Lojik Fonksiyonların Yalınlaştırılması (İndirgenmesi)

Transkript

1 Lojik Fonksiyonların Yalınlaştırılması (İndirgenmesi) ir lojik fonksiyonun birçok cebirsel ifadesi vardır. (kz. kanonik açılımlar ve yalınlaştırılmış ifadeleri) Yalınlaştırmada amaç, belli bir maliyet kriterine göre bu cebirsel ifadeler içinden en uygun olanını seçmektir. Maliyet kriteri uygulamaya göre değişebilir. Örneğin tasarım aşamasında istenen özellikler şunlar olabilir: İfadenin az sayıda çarpım (ya da toplam) içermesi, her çarpımda az sayıda değişken olması, devrenin aynı tip bağlaçlar (örneğin TVE) ile gerçeklenebilmesi, elde var olan bağlaçların kullanılabilmesi gibi. Yalınlaştırmanın amaçları: evrenin boyutlarını küçültmek Enerji tüketimini azaltmak (pil, soğutma problemi) Gecikmeyi azaltmak (hızı arttırmak) (kz. 3.20: Yayılma gecikmesi) Maliyeti azaltmak ers Notlarının reative ommons lisansı Feza UZLU ya aittir. Lisans: Feza UZLU 4. sal Çarpım (Temel İçeren) Prime Implicant : Hatırlatma: ir fonksiyonun. kanonik açılımını oluşturan çarpımlar (minterimler) bu fonksiyon tarafından örtülürler (içerilirler).. kanonik açılımda yer alan bazı çarpımları birleştirerek daha az değişken içeren ve birden fazla "doğru" noktaya karşı gelen yeni çarpımlar elde edilebilir. aha fazla basitleştirilemeyen ve fonksiyonun mümkün olan en fazla sayıda doğru noktasını örten çarpımlar asal çarpımdır. Örnek: F Yalınlaştırma İle İlgili Tanımlar F(,, )= Σm(,3,5,6,7) :. kanonik açılım = '' + ' + ' + ' + u çarpımlar, asal çarpım (temel içeren) değildir, çünkü onlardan daha az değişkene sahip olan bölenleri de bu fonksiyonun içinde yer almaktadır. u durum basitleştirme sonucu görülmüştü ve fonksiyon için aşağıdaki ifade elde edilmişti. F= + Kanonik açılımdaki çarpımlar sadece adet doğru nokta örterken çarpımı 2 adet, ise 4 adet nokta örtmektedir Feza UZLU 4.2

2 Örnek (devamı): F(,, )= Σm(,3,5,6,7) :. kanonik açılım = '' + ' + ' + ' + F= + sal çarpım (temel içeren) kendi bölenleri fonksiyonda yer almayan (daha fazla sadeleştirilemeyen) ve mümkün olan en fazla sayıda doğru noktayı örten çarpımlardır. Örneğin yukarıdaki örnekte ' bir asal çarpım değildir, çünkü onun böleni olan de fonksiyon tarafından örtülmektedir. ise bir asal çarpımdır, çünkü onun bölenleri ve fonksiyon tarafından örtülmez (daha fazla üretiyorlar, fonksiyonun ifadesinde yer alamazlar). Lojik fonksiyonları yalınlaştırma işlemi:. Tüm asal çarpımlar kümesinin bulunması 2. Fonksiyonun tüm "doğru" noktalarını örtecek şekilde, asal çarpımlardan en uygun olanların seçilmesi Feza UZLU 4.3 sal Çarpımların ulunması: Çarpım terimlerini birleştirerek daha az değişkene sahip ve daha çok doğru noktayı örten çarpımlar elde etmek için oole cebri kullanılabilir. u işlemi özellikle büyük fonksiyonlar için elle kağıt üstünde yapmak zor olur. u işlemler bilgisayar programları ile yapılır. Fonksiyonun cebirsel ifadesini kullanmadan daha pratik olarak uygulanabilecek bir yöntem: oğruluk tablosunda "" üreten kombinezonlar incelenir, Sadece bir değişkenin değer değiştirdiği, bir veya daha fazla değişkenin (girişin) sabit kaldığı kombinezonlar birleştirilir, eğeri sabit kalan değişkenler çarpımda kalır, değişenler çarpımdan çıkarılır. Örnek: ebirsel olarak birleştirme: F = ''+' = ('+)' = ' F sabit. Her ikisinde de =0. değişkeni yeni çarpımda yer alacak. nın değeri değişiyor. yeni çarpımda olmayacak. =0 olduğu için yeni çarpım: ' Feza UZLU 4.4

3 Yapılan işlemin oole küpünde gösterilmesi: F Yapılan işlemin Karnaugh diyagramında gösterilmesi: F oyutu 0 olan iki nokta birleştirilerek boyutu olan bir çizgi elde edildi. u çizgi =0'ı yani nin tümleyenini temsil etmektedir. u tür gruplamaları Karnaugh diyagramları ile yapmak daha kolaydır. itişiklilik özelliğinden yararlanılarak komşu noktalar gruplanabilir. Yukarıda gruplamanın yapıldığı sütunda =0 (sabit), ise değişkendir. u sütun nin tümleyenini temsil etmektedir Feza UZLU 4.5 ynı anda birden fazla değişken sabit kalıyorsa gruplama sonucu bu değişkenlerin çarpımı oluşur Örnek: F =, = ve sabit. ise değişiyor. u gruplama sonucu çarpımı oluşur. ebirsel: ' + = ('+) = =, = ve sabit. ise değişiyor. u gruplama sonucu çarpımı oluşur. ebirsel: ' + = ('+) = F Feza UZLU 4.6

4 Gruplamalarda 2'den daha fazla nokta da birleştirilebilir. Örnek: F(,,) = Σ(4,5,6,7) = ve sabit. ve ise değişiyor. Küpün bu yüzü yı temsil ediyor. ebirsel: '' + ' + ' + = '+ = Karnaugh diyagramı ile: F = ve sabit. ve ise değişiyor Feza UZLU 4.7 sal Çarpımların Karnaugh iyagramları İle ulunması: Karnaugh diyagramlarındaki bitişiklilik ve çevrimlilik özelliği nedeniyle komşu gözler arasındaki geçişlerde sadece değişken (giriş) değer değiştirir, diğerleri sabit kalır. Girişlerin sabit kaldığı komşu gözlerdeki "doğru" noktaları 2'li, 4'lü, 8'li gruplarda toplamak mümkündür. şağıda 3 ve 4 değişkenli Karnaugh diyagramları için girişlerin sabit kaldıkları alanlar gösterilmiştir Lisans: ynı diyagram, değişkenler farklı şekillerde yerleştirilerek de yandaki gibi oluşturulabilir Feza UZLU 4.8

5 Örnek: şağıda verilen fonksiyonun asal çarpımlarının bulunması F(,,,) = Σ (0,2,5,8,9,0,,2,3,4,5) F sal Çarpımlar:, '', ' sal çarpımlar bulunurken fonksiyonun "doğru" noktaları mümkün olan en büyük gruplara yerleştirilirler. ir grupta yer alan iki nokta tekrar birleştirilerek daha küçük bir grup oluşturulmaz. Örneğin ayrı ayrı 4 'lü gruplarda bulunan iki nokta birleştirilerek 2'li yeni bir grup oluşturmaya gerek yoktur. Yeni bir 4 lü grup oluşturulabilir. ncak noktalardan biri daha büyük bir gruba ait değilse (yukarıdaki 00 gibi) o nokta gruptaki başka bir nokta ile kümelenebilir Feza UZLU 4.9 Tüm sal Çarpımlar Kümesinin ulunması: Lojik devre tasarımında yalınlaştırma işlemi o fonksiyonun bütün asal çarpımlarının bulunmasıyla başlar. ütün asal çarpımların oluşturduğu kümeye tüm asal çarpımlar kümesi (tüm temel içeren tabanı) denir. İndirgemenin 2. aşamasında fonksiyonun bütün doğru noktalarını örtecek şekilde, tüm asal çarpımlar kümesinden en uygun asal çarpımlar seçilir. Fonksiyonun bütün doğru noktalarını örten asal çarpımların oluşturduğu kümeye yeterli küme denir. Yeterli kümeden bir asal çarpım kaldırılırsa fonksiyonun tüm doğru noktaları örtülmemiş olur. una göre bir fonksiyonu yalınlaştırma işlemi en uygun (ucuz) yeterli kümeyi (minimal covering sum) bulmak demektir Örnek: şağıdaki fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesini bulunuz. sal Çarpımlar: ', ', ', ', ', ' Feza UZLU 4.0

6 ynı fonksiyonun bir çok yeterli kümesi olabilir F(,,)= ' + ' + ' F(,,)= ' + ' + ' + ' F(,,)= ' + ' + ' Yeterli küme bir asal çarpım kaldırıldığında tüm doğru noktalar kapsanmamış olur. F(,,)= ' + ' + ' + ' aşlıca Nokta ve Gerekli sal çarpım (Essential Prime Implicant): azı fonksiyonlarda bazı doğru noktalar sadece bir asal çarpım tarafından örtülürler. u noktalara başlıca nokta denir. u noktaları örten asal çarpımlara da gerekli asal çarpım (essential prime implicant) denir. Gerekli asal çarpımlar fonksiyonun yeterli kümesinde mutlaka yer alırlar. Çünkü başlıca noktaların başka asal çarpımlar tarafından örtülmesi mümkün değildir. Örnek: F Tüm sal Çarpımlar Kümesi: ', ', ', ','', ' aşlıca Noktalar Gerekli çarpımlar 000 ' 000 '' 000 ' 0 ' 0 ' uradaki gerekli asal çarpımlar fonksiyonun tüm doğru noktalarını örtmektedir. u özel bir durumdur. F= ' + '' + ' + ' + ' Feza UZLU 4.2

7 Örnek: ir fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesinin, başlıca noktalarının ve gerekli çarpımların bulunması. F Tüm sal Çarpımlar Kümesi:,, ',, '', ' 0 0 aşlıca Noktalar Gerekli çarpımlar 0000 '' Feza UZLU 4.3 Lisans: Yalınlaştırma: Uygun sal Çarpımların Seçilmesi Hatırlatma: Yalınlaştırma işlemi 2 aşamadan oluşmaktadır:. Tüm asal çarpımlar kümesinin (Tüm temel içerenlerin) bulunması 2. Fonksiyonun tüm "doğru" noktalarını örtecek şekilde, asal çarpımlardan en uygun (ucuz) olanların seçilmesi. En uygun asal çarpımların (yeterli kümenin) seçilmesinde kullanılan yöntemlerden biri seçenekler tablosu yöntemidir. Seçenekler Tablosu: Fonksiyonun asal çarpımları bulunduktan sonra bu çarpımlara isimler verilir. Örneğin,,,.. gibi. Verilen bir maliyet kriterine göre her asal çarpımın maliyeti hesaplanır. Seçenekler tablosu bir matris şeklinde hazırlanır. Tablonun satırlarında, fonksiyonun asal çarpımlarının isimleri yer alır. Sütunlarda ise o fonksiyonun doğru noktalarının numaraları bulunur. En son sütuna asal çarpımların maliyetleri yazılır. ir asal çarpım bir noktayı örtüyorsa matrisin ilgili gözüne X konur Feza UZLU 4.4

8 Örnek: Verilen fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesini bulunuz ve seçenekler tablosunu oluşturunuz. f(x, x 2, x 3, x 4 )=Σm(2, 4, 6, 8, 9, 0, 2, 3, 5) Maliyet hesabında her değişken 2 birim, her tümleme işlemi birim maliyete sahip olacaktır. f x 3 x 4 x x 2 00 x x 0 x 2 x 4 Tüm sal Çarpımlar Kümesi: x x 3 ' x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 'x 3 x 4 ' x 2 ' x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' Semboller: E F G Maliyetler: Örttüğü Noktalar:8,9,2,3 4,2 4, 6 3, 5 2, 6 2, 0 8, Feza UZLU 4.5 x x 3 ' Tüm sal Çarpımlar Kümesi: x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 'x 3 x 4 ' x 2 ' x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' Semboller: E F G Maliyetler: Örttüğü Noktalar:8,9,2,3 4,2 4, 6 3, 5 2, 6 2, 0 8, 0 E F G Fonksiyonun "doğru" noktaları Maliyet X X X X 5 X X X X 6 X X X Feza UZLU 4.6

9 Seçenekler Tablosunun İndirgenmesi. aşlıca noktalar belirlenir. ir sütunda sadece bir tane X varsa o sütundaki nokta başlıca noktadır. aşlıca noktayı örten asal çarpım (gerekli asal çarpım) mutlaka fonksiyonun ifadesinde yer alacağından seçilir. u asal çarpıma ait satır ve onun örttüğü noktalara ait sütunlar tablodan kaldırılır. 2. Tabloda j. satırın X olan her gözünde i. satırda da X varsa i. satır, j. satırı örtüyor denir. Yani j. satırın örttüğü bütün noktaları i. satır da örtüyordur. Eğer i. satır j. satırı örtüyorsa ve i. satırdaki maliyet j. satırdaki maliyetten küçükse veya ona eşitse j. satır (örtülen satır) tablodan kaldırılır. 3. ir sütun başka bir sütunu örtüyorsa örten sütun (daha fazla X'e sahip olan) tablodan silinir. i j i j k X X 4 X 5 X X X X X u kurallar peş peşe uygulanarak fonksiyonun doğru noktaları toplam maliyet en az olacak şekilde örtülmeye çalışılır Feza UZLU 4.7 Örnek: şağıda verilen fonksiyona ait seçenekler tablosunun indirgenmesi. f(x, x 2, x 3, x 4 )=Σm(2, 4, 6, 8, 9, 0, 2, 3, 5) x x 3 ' x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 'x 3 x 4 ' x 2 ' x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' E F G Fonksiyonun "doğru" noktaları Maliyet X X X X 5 X X X X 6 X X X. dım: u tabloda 9 ve 5 başlıca noktalardır. ve gerekli çarpımlar oldukları için onlara ait satır ve örttükleri sütunlar tablodan kaldırılır. u çarpımlar daha sonra sonucu oluştururken kullanılmak üzere işaretlenir Feza UZLU 4.8

10 Maliyet x 8 x x 8 E x x 8 F x x 8 G x 8 2. dım: u tabloda, 'yi örter. Maliyetleri aynı olduğu için örtülen satır () tablodan silinir. enzer şekilde F, G'yi örter ve maliyetleri aynıdır. u nedenle G satırı tablodan silinir. u çarpımlar sonuç ifadede yer almayacaktır Maliyet x x 8 E x x 8 F x x 8 3. dım: u tabloda 4 ve 0 başlıca noktalardır. u nedenle ve F çarpımlarını almak gerekir. u iki asal çarpım seçildiğinde tüm noktalar örtülmüş olur Feza UZLU 4.9 Lisans: Sonuç: İşaretlenmiş olan asal çarpımlar fonksiyonun en ucuz ifadesini oluştururlar. Seçilen asal çarpımlar: F Toplam Maliyet= = 27 f(x, x 2, x 3, x 4 ) = x x 3 ' + x x 2 x 4 + x 'x 2 x 4 ' + x 2 ' x 3 x 4 ' Karnaugh diyagramı ile hangi asal çarpımların seçildiğini görebiliriz. f x 3 x 4 x x 2 00 x x 0 x 4 x 2 u seçimde tüm ler örtülmeli ve bir fazlalık olmamalı. Seçilmiş olan asal çarpımlar bir yeterli küme oluşturmalı. Yani çarpımlardan biri kaldırıldığında tüm noktalar örtülememeli. x x 3 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 2 ' x 3 x 4 ' Feza UZLU 4.20

11 Tümüyle Tanımlanmamış Fonksiyonların Yalınlaştırılması Hatırlatma:Tümüyle tanımlanmamış fonksiyonlarda, bazı giriş kombinezonları için fonksiyonun alacağı değer belirsizdir (önemli değildir). Çünkü bu giriş kombinezonları ilgili devrede fiziksel olarak oluşamazlar ya da tasarımcı tarafından yasaklanmışlardır. Örnek: sayıları arttıran devre I I2 I4 I8 u girişler için devrenin (fonksiyonun) çıkışlarının alacağı değer belirsizdir. elirsiz değerleri göstermek için X yerine Φ sembolü de kullanılır. O O2 O4 O8 I8 I4 I2 I O8 O4 O2 O X X X X 0 X X X X 0 0 X X X X 0 X X X X 0 X X X X X X X X Feza UZLU 4.2 elirsiz eğerlerin (Φ) Seçilmesi: Yalınlaştırma işleminde, belirsiz değerler (Φ) en ucuz ifadeyi elde edecek şekilde gerektiğinde lojik 0, gerektiğinde lojik olarak seçilebilirler. Tüm asal çarpımlar kümesi bulunurken daha basit çarpımlar elde etmek için (Karnaugh diyagramında daha büyük gruplamalar yapabilmek için) Φ = olarak seçilir. Seçenekler tablosunda kapsanması gereken noktalar yazılırken Φ = 0 olarak seçilir. Çünkü bu noktaların çarpımlar tarafından örtülmesine gerek yoktur. Örnek: şağıda verilen tümüyle tanımlanmamış fonksiyonu en düşük maliyetle tasarlayınız. f(x, x 2, x 3, x 4 )=Σ m (2, 4, 8, 9, 3, 5 ) + Σ Φ (6,0,2) Not: f(x, x 2, x 3, x 4 )= (2, 4, 8, 9, 3, 5 ) + Φ (6,0,2) şeklinde de yazılabilir. Maliyet hesabında her değişken 2 birim, her tümleme işlemi birim maliyete sahip olacaktır Feza UZLU 4.22

12 f x 3 x 4 x x x 0 x Φ Φ Φ x 4 x 2 sal çarpımlar bulunurken Φ ler olarak seçilir. Tüm sal Çarpımlar Kümesi: x x 3 ' x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 'x 3 x 4 ' x 2 ' x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' Semboller: E F G Maliyetler: Örttüğü Noktalar: 8,9, , Feza UZLU 4.23 x x 3 ' Tüm sal Çarpımlar Kümesi: x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 'x 3 x 4 ' x 2 ' x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' Semboller: E F G Maliyetler: Örttüğü Noktalar: 8,9, , Fonksiyonun "doğru" noktaları E F G Maliyet X X X 5 X X 6 Tablo oluşturulurken Φ ler 0 olarak seçilir. u noktaların örtülmesine gerek olmadığından Φ ler seçenekler tablosunda yer almazlar Feza UZLU 4.24

13 Fonksiyonun "doğru" noktaları E F G Maliyet X X X 5 X X 6.dım: u tabloda 9 ve 5 başlıca noktalardır. ve gerekli çarpımlar oldukları için onlara ait satır ve örttükleri sütunlar tablodan kaldırılır. u çarpımlar daha sonra sonucu oluştururken kullanılmak üzere işaretlenir Feza UZLU 4.25 Lisans: Maliyet x 8 x 8 E x 8 F x 8 2. dım: ve aynı noktaları örtmektedir ve maliyetleri eşittir. u nedenle bu iki çarpım arasında bir seçim yapmak mümkün değildir. Verilen maliyet kriterine göre herhangi biri seçilebilir. ynı durum E ve F çarpımları için de geçerlidir. una göre fonksiyon aşağıdaki ifadelerden herhangi biri kullanılarak gerçeklenebilir: f= E = x x 3 ' + x x 2 x 4 + x 2 x 3 ' x 4 ' + x 'x 3 x 4 ' f= F = x x 3 ' + x x 2 x 4 + x 2 x 3 ' x 4 ' + x 2 ' x 3 x 4 ' f= E = x x 3 ' + x x 2 x 4 + x 'x 2 x 4 ' + x 'x 3 x 4 ' f= F = x x 3 ' + x x 2 x 4 + x 'x 2 x 4 ' + x 2 ' x 3 x 4 ' Tüm tasarımların maliyeti eşittir (27) Feza UZLU 4.26

14 Genel Fonksiyonların Yalınlaştırılması Hatırlatma: Genel fonksiyonların birden fazla çıkışı vardır. x x 2 x 3 y y Φ Φ Φ Φ 0 x y x 2 f x 3 y = f (x,x 2,x 3 ) y 2 = f 2 (x,x 2,x 3 ) y 2 Genel fonksiyonlar yalınlaştırılırken her çıkışa ait fonksiyon için ayrı ayrı tüm asal çarpımlar kümesi bulunur ve bunların içinden seçim yapılır. urada dikkat edilmesi gereken nokta her iki çıkış için ortak çarpımların kullanılmaya çalışılmasıdır. Genel fonksiyonlar yalınlaştırılması bu dersin kapsamı dışında tutulmuştur Feza UZLU 4.27 Tüm sal Çarpımlar Kümesinin Tablo Yöntemiyle (Quine-Mcluskey) ulunması Karnaugh diyagramları görsel özellikleri nedeniyle az değişkenli fonksiyonlarla ilgili çalışmalarda kolaylık sağlarlar. ncak değişken sayısı 5 ve daha fazla olduğunda Karnaugh diyagramlarını çizmek ve bitişiklilik özelliğini kullanmak zorlaşır. Tablo yöntemi (Quine-Mcluskey) ise sistematik bazı işlemlerin peş peşe tekrarlanmasından oluşmaktadır. u işlemleri elle yapmak fazla zaman alabilir, ancak söz konusu işlemleri bilgisayar programı ile gerçekleştirmek kolaydır. Tablo (Quine-Mcluskey) Yöntemi: Hatırlanacağı gibi, asal çarpımları bulmak için değeri üreten ve bitişik olan giriş kombinezonları (minterimler) gruplanmaya çalışılıyordu. Sadece bir değişkenin değiştiği (bitişik) olan kombinezonlar aynı gruba alınıyordu. (kz. 4.4 teki şekil) Tablo yönteminde değeri olan her kombinezon (minterim) diğer minterimler ile karşılaştırılır. Eğer iki kombinezon arasında sadece bir giriş (değişken) farklıysa o iki kombinezon gruplanır. Farklı olan değişken silinerek yeni terim elde edilir. u durum hiç gruplama yapılamayana kadar devam eder. Hiç bir gruba girmeyen terimler asal çarpımlardır Feza UZLU 4.28

15 Yöntem: Willard Van Orman Quine ( ), Felsefe, lojik Edward J. Mcluskey(929-) Elektrik müh.. dım: Tüm asal çarpımlar kümesinin bulunması oğruluk tablosunda üreten giriş kombinezonlarını belirleyin. Karşılaştırma kolaylığı sağlamak için içindeki 'lerin sayısına göre kombinezonları kümeleyin. Örneğin; 0 giriş kombinezonunda üç adet vardır. Komşu kümlerdeki kombinezonları karşılaştırın. Tek girişin farklı olduğu kombinezonları gruplayıp yeni kombinezonlar oluşturun. Yeni kombinezonlarda değeri değişen giriş yer almayacaktır. ir gruba girmiş olan kombinezonları işaretleyin. Yeni oluşan kombinezonlar üzerinde de aynı gruplama işlemlerini yeni gruplar oluşmayıncaya kadar sürdürün. Hiç bir gruba girmemiş olan kombinezonlar (işaretsizler) tüm asal çarpımlar kümesini oluştururlar. 2. dım: En ucuz yeterli kümenin (minimal covering sum) bulunması Tüm asal çarpımlar kümesi bulunduktan sonra yalınlaştırma işlemi için yine seçenekler tablosu kullanılarak en ucuz yeterli küme bulunur Feza UZLU 4.29 Örnek: şağıda verilen fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesini Quine-Mcluskey yöntemiyle bulunuz. f(x, x 2, x 3, x 4 )= Σ m (0,, 2, 8, 0,, 4, 5 ) K.No x x 2 x 3 x K.No x x 2 x 3 x 4 0, , , , , , 0-0,4-0,5-4,5 - K.No x x 2 x 3 x 4 0,2,8, ,8,2, ,,4, ,4,,5 - - ynı olanları yazmaya gerek yok Tüm asal çarpımlar kümesi (İşaretsiz olanlar): x ' x 2 ' x 3 ', x 2 ' x 4 ', x x 3 En ucuz çözümü elde etmek için bu aşamadan sonra seçenekler tablosu oluşturulur ve en ucuz yeterli küme bulunur Feza UZLU 4.30