DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DOĞRUSAL PROGRAMLAMA"

Transkript

1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

2 Doğrusal Programlama Two Mines örneği incelenirse, bir matematiksel modelin bir "Doğrusal Program" (DP; linear program - LP) olması için aşağıdaki koşulları sağlaması gerektiği görülür: Tüm değişkenler süreklidir (continuous) Tek bir amaç vardır (enbüyükleme (maximize) veya enküçükleme (minimize)) Amaç ve kısıt fonksiyonları doğrusaldır. Fonksiyondaki her terim ya sabit sayıdır ya da bir sabitle çarpılmış değişkendir DP'ler önemlidir çünkü: çok sayıda sorun DP olarak formüle edilebilir "Simpleks algoritması" kullanılarak DP'ler çözülebilir ve en iyi çözüm bulunabilir 2

3 Doğrusal Programlama DP'lerin temel uygulama alanlarına aşağıda çeşitli örnekler verilmiştir: Üretim planlama Rafineri yönetimi Karışım Dağıtım Finansal ve ekonomik planlama İşgücü planlaması Tarımsal planlama Gıda planlama 3

4 Doğrusal Programlama DP'ler için dört temel varsayım söz konusudur: Oransallık Toplanabilirlik Bölünebilirlik Kesinlik 4

5 DP Çözüm çeşitleri DP probleminin çözümü sonunda karşılaşabileceğimiz çözümler aşağıdakilerden biri olabilir. a) Optimal çözüm, b) Temel çözüm, c) Uygun çözüm, d) Dejenere(bozulan) çözüm. 5

6 Uygun Çözüm hali, Elde edilen çözüm DP probleminin tüm kısıtlayıcılarını doyurursa uygun çözüm olur. Optimal çözüm, Problemin çözümü sonunda birkaç uygun çözüm olabilir. Bu uygun çözümler arasından en iyi olanı Optimal Çözümdür. Temel Çözüm, Amaç fonksiyonu ve negatif olmama koşulu dışında, problemin formülasyonunda m sayıda kısıt ve n tane değişken varsa tek bir temel çözüm vardır. Bozulan Çözüm, Temel çözümün bir veya birkaç temel değişkeninin değeri sıfırsa, bozulan çözüm vardır 6

7 DP Modellerinin Formülasyonu Formülasyon işleminde 3 adım bulunmaktadır; 1) Karar değişkenlerini belirle ve bunları cebirsel sembollerle belirle. 2) Problemin tanımı içinde yer alan tüm kısıtları veya sınırlamaları belirle ve bu kısıtları karar değişkenlerinin fonksiyonu olarak,doğrusal Denklemler(eşitlikler) veya Eşitsizlikler şeklinde yaz. 3) Karar Değişkenlerinin doğrusal fonksiyonu olarak Amaç Fonksiyonunu(max veya min) tanımla. 7

8 ÖRNEK Giapetto Örneği (Winston 3.1., s. 49) Giapetto tahtadan oyuncak asker ve tren yapmaktadır. Satış fiyatları, bir oyuncak asker için $27, bir oyuncak tren için $21'dır. Bir asker için $10'lık hammadde ve $14'lık işçilik kullanılmaktadır. Bir tren için ise söz konusu rakamlar sırasıyla $9 ve $10'dır. Her bir asker için 2 saat montaj ve 1 saat marangozluk gerekirken, her bir tren için 1 saat montaj ve 1 saat marangozluk gerekmektedir. Eldeki hammadde miktarı sınırsızdır, fakat haftada en çok 100 saat montaj ve 80 saat marangozluk kullanabilen Giapetto'nun haftada en fazla 40 oyuncak asker satabileceğini göz önünde bulundurarak karını enbüyüklemek için hangi oyuncaktan haftada kaç adet üretmesi gerektiğini bulunuz. 8

9 ÇÖZÜM 1 Karar değişkenleri tam olarak verilmesi gereken (bu sorunda Giapetto tarafından) kararları tanımlamalıdır. Giapetto bir haftada kaç oyuncak asker ve tren yapacağına karar vermelidir. Bu karara göre aşağıdaki karar değişkenleri tanımlanabilir: x1 = bir haftada üretilen asker sayısı x2 = bir haftada üretilen tren sayısı Amaç fonksiyonu karar değişkenlerinin bir fonksiyonudur. Gelir veya karını enbüyüklemek ya da maliyetini enküçüklemek isteyen karar vericinin amacını yansıtır. Giapetto haftalık karını (z) enbüyüklemek isteyecektir. Bu sorunda kar (haftalık gelir) (hammadde satınalma maliyeti) (diğer değişken maliyetler) olarak formüle edilebilir. Bu durumda Giapetto nun amaç fonksiyonu: Enbüyükle z = 3x1 + 2x2 Kısıtlar karar değişkenlerinin alabileceği değerler üzerindeki, sınırlamaları gösterir. Herhangi bir sınırlama olmazsa Giapetto çok fazla sayıda oyuncak üreterek çok büyük kar elde edebilir. Fakat gerçek hayatta olduğu gibi burada da kısıtlar vardır; Haftalık kullanılabilen montaj işçiliği zamanı Haftalık kullanılabilen marangozluk zamanı Askerler için haftalık talep İşaret sınırlamaları da eğer karar değişkenleri salt negatif olmayan değerler alıyorsa kullanılmalıdır (Giapetto negatif sayıda asker veya tren üretemez!). 9

10 Çözüm 1 Yukarıdaki tüm bu özellikler aşağıdaki Doğrusal Programlama (DP; Linear Programming - LP) modelini verir: Maks z = 3x1 + 2x2 (Amaç fonksiyonu) s.t. 2x1 + x2 100 (Montaj kısıdı) x1 + x2 80 (Marangozluk kısıdı) x1 40 (Talep kısıdı) x1, x2 0 (İşaret sınırlamaları) Eğer (x1,x2) nin bir değeri (bir çözüm) tüm bu kısıtları ve işaret sınırlamalarını sağlarsa, söz konusu çözüm olurlu bölgededir (feasible region). Grafik olarak ya da hesaplayarak sorun çözüldüğünde olurlu bölgedeki çözümlerden amaç fonksiyon değeri en yüksek olan çözümün (x1,x2) = (20,60) olduğunu ve z=180 değerini verdiğini buluruz. Bu çözüm en iyi çözümdür (optimal solution). 10

11 Çözüm 1 Yukarıdaki tüm bu özellikler aşağıdaki Doğrusal Programlama (DP; Linear Programming - LP) modelini verir: Maks z = 3x1 + 2x2 (Amaç fonksiyonu) s.t. 2x1 + x2 100 (Montaj kısıdı) x1 + x2 80 (Marangozluk kısıdı) x1 40 (Talep kısıdı) x1, x2 0 (İşaret sınırlamaları) Eğer (x1,x2) nin bir değeri (bir çözüm) tüm bu kısıtları ve işaret sınırlamalarını sağlarsa, söz konusu çözüm olurlu bölgededir (feasible region). Grafik olarak ya da hesaplayarak sorun çözüldüğünde olurlu bölgedeki çözümlerden amaç fonksiyon değeri en yüksek olan çözümün (x1,x2) = (20,60) olduğunu ve z=180 değerini verdiğini buluruz. Bu çözüm en iyi çözümdür (optimal solution). 11

12 Çözüm 1 Rapor Haftada 20 asker ve 60 tren üretilmesi durumunda kar $180 olacaktır. Kar miktarları, eldeki işçilik ve talebe göre elde edilebilecek en büyük kar budur. Daha fazla işçilik bulunursa kar çoğalabilir. 12

13 ÖRNEK Reklam Örneği (Winston 3.2, s. 61) Dorian şirketi, yüksek gelirli müşterileri için otomobil ve jeep üretmektedir. Televizyondaki tiyatro oyunlarına ve futbol maçlarına bir dakikalık spot reklamlar vererek satışlarını arttırmayı hedeflemektedir. Tiyatro oyununa verilen reklamın maliyeti $50bin'dir ve hedef kitledeki 7 milyon kadın ve 2 milyon erkek tarafından seyredilebilir. Futbol maçına verilen reklamın maliyeti ise $100bin'dir ve hedef kitledeki 2 milyon kadın ve 12 milyon erkek tarafından seyredilebilir. Dorian yüksek gelirli 28 milyon kadın ve 24 milyon erkeğe en az maliyetle nasıl ulaşır? 13

14 ÇÖZÜM 2 Karar değişkenleri aşağıdaki gibi belirlenebilir: x1 = tiyatro oyununa verilen reklam sayısı x2 = futbol maçına verilen reklam sayısı Sorunun modeli: min z = 50x x2 öyle ki 7x1 + 2x2 28 2x1 + 12x2 24 x1, x2 0 Grafik çözüm yapılırsa (x1,x2) = (3.6,1.4) değerleri için amaç fonksiyonunun en iyi değeri z = 320 olarak bulunur. Grafiğe bakılarak en iyi tamsayılı çözüm (x1,x2) = (4, 2) olarak bulunabilir. 14

15 Çözüm 2 Rapor Hedeflenen kitleye ulaşmak için en az maliyetli çözüm 4 adet reklamı tiyatro oyununda ve 2 adet reklamı futbol maçında kullanmak gerekir. Bu durumda Dorian $400bin reklam masrafı yapacaktır 15

16 ÖRNEK Beslenme Örneği (Winston 3.4., s. 70) Bayan Fidan dört "temel gıda grubu" ile beslenmektedir: kek, çikolatalı dondurma, kola, ananaslı pasta. Bir adet kek $0.5'a, bir kaşık dondurma $0.2'a, bir şişe kola $0.3'a ve bir dilim pasta $0.8'a satılmaktadır. Her gün en az 500 kalori, 6 oz. çikolata, 10 oz. şeker ve 8 oz. yağ alması gereken Bayan Fidan en az maliyetle bu gereksinimlerini nasıl karşılar? Aşağıdaki tabloyu kullanarak bir DP modeli kurup sorunu çözünüz. Kalori Çikolata Şeker Yağ (ounce) (ounce) (ounce) Kek (1 adet) Çikolatalı dondurma (1 kaşık) Kola (1 şişe) Ananaslı pasta (1 dilim)

17 ÇÖZÜM 3 Karar değişkenleri: x1: günlük yenilecek kek sayısı x2: günlük yenilecek kaşık dondurma sayısı x3: günlük içilecek şişe kola sayısı x4: günlük yenilecek dilim pasta sayısı şeklinde belirlenebilir. Bu durumda amaç fonksiyonu (cent cinsinden toplam günlük maliyet): min w = 50 x x x x4 Kısıtlar: 400 x x x x4 > 500 (günlük kalori) 3 x1 + 2 x2 > 6 (günlük çikolata) 2 x1 + 2 x2 + 4 x3 + 4 x4 > 10 (günlük şeker) 2 x1 + 4 x2 + x3 + 5 x4 > 8 (günlük yağ) xi > 0, i = 1, 2, 3, 4 (işaret sınırlamaları!) 17

18 Çözüm 3 Rapor Bayan Fidan günde 3 kaşık dondurma yiyip 1 şişe kola içerek tüm besin gereksinimlerini karşılayabilir ve sadece 90 cent harcar (w=90, x2=3, x3=1). 18

19 ÖRNEK Postane Örneği (Winston 3.5., s. 74) Bir postanede haftanın her günü farklı sayıda elemana gereksinim duymaktadır. Sendika kurallarına göre bir eleman 5 gün peş peşe çalışmakta diğer iki gün izin yapmaktadır. Çalıştırılması gereken toplam en az eleman sayısını aşağıdaki iş yüküne göre hesaplayınız. Pzt Sal Çar Per Cum Cmt Paz Gerekli eleman

20 ÇÖZÜM 4 Karar değişkenleri xi (i. gün çalışmaya başlayan eleman sayısı) olsun Matematiksel olarak DP modeli aşağıdaki gibi oluşturulabilir: min z = x1 +x2 +x3 +x4 +x5 +x6 +x7 x1 + x4 +x5 +x6 +x7 17 x1 +x2 +x5 +x6 +x7 13 x1 +x2 +x3 +x6 +x7 15 x1 +x2 +x3 +x4 +x7 19 x1 +x2 +x3 +x4 +x5 14 +x2 +x3 +x4 +x5 +x6 16 +x3 +x4 +x5 +x6 +x7 11 xt 0, t 20

21 Çözüm 4 Rapor (xt) = (4/3,10/3,2,22/3,0,10/3,5), z = 67/3 şeklindedir. Karar değişkeni değerleri yakın tamsayılara yuvarlanırsa (xt) = (2,4,2,8,0,4,5), z=25 çözümü bulunur (yanlış olabilir!). Elde edilen Tamsayılı Lindo çözümüne göre ise amaç fonksiyonun en iyi değeri z=23'dür ve (xt) = (4,4,2,6,0,4,3) şeklindedir. 21

22 ÖRNEK Sailco Örneği (Winston 3.10., s. 99) Sailco şirketi gelecek dört mevsimde kaç adet yelkenli üreteceğine karar verecektir. Talep sırasıyla 40, 60, 75 ve 25 yelkenlidir. Sailco tüm talepleri zamanında karşılamalıdır. Başlangıçta Sailco'nun envanterinde 10 yelkenli vardır. Normal mesai ile bir mevsimde 40 yelkenli üretebilen şirket yelkenli başına $400 işçilik maliyetine maruz kalmaktadır. Fazla mesai ile yapılan her ek yelkenli için ise işçilik maliyeti $450'dır. Herhangi bir mevsimde yapılan yelkenli ya talebi karşılamak için kullanılıp satılır ya da envantere konulur. Bir yelkenlinin bir mevsim envanterde tutulması durumunda ise $20 envanter taşıma maliyeti oluşmaktadır. 22

23 ÇÖZÜM 5 t = 1,2,3,4 için karar değişkenleri xt = t. mevsimde normal mesai ile üretilen yelkenli sayısı yt = t. mevsimde fazla mesai ile üretilen yelkenli sayısı Envanter hesaplarının yapılabilmesi için kullanılacak değişkenler: it = t. mevsimin sonunda envanterdeki yelkenli sayısı dt = t. dönem için yelkenli talebi Veri xt 40, t Mantıksal olarak it = it-1+ xt + yt - dt, t. Talep karşılanmalı it 0, t (İşaret sınırlamaları xt,yt 0, t) Bu kısıt kümelerini kullanarak toplam maliyet z yi enküçüklemeliyiz: z = 400(x1+x2+x3+x4) + 450(y1+y2+y3+y4) + 20(i1+i2+i3+i4) 23

24 Çözüm 5 Rapor Lindo en iyi çözümü (x1, x2, x3, x4) = (40, 40, 40, 25), (y1, y2, y3, y4) = (0, 10, 35, 0) ve toplam maliyet = $ olarak verir. Üretim çizelgesi: M1 M2 M3 M4 Normal mesai (xt) Fazla mesai (yt) Envanter (it) Talep (dt)

25 ÖRNEK Müşteri Hizmet Düzeyi Örneği (Winston 3.12, s. 108) Bir bilgisayar şirketinde müşteri hizmetleri için deneyimli uzmana olan talep (adamsaat/ay) aşağıdaki gibidir: t Ocak Şub Mart Nis May dt Ocak ayı başında şirkette 50 deneyimli uzman vardır. Her uzman ayda 160 saat çalışabilir. Yeni bir uzmanı yetiştirmek için deneyimli uzmanlar 50 saat ayırmaktadır ve söz konusu uzmanın eğitimi bir ayda tamamlanmaktadır. Her deneyimli uzmana ayda $2000, her yeni uzmana ise ayda $1000 ödenmektedir. Her ay deneyimli uzmanların %5'i işten ayrılmaktadır. Şirket hem hizmet talebini karşılamak istemekte hem de maliyetleri enazlamak istemektedir. Sorunu çözmek için DP modeli kurunuz. 25

26 ÇÖZÜM 6 Karar değişkenleri: xt = t ayında eğitilecek uzman sayısı İşlem yapabilmek için kullanılan diğer değişkenler ise yt = t. ayın başında şirketteki deneyimli uzman sayısı dt = t. ayın hizmet talebi Bu durumda min z = 2000(y1+...+y5)+1000(x1+...+x5) öyle ki 160yt-50xt dt, t = 1,...5 y1 = 50 yt =.95yt-1+xt-1, t = 2,3,4,5 xt,yt 0 26

27 ÖRNEK 7 Ürün Karışım Problemi Beyaz eşya üreten bir firma, mutfakta kullanılan bazı aletleri üretmeyi planlamaktadır.iş gücü ve malzemenin kullanıldığı üretim sürecinde 3 farklı ürünün üretilmesi düşünülmek tedir. Bu süreçle ilgili sayısal bilgiler aşağıda verilmektedir. 27

28 Ü R Ü N L E R A B C İşçilik(ürün başı saat) Malzeme(pound) Kazanç(ürün başı) Bu bilgilerin yanında, üretimin günlük en çok 200 poundluk hammadde kısıtı ve toplam çalışma saati olarak ta 150 saatlik bir kapasite vardır. Bu bilgiler ışığı altında kazancı maksimum yapacak üretim kombinasyonunu belirlemek için problemi DP algoritması içinde formüle ediniz. 28

29 PROBLEMİN FORMÜLASYONU 1. Karar Değişkenleri X A.Ürün A nın günlük üretimi, X B.Ürün B nin günlük üretimi, X C...Ürün C nin günlük üretimi. 2. Kısıtlar Problemin işgücü ve Hammadde miktarı üzerinde 2 kısıtı vardır. 29

30 İş gücü kısıtı 7 X A + 3 X B + 6 X C 150 saat Hammadde Kısıtı 4 X A + 4 X B + 5 X C 200 pound Negatif Olmama Kısıtı X A, X B, X C 0 Amaç Fonksiyonu, Max Z = 4 X A + 2X B + 3X C 30

31 Modelin Toplu Görünüşü Max Z = 4 X A + 2X B + 3X C Kısıtlar 7 X A + 3 X B + 6 X C 150 saat 4 X A + 4 X B + 5 X C 200 pound X A, X B, X C 0 31

32 Çözüm sonuçları X1(NONBasic)= 0 X2 (Basic ) =50 X3 (NONBasic)= 0 slack 1(NONBasic)= 0 slack 2 (Basic) =-5,10897E-06 Optimal Value (Z)=100,

33 ÖRNEK 8 Reklam Aracı Seçme Problemi Bir reklam firması, bir ürün için,tv,radyo ve Magazinlerde yapılmak üzere bir reklam kampanyası planlamaktadır. Kampanyanın amacı mümkün olduğunca daha fazla potansiyel müşteriye ulaşmaktır. Bu amaçla yapılan Pazar araştırmasının sonuçları aşağıdaki gibidir, TV Radyo magazin Gün içi P.time Rekl. Maliyeti($) Ulaşılabilen Müşteri sayısı Ulaşılabilen Kadın Sayısı

34 Reklam firması bu kampanya içinde en çok $ harcama düşünmektedir.bunun yanında; a)ulaşabileceği kadın müşteri sayısının ENAZ kişi olması, b) TV deki reklam harcamalarının ENÇOK $ olması, c) TV gün içi yayınlarda ENAZ 3 Reklamın ve P.Time da da ENAZ 2 Reklamın yapılması, d)radyo ve magazinlerdeki reklam sayısının 5 ile 10 arasında yapılması düşünülmektedir. Bu bilgiler ışığı altında,ulaşılması düşünülen müşteri sayısını maksimum yapacak modelleme çalışmasını yapınız. 34

35 Problemin formülasyonu 1. Karar Değişkenleri X1 : TV gün içi reklam sayısı, X2 : TV P.time reklam sayısı, X3 : Radyo reklam sayısı, X4 : Magazine Reklam sayısı. 2. Kısıtlar a) Bütçe kısıtı X X X X b) Bayan müşteri kısıtı X X X X c) TV Reklam harcama kısıtı 40000X X

36 d) TV Gün içi Reklam Kısıtı X1 3 e) Tv P. Time kısıtı X2 2 f) Radyo ve Magazinde Reklam sayısı kısıtı, X3 5, X3 10, X4 5, X4 10, Amaç Fonksiyonu ise Max Z :400000X X X X4 Şeklindedir. 36

37 Problemin çözümü X1 (Basic)=3 X2 (Basic)=3, X3 (Basic)=10 X4 (Basic)=10 slack 1(NONBasic)=0 surplus 2(Basic)= slack 3(Basic) = surplus 4(NONBasic)=0 surplus 5(Basic)=1, surplus 6(Basic)= 5 slack 7(NONBasic)=0 surplus 8(Basic)= 5 slack 9(NONBasic)=0 Optimal Value (Z) = ,

38 ÖRNEK 8 Kalite Kontrol Denetim Problemi Bir işletmede 2 farklı seviyede denetleme elemanı bulunmaktadır.bir gün boyunca(8 saat içinde) en az 1800 parçanın denetlenmesi arzu edilmektedir. 1.seviye denetleme elemanı, 25 parçayı %98 güvenle 1 saatte denetlerken, 2.seviye denetleme elamanı ise aynı süre içinde 15 parçayı %95 güvenle kontrol edebilmektedir. 38

39 1.denetçinin ücreti $4/ saat iken, 2. denetçinin ücreti ise $3/saat tir. Denetçiler tarafından her zaman yapılan hataların her biri,firmaya $2 maliyet getirmektedir. Firma denetleme işi için 1.kalite denetçiden 8 kişi, 2.kalite denetçiden ise 10 kişi bulabilme şansına sahiptir. Bu bilgiler ışığı altında, firma denetleme maliyetlerini minimize etmek amacı ile EN UYGUN SAYIDA denetçi atamayı planlayacak olan modeli DP tekniği ile kurunuz. 39

40 Problemin Formülasyonu 1-Karar Değişkenleri X1. 1. derece Denetçi Sayısı X2. 2.derece Denetçi sayısı 2-Kısıtlar a) X1 8 (1.derece denetçi sayısı kısıtı) b) X2 10 (2.derece denetçi sayısı kısıtı) c) 8(25) X1 + 8 (15)X denetlenecek en az parça kısıtı 40

41 d) Maliyet Bilgileri (Denetleme sırasında,denetçilere ödenen para ve denetleme hatalarının maliyeti) $4 +2(25)(0.02) = $5 / saat 1.derece denetçiler için Ödenmesi gereken miktar. $3+ 2(15)(0.05) = $4.5 /saat 2.derece denetçiler için Ödenmesi gereken miktar. 1.Denetçinin 1 günlük maliyeti 5*8 = $40 2.Denetçinin 1 günlük maliyeti (4.5)*8=$36 dır. Buradan Amaç Fonksiyonu Min Z = 40 X X2 41

42 DS ile Çözüm X1 (Basic)= 8 X2 (Basic)= 1, slack 1 (NONBasic)= 0 slack 2 (Basic)= 8, surplus 3(NONBasic)=0 Optimal Value (Z)= $380 42

43 ÖRNEK 9 Diyet Programı Bir diyet programında alınan gıdaların Pasta, Dondurma, Soda, ve Peynirli Sandviç ten sağlandığını varsayalım. Ancak diyet yapıldığı anda satın alınacak 4 gıdanın Browni, Çikulatalı dondurma, Kola, Elmalı Kek olduğu bilinmektedir. 43

44 Bu gıdaların maliyeti sırası ile, Browni.50 cent Çikulatalı dondurma 20 cent, Bir şişe kola.30 cent, Elmalı kek...80 cent. Her gün 500 Kalori, 6 Oz çikulata, 10 oz şeker ve 8 Oz yağ harcamak zorunda olduğumuza göre ve gıdaların içerdikleri kaloriler aşağıdaki gibi olduğuna göre, bu karar problemini, günlük kalori ihtiyacını minumum maliyetle karşılayacak şekilde, DP algoritması ile formule ediniz ve DS te çözünüz. 44

45 Kalori Tablosu Kalori Çikulata Şeker Yağ *********************************** Browni Kaşık Çikulatalı Dondurma Şişe kola Parça elmalı kek ************************************ 45

46 Problemin Formülasyonu Karar Değişkenleri X1 :Günlük yenilen Browni sayısı, X2 :Günlük yenilen çikulatalı Dondurma sayısı, X3 :Günlük içilen kola şişe sayısı, X4 :Günlük yenilen elmalı kek parça sayısı. Amaç diyet maliyetini minimize etmektir. Bu diyet programının toplam maliyetini hesaplayabilmek için aşağıdaki bağıntı kullanılabilir. 46

47 TC=Browni maliyeti+dondurma Maliyeti+Kola Maliyeti+Kek maliyeti Örneğin Kola Maliyeti? TC cola =(1şişe kola fiyatı)*(içilen şişe sayısı)=30x 3 Benzer mantık kullanılarak, diğer maliyetlerle birlikte Toplam Maliyet(TC); TC = 50 X X2 +30 X3 +80 X4 Yazılabilir ki, amaç bu fonksiyonu minimize edecek üretim kombinasyonunu belirlemektir. 47

48 Kısıtlar K1 -Günlük alınması gereken kalori miktarı ENAZ 500 olduğuna göre, 400X1+200 X2+150 X3+500X4 500 kalori K2- Çikulata kısıtı(x3 ve X4 gıdalarında çıkulata olmadığından dikkate alınmamıştır.) 3X1 + 2 X2 6 K3- Şeker Kısıtı 2X1 + 2X2 + 4X3 +4X4 10 K4- Yağ Kısıtı 2X1 + 4X2 +X3 + 5X4 8 48

49 Çözüm X1 (NONBasic)=0 X2 (Basic)=3 X3 (Basic)=1 X4 (NONBasic)=0 surplus 1(Basic)= 250 surplus 2(NONBasic)= 0 surplus 3(NONBasic)= 0 surplus 4(Basic)= 5 Optimal Value (Z)= 90 Cent 49

50 Grafik Çözüm Doğrusal programlama problemlerinin formülasyonundan sonra yapılacak iş modeli matematiksel olarak çözmektir. Bu çözümler arasında özellikle 2 değişkenli modeller için kullanılan grafik çözüm görsel yorumları da desteklemektedir. 50

51 Örnekler 2. 51

52 1.Kısıt 6X X X X X X Kısıt

53 3.Kısıt X Kısıt X Kısıt X

54 6.Kısıt X 1 X X 1 0 X X 2 0 X

55 Grafik çözüm X X 1 55

56 Sonuç Z 2X 1 6X X X 0 X X X 1 6X

57 ÖRNEK 2 Örnek Problem : XX şirketi, H1 ve H2 hammaddelerinin karışımından iç ve dış duvar boyası üretmektedir. Aşağıdaki tabloda problemin temel verileri gösterilmektedir. ton başına hammadde miktarı (ton) dış boya iç boya H H Ton başına kar( günlük maksimum kapasite(ton) Şirketin yaptığı pazar araştırmasında, günlük iç boya talebinin en fazla 2 ton olduğu görülmüştür. Yine aynı araştırmada, günlük iç boya talebinin günlük dış boya talebinden fazla olduğu ve bu fazlalığın günde en çok 1 ton olduğu anlaşılmıştır. Sirket karını maksimum yapacak şekilde optimum üretim miktarını belirlemek istemektedir. 57

58 ÇÖZÜM 2 Modelin karar değişkenleri iç ve dış boya miktarlarıdır. x1 dış boyanın günlük üretim miktarını( ton) x2 iç boyanın günlük üretim miktarını( ton ) göstersin. Şirket için en iyi amaç toplam karı maksimum yapmaktır. Z toplam karı göstermek üzere ; maksimum Z = 5 * x1 + 4 * x2 Şeklinde yazılabilir. Modelin son elemanı hammadde ve taleple ilgili sınırlamalardır. H1 hammaddesinin kullanımı: 6 * x1 + 4 * x2 ton H2 hammaddesinin kullanımı da : 1* x1 + 2 *x2 tondur. Bu hammaddelerin günlük kullanımları sınırlı olduğu için kısıtları şu şekilde yazabiliriz : 6 * x1 + 4 * x2 < = 24 H1 hammaddesi için 1* x1 + 2 *x2 <= 6 H2 hammaddesi için 58

59 ÇÖZÜM 2 Ayrıca taleple ilgili sınırlamalar da vardır : İç duvar boyası talebinin günde en çok 2 ton olması ; x2 < = 2 İç boyanın günlük üretiminin dış boyanın üretiminden en çok 1 ton fazla olması ; x2 - x1 < = 1 Modelde yer alan değişkenlerin negatif olmama (pozitiflik koşulu) sınırlamasını da ekleyerek matematik modeli aşağıdaki gibi yazabiliriz : amaç fonksiyonu : maksimum Z = 5 * x1 + 4 * x2 kısıtlar : 6 * x1 + 4 * x2 < = 24 x1 + 2 *x2 <= 6 - x1 + x2 < = 1 x2 < = 2 pozitiflik koşulu : x1, x2 > = 0 Bu kısıtların tümünü sağlayan herhangi bir çözüm uygun çözüm adını alır. 59

60 ÇÖZÜM 2 Grafik çözüm İki değişkenli bir DP modeli grafik olarak çözülebilir. Grafik yöntemin iki önemli adımı vardır : Modelin tüm kısıtlarının sağlandığı uygun çözümleri içeren bir çözüm uzayının belirlenmesi, Çözüm uzayındaki tüm noktalar arasından optimum çözümün bulunması. Yukarıda verilen örneğin grafik çözümünü yapalım. Kısıtları bir koordinat sisteminde göstermenin en kolay yolu, eşitsizlikleri eşitlik şeklinde düşünerek bunlara ait doğruların çizilmesidir. Daha sonra eşitsizliğin işaretine göre doğrunun altında ya da üstünde kalan bölge çözüm bölgesi olarak seçilir. Birinci kısıtı ele alırsak ; 6 * x1 + 4 * x2 < = 24 eşitsizliğini 6 * x1 + 4 * x2 = 24 şeklinde eşitlik olarak yazalım. Bu doğruyu çizebilmek için iki nokta gerekir. x1 = 0 için x2 yi, x2= 0 için de x1 i hesaplayabiliriz. x1 = 0 için x2= 6, x2 = 0 için x1 = 4 bulunur. (0,6) ve (4,0) noktalarından geçen doğru aranılan doğrudur. Eşitsizliğin yönü (<= ) şeklinde olduğu için bu doğrunun altında kalan alan bu kısıtı sağlayan alandır. Tüm kısıtlara ait doğrular çizildikten sonra, çözüm uzayı belirlenir. Aslıda uygun çözüm bölgesi sonsuz sayıda uygun nokta içerdiği için, bunların arasından optimum noktayı bulmamız gerekir. 60

61 ÇÖZÜM 2 X E D C F 0 A B 2 X1 61

62 ÇÖZÜM 2 Optimum çözümün belirlenmesi için kar fonksiyonunun artış yönünün bilinmesi gerekir. Bu da Z e keyfi değerler atayarak yapılabilir. Z e önce 10 sonra 15 değerleri verilerek; 5 * x1 + 4 * x2 = 10 ve 5 * x1 + 4 * x2 = 15 doğruları çizilir. Amaç fonksiyonunun daha artırılması durumunda ABCDEF uygun çözüm uzayının dışına çıkılacaktır. Şekilden çözüm uzayının dışına C noktasından çıkıldığı görülmektedir. Dolayısıyla uygun çözümü içeren nokta C noktasıdır. C noktası 1 ve 2 numaralı kısıtların kesişim noktası olduğu için buradan x1 = 3 ve x2= 1.5 bulunur. Günlük üretimde 3 ton dış boya, 1.5 ton iç boya üretildiğinde günlük kar Z= 21000$ olacaktır. Optimum çözümün çözüm uzayının komşu köşe noktalarından birinde bulunması raslantı değildir. Amaç fonksiyonunun eğimi değiştirilse bile, yeni çözüm yine köşe noktalarından birinde olacaktır. 62

63 ÇÖZÜM 2 X2 z=10 z=15 z=21 z deki artış optimum nokta x1 = 3 x2= 1.5 Z= 21000$ 0 X1 63

64 ÖRNEK 3 Örnek problem: Bir çiftlikte günde en az 800 kg özel bir karışımla yapılan yem kullanılmaktadır. Bu karışım, aşağıdaki tabloda verilen maddelerin belirtilen miktarları kullanılarak elde edilmektedir. 1 kg yemde kullanılan miktarlar(kg) Protein Lif Maliyet($/kg) Mısır Soya unu Bu ürünün bileşiminde en az %30 protein ve en çok da % 5 lif bulunması zorunludur. Firma minimum maliyetle günlük yem karışımını belirlemek istemektedir. Önce probleme ait matematik modeli kuralım: 64

65 ÇÖZÜM 2 Karar değişkenleri: x1 = karışımdaki mısır miktarı (kg) x2 = karışımdaki soya unu miktarı(kg) Amaç fonksiyonu: Minimize Z = 0.3* x * x2 Kısıtlar : x1 + x2 > = 800 ( günlük üretim) 0.09* x * x2 > = 0.3 ( x1 + x2 ) (protein miktarı) 0.02 * x * x2 < = 0.05(x1 + x2 ) ( lif miktarı) 65

66 ÇÖZÜM 2 Kısıtları ve amaç fonksiyonunu yeniden yazalım: Minimize Z = 0.3* x * x2 x1 + x2 > = * x1-0.30* x2 < = * x * x2 >= 0 x1, x2 > = 0 66

67 ÇÖZÜM 2 X2 2 Çözüm Bölgesi 1 Optimum Nokta 0 optimum noktada değişkenlerin değerleri: x1 = kg x2 = kg Amaç fonksiyonu : Z = $ X1 67

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I /0 İçerik Matematiksel Modelin Kurulması Grafik Çözüm DP Terminolojisi DP Modelinin Standart Formu DP Varsayımları 2/0 Grafik Çözüm İki değişkenli (X, X2) modellerde kullanılabilir,

Detaylı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Amaç Fonksiyonu Kısıtlar M i 1 N Z j 1 N j 1 a C j x j ij x j B i Karar Değişkenleri x j Pozitiflik Koşulu x j >= 0 Bu formülde kullanılan matematik notasyonların

Detaylı

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI BİRİNCİ BÖLÜM (2016-2017) Dr. Y. İlker Topcu & Dr. Özgür Kabak Teşekkür: Prof. W.L. Winston'ın "Operations Research: Applications and Algorithms" kitabı ile Prof.

Detaylı

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlamanın Temelleri Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlama Nedir? Bir Doğrusal Programlama Modeli doğrusal kısıtlar altında bir doğrusal ğ fonksiyonun değerini ğ maksimize yada minimize

Detaylı

TAMSAYILI PROGRAMLAMA

TAMSAYILI PROGRAMLAMA TAMSAYILI PROGRAMLAMA Doğrusal programlama problemlerinde sık sık çözümün tamsayı olması gereken durumlar ile karşılaşılır. Örneğin ele alınan problem masa, sandalye, otomobil vb. üretimlerinin optimum

Detaylı

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre):

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre): DP SİMPLEKS ÇÖZÜM Simpleks Yöntemi, amaç fonksiyonunu en büyük (maksimum) veya en küçük (minimum) yapacak en iyi çözüme adım adım yaklaşan bir algoritma (hesaplama yöntemi) dir. Bu nedenle, probleme bir

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 1.HAFTA Amacı:Karar vericiler işletmelerde sahip oldukları kaynakları; insan gücü makine ve techizat sermaye kullanarak belirli kararlar almak ister. Örneğin; en iyi üretim miktarı

Detaylı

Total Contribution. Reduced Cost. X1 37,82 480 18.153,85 0 basic 320 512. X2 22,82 320 7.302,56 0 basic 300 M. Slack or

Total Contribution. Reduced Cost. X1 37,82 480 18.153,85 0 basic 320 512. X2 22,82 320 7.302,56 0 basic 300 M. Slack or HRS şirketi BRN Endüstrileri ile bir anlaşma yapmış ve her ay BRN ye üretebildiği kadar A ürününden sağlamayı garanti etmiştir. HRS de vasıflı ustalar ve çıraklar çalışmaktadır. Bir usta, bir saatte 3

Detaylı

Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/

Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/ Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/25.12.2016 1. Bir deri firması standart tasarımda el yapımı çanta ve bavul üretmektedir. Firma üretmekte olduğu her çanta başına 400TL, her

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL)

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde verilmesi durumunda amaca

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dr. Özgür Kabak TP Çözümü TP problemlerinin çözümü için başlıca iki yaklaşım vardır kesme düzlemleri (cutting planes) dal sınır (branch and bound) tüm yaklaşımlar tekrarlı

Detaylı

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI

END331 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI END33 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS NOTLARI (-) Dr. Y. İlker Topcu Teşekkür: Prof. W.L. Winston'ın "Operations Research: Applications and Algorithms" kitabı ile Prof. J.E. Beasley's YA ders notlarının bu

Detaylı

END801 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASININ TEMELLERİ DERS NOTLARI

END801 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASININ TEMELLERİ DERS NOTLARI END801 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASININ TEMELLERİ DERS NOTLARI Dr. Y. İlker Topcu Teşekkür: Prof. W.L. Winston'ın "Operations Research: Applications and Algorithms" kitabı ile Prof. J.E. Beasley's YA ders notlarının

Detaylı

DP Model Kurma (Derste Çözülecek Örnekler)

DP Model Kurma (Derste Çözülecek Örnekler) 1*. Bir tekstil firması 3 ebatta (S-M-L) gömlek üretmektedir. Her bir gömleğin üretim maliyeti sırasıyla 3 pb., 4 pb. ve 6 pb. dir. Firmanın Türkiye çapındaki bayileri; haftada en az 2000 adet S, 3000

Detaylı

BÖLÜM I: Hedef Programlama. Prof.Dr. Bilal TOKLU. HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ HEDEF PROGRAMLAMA MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ

BÖLÜM I: Hedef Programlama. Prof.Dr. Bilal TOKLU. HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ HEDEF PROGRAMLAMA MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ Yöneylem Araştırması III Prof.Dr. Bilal TOKLU btoklu@gazi.edu.tr Yöneylem Araştırması III BÖLÜM I: Hedef Programlama HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ ÖNCELİKSİZ HEDEF PROGRAMLAMA ÖNCELİKLİ HEDEF PROGRAMLAMA HEDEF

Detaylı

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg)

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) Simplex ile Çözüm Yöntemi Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Doğrusal Programlama Modeli Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) 2 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Modelin Standard Hali Maksimizasyon

Detaylı

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik

Detaylı

KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER

KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER Örnek 1: Bir boya fabrikası hem iç hem dış boya üretiyor. Boya üretiminde A ve B olmak üzere iki tip hammadde kullanılıyor. Bir günde A hammaddesinden

Detaylı

Çözümlemeleri" adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu.

Çözümlemeleri adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu. Dersi Veren Öğretim Üyesi: Doç. Dr. Mehmet KORKMAZ Özgeçmişi Mehmet KORKMAZ, 1975 yılında Malatya da doğdu. İlkokul, ortaokul ve liseyi memleketi olan Isparta da tamamladı. 1996 yılında İ.Ü. Orman Fakültesi,

Detaylı

Ders 10. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Simpleks Yöntemine Giriş Alıştırmalar 10

Ders 10. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Simpleks Yöntemine Giriş Alıştırmalar 10 Bölüm 10 Ders 10 Simpleks Yöntemine Giriş 10.1 Alıştırmalar 10 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 197 198 BÖLÜM 10. DERS 10 1. Soru 1 1. Aşağıda verilen simpleks tablolarında temel, temel olmayan,

Detaylı

ENM 525 İleri Üretim Planlama ve Kontrolü PAÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı

ENM 525 İleri Üretim Planlama ve Kontrolü PAÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı ENM 525 İleri Üretim Planlama ve Kontrolü PAÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Ana Bilim Dalı Bu ders notları, 2012-2013 ve 2013-2014 Bahar yarıyılında PAÜ Endüstri Mühendisliği bölümünde

Detaylı

Matematiksel modellerin elemanları

Matematiksel modellerin elemanları Matematiksel modellerin elemanları Op#mizasyon ve Doğrusal Programlama Maksimizasyon ve Minimizasyon örnekleri, Doğrusal programlama modeli kurma uygulamaları 6. DERS 1. Karar değişkenleri: Bir karar verme

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Lineer Programlama. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Lineer Programlama. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Lineer Programlama Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 7 7! Lineer Programlama 1 / 32 Simpleks Algoritmas Standart teknikler anlam

Detaylı

II DP Model Kurma (Derste Çözülecek Örnekler)

II DP Model Kurma (Derste Çözülecek Örnekler) 1. Bir ayakkabı üretim firması 2 tür (kadın ve erkek) ayakkabı üretmektedir. Her bir ayakkabının üretim maliyeti sırasıyla 10 pb. ve 7 pb. dir. Firmanın Türkiye çapındaki bayileri; toplam olarak haftada

Detaylı

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör.

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Doğrusal Programlamada Karışım Problemleri İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Balikesir Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Çağış Kampüsü 10145 / Balıkesir 0 (266) 6121194

Detaylı

Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1

Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1 İÇİNDEKİLER Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1 1.1. Yöneticilik / Komutanlık İşlevi ve Gerektirdiği Nitelikler... 2 1.1.1. Yöneticilik / Komutanlık

Detaylı

SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ

SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ Örnek (2-5) Güzel-Giyim konfeksiyon piyasaya ceket, etek ve elbise yapmaktadır. Konfeksiyoncu, ceketi, eteği ve elbiseyi kendisinin A1, A2

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY)

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) 1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA İKİLİK (DUALİTE-DUALITY) Doğrusal programlama modelleri olarak adlandırılır. Aynı modelin değişik bir düzende oluşturulmasıyla Dual (İkilik)

Detaylı

28 C j -Z j /2 0

28 C j -Z j /2 0 3.2.6. Dual Problem ve Ekonomik Yorumu Primal Model Z maks. = 4X 1 + 5X 2 (kar, pb/gün) X 1 + 2X 2 10 6X 1 + 6X 2 36 8X 1 + 4X 2 40 (işgücü, saat/gün) (Hammadde1, kg/gün) (Hammadde2, kg/gün) 4 5 0 0 0

Detaylı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı 4. Gölge Fiyat Kavramı 4.1. Gölge Fiyat Kavramı Gölge fiyatlar doğrusal programlama modellerinde kısıtlarla açıklanan kaynakların bizim için ne kadar değerli olduklarını gösterirler. Şimdi bir örnek üzerinde

Detaylı

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin DUYARLILIK ANALİZİ Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin değişmesinin problemin optimal çözümü üzerine etkisini incelemektedir. Oluşturulan modeldeki

Detaylı

ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 2006

ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 2006 ĐST 49 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 006 Adı Soyadı:KEY No: 1. Aşağıdaki problemi grafik yöntemle çözünüz. Đkinci kısıt için marjinal değeri belirleyiniz. Maximize Z X 1 + 4 X subject to: X

Detaylı

Zeki Optimizasyon Teknikleri

Zeki Optimizasyon Teknikleri Zeki Optimizasyon Teknikleri Ara sınav - 25% Ödev (Haftalık) - 10% Ödev Sunumu (Haftalık) - 5% Final (Proje Sunumu) - 60% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn:

Detaylı

S2. İnova kimya İşletmesi, aşağıdaki özellikleri taşıyan ürün üretmektedir:

S2. İnova kimya İşletmesi, aşağıdaki özellikleri taşıyan ürün üretmektedir: Ödev soruları S1. Kimsan kimya firması X ve Y gibi iki tip kimyasal madde üretmektedir. 1 litre X ürününün maliyeti 160 TL., 1 litre Y ürününün maliyeti ise 240 TL. dir. Müşteri talebine göre, firma, gelecek

Detaylı

Ders 11. Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri Alıştırmalar 11. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay

Ders 11. Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri Alıştırmalar 11. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay Bölüm 11 Ders 11 Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri 11.1 Alıştırmalar 11 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıdaki problemlerde, dual problemi yazınız; dual problemi simpleks yöntemi

Detaylı

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu aşlangıç Temel Programının ilinmemesi Durumu İlgili kısıtlarda şartlar ( ) ise bunlara gevşek (slack) değişkenler eklenerek eşitliklere dönüştürülmektedir. Ancak sınırlayıcı şartlar ( ) veya ( = ) olduğu

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme Dr. Özgür Kabak Çek Tahsilatı Ofisi Örneği Bir Amerikan şirketinin Birleşik Devletlerdeki müşterilerinin ödemelerini gönderdikleri çekler ile topladığını varsayalım.

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1)

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1) Stok Kontrol Önceki Derslerin Hatırlatması Ders 7 Farklı Bir Stok Yönetimi Durumu Uzun Dönemli Stok Problemi Talep hızı sabit, biliniyor Birim ürün maliyeti sabit Sipariş maliyeti sabit Tedarik Süresi

Detaylı

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2)

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2) Stok Kontrol Önceki Derslerin Hatırlatması Ders 5 Farklı Bir Stok Yönetimi Durumu Uzun Dönemli Stok Problemi Talep hızı sabit oranlı, biliniyor Birim ürün maliyeti sabit Sipariş maliyeti sabit Tedarik

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

Ders 12. Karma Kısıtlamalı Doğrusal programlama problemleri Alıştırmalar 12. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1...

Ders 12. Karma Kısıtlamalı Doğrusal programlama problemleri Alıştırmalar 12. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1... 114 Bölüm 12 Ders 12 Karma Kısıtlamalı Doğrusal programlama problemleri 12.1 Alıştırmalar 12 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1.... 1. Aşağıdaki problemlerde; (i) Aylak, artık ve yapay değişkenleri

Detaylı

!!! END331&& YÖNEYLEM&ARAŞTIRMASI&I& DERS&NOTLARI&& ( ) Dr.&Y.&İlker&Topcu&&&Dr.&Özgür&Kabak&

!!! END331&& YÖNEYLEM&ARAŞTIRMASI&I& DERS&NOTLARI&& ( ) Dr.&Y.&İlker&Topcu&&&Dr.&Özgür&Kabak& END33 YÖNEYLEMARAŞTIRMASII DERSNOTLARI (25-26) Dr.Y.İlkerTopcuDr.ÖzgürKabak Teşekkür: Prof.W.L.Winston'ın"OperationsResearch:ApplicationsandAlgorithms"kitabıileProf.J.E. Beasley'sYAdersnotlarınınbudersnotlarınınoluşturulmasınaolankatkılarıyüzündenheriki

Detaylı

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 66 Bölüm 6 Ders 06 Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 6.1 Çözümler:Alıştırmalar 06 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay Ön Bilgi: z = f (x, y) fonksiyonu 3-boyutlu uzayda bir yüzeyin denklemidir.

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Bu bölümde eşitsizlik kısıtlarına bağlı bir doğrusal olmayan kısıta sahip problemin belirlenen stasyoner noktaları

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YÜKSEK LİSANS DERSİ

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YÜKSEK LİSANS DERSİ LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI YÜKSEK LİSANS DERSİ 2010-2011 Güz-Bahar Yarıyılı YRD.DOÇ.DR.MEHMET TEKTAŞ ÖRNEK 6X 1 + 3X 2 96 X 1 + X 2 18 2X 1 + 6X 2 72 X 1, X

Detaylı

Ulaştırma ve Atama. Konu 2. Ulaştırma Modeli. Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ

Ulaştırma ve Atama. Konu 2. Ulaştırma Modeli. Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Ulaştırma ve Atama Modelleri Konu 2 Ulaştırma Modeli 1. Farklı kaynaklardan temin edilen bir ürün, mümkün olan minimum maliyetle farklı istikametlere taşınmaktadır. 2. Her kaynak noktası sabit sayıda ürün

Detaylı

KONU 13: GENEL UYGULAMA

KONU 13: GENEL UYGULAMA KONU : GENEL UYGULAMA Kahve üretimi apan bir şirket anı zamanda cezve ve fincan üretmektedir. Üretilen cezveler ve fincanlar boama kısmında işlem görmekte ve arıca fincanlar kaplanmaktadır. Bir cezve apımı

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA (NLP)

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA (NLP) DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA (NLP) 1. Non-lineer kar analizi, 2. Kısıtlı optimizasyon, 3. Yerine koyma (substitution) yöntemi, 4. Lagranj Çarpanları Yöntemi 5. Başabaş Analizleri ve Duyarlılık Testleri

Detaylı

Tarımda Mühendislik Düşünce Sistemi. Prof. Dr. Ferit Kemal SÖNMEZ

Tarımda Mühendislik Düşünce Sistemi. Prof. Dr. Ferit Kemal SÖNMEZ Tarımda Mühendislik Düşünce Sistemi Prof. Dr. Ferit Kemal SÖNMEZ Sistem Aralarında ilişki veya bağımlılık bulunan elemanlardan oluşan bir yapı veya organik bütündür. Bir sistem alt sistemlerden oluşmuştur.

Detaylı

Duyarlılık Analizi, modelde veri olarak kabul edilmiş parametrelerde meydana gelen değişimlerin optimum çözüme etkisinin incelenmesidir.

Duyarlılık Analizi, modelde veri olarak kabul edilmiş parametrelerde meydana gelen değişimlerin optimum çözüme etkisinin incelenmesidir. ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS IV NOTLAR Bağlayıcı Kısıtlar ve Bağlayıcı Olmayan Kısıtlar: Bağlayıcı Kısıtlar, denklemleri optimum çözüm noktasında kesişen kısıtlardır. Bağlayıcı-Olmayan Kısıtlar,

Detaylı

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN ÖZEL TÜRLERİ

DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN ÖZEL TÜRLERİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN ÖZEL TÜRLERİ TRANSPORTASYON (TAŞIMA, ULAŞTIRMA) TRANSİT TAŞIMA (TRANSSHIPMENT) ATAMA (TAHSİS) TRANSPORTASYON (TAŞIMA) (ULAŞTIRMA) TRANSPORTASYON Malların birden fazla üretim (kaynak,

Detaylı

Karar değişkenlere ilişkin fonksiyonların ve bu fonksiyonlara ilişkin sınırlamaların tanımlanması

Karar değişkenlere ilişkin fonksiyonların ve bu fonksiyonlara ilişkin sınırlamaların tanımlanması İNŞAAT PROJELERİNİN PROGRAMLAMA, TASARIM VE YAPIM SÜRECİNDE OPTİMİZASYON Doğrusal Optimizasyon Optimizasyon Kuramı (Eniyileme Süreci) Doğrusal Olmayan Optimizasyon Optimizasyon en iyi çözümü bulma sürecidir.

Detaylı

SİMPLEKS ALGORİTMASI! ESASLARI!

SİMPLEKS ALGORİTMASI! ESASLARI! Fen ilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı ENM53 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler SİMPLEKS ALGORİTMASI ESASLARI Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS AÇIKLAMA n n u sununun hazırlanmasında,

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/19 İçerik Yöneylem Araştırmasının Dalları Kullanım Alanları Yöneylem Araştırmasında Bazı Yöntemler Doğrusal (Lineer) Programlama, Oyun Teorisi, Dinamik Programlama, Tam Sayılı

Detaylı

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem 3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası

Detaylı

2.5. DP Problemlerinin Modelinin Kurulması

2.5. DP Problemlerinin Modelinin Kurulması 2.5. DP Problemlerinin Modelinin Kurulması ÖRNEK 1: ÜRETİM PLANLAMA PROBLEMİ Bir oyuncak üreticisi plastik ve montaj departmanlarından oluşan atölyesinde A ve B tipinde iki farklı oyuncak üretmektedir.

Detaylı

4. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

4. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 4. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 B.3.2. Taban Fiyat Uygulaması Devletin bir malın piyasasında oluşan denge fiyatına müdahalesi,

Detaylı

İşgücü Talebinin Tahmininde Sayısal ve. ve Ayrıntılı Yöntemler. İnsan Kaynakları Planlamasında Sayısal

İşgücü Talebinin Tahmininde Sayısal ve. ve Ayrıntılı Yöntemler. İnsan Kaynakları Planlamasında Sayısal İşgücü Talebinin Tahmininde Sayısal ve Sayısal Yrd. Doç. Dr. Rıza DEMİR İstanbul Üniversitesi İşletme Fakültesi İnsan Kaynakları Planlaması ve Seçimi Dersi 2017 Talep Tahmin i İnsan kaynakları talebi veya

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dr. Özgür Kabak GAMS Giriş GAMS (The General Algebraic Modeling System) matematiksel proglamlama ve optimizasyon için tasarlanan yüksek seviyeli bir dildir. Giriş dosyası:

Detaylı

TP SORUNLARININ ÇÖZÜMLERİ

TP SORUNLARININ ÇÖZÜMLERİ TP SORUNLARININ ÇÖZÜMLERİ (Bu notlar Doç.Dr. Şule Önsel tarafıdan hazırlanmıştır) TP problemlerinin çözümü için başlıca iki yaklaşım vardır. İlk geliştirilen yöntem kesme düzlemleri (cutting planes) olarak

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z

Detaylı

ATAMA (TAHSİS) MODELİ

ATAMA (TAHSİS) MODELİ ATAMA (TAHSİS) MODELİ ATAMA (TAHSİS) MODELİ Doğrusal programlamada kullanılan bir başka hesaplama yöntemidir. Atama problemleri, doğrusal programlama (simpleks yöntem) veya transport probleminin çözüm

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

Simpleks Yöntemde Duyarlılık Analizleri

Simpleks Yöntemde Duyarlılık Analizleri 3.2.4. Simpleks Yöntemde Duyarlılık Analizleri Duyarlılık analizinde doğrusal programlama modelinin parametrelerindeki değişikliklerinin optimal çözüm üzerindeki etkileri araştırılmaktadır. Herhangi bir

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@ankara.edu.tr 10 KASIM 2017 5. HAFTA 2.7 M/M/1/ / sistemi için Bekleme zamanının dağılımı ( ) 1 T j rastgele değişkeni j. birimin

Detaylı

Gazi Üniversitesi, Kimya Mühendisliği Bölümü KM 378 Mühendislik Ekonomisi

Gazi Üniversitesi, Kimya Mühendisliği Bölümü KM 378 Mühendislik Ekonomisi Problem Seti 1 (Arz-Talep) 1. Bir firma, satış fiyatı ile talep arasında D=780$-10p eşitliğini geliştirmiştir. Aylık sabit gider 800$ ve ürün başına değişken gider 30$ dır. Aylık karı maksimum yapmak için

Detaylı

2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 C.1.2. Piyasa Talep Fonksiyonu Bireysel talep fonksiyonlarının toplanması ile bir mala ait

Detaylı

ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI (OPERATIONAL RESEARCH) ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SUNUM PLANI Yöneylem araştırmasının Tanımı Tarihçesi Özellikleri Aşamaları Uygulama alanları Yöneylem

Detaylı

Endüstri Mühendisliğine Giriş

Endüstri Mühendisliğine Giriş Endüstri Mühendisliğine Giriş 5 ve 19 Aralık 2012, Şişli-Ayazağa, İstanbul, Türkiye. Yard. Doç. Dr. Kamil Erkan Kabak Endüstri Mühendisliği Bölümü,, Şişli-Ayazağa, İstanbul, Türkiye erkankabak@beykent.edu.tr

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Tablo7.1.1 Bismarck için Kaynak Gereksinimleri Ürün İşçilik (Saat) Kumaş (Yard Kare) Gömlek 3 4 Şort 2 3 Pantolon 6 4

Tablo7.1.1 Bismarck için Kaynak Gereksinimleri Ürün İşçilik (Saat) Kumaş (Yard Kare) Gömlek 3 4 Şort 2 3 Pantolon 6 4 ISLE403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS VII NOTLAR Günümüzün iş dünyasında şirketler sermaye mallarını satın almak yerine finansal kiralama yoluyla edinmeyi değerlendiriyorlar. Finansal kiralama sabit maliyetler

Detaylı

Meslek lisesi ve devlet lisesine giden N tane öğrenci olduğu ve bunların yıllık okul harcamalarına ait verilerin olduğu varsayılsın.

Meslek lisesi ve devlet lisesine giden N tane öğrenci olduğu ve bunların yıllık okul harcamalarına ait verilerin olduğu varsayılsın. KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLER Bir kukla değişkenli modeller (Varyans Analiz Modelleri) Kukla değişkenlerin diğer kantitatif değişkenlerle alındığı modeller (Kovaryans Analizi Modeller) Kukla değişkenlerin

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

4. Gölge Fiyat Kavramı ve Duyarlılık Analizleri:

4. Gölge Fiyat Kavramı ve Duyarlılık Analizleri: 4. Gölge Fiyat Kavramı ve Duyarlılık Analizleri: 4.1. Gölge Fiyat Kavramı Gölge fiyatlar doğrusal programlama modellerinde kısıtlarla açıklanan kaynakların bizim için ne kadar değerli olduklarını gösterirler.

Detaylı

GAMS Kullanım Notları

GAMS Kullanım Notları GAMS Kullanım Notları Dilay Çelebi İstanbul Teknik Üniversitesi 1. Giriş Aşağıdaki DP problemini ele aldığımızı varsayalım. Z min = 4x 1 + 2x 2 + 33x 3 (1) x 1 4x 2 + x 3 12 (2) 9x 1 + 6x 2 = 15 (3) 5x

Detaylı

TAMSAYILI PROGRAMLAMAYA GİRİŞ

TAMSAYILI PROGRAMLAMAYA GİRİŞ TAMSAYILI PROGRAMLAMAYA GİRİŞ (Bu notlar Doç.Dr. Şule Önsel tarafıdan hazırlanmıştır) DP sorunlarının modeli kurulurken bazı karar değişkenlerinin kesinlikle tamsayı değerler alması gerektiğini görürüz

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E)

1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E) İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi MAT 152 Genel Matematik II Final Sorularının Çözümleri: 1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir?

Detaylı

Standart modellerde öncelikle kısıt denklemleri eşitlik haline çevrilmelidir. Öncelikle ilk kısıta bakalım.

Standart modellerde öncelikle kısıt denklemleri eşitlik haline çevrilmelidir. Öncelikle ilk kısıta bakalım. 3. Simpleks Yöntem Doğrusal programlama modelleri grafik yöntem dışında simpleks yöntem adı altında özel bir yöntemle çözülebilir. Bu yöntem Simple Matrix kelimlerinin kısaltmasıdır ve bir çeşit matris

Detaylı

MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ

MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ SİMPLEKS TABLONUN YORUMU MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ Şu ana kadar verilen bir DP probleminin çözümünü ve çözüm şartlarını inceledik. Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler

Detaylı

ÜRETİM VE MALİYETLER

ÜRETİM VE MALİYETLER ÜRETİM VE MALİYETLER FİRMALARIN TEMEL AMACI Mal ve hizmet üretimi firmalar tarafından gerçekleştirilir. Ekonomi teorisine göre, firmaların mal ve hizmet üretimindeki temel amacı kar maksimizasyonu (en

Detaylı

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ İŞ ETÜDÜ & ERGONOMİ Yrd.Doç.Dr.Tarık Küçükdeniz Bölüm 2: Verimlilik Verimlilik 1 Bölüme Giriş İş etüdü ile ilgili tekniklere

Detaylı

SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı

SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı ENM53 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS, 6 AÇIKLAMA Bu sununun

Detaylı

Ödev TeslimTarihi 12.Ocak 2010 KAR PLANLAMASI

Ödev TeslimTarihi 12.Ocak 2010 KAR PLANLAMASI İTÜ Tekstil Teknolojileri ve Tasarımı Fakültesi / Tekstil Mühendisliği Bölümü 2009-2010Öğretim Yılı / Güz Yarıyılı TEK485-MALİYET MUHASEBESİ DERSİ ÖDEV5 (YÖNETİM MUHASEBESİ) 30.Aralık.2009 Ödev TeslimTarihi

Detaylı

BAŞABAŞ NOKTASI ANALİZİ

BAŞABAŞ NOKTASI ANALİZİ BAŞABAŞ NOKTASI ANALİZİ Herhangi bir işe girişirken, genellikle o iş için harcanacak çaba ve kaynaklarla, o işten sağlanacak fayda karşılaştırılır. Bu karşılaştırmada amaç, kaynaklara (üretim faktörlerine)

Detaylı

Konu 2. Y. Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ

Konu 2. Y. Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Ulaştırma ve Atama Modelleri Konu 2 Ulaştırma Modeli 1. Farklı kaynaklardan kl temin edilen bir ürün, mümkün olan minimum maliyetle farklı istikametlere taşınmaktadır. 2. Her kaynak noktası sabit sayıda

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

UZMANLAR İÇİN MODELLEME. Doç.Dr.Aydın ULUCAN

UZMANLAR İÇİN MODELLEME. Doç.Dr.Aydın ULUCAN UZMANLAR İÇİN MODELLEME Doç.Dr.Aydın ULUCAN Karar Modellerinin Temel Bileşenleri Karar Değişkenleri: Amaca ulaşmak için kontrol edilen faktörler. Amaç Fonksiyonu: Ulaşılmak istenen hedefin karar değişkenlerinin

Detaylı

Genetik Algoritmalar. Bölüm 1. Optimizasyon. Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta:

Genetik Algoritmalar. Bölüm 1. Optimizasyon. Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta: Genetik Algoritmalar Bölüm 1 Optimizasyon Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta: adem.tuncer@yalova.edu.tr Optimizasyon? Optimizasyon Nedir? Eldeki kısıtlı kaynakları en iyi biçimde kullanmak olarak tanımlanabilir.

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA TEKNİĞİ İLE KÖMÜR DAĞITIM OPTİMİZASYONU COAL DISTRIBUTION OPTIMIZATION BY UTILIZING LINEAR PROGRAMMING

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA TEKNİĞİ İLE KÖMÜR DAĞITIM OPTİMİZASYONU COAL DISTRIBUTION OPTIMIZATION BY UTILIZING LINEAR PROGRAMMING Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Müh.Mim.Fak.Dergisi C.XX, S.1, 2007 Eng&Arch.Fac. Eskişehir Osmangazi University, Vol..XX, No:1, 2007 Makalenin Geliş Tarihi : 17.02.2006 Makalenin Kabul Tarihi : 16.11.2006

Detaylı

İleri Yöneylem Araştırması Uygulamaları Tam Sayılı Programlama

İleri Yöneylem Araştırması Uygulamaları Tam Sayılı Programlama İleri Yöneylem Araştırması Uygulamaları Tam Sayılı Programlama Dr. Özgür Kabak 2016-2017 Güz } Gerçek hayattaki bir çok problem } tam sayılı değişkenlerin ve } doğrusal kısıt ve amaç fonksiyonları ile

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)

Detaylı