FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 2. KİTAP KOMPLEKS DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 2. KİTAP KOMPLEKS DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR"

Transkript

1 41 FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR. KİTAP KOMPLEKS DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR w

2 4 İÇİNDEKİLER I. KOMPLEKS SAYILAR A) Kmpleks Aritmetik B) Kmpleks Değişken II. KOMPLEKS FONKSİYONLAR A) Genel B) Kuvvet Fnksiynu ) Üstel Fnksiyn D) Lgaritma III. TÜREV A) Tanım B) auchy - Riemann Şartları ) Laurent Açılımı IV. YOL İNTEGRALLERİ A) Genel B) Mett ) Örnekler 1. Kapalı Yl. Yl Üstünde Tekil Nkta 3. İkinci Mertebe Tekillik 4. Kesikten Yararlanma 5. Orantılı Katkılı Yl 6. Kesik Yaratma EKLER VE NOTLAR

3 43 I. KOMPLEKS SAYILAR A) Aritmetik 1 gibi basit bir denklemin çöümünde yer alan 3 ifadesi, reel sayı kavramlarıyla açıklanama. 3 ve beneri tüm a tipi ifadeleri a 1 a biçiminde yaarak, 'Açıklanması İmkansılar 'ı tek bir terime, 1 'e indirgeyebiliri. 1 yeni bir sayı türüdür, 'Sanal Sayı' larak adlandırılır ve i 1 larak tanımlanır. ödeşlikleri, i i, i 1, i i, i 1 i 'nin tamsayı kuvvetlerinin periydik davranışını gösterir. Reel sayılarla sanal sayılar c a ib larak birleşir ve kmpleks sayıları luştururlar. Reel ve sanal bileşenler iki ayrı sayı türü lup, tek bir snuç verecek şekilde tplanmaları sö knusu lmadığı için, + işaretinin buradaki rlü virgülden pek farklı değildir. Kmpleks sayıların bileşenleri 'İdüşüm' yluyla Re ; Im iy iy y iy larak ifade edilir. Temel aritmetik işlemlerde sağduyuya ters düşen bir şey yktur : a i b c i d a c + i b d a i b c i d ac bd i ad bc. Ancak bölme işlemine geçmeden önce her c a ib kmpleks sayısı için * c a ib lan bir 'Kmpleks Eşlenik 'in varlığını ve * cc çarpımının bir snuç verdiğini bilmek gerekir. Bunun yardımıyla bölme işlemi a b gibi reel ve pitif a i b a i b c i d a c b d a d b c i c i d c i d c i d c d c d larak snuçlandırılır.

4 44 B) Kmpleks Değişken Kmpleks sayılardan, y R lmak üere i y kmpleks değişkenine geçilir. İki bileşenli nin gemetrik gösterimi için iki byutlu bir 'Kmpleks Dülem' gerekir. Yatay eksen reel, dikey eksen de sanal bileşene ait lmak üere +iy r y kullanılır. Bir kmpleks değişkenin 'Standart' gösterimi i y yanı sıra 'Plar' gösterimi de vardır. Bunu görmek için önce 1 ; r y, tan y y r sin, r cs bağıntılarından r cs i sin tanımak için türev alarak elde edilen d d yaılır. cs i sin ifadesini daha iyi cs i sin sin i cs i cs i sin denklemi cs i sin ep i ödeşliğine işaret etmektedir. Böylece bir kmpleks değişkenin i y r ep i bir nkta : - plar gösterimi elde edilir. Burada çk önemli düleminde her nkta tek bir, y çiftini temsil ettiği halde, plar krdinatlarda her nktanın tek bir r, ancak snsu değeri vardır. N ; N N eşdeğerliğin ileride önemli snuçları görülecektir.

5 45 i i ve kmpleks eşleniği cs i sin ep i cs sin ep bağıntılarından e e e e cs, sin i i i i i Euler ödeşlikleri bulunur. Böylece trignmetrik ve hiperblik fnksiynlar arasındaki ilişki tamamen rtaya çıkar ve i i i cs csh, sin sinh i i i cs csh, sin sinh bağıntılarına erişilir. Böylece trignmetrik fnksiynların da aynen hiperblik fnksiynlar gibi üstel fnksiynla, dlayısıyla ters trignmetrik fnksiynların da lgaritma ile yakın ilişkili lduğu görülür. Bir örnek larak nf nf 1 ep ep tan i n F tan i nf i ep nf ep nf 1 F tan F F i i i n 1 F 1F 1 i F elde edilir. Böylece 7 temel fnksiynla çıkılan ylun snunda elde sadece 3 fnksiyn kalmaktadır : Kuvvet : w Lgaritma : w n. c, Üstel : w ep ve II ) KOMPLEKS FONKSİYONLAR A) Genel Kmpleks değişkenli ve değerli fnksiyn kuralına göre bir w fnksiynu, verilen bir sayısı için, belli bir w sayısı bulma işlemidir. w 'nin reel ve sanal

6 46 bileşenleri u ve v ile gösterilir. Böylece w, y u, v lacaktır. veya u v +i y B) Kuvvet Fnksiynu Kuvvet fnksiynunda tabanın çarpım, kuvvetin tplam larak yaılması cebirsel klaylık c getirir ve r ep i ep n r i a i b a i b a n r b i b n r a ep elde edilir. Böylece a b a b u r e cs b n r a, v r e sin b n r a lmaktadır. Bu basit görünümlü snucun arkasında çk önemli prblem ve kavramlar gilenmektedir ? srusu bii 3 8 denklemine götürür, bu denklemin de 3 çöümü lmak gerekir. i 8 = 8 e larak yaarsak bu çöümlerden sadece birini bulmuş luru. Öte yandan snsu terimli i i 4 i 6 i e e e e diisinden yla çıkılırsa 1 3 i 3 4 i i 3 i 8 e, e, e, e, snuçları elde edilir. Buradan gerçekten 3 çöüm lduğu ve bu üçlü grubun blk larak kendini tekrar ettiği

7 47 gölenir. Snuçta varılan ise fnksiyn kavramıyla çelişmektedir , 1 i 3, 1 i 3 değerleri veya 1 i 3 veya 1 i 3 : luşu verilen bir değeri için bir ( ve sadece bir! ) 1 3 değeri beklentimii karşılama. Ayrıca bu durum birbirine snsu yakın iki nktaya dikili bayrakların üstünde çk farklı değerler lmasına iin vermektedir. 1 i 3 Bu çelişkiden çıkış ylu 'Riemann Tabakaları 'dır. Pitif reel eksende bir kesik lduğunu, her dönüşten snra bir alt tabakaya geçildiğini, üç turdan snra da tekrar ilk tabakaya dönüldüğünü kabul edelim. Böylece 'Tek tabakada çk değerlilik' yerine 'Çk tabakada tek değerlilik' sağlanmış lur. w 1 N fnksiynlarında N tabaka, a, a Q için ise snsu tabaka gerekir. Reel eksendeki kesiğe 'Dallanma Kesiği' veya kısaca 'Kesik' denir. Kesiğin başladığı nkta, bu durumda ise 'Dallanma Nktası' larak adlandırılır. Sn larak belirtmek gerekir ki kesik larak pitif reel ekseni almak şart değildir. dallanma nktasından başlayıp, snsua giden her eğri bu işi görür. Kesiklerin önem ve yararına integral bahsinde dönülecektir.

8 48 ) Üstel Fnksiyn w için standart biçimde yaılarak ep ep ep i y ep cs y i ep sin y elde edilir. Bu iyi huylu fnksiyn her snlu için snlu ve tek değerlidir. D ) Lgaritma e i n n r n r i larak yaılır. Bu fnksiyn i terimi yüünden tek değerli lama ve genelde pitif reel eksen larak seçilen bir kesiği vardır. Reel değişkenlerde sadece pitif sayılar için tanımlanabilen lgaritma artık her kmpleks sayı için tanımlı lmakta ve mesela n n i.7 i lmaktadır i veya n fnksiynunun etrafında seri açılımının yapılamamasının gerisinde bu nktanın dallanma nktası luşu yatar. PROBLEMLER P.II.1) Bütün ters trignmetrik fnksiynları lgaritma larak ifade edin. P.II.) i) n i csh? 1 iv) 1 i vii)? 1? ii) v) 1 i n 1 i? cs? 3 1 iii) 5 n e? 3 n i =? vi) i viii) 1 3 i? i) 1 i? i) e e,? ) i i 1?

9 49 III. TÜREV A) Tanım v, v, w u i u y i y fnksiynunun türevi dğal larak v dw du i d d d i dy biçiminde tanımlanır. u u du d dy y, v v dv d dy y diferansiyel ifadeleri yardımıyla da u v u v i d i dy dw y y d d i dy elde edilir. dy Bu ifadenin anlamlı labilmesi için yaklaşım yönünden, yani m 'den bağımsı d lması esastır. Ancak daha kestirme yl : tüm yaklaşım yönlerinin yatay ve dikey iki temel yönün bileşkesi lduğu gö önüne alınarak dw d dw şartını d d dy u v u v kşmaktır. Bunun snucunda bulunan i i y y u v u reel ve sanal kısımlarını ayrı ayrı eşitlenerek, y y denkleminin v denklemlerine erişilir. B) auchy - Riemann Şartları Türevin yaklaşım yönünden bağımsı lmasını sağlayan bu denklemlere 'auchy - Riemann (-R) Şartları' denir. Belli bir nktasında bu şartları sağlayan fnksiynlar da nktada 'Analitik' larak adlandırılır. İki analitik fnksiynun tplam ve çarpımlarının da analitik lacağı klayca görülebilir. w fnksiynunda

10 5 u, v y lacağı için -R şartları hemen sağlanır ve N N lmak w üere N fnksiynunun da analitik lduğu gölenir. Seri açılımları N 'lerden luşan ep, sin, tanh gibi fnksiynlar da dğal larak analitiktir. Ancak w 1 1 i y fnksiynunda u y, v y y lacağı için -R şartları : y y y y ve sağlanır gibi görülmelerine karşın y y y y lurlar. İlk bakışta nktası prblemlidir. Sıfıra bölünme geçerli bir işlem lmadığı için plar krdinatlarda cs cs, r r şartları sin sin biçimine dönüşen -R r r w r nktasında sağlanmış lmalar. Aynı şekilde tüm N fnksiynları da ancak nktası dışında analitik lurlar. Böyle nktalar 'Tekil Nkta' larak adlandırılır. Mesela w csc gibi bir fnksiyn için de tekil bir nktadır. Ancak kmpleks dülemdeki bir tekil nkta, reel değişkenlerde lduğu kadar r bir durum değildir. Tek byutlu reel sayı dğrusunda yer alan bir tekil nkta, yıkılmış bir demirylu köprüsü gibi, tanım aralığını iki ayrı ve birbirinden erişilme parçaya böler. Halbuki kmpleks dülemdeki bir tekil nkta, kyanusta küçük bir ada gibi, gerektiğinde etrafından dlaşılabilen önemsi bir engeldir.

11 51 ) Laurent Açılımı Kmpleks değişkenli fnksiynların, negatif kuvvetleri de içeren seri açılımlarına 'Laurent Açılımı' denir ve N tekilliğin mertebesi lmak üere w a n larak yaılır. w ep 1 n N fnksiynunda lduğu gibi N ise nktasında bir 'Esaslı Tekillik' var demektir. Öetle bir nktası, n w fnksiynu açısından dallanma nktası değilse, n Laurent açılımı yapılabilir ve N değerine bağlı larak n N n w a nktası analitik, tekil veya esaslı tekil bir nkta lur. PROBLEMLER P.III.1) Analitik bir fnksiyn için u, y Sabit ve v, y Sabit eğrilerinin birbirleriyle dik larak kesiştiğini gösterin. P.III.) -R şartlarının plar krdinatlarda aldığı biçimi bulun. P.III.3) İki byutlu Laplace peratörü kullanan denkliğini gösterin. denkleminin -R şartlarına

12 5 P.III.4) * denkleminin -R şartlarına denkliğini gösterin. P.III.5) nktası etrafında Laurent açılımını yapın. ( İlk üç terim ) 1 i) sinh ii) cs 1 iii) tan 1 iv) 1 3 cs sin P.III.6) w ( ) 1 3 ep fnksiynunun 1 nktası etrafında Laurent açılımını yapın. ( İlk üç terim ) IV. YOL İNTEGRALLERİ A) Genel w fnksiynunun - düleminde, B : Başlangıç, S : Sn nktası lmak üere, açık veya kapalı bir ylu üerinde integralini hesaplamak için : Gene ylu N parçaya bölmek, her i parçasını, parçanın rta nktasındaki bayrak değeriyle çarpıp, tplam almak gerekir. Parça sayısı snsua, aralıklar da sıfıra giderken d w integrali elde edilir.

13 53 w() S B S B S v d w d i dy u i B S B S u d v dy i v d u dy integralinin sadece uç nktalara bağlı lup, yl seçiminden bağımsı lması için u d v dy df ; v d u dy dg gereklidir. B F F G G df d dy, dg d dy y y F F G u, v ; v, u y ödeşlikleri ile karşılaştırma G eşitliklerini verir. y Buradan elde edilen u F v F, y y y ve v G u G, y y y denklemleri ise gene çıkan snuç u v u v, y y w 'nin analitik lduğu bir bölgede ylunun istendiği biçimde yamultulabileceğidir. Buna göre -R şartlarına götürür. Bundan d w integralinin

14 54 S B 1 1 ve eşdeğer yllardır. Öte yandan analitik bir w için S 3 B 1 d w d w ve d w d w 1 eşitliklerinden d w d w veya bir kapalı çevrim integralini ifade etmek üere d w( ) lduğu görülür. Mesela nktasını içeren kapalı bir N ylunda d ( ) lacaktır. w : Analitik d w( ) ilişkisinin tersi, yani

15 55 d w( ) w : Analitik nktasını içeren kapalı ylunda genelde dğru değildir. Bunu görmek için N integralini i i incelemek yeterlidir. R e ( R : Sabit ) d i R e d değişken dönüşümü ile i N R d 1 d e in biçimini alan integral 1 i R N 1 in1 e N 1 larak değerlendirilir. Bu ifade de, tanımsı N 1 durumu dışında sıfır lur. N 1 durumu için en başa giderek i d i bulunur. Böylece i N 1 d N lmaktadır. N 1 Bu çk önemli ve yararlı bir eleme öelliğidir. Bu snucu 1 'nin tekil lmasından çk d n 'nin çk değerli lan bir fnksiyn lmasına brçluyu; nitekim çk d daha tekil 17 integralinin snucu da sıfırdır. Yukarıda varılan eleme öelliği herhangi bir d w integralinin, nktasını içeren p ylunda klayca değerlendirilmesini sağlar. w 'nin Laurent açılımı kapalı n ile veriliyrsa n N n w a n n d an an d lur ve i a 1 n N n N p snucuna ulaşılır. (1) Bu yaklaşım, belirli integrallerin belirsi integral bulunmadan değerlendirilmesini sağlayan çk güçlü bir metttur. Ancak pek çk durumda integralin reel p

16 56 eksen üerinde iki ayrı nkta arasında alınması istenir. Bu durumlarda verilen açık ylun, sıfır katkılı bir başka ylla kapatılması en klay yldur. Bunu bir örnekle görmek için d 1 integralini ele alalım. Önce d d larak yaılır. İntegrali 1 i i genellemesi yapılır ve integral hesaplanacak fnksiynun tekil nktalarının i, i lduğu görülmektedir. i R Verilen görev : İntegrali reel eksende R ylunda değerlendirmektir. Ama R kapalı bir yl değildir, ancak bu yla : Snsu yarıçaplı bir yarım daire yl eklenirse snuç değişme. Zira 'nin integrale katkısı sıfırdır. Bunu e i i R ( R : sabit ) d i R e d dönüşümü ile elde edilen i R e d 1 1 R e R i i snucundan görebiliri. R i kapalı yluna eşdeğer kapalı bir yldur. Bu yüden R d d d i i i i i i R bileşimi de i d larak yaılabilir. i nktası yakınında i i

17 i i i i lacağı için 1 d 1 i i i i i snucuna ulaşılır. Görüldüğü gibi 1 tan ara snucuna hiç gerek duyulmadan hedefe varılmıştır. Bu yaklaşıma bir alternatif de daire ile alttan kapatmaktır. R ylunu snsu yarıçaplı bir yarım R -i Bu defa i yakınında 1 1 i i i i lacak, ancak ylu saat yönünde lduğu için bu defa i elde edilecektir. Dlayısıyla snuç aynı kalır ve gene lur. i d i i B) Mett Kapalı yl içinde kalan bir tekilliğin d w integraline katkısının i a 1 lduğu görülmüştü. Birden fala ayrık tekillik durumunda her birinin katkısının aritmetik tplamını almak gerekir.

18 Her bir w nktasında, nktada N 'inci mertebe tekilliği lan fnksiyn N w N larak yaılır ve N A w, A : Analitik tanımıyla w A N biçimine skulur. A 'nin Taylr açılımı A A ( n) n lacağı için n n!

19 59 A w ( n) nn elde edilir. Eleme öelliğinden dlayı sadece n n! n N 1 terimi önemlidir. Bu da n N 1 ve Öet larak : Yapılması gereken işler diisi : ( N 1) A a 1 N 1! demektir. i) w 'nin A N larak yaılıp A 'nin bulunması, ii) A 'nin N 1 kere türevinin alınması, iii) Türevin 'da değerlendirilmesi ve snucun N 1! 'e bölünerek a 1 'in bulunması, iv) İntegrale katkı ia 1 'in, kapalı ylun içinde kalan tüm yalın tekil nktalar için bulunup, snuçların tplanması. Metdun çalışması için N 'in snlu ve tamsayı lması gerektiği açıktır. Dlayısıyla eğer bir dallanma nktası veya esaslı tekillik ise bu işlemler yapılama. Artık yukarıda verilen mett esas lmak üere, ayrıntılarda farklar gösteren baı öğretici örneklerin çöümüne geçilebilir : I ) Yl üstünde tekillik var II ) Yl üstünde tekillik yk II A ) Kapalı yl II B ) Açık yl II B 1 i ) Sıfır katkılı ylla kapatma II B 1 ii ) Sıfır katkılı ylla kapatma (. mertebe tekillik ) II B ) Sıfır ve rantılı katkı ylla kapatma

20 6 II B a ) Kesik kullanarak II B b ) Diğer sınıflandırmasının ( II B 1 i ) durumu aten d 1 örneğinde incelenmişti. Diğerleri de rluk sırasıyla teker teker ele alınacaktır. () ) Örnekler 1) Kapalı Yl d integrali, içi çift bir fnksiyn lduğu için 5 3 cs 1 d, içi 5 3 cs periytlu bir fnksiyn lduğu için de 1 d biçiminde yaılabilir. Bu 5 3 cs tip integraller e i değişken dönüşümü ile kmpleks bir fnksiynun, birim yarıçaplı bir daire üerinde, yl integraline dönüşürler. Bu ylla i i 1 e e 1 cs, d i n d i ve snuçta i d i d veya i 3 d elde edilir. Birim yarıçaplı dairesel ylun içinde sadece 1 kalacağı için 1 3, N 1, 3 A i lur. Bu da a i 1 8, dlayısıyla

21 61 d 5 3 cs demektir. Daha genel bir snuç ise a b lmak 4 üere : d a b cs a b ile verilir. ) Yl Üstünde Tekil Nkta a sin a sin d d integrali çk çetin bir integraldir. Öncelikle sin a R fnksiynunun tekil nktası yktur; ayrıca sıfır katkılı bir snsu yarıçaplı daire bulmak imkansıdır. sin( a ) içinde yer alan ep( ) ia ve ep( ia) terimlerinden biri sıfıra giderse öteki snsua gidecektir. Bu iki prblemi birden çömenin ylu, Im : 'Kmpleks ifadenin sanal kısmını seçme' işlemi lmak üere, ilk integrali a ia ia sin ep ep d Im d Im d larak yamaktır. ep ia R fnksiynu nktasında tekildir ve R 'yi, sıfır katkılı bir yl ilavesiyle, kapatmaya iin verir. Bu sıfır katkılı yl, reel ekseni a için yukarıdan, a < için aşağıdan kapayan bir snsu yarıçaplı yarım dairedir. Bunu görebilmek için i d ep iar cs ep ar sin ep ar sin a sin :,, a sin :,, bağıntıları yeterlidir. Kapalı yl integralimide, N 1, ep( ia) A, dlayısıyla a 1 1 lur. Ancak bu sefer de prblem tekil nktanın

22 6 tam yl üstünde lmasıdır. Tekil nkta kapalı ylun içinde kalsa, çevrimin yönüne göre i ; dışında kalsa katkı verecekti. Tam yl üstü bir tekil nkta için rta yl i kabul edilirse bu da a için Im i 1 Im i 1 verir. (3) Böylece ulaşılır. ; a < için ise sin a d sgn a snucuna 3) İkinci Mertebe Tekillik cs d integrali önce 1 1 cs d snra da 1 1 Re ep i i i d biçimine skulur. Üstten kapanan snsu yarıçaplı bir R yarım dairenin sıfır katkı vereceği açıktır. Böylece ifadesine erişilir. Görüldüğü gibi 1 Re i, i d N ve A ep i i i 1 epi i lmaktadır. Dlayısıyla a 1 da d 3 i 8 e i 3 Re e 4 ia a için 1 snucuna varılır. Daha genel bir snuç ise cs a 1 a a d e larak verilir. 1 4

23 63 4) Kesikten yararlanma a 1 lmak üere a a d d 1 1 integralinin içi teriminden dlayı, pitif reel eksen byunca kesiktir. a -1 Dallanma nktası etrafında R yarıçaplı çk büyük veya yarıçaplı çk küçük dairelerin sıfır katkı vereceği i a ia i R e d R e a R i ve 1 R e i e d i 1 e e i a ia 1a denklemlerinden klayca görülür. Kesiğin hemen üstünden geçen ylda e i lduğu için a d integrali bu yl byunca hesaplamak istediğimi 1 a d integraline eşittir. Kesiğin hemen altından ters yöne giden ylda ise 1

24 64 e i lduğu için a a i e i ia e e i a d d d 1 1 e 1 gibi hesaplamak istediğimi integrale rantılı bir snuç bulunur. Sıfır katkılı iki dairesel yl ve biri kesiğin üstünden, diğeri altından giden iki dü yl birleşerek tek bir kapalı 1 ylunu luşturur. a a a a i a d d e d d a a a = d eşitliğinde d 1+, d 1 terimlerinin 1 sıfır lduğu görülmüştü. Kapalı yl integralinde de 1, N 1 ve a i a i a A a kullanarak 1 e e a 1 bulunur. Böylece erişilen 1 a ai ia 1e d i e ara snucu a i a i e i d biçiminde basitleştirilerek ai i a i a 1 1 e e e a d frmülüne ulaşılır. 1 sin a

25 65 5) Orantılı Katkılı Yl b L ep b ep d Lim d b 1 1e L integralinin L 1e kesiği yktur, ancak e 1 i, 3 i, 5 i, değerlerinde snsu adet tekil nktası vardır. L+πi L+πi iπ L L Seçilebilecek bir kapalı yl : L, L arası reel eksende gidiş, L 'den L i 'ye çıkış, L i 'den L i 'ye i dğrusundan dönüş ve L i 'den L 'ye inişten luşur. Li ep b d ep bl ep L L ve 1 e L ep b d ep bl Li ldukları için 1 e ep b ep b ep bi ep b d d i d 1 ep 1 ep b ep i 1 ep veya 1ep larak yaılabilir. ep b ep b bi d d 1ep 1ep i i

26 66 Kapalı yl integralinin değerlendirilmesinde i, N 1 ve A i ep 1 ep b alınacaktır. a A i 1 'ın hesaplanmasında durumu lduğu için L'Hspital kuralından yararlanarak a bi ep 1 bulunur. Böylece varılan b = b ep b i ep bi d eşitliğinden de 1ep 1 ep bi ep d snucuna ulaşılır. 1 ep sin 6) Kesik Yaratma Yl integrali hesaplarında kesikler kadar yararlıdır ki baen kesik yksa bile yaratmak d gerekir. Aslında snucunu bildiğimi integralini bir de bu ylla 1 değerlendirelim. Önce bir kesik luşturmak için fnksiynunun, kesiğin üstünden n eklenmiş n 1, ylu, snsu yarıçaplı bir daire, kesiğin altından, ylu ve nktası etrafında snsu küçük yarıçaplı bir daire 'den luşan kapalı yl integralini inceleyelim.

27 67 Snsu büyük ve snsu küçük daireler n R lduğu için katkı vermeyeceklerdir. Dlayısıyla R v e n i n n i n ( e ) 4i d d d e e denklemi n d d i 1 larak basitleşir. Kapalı yl integrali 1 n i i n i n i 3i i d de iki tekil nktasından gelen katkılarla i i i i larak bulunur. d d i i eşitliği de beklenen 1 1 snucunu verir. (4) PROBLEMLER P.IV.1) Kmpleks yl integrali mettları ile değerlendirin : d cs( a) d i) 4 ii) 1 1 sin( ) d sin( a) sin( b) iii) iv) d a v) ik ( ) e dk vi) k 5ik 6 dk e ik ( ) k ik 1 vii) viii) n ( ) d 4 d 1 4

28 68 i) d ) 3 cs( a) 1 d i) d P.IV.) 1 n 1 35 (n1) ( n)! d sin ( ) n 4 6 ( n) n! n! lduğunu yl integrali metduyla gösterin. EKLER VE NOTLAR (1) İngilice de Residue larak anılan a 1 kavramını 'Reidü' larak Türkçeleştirmekten kaçındım. Kalan / Artık / Artan / Trtu / Telve vs. gibi bir terim kullanmaya da cesaret edemedim. () Çk sayıda yl integrali prblemini, hem de snuçlarıyla beraber içeren engin bir kaynak : A. Y. Öemre, 'Fiikte Matematiksel Mettlar', İTÜ Yayınları, Sayı 86 kitabıdır. (3) Yl üstünde tekilliğin i a 1 katkı vermesine, içeride ve dışarıda lmanın rtalamasını almanın ötesinde, ciddi matematik yaklaşımlar vardır. Burada matematik ciddiyet bira hı uğruna feda edilmiştir. Bunlara herhangi bir uygulamalı matematik kitabında "auchy Principal Value" başlığı altında erişilebilir. (4) n faladan bir içerdiği için aten pitif reel eksen byunca kesiği lan integrallerde bile n getirip n fnksiynu ile çalışmak yararlı snuçlar verir.

FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR

FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR EN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 6. KİTAP DİERANSİYEL DENKLEMLER DD İÇİNDEKİLER. İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLER. KERNEL SEÇİMİ. METOT V. DURUMU A) B) Örnek DD ) Sabit Katsayılı DD V. DURUMU A) B) Euler DD )

Detaylı

Üçüncü Kitapta Neler Var?

Üçüncü Kitapta Neler Var? Üçüncü Kitapta Neler Var?. Kümeler 7 0. Kartezyen çarpım - Bağıntı 4. Fnksiynlar 4 74 4. İşlem 7 84. Mdüler Aritmetik 8 00 6. Plinmlar 0 0 7. İkinci Dereceden Denklemler 6 8. Eşitsizlikler 7 6 9. Parabl

Detaylı

SBS MATEMATİK DENEME SINAVI

SBS MATEMATİK DENEME SINAVI SS MTEMTİK DENEME SINVI 8. SINIF SS MTEMTİK DENEME SINVI. 4.. Güneş ile yut gezegeni arasındaki uzaklık 80000000 km dir. una göre bu uzaklığın bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? ),8.0 9 km

Detaylı

Şekil 1: Direnç-bobin seri devresi. gerilim düşümü ile akımdan 90 o ileri fazlı olan bobin uçlarındaki U L gerilim düşümüdür.

Şekil 1: Direnç-bobin seri devresi. gerilim düşümü ile akımdan 90 o ileri fazlı olan bobin uçlarındaki U L gerilim düşümüdür. 1 TEME DEVEEİN KAMAŞIK SAYIAA ÇÖÜMÜ 1. Direnç Bbin Seri Devresi: (- Seri Devresi Direnç ve bbinin seri bağlı lduğu Şekil 1 deki devreyi alalım. Burada devre gerilimi birbirine dik lan iki bileşene ayrılabilir.

Detaylı

Işığın Modülasyonu. 2008 HSarı 1

Işığın Modülasyonu. 2008 HSarı 1 şığın Mdülasynu 008 HSarı 1 Ders İçeriği Temel Mdülasyn Kavramları LED şık Mdülatörler Elektr-Optik Mdülatörler Akust-Optik Mdülatörler Raman-Nath Tipi Mdülatörler Bragg Tipi Mdülatörler Magnet-Optik Mdülatörler

Detaylı

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ ENEME MTEMTÝK GEOMETRÝ ENEMELERÝ 1. ( ) 1, 3 9 : 9 4 6 0,5 1 4. K dğal sayısının 36 ile bölümünden kalan 14 tür. işleminin snucu kaçtır? 1 ) 3 ) 1 ) ) 1 E) 3 3 una göre, aşağıdakilerden hangisi 4 ile tam

Detaylı

FM561 Optoelektronik. Işığın Modülasyonu

FM561 Optoelektronik. Işığın Modülasyonu FM561 Optelektrnik Işığın Mdülasynu Pasif ptelektrnik elemanlar Çeyrek Dalga Plakası Yarım Dalga Plakası Tarım Dalga Plakası Işığın Mdülasynu lektr-ptik mdülasyn» Pckel tkisi» Kerr tkisi Akust-Optik mdülasyn

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

Algoritma, Akış Şeması ve Örnek Program Kodu Uygulamaları Ünite-9

Algoritma, Akış Şeması ve Örnek Program Kodu Uygulamaları Ünite-9 Örnek 1 Algritma, Akış Şeması ve Örnek Prgram Kdu Uygulamaları Ünite-9 Klavyeden girilen A, B, C sayılarına göre; A 50'den büyük ve 70'den küçük ise; A ile B sayılarını tplayıp C inci kuvvetini alan ve

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

2012 LYS 1 MATEMATİK GEOMETRİ SORU VE ÇÖZÜMLERİ. sayısının 2 sayı A) 3 2. Çözüm : Cevap B. 2 x C) 1 5. Çözüm : Cevap D

2012 LYS 1 MATEMATİK GEOMETRİ SORU VE ÇÖZÜMLERİ. sayısının 2 sayı A) 3 2. Çözüm : Cevap B. 2 x C) 1 5. Çözüm : Cevap D 0 LYS MATEMATİK GEOMETRİ SORU VE ÇÖZÜMLERİ. 8 sayı tabanında verilen 8 sayısının sayı tabanında yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? 00 B) 0. lduğuna göre ifadesinin değeri kaçtır? C) 0 D) 0 B) C) 9 E)

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

RELATİVİTE VE ELEKTROMAGNETİK ETKİLEŞMELER

RELATİVİTE VE ELEKTROMAGNETİK ETKİLEŞMELER 14 RELATİVİTE VE ELEKTROMAGNETİK ETKİLEŞMELER A) GİRİŞ B) KİNEMATİK C) DİNAMİK D) ELEKTROMAGNETİK ETKİLEŞME E) ZORLIKLAR - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

= 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz dengenin istikrarlı olup olmadığını tespit ediniz.

= 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz dengenin istikrarlı olup olmadığını tespit ediniz. Siyasal Bilgiler Fakültesi İktisat Bölümü Matematiksel İktisat Ders Notu Prof. Dr. Hasan Şahin Faz Diyagramı Çizimi Açıklamarı = 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz

Detaylı

SÜLEYMAN DEMİ REL ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K-Mİ MARLIK FAKÜLTESİ MAKİ NA MÜHENDİ SLİĞİ BÖLÜMÜ MEKANİK LABORATUARI DENEY RAPORU

SÜLEYMAN DEMİ REL ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K-Mİ MARLIK FAKÜLTESİ MAKİ NA MÜHENDİ SLİĞİ BÖLÜMÜ MEKANİK LABORATUARI DENEY RAPORU SÜLEYMAN DEMİ REL ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K-Mİ MARLIK FAKÜLTESİ MAKİ NA MÜHENDİ SLİĞİ BÖLÜMÜ MEKANİK LABORATUARI DENEY RAPORU DENEY ADI DENEYSEL GERİLME ANALİZİ - EĞME DENEYİ DERSİN ÖĞRETİM ÜYESİ DOÇ.DR.

Detaylı

Temel Denklemler, Mutlak Entropi ve Termodinamiğin Üçüncü Yasası

Temel Denklemler, Mutlak Entropi ve Termodinamiğin Üçüncü Yasası MI OenurseWare htt://cw.mit.edu 5.60 hermdinamik ve Kinetik Bahar 2008 Bu malzemelere atıfta bulunmak veya kullanım şartlarını öğrenmek için htt://cw.mit.edu/terms sitesini ziyaret ediniz emel Denklemler,

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

KARMAŞIK SAYILAR Test -1

KARMAŞIK SAYILAR Test -1 KARMAŞIK SAYILAR Test -. i olmak üere, i olduğuna göre, Re() kaçtır? B) C) 0 D) E). i olmak üere, 00 0 06 i i i işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine i B) i C) i + D) E) i. i olmak üere, i olduğuna

Detaylı

ÇOKGENLER DÖRTGENLER ve ÇEMBER

ÇOKGENLER DÖRTGENLER ve ÇEMBER MY GOMTRİ RS NOTLRI Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi TMOZ un katkılarıyla ÇOKGNLR ÖRTGNLR ve ÇMR Mustafa YĞI LTIN NOKT YYINVİ N 01 İÇİNKİLR ölüm Knu Sayfa ölüm Knu Sayfa 1 Çkgenler 007-015 19 Karede

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç yolla olabilir. Biz bu yolların birkaçını. + r) açık aralığıdır.

Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç yolla olabilir. Biz bu yolların birkaçını. + r) açık aralığıdır. . KÜMELERİN YAPILARI. Açık Kümeler-Kapalı Kümeler vereceğiz. Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç ylla labilir. Biz bu ylların birkaçını.. Tanım: (X, ) metrik uzay x0 (i) B(x, r) { x X : (x, x)

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Kuadratik Yüzeyler Uzayda İkinci Dereceden Yüzeyler

Kuadratik Yüzeyler Uzayda İkinci Dereceden Yüzeyler İÇİNDEKİLER Kuadratik Yüeler Uada İkinci Dereceden Yüeler 1 0.1. Elipsoid 2 0.2. Hiperboloid 4 0.2.1. Tek Kanatlı Hiperboloid 4 0.2.2. Çift Kanatlı Hiperboloid 4 0.3. Paraboloid 5 0.3.1. Eliptik Paraboloid

Detaylı

Maddesel Nokta Statiği 2.1. HAFTA. Đçindekiler S T A T İ K :

Maddesel Nokta Statiği 2.1. HAFTA. Đçindekiler S T A T İ K : --11-- Maddesel Nkta Statiği 2.1. HATA --22-- Đçindekiler Mekaniğe Giriş Đki kuvvetin bileşkesi Vektörler Vectörel işlemler Bir nktada kesişen kuvvetlerin bileşkesi Örnek Prblem 2.1 Örnek Prblem 2.2 Bir

Detaylı

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 =

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 = Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0.6. DOĞRUSL DENKLEM SİSTEMLERİ ax + bx = α cx + dx = gibi bir doğrusal denklem sistemini, x ve y bilinmeyenler olmak üere, çömeyi hepimi biliyoru. ma probleme

Detaylı

11. z = 1 2i karmaşık sayısının çarpmaya göre tersinin eşleniğinin sanal kısmı kaçtır? 14. eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı kaçtır? 15.

11. z = 1 2i karmaşık sayısının çarpmaya göre tersinin eşleniğinin sanal kısmı kaçtır? 14. eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı kaçtır? 15. GD. + se Re() + Im()? www.gkhandemr.rg, 007 Cebr Ntları Gökhan DEMĐR, gdemr@yah.cm.tr Karmaşık sayılar 9. + + sayısı kaça eşttr? 7 890. ( x y) + + ( x + y) se x + y tplamı kaçtır?. x + y ( x) ve se y kaçtır?.

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET

TİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET TİTREŞİM VE DALGALAR Periyodik Hareketler: Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.

Detaylı

Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi

Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Ders Notları Dr. Serkan Aksoy 2016 http://www.gyte.edu.tr/dosya/102/~saksoy/ana.html 1 Gelecek önerileri için, lütfen Dr. Serkan Aksoy (saksoy@gyte.edu.tr) ile

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN3304 ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUVARI II

T.C. ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN3304 ELEKTRONİK DEVRELER LABORATUVARI II T.C. LDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELN3304 ELEKTRONİK DEVRELER LABORATVARI II DENEY 5: KOMPARATÖRLER DENEY GRB :... DENEYİ YAPANLAR :......... RAPOR HAZIRLAYAN

Detaylı

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.

Okut. Yüksel YURTAY. İletişim :  (264) Sayısal Analiz. Giriş. Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

Ygs-Lys. 2010 dan itibaren üniversitelere öğrenci seçimi iki aşamalı sınav uygulanarak yapılacaktır.

Ygs-Lys. 2010 dan itibaren üniversitelere öğrenci seçimi iki aşamalı sınav uygulanarak yapılacaktır. Ygs-Lys 2010 dan itibaren üniversitelere öğrenci seçimi iki aşamalı sınav uygulanarak yapılacaktır. 1.Aşama : Yükseköğretime Geçiş Sınavı () 2.Aşama : Lisans Yerleştirme Sınavı (LYS) larak adlandırılmıştır.

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

BÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAFESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR)

BÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAFESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR) BÖLÜM 4 YAPISAL ANALİZ (KAESLER-ÇERÇEVELER-MAKİNALAR) 4.1 Kafesler: Basit Kafes: İnce çubukların uçlarından birleştirilerek luşturulan apıdır. Bileştirme genelde 1. Barak levhalarına pimler ve kanak vasıtası

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Şekil 6.1 Basit sarkaç

Şekil 6.1 Basit sarkaç Deney No : M5 Deney Adı : BASİT SARKAÇ Deneyin Amacı yer çekimi ivmesinin belirlenmesi Teorik Bilgi : Sabit bir noktadan iple sarkıtılan bir cisim basit sarkaç olarak isimlendirilir. : Basit sarkaçta uzunluk

Detaylı

Geometri ile Trigonometri Sorusu Yazma Tekniği

Geometri ile Trigonometri Sorusu Yazma Tekniği TMOZ/cege@yahgrups.cm Kasım - 005 Trignmetri Gemetri İlişkisi 3 Gemetri ile Trignmetri Srusu Yazma Tekniği Eyüp Kamil Yeşilyurt Mustafa Yağcı u yazımızda, gemetri yardımıyla trignmetri srularının, nasıl

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık

Detaylı

FZM450 Elektro-Optik. 9.Hafta

FZM450 Elektro-Optik. 9.Hafta FZM450 Elektr-Optik 9.Hafta şığın Mdülasynu 008 HSarı 1 9. Hafta Ders İçeriği Temel Mdülatör Kavramları LED ışık mdülatörler Elektr-ptik mdülatörler Akust-Optik mdülatörler Raman-Nath Tipi Mdülatörler

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

12-A. Fizik Bilimine Giriş TEST. 4. Aşağıda verilen büyüklüklerden hangisi fizik bilimindeki. 1. Aşağıdaki büyüklüklerden hangisi türetilmiş bir

12-A. Fizik Bilimine Giriş TEST. 4. Aşağıda verilen büyüklüklerden hangisi fizik bilimindeki. 1. Aşağıdaki büyüklüklerden hangisi türetilmiş bir -A TEST izik Bilimine Giriş AZANIM AVRAMA TEST. Aşağıdaki büyüklüklerden hangisi türetilmiş bir büyüklüktür? 4. Aşağıda verilen büyüklüklerden hangisi fizik bilimindeki temel bir büyüklüktür? A) Işık şiddeti

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

VARANT AKADEMİ. Eğitimin Konusu: Eğitimin Amacı: Kimler İçin Uygundur: Varantın İpuçları

VARANT AKADEMİ. Eğitimin Konusu: Eğitimin Amacı: Kimler İçin Uygundur: Varantın İpuçları Varantın İpuçları VARANT AKADEMİ Eğitimin Knusu: Varantın İpuçları Eğitimin Amacı: Varant fiyatına etki eden parametreleri açıklamak ve en çk merak edilen srulara cevap vermek Kimler İçin Uygundur: Yeni

Detaylı

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği

Detaylı

OKUL REHBERLİK VE PSİKOLOJİK DANIŞMANLIK SERVİSİNİN TANITIMI

OKUL REHBERLİK VE PSİKOLOJİK DANIŞMANLIK SERVİSİNİN TANITIMI OKUL REHBERLİK VE PSİKOLOJİK DANIŞMANLIK SERVİSİNİN A. AMACIMIZ: TANITIMI Öğrenci yaşamında bilgi ve başarının yanı sıra düşünce ve davranış hazırlığının da önemli bir etken lduğumdan hareketle yla çıkan

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

EEM 202 DENEY 11. Tablo 11.1 Deney 11 de kullanılan devre elemanları ve malzeme listesi. Devre Elemanları Ω Direnç (2 W)

EEM 202 DENEY 11. Tablo 11.1 Deney 11 de kullanılan devre elemanları ve malzeme listesi. Devre Elemanları Ω Direnç (2 W) N: EEM DENEY SEİ EZONANS DEESİ. Amaçlar Değişen frekanslı seri C devresinde empedansın ölçülmesi ve çizilmesi Seri C devresinde akım değişiminin frekansın değişimine göre incelenmesi Seri C devresinin

Detaylı

ALTI SİGMA EĞİTİM PROGRAMLARI. Kara Kuşak Eğitimi

ALTI SİGMA EĞİTİM PROGRAMLARI. Kara Kuşak Eğitimi ALTI SİGMA EĞİTİM PROGRAMLARI Kara Kuşak Eğitimi ALTI SİGMA Kara Kuşak Eğitimi Kara Kuşak Eğitimi Kara Kuşaklar Altı Sigma Sistemi içerisindeki metdlji uygulayıcıları, prblem çözme uzmanları ve mükemmel

Detaylı

KONU: KURUMSAL YÖNETİM İLKELER (KURUMSAL YÖNETİM TEBLİĞİ SERİ II NO:17.1)

KONU: KURUMSAL YÖNETİM İLKELER (KURUMSAL YÖNETİM TEBLİĞİ SERİ II NO:17.1) KONU: KURUMSAL YÖNETİM İLKELER (KURUMSAL YÖNETİM TEBLİĞİ SERİ II NO:17.1) Sermaye Piyasası Kurulu tarafından 30.12.2011 tarih Seri IV, N: 56 Kurumsal Yönetim İlkelerinin Belirlenmesine ve Uygulanmasına

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır.

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır. Manyetik Alanlar Manyetik Alanlar Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya konulmuştur. Durgun bir deneme yükü

Detaylı

ÜNİTE 9: BANKACILIK SİSTEMİNİN FAALİYETLERİ VE KAYDİ PARA YATIRILMASI

ÜNİTE 9: BANKACILIK SİSTEMİNİN FAALİYETLERİ VE KAYDİ PARA YATIRILMASI ÜNİTE 9: BANKACILIK SİSTEMİNİN FAALİYETLERİ VE KAYDİ PARA YATIRILMASI Para arzında meydana gelen değişimler eknmik faaliyetler üzerinde geniş etkilere sahiptir. Para arzının eknminin genelini etkilemesi

Detaylı

ENERJİ SİSTEMLERİNDE KESME YÖNTEMİ İLE GÜVENİLİRLİK ANALIZI

ENERJİ SİSTEMLERİNDE KESME YÖNTEMİ İLE GÜVENİLİRLİK ANALIZI 6Ci1t, lsay1 (Mart 2002) Eneji Sistemlerinde Kesme Y önterni ile Güvenilirlik Anafu FVatansever, FUysal, EYamkğ1u, YUyarğh ENERJİ SİSTEMLERİNDE KESME YÖNTEMİ İLE GÜVENİLİRLİK ANALIZI Fahri VATANSEVER,

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINAV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINAV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI T.. MİLLÎ EĞİTİM KNLIĞI 0-0. SINIF EĞERLENİRME SINVI - 0-0.SINIF MTEMTİK TESTİ (LYS ) EĞERLENİRME SINVI - dı ve Syadı :... Sınıfı :... Öğrenci Numarası :... SORU SYISI : 80 SINV SÜRESİ : akika eğerlendirme

Detaylı

BÖLÜM 4 EĞİK ŞOKLAR VE GENİŞLEME DALGALARI

BÖLÜM 4 EĞİK ŞOKLAR VE GENİŞLEME DALGALARI BÖLÜ 4 EĞİK ŞOKLAR E GENİŞLEE DALGALARI 4.- Giriş 4.- Eğik şk denklemleri 4.- Kama-burun ve kni etrafında akım 4.4- Şk leri 4.- Eğik şk dalgasının katı bir cidardan yansıması 4.6- Basınç - sama açısı diyagramı

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile

Detaylı

T.C. MİMAR SİNAN GÜZEL SANATLAR ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ İSTATİSTİK BÖLÜMÜ LİSANS DERS TANITIM FORMU

T.C. MİMAR SİNAN GÜZEL SANATLAR ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ İSTATİSTİK BÖLÜMÜ LİSANS DERS TANITIM FORMU T.C. MİMAR SİNAN GÜZEL SANATLAR ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ İSTATİSTİK BÖLÜMÜ LİSANS DERS TANITIM FORMU Dersin Adı İnsan Kaynakları Yönetimi Kdu Dönemi Zrunlu/Seçmeli MSGSÜ Kredi AKTS İST 373 3

Detaylı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı

Toplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

JEODEZI. Referans Yüzeyi Dönel Elipsoidin Genel Özellikleri. Dönel Elipsoidin Geometrik Parametreleri

JEODEZI. Referans Yüzeyi Dönel Elipsoidin Genel Özellikleri. Dönel Elipsoidin Geometrik Parametreleri .0.013 1 JEODEZI.0.013 Referns Yüeyi Dönel Elipsidin Genel Öellikleri Dönel Elipsidin Gemetrik Prmetreleri Elips: iki nkty uklıklrı tplmı sbit ln nktlr kümesine denir. Bir elipsin küçük ekseni çevresinde

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

BÖLÜM 6 DAİMİ, İKİ-BOYUTLU, SIKIŞTIRILAMAZ POTANSİYEL AKIMLAR

BÖLÜM 6 DAİMİ, İKİ-BOYUTLU, SIKIŞTIRILAMAZ POTANSİYEL AKIMLAR BÖLÜM 6 DAİMİ, İKİ-BOYUTLU, SIKIŞTIRILAMAZ POTANSİYEL AKIMLAR 6.1 Giriş 6. Hı Potanseli için formülasyon 6.3 Akım Fonksonu için formülasyon 6.4 Kompleks dülemde formülasyon 6.5 Potansel Akımların Süperpoisyonu

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI 1-60) Dört çocuk, Ahmet, Ferit, Berk ve Mehmet koşu yarışı yapıyorlar. Yarışma sonucunda, Ahmet, "Ben birinci ve sonuncu

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı