Mohr Dairesi Düzlem Gerilme

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Mohr Dairesi Düzlem Gerilme"

Si̇mge Erkoç
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Mohr Dairesi Düzlem Gerilme Bu bölümde düzlem gerilme dönüşüm denklemlerinin grafiksel bir yöntem ile nasıl uygulanabildiğini göstereceğiz. Böylece dönüşüm denklemlerinin kullanılması daha kolay olacak. σ ve τ Ayrıca bu yöntem x nün etkidikleri düzlemin oryantasyonu (açısı) değiştikçe nasıl değiştiklerini izlememiz açısından da kolaylık sağlayacaktır. xy

2 Mohr Dairesi Düzlem Gerilme (devam) Denklem(1) ve(2) aşağıdaki gibi yazılabilir: σx + σy σx σy σx = cos2θ + τxysin2θ 2 2 σx σy τxy = sin2θ + τxycos2θ 2 (10) (11) Her iki denklemin karesini alıp birbirine eklersek θ değerinden kurtuluruz, sonuç aşağıdaki gibi olur: 2 2 σ + σ σ -σ σ τ τ 2 2 x y 2 x y 2 x - + xy = + xy (12)

3 Mohr Dairesi Düzlem Gerilme (devam) σ, σ ve Spesifik bir problem için x y xy bilinen sabitler ise bu durumda yukarıdaki denklem daha kompakt formda yazılabilir: τ σx -σave + τxy = R ( ) (13) burada: σ ave σx + σy = 2 σx-σy R= + τ xy

Mohr Dairesi Düzlem Gerilme (devam) σ ve τ Eğer için pozitif eksenler aşağıdaki gibi olacak şekilde düzenlenirse denklem (13) ün R yarıçaplı, merkezi C( σ ave, 0) da olan bir

4 Mohr Dairesi Düzlem Gerilme (devam) σ ve τ Eğer için pozitif eksenler aşağıdaki gibi olacak şekilde düzenlenirse denklem (13) ün R yarıçaplı, merkezi C( σ ave, 0) da olan bir daire denklemi olduğunu görürüz: ( ) σ -σ + τ = x ave xy R σ ave σx + σy = 2 σx-σy R= + τ xy Buna Mohr Dairesi denir ve Alman mühendis Otto Mohr tarafından geliştirilmiştir.

5 Mohr Dairesi Düzlem Gerilme (devam) Mohr dairesi üzerindeki her bir nokta farklı bir gerilme durumunu temsil eder. Örnek olarak aşağıdaki elemanı ele alalım: Negatif A 90 o derece döndür G Eleman üzerinde θ kadar dönme, Mohr dairesi üzerinde 2θ kadar dönmeye karşılık gelmektedir.

6 Mohr Dairesi Düzlem Gerilme (devam) Mohr dairesi çizildikten sonra asal düzlemler ve bunlara karşılık gelen asal gerilmeler veya herhangi bir düzlemdeki gerilmeler hesaplanabilir: A A noktası, θ= 0, C ve A birleştirilerek R hesaplanır ve daire çizilir. B Asal eksenler 2θ p1 (CA dan CB ye) ve 2θ p2 (CA dan CD ye) açıları ile gösterilmektedir. B ve D noktaları.

7 Mohr Dairesi Düzlem Gerilme (devam) Mohr dairesi çizildikten sonra asal düzlemler ve bunlara karşılık gelen asal gerilmeler veya herhangi bir düzlemdeki gerilmeler hesaplanabilir: E Asal kesme gerilmesi 2θ s1 (CA dan CE ye) ve 2θ s2 (CA dan CF ye) açıları ile gösterilmektedir. E ve F noktaları. P Herhangi bir θ açısındaki gerilme değeri (P noktası). CA çizgisinden saat akrebinin tersi yönünde 2θkadar dönerek bulunur.

8 Mohr Dairesi Örnek 1 Üzerine etkiyen yüklemeden dolayı şaft üzerindeki A noktası şekilde gösterilen düzlem gerilme durumuna maruz kalmıştır. Bu noktada oluşan asal gerilmeleri bulunuz.

9 Mohr Dairesi Örnek 1 (devam) Pozitif yön kabullerini dikkate alarak, aşağıdaki ifadeler yazılabilir: Ortalama gerilme: Bu durumda, referans noktası A(-12,-6) ve dairenin merkezi ise C(-6,0) noktaları olmaktadır. Dairenin yarı çapı ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir: (+) (+)

10 Mohr Dairesi Örnek 1 (devam) Asal eksenler daireye referansla, B ve D noktalarıdır: σ1> σ2 için: (+) (+)

11 Mohr Dairesi Örnek 1 (devam) Asal eksenin olduğu düzlem referans noktası A dan saat akrebinin tersi yönünde2θ P2 kadardönülerekbulunur: (+) (+) A: referans nok. Basınç gerilmesi var

12 Mohr Dairesi Örnek 2 Şekilde gösterilen düzlem gerilme durumu için maksimum düzlemsel kesme gerilmesini ve bulunduğu düzlemi hesaplayınız.

13 Mohr Dairesi Örnek 2 (devam) Problem verisinden, aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkündür: Ortalama gerilme: A Bu durumda, referans noktası A(-20, 60) ve dairenin merkezi ise C(35,0) noktaları olmaktadır. Dairenin yarı çapı ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

14 Mohr Dairesi Örnek 2 (devam) Maksimum kesme gerilmeleri Mohr dairesi üzerinde E ve F noktaları ile gösterilmektedir. Dikkat edilirse, bu noktalarda normal gerilme ortalama değerdedir: Maksimum kesme gerilmesi düzlemi: F E Dikkat edilirse, E noktasında hem kesme hem de normal gerilmeler pozitiftir!

15 Mohr Dairesi Örnek 3 Şekilde gösterilen düzlem gerilme durumundaki eleman saat akrebinin tersi yönünde 30 derece döndürüldüğünde oluşan gerilme durumunu hesaplayınız.

16 Mohr Dairesi Örnek 3 Problem verisinden aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkündür: A Ortalama gerilme: θ= 0 noktası referans noktası olup koordinatları A(-8, -6) ve dairenin merkezi C ise (2, 0) noktasındadır. Yarıçap ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

17 Mohr Dairesi Örnek 3 Elemanın referans noktası olan A noktasından 30 derece dönmesi, Mohr dairesinde2(30 o )=60 o dönmeyekarşılıkgelmektedir(pnoktası): P( σ, τ ) x xy Değerler, trigonometriden kolaylıkla bulunur: P

18 Mohr Dairesi Örnek 3 Elemanın DE yüzüne etkiyen gerilmeler ise Mohr dairesinde Q noktasına denk gelmektedir. Q noktasının koordinatları ise aşağıdaki gibi bulunabilir: Q( σ, τ ) x xy Değerler, trigonometriden kolaylıkla bulunur: A noktasından Q noktasına ulaşmak için saat akrebi yönünde 60 o döndürülebilir. Dikkat: Q noktasına, A noktasında ve/veya P noktasından ulaşılabilir

Benzer belgeler

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bu bölümde, bir noktaya etkiyen ve bir koordinat ekseni ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi ile ilişkili gerilme bileşenlerine dönüştürmek