Doktora Tezi. Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ İKİ DEĞİŞKENLİ q-bleimann, BUTZER VE HAHN OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ S. SİBEL (ÇEVİK ERSAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 8 Her hakkı saklıdır.

2 ÖZET Doktora Tezi İKİ DEĞİŞKENLİ q-bleimann, BUTZER VE HAHN OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ S. Sibel (ÇEVİK ERSAN Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Ogün DOĞRU Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde bazı temel kavramlardan bahsedilmiştir. Sırasıyla lineer pozitif operatör dizileri, süreklilik modülü, Lipschitz sınıfı fonksiyonlar, operatör dizilerinin düzgün yakınsaklığı, Bleimann, Butzer ve Hahn operatörleri, q-analiz kavramları tanıtılıp bunlara ilişkin bilinen bazı sonuçlar hatırlatılmıştır. Üçüncü bölümde, q-bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin iki değişkenli hali tanımlanmıştır. Bu operatörlerin, reel uzayın sınırlı ve sürekli bir alt uzayında, sürekli bir fonksiyona düzgün yakınsadığı gösterilmiştir. Aynı zamanda operatörlerin yaklaşım hızı, süreklilik modülü ve Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar yardımıyla değerlendirilmiştir. Son bölümde ise istatistiksel yakınsaklık kavramı hatırlatılmış ve daha sonra tek ve iki değişkenli q-bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin istatistiksel yaklaşım özellikleri elde edilmiştir. Ayrıca bu operatörlere ilişkin yaklaşımın hızı istatistiksel olarak yorumlanmıştır. Eylül 8, 47 sayfa Anahtar Kelimeler: Lineer pozitif operatör, Bleimann, Butzer ve Hahn Operatörleri, Korovkin tipli yaklaşım teoremi, düzgün yakınsaklık, q-analiz, süreklilik modülü, Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar, yoğunluk, istatistiksel yakınsaklık. i

3 ABSTRACT Ph.D. Thesis APPROXIMATION PROPERTIES OF BIVARIATE q-bleimann, BUTZER AND HAHN OPERATORS S. Sibel (ÇEVİK ERSAN Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ogün DOĞRU This thesis consists of four chapters. The first chapter has been devoted to the introduction. In the second chapter, some basic concepts have been mentioned. The concepts of the sequences of linear positive operator, modulus of continuity, Lipschitz type maximal functions, uniform convergence of the sequences of the operators, Bleimann, Butzer and Hahn operators, q-analysis have been recalled respectively and some known results concerning these concepts have also been considered. In the third chapter, q-bleimann, Butzer and Hahn operators with two variables have been introduced. The uniform convergence of these operators to the continuous function defined on a bounded and continuous subset of real numbers has been proved. Furthermore the order of approximation of these operators has also been considered with the help of modulus of continuity and Lipschitz type maximal functions. In the last chapter, the concept of the statistical convergence has been recalled and then the statistical convergence properties of the q-bleimann, Butzer and Hahn operators with one and two variables have been obtained. Also the order of approximation concerning the operators has been interpreted statistically. September 8, 47 page Key Words: Linear positive operator, Bleimann, Butzer and Hahn operators, Korovkin type approximation theorem, uniform convergence, q-analysis, modulus of continuity, Lipschitz type maximal functions, density, statistical convergence. ii

4 TEŞEKKÜR Doktora eğitimim süresince yakın ilgi ve desteğini esirgemeyen, değerli bilgi ve yardımlarıyla katkıda bulunan danışman hocam Doç Dr. Ogün DOĞRU ya, Tez İzleme Komitemde bulunan, yakın ilgileriyle çalışmalarımı destekleyen ve yönlendiren Prof. Dr. Abdullah ALTIN a ve Doç. Dr. Oktay DUMAN a en derin saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Tezimin gerçekleşmesinde benimle birlikte tüm sıkıntılara katlanarak büyük özveri ve sabır gösteren sevgili eşim Tolga ERSAN a, varlığı ile hayatımıza bir ışık gibi doğan oğlum Mehmet Kaan ERSAN a, hayatımın her aşamasında bana manevi destek veren aileme, bilgisini ve yardımını esirgemeyen oda arkadaşım Özge DALMANOĞLU na ve diğer tüm çalışma arkadaşlarıma sonsuz teşekkürler ederim. S. Sibel (ÇEVİK ERSAN Ankara, Eylül 8 iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET...i ABSTRACT...ii TEŞEKKÜR...iii SİMGELER DİZİNİ...v. GİRİŞ.... TEMEL KAVRAMLAR...3. Lineer Pozitif Operatörler...3. Operatör Dizileri için Yaklaşım Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin Yaklaşım Hızı Süreklilik modülü Lipschitz sınıfı Lineer Pozitif Operatörlerin Yakınsaklığı Bleimann, Butzer ve Hahn (BBH Operatörleri Yaklaşımlar Teorisinde q-analiz q-bbh operatörleri İKİ DEĞİŞKENLİ OPERATÖRLERİN OLUŞTURULMASI İki Değişkenli q-bbh Operatörleri İki Değişkenli q-bbh Operatörlerin Yaklaşım Özellikleri İki Değişkenli q-bbh Operatörlerinin Yaklaşım Hızı İki değişkenli q-bbh operatörlerinin süreklilik modülü ile yaklaşım hızının bulunması İki değişkenli q-bbh operatörlerinin yaklaşım hızının Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar ile elde edilmesi q-bbh OPERATÖRÜNÜN İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI İstatistiksel Yakınsaklığın Tanımı q-bbh Operatörlerinin İstatistiksel Yakınsaklığı İki Değişkenli q-bbh Operatörlerinin İstatistiksel Yakınsaklığı SONUÇ...44 KAYNAKLAR...45 ÖZGEÇMİŞ...47 iv

6 SİMGELER DİZİNİ C[a, b] C B [,. C[a,b] f n (x f(x [a, b] üzerindeki sürekli fonksiyonların uzayı. [, aralığında sınırlı, sürekli fonksiyonların uzayı. C[a, b] uzayının alışılmış supremum normu {f n } fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna düzgün yakınsaması. {B n (f; x} Bernstein polinomlar dizisi L n (f; x w(f; δ Lip M (α w(f; δ, δ f α (x W α,α,e K δ(k st lim k x k Bleimann, Butzer ve Hahn operatörleri f fonksiyonunun süreklilik modülü Lipschitz sınıfı İki değişkenli fonksiyonlar için süreklilik modülü Lipschitz tipli maksimal fonksiyon Lipschitz tipli maximal fonksiyon uzayı K kümesinin eleman sayısı K kümesinin yoğunluk fonksiyonu (x k dizisinin istatistiksel limiti v

7 . GİRİŞ Yaklaşımlar teorisi fonksiyonel analizin en çok uygulaması olan dallarından birisi olduğu için son yıllarda birçok matematikçi bu dala yönelmiştir. Fonksiyon uzaylarında sürekli fonksiyonların yaklaştırılması probleminin önemini ilk belirten Alman matematikçi Weierstrass olmuştur. Weierstrass; kapalı, sonlu bir aralıkta sürekli bir fonksiyona yakınsayan en az bir polinomun varlığını göstermiştir (Weierstrass 885. Bu teorem yaklaşımlar teorisinin temelini teşkil etmektedir. Daha sonra Bernstein, Weierstrass teoreminin ispatı olarak bir f fonksiyonuna yakınsayan polinomları, toplam biçiminde lineer operatörler dizisi şeklinde göster miş ve böylece lineer pozitif operatörler teorisinin oluşmasını sağlamıştır (Bernstein 9. Bohman (95 ve Korovkin (953; lineer pozitif operatörlerin sonlu aralıktaki sürekli bir fonksiyona düzgün yakınsaması için sadece üç koşulu sağlamasının yeterli olduğunu göstermişlerdir. Bohman ve Korovkin teoremleri lineer pozitif operatörler teorisinin gelişmesine önemli ölçüde katkı sağlamıştır. Bu teoremlerin şartlarını gerçekleyen birçok lineer pozitif operatörler tanımlanmış ve bunların yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Bu operatörlerden biri de 98 yılında Bleimann, Butzer ve Hahn tarafından tanımlanan n ( (L n f(x = ( + x n k f n x k, x, n N n k + k k= formuna sahip olan operatörlerdir (Bleimann et al. 98. Bu operatörler yarı reel eksende tanımlı olduğundan klasik Korovkin teoremi geçerli değildir. Bu yüzden operatörlerin düzgün yakınsaklığı reel sayıların sürekli ve sınırlı bir alt kümesi üzerinde elde edilmiştir (Gadjiev and Çakar 999. Daha sonra bu operatörler üzerinde bazı çalışmalar yapılmıştır (Jayasri and Sitaraman 985, Hermann 99, Doğru. Yaklaşımlar teorisinde q-genelleşme kavramı ilk kez Lupaş tarafından 987 yılında yapılmıştır (Lupaş 987. Daha sonra, 996 yılında, Phillips tarafından klasik Bernstein polinomlarının farklı bir q tipli genelleşmesi tanımlanmış ve q-bernstein polinomlarının yaklaşım özellikleri incelenmiştir (Phillips 997. Literatürde bu operatörlerle ilgili yapılmış birçok çalışma vardır (Phillips, Oruç and Tuncer, Ostrovska 3.

8 Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin q-tipli genelleşmesi Aral ve Doğru tarafından tanımlanmış ve bu operatörlerin yaklaşım özellikleri ve yaklaşım hızı incelenmiştir (Aral and Doğru 7. Daha sonra bu operatörlerin monotonluk özellikleri de elde edilmiş ayrıca Voronovskaja tipli asimtotik bir tahmin verilmiştir (Doğru and Gupta 5. Ayrıca Altın, Doğru ve Özarslan tarafından klasik Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin iki değişkenli formu tanımlanmış ve Korovkin tipli bazı yaklaşım özellikleri elde edilmiştir (Altın et al. 5. Bu doktora tezinde q-bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin iki değişkenli hali incelenecektir. Gadjiev ve Çakar (999 teoreminin iki değişkenli hal için sağlandığı gösterilecek ve q-bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin bu teoremi sağlayıp sağlamadığı incelenecektir. Böylece operatörün reel uzayın sınırlı ve sürekli bir alt uzayında sürekli bir fonksiyona düzgün yakınsaklığı elde edilecektir. Daha sonra operatörün yaklaşım hızı, süreklilik modülü ve Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar yardımıyla değerlendirilecektir. İlk olarak Fast (95 tarafından tanımlanan istatistiksel yakınsaklık kavramı son 5 yıldır birçok matematikçinin ilgisini çeken önemli bir kavram olmuştur. İstatistiksel yakınsaklık kavramı yaklaşımlar teorisine ilk olarak Gadjiev ve Orhan ( tarafından uygulanmıştır. Gadjiev ve Orhan, kapalı ve sınırlı aralıklar üzerinde sürekli olan fonksiyon uzaylarında üzerinde tanımlanan lineer pozitif operatörler için istatistiksel yakınsaklık yardımıyla Korovkin tipli bir yaklaşım teoremi vermişlerdir. Bu tezde son olarak da tek ve iki değişkenli q-bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin, Gadjiev ve Orhan ( teoremi kullanılarak, istatistiksel yakınsaklığı incelenecektir ve aynı zamanda bulunan yaklaşım hızı istatistiksel olarak yorumlanacaktır.

9 . TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, doktora tezimizde ihtiyaç duyacağımız bilinen bazı tanım, teorem ve notasyonları vereceğiz.. Lineer Pozitif Operatörler X ve Y iki fonksiyon uzayı olmak üzere X den alınan herhangi bir f fonksiyonunu, Y üzerinde bir g fonksiyonuna karşılık getiren L kuralına operatör denir ve L operatörünün x noktasındaki değeri L(f; x = g(x şeklinde gösterilir. f ve g, X uzayında herhangi iki fonksiyon, α ve β keyfi iki reel sayı olmak üzere L operatörü; L(αf + βg = αl(f + βl(g (.. koşulunu sağlıyor ise L(f; x operatörü lineerdir. Ayrıca eğer X uzayında tanımlanmış bir L lineer operatörü herhangi pozitif bir f fonksiyonunu yine pozitif fonksiyona dönüştürüyorsa, yani f iken L(f; x (.. sağlanıyor ise, L operatörüne lineer pozitif operatör denir. Bu operatörler monotondur, yani f g için L(f; x L(g; x özelliği gerçeklenir.. Operatör Dizileri için Yaklaşım L lineer operatörü X uzayından Y uzayına bir dönüşüm yapıyor ve L(f; x Y M f X (.. eşitsizliğini gerçekliyorsa o taktirde L operatörüne sınırlı operatör denir. Bu M pozitif sabitlerinin en küçüğüne de L operatörünün normu denir ve L X Y ya da L ile gösterilir. Bu norm L = inf{m : Lf Y M f X } (.. 3

10 ile ifade edilir. I, R nin keyfi bir aralığı olmak üzere C(I, I üzerinde tanımlı sürekli fonksiyonlar uzayını göstersin. I = [a, b] alındığında fɛc[a, b] için norm şeklinde gösterilir. f C[a,b] = max f(x (..3 xɛ[a,b] Dolayısıyla C[a, b] de (f n fonksiyonlar dizisinin bir f fonksiyonuna düzgün yakınsaklığı lim f n f C[a,b] = (..4 n şeklinde gösterilir. Tezimizde bu kısaca f n f ile ifade edilecektir..3 Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin Yaklaşım Hızı Polinom dizilerinin düzgün yakınsaklığının bulunmasının yanısıra bu yaklaşımdaki hata oranının veya bir başka deyişle yaklaşımın hızının da hesaplanması yaklaşımlar teorisinin önemli bir problemidir. Yaklaşım hızını değerlendirmek için {α n } ve {β n } gibi terimleri pozitif ve sonsuz küçülen iki fonksiyon dizisi alalım. {α n } {β n } ise bu taktirde {α n } in sıfıra yaklaşma hızı {β n } den daha hızlıdır denir. O halde L n lineer pozitif operatörünün herhangi bir f(x fonksiyonuna yaklaşma hızını L n (f; x f(x cα n (.3. olacak şekilde α n ler ile değerlendirebiliriz. Burada amaç n iken α n olacak şekilde α n ler bulabilmektir. Böylece operatörün yaklaşım hızını α n in sıfıra yaklaşma hızı ile kıyaslayabiliriz. Yaklaşımlar teorisinde operatörlerin yaklaşım hızını süreklilik modülü ile değerlen direbiliriz. Bu nedenle öncelikle süreklilik modülünün tanımı verelim: 4

11 .3. Süreklilik modülü f fonksiyonunun süreklilik modülü, w(f; δ ile gösterilir ve δ için şeklinde tanımlanır. w(f; δ = sup f(x f(y (.3. x,yɛ[a,b], x y δ Şimdi tezimizde kullanacağımız süreklilik modülünün önemli birkaç özelliğine değinelim; iw(f; δ, iiδ δ iken w(f; δ w(f; δ, iiiw(f + g; δ w(f; δ + w(g; δ, ivmɛn vλɛr + için w(f; mδ mw(f; δ, için w(f; λδ (λ + w(f; δ, vif ɛc[a, b] için lim δ w(f; δ =, (.3.3 vii f(t f(x w(f; t x, ( t x viii f(t f(x + w(f; δ. δ Bu özellikleri verdikten sonra L n (f; x in f(x e yaklaşım hızının süreklilik modülü ile nasıl değerlendirileceğini söyleyebiliriz. Bunun için bir x noktasında L n (f; x f(x cw(f; δ n (.3.4 olacak şekilde L n lineer pozitif operatörü ile f(x fonksiyonunun farkını w(f fonksiyonun bir katından küçük bırakmalıyız. Burada en önemli şart n iken δ n olacak şekilde δ = (δ n bulabilmektir. Çünkü daha sonra (.3.3 de verilen özellikler kullanılarak (.3.4 deki eşitsizliğin sağ tarafının sıfıra gitmesiyle operatörün yaklaşım hızı hesaplanmış olacaktır. Bu sonuç bize operatörün bir f(x fonksiyonuna noktasal yakınsaklık hızını verir. 5

12 .3. Lipschitz sınıfı Lineer pozitif operatörlerin bir f fonksiyonuna yaklaşım hızını bulurken fonksiyonun Lipschitz sınıfından olması durumlarını da inceleyeceğiz. O yüzden ilk olarak bir fonksiyonun Lipschitz sınıfından olmasının ne demek olduğunu verelim; x, t I için f(t f(x M t x α, < α (.3.5 koşulunu sağlayan fonksiyonlar sınıfına Lipschitz sınıfı fonksiyonlar, M ye de Lipschitz sabiti denir ve bu koşulun sağlanması halinde fɛlip M (α yazılır. Bir fonksiyon Lipschitz sınıfından ise süreklidir ancak bunun tersi doğru değildir. Dolayısıyla Lip M (α C(I yazılabilir. Tezde f(t f(x M t + t x α + x şeklinde tanımlanan Lipschitz sınıfı fonksiyonları kullanılacaktır..4 Lineer Pozitif Operatörlerin Yakınsaklığı Yaklaşımlar teorisi adı verilen dalda amaç; verilen bir fonksiyonun daha iyi özellikleri olan fonksiyonlar dizisinin limiti şeklinde gösterimini bulmaktır. Weierstrass ın aşağıdaki teoremi bu büyük dalın temel teoremi sayılmaktadır; Teorem. (Weierstrass 885 f(x, [a, b] aralığında tanımlanmış sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda ε > için f(x P (x < ε (.4. eşitsizliğini sağlayan en az bir P (x polinomu bulabiliriz. Daha sonra Bernstein (9, Weierstrass teoreminin ispatı olarak kapalı [, ] aralığında sürekli keyfi bir f fonksiyonu için yine bu aralıkta bir P (x polinomunu aşağıdaki şekilde vermiştir: B n (f; x = n f k= ( k n n k x k ( x n k, x. (.4. 6

13 Yani bu P (x polinomunun şeklini göstermiştir. Bernstein bu lineer pozitif operatörlerin düzgün yakınsaklığını f ɛc[, ] için elde etmiştir. 95 yılında Bohman, toplam şeklindeki lineer pozitif operatörler dizisinin [, ] aralığında sürekli bir f(x fonksiyonuna yaklaşması problemini aşağıdaki şekilde göstermiştir: x [, ], α k,n olduğunda L n (f; x = pozitif operatörler dizisi eğer n f(α k,n P k,n (x, P k,n (x k= il n (; x, iil n (t; x x, (.4.3 iiil n (t ; x x koşullarını gerçekliyorsa, o halde L n (f; x operatörü [, ] aralığında sürekli olan bir f fonksiyonuna bu aralıkta düzgün yakınsar. Burada L n (f; x operatörü lineerdir ve aynı zamanda pozitif olabilmesi için P k,n (x alınmalıdır. Çünkü P k,n (x alındığı taktirde eğer f(α k,n seçilirse L n (f; x sağlanmış olur. Daha sonra, Korovkin (953 genel halde Bohman teoreminin koşullarının sağlandığını göstermiş ve aşağıdaki gibi genel bir teorem vermiştir: Teorem. (Korovkin 953 f(x fonksiyonu, tüm reel eksende sınırlı ve [a, b] aralığında sürekli olsun. Eğer (L n lineer pozitif operatörler dizisi xɛ[a, b] için (.4.3 ile tanımlanmış koşulları gerçekliyor ise bu durumda [a, b] aralığında sağlanır. L n (f; x f(x (.4.4 Korovkin bu teoremle, fonksiyonlara lineer pozitif operatörlerle yaklaşım dalının temelini oluşturmuştur. Korovkin teoremini gerçekleyen diğer operatör dizileri 7

14 Bernstein polinomlarının bulunma yöntemleri kullanılarak elde edilmiştir. O yüzden Bernstein polinomları yaklaşımlar teorisinin büyümesinde çok önemli yere sahiptir. Hala birçok araştırmacı bu polinom üzerinde çalışmalar yapmakta, makaleler yazılmaktadır. Dolayısıyla bu polinom birçok yeni lineer pozitif operatörün tanımlanmasını sağlamıştır. Bunlardan biri de Bleimann, Butzer ve Hahn operatörleridir..5 Bleimann, Butzer ve Hahn (BBH Operatörleri 98 yılında Bleimann, Butzer ve Hahn adlı üç Alman matematikçi tarafından n ( k L n (f; x = f n x k, x (.5. ( + x n n k + k k= formuna sahip operatörler tanımlanmıştır. Bu operatörlere Bleimann, Butzer ve Hahn (BBH operatörleri denir. Bleimann, Butzer ve Hahn bu operatörlerin yarı reel eksende noktasal yakınsaklığını ve sonlu aralıkta düzgün yakınsaklığını göstermişlerdir. BBH operatörleri yarı reel eksende tanımlı olduğundan, Hacısalihoğlu ve Hacıyev tarafından ispatlanan teoremler uyarınca (Hacısalihoğlu and Hacıyev 995, s. 44, Teorem,,, bu operatörler için klasik Korovkin teoreminin geçerli olmadığı açıktır. Bu yüzden bu operatörlerin düzgün yakınsaklığı R + nın sürekli ve sınırlı bir alt uzayında farklı test fonksiyonları için elde edilmiştir (Gadjiev and Çakar 999. Gadjiev ve Çakar ilk önce aşağıdaki koşulları gerçekleyen süreklilik modülü tipinde bir w fonksiyonu tanımlamışlardır: i w, R + da δ ya göre artan bir fonksiyon, ii w(δ + δ w(δ + w(δ, iii lim δ w(δ =. Ayrıca R + da tanımlı reel değerli fonksiyonlar uzayı H w aşağıdaki özelliği gerçeklesin: x, yɛr + olmak üzere ( x f(x f(y w + x y + y. (.5. 8

15 Burada f fonksiyonları R + da sürekli ve sınırlı olmak üzere H w C B (R + olduğu sonucu çıkmaktadır. Ayrıca örnek olarak olacak şekilde seçilirse w(t = Mt α, < α (.5.3 x y α f(x f(y M (.5.4 ( + x α ( + y α elde edilir. Bu sonuç H α Lip M (α olduğunu gösterir (Gadjiev and Çakar 999. Dolayısıyla H w uzayının sınırlı ve sürekli fonksiyon uzayı ve ayrıca Lipschitz sınıfı fonksiyon uzayının bir alt uzayı olduğu sonucu ortaya çıkmaktadır. Gadjiev ve Çakar, H w uzayında tanımlı lineer pozitif operatör dizileri için ( t +t ν ; ν =,, test fonksiyonları kullanarak Korovkin tipli bir teorem ispatlamış ve bu operatörlerin f(x fonksiyonuna düzgün yakınsaklığını elde etmişlerdir. Şimdi bu teoremi hatırlatalım: Teorem 3. (Gadjiev and Çakar H w (R + dan C B (R + ya tanımlı bir A n operatörü eğer (( ν ( ν lim t x n A n ; x =, ν =,, ( t + x C B koşullarını sağlıyor ise her f H w (R + için sağlanır. lim A n(f f n CB = (.5.6 Ayrıca aynı makalede bu teoremin (.5. de tanımlanan BBH operatörleri için doğruluğunu aşağıdaki teorem ile göstermişlerdir: Teorem 4. (.5. de tanımlanan L n lineer pozitif operatörü her fɛh w için özelliğini gerçekler (Gadjiev and Çakar. lim L nf f CB = (.5.7 n Bu iki teorem tezimizde önemli bir yer tutmaktadır. Çünkü operatörümüzün düzgün yakınsaklığını gösterirken bu teoremlerden çok faydalanılmıştır. 9

16 .6 Yaklaşımlar Teorisinde q-analiz q-analizin başlangıcı yaklaşık yıl öncesine dayanır fakat ilk olarak yaklaşımlar teorisine uygulanması 987 yılında Lupaş tarafından olmuştur. Bernstein polinomlarının q tipli genelleşmesini ilk olarak Lupaş yapmıştır. Daha sonra Ostrovska (6, Lupaş polinomlarının düzgün yakınsaklık özelliklerini incelemiştir. 997 yılında ise Phillips, Bernstein polinomlarının farklı bir q tipli genelleşmesini tanımlamış ve bu genelleşme q-bernstein polinomları olarak literatüre geçmiştir. Şimdi Phillips in bu operatörlerin düzgün yakınsaklığını incelediği aşağıdaki teoremi verelim: Teorem 5. (Phillips 997 < q n ve q n (n koşullarını sağlayan q = (q n dizisi alalım. fɛc[, ] için ( n [k]q B n (f; q, x = f n n k x k ( q s x (.6. [n] q k k= q s= operatörü [, ] de f(x fonksiyonuna düzgün yakınsar. Phillips, ayrıca aynı çalışmada yakınsaklık hızını süreklilik modülü ile değerlen dirmiş ve daha iyi sonuçlar elde etmiştir. Kısaca q-analizde kullanılan tanımlardan bahsedecek olursak; q lar pozitif reel sayılar olmak üzere negatif olmayan bir k sayısının q genelleşmesi; q k [k] q = q, q, (.6. k, q = q-binom katsayısı ve q-faktöriyel n k q = [n] q! [k] q! [n k] q! [k] [k] q! = q [k ] q... [] q, k =,,.., k = (n k (.6.3 (.6.4

17 şeklinde tanımlanır (Andrews et al Operatörlerin q tipli genelleşmesi yapılırken dikkat edilecek önemli bir nokta q = seçilmesi ile operatörlerin klasik operatörlere dönüşmesinin sağlanmasıdır. Bu nedenle q tipli operatörler q-genelleşmeler olarak da isimlendirilir. Operatörün q-genelleşmesini bulmada ikinci amaç; q nun seçimiyle daha iyi bir yaklaşım hızı elde etmektir. Şimdi BBH operatörlerinin q-genelleşmesi hakkında kısaca bilgiler verelim..6. q-bbh operatörleri Aral ve Doğru (7, BBH operatörlerinin q-genelleşmesini aşağıdaki şekilde tanımlamışlardır: x için ( L n (f; q, x = n [k] q f q k(k l n,q (x [n k + ] q q k n x k (.6.5 k k= formuna sahip operatörlere q-bbh operatörleri denir. Burada < q ve n l n,q (x = ( + q s x (.6.6 s= şeklinde tanımlanmıştır. Ayrıca q = seçilmesiyle klasik BBH operatörünün elde edileceği açıktır. Aynı çalışmada q-bbh operatörleri için aşağıdaki özellikler de elde edilmiştir: L n (; q, x =, ( t L n + t ; q, x [n] q x = [n + ] q + x, (.6.7 ( t L n ( + t ; q, x = [n] q [n ] q [n + ] q x ( + x( + qx + [n] q x q [n + ] + x. q Bulunan bu özellikler, operatörün, reel sayıların kapalı ve sınırlı aralıkları üzerinde sürekli olan fonksiyon uzayı H w da düzgün yakınsaklığını gösterirken kullanılmıştır. Aral ve Doğru (7 tarafından q-bbh operatörlerinin düzgün yakınsaklığı aşağıdaki teorem ile verilmiştir: q

18 Teorem 6. (Aral and Doğru 7 q = (q n dizisi < q n ve q n (n koşullarını sağlasın. (.6.5 de tanımlı L n operatörü (( ν ( ν lim t x n L n ; q n ; x =, ν =,, ( t + x C B koşullarını sağlıyorsa o halde her fɛh w için gerçeklenir. lim L n(f; q n f CB = (.6.9 n Daha sonra Doğru ve Gupta (5, (.6.5 de tanımlı L n lineer pozitif operatörünün monotonluk özelliklerini incelemişler ve bu operatörün Voronovskaja tipli asimtotik tahminini elde etmişlerdir.

19 3. İKİ DEĞİŞKENLİ OPERATÖRLERİN OLUŞTURULMASI İki değişkenli BBH operatörleri Altın et al. (5 tarafından tanımlanmış ve bu operatörlerin yaklaşım özellikleri elde edilmiştir. Bu bölümde amacımız, iki değişkenli q-bbh operatörleri tanımlamak ve bu operatörlerin düzgün olarak bir f fonksiyonuna yakınsadığını göstermektir. Daha sonra bu operatörlerin yaklaşım hızı süreklilik modülü ve Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar ile değerlendirilecek ve klasik sonuçlardan daha hızlı bir yaklaşım hızına sahip olduğu gösterilecektir. 3. İki Değişkenli q-bbh Operatörleri Volkov, 957 de iki değişkenli lineer pozitif operatörler için Korovkin teoremini aşağıdaki şekilde vermiştir; Teorem 7. (Volkov 957 f(x, y C(a, b; c, d ve tüm R de f(x, y M f (3.. olsun. Eğer A n (f(t, τ; x, y lineer pozitif operatör dizisi için i A n (; x, y ii A n (t; x, y x iii A n (τ; x, y y (3.. iv A n (t + τ ; x, y x + y koşulları sağlanıyorsa; bu durumda (a, b; c, d dikdörtgensel bölgesinde sağlanır. A n (f(t, τ; x, y f(x, y (3..3 İki değişkenli q-bernstein polinomları Barbosu ( tarafından tanımlanmıştır. Şimdi bu tanıma benzer bir genelleşmeyi q-bbh operatörlerine uygulayalım: 3

20 R + = [, [,, f : R + R ve q n, q n < olmak üzere iki değişkenli q-bbh operatörünü L n, n (f; q n, q n, x, y = ( n n [k ] qn f l n,q n (x l n,q n (y k =k [n = k + ] qn q k q k (k şeklinde tanımlayalım. Burada n qn k (k n k n, q n [k ] qn [n k + ] qn q k n n k qn x k y k (3..4 l n,q n (x = n s= ( + q s n x n ve l n,q (y = n s= ( + q s n y (3..5 dir. Bu operatörün lineer ve pozitif olduğu açıktır ayrıca q n = q n = alınması durumunda Altın et al. (5 tarafından tanımlanan aşağıdaki iki değişkenli Bleimann-Butzer ve Hahn operatörüne dönüşecektir: n n ( k L n,n (f; x, y = f ( + x n ( + y n n k +, k n k + k =k = ( ( n n x k y k. (3..6 Şimdi teoremlerin ispatı sırasında sıklıkla kullanacağımız aşağıdaki iki lemmayı verelim: k k Lemma 8. (3..4 de tanımlanan L n,n operatörü aşağıdaki özellikleri gerçekler: (il n, n (f; q n, q n, x, y = A x n (B y n (f; q n, x, y, (iil n, n (f; q n, q n, x, y = B y n (A x n (f; q n, x, y. Burada A x n (f; q n, x, y = ( n [k ] qn f, y l n,qn (x [n k + ] qn q k n k = q k (k n n k qn x k, B y n (f; q n, x, y = ( n f x, l n,q n (y k = [k ] qn [n k + ] qn q k n q k (k n n k (3..7 qn y k 4

21 şeklindedir. İspat: (ia x n (Bn y (f; q n, x, y ( = A x n n f x, l n,q n (y = = k = ( n A x n l n,q n (y (f x, k = n l n,q n (y k = q k (k n n k [k ] qn [n k + ] qn q k n [k ] qn [n k + ] qn q k n k y qn k = l n,qn (x ( [k ] qn [k ] qn f, [n k + ] qn q k n [n k + ] qn q k n ( n n [k ] qn = f l n,qn (x l n,q n (y q k (k n qn k (k k =k = n k = L n, n (f; q n, q n, x, y. (iibenzer yolla ispat edilir. q n n k q k (k n, q n, x, y q k (k n [n k + ] qn q k qn x k y k n, n k n k k y qn q k (k n qn x k [k ] qn [n k + ] qn q k n n k Lemma 9. e ij : R+ R + iki boyutlu test fonksiyonu e ij = ( x +y j i, j =,, şeklinde tanımlansın. (3..4 de tanımlanan L n, n lineer pozitif operatörü aşağıdaki özellikleri sağlar: +x i ( y qn y k 5

22 il n, n ( e ; q n, q n, x, y =, iil n, n (ẽ ; q n, q n, x, y = [n ] qn x [n + ] qn + x, iiil n, n (ẽ ; q n, q n, x, y = [n ] qn [n + ] qn y + y, (3..8 ivl n, n (ẽ ; q n, q n, x, y = [n ] qn [n ] qn [n + ] q n q n x ( + x ( + q n x + [n ] qn [n + ] q n x + x, vl n, n (ẽ ; q n, q n, x, y = [n ] qn [n ] qn [n + ] q n q n y ( + y ( + q n y + [n ] qn [n + ] q n y + y. İspat: n n (il n, n (ẽ ; q n, q n, x, y = l n,q n (x l n,q n (y k =k = n k q n n k q n q k (k n q k(k n Burada q için n k= q k(k n k n x k = ( + q k x = l n,q (x k= q olduğundan (i sağlanır (Andrews et al

23 n n [k ] qn (ii L n, n (ẽ ; q n, q n, x, y = q k(k l n,q n (x l n,q n (y [n + ] k =k = qn = = = n k q n n k qn x k y k [n ] qn n l n,q n (x [n + ] qn k = n [n ] qn l n,q n (x [n + ] qn k = n x [n ] qn l n,q n (x [n + ] qn k = q k (k n q k (k + n q k (k n = x n [n ] qn + x [n + ] qn l n,q n (x = [n ] qn x [n + ] + x. n k n k = k n k q k (k n (iii ifadesi (ii de gösterildiği gibi gösterilir. (ivl n, n (ẽ ; q n, q n, x, y = = = n n [k ] q n l n,q n (x l n,q n (y [n + ] q k(k q n n l n,q n (x k = k =k = [n ] qn [n ] qn l n,q n (x [n + ] q n [n ] qn + l n,q n (x [n + ] q n = qn x k qn x k + qn (q n x k n k n qn q n [k ] qn + [n + ] q n [n ]! qn n k = n q n k = n k x [n ] qn [n ] qn l n,q n (x q n [n + ] q n k (k qn (q n x k n k n qn q k(k [k ]! qn [n k ]! qn n k = n k k (k qn x qn k n k k (k qn x qn k n k n x k k (k qn (qn qn x k k (k x k y k 7

24 x [n ] qn + l n,q n (x [n + ] q n n k = n k k (k qn (q n x qn k = [n ] qn [n ] qn [n + ] q n q n x ( + x ( + q n x + [n ] qn [n + ] q n x + x (v ifadesi (iv ile aynı şekilde elde edilir. 3. İki Değişkenli q-bbh Operatörlerin Yaklaşım Özellikleri R+ üzerinde tanımlı sınırlı ve sürekli fonksiyonlar uzayı C B (R+ olsun. Bu uzaydaki norm f CB (R+ = sup f(x, y x,y şeklinde tanımlanır. Eğer lim f n,m f n,m CB (R+ = koşulu sağlanıyorsa {f n,m } f n,m f şeklinde gösterilir. fonksiyon dizisi f e düzgün yakınsar denir ve İki değişkenli q-bbh operatörlerinin düzgün yakınsaklığından bahsedebilmek için öncelikle Teorem 3 ün H w (R + de iki değişkenli lineer pozitif operatörler içinde sağlandığını göstermemiz gerekmektedir. O halde öncelikle aşağıdaki teoremin doğruluğunu gösterelim: Teorem. Farzedelim ki q = (q n ve q = (q n ; < q n, < q n ve q n (n, q n (n koşullarını gerçekleyen iki dizi olsun. Eğer A n, n : H w (R+ C B (R+ lineer pozitif operatör dizisi i lim n, n A n, n ( e ; q n, q n, x, y e =, CB (R+ ii lim n, n A n, n ( e ; q n, q n, x, y e =, (3.. CB (R+ iii lim n, n A n, n ( e ; q n, q n, x, y e =, CB (R+ iv lim A n, n ( e + e ; q n, q n, x, y ( e + e = CB (R+ n, n 8

25 koşullarını gerçekliyor ise f H w (R + için lim A n, n (f; q n, q n, x, y f(x, y = n C B (R + sağlanır. Burada e ij : R + R + iki boyutlu test fonksiyonu olup e ij = ( x +x i ( y +y j şeklinde tanımlanır. İspat: f H w (R + olmak üzere ε > için δ vardır ki ( t + t x ( s + + x + s y < δ + y için f(t, s f(x, y < ε sağlanır. Ayrıca ( t + t x + + x ( s + s y δ + y için [ ( f(t, s f(x, y M t δ + t x ( s + + x + s y ] + y dir. Dolayısıyla her (t, s, (x, y R + için [ ( f(t, s f(x, y ε+ M t δ + t x ( s + + x + s y ] + y olduğu açıktır. (3.. A n, n lineer pozitif bir operatör olduğu için aşağıdaki eşitsizliği elde edebiliriz: A n, n (f; q n, q n, x, y f = A n, n (f(t, s f(x, y + f(x, y; q n, q n, x, y f(x, y = A n, n (f(t, s f(x, y; q n, q n, x, y + f(x, y(a n, n (; q n, q n, x, y A n, n ( f(t, s f(x, y ; q n, q n, x, y + f A n, n ( e ; q n, q n, x, y e 9

26 Burada (3.. de bulunan eşitsizliğin yerine yazılmasıyla A n, n (f; q n, q n, x, y f ( [ ( A n, n ε + M t δ + t x ( s + + x + s y ] + y ( e + f A n, n ; q n, q n, x, y e (ε + M A n, n ( e ; q n, q n, x, y e + ε + M [ A δ n, n ( e + e ; q n, q n, x, y ( e + e ] + A n, n ( e ; q n, q n, x, y e + A n, n ( e ; q n, q n, x, y e elde edilir. Burada (3.. de verilen koşullar uygulandığında elde edilir. lim n A n, n (f; q n, q n, x, y f(x, y C B (R + = Şimdi iki değişkenli q-bbh operatörleri için bu teoremin doğruluğunu gösterelim: Teorem. q = (q n ve q = (q n ; < q n, < q n ve q n (n, q n (n koşullarını gerçekleyen iki dizi olsun. Eğer L n, n : H w (R+ C B (R+ lineer pozitif operatörü : i lim n, n L n, n ( e ; q n, q n, x, y e =, (3..3 CB (R+ ii lim n, n L n, n ( e ; q n, q n, x, y e =, (3..4 CB (R+ iii lim n, n L n, n ( e ; q n, q n, x, y e =, (3..5 CB (R+ iv lim L n, n ( e + e ; q n, q n, x, y ( e + e = (3..6 CB (R+ n, n koşullarını gerçekliyor ise f H w (R + için lim L n, n (f; q n, q n, x, y f(x, y = n C B (R + elde edilir. Burada e ij = ( x +x i ( y +y j i, j =,, dir.

27 İspat: Lemma 9 da elde edilen sonuçlar kullanılarak aşağıdaki sonuçlara kolaylıkla ulaşılabilir: olduğundan lim n, n L n, n ( e ; q n, q n, x, y = L n, n ( e ; q n, q n, x, y e = CB sağlanır. Böylece (3..3 gösterilmiş olur. Ayrıca L n, n ( e ; q n, q n, x, y [n ] qn x e = sup CB x,y [n + ] qn + x x + x [n ] qn [n + ] qn elde edilir. Burada q-analiz tanımı gereği [n ] qn lim = [n + ] qn n olduğundan (3..4 sağlanır. Simetriden dolayı (3..5 de açıktır. Son olarak L n, n ( e + e ; q n, q n, x, y ( e + e CB [n ] qn [n ] qn = sup x,y [n + ] q x n q n ( + x ( + q n x + [n ] qn x [n + ] q n + x + [n ] qn [n ] qn [n + ] q y n q n ( + y ( + q n y + [n ] qn y [n + ] q n + y x ( + x y ( + y ( = sup x [n ] qn [n ] qn x,y ( + x [n + ] q + x n q n + q n x + [n ] qn x [n + ] q n + x ( + y [n ] qn [n ] qn ( + y [n + ] q + y n q n + q n y + [n ] qn y [n + ] (3..7 q n + y elde edilir. Burada [n] [n ] [n + ] = A + B [n + ] + C [n + ] (3..8

28 alalım. Tanım gereği [n] = q [n ] + dir. Dolayısıyla bu özelliğin (3..8 de kullanılmasıyla [n] [n ] [n + ] = ( + q q 3 [n + ] + + q [n + ] elde edilir. Bu sonucu (3..7 de kullanırsak, L n, n ( e + e ; q n, q n, x, y ( e + e CB (R+ [ ( ] x = sup x,y ( + x + q n + + q n + x q n [n + ] qn [n + ] q n + q n x + [n [ ( ] ] qn x [n + ] q n + x + y ( + y + q n + + q n + y q n [n + ] qn [n + ] q n + q n y + [n ] qn y [n + ] q n + y ( sup x + x x ( + x q n + q n x { ( } x + sup x ( + x + q n q n [n + ] + + q n + x [n + ] q n + q n x [n ] qn x ( + sup x [n + ] q n + x + sup y + y y ( + y q n + q n y { ( } y + sup y ( + y + q n + + q n + y q n [n + ] qn [n + ] q n + q n y [n ] y + sup y [n + ] q n + y ( x + x = sup x ( + x q n + q n x { ( } x + q n + sup x ( + x + q n + x [n ] qn x q n [n + ] qn [n + ] + sup q n + q n x x [n + ] q n + x ( y + y + sup y ( + y q n + q n y { ( } y + q n + sup y ( + y + q n + y [n ] qn y q n [n + ] qn [n + ] + sup q n + q n y y [n + ] q n + y

29 ( + qn + ( qn elde edilir. q n + q n ( + q n + q n [n + ] qn [n + ] + q n q n [n + ] qn q n [n + ] q n ( + q n + q n [n + ] qn [n + ] + q n q n [n + ] qn q n [n + ] q n Kabulümüz gereği n için [n + ] ve q n olduğundan lim L n( e + e ; q n, q n, x, y ( e + e = CB n, n bulunur. Böylece (3..6 gösterilmiş olur. Dolayısıyla Teorem gereği f H w (R + için lim n, n Ln, n (f; q n, q n, x, y f C = B (R+ sonucu elde edilir. Bu sonuç bize iki değişkenli q-bbh operatörlerinin f fonksiyonuna düzgün yakınsaklığını verir. 3.3 İki Değişkenli q-bbh Operatörlerinin Yaklaşım Hızı Tezimizin başında operatörün yakınsaklık özelliği incelendikten sonra ikinci önemli problemin bu yaklaşımın hızını bulmak olduğunu söylemiştik. Dolayısıyla bu bölümde iki değişkenli q-bbh operatörlerinin yaklaşım hızını bulacağız. Yaklaşım hızını, iki değişkenli süreklilik modülü ve Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar yardımıyla elde edeceğiz İki değişkenli q-bbh operatörlerinin süreklilik modülü ile yaklaşım hızının bulunması Lorentz (966 iki değişkenli süreklilik modülünü aşağıdaki şekilde tanımlamıştır: w(f; δ n, δ n = sup { f(t, s f(x, y ; t x δ n, s y δ n, (t, s, t,x (x, y R +}. 3

30 Dolayısıyla biz de f H w (R+ için { w(f; δ n, δ n = sup f(t, s f(x, y ; t t,x + t x + x δ n, s + s y } + y δ n, (t, s R+, (x, y R+ (3.3. olacak şekilde iki değişkenli süreklilik modülü tanımlayalım. Burada f H w (R + için w(f; δ n, δ n aşağıdaki koşulları sağlar: iδ n ve δ n iken w(f; δ n, δ n, ( ii f(t, s f(x, y w f; t + t x + x ; s + s y + y, (3.3. ( iii f(t, s f(x, y w(f; t +t δ n, δ n + x s +x +s y +y +. Şimdi (3.3. de tanımlanan süreklilik modülü ile iki değişkenli q-bbh operatörlerinin yaklaşım hızını değerlendirelim: δ n δ n Teorem. q = (q n ve q = (q n dizilerini n ve n için q n, q n olacak şekilde seçelim. f H w (R + ve x, y olmak üzere L n, n (f; q n, q n, x, y f(x, y 4 w(f; δ n (x, δ n (y dir. Burada { ( x q n [n ] qn [n ] qn ( + x δ n (x = ( + x [n + ] q n ( + q n x [n ] qn + [n + ] qn + [n } ] qn x [n + ], (3.3.3 q n + x { ( y q n [n ] qn [n ] qn ( + y δ n (y = ( + y [n + ] q n ( + q n y [n ] qn + [n + ] qn ile tanımlanır. + [n ] qn [n + ] q n y + y } (

31 İspat: Burada L n, n operatörünün lineerlik özelliği ve iki değişkenli süreklilik modülü w(f; δ n, δ n nin (3.3. de tanımlanan özellikleri kullanılarak L n, n (f; q n, q n, x, y f(x, y L n, n ( f(t, s f(x, y ; q n, q n, x, y ( ( L n, n w f; t + t x + x, s + s y + y ; q n, q n, x, y w(f; δ n, δ n ( + ( t L n, n δ n + t x + x ; q n, q n, x, y ( + ( s L n, n δ n + s y + y ; q n, q n, x, y eşitsizlikleri elde edilebilir. Burada Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin uygulanmasıyla ( t L n, n + t x + x ; q n, q n, x, y ( ( ( t L n, n + t x ; q n, q n, x, y + x ve ( s L n, n + s y + y ; q n, q n, x, y ( ( s L n, n ( bulunur. Dolayısıyla buradan + s y + y ; q n, q n, x, y 5

32 L n, n (f; q n, q n, x, y f(x, y ( { ( ( w(f; δ n, δ n + t L n, n ; q n, q n, x, y x δ n + t + x ( ( } t x L n, n + t ; q n, q n, x, y x δ n { ( ( s L n, n ; q n, q n, x, y y + s + y L s n, n ( + s ; q n, q n, x, y ( } y + + y w(f; δ n, δ n ( + δ n x [n ] qn ( + x + [n + ] qn { [n ] qn [n ] qn [n + ] q n q n x ( + x ( + q n x + [n ] qn [n + ] q n x + x ( x } + x { + + [n ] [n ] qn δ n [n + ] q n qn y ( + y ( + q n y + [n ] qn y [n + ] q n + y y [n ] qn ( + y + [n + ] qn ( { ( w(f; δ n, δ n + x q n [n ] qn δ n ( + x + + [n } ] qn x [n + ] + + q n + x δ n [n ] qn [n + ] qn + + [n ] qn [n + ] q n y + y { } [n ] qn [n + ] q n ( + x y ( + y ( q n [n ] qn ( y + y } ( + q n x [n ] qn [n + ] qn [n ] qn ( + y [n + ] q n ( + q n y elde edilir. Burada { ( x q n [n ] qn [n ] qn ( + x δ n (x = ( + x [n + ] q n ( + q n x [n ] qn + [n + ] qn + [n } ] qn x [n + ], q n + x 6

33 { ( y q n [n ] qn [n ] qn ( + y δ n (y = ( + y [n + ] q n ( + q n y [n ] qn + [n + ] qn olarak alınırsa sonucuna ulaşılır. + [n ] qn [n + ] q n y + y } L n, n (f; q n, q n, x, y f(x, y 4 w(f; δ n (x, δ n (y Burada olduğu için lim q n = ve n lim n [n ] qn lim q n = n = lim n [n ] qn = bulunur. Dolayısıyla n ve n için δ n ve δ n elde edilir. Böylece (3.3. de tanımlanan özellikler gözönüne alındığında w(f; δ n, δ n olduğu görülür. Böylece iki değişkenli q-bbh operatörlerinin sıfıra yaklaşma hızı, iki değişkenli süreklilik modülü ile değerlendirilmiş olur. Aşağıdaki sonuç Teorem nin önemini belirtmektedir: Sonuç 3. q-analiz tanımı kullanılarak ( [n] qn [n ] qn sup δ n (x q n [n] q n x [n + ] q n ( [n] qn = [n] q n + [n + ] q n [n + ] qn = ( q n n [n + ] q n + + [n] q n [n + ] qn [n + ] q n = q n n [n + ] qn elde edilir. Burada q = seçildiği takdirde sup δ n (x n + 7

34 olduğu açıktır. Diğer yandan ve buradan q n (n + [n + ] qn = + q n q n n (n + q n n qn n elde edilir. Dolayısıyla < q n için aşağıdaki eşitsizliğin doğruluğu gösterilmiş olur: qn n [n + ] qn n +. (3.3.5 Klasik Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin yaklaşım hızı n + olduğundan (3.3.5 bize q-bbh operatörlerinin yaklaşım hızının < q n için klasik BBH operatörlerinin yaklaşım hızından daha hızlı olduğunu gösterir İki değişkenli q-bbh operatörlerinin yaklaşım hızının Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar ile elde edilmesi Lenze (99 Lipschitz tipli maksimal fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlamıştır: f α (x = sup t> t x f(t f(x x t α. (3.3.6 Şimdi biz E E R + R + da tanımlı iki değişkenli fonksiyonlar için Lipschitz tipli maximal fonksiyon uzayını aşağıdaki şekilde tanımlayalım: W α,α,e = {f : sup( + t α ( + s α fα,α (x, y M ( + x α ( + y α ; x, y, (t, s E }. (3.3.7 Burada f ; R + da sınırlı ve sürekli bir fonksiyon, M pozitif bir sabit, α, α olmak üzere f α,α aşağıdaki gibi tanımlı bir fonksiyondur: f(t, s f(x, y f α,α (x, y = sup t,s> t x α s y. (3.3.8 α 8

35 Şimdi iki değişkenli q-bbh operatörlerinin (3.3.7 da tanımlanmış W α,α,e fonksiyon uzayındaki fonksiyonlar için yakınsaklık hızını bulalım: Teorem 4. α, α ve L n, n (f; q n, q n, x, y f(x, y f W α,α,e olmak üzere M [(δ n (x α (δ n (y α + (d(y, E α (δ n (x α + (d(x, E α (δ n (y α ] + (d(x, E α (d(y, E α olarak bulunabilir. Burada δ n (x ve δ n (y; (3.3.3 ve (3.3.4 de tanımlandığı şekildedir. Ayrıca bilindiği üzere x noktasının E kümesine uzaklığı d(x, E dir ve d(x, E = inf { x y ; y E} şeklinde tanımlanır. İspat: x, y ve (x, y ɛe olacak şekilde seçelim. f(t, s f(x, y = f(t, s f(x, y + f(x, y f(x, y f(t, s f(x, y + f(x, y f(x, y olarak yazılabilir. Yukarıdaki eşitsizliğin her iki tarafına L n, n lineer pozitif operatörü uygulayalım. Ayrıca fɛ W α,α,e olarak seçildiği taktirde L n, n (f; q n, q n, x, y f(x, y L n, n ( f(t, s f(x, y ; q n, q n, x, y + f(x, y f(x, y ( t M L n, n + t x α s + x + s y ; q α n, q n, x, y + y + M x + x x α y + x + y y α + y (3.3.9 eşitsizliği elde edilir. Biliyoruz ki α ve her a, b için (a+b α a α +b α şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla benzer şekilde 9

36 t + t x α s + x + s y α + y = t + t x + x + x + x x α s + x + s y + y + y + y y α + y ( t + t x + x α + x + x x α + x ( s + s y + y α + y + y y α + y = t + t x α s + x + s y + t α + y + t x α y + x + y y α + y + x + x x α s + x + s y + x α + y + x x α y + x + y y + y bulunabilir. Bu eşitsizliğe L n, n lineer pozitif operatörü uygulanırsa ( t L n, n + t x α s + x + s y ; q α n, q n, x, y + y ( t L n, n + t x α s + x + s y ; q α n, q n, x, y + y + y + y y ( t L α n, n + y + t x ; q α n, x + x + x + x x ( s L α n, n + x + s y ; q α n, y + y + x + x x α y + x + y y L α n, n (; q n, q n, x, y + y ( t = L n, n + t x ( s ; q α n, x L n, n + x + s y ; q α n, y + y + y + y y ( t L α n, n + y + t x ; q α n, x ( x + x + x x ( s L α n, n + x + s y ; q α n, y + y + x + x x α y + x + y y L α n, n (; q n, q n, x, y + y şeklinde yazabiliriz. L n, n (; q n, q n, x, y = olduğunu göstermiştik ayrıca p = α, p = α ve p = α, p = α olarak seçip (3.3. a Hölder Eşitsizliğini uyguladığımızda α 3

37 ( t L n, n + t x α s + x + s y ; q α n, q n, x, y + y [ ( ( t L n, n + t x ; q n, x] α [ ( ( s L n, n + x + s y ; q n, y] α + y + y + y y ( ( t + y L n, n + t x + x + x + x x [ ( α ( s + x L n, n + s y + y + x + x x α y + x + y y α + y α [ ; q n, x] α ; q n, y] α bulunur. Burada bulunan sonuç (3.3.9 de yerine yazılırsa L n, n (f; q n, q n, x, y f(x, y [ ( ( t M L n, n + t x ; q n, x] α [ ( ( s L n, n + x + s y ; q n, y] α + y + M y + y y ( ( t + y L n, n + t x + x + M x + x x [ ( α ( s + x L n, n + s y + y + M x + x x α y + x + y y α + y α [ ; q n, x] α ; q n, y] α M [(δ n (x α (δ n (y α + (d(y, E α (δ n (x α + (d(x, E α (δ n (y α + (d(x, E α (d(y, E α ] elde edilir bu da ispatı tamamlar. Teorem 4 ün özel bir hali olarak E = R + alındığında d(x, E = ve d(y, E = olduğundan aşağıdaki sonuç yazılabilir: Sonuç: f W α,α,r + olmak üzere L n, n (f; q n, q n, x, y f(x, y M [(δ n (x α (δ n (y α ] 3

38 bulunur burada şekilde δ n (x ve δ n (y; (3.3.3 ve (3.3.4 de tanımlanmıştır. Aynı lim q n = lim q n = n n olduğu için n ve n için δ n ve δ n elde edilir. Böylece operatörün hızı Lipschitz sınıfı fonksiyonlar ile değerlendirilmiş olur. 3

39 4. q-bbh OPERATÖRÜNÜN İSTATİSTİKSEL YAKIN- SAKLIĞI Bu bölümde ilk olarak istatistiksel yakınsaklığın tanımı verilecek ve yaklaşımlar teorisine nasıl uygulandığı konusuna değinilecektir. Daha sonra tek ve iki değişkenli q-bbh operatörlerinin istatistiksel yaklaşım özellikleri incelenecek ve son olarak bu operatörlerin istatistiksel yaklaşım hızı hakkında kısaca bilgi verilecektir. 4. İstatistiksel Yakınsaklığın Tanımı İlk olarak 95 yılında Fast tarafından geliştirilen istatistiksel yakınsaklık kavramı son yıllarda matematiğin birçok dalına uygulanmaya başlamıştır. İstatistiksel yakınsaklığın tanımına geçmeden önce kısaca yoğunluk kavramından bahsedelim: K N alt kümesi verilsin ve ayrıca {k n : kɛk} kümesi K n ile, K kümesinin eleman sayısı da K ile gösterilsin. Bir K N alt kümesi için lim n n K n limiti mevcut ise, bu limit değerine K kümesinin yoğunluğu denir ve δ(k ile gösterilir (Niven et al. 99. Örneğin δ(n =, δ{n : nɛn} =, δ{n : nɛn} = δ{n + : nɛn} = olduğu kolayca görülebilir. Şimdi istatistiksel yakınsaklık tanımını verebiliriz; x = (x k reel terimli bir dizi olsun. Eğer her ε > için δ{k : x k L ε} = olacak şekilde bir L sayısı varsa, bu durumda x k dizisi L sayısına istatistiksel yakınsaktır denir ve st lim k x k = L ile gösterilir (Fast 95. Tanımdan da anlaşılacağı üzere istatistiksel yakınsaklık klasik yakınsaklıktan daha geneldir. Çünkü L sayısının ε > komşuluğunun dışında, indis kümesinin 33

40 yoğunluğunun sıfır olması koşuluyla, yine sonsuz çoklukta terim bulunabilir. Dolayısıyla her yakınsak dizi istatistiksel yakınsaktır, fakat bunun tersi doğru değildir. Buna örnek olarak x = (x k dizisi ; k = m x k = ; k m. şeklinde tanımlansın. Burada δ{m : mɛn} = olduğu bilindiğine göre (x k dizisi istatistiksel olarak sıfıra yakınsaktır. Yani st lim x k = şeklinde gösterilebilir. Fakat burada x dizisi yakınsak k değildir. İstatistiksel yakınsaklık kavramı yaklaşımlar teorisine ilk olarak Gadjiev ve Orhan ( tarafından uygulanmıştır. Gadjiev ve Orhan, reel sayıların kapalı ve sınırlı aralıkları üzerinde sürekli olan fonksiyonların uzayı üzerinde tanımlanan lineer pozitif operatörler için istatistiksel Korovkin tipli teoremi aşağıdaki şekilde ispatlamışlardır: Teorem 5. (Gadjiev and Orhan Eğer A n : C[a, b] C[a, b] lineer pozitif operatörler dizisi e ν (t = t ν, ν =,, için aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa o halde her fɛc[a, b] için sağlanır. st lim n A n (e ν ;. e ν C[a,b] =, st lim n A n (f;. f C[a,b] =, ν =,, 4. q-bbh Operatörlerinin İstatistiksel Yakınsaklığı Bu kısımda amaç; q-bbh operatörlerinin istatistiksel yaklaşım özelliklerini elde etmektir. Erkuş ve Duman (3 tarafından Gadjiev ve Orhan ın ( de verdikleri teorem kullanılarak H w uzayında tanımlı fonksiyonların istatistiksel yakınsaklığı için Korovkin tipli bir teorem verilmiştir. Dolayısıyla bu bölümde Erkuş ve Duman ın vermiş olduğu teorem kullanılarak tek değişkenli q-bbh operatörlerinin 34

41 istatistiksel yakınsaklığı elde edilecektir. Teoremi vermeden önce, bilinmelidir ki K = I = [, x[, olmak üzere iki değişkenli fonksiyonlar için süreklilik modülü, w (f; δ, δ, aşağıdaki gibi tanımlanır: w (f; δ, δ = sup { f(u, v f(x, y : (u, v, (x, yɛkve u x δ, v y δ }. Bu fonksiyonun tanımlı olduğu uzay H w aşağıdaki özelliği gerçekler: f(u, v f(x, y w (f; u + u x + x, v + v y + y. Burada fɛh w ise f, K da sürekli ve sınırlıdır. Teorem 6. (Erkuş and Duman 3 {L n }, H w operatörler dizisi olsun. Her fɛh w için den C B (K ya lineer pozitif sağlanıyor ise dır. Burada dir. st lim n L n (f i f i = i =,,, 3 f (u, v =, f (u, v = f (u, v = st lim n L n (f f = u + u, v + v, f 3(u, v = ( u + u + ( v (4.. + v Şimdi bu teorem yardımıyla tek değişkenli q-bbh operatörlerinin istatistiksel olarak bir f fonksiyonuna düzgün yakınsadığını gösterelim. Kabul edelim ki q = (q n dizisi < q n için aşağıdaki koşulu gerçeklesin: st lim n q n =. (4.. Bu koşulu sağlayan herhangi bir q = (q n dizisine örnek olarak ; n = m q n = ; n (4..3 n m verebiliriz. 35

42 Teorem 7. Farzedelim ki q = (q n dizisi < q n için (4.. deki koşulu gerçeklesin. Eğer (.6.5 de tanımlanan L n lineer pozitif operatörü (( ν ( ν t x st lim L n ; q n ; x = ; ν =,, n + t + x C B koşullarını gerçekliyorsa her fɛh w için sağlanır. st lim n L n (f; q n ;. f CB = İspat: ν = için, (.6.7 de L n (; q n ; x = olduğu gösterilmişti. O halde st lim n L n (; q n ; x CB = olduğu açıktır. ν = için, ( t L n + t ; q n; x x ( + x = [n]qn x CB [n + ] qn + x [n] q n CB [n + ] qn (4..4 bulunur. Herhangi bir ε > sayısı için { U = n : L t n( + t ; q n; x x } ε + x CB ve U = { n : [n] } q n ε [n + ] qn olacak şekilde iki küme tanımlayalım. Burada U U olduğu açıktır. Dolayısıyla { δ k n : L n ( t + t ; q n; x x } + x ε δ yazılır ve (4.. den aşağıdaki sonuç açıktır: ( st lim [n] q n =. n [n + ] qn Böylelikle yoğunluk tanımından { δ k n : [n] } q n ε = [n + ] qn 36 { k n : [n] } q n ε [n + ] qn

43 ve daha sonra ( t st lim L n n + t ; q n; x x + x = CB olduğu kolaylıkla gösterilebilir. Son olarak ν = alındığında ( ( ( t x L n ; q n ; x + t + x { CB ( ( x [n]qn [n ] qn = sup x + x [n + ] q + x n q n + q n x + [n] } q n x [n + ] q n + x (4..5 bulunur. q-analiz tanımı ile basit işlemler yapılarak [n] qn [n ] qn [n + ] q n = q 3 n ( + q n [n + ] qn + + q n [n + ] q n (4..6 eşitliği elde edilebilir. (4..6 ün (4..5 de yerine konulmasıyla ( ( ( t x L n ; q n ; x + t + x CB ( [ ( x = sup + q n + + q n x + x q n [n + ] q [n + ] q ( ( x + x sup x + x q n + q n x ( { ( x + sup + q n + + q n x + x q n [n + ] q [n + ] q ( ( x + x = sup x + x q n + q n x ( { ( x + q n + sup + q n x + x q n [n + ] q [n + ] q ( ( + + q n + q n qn qn [n + ] q [n + ] + q ] + x + q n x + [n] q [n + ] q } + x + q n x + sup x } + x + sup + q n x x q n [n + ] q x + x [n] q x [n + ] + x q [n] q [n + ] q q n [n + ] q x + x (

44 bulunur. Burada eğer ( α n =, β qn n = qn + q n [n + ] q + q n [n + ] q, γ n = q n [n + ] q, ξ n = olacak şekilde seçilirse ve burada (4.. deki koşul uygulanırsa st lim n [n + ] q = elde edilir. Dolayısıyla aşağıdaki sonuçlar kolaylıkla gösterilebilir: q n [n + ] q st lim n α n = st lim n β n = st lim n γ n = st lim n ξ n =. (4..8 Yine bir ε > için { U = n : L n ( ( ( t x ; q n ; x + t + x CB ε } ve { U = n : α n ε } {, U = n : β n ε }, { 4 4 U 3 = n : γ n ε } {, U 4 = n : ξ n ε } 4 4 olacak şekilde beş farklı küme tanımlansın. U U U U3 U4 gözönüne alınırsa olduğu { ( ( ( t x δ k n : L n ; q n ; x + t + x { δ k n : α n ε } { + δ k n : β n ε } { δ k n : γ n ε } { + δ k n : ξ n ε } 4 4 CB ε } eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğin sağ tarafı (4..8 den dolayı sıfırdır. O halde ( ( ( t x st lim L n ; q n ; x = n + t + x CB sağlanır. Dolayısıyla (( ν t st lim L n ; q n, x n + t 38 ( x + x ν C B = ν =,,

45 sonucu gösterilmiş olur. Böylece ispat Teorem 6 gereği tamamlanmış olur. Şimdi q-bbh operatörlerinin istatistiksel yaklaşım hızını; süreklilik modülü ve Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar yardımıyla değerlendirelim. Aral ve Doğru (7, tek değişkenli q-bbh operatörlerinin yaklaşım hızını süreklilik modülü yardımıyla aşağıdaki teorem ile göstermişlerdir: Teorem 8. (Aral and Doğru 7 Farzedelim ki q = (q n dizisi; < q n < ve q n (n koşullarını gerçeklesin. O halde (.6.5 L n lineer pozitif operatörü, her bir x ve her fɛh w için eşitsizliğini sağlar. Burada L n (f; q n ; x f(x w(f; δ n (x { ( ( x δ n (x = [n] q [n][n ] + x + + x [n + ] q [n + ] q n + [n] } x + q n x [n + ] + x (4..9 şeklindedir. Teorem 8 deki q n (n koşulu yerine st lim q n = koşulunu kabul n edersek st lim δ n (x = olur fakat aynı zamanda lim δ n (x olabilir. Bu n n sonuç Teorem 8 deki sonucun daha zayıf bir koşul altında da gerçeklendiğini gösterir. Aral ve Doğru aynı çalışmada q-bbh operatörlerinin yaklaşım hızını Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar ile de elde etmişlerdir. Bölüm 3.3. de; Lipschitz tipli maksimal fonksiyonun (3.3.6 şeklinde tanımlandığını söylemiştik (Lenze 99. Şimdi, daha önce (3.3.7 da iki değişkenli halini tanımladığımız W α,α,e fonksiyon uzayının tek değişkenli hali E [, olmak üzere W α,e = { f : sup( + x α fα (x, y M } ( + y α ; x, y E (4.. şeklindedir. Burada f ; R + da sınırlı ve sürekli bir fonksiyon, M pozitif bir sabit, < α olmak üzere f α ise (3.3.6 de tanımlandığı şekildedir. 39

46 Aral ve Doğru ilk olarak f W α,e için q-bbh operatörlerinin yaklaşım hızını elde etmişler ve daha sonra bu sonucun özel bir hali olarak E = R + alıp aşağıdaki sonucu bulmuşlardır: Teorem 9. (Aral and Doğru 7 (.6.5 de tanımlanan L n operatörü f W α,r+ ve her x için L n (f; x f(x Mδ α n (x eşitsizliğini sağlar. Burada δ n (x ise (4..9 da tanımlandığı gibidir. (4.. in kullanılmasıyla st lim n δ n (x = olduğunu göstermiştik. Böylece L n (f; x operatörünün f(x fonksiyonuna istatistiksel yakınsaklık oranını Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar ile elde etmiş oluruz. 4.3 İki Değişkenli q-bbh Operatörlerinin İstatistiksel Yakınsaklığı Bu bölümde ise Erkuş ve Duman ın (3 de vermiş oldukları teorem kullanılarak iki değişkenli q-bbh operatörlerinin istatistiksel yakınsaklığı elde edilecektir. Kabul edelim ki q = (q n ve q = (q n, < q n, q n olmak üzere istatistiksel olarak e yakınsayan iki dizi olsun, yani; sağlansın. st lim q n = st lim q n = (4.3. n n Şimdi (4.3. koşulları altında iki değişkenli q-bbh operatörlerinin istatistiksel yakınsaklığını Teorem 6 yardımıyla elde edelim. Teorem. Kabul edelim ki q = (q n ve q = (q n, (4.3. de verilen koşulları gerçeklesinler. Eğer H w (R+ den C B (R + ya giden L n, n lineer pozitif operatörü her fɛh w için st lim n,n L n, n (f; q n, q n, x, y f CB = 4