OLASILIK. Örnek: eleman sayısı: Örnek: Örnek: 4. Olay. dir.

Transkript

1 OLASILIK Olaılık Terimleri. Deney Bir madeni para atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini, bir zar atıldığında onucun ne olacağını, tepit etme işlemine deney denir.. Sonuç Bir deneyin her bir görüntüüne(çıktıına) onuç denir. Örneğin bir madeni paranın atılmaı deneyinde olaı onuçlar, yazı ile turadır. ( yazı: Y, tura: T ile göterilire) iki madeni paranın birlikte atılmaı deneyinde olaı onuçlar (Y,Y), (Y,T), (T,Y), (T,T) dır. Bir zarın atılmaı deneyinde olaı onuçlar,,,,, dır. Her onuç bir örnek nokta olarak adlandırılır. iki zarın birlikte atılmaı veya bir zarın art arda iki kez atılmaı deneyinde örnek uzayın eleman ayıı; E. dır. Bir madeni para atıldıktan onra ardından bir zar atılmaı veya bir zar atıldıktan onra ardından bir madeni para atılmaı ya da ikiinin birlikte atılmaı deneyinin örnek uzayı, Y,, Y,,..., Y,, T,,..., T, E olup örnek uzayın eleman ayıı: E. dir. ( Çarpma Kuralı). Örnek Uzay Bir deneyin bütün onuçlarını eleman kabul eden kümeye örnek uzay denir. Diğer bir ifadeyle örnek noktaların tamamını eleman kabul eden kümeye örnek uzay denir. Örnek uzay E ile göterilir. Örnek uzaya evrenel küme de denilir. Örnek uzayın her elemanına örnek nokta denir. Bir madeni paranın atılmaı deneyinde; onuçlar: Y (Yazı) ve T(Tura) Örnek uzay: Y,T E olup E dir. Bir madeni paranın iki kere havaya atılmaı veya iki madeni paranın birlikte havaya atılmaı deneyinde örnek uzay; E Y,Y, Y,T, T,Y, T,T olup E. tür. ( Çarpma Kuralı) Bir madeni paranın art arda n defa ( veya n tane madeni paranın aynı anda ) atılmaı deneyinde örnek n uzayın eleman ayıı E... dir. Bir zarın havaya atılmaı deneyinin örnek uzayı; E,,,,, olup E İçinde tane bilye bulunan bir torbadan, çekilen bilye torbaya geri atılarak, art arda iki kez birer bilye çekilmei deneyinin örnek uzayı, E b,b, b,b,..., b,b olup E. 9 dur. İçinde tane bilye bulunan bir torbadan aynı anda üç bilye çekilmei (veya çekilen bilye torbaya geri atılmadan art arda üç kez birer bilye çekilmei) deneyinin örnek uzayı, b,b,b, b,b,b,..., b,b,b E olup E. Olay dir. Bir Örnek uzayın her bir alt kümeine olay denir. Örneğin bir zar atıldığında ten küçük gelme olayı;, dir. İki madeni paranın birlikte atılmaı veya bir madeni paranın kez atılmaı deneyinde onuçların aynı gelmei olayı;,y, T,T Y dır.

2 . İmkanız Olay E örnek uzayı için boş olan her alt kümeye imkanız (olanakız) olay denir. Örneğin bir zar atılmaı deneyinde zarın üt yüzüne gelen ayının dan büyük olmaı olayı imkanız olaydır.. Kein Olay E örnek uzayının kendiine eşit olan her alt kümeine kein olay(mutlak) denir. Örneğin bir zar atılmaı deneyinde zarın üt yüzüne gelen ayının den küçük pozitif ayı olmaı olayı kein olaydır. Bir zarın atılmaı deneyinde, E,,,,, ve üt yüze gelen ayının; Aal ayı olmaı olayı: A ie A,, E olma olayı: B ie B E imkanız olaydır.. Ayrık Olaylar dir. olduğundan B olayı A ve B, E örnek uzayının iki olayı olun. Eğer ie A ve B olaylarına ayrık olaylar denir. A B φ Ayrık olayların aynı anda gerçekleşmei mümkün değildir. Örneğin bir zarın havaya atılmaı deneyinde üt yüze; tek ayı gelmei olayı A, çift ayı gelmei olayı B olun. A,, ve,, B olup A B olduğu için, A ve B olayları ayrık olaylardır. İki madeni paranın birlikte atılmaı veya bir madeni paranın iki kez atılmaı deneyinde üt yüzlere; en az bir tura gelmei olayı C, en az bir yazı gelmei olayı D olun. T,T, Y,T, T,Y C ve Y,Y, Y,T, T,Y D olup C D Y,T, T, Y olduğundan C ile D olayları ayrık olaylar değildirler. Bir kutuda bulunan 0 tane ampulden ü bozuk, i ağlamdır. Bu kutudan aynı anda iki ampul alınmaı deneyinde, eçilen iki ampulden en az birinin ağlam olmaı olayı A, eçilen iki ampulün de bozuk olmaı olayı B ie bu olayların ortak elemanı olmadığından ayrık olaylardır. Olaılık Fonkiyonu E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme K olun. 0, : K şeklinde tanımlanan fonkiyonuna olaılık fonkiyonu denir. A K ie A reel ayıına A olayının olaılığı adı verilir. fonkiyonu aşağıdaki koşulları ağlar.. Her A K için, 0 A dir. Yani E örnek uzayının her olayının olaılığı 0 ile araındadır.. Örnek uzayın (Evrenel kümenin) olaılığı, E dir.. İmkanız olayların olaılığı, 0 dır.. A K ve B K iki olay olun. Eğer bu olaylar ayrık olaylar ie yani A B ie A B A B dir. A B B olayının olaılığı denir. ye A veya Bir zar atıldığında üt yüze 9 gelmei olayı A ie A imkanız olay olduğundan A 0 dır. Bir zar atılmaı deneyinde zarın üt yüzüne gelen ayının den küçük pozitif ayı olmaı olayı B ie B olayı kein olay olduğundan B dir.

3 Özellik E örnek uzayında iki olay A ve B olun. A olayının tümleyeni A olmak üzere, A ie A B. B. A A dir. dir. Yani bir olayın olaılığı ile tümleyeninin olaılığı toplamı dir.. A B A B A B E örnek uzay olmak üzere, dir. A olduğuna göre A A A A olduğundan A A E dir. kaçtır? bulunur. Bir deney için A,B,C gibi ayrı onuç olaıdır. B ve B C olduğuna göre B A değerini bulalım. A,B,C ayrık olaylar olduğundan, A B C dir. A B A B 0 nin olup bu değer birinci eşitlikte yazılıra, A B C C C olup buradan bulunur. B C B C B ie 0 B bulunur E örnek uzayında A ve B iki olay olmak üzere, A, B ve A B olduğuna göre A B kaçtır? A B A B A B olduğundan A B bulunur. Eş Olumlu Örnek Uzay Sonlu bir e,e,e,..., E e n uzayı için e e e... e ie yani E örnek n uzayındaki her örnek noktanın olaılıkları eşit ie E örnek uzayına eş olumlu uzay denir. E eş olumlu örnek uzayı ve A E ie A olayının olaılığı, A A E dir. Bir zar havaya atılıyor. Üt yüze gelen ayının den büyük ayı olma olaılığını bulalım.

4 Bu deneyde örnek uzay E,,,,, olup E Üt yüze den büyük ayı gelme olayı A olun. Buna göre A,,, olup A tür. dır. Buna göre üt yüze gelen ayının den büyük ayı olma olaılığı, A A E tür. 999-ÖSS Bir düzgün dörtyüzlünün (üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yüzünde de T harfleri yazılıdır. Bu düzgün dörtyüzlü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, ıraına bakılmakızın A,T,A harflerinin görülme olaılığı kaçtır? Düzgün dörtyüzlünün yan yüzlerinde A,T,A harflerinin görülmei için yere gelen yüzü T harfinin olmaı gerekir. Yere gelen yüzün T harfi olmaı olayını A ile göterirek, E A, A,T,T olup E A T,T olup A A A E tür. dir. bulunur. Bir ınıfta 8 erkek öğrenci, kız öğrenci vardır. Bu ınıftan eçilen bir öğrencinin erkek olma olaılığını bulalım. Sınıfta 8 erkek öğrenci, kız öğrenci olduğu için örnek uzayın eleman ayıı, E 8 olur. Seçilen öğrencinin erkek olma olayı B olun. Buna göre B 8 dir. Bu durumda, B olayının olaılığı, B 8 B bulunur. E İki madeni para birlikte havaya atıldığında ütlere farklı yüzlerin gelme olaılığı kaçtır? Bu deneyin örnek uzayının eleman ayıı çarpma kuralına göre E. tür. İtenen olay A ie, A Y,T, T,Y olup A A A E bulunur. dir. Böylece Madeni bir para art arda iki kez havaya atıldığında üt yüze en az bir yazı gelme olaılığı kaçtır?. Bu deneyin örnek uzayının eleman ayıı çarpma kuralına göre E. tür. İtenen olay A ie, A Y,T, T,Y, Y,Y olup A tür. Böylece A A E. bulunur. En az bir yazı gelme olayı A ie, hiç yazı gelmeme olayı A olup, A T,T A dir. A E tür. A A olduğundan, A A bulunur.

5 Madeni bir para art arda kez atıldığında üçünün tura, ikiinin yazı gelme olaılığı kaçtır? dir. Örnek uzayın eleman ayıı E Üç yazı Y, Y, Y ve iki tura T,T gelme olayı Y,Y,Y,T,T nın ıralanışı kadardır. Tekrarlı permütayondan bu ıralanışın ayıı! 0 dur. İtenen olay A ie!.! A 0 olup A nın olaılığı A A 0 E olur. kız, erkek öğrencinin bulunduğu bir okul kafileinden ratgele öğrenci eçilire öğrencilerden birinin kız, diğerinin erkek olma olaılığı nedir? Toplam 0 öğrenci araından öğrenci eçilmei örnek uzay (E); kız, erkek öğrenciden bir kız, bir erkek öğrenci eçme olayı da A olun. Buna göre A A. 8 E bulunur. Bir çift zar havaya atılıyor. Zarların ütündeki ayıların aynı olma olaılığını bulalım. Bir zarın atılmaı deneyinde onuç vardır. Bunlar,,,,, dır. İki zar atıldığında ie onuç vardır. Çünkü; Ax A. görelim; dır. Bunu tabloda daha açık (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Zarların üt yüzüne gelen ayıların aynı olmaı olayı D ie,,,,,,,,,,,, D dır. D D E dır. İki zar birlikte havaya atılıyor. Üt yüzlere gelen ayıların toplamının olma olaılığını bulalım. İki zar atıldığından örnek uzayın eleman ayıı E. dır. Üt yüzlere gelen ayıların toplamının olmaı olayı A ie,,,,,,,,,,,, A olup A A E bulunur. Bir torbada aynı büyüklükte kırmızı, beyaz, yeşil kalem vardır. Ratgele alınan bir kalemin kırmızı veya beyaz olma olaılığı nedir? E k,..., k,b,..., b,y,..., y K k,k,k,k, B b,b,b,b,b ve K B olduğundan

6 K B K B K B 9 bulunur. Bir torbada aynı büyüklükte mavi, kırmızı ve yeşil bilye vardır. Ratgele alınan bir bilyenin mavi veya yeşil olma olaılığı nedir? Örnek uzay E olmak üzere, E m,..., m,k,..., k, y, y dir. Mavi gelme olayı A ie A m,m,m,m,m tir. Yeşil gelme olayı B ie, y, y B dir. A B, E 0, A ve B olduğuna göre, torbadan ratgele alınan bir bilyenin mavi veya yeşil gelme olaılığı, A B A B olur İki zar birlikte atılıyor. Üt yüzlere gelen ayıların toplamının den büyük olma olaılığı kaçtır? İki zarın atılmaı deneyinde çıktıların toplamını tablo ile göterelim, Tabloda üt yüze gelen ayıların toplamının den büyük olduğu kıımlar koyu yazılmıştır. Bu olaya K derek, K tir. Bu durumda K Uyarı K E bulunur. İki zarın birlikte atılmaı veya bir zarın art arda iki kez atılmaı deneyinde üt yüzlere gelen ayıların toplamı için; Toplamlar : Adet : şeklinde bir durum vardır. İki zar birlikte atılıyor. Üt yüzlere gelen ayıların toplamının en az 9 olmaı olaılığı kaçtır? İtenen olay A ie; A A E 8 bulunur. den 00 e kadar olan doğal ayılar araından eçilen bir ayının veya 8 ile tam bölünebilmei olaılığı kaçtır? den 00 e kadar olan doğal ayıların ayıı 00 olduğundan E 00 dür. Seçilen ayının ile bölünebilme olayı F olun. Buna göre, F,,,..,9 olup, F dır. Seçilen ayının 8 ile bölünebilme olayı G olun. Buna göre, G 8,,,..,9 olup G dir Bu durumda, hem ile hem de 8 ile bölünebilen doğal ayıların ( ile bölünebilen ayılar) kümei

7 F G,8,,9 olup F G tür. Buna göre den 00 e kadar olan doğal ayılar araından eçilen bir ayının veya 8 ile tam bölünebilmei olaılığı, F G F G F G olduğundan F G tir Bir torbada, arı ve pembe bilye vardır. Bu torbadan aynı anda üç bilye çekiliyor. Bilyelerin aynı renkli olma olaılığını bulunuz. 0 + = 0 bilye araından bilye 0 farklı şekilde eçilebileceğinden örnek uzayın eleman ayıı, E 0 dir. Çekilen bilyelerin aynı renkli olmaı olayına A diyelim. arı bilye araından arı bilye farklı şekilde eçilebilir. 8 + = 8 bilye araından bilye farklı şekilde eçilebileceğinden örnek uzayın eleman ayıı, E dir. Seçilenler araında en az birinin mavi olduğu olay M olun. Oluşabilecek bütün üçlü grupların ayıından, üçünün de yeşil olduğu grupların ayıı çıkarılıra en az bir mavi bilyenin olduğu üçlü grupların ayıı bulunur. 8 M Buna göre M olayının olaılığı, M M E bulunur. olur. Bir madeni para kez havaya atılıyor. yazı, tura gelme olaılığı kaçtır? Bu deneyde örnek uzayın eleman ayıı pembe bilye araından pembe bilye 0 şekilde eçilebilir. Toplama kuralı gereği A 0 olur. Buna göre itenen olayın olaılığı, A A E 0 olarak bulunur. farklı E tür. yazı ve tura gelme olayına C derek, C olayının eleman ayıı; Y,Y,Y,T,T,T nin farklı ıralanışlarının ayııdır. Buna göre,! C 0 olur.!.! mavi, yeşil bilye araından aynı anda bilye eçiliyor. Seçilenlerden en az birinin mavi olma olaılığı kaçtır? Bu durumda Bir madeni para kez havaya atıldığında yazı, tura gelme olaılığı, C C 0 E elde edilir.

8 baamaklı ayıının rakamlarının yerleri değiştirilerek yazılabilen baamaklı doğal ayılardan biri eçiliyor. Seçilen ayının çift ayı olma olaılığı kaçtır? baamaklı ayıının rakamlarının yerleri değiştirilerek,! 0 farklı doğal ayı yazılabildiği için bu deneyde!.! örnek uzayın eleman ayıı E 0 olur. Yazılabilen çift ayıların kümeine D derek,!. D 0 olur.!.! Buna göre eçilen ayının çift olma olaılığı, D D 0 E 0 bulunur. Bir gruptaki erkek ayıının kadın ayıına oranı tür. Erkeklerin % 0 i, kadınların % 0 u keman çalabilmektedir. Bu gruptan eçilen bir kişinin erkek veya keman çalabilme olaılığı nedir? Gruptaki kişi ayıı 00 alınıra, Erkek ayıı: 0, Keman çalabilen erkek ayıı: 8, Kadın ayıı: 0, Keman çalabilen kadın ayıı: 8, Keman çalabilen kişi ayıı toplamı: Buna göre, eçilen bir kişinin erkek veya keman çalabilme olaılığı, E K E K E K E K olur Yandaki şekil üzerinde eçilen üç noktanın üçgen oluşturma olaılığı nedir? Anne, baba, babaanne ve çocuktan oluşan bir aile yuvarlak bir maa etrafında oturacaktır. Babaannenin anne ile baba araında olma olaılığı nedir? Şekildeki noktadan nokta farklı şekilde eçilebildiğinden örnek uzayın eleman ayıı, E tir. Seçilen noktaların üçgen oluşturmaı olayına K derek, K olur. Buna göre K olayının olaılığı, K K E olur. kişilik bir aile yuvarlak maa etrafında,!! farklı şekilde oturabildiklerinden bu deneyin örnek uzayının eleman ayıı E! dir. Babaannenin anne ile baba araında bulunduğu olaya A derek, A!.! olur. Buna göre A olayının olaılığı, A A!.! E! olur. kız ve erkek öğrenciden ü por koluna, diğer ü kızılay koluna eçilecektir. Kolların her birinde en az bir kız öğrenci olma olaılığı kaçtır? 8

9 öğrenciden ü por koluna, geriye kalan öğrenciden ü kızılay koluna,. 0 farklı şekilde eçilebildiğinden örnek uzayın eleman ayıı, E 0 dir. Kollardan biri belirlenire diğer kol otomatik olarak belirlenmiş olacaktır. Her kolda en az bir kız olacağına göre, kollardan birine kız erkek veya kız erkek şeklinde olacaktır. Bir kola kız eçilemez çünkü diğer kola kız öğrenci eçilmemiş olur. Buna göre itenen şartlarda kollar, K oluşur. Bu durumda itenen olaılık, K K 8 9 E 0 0 olur. farklı şekilde B,,,,,, kümeinden eçilen iki farklı ayının toplamının çift ayı olma olaılığı kaçtır? ayı araında ayı E yolla, İki ayının toplamının çift ayı olmaı için ikiinin de tek veya ikiinin de çift olmaı gerekir. Bu olaya C derek, C 9 Buna göre C olayının olaılığı, C C 9 E bulunur. olur. Doktor ve hemşirelerden oluşan bir ağlık grubunun ı hemşiredir. Bu gruptan eçilen kişiden birinin hemşire diğerinin doktor olma olaılığı dir. Doktorların ayıı hemşirelerden fazla olduğu bilndiğine göre, gruptaki doktor ayıı kaçtır? Gruptaki doktor ayıı a olun. Buna göre gruptaki kişi ayıı a+ olup, örnek uzayın eleman ayıı, E a a. a. olur. Seçilenlerden birinin hemşire, diğerinin doktor olmaı olayına A derek, A Buna göre, A a.. a olur. A.a E a. a dir..a a. a a.a 0 0 olup bu denklemden a = 0 veya a = bulunur. Ancak a = olamaz. O halde doktor ayıı 0 dur. Sena ile Nedim in de aralarında bulunduğu bir öğrenci grubundan kişilik bir yarışma ekibi eçilecektir. Ekipte kız öğrenci ile erkek öğrenci olmaı itenmektedir. Grup erkek öğrenci ile 8 kız öğrenciden oluştuğuna göre, eçilecek ekipte Sena nın olmaı, Nedim in olmamaı olaılığı kaçtır? erkek öğrenciden erkek öğrenci ve 8 kız öğrenciden kız öğrenci, E farklı şekilde 9

10 eçilebildiğinden, E 88 olur. Sena nın eçildiği, Nedim in eçilmediği olaya B derek, B.. 0 Buna göre, B olayının olaılığı, B B 0 E 88 8 olur. olur.. Birincide (I) ayıdan herhangi biri; İkincide (II) birinciden gelenden farklı bir ayı (dolayııyla ayıdan i); Üçüncüde (III) ilk ikiinde de gelenden farklı bir ayı (dolayııyla ayıdan ü) gelmelidir. Buna göre, I,II,III I. II. III... olur. 9 Üç atışta da farklı ayı gelme olayına A diyelim. Buna göre, Bir torbanın içinde den 0 a kadar numaralandırılmış toplar vardır. Üzerinde yazan top ayıı, üzerinde yazan top ayıı, üzerinde yazan top ayıı,, üzerinde 0 yazan top ayıı 0 dur. Bu torbadan eçilen bir topun üzerindeki numaranın tek ayı olma olaılığını bulalım. A.. A.. E ÖYS olur. Top ayıı, = olup E tir. Tek ayı eçme olayı B ie, B 9 tir. Buna göre, B olayının olaılığı, B B E olur. Ardışık Denemeler (Deneyler) Bir deney art arda n defa ya da belirli n tane olayın art arda gerçekleşmeinden oluşuyora A, A,..., A. A... A n A n olur. Bir zar art arda üç kez atıldığında üçünün de farklı gelme olaılığını bulalım. Bir torbada tane mavi, tane yeşil mendil vardır. Bu torbadan geri atılmamak koşulu ile iki kez birer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birinciinde mavi, ikinciinde de yeşil mendil çekme olaılığı kaçtır? M, Y M. Y. dir. 98-ÖYS Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor. Zarın veya ten küçük ve paranın tura gelmei olaılığı nedir? Zarın veya ten küçük gelmei olayına A, aranın tura gelmei olayına B diyelim. A,B A. B. bulunur. 99-ÖYS Bir torbada beyaz, iyah bilye vardır. Bu torbadan ratgele çekilen bilyeden birinin beyaz, diğer ikiinin iyah olma olaılığı nedir? 0

11 . Torbadan aynı anda bilye çekme deneyinin onuçları ile çekilen bilye torbaya geri atılmadan art arda üç çekiliş yapma deneyinin onuçları aynıdır. O halde, ardışık üç çekiliş yapılmaı şeklinde düşünülüre; B,S,S.!!... tir. BSS 0 9 8! 0! Çekilen bilyeden birinin beyaz, diğer ikiinin iyah olmaı olayına A diyelim. Bir kişinin maçın onucunu doğru tahmin etme olaılığı kaçtır? Her bir maçın muhtemel onucu vardır. Maçlar birbirinden bağımız olduğu için maçın ünü de doğru tahmin etme olaılığı, M... dir. 8 A. A E 0 0 bulunur. yüzü mavi, yüzü pembe, yüzü turuncu olan bir zar art arda kez atılıyor. Zarın üt yüzüne.atışta mavi,. atışta turuncu gelme olaılığı kaçtır? Bağımız ve Bağımlı Olaylar A ve B aynı örnek uzaya ait iki olay olun. Bu olaylardan birinin elde edilmei diğerinin elde edilmeini etkilemiyora A ve B olaylarına bağımız olaylar denir. Eğer iki olay bağımız değil ie, bu olaylara bağımlı olaylar denir. Uyarı A ve B bağımız iki olay, A 0 ve B 0 A ve B nin gerçekleşme olaılığı A B A. B dir. A veya B nin gerçekleşme olaılığı A B A B A B dir. ie, Bir zarı havaya atalım. Üt yüze gelme olaılığı dır. İlk atılışta hangii gelire gelin, zarın ikinci kez havaya attığımızda üt yüze gelme olaılığı dır. Yani iki olay birbirini etkilememiştir. Buna göre bu iki olay bağımızdır. Her iki atışın onucu birbirini etkilemediğinden bu olaylar bağımız olaylardır. Birinci atışta zarın üt yüzüne mavi gelmei olayı A olun. Buna göre, A olur. Zarın ikinci atılışında üt yüze turuncu gelmei olayı B olun. Buna göre, B olur. A ve B olayları bağımız olaylar olduğundan, zarın üt yüzüne. atışta mavi,. atışta turuncu gelme olaılığı, A B A. B. bulunur. Engin in bir hedefi vurma olaılığı dır. Engin in bu hedefi en çok dört atışta vurma olaılığı nedir?

12 Engin in hedefi vuramama olaılığı dır. Engin in bu hedefi en çok dört vuruşta vurma olayı A olun. Bu durumda dört atışta da vuramama olayı A dır. A A A ie A... olur. Bir zar ve bir madeni para birlikte havaya atılıyor. Zarın ten büyük ve paranın tura gelme olaılığını bulunuz. Zarın ten büyük gelme olayı A ie, A tür. aranın tura gelme olayı B ie, B tür. A ve B olayları bağımız olduğundan A ve B nin meydana gelme olaılığı, A B A. B. bulunur. Bir ınıftaki öğrenciden 9 u erkektir. Bu ınıftan art arda iki öğrenci eçelim. İlk öğrencinin erkek olma olaılığı 9 dir. 8 İlk eçtiğimiz öğrenci erkek olun. Son durumda ınıfta 8 i erkek olmak üzere öğrenci kalmıştır. Bu ınıftan ikinci kez öğrenci eçtiğimizde erkek olma olaılığı 8 tür. İlk eçme işleminde eçilen öğrencinin erkek olma olaılığı olaılığın iken, ikinci eçme işleminde bu 8 8 olduğu görülmektedir. Buna göre yapılan eçme işleminde. olayın olaılığının. olayın onucuna bağlı olduğunu görüyoruz. Bu durumda, bu iki olay bağımlı olaylardır. Bir kutudaki bilyenin i mavi, ü yeşil, ü turuncudur. Bu kutudan geri bırakılmak koşulu ile art arda iki bilye çekiminde. bilye çekme olayı K, ikinci bilyeyi çekme olayı M olun. Bu durumda K olayının gerçekleşmei M yi etkilemediğinden K ve M olayları bağımız olaylardır. Bir kutudaki bilyenin i mavi, ü yeşil, ü turuncudur. Bu kutudan eçilen bir bilyenin mavi ve yeşil olma olaılığını bulalım. Seçilen bilyenin mavi olma olayı A, yeşil olma olayı B olun. İtenen iki olay aynı deneye ait olduklarından bağımız olmalarından öz edilemez. (Dolayııyla bağımız olaylarda kullandığımız A B A. B formülünü kullanamayız) A ve B ayrık olaylar olduğundan ortak elemanları yoktur. Yani aynı anda gerçekleşmeleri mümkün değildir. Buna göre, itenen olayın olaılığı, A B 0 dır. Bir oruyu; Tolga nın çözme olaılığı, Berkay ın çözme olaılığı dir. Bu iki olay birbirinden bağımız olduğuna göre, orunun çözülme olaılığı kaçtır? 8

13 T ve B 8 olarak veriliyor. Bu iki olay bağımız olduklarından ve oruyu ya Tolga veya Berkay çözeceğine göre T veya B olayının gerçekleşme olaılığı, A B A B A B A B. bulunur M anahtarının kapalı olma olayı C, n anahtarının kapalı olma olayı D ve p anahtarının kapalı olma olayı F olun. C D F olarak verilmiştir. A ile B noktaları araında akım olmaı için m anahtarı veya (n ve p) anahtarlarının kapalı olmaı gerekir.c,d ve F bağımız olay olduklarından dolayı A ile B noktaları araında akım olmaı olaılığı, C D F C D F C D F A ınıfında erkek, kız öğrenci; B ınıfında erkek, 8 kız öğrenci vardır. Aynı anda her iki ınıftan birer öğrenci eçiliyor. Seçilen öğrencilerin kız olma olaılığı nedir?... olur. A ınıfından bir kız öğrenci eçilmei olayı T; B ınıfından kız öğrenci eçilmei olayı Z olun. Buna göre, T olur. 9 İki kutudan birinciinde beyaz kırmızı, ikinciinde beyaz kırmızı bilye vardır. Birinciinden ratgele bir bilye çekiliyor ve ikinciine atılıyor. İkinci kutudan kırmızı bilye çekme olaılığı kaçtır? Z 8 olur. 0 T olayı ve Z olayı Bağımız olaylar olduklarından, T ve Z olayının birlikte gerçekleşme olaılığı, T Z T. Z. olur. 9 9 Şekildeki devrede m,n ve p anahtarlarının kapalı olma olaılıkları olduğuna göre, A ile B noktaları araında akım olma olaılığı kaçtır? Birinci durumda; Birinci kutudan ratgele bir bilye çekildiğinde, çekilen bilyenin beyaz gelme olaılığı olup bu beyaz bilyeyi ikinci kutuya attığımızda ikinci kutuda beyaz kırmızı bilye olur. Bu durumda ikinci kutudan kırmızı bilye çekme olaılığı tür. 8 İkinci durumda ie; Birinci kutudan ratgele bir bilye çekildiğinde, çekilen bilyenin kırmızı gelme olaılığı olup bu kırmızı bilyeyi

14 ikinci kutuya attığımızda ikinci kutuda beyaz kırmızı bilye olur. Bu durumda ikinci kutudan kırmızı bilye çekme olaılığı tür. 8 Çarpma ve toplama kuralına göre, A 9.. bulunur T Ş ie Ş T Ş T. Ş olup itenen durumun olaılığı,. olur. A kutuunda 0 ağlam, bozuk; B kutuunda 9 ağlam, bozuk limon vardır. Aynı anda her iki kutudan birer limon alınıyor. Alınan limonlardan birinin ağlam diğerinin bozuk olma olaılığı kaçtır? Her iki kutudan birer limon alma olayları birbirini etkilemediğinden bu olaylar bağımız olaylardır. Kutulardan ağlam limon alma olayı S, bozuk limon alma olayı B olun. İtenen durum; birinci kutudan ağlam, ikinci kutudan bozuk veya birinci kutudan bozuk, ikinci kutudan ağlam limon alma şeklindedir. Buna göre, itenen durumun olaılığı, S B B S S. B B. S S B B S tir. Bir atışta bir hedefi vurma olaılıkları; Taner in, Şener in tür. Taner ile Şener bu hedefe birer atış yapıyorlar. Buna göre, hedefi yalnızca Taner in vurma olaılığı nedir? Hedefi yalnızca Taner in vurmaı, Taner in vurup Şener in vurmamaı anlamına gelir. Ayrıca olaylar bağımızdır. Bir kutuda yeşil, mavi bilye vardır. Bu kutudan geri konulmak şartı ile art arda bilye çekiliyor. Buna göre çekilen bilyelerin aynı renkli olma olaılığı nedir? Çekilen bilyeler kutuya geri konulduğu için bu iki olay bağımızdır. İtenen durum ilk çekilen yeşil, ikinci çekilen yeşil veya ilk çekilen mavi, ikinci çekilen mavi şeklindedir. Buna göre itenen durumun olaılığı, Y Y M M.. tir. 9 Koşullu Olaılık A ile B, E örnek uzayında iki olay olun. B 0 olmak üzere; B olayının gerçekleşmiş olmaı halinde A olayının olaılığına, A olayının B olayına bağlı koşullu olaılığı veya kıaca A nın B koşullu olaılığı denir ve A / B ile göterilir. A B B A / B olur. Bir zar atılıyor. Üt yüze gelen ayının çift ayı olduğu bilindiğine göre aal ayı olma olaılığını bulunuz. Bu deneyde E örnek uzayının eleman ayıı E S dır. Üt yüze gelen ayının çift ayı gelme olayı B olun.

15 B,, olur. B B E dir. Üt yüze aal ayı gelme olayı A olun. A,, olur. Bu durumda A B dir A B E A B olup Üt yüze gelen ayının çift ayı olduğu bilindiğine göre aal ayı olma olaılığı, A B B A / B bulunur. Bir madeni para art arda kez atılıyor. Birinci atışın tura geldiği bilindiğine göre ikinci ve üçüncü atışta yazı gelme olaılığı kaçtır? Bu deneyde örnek uzay SE 8 Birinci atışta tura gelme olayı B ie, B B T,Y,Y, T,Y,T, T,T,Y, T,T,T B E 8 dir. elemanlıdır. İkinci ve üçüncü atışta yazı gelme olayı A ie T,Y,Y, Y,Y,Y A olur. A B T,Y,Y olup, A B E 8 A B dir. Buna göre, Birinci atışın tura geldiği bilindiğine göre ikinci ve üçüncü atışta yazı gelme olaılığı A B 8 B 8 A / B bulunur.. aralardan birinin tura geldiği bilindiğine göre örnek uzay, E T T,Y,Y, T,Y,T, T,T,Y, T,T,T eçilire, itenen olay tura gelen ikililerden ikinci bileşeni ve üçüncü bileşeni yazı olan, A T, Y, Y olacaktır. O halde itenen olayın olaılığı, T A T A T E bulunur. T Bir zar atılıyor. Üt yüze gelen ayının tek ayı olduğu bilindiğine göre aal ayı olma olaılığını bulunuz.. Bu deneyde E örnek uzayının eleman ayıı SE dır. Üt yüze gelen ayının tek ayı gelme olayı T olun. T,, olur. T T E dir. Aal ayı gelme olayı A olun. A,, olup Bu durumda A B, dir A T E A T tür. Üt yüze gelen ayının tek ayı olduğu bilindiğine göre aal ayı olma olaılığı,

16 A / T. A T T bulunur. Üt yüze gelen ayının tek ayı olduğu bilindiğine göre örnek uzay E,, eçilire, itenen olay T, A olur. Buna göre T A T Uyarı A T E bulunur. T A ile B, eş olumlu E örnek uzayında iki olay olmak üzere A nın B koşullu olaılığı ( B 0 A B B A / B dir. ) Bir ınıfta 0 kız, 0 erkek öğrenci vardır. Kızların i, erkeklerin 0 u matematik derinden başarıızdır. Bu ınıftan eçilen bir öğrencinin matematikten başarıız olduğu bilindiğine göre, erkek öğrenci olma olaılığı nedir? Erkek öğrencilerin kümei A ie, A 0 Matematikten başarıız olanların kümei B ie, B 0 Hem erkek hem de matematikten başarıız olan öğrencilerin ayıı, A B 0 dur. İtenen olayın olaılığı, A B 0 B A / B bulunur. Bir ınıftaki öğrencilerin % 0 ı kız öğrencidir. Kız öğrencilerin % 0 i, erkek öğrencilerin de % 0 ı matematik derinden başarılı olmuştur. Sınıftan ratgele eçilen bir erkek öğrencinin matematikten başarılı olma olaılığı kaçtır? Başarılı Kız : 0 0 Erkek : Başarıız Seçilen öğrenci erkek olduğundan SE 0 S B E olduğundan, B E E 0 B / E bulunur. Bir torbadaki 0 bilyeden i arı, ü kırmızı, i pembedir. Bu torbadan aynı anda bilye eçiliyor. Seçilen bilyelerin ikiinin de farklı renk olduğu bilindiğine göre, birinin pembe diğerinin kırmızı olma olaılığı kaçtır? Seçilen iki bilyenin farklı renk olmaı olayı B olun. B Seçilen iki bilyeden birinin pembe diğerinin kırmızı olmaı olayı A olun. A.. dır. A kümeini oluşturan elemanlar aynı zamanda B kümeinin de elemanı olduğundan, A B dır.

17 Buna göre eçilen bilyelerin ikiinin de farklı renk olduğu bilindiğine göre, birinin pembe diğerinin kırmızı olma olaılığı, A B B A / B bulunur. İki kutudan birinciinde beyaz iyah, ikinciinde beyaz iyah top vardır. Birinci kutudan top çekiliyor ve ikinci kutuya atılıyor. İkinci kutudan çekilen top iyah olduğuna göre, birinci kutudan çekilen topun beyaz olma olaılığı kaçtır? % 0 u, B makineinde üretilen ürünlerin % i bozuk çıkmaktadır. Seçilen bir ürünün bozuk olduğu bilindiğine göre B makineinde üretilme olaılığı kaçtır? Bozuk ürün A makineinde veya B makineinde üretilmiştir. Seçilen ürünün bozuk olmaı olayı C ie, C A C B C olup C A. C / A B. C / A C dür Buna göre eçilen bir ürün bozuk olduğu bilindiğine göre B makineinde üretilme olaılığı, B / C 0. B C C dir. 00 AATYA kelimeinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilen harfli kelimelerden biri eçiliyor. Seçilen kelimenin harfi ile başladığı bilindiğine göre, A harflerinin yan yana olmaı olaılığı kaçtır? İkinci kutudan çekilen topun iyah olduğuna göre, birinci kutudan çekilen topun beyaz olma olaılığı itenmektedir. Yukarıdaki ağaç diyagramından görüldüğü gibi uygun onuç işaretlenmiş olup ikinci kutudan çekilenlerin iyah olmaı ie olabilecek tüm iyah durumlardır. Buna göre itenen durumun olaılığı, A. bulunur... 8 Bir fabrikadaki ürünlerin % 0 ı A makineinde, % 0 ı B makineinde üretilmektedir. A makineinde üretilen ürünlerin Seçilen kelimenin harfi ile başlamaı olayı C olun,.!. C 0 olur.!.! A harflerinin yan yana olmaı olayı D olun. Buna göre ilk harfi olup A harflerinin yan yana olduğu durum ayıı,.!.! C D olur. Buna göre, itenen olaılık!.! C D C 0 D / C elde edilir.

18 İki kutudan birinciinde yeşil, arı; ikinciinde yeşil arı top vardır. Bir zar atılıyor. Zarın üt yüzüne gelen ayı den büyük ie. kutudan, aki taktirde. kutudan bilye çekiliyor. Bu işlemin onucunda çekilen topun arı geldiği bilindiğine göre. kutudan çekilmiş olma olaılığı kaçtır? Çekilen topun arı olmaı olayına S diyelim. Sarı top. kutudan veya. kutudan çekilebilir.. kutudan arı top çekilmei olayına A,. kutudan arı top çekilmei olayına B derek, S A S B S S A. S / A B. S / B S 9.. olur. Buna göre, çekilen arı topun. kutudan çekilme olaılığı, A / S. A S 0 S olur. Sonuz Örnek Uzay E örnek uzayı ayılamayacak çoklukta örnek noktalardan (uzunluk, alan, hacim gibi geometrik ölçümler) meydana geliyora onuz örnek uzay adını alır. A olayı E örnek uzayında bir olay olun. A olayının olaılığı, A A' nıı ölçüü olur. E' nin ölçüü,9 kapalı aralığından eçilen bir noktanın, aralığında olma olaılığı, A - olur. 9 - kapalı Bir kenarı birim olan kare şeklindeki bir levha üzerinden eçilen bir noktanın, levhanın ağırlık merkezine olan uzaklığının en az birim olma olaılığı kaçtır? Yukarıdaki şekilde itenen noktalar taralı alanla göterilmiştir. Bu noktalar yarıçapı birim olan daire diliminin dışında bulunur. İtenen olaya A diyelim. Burada örnek uzay bir kenarı birim olan levhanın üzerindeki bütün noktalardır. Buna göre A olayının olaılığı, A A' nıı alanı. tür. E' nin alanı Boyutları birim ve birim olan dikdörtgen şeklindeki bir levha üzerinde ratgele işaretlenen bir noktanın, levhanın köşelerinden en çok birim uzakta olma olaılığı nedir? Levhanın köşelerinden en çok birim uzakta olan noktaların oluşturduğu bölge şekilde dört tane çeyrek daire dilimlerini oluşturur. Örnek uzay da dikdörtgen şeklindeki levhanın üzerindeki bütün noktalardır. Buna göre, Alan(E) Alan (A.. B C D). İtenen olay K ie, K nın olaılığı, K dır. 8

19 Çözümlü Sorular ) E örnek uzay olmak üzere E A B C dir. A,B ve C kümeleri ayrıktır. olduğuna göre A, B C kaçtır? A,B,C ayrık kümeler ve E A B C olduğundan, A B C Bu eşitlikte C dir. A ve B bulunur. 0 yazılıra; ) Bir torbada den 0 a kadar numaralandırılmış 0 tane top vardır. Bu torbadan ratgele eçilen bir topun üzerindeki numaranın nin veya ün tam katı olma olaılığı kaçtır? Örnek uzay; E,,,...,0 nin katı olan onuçlar; A,,,8,0 ün katı olan onuçlar; B,9 Buna göre, A B dir. Bu durumda A B A B A B A B bulunur ) Bir zar art arda iki kez havaya atılıyor. İkinci atışta üt yüze gelen ayının, birinci atışta gelen ayıdan büyük olma olaılığı kaçtır? (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) İkinci atışta üt yüze gelen ayının, birinci atışta gelen ayıdan büyük olma olayı M ie, tablodan koyu yazılmış kıımlardan görüleceği gibi M tir. Buna göre, M M E dir. ) evli çift araından eçilen iki kişinin karı-koca olma olaılığı kaçtır? kişi araından kişi; farklı şekilde eçilebilir. evli çift olduğundan, eçilen kişinin karı-koca olma olaılığı: dir. ) bay ve bayanın bulunduğu bir topluluktan ratgele eçilen kişiden en az ikiinin bay olma olaılığı kaçtır? 9 bay ve bayan araından kişi; 8 farklı şekilde eçilebildiğinden örnek uzayın eleman ayıı E 8 olur. En az ikii bay olan kişilik bir grup;. 0 farklı şekilde eçilebilir. Buna göre itenen olayın olaığı, 0 olur. 8 9

20 ) Ali nin de aralarında bulunduğu 8 kişiden ratgele eçilen kişi araında Ali nin bulunma ihtimali kaçtır? 8 8 kişiden kişi; farklı şekilde eçilebildiğinden örnek uzayın eleman ayıı E olur. Seçilecek kişilik grupta Ali mutlaka bulunacağı için kişiden Ali dışında kişi daha; farklı şekilde eçilebilir. Buna göre itenen olayın olaılığı, olur. 8 ) A 0,,,,, kümeindeki rakamlar kullanılarak oluşturulabilen, rakamları farklı baamaklı doğal ayılar birer karta yazılıp bir torbaya atılıyor. Bu torbadan ratgele alınan bir kartın üzerindeki ayının tek ayı olma olaılığı kaçtır? A 0,,,,, kümeindeki rakamlar kullanılarak rakamları farklı baamaklı;.. 00 tane doğal ayı yazılabildiğinden örnek uzayın eleman ayıı E 00 dür. Bu torbadan ratgele alınan bir kartın üzerindeki ayının tek ayı olmaı olayı B ie,..= 8 farklı baamaklı tek doğal ayı yazılabileceğinden, B 8 dir. Buna göre itenen durumun olaılığı, B B 8 E 00 olur. 8) kişilik bir kurul yuvarlak maada ratgele oturuyor. Başkan ve başkan yardımcıının yan yana oturma olaılığı kaçtır?!! 0 farlı şekilde oturabileceği için E 0 dir. Başkan ve başkan yardımcıının yan yana oturma olayı A ie, A!.! 0 A tır. A 0 E 0 bulunur. 9) Bir torbada yeşil, mavi, kırmızı bilye vardır. Bu torbadan, çekilen bilye geri bırakılmamak şartı ile bilye çekiliyor.. çekilişte mavi,. ve. çekilişte aynı renkte bilye gelme olaılığı kaçtır?. çekilişte mavi,. ve. çekilişte aynı renkte bilye gelme olaılığı için durum vardır..durum:. mavi,. yeşil,. yeşil olma olaılığı;.. dır. 9 8.Durum:. mavi,. mavi,. mavi olma olaılığı; dır 9 8..Durum:. mavi,. kırmızı,. kırmızı olma olaılığı; 0.. dır 9 8 Buna göre itenen durumun olaılığı, 0 0 bulunur. 0) Bir torbada mavi, kırmızı, beyaz bilye vardır. Bu torbadan çekilen iki bilyenin farklı renkte olma olaılığı kaçtır? kişilik bir kurul yuvarlak maada; 0

21 bilyeden bilye; farklı şekilde eçilebildiğinden örnek uzayın eleman ayıı; E tir. Çekilen iki bilyenin farklı renkte olma olayı A olun. Çekilen iki bilyenin farklı renkte ie. bilye mavi,. bilye kırmızı veya. bilye mavi,. bilye beyaz veya. bilye kırmızı,. bilye beyaz renkte olmak üzere üç durum öz konuudur. Buna göre, A... 8 A A 8 E bulunur. olup, ) madeni para havaya atıldığında, en çok dördünün yazı gelme olaılığı kaçtır? madeni para havaya atıldığında örnek uzayın eleman ayıı; E dir. En çok dördünün yazı gelmei olayı A ie, beşinin de yazı gelmei olayı A olup, A A E dir. A A A olduğundan dolayı, A bulunur. ) A,B,C,D,E,F noktaları bir çemberin üzerindedir. Köşeleri bu noktalar olan üçgenlerden biri eçilire bu üçgenin bir köşeinin A olma olaılığı kaçtır? Köşeleri A,B,C,D,E,F noktaları üzerinde olan 0 farklı üçgen çizilebildiğinden örnek uzayın eleman ayıı; E 0 dir. Üçgenin bir köşei A olacak ie geriye kalan köşe B,C,D,E,F noktalarından eçilmelidir. Bu olaya K derek, K 0 K K 0 E 0 olup, itenen olaılık, bulunur. ) Bir ınıfta eşit ayıda erkek ve kız öğrenci vardır. Bu ınıftan art arda iki öğrenci eçiliyor. Seçilen iki öğrencinin de erkek olma olaılığı dır. Buna göre başlangıçta ınıfta kaç öğrenci vardır? Sınıfta n tane erkek öğrenci, n tane kız öğrenci olun. Bu ınıftan eçilen bir öğrencinin erkek olma olaılığı, n dir. n Sınıfta geriye kalan n tane öğrenciden n tanei erkek olup ınıftan eçilecek ikinci öğrencinin de erkek olma olaılığı, n dir. n Bu durumda art arda eçilen iki öğrencinin ikiinin de erkek olma ihtimali, n. n n olup, n n bulunur. Sınıf mevcudu; n tür. ) BEREKET kelimeindeki harfleri kullanarak yazılabilen harfli anlamlı veya anlamız kelimeler kağıtlara yazılıp bir torbaya bırakılıyor. Bu torbadan bir kağıt çekiliyor. Çekilen kağıttaki kelimenin E ile başlayıp E ile bitmei olaılığı kaçtır?

22 BEREKET kelimeindeki harfleri kullanarak yazılabilen harfli,! 80 farklı kelime yazılabildiğinden bu deneyde örnek! uzayın eleman ayıı E 80 tır. E ile başlayıp E ile biten kelimelerin kümeine A derek,.!. A 0 olur.! Buna göre eçilen kelimenin E ile başlayıp E ile bitmei olaılığı, A A 0 E 80 bulunur. ) Hileli bir paranın tura gelme olaılığı, yazı gelme olaılığı tür. Bu para kez atıldığında tura, yazı gelme ihtimali kaçtır? Üç tura (T,T,T) ve yazı (Y) gelme olayı Y,T,T,T nın ıralanışı kadardır. Tekrarlı permütayondan bu ıralanışın ayıı,! tür.! ara atışları bağımız olaylar olduklarına göre, kez atılan hileli paranın üt yüzünde tura, yazı gelme olaılığı çarpma kuralına göre,.... olur. 8 ) A torbaında mavi, kırmızı, B torbaında mavi, kırmızı bilye vardır. Bu torbaların birii eçiliyor. Seçilen bu torbadan çekilen bir bilyenin kırmızı olma olaılığı kaçtır? Çekilen bilye A torbaından veya B torbaından çekilmiştir. Buna göre,.. dir. 8 8 ) A epetinde bozuk ve ağlam, B epetinde bozuk ve ağlam yumurta vardır. Bu iki epetten şer tane yumurta ratgele alınıyor. Alınan yumurtaların ünün de ağlam olma olaılığı kaçtır? A epetinden ratgele alınan iki yumurtanın ikiinin de ağlam olma olayı A ie, A 0 olur. B epetinden ratgele alınan iki yumurtanın ikiinin de ağlam olma olayı B ie, B 0 olur. A ve B olayları bağımız olduğundan, çekilen yumurtaların hepinin ağlam olma olaılıkları, A B A. B. bulunur. 8),,,,,, kümeinin alt kümelerinden biri eçiliyor. Seçilen kümede in en büyük eleman olma olaılığı kaçtır?,,,,,, kümeinin alt kümeleri ayıı, 8 olduğundan örnek uzayın eleman ayıı 8 olur.

23 in en büyük eleman olduğu alt kümelerde ile bulunmaz. in en büyük olduğu alt kümeler;,, ve ile oluşturulabilecek tüm alt kümelere in eleman olarak eklenmeiyle elde edilebilir. Buna göre, in en büyük olduğu alt kümelerin ayıı, dır. Bu durumda, eçilen alt kümede in en büyük eleman olma olaılığı, dir ) Bir çift zar birlikte havaya atılıyor. Birinin geldiği bilindiğine göre, üt yüzlere gelen ayıların toplamının olma olaılığı kaçtır? Zarın üt yüzeyinden birinin geldiği olay B ie, B,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, B dir. Üt yüze gelen ayıların toplamının olma olayı A ie, A B,,, olup A B Buna göre, A B B A / B bulunur. dir. 0) Yarıçapı birim olan bir dairenin içinden eçilen bir noktanın merkeze olan uzaklığının en az birim olma olaılığı kaçtır? İtenen noktaların kümei taralı olarak göterilmiştir. Bu noktalar yarıçapı birim olan dairenin dışı ile yarıçapı birim olan dairenin içidir. Burada yarıçapı birim olan daire örnek uzay, yarı çapı birimden büyük olan halkanın alanı A olun. A.. 8 dur.. 9 8, 9 ) M ve N, E örnek uzayının iki olayıdır. M N M kaçtır? N, M olduğuna göre N M N M N M N M N N N 9 8 M N 9 N N bulunur ) A,,,,,,,8,9 kümeinden eçilen iki rakamın toplamının tek ayı olma olaılığı nedir? İki rakamın toplamının tek ayı olmaı için; biriinin tek, diğerinin çift olmaı gerekir. Buna göre, T,Ç. 9. bulunur ) madeni para atılıyor. Bunlardan en az ünün yazı gelme olaılığı kaçtır? Y,Y,Y,Y,T Y,Y,Y,Y,Y iteniyor.

24 Y,Y,Y,Y,T Y,Y,Y,Y,Y!!.. bulunur.!! ) Bir zarın aal ayı olan yüzleri beyaz, diğer yüzleri arı renklidir. Bu zar bir kez atılıyor. Zarın üt yüzüne gelen ayının tek ayı veya arı renkli olma olaılığı kaçtır? T S T S T S T S bulunur. (Sarıya boyanan yüzler:,, Bunlardan tek ayı olan: ) ) Bir torbada beyaz, arı, kırmızı toplardan er tane vardır. Aynı anda çekilen üç topun en az ikiinin aynı renkte olma olaılığı kaçtır? En az ikiinin aynı renkte olma olayına A denilire, üçünün de aynı renkte olma olayı A olur. A A A A A olup 9...! bulunur ) Bir torbada den e kadar numaralandırılmış tane fiş bulunmaktadır. Torbadan ratgele çekilen bir fişin üzerindeki numaranın aal veya ün katı olma olaılığı kaçtır? Çekilen ayının aal olma olayı a, ün katı olma olayı da B olun. A,,,,,, B,,9,, olup, A B Olaylar ayrık değil Buna göre, A B A B A B tir. 0 A B bulunur. ) İki zar ile iki madeni para birlikte atılıyor. araların farklı veya zarların üt yüzüne gelen ayıların toplamının 9 dan büyük olma ihtimali kaçtır? araların farklı gelmei olayı A, zarların üt yüzüne gelen ayıların toplamının 9 dan büyük olma olayı B olun. A Y,T, T,Y ie A B Adet : B 0,, ie Olaylar ayrık olup, dir. A B A B A. B A B. dir. 8) Bir filede elma, armut ve portakal vardır. Bu fileden, alınan meyve tekrar fileye konmadan arka arkaya ratgele meyve alınıyor. İlk alınan meyvenin armut, diğerlerinden birinin elma, birinin portakal olma olaılığı kaçtır? Armut,Elma,ortakal veya Armut, ortakal,elma olma olaılığı,...! dir. 0 9) kişilik bir öğrenci grubundan kişi matematik derinden geçmiştir. Bu öğrencilerden arka arkaya öğrenci çağırılıra adece üçüncü öğrencinin matematikten geçmiş olma olaılığı kaçtır?

25 Matematikten geçmiş olma olayı M, geçmemiş olma olayı M olun. O halde, M,M,M.. tir. 0) Bir para ve bir zar birlikte atılıyor. aranın tura ve zarın ten büyük gelme olaılığı kaçtır? aranın tura gelme olaılığı; T dir. Zarın ten büyük ( veya ) gelme olaılığı; B tür. aranın tura ve zarın ten büyük gelme olaılığı; T B T. B. bulunur. ) Bir torbada kırmızı, mavi top vardır. Bu torbadan arka arkaya tekrar torbaya konmamak şartı ile top çekiliyor. Çekilen toplardan en az ikiinin mavi renkli olma olaılığı kaçtır? MMM M veya MMMM veya MMMM olayının olaılığı;. 0. bulunur. ) n, ten büyük bir doğal ayıdır. Bir torbada den n e kadar olan tüm doğal ayıların yazılı olduğu n tane kart vardır. Torbadan geriye atılmakızın art arda çekilen iki kartın ütündeki ayılardan ikinciinin birinciden büyük olma olaılığı nedir? İtenilen durumlar:.kart iken.kart olabilir;,.kart iken.kart veya olabilir;,,,.kart iken.kart veya veya olabilir;,,,,,...kart n iken.kart,,,,n-olabilir;,n,,n,,n,..., n,n O halde itenen durumun olaılığı; n n n. n n n bulunur. ) A torbaında beyaz, kırmızı, B torbaında beyaz, kırmızı top vardır. Bir zar atılıyor. Zarın üt yüzüne gelen ayı ten küçüke A torbaından, değil ie B torbaından bir top çekiliyor. Buna göre çekilen topun beyaz olma olaılığı kaçtır? 0.. bulunur. ) Düzgün bir para üç defa atılıyor. İki defa yazı, bir defa tura gelme olaılığı kaçtır? İtenen durum YYT şeklinde olup olaılığı,!!... dir. YYT! 8! ) Bir torbada mavi, kırmızı top vardır. Bu torbadan çekilen bir topun yerine iyah bir top konmaktadır. eş peşe iki top çekildiğinde iki topun da farklı renkte olma olaılığı kaçtır? İtenilen durum MM veya KK şeklindedir

26 .. olur ) Sadece mavi ve kırmızı bilyelerin bulunduğu bir kavanozdaki mavi bilyelerin ayıının, kırmızı bilyelerin ayıına oranı tür. Bu kavanozdan aynı anda ve ratgele iki bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin aynı renkte olma olaılığı bilye vardır. olduğuna göre, bu kavanozda kaç Mavi bilyelerin ayıına x denilire, kırmızı bilyelerin ayıı x olur. Torbadan çekilen iki bilyenin aynı renkte olma olaılığı göre, ie, farklı renkte olma olaılığı x MK!.. x 8 x bulunur. x x Kavanozdaki bilye ayıı: x =.= 0 dur. 8 tir. Buna ) A 0,,,,,, kümeinin elemanları ile yazılabilen rakamları farklı baamaklı ayılardan biri eçiliyor. Seçilen ayının ile tam bölünmeyen bir ayı olma olaılığı kaçtır? A 0,,,,,, rakamları ile yazılabilen rakamları farklı baamaklı ayılar;.(,)=.. = 80 tanedir A 0,,,,,, rakamları ile yazılabilen rakamları farklı baamaklı ile bölünemeyen ayıların ayıı;.. = tanedir. Buna göre iatenilen olayın olaılığı;.. dır... 8) Bir zar defa atılıyor. Sadece iki defa gelme olaılığı kaçtır? olma olayı A, gelmeme olayı A olun. Buna göre;! AAA AA..... dir.!.! 888 9) Bir torbada beyaz, iyah top vardır. Torbadan bir top çekilmekte, beyaz ie torbaya geri konmakta, iyah ie çekilen topla, iyah top daha torbaya konmaktadır. Daha onra bir top çekiliyor. Bu topun beyaz olma olaılığı kaçtır? BB veya BB 0.. bulunur ) Şekildeki gibi bir labirentte kullandığı yolu bir daha kullanmamak koşulu ile A kapıından giren bir çocuğun E kapıından çıkma olaılığı kaçtır? A dan girip E den çıkacaka, A-F-E veya A-B-C-D-E yollarını kullanmaı gerekir dir. ) Bir atıcının bir atışta hedefi vurma olaılığı tür. Atıcının bu hedefi en çok üç atışta vurma olaılığı kaçtır? En çok üç atışta vurma olayına A denilire, üç atışta da vuramama olayı A olur. Buna göre,

27 A A.. dir. ) Bir madeni para art arda beş kez atıldığında iki kez yazı, üç kez tura geldiği bilindiğine göre, ilk ve on atışta tura gelme olaılığı kaçtır? Bir madeni para art arda beş kez atıldığında iki kez yazı, üç kez tura geldiği durumların ayıı ( örnek uzayın eleman ayıı), YYTTT! 0 ve!.! İlk ve on atışta tura geldiği durumların ayıı (itenilen olayın eleman ayıı), ) kız, erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan bir voleybol takımı yapılacaktır. Bu takımda eşit ayıda kız ve erkek öğrenci bulunacağına göre, kızlardan Ayşe nin olmaı, erkeklerden Can ın olmamaı olaılığı kaçtır? kız, erkek olma koşulu ile. 00 farklı takım kurulabilir Bu koşula göre, kız öğrencilerden Ayşe nin olmadığı, erkek öğrencilerden Can ın olmadığı,. 0 farklı takım kurulabilir.! TTYYT tür.! İtenilen durumun olaılığı; 0 O halde itenen olayın olaılığı, 0 bulunur. 00 ) Bir torbada kırmızı, iyah, beyaz, mavi top vardır. Bu torbadan arka arkaya, yerine konmakızın top çekiliyor. Buna göre çekilen topların farklı renklerde olma olaılıkları kaçtır? KONU BİTMİŞTİR Torbadan üç çekiliş yapılacak ve torbadaki farklı renkteki topların adetleri aynı olduğundan,. çekilişte; ratgele bir renk gelme ihtimali kein ihtimal olduğundan olaılığı dir.. çekilişte; ilk çekilen topun rengine göre farklı renkte top ayıı 9 tane olduğundan bunun çekilme olaılığı; 9 dir.. çekilişte;. ve. çekilişe göre farklı renkte top ayıı dır. Bunun çekilme olaılığı; dır. 0 Çarpma kuralı gereği bu olaılığın gerçekleşme olaılığı; 9.. tir. 0