Üçgenin çemberleri deyince akla ilk gelen üçgenin

Transkript

1 atematik ünyas, 2005 K fl Geometri Köflesi ustafa a c / yagcimustafa@yahoo.com okuz okta (ya da euerbach) Çemberi Üçgenin çemberleri deyince akla ilk gelen üçgenin çevrel çemberi ve iç çemberi olur. Çevrel çember, üçgenin üç köflesinden de geçen çemberdir; iç çemberse üçgenin üç kenar na da içten te et olan çemberdir. Çevrel çember merkezi yla, iç çember merkezi I yla, d fl çember merkezleri de I, I ve I simgeleriyle gösterilirler. flte resim: I I Üçgenin çevrel çemberinin varl na az sözle flöyle ikna olabiliriz: ki sabit köfleden geçen büyük bir çember çizip bu çemberi gene ayn köflelerden geçecek biçimde yavafl yavafl küçültelim. u çemberler bir zaman sonra üçüncü kenardan geçecektir. Üçgenin çevrel çemberinin merkezi, üç köfleye eflit uzakl kta oldu undan, üç kenar n ortadikmelerinin kesiflimindedir. I I Üçgenin iç çemberinin varl na (gene az sözle) flöyle ikna olabiliriz: ki kenara te et olan küçük bir çember çizip bu çemberi gene ayn kenarlara te et olacak biçimde yavafl yavafl büyütelim. u çemberler bir zaman sonra üçüncü çembere te et olacakt r. Üçgenin iç çemberinin merkezi, her köflenin iki kenar na eflit uzakl kta oldu undan, içaç ortaylar n kesiflimindedir. lk anda akla gelmeyebilir ama üçgenin baflka özel çemberleri de vard r. em de sürüsüne bereket derler ya, o kadar. Örne in, üçgenin kenarlar na d fltan te et çemberler vard r. Üç tane olan bu çemberlere de üçgenin d fl te et çemberleri veya k - saca d fl çemberleri denir. u çemberler özel olduklar ndan merkezlerine de özel isimler verilmifltir. u yaz m zda bunlar kadar çok bilinmeyen ama en az bunlar kadar önemli bir baflka çemberi ve merkezini konu edece iz: okuz nokta çemberini ve merkezini. d ndan da anlafl labilece i üzere, bu çember, üzerinde üçgenin 9 özel noktas n bar nd r r. angi noktalar m? z sonra... o rusal olmayan her üç noktadan tek bir çemberin geçti ini biliyoruz. halde, üçgenin üç özel noktas ndan geçen bir çember üçgenin özel bir çemberidir. Örne in e er üçgen dik de ilse, üçgenin üç yüksekli inin aya ndan geçen çember, üçgenin özel bir çemberidir. u üçgeni bir sonraki sayfada çizdik. fiekilde noktas na deseydik daha iyi olurdu. ncak harfi geleneksel olarak (bu yaz da görece imiz) bir baflka nokta için kullan l r. 72

2 atematik ünyas, 2005 K fl Üçgenin üç yükseklik aya ndan geçen çember 2 G Üçgenin üç kenarortay noktalar ndan geçen çember dörtgeni merkezli yar çapl çemberin üstündedir. emek ki = dir. m() = olsun. zaman m() = m() = ve m() = 2 olur. yn zamanda m() = 2 oldu undan, nin bir kirifl dörtgeni oldu u ç kar. stedi- imiz oldu. I Üçgenin üç içaç ortay aya ndan geçen çember yn üçgenin (üçgen dik olsa da!) üç kenarortay aya ndan geçen çemberi de çizebiliriz. Üçgenin üç içaç ortay aya ndan geçen çemberi de... u üç çember yukarda görünüyor. lk iki çember ne kadar da birbirine benziyor... (ikroskapla bakmak laz m!) izimki de laf! Sanki birbirine benzemeyen iki çember olabilirmifl gibi... ma bunlar bir baflka benziyorlar, sanki benzemekten de öte eflitler. vet öyleler... u eflli i ilk olarak uler 1765 da farketmifl: ir üçgenin yükseklik ayaklar ndan geçen çember kenarortay noktalar ndan da geçer. u çemberin üzerinde flu an 6 özel nokta var. ahmin etti iniz gibi 3 özel noktadan daha geçti ini bulaca z ama önce flu ilk k sm bir kan tlayal m. lt okta Çemberinin Kan t. üçgeninin yükseklik ayaklar s ras yla, ve olsun. üçgeninin yüksekliklerinin üçgeninin iç aç ortaylar oldu unu III, sayfa 57 de kan tlam flt k. ( üçgenine üçgeninin ortik üçgeni denir.) [] kenar n n orta noktas olsun.,,, noktalar n n çembersel oldu unu kan tlayabilirsek, ayn kan t [] ve [] kenarlar n n orta noktalar için de yapabilece imizden kan t bitecek. ve diküçgen olduklar ndan, Unutmadan söyleyelim, uler de ancak bu kadar n bulabilmifl; birazdan bulaca m z di er üç noktay o da fark edememifl. fiimdi bu dörtgenin çevrel çemberini çizip, kan t n ikinci k sm na geçiyoruz. okuz okta Çemberinin Kan t. kirifl dörtgeninin çevrel çemberi do rusunu te kessin. aç s yla aç s ayn çember üzerinde ayn yay gören çevre aç lar oldu undan eflittirler. m() = ve m() = 2 oldu undan aç s n n ölçüsü de d r. olay s yla =. olay s yla, diküçgen oldu undan, noktas [] nin orta noktas. enzer flekilde noktas [] n n, noktas da [] nin orta noktas d r. öylelikle 9 noktay bulmufl olduk. Sayal m: üçgeninin yükseklik ayaklar,,, kenarortay noktalar,, ve diklik merkezini köflelere birlefltiren do ru parçalar n n orta noktalar,,. kinci Kan t. er üçgeninin dokuz nokta çemberini kenarortay noktalar olan,, noktalar ndan geçen çember olarak tan mlasayd k, bu 2 73

3 atematik ünyas, 2005 K fl durumda bu çemberin,, ve,, noktalar ndan geçti ini kan tlamal yd k. fiimdi bunun son derece sade bir kan t n sunuyoruz: Önce üçgeninin orta üçgeni olan üçgenini çizelim. paralelkenar oldu undan ile üçgenlerinin eflli i aflikâr. halde ile üçgenlerinin çevrel çemberleri de efltir. em de do rusuna göre simetriktirler. u durumda noktas n n ye göre simetri i olan noktas da üçgeninin çevrel çemberinin üstünde olmal d r. yr ca,, üçgeninin kenarortaylar n birlefltirdi inden, noktas kenar n n üstünde olmal d r. Simetrinin tan m ndan dolay, do rusu yi ve dolay s yla yi dik keser. emek ki, ye ait yükseklik aya d r. yn ifllemleri ve üçgenleri için de yaparsak, ve noktalar n n da dokuz nokta çemberi üzerinde olaca n anlayabiliriz. fiimdi bu kan tlad m z kullanarak çemberin ayr ca,, noktalar ndan da geçti ini kan tlayal m. ir sonraki flekilden takip edin., ve üçgenlerine odaklan yoruz. u üçgenlerin yükseklik ayaklar n n üçgenininkilerle ayn oldu unda yat yor kan t. halde bu üçgenlerin dokuz nokta çemberleri, üçgeninin dokuz nokta çemberiyle ayn olur. Sonuç olarak, bu çemberler, yukarda gördü ümüz üzere,, ve üçgenlerinin kenarortay noktalar ndan da geçmeliler. Kan t tamamlanm flt r. 74 Üçüncü Kan t. Önce, üçüncü kan t - m zda kullanaca - m z bir teoremi sunup kan tlayal m. rans z matematikçi ierre Varignon a ( ) ait olan bu ilginç teoremin mutlaka bilinmesi gerekir. Varignon eoremi. ir dörtgenin kenarortay noktalar bir paralelkenar belirtir ve bu paralelkenar n kenarlar köflegenlere paraleldir. S K Q Kan t: örtgenimiz ve bu dörtgenin,,, kenarlar n n orta noktalar da s ras yla, Q, R, S olsun. ve S orta noktalar oldu undan üçgeninde [S] orta taband r. enzer flekilde [Q], [QR] ve [RS] nin de orta taban oldu unu buluruz. rta tabanlar, ilgili tabanlara paralel olaca ndan QRS dörtgeni bir paralelkenard r. u paralelkenara Varignon paralelkenar denir. Varignon paralelkenar n n iç aç ölçüleri, dörtgenin köflegenlerinin belirtti i aç lar n ölçüleriyle ayn d r. unu, K ile SQ aç lar n n kollar n n birbirlerine paralel olmas na borçludur. halde bir dikgenin, yani köflegenleri dik olan bir dörtgenin S Varignon paralelkenar bir dikdörtgendir. R Q R ierre Varignon ( )

4 atematik ünyas, 2005 K fl Varignon teoremi sadece d flbükey dörtgenler için de il, tüm dörtgenler için geçerlidir. örtgenin içbükey, çapraz ya da ayk r olmas önermenin do rulu unu bozmaz. flbükeye yap lan kan t n ifllemleri aynen uygulan rsa bu görülür. fiimdi tekrar dokuz nokta çemberine dönüyoruz. ir üçgeni ve bu üçgenin,, yüksekliklerini çizelim. üksekliklerin kesiflti i yere, yani diklik merkezine her zamanki gibi diyelim., ve nin ortanoktalar da s ras yla, ve olsun. Üstteki flekillerden de görüldü ü üzere,, ve içbükey dörtgenleri dikgendir. halde Varignon eoremi gere i, ve dörtgenleri birer dikdörtgendir. uraya dikkat! u dikdörtgenlerin çevrel çemberleri tek bir çemberi iflaret eder. ira dikdörtgenlerin köflegeni çemberin çap olacakt r ve köflegenlere bak - l rsa = = oldu u görülür. u durumda,,,,, noktalar n n çemberdefl oldu unu anlar z. i er yandan, ve dik üçgenlerinin hipotenüsleri de dikdörtgenlerin köflegen uzunluklar na eflit oldu undan,, noktalar da ayn çember üzerindedir. Sonuçta,,,,,,,, noktalar ndan geçen çember üçgeninin dokuz nokta çemberidir. iküçgende e luyor? er üçgen dikse, o zaman noktalardan baz lar eflitleniyor ve geriye sadece befl nokta kal yor. u durum üçgenlerin dik = = = = = olmad di er durumlar n limiti oldu undan, üçgenler diklefltikçe dokuz nokta çemberleri giderek bu befl noktadan geçen bir baflka çembere, üstelik çevrel çembere içten te et olan bir çembere yak nsarlar. flkenar Üçgende e luyor? ir baflka ilginç durum da üçgen eflkenar oldu unda ortaya ç k - yor. lginç dedi imize bakmay n siz, asl nda en ilginç olmayan durum. u durumda, dokuz noktadan alt s = = ikifler ikifler özdeflleflerek geriye sadece alt nokta kal - yor ve dokuz nokta çemberi = içte et çemberine dönüflüyor. Kan t çok kolay. = okuz okta erkezi. okuz nokta çemberinin merkezi genelde veya ile gösterilir. iz bu noktay ile gösterece imizi yaz n n bafllar nda ima ettik, çünkü nokta apoléon noktas yla kar fls n istemiyoruz. 75

5 atematik ünyas, 2005 K fl okuz okta Çemberinin ar çap n ulmak. adem her üçgenin sadece bir tane dokuz nokta çemberi var, o çemberin yar çap üçgenin boyutlar - na göre ifade edilebilmeli. fiimdi bu yar çap n nas l hesaplanaca n görece iz. esab n ne kadar uzun sürece ini bafltan söyleyeyim. Çevrel çember yar çap n n hesaplanma süresinden en çok 1 saniye daha uzun sürecek, e er afla daki teoremi biliyorsan z... eorem 1. okuz nokta çemberinin yar çap, çevrel çember yar çap n n yar s d r. Kan t:,, noktalar s ras yla [], [], [] do ru parçalar n n orta noktalar oldu undan //, //, // olur. halde olur. enzerlik oran n n 1:2 oldu u san r m aflikâr. üçgeninin dokuz nokta çemberi üçgeninin çevrel çemberi oldu undan teorem kan tlanm fl oldu. üçgenin neresinde? fiimdi de dokuz nokta merkezinin üçgenin neresinde konumland na bir göz atal m. fla daki teoremle birlikte yi elimizle koymufl gibi bulabilece iz. eorem 2. okuz nokta çemberinin merkezi, üçgenin diklik merkezi ile çevrel çember merkezi olan yu birlefltiren do ru parças n n orta noktas - d r. ani =. k larak... iklik merkezi den üçgenin çevrel çemberine çizilen tüm do ru parçalar n dokuz nokta çemberi iki eflit uzunlukta parçaya ay r r. Örne in, =, = ve =. den çevrel çembere çizilecek tüm do ru parçalar için bu eflitliklerin sa lanaca n n kan t n okura b rak yoruz. kinci Kan t: fiöyle de düflünebiliriz: üçgeniyle üçgeninin 1:2 oran nda benzer oldu unu biliyoruz. üçgenine göre dokuz nokta çemberi olan çember, üçgenine göre çevrel çemberdir. u son çemberin yar çap da üçgeninin çevrel çemberinin yar s d r. ik üçgenler için hesap çok daha basit oluyor. ik üçgenlerde hipotenüs çevrel çember çap na eflit oldu undan, dik üçgenlerin dokuz nokta çemberlerinin yar çaplar hipotenüslerinin 1/4 üdür. i er yandan nin dokuz nokta çemberi nin çevrel çemberi oldu undan ve üçgeninin çevrel çemberi üçgeninin dokuz nokta çemberi oldu undan, biraz önce gördü ümüzden, =, = ve = ç kar. 76

6 atematik ünyas, 2005 K fl Kan t: üçgenini çizelim. okuz nokta çemberinin yi kesti i nokta olsun. = oldu unu biliyoruz. ten ye paralel çizilen do runun yu kesti i nokta aranan noktas d r, çünkü orta nokta oldu undan üçgeninde [] orta taban olur ve boyu da çevrel çember yar çap n n yar s kadar olur. için yapt - m z (ve ) için de yapabilece imizden gerçekten 9 nokta çemberinin merkezidir. l flt rma. Çevrel çember yar çap R olan bir üçgeninde = 3R 2 dir. yr ca... ir üçgenin çevrel çemberinin üstüne, diklik merkezi üçgenininkiyle ayn olan üçgenler yerlefltirilirse, bu üçgenlerin hepsinin dokuz nokta çemberleri ayn olur. iri di erinin yar s ve ve merkezli içi içe iki çember verilsin. yr ca üstünde = eflitli ini sa layan bir noktas verilsin. iklik merkezi, çevrel çemberi büyük çember, 9 nokta çemberi küçük çember olan bir üçgeni flöyle bulunur:, büyük çem- ber üstünde herhangi bir nokta olsun. do rusu küçük çemberi de kessin. den ye çekilen dik, büyük çemberi ve noktalar nda kessin. flte istenen üçgeni. Kan - t okura b rak yoruz. uler o rusu. nin ve ya eflit uzakl kta olmas ilginç ama ayn zamanda bu üç noktan n do rusal olmas ye baflka bir ilginçlik katmakta III, sayfa 60 da kan tlad m z flu önsav bir daha kan tlayaca z: Önsav. erhangi bir üçgeni verilsin ve bu üçgenin çevrel çemberi çizilsin. Üçgenin herhangi bir köflesinin diklik merkezine olan uzakl, çevrel çember 2x merkezinin seçilmifl köflenin karfl s ndaki kenara olan uzakl - n n iki kat d r. ani yandaki flekle göre, = 2. x Kan t: den geçen çap, çevrel çem- beri de kessin. ales in ünlü teoremi 2x gere i çap gören çevre aç lar dik olaca n- 2x x dan, m() = m() = 90 o. = ve = oldu- undan, üçgeninde orta taband r. = x ise = 2x olur. i er yandan // ve // oldu undan (çünkü m() = m() = 90 o ), bir paralelkenard r. halde = = 2x dir. eorem 3. ir üçgende diklik merkezi, kenarortaylar n kesiflimi (a rl k merkezi) G ve çevrel çember merkezi do rusald r. Kan t: fiekilden takip edelim. kenarortayd r. i er yandan // oldu undan kelebek oluflur. 2x Önsavdan dolay = 2 oldu- G undan kelebekteki x nin yi kesti i nokta, 2:1 oran ndan benzerlik oran 2:1 dir. halde dolay, üçgensel bölgesinin a rl k merkezidir. öylelikle kan t tamamlan r. 77

7 atematik ünyas, 2005 K fl o rusall n yan s ra G = 2 G eflitli ini de kan tlad m z fark ettiniz mi?, G, noktalar n n üzerinde bulunduklar bu do ruya uler o rusu denir. u do ru daha onlarca özel noktay da üzerinde bar nd r r. Örne- in eorem 2 de nin de uler do rusu üzerinde oldu unu ö rendik. G G uler do rusu eki, ççember erkezi erde? I noktas da bu uler do rusunun üstünde mi diye merak ettiyseniz söyleyeyim, her zaman de il! Üçgen ikizkenar ise üstünde, de ilse de- il... Üçgenin çeflitkenar oldu unu varsayal m. halde herhangi bir köflesinden geçen yükseklik, iç aç ortay ve kenarortay n o köfle d fl nda ortak bir noktalar yoktur. u durum di er köfleler için de geçerli oldu undan diklik merkezi, iç çember merkezi ve a rl k merkezi bir üçgen olufltururlar. ma üçgen ikizkenar olursa, tepeye ait yükseklik, iç aç ortay ve kenarortay çak fl kt r. ani, I, G do rusald r. G do rusu zaten uler do rusu oldu undan I da üstünde olur. euerbach eoremi. ir üçgenin dokuz nokta çemberi, o üçgenin iç çemberine içten, d fl çemberlerine d fltan te ettir. = üksekliklerin kesiflimi G = Kenarortaylar n kesiflimi = Çevrel çemberin merkezi = okuz nokta çemberinin merkezi = ve 2 G = G. fiimdi tüm bu yaz y u runa yazd m z bir teoreme geldik. armonik S ra W,,, noktalar do rusal dört nokta olsun. er W / = W / ise ve noktalar na W ve noktalar n n harmonik efllenikleri denir. u dört noktan n da harmonik s rada olduklar söylenir. G = 2 G ve = eflitliklerinden : G : G = 3 : 1 : 2 oldu unu buluruz. G / G = / = 2 oldu undan, G ve noktalar, ve noktalar n n harmonik efllenikleridir. undan dolay da, G,, noktalar harmonik s radad rlar. 9 nokta çemberini 13 nokta çemberi yapan 4 te et noktas u teoremi euerbach ( ) bulmufl ve kan tlam flt r. nun an s na bu noktalara euerbach oktalar denir. atta bu te et noktalar n n belirttikleri üçgenlere de euerbach üçgenleri. (fiimdi onüç nokta çemberi oldu!) euerbach eoremi ni kan tlayacak yerimiz kalmad. ecburen gelecek say y bekleyeceksiniz. 78