ANOVA. CRD (Completely Randomized Design)

Transkript

1 ANOVA CRD (Completely Randomzed Desgn) Örne Problem: Kalte le blgnn, ortalama olara, br urumun üç farlı şehrde çalışanları tarafından eşt olara algılanıp algılanmadığını test etme amacıyla, bu üç şehrde çalışanlardan tamamen tesadüf olara seçlen altışar personele aynı test verlmş ve test puanları aşağıda şelde rapor edlmş olsun. Burada amacımız H µ = = hpotezn, H : µ µ ; hpotezne arşı test etmetr. : µ µ 0 3 P P P Descrptve Statstcs: P; P; P3 a Varable N N* Mean Var Mnmum Q Medan Q3 Maxmum P 0 79, ,00 74,00 79,00 85,00 85,00 P 0 74,00 0 9,00 70,50 73,50 7,75 8,00 P3 0, ,00,5 5,50 70,50 75,00 D o t p lo t o f P ; P ; P 3 P P P D a ta SSTR = n ( x x) ; SSE = ( ; = x n ) s TotalSS ( x) DF: SSTR çn (-); SSE çn (n- ) ; ve TotalSS çn (n-) n= n

2 Bu problem çn : n=++=8; =3; s 34; s 0; s 3; = = x = 79 x = 74 x 3 = ve x = 73 tür. SSTR= (79-73) +(74-73) + (-73) = (3++49)= 5 3 = SSE= 5(34+0+3)=430 Veya: ve TotalSS= 5+430=94 olur. (79 73) + (74 73) + ( 73) Ortalamalar arası varyansı tahmn çn: S = = 43 X (3 ) σ Hesaplanır ve σ = olduğu çn σ = nσ X n X olur ve buradan Buradan σ nn tahmn değer(43)= 58 bulunur bu da fatörler arası varyansa eşttr. SSTR=(-) σ =(58) = 5 olur Fatörler ç varyans tahmn değer de : s / = = = olur. Buradan da SSE =(n-)(fatörler ç varyans ) =(8-3)(8/3)=430 bulunur. Total SS= SSTR+SSE= 5+430=94 olur. Yuarıda problemn ANOVA çözümlemes MINITAB aracılığı le yapılırsa aşağıda sonuçlar elde edlr. One-way ANOVA: P; P; P3 Source DF SS MS F P Factor 5,0 58,0 9,00 0,003 Error 5 430,0 8,7 Total 7 94,0 S = 5,354 R-Sq = 54,55% R-Sq(ad) = 48,48% Indvdual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev P 79,000 5,83 ( *------) P 74,000 4,47 (------* ) P3,000 5,57 ( * ) ,0 7,0 78,0 84,0 Pooled StDev = 5,354 Yuarıda ANOVA tablosunda F test çn hesaplanmış olan P-değer ço üçü olduğu çn H : µ = µ = µ 0 3 hpotez ret edlp arşıtı olan hpotez abul edlr. Yan bu üç ortalamadan en az s brbrnden farlıdır.

3 Farın hang ortalamalar arasında olduğunu belrleyeblme amacıyla Fsher n LSD (Least Sgnfcant Dfference) yöntem ullanılablr. Fsher LSD Test: H : µ = µ 0 H µ 0 : µ Hpotezlernn testnde ullanılaca test statstğ: X X olara alınır. Eğer X X > LSD se seçlmş α düzeynde yuarıda hpotez ret edlr. Burada LSD = t α / MSE ( + ) dr. Burada ullanılaca tablo t değernn ounuşunda n n df = ( nt ) olara alınmalıdır. Yuarıda örne problemde Ortalamalar: Varable Mean P 79 P 74 P3 MSE=8,7 ve df=5 olduğu çn. α= 0,05 alındığında t α / =, 3 olara ounur. Bu değerler ullanılara =,3 8,7( + ) =,59 LSD olara hesaplanır. X X = 5< LSD ; X X 3 = 3> LSD ; ve X X = 8> LSD 3 Bu sonuçlara göre: µ le µ arasında far olduğu söylenemez. Anca µ le µ 3 arasında far önemldr ve benzer şelde µ 3 sonucuna varırız. µ le arasında far da önemldr Fsher LSD yöntem le ortalamalar arasında farlar çn güven arlıları da oluşturulablr. ( µ µ ) çn Güven Aralığı: ( X X ) ± LSD olara hesaplanır.

4 RBD (Randomzed Bloc Desgn) ANOVA Tablosu: Source oof DF SS MS F Varaton Treatments - SSTR MSTR=SSTR/(-) MSTR/MSE Blocs b- SSB MSB=SSB/(b-) Error (-)(b-) SSE MSE=SSE/(-)((b-) Total n T - Total SS Burada = x TotalSS ( x) ; SSTR= b = ( x. x) ; b SSB= ( x. x) ; SSE= TotalSS-SSTR-SSB olara hesaplanır. Örne Problem: Hava Alanı ontrol merezlernde çalışanların yorgunlu ve stres düzeylern en aza ndrgeyece sstemn hangs olduğunu belrleme amacıyla gelştrlmş olan sstemlerden en ullanılablr olduğuna nanılan üç tanesnn ( Sstem A, B ve C) en y olanı belrlenecetr. Bu amaçla da mevcut çalışanlardan altısı () bu sstemlerde çalıştırılmış ve vardya btmnde her çalışanın stres ve yorgunlu dereceler saptanmıştır. Personel üç sstemde çalışma üzere görevlendrlren, hang sstemde hang sırada görevlendrleceğ yne tesadüf olara belrlenmştr. Bu deneyle lgl test sorları ve ANOVA çn gerel hesaplamalar aşağıda tabloda özetlenmştr. Personel Per Per Blo Per 3 Per 4 Per 5 Treatmants Toplam Blo Sstem A Sstem B Sstem C (Blo) Ortalaması Per Toplam(Treat) Tretamant Ortalaması =Genel Toplam Genel Ortalama= 5/8=4 Bu blgler ullanılara ANOVA tablosunda yer alaca hesaplamalar yapılablr. Total SS= (5-4) +(5-4) + (8-4) + +(3-4) +(3-4) = 70 olur. SSTR= [(3.5-4) + (3-4) +(5.5-4) ]=,

5 SSB= 3[(-4) + (4-4) + (-4) + (4-4) + (5-4) + (3-4) ] = 30, SSE= = 9 olur. n T = 8 Şmd ANOVA Tablosunu oluşturablrz. ANOVA Tablosu: Source oof DF SS MS F Varaton Treatments -= SSTR= MSTR=SSTR/(-)= 0.5 MSTR/MSE=5.53 Blocs b-=5 SSB = 30 MSB=SSB/(b-) = Error (-)(b-)=0 SSE = 9 MSE=SSE/(-)((b-)=.9 Total n T - =7 Total SS =70 ANOVA tablosunda F oranının dağılımı F olup pay ve paydanın serbestl dereceler sırasıyla ve 0 dur. α = 0.05 alınırsa Tablo F değernn 4.0 olduğu görülür. ANOVA tablosunda hesaplanan F oranı Tablo F değernden büyü olduğu çn H µ = = hpotez ret edlr. Yan Bu üç sstemn personel üzernde yarattığı : µ µ 0 3 yorgunlu ve stres sorlarının ortalamaları eşt değldr. Br dğer fade le bu üç sstem bu açıdan brbrnden farlı sonuçlar doğurmatadır. Aynı analz MINITAB aracılığı le de yapılablrd (daha olay br şelde). MINITAB programının verdğ sonuçlar aşağıdadır. (Ver grş aşağıda gb düzenlenmş olmalıdır. Tr sütununda Y gözlem değernn hang sstemden, Blo sütununda da bu gözlem değernn hang personelden alındığı gösterlmştr) Y Tr Blo 5 A 4 A 0 A 3 3 A 4 A 5 3 A 5 B 4 B B 3 B 4 3 B 5 3 B 8 C 4 C 5 C 3 7 C 4 C 5 3 C

6 Two-way ANOVA: Y versus Tr; Bloc Source DF SS MS F P Tr 0,5 5,53 0,04 Bloc 5 30,0 3, 0,057 Error 0 9,9 Total 7 70 S =,378 R-Sq = 7,8% R-Sq(ad) = 53,8% LSD = t α / MSE ( + ) Burada sstemlerde personelle lgl blgler olduğu çn n = n n olacatır. MSE=.9 ve t le lgl df se 9 olduğu çn α = 0,05 alındığında t α / =.093 olara ounur. =,093.9( + ).7 LSD olur. Sstemlern örne ortalamaları arasında farlar hesaplanırsa Sstem A B C A = = -.0 (*) B =-.5 (*) C 0 (*) Đstatstsel olara far önemldr. Çünü X X > LSD sonucu gözlemlenmştr. Yan A le C arasında ve B le C arasında ortalama stres sorları farları önem çımıştır. Stres sorunun büyü olması stenmeyeceğne göre bu üç sstem seçeneğnden C nn ullanılması düşünülmeyecetr. A le B sstemler arasında far önemsenmeyece adar üçü çımıştır. Yan bu sstemden br dğerne, statstsel önem derecesne bağlı olara, terch edlemez. Bel bu notada hang sstemn urulması daha olay ve daha ucuz se o sstemn ullanılması terch edleblr. FACTORIAL EXPERIMENTS CRD ve RBD tasarımları bze sadece br fatörle lgl ortalamaların arşılaştırılmasına olana verr. Brden daha fazla sayıda fatörün ortalamaları bazında arşılaştırılmasının gerel olduğu hallerde Factoral Experments başlığı altında nceleyeceğmz analzlern yapılması gerer. Factoral denmesnn sebeb, deneysel şartların fatörlern tüm olası fatör ombnasyonlarını çermesndendr. Örneğn A fatörünün a farlı alt grubu ve B fatörünün b farlı alt grubu var se, deney tasarımında olası ombnasyonlarının toplam sayısı (a)(b) adardır, ve böyle br analzn yapılablmes çn her br ombnasyonla lgl yeterl ver toplanması gereldr. Factoral Experment le lgl ANOVA tablosu aşağıda verlmştr. ANOVA Tablosu:

7 Source oof DF SS MS F Varaton FActor A a- SSA MSA=SSA/(a-) MSA/MSE Factor B b- SSB MSB=SSB/(b-) MSB/MSE Interacton (a-)(b-) SSAB MSAB=SSAB/(-)((b-) MSAB/MSE Error ab(r-) SSE Total n T - Total SS TotalSS = a b r = = a ( x x) ; SSA= br ( x* x) ; SSB= br ( x* x) ; b = SSAB= r a = olara hesaplanır. b ( x x* x* + x) Bunu br örne problem üzernde görelm ; SSE= TotalSS-SSA-SSB-SSAB FacA 3Saat -gün Factor B Đşl. Müh. FEF x = x = 500 x = x = x 3 = x 3 = 450 Satır Toplamı Factor A Ortalama 90 x * = = x * = = hafta x 3 = x 3 = x 33 = 445 Sütun Toplam Factor B Orta x * = x * = x * 3 = =540 =50 = x 3 * = = (Genel Toplam) 970 x = = 55 (genel Ortalama) 8 Total SS= (500-55) + (580-55) + + (40-55) = 8450 SSA= (3)() [ ) +( ) ) ]=00 SSB= (3)()[540-55) +(50-55) +(445-55) ] = SSAB=[( ) +( ) + +( ) ]=00

8 SSE= =9850 Şmd ANOVA tablosu oluşturulablr. Source oof DF SS MS F Varaton Factor A a-= SSA=00 MSA=SSA/(a-)=3050 MSA/MSE =.38 Factor B b-= SSB=45300 MSB=SSB/(b-)=50 MSB/MSE= 0.7 Interacton (a-)(b-)=4 SSAB=00 MSAB=SSAB/(-)((b-) =800 MSAB/MSE=.7 Error ab(r-)=9 SSE= 9850 MSE=SSE/(ab(r-))=0 Total n T - =7 Total SS=8450 MINITAB aracılığı le yapılan çözümleme: Y A B 500 a b 580 a b 40 a b 540 a b 50 a b3 00 a b3 540 a b 40 a b 50 a b 0 a b 00 a b3 580 a b3 480 a3 b 400 a3 b 40 a3 b 480 a3 b 480 a3 b3 40 a3 b3 Two-way ANOVA: Y versus B; A Source DF SS MS F P B ,0,38 0,99 A ,0 0,7 0,005 Interacton ,0,7 0,350 Error , Total S = 4,9 R-Sq = 75,9% R-Sq(ad) = 54,5%