ÖABT LİSE MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde

Transkript

1 ÖABT LİSE KPSS 2016 Pegem Aademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 40'ın üzerinde soruyu olaylıla çözebildiğini açıladı. MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitimde 29. yıl

2 Komisyon ÖABT Lise Matemati Öğretmenliği Analiz-Diferansiyel Denlemler ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Aademi Bu itabın basım, yayın ve satış haları Pegem Aademi Yay. Eğt. Dan. izm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan uruluşun izni alınmadan itabın tümü ya da bölümleri, apa tasarımı; meani, eletroni, fotoopi, manyeti, ayıt ya da başa yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu itap T.C. Kültür Baanlığı bandrolü ile satılmatadır. Ouyucularımızın bandrolü olmayan itaplar haında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 2.Bası: 2015, Anara Proje-Yayın: Neslihan Gürsoy Türçe Redasiyon: Aylin Doğan Dizgi-Grafi Tasarım: Kezban Öztür Kapa Tasarımı: Gürsel Avcı Bası: Korza Yay. Basım San. Tic. A.Ş. Yenice Mah. No: 3 Esenboğa-Anara Yayıncı Sertifia No: Matbaa Sertifia No: İletişim Karanfil 2 Soa No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: Yayınevi Belgeç: Dağıtım: Dağıtım Belgeç: azırlı Kursları: İnternet: E-ileti: pegem@pegem.net

3 ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adayları, ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ onu anlatımlı setimiz dört itap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matemati Öğretmenliği 1. Kitap" adlı yayınımız Analiz ve Diferansiyel Denlemler bölümünü apsamatadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matemati Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi apsamındai soruları çözme için gereli bilgi, beceri ve tenileri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza ılavuz olara hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav apsamındai temel alanlarda apsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu itabın gere ÖABT'de gerese gelecetei mesle hayatınızda ihtiyacınızı masimum derecede arşılayaca bir başucu itabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan onu anlatımları, çımış sorular ve detaylı açılamalarıyla destelenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla peiştirilmiştir. Ayrıca onu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tenilerine e olara uyarı utucularıyla da önemli onulara diat çeilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu itapla ilgili görüş ve önerilerinizi pegem@pegem.net adresini ullanara bizimle paylaşabilirsiniz. Kitabımızın hazırlanmasında emeği geçen Sayın Kerem Köer, Firet eme, Ayşegül Eroğlu, Dizgicimiz Gülnur Öcalan ve Kezban Öztür'e teşeürü bir borç biliriz. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine atıda bulunabilme ümidiyle... Başarılar...

4 MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmata ve Matemati Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matemati) ile Alan Eğitimi alanlarındai bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemetedir. Öğretmenli Alan Bilgisi Testinde çıan sorular, Matemati Öğretmenli Lisans Programlarında verilen aademi disiplinlere paralel olara hazırlanmatadır. Sınavdai Alan-Soru dağılımı aşağıdai tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Yalaşı Yüzde Soru Numarası Alan Bilgisi Testi % a. Analiz b. Cebir c. Geometri d. Uygulamalı Matemati % 24 % 16 % 16 % 24 Alan Eğitimi Testi % Genel Kültür, Genel Yetene ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza e olara gireceğiniz Öğretmenli Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilece olası değişilileri ÖSYM'nin web sitesinden taip edebilirsiniz.

5 İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...ııı 1. KISIM 1. BÖLÜM: ANALİZE GİRİŞ Sayılar...5 Doğal Sayılar...5 Rasyonel Sayılar...5 Tümevarım Yöntemi...5 Lineer (Doğrusal) Nota Kümeleri...6 Mutla Değer...7 Komşulu...7 Yığılma Notası...7 Tam Değer...8 Fonsiyonlar...8 Bazı Özel Fonsiyonlar...9 Fonsiyonun Grafiği...10 Trigonometri...12 Bazı Trigonometri Değerler...12 Bazı Trigonometri Bağıntılar...13 Üstel ve Logaritmi Fonsiyonlar...14 iperboli Fonsiyonlar BÖLÜM: LİMİT Limit...19 Bir Fonsiyonun Limiti...21 Te Yönlü Limitler...23 Sürelili...24 Bazı Süreli Fonsiyon Örneleri...24 Süresizli Çeşitleri...24 Süreli Fonsiyonların Özellileri...25 Düzgün Sürelili BÖLÜM: TÜREV Türev...29 Türev Almada Genel Kurallar...29 Trigonometri Fonsiyonların Türevi...30 Ters Fonsiyonun Türevi...30 Logaritma Fonsiyonunun Türevi...31 Üstel Fonsiyonların Türevi...32 Logaritmi Türev Alma...32 iperboli Fonsiyonların Türevi...32

6 vi Parametri Fonsiyonların Türevi...32 Kapalı Fonsiyonların Türevi...33 Yüse Mertebeden Türevler...33 Türevin Geometri Anlamı...34 Türevle İlgili Teoremler...35 Belirsiz Şeiller...39 Diferansiyeller...40 Eğri Çizimleri...42 Düşey Asimptot...42 Yatay Asimptot...43 Eğri veya Eği Asimptot BÖLÜM: İNTEGRAL Belirsiz İntegral...47 Bazı Fonsiyonların İntegralleri...47 İntegral Alma Yöntemleri...47 Değişen Değiştirme...47 Kısmi İntegrasyon Yöntemi...51 İndirgeme Bağıntıları...52 Rasyonel Fonsiyonların İntegrali...56 Trigonometri Fonsiyonların İntegrali...58 Binom İntegralleri...63 Çözümlü Sorular...64 Belirli İntegral...66 İntegralde Alan esabı...68 İntegralde acim esabı...71 Eğri Uzunluğunun esabı...73 Dönel Yüzeyin Alanı BÖLÜM: GENELLEŞTİRİLMİŞ İNTEGRALLER Genelleştirilmiş İntegraller Çeşit...79 Kararlaştırma Testi...79 Kararlaştırma Testinin Limit Formu Çeşit...80 Kutupsal Koordinatlar...81 Kutupsal Koordinatlarda Eğri Çizimi...83 Gül Eğrilerinin Çizimi...86 Kutupsal Koordinatlarda Alan esabı...87 Seriler...87 Geometri Seri...89 Seriler İçin Yaınsalı Testleri...90

7 vii İntegral Testi...90 Oran Testi...90 Kö Testi...91 Limit Testi...91 Alterne Seriler...92 Kuvvet Serileri...92 Fonsiyonların Seriye Açılması...93 Analiz-Uygulama...94 Fonsiyon Dizi ve Serileri...97 Düzgün Yaınsalı ve İntegral...99 Düzgün Yaınsalı ve Türev Fonsiyon Serilerinin Düzgün Yaınsalığı BÖLÜM: n - BOYUTLU UZAY n - Boyutlu Uzay R n 'in Topolojisi Vetör Değerli Fonsiyonlar Vetör Değerli Fonsiyonların Limit ve Süreliliği R n 'de Eğriler Vetör Değerli Fonsiyonların Türev ve İntegrali Eğri Uzunluğu Ço Değişenli Fonsiyonlar Ço Değişenli Fonsiyonlarda Limit Sürelili Kısmi Türevler Yüse Mertebeden Kısmi Türevler Zincir Kuralı Yönlü Türevler Kapalı Fonsiyonların Türevi Normal Doğrusunun Denlemini Bulma Masimum ve Minimum Yan Şartlı Estremumlar Bölge Dönüşümleri Fonsiyonel Bağımlılı Saler ve Vetör Alanları Ço Katlı İntegraller İi Katlı İntegralin esabı İntegral İşareti Altında Türev Alma İi Katlı İntegrallerde Değişen Değiştirme İi Katlı İntegrallerin Uygulamaları Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test

8 viii Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler...261

9 ix 2. KISIM 1. BÖLÜM: DİFERANSİYEL DENKLEMLER Diferansiyel Denlemler Giriş Diferansiyel Denlemlerin Çözümü Genel ve Özel Çözümler Bir Eğri Ailesinin Diferansiyel Denleminin Oluşturulması BÖLÜM: DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER Değişenlerine Ayrılabilir Denlemler Değişenlerine Ayrılabilir âle Getirilebilen Denlemler omojen Diferansiyel Denlemler omojen Diferansiyel Denlemlerin Çözümü omojen âle Dönüştürülebilir Diferansiyel Denlemler Tam Diferansiyel Denlemler İntegrasyon Çarpanı Yardımı ile Diferansiyel Denlem Çözümü Lineer Denlemler Lineer Diferansiyel Denlemin Çözüm Yöntemi Bernoulli Denlemleri Riccati Denlemi BÖLÜM: BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Birinci Mertebeden n. Dereceden Diferansiyel Denlemler Türeve, x'e veya y'ye Göre Çözülebilen Denlemler Türeve Göre Çözülebilen Denlemler x'e Göre Çözülebilen Denlemler y'ye Göre Çözülebilen Denlemler Clairaut Denlemi Lagrange Denlemi İndirgenebilir İinci Mertebeden Diferansiyel Denlemler BÖLÜM: YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER Yüse Mertebeden Lineer Diferansiyel Denlemler Mertebe İndirgeme Sabit Katsayılı Denlemler Farlı Reel Köler Katlı Reel Köler Komples Kö...310

10 x omojen Olmayan (2. Yanlı) Lineer Diferansiyel Denlemler Belirsiz Katsayılar Yöntemi Parametrelerin Değişim Yöntemi Cauchy-Euler Denlemi Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler...351

11 1. KISIM

12 ANALİZE GİRİŞ

13 5 Doğal Sayılar SAYILAR N = {1, 2, 3,...} ümesine doğal sayılar ümesi denir. m, n N ien; x + m = n biçimindei denlemlerin çözümlerini bulunduran sayılara tam sayılar ümesi denir. Z = &..., 1, 012,,, \ 0 + Z Z = N + = Z, $ 0., Z Rasyonel Sayılar p, q Z ve q 0 olsun. q. x = p biçimindei denlemlerin çözümlerini bulunduran ümeye rasyonel sayılar ümesi denir. Q p = ' : pq, d Zq,! 0 1 (p ve q aralarında asal) q m Z için m = m Q 1! olduğundan Z 1 Q olur. I : irrasyonel sayılar ümesi I Q = R erhangi ii rasyonel, irrasyonel, reel sayı arasında sonsuz çoluta hem rasyonel hem de irrasyonel sayı vardır. Tümevarım Yöntemi Doğal sayılarla ilgili önermelerin ispatında ullanılan bir yöntemdir. Teorem: D N olsun a) 1 D b) D ien + 1 D ise bu tadirde D = N dir. Sonuç: P(n) doğal sayılarla ilgili bir önerme; D de bu önermenin doğrulu değerinin ümesi yani; D = {n N P(n) doğru} olsun. Eğer; a) 1 D (yani önerme n = 1 için doğru) b) D ien (+1) D (yani n = ien önerme doğru ien n = + 1 için de önerme doğru ise D = N dir. Yani önerme tüm n N için doğrudur. Bu ispat metoduna tümevarım denir. n N için; 3 2n+2 2 n+1 sayısı 7 ile bölünür, gösterelim. a) n = 1 için ifadenin doğruluğunu inceleyelim = = 81 4 = 77 = 7.11 olup 7 ile bölünür. b) n = değeri için ifadenin doğru olduğunu abul edelim. n = + 1 değeri için de doğru olup olmadığını inceleyelim. n = için; = 7.p p Z olsun. n = + 1 için; 3 2(+1) = 7.p ı olur mu? = = (7 + 2) = = ( ) p = p ı = 7.( p) = 7p' sağlanır p' d Z n N ve n 5 olsun. 3 n 1 < n! olduğunu gösteriniz. a) n = 5 için ifadenin doğru olup olmadığını inceleyelim < 5! 3 4 < 5! 81 < 120 ifade doğrudur. b) n = değeri için ifadenin doğru olduğunu abul edelim. n = + 1 değeri için doğru olup olmadığını inceleyelim. n = için; 3 1 <!... (I) n = + 1 için; < ( + 1)! 3 < ( + 1)!... (II) II eşitsizliğinin sağlanıp sağlanmadığını göstermeliyiz. Önerme n 5 için doğrudur. N ve p R olma üzere; p pp ( 1).( p 2)...( p + 1) e o =! sayısına binom atsayısı denir c 3-1 mc - 2 m. c- m. c m f p = = = = = 3!

14 6 Eğer p = n N ise ombinasyon olur. n n.( n 1)...( n + 1) n! b l = = olur.! ( n )!.! Lineer (Doğrusal) Nota Kümeleri R nin alt ümeleri n n b l= b l= 1 0 n n n b l= b l n n n n + 1 b l+ b l= c m 1 > n ien b n l= 0 a, b R olma üzere; {x R : a < x < b} = (a, b) = ]a, b[ {x: a G x G b} = [a, b] {x: x > a} = (a, ) {x: a < x G b} = (a, b] {x: < x < } = R a, b R n N a b n n. a n n. a n 1 n n. b.... ab. n 1 ` + j = e o + e o + + e o + e o. 0 1 n 1 n b n olduğunu gösteriniz. a) n = 1 için ifadenin doğru olup olmadığını inceleyelim. a + b = a + b olup doğrudur. b) n = değeri için ifadenin doğru olduğunu abul edelim. n = + 1 değeri için ifadenin doğru olup olmadığına baalım. (m Z ise m + 1 Z ifadesinden yararlanara) Tanım: A bir lineer nota ümesi olsun. er x A için x a olaca şeildei a R sayısına A nın bir alt sınırı denir. Eğer x A için x G b olaca şeildei b R sayısına A nın bir üst sınırı denir. Asiyom: Üstten sınırlı bir ümenin üst sınırları arasında bir en üçüğü, alttan sınırlı bir ümenin alt sınırları arasında bir en büyüğü vardır. n = için; (a + b) =. a. a c m + c m. b c m. ab c m.... I b ^ h n = + 1 için; (a + b) +1 = + 1. a c m + + c m. a b ab c m + + c m. b+ 1...( II) I ve II denlemlerini eşitleme için I. denlemin her ii tarafını da (a + b) ile çarpalım ve denlemlerin sağ taraflarının eşitliğini ontrol edelim. ^ I h = c m. a. ^ a + b h + c m. a 1. b. ^ a + b h c m. ab. 1.( a+ b) + c m.. 1 b ^ a + b h = c m. a + 1+ c m a. b + c m. a. b + c m. a 1. b a. b. ab.... b a c m c m 1 + c m + c m b + 1 ifadesini II nolu denleme eşitleyelim. Denlem doğrulandığından n = + 1 içinde doğrudur. A = (0, 1] alt ve üst sınırlarının ümesini bulalım. A nın alt sınırlannın ümesi: (, 0] A nın üst sınırlarının ümesi: (1, ) Tanım: em alttan hem de üstten sınırlı ümelere sınırlı üme denir. A sınırlı bir üme olsun. A nın üst sınırlarının en üçüğüne en üçü üst sınırı veya supremumu denir ve eüsa veya supa ile gösterilir. A nın alt sınırlarının en büyüğüne de en büyü alt sınırı veya infimumu denir ve ebasa veya infa ile gösterilir. A = [0, 1) ise supa ve infa diğerlerini bulalım. supa = 1 g A infa = 0 A sup ve inf değerleri ümeye ait olma zorunda değildir.

15 7 Komşulu 1 B = { : r Q, r > 0} olma üzere varsa supb ve infb r nedir, bulalım. supb yotur ve infb = 0 Eğer; supa = a A ise a ya A nın masimum elemanı denir. Eğer; infa = b A ise b ye A nın minimum elemanı denir. supa = a olsun. Bu durumda, 1. x A için x # a 2. ε > 0 için x A verir, öyle i x + ε > a dır. infa = b olsun. Bu durumda 1. x A için x $ b 2. ε > 0 için x A var, öyle i x ε < b dir. Mutla Değer Bir a R sayısının orijine uzalığına a sayısının mutla aa ; $ 0 değeri denir ve a = ) biçiminde tanımlanır. aa ; 1 0 Açıtır i; a $ 0 a = 0 + a = 0 i) a = a ii) a G OaK a G OaK a G b iii) 3 & a a G b G b a R ve f > 0 olma üzere; K = { x d R: x a 1 f} = `a f, a + fj ümesine a nın f omşuluğu denir. a f K a a+f K {a} ümesine a nın delinmiş omşuluğu denir. Yığılma Notası A R, a R olsun. a notasının f, f > 0 omşuluğu, A nın a dan farlı en az bir elemanını bulunduruyorsa a ya A nın bir yığılma notası denir. Buna göre a, A nın yığılma notasıdır. f > 0, A «[(a f, a + f ) {a}] Doğal sayılar ümesinin yığılma notası yotur. İrrasyonel sayılar ümesinin yığılma notaları reel sayılar ümesidir. Rasyonel sayılar ümesinin yığılma notaları reel sayılar ümesidir. Çımış Sorular 3 n n$ x serisinin yaınsa olduğu en geniş aralı n + 2 n= 0 aşağıdailerden hangisidir? A) ` 1, 0j B) ` 1, 1j C) (0, 1) D) ` 2, 2j E) 8 2, 2B iv) ab. = a. b v) a b Teorem: a, b R a =, (b 0) b 1. OaK G a G OaK 2. OKaK ObKO G Oa + bk G KaK + KbK (üçgen eşitsizliği) OaK G b b G a G b OaK $ b a $ b V a G b Sonuç: a 1,..., a n R olma üzere; xn+ lim olmalıdır. n " 3 x n n lim + 1 n + 1 n 2 $ x + 1 n n 3 n 1 " 3 + n$ x x$ `n+ 1j $ `n + 2j lim 1 1 n " 3 n$ `n+ 3j lim x 1 1 n " 3 & x 1 1 olup 1 1 x 1 1 dir. Dolayısıyla ` 11, j aralığında seri yaınsatır. Cevap B Oa 1 + a a n O G Oa 1 K + Oa 2 K +... Oa n K dir.