FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 2. KİTAP KOMPLEKS DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR

Transkript

1 41 FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR. KİTAP KOMPLEKS DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR w

2 4 İÇİNDEKİLER I. KOMPLEKS SAYILAR A) Kmpleks Aritmetik B) Kmpleks Değişken II. KOMPLEKS FONKSİYONLAR A) Genel B) Kuvvet Fnksiynu ) Üstel Fnksiyn D) Lgaritma III. TÜREV A) Tanım B) auchy - Riemann Şartları ) Laurent Açılımı IV. YOL İNTEGRALLERİ A) Genel B) Mett ) Örnekler 1. Kapalı Yl. Yl Üstünde Tekil Nkta 3. İkinci Mertebe Tekillik 4. Kesikten Yararlanma 5. Orantılı Katkılı Yl 6. Kesik Yaratma EKLER VE NOTLAR

3 43 I. KOMPLEKS SAYILAR A) Aritmetik 1 gibi basit bir denklemin çöümünde yer alan 3 ifadesi, reel sayı kavramlarıyla açıklanama. 3 ve beneri tüm a tipi ifadeleri a 1 a biçiminde yaarak, 'Açıklanması İmkansılar 'ı tek bir terime, 1 'e indirgeyebiliri. 1 yeni bir sayı türüdür, 'Sanal Sayı' larak adlandırılır ve i 1 larak tanımlanır. ödeşlikleri, i i, i 1, i i, i 1 i 'nin tamsayı kuvvetlerinin periydik davranışını gösterir. Reel sayılarla sanal sayılar c a ib larak birleşir ve kmpleks sayıları luştururlar. Reel ve sanal bileşenler iki ayrı sayı türü lup, tek bir snuç verecek şekilde tplanmaları sö knusu lmadığı için, + işaretinin buradaki rlü virgülden pek farklı değildir. Kmpleks sayıların bileşenleri 'İdüşüm' yluyla Re ; Im iy iy y iy larak ifade edilir. Temel aritmetik işlemlerde sağduyuya ters düşen bir şey yktur : a i b c i d a c + i b d a i b c i d ac bd i ad bc. Ancak bölme işlemine geçmeden önce her c a ib kmpleks sayısı için * c a ib lan bir 'Kmpleks Eşlenik 'in varlığını ve * cc çarpımının bir snuç verdiğini bilmek gerekir. Bunun yardımıyla bölme işlemi a b gibi reel ve pitif a i b a i b c i d a c b d a d b c i c i d c i d c i d c d c d larak snuçlandırılır.

4 44 B) Kmpleks Değişken Kmpleks sayılardan, y R lmak üere i y kmpleks değişkenine geçilir. İki bileşenli nin gemetrik gösterimi için iki byutlu bir 'Kmpleks Dülem' gerekir. Yatay eksen reel, dikey eksen de sanal bileşene ait lmak üere +iy r y kullanılır. Bir kmpleks değişkenin 'Standart' gösterimi i y yanı sıra 'Plar' gösterimi de vardır. Bunu görmek için önce 1 ; r y, tan y y r sin, r cs bağıntılarından r cs i sin tanımak için türev alarak elde edilen d d yaılır. cs i sin ifadesini daha iyi cs i sin sin i cs i cs i sin denklemi cs i sin ep i ödeşliğine işaret etmektedir. Böylece bir kmpleks değişkenin i y r ep i bir nkta : - plar gösterimi elde edilir. Burada çk önemli düleminde her nkta tek bir, y çiftini temsil ettiği halde, plar krdinatlarda her nktanın tek bir r, ancak snsu değeri vardır. N ; N N eşdeğerliğin ileride önemli snuçları görülecektir.

5 45 i i ve kmpleks eşleniği cs i sin ep i cs sin ep bağıntılarından e e e e cs, sin i i i i i Euler ödeşlikleri bulunur. Böylece trignmetrik ve hiperblik fnksiynlar arasındaki ilişki tamamen rtaya çıkar ve i i i cs csh, sin sinh i i i cs csh, sin sinh bağıntılarına erişilir. Böylece trignmetrik fnksiynların da aynen hiperblik fnksiynlar gibi üstel fnksiynla, dlayısıyla ters trignmetrik fnksiynların da lgaritma ile yakın ilişkili lduğu görülür. Bir örnek larak nf nf 1 ep ep tan i n F tan i nf i ep nf ep nf 1 F tan F F i i i n 1 F 1F 1 i F elde edilir. Böylece 7 temel fnksiynla çıkılan ylun snunda elde sadece 3 fnksiyn kalmaktadır : Kuvvet : w Lgaritma : w n. c, Üstel : w ep ve II ) KOMPLEKS FONKSİYONLAR A) Genel Kmpleks değişkenli ve değerli fnksiyn kuralına göre bir w fnksiynu, verilen bir sayısı için, belli bir w sayısı bulma işlemidir. w 'nin reel ve sanal

6 46 bileşenleri u ve v ile gösterilir. Böylece w, y u, v lacaktır. veya u v +i y B) Kuvvet Fnksiynu Kuvvet fnksiynunda tabanın çarpım, kuvvetin tplam larak yaılması cebirsel klaylık c getirir ve r ep i ep n r i a i b a i b a n r b i b n r a ep elde edilir. Böylece a b a b u r e cs b n r a, v r e sin b n r a lmaktadır. Bu basit görünümlü snucun arkasında çk önemli prblem ve kavramlar gilenmektedir ? srusu bii 3 8 denklemine götürür, bu denklemin de 3 çöümü lmak gerekir. i 8 = 8 e larak yaarsak bu çöümlerden sadece birini bulmuş luru. Öte yandan snsu terimli i i 4 i 6 i e e e e diisinden yla çıkılırsa 1 3 i 3 4 i i 3 i 8 e, e, e, e, snuçları elde edilir. Buradan gerçekten 3 çöüm lduğu ve bu üçlü grubun blk larak kendini tekrar ettiği

7 47 gölenir. Snuçta varılan ise fnksiyn kavramıyla çelişmektedir , 1 i 3, 1 i 3 değerleri veya 1 i 3 veya 1 i 3 : luşu verilen bir değeri için bir ( ve sadece bir! ) 1 3 değeri beklentimii karşılama. Ayrıca bu durum birbirine snsu yakın iki nktaya dikili bayrakların üstünde çk farklı değerler lmasına iin vermektedir. 1 i 3 Bu çelişkiden çıkış ylu 'Riemann Tabakaları 'dır. Pitif reel eksende bir kesik lduğunu, her dönüşten snra bir alt tabakaya geçildiğini, üç turdan snra da tekrar ilk tabakaya dönüldüğünü kabul edelim. Böylece 'Tek tabakada çk değerlilik' yerine 'Çk tabakada tek değerlilik' sağlanmış lur. w 1 N fnksiynlarında N tabaka, a, a Q için ise snsu tabaka gerekir. Reel eksendeki kesiğe 'Dallanma Kesiği' veya kısaca 'Kesik' denir. Kesiğin başladığı nkta, bu durumda ise 'Dallanma Nktası' larak adlandırılır. Sn larak belirtmek gerekir ki kesik larak pitif reel ekseni almak şart değildir. dallanma nktasından başlayıp, snsua giden her eğri bu işi görür. Kesiklerin önem ve yararına integral bahsinde dönülecektir.

8 48 ) Üstel Fnksiyn w için standart biçimde yaılarak ep ep ep i y ep cs y i ep sin y elde edilir. Bu iyi huylu fnksiyn her snlu için snlu ve tek değerlidir. D ) Lgaritma e i n n r n r i larak yaılır. Bu fnksiyn i terimi yüünden tek değerli lama ve genelde pitif reel eksen larak seçilen bir kesiği vardır. Reel değişkenlerde sadece pitif sayılar için tanımlanabilen lgaritma artık her kmpleks sayı için tanımlı lmakta ve mesela n n i.7 i lmaktadır i veya n fnksiynunun etrafında seri açılımının yapılamamasının gerisinde bu nktanın dallanma nktası luşu yatar. PROBLEMLER P.II.1) Bütün ters trignmetrik fnksiynları lgaritma larak ifade edin. P.II.) i) n i csh? 1 iv) 1 i vii)? 1? ii) v) 1 i n 1 i? cs? 3 1 iii) 5 n e? 3 n i =? vi) i viii) 1 3 i? i) 1 i? i) e e,? ) i i 1?

9 49 III. TÜREV A) Tanım v, v, w u i u y i y fnksiynunun türevi dğal larak v dw du i d d d i dy biçiminde tanımlanır. u u du d dy y, v v dv d dy y diferansiyel ifadeleri yardımıyla da u v u v i d i dy dw y y d d i dy elde edilir. dy Bu ifadenin anlamlı labilmesi için yaklaşım yönünden, yani m 'den bağımsı d lması esastır. Ancak daha kestirme yl : tüm yaklaşım yönlerinin yatay ve dikey iki temel yönün bileşkesi lduğu gö önüne alınarak dw d dw şartını d d dy u v u v kşmaktır. Bunun snucunda bulunan i i y y u v u reel ve sanal kısımlarını ayrı ayrı eşitlenerek, y y denkleminin v denklemlerine erişilir. B) auchy - Riemann Şartları Türevin yaklaşım yönünden bağımsı lmasını sağlayan bu denklemlere 'auchy - Riemann (-R) Şartları' denir. Belli bir nktasında bu şartları sağlayan fnksiynlar da nktada 'Analitik' larak adlandırılır. İki analitik fnksiynun tplam ve çarpımlarının da analitik lacağı klayca görülebilir. w fnksiynunda

10 5 u, v y lacağı için -R şartları hemen sağlanır ve N N lmak w üere N fnksiynunun da analitik lduğu gölenir. Seri açılımları N 'lerden luşan ep, sin, tanh gibi fnksiynlar da dğal larak analitiktir. Ancak w 1 1 i y fnksiynunda u y, v y y lacağı için -R şartları : y y y y ve sağlanır gibi görülmelerine karşın y y y y lurlar. İlk bakışta nktası prblemlidir. Sıfıra bölünme geçerli bir işlem lmadığı için plar krdinatlarda cs cs, r r şartları sin sin biçimine dönüşen -R r r w r nktasında sağlanmış lmalar. Aynı şekilde tüm N fnksiynları da ancak nktası dışında analitik lurlar. Böyle nktalar 'Tekil Nkta' larak adlandırılır. Mesela w csc gibi bir fnksiyn için de tekil bir nktadır. Ancak kmpleks dülemdeki bir tekil nkta, reel değişkenlerde lduğu kadar r bir durum değildir. Tek byutlu reel sayı dğrusunda yer alan bir tekil nkta, yıkılmış bir demirylu köprüsü gibi, tanım aralığını iki ayrı ve birbirinden erişilme parçaya böler. Halbuki kmpleks dülemdeki bir tekil nkta, kyanusta küçük bir ada gibi, gerektiğinde etrafından dlaşılabilen önemsi bir engeldir.

11 51 ) Laurent Açılımı Kmpleks değişkenli fnksiynların, negatif kuvvetleri de içeren seri açılımlarına 'Laurent Açılımı' denir ve N tekilliğin mertebesi lmak üere w a n larak yaılır. w ep 1 n N fnksiynunda lduğu gibi N ise nktasında bir 'Esaslı Tekillik' var demektir. Öetle bir nktası, n w fnksiynu açısından dallanma nktası değilse, n Laurent açılımı yapılabilir ve N değerine bağlı larak n N n w a nktası analitik, tekil veya esaslı tekil bir nkta lur. PROBLEMLER P.III.1) Analitik bir fnksiyn için u, y Sabit ve v, y Sabit eğrilerinin birbirleriyle dik larak kesiştiğini gösterin. P.III.) -R şartlarının plar krdinatlarda aldığı biçimi bulun. P.III.3) İki byutlu Laplace peratörü kullanan denkliğini gösterin. denkleminin -R şartlarına

12 5 P.III.4) * denkleminin -R şartlarına denkliğini gösterin. P.III.5) nktası etrafında Laurent açılımını yapın. ( İlk üç terim ) 1 i) sinh ii) cs 1 iii) tan 1 iv) 1 3 cs sin P.III.6) w ( ) 1 3 ep fnksiynunun 1 nktası etrafında Laurent açılımını yapın. ( İlk üç terim ) IV. YOL İNTEGRALLERİ A) Genel w fnksiynunun - düleminde, B : Başlangıç, S : Sn nktası lmak üere, açık veya kapalı bir ylu üerinde integralini hesaplamak için : Gene ylu N parçaya bölmek, her i parçasını, parçanın rta nktasındaki bayrak değeriyle çarpıp, tplam almak gerekir. Parça sayısı snsua, aralıklar da sıfıra giderken d w integrali elde edilir.

13 53 w() S B S B S v d w d i dy u i B S B S u d v dy i v d u dy integralinin sadece uç nktalara bağlı lup, yl seçiminden bağımsı lması için u d v dy df ; v d u dy dg gereklidir. B F F G G df d dy, dg d dy y y F F G u, v ; v, u y ödeşlikleri ile karşılaştırma G eşitliklerini verir. y Buradan elde edilen u F v F, y y y ve v G u G, y y y denklemleri ise gene çıkan snuç u v u v, y y w 'nin analitik lduğu bir bölgede ylunun istendiği biçimde yamultulabileceğidir. Buna göre -R şartlarına götürür. Bundan d w integralinin

14 54 S B 1 1 ve eşdeğer yllardır. Öte yandan analitik bir w için S 3 B 1 d w d w ve d w d w 1 eşitliklerinden d w d w veya bir kapalı çevrim integralini ifade etmek üere d w( ) lduğu görülür. Mesela nktasını içeren kapalı bir N ylunda d ( ) lacaktır. w : Analitik d w( ) ilişkisinin tersi, yani

15 55 d w( ) w : Analitik nktasını içeren kapalı ylunda genelde dğru değildir. Bunu görmek için N integralini i i incelemek yeterlidir. R e ( R : Sabit ) d i R e d değişken dönüşümü ile i N R d 1 d e in biçimini alan integral 1 i R N 1 in1 e N 1 larak değerlendirilir. Bu ifade de, tanımsı N 1 durumu dışında sıfır lur. N 1 durumu için en başa giderek i d i bulunur. Böylece i N 1 d N lmaktadır. N 1 Bu çk önemli ve yararlı bir eleme öelliğidir. Bu snucu 1 'nin tekil lmasından çk d n 'nin çk değerli lan bir fnksiyn lmasına brçluyu; nitekim çk d daha tekil 17 integralinin snucu da sıfırdır. Yukarıda varılan eleme öelliği herhangi bir d w integralinin, nktasını içeren p ylunda klayca değerlendirilmesini sağlar. w 'nin Laurent açılımı kapalı n ile veriliyrsa n N n w a n n d an an d lur ve i a 1 n N n N p snucuna ulaşılır. (1) Bu yaklaşım, belirli integrallerin belirsi integral bulunmadan değerlendirilmesini sağlayan çk güçlü bir metttur. Ancak pek çk durumda integralin reel p

16 56 eksen üerinde iki ayrı nkta arasında alınması istenir. Bu durumlarda verilen açık ylun, sıfır katkılı bir başka ylla kapatılması en klay yldur. Bunu bir örnekle görmek için d 1 integralini ele alalım. Önce d d larak yaılır. İntegrali 1 i i genellemesi yapılır ve integral hesaplanacak fnksiynun tekil nktalarının i, i lduğu görülmektedir. i R Verilen görev : İntegrali reel eksende R ylunda değerlendirmektir. Ama R kapalı bir yl değildir, ancak bu yla : Snsu yarıçaplı bir yarım daire yl eklenirse snuç değişme. Zira 'nin integrale katkısı sıfırdır. Bunu e i i R ( R : sabit ) d i R e d dönüşümü ile elde edilen i R e d 1 1 R e R i i snucundan görebiliri. R i kapalı yluna eşdeğer kapalı bir yldur. Bu yüden R d d d i i i i i i R bileşimi de i d larak yaılabilir. i nktası yakınında i i

17 i i i i lacağı için 1 d 1 i i i i i snucuna ulaşılır. Görüldüğü gibi 1 tan ara snucuna hiç gerek duyulmadan hedefe varılmıştır. Bu yaklaşıma bir alternatif de daire ile alttan kapatmaktır. R ylunu snsu yarıçaplı bir yarım R -i Bu defa i yakınında 1 1 i i i i lacak, ancak ylu saat yönünde lduğu için bu defa i elde edilecektir. Dlayısıyla snuç aynı kalır ve gene lur. i d i i B) Mett Kapalı yl içinde kalan bir tekilliğin d w integraline katkısının i a 1 lduğu görülmüştü. Birden fala ayrık tekillik durumunda her birinin katkısının aritmetik tplamını almak gerekir.

18 Her bir w nktasında, nktada N 'inci mertebe tekilliği lan fnksiyn N w N larak yaılır ve N A w, A : Analitik tanımıyla w A N biçimine skulur. A 'nin Taylr açılımı A A ( n) n lacağı için n n!

19 59 A w ( n) nn elde edilir. Eleme öelliğinden dlayı sadece n n! n N 1 terimi önemlidir. Bu da n N 1 ve Öet larak : Yapılması gereken işler diisi : ( N 1) A a 1 N 1! demektir. i) w 'nin A N larak yaılıp A 'nin bulunması, ii) A 'nin N 1 kere türevinin alınması, iii) Türevin 'da değerlendirilmesi ve snucun N 1! 'e bölünerek a 1 'in bulunması, iv) İntegrale katkı ia 1 'in, kapalı ylun içinde kalan tüm yalın tekil nktalar için bulunup, snuçların tplanması. Metdun çalışması için N 'in snlu ve tamsayı lması gerektiği açıktır. Dlayısıyla eğer bir dallanma nktası veya esaslı tekillik ise bu işlemler yapılama. Artık yukarıda verilen mett esas lmak üere, ayrıntılarda farklar gösteren baı öğretici örneklerin çöümüne geçilebilir : I ) Yl üstünde tekillik var II ) Yl üstünde tekillik yk II A ) Kapalı yl II B ) Açık yl II B 1 i ) Sıfır katkılı ylla kapatma II B 1 ii ) Sıfır katkılı ylla kapatma (. mertebe tekillik ) II B ) Sıfır ve rantılı katkı ylla kapatma

20 6 II B a ) Kesik kullanarak II B b ) Diğer sınıflandırmasının ( II B 1 i ) durumu aten d 1 örneğinde incelenmişti. Diğerleri de rluk sırasıyla teker teker ele alınacaktır. () ) Örnekler 1) Kapalı Yl d integrali, içi çift bir fnksiyn lduğu için 5 3 cs 1 d, içi 5 3 cs periytlu bir fnksiyn lduğu için de 1 d biçiminde yaılabilir. Bu 5 3 cs tip integraller e i değişken dönüşümü ile kmpleks bir fnksiynun, birim yarıçaplı bir daire üerinde, yl integraline dönüşürler. Bu ylla i i 1 e e 1 cs, d i n d i ve snuçta i d i d veya i 3 d elde edilir. Birim yarıçaplı dairesel ylun içinde sadece 1 kalacağı için 1 3, N 1, 3 A i lur. Bu da a i 1 8, dlayısıyla

21 61 d 5 3 cs demektir. Daha genel bir snuç ise a b lmak 4 üere : d a b cs a b ile verilir. ) Yl Üstünde Tekil Nkta a sin a sin d d integrali çk çetin bir integraldir. Öncelikle sin a R fnksiynunun tekil nktası yktur; ayrıca sıfır katkılı bir snsu yarıçaplı daire bulmak imkansıdır. sin( a ) içinde yer alan ep( ) ia ve ep( ia) terimlerinden biri sıfıra giderse öteki snsua gidecektir. Bu iki prblemi birden çömenin ylu, Im : 'Kmpleks ifadenin sanal kısmını seçme' işlemi lmak üere, ilk integrali a ia ia sin ep ep d Im d Im d larak yamaktır. ep ia R fnksiynu nktasında tekildir ve R 'yi, sıfır katkılı bir yl ilavesiyle, kapatmaya iin verir. Bu sıfır katkılı yl, reel ekseni a için yukarıdan, a < için aşağıdan kapayan bir snsu yarıçaplı yarım dairedir. Bunu görebilmek için i d ep iar cs ep ar sin ep ar sin a sin :,, a sin :,, bağıntıları yeterlidir. Kapalı yl integralimide, N 1, ep( ia) A, dlayısıyla a 1 1 lur. Ancak bu sefer de prblem tekil nktanın

22 6 tam yl üstünde lmasıdır. Tekil nkta kapalı ylun içinde kalsa, çevrimin yönüne göre i ; dışında kalsa katkı verecekti. Tam yl üstü bir tekil nkta için rta yl i kabul edilirse bu da a için Im i 1 Im i 1 verir. (3) Böylece ulaşılır. ; a < için ise sin a d sgn a snucuna 3) İkinci Mertebe Tekillik cs d integrali önce 1 1 cs d snra da 1 1 Re ep i i i d biçimine skulur. Üstten kapanan snsu yarıçaplı bir R yarım dairenin sıfır katkı vereceği açıktır. Böylece ifadesine erişilir. Görüldüğü gibi 1 Re i, i d N ve A ep i i i 1 epi i lmaktadır. Dlayısıyla a 1 da d 3 i 8 e i 3 Re e 4 ia a için 1 snucuna varılır. Daha genel bir snuç ise cs a 1 a a d e larak verilir. 1 4

23 63 4) Kesikten yararlanma a 1 lmak üere a a d d 1 1 integralinin içi teriminden dlayı, pitif reel eksen byunca kesiktir. a -1 Dallanma nktası etrafında R yarıçaplı çk büyük veya yarıçaplı çk küçük dairelerin sıfır katkı vereceği i a ia i R e d R e a R i ve 1 R e i e d i 1 e e i a ia 1a denklemlerinden klayca görülür. Kesiğin hemen üstünden geçen ylda e i lduğu için a d integrali bu yl byunca hesaplamak istediğimi 1 a d integraline eşittir. Kesiğin hemen altından ters yöne giden ylda ise 1

24 64 e i lduğu için a a i e i ia e e i a d d d 1 1 e 1 gibi hesaplamak istediğimi integrale rantılı bir snuç bulunur. Sıfır katkılı iki dairesel yl ve biri kesiğin üstünden, diğeri altından giden iki dü yl birleşerek tek bir kapalı 1 ylunu luşturur. a a a a i a d d e d d a a a = d eşitliğinde d 1+, d 1 terimlerinin 1 sıfır lduğu görülmüştü. Kapalı yl integralinde de 1, N 1 ve a i a i a A a kullanarak 1 e e a 1 bulunur. Böylece erişilen 1 a ai ia 1e d i e ara snucu a i a i e i d biçiminde basitleştirilerek ai i a i a 1 1 e e e a d frmülüne ulaşılır. 1 sin a

25 65 5) Orantılı Katkılı Yl b L ep b ep d Lim d b 1 1e L integralinin L 1e kesiği yktur, ancak e 1 i, 3 i, 5 i, değerlerinde snsu adet tekil nktası vardır. L+πi L+πi iπ L L Seçilebilecek bir kapalı yl : L, L arası reel eksende gidiş, L 'den L i 'ye çıkış, L i 'den L i 'ye i dğrusundan dönüş ve L i 'den L 'ye inişten luşur. Li ep b d ep bl ep L L ve 1 e L ep b d ep bl Li ldukları için 1 e ep b ep b ep bi ep b d d i d 1 ep 1 ep b ep i 1 ep veya 1ep larak yaılabilir. ep b ep b bi d d 1ep 1ep i i

26 66 Kapalı yl integralinin değerlendirilmesinde i, N 1 ve A i ep 1 ep b alınacaktır. a A i 1 'ın hesaplanmasında durumu lduğu için L'Hspital kuralından yararlanarak a bi ep 1 bulunur. Böylece varılan b = b ep b i ep bi d eşitliğinden de 1ep 1 ep bi ep d snucuna ulaşılır. 1 ep sin 6) Kesik Yaratma Yl integrali hesaplarında kesikler kadar yararlıdır ki baen kesik yksa bile yaratmak d gerekir. Aslında snucunu bildiğimi integralini bir de bu ylla 1 değerlendirelim. Önce bir kesik luşturmak için fnksiynunun, kesiğin üstünden n eklenmiş n 1, ylu, snsu yarıçaplı bir daire, kesiğin altından, ylu ve nktası etrafında snsu küçük yarıçaplı bir daire 'den luşan kapalı yl integralini inceleyelim.

27 67 Snsu büyük ve snsu küçük daireler n R lduğu için katkı vermeyeceklerdir. Dlayısıyla R v e n i n n i n ( e ) 4i d d d e e denklemi n d d i 1 larak basitleşir. Kapalı yl integrali 1 n i i n i n i 3i i d de iki tekil nktasından gelen katkılarla i i i i larak bulunur. d d i i eşitliği de beklenen 1 1 snucunu verir. (4) PROBLEMLER P.IV.1) Kmpleks yl integrali mettları ile değerlendirin : d cs( a) d i) 4 ii) 1 1 sin( ) d sin( a) sin( b) iii) iv) d a v) ik ( ) e dk vi) k 5ik 6 dk e ik ( ) k ik 1 vii) viii) n ( ) d 4 d 1 4

28 68 i) d ) 3 cs( a) 1 d i) d P.IV.) 1 n 1 35 (n1) ( n)! d sin ( ) n 4 6 ( n) n! n! lduğunu yl integrali metduyla gösterin. EKLER VE NOTLAR (1) İngilice de Residue larak anılan a 1 kavramını 'Reidü' larak Türkçeleştirmekten kaçındım. Kalan / Artık / Artan / Trtu / Telve vs. gibi bir terim kullanmaya da cesaret edemedim. () Çk sayıda yl integrali prblemini, hem de snuçlarıyla beraber içeren engin bir kaynak : A. Y. Öemre, 'Fiikte Matematiksel Mettlar', İTÜ Yayınları, Sayı 86 kitabıdır. (3) Yl üstünde tekilliğin i a 1 katkı vermesine, içeride ve dışarıda lmanın rtalamasını almanın ötesinde, ciddi matematik yaklaşımlar vardır. Burada matematik ciddiyet bira hı uğruna feda edilmiştir. Bunlara herhangi bir uygulamalı matematik kitabında "auchy Principal Value" başlığı altında erişilebilir. (4) n faladan bir içerdiği için aten pitif reel eksen byunca kesiği lan integrallerde bile n getirip n fnksiynu ile çalışmak yararlı snuçlar verir.