesirli kesme uygulamasının tipik bir karakteristiğidir.

9 Burada belirtilmesi gereken önemli bir husus, kesirli kesmenin dolgu ve artık değiģkenleri de içeren bütün değiģkenleri tamsayı olarak kabul ettiğidir. Bu da kesmenin sadece tümüyle tamsayılı olan problemlerle ilgili olması demektir. Not1: Eğer kısıtlar içinde kesirli katsayılar mevcut ise dolgu ve yapay değiģkenleri tam sayıya çevirmek için gerekli çarpım iģlemleri yapılmalıdır. Örnek; x 1 + x 2 x 1 + x 2 +s 1 = x 1 + x 2 +s 1 = görüldüğü gibi bu tip bir matematiksel modelin optimum çözümü için dolgu değiģkeni tamsayılı bir değer almadan gerçekleģebilir. Bu matematiksel yanılmadan kurtulmak için kısıtımızı 6 ile çarpılarak geniģletir ve yapay değiģkeni bunun üzerine ekleriz. 6x 1 +2 x 2 +s 1 = 39 Not2: Kesme algoritmasının herhangi bir aģamasında 2 veya daha fazla kesirli sağ taraf değeri oluģursa, bir sonraki iterasyon için kesirli değeri 0.5 e en yakın olan kısıttan yola çıkarak kesme iģlemi devam ettirilir. (Örneğimizde ilk aģamada 3 satırın sağ taraf değerlerinin kesirleri 0.5 idi ve keyfi olarak x 2 satırından çözüme baģlanmıģtı.) Referanslar Taha, H.A. Yöneylem araģtırması (Baray ġ.a. ve Esnaf ġ. 6.Basımdan çeviri) 2005 Literatür Yayıncılık, Ġstanbul Anderson D.R. Sweeney D.J. Williams T.A. An Introductions To Management Science Basım Thomson South-Western, USA