FONKSĠYONLAR. f Ģeklinde tanımlanan

Transkript

1 Fonksion kvrmı, memiğin en önemli konsr ÖSS Memik II sorlrını çözeilmek için onksion konsn çok ii ilmek ve özümsemek gerekir TANIM: A kümein er elmnını, B kümein ir ve lnız ir elemnı ile eģleen A n B e er ğınısın A n B e ir onksion enir =, =, =, -= ={,,,,,,-,} Ģekline nımlnn onksion için ; onksionnn nım kümei zınız Y: {,,,-} onksionnn görünü kümei zınız Y: {,,] : A B ve A B Ģekline göserilir A TANIM, B e DEĞER kümesi ı verilir Ģekline nımlnn onksion için =, için ; = ve : ve zılır ve e in onksion lınki görünüsü enir = A={ : =, A} kümee e A nın onksion lınki görünü kümesi enir A={,} ve B=R olmk üzere ; A n B e : : Ģekline nımlnn ={,,,} ğınısı ir onksionr! A kümein er elemnı eģlenmiģir! A kümein erngi ir elemnı, iren zl elemnl eģlenmemiģir A={,} ve B=R olmk üzere ; A n B e : : : Ģekline nımlnn ={,,,,,} ğınısı ir onksion eğilir! A kümein er elemnı eģlenmiģir! A kümein elemnlrınn, em ile em e ile eģlenmiģir = Ģekline nımlnn onksion için; Tnım kümesi R lınırs R= R = {R Y } = [, Tnım kümesi [-,] lınırs [-,] = [-,] = [,] = onksion için ; + = + = ++, = = olr = onksion için ; =, olr UYARI: = - ++ Ģeklineki polinom onksionlr in üm gerçel eğerleri için nımlıır

2 = nım kümei lnz onksionnn onksionnn nım kümei lnz UYARI: Rsonel onksionlr p sıır olmz Kreköklü onksionlr, krekök içineki ie negi olmz - > ve > -+ > olmlıır -- > onksionn nım kümesi :,, = ; < ise ; ise onksion için ; - = -, -/ = -/, =, / = /, = r ; ise = + ; - ise g onksionnn nım kümei lnz - - ve - onksionnn nım kümei lnz - ve + > > - olmlıır Tnım kümesi - < ir -c ; ise iein ir onksion nımlığı iliniğine göre c kçır = +=+= = -c=-c -c = olmlıır c = ir onksionnn nım kümei lnz - ve olmlıır nı zmn - ve olmlıır ve g onksionlrının nım kümelerini lnz için : ve olmlıır Tnım kümesi :, [, g için : Tnım kümesi : [, ve olmlıır

3 nım kümei lnz onksionnn IN EġĠTLĠĞĠ: Tnım kümeleri eģi ve g onksionlrı veriliğine ; nım kümein er elemnı için = g olors = g ir enir ve olmlıır = ve eģimiir g onksionlrı onksionnn nım ve görünü kümelerini lnz Tnım kümesi : Görünü kümesi :, ] [, ve Her iki onksionn nım kümeleri R ir g olğnn = g ir = ve eģimiir g onksionlrı onksionnn nım kümesi R ir g onksionnn nım kümesi R { } ir Tnım kümeleri eģi olmığınn g ir = + g = R için için onksionlrı eģimiir Her iki onksionn nım kümeleri R ir için g olğnn = g ir

4 ve g onksionlrı eģimiir ve Her iki onksionn nım kümeleri, r g g Toplm onksionn nım kümesi, onksionlrın nım kümelerinin kesiģimiir g g Çrpım onksionn nım kümesi, onksionlrın nım kümelerinin kesiģimiir ve g için ; g g g g g ve g onksionlrı eģimiir = için ; onksion nımsız, g onksion nımlıır Tnım kümeleri eģi olmığınn k R için ; k k g ir g g onksionnn nım kümesi [,, g onksionnn nım kümesi R ir g, g ve g onksionlrının nım kümeleri [, R [, r g g g Bölüm onksionn nım kümesi, g KoĢll onksionlrın nım kümelerinin kesiģimiir ve k onksionlrının nım kümeleri eģiir ÖRNEK ve g için ;, g g g, g Her iki onksionn nım kümeleri R ir g = - = -+ =, = ve =- Bölüm onksionnn nım kümesi R {}

5 BĠLEġKE FONKSĠYON: og g Ģekline nımlnn og onksionn ve g onksionlrının ileģke onksion enir og onksionnn nım kümesi, g onksionnn nım kümee eģiir g onksionnn görünü kümesi, onksionnn nım kümein ir l kümesi olmlıır ve onksionlrı için; og g g g onksionnn görünü kümesi [, onksionnn nım kümesi R olp, [, R ir og onksionnn nım kümesi, g onksionnn nım kümee eģi olp R ir, g onksionlrı için; ogo g ve g, v ve v için, nin, cinen iesi neir F onksionn ve g onksionlrının ileģkesi olrk ie einiz ve lınırs ; og g olrk g g F = onksionnn griği veriliğine ; c > için g = -c onksionnn griğini çizmek isersek, = in griği c irim SAĞA kırılır g = +c onksionnn griği için, = in griği c irim SOLA kırılır g = +c onksionnn griğini çizmek isersek, = in griği c irim YUKARI kırılır g = -c onksionnn griği için, = in griği c irim AġAĞI kırılır Fonksionlr ; - Polinom Fonksionlr - Rsonel Fonksionlr - eirsel Fonksionlr olrk sınılnırılilirler nn + için ; = n- n- + n n Ģeklineki onksionlr n ereceen POLĠNOM FONKSĠYON enir Tnım kümeleri R ir v ve v ir ve ir olğnn olğnn P ve Q irer polinom olmk üzere ; P Ģeklineki onksionlr Q RASYONEL FONKSĠYON enir Tnım kümeleri R Q ır

6 LİMİT i nın eerince küçük ir komģlğ içine lığımız, in oliliğince klģileceği ir L sısı vrs ; klģırken in ii L ir enir, L zılır c R c c, için; ir ır g g c c g g g g g n n SÜREKLĠLĠK: Tnım kümeeki sısı için; ise onksion = noksın sürekliir enir = onksion ; = için sürekli,, ise, = ise = için sürekli eğilir olğnn olğnn = n n + n- n Ģeklineki polinom onksionlr için ; ır R P Q Ģeklineki Rsonel onksionlr için; nım kümein ir elemnı ise ır

7

8 g ve, in nım kümee ise ; g g ir N n ve, nım kümee ise ; n için : n n ır n n g g ir

9 g ve L g ise L ir için g ve ersek g olr g olğnn ; ır cos ir ir cos cos n n n

10 n n n n n n n n ; = ; > YOK -+ ; < - = - - ; YOK

11 - ; = - ; - < - ; > YOK YOK,, BELĠRSĠZ _ BELĠRSĠZ BELĠRSĠZ R için ; ır BELĠRSĠZ

12 YOK L L = ; ; > YOK YOK

13 m m ve g onksionlrı = noksın sürekli,, c R için ; + g onksion = sürekliir c onksion = sürekliir g onksion = sürekliir g onksion = sürekliir g

14 TÜREV = onksion için ; = onksionnn = için ürevi ürevi enir iine onksionn ve Ģekline göserilir iee ; = in = ki üreviir = + ersek, = - olr ki ; ır B rm: için onksionn = ki üreviir = onksionnn griği üzerineki P, noksı için ; m == +=+=+ =++ +-=+ = nin = eki eğe enklemi : = - + = +- =- = - onksionnn = için ürevi == +=+=+ -=++ +-=+ eğeri griğin P noksınki eğein eğimiir = onksionnn griği üzerineki P, noksı için ; = - + eğe enklemiir s = ol-zmn enklemine ; v eğeri rekelinin ızını verir = - nin = eki eğe enklemi : = - + =+- =-

15 = onksionnn = için ürevi == +=+=+ =++ +-=+ = nin = eki eğe enklemi : = - + =-+ =- = onksionnn = için ürevi ; rsonel = ; irrsonel onksion için = ır = için = +- = + - = + = - için = ] [ = için =

16 için = için = TEOREM: onksionnn nım kümein ir elemnı ürevi lniliors, onksion nok sürekliir SONUÇ: onksion = noksın sürekli eğil ise, onksionnn = için ürevi lınmz ÖRNEK : ; = + ; > onksionnn = ürevli olmığını göseriniz okr onksion = sürekli eğilir = sürekli olmn onksionnn = ürevi lınmz SOLDAN VE SAĞDAN TÜREV: NOT: onksionnn sol ve sğ iinen söz eileilmesi için, onksionn o noknın soln ve sğın nımlı olmsı gerekir TEOREM: onksion çık rılık nımlı, rlıkki ir eğeri için ürevli olmsı için gerek ve eer koģl ; nok soln ve sğn ürevlerinin vr ve eģi olmsıır

17 onksionnn = noksınki ürevini rģırınız olğnn okr = ; < ; onksion için = onksionnn = noksınki ürevini rģırınız olğnn ır onksionnn = noksınki ürevini rģırınız _ olğnn okr Hrekelinin oğr onc zmn lığı ol s ile göseriliğine ; v s v nınki HIZ ı verir

18 c R ve = c için ; = ır g g c n N ve = n için ; = n n- ir n n n, s s s, w w w TEOREM: Bir çık rlık nımlı ve rlıkki = için ürevli oln ve g onksionlrı için ; c, g, g, g ve g onksionlrı = için ürevliir c c için c c g ir ve v g için: v v ir g g ve v g için: v v v ir = g s s w w s s s w w s w w için

19 g g g g ve g v için: v v v v ir s s w için s w s s s s s s s s w s s s s s s s s Q r için ; r r r ir s s s w w w

20 onksion için ; Ģekline göserilior F ise F iee nin iernsieli enir F için ; ve g onksionlrı ir ve r Q için ; r r r ir g F ise F F g g F ise F F F ise F F F ise F F F ise F s s s s s s s s s F

21 w w w w w w w w w w w w w w w w s s s s s s s s cos cos sec n co csc n sec sec co csc csc cos n sec sec eğriin noksınki eğeinin enklemini zınız cos m,, P P

22 n eğriin noksınki eğeinin enklemini zınız sec m, n, P P sec n olğn knılınız sec cos cos cos cos cos cos cos n cos cos cos cos cos sec cos n cosn n sec sec n cosn sec n cosn n n cosn n cosn n cos cos sec n csc co n sec sec co csc csc, F ise F F ve g ise

23 için ; = ve = için ; n n cos cos cos cos n n n=,,,, n n için ; n n n n,,,,,,, için,, için, ir için

24 ise, için,, için, ir ise ise cos cos cos cos cos cos ise

25 ise ise ; ln, olr ise ; cos sec n sec sec n sec n sec sec sec sec o o rc ise rccos rcn ise rc co ise ise ln e ise e log ise ln ln ise

26 :[, ] R onksion rlık sürekli,, rlığın ürevli olsn B onksion o, noksın eremm eğerini lıors, nok için ürevi sıırır onksionn [-, ] rlığın inceleiniz Yersel minimm Yersel Mlk mksimm Mlk minimm [, ] e sürekli,, e ürevli onksion için; = ise c = olck Ģekile c, vrır onksionn inceleiniz R için ;, ve olğnn onksion rn onksionn, rlıklrın inceleiniz ve rlığın olsn olp onksion rlık rnır, rlığın olp olsn onksion rlık zlnır [, ] e sürekli,, e ürevli onksion için; c c, vrır olck Ģekile [, ] e sürekli,, e ürevli onksion için; olors,, e onksion [, ] e si eğerler lır :[, ] R onksion rlık sürekli,, rlığın ürevli olsn olors,, e onksion rlık rnır :[, ] R onksion rlık sürekli,, rlığın ürevli olsn olors,, e onksion rlık zlnır ve g, [, ] e sürekli,, e ürevli onksionlr olsn, için g ise, için g ir

27 onksionn inceleiniz onksionn inceleiniz, için zln, için rn, için zln, için onksionn inceleiniz rn, için, için, için, için rn rn zln rn onksionnn kriik noksı =c olsn c c en küçük eğerler için, c en üük eğerler için ise =c e onksion erel mksimm pr c en küçük eğerler için, c en üük eğerler için ise =c e onksion erel minimm pr =-, =, = kriik noklr, için zln =- erel minimm rn, için = erel mksimm zln, için = erel minimm rn, için onksionn inceleiniz =, =, = kriik noklr, için = üküm noksı rn, için = erel mksimm rn, için zln = erel minimm rn, için

28 İNTEGRAL, nım rlığın ürevi lınilir ir onksion oln ve F, koģln sğln ir = F onksionn in e göre elirsiz inegrli ve ilkel onksion enir F sekline göserilir onksionnn ilkelini lnz F lınırs ; F olğnn F onksion, ilkeliir Genel olrk in ir F Ģeklineki üm onksionlr ilkel onksion olrk lınilir, inegrl sii onksionnn ilkelini lnz F lınırs ; F F olğnn onksion ilkel onksionr onksionnn in ir ilkelinin F olğn göseriniz F olmlıır F olğnn oğrr onksionnn, g nin ir ilkeli olğn göseriniz g olmlıır g olğnn oğrr H s coss onksionnn, g s s nin ir ilkeli olmığını göseriniz H s g s olmlıır H s s - s s gs olğnn Hs, gs nin ir ilkeli eğilir F ve G, nı onksionnn irer ilkeli iseler ; F = G + eģiliği vrır ilkeli ; F ir ilkeli ; F ir F= ilkeli ; cos ilkeli ; F ir ir

29 cos onksionnn ilkeli ; F cos ir NOT: Ykrıki örneklere ; F olğn görünüz scos s s cos s cos s onksionnn ilkeli ; H ir r r r r, Q r cos z z z z z cos cos w w w s n s s n s w w w w w w

30 z z z z z z z z cos cos n sec co csc sec n sec csc co csc cos s s s co csc cos c c g g

31 sec n n sec sec n sec sec w w w w w w w w w w n n sec sec n sec sec n sec n olğnn sec n n sec sec g ve g için ; g g

32 cos cos cos sec sec n sec n r r r r

33 , sec,,,, sec n n, cos cos cos cos sec n secn sec sec sec n sec sec sec sec sec n sec n nsec n

34 cos cos sec n sec n

35 m n N ġeklineki inegrllere ; eğiģimi glnır cos coscos coscos - coscos cos eğiģimi glnığın ; cos eğiģimi glnığın ;

36 csc eğiģimi glnırs ; csc co eğiģimi glnığın ; co cos cos eğiģimi glnırs ; cos eğiģimi glnırs ;

37 BELĠRLĠ ĠNTEGRAL [,] rlığın nımlı ve negi olmn onksionnn rlık ekseni ile sınırlığı ln A ir eğriin rlığın ekseni ile sınırlığı ölgenin lnı : ir o =, = n znlklrı -= üksekliği oln ir mk A r o ir eğriin [,] rlığın ekseni ile sınırlığı ölgenin lnı : ir c c g g, R ve = için; ır = eğriin [,] rlığın ekseni ile sınırlığı ölgenin lnı ; Tnı r, üksekliği = r oln ir üçgensel ölgeir A r ir A c [, ] için; c [, ] için ır c ise ; [, ] için g ise ; g ir

38 ir TEMEL TEOREM:, [,] rlığın sürekli ir onksion ve F =, [,] ise ; F onksion, rlığın ürevi lınilir ir onksion olp F =,, ir onksionnn ilkeli elirsiz inegrli F iken ; F F F ır

39 cos inegrli için ; eğiģimi pılığın = = olcğınn ; iģlemi e pılilir eğiģimi pılığın olcğınn ;

40 [, ] için ise ; onksion çi onksion olp, griği eksenine göre simerikir olr [, ] için ise; onksion ek onksion olp, griği Ģlngıç noksın göre simerikir cos cos

41 [, ] rlığın nımlı ve sürekli oln ve g onksionlrının rlık ve sınırlıklrı ölgenin lnı : A g ir ve g eğrilerinin rlığın sınırlıklrı ölgenin lnı kç irim kreir eğrileri ile sınırlı ölgenin lnı kç irim kreir Önce eğrilerin kesim noklrı rnır, noklrın kesiģirler A g A için ir A olğnn ve g eğrilerinin [,] rlığın sınırlıklrı ölgenin lnı kç irim kreir A g A A g A, ve oğrlrı ile sınırlı ölgenin lnı kç irim kreir = ve = oğrlrı = -= = kesiģirler A ve eğrileri ile sınırlı ölgenin lnı kç irim kreir Eğriler ;, e kesiģirler A

42 ve eğrileri ile sınırlı ölgenin lnı kç irim kreir, A ve g eğrilerinin rlığın sınırlıklrı ölgenin lnı kç irim kreir A NOT: için için ve g eğrileri ile sınırlı ölgenin lnı kç irim kreir, A ve g cos eğrilerinin rlığın sınırlıklrı ölgenin lnı kç irim kreir cos A cos cos cos cos

43 ve eğrileri ile sınırlı ölgenin lnı kç irim kreir, ve eğriin rlığın ekseni ile sınırlığı ln kç irim kreir A isenior B inegrli lmk zor olcğınn, eğrinin ekseni ile sınırlığı lnn rrlnlım A - eğriin rlığın ekseni ile sınırlığı ölgenin lnı kç irim kreir A isenior B ingrli lmk zor olğnn, eğrinin ekseni ile sınırlığı lnı lp ikörgenin lnınn çıkrcğız A A eğriin rlığın ekseni erın önürülmeen olģn önel cismin cmi ; V [ ] ir eğriin rlığın ekseni erın önürülmesile olģn önel cismin cmi kç irim küpür V

44 GENEL TEKRAR onksionnn en geniģ nım kümei lnz TK = : = ve : =, [ ], onksion için ; ve nım kümei lnz TK =, [ = elirsizliği vr ; ise ; olğnn YOK elirsizliği vr için n n

45 cos cos coscos coscos cos ise ise cos cos cos için onksionnn [-,] rlığınki eksremm eğerlerini lnz ve kriik noklr minimm erel minimm mlk mksimm

46 eğiģimi glnırs ; elirsizliği vr ise

47 ve ise eğiģimi glnırs ; p ve k p k p k ersek p k p k p k p p k pk k p k p k p k p k ve p k p k olmlıır p k olmz Çünkü p k verilmiģ Ölese p k ır p k p p p k :R R, = ve += ise - eğeri kçır = için ; += = = =- için ; -+=- =- = - -= log log log log log oplmının eğeri kçır log log en log e kr m kısım, log en log e kr m kısım, log en log kr m kısım, log n log e kr m kısım, log en log e kr m kısım ve log en log e kr m kısım olğnn oplm : +++++= ır enkleminin pozii köklerini lnz ln ln ln ln ln ln ln ln ve Ç={,}

48 onksionnn en geniģ nım rlığı Ģğıkileren ngisiir = k, < -, A,] B [-, -, D R-{-,} E onksion sürekli ise k kçır A / B D - E - onksionnn nımlı olğ rlık ersi Ģğıkileren ngisiir A E B D eğeri kçır A B D E ok cos A ise D ve B E eğrilerinin ngi noklrınki eğeleri prlelir A = B = - = ln D E e ln ise e A B e e+ e e D e e- E e ise = A - B D - E onksionnn griği Ģğıkileren ngisi olilir + = eğriin, noksınki eğeinin enklemi Ģğıkileren ngisiir A =- B = + =-+ D =-+ E =-

49 eğeri neir A B D E ok,, ve sorlr için : =, =, = ve = ir ise A ln B ln D ln E eğeri neir A B D E ok o ise A B D E co eğeri neir A / B / / D E ok c ise c A B ln+ D ln+ E eğeri neir A B / D / E ok ise A - B D - E eğeri neir A B / D E ok log log log N log eģiliğine N sısının kç rklı sl çrpnı vrır A B D E eğeri neir A B / / D / E ok YANITLAR B B D D B B D B E B B A B D A D B A

50 = + ; ; = için; ; = için; ; > onksion in ngi eğerleri için sürekli eğilir ; - = + ; - < < cos = ; - ; < onksion += - ; R için sürekli ise = onksion için; YANITLAR: - / YOK - ve YOK / YOK YOK TANIMLI DEĞĠL YOK

51 k onksionnn erin olmsı için k ne olmlıır = + eğriin, noksınki eğeinin enklemini zınız cos e eğriin, noksınki eğeinin enklemini zınız eğriin, noksınn geçen eğeinin enklemini zınız e e ln eğeri neir in, için g= - onksionnn kriik noklrını lnz = - onksionnn [,] rlığınki eksremm noklrını lnz =- + onksionnn eğiģimini inceleiniz = cos onksionnn, rlığın eğiģimini inceleiniz =-ln onksionnn eğiģimini inceleiniz = - - onksionnn eğiģimini inceleiniz griğinin simpolrını lnz Çrpımlrı oln pozii iki sının oplmlrının en küçük eğeri kçır Bir eģkenr üçgen ile ir krenin çevrelerinin oplmı irimir B üzlemsel ölgelerin lnlrı oplmı en z kç irimkreir rcn

52 ÇÖZÜMLER: e e e e cos e cos e e cos cos cos = + eğriin, noksınki eğeinin enklemini zınız =, m = == -=-, --= cos e eğriin, noksınki eğeinin enklemini zınız =+e, m = =+e =+= -=-, -+= eğriin, noksınn geçen eğeinin enklemini zınız, m, noksınn geçiors ;, -=, =, +-= e e e ln eğeri neir cos in, için

53 ln ln ln ln ln = - onksionnn [,] rlığınki eksremm noklrını lnz Yerel mksimm ve minimm noklrın ürevi sıır olcğınn ; = -=, -= =, = kriik noklrır < için > < < için < < için > olğnn = erel mksimm, = erel minimm noklrıır, rcn k onksionnn erin olmsı için k ne olmlıır in erin olilmesi için ; ire-ir ve ören olmlıır ire-ir olmsı için ; im zln ve im rn olmsı gerekir Bnn içine ürevi in üm eğerleri için im negi ve im pozii olmlıır k cos cos olğnn k k ır k k olmlıır onksion nımlı olğ eğerler için örenir g= - onksionnn kriik noklrını lnz UYARI: B noklr nı zmn verilen rlık için mlk mksimm ve minimm eğerlerini verir =- + onksionnn eğiģimini inceleiniz = için =, eksenini kesiği nok - +=,, =, =- eksenini kesiği noklr = e eğe =-++- =-+= = ve =- kriik noklr < - için > ARTAN =- için -=, -= mksimm - < < için < AZALAN = için =, = minimm < için > ARTAN == = < için < konkv = için = önüm noksı X > için > konveks g = -+ = - Türevi sıır pn eğerler kriik noklrır g = -=, -= =, =, =,,-,- noklrı kriik noklrır

54 = cos onksionnn, rlığın eğiģimini inceleiniz =cos= = =,, = eksenini kesiği noklr =cos= = =,,,,,,,, kriik noklr griğinin simpolrını lnz -=, -+=, =, =- DüĢe simpolr = Eğik simpo Çrpımlrı oln pozii iki sının oplmlrının en küçük eğeri kçır Konkv Konveks Konkv Konveks =-= =,,, = önüm noklrı,, =-ln onksionnn eğiģimini inceleiniz, = kriik nok = = < için AZALAN VE erel MĠNĠMUM > için ARTAN, = =, = T=+=+ = T = T=+= + = Bir eģkenr üçgen ile ir krenin çevrelerinin oplmı irimir B üzlemsel ölgelerin lnlrı oplmı en z kç irimkreir +=, = T= T = = olmlıır = - - onksionnn eğiģimini inceleiniz = --= --=, +-=, =-, = =-=, =/ Dönüm noksı -=, -=-< Mksimm =, => Minimm