steme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) Belgeç : (0322) Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k

Transkript

1

2 u kit n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. Kit it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. Kit n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0) elgeç : (0) Kt k l r n dn do l TMZ (Tür ki e M te m tik Ö ret men le ri Züm re si) ö ret men lerine teflekkür ederiz. Grfik Tsr m izgi kstrem Y nc l k SKI Özkn Mtc l k Gzetecilik Sn. ve Tic. Ltd. fiti. Gülerüz Sni Sitesi 0. d. 8 Sk. No: 0-- vedik / NKR Tel: ()

3 i ir fllng ç r r flr demektir. ndre Gide ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, Üniversite sınvlrınd şrılı olmk, dilediğiniz fkültei kznmk; ilinçli hzırlnmnız, düzenli ir çlışm progrmı ugulmnız, ii ir ın seçmenize ve u ınlr ışığınd derste öğretmeninizi ii dinlemenize ğlıdır eğitim - öğretim ılındn itiren ugulnm şlnn YGS ve LYS ile üniversite sınvını kznmk, istenilen ir ölüme girmek oldukç zorlştı. "Kliteli eğitim, kliteli dokümn" felsefesile ol çıkn "kstrem Yınlrı" tüm rnşlrdki kitplrınd hücreleme sistemi ile konu lt şlıklrınd fzl sıd er vererek öğrencinin konuu kvrmsını kollştırck nitelikte ınlr hzırldı. linizdeki "0. Sınıf Geometri" konu nlt ml kit m z 0. sınıflrı kpsck şekilde hz rlnm flt r. u kitpt konulr görsel olrk kvrilmeniz için fzl s d örnek çözümüne er verilmiştir. Pisdki di er kitplrdn u önüle frkl l k rz eden konu nlt ml kit m zl geometri sizler için s k c nitelik tfl n zor ir ders olmktn ç kckt r. Geometri konu nlt ml kit m z n şrılrınız ktkısının üük olcğı kntile tüm üniversite dlrın YGS ve LYS'de şrılr diliorum. Ktk lr ndn dol ; Muhrrem fihin, Serdr Keskink l ç, Mehmet Güleflen, Z. Çi dem l, emet Peçetek, rros Gür, Sedt Krdo n, rol Kouncu,. u r nerk, em ozdo n, smil Sr, Ömer ingül, Kn Kır, Merve Güngör, kstrem Y nlr dizgi iriminden irgül rslntfl ve vktinden çld m eflim tm flilir'e teflekkür ediorum. Geometrinin Keflif olu üns nd Keif olu ir Gezinti iliorum. com ell fi L R cell.isilir@gmil.

4 "Çocuklrım Mert ve Yiğit li'e..."

5 Ç NK LR. ÜN T : ÜZLM GMTR TML LMNLR V SPT Ç MLR Postult spt. ÜN T : ÜZLM NKT, RU ve VKTÖRLR Nokt, o ru, üzlem rs ndki liflkiler Kpl Yr o ru, ç k Yr o ru Kpl Yr üzlem, ç k Yr üzlem esen luflturm Yönlü o ru Prçs Vektörler Vektörlerde Toplm ir Vektörü ir Reel S ile Çrpm Vektörlerin Lineer ml l Lineer ileflim. ÜN T : KR NT S STM ik Koordint Sistemi Yer Vektörü Skler Çrp m ir Vektörün Uzunulu u irim Vektör ir Vektör ile n o rultulu irim Vektör ir Vektör ile n Yönlü irim Vektör ir Vektör ile Z t Yönlü irim Vektör ki Vektör rs ndki ç Kosinüs Teoremi ik zdüflüm. ÜN T : RULR ir o runun Vektörel, Prmetrik ve Kpl enklemleri ir o runun o rultmn ve Norml Vektörleri ir o runun ir üzlemde rd ç k ve Kpl üzlemler ki o runun iririne Göre urumu ki o ru rs ndki ç ir o runun imi ir o runun Grfi i ir Noktn n ir o ru Uzkl Prlel ki o ru rs ndki Uzkl k

6 . ÜN T : ÜÇGNLR Çokgen Üçgen Çeflitleri Üçgenin Yrd mc lemnlr Üçgende ç nt lr Üçgende ç lr ve Kenrlr rs ndki liflkiler Sinüs Teoremi ir Üçgenin ir Kenr n elli ir rnd ölen Nokt ulm ç ç ort Teoremi fl ç ort Teoremi Üçgende Kenrort ve ç ortlr n Kesim Noktlr Yükseklik ir Üçgensel ölgenin ln rnot Teoremi. ÜN T : ÖNÜfiÜMLRL GMTR Öteleme önme Yns m fierit Süsleme üzlemde Kplmlr Tngrm lt n Üçgen fllik Homoteti rktl Üçgende enzerlik ik Üçgende Metrik nt lr (Öklid nt lr ) Özel Teoremler (Tles, Menelus, Sev) 7. TK NL KLR N VP NHTRLRI :

7 = = ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ. ÜN T ü ü Postult spt

8 ilimeeni simgelemek için kulln ln hrfi nereden gelior? u hrfin kökeni rpç "fle" kelimesine dn or. h sonr spnolc çevrilen ceir knklr nd e olrk gözüken ifde olrk k slt ld ve ceirin ilinmeeni simgelemede kulln ln en popüler hrf hline geldi.

9 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ Mert ile ispt pmı seven li rsınd şöle ir dilog geçior: Mert : Sevgili li üçgenin iç çılrının ölçüleri toplmı kç derecedir? li : undn kol ne vr ki, elette 80 dir. Mert : Peki unu isptlilir misin? li : Ti ki; k şimdi köşesinden [] kenrın prlel olck şekilde ir doğru çiziorum... ve şu iç ters çılrdn... gördüğün gii iç çılrın toplmı 80 çıkıor. Mert : ur klım li, peki köşesinden [] e prlel olck şekilde şk ir prlel doğru çizilemez mi?... li u soru doğru cevp verecekse geometrideki temel kulleri (ksiom d postultlrı) ii ilmelidir. ÿ ÿ. Postult ir doğru prçsı sınırsız ir şekilde uztılilir.. Postult Merkezi ve rıçpı verilen ir çemer çizileilir. r Merkezi noktsı ve rıçpı r oln çemer. Postult PSTULT (ksiom) Geometride doğruluğu çık oln ve ispt gerek duulmdn kul edilen önermelere "postult" denir. Postult elirlemede temel mç fllng ç nokts n elirlemek ve onun üzerine temel kurilmektir. Postultlr, teoremlerin isptlrınd d geometrik prolemlerin çözümünde kullnılır. ÿ ütün dik çılr eşittir. Geometrinin Temelini luşturn Öklid'in eş Postultı. Postult. Postult ir doğru dışındki ir noktdn lnız ir p- rlel doğru çizileilir. ÿ ÿ rklı iki noktdn lnız ir doğru geçer. K d Yukrıd ve noktlrındn l doğrusu geçer. d doğrusun prlel ve K noktsındn geçen tek doğru l doğrusudur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

10 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ Postult NT :. Postult irçok mtemtikçi trf ndn ilk postult n ir sonucu olup olmd önünde sorgulnm fl ve u sorgulmlr sonucund postult de ifltirilerek, flk geometri sistemlerini ort ç krm flt r. Örne in : Loçevski Geometrisi Riemnn Geometrisi Günümüzde ise 0 den fzl geometriden hsedildi ini göreiliriz. (Mlkevitch / 99) ÿ ir çemerin çp çemeri iki r m çemere öler. Postult ÿ Her do ru prçs n n ln z ir ort nokts vrd r. ÿ ÿ ÿ ÿ ksiomlr kol nlfl l r önermelerdir. ksiomlr rs nd ir oktur, iri di erinden elde edilemez. ksiomlr irirleri ile uum içindedir. ksiomlrdn iki d dh fzls kulln lrk Postult ir önerme oluflturulurs u önermee teorem denir. ÿ Her ç n n ln z ir ç ort vrd r. + şğıd s k kulln ln z postult örnekleri verilmifltir, inceleiniz. Postult Postult ÿ üzlemde ir do ru ve ir nokt verilsin, u noktn n üzerinde ulundu u do ru dik oln ln z ir do ru vrd r. ÿ ir [] do ru prçs ve ir [XZ fl n verilsin. = XY olck flekilde [XZ fl n üzerinde sdece ir tne Y nokts vrd r. X Y Z 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

11 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ ÿ Postult ki üçgenin kenrlrlr n n uzunluklr iririne eflitse u üçgenler efltir. Kleme ldığı lementler, kendisini önceleen Thles, Pthgors, udous gii, ilginmtemtikçilerin çlışmlrı üstüne kurulmuştu. Geometri ir önermeler koleksionu olmktn çıkmış, sıkı mntıksl çıkrım ve ğıntılr dnn ir dizgee dönüşmüştü. c c Öklid oluşturduğu dizgede irtkım tnımlrın nı sır, eşi "ksiom" dediği genel ilkeden, eşi de "postult" dediği geometrie özgü ilkeden oluşn, on öncüle er vermiştir (Öncüller, teoremlerin tersine isptlnmksızın doğru sıln önermelerdir). izge tüm etkin görünümüne krşın, slınd çeşitli önlerden irtkım etersizlikler içermektedi. uclid (Öklid) (M.Ö. ) geli mtemtikçi Öklid'in kişisel şmı, ile çevresi, mtemtik dışı uğrş ve merklrın ilişkin hemen hiçir şe ilinmemektedir. ilinen tek şe; İskenderie Krliet nstitüsü'nde dönemin en sgın öğretmeni; lnınd üzıllr ou eşsiz kln ir ders kitının zrı olmsıdır. lementler'e ugüne değin zılmış en üük kitp gözüle kıls eridir. u kitp gerçekten Grek zeksının en etkin nıtlrındn iridir. Kitın Greklere özgü kimi etersizlikleri ok değildir, kuşkusuz: ndığı öntem slt dedüktif niteliktedir; üstelik, öncüllerini oluşturn vrsımlrı oklm olnğı oktur. ğitimini tin'd Plton'un ünlü kdemisinde tmmldığı snılmktdır. kdemi ki giriş kpısınd, ''Geometrii ilmeen hiç kimse u kpıdn içeri lınmz!'' levhsı sılıdı. Öklid çğlr ou lnız mtemtik dünsının değil, mtemtikle kındn ilgilenen hemen herkesin gözünde özenilen, etkin ir örnekti. Öklid, M.Ö. 00 sırlrınd zdığı ciltlik pıtıl ünlüdür. u pıt, geometrii (dolısıl mtemtiği) ispt ğlmınd ksiomtik ir dizge olrk işleen, ilk kpsmlı çlışmdır. 9. üzıl sonlrın gelincee kdr lnınd tek ders kitı olrk kdemik çevrelerde okunn, okutuln lementler'in, kimi etersizliklerine krşın, değerini ugün de sürdürdüğü söleneilir. Öklid hklı olrk "geometrinin sı" die ilinir; m geometri onunl şlmış değildir. Trihçi Herodotus (M.Ö. 00) geometrinin şlngıcını, Nil vdisinde ıllık su tşmlrındn sonr rzi sınırlrını elirlemekle görevli kdstroculrın çlışmlrınd ulmuştu. Geometri "er" ve "ölçme" nlmın gelen "geo" ve "metrein" sözcüklerinden oluşn ir terimdir. Ömer Hm (08 ) Hm ( Çdırcı ) tkm dını, tlrının çdırcılık pmlrı üzünden ldığı sölenir. Ömer Hm, zmnınd dh çok, ilgin olrk ün kzndı. lde ulunn eserlerinden, htıl ilgili ollrı nltn zı kitplrdn, mntık, felsefe, mtemtik ve stronomi konulrınd çlıştığı, u lnlrd düzenli ir öğrenim gördüğü nlşılmktdır. Hm ın fizik, metfizik, mtemtik, stronomi ve şiir konulrınd değişik eserleri vrdır. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

12 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ Nsuriddin Tusi (0 7) Şut 0'de Horsn'ın Tus şehrinde doğdu. Hem din ilimleri hem de fen ilimleri dllrınd eğitim gördü. Mtemtik, logritm, mntık, hikmet ve idrk nzrieleri derslerini okudu. Tusî'nin ptığı ilmi flietlerden önemli ir tnesi, trigonometrii rı ir ilim dlı hline getirmesidir. zmn kdr u ilim dlı stronominin ir dlı olrk görülmektedi. rıc, u ilim dlıl ilgili eser de zdı. Geometride önemli ir otorite hline geldi ve kendisinden sonr gelen ilim dmlrı, ileri sürmüş ulunduğu tezlerin üzerine herhngi ir ilâve pmdılr. UYRI İspt öntemleri ve ispt içimleri frklı iki kvrmdır. İki Kolonlu İspt ir önermenin d teoremin isptı pılırken ifdeler irinci kolon, gerekçeler de ikinci kolon zılır. Teorem : H üçgen [H] [] [H] kenrort Yukr dki verilere göre, = d r. GMTR SPT spt Yöntemleri Yukr dki teoremi iki kolonlu ispt içimini kullnrk isptll m. spt : Tümevr m Tümdengelim fdeler Gerekçeler. [H] kenrort. Verilen oll ispt o rudn ispt. H = H. ir köflesinden ç kn kenrort gitti i kenr iki eflit prç öler. lmn ergi öntemi Çeliflki öntemi eneme öntemi ksine örnek verme öntemi. [H] []. Verilen. m(h) = m(h). ki do ru dik ise efl komflu ç oluflturur. spt içimleri. H = H. Ynsım. H ~ H..,., ve. gerekçelerden dol K..K enzerli i vrd r. ki kolonlu ispt k fl digrml ispt Prgrf ispt 7. = 7. fl üçgenlerin n ç gören kenrlr efltir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

13 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ Teorem : spt : fdeler. [], ç s n n ç ort olsun Gerekçeler. Her ç n n ln z ir ç - ort vrd r. (postult). m() = m(). =. Verilen.. gerekçeden dol ç - ort ç kt ç iki efl prç öler., ve doğrulrı kesişmektedir. α + β = 80 ise α = θ d r. Yukr dki teoremi iki kolonlu ispt içimini kullnrk isptll m. spt :. =. fl do ru prçlr. ~. m() = m()., ve. gerekçelerden dol kenr ç kenr enzerli i vrd r... gerekçeden dol enzer iki üçgende enzer kenrlr n krfl s nd ulunn ç lr efltir. fdeler Gerekçeler. α + β = 80. Verilen. ve kesişmektedir.. β + θ = 80. α = θ. Verilen. İki doğru kesişirse ütünler çılr oluşur.. ütünleri nı oln iki çın n ölçüleri eşittir. kış igrmlı İspt Kutulr içine zıln çıklmlr ve kutu dışındki oklrl önlendirilmiş ispt içimidir. Teorem : Teorem : ir üçgende iki kenr uzunlu u eflit ise u kenrlr n krfl s ndki ç lr n ölçüleri eflittir. Hipotez : = Sonuç : m() = m() Verilen : = ve,, do rusl stenen : ve dik ç lrd r. Yukr dki teoremi iki kolonlu ispt içimini kullnrk isptll m. Yukr dki teoremi k fl digrml ispt içimini kullnrk isptll m. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

14 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ spt : spt : m() = m() Verilen,, do rusl Verilen üçgeninde iç çılrı toplmı / / / o m() + m( ) + m( ) = 80 dir. m() + m()= 80 Yerine kom metodu m()= 80 Toplm iflleminden m() + m()= 80 o ru ç tn m ndn m()= 90 ölme iflleminin özelli inden [] ve [] çıort olduğundn / / m( ) m( ) / üçgeninde + + m( ) = 80 zılilir. hlde eşitliklerin ortk çözümünden o ve dik çılrdır. ik çı tnımındn / / / o m() + m() + m() = 80 / / m() m() / + + m() = 80 / / o m( ) m( ) = 80 olup o / / m( ) o m() = 90 + elde edilir. Prgrf İspt içimi İspt detlı çıklmlrl düz metin hlinde pılır. NT : Teorem : Prgrf ispt içimi en çok kullnıln ispt içimidir. ir üçgende iki iç ç ort n kesiflmesi ile olufln ç n n ölçüsü 90 den ç ort l nmn ç n n ölçüsünün r s kdr fzld r. Yukr dki teoremi prgrf ispt içimini kullnrk isptll m. (Mtemtik üns S : 8) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

15 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ TST. "üzlemde do rusl olmn noktdn en fzl 0 tne do ru geçer." önermesi Öklid'in kç nc postult göz önüne l nrk söleneilir? ) ) ) ) ). oll ispt o rudn ispt ki kolonlu ispt k fl digrml ispt Prgrf ispt Yukr dkilerden kç tnesi ispt içimidir? ) ) ) ) ). fl dkilerden hngisi Öklid'in ilk efl postult ndn iridir? ) Üçgenin iç ç lr toplm 80 dir. ) Yr çp uzunlu u verilen ir tek çemer vrd r. ) o rusl olmn üç nokt düzlemseldir.. ) Prlelkenr n krfl l kl ç lr eflittir. ) ir do ru prçs her iki önde s n rs zc uz- M t lilir. M merkezli ve r çp uzunlu u irim oln çemer üzerindeki noktlrdn iri fl- dkilerden hngisidir?. ) ) ) ) ) K Öklidin. postult n göre, K nokts ndn geçen ve l do rusun prlel oln kç tne do ru çizileilir? ) 0 ) ) ) ) 7. o ru d nl fl kesin ir hüküm ildiren ifdelere... denir. Yukr dki ifdede ofl oln ere fl dkilerden hngisi getirilmelidir?. üzlemde dört frkl noktdn en fzl kç do ru geçer? ) ) ) ) ) 8 ) Postult ) Önerme ) Teorem ) spt Yöntemi ) spt içimi 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

16 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ TST 8. fl d ir üçgenin iç ç lr toplm n n 80 oldu unun iki kolonlu ispt p lm flt r. 0. Q P R T S K fdeler Gerekçekler Yukr dki terimde merkezli ve P nokts ndn geçen çemer flk hngi noktlrdn geçer?. üçgen Verilen. [] // [].... m() = m() m() = m(). m() + m() + m()=80. m() + m() + m()=80 ç ters ç lr n eflitli inden o ru ç tn m ndn. ifdedeki eflitlikler. ifdede z lms ile un göre, ofl rkıln ere fl dkilerden hngisi gelmelidir?. ) Q R S ) R S ) S T ) R T ) Q K R X Y Z T K ) ütünler ç tn m ndn ) m() = m() ) Yrd mc ek çizim ile ) nokts ndn sonsuz s d do ru geçer. ),, do rusl Yukr dki zeminde üçgeninin köflesinden [] çizilen prlel do ru hngi noktlrdn geçer? ) K ) T ) Z ) Y ) X 9. fl dki ifdelerden hngisi nl flt r? ) Postultlr kol nlfl l r sit ir önermelerdir. ) ksiomlr rs nd ir oktur, iri di- erinden elde edilemez. ) ksiomlr iriri ile çeliflemez. ) irden fzl ksiom kulln lrk oluflturuln önermelere teorem denir. ) ir teorem isptln rken flk ir teorem kulln lmz.. fl dkilerden hngisi ir ispt öntemi de ildir? ) o rudn ispt ) Tümdengelim ) k fl digrm ) oll ispt ) Tümevr m 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

17 ÜZLM GMTRİ TML LMNLR V İSPT İÇİMLRİ tkinlik Zmn şğıdki ifdelerde oş ırkıln erleri verilen ugun kelimelerle doldurunuz.. o ru oldu u ilinmesine r men ispt edilemeen önermelere... denir.. rkl iki noktdn... geçer..... ve... verilen ln z ir çemer vrd r.. ütün dik ç lr... tir. ir do ru d fl ndki ir noktdn ln z ir... çizileilir.. ir do ru prçs n... ir flekilde uztiliriz. 7. M.Ö 00'lü llrd flm fl ciltlik eseri ile ünlü mtemtikçi... dir fdeler ve gerekçelerinin iki r sütun oluflturrk p ln ispt içimine... denir. ilgiler ve gerekçelerinin düz ir metin hlinde izh edilerek p ln ispt içimine denir. ilgiler ve gerekçelerinin kutulr içinde z l p oklrl önlendirilerek p ln ispt içimine... denir.. spt içimi ile ispt öntemleri... iki kvrmd r.. ir ispt öntemini nlt rken kulln ln z m içimine... denir.. ir teoremin do rulu unun gerekçesini ort ç krm öntemine... denir. + ispt içimi + s n rs z + ispt öntemi + ln z ir do ru + frkl + k fl digrml ispt içimi + eflit + iki kolonlu ispt içimi + postult + merkezi r çp + prgrf ispt içimi + Öklid + prlel do ru 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

18 MTMT M GÇN L M MLRINN ZILRI L L 8 8 RMT 0 NTR 8 98 (Sonsuzu zpteden dm) UHY GUSS H T R RMR 70 7 LPL ULR URIR GLIS S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

19 ÜZLM NKT, RU ve VKTÖRLR. ÜN T ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü Nokt, o ru, üzlem rs ndki liflkiler Kpl Yr o ru, ç k Yr o ru Kpl Yr üzlem, ç k Yr üzlem esen luflturm Yönlü o ru Prçs Vektörler Vektörlerde Toplm ir Vektörü ir Reel S le Çrpm Vektörlerin Lineer ml l Lineer irleflim

20 Mtemtik sözcü ünün, ntik Yunncdki "mtesis" sözcü- ünden geldi ini ve nlm n n "en ilirim" demek oldu unu iliormudunuz?

21 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR NKT, RU V ÜZLM RSINK L fik LR ÖRNK K ki o ru rs ndki liflki L ki do runun r kesiti nokt ise do rulr n do rultulr frkl d r. = {} I. = { } II. // III. K = {L} IV. KL ve K do rulr çk fl kt r. V. K ile nin do rultulr n d r. ki do runun r kesiti ofl küme ise do rulr prleldir. // = { } Yukr dki zeminde verilen ifdelerden kç tnesi nl flt r? ) ) ) ) ) Zemindeki do rulr dikktlice incelenirse, K ve KL çk fl k iki do rudur. r c, ki do runun r kesiti kendileri ise do rulr çk fl kt r (n d r). = R // ve dol s l = { } dir. evp: o ru ile üzlem rs ndki liflki ÿ ir do ru içinde ulundu u düzlemi iki prç r r. u prçlrdn her iri r düzlemdir. Yr düzlem Yr düzlem ç k r düzlem ç k r düzlem NT : Tüm prlel do rulr n denklik s n f ndd r. Kpl r düzlem ç k r düzlem 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

22 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR ÿ ir düzlem ile ir do runun r kesiti ir nokt ise düzlem ile do ru kesiflir. o ru Prçs rl iki nokt ile u noktlr rs nd ulunn ve do rudfl oln noktlr n kümesine do ru prçs denir. K P = { K } P ir o ru Prçs n n o rultusu (Tfl c s ) ÿ ir düzlem ile ir do runun r kesiti ofl küme ise do ru düzleme prleldir. ir do ru prçs n n do rultusu ni tfl c s üzerinde ulundu u do runun do rultusu ile n d r. P P = { } Yukr dki [] do ru prçs n n dogrultusu do rusunun do rultusu ile n d r. NT : ÿ ir düzlem ve ir do runun r kesiti do ru ise do ru düzlemin içindedir. n düzlemde ulunn iki do runun do rultulr frkl ise kesiflirler. kt, iki do ru prçs n n do rultulr frklı ise kesiflmeeilirler. Örne in : P P = K = { K } [] [] = { } Kpl Yr o ru ve ç k Yr o ru Sit ir nokt ile fll p sonsuz s dki noktlr ile düz olrk sürekli tek öne uzt lilen, uzunlu u s n rs z, kl nl ulunmn geometrik p kpl r do ru ( fl n), fllng ç nokts dhil edilmedi inde ise ç k r do ru denir. NT : ir do ru prçs n n fllng ç ve itim noktlr n ise un nokt denir. Noktn n uzunlu u olmd için do rultusu d oktur. Kpl r do ru ( fl n) ç k r do ru SNUÇ Tüm noktlr n denklik s n f ndd r. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

23 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR üzlemde o ru Prçlr le esen luflturm o ru prçlr ile desen oluflturmd fl dki ollr izlenir. esen olufltuktn sonr hrfler silinir. lde edi- len desenlerin z k s mlr onrk frkl tsr mlr oluflturulilir. ÿ ÿ ki do ru prçs herhngi ir ç ile kesifltirilerek eksen olufltulur. ÿ lde edilen deseni önce t ns t p sonr döndürerek fl dki desenler elde edilir. ÿ o ru prçlr n n uzunluklr eflit d frkl olilir. fieklin lt n do ru prçlr n n uzunluklr orn z l r. k k k k ÿ ksenler üzerinde eflit s d noktlr l nrk hrflendirilir. rd fl k hrfler rs ndki uzkl k her do ru için kendi rs nd sittir. = = = = = ÿ lufln flekil ile fl dki motif ort ç km flt r. n hrflerin temsil etti i noktlr do ru pr- çs oluflturck içimde irlefltirilerek desenler oluflturulur. ÿ 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

24 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR + fl d z motif örneklerini inceleip ns l çizildiklerini nlm çl fl n z. Yönlü o ru Prçs Uzunlu u, do rultusu ve önü oln do ru prçs n önlü do ru prçs denir. Yukr d dn e önlendirilen önlü do ru prçs çizilmifltir. L M K KL N MN UYRI Ifl n ve önlü do ru prçs frkl kvrmlrd r. fllng ç nokts ve itifl nokts oln önlü do ru prçs fllng ç nokts oln ve nokts ndn geçen fl n VKTÖRLR ve eş önlü doğru prçlrı, + içiminde gösterilir. Yönlü doğru prçlrı üzerinde tnımlnn "~" ğıntısı, nsın, simetrik ve geçişken olduğundn ir denklik ğıntısıdır. u denklik sınıfının her denklik sınıfı ir vektördür. Vektörler,, u, v, w... şeklinde gösterilir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

25 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR v v ÿ Uzunluğu irim oln vektöre irim vektör denir. v K v L M v N v L K ÿ şlngıç ve itim noktlr nı oln önlü doğru prçlrının denklik sınıfın sıf r vektörü denir. 0 d,... şeklinde gösterilir ir vektör ön, do rultu, uzunluk de iflmemek üzere düzlemde er de ifltireilir. ÖRNK ÿ Uzunluklrı ve doğrultulrı nı, önleri frklı oln vektörlere ters vektörler denir. ve zıt (ters) vektörlerdir. Yukrıd şlngıç noktsı ve vektörüne eş oln kç frklı vektör çizileilir? = şeklinde gösterilir. fllng çlr n nokt tfl nd nd rlrın- dki çısı 90 oln vektörlere dik vektörler denir. ÿ vektörüne eş oln ir tne vektör çizileilir : 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

26 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR Vektörlerde Toplm + şğıdki örnekleri inceleiniz. ÿ oğrultusu ve önü nı oln iki vektör toplnırken uzunluklr toplnır. oğrultu ve ön değişmez. c + + c + ÿ oğrultusu nı, önü frklı iki vektör toplnırken uzunluklr çıkrılır. ulunn vektörün önü üük oln vektörle nı olur ve doğrultusu değişmez. + + c + d d c c + d oğrultulrı frklı iki vektör toplnırken ; ü Çokgen (uç uc ekleme) öntemi : + c d ü Prlelkenr tmmlm öntemi : ¹ S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

27 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR tkinlik Zmn fl dki zeminlerde verilen vektörlerin toplm n gösteriniz... z. v u 7. z. 8. z. 9. z. v u 0. z 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

28 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR tkinlik Zmn fl d verilen vektörleri kullnrk vektörlerini gösteriniz S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

29 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR ir Vektörü ir Reel S ile Çrpm ÖRNK ir vektörü ve k reel s s verilsin. k. n n lilece i z de erler fl dki tlod gösterilmifltir. L K 7 I. = II. = KL III. = IV. KL = Yukr dki vektörler dikktlice incelenirse fl- dki tlou oluflturiliriz. k. k. k > ise 0 < k < ise k < ise k. k. V. = KL irim krelere rılmış ukrıdki zeminde verilenlerden hngisinin nlış olduğunu ullım. Şekil dikktli incelenirse = ifdesi nlıştır. k. ÖRNK k = ise k = ise k = 0 ise.0 z t k SNUÇ : ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ k > ise vektörün önü de iflmez, ou rtr. 0 < k < ise vektörün önü de iflmez, ou zl r. k < ise vektörün önü de iflir, ou rtr. k = ise vektörün önü ve ou de iflmez. k = ise vektörün önü de iflir, ou de iflmez. k = 0 ise vektörün önü elirsiz, ou s f r olur. Yukrıdki zeminde verilen vektörlerden irinin ir reel sı ile çrpımı diğerini vermektedir. u vektör ikilisini ullım. ve z vektörleri doğrultulrı nı, önleri frklı iki vektördür. z = 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

30 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR tkinlik Zmn fl dki zemin lt nd verilen vektörleri gösterelim z + z. 9. z z + z + + z. 0. z + + z 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

31 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR ÖRNK + şğıdki örnekleri inceleiniz. ve z vektör- üçgeninde vektörünün leri cinsinden efliti nedir? z z k k = + z + z+ = + = eflitlikleri topln rs; z+ + + = elde edilir. ile z t önlü oldu undn, k k + = 7 = z lilir. z+ + = \ 0 k k z+ = = + z ulunur. = + Prtik ilgi,, z rsınd ¹ z m n m.z + n. = m+ n eşitliği zılilir. + = 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

32 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR ÖRNK ÖRNK prlelkenrınd, = ve [] [] = {} verilior. nin ve cinsinden efliti nedir? üçgen,, ve ort noktlr. Verilenlere göre, + + toplm n ull m. k k k ile enzer iki üçgen oldu undn, enzerlik ornı, olup = zılilir.,, ort noktlr oldu undn, ile efl iki vektördür. ile efl iki vektördür. hlde, n + + = + + olup n + = oldu undn ölece; = + zılilir. + + = = \ ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

33 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR tkinlik Zmn RU YNLIfi c d f e k Y. vee vektörlerinin doğrultulrı nıdır.. d f ile e eş iki vektördür.. d + k ile + f eş iki vektördür.. cvek nı do rultulu vektörlerdir.. + k ile d eş iki vektördür.. + c ile e + k vektörlerinin doğrultulrı frkl d r. 7. e + f ile + d eş iki vektördür. 8. c ve k z t önlü iki vektördür. tkinlik Zmn TPLM u v Yukrıdki, u, v vektörlerini kullnrk, + + v + + u + u + v + + u+ v vektörlerini ndki zeminde gösteriniz. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

34 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR Vektörlerin Lineer ml l üzlemde iri diğerinin herhngi ir ktı olrk zılilen iki vektöre lineer ğımlı vektörler denir. + şğıdki örnekleri inceleiniz. ÿ ÿ ÿ oğrultulrı nı oln iki vektör lineer ğımlıdır. oğrultulrı frklı oln iki vektör lineer ğımsızdır. Yönleri z t oln iki vektör lineer ml d r. z Örne in ; z = + k e c olduğundn z vektörü ve vektörlerinin lineer ileşimidir. f d z Yukr dki zeminde fl dki sonuçlr ç kr lilir; ê ê ê ê ê ê ê ê ê ile lineer ğımlıdır. eile f lineer ğımsızdır. e ile d lineer ğımsızdır. cile k lineer ğımlıdır. ile d lineer ğımlıdır. ile k lineer ğımsızdır. ile c lineer ğımsızdır. ile d lineer ğımlıdır. f ile k lineer ğımsızdır. ê k+ e ile + f lineer ğımlıdır. nı düzlemde oln ikiden fzl vektör doğrultu- lrın kılmksızın lineer ğımlıdır. ÿ İki Vektörün lineer ileşimi; ÿ k ile k R ve u, v irer vektör olmk üzere, k. u + k. v vektörüne uvev vektörlerinin lineer ileşimi denir. ir vektör nı doğrultud oln d olmn herhngi iki ve dh fzl vektörün lineer ileşimi olrk zılilir. z = + olduğundn z vektörü ve vektörlerinin lineer ileşimidir. z z = + olduğundn z vektörü ve vektörlerinin lineer ileşimidir. ¹ z z = + olduğundn z vektörü ve vektörlerinin lineer ileşimidir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

35 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR tkinlik Zmn 7 şğıd zemin ltınd verilen vektörleri zemindeki vektörlerin lineer ileşimi olrk zlım... z c z =... c =..... c c c =... c =..... m k z v v =... m =... 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

36 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR tkinlik Zmn 8 şğıdki ifdelerde oş ırkıln erleri verilen ugun kelimelerle doldurunuz.. Uzunluğu irim oln vektöre... denir.. şlngıç ve itim nokts nı oln vektöre... denir.. oğrultulrı nı önleri frklı oln vektörlere... denir.. iri diğerinin reel ktı oln iki vektör... dır.. oğrultulrı frklı oln iki vektör... dır.. Vektörler topln rken... d... metodu kullnılır. 7. Lineer ğımlı iki vektörün... nıdır. 8. ir vektörü den küçük ir sı ile çrprsk ou nı denklik sınıfınd ulunn doğrulr... dir. 0.. üzlemdeki ir doğrunun düzlemi ırdığı prçlrdn her irine... denir. Uzunluğu, önü ve doğrultusu oln doğru prçsın... denir.. ir vektör sıfırdn frklı ir reel sı ile çrpıldığınd... değişmez.. üzlemde ikiden fzl vektör do rultulr n k lmks z n... d r. + do rultusu + lineer ml + prlel + üür + irim vektör + z t önlü vektörler + lineer ms z + r düzlem + do rultulr + önlü do ru prçs + s f r vektörü + lineer ml + çokgen metodu - prlelkenr tmmlm 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

37 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR TST.. c f k c d e Yukrıdki zemine çizilmiş,, c vektörleri için şğıdkilerden hngisi doğrudur? ) c = ) + c = ) c = Yukrıdki zeminde verilen vektör ikililerinden kç tnesi dik kesişir? ) ) ) ) ) ) + + c = 0 ) + c =. c. üçgen = = e f d Yukrıdki zeminde verilen vektör ikililerinden kç tnesi lineer ğımlıdır? ) ) ) ) ) Yukrıdki şekilde + toplmı şğıdkilerden hngisine eşittir? ) + ) + ) + ) + ). c. dikdörtgen [] köşegen [] köşegen e d f Yukrıdki önlü doğru prçlrı prlellik ğ ntısın göre denklik sınıfın rıldığınd kç tne denklik sınıfı oluşur? ) ) ) ) ) Yukrıdki verilere göre, + toplmı şğıdkilerden hngisine eşittir? ) ) ) ) ) S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

38 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR TST 7. üçgen G : ğırlık merkezi 0.,,,, eflit rl kl do rusl efl noktd r. G = k. oldu un göre, k kçt r? ) ) ) ) ) Yukrıdki verilere göre, G + G + G toplmı şğıdkilerden hngisidir? ) 0 ) ) G ) G ) G. d 8. üçgen = P Yukr dki zeminde d do rusun prlel olup P nokts ndn geçen do runun üzerindeki di er nokt şğıdkilerden hngisidir? Yukrıdki verilere göre, şğıdkilerden hngisine eşittir? ) ) ) ) ) ) + ) + ) + ) ) + 9. L dörtgen K = K L = L. K K Yukrıdki verilere göre, KL şğıdkilerden hngisine eşittir? ) + ) + ) L + K ) ) + Yukrıdki düzgün lt genine göre, fl dkilerden hngisi nlıştır? ) ile nin doğrultulrı nıdır. ) K ile K çkışıktır. ) ile kesişmektedir. ) [] ile [] kesişmektedir. ) ile kesişmektedir. 8 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

39 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR TST.. d c k e p f Yukrıdki düzlemsel şekle göre, şğıdkilerden hngisi doğrudur? ) [] ile [] doğru prçlrı kesişir. ) [] ile [] doğru prçlrı kesiflir. ) ile doğrulrı dik kesişir. Yukr dki zeminde verilen vektörlere göre fl dkilerden hngisi irim vektör de ildir? ) + p ) c+ f ) e+ k ) + d ) k+ p ) ile doğrulrı prleldir. ) ile doğrulrının doğrultulrı nıdır... dikdörtgen [] köşegen [] köşegen f e k d p c un göre, + toplmı şğıdkilerden hngisine eşittir? ) ) ) Yukr dki zeminde verilen vektörlere göre fl dkilerden hngisi irim vektördür? ) ) d+ c ) e f ) k+ p ) + e ) ).. fl dki zeminlerde verilen vektörlerden hngisi irim vektör olmz? ) ) ) c ) ) Yukr dki zeminde verilen vektörlere göre, + + c toplm fl dkilerden hngisine eflittir? ) ) ) c ) ) 9 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

40 ÜZLM NKT, RU V VKTÖRLR TST = = + k = k + Yukr dki zeminde verilen vektörlere göre, vektörü fl dkilerden hngisidir? un göre, k fl dkilerden hngisidir? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ). dikdörtgen, köflegenlerin kesim nokts 8. K L fiekilde K, L, M, N, P vektörleri verilmifltir. un göre, fl dkilerden hngisi nl flt r? ) + = + ) + = M N ) + + = 0 ) + = P ) + + = 0 un göre, K+ L+ M+ N+ P toplm fl - dkilerden hngisidir? ) K ) L ) M ) N ) P 9. fl dki ifdelerden hngisi do rudur? ) ir vektör herhngi iki vektörün lineer ileflimi olrk z lilir. ) Z t önlü iki vektör lineer ms zd r. ) Uzunluklr n oln vektörler lineer ml d r. ) Lineer ms z herhngi iki vektör ile istedi imiz ir vektörü ifde edeiliriz. ) ik koordint sistemini oluflturn do rulr lineer ml d r.. dikdörtgen ve ulunduklr kenrlr n ort noktlr un göre, + toplm fl dkilerden hngisidir? ) ) ) ) ) S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

41 KRİNT SİSTMİ. ÜN T ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ik Koordint Sistemi Yer Vektörü Skler Çrp m ir Vektörün Uzunlu u irim Vektör ir Vektör ile n o rultulu irim Vektör ir Vektör ile n Yönlü irim Vektör ir Vektör ile Z t Yönlü irim Vektör ki Vektör rs ndki ç Kosinüs Teoremi ik zdüflüm

42 "ündki en msum u rfl mtemtiktir." (G.H. HRY)

43 KRİNT SİSTMİ K KR NT S STM üzlemde ir noktsı ve şlngıcı oln ir- ÖRNK irine dik e ve e irim vektörleri verilsin. e = (, 0) e = (0, ) P e e K &, e,e0 pısın dik koordint sistemi de- nir. Yukr dki zeminde,,,,,,, P, K ÿ noktsı orijin. ÿ e,e irim vektörler. ÿ e ve e vektörlerini tşın doğrulr ve eksenleri denir. ÿ ik koordint sisteminde lınn herhngi ir P(, ) noktsı için P = e + e zılilir. vektörlerinin lineer ile- vektörlerini e ve e flimi olrk zl m. e P = (, ) (, ) oldu undn = e + e ulunur. e (, ) oldu undn = e + e ulunur. (, ) oldu undn = e + e ulunur. P = (, ) = (, 0) + (0, ) = (, 0) + (0, ) Y Y e e = e +e (, ) oldu undn = e e ulunur. (, ) oldu undn = e e ulunur. ( 7, ) oldu undn = 7e + e ulunur. hlde P = (, ) = e + e z lilir. K(, 0) oldu undn K = e ulunur. SNUÇ : = (, ) = e + e P(0, ) oldu undn P = e ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

44 KRİNT SİSTMİ tkinlik Zmn 9 fl dki zeminlerde gösterilen vektörleri e ve e irim vektörlerinin lineer ileflimi olrk z n z... e e W =... W =.... P 7. P P =... P =.... W 8. N W =... N = N R N =... R = P K K =... P =... 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

45 KRİNT SİSTMİ Yer Vektörü Koordint sisteminde verilen ir vektörün uzunluk, ön ve do rultusunu de ifltirmeden fllng c n orijine tfl rk verilen vektörün er vektörünü ulmufl oluruz. rd m z vektör P vektörüne prlel ve P vektörünün uzunlu un eflit olck. Verilen vektörlerin uç noktlr, (, ), (, 7), (, ), (, ), (, ), (, ), K(, ), L(8, ), M(, ), N(, ) olup (, ) (c, d) = = (c, d ) = = (, ) = = (, ) = = (, ) KL = L K= (, ) Yukr d fllng ç nokts ve itim nokts oln vektörün fllng c orijine tfl nrk er vektörü ulunmufl olur. = = zılilir. MN = N M = (, ) ulunur. P= (, ) oldu undn KL ile P prlellik nt s n göre n denklik s n f ndd r. evp: ÖRNK fllng ç nokts (, ) ve itim nokts (, 7) oln nün er vektörünü ullım. ÖRNK N P = = _,7 i = _, i ulunur. M L ÖRNK K fllng ç nokts (, ) ve itifl nokts (, ) oln nün er vektörünü ullım. Yukr dki zeminde, P = P vektörü hngisinin konum vektörüdür. ) ) ) ) KL ) MN = = _ ( ), i olup = _, 9i ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

46 KRİNT SİSTMİ NT : = (,)ve = (,)için + = ( +, + ) = (, ) k. = (k,k ) (k! R) = & = ve = dir. ÖRNK _ = (, ) ` = (, ) vektörleri verilior. + = eşitliğini sğln nü ullım. + = ÖRNK (, ), (8, ), (, 7) noktlr verilior.,, vektörlerini ullım. (,) + (,) = (, 8) + (,) = (, 0) = olup = (, 0) ulunur. = = (, ) = = (,) = = (,) tkinlik Zmn 0 ÖRNK şğıdki oflluklr doldurunuz. = e + e = e + e _ ` vektörleri verilior. noktsı noktsı nün er vektörü nün er vektörü + = eşitliğini sğln nü ullım.. (, ) (, ). (, ) (8, ). (, ) (, 7). (, ) (, 9). (, ) e + e. (, ) (, ) 7. (, 9) e + 0e 8. (+, ) (, +) 9. (, ) (, ) (, ) = (, ) dielim + = (, ) + (, ) = (, ) (, 8) + (, ) = (9,) (, ) = (9,) (, 8) (, ) = (, 7) olup 0. (, ) (, 7) (, ) = (, 7) ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

47 KRİNT SİSTMİ Öklid İç Çrpımı (Skler Çrpım) _ = (, ) ` = (, ) vektörlerinin skler çrpımı, =. +. şeklinde tnımlnır. ÖRNK ü İki vektörün skler çrpımı ir reel sıdır, vektör değildir. ÖRNK _ = (, ) = (, 7) ` = (, ) vektörleri verilior.,,,,, iç çrpımlrını ullım., = ( ) = + = 9, iç çrpım n hespllım. _ = (, ) `, =. +.( ) = ulunur. = (, ), = ( ). + ( ) = 8 0 = 8, =. + 7( ) = 8 = ÖRNK ÖRNK ik koordint sisteminde, (, 8), (, ), (, 7) noktlrı verilior., iç çrpım n ullım., iç çrpım n hespllım. = = _, 8 i = (, ) _ = (, ) `, =.+. = ulunur. = (, ) = = _ ( ), 7 i = (8, ) olup, =. 8 + ( ). ( ) = ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

48 KRİNT SİSTMİ ÖRNK ÖRNK 7 ik koordint sisteminde, (, ), (, ), (, 9), (, 0) noktlrı verilior., iç çrpımını ullım. = = _,7i Yukrıdki dik koordint sisteminde, iç çrpımını hespllım. = = _, i olup (, ) ve (, ) oldu undn, =.( ) + 7.( ) = (, ) z lilir. = = ulunur. (,) ve (, ) olup = (, ) z lilir. ölece,, =.+. = 0ulunur. ÖRNK ÖRNK 8 kre = irim = irim = irim Yukrıdki dik koordint sisteminde, iç çrpımını hespllım. fiekilde, iç çrpımını hespllım. Şekle şlngıç noktsı oln dik koordint sistemi erlefltirelim. (, ) ve (, ) olup = (, ) (,) ve (, ) olup = (, ) = (, ) z lilir. = (, ) z lilir. ölece,, =.( ) +. = ulunur. ölece, =.+. = ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

49 KRİNT SİSTMİ ÖRNK 9 ÖRNK 0 dikdörtgen = irim = irim = irim dik üçgen [] [] = irim = irim fiekilde, iç çrpımını hespllım. fiekilde, iç çrpımını hespllım. vektörünü fllng ç nokts oln dik koordint sistemi çizerek ull m. vektörünün ileşenlerini ulilmek için şlngıç noktsı oln dik koordint sistemini çizelim. = (, ) z lilir. = (, ) z lilir. Koordint sisteminin fllng ç nokts gii düflünüleilir. vektörünü fllng ç nokts oln dik koordint sistemi çizerek ull m. vektörünün ileşenlerini ulilmek için şlngıç noktsı oln dik koordint sistemini çizelim. =(, ) z lilir. = (, 0) z lilir. Koordint sisteminin fllng ç nokts gii düflünüleilir. ölece, = (, ) ve = (, ) vektörlerinden ölece,, =.+.0 = 0 ulunur., = ( ). ( ) + _ i. = ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

50 KRİNT SİSTMİ ÖRNK ÖRNK dik üçgen dik üçgen [] [] = 7 irim [] [] 7 fiekilde, iç çrpımını hespllım. fiekilde, iç çrpımın ull m. Şekle şlngıç noktsı (orijini) oln dik koordint sistemi çizelim. Şekle şlngıç noktsı (orijini) oln dik koordint sistemi çizelim. = ( 0, ) rijin seçildi z lilir. 7 o hlde; = (0, 7) = (, 7) z lilir. Şekle şlngıç noktsı (orijini) oln dik koordint sistemi çizelim. ölece, = 0. + ( 7). ( 7) = 9 ulunur. = (, 0) z lilir. rijin seçildi ölece, =.0+ 0.( ) = 0 ulunur. Prtik ilgi NT : leride görece iz; ik iki vektörün iç çrp m s f rd r. fiekilli sorulrd ço u kez vektörün fllng ç nokts n dik koordint sistemi çizilerek uzunluklr koordintlrl ifde edeiliriz. öle pmk sl nd verilen vektörün konum vektörünü ulmkt r. ölece skler çrp m kolc ulunilir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

51 KRİNT SİSTMİ GMTR K VKTÖRL YKLfiIM Geometrik Yklfl m Vektörel Yklfl m. = (, ) = (, ). = (, 0) = (0, ). = (, ) = (, ). = (c, ) c = (, ). c = (, c) = (, 0). c = (, c) = (0, c) = (, c) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

52 KRİNT SİSTMİ tkinlik Zmn fl dki vektörleri koordintlrl ifde ediniz... H 9 = (...,...) = (...,...) H = (...,...) = (...,...).. H = (...,...) = (...,...) H = (...,...) = (...,...) = (...,...).. 8 = (...,...) = (...,...) = (...,...) = (...,...) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

53 KRİNT SİSTMİ ir Vektörün Uzunlu u (Normu) ik koordint sisteminde verilen = (, ) vektörünün ou ile gösterilir. ÖRNK = (, ) vektörü verilior. vektörünün uzunluğunu hespll m. = (, ) irim irim = + = + = 0 irim ulunur. ÖRNK NT : = (, ) vektöründe,, = + oldu undn = (, ) ve = (, 8) vektörleri verilior. =, d r. vektörünün uzunluğunu hespll m. ÖRNK = = (, ) olup ik koordint sisteminde (, ) ve (c, d) noktlr rsındki uzklığı skler çrpım kullnrk ullım. = ( ) + ( ) = irim ulunur. ÖRNK (c, d) = (, ) ve = (, ) vektörleri verilior. + vektörünün uzunluğunu hespll m. (, ) nin er vektörü = = (c, d ) olup = =, dir. = (c ) + (d ) ulunur. _ = (, ) ` + = (,8) = (, ) + = ( ) + 8 = irim ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

54 KRİNT SİSTMİ ÖRNK ÖRNK 7 = irim = irim V = (, ) ve W = (, ) vektörleri verilior. W V vektörünün uzunluğunu hespll m. + = irim oldu un göre, i ull m. + = + +, = 9+ +, = olup stenen W V dir. _ W = (, 8) ` olup V = (, ) W V = _ ( ), 8 i = (, ), = = +, = 9+ W V = + = irim ulunur. hlde = olur. = irim ulunur. ÖRNK 8, = 0 oldu un göre,, iç çrp m n ull m. ÖRNK V = irim V+ W = 8 irim V W = irim _ = (, ) ` olsun = (c, d) = (,) oldu un göre, W nu ull m. = ( c, d) olup V+ W = V + W + V, W = V W = V + W V, W = + V + W = W = 00 W = 9 W = irim ulunur., = c d = 0 c + d = eflitli inden ölece,, = c+ d = ulunur. Prtik ilgi, = k ise m.,n. = m.n.k d r. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

55 KRİNT SİSTMİ ÖRNK 9, = irim Vektör Uzunluğu irim oln vektöre irim vektör denir. Yni irim vektör ise = irimdir. oldu un göre,, iç çrpımını ull m., =., = 8, =, = 9 ulunur. ÿ =(, 0) irim vektördür, çünkü; = irimdir. ÿ =d, nirim vektördür, çünkü; = irimdir. ÿ =f, p irim vektördür, çünkü; = irimdir. ÖRNK 0 Prtik ilgi oldu un göre,, = 7, =.,, = 7 ulunur. ÖRNK, iç çrp m n ull m.! 0 olmk üzere, = f, p irim vektördür. + + Yni ir vektörü uzunlu un ölersek irim vektör uluruz. Örne in; 0 irim uzunlu undki ir do ru prçs n 0 eflit prç ölersek her prçnın uzunluğu irim olur. u durum vektörel olrk düflünülürse her ir prç irim vektöre model olrk düflünüleilir., =, ve + = oldu un göre, ( + ) toplm n n negtif de erini ull m. ir Vektör İle nı oğrultud ve n Yöndeki irim Vektör, =, oldu undn.= olur. + = eflitli ini ( + ) = hlde, fleklinde ziliz. ( + ). = ( + ) = + = ± olup negtif de eri ulunur. ÿ ile nı doğrultudki ve n öndeki irim vektör vektörüdür. irim irim irim 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

56 KRİNT SİSTMİ ÖRNK = (, ) ile nı doğrultud ve n öndeki irim vektörü ullım. İki Vektör rsındki çı ki vektör rs ndki ç vektörlerin fllng ç noktlr n nokt tfl nrk gösterilir. ÖRNK = + ( ) = irim olup, irim uzunlu undki vektörü eflit prç ölersek irim uzunlu und vektörler elde ederiz. ölece, (, ) = + ( ) = d, n ulunur. Yukr dki zeminde verilen vektörler rs ndki ç gösterelim. ir Vektör İle nı oğrultudki ve Zıt Yöndeki irim Vektör Vektörlerin fllng ç noktlr n n nokt tfl l m. ÿ ile nı doğrultudki ve zıt öndeki irim vektör dür. irim irim irim ÖRNK ÖRNK = (, ) ile nı doğrultud ve z t öndeki irim vektörü ullım. v u = (, ) + = f, p ulunur. Yukr dki zeminde verilen vektörler rs ndki ç gösterelim. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

57 KRİNT SİSTMİ Vektörlerin fllng ç noktlr n n nokt tfl l m. Skler ( ç) Çrp m ve s f rdn frkl iki vektör ve u iki vektör rsındki çı α olmk üzere; v u, =..cos (0 # # r) _ = (, ), =.c+.d ` = (c, d), =..cos spt : ÖRNK = olsun v u d = (, ) = (c, d) c Yukr dki zeminde verilen vektörler rs ndki ç gösterelim. ile rs ndki ç i = olup cos( ) = cos. cos+ sin. sin cosi =. c +. d ölece Vektörlerin fllng ç noktlr n n nokt tfl l m..c+.d =..cosi, =..cosi ulunur. v u NT : ü, ir reel s d r. ü ir vektördür. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

58 < < KRİNT SİSTMİ. urum : rlrınd dr çı oln iki vektörün skler çrpımı pozitif ir reel sıdır. Prtik ilgi S f rdn frkl ve için <, > 0 (cos > 0) < ü + = ise = dir. ÖRNK. urum : rlrınd geniş çı oln iki vektörün skler çrpımı negtif ir reel sıdır. <, < 0 (cos < 0) < eflkenr üçgen = irim. urum : Z t önlü iki vektörün skler çrpımı negtif ir reel sıdır. 80º <, <, < 0 =. (cos80º = ) < < un göre,, iç çrpımını ull m. 0º. urum : Yönleri nı oln iki vektörün skler çrpımı pozitif ir reel sıdır., =.. cos0 =. = 8 ulunur. o <, <, > 0 (cos = ) =. ÖRNK. urum : ik kesişen iki vektörün skler çrpımı sıfırdır. <, = 0 (cos90º = 0) < 0 un göre, eflkenr üçgen = 0 irim = irim = irim, iç çrpımını ull m. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

59 KRİNT SİSTMİ 0 8 0º H 0º ÖRNK 7 _ = (, 7) ` vektörleri rs ndki ç 90 dir. = (, k) un göre, k de erini ull m. [H] dikmesi ile olufln H dik üçgeninde, cos = 8 olur. ölece,, =..cos = 8. = 0 ulunur. ile rs ndki ç 90 ve cos90 = 0 oldu undn, o, =..cos90 = 0 olur. un göre,, = 0 d r k = 0 eflitli inden k = 7 ulunur. ÖRNK 8 ÖRNK P = (, ) ve R = (, ) vektörlerinin ç ort vektörü N = (,k) oldu un göre, k i ull m. dik üçgen [] [] = irim P = (, ) N = (, k) un göre,, iç çrpımını ull m. PN, = P. N.cos R = (, ) cos = cos cos =. + k = 0. N. cos...() NR, = N. R.cos. + k = 0. N. cos...( ) () ve () eflitlikler ornln rs,, =..cos =.. = ulunur. + k = + k = 0. N. cos N. 0.cos _ ` + k = olup + k + k = + k k = ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

60 KRİNT SİSTMİ Prtik ilgi ÖRNK 0 N dik üçgen = irim = irim N : ile nün ç ort vektörü ise, Nile. +. lineer ml d r, ni;. +. = k. N z lilir. un göre,, iç çrpımını ull m. ÖRNK 9 dik üçgen = irim = irim = irim m() = α un göre, cosα de erini ull m. ve vektörleri rs ndki ç ; vektörlerin oklr rs ndki ç d r., =..cos ve cos = oldu undn, =.. = 0 ulunur. = (, ) ÖRNK = (, ) z lilir. = (, ) ve = (8, ) vektörleri rs ndki ç n n ölçüsünü hespll m. hlde flekli vektörel olrk düflünürsek α ç s n n ile rs ndki ç oldu u görülür. Skler çrp m ile, =..cos 0 + =..cos = 0.cos & cos = ulunur. 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0 ile rs ndki ç α olusun., =..cos. 8. = + ( ) cos 0=.0.cos cos = 0 olup = 90 o ulunur.

61 KRİNT SİSTMİ Kosinüs Teoremi ÖRNK c ir üçgeninde, = + c c. cosα eflitli i vrd r. 0º 8 üçgen = irim = 8 irim m() = 0 un göre, uzunlu unu ull m. spt : = c irim = irim = irim m() = α olsun üçgeninde kosinüs teoremi ile, = cos0 = = 89 0 = 9 = 7 irim ulunur. ölece, = olup = = +, = +..cos = + c c. cosα ulunur. ÖRNK üçgen = irim = irim = 9 irim 9 Prtik ilgi un göre, ç s n n ölçüsünü ull m. üçgeninde kosinüs teoremi ile, +, = (Kosinüs teoreminden) ( 9) = + /... cos() / 7 = 8. cos() / cos() = olup m() = 0 ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

62 KRİNT SİSTMİ ÖRNK Pisgor Teoreminin Vektörel spt üçgen [] [] = irim = irim = 0 irim Teorem : dik üçgen ise = + olur. 0 un göre, uzunlu unu ull m. spt : m() = α dielim. u durumd, m() = α olup, c cos = olur. = c = = dielim. u durumd, c+ = z lilir. 0 vektörünü ln z rkl m. = c üçgeninde kosinüs teoremi ile, 0 = cosα cos = erine z l rs, = eflitli inden = irim ulunur. = c = c, c =,,c + c,c =. c.cos + c ile c rs ndki ç 90 oldu undn, = + c ölece = + ulunur. =, oldu unu ht rll m. c= oldu undn c, = 0 olur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

63 KS NÜS TRM TST. üçgen = irim = irim = 8 irim. 0 üçgen = irim = 0 irim m() > 0 8 un göre, cos() de eri kçt r? un göre, uzunlu unun en küçük tms de eri kçt r? ) ) ) ) ) 8 7 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ). üçgen = irim = irim = irim. 8 [] [] = {} = irim = irim = 8 irim = irim = irim Yukr dki üçgeninin en küçük ç s n n kosinüsü kçt r? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? 0 ) ) ) ) ). ir üçgeninde, = = un göre, cos() de eri kçt r? 7 9 ) ) ) ) 8 ). ir üçgeninde, = c irim = irim = irim olrk verilior. = + c + c oldu un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) 0 ) 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

64 KS NÜS TRM TST 7. 7 muk = irim = irim = irim = 7 irim 0. [] [] = {} = irim = irim mu und, cos() kçt r? cos() = oldu un göre, uzunlu u ) ) ) ) ) 8 7 kç irimdir? ) ) ) ) ) 8 8. dikdörtgen = = = un göre, cos() kç eflittir?. fiekilde kirifller dörtgeni verilmifltir. ) ) 0 ) ) ) un göre, cosα kçt r? ) ) ) ) ) 9. 9 dik üçgen = irim = 9 irim = irim. (, ) (, 0) un göre, uzunlu u kçt r? un göre, cos() kçt r? ) ) ) 8 ) ) 8 ) 9 ) ) ) ) 7 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

65 < KRİNT SİSTMİ K ZÜfiÜM ir Vektörün ir o ru Üzerindeki ik zdüflüm Vektörü ve fllng ç noktlr n iki vektör olsun. NT : H : vektörünün vektörü üzerindeki dik izdüflüm vektörüdür. H, = ve H = H ik izdüflüm ik izdüflüm vektörünün uzunlu u vektörü ir Vektörün ir o ru Üzerindeki ik zdüflüm Uzunlu u o runun ir do rultmn vektörü l n p verilen vektörün u vektör üzerindeki izdüflüm uzunlu u hespln r. H. H nokts n n l do rusu üzerindeki dik izdüflümü; H nokts d r. H [] n n l do rusu üzerindeki dik izdüflümü; [H H] do ru prçs d r. H [] n n l do rusu üzerindeki dik izdüflümü; [H H] do ru prçs d r. ¹ H H ir vektörünün + + c = 0 do rusu üzerindeki dik izdüflümü; [H] n n l do rusu üzerindeki dik izdüflümü; H nokts d r. H H = (, ) + + c = 0 ÖRNK = (,) ve = (, 8) vektörleri verilior. ki vektör skler çrp l r. vektörünün vektörü üzerindeki < H =, ikli in oldu u vektörün uzunlu un ölünür. ) ik izdüflüm uzunlu unu ) ik izdüflüm vektörünü ull m. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

66 KRİNT SİSTMİ = (, ) fllng ç Noktlr n ln ki Vektör Üzerine Kuruln Üçgensel ölgenin ln Prtik ilgi H = (, 8) = (, ),.+ 8. ) H = = = r ulunur. 8 + verilsin., ) H =. =. d, n = (, ) = (c, d) 9 H = d, n ulunur. ÖRNK Köfle koordintlr (, ), (, ) ve (, ) oln üçgeninde [] kenr n it üksekli ini ull m. = (c, d) () = d c dir. (, ) H H K ÖRNK u = (, ) ve v = (, ) üzerine kuruln üçgen- (, ) (, ) sel ölgenin ln n hespll m. (Geometrik klfl m) (Vektörel klfl m) H : vektörünün K vektörü üzerindeki izdüflüm uzunlu udur. hlde, = (, ), = (, ) ve = K olup K = (, ) l nilir. = (, ) u = (, ) H H K = (, ) = H, K = K.. = = irim ulunur. + Trl ln = v = (, ).. ( ). ulunur. = r 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

67 KRİNT SİSTMİ ÖRNK ÖRNK (, ) ve ( 8, ) ve (, ) noktlr n n irlefltirilmesi ile olufln üçgensel ölgesinin ln n ull m. rd fl k iki kenr = (, 8) ve = ( 8, ) vektörleri oln prlelkenrsl ölgenin ln n hespll m. Geometrik ifde Vektörel ifde () = () oldu undn (, ) () =... 8( 8) = 8 + = 8 r ulunur. ( 8, ) (, ) ve nin konum vektörlerini ull m. = = (9, ) = = (, ) fllng ç Noktlr n ln ki Vektör Üzerine Kuruln Prlelkenrsl ölgenin ln Prtik ilgi = (, ) ölece, = (9, ) verilsin. = (c, d) elde edilir. = (, ) = (, ) u durumd, () = ( ). 9 ( ). () = r ulunur. = (c, d) () = d c dir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

68 KRİNT SİSTMİ tkinlik Zmn şğıdki ifdelerde oş ırkıln erleri verilen ugun kelimelerle doldurunuz.. ir vektörün kendisi ile iç çrp m n n krekökü o vektörün... eflittir.. şlngıç nokts ve itim nokts oln vektörün konum vektörü =... d... ile gösterilir.. ki vektörün iç çrp m n n sonucu ir... d r.. iririne prlel olup uzunluklr n oln vektörler... dır.. ir vektörü uzunlu un ölersek n önlü... ulmufl oluruz.. S f rdn frkl ve vektörleri için + = ise... dir. 7. = (, n) ve = (, ) vektörleri lineer ml oldu un göre, n s s... tür. 8. = (, ) ve = (, ) ise + =... irimdir. 9. ir noktnın ir doğru üzerindeki dik izdüşümü ir... dır. 0. Uzunluğu irim oln vektöre... denir.., ir reel sıdır, fkt ir... dür.. = (, ) ve = (c, d) vektörleri üzerine kuruln üçgensel ölgenin lnı... dır.. üzlemde verilen ve vektörleri için k.+ k. lineer ileşimi 0 vektörüne eşit olilir. k ve k den en z iri sıfırdn frklı ise ve dır. + reel s + n denklik s n f nd + + vektör + + uzunlu un +, + c d + lineer ğımlı + = + irim vektörü + irim vektör + nokt 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

69 KRİNT SİSTMİ TST. (, ) ve (, ) noktlr verilior.. (, ) ve (, m) noktlr verilior. un göre, vektörü fl dkilerden hngisine eflittir? ) (, 7) ) (, 7) ) (, 7) ) (, 7) ) (, ) vektörü irim vektör oldu un göre, m fl dkilerden hngisine eflittir? ) ) ) ) 0 ). (, ) ve (, ) noktlr verilior. un göre, vektörü fl dkilerden hngisine eflittir? ) (, ) ) (, 8) ) (, 9) ) (, 9) ) (, 9). = e + e ve = e e vektörleri verilior. un göre, fl dkilerden hngisine eflittir? ) (, ) ) ( 7, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ). (, ) nokts ve = (, ) vektörü verilior. un göre, nokts fl dkilerden hngisine eflittir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (0, ) _ 7. U = (, ) ` vektörleri verilior. V = (, ) un göre, U, V skler çrp m kç eflittir? ) ) ) ) ). = (, k), = (p, ) ve = (, 9) vektörleri verilior. un göre, vektörü fl dkilerden hngisine eflittir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, 9) _ 8. V = (, ) ` vektörleri verilior. W = (, k) un göre, kçtır? 7 8 ) ) V, W = 8 olduğun göre, k ) ) 0 ) 9 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

70 KRİNT SİSTMİ TST 9. = e e ve = e e vektörleri verilior. un göre,, skler çrp m kç eflittir?. = e e ve = e + ne vektörleri dik kesiştiğine göre, n kçt r? ) ) ) ) ) ) 8 ) 9 ) 0 ) ) 0. X = pe ve Y = ke vektörleri verilior. un göre, X, Y skler çrp m kç eflittir?. = + oldu un göre,, skler çrp m kç eflittir? ) ) ) ) ) 0 ) ) ) 0 ) ). K = irim P = irim. V = (, ) ve W = (, ) vektörleri rs ndki ç α oldu un göre, sinα kç eflittir? K P = e + e oldu un göre, K, P skler çrp m kç eflittir? ) 7 ) ) ) ) ) ) ) ) ). + = (, ) + = 0 oldu un göre, eflittir?, skler çrp m kç ) ) ) 7 ) 8 ) 9. = e + e + = e + e oldu un göre, vektörünün X ekseni ile pt ç kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

71 KRİNT SİSTMİ TST..,= oldu un göre,, iç çrp m kçt r? ) ) ) ) 0 ) (, ) Yukr dki zeminde vektörünün konum vektörü fl dkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) _. = irim = irim ` oldu un göre, = + + toplm kçt r? ) ) ) ) ). Yukr dki zeminde vektörü fl dkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) _. = irim = irim ` oldu un göre, = (,), iç çrp m kçt r? ) ) ) ) ) 7 _. = (, ) = (k, ) ` vektörleri verilior. = (, ),=, oldu un göre, k kçt r? _ 7. = irim // ` oldu un göre,, = 8 vektörünün uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

72 KRİNT SİSTMİ TST 8. = (, ) vektörü ile n önlü, prlel ve uzunlu u irim oln vektör = (m, n) oldu un göre, n m kçt r?. ) ) ) ) ) 9. U // W U= P _ ` verilior. Yukr dki zeminde kçt r?, iç çrp m ) ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 (P W), U = 8 ve U = W oldu un göre, U kç irimdir? ) ) ) ) 0 ) 8 0. ik koordint sisteminde, = (, ) ve = (, ) vektörleri verilior. un göre, fl dkilerden hngisi nl flt r? _. = irim = irim ` vektörleri verilior. = 7 irim un göre, + + ifdesinin en küçük de eri kçt r? ) 0 ) ) ) ) ), = 0 d r. ) ile lineer ms zd r. ) = + dir. ) = dir. ) = dir.. Köflelerinin koordintlr (, 8), (, ) ve (, 8) noktlr oln üçgeninde ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 7 _. U = (,) V = (, ) ` vektörleri verilior. W = (, n) UV = W oldu un göre, n kçt r? 0 ) ) ) ) ). ve prlel iki vektör olup, _ = irim ` vektörleri verilior. = irim un göre,, kç eflit olilir? ) 7 ) ) ) 7 ) 7 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

73 KRİNT SİSTMİ TST _. U = (, ) ` vektörleri verilior. V = (, ) un göre, U vektörünün V vektörü üzerindeki dik izdüflüm uzunlu u kç irimdir? ) 8 ) 9 ) ) ) _. = (, + ) ` vektörleri verilior. = ( +,) un göre, ve vektörleri rs ndki ç kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) 7 ) 90. W = (, ) önündeki irim vektör fl ddkilerden hngisidir? ) d, n ) d, n ) d, n ) d, n ) d, n. _ Y+ Zi= X X = Z Y = Y _ ` vektörleri verilior. un göre, X ve Z vektörleri rs ndki ç kç derecedir? ) 0 ) 7 ) 0 ) ) 0. = (, ) do rultusundki irim vektörler ve oldu un göre, fl dkilerden hngisi olilir? 0 ) d, n ) d, n ) d, n ) d, n ) (, ) 7. = e e = e e _ ` vektörleri verilior. un göre, fl dkilerden hngisi ve vektörlerinin lineer kominsonlr ndn iri de ildir? ) (, ) ) (, ) ) (0, 0) ) (0, ) ) (7, ). = e + e = e + e _ ` vektörleri verilior. un göre, vektörünün vektörü üzerindeki dik izdüflüm vektörü nedir? ) d, n ) d, n ) d, n 8 8 ) d, n ) d, n _ 8. U = (, ) ` vektörleri V = (, ) W = (m, n) vektörüne dik oldu un göre, kçt r? ) 7 ) 8 ) ) 0 ) 7 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

74 KRİNT SİSTMİ TST 9. (, ), (, k) noktlr ile V= (, ) vektörleri verilior.,v= oldu un göre, k kç eflittir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9. ve vektörleri rs ndki ç 0 dir. = irim ve = irim oldu un göre, ( + ), ( ) skler çrp m kç eflittir? ) ) ) ) 0 ) 0. V ile W irim vektörleri rs ndki ç n n ölçüsü 0 oldu un göre, _ V W i, _ V Wi skler çrp m n n sonucu kç eflittir? 7 ) ) ) ) ) _. U = ( +, ) ` vektörleri verilior. V = (, ) U // V oldu un göre, kçt r? ) ) ) 7 ) 8 ) 9. + =, = irim, = olup ile rs ndki ç n n kosinüsü oldu un göre, kç irimdir? 7 ) ) ) ) ). v = (, ) vektörünün = 0 do rusu üzerindeki dik izdüflüm vektörünün uzunlu u kç irimdir? ) 9 7 ) 7 ) 8 7 ) 7 ) 7 7. =, =, = ( ) olup ile vektörleri rs ndki ç kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 7. = + c = c = c _ ` vektörleri verilior. un göre, ile c vektörleri rs ndki ç - n n kosinüsü kçt r? ) ) ) ) ) 7 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

75 KRİNT SİSTMİ TST. üçgen = = irim. dikdörtgen [] köflegen = irim = irim = irim un göre,, kç eflittir? ) ) 7 ) 9 ) 0 ) un göre,, kç eflittir? ) 8 ) 0 ) ) 0 ). düzgün lt gen. : = + m [] ve [] köflegen = irim : = + n un göre,, kç eflittir? ) 8 ) ) 0 ) ) Yukr dki l ve l do rulr üzerindeki ve vektörlerinin skler çrp m n n sonucu fl dkilerden hngisine eflittir? m ) ) ) 0 ) m + n ) n. 8 dikdörtgen = 8 irim = irim = irim. dik üçgen [] [] = irim un göre,, kç eflittir? ) ) ) 0 ) ) 0 un göre,, kç eflittir? ) ) ) 8 ) 0 ) 7 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

76 KRİNT SİSTMİ TST 7. 0 dikdörtgen = 0 irim = irim = irim = irim 0. dikdörtgen [] köflegen = irim = irim = irim = irim un göre,, kç eflittir? ) 7 ) 80 ) 8 ) 9 ) 98 un göre,, ( + ) kç eflittir? ) 70 ) ) 0 ) 0 ) 0 8. dik üçgen [] [] = irim = irim. düzgün eflgen [] köflegen [] köflegen = irim un göre,, kç eflittir? ) ) ) ) ) 0 un göre,, kç eflittir? ) 8 ) ) ) ) 0 9. dikdörtgen [] köflegen = irim = irim = irim = irim. üçgen [] ç ort = irim = irim un göre,, kç eflittir? ) 8 ) 70 ) 0 ) 0 ) 0 un göre, vektörünün ve cinsinden efliti nedir? ) _ + i ) _ + i 7 ) _ + i ) _ + i 7 ) _ + i 7 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

77 KRİNT SİSTMİ TST. dikdörtgen [] köflegen = irim = irim = irim. K dikdörtgen [] köflegen [] köflegen = irim = irim un göre,, ( + ) çrp m kç eflittir? ) 7 ) 0 ) ) 0 ) un göre, ) K, çrp m kç eflittir? ) ) ) 7 ) 0. 8 dikdörtgen = irim = irim = 8 irim = 0 irim. dikdörtgen [] köflegen = irim = irim = irim 0 un göre,, ( ) çrp m kç eflittir? ) 00 ) 0 ) 0 ) ) 0 un göre,, ( ) çrp m kç eflittir? ) 7 ) 0 ) ) 0 ). 8 dikdörtgen [] köflegen = 8 irim = irim = irim. prlelkenr [] köflegen K [] köflegen = un göre,, ( + ) çrp m kç eflittir? ) 0 ) ) 8 ) ) un göre K + K ifllemi nee eflittir? ) K ) ) K ) K ) K 77 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

78 KRİNT SİSTMİ TST 7. 8 dikdörtgen = 8 irim = irim = irim = 0. (0, 9), (, 0) = = un göre,, ( ) çrp m kç eflittir? ) 0 ) ) ) ) 8 un göre,, çrp m kç eflittir? ) ) ) ) 0 ) 8 8. (, 8). fiekilde kre,, do rusl (, ) (, ) m() = m() = irim (, ) Yukr dki nlitik düzlemde, skler çrp m kçt r? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) un göre,, çrp m kç eflittir? ) ) ) 0 ) ) 9. dörtgen [] ç ort [] [] [] [] = irim = irim. kre = irim un göre,, çrpım kç eflittir? ) ) ) ) ) 7 un göre, ( + ),( + ) çrp m kçt r? ) ) 8 ) ) 0 ) 78 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

79 KRİNT SİSTMİ TST. dörtgen [] [] = irim. düzgün lt gen un göre, ( + ), fl dkilerden hngisine eflittir? ) ) 8 ) ) 8 ) un göre, nin ve vektörleri cinsinden efliti fl dkilerden hngisidir? ) + ) ( + ) ) ( + ) ) ( ) ) ( + ). üçgen =. = (,) ve = (c, d) lineer ml iki vektör olsun. un göre, nin ve vektörleri cinsinden efliti fl dkilerden hngisidir? un göre, nün üzerindeki dik izdüflüm uzunlu u fl dkilerden hngisine dim eflittir? ) ) + ) c + d ) ( + ) ) ( + ) ) ( + ) ) ( + ) ) ( + ) ) c d ) + +. üçgen G rl k merkezi. ir üçgen = G un göre, G + G toplm fl dkilerden hngisine eflittir? ) ) ) G ) G ) G un göre, vektörünün ve vektörleri cinsinden efliti fl dkilerden hngisidir? ) + ) ( + ) ) ( + ) ) ( + ) ) ( + ) 79 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

80 KRİNT SİSTMİ TST 7. + vektör toplm fl dkilerden hngisine eflittir? ) ( + ) ) ( ) ) ( + ) ) ( + ) ) + _ 0. = = ` vektörleri verilior., = 0 un göre, ile vektörleri rs ndki ç kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 7 8. düzgün ltıgen [] köflegen [] köflegen. ( + ) = = = _ ` vektörleri verilior. un göre, ile vektörleri rs ndki ç kç derecedir? un göre, + + toplm fl dkilerden hngisidir? ) 0 ) 0 ) 90 ) 0 ) 0 ) ) ) ) ) _ 9. = = + ` vektörleri verilior. = un göre, ile vektörleri rs ndki ç - n n kosinüsü kçt r? ) ) ) ) ) _. c, = 0 = ` vektörleri verilior. = c un göre, ile c vektörleri rs ndki ç kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

81 = m + n n = m + n n d = (, m) = m + n n RULR. ÜN T ü ü ü ü ü ü ü ü ü ir o runun Vektörel, Prmetrik ve Kpl enklemi ir o runun o rultmn ve Norml Vektörleri ir o runun ir üzlemde rd ç k ve Kpl üzlemler ki o runun iririne Göre urumu ki o ru rs ndki ç ir o runun imi ir o runun Grfi i ir Noktn n ir o ru Uzkl Prlel ki o ru rs ndki Uzkl k

82 "Mtemtiksel olrk gösterilemeen hiçir rflt rm gerçek ilim s lmz." (Leonrdo d Vinci)

83 RULR R RUNUN PRMTR K ve KPLI NKLMLR üzlemde v = (,) vektörüne prlel oln ve ( 0, 0 ) noktsındn geçen doğru, ÖRNK üzlemde v = (, ) vektörüne prlel olup (, ) noktsındn geçen doğrunun prmetrik denklemini ullım. v = (, ) P(, ) d v = (, ) P(, ) d ( 0, 0 ) (, ) şeklinde düşünülürse; P ile v vektörlerinin lineer ğımlı olduğu görülür. ölece P // v zılilir. Prlel vektörler; iri diğerinin ir reel ktı oln vektörlerdir. d doğrusu üzerinde değişken ir P(, ) noktsı llım. u durumd P = (, ) ve v = (, ) vektörleri lineer ğımlıdır, ni iri diğerinin ktıdır. urdn, P = k.v eşitliğinde zılilir. (, ) = k(, ) = k +, = k + doğrunun prmetrik denklemidir. hlde; P = k.v P = (, ) ifdesi 0 0 P = k.v eflitli inde erine z l rs; ( 0, 0 ) = k. (, ) elde edilir. ÖRNK üzlemde v = (, ) vektörüne prlel olup (, ) noktsındn geçen doğrunun kplı denklemini ullım. u denkleme doğrunun vektörel denklemi denir. u denklemde ileşenler eşitlenerek, = 0 + k. = 0 + k. elde edilen u denkleme doğrunun prmetrik denklemi denir. urd; k e doğrunun prmetresi, v vektörünede doğrunun doğrultu (doğrultmn) vektörü denir. k ler eflitlenerek ulunn denkleme do runun kpl denklemi denir. d doğrusu üzerinde ir nokt P(, ) olsun. (, ) v = (, ) P(, ) P // v olup k! R için P = k. v z lilir. urdn, (, ) = k(, ) = k, = k k prmetreleri ln z rk l rs, k = ve k = = & + 0 = 0 elde edilir. d 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

84 RULR ÖRNK Vektörel denklemi (, ) = (, ) + k(, ) olrk verilen do runun do rultmn vektörünü ve prmetresini ull m. NT : + + c = 0 do rusu ile ilgili, ü o rultmn vektörü v = (, ) d r. ü imi m = dir. o rultmn vektörü v = (, ) Prmetresi k dir. ü ü ü = 0 ise eksenine prleldir. = 0 ise eksenine prleldir. c = 0 ise orijinden geçer. ÖRNK ÖRNK Prmetrik denklemi, = k = k + (, ) ve (, ) noktlrındn geçen doğrunun vektörel denklemini ullım. oln do runun do rultmn vektörünü ull m. + = k ve = k fleklinde ziliriz. urdn ( +, ) = k(, ) olup do rultmn vektörü v = (, ) dir. (, ) (, ) = (, ) doğrunun doğrultmn vektörü olrk lınilir. = (, ) ÖRNK + = 0 do rusunun do rultmn vektörünü ull m. (, ) P = k. (, ) = k(, ) P(,) ulunur. + = 0 do rusunun e imi olup do rultmn vektörü v = (, ) l nilir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

85 RULR ir oğrunun Norml Vektörü ir doğru d doğrultusun dik oln herhngi ir vektördür. tkinlik Zmn şğıdki oflluklr doldurunuz. N oğru oğrultmn vektörü Norml vektörü. + = 0. = + N : l doğrusunun norml vektörüdür.. = c = 0 doğrusunun norml vektörü. + = 0 N= (, ) lınilir.. (, ) = (, ) + k(, ) N = (, ) + + c = = = k + = k 8. = d = (, ) ÖRNK (, ) noktsındn geçen ve N = (, ) vektörüne dik oln doğrunun denklemini ullım = 0 N = (, ) 0. (, ) = (, ) + k(...,...) d = (, ). =... + N = (, 0) N = (, ). (, ) (, ) (, ) P (, ). P = P = (, ) ve P = N olup dik iki vektörün skler çrpımı sıfırdır. P, N = 0 d r.. urdn, ( ) ( ) = 0 + = 0 ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

86 RULR tkinlik Zmn şğıdki ifdelerde oş ırkıln erleri verilen ugun kelimelerle doldurunuz.. ( 0, 0 ) nokts ndn geçen ve v = (m, n) vektörüne prlel oln do runun vektörel denklemi... fleklindedir.... Vektörel denklemi (, ) = k. (p, r) oln do runun, do rultmn vektörü... ve üzerindeki ir nokt... fleklinde z lilir. Prmetrik denklemi = k, = k + oln do runun do rultmn vektörü... fleklinde z l r. + + c = 0 do rusunun do rultmn vektörü... ve norml vektörü... fleklinde z lilir.. ir do runun do rultmn vektörü do ru... dir.. ir do runun norml vektörü do ru... tir. 7. ir do runun norml vektörü ile do rultmn vektörü iririne... tir. 8. ir nokt ir do ru üzerinde ise noktn n koordintlrı do ru denklemini ki do ru iririne dik ise u do rulr n do rultmn vektörleri ki do ru iririne prlel ise norml vektörleri..... Skler çrpımı sıfır oln iki vektör dik..... İki vektör dik ise... sıfırdır.. ve noktlrı rsındki uzklık... ile ulunur. + dik + (, ) = ( 0, 0 ) + k(m, n) + d = (, ), N = (,) + dik + kesiflir + v = (, ) + v = (p,r), (, ) + prleldir + prlel + olmilir + sğlr + skler çrpımı +, 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

87 RULR ir o runun ir üzlemde rd ç k Y Kpl Yr üzlemler < m + n + + c c c > c < 0 fleklindeki ifdeler nlitik düzlemde r düzlemler elirtir. ÿ er eflitsizli in üük trf nd kl ors do - runun ukr s trn r. ÿ er eflitsizli in küçük trf nd kl ors do - runun fl s trn r. ÿ ÿ u r düzlemleri elirtmek için ln z rk l r. flitsizlik > d < ile gösteriliors do ru kesikli çizilir. < m + n m m + n = m = m + n m + n m m + n m = m + n = m m + n m + n = m + n > m + n > m + n = = = m + n 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 87

88 RULR ÖRNK ÖRNK + 0 eflitsizli ini nlitik düzlemde gösterelim. 0 eflitsizli ini nlitik düzlemde gösterelim. = 0 için = = 0 için = eksenleri kestiği noktlrdır. = + 0 i ln z rkl m + eflitsizli in küçük trf nd kld ndn do runun lt trnmıştır. i ln z rkl m eflitsizli in küçük trf nd kld ndn do runun lt trnmıştır. ÖRNK II ÖRNK I III 8 < 0 eflitsizli ini nlitik düzlemde gösterelim. V IV 8 enklemleri + = ve = oln do rulr n grfikleri koordint düzlemini flekildeki gii ölgelere rm flt r. un göre, + < ve < eflitsizliklerini s ln noktlr kümesinin ulunduğu ölgei ullım. i ln z rkl m > 8 eflitsizli in üük trf nd kld ndn do runun üstü trnmıştır. + < doğrusunun lt trfı, < doğrusunun üst trfı trnırs ortk noktlr I. ölgede olur. evp: I 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 88

89 RULR ki o runun iririne Göre urumlr İki doğrunun iririne göre durumunu elirlemek için doğrulrın doğrultmn vektörleri d norml vektörlerini ilmek eterlidir. ki do ru prlel ise do rultmn vektörleri prlel- dir d çk fl kt r. ÿ ki do runun do rultmn vektörleri lineer ğım- sız ise u doğrulr kesişen doğrulrdır. ÿ Norml vektörleri lineer ğımlı oln iki doğru p- rlel d çkışıktır. ÿ ÿ Norml vektörleri lineer ğımsız oln iki doğru kesişir. ÖRNK + = 0 + = 0 doğrulrının iririne göre durumunu ullım. Verilen doğrulrın norml vektörleri, N = (, ) ve N = (, ) olup + + c = c = 0 do rulr için, N ile N lineer ğımsız (doğrultulrı frklı) olduğundn verilen doğrulr kesişir. c ü = = ise doğrulr çkışıktır. c c ü =! ise doğrulr prleldir. c ü v (, ) ile v (, ) = = lineer ğımsız ise doğrulr kesişir. Kesim noktsı doğru denklemlerinin ortk çözümü ile ulunur. ÖRNK + = 0 + = 0 ÖRNK doğrulrının iririne göre durumunu ullım. (, ) = (, ) + k (, ) (, ) = (, ) + k (, ) doğrulrının iririne göre durumunu ullım. Verilen doğrulrın norml vektörleri, Verilen doğrulrın doğrultmn vektörleri, v = (, ) ve u = (, ) olup v ile u lineer ğımsız (doğrultulrı frklı) olduğundn verilen doğrulr kesişir. N = (, ) ve N = (, ) olup N ile N nin lineer ğımlı oldu u görülür. c N = k. N eşitliğinde k = ve = = c olduğundn verilen doğrulr çkışıktır. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 89

90 RULR İki oğru rsındki çı ÖRNK + = 0 + = 0 doğrulrı rsındki çı kç derecedir? α β ise α iki doğru rsındki çı kul edilir. Yni iki doğru rsındki çı dr oln çıdır, diğeri ise u çının ütünleridir. İki doğru rsındki çı u doğrulrın doğ- rultmn vektörleri rsındki dr çıdır. ü Verilen doğrulrın norml vektörleri, N = (, ) ve N = (, ) olup u vektörlerin skler çrpımı, N, N =. + ( ). = 0 olur. u durumd vektörler iririne diktir. Sonuç olrk verilen doğrulrın dik kesiştiği söleneilir. ir oğrunun ğimi ir doğrunun ekseni ile pozitif önlü ptığı çı eğim çısı ve u çının tnjntın doğrunun eğimi denir. m ile gösterilir. ÖRNK + = 0 + = 0 doğrulrı rsındki çının ölçüsünü ullım. α : l doğrusunun eğim çısı l do rusunun eğim; m = tnα ÖRNK Verilen doğrulrın doğrultmn vektörleri, v = (, ) ve u = (, ) olup doğrultmn vektörleri rsındki çıı ullım. v,u = v. u.cos =. 0.cos cos = ve = o ulunur. Ölese doğrulr rsı çı nin ütünleri dir. Yukr dki l doğrusunun eğimini ullım. α genifl ç oldu undn, m = tnα = 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 90

91 RULR ÖRNK ÖRNK Yukr dki l doğrusunun eğimini ullım. Yukr dki l doğrusunun eğimini ullım. m = tnα = = m = tnα = ÖRNK ÖRNK Yukr dki l doğrusunun eğimini ullım. Yukr dki l doğrusunun eğimini ullım. m = tnα = m = tn90 ise do ru e imsizdir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

92 RULR ÖRNK ÿ ir doğru eksene dik ise eğimi oktur (e imsizdir). Yukr dki l doğrusunun eğimini ullım. l ve l doğrulrının eğimleri oktur. m = tn0 = 0 ÿ ir doğru eksenine dik ise eğimi s f rd r. ÿ SNUÇLR : ir doğru ekseninin sğ trfın tık ise eğimi pozitiftir. Yukrıdki l ve l doğrulrın n eğimleri s f rd r. Yukrıdki l, l, l doğrulrın n eğimleri pozitiftir. ÿ ir doğru ekseninin sol trfın tık ise eğimi negtiftir. NT : = m + n doğrusunun eğimi m dir. + + c = 0 doğrusunun eğimi m = dir. ( + + c = 0 doğrusunun doğrultmn vektörü v = (, ) dır.) Yukrıdki l, l, l doğrulrın n eğimleri negtiftir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

93 RULR + şğıdki örnekleri inceleiniz. = doğrusunun eğimi tür. SNUÇLR : = + doğrusunun eğimi tir.. = + doğrusunun eğimi dir. ¹ + = 0 doğrusunun eğimi tür. º = doğrusunun eğimi 0 dır ( = 0 + ).» ¼ ½ = doğrusunun eğimi oktur (0 + = ). Prmetrik denklemi, = k+ oln do runun e imi dir. = k Vektörel denklemi, l do rusunun e imi m = tnα (, + ) = k(, 8) oln do runun e imi dir.. (, ) tkinlik Zmn ( 0, 0 ) şğıdki oflluklr doldurunuz. l do rusunun e imi oğru ğimi ordintlr frk m = = psisler frk = 0. (, ) = (, ) + k(8, ). = k + = k. = 0. + = 0. (, ) = (, ) + k(, ) 7. = 0. l : + + c = 0 l do rusunun e imi m = 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

94 RULR tkinlik Zmn şğıdki ifdelerde oş ırkıln erleri verilen ugun kelimelerle doldurunuz.. + = 0 doğrusunun eğimi... dir = 0 doğrusunun eğim çısı... dir = 0 doğrusunun eğimi dir.. = 0 doğrusunun eğimi... dır = 0 doğrusu e imsizdir.. imleri eflit oln do rulr... ve... t r. 7. Çk fl k iki do ru rs ndki uzkl k... dır. 8. ir do runun ekseni ile pozitif önde pt ç... denir. 9. ( 0, 0 ) nokts n n + + c = 0 do rusun uzkl... ile ulunur c = 0 do runun norml vektörü... ile gösterilir c = 0 do runun do rultmn vektörü... ile gösterilir.. Vektörel denklemi (, ) = (, ) + k(, 8) oln doğrunun eğimi... dır.. Prmetrik denklemi = k, = k + oln do runun e imi... tür prlel, çk fl k e im ç s + s f r + + N = (,) + d = (, ) c S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

95 RULR İki oğru rsındki çı ÖRNK = + ile = + 7 do rulr rs ndki ç n n ölçüsünü ull m. l doğrusunun eğimi : m = tnα l doğrusunun eğimi : m = tnβ m m tni = + m.m = + do rusunun e imi m = ve = + 7 do rusunun e imi m = tür m m ( ) tni = = = = olup + m.m ( ) + tn i = & i = o ulunur. Htırltm : İki doğru rsındki çı dr çıdır. Htırltm : İki doğru rsındki çı u doğrulrın doğrultmn vektörleri rsındki dr çıdır. u durumd do rulr rs ndki ç n n ölçüsü, 80 = dir. "Yukr dki örne i do rulr n do rultmn vektörlerini kullnrk (skler çrp m) ile çözmee çl fl n z." ÖRNK NT : + = 0 ile + = 0 do rulr rs ndki ç n n ölçüsünü ull m. İki doğru dik ise eğimleri çrpımı dir. m. m = l : + = 0 do rusunun e imi m = İki doğru prlel ise eğimler eşittir. l : + = 0 do rusunun e imi m = tür. // m = m m.m =. d n = oldu undn l l olur. hlde do rulr rs ndki ç n n ölçüsü 90 dir. Htırltm : o rultmn vektörleri dik oln do rulr dik kesiflir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

96 RULR ÖRNK (, ) nokts ndn geçen ve = + do rusun prlel oln do runun kpl denklemini ull m. rnn do ru = + do rusun prlel olc ndn e imi olml d r. hlde denklemi de, = + n olur ki u do ru (, ) nokts ndn geçti ine göre noktn n koordintlr denklemi s lml d r. u durumd, (, ) erine zl m erine zl m = + n = ( ) + n olup n = ulunur ir o runun Grfi i = m + n do rusunun grfi i çizilirken;. d m : = m çizilir.. d m : = m, ekseni do rultusund n > 0 ise ukr, n < 0 ise fl ötelenir.. d m : erine 0 z lrk eksenini kesti i nokt iflretlenir. ÖRNK = + do rusunun grfi ini çizelim.. d m : önce = do rusunu çizelim = ölece istenen do ru = + elde edilir. ÖRNK (, ) nokts ndn geçen ve + = 0 do rusun dik oln do runun kpl denklemini ull m. rnn do ru + = 0. d m : = do rusunu ekseninde irim ukrı öteleelim. do rusun dik oldu undn e imi olml d r. imi oln do runun denklemi = + n olup (, ) nokts n d s lc ndn,. d m : = 0 için = ulunur. u durumd, (, ) = + n = ( ) + n olup n = ulunur = + ölece istenen do ru = + elde edilir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

97 RULR ir Noktnın ir oğru Uzklığı ik koordint sisteminde ( 0, 0 ) noktsının l : + + c = 0 doğrusun uzklığı, ( 0, 0 ) Prlel İki oğru rsındki Uzklık ; + + c = 0 ; + + c = 0 d(,,) = d(, ) H + + c 0 0 ile hespln r. + ÿ c c d(,,, ) = ile hespln r. + Kesişen iki doğru rsındki uzklık 0 irimdir. ÖRNK (, ) nokts nın l ; + + = 0 doğrusun uzklığını ullım. ÖRNK = 0 ve + 8 = 0 do rulr rs ndki uzkl ull m. d(,,) = = = r ulunur. d(, ) = = 0 NT : ir noktnın ir doğru uzklığı vektörel olrk d ulunilir. l do rusu ile çrp l rs = 0 elde edilir. ölece, d(,,, ) = ( ) + 8 = 9 irim 0 ulunur. N H P ÖRNK + 0 = 0 ve + = 0 do rulr rs ndki uzkl ull m. P : oğru üzerinde herhngi ir nokt N : Norml vektör H = d(,,) = P, N N Verilen do rulr kesiflen do rulr oldu undn rlr nd uzkl k s f rd r. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 97

98 RULR tkinlik Zmn 7 RU YNLIfi Y. ir do runun do rultmn vektörü do ru prleldir.. ir do ru üzerinde frkl iki nokt l nrk do rultmn vektörü ulunilir.. ir do runun norml vektörü do ru diktir.. ir do ru üzerinde frkl iki nokt l nrk norml vektörü ulunilir.. Prlel iki do runun do rultmn vektörleri iririne diktir.. ki do runun do rultmn vektörlerinin skler çrp m n n sonucu pozitif d negtif reel s ise do rulr diktir. 7. ksenlerden irini kesmeen ir do runun norml vektörünün ileflenleri s f rdn frkl d r. 8. ki do ru iririne dik ise do rultmn vektörlerinin skler çrp m s f rd r. 9. Norml vektörleri lineer ms z oln iki do ru prleldir. 0. eksenine dik oln ir do runun do rultmn vektörlerinden irisi d = (0, ) tür.. imi m R + oln ir do runun norml vektörü N = ( m,) fleklindedir.. ki do ru rs ndki uzkl k s f r ise do rulr n do rultmn vektörleri lineer ml d r.. ir do runun do rultmn vektörleri lineer ml d r.. ir do runun norml vektörleri lineer ms zd r. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 98

99 RULR TST. (, ) nokts ndn geçen ve v = (, 7) vektörüne prlel oln do runun vektörel denklemi fl dkilerden hngisidir? ) (, ) = (, ) + k(, 7) ) (, ) = (, ) + k(, 7) ) (, ) = (, ) + k(, 7) ) (, ) = (, ) k(, 7) ) (, ) = (, ) + k(, ). = 0 do rusunun ir do rultmn vektörü fl dkilerden hngisidir? ) =(, ) ) = (0, ) ) c = (, ) ) d = (7, 0) ) e = (, ). v = (, ) vektörü fl dki do rulrdn hngisinin do rultmn vektörüdür? ) + 7 = 0 ) = 0 ) + = 0 ) 7 + = 0 ) = c = 0 do rusunun norml vektörü N = (, ) oldu un göre, fl dkilerden hngisi dim do rudur? ) = ) = ) = c ) = ) + = 8. Norml vektörü N = (, ) oln ve (, ) nokts ndn geçen do runun denklemi fl- dkilerden hngisidir? ) + + = 0 ) 7 = 0 ) + + = 0 ) + 8 = 0 ) = 0 7. Prmetrik denklemi, = k + 7 = k oln do runun do rultmn vektörü fl dkilerden hngisi olilir? ) (, 7) ) (, 7) ) (, ) ) (, ) ) (, ). Vektörel denklemi (, ) = ( 0, 0 ) + k(, ) oln do runun norml vektörlerinden iri fl dkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) 8. Norml vektörleri N = (, ) ve N = (, ) oln iki do ru rs ndki ç kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

100 RULR TST 9. + = 0 do rusunun prmetrik denklemi fl dkilerden hngisidir?. ) = k + ) = k + ) = k = k = k = k + ) = k ) = k = k = k 0. Vektörel denklemi (, + ) = k(, ) oln do runun prmetrik denklemi fl dkilerden hngisidir? ) = k + ) = k + ) = k = k = k = k + Yukr dki zeminde verilen vektörlere göre fl dkilerden hngisi + 9 = 0 do rusunun do rultmn vektörüdür? ) + ) + ) ) ) ) = k ) = k = k = k +. nlitik düzlemde ir l do rusun dik oln do runun norml vektörü N= (, ) d r.. (, ) ve (, ) noktlr ndn geçen do runun prmetrik denklemi fl dkilerden hngisidir? ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, 9) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) (, ) nokts ndn geçen l do rusunun denklemi fl dkilerden hngisidir? ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ). nlitik düzlemde (, ), (, 8) ve (, ) noktlr verilior. nokts ndn geçen vektörüne prlel oln do runun vektörel denklemi fl- dkilerden hngisidir?. o rultmn vektörleri u = (, ) ve v = (, 9) oln iki do ru rs dki ç n n ölçüsü kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) 7 ) 90 ) (, ) = (, ) + k(, 9) ) (, ) = (, ) + k(9, ) ) (, ) = (, ) + k(9, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + (, 9) 00 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

101 RULR TST. Norml vektörü N = (, ) oln ve orijinden geçen do ru üzerindeki ir nokt (, n) oldu un göre, nokts n n n koordint kçt r? ) ) ) ) ). ki kenr + 8 = 0 ve + + = 0 do rulr üzerinde oln krenin ir kenr uzunlu u kç irimdir? ) 0,8 ), ), ), ). Prmetrik denklemi, = k + = k fleklinde verilen do ru üzerindeki ir nokt (, m) oldu un göre, nokts n n m koordint kçt r?. N = (, ) ) ) ) ) 7 ) 9. nlitik düzlemde, + 8 = = 0 do rulr rs ndki uzkl k kç irimdir? ) 0 ) 8 ) ) ) ( 0, 0 ) (, ) Yukr d ve noktlr ndn geçen ve N = (,) vektörüne dik oln do runun denkleminin vektörel ifdesi fl dkilerden hngisidir? ) N, = 0 ), N = ), = ), N = 0 ) + N =. 7. (, ) ve (, ) noktlr ndn geçen do runun vektörel denklemi, (, ) = + k( ) fleklinde verilior. un göre, k = için (, ) nokts ile ilgili fl dkilerden hngisi do rudur? Yukr dki zeminde l ve l do rulr rs nd kln ç n n ölçüsü kç derecedir? ) 7 ) 0 ) ) 0 ) ) nokts ile nokts n n orts ndd r. ) nokts ile çk fl kt r. ) nokts ile çk fl kt r. ) nokts n n s ndd r. ) nokts n n solundd r. 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

102 RULR TST 8. Prmetrik denklemi, = k + = k + oln do runun vektörel denklemi fl dkilerden hngisidir? ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ). Vektörel denklemleri, (, ) = (, ) + k(, ) (, ) = (, ) + k(, n) do rulr dik kesiflti ine göre, n kçt r? ) ) ) 0 ) ). 9. Kpl denklemi, + = 0 oln do runun vektörel denklemi fl dkilerden hngisi olmz? ) (, ) = (, 9) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (0, ) + k(, ) ) (, ) = (, 0) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) Yukr dki nlitik düzlemde l do rusunun vektörel denklemi fl dkilerden hngisidir? ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, 0) k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, 7) ) (, ) = (, ) + k(7, ) 0. ik koordint sisteminde, 0 eflitsizli i için fl dki ifdelerden hngileri do rudur? I. Kpl r düzlem elirtir. II. P(, ) nokts u r düzleme ittir. III. K(, ) nokts u r düzleme it de ildir. ) Yln z I ) Yln z II ) Yln z III ) I ve II ) II ve III. Vektörel denklemleri, (, ) = (, 7) + k(, ) (, ) = (, ) + k(, ) oln do rulr rs ndki ç n n ölçüsü kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

103 RULR TST. G. K H L ir ük kmoneti 0, ten fzl e imi oln ollrdn gidemedi ine göre, fl dki ollrdn hngisinden gitmesi sk ncl olur? Yukr dki flekilde verilen do ru prçlr n n e imlerinin küçükten üü e do ru s rln fl fl dkilerden hngisidir? ) m < m < m GH < m < m KL ) ) m m 0 m 0 m ) m < m < m < m GH < m KL ) m GH < m < m KL < m < m ) ) ) m GH < m < m < m KL < m ) m < m < m = m GH < m KL m 9 m m m ) m 0 m. fl dki d lrdn hngisini t rmnmk di- erlerine göre dh zordur? ) ) 0 m 0 m 0 m 0 m ) 0 m ) 0 m. imi, oln üçgenin dike uzunlu u 0 cm ise t uzunlu u kç cm dir? 0 m 0 m ) 0 m rif ö retmenin sordu u sorunun cev fl- dkilerden hngisidir? 0 m ) 0 ) 00 ) 80 ) 0 ) S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı....

104 RULR TST. 8. m m 8 m m, m ir ust ukr dki evin çt s n, = metre, = metre ve = 8 metre ölçülerinde infl etmifltir. un göre, ust çt n n e imini kç olrk hesplm flt r? Yukr d verilen rn n n er ile pt e im üzde kçt r? ) ) 0 ) 0 ) 70 ) 80 ) ) ) ) ) 9.., m 800m 00m 00m 0, m Yukr dki flekilde verilen d n s mc n n e imi kçt r? ) ) ) ) ) 8 8 Yukr d verilen merdivenin er ile pt e im kçt r? ) ) ) ) ) 7. 0.,8 m m Yukr dki flekilde dire ine lnm fl uçurtm verilmifltir., m : + k = 0, = m oldu un göre, uçurtmn n ipinin uzunlu u kç m dir? Yukr d verilen kplum n n gitti i olunun e imi kçt r? ) 0 ) ) ) ) 0 ) ) ) ) ) 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

105 RULR TST. Yndki kedi fl d verilen okufl modellerinden hngisini dh zor ç kr?. ) ) 8 m m Yukr dki flekilde do rusunun e imi oldu un göre, do rusunun e imi kçt r? ) ) ) ) ) ) ) ). Yukr d verilen do rulrdn hngisinin e imi dh fzld r? ) l ) l ) l ) l ) l. 0 m. lker m lker evinden m uzkt uçurtms n 0 m ip kullnrk flekildeki gii uçurmktd r. vlerinin çt s erden 7 metre ükseklikte oldu un göre, uçurtmn n erden üksekli i kç metredir? ) 0 ) ) 7 ) ) enk ile ev rs ndki mesfe, m dir. enk ile evin cs rs ndki e im oldu un göre, evin üksekli i kç metredir? ) ),8 ), ) ),8 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı.....

106 RULR TST. 9. (0, ) II (0, ) (, 0) I (, 0) Yukr dki isikletlinin ç kt okuflun e imi kçt r? ) ) ) ) ) Yukr d I. konumd durn srkç II. konum getirilior. un göre, II. durumd ipin ir do ru modeli oldu u düflünülürse, e imi kç olur? ) ) ) ) ) Yukr dki koordint sisteminde l kç n n olts ir do ru modeli olrk düflünülürse oltn n e imi kç olur? ) 0 ) ) ) ) Ifl k kn Mum 0 cm Gölge Yukr dki flekilde verilen mumun gölgesi kendisinden 0 cm uzkl ktki ölgede oluflmktd r. Mumun kendi gölgesinin oun orn oldu un göre, fl k kn ile mum rs ndki mesfe kç cm dir? ) 0 ) ) 0 ) ) I II III IV h m V m m m Yukr d verilen do rulrdn hngisinin e imi pozitiftir? ) I ) II ) III ) IV ) V üük inn n üksekli i (h) kç m dir? ) ) ) ) 8 ) S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

107 RULR TST. l : = + 7 l : = + 9 l : = m + n. (, ) nokts, (, ) = (, ) + k(, p) do rusu üzerinde ir nokt oldu un göre, p koordint kçt r? ) ) ) ) ) Yukrıd l ve l doğrulrının rsınd kln çının çıort doğrusu l dir. un göre, m kçt r? ) ) ) ) ). Vektörel denklemi, (, ) = (, ) + k(, ) oln do ru üzerinde psisi oln noktn n ordint kçt r? ) 9 ) 0 ) ) ). Yukr d grfi i verilen l do rusunun kpl denklemi fl dkilerden hngisidir? ) + + = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + + = 0 ) + + = 0. ğim çısı 0 oln doğrunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ) 0. + = 0 do rusunun eksenlerle oluflturdu u üçgenin çevre uzunlu u kç irimdir? ) 8 ) 0 ) ) ) 7. nlitik düzlemde = doğrusunun eğimi kçtır? ) ) ) ) 0 ) ğimsiz 07 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

108 RULR TST 8.. P P = (,) 0º m() = 0 P =, un göre, l doğrusunun eğimi kçtır? un göre, l doğrusunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 9. P P = (, ) P //,. kre (0, ) ve (, 0) noktlrı verilior. un göre, l doğrusunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ) un göre, ve noktlrındn geçecek flekilde çizilecek doğrunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ) 7 0. (, ) [] []. (, ) (0, ) un göre, doğrusunun do rultmn vektörü fl dkilerden hngisi olilir? ) d = (, ) ) d = (, ) ) d = (, ) ) d = (, ) ) d = (, ) un göre, noktsının psisi kçtır? ) ) ) ) ) 08 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

109 RULR TST. enklemi. = {} = + k doğrusu ile orijinden geçen l doğ- (, 0) (, 0) (0, ) = +k rusu dik kesişmektedir. (0, ) un göre, l doğrusunun kpl denklemi nedir? un göre, trlı lnlr toplmı kç r dir? ) ) ) ) ) ) = ) = ) = 0 ) = ) = 0.. kre = l do rusunun vektörel denklemi,, = 0 ve (, ) = (, 8) + k(, ) oldu un göre, noktsının psisi kçtır? ) ) ) 8 ) ) un göre, l doğrusunun do rultmn vektörü şğıdkilerden hngisi olilir? ) d = (, ) ) d = (, ) ) d = (, ) ) d = (,) ) d = (, ). nlitik düzlemde (7,) ve (, ) noktlr verilior. =. nlitik düzlemde prmetrik denklemi, ile lineer ml oldu un göre, uzunluğu kç irimdir? ) 0 ) 8 ) ) ) = k + = 7k oln doğrunun eğimi kçtır? 7 ) ) ) ) 9 9 ) S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

110 RULR TST 7. şğıdki doğrulrdn hngisinin eğimi en küçüktür? ) 8 = 0 ) 8 = 0 ) + = 0 ) = 0 ) + 9 = 0. nlitik düzlemde (, ) noktsıdn geçen ve eksenine prlel oln doğrunun kpl denklemi nedir? ) = 0 ) = 0 ) 8 = 0 ) 9 = 0 ) = 0 8. ( ) = 0 do rusu ekseni ile pozitif önde 0 ç pt n göre, kçt r? ) ) + ). nlitik düzlemde (, ) noktsındn geçen ve eksenine prlel oln doğrunun kpl denklemi nedir? ) = 0 ) = 0 ) = 0 ) 9 = 0 ) = 0 ) ) = 0 ve + + = 0. nlitik düzlemde (, ) noktsındn geçen ve eğimi oln doğrunun denklemi nedir? do rulr rs nd kln dr ç kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 7 ) = 0 ) = 0 ) 9 8 = 0 ) 9 = 0 ) + = 0 0. nlitik düzlemde (, ), (8, ) noktlrındn geçen doğrunun denklemi nedir? ) 7 = 0 ) 9 = 0 ) 8 = 0 ) + 9 = 0 ) 9 = 0. + = 0 do rusu üzerindeki (, ) nokts P(, ) nokts n en k n noktd r. un göre, (, ) nokts fl dkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ), ) ), d n ) 7 d, n 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

111 RULR TST 7. nlitik düzlemde.. = denkleminin elirtti i do runun kre kre (7, ) e imi kçt r? ) ) ) ) ) un göre, kç irimdir? ) ) ) ) ). ik koordint sisteminde, = 0 denkleminin elirtti i do rulr n e imleri çrp m kçt r? ) ) ) ) ). (0, ) (, 0). = dikdörtgeninin köflesi = l l do rusu üzerindedir. = () = r un göre, l doğrusunun norml vektörü fl dkilerden hngsidir? ) N =(, ) ) N =(, ) ) N =(, ) ) N =(, ) ) N =(, ) un göre, köflesinin koordintlr fl- dkilerden hngisidir? ) (, 0) ) (, 0) ) (0, ) ) (, ) ) (, ). Ynd verilen nlitik düzlemde 7. (0, ) (0, ) (, 0) kresinin köflesi, l l denklemi + = 0 oln l do rusu üzerindedir. un göre, l doğrusunun denklemi nedir? un göre, krenin ln kç r dir? ) 0 ) ) ) ) ) = 0 ) + + = 0 ) + = 0 ) = 0 ) + = 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

112 RULR TST 7 8. K (0, ) (0, ) (, 0) (, 0). n = 0 dikdörtgen () = r un göre, K çısının ölçüsü kç derecedir? ) 90 ) 0 ) 0 ) ) 0 un göre, noktsının ordintı kçtır? ) ) ) ) ) 0, 9.. K (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) K K K (, ) un göre, l doğrusunun vektörel denklemi nedir? ) (, ) = k(, ) ) (, ) = k(, ) ) (, ) = k(, ) ) (, ) = k(, ) ) (, ) = k(, ) un göre, l doğrusunun denklemi nedir? ) + + = 0 ) + = 0 ) = 0 ) = 0 ) + 0 = 0 0. = l (, ) K. = + K K (, ) un göre, l doğrusunun denklemi nedir? ) + 8 = 0 ) + 8 = 0 ) = 0 ) + = 0 ) + = 0 = + un göre, (K) kç irim kredir? ) ) ) ) ) 7 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

113 RULR TST 8. + = = 0. (, ) noktsının + = 0 doğrusun uzklığı 7 irim olduğun göre, nokts n n koordint n n lileceği değerler toplmı kçtır? ) ) ) ) ) un göre, () kç irim kredir? ) ) ) ) 9 ). (, ) noktsının + = 0 doğrusun uzklığı kç irimdir? ) ) ) ) ). 0 = 0 doğrusu ile + 0 = 0 doğrusu rsındki uzklık kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) 8. (, ) noktsının k = 0 doğrusun uzklığı irim olduğun göre, k nin lileceği değerler toplmı kçtır? ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 7. ikizkenr dik üçgeninin [] hipotenüsü = 0 doğrusu üzerinde olup (, ) olduğun göre, üçgeninin lnı kç irim kredir? ) 9 ) 0 ) ) ). (, k) noktsının = 0 doğrus n uzklığı irim olduğun göre, nokts n n k koordint n n lileceği değerler toplmı kçtır? 8. (, ) noktsının + + = 0 doğrusun uzklığı kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) 8 ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

114 RULR TST 8 9. nlitik düzlemde, _ i noktsının orijine uzklığı kç irimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) = = 0 l // l // l olduğun göre, l doğrusunun denklemi nedir? ) = 0 ) + = 0 ) + 9 = 0 ) = 0 0. nlitik düzlemde (, ) noktsının o eksenine oln uzklığı kç irimdir? ) = 0 ) ) ) ) ). d( ), + + = 0. dik üçgen = metre = metre + 8 = 0 un göre, l ve l do rulr rs ndki uzkl k d(l,l ) kç irimdir? ) ) ) ) ) Yukr dki dik üçgeni fleklindeki zemine ir kenr metre oln kre fleklindeki fnslrdn üst üste gelmeecek flekilde en fzl kç tne döfleneilir? ) ) ) ) ). (, ) = 0 un göre, nokts n n l do rusun uzkl d(, l ) kç irimdir? ) ), ) ), ). nlitik düzlemde (, ) nokts n n = m + n do rusun göre simetrisi oln nokt (, ) oldu un göre, m kçt r? ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

115 RULR TST 9. 0 ve ve. 0 flitsizliklerini s ln noktlr kümesi fl- dkilerden hngisinde trnm flt r? flitsizliklerini s ln noktlr kümesi fl- dki grfiklerden hngisinde trnm flt r? ) ) ) ) 8 8 ) ) ) ) 8 8 ) ) 8. 0 ve flitsizliklerini s ln noktlr kümesi fl- dki grfiklerden hngisinde trnm flt r?. + 8 > 0 ve. 0 flitsizliklerini s ln noktlr kümesi fl- dki grfiklerden hngisinde trnm flt r? ) ) ) ) 8 8 ) ) ) 8 ) 8 ) ) 8 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı....

116 RULR TST , ve. 0 flitsizlik sistemini s ln noktlr kümesi fl dki grfiklerden hngisinde verilmifltir? 7. + ve flitsizliklerini s ln (, ) noktlr kümesi fl dki grfiklerden hngisinde trnm flt r? ) 0 ) ) = ) = 0 ) ) ) = ) = 0 ) ) = 0. 0, + 0 ve flitsizlik sistemini s ln noktlr kümesi fl dki grfiklerden hngisinde verilmifltir? ve + 0 flitsizlik sistemini s ln noktlr kümesi fl dki grfiklerden hngisinde trnm flt r? ) = = ) = = = ) ) ) = = = ) = = ) ) = ) = = = ) = 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

117 ÜÇGNLR. ÜN T ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü Çokgen Üçgen Çeflitleri Üçgenin Yrd mc lemnlr Üçgende ç nt lr Üçgende ç lr ve Kenrlr rs ndki liflkiler Sinüs Teoremi ir Üçgenin ir Kenr n elli ir rnd ölen Nokt ulm ç ç ort Teoremi fl ç ort Teoremi Üçgende Kenrort ve ç ortlr n Kesim Noktlr Yükseklik ir Üçgensel ölgenin ln rnot Teoremi

118 " nsno lunun de eri ir kesirle ifde edilecek olurs; p gerçek kiflili ini gösterir, pds d kendisini ne znnetti ini, pd üüdükçe kesrin de eri küçülür." (TLSTY)

119 ÇKGNLR Tn m : Uç noktlr d fl nd kesiflmeen üç d dh fzl do ru prçs n n uç uc eklenmesi ile elde edilen kpl flekillere çokgen denir. ir çokgenin kenrlr ile s n rld ölgee çok- gensel ölge denir. ÿ ÿ Köflegen iç ç d fl ç ir çokgensel ölgenin herhngi iki nokts n irlefltiren do ru prçs her zmn çokgensel ölge içinde kl ors un konveks (d flüke) çokgen denir. u do ru prçs çokgensel ölgenin d fl nd d kl ors konkv (iç üke) çokgen denir. ÿ Köflegen S s n kenrl ir çokgenin rd fl k köfleleri,,... n fleklinde isimlendirilsin.. köfleden (n ) tne köflegen geçer un- lrdn frkl olrk, ü. köfleden (n ) tne köflegen geçer un- lrdn frkl olrk, ü. köfleden (n ) tne köflegen geçer un- lrdn frkl olrk, ü. köfleden (n ) tne köflegen geçer un- lrdn frkl olrk, h h ü (n ). köfleden tne köflegen geçer un- lrdn frkl olrk, ü ü (n ). köfleden tne köflegen geçer. d fl üke d fl üke hlde tüm köflegenlerin s s, n(n ) n + n = (n ). (n ) Y iç üke ÖRNK iç üke ü ir köfleden (n ) tne köflegen geçer. ü n köfleden n(n ) tne köflegen geçer. u köflegenlerden her iri iki kez s ld ndn, n(n ) Tüm köflegenlerin s s = dir. Y ÿ n kenrl ir çokgenin köfle s lr n, = #,,,...n- kümesi ile gösterelim. Yukrıdki şekillerden hngileri çokgendir?,, ve. şekiller çokgen tnımın ummktdır.. ve. şekiller çokgendir. Köflegen çizmek için iki köflee gerek oldu undn, d n n tne köfle irlefltirilmifl olur. unlrdn n tnesi kenr oldu undn tüm köflegenlerin s s d n n n ile ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

120 ÇKGNLR ÖRNK ÖRNK ir sekizgenin tüm köflegenlerinin s s n ull m. Köflegen s s kenr s s n n kt oln çokgenin kenr s s n ull m. Çizilen köflegenler ir dh çizilmemek flrt ile,. Köfleden köflegen geçer.. Köfleden köflegen geçer.. Köfleden köflegen geçer.. Köfleden köflegen geçer.. Köfleden köflegen geçer.. Köfleden köflegen geçer. + Tüm köflegen s s = =. + = 0 ulunur. n kenrl ir çokgenin ir köflesinden çizilen köfle- genler çokgeni (n ) tne üçgene r r. ÿ Kenr s s n Köflegen s s n(n ) olup n(n ) =.n" n = 8 n= ulunur. hlde çokgen kenrl d r. hlde iç ç lr toplm (n ). 80 olur. ÖRNK ir onüçgenin üç köflesinden en fzl kç frkl köflegen geçer? ç ç lr toplm. 80º ç ç lr toplm. 80º ç ç lr toplm. 80º Köflegenler iririnden frkl olmk üzere,. Köfleden 0 köflegen geçer.. Köfleden 0 köflegen geçer.. Köfleden 9 köflegen geçer. + Üç köfleden en fzl 9 tne köflegen geçer. ÖRNK ç ç lr n n ölçüleri toplm d fl ç lr n n ölçüleri toplm n n kt oln ir konveks çokgenin kenr s s n ull m. ç ç lr n ölçüler toplm (n ). 80 fl ç lr n ölçüleri toplm 0 UYRI er köflegenler rd fl k olmn köflelerden l nmsd köflegen s s dh z olurdu. un göre, (n ). 80 =. 0 (n ) = n = hlde çokgen kenrl d r. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

121 ÇKGNLR ÖRNK ÖRNK 7 ir konveks çokgenin d fl ç lr ndn en fzl kç tnesinin genifl ç oldu unu ull m. fl ç lr toplm 0 oldu undn en fzl d fl ç s genifl ç l d r. (n mnt kl en fzl iç ç s dr ç d r.) ir üçgenin çizileilmesi için en z ir uzunluk ve iki ç ilinmelidir. urdn hreketle, n kenrl ir konveks çokgenin çizileilmesi için en z (n ) tnesi uzunluk olmk üzere; (n ) tne elemn n verilmesi gerekir. (urd elemndn ks t ç ve uzunluktur, unlr geometrinin hm mddesidir.) ir köşesinden çizilen köşegen sısı ile çizilmesi için gereken elemn sısının toplmı oln dışüke ir çokgenin toplm köşegen sısını ull m. n kenrl ir dışüke çokgenin ir köşesinden çizilen köşegen sısı n ve elemn sısı n tür. hlde, n + n = n = n = olup Toplm köşegen sısı, n(n ). = = 9 ulunur. ÖRNK 8 ÖRNK n z elemnl elirleneilen ir çokgenin ir köşesinden en fzl kç tne köşegen çizileileceğini ull m. ir konveks sekizgenin çizileilmesi için en z kç tne elemn n verilmesi gerekti ini ull m. n kenrl ir çokgenin çizileilmesi için n tne elemn n verilmesi gerekir. hlde n = 8 için;. 8 = elemn n verilmesi gerekir. n kenrl ir çokgen en z n elemnı ile ellidir. hlde, n = n = n = olup ir köşesinden = 9 tne köşegen çizileilir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

122 ÖZT Kenr sısı (n) d dh fzl oln kplı geometrik şekillere çokgen denir. Konveks çokgen ( flüke) Konkv çokgen ( çüke) Köşegen: ir konveks çokgende komşu olmn iki köşei irleştiren doğru prçsıdır. n.(n ) e Köşegen sısı = n KNRLI ir KNVKS ÇKGN ;. İç çılrı toplmı = (n ). 80. ış çılr toplmı = 0. Köşegen sısı = n.(n ). ir köşeden (n ) tne köşegen çizilir, u köşegenler çokgeni (n ) tne üçgene ırır.. n z (n ) tne elemnı ile ellidir. [unlrdn en z (n ) tnesi uzunluk, en çok (n ) tnesi çıdır.] 0 o. ir dış çı = dir. n NT f ir konveks çokgenin en fzl üç iç çısı dr olilir. G ÿ. Köşeden n tne köşegen geçer, unlrdn frklı ÿ. Köşeden n tne köşegen geçer, unlrdn frklı ÿ. Köşeden n tne köşegen geçer, unlrdn frklı ÿ. Köşeden n tne köşegen geçer, unlrdn frklı... ÿ n. köşeden tne köşegen geçer. ÜZGÜN ÇKGN ÿ Tüm kenr uzunluklr eşit, tüm iç çılrın ölçüleri iririne eş oln çokgene düzgün çokgen denir. ir köşeden çıkn çıort krşı kenrın ortsı- n dik olrk gider, çokgeni ortlr ve çokgenin simetri eksenidir. ÿ ÿ KNR SYISI TK LN ir ÜZGÜN ÇKGN; S S flkenr üçgen üzgün eflgen üzgün edigen KNR SYISI ÇiT LN ir ÜZGÜN ÇKGN; ir köşeden çıkn çıort krşı köşee çıort olrk gider, çokgeni ortlr, çokgenin simetri eksenidir. º º 0º 0º 7,º 7,º 0º n = n = n = 0º 7º 08º flkenr üçgen Kre üzgün eflgen º º 0º 0º Kre üzgün lt gen üzgün sekizgen R ÜZGÜN SGN; 7,º 7,º n = n = 7 n = 8 e e = + (lt n orn) 0º 0º º º üzgün lt gen üzgün edigen üzgün sekizgen üzgün eflgen 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

123 ÇKGNLR TST. ir düzgün çokgende ir köfleden çizileilen köflegen s s kenr s s n n kt ndn zd r. u çokgenin ir d fl ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 7. ir köflesinden en fzl köflegen çizileilen ir düzgün çokgenin ir iç ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ). ir kenr n n uzunlu u irim oln düzgün lt genin uzun köflegeni kç irimdir? ) ) ) 8 ) 8 ) G düzgün lt gen [] köflegen G = 8 irim G = 0 irim un göre, lt genin çevresi kç irimdir? ) ) 0 ) ) ) 8. ir düzgün çokgenin ir iç ç s ile ir d fl ç s n n ölçüleri rs nd orn vrd r. u çokgenin köflegen s s kçt r? ) ) ) ) 7 ) 9 7. K L düzgün eflgen LK kre L = irim. ç ve d fl ç lr n n ölçüleri toplm 00 oln ir konveks çokgenin, köflegen s s kçt r? ) 70 ) 7 ) 9 ) 9 ) 0 un göre, Ç() kç irimdir? ) 0 ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

124 ÇKGNLR TST 8. Köflegen s s 7 oln ir çokgenin elirleneilmesi için (ir tek olrk çizileilmesi için) en z kç uzunluk elemn verilmelidir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. º düzgün çokgen m() = un göre, u çokgenin köflegen s s kçt r? ) 9 ) 0 ) 0 ) 08 ) 9. düzgün lt gen K = K = irim K un göre, K uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 7 ). K düzgün eflgen [K] // [] K = m(k) = α un göre, α kç derecedir? ) ) 8 ) ) 7 ) düzgün çokgen m() = 0 0º un göre, verilen çokgen kç kenrl d r? ) 9 ) 0 ) ) ) 8. rd fl k üç iç ç s 0, 0, 0 oln ir konveks çokgenin diğer iç ç lr iririne eflit ve 70 oldu un göre, u çokgen kç kenrl d r? ) 8 ) ) ) 7 ) 9 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

125 ÜÇGNLR Tn m : o rusl olmn üç nokt,,, olsun. [], [] ve [] do ru prçlr n n irlefltirilmesi ile elde edilen flekle üçgen denir. ik ç l üçgen : ir ç s 90 oln üçgendir. Yni, = [] [] [] [], [], [] Kenr,, Köfle, /, / / ç lr r ç l üçgen : Tüm ç lr dr ç oln üçgendir. / m() 90 / m() < 90 / m() < 90 < o o o Üçgenin Temel lemnlr _ [], [], [] üçgenin temel,, köfleleri ` elemnlr d r.,, Çeflitkenr üçgen : Kenr uzunluklr frkl oln üçgendir. c c ÜÇGN Çfi TLR ç lr n göre üçgenler Genifl ç l üçgen Kenrlr n göre üçgenler Çeflitkenr üçgen kizkenr üçgen : ki kenr uzunlu u eflit oln üçgendir. ik ç l üçgen r ç l üçgen kizkenr üçgen flkenr üçgen / " Tepenokts [] " Tn Tn ç lr eflittir. Genifl ç l üçgen : ir ç s genifl ç oln üçgendir. flkenr üçgen : Kenr uzunluklr eflit oln üçgendir. m() > 90 0º = = 0º 0º 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

126 ÜÇGNLR ÖRNK ir üçgeninde ir iç çının ölçüsü diğer iki iç çının ölçüleri toplmın eşittir. un göre, u üçgenin çılrın göre dlnd - r lms n ull m. Yükseklik : ir üçgenin herhngi ir köşesinden krşı kenr d krşı kenrın uzntısın indirilen dikmenin köşe ile kenr rsınd kln prçsın ükseklik denir. h, h, h c ile gösterilir. h h H çısının ölçüsü ve çılrının ölçüleri toplmın eşit olsun. / / / u durumd, m() = m( ) + m( ) olur. h H h H Üçgenin iç çılrı toplmındn, / / / o m() + m( ) + m( ) = 80 olup / / o m() + m() = 80 / o m() = 90 ulunur. H h c H h c hlde dik çılı üçgendir. çıort : ÜÇGNİN YRIMI LMNLRI ir üçgenin herhngi ir çısın ölçüsü iki eşit çı ölen doğru prçsın o çının çıortı denir. n, n, n ile gösterilir. Kenrort : ir üçgenin herhngi ir köşesini krşı kenrın ort noktsın irleştiren doğru prçsın o kenr it kenrort denir. V, V, V c ile gösterilir. n n N N n N V V V c NT : Yukr dki rd mc elemnlr irer do ru prçs d r. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

127 ÜÇGN N YRIMI LMNLRI TST. ir üçgenin çizileilmesi için en z kç tne uzunluk verilmelidir? ) ) ) ) ). ir üçgeninde, Köfle Kenr ç ort Kenrort Yükseklik ifdelerinden kç tnesi rd mc elemnd r? ) ) ) ) ).. Yukr dki üçgenlerden kç tnesi ikizkenrd r? ) ) ) ) ) Yukr dki üçgenlerden kç tnesi dik üçgendir? ) ) ) ) ).. Yukr dki üçgenlerden kç tnesi genifl ç - l d r? ) ) ) ) ) Yukr dki üçgenlerden kç tnesinin kenrort do ru çizilmifltir? ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

128 ÜÇGN N YRIMI LMNLRI TST X Y Z T K K T Z Y X Yukr dki üçgeninin [] kenr n it ükseklik hngi nokt düfler? ) X ) Y ) Z ) T ) K Yukr dki üçgeninin dik üçgen olms için köflesi hngi nokt kd r lml d r? ) X ) Y ) Z ) T ) K 8. K T N. P Q R S T Yukr dki üçgeninin [] kenr n it kenrort do rusu hngi noktdn geçer? ) N ) T ) K ) ) Yukr dki zeminde verilen noktlr göre, fl dki üçgenlerden hngisi genifl ç l üçgendir? ) P ) Q ) R ) S ) T 9.. K T Z Y X R T P S Q Yukr dki üçgeninin ç s n n it ç ort do rusu hngi noktdn geçer? ) P ) Q ) R ) S ) T Yukr dki üçgeninin [] kenr n it kenrort do rusu hngi noktdn geçer? ) X ) Y ) Z ) T ) K 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

129 ÜÇGN ÇI Üçgende çı ğıntılrı ÖRNK ÿ ir üçgenin iç çılrının ölçüleri toplmı 80 dir. α + β + θ = 80 º º üçgen = = m() = m() = un göre, ç s n n ölçüsünü ull m. ÿ ir üçgenin dış çılrının ölçüleri toplmı 0 dir. α + β + θ = 0 º 7º 7º º nde = oldu undn, m() = m() = 7 ve nde = oldu undn, ÿ ir üçgenin ir dış çısının ölçüsü kendisine komşu olmn iki iç çısının ölçülerinin toplmın eşittir. θ = α + β m() = m() = 8 olur. ol s l, m() = m() = 8 7 = ulunur. ÿ kizkenr ir üçgenin tn ç lr nın ölçüleri eflittir. ÖRNK üçgen = = m() = 9 9º un göre, ç s n n ölçüsünü ull m. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

130 ÜÇGN ÇI m() = ve m() = olsun. = oldu undn m() = + ve = oldu undn m() = + olur. nde = º + 9º 9º + = dir. ol s l, m() = + + nde = oldu undn, m() = m() = olsun. m() = + m() = ulunur. m() = + 9 ve = oldu undn m() = + 9 olur. nde + = m() = = 8 ulunur. ÖRNK 08º üçgen [] [] = = m() = 08 un göre, ç s n n ölçüsünü ull m. ÖRNK üçgen = = º m() = º 7º 7º º 8º 8º un göre, ç s n n ölçüsünü ull m. [] hem kenrort hem de ükseklik oldu undn ile noktlr n irlefltirirsek ikizkenr üçgeni elde edilir. [] n zmnd ç ort olur. m() = 08 ise m() = 7 olur. nde m() = 8 dir. ol s l m() = 8, m() = ve +º +º = oldu undn m() = olur. º m() = + 8 m() = ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

131 ÜÇGN ÇI TST. üçgen. üçgen 0 0 m() = 0 m() = 0 = = 0 üçgen m() = 0 = = un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) un göre, m() kç derecedir? ) ) 70 ) 7 ) 80 ). üçgen. üçgen 70 m() = m() = 70 = 7 0 m() = 7 m() = 0 = = un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 un göre, m() kç derecedir? ) 87 ) 90 ) 98 ) 0 ) 07. üçgen m() = 7 = = =. üçgen m() = m() m() = m() m() = 0 7 un göre, m() kç derecedir? un göre, m() kç derecedir? ) ) 8 ) ) 8 ) 8 ) ) 0 ) ) ) 8 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

132 ÜÇGN ÇI TST 7. üçgen = 0. üçgen = = m() = m() m() = m() = un göre, m() kç derecedir? ) 8 ) ) ) 70 ) 87 un göre, m() kç derecedir? ) ) 80 ) 8 ) ) üçgen = = m() = 8. üçgen m() = = = un göre, m() kç derecedir? ) 8 ) ) ) 7 ) 78 un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 8 ) 0 ) 9. 7 üçgen m() = m() m() = 7 =. üçgen [] çıort = = un göre, m() kç derecedir? un göre, m() m() orn kçt r? ) 7 ) 0 ) ) ) ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

133 ÜÇGN ÇI TST. üçgen [] çıort m() = =. üçgen üçgen = = m() = un göre, m() kç derecedir? ) ) ) ) 7 ) 90 un göre, m() kç derecedir? ) ) ) 7 ) 08 ). 7 üçgen m() = 7 = = =. üçgen [] çıort = m() = m() = un göre, m() kç derecedir? ) ) 70 ) 0 ) ) un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) ) 7. üçgen = = m() = üçgen [] çıort m() = 0 = un göre, m() kç derecedir? ) ) ) ) 8 ) un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) 70 ) 80 ) 00 ) 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

134 ÜÇGN ÇI TST 7. üçgen [] [] m() = = = eşkenr üçgen,, doğrusl = m() = 80 un göre, m() kç derecedir? ) 7 ) 9 ) 08 ) 0 ) un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) 0 ) 0 ) ) 0 8. H 0 üçgen m() = 0 = =. 0 dik üçgen [] [] m() = 0 = = un göre, m(h) kç derecedir? ) 0 ) 0 ) 0 ) 70 ) 80 un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) 0 ) 0 ) ) üçgen [] çıort m() = 8 = = üçgen [] [] = {} m() = m() = 0 m() = 0 m() = 0 un göre, m() kç derecedir? ) ) ) ) 7 ) 8 un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

135 ÜÇGN ÇILR V KNRLR RSINK L fik LR Üçgende çılr ve Üçgenin Kenrlrı rsındki İlişkiler. ÿ ir üçgeninde, c c üçgen, [] kenrort c + c < < / / / > > c m() > m() > m(). ir üçgenin herhngi ir kenrının uzunluğu, di- ğer iki kenrın uzunluklrı toplmındn küçük, frkının mutlk değerinden üüktür. ÿ c N c üçgen, [N] ç ort ise c 0 < < + c c < < + c c < < + c < c< + _ ` üçgen eflitsizli i. c SNUÇLR :. α < 90 ise < + c α > 90 ise > + c α = 90 ise = + c c. ir üçgenin d fl ç lr n n ölçüleri α, β, θ ise ve c tms ve < c ise n n tne tms de eri vrd r. β θ < α < β + θ α θ < β < α + θ α β < θ < α + β 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

136 ÜÇGN ÇILR V KNRLR RSINK L fik LR + şğıdki şekillerde elde edilen sonuçlrı nlm çlışınız. º > 90º < 90º»,, ; dr ç d r. < 90º ¼ ;, ; genifl ç d r. dr ç d r. < 90º ½ > ¹ < 90º ¾ > 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

137 ÜÇGN ÇILR V KNRLR RSINK L fik LR ÖRNK ÖRNK º 0º d c üçgen = m() = 0 m() = = = = = c = d un göre,,, c, d rsındki ilişkii ullım. 0 üçgen [] [] = = irim = 0 irim un göre, nin lileceği en üük ve en küçük tmsı değerleri toplmını ullım. 0º 0 0º º d 80º 00º c º nde = olduğundn, m() = m() = 0 olur. ve noktlrı irleştirildiğinde oluşn nde [] hem ükseklik hem de kenrort olduğundn = olur. olısıl, m() = 80 m() = 00 m() = dir. nde üçgen eşitsizliği prsk, 0 < < 0 + < < {,, 7, 8,..., } nde m() < m() olduğundn, < dir. nde m() < m() < m() olduğundn, c < < d dir. nde m() < m() olduğundn, < d dir. olısıl, c < < < d olur. olısıl nin lileceği; n küçük tmsı değeri : irim üük tmsı değeri : irim dir. Toplm : + = 0 irim ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

138 ÜÇGN ÇILR V KNRLR RSINK L fik LR ÖRNK ÖRNK + 7 üçgen = ( ) irim = ( + 7) irim = irim 7 dörtgen = irim = 7 irim = irim Yukrıdki verilere göre, ) Z ise Ç() nin lileceği kç değer vrdır? un göre, nin lileceği en üük tmsı değerini ullım. ) Ç() nin lileceği kç tmsı değeri vrdır? sorulrının cevplrını ullım. Üçgen eşitsizliğinden : 7 ( + 7) ( ) < < ( + 7) + ( ) + 8 < < < < + <... À < <... Á À ve Á den < < ulunur. ile i irleştirdiğimizde oluşn de, 7 < < 7 + < < ) Z olduğundn kç frklı tmsı değeri lırs Ç() de o kdr değer lır. Yni, = 9 tnedir. ) Ç() = ( + 7) + ( ) + = + 7 olup < < < < < + 7 < 9 nde, < < + ve < olduğundn, < +, ni < tir. olısıl, < Ç() < 9 dir. Yni Ç(), 9 = 9 tmsı değeri lır. olısıl, in lileceği en üük tmsı değeri irimdir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

139 ÜÇGN ÇILR V KNRLR RSINK L fik LR ÖRNK ÖRNK üçgen [] çıort üçgen = 8 0 [] çıort = 0 irim = 8 irim 0 m() > 90 = 0 irim = irim un göre, nin lileceği tmsı değerlerini ullım. un göre, nin lileceği tmsı değerlerini ullım. [] ve [] dış çıort olduğundn, m() = 90 m() dir. 0 = olsun. olısıl, m() < 90 dir. 0 < 8 + >... À m() = m() < 90 olduğundn, < < <,... Á À ve Á den dolı < ulunur. olısıl, in lileceği de erler 7, 8, 9, 0,, dir. nde noktsındn [] e prlel olck şekilde [] çizilirse, = = irim = irim m() < 90 dir. nde < < + < <... À < + < < 7,... Á À ve Á den < 7 ulunur. olısıl, nun 7 = tne tmsı değeri vrdır. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

140 ÜÇGN ÇILR V KNRLR RSINK L fik LR ÖRNK 7 ÖRNK 8 8 üçgen m() < 0 = 8 irim = 9 irim üçgen = irim = irim = 9 irim 9 9 un göre, nin lileceği tmsı değerlerini ullım. un göre, nin lileceği tmsı değerlerini ullım. 0º 8 7 0º H m() = 0 olsdı, 9 [H] dikmesi çizildiğinde üçgeni oluşur. H = irim nde m() = m() < 90 olduğundn, m() > 90 dir. H = = irim 7 irim olurdu. de 9 < < + 9 < < kt m() < 0 olduğundn, < 7 irim olur. Yni, < 8,... À nde 9 8 < < < < 7... Á ve > + 9 > olısıl < < dir. À ve Á den < 8,... ulunur. olısıl, nun 8 = 7 tne tmsı değeri vrdır. ölece,, = tne tmsı değeri lır. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

141 ÜÇGN ÇILR V KNRLR RSINK L fik LR TST. Çevresi irim oln ir üçgenin ükseklikleri toplm tms olrk en fzl kç irimdir? ) 8 ) 0 ) ) ). Çevresi 8 irim ve kenr uzunluklr tms oln kç tne ikizkenr üçgen çizileilir? ) ) ) ) ). 8º üçgen m() = 8 >. üçgen = = irim un göre, m() nin tms de eri en z kçt r? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 un göre üçgeninin çevresinin en üük tms de eri kçt r? ) 9 ) 8 ) 7 ) ). üçgen = = irim. üçgen = irim = irim m() > m() > m() un göre, nin kç tms de eri vrd r? ) 9 ) 0 ) ) ) un göre, nin kç tms de eri vrd r? ) 0 ) 7 ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

142 ÜÇGN ÇILR V KNRLR RSINK L fik LR TST 7. 7 dörtgen = irim = 7 irim = irim tms 0. üçgeninin kenrlr tms d r. un göre, nin en üük tms de eri kçt r? ) ) ) ) ) 7 un göre, nin lc de erler kümesinin elemn s s fl dkilerden hngisi olmz? ) ) ) 7 ) 9 ) 7 8. dörtgen = 8 irim = irim. c üçgen,, c tms = = c = c < un göre, d flüke dörtgeninin çevre uzunlu u tms olrk en z kçt r? ) ) ) ) 7 ) 8 n n 7 tne tms de eri oldu un göre, en z kçt r? ) 8 ) 9 ) 0 ) ) üçgen üçgen [] [] = 0 irim = 8 irim = irim üçgen,,, do rusl, =, = irim, = 9 irim, = irim un göre, nin kç tms de eri vrd r? ) 7 ) ) ) ) un göre, nin tms de eri kçt r? ) 9 ) 8 ) 7 ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

143 ÜÇGN ÇILR V KNRLR RSINK L fik LR TST. 9 7 üçgen üçgen üçgen = 9 irim = irim = 7 irim = irim = irim = irim. üçgen [] ç ort [] ç ort = irim = irim un göre, nin tms de eri kçt r? ) ) ) ) ) 7 un göre, nin kç tms de eri vrd r? ) ) ) ) ) 7. Kenr uzunluklr tms oln ir üçgeninde ir kenr uzunlu unun lilece i de erlerin kümesi olsun. un göre, kümesinin elemn s s fl- dkilerden hngisi olilir? ) 8 ) 8 ) 0 ) 7 ) 8. K üçgen K iç ç ortlr n kesim nokts = = = c < < un göre, fl dki s rlmlrdn hngisi do rudur? ) > > c ) > > c ) c > > ) > c > ) c > >. I. = irim, = irim, h = irim / / II. m() = m( ), n = n = irim / III. c = irim, = irim, m() = o un göre, ukr dki üçgenlerden hngileri çizileilir? ) I, II ve III ) II ve III ) Yln z I ) Yln z III ) I ve II. n m t k dörtgen,, do rusl Ç() = 0 r = m = n = t = k un göre, (m + n + k + t) toplm n n en küçük tms de eri kçt r? ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

144 ÜÇGN ÇILR V KNRLR RSINK L fik LR TST 7. 0 dik üçgen = irim = 0 irim un göre, nin en küçük tms de eri kçt r? ) ) ) 0 ) 9 ) 8. fl d uzunluklr verilen çuuklr uc uc eklenerek üçgen p lmk istenior. fl dkilerden hngisile ir üçgen oluflturulmz? ) cm cm cm ) cm cm 7 cm ) cm cm cm ) cm cm cm 8. üçgen m() > = irim = 7 irim ) cm cm cm 7 un göre, nin kç tms de eri vrd r?. ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) Tu rul elinde ulunn, uzunluklr tms oln üç telden ir üçgen pckt r. 9. konveks dörtgen = = = irim = 9 irim Tellerden iri di erinden cm dh uzun oldu un göre,. tel en z kç cm olml d r? ) ) ) 7 ) 8 ) 0 9 un göre, nin kç tms de eri vrd r? ) ) ) ) ) 7. 0 m 0 m 0. ir üçgeninin d fl ç lr n n ölçüleri fl dki hngi s lrl ornt l olmz? ),, ), 8, 7 ) 7, 9, ),, 0 ) 8,, 0 m 70 m Mmunun muz uzkl en z kç metredir? ) 7 ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

145 ÜÇGNLR tkinlik Zmn 8 şğıdki ifdelerde oş ırkıln erleri verilen ugun kelimelerle doldurunuz.. çıort, kenrort ve ükseklik ir üçgenin d r.... ir üçgenin ir köşesini krşısındki kenrın ort noktsınd irleştiren doğru prçsın.... denir. ir üçgende ir köşeden çıkn ve çıktığı çıı iki eş prç ölen doğru prçsın... denir. ir üçgende ir köşenin krşı kenr d krşı kenrın uzntısın oln en kıs uzklığın... denir. / /. ir nde m() > m() ise... dir.. Kenr uzunluklrı irim, irim ve irim oln üçgen... üçgendir. 7. İki iç çısının ölçüsü 0 ve 80 oln üçgen... üçgendir. 8. İki iç çısının ölçüleri 7 ve oln üçgen... üçgendir. 9. Üç kenr uzunluğu eflit oln üçgen... üçgendir. 0. ir üçgenin iç çılrının ölçüleri toplmı... dir.. ir üçgenin dış çılrının ölçüleri toplmı... dir.. ir üçgenin ir dış çısı kendisine komşu olmn... eşittir.. ir üçgenin iki çısı eş ise u çılrın krşılrındki... eşittir. + kenrort + > + çeflitkenr + ç ort dr ç l + kenrlr d + eflkenr + ükseklik + rd mc elemnlr + dik iki iç ç s n n toplm n 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

146 S NÜS TRM Sinüs Teoremi ir üçgenin köşelerinden geçen çemere o üçgenin çevrel çemeri denir. c R c R c R ÖRNK üçgenin çevrel çemerinin merkezi nokts d r. m() = 0 0º = irim un göre, uzunlu unu hespll m. dr ç l üçgen dik ç l üçgen genifl ç l üçgen Kenr uzunluklrı,, c, iç çılrının ölçüleri,, ve çevrel çemerinin rıçpı R oln ir üçgende, c = = = R / / / sin sin sin eflitli i z lilir. u eflitli e sinüs teoremi denir. 0º 0º nin çevrel çemeri çizilirse, = irim = irim olur. m() = 0 ise m() = 0 olur. ölece eflkenr üçgen olup = r ulunur. ÖRNK ÖRNK üçgen 0º º m() = 0 m() = un göre, orn n ull m. 0º 0º dörtgen = = m() = 0 m() = 0 un göre, çısının ölçüsünü ullım. Sinüs teoreminden; = z lilir. o o sin0 sin o sin0 = = = o sin ulunur. 0º 0º 0º 80º Sinüs teoremi ile, üçeninde, = o sin0 sin80 üçeninde, sin = o sin0 sin = sinα olup = eşitliği ile o sin0 o sin80 sinα = sin0 dolısıl α = 0 ulunur. o 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

147 S NÜS TRM TST. 0º º üçgen = irim m() = 0 m() =. 0º 0 üçgen = 0 irim = irim m() = 0 un göre, uzunlu u kç irimdir? / un göre, sin() kçt r? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ). 0º üçgen = 0 irim m() = 0. 8 üçgen = 8 irim sin() = m() = 7 7º 0 un göre, uzunlu u kç irimdir? 0 ) ) ) 8 ) ) 9 un göre, üçgeninin çevrel çemerinin r çp uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 9 ). üçgen. üçgen = 0 irim 0º 0 m() = 0 m() = α = irim = 0 irim 0 üçgeninin çevrel çemerinin çp uzunlu u un göre, sinα kçt r? ) ) ) ) ) 0 irim oldu un göre, dr ç s n n ölçüsü kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 7 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

148 S NÜS TRM TST 7. ir üçgeninde = irim m() = 0 un göre, üçgeninin çevrel çemerinin çevresi fl dkilerden hngisine eflittir? 0. dik üçgen = m() = m() ) π ) π ) 0π ) 8π ) π un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 7 8. üçgen = irim = irim. 8 üçgen [] kenrort m() = 0 m() = α 0º = 8 irim = irim üçgeninin çevrel çemerinin r çp irim oldu un göre, m() kç derece olilir? ), ) 0 ) ) 7, ) 0 un göre, sinα de eri kçt r? ) ) ) ) 8 ) 9. 0 üçgen m() = m() = irim = 0 irim. 00º 0º 0º 80º dörtgen [] köflegen m() = 00 m() = 0 m() = 0 m() = 80 un göre, cos() de eri kçt r? (sin =.sin.cos) un göre, orn kçt r? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

149 ÜÇGNLR ÿ Üçgende Ugulmlr Üç kenr uzunlu u elli oln ln z ir üçgen vrd r. ir Üçgenin ir Kenr n elli ir rnd ölen Nokt ulm ÿ ki kenr uzunlu u ve rs ndki ç s ilinen ln z ir üçgen vrd r. 0º üçgeninde [] kenr n = k orn n- + k. d ölen nokts = + k ile hespln r. spt : ÿ ki kenr ve u kenrlr rs nd olmn ç s verilen irden fzl üçgen vrd r. = k ise = k. ÿ 0º 0º ir kenr ve u kenr it iki ç s verilen lnız ir üçgen vrdır. = k( ) = k k (k+ ) = + k + k = ulunur. k+ 0º 8 º ÖRNK ÿ ki ç s ve unlrdn irinin krfl s ndki kenr verilen ln z ir üçgen vrd r. º º = k olck içimde nok- un göre, ts n ull m. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

150 ÜÇGNLR = = k ise = k. = k.( ) = k. k. (, ) (, 0) = oldu undn = ziliriz. ( k) = k. = k. k ulunur. urdn, = ( ) = = + SNUÇLR :. nokts [] kenr üzerinde ise + = (, 0) + (, ) = = (,) ulunur. = k ise ÖRNK + k = + k. nokts [] kenr uznt s nd ise = k k nlitik düzlemde, (, ) ve (, ) noktlr ve do rultusund, [] nin d fl nd ir nokts l n or. = oldu un göre, nokts n n koordintlr n ull m. (, ) (, ) (, ) = oldu undn = ziliriz. ÖRNK nlitik düzlemde, (, ) ve (, 0) noktlr ile [] üzerinde = olck flekilde nokts n n koordintlr n ull m. urdn, ( ) = = = = (, ) (,) = (, ) ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

151 ÇIRTY KNRRTY Ç ÇIRTY TRM ÖRNK (, 9) c üçgen = (, ) (, ) üçgeninde, un göre, uzunlu unu ull m. [] ç ort olmk üzere; c = eflitli ine iç ç ort teoremi denir. ç ç ort n uzunlu u : =.. Önce = eflitli inden fdlnrk nokts n n koordintlr n ull m. (, ) (, ) Ifi ÇIRTY TRM = olup = ( ) = + c = + = (, ) + (, ) = (, ) ulunur. (, 9) ve (, ) noktlr ile = (, ) elde edilir. üçgeninde, [] d fl ç ort olmk üzere; = eflitli ine d fl ç ort teoremi denir. c =, = + = irim ulunur. ölece, = irim ulunur. fl ç ort n uzunlu u : =.. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

152 ÇIRTY KNRRTY ÖRNK ÖRNK (, ) üçgen (, ) (, 0) ( 7, 9) verilior. 8 üçgen [] ç ort = irim = irim = 8 irim (, 0) N ( 7, 9) un göre, uzunlu unu ull m. un göre, N nokts n n koordintlr n ull m. ç ç ort teoreminden, k = = z lilir. 8 k = = (, ) = = ( 9, ) olup 8 = irim ve = irim olup k k ç ort teoreminden N N = = olur. ç ç ort uzunlu undn, =. 8 k. k k = olup, =. = irim ulunur. ÖRNK N N = N N= N + = N + N = ( 7, 9) + (, 0) 9 N = = d, n ulunur. un göre, uzunlu unu ull m. fl ç ort teoreminden, üçgen [] ç ort = = irim = olup, = eflitli i ile = irim ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

153 ÇIRTY KNRRTY ÖRNK ÖRNK ç ort (, 0) (9, 0) üçgen m() = m() = irim = irim = un göre, uzunlu unu ull m. un göre, uzunlu unu ull m. nde iç ç ort teoreminden,,, do rusl olck flekilde, ll m. = olup, = k, = k dielim. m() = α dielim. ölece, m() = α olup, k k = oldu undn, 9 m() = β m() = β d r. dik üçgeninde pisgor teoremi ile, k = k + 8 9k = 8 α + β = 80 oldu undn, m() = α [] n n d fl ç ort oldu u görülür. olup, k = = irim ulunur. fl ç ort teoreminden, = + = irim ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

154 ÇIRTY KNRRTY ÖRNK 7 0º 80º üçgen m() = 80 m() = 0 = irim = irim ÿ ÿ ÿ Üçgenlerde Kenrort ve ç ortlr n Kesim Noktlr ir üçgenin iç ç ortlr ir noktd kesiflir. u kesim nokts n üçgenin iç merkezi denir. ç merkez ir üçgenin kenrlr n içten te et oln çemerin merkezidir. u çemere de iç te et çemeri denir. un göre, orn n ull m. nin iç merkezi K,, do rusl olck flekilde, nokts ll m. 0º 0º 80º K nin iç te et çemerin merkezi nin iç te et çemeri m() = 0 oldu undn, fl ç ort teoremi ile, = olup, = = olup, Köfle Koordintlr elli ir Üçgenin ç Merkezinin Koordintlr Prtik ilgi = k, = k ve = ulunur. (, ) c K (, ) (, ) + + c + + c Kf, p + + c + + c ÿ ÿ ÿ ir üçgende ir iç ç ort ile ir d fl ç ort n kesim nokts n üçgenin d fl merkezi denir. u merkezler üçgeninin ir kenr n ve di er iki kenr n uznt lr n te et oln çemerlerin merkezleridir. u çemerlere d fl te et çemeri denir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

155 ÇIRTY KNRRTY ÖRNK [] kenr n it d fl te et çemeri d fl te et çemerin merkezi Köfle koordintlr, (, ), (, 7), (9, 8) oln üçgensel ölgesinin rl k merkezinin eksenine uzkl n ull m. I I rl k merkezinin koordintlr, I Gd, n G(, ) olup eksenineuzkl irim ulunur. ÿ ÿ ÿ ÿ ir üçgenin üç kenrort n noktdn geçer. u nokt üçgensel ölgenin ğırlık merkezi denir. u nokt genellikle G ile gösterilir. u nokt üçgenin kenrortlr n köfleden kt kenrdn kt olck flekilde r r. k n m G m n k Köflelerinin koordintlr ü (, ), (c, d), (e, f) = = = [] [] [] = {G} G G G G = G = G = oln üçgeninin rl k merkezi G nokts ise; ÖRNK nlitik düzlemde vektörel denklemi, (, ) = (, ) + k(, ) oln do runun eksenlerle oluflturdu u üçgenin rl k merkezinin koordintlr n ull m. Vektörel denklemi, (, ) = (, ) + k(, ) oln do runun kplı denklemi, + = 0 dır. (0,9) (, ) G( 0, 0 ) (c, d) (e, f) = 0 = 0 + c+ e + d+ f rl k merkezinin koordintlr Gd, n olup G, _ i ulunur. (,0) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

156 ÇIRTY KNRRTY ÖRNK ÖRNK G üçgen G, () nin rl k merkezi [] [] = irim = 8 irim Verilenlere göre, uzunlu unu ull m. dik üçgen = = irim = irim un göre, m() m() frk n ull m. m() = α ve m() = β dielim. G nokts rl k merkezi oldu undn, Hipotenüse it kenrort çizilirse, ve ort noktlr ve G = G, G = G dir. G m n m G n G nde pisgor teoremi ile, m + n = 9... À G nde pisgor teoremi ile, m + n =... Á [] ve [] kenort oldu undn, G nokts üçgensel ölgesinin rl k merkezi olup, muhteflem üçlüden dol, = irim oldu undn, G = irim ve G = irim dir. G nde pisgor teoremi ile, m + n =... À 90º G À. ve Á. denklemlerden, m + n = m + n = Á. denklemde, = (m + n ) = 0 olup, = irim ulunur. = G ve = oldu undn, gerekli ç lr z l rs, G nde 90 β + α = 80 olup, α β = 90 ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

157 ÇIRTY KNRRTY ÖRNK ÖRNK G K üçgen [] kenrort [] kenrort G = K = irim Verilenlere göre, uzunlu unu ull m. G üçgen G, () nin rl k merkezi G = irim G = irim G = irim Verilenlere göre, uzunlu unu ull m. 8 G K nde [] kenrort oldu undn, = dir. G ol s l K; (G) nin rl k merkezi ve GK = irim olur. () nde G nokts rl k merkezi oldu undn G = G ni; G = 8 irim olur. ol s l, = 7 irim ulunur. () nde G nokts rl k merkezi oldu undn [] kenrort n çizersek, [G] do ru prçs G nde kenrort olur. G nde kenrot teoremini ugulrsk, Kenrort Teoremi. = + c V 8 = = olup, = irim ulunur. (V ) = + c 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

158 ÇIRTY KNRRTY (Özet) º K c V K : ç merkez ve [] // [] ise = + (V ) = + c» z G z () =. + G : rl k merkezi ise () = () ¼ K G K : ç merkez ise K K = + G : rl k merkezi, G // ise = G ¹ ½ 0º 0º G = + H G : nin rl k merkezi ise H = G 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

159 KNRRTY TST. üçgen. dik üçgen 8 G G, () nin rl k merkezi G = irim G = 8 irim G = irim 9 G G, () nin rl k merkezi = irim = 9 irim un göre, + + toplm kç irimdir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 un göre, G uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) üçgen = = = + = + =. G 8 üçgen G, () nin rl k merkezi [G] [G] G = 8 irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) 8 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 8 ) 0 ) ). üçgen = = = irim. G dik üçgen G, () nin rl k merkezi = G = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 8 ) 7 ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

160 KNRRTY TST 7. 8 T K üçgen = TK = K = 8 irim 0. dörtgen [] çıort = = = irim un göre, K uzunlu u kç irimdir? ) 8 ) 7 ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 0 ) ) ) ) 8. G G üçgen G, () nin G, (G) nin ğırlık merkezi GG = irim. G üçgen G, () nin rl k merkezi [] [] G = irim G = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 9 ) 8 ) 7 ) ) un göre, G uzunlu u kç irimdir? ) 0 ) 8 ) 8 ) ) 9. G dik üçgen G, () nin rl k merkezi = = = G = irim G = irim. G üçgen G, () nin rl k merkezi [] [] = irim G = irim un göre, G uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) un göre, G uzunlu u kç irimdir? ) 0 ) ) 7 ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

161 KNRRTY TST. üçgen. üçgen G G, () nin rl k merkezi [G] çıort = G = irim G = irim G G, () nin rl k merkezi [] [] = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) 8 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) 0 ) ) 0. G üçgen G, () nin rl k merkezi m() = = G. 0 üçgen [] çıort = = 0 irim = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? un göre, m(g) kç derecedir? ) ) ) ) ) ) ) ) 0 ) ). 8 G 8 üçgen G, () nin rl k merkezi [G] çıort = 8 irim G = 8 irim. G üçgen G, () nin rl k merkezi = G = G un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) 8 un göre, m(g) kç derecedir? ) 0 ) 0 ) ) 0 ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

162 KNRRTY TST 7. G üçgen G, () nin rl k merkezi G = G G = 0. G 0 K dik üçgen G, () nin rl k merkezi GK = K = 0 irim un göre, m(g) kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 7 un göre, K uzunlu u kç irimdir? ) ), ) ) ) 8. üçgen. üçgen G G, () nin rl k merkezi G = irim G = irim P G G, () nin rl k merkezi = irim un göre, G nin kç tmsı değeri vrdır? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 un göre, PG uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 9. 0 üçgen = = irim = 0 irim. 0 G üçgen G, () nin rl k merkezi m() = m() = 0 G = irim un göre, nin kç tmsı değeri vrdır? ) ) ) ) 7 ) 8 un göre, G uzunlu u kç irimdir? ) 7 ) ) 9 ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

163 KNRRTY TST. üçgen. üçgen G 0 G, () nin rl k merkezi [G] [G] = 0 r G = irim 8 G G, () nin rl k merkezi = 8 irim = irim G = r un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 0 ) ) ) ) 8 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) 9 ) 70 ). G K üçgen G, () nin rl k merkezi [K] // [] = irim. G dik üçgen G, () nin rl k merkezi = G = irim un göre, K uzunlu u kç irimdir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ). K G üçgen G, () nin rl k merkezi [K] // [] KG = irim. H G dik üçgen G, () nin rl k merkezi [H] [] [G] [] G = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 8 un göre, H uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) 8 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

164 KNRRTY TST 7. dik üçgen 0. dik üçgen G K G, () nin rl k merkezi GK = K = irim m() = m() [] // [] = irim un göre, K uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) 8 8. G dik üçgen G, () nin rl k merkezi [G] [G] = irim un göre, G uzunlu u kç irimdir? ) 7 ) 8 ) 7 ) 8 ) 9. G üçgen G, () nin rl k merkezi [] [] [] [] = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 ) 9. dik üçgen ( 7, 0) (, 0). G üçgen G, () nin rl k merkezi [] [G] G = = irim üçgensel ölgesinin rl k merkezi ekseni üzerindedir. un göre, G uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

165 ÇIRTY TST. 8 üçgen [N] çıort = 8 irim = irim N = irim. 0 üçgen [N] çıort = irim = 0 irim N = irim N un göre, N + N toplmı kç irimdir? ) 8 ) 0 ) ) ) N un göre, N uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ). N un göre, Ç() kç irimdir? 9 üçgen [N] çıort = N = 9 irim N = irim ) 0 ) 0 ) ) 0 ). 8 çısı üç eşit çı ölünmüştür. un göre, Ç() kç irimdir? üçgen = 8 irim = irim = irim ) ) ) ) ) 0. N üçgen [N] çıort N = irim N = irim Ç() = irim. 8 üçgen [] çıort = 8 irim = 7 irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 8 ) 7 ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 8 ) 0 ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

166 ÇIRTY TST 7. üçgen 0. dik üçgen 8 [] çıort m() =, m() = = 8 irim [] çıort = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 0 ) ) 0 ) ) üçgen : İç teğet çemerin merkezi = 9 irim = 8 irim = 7 irim. üçgen [] iç çıort [] dış çıort [] [] = irim = irim un göre, ornı kçtır? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 9. çıort (, 0) (8, 0). üçgen = = = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 0 ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 0 ) ) ) ) 8 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

167 ÇIRTY TST. K üçgen K, İç teğet çemerin merkezi [] // [] = irim = irim. H N 7 üçgen [N] [] H = H N = 7 irim N = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ). N üçgen [N] çıort [N] çıort = irim = irim N = irim. 9 üçgen = 9 irim = irim = irim = irim = irim üçgen noktsı üçgeninin dış teğet çemerinin merkezidir. un göre, N uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 7. üçgen [] çıort [] çıort = irim = irim = irim. dik üçgen, İç teğet çemerinin merkezi [] // [] [] // [] = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 0 ) ) 0 ) un göre, Ç() kç irimdir? ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

168 ÇIRTY TST 7. K dik üçgen [K] çıort [K] çıort K = irim K = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) dörtgen m() = m() m() = m() m() = m() = 0 m() = 0 un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 8. K dik üçgen m(k) = m(k) [K] çıort [K] çıort = irim un göre, K uzunlu u kç irimdir? ) 8 ) ) ) ). 0 dörtgen [] [] m() = m() m() = 0 m() = m() = un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) 0 ) 9. dörtgen m() = m() m() = m() m() =. 70 dörtgen [] çıort m() = 70 m() = un göre, m() kç derecedir? ) ) ) 70 ) 8 ) 8 un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

169 ÇIRTY TST dörtgen [] çıort [] çıort m() = 70 m() = 0. = 7 un göre, m() kç derecedir? ) 8 ) 80 ) 70 ) 0 ) 0 Yukr dki dik koordint sisteminde = 7 do rusunun eksenlerle oluflturdu u üçgen dir. un göre, nin iç merkezinin koordintlr toplm kçt r? ) 0 ) ) ) ). = 9 H = üçgen = 9 irim = irim. H dik üçgen m() = m() [H] [] H = H = irim = irim. =. oldu un göre, ornı kçtır? un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) 9 ) ) ) ) ) ) ). üçgen [] çıort = irim tms. K üçgen [] çıort [] çıort m(k) = α m() = β un göre, ornı kçtır? un göre, uzunlu u en fzl kç irimdir? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

170 ÇIRTY TST 7. dik üçgen 0. dörtgen K 8 [] // [] K; iç teğet çemerin merkezi = irim = 8 irim [] çıort [] [] = irim = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 8 ) 0 ) ) ) 0 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 8. (, ) º 0º (, ) (, n). K H 9 üçgen [K] çıort [K] çıort [KH] [] = irim H = 9 irim H = irim Yukr dki üçgeninde ) ) ) orn kçt r? ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 0 ) ) ) ) dörtgen [] çıort [] [] = 0 irim = irim = irim. K üçgen [K] çıort [K] çıort [K] [] = irim = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 8 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

171 YÜKSKL K YÜKSKL K ÖRNK ÿ ir üçgenin üç üksekli i ir noktd kesiflir. u nokt üçgenin diklik merkezi denir. iklik merkezi K üçgen [] [] [] [] [] [] dr ç l üçgenin diklik merkezi iç ölgededir. dik üçgeninin diklik merkezi dik oln köfledir. Yukr dki,,,,,, K noktlr ndn kç tnesinin diklik merkezi olilece ini ull m. iklik merkezi ü K nokts nin diklik merkezidir. ü nokts K nin diklik merkezidir. ü nokts K nin diklik merkezidir. genifl ç l üçgen olup diklik merkezi d fl ölgededir. ü nokts K nin diklik merkezidir. ü nokts K nin diklik merkezidir. ü nokts K nin diklik merkezidir. ÖRNK ü nokts K nin diklik merkezidir. üçgen K diklik merkezi hlde verilen noktlr n tmm diklik merkezi olilir. m(k) = 0 ÖRNK K 0º üçgen m() = un göre, K ç s n n ölçüsünü ull m. 0º 70º 70º K K diklik merkezi ise [] [] [] [] [] [] olur. Gerekli ç lr z l rs m(k) = 0 ulunur. º üçgeninin diklik merkezi köflesi oldu- un göre, ç n n ölçüsünü ull m. üçgeninin diklik merkezi köflesi oldu undn, [] [] olup, üçgenin iç ç lr toplm ndn, / m() = 80 olup / m() = ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

172 YÜKSKL K ÿ NT : ir üçgenin ç ort (n ), üksekli i (h ) ve kenrort (V ) rs nd, h n V eflitsizli i z lilir. ÖRNK ir üçgeninde, h = irim V = 9 irim oldu un göre, n n n lc tms de erlerini ull m.. urum : çeflitkenr üçgen h n V 9 H N h < n < V H h < n < V oldu undn, < n < 9,, 7, 8. urum : dik üçgen n n n dört tne tms de eri vrd r. ÖRNK h n V N h < n < V. urum : ikizkenr üçgen üçgeninin köflesinden çizilen üksekli inin kç irim oldu unu ull m. h H h = n = V = H H H üçgeninde pisgor teoremi ile h = irim ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

173 ÜÇGNSL ÖLGN N LNI ir Üçgensel ölgenin ln ir üçgensel ölgenin ln herhngi ir kenr n uzunlu u ile u kenr it üksekli in çrp m n n r sın eflittir.. Geniş çılı üçgende iki ükseklik üçgenin d fl n düfler. h () =.h c h c h h H () =.h.h c.h c = = elde edilir. SNUÇLR : fl dki sonuçlr inceleip ns l elde edildiklerini nlm çl fl n z... ir kenrı irim oln eşkenr üçgenin lnı, c h h h c H.h.h c.h c () = = = eflitli inden. h =. h = c. h elde edilir. c () =. = elde edilir.. ik üçgenin lnı dik kenrın uzunluklrın n çrpımın n rısı kdrdır.. İki kenrı ile u kenrlrı rsındki çısı elli oln üçgenin lnı, H h () =. = h. eflitli inden () =...sin elde edilir.. = h. elde edilir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

174 ÜÇGNSL ÖLGN N LNI. c e S S S d K f S =. S S + S = ( + c). ( + d)s S + S + S = ( + c + e). ( + d + f)s Örnek : n S S k n S m S S S k () = k. m. n = 0S () = 0S S = 7S S = m. n. k = S S = n. k. m = S S = m. k. n = S m Örnek : k n k S S S S n k S S K n 8. c S = k. n = S S + S = k. n = S S + S + S = k. n = 0S () (). =.c 7. e S f S d S c Örnek : n n k k S = e. d. ( + ). S S =. f. (d + c). S S =. c. (e + f). S () = ( + ). (c + d). (e + f). S () ().n.k =.n.k = 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

175 ÜÇGNSL ÖLGN N LNI 9.. h h // [] // ise () = h. [] // [] ise () = h..sin ( nin köflesi nokts n kd r l rs) 0.. h // [] // ise () = h..sin () = H..sin.. h S P c d [] // [] ise () = h. S = ise. c =. d ( nin köflesi nokts n kd r l rs) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

176 ÜÇGNSL ÖLGN N LNI. ir üçgeninde kenr uzunluklrı,, c ve + + c = u olmk üzere, 8. c S P c d S = ise. = c. d () = u(u ).(u ).(u c) elde edilir.. ir üçgeninde çevrel çemerin rıçpı R ve iç teğet çemerin rıçpı r ise, 9. Tn uzunluklrı eşit oln üçgenlerin lnlrı ornı ükseklikleri ornın eşittir. r R c H H () = u. r ve () =..c R elde edilir. () () = H H elde edilir. 7. Yükseklikleri eşit üçgenlerin lnlrı ornı tnlrı ornın eşittir. 0. Tn uzunluklrı ve ükseklikleri eşit oln üçgenlerin lnlrı eşittir. h h L M d h d // d () () = ve () () = elde edilir. Yukrıdki üçgenlerin ükseklikleri eşit olup h kdrdır. K d hlde () = () = (KLM) dir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

177 ÜÇGNSL ÖLGN N LNI.. () c dik üçgen ( c) ( + c) = = G h H üçgeninin içine çizileilen en üük lnl dikdörtgen n ndki giidir. G h.. (Ymuğun kciğerleri) m n dik üçgeninin merkezli iç te et çemerinin hipotenüs üzerinde rd uzunluklr çrp m üçgenin ln n verir. S S () = m. n [] // [] ise () = () dir. m n () = m. n. cot. z. c [] // [] ise () nin en üük de eri.c dir. () : () : () = : : z dir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 77

178 ÜÇGNSL ÖLGN N LNI 7. ÖRNK S G S S üçgen çevrel çemerin merkezi = irim.. = 88 r G : rl k merkezi (G) = (G) = (G) un göre, üçgensel ölgesinin ln n ull m. c 8. R c S S K S..c () = oldu undn, R 88 () = () = 8 r ulunur.. K : ç merkez S : S : S = : : c ÖRNK üçgen iç te et çemerinin merkezi [H] [] H = irim Ç() = irim 9. H S un göre, üçgensel ölgesinin ln n ull m. S u = Ç() ve r : iç te et çemerinin r çp üçgen, [] // [] ve [] // [] ise () = ( S + S ) olmk üzere; () = u. r dir. hlde, () =. 9r & ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 78

179 ÜÇGNSL ÖLGN N LNI TST. (, 0) (, ) (, 0). dik üçgen üçgen = = irim = irim (, ) Yukr d köflelerinin koordintlr verilen dörtgensel ölgesinin ln kç r dir? ) 0 ) 8 ) ) ) un göre, () kç irim kredir? ) ) 0 ) ) 0 ). dik üçgen [] [] = = irim = irim. 8 0º üçgen m() = 0 = irim = 8 irim un göre, () kç irim kredir? ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 ) un göre, () kç irim kredir? ) ) 8 ) 0 ) ) 0. H dik üçgen [H] [] H = irim H = irim. üçgen [] [] = = irim = irim = irim un göre, (H) kç irim kredir? ) ) ) 8 ) 0 ) un göre, () kç irim kredir? ) ) 8 ) 0 ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

180 ÜÇGNSL ÖLGN N LNI TST 7. dörtgen = (0, ) (, 0) 0. üçgen = = () = r un göre, () kç irim kredir? ) ) ) ) 0 ) 9 un göre, () kç irim kredir? ) 9 ) 0 ) ) ) 8. 0º 8 8 üçgen m() = 0 = = 8 irim = 8 irim. 8 0º üçgen / m() = 0 = = 8 irim = irim un göre, () kç irim kredir? ) 8 ) 0 ) ) 8 ) un göre, () kç irim kredir? ) ) ) ) 7 ) 8 9. dörtgen [] [] = = irim = 8 irim. üçgen [] [] = {} = irim = irim = 9 irim 8 9 () = () un göre, () kç irim kredir? ) 8 ) 0 ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 7 ) ) ) 8 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

181 ÜÇGNSL ÖLGN N LNI TST. = =. üçgen = = üçgeninin ln r oldu un göre, üçgeninin ln kç r dir? un göre, trl dörtgeninin ln n n üçgeninin ln n orn kçt r? ) ) 9 ) ) 9 ) 7 ) ) ) ) ). eflkenr üçgen çevrel çemerin merkezi = irim. m() = 90 = irim = irim = un göre, () kç irim kredir? ) 8 ) ) 7 un göre, üçgeninin ln kç r dir? ) ) ) ) ) 7 ) ) 0. üçgen [] ç ort = irim = irim un göre, () nin ln () nin ln n n kç kt d r? ) ), ) ), ). H ikizkenr üçgen = [H] [] [H] [] [H] [] = irim = 8 irim un göre, trl üçgenlerin toplm ln kç irim kredir? ) ) 7 ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

182 ÜÇGNSL ÖLGN N LNI TST 7. ir üçgeninin iç te et çemerinin r çp irim ve çevresinin uzunlu u irimdir. un göre, () kç irim kredir? 0. üçgen [] // [G] = = ) ) ) 8 ) ) () = r (G) = r G un göre, (G) kç irim kredir? ) ) ) ) ) 8. 8 dörtgen [] [] [] [] = 8 irim = irim () = 0 r. 8 dik üçgen dik üçgen [] [] = 8 irim = irim = irim un göre, () kç irim kredir? ) ) 8 ) 0 ) ) un göre, () kç irim kredir? ) 8 ) ) 0 ) ) 9. üçgen = irim = irim = irim = irim. dik üçgen [] ç ort [] ç ort = irim = irim un göre, () kç irim kredir? ) ) ) ) ) 7 un göre, () kç irim kredir? ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

183 ÜÇGNSL ÖLGN N LNI TST. dik üçgen [] ç ort [] ç ort = irim = irim. üçgen = = = () = r un göre, () kç irim kredir? ) ) ) ) 8 ) un göre, () kç irim kredir? ) ) ) ) ) 0. [] [] [] [] = = irim. üçgen üçgen = irim = irim = irim = irim un göre, () kç irim kredir? un göre, () orn kçt r? () ) ) ) ) 7 ) ) ) ) ) ) 8. dik üçgen m() = m() = = irim. 0º üçgen üçgen,, do rusl m() = 0 = = irim = 0 irim un göre, üçgeninin ln kç r dir? ) ) ) 8 ) ) un göre, () kç irim kredir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

184 ÜÇGNSL ÖLGN N LNI TST 7. dik üçgen dik üçgen = irim = irim = irim 0. üçgen [] // [] = () = irim un göre, üçgeninin ln kç r dir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 un göre, üçgeninin ln kç r dir? ) ) ) 8 ) 0 ) 8. M [] [] [] [] = irim = irim = irim. º 0º üçgen üçgen m() = 0 m() = = 9 irim = 8 irim Yukr dki flekilde ve M merkezli çemerler ve dik üçgenlerinin iç te et çemerleridir. un göre, () kç irim kredir? ) ) 0 ) 8 ) ) un göre, () ) () ) ) orn kçt r? ) ) 9 9. dik üçgen = = 8 =. K üçgen = K = K = = () = 0 r 8 un göre, () kç r dir? ) ) ) ) 7 ) 8 un göre, (K) kç irim kredir? ) ) ) 0 ) ) 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

185 ÜÇGNSL ÖLGN N LNI TST.. Kenr uzunluklrı, ve sılrı ile orntılı ir üçgenin üksekliklerinin toplmı 7 irim ise en kıs kenrın it ükseklik kç irimdir? ) ) 9 ) ) ) 8 Yukr d irim krelere r lm fl zemindeki üçgensel ölgesinin ln kç r dir? ) ) ) ) 8 ) 7. X Y Z T. ir hız zmn grfiğnde grfik prçlrı ile zmn ekseni rsınd kln ölgenin lnı cismin er değiştirmesini verir. H z (m/s) Yukr d ir kenr [] oln üçgenin ln r oldu un göre, di er köflesi fl dkilerden hngisi olilir? ) X ) Y ) Z ) T ) 8 Zmn (s) un göre, ukrıd grfiği verilen hreketlinin er değiştirmesi kç metredir? ) ) ) ) ) dik üçgen = = 7 irim = irim Yukrıdki üçgensel ölgelerin lnlrı hesplndığınd kç frklı sonuç çıkr? ) ) ) ) ) un göre, () kç irim kredir? ) ) ) ) ) 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

186 ÜÇGNSL ÖLGN N LNI TST 7. Çevresi irim oln ir üçgeninin üksekliklerinin uzunluklr toplmı tmsı olrk en fzl kçtır? 0. ) ) ) ) ) üçgeninin merkezli çevrel çemeri çizilmifltir. tms oldu un göre, () kç r dir? 8. İvme zmn grfiklerinde grfik prçlrı ile zmn ekseni rsınd kln ölge cismin hız değişimini verir. ) ) ) ) ) vme (m/s ) 0 Zmn (s) un göre, 0 snie zmn rlığınd cismin hızı kç m/s değişir?. Köşelerinin koordintlrı (, ), (, ) ve (, ) oln üçgensel ölgesinin lnı kç r dir? ) 7 ) ) 8 ) 7 ) 9 ) ) ) 9 ) ). üçgen [] [] [] [] [] [] K 9. G üçgen G = GH H = HK K = KG fdelerinden kç tnesi do rudur? I. K nokts nin diklik merkezidir. H K () = 70 r II. nokts K nin diklik merkezidir. III. nokts K nin diklik merkezidir. IV. nokts K nin diklik merkezidir. un göre, (GHK) kç irim kredir? ) 7 ) 0 ) ) 8 ) V. K genifl ç l ir üçgendir. ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

187 ÜÇGNLR tkinlik Zmn 9 RU YNLIfi Y. Kpl flekillere çokgen denir.. üzgün lt genin 9 tne köflegeni vrd r.. ir konveks ongenin rd fl k iki köflesinden frkl köflegen çizileilir.. Üçgenin rd mc elemnlr ; ç ort, kenrort ve üksekliktir.. ir üçgenin kenr uzunluklr 8 irim, irim, olilir.. Kenr uzunluklr tms l oln ir üçgenin ir kenr n n uzunlu u 8 frkl tms de eri lilir. 7. Üçgenin ir kenr uzunlu u di er iki kenr uzunlu unun toplm ndn küçüktür. 8. ir üçgeninde m() = 0 ise çevrel çemerinin r çp uzunlu u dir. 9. ir üçgenin rl k merkezi kenrortlr n kesiflme nokts d r. 0. ir üçgensel ölgenin rl k merkezi kenrortlr n kesiflme nokts d r.. ir üçgenin iç merkezi ç ortlr n kesiflme nokts d r.. ir üçgenin diklik merkezi üksekliklerinin d üksekliklerin uznt lr n n kesiflme nokts d r.. Üç kenr uzunlu u ilinen ir üçgensel ölgenin ln hesplnilir.. ki kenr uzunlu u ve u iki kenr uzunlu u rs ndki ç n n ölçüsü ilinen üçgensel ölgenin ln hesplnilir.. Çevresi ilinen her üçgenin ln hesplnilir.. lnlr eflit oln üçgenlerin ükseklikleri eflittir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 87

188 ÜÇGNLR RNT (Krnot) TRM ir üçgeninin iç ölgesinde, d fl ölgesinde d üzerinde l nn ir P nokts ndn kenrlr çizilen dikme klr,, noktlr olsun. = = irim olsun. rnot teoremi ile, + + = + + = + = P = irim ulunur. (P) P Yukr dki rnot üçgenlerinde rnot üçgenleri + + = + + nt s vrd r. u nt rnot teoremi denir. ÖRNK P un göre, uzunlu unu ull m. üçgen = irim = irim = irim = ÖRNK 8 üçgen = irim = irim = 8 irim = irim = irim un göre, uzunlu unu ull m. üçgeninde rnot teoremi gere ince, + + = = = ÖRNK irim ulunur. H üçgen = irim = irim H = irim = un göre, H uzunlu unu ull m. üçgeninde rnot teoremi gere ince, + + H = + + H = irim ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 88

189 KRNT TRM TST. K üçgen [K] [] [K] [] [K] [] = irim = irim = + irim = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ). P üçgen = irim = irim = irim = irim = irim un göre, + toplm kç irimdir? 7 ) ) ) ) ). K üçgen [K] [] [K] [] [K] [] = = irim = irim = irim. K 8 7 üçgen [K] [] [K] [] [K] [] = irim = irim = 8 irim = 7 irim = irim un göre uzunlu u kç irimdir? ) 7 ) 0 ) ) ) 0 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 0 ) ) ). H K P K K un göre, H H üçgen = irim = irim = irim = irim = irim ornı kçtır?. 7 üçgen [] [] [] [] = irim = 7 irim = irim = irim un göre, kç irimkre dir? ) 7 ) 8 ) ) 9 ) ) ) ) 7 ) 8 ) 9 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

190 KRNT TRM TST 7. K 7 9 üçgen [K] [] [K] [] [K] [] = irim = irim = irim = 9 irim = irim = 7 irim 0. K 9 H N üçgen H dik üçgen N = irim K = irim HN = irim = irim K = 9 irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 0 ) 9 ) ) ) 7 8. H üçgen = irim = irim = irim H = H un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ). konkv çokgen = irim = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 9. K dik üçgen [K] [] [K] [] [K] [] = irim K = irim K = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 7. 0º K H üçgen üçgen = irim = irim H = irim = irim = irim = irim m() = 0 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) 7 ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

191 Pntogrf ÖNÜfiÜMLRL GMTR. ÜN T ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü Öteleme önme Yns m fierit Süsleme üzlemde Kplmlr Tngrm lt n üçgen fllik Homoteti rktl Üçgende enzerlik ik Üçgende Metrik nt lr (Öklid nt lr ) Özel Teoremler (Tles, Menelus, Sev)

192 "Gerçe i rmk onu elde etmekten dh k metlidir." (lert instein)

193 ÖNÜfiÜMLRL GMTR Tn m : üzlemin noktlr n ine düzlemin noktlr n eflleen ireir ve örten fonksion düzlemin ir dönüflümü denir. ÖTLM (Trnsltion) ÖRNK üzlemde nokts n n u = (, 7) vektörü do rultusund ötelenmifli (, ) nokts d r. un göre, nokts n ull m. nokts n n u vektörü do rultusund ötelenmesi ile nokts elde edilmifltir. u öteleme, üzlemde u = PQ olck flekilde tn mlnn Q nokts n, P nokts n n u vektörü do rultusund ötelenmifli denir. Q = Tu(P) fleklinde gösterilir. P Q u Yni Tu: R " R ir dönüflümdür. üzlemde her P nokts için, Tu(P) = P + u ötelemesi z lilir. = + u olup, (, ) = (, 7)+ eflitli inden = (, ) (, 7) = (, ) ulunur. ÖRNK üzlemde (, ) ve (, ) noktlr ile elde edilen do ru prçs n u = (, ) do rultusund öteleelim. ÖRNK üzlemde (, ) nokts n n u = (, 7) vektörü do rultusund ötelenmifli oln nokt ull m. rnn nokt olsun, u = Tu = + u olup = (, ) + (, 7) & = (, ) ulunur. = + u = (, ) + (, ) = (, 0) ÖRNK üzlemde (, ) nokts n n u vektörü do rultusund ötelenmesi ile (7, ) nokts elde edilior. un göre, u vektörünü ull m. = + u = (, ) + (, ) = (, 9) olup ötelenmifli 0 9 nokts n n u vektörü do rultusundki ötelenmifli ise = + u olup, (7, ) = (, )+ u u = (, 0) ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

194 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK ÖNM (Rottion) 7 u üzlemdeki ir P(, ) nokts n n orijin etrf nd α kdr döndürülmesi ile elde edilen nokt Q olsun. Q P(, ) üçgeninin u = (, ) vektörü do rultusundki ötelenmifli oln üçgenin köfle koordintlr n ull m. Tüm köfleleri u vektörü do rultusund öteleelim. _ (,7) noktlr n u do rultusund (,) ` ötelenmiflleri, I, olsun. (,) u durumd, = + u = (, 7) + (, ) = (, ) = + u = (, ) + (, ) = (, 8) = + u = (, ) + (, ) = (, 9) olup ötelenmifl üçgen ÿ urd R α dönme dönüflümü denir. üzlemde her P nokts elli ir ç ile döne- ilece inden, R α : R R ir dönüflümdür. ÿ Q = R (α) (P) = (cosα sinα, sinα + cosα) fleklinde gösterilir. ÖRNK üzlemdeki (, 8) nokts n n orijin etrf nd 0 dönmesi ile elde edilen noktn n koordintlr n ull m. 8 (, 8) 0º 9 8 rnn nokt olsun. = R 0 () = (cos0 8sin0, sin0 + 8cos0 ) I üçgeni, üçgeninin u = (, ) do rultusund ötelenmiflidir. "Strnç thts nd tfllrl p ln hmleler irer öteleme hreketi midir c?" = f. 8., p = (, + ) rnn noktd r. ê ê SNUÇ : önme orijin hriç her nokt de ifltirir. e iflmeen nokt dönme merkezi denir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

195 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK üzlemdeki (, ) nokts n n orijin etrf nd 80 dönmesi ile ( 7, ) nokts elde edilior. un göre, + toplm n ull m. ÖRNK nlitik düzlemdeki (, ) ve (, 9) noktlr ile elde edilen [] do ru prçs n n orijin etrf nd 90 döndürülmesi ile elde edilen do ru prçs n n uç noktlr n n koordintlr n ull m. = R 80 () eflitli inden, ( 7, ) = (. cos80. sin80,. sin80 +. cos80 ) ( 7, ) = (.( ). 0,. 0 +.( )) ( 7, ) = (, ) olup 9 = 7 ve = ulunur. hlde rnn nokt (7, ) olur. + = ulunur. = R 90 () = (. cos90. sin90,. sin90 +. cos90 ) = R 90 () = (. cos90 9. sin90,. sin cos90 ) eflitliklerinden = (, ) ve = ( 9, ) elde edilir. ÖRNK üzlemdeki (m, n) nokts n n orijin etrf nd 90 dönmesi ile (, ) nokts elde edilior. un göre, nokts n n koordintlr n ull m. 9 = R 90 () eflitli inden = (m. cos90 n. sin90, m. sin90 + n. cos90 ) (, ) = (m. 0 n., m. + n. 0) (, ) = ( n, m) = n ve = m n = olup, u durumd (, ) ulunur. m = ÖRNK (, 7) nokts n n (, ) nokts etrf nd 80 döndürülmesi ile elde edilen nokt ull m. NT : 90 ve 80 döndürülmelerinde flekil çizilerek de sonuc kolc ulfl lilir. (, ) (, 7) (, ) ort nokt olup, (8, ) ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

196 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK nlitik düzlemde (, 7) nokts n n K(, ) nokts etrf nd döndürülmesi ile elde edilen noktn n koordintlr n ull m. z Özel öndürmeler (, ) nokts n n orijin etrf nd 90 döndürül- mesi ile elde edilen nokt (, ) nokts d r. ÿ önme merkezi oln K(, ) nokts n v = (, ) do rultusund orijine öteleelim. Yni, (, ) nokts n (0, 0) nokts n ötelenirse, u durumd, (, 7) nokts d n flekilde, (, ) nokts n ötelenmifl olur. ÿ l : + + c = 0 do rusunun orijin etrf nd 90 döndürülmesi ile elde edilen do ru; l : + c = 0 do rusudur. fiimdi örnek flu flekle geldi; "(, ) nokts n n orijin erf nd döndürülmesi ile elde edilen noktn n koordintlr n ull m." c c = (cos + sin, sin cos ) c c = f. +.,.. p = (9, ) (, ) nokts n n orijin etrf nd 80 döndürül- mesi ile elde edilen nokt, ÿ fiimdi u nokt v = (,) do rultusund ötelersek (9, + ) ulunur. R 80 () = (.cos80.sin80,.sin80 +. cos80 ) = (, ) R 80 (, ) = (, ) olur. ÿ l : + + c = 0 do rusunun orijin etrf nd 80 döndürülmesi ile elde edilen do rudur. l : + c = 0 do rusudur. SNUÇ : önme merkezi orijin olmn döndürme prolemlerinde önce ugun ir u ötelemesi ile dönme merkezi orijin p l r ve dh sonr dönme formülleri uguln r, ulunn nokt u doğrultusund tekrr ötelenir. c c c c + + c = 0 // + c = 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

197 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK ÖRNK 7 = + do rusunun orijin etrf nd 90 döndürülmesi ile olufln do runun denklemini ull m. [] do ru prçs orijin etrf nd 90 döndürülüor elde edilen do ru prçs n ull m. = + do rusu üzerinde iki nokt l p orijin etrf nd 90 dönderelim. R 90 (0, ) = (, 0) R 90 (, 0) = (0, ) nokts n elde ederiz. R 90 () = R 90 (, ) = (, ) ve R 90 () = R 90 (, ) = (, ) olup ve do rulr n n dik kesiflti ine dikkt edelim. ölece rnn do ru l : + + = 0 ulunur. ikkt edilirse l ve l do rulr e imleri çrp m oln iki do rudur. Yni l l olur. ÖRNK 8 = (, ) SNUÇ : ir do ru ile u do runun orijin etrf nd 90 dönmesi ile elde edilen do ru iririne diktir. = prolünü orijin etrf nd 90 dönmesi ile elde edilen prolün denklemini ull m. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 97

198 ÖNÜfiÜMLRL GMTR Prol üzerinde de iflken ir (, ) nokts l p 90 döndürelim. ÿ üzlemdeki ir P(, ) nokts n n, eksenine göre ns ms P (, ) dir. R 90 (, ) = (, ) olup rnn denklem = ulunur. P(, ) = (ns m ekseni) P (, ) YNSIM (Reflection) üzlemde ir P nokts n n, M nokts n göre simetri i oln nokt P olsun. ÿ eksenine göre ns ms P (, ) tir. M P P (, ) (ns m ekseni) P(, ) P P nokts P = M P nt s ile ulunur. urd M ns m merkezidir. u dönüflüme de ns m dönüflümü denir. P = S M (P) = M P ile gösterilir. ÖRNK (, ) nokts n n (, ) nokts n göre simetri ini ull m. ÿ rijine göre ns ms P (, ) dir. P(, ) nokts n n nokts n göre simetri i olsun. u durumd n n e göre ns m dönüflümü (ns m merkezi) S () = = d r. P (, ) = (, ) (, ) = (, ) olur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 98

199 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÿ = do rusun göre ns ms P (, ) dir. ÿ = (II. ç ort) do rusun göre ns ms P (, ) tir. P P (, ) = (ns m ekseni) = P (, ) P(, ) (ns m ekseni) ÿ (, ) nokts n göre ns ms P (, ) dir. ÿ = do rusun göre ns ms P (, ) dir. P (, ) = (ns m ekseni) P (ns m merkezi) (, ) P(, ) P (, ) ÿ = + n do rusun göre ns ms P ( n, + n) dir. ÿ = (I. ç ort) do rusun göre ns ms P (, ) tir. + n P ( n, + n) P(, ) P (, ) = P(, ) n (ns m ekseni) n n (ns m ekseni) n flekilde = + n do rusun göre ns m- s P ( + n, + n) dir. ÿ 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 99

200 ÖNÜfiÜMLRL GMTR NT : ir ns m dönüflümünün tersi kendisine eflittir. Yni, S () = S () = olur. Prtik ilgi ir noktn n, e imi d oln ir do ru göre simetri i l n rken noktn n psisi denklemdeki erine z l r. ulunn de eri nsın noktn n ordint d r. Yni, (, ) psisi () erine zl m. üzlemde l nn ir P nokts n n prlel iki do - ru göre ns ms n n ileflkesi u iki do ru rs ndki uzkl n kt kdr ir ötelemedir. ÿ ns m ekseni = + n (..., + n) n ifllem ordint için de tekrrln r. P P P (, ) rdint () erine zl m. d // P P = d ns m ekseni ( n, + n) = + n P nokts P nokts n n d kdr ötelenmesi ile elde edilmifltir. Prtik ilgi NT : ir do runun, e imi d oln ir do ru göre simetri i l n rken ukr dki prtik ol n mnt kl izleneilir. fl dki örne i inceleelim. üzlemde l nn ir P nokts n n kesiflen iki do ru göre ns ms n n ileflkesi, u iki do ru rs ndki ç n n iki kt kdr ir dönmedir. = + Yerine zl m = + e göre simetri i (, + ) P Yerine zl m α α β β P P + = ( ) + 7 = 0 Sonuç olrk; = + e göre = + 7 = 0 ulunur. simetri i 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 00

201 ÖNÜfiÜMLRL GMTR Prtik ilgi Prtik ilgi (, ) (c, d) (, ) nokts n n eksenine göre simetrisi (, ) (, ) nokts n n eksenine göre simetrisi (, ) P(m, n) P + P toplm n n en küçük de erini ulmk için d den herhngi irinin l do rusun göre simetri i l n p k r k çizgi düz hle getirilir. (, ) nokts n n (, ) nokts n n (0, 0) göre simetrisi = c e göre simetrisi (, ) (c, ) Yni, (, ) (c, d) (, ) nokts n n (, ) nokts n n = c e göre simetrisi (c, d) e göre simetrisi (, c ) (c, d ) Yns m ekseni P(m, n) (, ) nokts n n = e göre simetrisi (, ) (c, d ) (, ) nokts n n = e göre simetrisi (, ) ölece, P, noktlr do rusl olur, e imler eflitlenerek d enzer üçgenler kullnrk P nok-ts n n koordintlr ulunmufl olur. + + c = 0 eksenine göre simetrisi + c = c = 0 eksenine göre simetrisi + + c = c = 0 (0, 0) göre simetrisi + c = 0 Prtik ilgi + + c = 0 = k e göre simetrisi (k ) + + c = 0 (, ) (c, d) + + c = 0 = k e göre simetrisi + (k ) + c = c = 0 = e göre simetrisi + + c = 0 P P P P P P frk n n en üük olms n s ln P nokts nin l do rusunu kesti i noktd r. ölece, üçgen eflitsizli inden P P nin en üük de eri olur. = e göre + + c = 0 + c = 0 simetrisi (p, q) göre + + c = 0 (p ) + (q ) + c = 0 simetrisi ikkt edilirse en küçük en üük prolemlerinde k r k çizgiler her zmn düzlefltirilmee çl fl l or. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

202 ÖNÜfiÜMLRL GMTR Prtik ilgi Kesiflen iki do runun oluflturdu u ç n n ç ort do rusunun e imi d ise do rulr n e imleri çrp m dir. ÖRNK (, ) noktsının + = 0 doğrusun göre nsımsı noktsıdır. un göre, uzunluğunu ull m. m m = ± m. m = m (, ) ÖRNK H + = 0 l : + = 0 ve l : + = 0 do rulr n n oluflturdu u ç n n ç ort do rulr ndn irinin denklemi l : + 7 = 0 ise de erini ull m. l do rusunun e imi ; m = l do rusunun e imi ; m = ve H =.+.( ) H = irim + ol s l, = H = irim ulunur. l (ç ort) do rusunun e imi oldu undn m. m = olml d r. hlde,. = & = ulunur. ÖRNK + = 0 doğrusu (0, ) noktsı etrfınd 90 döndürüldüğünde elde edilen doğrunun kpl denklemini ull m. ÖRNK + = 0 doğrusunun = 0 doğrusun göre, simetriği oln doğrunun denklemini ull m. rdığımız doğru l ı olsun. (0, ) nokts + = 0 do rusu üzerinde oldu undn, m l = ve l l ı olduğundn m l = olur. hlde, eğimi ve ir noktsı elli oln doğru denkleminden, =. ( 0) = 0 ulunur. + = 0 doğrusu üzerinde lınn temsili ir (, ) nokts n n = do rusun göre simetri i (, ) oldu undn, + = 0 do rusunun = do rusun göre simetri i, +. ( ) = = 0 do rusudur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

203 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK (, ) noktsının = m doğrusun göre simetriği ekseni üzerindeki noktsıdır. un göre, noktsının ordint n ull m. ÖRNK (, ) noktsının = + doğrusun göre simetriği oln nokt (, 9) olduğun göre,. çrp m n ull m. (, ) v = (, ) I. urum : m > 0 olsun. H = + (, ) = m (, 9) H H = H ve [] H oldu undn, = dir. = ( ) + = irim hlde, nokts n n ordint olilir. l doğrusunun ir doğrultmn vektörü v = (,) dır. = v oldu undn,, v= 0 d r. = = ( 8, 8) olur., v = ( 8) = 0 = olup, H nokts ile nin ort nokts oldu undn, + 9 Hd, n ni H(, ) dir. H nokts do ru denkleminde erine z l rs, = + = 7 olur. ölece,. = 7 ulunur. II. urum : m < 0 olsun. = m ÖRNK 7 (, ) H + = doğrusunun + = 0 doğrusun göre ns ms oln doğrunun denklemini ull m. u durumd, H = H ve [H] [] oldu undn, noktsının ordintı olur. + = doğrusu üzerinde lınn ir (, ) nokts n n = do rusun göre ns ms (, ) oldu undn, + = do rusunun = do rusun göre ns ms ( ) + = + = 0 do rusudur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

204 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK 8 nlitik düzlemin IV. ölgesindeki ir noktnın orijine göre simetriği oln nokt, noktsının = doğrusun göre simetriği oln nokt dir. un göre, noktsın n hngi ölgede oldu unu ull m. (, ) olsun. hlde ( > 0 ve < 0 d r.) (, ) nokts n n orijine göre simetri i, (, ) ve (, ) nokts n n = do rusun göre simetri i, (, ) nokts d r. > 0 ve < 0 oldu undn nokts II. ölgededir. ÖRNK 0 0º º dik üçgen = = m() = 0 m() = + = 8 irim un göre, üçgensel ölgesinin ln n ull m. [] n n [] n göre ns ms n ll m. ÖRNK 9 dik üçgen º º l = {, } = irim = irim 0º Yns m dönüflümü lt nd uzunluklr ve ç lr n kld ndn, =, = ve Yukrıd ve noktlrı l doğrusun göre simetrik noktlr olduğun göre, üçgensel ölgesinin lnını ullım. m() = m( ) = olml d r. ölece, Ynsım dönüşümü uzunluklrı ve çılrı koruduğundn, + 7º = ve m() = m() = 90 olmlıdır. 0º 7º + ikizkenr üçgeni elde edilir. hlde, = 8 irim olur. (ns m ekseni) ölece = = irim olup. 8 Pisgor ğıntısı ile uzunluğu irim ulunur. () =. = 0 r olup, () = r ulunur. () = 0º. = 8 r ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

205 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK º m() = m() = m() dik üçgen m() = = irim un göre, uzunlu unu ull m. [] n n [] n göre ns ms n ll m. º Yns m dönüflümü lt nd uzunluklr ve ç lr n kld ndn, =, = = irim ve 8º 8º m() = m( ) = 8 olml d r. ölece gerekli ç lr z l rs, º º = dielim. hlde, 7º + 8º 8º 8º 8º 8º 8º 7º + m( ) = m( ) = oldu undn, = = + ve m( ) = m( ) = 7 oldu undn, = = + ve ÖRNK ir noktnın ir doğru göre simetriğini vektörel olrk ifde edelim. ( 0, 0 ) noktsının = m + n doğrusun göre simetriğini ullım. = m + n doğrusu üzerindeki ir nokt T(p, r) olsun. hlde doğrunun vektörel denklemi, (, ) = (p, r) + k(, m) olur. Htırllım, (, ) = (p, r) + k(, m) denkleminde, (p, r) doğru üzerinde ir nokt ve d = (,m) doğrunun ir doğrultmn vektörü idi. Şimdi soruu vektörel olrk düşünelim. T(p, r) H ( 0, 0 ) ı = H olduğundn H noktsını ulmmız eterli olcktır. TH : T nın l üzerindeki izdüşüm uzunluğudur. TH : T nın l üzerindeki izdüşüm vektörüdür. T = ( 0 p, 0 r) ve d= (, m) olup, T,d TH =.d & T,d H T=.d d, d d, d T,d H = T+.d d, d ifdesi ı = H eşitliğinde erine zılırs, J N ı K T,d = T+.d K d, d L P m() = m() = oldu undn, = olup, + = + eflitli inden, = = irim ulunur. ı T,d = T +..d d, d ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

206 ÖNÜfiÜMLRL GMTR z Yns m Örnekleri : ÖNÜfiÜMLRL GMTR 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

207 ÖNÜfiÜMLRL GMTR tkinlik Zmn 0 filuk LURM (Öteleme).. nokts, nokts n n v = (...,...) do rultusund ötelenmiflidir. [] do ru prçs [] do ru prçs n n u = (...,...) do rultusund ötelenmiflidir.. Q. P P nokts, Q nokts n n u = (...,...) do rultusund ötelenmiflidir. üçgeni, üçgeninin u = (...,...) do rultusund ötelenmiflidir... üçgeni, üçgeninin v = (...,...) do rultusund ötelenmiflidir.. flekil. fleklin u = (...,...) sund ötelenmiflidir. do rultu- 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 07

208 ÖNÜfiÜMLRL GMTR tkinlik Zmn şğıdki ifdelerde oş ırkıln erleri verilen ugun kelimelerle doldurunuz.. (, 7) nokts n n eksenine göre simetri i... nokts d r.. (, 7) nokts n n eksenine göre simetri i... nokts d r.. (, 7) nokts n n orijine göre simetri i... nokts d r.. (8, ) nokts n n = do rusun göre simetri i... nokts d r.. (, ) nokts n n = do rusun göre simetri i... nokts d r.. (, ) nokts n n = + 8 do rusun göre simetri i... nokts d r. 7. (, 7) nokts n n = + do rusun göre simetri i... nokts d r. 8. (, 9) nokts n n (, ) nokts n göre simetri i... nokts d r. 9. (, ) nokts n n = do rusun göre simetri i... nokts d r. 0. (, ) nokts n n = do rusun göre simetri i... nokts d r.. (, ) nokts n n + + = 0 do rusun göre simetri i oln nokt ise =... irimdir... + = 0 do rusunun (, ) nokts n göre simetri i... do rusudur. 8 + = 0 do rusunun = 0 do rusun göre simetri i... do rusudur. + (, 7) + (, 8) + (, ) + (, 7) + (, 7) + (, 0) + (, ) + + = 0 + (, 7) + (, ) + (, ) = 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 08

209 ÜZLM ÖNÜfiÜMLR (Öteleme önme Yns m) TST. ik koordint sisteminde (, ) nokts n n v = (, ) do rultusundki ötelenmifli nokts oldu un göre, uzunlu u kç irimdir?. ) ) ) ) ) 7 u Yukr dki zeminde üçgeninin u vektörü do rultusundki ötelenmifli fl dkilerden hngisidir? ) ). (0, ) (, 0) ) ) üçgeninin orijin etrf nd stin tersi önde 70 döndürülmesi ile elde edilen üçgen fl dkilerden hngisidir? ) ) ) (, 0) (, 0) (0, ) (0, ) ) ) (0, ) (0, ) (, 0) (, 0) ) (, 0). ik koordint sisteminde (, ) nokts n n orijin etrf nd 80 döndürülmesi ile elde edilen noktn n u = (, ) do rultusundki ötelenmifli fl dkilerden hngisidir? (0, ) ) (, ) ) (7, ) ) (, ) ) (, ) ) (7, ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

210 ÜZLM ÖNÜfiÜMLR (Öteleme önme Yns m) TST. ik koordint sisteminde nokts n n v = (, ) do rultusund ötelenmesi ile elde edilen nokt olsun. un göre,, v çrp m kçt r? ) ) ) ) 9 ) 0 9. ik koordint sisteminde (, ), (, ), (, ) noktlr verilior. un göre, nokts n n do rultusundki ötelenmifli fl dkilerden hngisidir? ) (, 0) ) (7, ) ) (7, ) ) ( 7, 0) ) (, ) 0.. (, ) nokts n n v = (, ) do rultusund ötelenmifli (, ) oldu un göre, nokts n n koordintlr fl dkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, 7) Yukr dki zeminde üçgenini. ölgee tfl mk için en z fl dki ötelemelerden hngisi p lml d r? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) 7. ik koordint sisteminde (, ) nokts n n orijin etrf nd döndürülmesi ile elde edilen noktn n koordintlr çrp m kçt r? ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 ). (, ) º 8. ik koordint düzleminde (, ) nokts n n orijin etrf nd 90 döndürülmesi ile elde edilen nokt fl dkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) nokts n n l do rusun göre ns ms oln noktn n l do rusun göre simetri i oln nokt fl dkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) ( 7, ) ) (, 7) ) (, 0) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

211 ÜZLM ÖNÜfiÜMLR (Öteleme önme Yns m) TST. (,) (, ) (c, ) eksenine göre ns ms eksenine göre ns ms orijine göre ns ms (, d) (e, ) (, f). P Yukr dki tlo göre,. c d + f iflleminin sonucu kçt r? Q R ) ) 0 ) ) 7 ) 9 Yukr dki flekilde PQR üçgeninin eksenine göre ns ms sonucund P Q R üçgeni oluflmufltur.. (, ) nokts hngi nokt etrf nd 80 döndürülürse (, ) nokts elde edilir? ) (, ) ) (, 0) ) (, ) ) (, ) ) (, ) un göre, Q nokts n n koordintlr toplm kçt r? ) 0 ) ) ) ). fl dki flekillerden hngisi ir ns m örne i de ildir?. fl dkilerden hngisinde fleklin eksenine göre ns ms nl fl verilmifltir? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı.....

212 ÜZLM ÖNÜfiÜMLR (Öteleme önme Yns m) TST. fl dkilerden hngisinde fleklin eksenine göre ns ms nl fl verilmifltir? ) ) 8. üçgeninin köfle noktlr n n koordintlr üçgeninin eksenine göre ns ms ile olufln üçgeninin köfle noktlr n n koordintlr (0, ) (0, c) (, ) (, ) (0, ) (0, d) ) ) Yukr dki tlo göre,. c. d iflleminin sonucu kçt r? ) ) ) ) ) 8 ) Yukr dki flekilde orijine göre ns ms l nm fl üçgenin köfle noktlr n n koordintlr verilmifltir. un göre, üçgenin ns mdn önceki köfle noktlr fl dkilerden hngisidir? ) (, ), (, ), (, ) ) (, ), (, ), (, ) ) (, ), (, ), (, ) ) (, ), (, ), (, ) ) (, ), (, ), (, ) Yukr dki dik koordint sisteminde verilen üçgeninin eksenine göre ns ms l n or ve ile, ile, ile simetrik nokt çiftleri olck flekilde üçgeni elde edilior. lde edilen u üçgen nokts etrf nd stin tersi önde 90 döndürülüor. u dönme sonucund nokts n krfl l k gelen II noks n n koordintlr fl dkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

213 ÜZLM ÖNÜfiÜMLR (Öteleme önme Yns m) TST.. S Q T K L P M Yukr dki flekli irim s öteleip l do rusun göre, ns ms n ld m zd olufln flekil fl dkilerden hngisidir? R ) Yukr dki zeminde [] nin P nokts n göre simetri i oln do ru prçs fl dkilerden hngisidir? ) ) [SL] ) [QR] ) [TM] ) [KR] ) [QM] ). R r r R ) nokts nd ulunn ve iririne p fl k oln iki tekerlek ir tur trk nokts n gelior. ) ölece üük tekerlek ile küçük tekerlek eflit ve mesfelerini lm flt r. hlde, = πr, = πr olup, = oldu undn, πr = πr ve R = r ulunur. Yukr d R = r çeliflkisi nl fl ir düflünce sonucund ulunmufltur.. (, ) u nl fl düflüncenin seei fl dkilerden hngisidir? ) fllemlerde nl fll k p lm flt r. ) Küçük tekerlek üük tekerlekten dh z ol lm flt r. ) Tekerleklerin ötelemeli dönme pt göz rd edilmifltir. ) > olml d. ) üük tekerlek dh fzl tur tm flt r. Yukr dki nlitik düzlemde (, ) nokts n n l do rusun göre ns ms oln nokt ise uzunlu u kç irimdir? ) ) 9 ) ) ) 7 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı....

214 ÜZLM ÖNÜfiÜMLR (Öteleme önme Yns m) TST. 8. Yukr dki fleklinin orijin etrf nd 90 döndürülmesi ile elde edilen flekil ( ) fl dkilerden hngisidir? Yukr dki flekilde flekli irim ukr ötelenip eksenine göre ns t l or. flekli ise irim ukr ve irim s ötelenior. Son durumd ve fleklinin kç r lik lnlr kesiflir? ) ) ) ) ) ) ) ) ). (, ), (, ) olmk üzere [] hngi nokt etrf nd 80 döndürülürse tekrr [] elde edilir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) 7. N L P K 9. nlitik düzlemde (, ) nokts n n orijin etrf nd st önünün tersi önde döndürülmesi ile elde edilen noktn n koordintlr fl dkilerden hngisidir? ) (cos sin, sin cos ) Yukr dki zeminde [] do ru prçs n n K nokts n göre ns ms oln do ru prçs fl dkilerden hngisidir? ) [L] ) [] ) [P] ) [P] ) [L] ) (cos sin, sin cos ) ) (cos sin, sin + cos ) ) (cos + sin, sin cos ) ) (cos + sin, cos + cos ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

215 ÖNÜfiÜMLRL GMTR TST. ik koordint sisteminde (, 7) noktsının u = (, ) doğrultusund ötelenmesi ile elde edilen noktnın koordintlrı toplmı kçtır? ) 9 ) 0 ) ) ). (, ) noktsının (, 8) noktsı etrfınd 90 döndürülmesi ile elde edilen noktnın koordintlrı şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, 7) ) (, 0) ) (, ) ) (, ).. ik koordint sisteminde noktsının v = (, ) doğrultusund ötelenmesi ile elde edilen nokt olsun. un göre, doğrusunun eğimi kçtır? ) ) ) ) ) Yukr dki zeminde nokts n n orijine göre simetri i oln nokt oldu un göre, nokts n n = + do rusun göre simetri i oln noktn n koordintlr nedir? ) (, 7) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ). ik koordint sisteminde + 7 = 0 doğrusunun oriijin etrfınd 90 döndürülmesi ile elde edilen doğrunun denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + 7 = 0 ) + = 0 7. ik koordint sisteminde (, 8) noktsının u = (, ) doğrultusundki ötelenmişi oln noktnın orijin etrfınd döndürülmesi ile elde edilen noktnın koordintlrı toplmı kçtır? ) 0 ) ) ) ). ik koordint sisteminde (, ) noktsının orijin etrfınd 70 döndürülmesi ile elde edilen nokt şğıdkilerden hngsidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) 8. ik koordint sisteminde (, ) noktsının = (,) doğrultusund ötelenmişi oln noktnın orijin etrfınd 0 döndürülmesi ile elde edilen nokt şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, 0) ) (, ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

216 ÖNÜfiÜMLRL GMTR TST 9. ik koordint sisteminde l : + = 0 doğrusu ile l doğrusunun eksenine göre nsımsı l doğrusu olsun. un göre, l, l ve ekseninin s n rld üçgensel ölgenin lnı kç r dir? ) ) ) 7 ) 8 ) = 0 doğrusu (, ) etrfınd 80 döndürüldüğünde elde edilen doğrunun denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) + = 0 ) 9 = 0 ) + 0 = 0 ) + = 0 ) = 0 0. noktsının eksenine göre nsımsı noktsı ve noktsının orijine göre nsımsı noktsı olduğun göre,, kç eşittir? ) 0 ) ) ) ). üçgen = = irim nin doğrusun göre nsımsı olduğun göre, kç irimdir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9. ir eşkenr üçgeninde ğırlık merkezi G noktsı ve noktsının G noktsın göre, nsımsı K noktsı olsun. K = irim olduğun göre, kç irimdir? ) ) ) ) ). + 0 = 0 doğrusu (, ) noktsı etrfınd 80 döndürüldüğünde elde edilen doğrunun kpl denklemi nedir? ) 7 8 = 0 ) 9 = 0 ) + = 0 ) = 0 ) + 0 = 0. + = 0 doğrusu (0, ) noktsı etrfınd 90 döndürüldüğünde elde edilen doğrunun kplı denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) = 0 ) = 0 ) + 8 = 0 ) + 9 = 0 ) + = 0. ik koordint sisteminde eksenler pozitif önde 0 döndürüldü ünde (, ) nokts n n eni koordint düzlemindeki ordint kçt r? ) 0 ) ) ) ) 8 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

217 ÖNÜfiÜMLRL GMTR TST. (, ) noktsının (, ) noktsın göre simetriği şğıdkilerden hngisidir? ) (, 7) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ). (, ) noktsının (, ) noktsın göre simetriği + k = 0 doğrusu üzerinde ise k kçtır? ) ) ) ) 8 ). (, 9) noktsının eksenine göre simetriği şğıdkilerden hngisidir? ) (9, ) (9, ) ) ( 9, ) ) (, 9) ) (, 9). (, 7) noktsının + = 0 doğrusun göre, simetriği oln nokt şğıdkilerden hngisidir? ) (7, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (9, ). (m, n) noktsının eksenine göre simetriği (, 7) olduğun göre, m + n toplmı kçtır? ) ) ) ) ) 7. (, ) noktsının eksenine göre ns ms noktsıdır. un göre, noktsının + = 0 doğrusun göre simetriği (p, k) olduğun göre, p + k kçtır? ) ) ) 0 ) ). (, ) noktsının orijine göre simetriği şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) 8. (, ) noktsının = doğrusun göre simetriği noktsıdır. un göre, noktsının = doğrusun göre simetriği noktsı olduğun göre, noktsı şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, 8) ) (, 7) 7 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

218 ÖNÜfiÜMLRL GMTR TST 9. (, ) noktsının + + = 0 doğrusun simetriği oln nokt ise = d(, ) kç irimdir?. (, ), (, ) ve (k, 0) noktlrı verilior. + toplmının en küçük olmsını sğln k değeri kçtır? ) ) ) ) 8 ) 0 ) 7 ) 7 ) ) ) 0. + = 0 doğrusunun eksenine göre simetriği şğıdkilerden hngisidir? ) + + = 0 ) + = 0 ) = 0 ) + = 0 ) + = 0. (, 7) noktsının = doğrusun göre simetriği oln nokt ve = doğrusun göre simetriği oln nokt ise doğrusunun denklemi şğıdkilerden hngsidir? ) + 7 = 0 ) + 7 = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + = 0. + = 0 doğrusunun eksenine göre, simetriğinin denklemi şğıdkilerden hngisidir? ) = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + = 0. (, ) noktsının = m doğrusun göre simetriği ekseni üzerindeki ir noktsı olduğun göre, noktsının psisi kçtır? ) ) ) ) ) 7. Vektörel denklemi, (, ) = (, ) + k. (, ) oln doğrunun doğrunun = doğrusun göre, simetriği şğıdkilerden hngisidir? ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ) ) (, ) = (, ) + k(, ). Prmetrik denklemi, = k + = k oln doğrunun = doğrusun göre simetriği oln doğrunun denklemi şğıdkilerden hngidir? ) + = 0 ) = 0 ) + 7 = 0 ) + 8 = 0 ) + = S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

219 ÖNÜfiÜMLRL GMTR TST.. (0,) (,0) Yukrıdki verilere göre, l doğrusunun eksenine göre simetriği oln doğrunun denklemi nedir? ) + = 0 ) + = 0 ) = 0 ) + = 0 ) = 0 Yukrıdki verilere göre, l doğrusunun eksenine göre simetriği oln doğrunun denklemi nedir? ) = 0 ) = 0 ) + = 0 ) = 0 ) + = 0.. (0,) (,0) (0, ) (,0) Yukrıdki verilere göre, l doğrusunun eksenine göre simetriği oln doğrunun denklemi nedir? ) + + = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + = 0 Yukrıdki verilere göre, l doğrusunun eksenine göre simetriği oln doğrunun denklemi nedir? ) + = 0 ) + 7 = 0 ) = 0 ) + = 0 ) = 0.. (, 0) (0, ) Yukrıdki verilere göre, l doğrusunun eksenine göre simetriği oln doğrunun denklemi nedir? ) + = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) = 0 ) + = 0 Yukrıdki verilere göre, l doğrusunun eksenine göre simetriği oln doğrunun denklemi nedir? ) = 0 ) + + = 0 ) = 0 ) + = 0 ) = S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

220 ÖNÜfiÜMLRL GMTR TST (,) = k (, ) noktsının = k doğrusun göre simetriği oln nokt olduğun göre, kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) Yukrıdki verilere göre l doğrusunun, l doğrusun göre simetriği oln doğrunun denklemi nedir? ) 7 7 = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) = 0 ) + = (,) T = k K + = 0 (, ) noktsının = k doğrusun göre simetriği oln nokt olduğun göre, k kçtır? ekseninin l doğrusun göre simetriği oln doğru l olduğun göre, K noktsının psisi kçtır? ) ) ) ) ) ) 7 ) ) ) ) = 0 noktsının l doğrusun göre simetriği oln nokt K olduğun göre, K kç irimdir? ) ) ) 8 ) ) l doğrusunun l doğrusun göre simetriği oln doğrunun denklemi nedir? ) + 8 = 0 ) + = 0 ) 8 = 0 ) = 0 ) + = S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

221 ÖNÜfiÜMLRL GMTR TST 7. Şekilde. dik üçgen 8 9 [] [] [] [] = 8 irim = irim = 9 irim 0 N [] [] [N] çıort = irim = 0 irim un göre, noktsının [] n göre simetriği ı olduğun göre, ı kç irimdir? un göre, N noktsının [] n göre simetriği N ı olduğun göre, NN ı kç irimdir? ) 0 ) 7 ) ) ) ) ) 9 ) ) ). üçgen. dik üçgen 0 m() = 0 = 0 irim 8 [] [] [H] [] 0 un göre, noktsının [] n göre simetriği ı olduğun göre, ı kç irimdir? ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 ) 0 H m() = m() H = H = 8 irim = 0 irim un göre, noktsının [] n göre simetriği ' olduğun göre, ı kç irimdir? ) ) ) ) ). dikdörtgen. dik üçgen [] [] [] [] = = = irim [] köşegen = irim = irim un göre, noktsının [] n göre simetriği ı olduğun göre, ı kç irimdir? üçgeninin [] n göre simetriği ı üçgeni olduğun göre, kç irimdir? ) 7 ) ) ) ) 7 ) 9 ) ) 7 ) 7 ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

222 ÖNÜfiÜMLRL GMTR TST 7 7. noktsının [] n göre simetriği, noktsının [] n göre simetriği dir. 0. eşkenr üçgen = irim üçgen m() = 0 un göre, m() kç derecedir? ) 78 ) 7 ) 7 ) 7 ) 70 un göre, nin [] n göre simetriği ı olduğun göre, ı kç irimdir? ) ) 8 ) 0 ) ) 8. 9 üçgen = 9 r m() =. G dik üçgen G, ğırlık merkezi [] [] = irim = 8 irim 8 un göre, noktsının [] n göre simetriği ı olduğun göre, ı kç irimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 un göre, G noktsının [] n göre simetriği G ı olduğun göre, GG ı kç irimdir? ) ) 8 ) ) ) 9. dikdörtgen eşkenr üçgen,, doğrusl = irim = irim. H K üçgen [KH] [] [K] çıort [K] çıort un göre, noktsının [] n göre simetriği ı olduğun göre, ı noktsının [] n uzklığı kç irimdir? ) ) ) ) ) K noktsının [] n göre simetriği K ı olduğun göre, KK ı kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) 8 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

223 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ŞR T SÜSLM ir motifin ir doğrultu ounc ötelenmesi ile oluşn süslemelere şerit süslemeleri denir. Ötelemeli Ynsım : ü Öteleme ü Ötelemeli nsım ü Yt nsım ü ike nsım ü 80 lik dönme ( r m dönme ) dönüşümlerinden iri kullnılrk süsleme pılilir. üçgeni üçgeninin l do rusun göre ötelemeli ns ms d r. Öteleme : 80 lik dönme (Yrı dönme): üçgeni üçgeninin irim s ( ), irim ukr ( ) ( v = (,) do rultusund) ötelenmiflidir. üçgeni üçgeninin nokts etrf nd 80 dönmüfl hlidir. ike Ynsım : fl d resmi ile önce fllng ç motifi sonrd flerit süslemeleri oluflturulmufltur. Ugulnn dönüflüm fllng ç motifi fierit süsleme üçgeni üçgeninin l do rusun göre dike ns ms d r. Öteleme Yt Ynsım : üçgeni üçgeninin l do rusun göre t ns ms d r. ike ns m Yt ns m Ötelemeli ns m 80º lik dönme 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

224 ÖNÜfiÜMLRL GMTR Öteleme İle Süsleme Yrı önme (80 lik dönme) İle Süsleme motifinin öte- şğıdki şerit süsleme lenmesi ile oluşturulmuştur. motifinin r dön- şğıdki şerit süsleme mesi ile oluşturulmuştur. Ötelemeli Ynsım İle Süsleme şğıdki şerit süsleme ns ms ile oluşturulmuştur. motifinin ötelemeli Yt Ynsım İle Süsleme şğıdki şerit süsleme ns ms ile oluşturulmuştur. motifinin t üzlemde Kplmlr üzlemde ir ölgenin ir motifle oflluk klmck flekilde ve motifler çk flmck flekilde dönüflümler (ns m, dönme, öteleme ve ötelemeli ns m) rd m l örtülmesine düzgün kplm denir. motifini kullnrk fl dki üçgeni düzgün kpll m. ike Ynsım İle Süsleme şğıdki şerit süsleme motifinin dike ns ms ile oluşturulmuştur. üzlemde ir ölgenin frkl motiflerle oflluk klmck ve motifler çk flmck flekilde dönüflümler (ns m, dönme, öteleme ve ötelemeli ns m) rd m ile örtülmesine r düzgün kplm denir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

225 ÖNÜfiÜMLRL GMTR + şğıd dünc ünlü grfist SHR'in kplmlr üzerine pt çl flmlr inceleiniz. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

226 ÖNÜfiÜMLRL GMTR Tngrm Geometrik içimlerdeki edi det prçı ir r getirerek çeşitli flekiller oluşturm essın dlı rtıcı ir zek ounudur. lt n Üçgen ç lr, 7, 7 oln ir üçgeninde ikiz oln kenrlrdn irinin uzunlu unun tn uzunlu un + orn dir. u orn lt n orn denir ve ϕ (phi) fi ile gösterilir. u prçlr, frklı üüklüklerdeki eş det üçgen, ir det kre ve ir det prlelkenrd r. º { = = + (lt n orn) 7º 7º Y mc m z geometrik ir şekil, hreket hlindeki ir insn figürü, hvn figürü, lfedeki ir hrf d enzeri ir şe olilir. Hedef olrk elirlenen flekli oluşturilmek için, edi prçnın tmmını kullnmk gerekmektedir. 08º º º + = (lt n orn) lt n orn ship ukr dki üçgenlere lt n üçgen denir. Örne in : fl d düzgün eflgeninin lt n üçgenlerle r düzgün kplms görülmektedir. º 7º 08º º 7º 7º 7º 08º º º º º º º 08º Kulln ln motifler fl dki lt n üçgenleridir. 7º 7º º 08º º º º 08º º 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

227 ÖNÜfiÜMLRL GMTR + şğıdki lt n orn örneklerini inceleiniz. + lt n dikdörtgen = + =, 8... = { { = ioncci s lr ; 0,,,,,, 8,,,,, 89,,, 77, 0, 987, 97, 8,... =, =,8 { = + { 77 =, =, =, =,8 { = = + r r = lt n üçgen üzgün ongen 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

228 ÖNÜfiÜMLRL GMTR + şğıdki süsüleme örnekleri inceleiniz. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

229 fir T SÜSLM TST. şğıdki şerit süslemelerin hngisinde dönüşümler doğru olrk verilmiştir?. fl dki süslemelerden hngisinde sdece öteleme dönüflümü kulln lm flt r? fierit süsleme önüflüm fierit süsleme ) Yns m ) ) ike ns m ) ) Ötelemeli ns m ) ) Yt ns m ) ) Yr dönme ). fl dki flerit süslemelerin hngisinde dike ns m kulln lm fltr?. fierit süsleme önüflüm I. Ötelemeli ns m fierit süsleme ) II. Öteleme ) III. Yt ns m ) IV. ike ns m ) V. Yr dönme ) Yukr dki flerit süslemelerinin kç tnesinde dönüflümler do ru olrk verilmifltir? ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9....

230 fir T SÜSLM TST. I. 8. fl dkilerden hngisinde flekiller iririnin ötelemeli ns ms d r? II. ) ) III. IV. V. ) ) Yukrıdki kplmlrın kç tnesi düzgün kplmdır? ) ) ) ) ) ). Yukrıdki rı düzgün kplmd kç frklı çokgen kullnılmıştır? ) 7 ) ) ) ) 9. º 7. P Q Yukrıdki rı düzgün kplmd şğıdki dönüşümlerden kç tnesi kullnılmıştır? I. Öteleme II. ike nsım III. Yt nsım IV. Ötelemeli nsım V. Yrı dönme ) ) ) ) ) Yukr dki flerit süslemenin fllng ç motifi tepe çısı oln lt n üçgendir. PQ = 8 irim oldu un göre, fleklin çevre uzunlu u kç irimdir? ) + ) + ) + ) + ) S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

231 ÖNÜfiÜMLRL GMTR fllik u eflli e ç kenr ç (.K..) eflli i denir. üzlemde öteleme, dönme, ns m d unlr n irkç n n ir rd kulln lms ile p ln dönüflümlere izometri dönüflümleri denir. u dönüflümler sonucund olufln ir flekle u fleklin simetri i (efli) denir. ile eflittir. ( ) Yukr dki üçgeninin orijin etrf nd 90 döndürülmesi ile olufln üçgenleri efl üçgenlerdir. Kenr Kenr Kenr fllik Teoremi ki üçgen rs nd p ln ireir efllemede krfl l kl kenrlr efl ise, u üçgenler efltir. u eflli e kenr kenr kenr (K.K.K.) eflli i denir. ÖRNK Kenr ç Kenr fllik ksiomu [] [] [] [] = irim = irim = ki üçgen rs ndki p ln ireir efllemede krfl l kl kenrlr ve u kenrlr n rs ndki ç lr efl ise u iki üçgene efl üçgenler denir. u eflli e kenr ç kenr (K..K) efllik ksiomu denir. un göre, uzunlu unu ull m. P =, = ve m() = m() oldu undn üçgenler efltir. ç Kenr ç fllik Teoremi ki üçgen rs nd p ln ireir efllemede u üçgenlerin krfl l kl ikifler ç lr ve u ç lr n ortk oln kenrlr efl ise u iki üçgen efltir. = P ve [P] [P] olck flekilde P nokts elirleip,, P do rusl n oluflturl m. ölece ile P efl üçgenleri elde edilir. (.K.) u durumd = P = irim olup uzunluklr erine z l rs uzunlu u pisgor nt s ile irim ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

232 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK eflkenr üçgen eflkenr üçgen = irim = irim m+n n + m + m+n n un göre, üçgeninin ln n ull m. = olck şekilde [] üzerinde noktsı elirleelim. u durumd, hem üçgeninin ikizkenr olduğu hem de ile üçgenlerinin eş olduğu görülür.(k..k) Gerekli çılr erlerine zılırs β = θ olur. ÖRNK 0º 0º kre m() = 0 0º 0º m() = º = irim, = irim olsun. m() = m() oldu undn ve üçgenlerinin efl üçgenler oldu u görülür.(k..k) ölece = = irim olur. ol s l = 0 irim olup, () =..0 = 0 r ulunur. un göre, çısının ölçüsünü ull m. 0º 7º 7º ÖRNK K º K üçgen = α + β = 80 7º 7º ve noktlrındn [] e dikme indirildiğinde K ve üçgenlerinin eş olduğu görülür. (K..K) ölece = = irim olup u durum üçgeninin ikizkenr olduğunu gösterir. un göre, β n n θ cinsinden eflitini ull m. olısıl çısının ölçüsü 0 ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

233 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK 0º 0º 0º un göre, ornını ull m. üçgen m() = 0 m() = 0 m() = 0 0º 0º 0º 0º = = irim olsun. 70º 80º 80º 0º = olck şekilde ir noktsı seçelim. 80º K H 0º 0º 0º 0º 0º 0º 0º = olck şekilde,, doğruslını çizelim. 80º ölece ile eş üçgen olup, (K..K) m() = 0 ulunur. ölece m() = 0 ulunur. ÖRNK 7 0º üçgen = m() = 0 [H] [] ve [K] [K] olck şekilde seçilen K ve H noktlrı ile H ve K eş üçgenler(.k.) olup istenen orn dir. 0º 0º m() = 0 m() = 0 = = un göre, in türünden değerini ullım. ÖRNK eşkenr üçgen = m() = 0 0º 0º 0º 0º H 70º 0º un göre, çısının ölçüsünü ull m. [] [] olck şekilde noktsı seçelim. u durumd ile H üçgenlerinin eş olduğu görülür. (.K.) hlde = ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

234 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK 8 [] [] [] [] = = 0º 0º 0º üçgeninde eş üçgenini çizelim. (K..K) un göre, çısının ölçüsünü ull m. u durumd ir eşkenr üçgen ve ir 0, 0, 90 üçgeni olur. hlde = irim ulunur. [H] [H] olck şekilde H noktsı seçelim. ölece, ile H eş üçgenleri elde edilir. (.K.) H ÖRNK 0 K kre [K] [K] = K = irim K = irim Verilenlere göre, K + K toplmını ullım. hlde m() = ulunur. ÖRNK 9 eşkenr üçgen [] [] = irim = irim Verilenlere göre, uzunluğunu ullım. T L M K dik üçgeni diğer köşelere şekildeki gii tşınırs KLTM kresi elde edilir. u durumd K = T olup K + K toplmı u krenin köşegen uzunluğu olup 8 irim ulunur. K 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

235 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK 8 8 0º 0º üçgen = = 8 irim m() = 0 m() = 0 S S P 8 = {P} olsun. ölece, ile P eş üçgenlerdir. (K..K.) K S Verilenlere göre, uzunluğunu ullım. (K) =. = 8 r ulunur. 8 0º K T 0º 8 [K] ve [T] dikmeleri çizilirse ve K ile T eş üçgenleri elde edilir. (.K..) ÖRNK 8 kre [] [] = = 8 irim hlde = 8 irim ulunur. Verilenlere göre, üçgensel ölgesinin ln n ullım. ÖRNK K 8 prlelkenr [K] [] = = = 8 irim K = irim Verilenlere göre, K eşgensel ölgesinin lnını ullım. T = {T} olsun. 8 hlde, ile T eş üçgenlerdir. (K..K.) () = = r ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

236 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK 8 dörtgen [] [] [] [] [] [] = = 8 irim = irim Verilenlere göre, üçgensel ölgesinin ln n ullım. K H [K] [] dikmesi ile [H] [H] olck flekilde,, H do rusl n çizelim. ölece, K ile H üçgenlerinin efl oldu u görülür. (K..K.) hlde, K = H olup, u durum [] nin ç ort oldu unu gösterir. H m() = ulunur. 8 ÖRNK [H] dikmesi ile üçgenine eş (.K..) oln H dik üçgeni elde edilir. (, ) olısıl = H = irim olup, () =. = r ulunur. Yukr dki nlitik düzlemde dörtgensel ölgesinin ln n ull m. ÖRNK dik üçgen [] [] = Verilenlere göre, ç s n n ölçüsünü ullım. (, ) [] ve [] olck flekilde ve noktlr ile kresi, ve efl üçgenleri elde edilir. (.K.) ölece, () = () = r ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

237 fil K TST. P R Y X. 0 üçgen = [] [] = irim m() = 0 Z T K 0 m() = 0 Yukrıd ir kenrı [PR] oln üçgenin diğer köşesi şğıdki noktlrdn hngisi olurs üçgenine eş olur? un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) ) X ) Y ) Z ) T ) K. (, ). üçgen = (, 0) (, 0) 0 m() = 0 m() = m() = 00 un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 Yukr dki dik koordint sisteminde üçgeninin köflesi etrf nd stin tersi önde 90 dönmesi ile elde edilen üçgenin köflesinin koordintlr toplm kçt r? ) ) 0 ) ) ). un göre, m() kç derecedir? eflkenr üçgen m() = m() = irim = irim = irim = irim ) 90 ) 0 ) 0 ) ) 0. K kre m() = m() m(k) = m() = irim = irim K = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) 7 ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

238 fil K TST 7. 7 dörtgen [] [] [] [] [] [] = = 7 irim = irim 0. (0, ) (, 0) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 un göre, dikdörtgeninin köşesinin koordintlrı çrp mı kçtır? ) ) ) ) 7 ) 8 8. (, ) (, ) Yukr dki koordint sistemindeki kresinin nokts n n koordintlr çrp m kçt r? ) ) ) 0 ) ) 8. T üçgen m() = 0 = = = T = T un göre, m(t) kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 9. ve eşkenr üçgen = irim. 0º eflkenr üçgen [] // [] m() = 0 = un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8 un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) )

239 fil K TST. eflkenr üçgen. kre = K [] [] = {} = [K] [] = {} K = irim = irim K un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) 7 un göre, () kç r dir? ) ) 7 ) 80 ) 8 ) 9. konkv dörtgen = [] [] [] [] = irim = irim un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) 0 ) ) 0 ). 7 konkv eşgen [] [] [] [] [] [] = 7 irim = irim = un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) 8. K kre = [] [] = {K}. kre = [] [] () = r un göre, m(k) kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) 0 ) 90 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

240 fil K TST 7. dik üçgen dik üçgen [] [] [] [] m() = = = = (+) = (+7) = (+) = irim m() = m() un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 un göre, + toplmı kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) 8 8. üçgen = irim = irim =,, doğrusl. üçgen [] [] = {} [] [] = = un göre, noktsının koordintlrı toplmı kçtır? ) ) ) ) ) un göre, m() kç derecedir? ) 80 ) 8 ) 90 ) 9 ) eşkenr üçgen m() = = =. 0 üçgen m() = 0 m() = 0 = = = un göre, m() kç derecedir? ) 70 ) 7 ) 80 ) 8 ) 90 un göre, m() kç derecedir? ) ) 0 ) ) 70 ) 7 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

241 fil K TST. K kre m(k) = m() = irim K = irim = irim = irim. kre (, ) un göre, m() kç derecedir? ) 90 ) 0 ) 0 ) ) 0 un göre, nlitik düzlemde verilenlere göre, köşesinin koordintlrı toplmı kçtır? ) ) ) ) ). kre (, ) un göre, nokts n n koordintlrı şğıdkilerden hngisidir? )(0, ) ) (0, ) ) (0, ) ) (0, ) ) (0, ). K kre m(k) = K = un göre, m(k) kç derecedir? ) ) ) 8 ) 0 ). [] [] = (, ). = [] [] (, 0) (, n),, doğrusl un göre, dörtgensel ölgesinin lnı kç irim kredir? ) ) ) ) 0 ) 8 un göre, noktsının ordintı kçtır? ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

242 fil K TST 7. 0º 0º 0º üçgen = m() = 0 m() = 0 m() = 0 = = 0. Yndki üçgenler efltir. un göre, m() kç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 (, 0), (0, ) oldu un göre, nokts n n koordintlr toplm kçt r? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 8. kre (, 0) (0, ). 8 0º eflkenr üçgen m() = 0 [] // [] = 8 irim = irim = irim ik koordint sistemindeki verilere göre, noktsının koordintlrı toplmı kçtır? ) ) 0 ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 9. nlitik düzlemde kre (, 0) (0, ). 0 0 üçgen m() = 0 m() = 0 = = irim un göre, noktsının psisi kçtır? ) ) ) ) ) 7 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

243 ÖNÜfiÜMLRL GMTR üzlemde M sit ir nokt ve k ir reel s ol- mk üzere; ÿ HMTT (Homothet) P = M + k.(p M) eflitli ini s ln P nokts n P noktsının M merkezli ve k ornl homoteti i denir. ÿ H : R R P = H(P) = M + k. (P M) dönüflümüne P nokts n n M merkezli ve k ornl homoteti dönüflümü denir. ÖRNK üzlemde (, ) nokts n n M(, 7) merkezli ve k = ornl homoteti ini ull m. rnn nokt olsun. = M + k( M) = (, 7) + (7, ) = (, ) ölece, H() = = olur. Prtik ilgi M P P MP = k. MP k = ornl homoteti ile fleklin d noktn n kendisi elde edilir. ÖRNK üzlemde T(, 8) nokts n n M(, ) merkezli ve k = ornl homoteti ini ull m. ÖRNK üzlemde P(, ) nokts n n M(, ) merkezli ve k = ornl homoteti ini ull m. rnn nokt olsun. M(, ) T(, 8) M(, ) P(, ) P M = MT olup rnn nokt M ile T noktlr n n ort nokts d r. ölece; MP =. MP P M =.(P M) P (, ) =. (, ) P = (8, ) ulunur. M= (T M) (, ) = (,0) 9 = d, n olup 9 H(T) = d, n ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

244 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK ÖRNK M Yukr dki flekilde [] do ru prçs n n M merkezli ve k = ornl homoteti ini ull m. M fiekildeki kresinin merkezli ve k = ornl homoteti ini ull m. M =. M [ ] do ru prçs [] do ru prçs n n M merkezli ve k = ornl homoteti idir. ÖRNK M üçgeninin M merkezli ve k [, ] ornl homoteti ini ull m. kresi kresinin merkezli ve k = ornl homoteti idir. Yukr d; =., =., =. dir. NT : M M =. M, M =. M, M =. M lufln flekil ir kesik pirmittir. üzlemde M merkezli k ornl homoteti sonucund elde edilen flekilde, k = ise fleklin kendisi 0 < k < ise fleklin(k orn nd) küçültülmüflü k > ise fleklin (k orn nd) üütülmüflü elde edilir. k < 0 ise fleklin ters önde üütülmüşü, küçültülmüşü d kendisi elde edilir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

245 ÖNÜfiÜMLRL GMTR + şğıdki homotetileri inceleiniz. P Q K L [] : [] nin merkezli k = ornl homoteti idir. [] : [] nin merkezli k = ornl homoteti idir. [KL] : [] nin merkezli k = ornl homoteti idir. [] : [] nin merkezli k = ornl homoteti idir. Homoteti dönüşümü uzunluklrı değiştirir, çıü ü lrı korur. M merkezli ve ornlrı k, k oln iki homotetinin ileşkesi, M merkezli ve k. k ornlı homoteti dönüşümüdür. ir şekle öteleme, dönme, nsım ve homoü NT : teti dönüşümlerinin ileşkeleri ugulnrk elde edilen şekle ilk şeklin enzeri denir. enzerlik ornı d kullnıln homotetilerin ornlrının çrpımıdır. [KL] : [] nin merkezli k = ornl homoteti idir. [] : [] nin merkezli k = ornl homoteti idir. [PQ] : [] nin merkezli k = ornl homoteti idir. nokts : nokts n n merkezli k = ornl homoteti idir. nokts : nokts n n merkezli k = ornl homoteti idir. nokts : nokts n n merkezli k = ornl homoteti idir. nokts : nokts n n merkezli k = ornl homoteti idir. noktsı : noktsının merkezli ve k = ornlı homotetiğidir. noktsı : noktsının merkezli ve k = ornlı homotetiğidir. noktsı : noktsının merkezli ve k = ornlı homotetiğidir. ÖRNK 7 Yukr d l do rusu üzerinde eflit rl klrl s rlnm fl,,,, noktlr için fl- dkllerden kç tnesi do rudur? I. nokts, nokts n n merkezli ve k = ornl homoteti idir. II. nokts, nokts n n merkezli ve k = ornl homoteti idir. III. nokts, nokts n n merkezli ve k = ornl homoteti idir. IV. nokts, nokts n n merkezli ve k = ornl homoteti idir. V. nokts, nokts n n merkezli ve k = ornl homoteti idir. fiekil dikktlice incelenirse I, II, III ve IV. önermeler do ru, V. önerme nl flt r. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

246 ÖNÜfiÜMLRL GMTR + şğıdki homoteti görsellerini inceleip homoteti merkezleri ve ornlr n thmin etmee çl fl n z. º» ¼ S ¹ ½ 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

247 HMTT TST. P nokts n n M merkezli ve k ornl homoteti i oln nokt T oldu un göre, fl dkilerden hngisi do rudur? ) T = P + k(m P) ) T = M + k(p M) ) T = K + k(m + P) ) T = P + k(p M) ) T = k + M P. nlitik düzlemde P(, 8) nokts n n M(, ) merkezli ve k ornl homoteti i T(, 0) nokts oldu un göre, k kçt r? 7 9 ) ) ) ) ). nlitik düzlemde, P(, ) nokts n n M(, ) merkezli ve k = ornl homoteti i fl- dkilerden hngisidir? ) (8, ) ) (, ) ) (8, ) ) (, ) ) (, ). nlitik düzlemde T(, ) nokts n n M(, ) merkezli ve k = ornl homoteti i (, 9) oldu un göre,. kçt r? ) ) 8 ) 0 ) ). nlitik düzlemde P( 8, ) nokts n n orijin merkezli ve k = ornl homoteti i fl- dkilerden hngisidir? ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) ) (, ) 7. nlitik düzlemde 8 irim uzunlu undki do ru prçs n n k = ornl homoteti inin uzunlu u kç irimdir? ) 8 ) 0 ) ) ). nlitik düzlemde P(, ) nokts n n M(p, t) merkezli ve k = ornl homoteti i (, 8) nokts oldu un göre, p + t kçt r? ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 8. nlitik düzlemde (, ) nokts n n (, ) merkezli homoteti i ( 9, n) oldu un göre, n kçt r? ) ) ) ) 7 ) 8 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

248 HMTT TST 9. nokts n n merkezli ve k = ornl homoteti i nokts, nokts n n merkezli ve k = ornl homoteti i nokts d r. un göre, + toplm kçt r? ) ) ) ) ). Uzunluklr de ifltiren dönüflüm fl dkilerden hngisi olilir? ) Ötelemeli ns m ) Yt ns m ) öndürme ) Öteleme ) Homoteti. 0. nokts n n merkezli ve k ornl homoteti i nokts ise k orn kçt r? ) ) ) ) ) Yukr dki zeminde üçgeninin merkezli ve k = ornl homoteti i ( üçgeni) fl dkilerden hngisidir? ) ). rnlr ve oln efl merkezli iki homoteti dönüflümüne u rn ir üçgenin ilk hlinde çevresi irim oldu un göre, son hlinde çevresi kç irimdir? ) 7 ) 0 ) 0 ) 0 ) ) ). nlitik düzlemde irim uzunlu undki ir do ru prçs n n k = ornl homoteti inin uzunlu u kç irimdir? ) ) 8 ) 0 ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

249 ÖNÜfiÜMLRL GMTR TST. prlelkenr. [] köflegen = M Yukr d nokts n n merkezli ve k ornl homoteti i oldu un göre, k kçt r? ) ) ) ) ) Yukrıdki zeminde noktsın n M merkezli ve k ornlı homotetiği noktsı olduğun göre, k ornı kçtır? ) ) ) ) ). (, ) (, ) üçgen [] // [] (, ) (, ). ir üçgeninin ğırlık merkezi G olsun, G noktsının merkezli k = ornlı homotetiği G noktsının merkezli k = ornlı homotetiği Yukrıd noktsının merkezli ve k = ornlı homotetiği nokts oldu un göre, noktsının koordintlrı toplmı kçtır? ) ) ) ) ) 7 G noktsının merkezli k = ornlı homotetiği olduğun göre, Ç() ornı kçtır? Ç() ) ) ) ) ) 9. rnlrı ve oln nı merkezli iki homotetinin ileşkesinin k ornı kçtır?. ir üçgeninin merkezli ve k = ornlı homotetiği ı ı ı olduğun göre, () ) ) 9 ) 9 ) 8 ) ornı kçtır? ( ı ı ı ) ) ) ) 9 ) ) 9 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

250 ÖNÜfiÜMLRL GMTR TST 7. üzlemde sıfırdn frklı ir noktsının orijin etrfınd α derecelik çı ile dönmesi, u noktı orijin merkezli ve k ornlı homotetiğine götürmektedir. 0. X Z Y P T un göre, α ve k için şğıdkilerden hngisi doğrudur? α k ) 90 ) 90 ) 80 ) 80 ) merkezli ve rıçp uzunluğu irim oln Ç çemer ı ile u çemer ının merkezli Yukrıd [] nın homotetiği [] ise homotetinin merkezi ve ornı için şğıdkilerden hngisi doğrudur? Homoteti merkezi Homoteti ornı ) X ) Y ) Z ) T ) P ve k = ornlı homotetiği oln Ç çemeri çizilior. un göre, Ç ile Ç çemerleri rsınd kln ölgenin lnı kç r dir? ) π ) 0π ) π ) 8π ) π. Köşelerinin koordintlrı, (, ), (, 7), (, ) oln üçgeninin orijine göre k = ornlı homotetiği oln ı ı ı üçgensel ölgesinin lnı kç r dir? ) 7 ) 0 ) ) ) 8 9. M. (, 7) noktsının (, ) noktsı etrfınd 80 döndürülmesi ile elde edilen nokt ise fl dkilerden hngisi do rudur? üçgeninin M merkezli ve k ornlı homotetiği ı ı ı üçgeni olduğun göre, k kçtır? ) ) ) ) ) ) nokts nokts n n merkezli ve k = ornl homoteti idir. ) nokts nokts n n merkezli ve k = ornl homoteti idir. ) nokts nokts n n merkezli ve k = ornl homoteti idir. ) nokts nokts n n merkezli ve k = ornl homoteti idir. ) nokts nokts n n merkezli ve k = ornl homoteti idir. 0 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

251 ÖNÜfiÜMLRL GMTR RKTL ir fleklin ornt l olrk küçültülmesi d üütülmesi ile oluflturuln örüntülere frktl denir. ÿ ir frktl n oluflturulms için frktl n fllng ç fleklinin ve motif oluflturm kurl n n verilmesi gereklidir. fl d ir eflkenr üçgeninin kenrlr n n ort noktlr irlefltirilerek olufln frktlı inceleiniz. ÖRNK Görüntüsü ile 90, Y, Y Y dönüflümleri ugulrk frktl oluflturl m. Verilen görüntüü orn nd küçülterek kopll m. ÿ rktllr n görüntüsü oluflturulduktn sonr orn nd küçültülüp koplr l nrk ine frktllr n kendisini oluflturck içimde dönüflümler kulln l r. u dönüflümler s üst kutu dim ofl klck flekilde s rs nd kodln r. lufln görüntüleri 90, Y, Y Y dönüflümleri ile tekrr oluflturl m. 90º 90º dönme ike eksene göre ns m lufln görüntü tekrr kopln r. u kutu her zmn ofl kl r Y Y Yt eksene göre ns m orn nd küçültülüp ÿ rktl oluflturck dönüflümler için fl dki kodlr kulln l r. K Kendi görüntüsü 90º 80º St önünün tersine 90º dönme St önünün tersine 80º dönme n flekilde ine 90, Y, Y Y dönüflümleri uguln r. 90º 90º dönme 70º Y Y Y ike eksene göre ns m Y Y Yt eksene göre ns m St önünün tersine 70º dönme Yt ns m (Yt eksene göre) ike ns m (ike eksene göre) u flekilde istedi imiz kdr u ifllemlere devm edeiliriz. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

252 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK ÖRNK Görüntüsü ile Y Y, Y, 90 dönüflümleri ugulrk frktl oluflturl m. Görüntüsü ile 80, 70, K dönüflümleri ugulrk frktl oluflturl m. Verilen görüntüü orn nd küçülterek kopll m. Verilen görüntüü orn nd küçülterek kopll m. lufln görüntüleri Y Y, Y, 90 dönüflümleri ile tekrr oluflturl m. lufln görüntüleri 80, 70, K dönüflümleri ile tekrr oluflturl m. Y Y Yt eksene göre ns m Y ike eksene göre ns m lufln görüntü tekrr kopln r. 90º 90º dönme orn nd küçültülüp 80º st önünün tersine 80º dönme 70º st önünün tersine 70º dönme lufln görüntü tekrr kopln r. Kendi görüntüsü orn nd küçültülüp lufln görüntüleri Y Y, Y, 90 dönüflümleri ile tekrr oluflturl m. Y Y Yt eksene göre ns m ike eksene göre ns m 90º 90º dönme u flekilde istedi imiz kdr u ifllemlere devm edeiliriz. lufln görüntüleri 80, 70, K dönüflümleri ile tekrr oluflturl m. 80º st önünün tersine 80º dönme 70º st önünün tersine 70º dönme Kendi görüntüsü u flekilde istedi imiz kdr u ifllemlere devm edeiliriz. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

253 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK z rktllr: Motif Yukr d verilen motif önce orn nd küçültülüor sonr z dönüflümler ugulnk n ndki flekil elde edilior. Yp ln dönüflümler fl dkilerden hngisidir? Sol üst köfle Sol lt köfle S lt köfle ) ike ns m Yt ns m 90 lik dönme ) Yt ns m ike ns m Yt ns m ) ike ns m Yt ns m Yt ns m ) ike ns m 90 lik dönme Yt ns m ) 90 lik dönme 90 lik dönme Yt ns m Motif ve olufln flekil dikktlice incelenirse; ike ns m ile 90º dönme ile Yt ns m ile evp: 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

254 ÖNÜfiÜMLRL GMTR 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

255 RKTL TST.. fiekil I fiekil II I. II. III. fiekil III fiekil IV Yukr dki frktld irinci fleklin iki tne ucu vrd r. Yukr dki frktld IV. flekil erine fl dkilerden hngisi gelmelidir? rktl devm ettirilirse lt nc flekilde kç tne uç olur? ) ) ) ) 7 ) 8 ) ). fl dkilerden hngisi frktl de ildir? ) ) ) ) ) ) ) ).. Yukr dki ilk üç d m verilen frktl n. d m nd kç tne kre vrd r? ) ) 79 ) 8 ) 0 ) Yukr dki örüntünün ir sonrki d m fl- dkilerden hngisidir? ) ). ) ) Yukr d verilen frktl örne ine göre, ir sonrki flekil kç ölgee r lml d r? ) ) 0 ) 8 ) ) 9 ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı......

256 RKTL TST Yukr dki frktl örne inde IV. flekil fl- dkilerden hngsidir? I. d m II. d m III. d m ) ) ) Yukr dki ilk üç d m verilen frktl örne inin IV. d m fl dkilerden hngisidir? ) ) ) ) ) ) ) 0.???? Yukr dki orn nd dönüflümler ugulnrk elde edilen frktld "?" erine fl dkilerden hngisi gelmelidir? ) ) 8. ) ) Yukr dki frktl örne inde üçgen s lr ile oluflturuln örüntüde s rl,, s lr elde edilmifltir. ) u örüntünün V. fleklindeki üçgen s s fl- dkilerden hngisidir? ) ) 0 ) 9 ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

257 RKTL TST.. fl dkilerden hngisi frktld r? ) Yukr d. d m verilen frktl n. d m nd kç Y hrfi vrd r? ) ) ) ) ) 7 ) 8. ). d m. d m. d m Yukr d verilen frktl n. d m ndki küçük kre s s kçt r? ) 0 ) ) ) ) 0 ) ). fl dkilerden hngisi frktl de ildir? ). ) ) ) ) Yukr d ilk üç d m verilen frktl örne inde krelerin kenrlr orn nd küçültülerek ir sonrki d m oluflturuluor. un göre, V. d md olufln flekilde en üük krenin çevresinin en küçük krenin çevresine orn kçt r? ) ) ) ) 8 ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

258 RKTL TST. 8.. d m. d m. d m. d m I. d m III. d m Yukr d I. ve III. d m verilen örüntünün II. d m fl dkilerden hngisidir? ) ) Yukr d verilen örüntüe göre,. d mdki dire s s kçt r? ) ) 0 ) ) 9 ) 8 9. ) ) Yukr d ilk üç d m verilen örüntünün IV. d m fl dkilerden hngisidir? ) ) ) ) ) ) 7. fl dkilrden hngisi ir frktl örne i olmz? ) 0. ) ) Yukr dki örüntünün ir sonrki d m nd çizilmesi gereken flekil fl dkilerden hngisidir? ) ) ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

259 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÜÇGN NZRL K enzerlik rnı enzer iki üçgende krşılıklı kenr uzunluklrın n ornın enzerlik ornı denir. 9 9 = = = (enzerlik ornı) İki üçgenden iri elli ir ornd küçültüldüğünde d üültüldüğünde diğeri elde ediliors u üçgenlere enzer üçgenler denir. ÿ ÿ ir üçgenin elli ir ornd üültülmüşü d küçültülmüşü u üçgenin enzeridir. ir üçgenin elli ir ornd üüttüğümüzde d küçülttüğümüzde kenr ornlrı elli ir ornd rtr d zlır, nck çılr değişmez. 0 8 enzer İki Üçgende; Krşılıklı kenrortlrın uzunluklrı ornı, enzerlik ornın eşittir. Krşılıklı çıortlrın uzunluklrı ornı, en- zerlik ornın eşittir. Krşılıklı üksekliklerin uzunlunlıklrı ornı, enzerlik ornın eşittir. Krşılıklı çevrelerin uzunluklrı ornı, en- zerlik ornın eşittir. Krşılıklı iç teğet çemerlerin rıçplrı ornı, enzerlik ornın eşittir. Krşılıklı dış teğet çemerlerinin rıçplrı ornı, enzerlik ornın eşittir. Krşılıklı çevrel çemerlerinin rıçplrı ornı, enzerlik ornın eşittir. lnlr ornı enzerlik ornın kresine eşittir. ü ü ü ü ü ü ü ü ve enzer iki üçgen fl dki enzer üçgenleri ele llım. P S ve c 8 Q c R T M u üçgenlerin enzerlik ornı olup, PQR TMS şğıdki sonuçlr zılilir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

260 ÖNÜfiÜMLRL GMTR V V d V V d = eşleflmesinde = ve m() = m() ise ve enzer iki üçgendir. u enzerik şeklinde gösterilir. n n n n = 8 ÖRNK h h d h h d = üçgen = irim = irim = irim 8 ¹ un göre, ornını ull m. r 8 r r r = º 8 R R R R = ve üçgeninde ortk oln çı dir. Kenr çı Kenr enzerlik ksiomu İki üçgen rsınd pıln ireir eşlemede, krşılıklı iki kenrın uzunluklrı ornı n ve u kenrlr rsınd kln çılr eş ise iki üçgen enzerdir. u enzerliğe K.. K. (Kenr çı Kenr) enzerkik ksiomu denir. m() = m() ve 9 = = olduğundn (K..K.) enzerlik ksiomu gere ince zılilir. u durumd = ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

261 ÖNÜfiÜMLRL GMTR Kenr Kenr Kenr (K.K.K.) enzerlik Teoremi İki üçgen rsınd pıln eşlemede krşıklı kenrlrın uzunluklrı orntılı ise u üçgenler enzerdir. un K.K.K. enzerlik teoremi denir şğıdki örnekleri inceleiniz ç ç ç (...) enzerlik Teoremi ki üçgen rs nd p ln efllemede krfl l kl ç lr efl ise u üçgenler enzerdir. u teoreme ç ç ç enzerlik teoremi denir // ise 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

262 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK dik üçgen dik üçgen [] [] = {} = irim = irim un göre, üçgensel ölgesinin ln n ull m. G 9 9 üçgeninde [] kenrort çizilirse, = = = 9 irim olur. G rl k merkezi oldu undn, G = irim ve G = irim olur. G ~ oldu undn, G = = irim ulunur. =, = dielim. Gerekli ç lr z ld nd, ve üçgenleri enzer olur. enzerlik z l rs, = &.= olur. üçgeni tn uzunlu u irim, üksekli i irim oln genifl ç l ir üçgen olup,. () = = = r ulunur. ÖRNK un göre, uzunlu unu ull m. P üçgen = = = irim ÖRNK nokts ndn [] n dikme indirildi inde, 8 dik üçgen üçgen [] kenrort = = 8 irim P = P olup, P = P oldu u görülür. ölece tles teoremi ile, P = & = eflitli inden, P Verilenlere göre, uzunlu unu ull m. = irim ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

263 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK üçgen üçgen [] ç ort [] // [] () = r P 8 8 un göre, orn n ull m. () = r = P olck flekilde P,, do rusl n elirleelim. u durumd, P üçgeninin ikizkenr üçgen oldu u görülür. ölece P P (..) olup enzerlikten, ile nin üksekleri eflit oldu undn, () = = tür. () 8 & 8+ = = 8(8 + ) eflitli i ile, = = 0 irim ulunur. ÖRNK 7 [] // [] oldu undn tles teoremi ile, = = olup, k k nde ç ort teoremi ile, 7 üçgen m() = m(),, do rusl = irim = 7 irim = irim un göre, uzunlu unu ull m. ÖRNK = = ulunur. P 7k 7 7 k T üçgen,, P do rusl olck flekilde P seçelim. 8 m() = m() = 8 irim = irim [T] ve [P] dikmeleri ile, T ve P üçgenleri enzer olur. un göre, uzunlu unu ull m. = irim eflitli i z lilir. ol s l, = irim ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

264 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK 8 8 üçgen m() = m() = = irim = 8 irim 8º 8º º º K T º 8º H P º un göre, uzunlu unu ull m. [HP] // [K] olck flekilde P [] nokts seçersek K üçgeninde tles teoremi ile ( d ort tndn) HP = irim olup, + + Gerekli ç lr erlerine z l rs HP üçgeninin ikizkenr üçgen oldu u görülür. ölece, H = irim ulunur ÖRNK 0 ir dik üçgende, hipotenüse it kenrort n uzunlu u hipotenüs uzunlu unun r s kdr olup [] kenrort çizilip gerekli ç lr z l rs ve lerinin enzer oldu u nlfl l r. (..) 8 enzerlik z lrk = eflitli inden, = = irim ulunur. 8 üçgen,, do rusl m() = m() = = 8 irim un göre, uzunlu unu ull m. ÖRNK 9 8 8º T H K º m() = m(k) = üçgen [H] [] m(h) = m(h) K = 8 irim un göre, H uzunlu unu ull m. 8 [] // [] olck flekilde [] nokts seçersek, öndefllikten ve ç lr efl olup, = ulunur. nde Tles teoreminden, = irim ulunur. = ile 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

265 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK 8 º K dik üçgen [] [] [] [] m() = = 8 irim = irim = irim un göre, K uzunlu unu ull m. 8 º º º [] n n merkezli ve k = ornl homoteti i [] ise = dir. k oldu undn, Tles teoremi gere ince, hlde, = dir. k = = olup, dir. º º K 8 K 8 = 9 irim = irim ve = irim ulunur. K = dielim. ç lr z l rs, K olup, enzerlikten, = =. 8 olup, 8 K = = 9 irim ulunur. Prtik ilgi ÖRNK // // = 9 irim [] n n merkezli ve k = ornl homoteti i // // ise = + ve = dir. : ile nin r hrmoni idir. [] oldu un göre, nin uzunlu unu ull m. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

266 ÖNÜfiÜMLRL GMTR tkinlik Zmn RU YNLIfi Y. Krfl l kl kenrlr ornt l oln üçgenler enzerdir.. Krfl l kl ç lr ornt l oln üçgenler enzerdir.. enzer iki üçgende çevreler orn enzerlik orn n verir.. Tn uzunluklr eflit oln iki ikizkenr üçgen enzerdir.. ki ç s efl oln üçgenler enzerdir Prlel iki do ru kesiflen iki do rul kesildi inde olufln üçgenler enzerdir. ir dik üçgende dik oln köfleden hipotenüse çizilen dikme tne enzer üçgen oluflturur. Krfl l kl kenrlr prlel oln iki üçgen enzer olmilir. Krfl l kl iki kenr ornt l oln üçgenler enzerdir irer dr ç s efl oln iki dik üçgen enzer olmilir. ir üçgenin herhngi iki kenr n n ort noktlr irlefltirilirse enzer iki üçgen oluflur. enzer iki üçgenin çevreleri orn lnlr orn n eflittir.. ki eflkenr üçgen enzerdir.. ki kre enzerdir.. ki çemer enzerdir.. 7. Kenr s s n oln iki düzgün çokgen enzerdir. ki ikizkenr üçgen enzerdir Tüm dik üçgenler enzerdir. enzer iki üçgenin ç lr orn enzerlik orn n eflittir. 0.. rktl, kendini tekrr eden enzer p lrd r. ir frktl n oluflturulms için fllng ç fleklinin ve motifinin oluflturm kurl n n verilmesi gerekir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

267 NZRL K TST. üçgen m() = m() = irim = irim = irim = irim. K N + un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 9 ) 0 ) ) ) üçgen, üçgen, [K] ç ort, / / / / [N] ç ort, m() = m( ), m( ) = m( ) Ç() = Ç() un göre, N uzunlu u kç irimdir? ) ) ) 9 ) ). I. ki do ru prçs enzerdir. II. ki kre enzerdir. III. ki eflkenr üçgen enzerdir. IV. ki dik üçgen enzerdir. V. ki ikizkenr üçgen enzerdir. VI. ki çeflitkenr üçgen enzerdir. un göre, ukrıdki önermelerden kç tnesi dim do rudur? ) ) ) ) ). üçgen m() = m() K = K K K = K = = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. 8 üçgen üçgen m() = m() m() = m() = irim = irim = 8 irim. dik üçgen [] [] = irim = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

268 NZRL K TST 7. eflkenr üçgen m() = 0 = irim = irim 0. 7 dik üçgen dik üçgen [] [] = irim = 7 irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) 8 ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) H 9 dik üçgen dik üçgen H dik üçgen = irim = 9 irim = 9 irim. üçgen [] [] [] [] = = irim = irim un göre, H uzunlu u kç irimdir? un göre, m() kç derecedir? ) ) ) ) ) 7 ) ) 0 ) ) 0 ) 7 9. üçgen dik üçgen [] [] = = irim = irim = irim. 9 dik üçgen dik üçgen m() = m() = 9 irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 7 )8 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

269 NZRL K TST. 8 7 üçgen [] [] = = 8 irim = 7 irim = 7 irim. 8 8 üçgen = irim = 8 irim = 8 irim = irim = irim 7 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) 8 un göre, ) ) orn kçt r? ) ) ). üçgen. dik üçgen m() = m() () = 9 r () = r = irim º m() = = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? un göre, orn kçt r? ) 8 ) 7 ) ) ) ) ) ) ) ) 7. K üçgen m() = m() K = K [] ç ort = irim. K 7 dik üçgen [] çıort [K] ç ort [] [] = 7 irim = irim un göre, K orn kçt r? un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) ) ) ) 7 ) 7 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

270 NZRL K TST 7. üçgen [] ç ort [] ç ort [] [] = = irim 0. 8 dik üçgen = = irim = 8 irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 0 ) ) ) ) 8. H º dik üçgen [H] [H] m() = = H = irim. 8 9 m() = m() = irim = 8 irim = irim = 9 irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 8 ) 0 ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 7 ) 8 ) 0 ) 9. üçgen üçgen [] // [] // [] = irim. üçgen m() = m() = irim = irm nokts n n merkezli ve k = 7 ornl homoteti i nokts oldu un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) 8 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

271 NZRL K TST. K P Q R L üçgen [] [] [K] [] [L] [] PR = irim QR = irim PQ = irim = irim. N K L M üçgen [L] [] [K] [] [MN] [] Ç() = 8 irim = irim KM = irim un göre, + toplm kç irimdir? ) 8 ) 0 ) ) ) 0 un göre, Ç(KLM) kç irimdir? ) ) ) ) 8 ) 0. 0 dörtgen [] [] [] [] = = 0 irim = irim. üçgen [] [] = = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ). üçgen. üçgen m() = m() () = () 8 = irim K 8 m(k) = m(k) m() = m() K = irim K = 8 irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) un göre, K uzunlu u kç irimdir? 7 9 ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

272 NZRL K TST 7. K dik üçgen K dikdörtgen = irim = irim = 0. üçgen [] // [] K = K = = irim un göre, orn kçt r? K un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 9 ) 7 8 ) ) 7 ) 0 ) 9 ) 8. ~ ve () = r dir. u enzerli in orn oldu un göre, () kç r olilir? ) ) 0 ) ) 8 ). Köfle koordintlr (0, ), (7, ), (, ) oln üçgeninin orijine göre k = ornl homoteti i oln üçgensel ölgesinin ln kç r dir? ) 7 ) 80 ) 8 ) 9 ) li Mert ütün kreler enzerdir. ütün dikdörtgenler enzerdir.. üçgen m() = m() m() = m() = irim = irim mre enzer iki üçgenin enzerlik orn çevreleri orn n eflittir un göre, uzunlu u kç irimdir? erzerlik konusul ilgili kimler do ru ilgi vermifltir? ) 8 ) 9 ) 0 ) ) ) li mre ) Mert li ) mre Mert ) li ) mre li Mert 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

273 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ik Üçgende Metrik nt lr dik üçgeninde [] [] c h [H] [] ise 7 k p H k k 7 h = p.k = k(k+ p) c = p(p+ k) _ ` nt lr n öklid nt lr denir. ¹ H k 8 Prtik ilgi k º. k H. k k k. k. k H H + şğıdki örnekleri inceleip, ornlr n ns l z ld n nlm çl fl n z.» k H k 0 9k k H H k ¼ H 9k k k 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

274 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK H kre = [H] [] H K un göre, H H ornını ull m. ölece, H H = ulunur. SNUÇLR : Krenin ir kenr uzunluğu irim olsun. H K. k k Kre [K] [] olck şekilde K [] llım. u durumd, dik üçgeninde, = oldu undn, K öklid ğıntısı ile K = olur.. k k H k H K Kre. K = dersek K = olup, k k k H k öklid ğıntısı ile K = olur. K ile H eş üçgenler olup, H = olur. Kre 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

275 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK ÖRNK H dik üçgen [H] [] H = irim H = irim G dik üçgen G rl k merkezi [] [G] G = irim un göre,, H iç çrpımını ull m. Verilenlere göre, uzunlu unu ull m. H G dik üçgeninde öklid nt s ile H = H. H eflitli inden, G rl k merkezi oldu undn, H =. G = irim olur. H = irim ulunur. nde öklid teoremi uguln rs, G =. G = irim ulunur. [] kenrort uzt l rs, H G = irim ve hlde, = = = irim ulunur., H =. H.cos ol s l, = irim olur. =.. = 0 irim ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

276 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK ÖRNK (, ) dik üçgen (, ) dik üçgen [] [] [H] [] = H Verilenlere göre, () nin rl k merkezinin koordintlr n ull m. un göre, orn n ull m. H =, H = dielim. (, ) u durumd = + olup, H 9 (, 0) [H] [] oldu undn öklid teoremini ugulrsk H = H. H =. H H + nde öklid nt s ile, = ( + )... Å H = 9 irim ve dol s l, = irim olur. nde öklid nt s ile, = ( + )... Ç nin köfle koordintlr, (, ), (0, 0) ve (, 0) oldu undn rl k merkezinin koordintlr Å. ve Ç. denklemler trf trf ornln rs, ( + ) = eflitli i ile (+ ) Gd, n = ulunur. 7 Gd, n ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 7

277 K ÜÇGN MTR K INTILR TST. dik üçgen [H] [] H = 9 irim H = irim. dik üçgen [H] [] H = r H = r H 9 H Yukrıdki verilere göre, H kç irimdir? ) ) ) ) ) 8 Yukrıdki verilere göre, kç irimdir? ) 0 ) ) ) ). 8 H dik üçgen [] [] [] [H] [H] [] H = 8 irim = irim = irim H = irim. H dik üçgen [H] [] [] [] = H Yukrıdki verilere göre, H kç irimdir? ) ) ) 0 ) 9 ) 8 Yukrıdki verilere göre, ) ) ) ornı kçtır? H ) ). H dik üçgen [H] [] = 0 irim H = irim. dik üçgen = = irim = irim 0 Yukrıdki verilere göre, kç irimdir? ) ) ) 0 ) ) Yukrıdki verilere göre, kç irimdir? ) ) ) 0 ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

278 K ÜÇGN MTR K INTILR TST 7. H üçgen = [] [] [H] [] H = r = r 0. H 7 üçgen [H] [] m() = m(h) H = 7 irim = irim Yukrıdki verilere göre, H kç irimdir? ), ) ), ) ) 0, Yukrıdki verilere göre, H kç irimdir? ) 7 ) ) 9 ) 8 ) 8. dik üçgen = = H H = irim = irim. dik üçgen [H] [] H = irim H = + irim H H + Yukrıdki verilere göre, H kç irimdir? ) 7 ) ) ) 0 ) Yukrıdki verilere göre, m() kç derecedir? ) 7 ) 0 ) ), ) 9. H dik üçgen [H] [] 9 H = H. merkezli rım çemerde [H] [] [] [] H Yukrıdki verilere göre, ornı kçtır? Yukrıdki verilere göre, ornı kçtır? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

279 K ÜÇGN MTR K INTILR TST. T K H [] çplı rım çemerde [TK] [] [H] [] H = K. H dik üçgen m(h) = m() [H] [] H = irim = irim Yukrıdki verilere göre, T ornı kçtır? ) ) ) ) ) Yukrıdki verilere göre, kç irimdir? ) ) 0 ) ) 8 ) 0. H dik üçgen [] [] H = H H = irim. 9 H dik üçgen [] [] [] [] H = 9 irim = irim Yukrıdki verilere göre, (H) kç r dir? ) ) ) 8 ) 0 ) Yukrıdki verilere göre, H kç irimdir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9. H dik üçgen [H] [] [] [] = H = irim. H dik üçgen [H] [] H = H m(h) = H = irim Yukrıdki verilere göre, (H) kç r dir? Yukrıdki verilere göre, () kç r dir? ) 8 ) 0 ) ) ) ) ) 9 ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

280 K ÜÇGN MTR K INTILR TST 7. H dik üçgen [H] [] [] [] = 0. H dik üçgen [H] [] [] [] = H H = irim Yukrıdki verilere göre, orn kçtır? Yukrıdki verilere göre, kç irimdir? ) ) ) ) ) ) ) ) 8 ) 0 ) 8. 8 dikdörtgen [] köşegen H [] [] = irim = 8 irim. kre m() = m() [] [] = irim = irim Yukrıdki verilere göre, () kç r dir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) Yukrıdki verilere göre, kç irimdir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 9. dik üçgen dik üçgen [] [] [] [] = irim =. dikdörtgen [] [] [] [] = = irim Yukrıdki verilere göre, kç irimdir? Yukrıdki verilere göre, () kç r dir? ) ) ) ) ) ) ) ) ) 8 ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

281 ÖNÜfiÜMLRL GMTR Özel Teoremler ÖRNK. Tles Teoremi : n z üç prlel do ru, iki do ru trf ndn kesildi inde kesen u iki do ru üzerinde uzunluklr ornt l do ru prçlr r r. un. Tles Teoremi denir. 9 fiekilde l // l //l = irim = 9 irim = irim un göre, uzunlu unu ull m.. Tles teoremini ugulrsk, l // l // l ise = olur. 9 = olup = irim ulunur.. Tles Teoremi : ÖRNK Kesiflen iki do ru, prlel iki do ru trf ndn kesildi inde olufln üçgenlerin krfl l kl kenr uzunluklr ornt l d r. un. Tles Teoremi denir. l // l ise = = olur. 7 un göre, uzunlu unu ull m.. Tles teoremini ugulrsk, fiekilde l // l l l = {} = irim = irim = 7 irim = olup 7 = eflitli inden 8 = irim ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

282 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK ÖRNK G üçgen G ğırlık merkezi [G] // [ ] G = irim un göre, uzunlu unu ull m. 8 0º un göre, ornını ull m. dik üçgen m() = 0 = 8 irim = irim üçgeninde [H] [] dikmesi ile k G k 8 0º 0º H, G, doğruslı çizilirse, = ve G G = olup, üçgeninde tles teoremi ile, G G = zılilir. H üçgeni üçgeni olup, H = olur. ölece tles teoremi gereğince, H = ile k k = & = irim ölece, = irim ulunur. 7 = 8 eşitliğinden = 7 ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 8

283 TLS TRM TST. 9 [] [] = {} [] // [] = 9 irim = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? 8 0 ) ) ) ) ). üçgen m() = m() [] // [] 8 = irim = 8 irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) 8. 8 üçgen [] // [] = 8 irim = irim = irim. Ifl k kn uvr m 0 m Ifl k kn ndn m uzkl kt ulunn Mert'in duvr ile rs ndki mesfe 0 m dir. un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 0 ) ) ) ) 8 Mert'in ou cm oldu un göre, duvrdki gölgesinin ou kç cm dir? ) ) ) ) 8 ). 0 K üçgen üçgen [] // [] [K] // [] = 0 irim K = K. üçgen [] [] = = = 0 irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 9 ) 9 ) ) ) ) 0 ) 8 ) 7 ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

284 TLS TRM TST 7. 9 üçgen [] // [] = = 9 irim = irim 0. 8 üçgen [] // [] = 8 irim = irim = irim un göre, = kç irimdir? 9 ) 8 ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) 8 8. üçgen,, do rusl [] // [] = = = irim. K L l // l // l = K = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 8 ) 7 ) ) ) un göre, KL uzunlu u kç irimdir? ) ) ) 8 ) 9 ) 9. H eflkenr üçgen H,, do rusl,, do rusl H = = irim. üçgen [] // [] [] // [] = = irim un göre, H frk kç irimdir? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) 8 ) 9 ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

285 TLS TRM TST. [] // [] // [] = = irim = irim. K üçgen [] [] = {K} = = K = K = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) 0 ) 9 ) 8 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) 7 ) 8. [] [] = {K} [] [] = {} K [] // [] K = K = = irim. üçgen,, do rusl [] // [] = = un göre, uzunlu u kç irimdir? un göre, orn kçt r? ) ) ) 8 ) 0 ) ) ) ) ) ) 8. üçgen [ [ = {} = = = irim. üçgen [] [] [] [] = = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 8 ) 9 ) ) un göre, () kç irim kredir? ) 79 ) 0 ) 8 ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

286 TLS TRM TST 7. K üçgen [] // [], K, do rusl = K = K = irim 0. K üçgen [] // [] = = K = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 7 un göre, + K toplm kçt r? ) ) ) ) 7 ) 8 8. K üçgen [] // [] // [K] = = K = irim. üçgen [K] // [] [] // [] K = 0 irim = irim 0 K un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) un göre, K uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 9. üçgen [] // [] () = r = irim = irim. G üçgen [] // [] = G = irim G = irim un göre, () kç irim kredir? un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 8 ) 0 ) ) ) ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

287 ÖNÜfiÜMLRL GMTR Menelus Teoremi ÖRNK ir üçgeninde köflelerin hiçiri ile çk flmn ve [], [] ve [] do ru prçlr n d unlr n uznt lr n kesen ir do runun noktlr X, Y, Z ise Z Y üçgen [] [] = {} = = = irim X un göre, uzunlu unu ull m. X X. Z Z. Y Y = nt s n menelus teoremi denir. ÖRNK üçgen [] [] = {} = = irim = irim = irim un göre, uzunlu unu ull m. =, = dielim. fiekilde köflesinden fllrk menelus teoremi ugulrsk,.... = = olup = ulunur. fiimdi de köflesinden fllrk menelus teoremi ugull m... = +.. = eflitli inden = irim ulunur. Menelus teoremini ugulrsk,.. = olup 0 = irim ulunur. NT : Yukr dki gii z sorulrd def menelus teoremi ugulmk gerekeilir. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 87

288 ÖNÜfiÜMLRL GMTR ÖRNK ÖRNK üçgen [] [] = {} = H üçgen H = H [] [] = irim = irim un göre, () () ornını ull m. un göre, H H ornını ull m. ve üçgenlerinin ükseklikleri eşit olduğundn, () () = olur. Menelus teoremi ile,... hlde, () (). = ulunur. = = eşitliğinden = olup = ulunur. H H ve H üçgenleri eşittir. (K..K. eşlik ksiomu) hlde, = irim ve m(h) = m(h) olur. üçgeninde iç çıort teoremi ile = 7 olup, Menelus teoremi ile, k H 7k H H.. ise ulunur. H = H = 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 88

289 MNLUS TRM TST. 0 üçgen üçgen [] [] = {} = = = 0 irim = irim un göre, + toplm kç irimdir?. un göre, üçgen [] [] = {} = irim = irim = irim = irim ornı kç eşittir? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ). dik üçgen = = irim = irim = irim. 0 üçgen [] [] = = 0 irim m() = m() un göre, uzunluğu kç irimdir? ) 0 ) 9 ) 8 ) 7 ) un göre, uzunluğu kç irimdir? ) ) ) ) 8 ) 0. üçgen [] [] = {} = =. 9 8 üçgen [] [] = {} = = 9 irim = irim = 8 irim un göre, ornı kç eşittir? un göre, uzunluğu kç irimdir? ) 8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

290 MNLUS TRM TST 7. üçgen = = = 7 irim 0. üçgen [] ç ort [] [] = 7 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 8 ) ) ) 0 un göre, 9 7 ) ) orn kç eflittir? ) ) ) 8. üçgen [] çıort [] [] = {} = =. P üçgen [] ç ort = irim = irim = irim + un göre, + ) ) ) ornı kçtır? ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 7 ) 7 ) 7 ) ) 9. üçgen [] [] = {} [] ç ort = irim = irim = irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ). üçgen [] ç ort [] [] = un göre, orn kç eflittir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

291 MNLUS TRM TST. üçgen. üçgen [] [] = {} = = = irim [H] [] = {} [H] [] H = H = H un göre, uzunlu u kç irimdir? H un göre, ornı kç eşittir? ) ) 0 ) ) 9 ) ) ) ) ) ). üçgen,, do rusl,, do rusl = =. üçgen = = irim un göre, orn kç eflittir? nokts nokts n n merkezli ve k = ornl homoteti i oldu un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 7 ) ) 7 ) 9 ) ) ) 8 ) 0 ). üçgen [] ç ort = irim = irim = irim. üçgen m() = m() 7 = = irim un göre, orn kç eflittir? un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) ) ) 7 ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

292 MNLUS TRM TST 7. üçgen [] [] = {} = = 0. 9 üçgen [] [] = {} = = = 9 irim un göre, () orn kç eflittir? () ) 0, ) ), ) ), un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) üçgen [] [] = {} = 8 = irim. üçgen [] [] = {} = = 7 = irim nokts n n merkezli ve k = ornl homoteti i nokts oldu un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 8 ) ) ) ) 0 9. dik üçgen [] [] = {} = irim = irim = irim = irim un göre,. çrp m kçt r? ) 0 ) 8 ) ) ). üçgen [] [] = {} = nokts nokts n n merkezli ve k = ornl homoteti i oldu un göre, orn kçt r? ) 0 ) 9 ) ) 7 ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

293 MNLUS TRM TST. üçgen [] [] = {} = =. üçgen [] [] = {} = = = cm un göre, () orn kçt r? () ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç cm dir? ) 7 ) 8 ) 7 ) ). 8 üçgen [ [ = {} = cm = cm = 8 cm = cm. üçgen [ [ = {} = = = cm un göre, orn kçt r? ) ) ) ) ) un göre, uzunlu u kç cm dir? ) ) 8 ) 9 ) ). dik üçgen,, do rusl [] [] = = = cm = cm. H K üçgen üçgen dik üçgen = = K = irim KH = irim un göre, uzunlu u kç cm dir? ) ) ) ) ) un göre, H uzunlu u kç irimdir? ) 7 ) ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

294 MNLUS TRM TST 7. K prlelkenr ir üçgen = irim = irim 0. 7 üçgen [] çıort = irim = irim = 7 irim K un göre, K ) ) orn kçt r? ) ) ) un göre, 9 ) ) 7 orn kçt r? ) 7 ) 7 8 ) 8. 0º üçgen,, doğrusl,, doğrusl m() = 0 = irim = irim = irim = irim. 8 üçgen dik üçgen = irim = 8 irim = irim un göre, uzunlu u kç irimdir? un göre, uzunlu u kç irimdir? 0 ) 70 ) ) 0 7 ) 7 ) ) 0 ) ) 7 ) ) 9. 8 dik üçgen,, doğrusl,, doğrusl = irim = irim = irim = 8 irim. üçgen [] [] = {} = irim = = un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 0 ) ) ) ) 00 9 un göre, uzunlu u kç irimdir? ) 8 ) 0 ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

295 ÖNÜfiÜMLRL GMTR tkinlik Zmn ULM YUKRIN ŞĞIY. Uzunluğu irim kul edilen vektör. M. Ö 00 lü ıllrd şmış ciltlik pıtı ile ünlü mtemtikçi. üzlemin noktlrını ine düzlemin noktlrın eşleen ireir ve örten fonksion. ir düzgün eşgende ir köşegen uzunluğunun ir kenr uzunluğun ornı 8. Uzunluklrı değiştirip çılrı korun dönüşüm 9. ir çokgenin köşelerinden geçen çemer. üzgün dörtgen. ir çıı eş iki ölçüe ölen ışın d doğru prçsı. oğruluğu çık oln ve ispt gerek duulmdn kul edilen önermelere verilen d. Üçgende ir köşenin krşı kenr d uzntısın oln en kıs uzklığı. ir doğrunun doğrultmn ve norml vektörlerinin skler çrpımının sonucu Soldn Sğ. ir üçgende üksekliklerin d üksekliklerin uzntılrının kesiştiği nokt. ir üçgende ir köşeden çıkn ve krşı kenrı iki eşit prç ölen doğru prçsı 7. şlngıç noktsı orijin oln vektör 0. Uç noktlrı dışınd kesişmeen üç d dh fzl doğru prçsının uç uc eklenmesi ile olufln flekil. ir doğrunun doğrultmnın dik d dik konumlu oln vektör. ir şeklin doğrultu ve önü değiştirilmeden frklı ir koordint tşınmsı 7. ir doğru prlel oln tşııcı vektör 8. ir çokgende komşu olmn iki köşei irleştiren doğru prçsı 9. ir şeklin orntılı olrk küçültülmesi d üütülmesi ile oluşturuln örüntü 0. Yns m 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

296 SV TRM Sev Teoremi ir üçgeninin üç köflesinden ç kn do rulr üçgenin iç ölgesinde ir P nokts nd kesiflirlerse, üçgeninde Sev teoremini ugulrsk,.. = l l l = {P}.. = olup P = irim ulunur... P P = = + + P P P + + P = f p ifdesine Sev teoremi denir. S Y S S P S S S [] [] [] = {P} ve S, S, S, S, S, S içinde ulunduklr ölgelerin lnlr ise S S S.. = z lilir. S S S ÖRNK ÖRNK 8 K [] [] [] = {K} üçgen (K) = r (K) = r (K) = r (K) = r (K) = 8 r un göre, K üçgensel ölgesinin lnını ull m. Yükseklikleri eşit oln üçgenlerin lnlrı ornı tnlrı ornın eşit olduğundn lnlr ile Sev teoremi zılilir. K üçgen = = irim = irim = irim hlde,. 8.. (K). = eşitliği = şeklinde zılırs [] [] [] = {K} un göre, uzunluğunu ull m. ölece, (K) = r ulunur. 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 9

297 SV TRM TST. K üçgen [] [] [] = {K} = irim = irim = irim = irim. K T 0º ügçen [] [] = {T} [] [K] = {T} [] [] m(k) = 0 un göre, orn kç eflittir? un göre, çısının ölçüsü kç derecedir? ) 7 ) ) ) ) ) ) 0 ) ) 0 ). P üçgen [] ç ort = irim = irim = irim [] [] [] = {P} un göre, uzunlu u kç irimdir?. un göre, K K üçgen [] [] [] = {K} + K K + toplmı kçtır? ) 9 ) ) ) 9 ) 9 ) ) ) ) ). P + üçgen = = = = + [] [] [] = {P}. K üçgen = irim = irim = irim = irim [] [] [] = {K} un göre, uzunlu u kç irimdir? un göre, K K orn kçt r? ) ) 7 8 ) 7 ) 0 7 ) 7 ) ) 7 ) ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

298 SV TRM TST 7. K üçgen [] [] [] = {K} K = irim K = irim 0. un göre, + toplmı kçtır? 7 ) ) ) ) ) üçgen, m() = 0, = irim = irim, = irim, = irim un göre uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 8. K üçgen [] [] [] = {K}. K üçgen [] [] [] = {K} [] çıort = irim = irim = K un göre, ) ) + K K + toplmı kçtır? ) ) ) un göre, uzunlu u kç irimdir? ) ) ) ) ) 9. K un göre, ) ) 7 orn kçt r? ) 8 9 üçgen (K) (K) (K) (K) ) 7 = = ). K N 0º [] [] [] = {N} üçgen K = irim = irim = = m() = 0 un göre, (K) kç irim kredir? ) ) 8 ) 0 ) ) 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı

299 TKİNLİKLRİN VP NHTRLRI tkinlik Zmn ŞLUK LURM.. Postult. Ylnız ir doğru. Merkezi rıçp +. şit. Prlel doğru. Sınırsız. u v 7. Öklid 8. İki kolonlu ispt içimi 9. Prgrf ispt içimi u +v 0. kış digrmlı ispt içimi. rklı. İspt içimi. z. İspt öntemi tkinlik Zmn VKTÖR TPLM + +z. 7. z + + +z. v u 8. z u +v + +z. 9. z + + +z 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 99

300 TKİNLİKLRİN VP NHTRLRI 0. z. + +z tkinlik Zmn VKTÖR ÇIKRM... tkinlik Zmn VKTÖR TPLM ÇIKRM S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 00

301 TKİNLİKLRİN VP NHTRLRI. 9. z z + z + + z. 0. z + + z tkinlik Zmn ĞRU YNLIŞ... Y. Y.. Y tkinlik Zmn TPLM + +v +u 7. u +v +u +v tkinlik Zmn 7 ŞLUK LURM 8. 0 z. z = +. c = 7. c = +. c = + + z. v = + + z. m = k+, 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

302 TKİNLİKLRİN VP NHTRLRI tkinlik Zmn 8. irim vektör. S f r vektörü. Z t önlü vektörler. Lineer ml ŞLUK LURM. (, ) (, ) e + e (, ). (, ) (, ) (, ) (, ) 7. (, 9) (, 9) (, 0) e + 0e 8. (+, ) (, +) (, ) (, ) 9. (, ) (, ) (, ) (, ). Lineer ms z. Çokgen metodu prlelkenr tmmlm 0. (7, ) (, ) (, 7) (, ) 7. o rultulr 8. üür 9. Prlel tkinlik Zmn ŞLUK LURM 0. Yr düzlem. Yönlü do ru prçs. o rultusu. Lineer ml tkinlik Zmn 9 ŞLUK LURM. = (, ) ve = (, 0). = (, ) ve = (, 0). = (, ) ve = (, ). H = (0, ) ve = (, 0). H = (0, ), = (, ) ve = (, ). = (7, ) ve = (, ). e + e. e e. e + e 7. e. e + e 8. e tkinlik Zmn. Uzunluğun ŞLUK LURM. e e 9. e.,. e e tkinlik Zmn 0 0. e ŞLUK LURM. Reel sı. nı denklik sınıfınd. irim vektör. = 7. noktsı noktsı nün er vektörü nün er vektörü. (, ) (, ) (, 7) (, 7). (, ) (, ) (8, ) ( 8, ). ( 7, ) (, ) (, 7) (, 7). (, ) (, 9) (7, ) ( 7, ) Nokt 0. irim vektör. Vektör. c d. Lineer ml 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

303 TKİNLİKLRİN VP NHTRLRI tkinlik Zmn ŞLUK LURM tkinlik Zmn ŞLUK LURM oğru oğrultmn vektörü Norml vektörü. (, ) = ( 0, 0 ) + k(m, n). + = 0 d = (, ) N= (, ). = + d = (, ) N= (, ). = 0 d = (0, ) N= (, 0). + = 0 d = (, 0) N= (0, 9). (, ) = (, ) + k(, ) d = (,) N= (, ). d = (p,r), (, ). d = (, ). d = (, ), N= (, ). Prlel. ik 7. ik 8. S lr. + = d = (, ) N= (, ) 9. ik kesiflir 0. Prleldir 7. = k + = k d = (, ) N= (,). lmilir. Skler çrp m 8. = + 7 d = (, ) N= (, ). (, ) = 0 d = (,) N = (, ) 0. (, ) = (, ) + k(, ) d = (, ) N= (, ). = 0 + d = (, 0) N = (, 0). tkinlik Zmn ŞLUK LURM (, ) (, ) d = (, ) N= (,) oğru ğimi. d = (, ) N= (, ). + = 0 m =. (, ) = (, ) + k(8, ) m = 8.. = k + = k m =. = 0 m = 0 d = (, ) N= (, ). + = 0 imsiz. (, ) = (, ) + k(, ) m = 7. = 0 imsiz 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0

304 TKİNLİKLRİN VP NHTRLRI tkinlik Zmn ŞLUK LURM tkinlik Zmn 0 ŞLUK LURM. 8. im ç s. v = (, ) c N= (, ). 0. d = (, ). 0.. Prlel, çk fl k. 7. S f r. u = (, ). v = (8, ). u = ( 9, ). u = ( 8, ). u = (9, ) tkinlik Zmn 7 ĞRU YNLIŞ tkinlik Zmn ŞLUK LURM.... Y. Y. Y Y 0... Y.. Y. (, 7) 8. (, 7). (, 7) 9. (, ) tkinlik Zmn 8. Yrd mc elemnlr. Kenrort. ç ort ŞLUK LURM. (, 7) 0. (, 0). (, 8).. (, ). + = 0. (, ) = 0 7. (, ). Yükseklik. > tkinlik Zmn ĞRU YNLIŞ. Çeflitkenr 7. r ç l.. Y.. Y.. 7. Y 8. Y 9. Y 0. Y.. Y Y 8. Y 9. Y ik 9. flkenr tkinlik Zmn ULM. 0. ki iç ç s n n toplm n. kenrlr d tkinlik Zmn 9 ĞRU YNLIŞ. Y.. Y.. Y. Y Y Y. Y YUKRN fi IY :. irim Vektör,. Öklid,. önüflüm,. lt n rn 8. Homoteti, 9. Çevrel Çemer,. Kre,. ç ort,. Postult,. Yükseklik,. S f r SLN S :. iklik Merkezi,. Kenrort, 7. Yer Vektörü, 0. Çokgen,. Norml vektörü,. Öteleme, 7. o rultmn vektörü, 8. Köflegen, 9. rktl, 0. Yns m 0.S n f Geometri Konu nltımlı Soru nksı 0