MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 9. Tanım 2. Kompleks düzlemin tamamında analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir.
|
|
- Derya Sağlık
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 .7. Analitik ve Harmonik Fonksiyonlar Tanım 1. f(z) nin z 0 da f (z 0 ) türevi mevcut ve z 0 ın bir D ε (z 0 ) = {z : z z 0 < ε} komşuluğundaki her noktada türevi varsa bu durumda f ye z 0 da analitiktir ( veya holomorfiktir) denir. Tanım. Kompleks düzlemin tamamında analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir. Tanım 3. Eğer f (z 0 ) mevcut değil fakat z 0 ın komşuluğundaki en az bir noktada f(z) analitik ise z 0 a f nin singüler (tekil) noktasıdır denir. Tanım 4. h : R R fonksiyonu R de bir bölgede sürekli ve h nın birinci ve ikinci mertebeden tüm kısmi türevleri mevcut ve sürekli olsun. Eğer verilen bölgede h xx (x, y) + h yy (x, y) = 0 Laplace denklemi sağlanıyorsa h fonksiyonuna bu bölgede harmoniktir denir. Teorem 1. u(x, y) bir (x 0, y 0 ) noktasının bir ε- komşuluğunda harmonik olsun. Bu durumda f(z) = u(x, y) + iv(x, y) bu komşulukta analitik olacak biçimde bir v(x, y) harmonik eşlenik fonksiyonu vardır. Soru 1. Aşağıdaki fonksiyonların hiçbir yerde analitik olmadığını gösteriniz. a) f(z) = xy + iy b) f(z) = e y (cosx + isinx) Çözüm. a) f(z) = xy + iy fonksiyonu için u(x, y) = xy ve v(x, y) = y dir. Buradan u x = y, u y = x, v x = 0 ve v y = 1 bulunur. u ve v nin birinci mertebeden bütün kısmi türevleri mevcut ve süreklidir. ve u x = v y u y = v x Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 1
2 Cauchy-Riemann denklemlerinin sağlanabilmesi için y = 1 ve x = 0 olmalıdır. Buradan f fonksiyonunun sadece z 0 = i = i noktasında türevinin var olduğu görülür. f nin z 0 noktası komşuluğunda türevi mevcut olmadığından f hiçbir yerde analitik değildir. b) f(z) = e y (cosx + isinx) fonksiyonu için u(x, y) = e y cosx ve v(x, y) = e y sinx dir. Buradan u x = e y sinx, u y = e y cosx, v x = e y cosx ve v y = e y sinx bulunur. u x = v y denkleminin sağlanabilmesi için e y sinx = e y sinx ve her y R için e y > 0 olduğundan sinx = 0 olmalıdır. Buradan x = kπ, k Z bulunur. Benzer şekilde u y = v x denkleminin sağlanabilmesi için x = π + kπ, k Z olmalıdır, dolayısıyla Cauchy-Riemann denklemleri sağlanmadığından f hiçbir yerde analitik değildir. Soru. Aşağıdaki fonksiyonların tam olduklarını gösteriniz. a) f(z) = 3x + y + i(3y x) b) f(z) = sinxcoshy + icosxsinhy Çözüm. a) u(x, y) = 3x + y ve v(x, y) = 3y x dir. Buradan, u x = 3, u y = 1, v x = 1, ve v y = 3 bulunur. u ve v nin birinci mertebeden bütün kısmi türevleri mevcut, sürekli ve Cauchy-Riemann denklemlerini sağladığından f fonksiyonu her (x, y) noktasında türevlenebilirdir. Dolayısıyla tamdır. b) u(x, y) = sinxcoshy ve v(x, y) = cosxsinhy dir. Buradan, u x = cosxcoshy, u y = sinxsinhy, v x = sinxsinhy, ve v y = cosxcoshy bulunur. (a) şıkkındaki gibi f nin tam olduğu görülür. Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa
3 Soru 3. Aşağıdaki fonksiyonların R de harmonik olduklarını gösterip harmonik eşleniklerini bulunuz. a) u(x, y) = x xy b) u(x, y) = sinhxsiny Çözüm. a) u(x, y) = x xy olmak üzere u x = y, u xx = 0, u y = x ve u yy = 0 olur ve buradan u xx + u yy = 0 olup ikinci mertebeden türevler her yerde süreklidir, dolayısıyla u fonksiyonu R de harmoniktir. u nun v harmonik eşleniği u x = v y ve u y = v x Cauchy-Riemann denklemlerini sağlar, buradan ve buradan v y = y v(x, y) = y y + ϕ(x) ϕ (x) = v x = u y = x ϕ(x) = x + c (c sabit) bulunur, dolayısıyla u nun v harmonik eşleniği olarak elde edilir. v(x, y) = y y + x + c b) u(x, y) = sinhxsiny olmak üzere u x = coshxsiny, u xx = sinhxsiny, u y = sinhxcosy ve u yy = sinhxsiny olur ve buradan u xx + u yy = 0 olup ikinci mertebeden türevler her yerde süreklidir, dolayısıyla u fonksiyonu R de harmoniktir. u nun v harmonik eşleniği u x = v y ve u y = v x Cauchy-Riemann denklemlerini sağlar, buradan v y = coshxsiny v(x, y) = coshxcosy + ϕ(x) Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 3
4 ve buradan v x = u y = sinhxcosy + ϕ (x) = sinhxcosy bulunur, dolayısıyla ϕ (x) = 0 ϕ(x) = c (c sabit) olmalıdır. Buradan u nun v harmonik eşleniği olarak elde edilir. v(x, y) = coshxcosy + c Soru 4. u(x, y) = x 3 3xy + 3x 3y + 3 fonksiyonundan yararlanarak f(i) = 0 eşitliğini sağlayan analitik bir f fonksiyonu bulunabilir mi, araştırınız. Çözüm. u x = 3x 3y +6x ve u xx = 6x+6 olur. Ayrıca u y = 6xy 6y ve u yy = 6x 6 dır. O halde u xx + u yy = 6x + 6 6x 6 = 0 olur ve böylece u harmoniktir. Cauchy-Riemann denklemlerinin sağlanması için u x = v y ve u y = v x eşitliklerinin sağlanması gerekir. Buradan u x = v y v y = 3x 3y + 6x ve v(x, y) = 3x y y 3 + 6xy + ϕ(x) bulunur. Benzer biçimde u y = v x 6xy 6y = (6xy+6y+ϕ (x)) ϕ (x) = 0 olup ϕ(x) = c (c sabit) bulunur. Buradan v(x, y) = 3x y y 3 + 6xy + c elde edilir. Dolayısıyla f(i) = f(0 + i) = i( 1 + c) = 0 ise burada c = 1 olmalıdır. Soru 5. u ve v fonksiyonları bir D bölgesinde harmonik olsun. f = u+iv fonksiyonu D bölgesinde analitik midir? Araştırınız. Çözüm. f = 1 + ix olsun. Bu durumda u(x, y) = 1 ve v(x, y) = x olur. u xx +u yy = 0 ve v xx +v yy = 0 olduğundan u ve v fonksiyonları tüm kompleks düzlemde harmoniktir. Fakat u y = 0, v x = 1 olup u y v x olduğundan f fonksiyonu hiçbir yerde analitik değildir. Sonuç olarak u ve v fonksiyonlarının harmonik olması f nin analitik olmasını gerektirmez. Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 4
5 Soru 6.f, kompleks düzlemde analitik bir fonksiyon olsun. ( ) f(z) = 4 f (z) y olduğunu gösteriniz. Çözüm. f = u + iv diyelim. f = u + v olur. Ayrıca f analitik olduğundan u x = v y ve u y = v x Cauchy-Riemann denklemleri sağlanır ve u ve v harmonik olacağından u xx + u yy = 0, v xx + v yy = 0 eşitlikleri gerçeklenir. ( ) ( ) f(z) = y (u + v ) y elde edilir. = x (u + v ) + y (u + v ) = x (uu x + vv x ) + y (uu y + vv y ) = u x + uu xx + v x + vv xx + u y + uu yy + v y + vv yy = u(u xx + u yy ) + v(v xx + v yy ) + u x + u y + v x + v y = u x + v x + v x + u x = 4(u x + v x) = 4 f (z) Soru 7. f k (z) ( k = 1,,..., n) fonksiyonları bir D bölgesinde analitik olsun. Bu durumda F (x, y) = f k (z) fonksiyonunun D de harmonik olması için gerek ve yeter şart her bir f k fonksiyonunun D de sabit olmasıdır, gösteriniz. Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 5
6 Çözüm.f k (z) ( k = 1,,..., n) fonksiyonları D bölgesinde analitik olduğundan ( ) f y k (z) = = ( ) f y k (z) 4 f k(z) yazılabilir. Böylece k = 1,,..., n için F = 0 f k(z) = 0 bulunur. Alıştırmalar f k(z) = 0 f k sabit 1) Aşağıdaki fonksiyonların harmonik olup olmadığını araştırınız. ( ) z a)u(x, y) = Re b)u(x, y) = xy z 3 1 ) f, A kümesi üzerinde analitik olsun ve g fonksiyonu g : A C, g(z) = f(z) olarak tanımlansın. g fonksiyonunun ne zaman analitik olacağını araştırınız. 3) f(z) = x + axy + by fonksiyonunun sadece a = i, b = 1 değerleri için analitik olduğunu gösteriniz. Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri Sayfa 6
MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 12. 3.3. Trigonometrik ve Hiperbolik Fonksiyonlar ve Tersleri., cosx = eix + e ix 2i
MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1 3.3. Trigonometrik ve Hiperbolik Fonksiyonlar ve Tersleri e ix = cosx+isinx ve e ix = cosx isinx denklemlerinden yararlanılarak, her x reel sayısı için, sinx
DetaylıAlıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.
Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z
MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z
Detaylıİkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri
1. KOMPLEKS SAYILAR 1.1. Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri Tanım 1. x, y R olmak üzere (x, y) sıralı ikililerine kompleks sayı denir. Burada x, z nin reel kısmı, ve y, z nin imajiner
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 3
1.3. Kompleks Düzlemin Topolojisi Tanım 1. D ε (z 0 ) = {z C : z z 0 < ε} kümesine z 0 ın bir ε komşuluğu denir. Tanım 2. Bir A C kümesi verilsin. z 0 ın sadece A nın elemanlarından oluşan bir komşuluğu
DetaylıS4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun
Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylısonlu altörtüsü varsa bu topolojik uzaya tıkız diyoruz.
Ders 1: Önbilgiler Bu derste türev fonksiyonunun geometrik anlamını tartışıp, yalnız R n nin bir açık altkümesinde değil, daha genel uzaylarda tanımlı bir fonksiyonun türevi ve özel noktalarının nasıl
DetaylıBÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü
Detaylı3. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
3. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi TAYLOR TEOREMİ Eğer f C n [a,b] ve f n+1 [a,b] de mevcut ise, x
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
Detaylı(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1
0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m
Detaylı1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0
Detaylıf fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve
nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)
Detaylı3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10
Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMatematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3
Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =
DetaylıGenel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu
JEODEZİ9 1 Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu u ve v Gauss parametrelerine bağlı olarak r r ( u, v) yer vektörü ile verilmiş bir Ω yüzeyinin, u*, v* Gauss parametreleri ile verilmiş
DetaylıDeğişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.
1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I
7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I Bir f fonksiyonu analitiklik bölgesi içinde f () X a n ( 0 ) n şeklinde bir kuvvet serisi gösterimine sahiptir. E¼ger a n f (n) ( 0 ) seçilirse bu kuvvet serisi Taylor serisi
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
DetaylıTrigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik
Detaylı1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1
. ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıSoru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.
İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DetaylıBirinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
DetaylıDÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I
DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I MATEMAT IK BÖLÜMÜ 203-204 BAHAR YARIYILI D IFERANS IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 2 Nisan 204 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. (5p) Belirsiz katsay lar yöntemini
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 13
4. İNTEGRALLER 4.1. Kompleks İntegrasyon Tanım 1. f : [a, b] R fonksiyonu f(t) u(t) + iv(t) biçiminde olsun. Eğer u ve v, [a, b] aralığı üzerinde integrallenebilirse, olarak tanımlanır. b f(t)dt b u(t)dt
Detaylı1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri
Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki
Detaylı1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)
DetaylıKAHRAMANMARAŞ SÜTÇÜ İMAM ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİRİNCİ VE İKİNCİ ÖĞRETİM DERSLERİ
I. YARIYIL Adı Teori Uygulama KSU MT101 Analiz I 6 4 2 5 7 MT107 Soyut Matematik I 4 4 0 4 5 MT109 Analitik Geometri I 4 4 0 4 5 FZ173 Fizik I 4 4 0 4 4 OZ101 Türk Dili I 2 2 0 2 2 OZ121 Ingilizce I 2
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıDiferensiyel Denklemler I Uygulama Notları
2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4
Detaylıİ ü ü ü ü İ ü üü üü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü üü ü ü Ş Ş ü üü İ ü üü Ö ü ü ü ü üü üü ü ü ü ü ü ü ü üü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü Ö ü ü ü ü ü ü Ş ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü İ üü ü ü Ç Ç ü ü ü ü ü ü
Detaylıü ü ü ü ç ü ü ü üü ç ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ç ü ü ü ç ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ç ü ç ç ç ü ç ü ü üü ü ü ü üü ç ü ç ç ü ü ç ü ü ü ç ü ü üü üü ü ü ü üü ç ü ü ü ü üü ü ü üü ü ü üü ü ü ü ü üü ç ü ü ü üü ç ü ü ü ü
DetaylıÜÜ Ü ö ö ö Ö ö ö ö ö ö Ş Ş Ç ö Ş Ş ö
Ş ö Ü ö ö ö ö Ç ö Ç Ö Ö ö ö ÜÜ Ü ö ö ö Ö ö ö ö ö ö Ş Ş Ç ö Ş Ş ö ö ö ö ö Ç ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ş ö Ş Ç Ö ö ö Ş ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ç Ç ö ö Ç ö Ö Ç ö ö Ç ö ö ö ö Ü ö ö Ü ö Ş ö Ü ö ö Ş ö ö Ş Ü ö Ş ö
Detaylıİ ş Ğ İ ş ü ü üü İş ü ü üü ş İ ş Ğ İ ş ş ş ş ş ş ş ü ş ş İ ş ü ü İ ü Ç ş ş ş İ ş ü Ş Ş ş ş ö ş ü ö ş ş ş ş ö ü ö ş ş ş ş ü ö ü ö ş ü ö ü ş ö ş ü ü ş ö İ ü ş ü ş Ş ş ö ş ş ö ü ö ö ö ş İ Ç İ İŞİ ş ö ş ş
Detaylıü İİ İ Ü ü ü ö ü ü İ Ö ü ö ö ü ö ö ü ü ü ü ö ö üü ü üü ü ö ö ü ö Ü ü ü İ ö Ö ü ü ü ü İ İ ö ü Ö ü ü ü ü ö ö Ş ö ü ü ü ö ü Ç ö ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ö ö ü ü ö ü ü ü Ü ü ü Ş ü ü ü ü üü ü ö ü İ ö ö üü ü ü Ç
DetaylıĞ Ü Ş Ş Ü Ş Ş Ü Ü Ş Ş Ç Ş Ş Ğ Ü Ö Ö Ş Ü Ç Ş Ü Ş Ş Ş Ö Ş Ü Ş Ö Ü Ş Ç « Ö Ö Ş « Ü Ü Ü Ü Ü «Ü Ş Ü «Ö Ö Ç Ö Ö Ö Ö Ö Ş Ü Ç Ş Ç Ş Ö Ö Ü Ğ ÜŞ «Ü Ç Ç Ç Ç Ö Ö Ğ Ö Ö Ö Ö » Ü Ü Ü Ü Ş Ğ Ü Ç Ö « Ç Ö Ü Ş Ö Ş
DetaylıÖ ö Ü Ü ÜÜ ö Ö ö ö Ş « ö Ö ö Ö Ö ö ö Ç Ö Ö Ş Ö Ö Ş Ş Ö Ç Ş Ş Ş ö Ö ö Ç ö ö Ö Ö ö ö Ö Ç ö ö Ö Ö Ö» ö ö ö ö Ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ö ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö ö Ş Ş ö Ş Ş ö ö ö ö Ş Ö Ö ö Ş ö Ş ö ö Ş Ş ö ö ö ö Ö Ş Ö
Detaylıö ü ş ç» ş ü ü ü ü ç» Ö Ö Ç ş Ö Ü ş ü ü ü ü ü ü ş ü ü ü ü ü üü ö ç ş ö ü ş ç ş ü ü ü ü ç» ü ü ş Ö Ö Ç ü ü ü Ö ü ü ü ü ö ü ö ü ü ü Ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ç ü ü üü ö ç ş Ö Ü ç ü ç ö ö Ç ü ü ü ü ü ö ü
Detaylı«ç Ü Ü Ü ü ç ü ü Ö Ü ü ü ü ü ü ü ö ü«ç ü ü ü ç ü ü ü» ü ü ü ü ç ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ç ü üü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ç ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü üü ü ü ü ü ç ü üü ü ü ü ü ü ü Ü
DetaylıĞ Ü Ğ Ğ Ğ Ö Ğ ş ş ö ö ş Ç ş ş Ğ Ğ Ş Ğ ş ş ö ş ş ö ş ş ö ş Ğ Ö ö ö ö Ç ş ö ö ş ş ö ş ö ö ş ö ş ö ö ö ş ş ö ş ö ö ö ş ö ö Ö ş ş ş ş ş ş Ç Ğ Ğ ö ş ş ş ö ö ş ö ö ş Ç ö ş ö ş ö ş ş ş ö ö ş ş ö ş ş ö ş ş ö ş
DetaylıĞ Ğ ü «Ü Ğ Ö Ğ ü Ü ü Ğ ü ü ü Ç Ş ü Ğ Ğ Ü Ğ Ü Ö ü Ç Ü ü ü Ü ü ü ü ü ü ü Ü ü ü ü Ü ü ü ü ü ü ü Ü ü ü ü ü ü ü ü Ö ü ü ü ü ü üü ü ü üü ü Ü ü» ü ü Ü ü üü ü üü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü üü ü üü ü ü Ü «ü ü ü
Detaylış ş» Ğ Ş ş Ş ş Ş Ş Ş ş ş Ş Ç ş ş Ş ş ş ş ş ş ş ş ş ş ş ş ş ş Ş ş Ş ş ş ş Ş ş ş ş ş ş ş ş ş ş Ş ş Ş ş ş ş ş ş ş ş ş Ş ş ş ş ş Ş ş ş ş ş ş Ş ş ş ş Ü Ü ş ş ş ş Ş ş ş Ş ş Ü Ş ş Ş ş ş Ş ş Ş ş ş Ş Ş ş ş ş ş
Detaylıü ü ü ü ü ü ü Ş ü ü ü ü ü üü ü ü
ü ü İ ü Ç İ İ ü İ İİ İ İ ü ü ü ü ü ü ü Ş ü ü ü ü ü üü ü ü İ İ üü ü ü ü üü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü üü ü ü ü ü ü ü ü İ Ç ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü İ ü ü ü ü ü ü ü ü Ç üü ü ü ü Ö ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü Ç ü
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
DetaylıİÇİNDEKİLER. iii ÖNSÖZ BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ix BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR 1 1.1. Tanımlar 2 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Çözümü (İntegrali) 5 1.3. Başlangıç Değer ve Sınır Değer Problemleri 7 BÖLÜM 2 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
DetaylıSoru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.
İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB1001 Analiz I 6 Aralık 013. Yıliçi Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Talimatlar: Sınav süresi 90 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu
Detaylı0.1 Zarf Teoremi (Envelope Teorem)
Ankara Üniversitesi, Siyasal Bilgiler Fakültesi Prof. Dr. Hasan Şahin 0.1 Zarf Teoremi (Envelope Teorem) Bu kısımda zarf teoremini ve iktisatta nasıl kullanıldığını ele alacağız. bu bölüm Chiang 13.5 üzerine
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
Detaylı1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)
.DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli
DetaylıArtan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıGalois Teori, Örtü Uzayları ve Diferansiyel Denklemler
Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Galois Teori, ve Diferansiyel Denklemler Hacettepe Üniversitesi Matematik Bölümü
DetaylıDiverjans teoremi ise bir F vektörüne ait hacim ve yüzey İntegralleri arasındaki ilişkiyi ortaya koyar ve. biçiminde ifade edilir.
Maxwell denklemlerini intagral bicimlerinin elde edilmesinde Stokes ve Diverjans Teoremlerinden yararlanilir. Stokes Teoremiaşağıdaki gibi ifade edilir, bir F vektörüne ait yüzey integrali ile çizgi integrali
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
Detaylı2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.
D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................
DetaylıMühendislik Matematiği 2- Hafta 2-3. Arş. Gör. Dr. Sıtkı AKKAYA
Mühendislik Matematiği 2- Hafta 2-3 Arş. Gör. Dr. Sıtkı AKKAYA İÇİNDEKİLER BÖLÜM 2 2.1. GİRİŞ 2.2. BİRİNCİ MERTEBE DİFERANSİYEL DENKLEMLERE GENEL BAKIŞ 2.3. BİRİNCİ MERTEBE LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
Detaylıab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur.
3.ALT GRUPLAR HG, Tanım 3.. (G, ) bir grup ve nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ) bir grup ise H ye G nin bir alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Not 3.. a)(h, ), (G, ) grubunun alt grubu
DetaylıSunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.
Sunum ve Sistematik. BÖLÜM: KARMAŞIK SAYILAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın
DetaylıBirinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr.
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1)
Detaylı1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır?
99 ÖYS.,8 + (, + ), işleminin sonucu kaçtır? B) 7 D) 86 987 B) D). a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a=b b=c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a
Detaylı2. İKİ BOYUTLU MATEMATİKSEL MODELLER
. İKİ BOYULU MAEMAİKSEL MODELLER.. Genel Bilgiler Şimdi konform dönüşüm teknikleri ile çözülebilen kararlı durum ısı akışı elektrostatik ve ideal sıvı akışı ile ilgili problemleri göz önüne alacağız. Konform
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıLys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
Detaylıİşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri
İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler
DetaylıKompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Ders Notları Dr. Serkan Aksoy 2016 http://www.gyte.edu.tr/dosya/102/~saksoy/ana.html 1 Gelecek önerileri için, lütfen Dr. Serkan Aksoy (saksoy@gyte.edu.tr) ile
DetaylıDers 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay
48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri
DetaylıDeğişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.
3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıTÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.
Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.
DetaylıAfyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi
Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 6 (06) 0330 (576-584) AKU J Sci Eng 6 (06) 0330 (576-584) DOI:
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıBu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz.
Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine izin verelim.
Detaylı