TIMOSHENKO KİRİŞLERİNİN SERBEST TİTREŞİM ANALİZİNİN DİFERANSİYEL TRANSFORMASYON METODU İLE İNCELENMESİ

Transkript

1 14-16 Ekim 015 DEÜ İZMİR TIMOSHEKO KİRİŞLERİİ SERBEST TİTREŞİM AALİZİİ DİFERASİYEL TRASFORMASYO METODU İLE İCELEMESİ Baran Bozyiğit 1, Seval Çatal ve Hikmet Hüseyin Çatal 3 1 Araştırma Görevlisi, İnşaat Müh. Bölümü, Dokuz Eylül Üniversitesi, İzmir Doçent, İnşaat Müh. Bölümü, Dokuz Eylül Üniversitesi, İzmir 3 Profesör, İnşaat Müh. Bölümü, Dokuz Eylül Üniversitesi, İzmir ÖZET: Taşıyıcı sistemlerin deprem gibi dinamik yükler altında davranışı, can ve mal güvenliği açısından büyük önem arz etmektedir. Bu nedenle, günümüzde özellikle yüksek nitelikli yapı veya yapı elemanlarının tasarımında dinamik analize bir eğilim olduğu bilinmektedir. Bir sistemin dinamik analizinde en önemli parametrelerden olan doğal açısal frekans değerleri, serbest titreşim analizi ile elde edilmektedir. Bu çalışmada, her iki ucu ankastre mesnetli; bir ucu ankastre, diğer ucu basit mesnetli ve her iki ucu basit mesnetli kirişlerin serbest titreşim analizi Diferansiyel Transformasyon Metodu (DTM) kullanılarak incelenmiştir. Çalışma kapsamında, Euler-Bernoulli kiriş teorisine göre daha gerçekçi sonuçlar veren, kayma deformasyonu ve dönme ataletinin dikkate alındığı Timoshenko kiriş teorisi (TKT) kullanılmıştır. Sistemin hareket denklemleri enerjinin korunumu esasına dayalı Hamilton prensibi kullanılarak elde edilmiştir. Elde edilen hareket denklemleri öncelikle analitik olarak, ardından DTM uygulanarak çözülmüştür. Her üç kiriş tipi için, analitik çözümden ve DTM çözümünden elde edilen ilk üç moda ait doğal açısal frekans değerleri kıyaslanmış ve DTM nin oldukça başarılı sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir. Bununla birlikte, ilk üç moda ait açısal frekans değerleri, uygulamada yaygın olarak kullanılan yapısal analiz programlarından SAP000 den elde edilen sonuçlarla da kıyaslanmıştır. Çalışmada ayrıca, ilk üç moda ait mod şekilleri ve normalize edilmiş eğilme momenti diyagramları sunulmuştur. AAHTAR KELİMELER : Timoshenko kiriş teorisi, serbest titreşim analizi, Diferansiyel Transformasyon Metodu, doğal açısal frekans 1. GİRİŞ Mühendislik yapılarının taşıyıcı sistemlerinde sıklıkla kullanılan kirişlerde, dış yükler nedeniyle oluşan titreşimlerin analizi ve kontrolü emniyetli ve ekonomik tasarım için oldukça önemlidir. Son yıllarda, yüksek nitelikli yapı ve yapı elemanlarının tasarımında statik analizin yetersiz kaldığı kabul edilmekte olup, dinamik analiz ön plana çıkmıştır. Genel hali ile dinamik analizin serbest titreşim ve zorlanmış titreşim olmak üzere iki aşamadan oluştuğu kabul edilebilir. Bir sistem için serbest titreşim analizinden elde edilen doğal açısal frekans değerleri, zorlanmış titreşim analizinden elde edilen sonuçları doğrudan etkilemektedir. Bu nedenle, doğal açısal frekans değerlerinin doğru elde edilmesi, dinamik zorlamalar sonucu sistemde meydana gelecek iç tesirlerin gerçeğe olabildiğince yakın olarak hesaplanabileceği anlamına gelmektedir. Serbest titreşim analizinde tek veya çok serbestlik dereceli hesap modellerinin kullanılması basit ve hızlı çözümler ortaya çıkarsa da, gerçek davranış yayılı kütleli hesap modellerinin kullanılması sonucu elde edilir. Yayılı kütleli hesap modellerinin serbest titreşim analizi diferansiyel hareket denklemlerinin çözümü ile mümkündür. Literatürde, farklı sistemlerin Euler-Bernoulli kiriş teorisi (EKT) kullanılarak serbest titreşim analiziyle ilgili çok sayıda çalışma bulunmaktadır. Banerjee ve Gunawardana (007), hareketli Euler-Bernoulli

2 14-16 Ekim 015 DEÜ İZMİR kirişinin serbest titreşimini dinamik rijitlik metodu ile incelemişlerdir. Çalışmada, her iki ucu basit mesnetli ve her iki ucu ankastre mesnetli kirişlerin ilk üç modlarına ait açısal frekans değerleri farklı hız ve eksenel kuvvet değerleri için elde edilmiş olup, her iki sınır koşulu için mod şekilleri çizilmiştir. Bağdatlı vd. (011) e ait bir çalışmada, eksenel doğrultuda ivmelenen iki açıklıklı Euler-Bernoulli kirişinin doğal açısal frekansları Pertürbasyon teknikleri kullanılarak elde edilmiştir. Çalışmada dikkate alınan kirişin her iki ucu basit mesnetli olup, kiriş açıklığında da bir basit mesnet yer almaktadır. Çalışmada eksenel hız, eğilme rijitliği ve ara mesnetin kirişin dinamik davranışı üzerindeki etkileri incelenmiştir. Mao ve Pietrzko (01), tabakalı Euler kirişlerinin serbest titreşimini Adomian dekompozisyon metodu ile incelemişlerdir. Çalışmada, farklı sınır koşulları altında ilk beş moda ait açısal frekans değerleri elde edilmiş ve mod şekilleri çizilmiştir. Büyük açıklıklı ve narin kirişlerde EKT kullanılarak yeterli hassasiyette sonuçlar elde edilse de, kısa ve kalın kirişler gibi kayma deformasyonlarının ön plana çıktığı sistemlerde dönme ataletinin ve kayma deformasyonlarının dikkate alındığı Timoshenko kiriş teorisi (TKT) nin kullanılması emniyetli tasarım için önem arz etmektedir. Bununla birlikte, narin kirişlerin dinamik analizinde de TKT kullanımı tasarımcı için emniyetli bölgede kalınmasını sağlamaktadır. Timoshenko kirişlerinin titreşimi uzun yıllardır araştırmacıların ilgisini çekmektedir. Han vd. (1999), kirişlerin serbest titreşimini EKT, TKT, dönme ataletini dikkate alan Rayleigh teorisi ve kayma deformasyonunu dikkate alan Shear teorisini kullanarak incelemişlerdir. Çalışmada hareket denklemleri mekanik enerjinin korunumu esaslı Hamilton prensibi kullanılarak elde edilmiştir. Dört kiriş teorisi arasında, eşit koşullar altında en yüksek açısal frekans değerlerinin EKT ile, en düşük açısal frekans değerlerinin ise TKT ile elde edildiği gözlemlenmiştir. Rosa (1994), iki parametreli elastik zemine oturan Timoshenko kirişlerinin serbest titreşimini analitik yöntemle incelemiştir. Çalışmada, her iki ucu basit mesnetli, konsol ve bir ucu ankastre bir ucu basit mesnetli kirişlerin boyutsuz doğal açısal frekans değerleri farklı zemin parametreleri için sunulmuştur. Kocatürk ve Şimşek (005) e ait bir araştırmada, farklı sınır koşulları ve farklı kiriş genişlik/yükseklik oranları için TKT kullanılarak serbest titreşim analizi incelenmiştir. Lagrange denklemlerinin çözüm için kullanıldığı çalışmada, ilk sekiz moda ait boyutsuz açısal frekans parametreleri tablolar halinde sunulmuştur. Su ve Banerjee (015), fonksiyonel derecelendirilmiş Timoshenko kirişlerinin serbest titreşimini dinamik rijitlik metodunu kullanarak incelemişlerdir. Doğal açısal frekansların ve mod şekillerinin elde edilmesinde Wittrick-Williams algoritması kullanılmıştır. Farklı sınır koşulları ve geometrik özellikler için ilk beş moda ait açısal frekans değerleri tablolar halinde sunulmuştur. Altyapısı sonlu Taylor serisine dayanan ve etkili bir matematiksel teknik olan DTM, ilk kez Zhou (1986) tarafından elektrik devrelerine ait diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılmıştır. DTM yi ilk kez özdeğer problemine uygulayan Chen ve Ho (1996) ya ait çalışmada, elde edilen özdeğer ve özvektörler analitik çözümle kıyaslanmış, yöntemin başarılı sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir. Malik ve Dang (1998), çeşitli sınır koşulları altındaki Euler-Bernoulli kirişlerinin serbest titreşim analizinde DTM yi kullanarak ilk üç moda ait açısal frekans değerlerini hesaplamışlardır. Özdemir ve Kaya (006), değişken enkesitli ve dönen kirişlerin titreşim analizini EKT ve DTM yi kullanarak gerçekleştirmişlerdir. Çalışmada, farklı açısal hız ve tabaka koşullarının doğal frekanslar üzerindeki etkisi, sistemlerin ilk üç modlarına ait doğal frekansların sunulduğu tablolarda görülmektedir. Demirdağ ve Yeşilce (011), tepe noktasında topaklanmış kütleye sahip, zemine dönmeye karşı elastik yayla bağlı Timoshenko kolonunun serbest titreşim için DTM yi uygulamışlardır. Yay ve kolon arasındaki rölatif rijitlik için tanımlanan katsayının farklı değerleri için elde edilen ilk üç moda ait açısal frekans değerleri analitik yöntemle kıyaslanmış olup, başarılı sonuçlar elde edilmiştir. Yeşilce ve Çatal (011) ın araştırmasında, elastik zemine oturan değişken enkesitli, yarı rijit bağlı Reddy-Bickford kirişlerinin serbest titreşim analizi DTM uygulanarak incelenmiştir. İlk altı moda ait açısal frekans değerleri tablolar halinde sunulmuş olup, farklı eksenel basınç kuvveti ve rijitliklerin doğal açısal frekanslar üzerindeki etkileri incelenmiştir.

3 14-16 Ekim 015 DEÜ İZMİR Bu çalışmada; her iki ucu ankastre mesnetli, bir ucu ankastre diğer ucu basit mesnetli ve her iki ucu basit mesnetli Timoshenko kirişlerinin serbest titreşim analizi DTM kullanılarak incelenmiştir. DTM çözümünden ulaşılan sonuçlar analitik yöntem ve SAP000 den elde edilen sonuçlarla kıyaslanmıştır.. MATEMATİK HESAP MODELİ VE AALİTİK ÇÖZÜM Çalışma kapsamında yer alan kirişler ile ilgili aşağıda sıralanan kabuller yapılmıştır: 1. Kirişlerin yapıldığı malzeme homojen ve izotropiktir.. Malzeme davranışı doğrusal elastiktir. 3. İkinci mertebe etkiler ihmal edilmiştir. 4. Sönüm etkisi ihmal edilmiştir. 5. Eksenel deformasyonlar dikkate alınmamıştır. Timoshenko kiriş teorisine göre w(x,t) kiriş eksenine dik yer değiştirme fonksiyonunu, θ(x,t) kesit dönmesi fonksiyonunu göstermek üzere, çalışmaya konu edilen betonarme bacanın hareket denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir (Rosa, 1994): AG w( x,t)( x,t) w( x,t) k x x t m 0 (1) EI ( x,t) m( I( x,t) x,t) AG w( x,t) 0 x A t k x () Burada; m kirişin yayılı kütlesini, A kirişin enkesit alanını, G kirişin yapıldığı malzemenin kayma modülünü, E kirişin yapıldığı malzemenin elastisite modülünü, I kirişin alan atalet momentini ve k kesme düzeltme katsayısını göstermektedir. Kiriş hareketinin harmonik olduğu varsayılarak, L kirişin uzunluğu, boyutsuz konum parametresi z = x / L olmak üzere; w(x,t) ve ( x,t) fonksiyonları değişkenlerine ayırma yöntemi kullanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir: w(z,t) = w(z). e iωt (3) θ(z,t) = θ(z). e iωt (4) (1) ve ( ) numaralı kısmi diferansiyel denklemler, (3) ve ( 4) numaralı bağıntılar kullanılarak adi diferansiyel denklemlere dönüştürüldükten sonra, Timoshenko kirişinin hareket denklemleri aşağıdaki gibi elde edilir. AG d w AG d m w( z) 0 kl d z kl dz (5)

4 14-16 Ekim 015 DEÜ İZMİR EI d AG dw mi AG 0 ( z) L dz kl dz A k (6) Burada; ω sistemin açısal frekansını ifade etmektedir. Timoshenko kirişine ait eğilme momenti M( z) ve kesme kuvveti T( z) fonksiyonları boyutsuz konum parametresine bağlı olarak aşağıdaki gibi yazılabilir: M( z) EI d L dz (7) AG dw AG T( z)( z) (8) kl dz k Timoshenko kirişlerinin hareket denklemleri 4. mertebeden diferansiyel denklemler olduğundan, analitik çözüm için dört adet sınır koşuluna ihtiyaç duyulmaktadır. Çalışmaya konu edilen her iki ucu ankastre mesnetli, bir ucu ankastre diğer ucu basit mesnetli ve her iki ucu basit mesnetli Timoshenko kirişleri için uygulanacak sınır koşulları Tablo 1 ile sunulmaktadır: Tablo 1. Farklı mesnetlenme durumları için uygulanacak sınır koşulları z = 0 z = 1 z = 0 z = 1 z = 0 z = 1 w( z) 0 0 w( z) 0 0 w( z) 0 0 ( z) 0 0 ( z) 0 0 M( z) 0 0 w( z) 1 0 w( z) 1 0 w( z) 1 0 ( z) 1 0 M( z) 1 0 M( z) 1 0 Sınır koşulları kullanılarak elde edilen denklem takımının çözülmesiyle sistemin açısal frekans değerlerine ulaşılır. 3. DİFERASİYEL TRASFORMASYO METODU (DTM) Yarı analitik kabul edilen ve sonlu Taylor serisi açılımına dayanan DTM, adi ve kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde oldukça etkili bir nümerik yöntemdir. DTM yaklaşımı Taylor seri açılımına dayansa da, iterasyona dayalı bir prosedür uygulanarak fonksiyonların türevleri sembolik olarak elde edilmez (Çatal, 008). Titreşim problemine ait diferansiyel hareket denklemleri, DTM ye özgü transfer fonksiyonları kullanılarak sınır koşulları bir takım cebirsel eşitlikler olarak elde edilir. Bu cebirsel eşitliklerin çözüm kümesi, serbest titreşim analizi uygulanan sistemin özdeğerleridir (Yeşilce, 010).

5 14-16 Ekim 015 DEÜ İZMİR Tek boyutlu DTM için, uygulamada sıkça karşılaşılan fonksiyonlar ve sınır koşulları sırasıyla Tablo ve Tablo 3 de sunulmuştur (Çatal, 008). Tablo. Tek boyutlu DTM için temel teoremler Orijinal Fonksiyon Transfer Edilmiş Fonksiyon w(x) = u(x) ± v(x) W(k) = U(k) ± V(k) w(x) = a. u(x) W(k) = a. U(k) m d u(x) (k m)! w(x) W(k).U(k m) m k! w(x) = u(x). v(x) k r 0 W(k) U(r).V(k r) Orijinal Sınır Koşulları Tablo 3. Sınır koşulları için tek boyutlu DTM teoremleri x = 0 x = 1 Transfer Edilmiş Sınır Koşulları Orijinal Sınır Koşulları w(0) = 0 W(0) = 0 w(1) = 0 dw(0) 0 W(1) = 0 d w(0) 3 d w(0) 3 0 W() = 0 0 W(3) = 0 Transfer Edilmiş Sınır Koşulları k 0 W(k) 0 dw(1) 0 k.w(k) 0 k0 d w(1) 3 d w(1) k 0 k 0 k.(k 1).W(k) 0 k.(k 1).(k ).W(k) DTM nin Timoshenko Kirişinin Hareket Denklemlerine Uygulanması DTM çözümü için (5) ve (6) numaralı hareket denklemleri sırasıyla, (9) ve (10) numaralı eşitliklerle belirtilen formda yazılabilirler: AG d w kl d z AG d kl dz m w( z) (9) EI d AG dw mi AG ( z) L dz kl dz A k (10) (7), (9) ve (10) numaralı bağıntılar için aşağıdaki tanımlamalar yapılmıştır:

6 14-16 Ekim 015 DEÜ İZMİR AG AG mi AG m A k EI 1 kl K ;K ;K 3 kl ;K 4 ;K 5 ; AG AG EI EI L kl kl L L (9) ve (10 ) numaralı eşitliklere Tablo ile sunulan teoremler kullanılarak DTM uygulanırsa (11) ve (1 ) numaralı eşitlikler elde edilir: W( k) K 1.φ( k) 1 K.W( k) ( k)( k)( k) 1 φ( k) K 3.W( k) 1 K. 4 φ( k) ( k)( k)( k) 1 (11) (1) Burada; W(k) ve φ (k) sırasıyla, deplasman ve kesit dönmesi fonksiyonlarının transfer edilmiş fonksiyonlarıdır. M(k), M(z) eğilme momenti fonksiyonunun transfer edilmiş fonksiyonu olmak üzere; her iki ucu ankastre mesnetli, bir ucu ankastre diğer ucu basit mesnetli ve her iki ucu basit mesnetli Timoshenko kirişlerinin sınır koşulları ve transfer edilmiş sınır koşulları Tablo 4 de sunulmuştur. Tablo 4. Ankastre - Ankastre, Ankastre - Basit ve Basit - Basit mesnetlenme durumları için orijinal ve transfer edilmiş sınır koşulları z = 0 z = 1 Orijinal Sınır Koşulları y(0) 0 θ(0) 0 y(0) 0 θ(0) 0 Transfer Edilmiş Orijinal Sınır Sınır Koşulları Koşulları Ankastre - Ankastre W(0) 0 φ(0) 0 W(0) 0 φ(0) 0 y(1) 0 θ(1) 0 Ankastre - Basit y(1) 0 M(1) 0 Transfer Edilmiş Sınır Koşulları W(k)(k) 0 k0 k0 W(k) M(k) 0 k0 k0 y(0) 0 M(0) 0 W(0) 0 φ(1) 0 Basit - Basit y(1) 0 M(1) 0 W(k) M(k) 0 k0 k0

7 14-16 Ekim 015 DEÜ İZMİR Yöntemin bir sonraki aşamasında, Tablo 4 ile verilen transfer edilmiş sınır koşulları, (11) ve (1) numaralı eşitliklerde yerine yazılmalıdır. Her iki ucu ankastre mesnetli ve bir ucu (z=0) ankastre diğer ucu (z=1) basit mesnetli kirişler için W(1) = C 1, φ(1) = C ; her iki ucu basit mesnetli kiriş için W(1)= C 1, φ(0)= C alınarak (13) numaralı eşitlik elde edilir: A11 ω A1 ω C1 0 A C 1 ω A ω 0 (13) Burada; seri boyutu, C 1 ve C denklem takımındaki katsayılardır. A ω ve A j1 j ω (j=1,) ise ilgili değerine karşılık gelen, değerine bağlı polinomlardır. (13) eşitliğinde yer alan katsayılar matrisinin determinantını sıfıra eşitleyen değerleri, sistemin doğal açısal frekans değerleri olarak elde edilir. 4. SAYISAL AALİZ Sayısal analizde kullanılan kiriş modelleri için,l = 8 m, A = 0.15 m, m = k.sn /m, I = m 4, E = k/m, G = k/m, k = 1.0 alınmıştır. Çalışmada kullanılan, farklı sınır koşullarına sahip Timoshenko kirişlerinin ilk üç modlarına ait açısal frekans değerleri DTM, analitik yöntem ve SAP000 yapısal analiz programı kullanılarak elde edilmiş ve sayısal değerler Tablo 5 ile sunulmuştur. Tablo 5. Farklı mesnet koşullarına sahip Timoshenko kirişlerinin ilk üç modlarına ait açısal frekans değerleri Sınır Koşulları Yöntem Ankastre - Ankastre Ankastre - Basit Basit - Basit ω1(rad/sn) ω(rad/sn) ω3(rad/sn) ω1(rad/sn) ω(rad/sn) ω3(rad/sn) ω1(rad/sn) ω(rad/sn) ω3(rad/sn) DTM Analitik SAP Tablo 5 de görüldüğü üzere, en yüksek doğal açısal frekans değerleri her iki ucu ankastre mesnetli sistemde, en düşük doğal açısal frekans değerleri ise her iki ucu basit mesnetli sistemde görülmüştür. DTM kullanılarak hesaplanan doğal açısal frekans değerlerinin analitik yöntemden elde edilen sonuçlara yeterli terim sayısı kullanıldığında oldukça başarılı bir hassasiyetle yakınsadığı görülmektedir. DTM den elde edilen sonuçlar incelendiğinde; her iki ucu ankastre mesnetli kirişte gerekli yakınsama için terim sayısı 14-4 arasında, bir ucu ankastre diğer ucu basit mesnetli kiriş için 1 arasında, her iki ucu basit mesnetli kiriş için 1-16 arasında değişmektedir. Şekil 1 (a), (b) ve (c) de sırasıyla; her iki ucu ankastre mesnetli, bir ucu ankastre diğer ucu basit mesnetli ve her iki ucu basit mesnetli Timoshenko kirişlerinin ilk üç modlarına ait mod şekilleri yer almaktadır. Şekil 1 (d) de ise her üç kiriş modelinin hakim moduna ait mod şekilleri sunulmuştur. Şekil 1 (d) den anlaşıldığı gibi, bir ucu ankastre diğer ucu basit mesnetli sistemde maksimum deplasman basit mesnete daha yakın bir konumda oluşmaktadır.

8 14-16 Ekim 015 DEÜ İZMİR (a) (b) (c) (d) Şekil 1. (a) Her iki ucu ankastre mesnetli Timoshenko kirişinin ilk üç mod şekli. (b) Bir ucu ankastre, diğer ucu basit mesnetli Timoshenko kirişinin ilk üç mod şekli. (c) Her iki ucu basit mesnetli Timoshenko kirişinin ilk üç mod şekli. (d) Çalışmada kullanılan her üç kiriş modelinin hakim modlarına ait mod şekilleri. Şekil (a), (b) ve (c) de sırasıyla; her iki ucu ankastre mesnetli, bir ucu ankastre diğer ucuu basit mesnetli ve her iki ucu basit mesnetli Timoshenko kirişlerinin ilk üç modlarına ait normalize edilmiş eğilme momenti diyagramları bulunmaktadır. Şekil (d) de ise; her üç kiriş modelinin hakim moduna ait eğilme momenti diyagramları sunulmuştur. Şekil incelendiğinde; her iki ucu ankastre mesnetli kirişte maksimum eğilme momentinin kiriş mesnetlerinde meydana geldiği, bir ucu ankastre diğer ucu basit mesnetli kirişte maksimum

9 14-16 Ekim 015 DEÜ İZMİR eğilme momentinin ankastre mesnette oluştuğu, her iki ucu basit mesnetli kirişte ise maksimum eğilme momentinin kirişin orta noktasında oluştuğu anlaşılmaktadır. (a) (b) (c) (d) Şekil. (a) Her iki ucu ankastre mesnetli Timoshenko kirişinin normalize edilmiş eğilme momenti diyagramı. (b) Bir ucu ankastre, diğer ucuu basit mesnetli Timoshenko kirişinin normalize edilmiş eğilme momenti diyagramı. (c) Her iki ucu basit mesnetli Timoshenko kirişinin normalize edilmiş eğilme momenti diyagramı. (d) Çalışmada kullanılan her üç kiriş modelinin hakim modlarına ait normalize edilmiş eğilme momenti diyagramı.

10 14-16 Ekim 015 DEÜ İZMİR 4. SOUÇLAR Bu çalışmada, farklı sınır koşullarına sahip kirişlerin serbest titreşimi Timoshenko kiriş teorisi ve Diferansiyel Transformasyon Metodu kullanılarak incelenmiştir. İlk üç moda ait doğal açısal frekans değerleri analitik olarak, DTM kullanılarak ve SAP000 yapısal analiz programı ile hesaplanmıştır ve karşılaştırmalı olarak sunulmuştur. Mod şekilleri ve normalize edilmiş eğilme momenti diyagramları çizilmiştir. Elde edilen sonuçlara göre DTM, Timoshenko kirişlerinin hareket denklemlerinin çözümünde oldukça etkili sonuçlar vermektedir. Yakın sonuçlar olsa da, SAP000 ile hesaplanan doğal açısal frekans değerlerinin ilk modun ardından az da olsa gerçek sonuçtan uzaklaşmaya başladığı görülmektedir. Bu durumun sebebi; kayma deformasyonlarının dikkate alındığı modeller için, SAP000 de topaklanmış kütle sayısı çok fazla arttırılsa da teorik olarak yayılı kütleli çözüm yapılamaması olarak yorumlanmıştır. KAYAKLAR Bağdatli, S. M., Özkaya, E. ve Öz, H. R. (011). Dynamics of axially accelerating beams with an intermediate support. Journal of Vibration and Acoustics, 133(031013), Banerjee, J. R. ve Gunawardana, W. D. (007). Dynamic stiffness matrix development and free vibration analysis of a moving beam. Journal of Sound and Vibration, 303(1-), Chen, C.K. ve Ho, S.-H. (1996). Application of differential transformation to eigenvalue problems. Applied Mathematics and Computation, 79(-3), Çatal, S. (008). Solution of free vibration equations of beam on elastic soil by using differential transform method. Applied Mathematical Modelling, 3(9), De Rosa, M. A. (1995). Free vibrations of Timoshenko beams on two parameter elastic foundation. Computers & Structures, 57(1), Demirdag, O. ve Yesilce, Y. (011). Solution of free vibration equation of elastically supported Timoshenko columns with a tip mass by differential transform method. Advances in Engineering Software, 4(10), Han, S. M., Benaroya, H. ve Wei, T. ( 1999). Dynamics of Transversely Vibrating Beams Using Four Engineering Theories. Journal of Sound and Vibration, 5(5), Kocatürk, K. ve Şimşek M. (005). Free vibration analysis of Timoshenko beams under various boundary conditions. Journal of Engineering and atural Sciences, 005/1, Malik, M. ve Huy Dang, H. (1998). Vibration analysis of continuous systems by differential transformation. Applied Mathematics and Computation, 96(1), Matlab R014b (014). The MathWorks, Inc. Mao, Q. ve Pietrzko S. (01). Free vibration analysis of a type of tapered beams by using Adomian decomposition method. Applied Mathematics and Computation, 19(6), Özdemir, Ö. ve Kaya, M. O. (006). Flapwise bending vibration analysis of a rotating tapered cantilever Bernoulli-Euler beam by differential transform method. Journal of Sound and Vibration, 89(1-),

11 14-16 Ekim 015 DEÜ İZMİR SAP000 V Integrated Solution For Structural Analysis & Design, Computer & Structures Inc., USA. Su, H. Ve Banerjee, J. R. (015). Development of dynamic stiffness method for free vibration of functionally graded Timoshenko beams. Computers and Structures, 147(015), Yesilce, Y. (010). Differential transform method for free vibration analysis of a moving beam. Structural Engineering and Mechanics, 35(5), Yesilce, Y. ve Catal, H. H. (011). Solution of free vibration equations of semi-rigid connected Reddy-Bickford beams resting on elastic soil using the differential transform method. Archive of Applied Mechanics, 81(), Zhou, J. K. (1986). Differ ential transformation and its applications for electrical circuits. Wuhan: Huazhong University Press.