Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674"

Transkript

1 kapak sayfası

2 İÇİNDEKİLER. ÜNİTE SAYMA Sıralama ve Seçme... 4 Toplama Yolu ile Sayma... 4 Çarpma Yolu ile Sayma... 4 Permütasyon (Sıralama)... 5 Konu Testleri Kombinasyon (Seçme)... 4 Konu Testleri Pascal Üçgeni... 5 Binom Açılımı... 6 Konu Testi ÜNİTE OLASILIK Koşullu Olasılık... Deney, Çıktı... Örneklem Uzay ve Örneklem Nokta... Olay, Kesin Olay, İmkansız Olay... Ayrık Olaylar... Bağımsız Olay... Olasılık Fonksiyonu... Eş Olumlu Örnek Uzay... Olasılık Hesabı... Koşullu Olasılık... 5 Bağımlı ve Bağımsız Olay... 5 Bileşik Olay... 8 Konu Testleri Yayımlayan: Sebit Eğitim ve Bilgi Teknolojileri AŞ Üniversiteler Mah. İhsan Doğramacı Bulv. No: ODTÜ Teknokent Ankara / TÜRKİYE Tel: Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / 06 ISBN Numarası: Sertifika No: 674 Bu kitabın her hakkı saklıdır. Kısmen ve kaynak gösterilerek de olsa kesinlikle hiçbir alıntı yapılamaz. Metin, biçim, sorular, yayımlayan şirketin izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir sistemle çoğaltılamaz, dağıtılamaz ve yayımlanamaz.

3 SAYMA Ünite- Kazanımlar 0.. Sayma 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini (permütasyonlarını) örneklerle açıklar n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilip sıralanabileceğini hesaplar n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplar Pascal özdeşliğini gösterir ve Pascal üçgenini oluşturur Binom teoremini açıklar ve açılımdaki katsayıları Pascal üçgeni ile ilişkilendirir. Raunt

4 SAYMA SAYMA Sıralama ve Seçme Toplama Yolu İle Sayma A ve B sonlu ve ayrık iki küme ise, s(a B) = s(a) + s(b) dır. Bu eşitlikten yararlanılarak yapılan sayma yöntemidir. Örnek A kentinden B kentine havayolu ile farklı, denizyolu ile farklı ve karayolu ile 5 farklı şekilde ulaşmak mümkündür. Buna göre, bir kişi A kentinden B kentine kaç farklı şekilde gidebilir? Çözüm Toplama yolu ile sayma kuralına göre bu kişi, = 0 farklı şekilde A kentinden B kentine gidebilir. Çarpma Yolu ile Sayma A işlemi n farklı yolla, A işlemi n farklı yolla,..., A k işlemi n k farklı yolla sonuçlandırılabiliyorsa, bu işlemler art arda yapıldığında işlemin tamamı n.n.....n k değişik yolla sonuçlandırılabilir. Örnek 5 tişörtü, pantolonu ve kemeri olan bir kişi art arda kaç gün farklı giyinebilir? Çözüm Çarpma yolu ile sayma kuralına göre; 5.. = 0 gün farklı giyinebilir. Örnek A B C A dan B ye 5 farklı yol, B den C ye farklı yol vardır. Giderken kullanılan yol dönüşte kullanılmamak üzere, her seferde B ye uğrayarak A dan C ye kaç farklı yoldan gidilip dönülebilir? Çözüm A kentinden hareket edildiğinde 5 farklı şekilde B kentine, B kentinden hareket edildiğinde farklı şekilde C kentine gidilebilir. Dönerken kullandığımız yolları tekrar kullanmayacağımız için bu yollar 4 ve ye iner. Çarpma yolu ile sayma kuralına göre; = 0 farklı yoldan gidilip dönülebilir. 4 Raunt

5 Matematik-0 Ünite- Örnek 4 A = {,,, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile üç basamaklı, a. En çok kaç sayı yazılabilir? b. Rakamları farklı en çok kaç sayı yazılabilir? c. En az iki rakamı aynı en çok kaç sayı yazılabilir? d. Yalnız iki rakamı aynı olan en çok kaç sayı yazılabilir? e. 00 den büyük en çok kaç çift sayı yazılabilir? Çözüm 4 Yüzler Onlar Birler a = 6 bulunur. b = 0 bulunur. c. Bütün sayılardan rakamları farklı olanlar çıkarılırsa, 6 0 = 96 bulunur. d = 90 bulunur. e = 7 bulunur. {, 4, 5, 6} {, 4, 6} Örnek 5 A = {0,,,, 4, 5} kümesinin elamanları ile üç basamaklı, a. 00 den büyük en çok kaç sayı yazılabilir? b. Rakamları farklı en çok kaç çift sayı yazılabilir? c. Rakamları farklı 00 den büyük en çok kaç çift sayı yazılabilir? Örnek 6 İlk hanesi farklı rakamdan ve son iki hanesi farklı iki harften oluşan 5 haneli bir şifre kaç farklı şekilde oluşturulabilir? Permütasyon (Sıralama) Faktöriyel Çözüm 5 a = 08 = 07 bulunur. {,4,5} {00} b = 0 + = 5 Çözüm 6 bulunur. {0} {,4} c {,4,5} {0} {,4,5} {} {,5} {4} = = bulunur. Rakam Rakam Rakam Harf Harf = Rakamlar ve harfler birbirinden farklı olduğundan bir basamakta kullanılan harf ya da rakam diğer basamakta kullanılmaz. den n ye kadar olan ardışık sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! şeklinde gösterilir. 5! = = 0 dir.! = dir. İşlemlerde, n! = n.(n )! n! = n.(n ).(n )! şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde, (n + )! = (n + ).(n + ).n! dir. HATIRLATMA 0! = olarak ayrıca tanımlanır. Raunt 5

6 SAYMA Örnek 7 ( n+ )! = 56 n! olduğuna göre, n kaçtır? Örnek 8 Çözüm 7 ( n + )! ( n+ ).( n+ ). n! = = 56 olduğundan, n! n! (n+).(n+) = = 56 n + = 8 n + = 7 dir. Buradan n = 6 bulunur. Çözüm ! + 7.! 77.! 6.! işleminin sonucu kaçtır? 0. 6! ! 6!( 0+ 84) 94 = = = 776..! 6.! 6!( 49 ) 47 Örnek 9 x =! +! +! ! olduğuna göre, x in ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm 9 4! = 4 olduğundan, 4! ve 4! den büyük tüm sayılar ile tam bölünür. O halde, kalanı belirleyecek kısım;! +! +! dir.! +! +! = = 9 olduğundan, x in ile bölümünden kalan 9 dur. Permütasyon (Sıralama) n tane elemanı olan bir A kümesinin elemanlarının birbirinden farklı her dizilişine (sıralanışına), A kümesinin bir permütasyonu denir. Örnek 0 Örnek: A = {a, b, c} nın bütün lü permütasyonları; A a b c Birbirinden farklı 4 fizik, matematik, türkçe kitabı bir rafa; a. Kaç farklı şekilde sıralanabilir? b. Matematik kitapları yanyana olmak üzere kaç farklı biçimde sıralanabilir? c. Aynı tür kitaplar yanyana olmak üzere kaç farklı biçimde sıralanabilir? (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a) olmak üzere 6 tanedir. a b c A a, elemandan biri ile b, kalan elemandan biri ile c, kalan eleman ile eşlenebileceğinden çarpma kuralına göre,.. =! türlü eşleme yapılabilir. O halde; n elemanlı bir kümenin n li permütasyonlarının sayısı P(n, n) = n! dir. Çözüm 0 a = 9 farklı kitap bulunmaktadır. Hiç bir koşul bulunmadığından, P(9,9) = 9! farklı şekilde sıralanabilir. b. m m m F F F F 4 T T Matematik kitapları önce tek bir kitap gibi düşünülür. Daha sonra kendi içinde yer değişimi hesaplanır. 7!.! bulunur. c. m m m F F F F 4 T T!.!. 4!.! Farklı derslerin kitaplarının kendi arasında değişme ihtimalidir. 6 Raunt

7 Matematik-0 Ünite- Örnek "RAKS" kelimesindeki harfler yer değiştirerek elde edilen bütün kelimeler alfabetik sıraya dizildiğinde kaçıncı kelime "RAKS" tır? Çözüm..... = 6 tane A ile başlayan..... = 6 tane K ile başlayan R A K S R harfi ile başlayan dizilimlerin birincisidir. O halde = bulunur. n Elemanlı Kümenin r li Permütasyonları 0 r n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı, P(n, r) = n.(n ).(n ).....(n r + ) n! = ( n r)! dir. P(8, ) = P(n, ) = n P(n, 0) = P(9, ) = 9.8 P(n, n) = n! Örnek P(n, ) =.P(n, ) + 50 eşitliğini sağlayan n kaçtır? Örnek A = {,,, 4, 5} kümesinin lü permütasyonlarının kaç tanesinde 5 bulunur? Örnek 4 4 erkek, 5 kız öğrencinin bulunduğu bir grubun 9 kişilik bir sıraya dizilişlerinin kaç tanesinde herhangi iki erkek öğrenci yanyana değildir? Çözüm P(n, ) =. P(n, ) + 50 n.(n ) =.n.(n ) n n = n n + 50 n = 50 n = 5 n = 5 bulunur. Çözüm. 4. = adet permütasyonda 5, yüzler {5} basamağındadır. Onlar ve birler basamağı için bulunan değer ile çarpılır.. = 6 bulunur. Çözüm 4 _ K _ K _ K _ K _ K _ Erkek öğrencileri kız öğrencilerin aralarına yerleştirirsek, 6 boşluk oluştuğundan, P(6. 4). 5! olur. Kızların yer değiştirme sayısı Raunt 7

8 SAYMA Örnek 5,,, 4, 5 sayıları ile oluşturulabilecek 5 basamaklı rakamları farklı sayıların kaç tanesinde ve yanyana gelir? Çözüm 5 ve yi tek eleman gibi düşünürsek,,,, 4, 5 4 farklı eleman, P(4, 4).! = 4!.! farklı şekilde sıralanır. = 4. = 48 bulunur. Örnek 6 4 evli çift yanyana dizilip fotoğraf çektirecektir. Eşler daima yanyana olmak koşulu ile kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilirler? Çözüm 6 AB, CD, EF, GH çift çift çift çift 4 4!.!.!.! = 84 farklı şekilde fotoğraf çekilebilirler. Örnek 7,,, 4 ve 5 rakamları kullanılarak yazılabilen, rakamları tekrarlı veya tekrarsız tüm iki basamaklı çift sayıların toplamı kaçtır? Çözüm 7 onlar birler onlar birler 5. ve ya 5. {,,,4,5} {} {,,,4,5} {4} (+++4+5) (+++4+5) = 0 bulunur. Örnek 8 A, B, C, D, E, F, G harfleri sıralanacaktır. A ve E nin arasında en az bir harf bulunması şartıyla kaç değişik biçimde sıralama yapılabilir? Çözüm 8 Tüm sıralamalardan A ve E'nin yan yana olma olasılığını çıkartılırsa, AE, B, C, D, E, F, G 7!!. 6! 7. 6!. 6! = 6! (7 ) = 6!. 5 bulunur. 8 Raunt

9 Sınav Kodu: M000 Matematik-0 Ünite- Konu Testi. Bir kooperatifte bulunan 7 kişiden bir başkan, bir başkan yardımcısı ve bir denetçi kaç farklı şekilde seçilebilir? 6. Pn (, n) + n = ise n sayma sayısı kaçtır? Pn (, n ) A) 80 B) 50 C) 080 D) 040 E) 4080 A) 6 B) 5 C) 4 D) E). A = {a, b, c, d} B = {,,, 4, 5} f : A B, f(a) = ve f(b) = 5 olmak üzere; A dan B ye kaç tane fonksiyon yazılabilir? 7. 0,,,, 4, 5, 6 rakamları ile rakamları farklı, 00 den büyük üç basamaklı en çok kaç çift doğal sayı yazılabilir? A) 48 B) 60 C) 64 D) 70 E) 7 A) 5 B) 4 C) 0 D) 8 E) 8. 5 kişiden belli ikisinin ehliyeti vardır.. Herbiri 4 seçenekli olan 5 sorudan oluşan bir testin cevap anahtarı, art arda iki cevabın aynı seçenekte olmaması şartıyla kaç değişik şekilde hazırlanabilir? Buna göre, aracı ehliyetli birinin kullanması ve üç kişinin arkada oturması şartı ile 5 kişi kaç farklı şekilde seyahat edebilir? A) 48 B) 4 C) 40 D) 6 E) 4 A) B) 4 C). 4 D) 5 E) HATİCE kelimesindeki harfler yer değiştirilerek hiçbir sesli harfin yanyana gelmediği anlamlı ya da anlamsız altı harfli kaç kelime türetilebilir? 4. 6 farklı renk ile 4 katlı bir binanın her katı tek renk olacak şekilde, art arda iki katın rengi aynı olmamak şartı ile kaç farklı şekilde boyanır? A) 96 B) 00 C) 08 D) 8 E) 44 A) 60 B) 70 C) 750 D) 800 E) (n )! =.(n 4)! olduğuna göre, n kaçtır? A) B) 5 C) 8 D) 0 E) 4 0. BEREKET kelimesindeki harfler yer değiştirilerek E ile başlayıp, E ile biten ve B ile T harflerinin yanyana olduğu anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kaç kelime türetilebilir? A) 48 B) 45 C) 4 D) 40 E) 6 Raunt 9

10 Sınav Kodu: M000 SAYMA Konu Testi.! + 0! 0! 9! işleminin sonucu kaçtır? A)40 B) C) D) E) Meclisteki kanun görüşmelerinde her milletvekilinin kanunla ilgili kabul, ret veya çekimser olmak üzere seçim hakkı vardır. 550 milletvekili bulunan bir mecliste bu kanunun oylanmasıyla ilgili kaç sonuç çıkabilir? A) 550 B) P(550, ) C) 550! D) 550 E) 550. P(n, ) = 7.P(n, ) olduğuna göre, n kaçtır? A) 9 B) C) D) 5 E) 8 6. A = {E, R, S, İ, N} kümesinin elemanları beş harften oluşan ve son harfi sessiz olan anlamlı ya da anlamsız kaç değişik kelime yazılabilir? A) 0 B) 08 C) 7 D) 48 E) 6. A B C A şehrinden B şehrine farklı yol, B şehrinden C şehrine 5 farklı yol, A şehrinden C şehrine ise farklı yol vardır. Buna göre, A kentinden harekete başlayan bir araç C ye kaç değişik yoldan gidebilir? 7. A = {,,, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı en çok kaç doğal sayı yazılabilir? A) 60 B) 80 C) 90 D) 08 E) 0 A) 8 B) 7 C) 6 D) 4 E) 4. farklı mektup, 6 posta kutusuna, herbir posta kutusuna en çok mektup atmak şartıyla kaç değişik şekilde atılabilir? 8. A = {,, 4, 5, 7, 8} kümesinin elemanları kullanılarak 00 den büyük 700 den küçük rakamları farklı en çok kaç tek sayı yazılabilir? A) 40 B) 80 C) 0 D) 60 E) 0 A) 60 B) 48 C) 44 D) 4 E) 40 0 Raunt

11 Matematik-0 Ünite- 9. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde e bulunur?. 5 evli çift, düz bir sırada eşler bir arada olacak şekilde kaç farklı şekilde sıralanır? A) 0 B) 90 C) 75 D) 60 E) 40 A) 700 B) 4500 C) 840 D) 600 E) Matematik, 5 Fizik, 4 Kimya kitabı, aynı dersin kitapları yanyana olmak koşuluyla bir kütüphanenin rafına kaç değişik şekilde sıralanabilir? A)! B) 0!. 4! C)!. (4!). 5 D) 0! E) 9!. 4! 4. 0 kişinin katıldığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklı biçimde oluşabilir? A) 0! B) 9! C) 440 D) 70 E) 480. Aralarında Ayşe ve Fatma'nın da bulunduğu 7 kişi fotoğraf çekilecektir. Ayşe ile Fatma yanyana olmak koşulu ile kaç değişik şekilde fotoğraf çektirebilirler? 5. Ahmet ile Mehmet'in aralarında bulunduğu 6 kişilik bir sıralamada, Ahmet'in Mehmet'in gerisinde olduğu kaç farklı durum olabilir? A) 400 B) 60 C) 40 D) 00 E) 80 A) 880 B) 440 C) 080 D) 70 E) kız ve erkek öğrenci düz bir sırada, herhangi iki kız öğrenci yanyana gelmemek koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanır? sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek altı basamaklı sayılar yazılıyor. Bu sayıların kaçında 5 rakamı ün solunda nin sağındadır? A) 44 B) 08 C) 7 D) 64 E) 48 A) 00 B) 80 C) 60 D) 40 E) 0 Raunt

12 Sınav Kodu: M000 SAYMA Konu Testi. ( n+ )! + ( n+ )! = ( n+ )! + n! olduğuna göre, n kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 5. 0 soruluk bir sınavda her sorunun 5 şıkkı vardır. Art arda sorunun yanıtının farklı olması koşuluyla kaç değişik cevap anahtarı oluşturulabilir? A) 0! B) 5 0 C) D) 4 0 E) P(n, r) = 0 olduğuna göre, n in alabileceği kaç farklı değer vardır? A) B) C) D) 4 E) kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir?. A A) 6! B) C) 6 D) 6 E) P(6, ) B C A şehrinden B şehrine 5 farklı, A şehrinden C şehrine farklı ve B şehrinden C şehrine 5 farklı yoldan gidilebilmektedir. Buna göre, bir kişi A dan C ye, giderken kullandığı yolu dönüşte kullanmamak şartıyla kaç değişik yoldan gidip dönebilir? A) 8 B) 40 C) 06 D) 56 E) A = {0,,, 4, 5, 6} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı basamaklı kaç çift doğal sayı yazılabilir? A) 78 B) 7 C) 70 D) 68 E) Bir köşkün 6 tane bahçe giriş kapısı, tane ev giriş kapısı vardır. Köşke giren bir hırsız eve girerken kullandığı kapıları çıkarken kullanmamak şartıyla kaç değişik şekilde giriş-çıkış yapabilir? A) 4 B) 06 C) 00 D) 80 E) A = {0,,,, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak 0 dan büyük 500 den küçük rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 9. A = {,,, 4, 5, 6} kümesinin üçlü permütas- Raunt

13 Matematik-0 Ünite- yonlarının kaç tanesinde bulunur, bulunmaz? A) 6 B) 4 C) 48 D) 54 E) 60 yan yana fotoğraf çektirecektir. Zümrüt ile Seda'nın arasında yalnızca bir kişi bulunmak koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? A) 88 B) 40 C) 9 D) 08 E) 7 0. A = {a, b, c, d, e} kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde c veya d bulunur? A) 60 B) 54 C) 48 D) 6 E) 4 4. A = {E, R, S, İ, N} kümesindeki harfler ile yazılabilecek anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kelimelerin kaçında sessiz harfler alfabetik sıradadır? A) 60 B) 80 C) 60 D) 40 E) 0. Aralarında Bilgi ve Gülten'in de bulunduğu 7 kişi, Bilgi ile Gülten yanyana olmamak şartıyla düz bir sırada kaç farklı şekilde sıralanabilir? A) 7!.6! B) 7!5! C) 5.6! D) 6!.5! E) 6! 5. Ozan, Onur ve Sefa 6 kişilik ekmek kuyruğundadır. Ozan'ın Sefa ve Onur'un önünde bulunduğu kaç farklı sıralama vardır? A) 540 B) 60 C) 0 D) 40 E) kız 5 erkek yanyana sıralanacaktır. Aynı cinsiyetten iki kişinin yanyana gelmemesi koşuluyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? A) 7!.6! B) 6!.5! C).5!.5! D) 5!.5! E) 5!.4!. Aralarında Zümrüt ve Seda'nın da bulunduğu 6 kişi 6. Ali, Ahmet ve Hüseyin 6 kişilik maç kuyruğundadır. Ali'nin, Ahmet ile Hüseyin arasında bulunduğu kaç farklı sıralama olabilir? A) 40 B) 60 C) 0 D) 60 E) 0 Raunt

14 SAYMA Kombinasyon (Seçme) A kümesi, n elemanlı sonlu bir küme ve r n olmak üzere, A kümesinin r elemanlı her alt kümesine A kümesinin r li bir kombinasyonu denir. n farklı elemanın r li kombinasyonlarının sayısı; C(n, r) veya n e o ile gösterilir. r! Cn (, r) n n = e o= r ( n r)!. r! Pn (, r) Cnr (, ) = dir. r! dir. Kombinasyonla İlgili Özellikler. C(n, 0) = C(n, n) =. C(n, ) = C(n, n ) = n. C(n, r) = C(n, n r) 4. C(n, r) + C(n, r + ) = C(n +, r + ) 5 C(n, 0) + C(n, ) + C(n, ) C(n, n) = n 6. n n e o = f p & n = r+ p r p veya r = pdir. Örnek 9 A = {,,, 4, 5} kümesinin lü kombinasyonları kaç tanedir? Çözüm 9 5 elemanlı bir kümenin elemanlı kombinasyonlarının sayısı; 5! 5! 54..! C5 (, ) = = = = 0 bulunur. ( 5 )!.!!.!.! Örnek 0 Çözüm 0 P(n, 4) = 5.C(n, 5) eşitliğini sağlayan n kaçtır? P(n, 4) = 5.C(n, 5) n.(n ).(n ).(n ) = 5.(n 4) = 5! n 4 = 4! n 4 = 4 n = 8 bulunur. 5n.( n ).( n ).( n ).( n 4) 5! 4 Raunt

15 Matematik-0 Ünite- Örnek Bir öğrenci soruluk bir sınavda soruların 9 tanesini cevaplamak zorundadır. İlk 7 sorudan en az 6 tanesini seçmek koşulu ile öğrenci bu 9 soruyu kaç farklı biçimde seçebilir? Çözüm İlk 7 sorudan 6 tane veya ilk 7 sorudan 7 soru seçilebilir f p f p+ f p f p = 80 bulunur. Örnek 6 kişilik bir futbol takımının kadrosunda 4 tane kaleci vardır. Kaleci olmayan 4 kişinin daima oynaması koşulu ile kişilik bir futbol takımı kaç farklı şekilde oluşturulabilir? Çözüm Bu takımda oyuncu 4 kaleci vardır. 4 = 8 oyuncu içinden 6 tane oyuncu ve 4 kaleci içinden kaleci seçmeliyiz f p f p f p =.8.4 = bulunur. 4 6 Örnek f p+ f p+ f p+ f p toplamının sonucu kaçtır? Çözüm, f p+ f p+ f p+ f p f p+ f p= f p olur = + +, + = f p f p f p f p f p f p olur =, 4 f p+ f p f p+ f p= f p olur = 4 f p f p= f p= = 64.. bulunur. Örnek 4 Çözüm 4 C A B D nokta çember üzerinden nokta doğru üzerinden veya noktanın hepsi çember üzerinden seçilebilir f p f p+ f p E F G H Şekildeki noktalar kullanılarak en az iki noktası çember üzerinde olan en çok kaç farklı üçgen çizilebilir? = 8 bulunur. Raunt 5

16 SAYMA Örnek 5 Aynı düzlemdeki birbirinden farklı a. 0 doğru b. 0 çember c. 0 üçgen en çok kaç noktada kesişirler? Örnek 6 A = {a, b, c, d, e, f, i, k} kümesindeki harfler kullanılarak sesli, sessiz harften oluşan 5 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılabilir? Çözüm 5 a. farklı doğru en çok noktada kesişir. Bu yüzden 0 doğrudan li kombinasyonlar seçer ve noktada kesiştiklerini kabul ederiz C(0, ) = = 45 bulunur.. b. farklı çember en çok noktada kesişir..c(0,) =.45 = 90 c. farklı üçgen en çok 6 noktada kesişir. 6.C(0,) = 6.45 = 70 bulunur. Çözüm 6 Sesli harfler = {a, e, i} f p = Sessiz harfler = {b, c, d, p, k} 5 f p = 0 farklı şekilde seçilebilir. Bu seçilen harfler P(5,5) = 5! farklı kelime oluşturabilir. Buna göre,.0.5! = 600 bulunur. Örnek 7 A, B, C, D, E, F, G derslerinden belli iki tanesi aynı saatte verilmektedir. Bu derslerden herhangi dört tanesini seçmek zorunda olan bir öğrenci seçimini kaç farklı şekilde yapabilir? Çözüm 7 Aynı saatte olanlardan birini ve kalanlardan üçünü veya aynı saatte olmayanlardan dördünü seçebilir,. 5 5 f p f p+ f p =.0+5 = 5 4 farklı seçim yapabilir. Örnek 8 4 ü paralel, 5 i bir A noktasından geçen bir düzlemin farklı doğrusu en çok kaç noktada kesişebilir? Çözüm f p f p f p + doğrudan liler seçeriz. 4 paralel doğru kesişmez. 5 doğru bir A noktasında kesişiyordu. A noktası = 5 bulunur. 6 Raunt

17 Matematik-0 Ünite- Örnek 9 4 kız 6 erkek öğrenci arasından en az bir tanesi kız olan 4 kişilik bir grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir? Çözüm 9 En az tanesi kız olan 4 kişilik grup kız erkek, kız erkek ve kız erkek şeklinde oluşturulabileceğinden; = f pf p+ f pf p+ f pf p olur. = = = 94 bulunur. Örnek 0 Çözüm 0 a. Yatay eksenden doğru ve düşey eksenden doğru seçilebileceği için, Birbirine paralel olan doğrulardan oluşan şekilde, a. kaç paralelkenar, b. bir köşesi A olan kaç paralelkenar vardır? A 6. 6 f p f p = 5.5 = 5 bulunur. b. Yatay eksende A noktasının üzerinde bulunduğu doğru dışında doğru ve düşey eksende A noktasının bulunduğu doğru dışında doğru seçileceğinden; 5. 5 f p f p = 5 bulunur. Örnek Çözüm G A B C F Üçgenlerin üç köşesi de A, B, C, D, E veya G, A, F noktalarından seçilemeyeceğinden; 7 5 f p f p f p = 5 0 = 4 D 4 üçgen çizilebilir. E Şekilde köşeleri A, B, C, D, E, F, G noktaları olan kaç farklı üçgen çizilebilir? Raunt 7

18 Sınav Kodu: M0004 SAYMA Konu Testi. Farklı 4 beyaz, siyah ve kırmızı toptan iki tanesi beyaz olacak şekilde 4 top kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 90 B) 84 C) 80 D) 7 E) f p+ f p+ f p+ f p işleminin sonucu kaçtır? 4 5 A) 96 B) 08 C) D) 0 E) 6 4. A = { 4,,, 0, 5, 7, 9, 0} kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde elemanlar çarpımı sıfır veya negatif bir sayıdır? 7. 8 kişilik bir gruptan biri, diğeri 5 kişilik iki farklı takım kaç farklı şekilde oluşturulabilir? A) 4 B) 48 C) 5 D) 56 E) 60 A) 48 B) 40 C) 6 D) 0 E) 4. 0 soruluk bir sınavda ilk 5 sorudan en az dördünü çözmek şartıyla 7 soru kaç farklı şekilde cevaplanabilir? 8. 5 erkek ve kız öğrenci arasından seçilecek erkek ve kız öğrenci kaç farklı şekilde yan yana oturabilir? A) 400 B) 800 C) 00 D) 600 E) 4800 A) 70 B) 64 C) 60 D) 56 E) Şekildeki işaretli noktaları kullanarak kaç tane üçgen çizilebilir? A) 80 B) 76 C) 7 D) 64 E) 60 Şekildeki çemberin üzerinde 7 nokta verilmiştir. Buna göre, bu noktalarla en çok kaç tane çokgen çizilebilir? A) 99 B) 98 C) 97 D) 96 E) ü aynı noktadan geçen 7 doğru en çok kaç noktada kesişir? Yukarıdaki şekil 0 birimkareden oluşmuştur. Buna göre, şekilde kaç tane farklı dikdörtgen vardır? A) 96 B) 00 C) 08 D) 0 E) A) 8 B) 6 C) 4 D) E) 0. 7 farklı oyuncak üç çocuğa, her birine en az iki oyuncak verilmek üzere, kaç farklı biçimde paylaştırılır? A) 480 B) 500 C) 540 D) 600 E) 60 8 Raunt

19 Sınav Kodu: M0005 Matematik-0 Ünite- Konu Testi 5. 5 elemanlı bir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) 0 B) C) 5 D) 0 E) 5. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinde b eleman olarak bulunur? A) 0 B) 5 C) 6 D) 0 E). n n f p+ f p = 8 olduğuna göre, n kaçtır? n A) B) C) 4 D) 5 E) elemanlı bir kümenin en az elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) 0 B) 5 C) 4 D) 56 E) 57 Cn (, ). Cn (, ) + Cn (, 0) = 6. olduğuna göre, n n kaçtır? 7. 4 farklı Fizik ve farklı Matematik kitabı arasından kitap seçilecektir. En az iki Matematik kitabı bulunması koşuluyla kaç farklı seçim yapılabilir? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) A) 0 B) C) 8 D) 0 E) f p= f p olduğuna göre, n kaçtır? n+ n 8. Aralarında Ozan ve Ceren'in de bulunduğu 7 kişi bir otelin ve 4 kişilik iki odasına yerleşecektir. Ozan ile Ceren aynı odada bulunmak koşuluyla 7 kişi odalara kaç farklı şekilde yerleşebilir? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) 0 B) C) 5 D) 0 E) 5 Raunt 9

20 SAYMA 9. Bir öğrenci bir sınavda kendisine sorulan 0 sorudan 7 sini cevaplamak zorundadır. İlk 4 sorudan yalnız ünü cevaplamak şartıyla kaç farklı seçim yapabilir?. d d d d 4 d 5 A) 48 B) 5 C) 54 D) 60 E) 64 l l l l 4 l // l // l // l 4, d // d // d // d 4 // d 5 olduğuna göre şekilde kaç adet paralelkenar vardır? A) 6 B) 48 C) 60 D) 7 E) kişilik bir gruptan biri 7, diğeri kişilik iki ekip kaç farklı şekilde oluşturulur? A) 0 B) 0 C) 90 D) 80 E) Bir düzlemde, ü birbirine paralel, 4 ü bir A noktasından geçen 0 doğrunun en çok kaç kesim noktası vardır? A) 8 B) C) 7 D) 9 E) evli çift arasından içinde en az bir evli çift bulunan 4 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 60 B) 50 C) 40 D) 0 E) 0 Yukarıda verilen 8 nokta ile oluşturabilecek kaç farklı üçgen vardır? A) 54 B) 5 C) 5 D) 5 E) özdeş oyuncak, çocuğa her birine en az oyuncak verilmesi şartıyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir? Şekildeki 0 nokta ile yalnızca iki köşesi çember üzerinde olan kaç farklı üçgen çizilebilir? A) 5 B) 6 C) 0 D) 5 E) 0 A) 4 B) 6 C) 48 D) 60 E) 7 0 Raunt

21 Sınav Kodu: M0006 Matematik-0 Ünite- Konu Testi. C(n, ) + C(n, ) = 6 olduğuna göre, n kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) elemanlı bir kümenin 4 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? A) 0 B) 5 C) 8 D) 5 E) 4 6. n n f p= f p eşitliğine göre, n nin alabileceği n değerler toplamı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 6. A = {,,, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde veya eleman olarak bulunur? A) B) 4 C) 5 D) 7 E) A = f p+ f p+ f p+ f p+ f p B = f p+ f p+ f p+ f p olduğuna göre, A B farkı kaçtır? A) B) C) D) 9 E) 0 7. A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde c elemanı bulunmaz, e elemanı bulunur? A) 5 B) 6 C) 8 D) 0 E) f p+ f p+ f p+ f p+ f p+ f p işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 8. 4 doktor, 5 hemşire arasından doktor ve hemşireden oluşan bir ekip kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 4 B) 8 C) 6 D) E) 64 A) 84 B) 7 C) 68 D) 66 E) 60 Raunt

22 SAYMA 9. 0 oyuncunun bulunduğu bir kadrodan kişilik bir futbol takımı ve takımdaki oyunculardan biri kaptan olacak şekilde kaç farklı takım ve kaptan seçimi yapılabilir? A) f p B) f p. f p C) f p+ f p D) f p+ f p E) f p. f p. Yandaki şekil eş karelerden oluşmuştur. Şekilde kare olmayan kaç dikdörtgen vardır? A) 50 B) 80 C) 0 D) 0 E) farklı çemberin kesiştirilmesiyle en fazla kaç nokta elde edilir? 0. 0 kişilik bir gruptan 5 er kişilik iki ekip kaç farklı şekilde oluşturulur? A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) 40 A) 6 B) 6 C) 58 D) 9 E) 5 5. A B C. 4 evli çift arasından içinde evli çift bulunan 4 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde oluşturulur? ABC üçgeni biçiminde verilen şekilde kaç farklı üçgen vardır? A) 8 B) 6 C) 0 D) 6 E) 4 A) 6 B) 40 C) 4 D) 48 E) 5 6. d d // d d. a > b > c olmak üzere, kaç farklı abc üç basamaklı sayısı yazılabilir? Şekildeki d doğrusu üzerindeki 4, d doğrusu üzerindeki 5 nokta ile köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir? A) 0 B) 96 C) 8 D) 60 E) 48 A) 0 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 Raunt

23 Sınav Kodu: M0007 Matematik-0 Ünite- Konu Testi 7. 4 erkek, 5 kız öğrenci arasından kişilik bir ekip kurulacaktır. Bu ekiplerin kaçında en az erkek öğrenci vardır? 5. a b < c koşulu ile abc biçiminde basamaklı kaç farklı sayı yazılır? A) 0 B) 0 C) 00 D) 90 E) 80 A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8. 8 kişiden ikisi Ali ile Ayşe'dir. Ali ile Ayşe farklı gruplardan olmak üzere, 4 er kişilik iki grup kaç farklı şekilde kurulur? 6. f p+ f p+ f p f p toplamı kaça eşit- 5 tir? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) Bir şirkette çalışan 0 kişiden, iki tane kişilik, bir tane 4 kişilik ekip kurulacak ve bu ekipler Ankara, Adana, Antalya da görevlendirilecektir. Bu görevlendirme kaç farklı şekilde yapılır? A) 600 B) 000 C) 0000 D) 8600 E) 700 Şekildeki 9 nokta ile kaç farklı üçgen oluşturulur? A) 40 B) 50 C) 56 D) 60 E) 7 8. Şekil birimkarelerden oluşturulmuştur farklı hediye, her çocuk en az bir hediye almak koşulu ile çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılır? A) 50 B) 0 C) 75 D) 60 E) 50 Şekilde kaç tane dikdörtgen vardır? A) 4 B) 6 C) 4 D) 44 E) 56 Raunt

24 SAYMA 9. Bir çember üzerindeki 8 farklı noktadan en çok kaç farklı çokgen çizilebilir?. KALEM kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız 4 harfli kaç farklı kelime yazılır? A) 56 B) 6 C) 87 D) 9 E) 9 A) 0 B) 00 C) 60 D) 70 E) O 4. A = {,,, 4, 5} kümesinin elemanlı alt kümelerinin tamamı yazılırken kullanılan rakamların toplamı kaçtır? Şekilde O merkezli kaç daire dilimi vardır? A) 90 B) 00 C) 0 D) 0 E) 80 A) 8 B) 0 C) D) 4 E) ü özdeş 0 kitap arasından birbirinden farklı kitap kaç farklı şekilde seçilir? 5. 0 sayısının pozitif bölenlerinin hepsi birer kağıda yazılıyor ve bu kağıtlardan rastgele üçü alınıyor. Alınan kağıtlarda yazan sayıların çarpımının çift olduğu kaç durum vardır? A) 48 B) 50 C) 5 D) 54 E) 56 A) 90 B) 80 C)60 D) 50 E) 0. 4 farklı üçgen en çok kaç noktada kesişir? A) 0 B) 6 C) 4 D) 6 E) f p+ f p+ f p+ f p toplamı kaçtır? A) 6 B) 8 C)5 D) 5 E) 56 4 Raunt

25 Matematik-0 Ünite- Pascal Üçgeni Matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır. Ömer Hayyam tarafından oluşturulmuştur. Genellikle Pascal üçgeninin satırları üstten n = 0'dan başlayarak numaralandırılır. Satırdaki sayılar komşu sütünlarının boşluklarına gelir ve bu basit yapı tüm üçgen boyunca sürer. 0. satıra yalnızca değeri yazılır. Sonraki satırlar oluşturulurken, hesaplanan noktanın sol üstünde ve sağ üstünde bulunan değerler toplanır. Eğer sağ ve sol üstünde sayı yoksa buradaki değer olarak alınır. Örneğin, ilk satırın ilk sayısı 0 + = 'dir üçüncü satırda ise 4 ve toplanarak 4. satırdaki 7 sayısını oluşturur. Pascal üçgeninin çok boyutlu şekilleri de vardır. boyutlu olan şekli Pascal piramidi veya Paskal dörtyüzlüsü olarak anılırken diğer genel şekilli olanları Pascal basitleştirilmişleri olarak anılır Üçgendeki her sayı üst taraftaki iki sayının toplanmasıyla elde ediliyor. Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da kullanılır. Bu üçgen, biyoloji, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulur. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki yıllarda çok kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunur. Formül: n n! n n n k+ f p = =......, n, k N k k!.( n k)! k 0 olmak üzere, 5 5! 54..! f p = = = = = 0 bulunur. (Pascal üçgeninde 6. satırın. elemanıdır.)!.!!.!! Raunt 5

26 SAYMA Binom Açılımı a, b gerçel sayılar, n N, a + b 0 olmak üzere; n n ( a b) a n n a n n n. b a n. b... 0 n b n + = f p + f p + f p + + f p eşitliğine binom açılımı denir. İki Terimli (Binom) Açılım 0 0 ( a" b) f p 0 ( a" b) f pa" f pb 0 ( a" b) f pa " f pab+ f pb 0 ( a" b) f pa " f pa b+ f pab " f pb ( a" b) f pa " f pa b+ f pa b " f pab + f pb ( a" b) f pa " f pa b+ f pa b " f pa b + f pab " f pb ( a" b) f pa " f pa b+ f pa b " f pa b + f pa b " f pab + f pb h h h h h h h h Binom açılımındaki katsayılar Pascal Üçgeni ile de elde edilebilir. 6 Pascal Üçgeni Bir satırdaki ardışık iki sayının toplamı, alt satırda bu iki sayının arasında yazılan sayıyı verir. Örneğin; (a+ b) = f p( a) + f p( a) ( b) + f p( a)( b) + f p( b) 0 =.8a +.4a.b +.a.9b +.7b = 8a + 6a b + 54ab + 7b 6 Raunt

27 Matematik-0 Ünite- HATIRLATMA n N için (a ± b) n açılımında ) (n + ) tane terim vardır. ) Her terimde a ve b nin üsleri toplamı n dir. ) a = b = için katsayılar toplamı bulunur. n n r r 4) a nın azalan kuvvetlerine göre baştan (r+). terim, f p a. b dir. r 5) (a + b) n n açılımında ortadaki terim. n a n b n f p dir. Örnek a b 4 f p açılımı nedir? Örnek (x + y) 8 ifadesinin açılımında katsayısı en büyük olan terim nedir? Çözüm b b b ( a). 4 ( a). 4 = f p f p + ( a). 0 f p f p + f p f p 4 4 b b ( a) f p f p + ( a). f p f p b = 8a 54a b+ a b ab + 6 Çözüm Ortadaki terim katsayısı en büyük olan terim olduğundan r = 4 için; f p x. y = x y = 70x y bulunur Örnek 4 n fx + p açılımında baştan 4. terim k.x ise x n + k kaçtır? Örnek 5 (5x + by) 4 açılımında terim sayısı n ise (x + y z) n açılımında terimlerinin katsayıları toplamı kaçtır? Çözüm 4 n n ( x ). n n 9 x. n n 0 f p f = = x p f p x x f p n 0 = 4 f p= k n = 4 n + k = 8 bulunur. 4 = k Çözüm 5 (5x + by) açılımında 5. terim oldğundan n = 5 olur. (x + y z) 5 ifadesinde x =, y =, z = için; ( + ) 5 = bulunur. Raunt 7

28 SAYMA Örnek 6 7 fx + p açılımında x6 lı terimin katsayısı kaçtır? x Çözüm 6 baştan (r + ). terim; 7 r r 7 x. 7 4 r x. 7 r 4 4r b l f p f = =.. x p f p r f p r x r x r olduğundan, 4 4r = 6 r = bulunur.. terim; f p.. x =.. x = 84x bulunur.. f a b Örnek 7 b 9 p açılımında sabit terim kaçtır? a Çözüm 7 baştan 7. terim; r = 6 için J 6 N a K b O a b.. 9 f p e o K O =.. 6 b K f p a O b a L P = = 84.. bulunur. Örnek 8 (x y) 8 açılımında baştan. terim ile sondan. terimin katsayıları toplamı kaçtır? Çözüm 8 baştan. terim; 8 f p ( 6 x).( y) = 8.64x 6 y sondan. terim; 8 f p ( x).( 6 y) = 8.4x y = 8.68 = 904 bulunur. Örnek 9 ( + ) açılımında kaç tane rasyonel terim vardır? Çözüm 9 r = 0, 6, için; 0 ( ), 6 6 ( ).( ), 0 b l f p f p f p( ) ( ) 0 6 tane rasyonel terim vardır. 8 Raunt

29 Sınav Kodu: M0008 Matematik-0 Ünite- Konu Testi 8. x = 0 y = 98 olduğuna göre, x x y + xy y ifadesinin değeri kaçtır? A) 8 B) 9 C) 8 D) E) fx p açılımında terimler azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa baştan 4. terimin katsayısı x kaçtır? A) 60 B) 90 C) 60 D) 0 E) 40. A = x 4 4x + 6x 4x + ifadesinde A = 56 için x in pozitif değeri kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) fx + p açılımında terimler azalan kuvvetle- x rine göre sıralanırsa sondan 6. terim aşağıdakilerden hangisidir? 8 6 A)5. B)84. x C)4. x x 7 D)84. E)5. x 4 x. (x x) 5 açılımında terimler azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa baştan 5. terimin katsayısı kaçtır? A) 80 B) 5 C) 0 D) 80 E) 0 7. (x y + ) 5 açılımında katsayılar toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) 8 E) 4. (x + y) n =... + K.x 6. y açılımında terimler x in azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa baştan 5. terimin katsayısı kaçtır? A) 0 B) 5 C) 60 D) 80 E) fx p açılımında katsayılar toplamı kaçtır? x A) B) 0 C) 6 D) 4 E) 0 Raunt 9

30 SAYMA 9. fx y kaçtır? 6 p açılımında orta terimin katsayısı. a + k 6 açılımında kaç terim rasyoneldir? A) B) C) D) 4 E) A) B) E) D) E) 4. (a + b c) 5 açılımında kaç terim vardır? A) 6 B) C) 6 D) 9 E) 0. (x y + ) 5 açılımda sabit terim kaçtır? A) 0 B) C) 5 D) 5 E) 5. Pascal üçgeninde ilk altı satırdaki sayıların toplamı kaçtır?. (x x) 6 açılımında x 0 lu terimin katsayısı kaçtır? A) 6 B) 48 C) D) 5 E) A) 45 B) 60 C) 75 D) 05 E) 5. fx p açılımında sabit terim kaçtır? x A) 5 B) C) 55 D) 99 E) fx p açılımında x 6 lı terimin katsayısı aşa- x ğıdakilerden hangisidir? A) f p. B) f p. C) f p D) f p. E) f p. 5 0 Raunt

31 OLASILIK Ünite- Kazanımlar 0.. Olasılık 0... Koşullu olasılığı örneklerle açıklar Bağımlı ve bağımsız olayları örneklerle açıklar; gerçekleşme olasılıklarını hesaplar Bileşik olayların olasılıklarını hesaplar. Raunt

32 OLASILIK OLASILIK Koşullu Olasılık Deney, Çıktı Bir paranın atılmasında iki durum vardır. Sonuç yazı veya tura olabilir. Burada paranın atılmasına deney, yazı veya tura gelmesine çıktı denir. Örneklem Uzay ve Örneklem Nokta Bir deneyin tüm çıktılarının kümesine o deneyin örneklem uzayı (örnek uzayı), örneklem uzayın her bir elemanına örneklem nokta (örnek nokta) denir. Örneklem uzay E ile gösterilir. Örnek Hilesiz bir madeni paranın art arda kez havaya atılması deneyinin örneklem uzayını ağaç şeması ile gösteriniz. Olay, Kesin Olay, İmkansız Olay Bir örneklem uzayın her alt kümesine olay denir. Örnek uzaya kesin olay, boş kümeye imkansız olay denir. Ayrık Olaylar Çözüm Para atılması deneyi Bir örnek uzaya ait iki olayın kesişimi boş küme ise bu olaylara ayrık olaylar denir. E örnek uzay A E, B E olmak üzere, A B = ise A ile B ayrık olaylardır. T Y T Y T Y T Y T Y T Y T Y Örnek Bir torbada den 0 a kadar sayıların bulunduğu 0 tane top vardır. Bu torbadan, çekilen top tekrar geriye konulmak şartıyla art arda iki top çekiliyor. a. Bu olayın örnek uzayının kaç tane elemanı vardır? b. Bu torbadan çekilen iki topun üzerindeki sayıların toplamının 5 olması olayının elemanları nelerdir? c. Bu torbadan çekilen iki topun üzerindeki sayıların asal sayı olması olayının elemanları nelerdir? Çözüm a. E = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} Örnek uzayın 0 tane elemanı vardır. O halde, olayın 0. 0 = 00 tane elemanı vardır. b. İki topun üzerindeki sayıların toplamının 5 olması durumları; (, 4), (, ), (, ), (4, ) olur. c. İki topun üzerindeki sayıların asal sayı olması olayının elemanları; (, ), (, ), (, 5), (, 7) (, ), (, ), (, 5), (, 7) (5, ), (5, ), (5, 5), (5, 7) (7, ), (7, ), (7, 5), (7, 7) Raunt

33 Matematik-0 Ünite- Örnek Bağımsız Olay A ve B iki olay olsun. A nın gerçekleşmesi B yi, B nin gerçekleşmesi de A yı etkilemiyor ise A ile B bağımsız olaylardır denir. Bir madeni para ile bir zarın birlikte atılması deneyinde, zarın çift sayı gelmesi ile paranın yazı gelmesi olayları bağımsız olaylardır. Olasılık Fonksiyonu E örnek uzay, A örnek uzaydaki tüm olaylar kümesi olsun. P : A [0, ] şeklinde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. A olayının olma olasılığı P(A) ile gösterilir. Özellikler. E örnek uzay P(E) = dir. P( ) = 0 dır.. E örnek uzay ve A E için 0 P(A) dir.. E örnek uzay ve A E ve B E olmak üzere, A ile B ayrık olaylar; yani A B = ise P(A B) = P(A) + P(B) dir. 4. E örnek uzay, A E, B E ve A B olmak üzere, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) dir. 5. A ve B bağımsız olaylar ise P(A B) = P(A). P(B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A). P(B) dir. Eş Olumlu Örnek Uzay E sonlu bir örnek uzay ve E = {e, e,..., e k } olsun. Eğer P(e ) = P(e ) =... = P(e k ) ise E ye eş olumlu örnek uzay denir. Yani, eş olumlu örnek uzayında her eleman eşit şansa sahiptir. Olasılık Hesabı Eş olumlu bir örnek uzayında A E için A olayının olma olasılığı P(A) ile gösterilir ve İstenen durumlar P(A) = Tüm durumlar İki zar atıldığında, zarların üste gelen yüzeylerindeki sayıların toplamının 9 veya daha büyük olma olasılığı kaçtır? = s(a) dir. s(e) Çözüm Tüm durumlar sayısı s(e) = 6 dır. Zarların üst yüze gelen yüzeylerindeki sayıların toplamının 9 veya daha büyük olma olayı A ise; A = {(,6), (6,), (4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)} olduğundan s(a) = 0 olur. sa ( ) 0 5 PA ( ) = = = bulunur. se ( ) 6 8 Raunt

34 OLASILIK Örnek 4 Çözüm 4 Bir torbada 5 mavi, 6 kırmızı bilye vardır. Bu torbadan art arda 4 bilye çekiliyor. a. Çekilen bilyelerin 4 ünün de mavi olma olasılığı kaçtır? b. Çekilen bilyelerin sinin mavi sinin kırmızı olma olasılığı kaçtır? c. Çekilen bilyelerin en çok sinin kırmızı olma olasılığı kaçtır? a. b. c. 5 f p 4 5 = = f p bulunur f p f p = = = f p bulunur f p f p+ f p f p+ f p = f p = = bulunur.. 0 Örnek 5 İki zar birlikte atılıyor. Zarların üst yüzlerine gelen sayıların birbirine eşit veya toplamlarının 0 olması olasılığı kaçtır? Örnek 6 0 bayan ve 6 erkekten oluşan bir toplulukta 6 bayan ve 4 erkek İngilizce bilmektedir. Bu topluluktan rasgele seçilen bir kişinin İngilizce bilen veya bayan olma olasılığı kaçtır? Çözüm 5 s(e) = 6 dır. Zarların üst yüzyerinin birbirine eşit veya toplamlarının 0 olması olayı ise; A = {(,), (,), (,), (4,4), (5,5), (6,6), (4,6), (6,4)} olduğundan, s(a) = 8 olur. sa ( ) 8 PA ( ) = = = se ( ) 6 Çözüm 6 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) olduğundan, = = bulunur Örnek 7 Bir zar ile iki madeni para birlikte atılıyor. Buna göre, zarın asal sayı veya paraların aynı yüzünün gelme olasılığı kaçtır? Çözüm 7 P(A) + P(B) P(A B) olduğundan, = +. = + = bulunur Raunt

35 Matematik-0 Ünite- Koşullu Olasılık E bir örnek uzay, A ve B iki olay ve P(B) > 0 olsun. B olayının gerçekleşmesi halinde A olayının gerçekleşme olasılığına A nın B koşullu olasılığı denir ve P(A I B) ile gösterilir. A nın B koşullu olasılığı P(A I B) = sa ( + B) PA ( + B) se ( ) = PB ( ) sb ( ) se ( ) sa ( + B) = olur. sb ( ) Örnek 8 İki zar atılıyor. Zarların üst yüzeylerindeki sayılardan bir tanesinin olduğu bilindiğine göre, toplamlarının 9 olma olasılığı kaçtır? Çözüm 8 E = {(,), (,), (,), (,4), (,5), (,6), (,), (,), (4,), (5,), (6,)} olduğundan s(e) = olur. Zarların üst yüze gelen sayıların toplamı olayı A olmak üzere; A = {(,6), (6,)} olduğundan s(a) = olur. P(A) = sa ( ) = bulunur. se ( ) Örnek 9 Bir torbada 5 siyah, 6 beyaz top vardır. Çekilen toplar torbaya geri atılmamak üzere art arda iki top çekiliyor. Çekilen. topun beyaz olduğu bilindiğine göre,. topun siyah olma olasılığı kaçtır? Çözüm 9. topun beyaz olduğu bilindiğinden örnek uzayın eleman sayısıdır. s(e) = f p olur. 0 A olayı. topun siyah olması olayı olmak üzere Bağımlı ve Bağımsız Olay s(a) = 5 f p dir. 5 f p sa ( ) 5 PA ( ) = = = = se ( ) 0 0 f p A ile B bağımsız iki olay ise aşağıdaki eşitlikler vardır. P(A) = P(A \ B) P(B) = P(B \ A) dır. bulunur. Raunt 5

36 OLASILIK Örnek 0 si erkek olan 0 kişilik bir gruptan 4 ü bayan ve 9 u erkek olmak üzere kişi tatile gidecektir. Rastgele seçilen bir kişinin tatile gitmeyeceği bilindiğine göre, bayan olma olasılığı kaçtır? Çözüm 0 E = {Tatile gitmeyen kişiler} ise s(e) = 0, s(e) = 7 olur. A = {Tatile gitmeyen bayanlar} ise s(a) = 4 olur. P(A) = sa ( ) 4 = bulunur. se ( ) 7 Örnek A ve B iki olay PA ( ) = PB ( ) = PA (, B) = 4 olduğuna göre, P(B \ A) kaçtır? Çözüm P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) olduğundan = + PA ( + B) 4 5 PA ( + B) = = olur. 6 4 PA ( + B) PBA ( ) = = = bulunur. PA ( ) 6 Örnek den ye kadar numaralandırılmış kartlardan biri çekiliyor. Çekilen karttaki sayının 5 ten büyük bir sayı olduğu bilindiğine göre, 0 olma olasılığı kaçtır? Çözüm E = {6, 7, 8, 9, 0,, } ise s(e) = 7 Çekilen karttaki sayının 0 olma olayı A ise sa ( ) PA ( ) = = bulunur. se ( ) 7 Örnek A = {a, b, c, d, e} kümesinin elemanlı alt kümelerinden seçilen bir kümede a nın eleman olarak bulunduğu bilindiğine göre, b nin de kümenin elemanı olma olasılığı kaçtır? Çözüm a elemanının bulunduğu elemanlı alt küme sayısı 4 f p olduğundan s(e) = 6 dır. a ve b elemanının bulunduğu elemanlı alt küme sayısı f p olduğundan s(a) = 'dır. P(A) = sa ( ) = = se ( ) 6 6 Raunt

37 Matematik-0 Ünite- Örnek 4 Çözüm 4 Şeklin üzerindeki kare sayısı olmak üzere, s(e) = 50'dir. Alanı 9 br 'den küçük kare sayısı = 9 dur. Birim karelerden oluşan yukarıdaki şekilden seçilen bir dikdörtgenin kare olduğu bilindiğine göre, alanının 9 birim kareden küçük olma olasılığı kaçtır? Örnek 5 B A D E Yukarıdaki şekilden seçilen bir üçgenin bir köşesinin C olduğu bilindiğine göre, seçilen üçgenin CDE üçgeni olma olasılığı kaçtır? Örnek 6 Aralarında Ece ve Ayşe'nin de bulunduğu ü erkek 7 kişi yanyana fotoğraf çektirecektir. Kızların yanyana olduğu bilindiğine göre, Ece ve Ayşe'nin yanyana olma olasılığı kaçtır? C 9 bulunur. 50 Çözüm 5 Bir köşesi C olan üçgen sayısı f p. 4 olmak üzere, s(e) = 'dir. Seçilen üçgen CDE üçgeni olma olayı A ise P(A) = sa ( ) = bulunur. se ( ) Çözüm 6 Kızların yanyana olduğu dizilişlerin sayısı 4!.4! ve Ece ile Ayşe'nin yanyana olduğu dizilişlerin sayısı!.!.4! olduğundan,!.!. 4! P = = bulunur. 4!. 4! Örnek 7 İki torbadan A torbasında 5 kırmızı ve beyaz, B torbasında 4 siyah ve kırmızı top vardır. İki torbadan rastgele biri seçilip, seçilen torbadan bir top çekiliyor. Çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, A torbasından çekilmiş olma olasılığı kaçtır? Çözüm 7 5K 4S B K 5 A torbasından kırmızı çekme olasılığı = 8 B torbasından kırmızı çekme olasılığı = 6 O zaman istenilen olasılık = = bulunur. Raunt 7

38 OLASILIK Bileşik Olay Bir bileşik olay birden çok sonuçtan oluşmaktadır. Bileşik olaylar A, B, C, D,... ya da A, A, A,..., B, B, B,... biçiminde gösterilmektedir. Örnek 8 Bir işyerinde çalışan personel arasından rasgele iki personel seçilip cinsiyetleri kaydedilecektir. A olayı, en çok bir erkeğin seçilmiş olduğu durum olarak tanımlansın. Buna göre, A olayının gerçekleşmesi olasılığını bulunuz. Çözüm 8 A olayı hiç erkek olmaması ya da bir erkek olması durumunda gerçekleşecektir ve aşağıdaki gibi gösterilecektir. A = {EK, KE, KK} A olayı, birden çok sonuçlu olduğu için bir bileşik olaydır. Bu olayın Venn diyagramı yardımıyla grafiksel gösterimi aşağıdadır. S EE KE EK A KK P(A) = 4 bulunur. Örnek 9 Hilesiz bir bozuk para üç kere atıldığında en az ikisinin yazı gelme olasılığını ağaç diyagramı yardımıyla bulunuz. Çözüm 9 Bütün olası sonuçlar aşağıdaki ağaç şemasında gösterilmiştir. Birinci T Y İkinci T Y T Y Üçüncü T Y T Y T Y T Y O zaman istenilen olasılık 8 4 = olarak bulunur. 8 Raunt

39 Sınav Kodu: M0009 Matematik-0 Ünite- Konu Testi. N M P 5. Bir çift zar atma deneyinde zarlardan birinin 5 geldiği biliniyorsa, zarların üstündeki sayıların toplamının tek sayı olma olasılığı kaçtır? A C D B Şekilde belirtilen 7 noktadan üçünü köşe kabul eden üçgenlerden biri seçiliyor. Seçilen bu üçgenin bir köşesinin A noktası olma olasılığı kaçtır? Sadece siyah ve beyaz topların bulunduğu bir torbadaki beyaz topların sayısı, siyah topların sayısının iki katıdır. Torbadan rastgele iki top çekildiğinde birinin mavi, 6 siyah, yeşil bilye bir torbaya konuyor. Çekilen bilye geri atılmamak şartıyla torbadan art arda bilye çekiliyor. İlk çekilen bilyenin mavi olduğu bilindiğine göre, üçünün de farklı renkte olma olasılığı kaçtır? beyaz, diğerinin siyah gelme olasılığı oldu- ğuna göre, torbada ilk durumda kaç beyaz top vardır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4. 6 tane özalt kümesi bulunan bir kümeye eleman daha eklediğimizde, oluşan yeni kümeden seçtiğimiz bir alt kümenin elemanlı olma olasılığı kaçtır? Bir sınıfta 0 kız, 8 erkek öğrenci vardır. Kızların 6 sı, erkeklerin ü matematikten başarılıdır. Seçilen kişinin sinin kız, birinin erkek olduğu bilindiğine göre, üçünün de matematikten başarılı olma olasılığı kaçtır? Üzerinde den 0 ye kadar numaralar olan 0 top bir torbaya konuluyor ve rastgele bir top çekiliyor. Torbadan çekilen topun üzerindeki sayının tek sayı olduğu bilindiğine göre, 5 ile bölünebilen sayı olma olasılığı kaçtır? Üç torbadan birincisinde mavi, 5 kırmızı bilye, ikincisinde 4 mavi, siyah bilye, üçüncüsünde mavi, 4 beyaz bilye vardır. Torbalardan biri rastgele seçilip, seçilen torbadan bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin mavi olduğu bilindiğine göre, ikinci torbadan çekilmiş olma olasılığı kaçtır? Raunt 9

40 Sınav Kodu: M000 OLASILIK Konu Testi. A = {,,, 4} kümesinin alt kümelerinden biri rastgele seçiliyor. Seçilen bu kümede ün eleman olarak bulunma olasılığı kaçtır? Bir torbaya eşit sayıda siyah ve beyaz bilyeler koyuluyor. Bu torbadan geri koyulmamak üzere arka arkaya çekilen iki bilyenin siyah olma olasılığı 5 dir. Buna göre, torbada toplamda kaç bilye vardır? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 0. 4 kız, erkek arasından rastgele kişi seçiliyor. İkisinin de kız olma olasılığı kaçtır? kişilik bir sınıfta, 8 kız öğrenci vardır. Bu sınıftaki kızların 8 i, erkeklerin si kıvırcık saçlıdır. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek veya kıvırcık saçlı olma olasılığı kaçtır? negatif ve 5 pozitif sayı arasından rastgele sayı seçiliyor. Seçilen bu sayıların çarpımının negatif olma olasılığı kaçtır? "SELİN" kelimesinin harflerinin yerlerini değiştirerek elde edilen anlamlı ya da anlamsız 5 harfli tüm kelimeler yazılarak bir torbaya atılıyor. Bu torbadan çekilecek kelimenin E harfi ile başlama olasılığı kaçtır? Bir torbada özdeş x tane beyaz, y tane siyah top vardır. 5x = 6y olduğuna göre, torbadan çekilen bir topun siyah olma olasılığı kaçtır? Şekildeki dikdörtgen 5 eş karaden oluşmuştur. Seçilen bir dikdörtgenin kare olma olasılığı kaçtır? Raunt

41 Matematik-0 Ünite- 9. A B C D E. Bir zar ve bir madeni para atılıyor. Zarın çift geldiği bilindiğine göre, paranın tura gelme olasılığı kaçtır? 6 4 Şekilde A, B, C, D, E noktaları bir doğru üzerinde ayrıca B, D noktaları çember üzerindedir. Bu noktalardan seçilecek olan iki noktadan yalnız birinin çembere ait olma olasılığı kaçtır? Bir torbada 4 turuncu, 5 yeşil ve 6 siyah top vardır. Bu torbadan rastgele seçilen bir topun turuncu veya yeşil olma olasılığı kaçtır? 4. A = {,,, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı üç basamaklı doğal sayılar yazılıyor. Bu sayılardan seçilen bir sayının 400 den büyük olduğu bilindiğine göre, çift olma olasılığı kaçtır? A ve B örnek uzayın bağımsız iki alt kümesidir. PB ( ) = 4 PA ( + B) = 0 olduğuna göre, P(B \ A) kaçtır? 5. 5xy dört basamaklı sayısı 5 ile tam bölünebilmektedir. Bu sayının 6 ile tam bölünebilme olasılığı kaçtır? Bir kutuda 4 kırmızı, 5 beyaz ve sarı top vardır. Kutudan geri atılmamak şartıyla art arda seçilen iki toptan birinin kırmızı olduğu bilindiğine göre, diğerinin sarı olma olasılığı kaçtır? İki basamaklı doğal sayılardan bir sayı seçiliyor. Seçilen bu sayının 60 dan büyük olduğu bilindiğine göre, 5 ile tam bölünebilme olasılığı kaçtır? Raunt 4

42 Sınav Kodu: M00 OLASILIK Konu Testi. İki basamaklı doğal sayılardan rastgele seçilen bir sayının 40 tan küçük olduğu bilindiğine göre, asal sayı olma olasılığı kaçtır? Dört basamaklı a4 sayısının ile tam bölünebildiği bilindiğine göre, a rakamının çift sayı olma olasılığı kaçtır? Bir zar atılıyor. Üst yüze gelen sayının tek olduğu bilindiğine göre, asal olma olasılığı kaçtır? Bir zar ile bir madeni para atılıyor. Zarın 4 ten büyük ve paranın yazı gelme olasılığı kaçtır? si erkek olan 6 kişilik bir sınıfın yarısı Fizik, diğer yarısı Matematik dersinden kalmıştır. Fizik dersinden kalan kız öğrenci sayısı 4 tür. Bu sınıftan seçilen bir öğrencinin Matematik dersinden kaldığı bilindiğine göre, erkek öğrenci olma olasılığı kaçtır? Emir ve Rüzgar'ın gireceği bir sınavı Emir'in kazanma olasılığı 5, Rüzgar'ın kazanma olasılığı olduğuna göre, bu sınavı Emir ve Rüzgar'ın 8 kazanma olasılığı kaçtır? farklı negatif ve 5 farklı pozitif sayı arasından rastgele tanesi seçiliyor. Seçilen sayıların çarpımlarının pozitif olduğu bilindiğine göre, bu sayılardan üçünün de pozitif olma olasılığı kaçtır? A ve B bağımsız iki olaydır. PA ( ) = ve PB ( ) = 5 olduğuna göre, P(A B) kaçtır? Raunt

43 Matematik-0 Ünite- 9. Bir torbada sarı, 7 lacivert bilye vardır. Bu torbadan art arda seçilen iki bilyenin birincisinin lacivert, ikincisinin sarı olma olasılığı kaçtır? İki torbadan, birincisinde sarı, 5 mavi ve ikincisinde sarı, mavi bilye vardır. Bu torbalardan biri seçilip içinden rastgele alınan bir bilyenin sarı olduğu bilindiğine göre, birinci torbadan alınmış olma olasılığı kaçtır? Bir torbada sarı, 5 lacivert, 4 beyaz bilye vardır. Bu torbadan rastgele alınan üç bilyenin üçününde farklı renkte olma olasılığı kaçtır? A ve B, E örnek uzayının iki olayıdır. P(A B) = 4, P(B) = ve P(A B) = olduğuna göre, P(A \ B) kaçtır? Bir torbada 5 sarı, 7 yeşil bilye vardır. Torbadan alınan bilyenin tekrar torbaya atılması koşuluyla art arda alınan iki bilyenin de farklı renkte olma olasılığı kaçtır? Bir madeni para art arda 4 kez atılıyor. Üst yüzeye gelen durumun her seferinde bir öncekinden farklı gelme olasılığı kaçtır? A torbasında sarı, 5 lacivert ve B torbasında 4 sarı, lacivert bilye vardır. Aynı anda her iki torbadan birer bilye alınıyor ve diğer torbaya atılıyor. Bu işlemin sonunda torbadaki sarı ve lacivert bilye sayılarının başlangıçtakiyle aynı olma olasılığı kaçtır? Bir torbada kırmızı, 5 beyaz ve 8 sarı bilye vardır. Geri atılmaksızın art arda çekilen iki bilyeden en az birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır? Raunt 4

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25

1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25 1 İçindekiler 1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON)... 5 2. Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON)...13 3. Bölüm: BİNOM AÇILIMI...21 4. Bölüm: OLASILIK...25 5. Bölüm: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ...37

Detaylı

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI ÜNİTE VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm TEMEL SAYMA KLURALLARI AÇIK UÇLU SORULAR. A = {0,,, 3, 4, } kümesindeki rakamlar kullanılarak 3 basamaklı rakamları farklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? 48. A = {0,,

Detaylı

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde,

Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde, PERMÜTASYON ( SIRALAMA OLAYI ) Birbirinden farklı n tane nesnenin r tanesinin farklı her dizilişine (sıralanışına) n nesnenin r li permütasyonları denir ve P(n,r)= n! (r n) (n r)! biçim inde gösterilir.

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık

Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Saymanın Temel İlkesi: A1, A2,..., A n kümeleri için s( A1 ) = a1, s( A2 ) = a2,.., s( An ) A xa x xa Kartezyen çarpımının eleman sayısı; s( A xa x... xa ) = s( A

Detaylı

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 9. 4 çocuklu bir aile yan yana poz verecektir. Çocukların soldan sağa doğru boy sırasında olduğu kaç durum

Detaylı

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı

Detaylı

İstenen Durum Olasılık Tüm Durum 12

İstenen Durum Olasılık Tüm Durum 12 OLASILIK ÇIKMIŞ SORULAR 1.SORU İçinde top bulunan iki torbadan birincisinde beyaz, siyah ve ikincisinde beyaz, 5 siyah top vardır. Birinci torbadan bir top çekilip rengine bakılmadan ikinci torbaya atılıyor.

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ

1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ İçindekiler 1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA)... 10 A. SAYMA KURALLARI... 10 B. FAKTÖRİYEL... 14 C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri)... 17 Ölçme ve Değerlendirme...20 Kazanım Değerlendirme

Detaylı

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,, BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar

Detaylı

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS - - - ÖYS PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK TEMEL SAYMA KURALLARI Örnek ( ) adet hediyeden üçü üç kişiye, her birine birer hediye vermek kaydıyla kaç değişik

Detaylı

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

OLASILIK. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

OLASILIK.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) OLASILIK 46 0 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları Ocak 20 0. Teorik Olasılık 0.. Deney ve Çıktı 4. Bir zar ile

Detaylı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı LYS Matematik Olasılık Tanım: Bir deneyde çıkabilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın herhangi bir elemanına da örnek nokta denir. Örnek: Bir zarın atılması deneyinde

Detaylı

PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : P(6, n) = 6! 1. P(6, 2) + P(4, 3)

PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : P(6, n) = 6! 1. P(6, 2) + P(4, 3) PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : 1 1. P(6, 2) + P(4, 3) işleminin sonucu kaçtır? A) 30 B) 44 C) 50 D) 54 5. P(6, n) = 6! eşitliğini sağlayan n doğal sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {7} B)

Detaylı

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur?

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

PERMÜTASYON - KOMBİNASYON

PERMÜTASYON - KOMBİNASYON PERMÜTASYON - KOMBİNASYON Sayma Yöntemleri Saymanın çeşitli yöntemleri vardır. Bunlardan biri eşleme yolu ile saymadır. Eşleme yolu ile sayma yönteminde sayma sayıları kümesinin elemanları sayılacak nesneler

Detaylı

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM)

LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) Permütasyon Kombinasyon Binom Açýlýmý Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

4. Bir tabakta 3 elma, 4 armut ve 5 portakal vardır.

4. Bir tabakta 3 elma, 4 armut ve 5 portakal vardır. Saymanın Temel İlkesi Birinci elemanı A 1 kümesinden, ikinci elemanı A 2 kümesinden,..., n inci elemanı A n kümesinden alınmak koşulu ile; kaç değişik sıralı n li yazılabilir? 1. Aşağıdaki problemleri,

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 A) 1226 B) 1225 C) 1224 D) 1223

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 A) 1226 B) 1225 C) 1224 D) 1223 . İlk 2 pozitif doğal sayıdan oluşan {, 2, 3,,...,, 2} kümesi veriliyor. u kümeden 3 eleman çıkartıldığında geriye kalan elemanların sayı değerleri çarpımı tam kare oluyor. una göre, çıkartılan sayıların

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve

Detaylı

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA - 4 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. 4? 4 4. A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D)

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR TEST x, y, z sıfırdan farklı gerçel sayılar ve x y = a ve b gerçel sayılar olmak üzere, a + 3b = 18. y + z = 0.

TEMEL KAVRAMLAR TEST x, y, z sıfırdan farklı gerçel sayılar ve x y = a ve b gerçel sayılar olmak üzere, a + 3b = 18. y + z = 0. TEST - 3 TEMEL KAVRAMLAR. x, y, z sıfırdan farklı gerçel sayılar ve x y 0 4. a ve b gerçel sayılar olmak üzere, a + 3b 8 y + z 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) x.z > 0 B) z.y < 0 C)

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları

2000 Birinci Aşama Sınav Soruları 2000 irinci şama Sınav Soruları Lise 1 Soruları 1 369 sayısı bir kaç ardışık doğal sayının toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabilir? )2 )3 )4 )5 )7 2 ve sayıları 2000 sayısının pozitif bölenleri olmak

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık

Detaylı

Ünite 1: SAYMA Konu : Sıralama ve seçme Alt Konu : Toplama ve çarpma yolu ile sayma Neler öğreneceksiniz? Olayların gerçekleşme sayılarını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplamayı öğreneceksiniz.

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde ALES 2017 EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Eğitimde 30. yıl Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI 4 II MATEMATİK YARIŞMASI I AŞAMA SORULARI 4? 4 4 A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) - D) E) - 8 4 x x

Detaylı

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter OLASILIK Altın Kalem Yayınları KOŞULLU OLASILIK Bas t olayların olma olasılıklarını 9. sınıf matemat k konularında şlem şt k. Ş md yapacağımız se daha karmaşık olayların

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66... İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No 3-PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 0-03 FAKTÖRİYEL...65-66...

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

TEST-8. Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D)

TEST-8. Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D) TEST-8 Matematik Yarışmalarına Hazırlık 1 Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D) 2 Yandaki kareden çizgiler boyunca kesilerek çeşitli şekiller

Detaylı

Toplam Olasılık Prensibi

Toplam Olasılık Prensibi 1 Toplam Olasılık Prensibi A 1, A 2,, A n karşılıklı kapsamayan ve birlikte tamamlayan olaylar kümesi olsun: A k A A j 0 = 0 k j j nn j j 1 = 1 B, S içinde herhangi bir olay ise k j AA j = ise S ise Pr[A

Detaylı

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir?

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir? İSTATİSTİK SORU VE CEVAPLARI 1)Tabloda 500 kişinin sahip oldukları akıllı telefon markalarını gösteren bilgiler verilmiştir.bu tabloda ki bilgileri yansıtan daire grafiği aşağıdakilerden hangisidir? TELEFON

Detaylı

2013 YGS MATEMATİK. a a olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 2 C) 1 4 E) 4 9 B) 3 2 D) 1 9 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

2013 YGS MATEMATİK. a a olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A) 1 2 C) 1 4 E) 4 9 B) 3 2 D) 1 9 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 0 YGS MATEMATİK. m olduğuna göre, m kaçtır?. a a a a olduğuna göre, a kaçtır? A) B) ) D) 6 E) 7 A) B) ) D) 9 E) 9.. (0,) (0,) işleminin sonucu kaçtır? A) 0,06 B) 0,08 ) 0, D) 0, E) 0, A B B D B A BD 9?

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES)

AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES) 00000000001 AKADEMİK PERSONEL VE LİSANSÜSTÜ EĞİTİMİ GİRİŞ SINAVI (ALES) plam cevaplama süresi 150 akikadır. (,5 saat) SAYISAL BÖLÜM SAYISAL - 1 TESTİ Sınavın bu bölümünden alacağınız standart puan, Sayısal

Detaylı

TEMEL MATEMATİK YGS DENEME SINAVI - 1 YGS AYHAN YANAĞLIBAŞ

TEMEL MATEMATİK YGS DENEME SINAVI - 1 YGS AYHAN YANAĞLIBAŞ TEMEL MATEMATİK YGS DENEME SINAVI - YGS AYHAN YANAĞLIAŞ 05-06 u çalışmanın her aşamasında emeğini esirgemeyen öğretmen arkadaşlarıma teşekkür ederim. Aralık-05 TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS-. 06, ^04, h -

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

Temel Matematik Testi - 5

Temel Matematik Testi - 5 Test kodunu sitemizde kullanarak sonucunuzu öğrenebilir, soruların video çözümlerini izleyebilirsiniz. Test Kodu: 005. u testte 40 soru vardır.. Tavsiye edilen süre 40 dakikadır. Temel Matematik Testi

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

KOMBİNASYON - PERMÜTASYON Test -1

KOMBİNASYON - PERMÜTASYON Test -1 KOMİNSYON - PERMÜTSYON Test -. kişi arka arkaya sıralanacaktır. u kişiler kaç farklı sıra oluşturabilir?. kişilik bir sıraya, öğrenci kaç farklı dizilişte yan yana oturabilir?. farklı çatal, farklı kaşık

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız. KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi

Detaylı

PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI

PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI PROJE ADI: ÖZDEŞ NESNELERİN FARKLI KUTULARA DAĞILIMINDA POLİNOM KULLANIMI PROJENİN AMACI: Polinom fonksiyon yardımıyla özdeş nesnelerin farklı kutulara istenilen koşullardaki dağılım sayısının hesaplanması

Detaylı

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır?

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? TEMEL MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 3. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A)

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak kıl YGS MTEMTİK ENEME SINVI 1 01511-1 Ortak kıl dem ÇİL li an GÜLLÜ yhan YNĞLIŞ arbaros GÜR arış EMİR eniz KRĞ Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Hatice MNKN Kemal YIN Köksal YİĞİT Muhammet YVUZ Oral YHN

Detaylı

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır.

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır. TEMEL MATEMATİK TESTİ 2011 - YGS / MAT M9991.01001 1. Bu testte 40 soru vardır. 1. 2. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. işleminin sonucu kaçtır?

Detaylı

14 Nisan 2012 Cumartesi,

14 Nisan 2012 Cumartesi, TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI - 2012 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü B 14 Nisan 2012 Cumartesi,

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 Hilesiz bir çift madeni para havaya atılıyor. A) 10 B) 8 C) 7 D) 6 Hilesiz bir çift zar havaya atılıyor.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 Hilesiz bir çift madeni para havaya atılıyor. A) 10 B) 8 C) 7 D) 6 Hilesiz bir çift zar havaya atılıyor. Olasılık. Sınıf Matematik Soru Bankası TEST. Havaya atılan hilesiz bir paranın yere düşmesi ile karşılaşılacak olası durumlar kaç tanedir?. A) 0 B) C) D) Hilesiz bir çift madeni para havaya atılıyor. Olası

Detaylı

26 Nisan 2009 Pazar,

26 Nisan 2009 Pazar, TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2009 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 26 Nisan 2009 Pazar, 13.00-15.30

Detaylı

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların Örnek Problem - Sinemada, yan yana koltukta oturan arkadaş, ara verildiğinde kalkıyorlar. Dönüşte, aynı koltuğa rastgele oturduklarına göre; hiçbirinin ilk yerine oturmaması olasılığı Örnek Problem - 4

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c 138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 1 Mayıs 01 Matematik Sorularının Çözümleri 1. 9! 8! 7! 9! + 8! + 7! 7!.(9.8 8 1) 7!.(9.8+ 8+ 1) 6 81 9 7. 4, π, π π,14

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D)

ÇARPANLAR VE KATLAR I sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden A) B) C) D) 8. Sınıf MATEMATİK ÇARPANLAR VE KATLAR I. Aşağıdakilerden hangisi 6 nın çarpanlarından biridir? A) 3 B) 6 C) 8 D) TEST. 360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hâli aşağıdakilerden hangisidir? A) 3. 3.

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

2011 YGS MATEMATİK Soruları

2011 YGS MATEMATİK Soruları 0 YGS MTEMTİK Soruları. + + ) 8 ) 0 ) 6 ) E). a = 6 b = ( a)b olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? ) ) 6 ) 9 ) 8 E). (.0 ) ) 0, ) 0, ) 0, ) E) 6. x = y = 8 z = 6 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan

Detaylı