1. SAYI CİSİMLERİ SÜREKLİ KESRİN UYGULAMALARI ELİPTİK EĞRİLER...88

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİİMERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK İSANS TEZİ CEBİRSE SAYIAR TEORİSİNDEN BAZI AGORİTMAAR Züleyh MUTU MATEMATİK ANABİİM DAI ANKARA 5 He hı slıdı

2 İÇİNDEKİER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii SAYI CİSİMERİ Giiş Temel Kvml 6 3 Cismi İdellei ve Sııf Syısı 9 4 Kudti Syı Cisimlei 3 5 Kudti Syı Cismii Biim Gubu 6 6 Temel Biimle 6 7 Kudti Foml 8 8 Kudti Fomlı Deliği 9 9 İdelle ve Kudti Foml Asıdi İlişi 3 İdigemiş Foml 36 SÜREKİ KESRİN UYGUAMAARI 44 Solu Süeli Kesile 44 Sosuz Süeli Kesile 5 3 Peiyodi Kesile 57 4 Pell Delemi 6 5 x dy Delemi 74 6 x dy N Delemi 78 7 Süeli Kesile Ydımıyl Çl Ayım 83 7 egede çl yım metodu 84 3 EİPTİK EĞRİER 88 3 Eliti Eğilee Giiş 88 3 Pojetif Uzyl Eliti Eğile Üzeide Tolm 9 34 Asl Modüle Göe Eliti Eğile Eliti Eği Üzeidei Rsyoel Notl Eliti Eği Çl Ayım Metodu 8 KAYNAKAR4

3 ÖZET Yüse iss Tezi CEBİRSE SAYIAR TEORİSİNDEN BAZI AGORİTMAAR Züleyh MUTU A Üivesitesi Fe Bilimlei Estitüsü Mtemti Abilim Dlı Dışm: Pof D Ali Bület EKİN Bu tezde öcelile eel ve imjie udti syı cisimleide sııf syısıı hesbı içi bi lgoitm veilmişti Tmsyıldi itmeti işlemle ullıl olyc soul bzı soul uygu bi udti syı cismie it cebisel tmsyıl hlsı ullıl çözülü Cebisel tmsyıl hlsıdi yı ou Te Tülü Asl Çlı yılbili Bölge olmsıdı Kudti bi cisme it bi cebisel tmsyıl hlsıı Te Tülü Asl Çlı yılbili Bölge olu olmdığı it olduğu cismi sııf syısı bıl lşılı Kudti cisme it bi cebisel tmsyıl hlsıı tesleebili elemlıı bulm d öemlidi Bu çlışmd udti bi cebisel tmsyıl hlsıı tüm tesleebili elemlıı belilemesii sğly temel biimi hesbı d veilmişti Tezde yıc eliti eğile ullıl bi sllı testi ve büyü syılı çl yımy yy bi lgoitm veilmişti 5 4 syf ANAHTAR KEİMEER: Syı cismi sııf syısı temel biim süeli esile eliti eğile i

4 ABSTRACT Mste Thesis SOME AGORİTHMS FROM AGEBRAIC NUMBER THEORY Züleyh Mutlu A Üivesitesi Gdute School of Ntul d Alied Scieces Detmet of Mthemtics Sueviso: Pof D Ali Bület EKİN I this thesis lgoithm ws give to comute clss umbe of el d imgie udtic fields Thee e some uestios tht c be sed esily usig ithmetic methods These uestios c be solved by usig umbe ig of udtic field Checig clss umbe of umbe ig it c be see whethe umbe ig of tht umbe field is Uiue Fctoistio Domi It is lso imott to fid ivetible elemets of umbe igs I this wo fudemetl uit which geete ll ivetible elemets of umbe ig ws cosideed Cotiued fctios ws descibed to comute fudemetl uit A fctoistio method usig cotiued fctio ws give too 5 4 ges Key Wods: Numbe field clss umbe fudemetl uit cotiued fctios ellitic cuves ii

5 TEŞEKKÜR Yüse iss öğeimime bşldığımd bei b gee çlışmlımd geese edi özel yşmımd yol göstee Mtemti e bmbş bi çıd bmm ol sğly Syı Hocm Pof D A Bület EKİN (A Üivesitesi Fe Fültesi) e hem iss hem de Yüse iss öğeimim boyuc b sğldığı busl mddi yöde deste vee Kuzey Kıbıs Tü Cumhuiyeti Hüümeti e yutlıd bımmı sğly YURTKUR ve öğetmeli göevie bşldıt so Yüse iss öğeimimi zmıd tmmlymdığım hlde vzgeçmememi sğly bbm Syı Mehmet MUTU y ve em Syı Ftm MUTU y e dei sygılıml teşeüleimi suım Züleyh MUTU A Myıs 5 iii

6 SAYI CİSİMERİ Giiş Temel vmlı vemede syı cisimleii ede çlışıldığı di bi fii oluşmsı bımıd tmsyıld soulbile şğıdi soulı iceleyelim: ) y x delemii sğly bütü x ve y tmsyılıı buluuz ) x y olm üzee hgi > sl syılı x y şelide yzılbili? 3) Pisgo üçlülei: ( x y z ) ebob ve x y z olc şeildei bütü ( x y z ) tmsyı üçlüleii buluuz 4) Femt ı So Teoemi (FT): 3 olm üzee x y z olc şeilde x y z tmsyılı yotu ( x y z ) ÇÖZÜM : [ ] i ib b (Guss Tmsyıl Hlsı)

7 Bu hlı Euclide Bölgesi olduğuu şimdili bul edelim Dolyısıyl bu hld te tülü sl çl yılışt bhsedebiliiz y 3 ( x i )( x i ) x ebob ( x i x i) olduğuu bul edebiliiz Dolyısıyl ütü Yi x i ve x i çlı [ i ] hlsıd tm ( ib ) 3 x i b x i 3 ( 3b ) b( 3 b )i Dolyısıyl x 3 3b ve b( 3 b ) b 3 b 3 b 3 b 3 olc şeilde yotu 3 Dolyısıyl x y ; y x delemii te çözümüdü ÇÖZÜM : Bu souu çözümü içi gge şğıdi teoemi geliştidi: > sl x y olc şeilde y x ( mod 4) Şimdi bu teoemi istıı ylım:

8 ( ) : > olduğu göe x y ( mod 4) x içi x ( mod 4) olduğud x y ( mod 4) 3 Dolyısıyl ( mod 4) ( :) ( mod 4) olsu ( ) metebede devili bi gutu Bu ttide 4 olduğud ( mod ) m 4 olc şeilde m ( )( m ) ( mod ) ( m )( m ) m d metebesi ol te elem olduğud ve m i metebesi 4 olduğud m yi m m [ ] i ib b hlsıd te tülü sl çl yılışt bhsedebiliiz m ( m i)( m i) [ i ] de sl ols m i vey m i olu z [ i ] m i m i z olc şeilde m i z m i Yi m i vey m i de biii böldüğüde diğeii de böle O hlde 3

9 ( m i) ( m i) i elde edili i bu bi çelişidi Dolyısıyl [ i ] de sl olmz ( x iy)( ib) x iy [ i ] ib ( x y )( b ) x iy ve ib itmeti biim olmdığıd x y b Dolyısıyl x y ÇÖZÜM 3: x içi x ( mod 4) dü Dolyısıyl z x y ( mod 4) olbili z ( mod 4) olmsı içi x ( mod 4) ve ( mod 4) duumd; x y z i he üçü de çift olu i bu ( ) y olmlıdı Bu ebob x y z olmsı ile çelişi Şu hlde z te olmlıdı Buu içi de x ve y i he iisi bide te olmmlıdı ( x iy)( x iy) z x y olduğud yie syı cismi ol [ ]: [ ]: i ; ib b i ; ib b < lmlıyız Bi ( x y z ) < ve syı hlsı ol çözümü içi x iy α [ i ] ve u { i i } olm üzee u α şelide olmlıdı 4

10 α m i yzs α ( m ) im buluuz Dolyısıyl { x y } { ± ( m ) ± m } ve z ± ( m ) olmlıdı z te olduğud m ve i he iisi bide te değildi ve ebob ( x y z) olduğud ebob( m ) di Şu hlde he iisi bide te olmy ve lıd sl ol m ve tmsyılıı he bi seçimi bize bi imitif Pisgo üçlüsü vei ÇÖZÜM 4: 3 içi istı ylım: 3 x 3 y 3 z olsu Böylece x ( mod9) y ( mod9) ( mod9) z x y z ( mod9) Bu ttide x y z Çüü si ttide x y z ( mod9) oludu Bu soulı çözülebilmesi içi tmsyıl hlsıı cebisel tmsyıl hlsı deile bi geelleştimesie ihtiyç duyulu Bu çözümle Aitmetiği Temel Teoemide ye l sl çl yılış özelliğii cebisel tmsyıl hlsıd olu olmmsı dyı Cebisel tmsyıl hlsıı Te Tülü Asl Çl Ayılbili Bölge olu olmdığıı ölçe bi ifde vdı: sııf syısı Bi syı cismii sııf syısı ise bu syı cismie it cebisel tmsyıl hlsı Te Tülü Asl Çl Ayılbili Bölgedi Sııf syısı cismi ço öemli bi ivytıdı Tezi bu bölümüde udti syı cisimleie it cebisel tmsyıl hllı iceleeceti Çüü yuıdi titei 5

11 soulı çözümüde bzı udti syı cisimlei ve bul it cebisel tmsyıl hllı ullılı Temel Kvml Bu tezde sı sı ullılc ol stdt otsyol şğıdi gibidi: : Tmsyıl hlsı : Rsyoel syıl cismi : Reel syıl cismi : Komles syıl cismi ( α ): veα yı sy e üçü cisim [ x ]: x değişeli tmsyı tsyılı olioml hlsı ve [ x ]: x değişeli syoel tsyılı olioml hlsı F ve K cisim olsu F K ise K y F i bi cisim geişlemesi dei K F üzeide bi vetö uzyı ol düşüülebili Bu uzyı boyutu d geişlemei deecesi dei ve [ K : F ] ile gösteili Yi [ K F ]: Boy K : F 6

12 syoel syıl cismii deecesi solu ol geişlemeleie syı cismi dei Bu tezde cisim geişlemelei icelemeyeceti sdece syı cisimleiyle uğşılctı Tım α olsu α yı ö bul ede syoel tsyılı bi oliom vs yi f ( x ) [ ] f α ise x içi ( ) α y cebisel syı dei [ x ] Te Tülü Asl Çl Ayılbili Bölge olduğud P i ( x ) le [ ] sl olioml olm üzee f şelide yzılbili ( ) ( x ) P ( x ) P ( x ) P ( x ) f α olduğud i içi P ( α ) i dı x hlsıd Yi cebisel syıyı ö bul ede bi sl oliom vdı Bu sl oliomu bş tsyısı yıldığı ttide α yı ö bul ede bi te oliom elde edili İşte bu oliom α ı miiml oliomu dei ve M ( x) ile gösteili M ( x) oliomuu öleie de α ı üzeidei eşleilei dei Q α Q α 7

13 Teoem α K cebisel syı ve deg M ( x) (M ( x) Bu ttide ) ( ) α : { ) α } α ( ) İst : M ( x) S Q α α ı tbıdı Q α x c x c x c c olsu { α } sıfı olmd i Q α i deecesi ) olsu α üzeide liee bğımlı ols d i tsyılıı hesi bide d dα d α oludu He ii tf d ile bölüüse α; bi öü olu Bu d M ( x) liee bğımsızdı b( x) e e x x [ ] Q α x i i deecesii olmsıyl çelişi O hlde S ümesi [ ] hlsı { α α } α Ι α α I ϑ ile üetilmişti Diğe yd α ı tüm uvvetleii S ümesi i tfıd üetildiğii gösteebiliiz Geçete; M ( x) x c x c x c c Q α i α c α c α c α c α c α c 8

14 Bu delem ullıl ise α i S tfıd üetildiği çıç göülü > ise α c α c α c α c ( c c α c ) α c α α c c t α c α c Beze şeilde devm edilee içi α i i c α c i i şelide yzılbili Bu yzılış te tülüdü i α ciα ve i α biα i i şelide yzılsı Bu ttide olu S { α } ( c b ) ( c b ) α ( ) α c b α liee bğımsız olduğud i içi c b olu Dolyısıyl yzılış te tülüdü Şimdi ( α ) ı cisim olduğu blım: ϕα : [ x] [ α ] ( f ( x) ) f ( ) f ( x) α ϕ α i i fosiyouu öte homomofizm olduğu olyc gösteilebili Dolyısıyl [ x] Çeϕ α ( α ) ( x) Çeϕ α (α) M ( x) (x Q α ) 9

15 (x) <M ( x) > ϕ Q α Çe <M ( x) α Q α > M ( x) oliomu sl olduğud <M ( x) > sl ideldi [ ] Q α olduğud sl idel yı zmd msiml ideldi Üsteli Q α Çe <M ( x) ϕα Q α > ( ) α cisimdi x Euclide Bölgesi Çe ϕα msiml ideldi Diğe tft sl oliomu tlı öleii olmdığıı biliyouz Msiml idel sl olduğud α ı bütü eşleilei flıdı Teoem (İlel Elem Teoemi) α α α K cebisel syıl ise olc şeilde β ( α α ) ( α α α ) ( β ) α İst : Bu teoem üzeie tümevıml istlctı Öce içi doğuluğuu gösteileceti α β K cebisel syı isele ( α β ) ( γ ) olc şeilde γ ( β ) α α ı eşleilei α α α β β β olsu ve β ı eşleilei m T α i α i 3 j 3 m β β j

16 solu bi ümedi γ ( β ) t içi t T γ : α tβ elemı içi α olduğud ( γ ) ( α β ) olu M Q α ( x) f ( x ) γ ( β ) α ifdeside x yeie γ tx yzılıs h( x) f ( γ tx) ( α )[ x] olu yıc h ( β ) f ( γ tβ ) f ( α) ttide γ tβ f ( x) i öleide biidi Bu i γ tβ α ( γ )[ x] te x β h(x) ti i İddi : h (x) i β d bş öü yotu β β h( x) i bi öü ols j h ( β ) f ( γ tβ ) j j oludu γ tβ j α i α tβ tβ j α i α i α t β β j T olu Bu bi çelişidi O hlde h (x) i β β d bş öü yotu x β h( x) j içi x β j h (x) O hlde g( x) : M Q β ( x ) olm üzee ( ( x) g( x) ) x β F( γ )[ x] i bi elemı olu β ( γ ) h olu Bu ttide x β β α α γ t ( γ ) ( γ β ) ( γ ) ( α β ) ( γ ) içi teoem doğu olsu Yi ( α α α ) ( ) γ olc şeilde γ ( α α ) α olsu

17 ( α α ) ( α α )( α ) ( )( ) α α α ( γ )( α ) ( γ α ) γ γ tα ( α α α ) ( α α α ) ( ) γ γ α Tım α bi cebisel syı olsu α ı eşleilei tolmı α ı izi dei ve T ( α ) ile gösteili α ı eşleilei çımı α ı omu dei ve ( α ) N ile gösteili K K : olm üzee bi syı cismi olsu İlel elem teoemide K ( α ) olc şeilde bi α K vdı σ : K homomofizm ise K cisim olduğud σ moomofizm olmlıdı σ : K moomofizmsı içi ise σ y bi #moomofizm dei Bu duumd σ ( α ) ( x ) y şılı σ ( ) M Q α i bi öü olu Asl oliomu ölei bsit olduğud (tlı ö olmdığıd) α ı eşleilei syısı d (tm te) K ı içie #moomofizmsı mevcuttu Tım 3 σ le K ı içie te moomofizmsı { α α } i α de K ı elemlı bi lt ümesi olsu Bu ümei disimitı; α det σ i ( α j ) disc ( α α ) ( )

18 3 ile tımlı Öeme K ı flı ii #tbı { } α α α ve { } α α α olsu ( ) ( ) disc c disc α α α α α α olc şeilde c İst : ( ) j j θ K ı içie moomofizmlı olsu içi α l i olm üzee { } α α α tb olduğud i i i α α şelide ifde edilebili Bu ttide ( ) ( ) i i j i j α θ α θ Böylece şğıdi mtis delemi elde edili : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α θ α θ α θ α θ α θ α θ α θ α θ α θ α θ α θ α θ α θ α θ α θ α θ α θ α θ

19 M olm üzee c det( M ) olsu Yuıdi mtis delemide öce he ii tfı detemitı so d elei lııs; disc ( α α α ) c disc( α α α ) elde edili bud c olu Tım 4 α olsuα yı ö bul ede tmsyı tsyılı moi bi oliom vs yi f ( x ) [ ] f α ise x moi oliomu içi ( ) α y cebisel tmsyı dei : α α bi cebisel tmsyı olm üzee K : K ümesie K ı cebisel tmsyıl ümesi dei K K ı bi lt hlsıdı Cebisel tmsyıll ilgili şğıdi teoem de mevcuttu: 4

20 Teoem 3 α olsu Aşğıdi döt ifde deti () α bi cebisel tmsyıdı () [ α ] solu üetilmiş bi Abeli (tolmsl) gutu (3) α i tolmsl ısmı solu üetilmiş ol bi lt hlsı itti (4) α olc şeilde sıfıd flı solu üetilmiş i tolmsl bi lt gubu vdı İst : (Mcus 977) () () α bi cebisel tmsyı olsu Eğe α de tsyılı deecede sl ve moi bi oliomu öü ise Teoem de [ α ] tolmsl gubu α üetilmişti α ile () (3) α [ α ] olu [ α ] tolmsl ısmı solu üetilmiş Abeli gutu ve i lt hlsıdı (3) (4) α α (4) () i üeteci olsu α i lei he bii i de tsyılı bi liee ombisyou ol ifde edilise M üzeide mtis olm üzee; tiide bi 5

21 6 M α α buluu Bu ttide I tiide biim mtisi gösteme üzee; ( ) M I α sıfı vetöü olu i α lei tümü sıfıd flı olduğud M I α i detemitı sıfı olu (Yi α M i bi teisti değei olu) Bu detemit lıdığıd; α dh düşü deeceli teimle buluu Böylece üzeide α yı ö bul ede moi bi oliom buluu Dolyısıyl α bi cebisel tmsyıdı : K olsu K hlsı ı ol bi Abeli gutu K ı bi #tbı elemlı olcğıd K ı d bi tbı olu Bu tb K ı bi tmlı tbı dei K ı hehgi bi tmlı tbıı disimitı d K ı disimitı dei (Cohe 993)

22 Öeme K bi syı cismi { α α } α α α K içi disc α de K ı bi tmlı tbı olsu ( α α α ) disc( α α α ) olmsı içi geeli ve yeteli oşul { α α } olmsıdı İst : (Mcus 977) α ü de K ı bi tmlı tbı ( :) α le i α i lei de tsyılı bi liee ombisyou ol yzılıs M üzeide tiide bi mtis olm üzee α α M α α elde edili Bud elde edile delemi he biii he ii tfı σ j le (K ı içie moomofizmlı) uygul; [ σ ( α )] σ ( ) [ ] j i M j α i mtis delemi elde edili He ii tfı öce detemitı so esi lııs; disc ( α α α ) M disc( α α α ) buluu M de tsyılı bi mtis olduğud ( α α ) M Bu d disc( α α α ) i disc α i böldüğüü göstei Ayı işete shitile α i ve α lei i hesi 7

23 cebisel tmsyı oldulıd bu ii disimit d tmsyıdı Beze şeilde ( α α ) ü de disc( α α α ) disc α disc i böldüğü gösteilebili Böylece ( α α α ) disc( α α α ) (: ) disc( α α α ) disc( α α α ) olsu { α α } α K ı bi tmlı tbı olduğud Dolyısıyl { α α } ( α α α ) ( K ) disc d disc( α α α ) disc( α α α ) d( K ) α de K ı bi tmlı tbı olu tmsyıl hlsıı e öemli özelliği Aitmetiği Temel Teoemi ol bilie; Bide büyü he tmsyı sl syılı çımı şelide te tülü yzılbili olmsıdı Bu özelliği sğly tmlı bölgeleie Te Tülü Asl Çlı Ayılbili Bölge (TTÇAB) dei Bu özelli hehgi bi K hlsıd yotu Bud sl syıl yışım ifdesi yeii sl idellee yışım bıı Şimdi K ı TTÇAB olu olmdığıı ölçe sııf syısı vmı veileceti 3 Cismi İdellei ve Sııf Syısı 8

24 Tım 3 I K y esisel idel dei eğe ) I bi K #modül ) d K içi di K ştlı sğlıs K ı he ideli ( d lııs ) yı zmd bi esisel ideldi ve bul tm idelle dei K ı sıfıd flı tüm esisel idelleii ümesi χ ile gösteilsi χ ümesi üzeide I I χ içi I I : x i xi xi I i x i I çım işlemi tımlsı I I yie bi esisel ideldi I I tm idellese I I de tm idel olu Dolyısıyl χ ümesi bu çm işlemie göe lıdı Bu işlem bileşmelidi değişmelidi ve işlemi biim elemı K dı: I K I Eğe J χ içi I J K oluyos I esisel idelie tesleebilidi dei Eğe I K ı sıfıd flı bi esisel ideli ise I x K xi K I ı tesi olu Yi I I K olu χ yuıd tıml çm işlemie göe bi Abeli gutu Ayıc K hlsı bi Dedeid Bölgesi olduğud 9

25 K TTÇABdi K Te Üeteçli İdel Bölgesidi Ribeboim () Tım 3 K bi syı cismi I d K ı bi tm ideli olsu K ΟI bölüm hlsıı elem syısı I idelii omu dei ve N ( I ) ile gösteili χ : K ı bütü esisel idelleii ümesi idi σ: K ı bütü sıfıd flı te üeteçli esisel idelleii ümesi σ ile gösteilsi σ χ ı bi lt gubu olu K Abeli gu olduğud χ?σ bölüm gubud bhsedilebili I J χ olsu α K içi J α I oluyos I ve J idellei detile dei Bu deliği deli sııflı ümesi χ?σ bölüm gubuu vei Bu gu soludu (Ribeboim ) Bu gubu elem syısı K ı geiş lmd sııf syısı dei ve hk ile gösteili Yi hk : χ?σ σ : K ı te üeteçli ve omu ozitif ol esisel idelleii ümesi olsu Bu ttide h : χ Ψσ K ı d lmd sııf syısıı vei

26 Sııf syısı tmlı hlsıı TTÇAB olu olmdığıı belile Şimdi buul ilgili teoemi veelim Teoem 3 h K TTÇABdi K İst (: ) Eğe h K χ?σ ise K ı bütü esisel idellei te üeteçlidi K ı he ideli yı zmd esisel ideldi Böylece K ı he ideli te üeteçlidi Dolyısıyl K TTÇAB olu ( :) K TTAÇB ise Teoem 3de K Te Üeteçli İdel Bölgesidi Bu ttide χ σ olcğıd h K χ?σ Öeme 3 I ve J hehgi ii idel olm üzee N ( I J ) N( I ) N( J ) d K tfıd üetilmiş temel idelse N ( I ) N( d ) di di Ayıc I İst : Ribeboim ()

27 Öeme 3 K cismii disimitı D olsu I K ı sıfıd flı bi tm ideli { y y } y I ı bi #tbı olsu Bu duumd İst : Ribeboim () di disc ( y y y ) N( I ) D 4 Kudti Syı Cisimlei Tım 4 d e çsız ve e olmy bi tmsyı olm üzee K : ( d ) ye bi udti syı cismi dei d > ise K y eel udti syı cismi d < ise K y imjie udti syı cismi dei Şimdi K ı cebisel tmsyıl hlsıı belileyelim Öeme 4 b d K u b v ve u dv ( mod 4) İst : ( Ribeboim )

28 ( ) : x b d K ise x b d de bi cebisel tmsyıdı Böylece x d x x x b ( ) ( b) d 4 ( ) olduğud ( b) d ve olu d e çsız olduğud v b olu ( : ) Bu ştl b d olduğuu göstei ve ( x x x b d ) i bi öü olduğud bi cebisel tmsyıdı Öeme 4 d 3 ( mod 4) ise K b d b v d d ( mod 4) ise K u v u u v( mod) İst : (Ribeboim ) d ( mod 4): u çift Çift te te v çift Te çift te u dv 3 mod4 d 3( mod 4): u çift Çift te te v çift Te çift te u dv mod4 3

29 He ii duumd d ( mod 4) b içi u v b lııs u ve v çift olu Tblod u dv olduğu göülü Öeme 4de b d K olu Bu duumd K b d b ( mod 4) d ise u çift Çift te te v çift Te çift te u dv 3 mod4 u ve v yı d te vey yı d çift ie u dv ( mod 4) Bu ii duumd d ( mod) u v u b v olsu Bu duumd u v b Öeme 4de u v b d d K u v d K Bu duumd K u v d u v u v( mod ) Öeme 43 K : ( d ) i disimitı İst : (Ribeboim ) Öeme 4 de 3( mod 4) tbıdı Böylece ( ) ise ( mod 4) ise d d mod 4 D : di 4d d 3 d ise { d } K ı bi tmlı 4

30 D T T K K Q ( ) TK ( d ) Q Q ( d ) T ( d ) K Q d 4d Yie Öeme 4 de d ( mod 4) ise d K ı bi tmlı tbıdı Böylece d TK ( ) T K Q Q D d ( d ) d d d T K T K Q Q 5 Kudti Syı Cismii Biim Gubu Tım 5 K tmlı hlsıı tesleebili elemlıı ümesie (U) K udti syı cismii biim gubu dei K eel udti syı cismi ise ε de büyü ol K ı e üçü biimi olm üzee U ± ε di Bud ε K ı temel biimi dei Ayıc K imjie udti syı cismi ise U solu bi ümedi Öeme 5 N( u) u U İst: Ribeboim () m 5

31 K ı udti syı cismi olmsı duumud K ı tesleebili elemlıı belileme ço öemlidi K ( ) D olsu D < ise he K α içi ( ) > N α α α α olduğud d lmdi deli sııflı ile geiş lmdi deli sııflıı syısı yıdı Yi h K h D > ve ε K ı temel biimi olsu ( ε ) N ise α ile α ı üettiği temel idelle yıdı ε α ε α ve N ( ) < ise ( ) α ε α N > olu Dolyısıyl h h K dı N ( ε ) ise bütü biimle ozitif omlu olu ve d lmdi deli sııflı ile geiş lmdi deli sııflı flıdı Bu duumd geiş lmdi he I idel sııfı d lmdi B ve θ N α ol α * B idel sııflıı bileşimi ol yzılbili ; ( ) < temel idelleii d lmdi deli sııfı olm üzee * B θ B di Geçete [ I ] { α I α K } { β I β K N( β ) > } { γ I γ K N( γ ) < } B B Bu duumd h K h olu I bi K udti syı cismii bi #tbı { α α } ol esisel ideli olsu # tbı shi esisel idel ile I ideli deti α α 6

32 I K ( ) d i bi tm ideli ve bu ideli bi #tbı { } idelii eşleiği dei ve I ü bi #tbı d { α } sısıyl α ve α i eşleileidi) disc α α olsu I ye I α olu ( Bud α ve α ( α α ) ( α α α α ) N( I ) D ( 5) olduğu biliiyo Eğe α α α α ozitif vey ozitif imjie olc şeilde seçilmiş ise bu tb yölediilmiş tb dei 6 Kudti Foml Tım 6 b c üçü bide sıfı olmy tmsyıl olm üzee ( x) : x bx y c y f ifdesie ii değişeli bi udti fom dei ve ısc ( b c ) ile gösteili D f : b 4c ifdesie fomu disimitı dei Ayıc ( b c ) fom imitifti dei ebob ise bu ) > D ise f ( x y ) ozitif ve egtif değele lı Bu duumd ( x y ) f fom; ) D < ise x y R f içi ( x y ) f ye belisiz f ı işetie göe y dim ozitif y d dim egtif değele lı Bu duumd; > ise f ( x y ) ye ozitif tımlı fom 7

33 < ise f ( x y ) ye egtif tımlı fom dei f ve g ii udti fom olsu α β olc şeilde S γ δ g ( x y ) f ( α x β y γ x δ y) ( ) (detemitı ede tmsyı mtisi) vs f ve g detile dei Bu bğıtı bi deli bğıtısıdı De foml yı disimit shiti ve deli imitifliği ou 7 Kudti Fomlı Deliği I bi esisel idel ve ou bi yölediilmiş tbı { α α } olsu Şimdi bu idele şılı gele fomu tımlylım: ( x y) ( α x α y)( α x α y) N( I ) f I : ( α α ) x ( αα α α ) x y ( α α ) N( I ) y α α A : N ( I ) α α α α B : N ( I ) α α C : N ( I ) ile gösteelim 8

34 ) Fomu disimitı cismi disimitı eşitti ) α I I N( I ) α α B AC α α α 4 D N( I ) Dolyısıyl N ( I ) ( ) ve N ( I ) ( ) olu ( 7) N α N α ( α ) N( I ) ( 7) N de ( α ) N( I ) ( 7) N de N ( α ) αα ( I ) N( I ) N N ( α ) α α ( I ) N( I ) N ( α α ) α α α T α di ve α α α α I I olduğud α α α N α ( I ) olu O hlde bu fom tm tsyılıdı (3) I ı bş bi yölediilmiş tbı { } β tsyılı vdı i β olsu Bu duumd öyle b c d tm β α bα β cα dα ve c b d ± di Bu tb şılı gele fomu düşüülsü ( x y ) ( β x β y )( β x β y ) N( I ) f I 9

35 [ ( x ) ( ) ][( ) ( ) ] c y α bx d y α x c y α bx d y α N( I ) Bu fom x d x c y ve y bx y döüşümlei uygulıs ( d x c y bx y) ( β x β y)( α x α y) N( I ) ( x y) f f I β β β β c b d α α α α d bc olu Dolyısıyl f I ~ f I bulumuş olu böylece I idelii tbıı değiştiice oluş fomlı de foml olduğu göülü 4) f I fomu imitifti ( A B C) ols f tm tsyılı oludu I f ı disimitı D ile gösteilise I D D D D 4D Bud f I ı disimitıı D ye eşit oluşu ullıldı D 3 ( mod 4) olmsı ile mümüdü Ac B 4AC D 4 D olmsı ylız D ( 4) mod olduğud bu mümü değildi Dolyısıyl f I imitifti 8 İdelle ve Kudti Foml Asıdi İlişi ile K ı tm idelleii ümesi ve ile de disimitı D ol tm tsyılı imitif udti foml gösteilise; 3

36 I f I döüşümü tımlbili Öeme 8 döüşümü ötedi I f I İst : ( ) olm üzee ( ) A B C A B C f x y Ax Bx y C y ve D B 4AC f fomuu disimitı olsu B D I A tm idelii eşleiği B D I A idelidi B D B D A f di ( x y) Ax y Ax y Çım oliomuu smı (tsyılıı e büyü ot bölei) çımdi oliomlı smlıı çımı olduğud ve ( ) N ( I ) A dı Ayıc A B C olduğud B D B D A disc A A D N I B D A ( ) D 3

37 B D Öeme de A I ı bi tbıdı λ K içi α λ A ve B λ D α olm üzee { } α α de λ I ideli içi bi tbdı α λ λ A D di α αα λ λ A > ise bu tb yölediilmiş tbdı Buu içi ise i) D < ise λ (çüü A > lımıştı) ii) D > ve A > ise λ iii) D > ve A < ise λ D seçili He bi duum içi N( I ) A λ λλ olduğud f fomu λ I idelide tüetilmiş olu Teoem 8 I ve J tm idelle ve sısıyl f I ve foml olsu f J de bu idellede tüetile İst (: ) f I ~ f I ~ f J olsu { α α } I ı { β } f J I J (d lmd) β de J i yölediilmiş tblı ise ( x y) f I : α x α y)( α x α y) N( I) ( 3

38 f ( x y J ): β x β y)( β x β y ) di N( J ) ( f I ~ f J olduğud b c d d bc ± öyle i f ( x b y cx d y ) f ( x y ) di I J ( ) [( α cα ) x ( bα dα ) y ] [ ( α cα ) x ( bα dα ) y ] x b y cx d y N( I ) ( β )( ) x β y β x β y ( 8) N( J ) f I f J ( x ) i ölei β ve β β β dü λ öyle i α cα λβ vey α cα λβ b α dα λβ vey b dα λβ α dü He ii duum içi de ( 8) eşitliğide λ λ N N ( I ) ( J ) > dı α cα bα dα λβ λβ ( dβ cβ ) λ α d bc λ α d bc ( β bβ ) ( d bc)( α α α α ) λλ ( β β β β ) α α α α < olu i bu duum { α α } i yölediilmiş tb olmsı ile çelişi O hlde α cα bα dα λβ λβ α d α b ( λβ ) c( λβ ) ( λβ ) ( λβ ) 33

39 d c ve d bc b olduğud { β λ } λ β de I ı bi tbıdı Böylece ( λ) > I ( β β ) λ J N olduğud I J (d lmd) λ ( :) I J olsu N ( λ) > olm üzee λ K I λ J di ( I ) λ λ N( J ) N di d bc ± olm üzee b c d içi α cα bα dα λβ di λβ Ayıc; λβ λβ λ β λ β b c d α α α α b c d di ( x y) f I : α x α y)( α x α y) N( I ) ( x x y cx b y d y döüşümlei ile ( x by cx d y ) [ ( α cα ) x ( bα dα ) y ][ ( α cα ) x ( bα dα ) y ] N( I ) f I λλ ( βx β y )( β x β y ) λλ N( J ) f J ( x y ) di f I ~ f J di 34

40 Bu Teoem tmsyı tsyılı imitif ve disimitı cismi disimitı eşit ol de foml sııfı ile D e çsız olm üzee ( D ) i d lmdi idel sııflı sıd biebi eşlemei vlığıı göstei Souç ol K disimitı D ol bi udti syı cismi olduğud h K sııf syısı disimitı D ol udti fomlı syısıı vei Şimdi udti fomlı he deli sııfıd idigemiş fom dıı veeceğimiz bi te fom olduğuu göeceğiz Böylece idigemiş fomlı syısı bize udti cismi sııf syısıı veeceti 9 İdigemiş Foml D < olsu Pozitif tımlı bi ( b c ) fomu idigemişti dei eğe b c ise Dolyısıyl D < olduğud b vey c ise b emm 9 f ( b c ) ozitif tımlı ve D < olsu ) f idigemiş ise < < D 3 ) D < ve < b ise f idigemişti 4 35

41 İst : (Cohe 993) () f idigemiş ise D 4c b 4 böylece D 3 b D D () c > dolyısıyl f idigemişti 4 4 Algoitm 9 (İdigemiş Fomlı Sy D disimitlı udti cismi sııf syısıı Bulm) Bu lgoitm bi D < disimitı veildiğide disimitı D ol udti fomlı sııf syısıı vei D < veilmiş olsu Adım h : b : D( mod ) B : D / 3 NOT: Adımd b D( mod ) lımsıı sebebi D b 4c b b( mod ) olmsıdı B D 3 ı dolyısıyl b i lbileceği e büyü değedi Adım : ( b D) 4 ( c) : b ise : ve 4Adım git 3 Adım ise ( b vey vey b ) ise h : h 36

42 değilse h : h NOT: 3 Adımd olmsı c olmsı lmı gelmetedi Ayıc b vey ( c) ise ( c ) ( c ) ve ( b ) ( b ) olduğud bi te fom elde edili Ac ( b c ) ( b c ) olduğud ii te fom elde edili b c ve b ise 4 Adım : ise 3Adım git 5 Adım b b b B ise Adım git değilse h yi yz ve du İmjie udti cisimlei sııf syısı vey 7 olc şeilde bzı disimitlı şğıdi gibidi: Sııf syısı sdece D ve -63 içi di Sııf syısı sdece D ve -47 içi di Sııf syısı sdece D içi 3 tü Sııf syısı D içi 4 tü Sııf syısı D içi 5 ti 37

43 Sııf syısı D içi 6 dı Sııf syısı D içi 7 di Şimdi sııf syısıı bulmy yy bş bi yötem veileceti Buu içi egede ve Koece sembolleie ihtiyç duyulu Tım 9 egede sembolü: > sl : x x (mod )' i çözümü vs ise (mod )' i çözümü yos Tım 9 Koece sembolü: b içi b K Koece sembolü; b ise ± : K ± b ise i le bibiide flı olmlı geemeye sl syıl vey olm üzee; b ( ) şelide çl yılsı 38

44 39 te ise ) ( çift ise : 8 ) ( K < ise ise : K i K K K b : Souç 9 4 < D ise ( ) < < D D D D D D D h Ac bu yötem he bi i sl çl yılışı ve yie he bi içi Koece sembolüü hesbıı geetidiği içi olduç yvş souç vei ve bu yöüyle öcei metott dh z etilidi Tım 93 > D ( ) c b f : udti fom olsu D b D < < ise f ye idigemiş fom dei

45 Öeme 9 > D ve f ( b c ) idigemiş bi fom olsu ) ve c tes işetlidi Ayıc c b < D di ) c < D 3) f idigemişti D c < b < D İst : (Cohe 993) ) f idigemiş fom olduğud D tes işetlidi b < ve c ( b D) 4 < olduğud ve c ) ( D ) D 4 D 4 b b c D böylece idigemiş 4 4 fomu tımıd c D < elde edili 3) ( b c ) idigemiş olsu b c D b ( D b ) b D ( D b ) D ( b D ) ( D b)( D b) ( D b)( D b) ( b c ) idigemiş fom olduğud D < b D < b < b D 4

46 olu Dolyısıyl b c D > olu b < D c ( 9) b c D b ( D b ) b D ( D b ) D ( b D ) ( D b)( D b) ( D b)( D b ) ( b c ) idigemiş fom olduğud b < D di D b > Ayıc D < b olduğud b < D olu Dolyısıyl b c D > dı b > D c ( 9) ( 9) ve ( 9) de b < D c < b D c < b < D olu D c < b < D ise ( b c ) i idigemiş olduğu beze şeilde gösteili Tım 94 ve b içi ( b ) ; b ( mod ) ve > < D D ise ise < D < < D olc şeilde bi te içi ( b ) : ile tımlı Ayıc > D disimitlı ( b c ) udti fomu üzeide idigeme oetöü 4

47 ρ( b c) : c ( b c) ( b c) 4 D ol tımlı D > ie fom sııflıı syısıı belileme içi İdigemiş foml belilei f idigemiş fom ise ρ(f) de idigemiş fomdu 3 f fomu yeide f fomu elde ediliceye d ρ oetöü uygulı Ayıc f ρ( f ) ( ρ( f )) ρ f Böylece bi fom sııfı elde edilmiş olu Bu şeilde devm edilee tüm fom sııflı buluu Negtif disimitlı foml ile ozitif disimitlı foml sıdi e büyü f şudu: Negtif disimitlı fom sııfıı he biide idigemiş bi te fom vdı Pozitif disimitlı fom sııfıd ise tımı egtif disimit duumudide flı olm üzee yie idigemiş fom diye dldııl bide fzl fom vdı Ft bul diesel bi yı içeisidedi 4

48 SÜREKİ KESİRERİN UYGUAMAARI Süeli esilei he iisi de syıl teoiside öemli yee shi ii flı uygulm lı vdı Buld bii Reel Kudti Cismi Temel Biimii Hesbı diğei de Çl Ayım Metodudu Solu Süeli Kesile Tım K le hiç hesi ozitif ol eel syıl olm üzee 3 O ( ) esie bi solu süeli esi dei ve [ ] şelide gösteili i i içi i ise bu esi bsit süeli esi ol dldıılı Bu bölümde he bsit süeli esilele ilgileileceğide süeli esi deildiğide bsit süeli esi lşılctı Şimdi he syoel syıı bi süeli esi fomud ifde edilebildiğii göstee teoem iceleeceti Bu teoemi istıd Euclide Algoitmsı ullılı 43

49 44 Teoem He syoel syı bi süeli esi ol yzılbili İst: > b olm üzee b eyfi bi syoel syı olsu ve b i e büyü ot böleii bulm içi Euclide Algoitmsı uygulıs 3 3 < < < < < < < < b b b M olc şeilde tmsyılı buluu içi olduğud K lei hesi ozitifti Algoitmı delemlei şğıdi şeilde yzılsı b b b b 3 3 M Yuıd iici delemle veile b biici delemde yeie oyulus

50 45 b b Üçücü delemle veile yuıd yeie yzılıs 3 b elde edili Bu şeilde devm edee b 3 O elde edili İst tmmlmış oldu Bi syoel syıı solu süeli esi gösteimi te tülü değildi İl gösteim buluuc so teim ullıl iici bi gösteim dh bulubili Geçete; [ ] ; ; di ( )

51 > ise dı ve ( ) yzılbili Böylece [ ] [ ; ] ; Diğe yd ise bu duumd [ ] [ ; ] ; Dolyısıyl he syoel syı ii süeli esi gösteimie shiti Buld bii te syıd teim içeie diğei çift syıd teim içei Tım olm üzee [ ; ] ylşımı dei ve C ile gösteili y [ ; ] süeli esii ve ( ) syılı şğıdi gibi tımlsı: 3 içi : : : : : : ( 3) 46

52 47 [ ] ; süeli esii il biç ylşımı şğıd veilmişti: ( ) C C C ( ) 4 Teoem [ ] ; süeli esii ylşımı C di İst: Yuıdi çılml Teoemi içi doğu olduğuu gösteiyo m < olm üzee m içi Teoemi doğu olduğu vsyılsı; yi ( ) 5 m m m m m m m m m C olsu ( ) ve ( ) 5 eşitlileii ullılıs [ ] ; ; m m m m m m m m m m m m m m

53 48 ( ) ( ) m m m m m m m m m m m m m m m m m m buluu Dolyısıyl Teoem tümevıml istlmış olu Teoem 3 ve dizilei şğıdi ifdelei sğl: (i) ( ) (ii) ( ) İst: (i) ( ) ( ) Bu def ve değelei yeie yzılıs 3 3 elde edili Böyle devm edee ( ) ( ) ( ) ( ) 6 buluu (ii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7

54 Sosuz Süeli Kesile Tım ; hiç tüm teimlei ozitif ol sosuz bi tmsyıl dizisi olm üzee 3 şelidei ese sosuz süeli esi dei ve [ ] ile gösteili [ ] sosuz süeli esi C syoel syılıı oluştuduğu dizii (vs) limiti ol tımlbili Notsyo fzllığı yol çmm içi [ ] sdece sosuz süeli esi içi değil bu sosuz süeli esi değei içi de ullılctı Hiotezde dolyı bhsedile limit vs bu dim bi isyoel syıdı Solu süeli esile içi bulu öcei fomülle sosuz süeli esile içi de geçelidi Bu geçe ullıl yuıdi iddiı doğu olduğu göülü [ ] esii C ylşımlı şğıdi eşitsizliği sğl: C sosuz süeli < C < C4 < < C < < C < < C5 < C3 < C ( ) [ ] sosuz süeli esii C çift ylşımlı üstte C ile sıılı mooto t dizi fomud olduğud bu ylşıml limitie yısyc Beze ol [ ] C lei he biide büyü ol bi α sosuz süeli esii C te ylşımlı ltt C ile sıılı mooto zl dizi fomud olduğud bu ylşıml 49

55 C lei he biide üçü ol bi α limitie yısyc Bu ii limiti bibiiyle eşit olduğu şğıdi şeilde gösteili: ( ) α < < α ( ) α α < C C i büyüdüçe i sıısız ttığıd bu eşitsizliği sğ tfı eyfi üçülüte seçilebili α ile α eşit olmsldı çelişi çıdı çüü α α değeide dh üçü seçilebilidi Dolyısıyl bi sosuz süeli esi te ve çift ylşımlı yı α limitie eşitti Yi C ylşıml dizisii limiti α dı Tım [ ] sosuz süeli esii değei ( [ ; ] ) im di Teoem Hehgi bi sosuz süeli esi değei bi isyoel syıdı İst: [ ] sosuz süeli esi değei x olsu Yi x [ ] C 5

56 ylşıml dizisii limiti olsu x; C ve C ylşımlı sıd olduğud < x C < C C Tesi bul edilsi x syoel syı olsu Yi < b < b < b Z Z olm üzee x olsu Bu ttide b < b < ( 3) olu Eşitsizliği he tfı b ozitif syısıyl çılıs < b < b syısı b < olc d büyü seçilise b < < olu ile sıd bi ozitif tmsyı olmdığı içi çelişi elde edili Teoem Eğe [ ] ve [ b ] ; bu ttide içi b b sosuz süeli esilei de isele ; b İst: [ ] x ; ise C x < C < yi < x < olduğud < x < Böylece x i tm değei; [ x ] dı Şimdi [ ] x [ b ; b ] ; b 5

57 x b [ ; ] [ b ; b b ] olduğu vsyılsı Bu duumd [ x] b elde edili Bu d [ ; ] [ b ; b ] olmsıı geetii Bu ii süeli esi içi işlemle telıs b ve [ ] [ b ; ] elde edili Metot mtemtisel tümevım yoluyl devm ; 3 b3 ede Böylece içi b Souç Flı ii sosuz süeli esi bibiide flı ii isyoel syıyı temsil ede So Teoemde he sosuz süeli esi ylız bi te isyoel syıyı temsil ettiği gösteildi Şimdi de eyfi bi x isyoel syısıı bu x yısy bi [ ] sosuz süeli esie geişletilebileceği gösteileceti ; tmsyıl dizisi şğıdi gibi tımlıdı: x x 3 [ x ] x [ x ] x [ x ] x x olsu ve [ x ] [ x ] [ x ] [ ] 3 x3 lısı Yuıdi ifdele tümevıml geelleştiilise l 5

58 x [ x ] x ile veili x isyoel olduğud x i syoel olcğı çıtı ve x ı bi isyoel syı olduğu bilidiğide tümevıml tüm Böylece x lı isyoel olduğu soucu çıılı Bu duumd içi [ x ] [ x ] x x < < x > x Bu yötem hiç hesi ozitif ol sosuz teimli tmsyıl dizisii bulumsıı sğl x x ifdeside geeli yeie oym işlemlei yıl x x x x x x 3 M 53

59 ve içi x [ x ] ; Şimdi de [ ] ; sosuz süeli esi değeii x olduğu gösteilmelidi Hehgi bi içi olm üzee [ ] sosuz süeli esii il ; C ylşımı [ ; x ] solu süeli esii il ylşımıyl yıdı ( ) ylşım C ile gösteilise C de C i bulm içi yeie yzılı ve bu duumd yeie x yzıl C de C ü bulumsı geei: x [ x ] C ; x x Bud dolyı x C x x Teoem 3 (i)de ( )( ) ( x ) ( ) ( x ) x ve böylece x C < ( x ) ( ) l t tmsyıl oldulıd 54

60 x ( [ ; ] ) imc elde edili Teoem 3: [ ; ] x ise [ x] [ ] ( ) İst: [ ] ve özel ol ; x sosuz süeli esii tm bölei im N ( [ ] ) im N [ ] N N x di Ayıc ve böylece [ ] di > > > < < 3 Peiyodi Süeli Kesile Tım 3 Bi ozitif ve syılı vs öyle i l içi 55

61 56 l l eşitliğii sğly sosuz süeli ese eiyodi süeli esi y d bu sosuz süeli esi eiyodu dei [ ] ile gösteili Teoem 3 Bi eiyodi süeli esi iici deecede tmsyı tsyılı bi oliomu öüdü İst: [ ] x süeli esi içi ü [ ] : şelide tımlsı [ ] [ ] : ve [ ] i so ii ylşımıdı ( ) ( ) ( ) 3 x x x

62 57 ü ( ) 3 de yeie ou geeli sdeleştimele yılıs tmsyı tsyılı bi c b x x ( ) 3 delemi buluu Bud : : : c b x isyoel olduğud 4 c b Teoem 3 İici deecede tmsyı tsyılı bi delemi öü ol süeli esi eiyoditi İst: [ ] ; ( ) 3 delemii bi öü olsu [ ] ; x ise x ve bu ifde ( ) 3 de yeie oyulus ( ) c b C c b B c b A ( ) 33 olm üzee

63 58 ( ) C B A ( ) 34 buluu Eğe c b A ise ( ) 3 delemi syoel öe shiti Oys bu mümü değildi çüü x isyoeldi Bud A ve C y B y A delemii öleide bii dü ( )( ) ( ) c b c b C A B ( ) 35 Ayıc ( ) < x δ δ Bud ( ) b x b x c b x x c x b x A δ δ δ δ δ δ δ δ ve b x A < A C olduğud b x C <

64 ( 35) te B 4 A C < 4 b 4c ( x b ) b 4c Dolyısıyl A B ve lmış oldu Bu geçe solu te ( A B C ) C i mutl değelei de bğımsız ol syıld üçü üçlüsüü v olduğuu göstei 4 Pell Delemi Teoem 4 Eğe x d y ( 4) delemii bi ozitif çözümü ise d i süeli esi yışımıı bi ylşımıdı İst: Hiotezde d olduğud ( d )( d ) elde edili < ie d ( d ) Souç ol d d < d < d ( d d ) 59

65 Yuıdi teoemi tesi geelde ylıştı d i he ylşımı ( 4) delemii bi çözümü olmz Buul bilite d değeleii sıılı olduğu şğıdi Teoemde lşılctı Teoem 4 d i süeli esi yışımıı bi ylşımı ise < d olm üzee x y x d y delemleide biii bi çözümüdü İst: Eğe d i bi ylşımı ise Souç de d < dolyısıyl d < olu Bud dolyı ve olduğud d ( d ) d d d < d ( d ) elde edili Bu ii eşitsizli bileştiilise 6

66 ( d ) d d d d < elde edili Öe 4 7 ullıl ( ) d duumu ele lısı 7 i süeli esi yışımı 7 [ ; 4 ] 7 i il biç ylşımı dı Şimdi Teoemdei gibi 7 değelei hesl x 8 y 3 x 7 y delemii sğle buluu Bud < 7 5 ti Bu bölümde d tm e olmy bi ozitif tm syı ol lıctı d i eyfi bi seçimi içi ( 4) delemii tm syıld tüm ozitif çözümlei d i ylşımlı sıddı Ve sosuz çolutdı Ayıc tüm bu ozitif çözümle e üçü ozitif çözümde üetilebili 6

67 Bi α udti isyoel syısıı tm eiyodi süeli ese shi olmsı içi geeli ve yeteli oşul α ı idigemiş olmsıdı Yi α > ve α ı eşleiği ol α içi < α < dı d idigemiş olmdığı hlde [ d ] d idigemişti d i süeli esi yışımıı ifde edilebilmesi içi yuıdi geçe ullılctı Teoem 43: : [ d ] fomuddı olm üzee d i süeli esi yışımı; [ ] 3 3 İst: : [ d ] olsu α [ d ] d ise α tm eiyoditi ve [ α ] [ d ] Böylece α [ d ] d [ ] [ ] Eşitliği he ii tfıd [ d ] çııl 6

68 d [ ] elde edili Şimdi de i simeti olduğu gösteileceti Yi α d [ d ] [ ] d [ d ] [ ] Bu duumd d [ d ] [ ] Böylece [ ] [ ] Öe 4 d 9 duumud yışım ie d 73 ie 9 [ 4; 3 8 ] 73 [ 8;556 ] dı 63

69 Teoem 4 l d i ylşımlı olm üzee ( 4) delemi bi çözüme shi ise buu ozitif çözümlei x y l sıd bulucğıı göstei d i süeli esi yışımıı eiyodu ullıl ( 4) delemii tmsyıld bi çözüme shi olduğu gösteilebili He bii d i ylşımlıd bulubile sosuz çolut çözüm vdı Buu istı şğıdi emm y dyı emm 4 d i süeli esi yışımıı ylşımlı l olsu Eğe syısı d i yışımıı eiyot uzuluğu ise d ( ) 3 İst: x [ ; ] d : olm üzee d i süeli esi yışımıı [ ] d x 64

70 fomud yzılbili Bu duumd d x x elde edili x d yuıd yeie yzıl ve geeli sdeleştimele yıl yuıdi delem d ( ) d hlie getiili d isyoel olduğud ve eşitliği sol tfı syoel olduğud ve d olmlıdı Bu delemlede biicisi ile iicisi de ile çılıs uygu işlemle soucud d olu Ac ( ) ( ) ve böylece d ( ) buluu 65

71 Şimdi > d e olmy bi tmsyı olm üzee ( 4) çözümlei ifde edilebili delemii tüm ozitif Teoem 44 l yışımı eiyoduu uzuluğu olsu () çift ise ( 4) delemii tüm ozitif çözümlei d i süeli esi yışımıı ylşımlı olsu ve bu x y 3K fomuddı (b) te ise ( 4) delemii tüm ozitif çözümlei x y 3K fomuddı İst: Teoem 4de ( 4) delemii hehgi bi x y ozitif çözümüü d i bi göz öüde tutulus ylşımı içi y x fomud olduğu gösteilmişti emm y x ; ( 4) delemii bi çözümüdü ( ) di Bu şt çift olduğud tüm tmsyılı içi sğlıe te olduğud sğlmsı içi geeli ve yeteli oşul ı bi bi çift tmsyı olmsıdı 66

72 Öe 43 7 y o ii ylşımı şğıddı: x göz öüe lısı [ ; 4 ] 7 olduğud 7 i il i süeli esi gösteimii eiyoduu uzuluğu 4 olduğud 4 4 ylşımlıı he biii yı ile ydsı x 7 y delemii bi çözümü fomuddı Böylece öeği syoel syılı x 7 y delemii il üç ozitif çözümüdü Bu çözümle x 8 y 3; x 7 y 48; x3 4 y3 765 ti Öe 44 x 3 y delemii e üçü ozitif tmsyı çözümüü bulm içi 3 [ 3; 6 ] eşitliği ve 3 ü eiyot uzuluğuu 5 olmsı geçeği ullılctı 3 ü il ylşımı

73 Teoem 44(b)de x 3 y i e üçü çözümü ylşımıd buluu Çözüm x 649 y 8 di Pell delemii bi çözümüde diğe çözümleii elde etmei oly bi yolu vdı Buu gösteme içi öce şğıdi tım veilmelidi: Tım 4 ( 4) delemii e üçü ozitif çözümüe ou temel çözümü dei Yi bu çözüm ( 4) delemii öyle x y ozitif çözümüdü i diğe he x y ozitif çözümü içi x < x y < y dü Teoem 44te d i süeli esi geişlemesii eiyoduu uzuluğu ise ( 4) delemii temel çözümü; çift ise x y 3 K ile veili; te ise x y 3 K ile veili Böylece ( 4) delemi vey dımd çözülü 68

74 Temel çözümü e çözüm sısıd ço büyü syıll şılşıldığıd çözüm zolşı Öeği x 99 y delemii e üçü ozitif çözümü x y di 767 x 99 y delemide dh zo bi duuml şılşılı Bu delemi sğly e üçü ozitif x tmsyısı 8 bsmlıdı eiyodu d 74 teimlidi 99 i süeli esi yışımıı ( 4) delemii çözümüde ihtiyç duyul tmsyıl d i veile değei içi üçü ve geee değele ço büyü olbili Bu duum temel çözümü x y ile veile x 6 y delemide göülü Bu syıl çözümü x 3 y 4 ol d 6 duumu göe vey çözümü x 63 y 8 ol d 6 duumu göe olduç büyütü Teoem 45 Eğe y x ( 4) delemii temel çözümü ise x y le x ( x y d ) 3 K y d şelide tımlı tmsyıl olm üzee delemi he ozitif çözümü x y ile veili 69

75 İst: Tesi bul edilsi Yi ( x y d ) fomülü ile bulumy bi u v ozitif çözümü v olduğu vsyılsı x y d > olduğud x y d i uvvetlei tctı Bu duumd v d x y d i u ( y d ) < v d x u < ( ) x y gibi dışı ii uvveti sıd olctı Bu duum flı teimlele ifde edilise x y d < v d d u < ( x y d )( x y d ) Bu eşitsizli edilise x y d ozitif syısıyl çılıs ve x d y olduğu dit < ( x y d )( u v d ) < y d x elde edili ve s tmsyılı s d ( x y d )( u v d ) ol tımlsı Yi x u y vd s x v y u olsu d s ( x d y )( u d v ) Böylece s ; ( 4) delemii < s d < y d x 7

76 eşitsizliğii sğly bi çözümü olu İstı tmmlmsı içi s çiftii bi ozitif çözüm olduğuu gösteilmesi geei < s d ve ( s d )( s d ) olduğud < s d < buluu Souç ol Böylece ve s ozitifti x ( 4) ; y ( s d ) ( s ) > d > ( s d ) ( s ) > s d d delemii temel çözümü olduğud x < ve y < s elde edilmelidi c bu duum x y d < s d eşitsizliği ile çelişi Teoem 45 e göe ( 4) delemii hehgi bi ozitif çözümü olm üzee ( x y d ) x y d fomülü ile heslı Yi u v ( 4) delemii bi ozitif çözümü ise uygu bi tmsyısı içi u x v y di Öe 45 x y i x 35 y delemii temel çözümü olduğu 6 göülebili İici ozitif y x çözümü ( ) 35 x y şelide buluu Yi x 7 y di Bu tmsyıl x 35 y delemii sğl Geçete 7

77 Üçücü ozitif çözüm x 35 3 ( 6 35) ( 7 35)( 6 35) y3 eşitliğide buluu Bud x y3 43 tü Geçete 846 Bu şeilde diğe çözümle de elde edili x d y Delemi Teoem 5 göstesi d i eiyot uzuluğu m olsu ve d i ylşımıı x d y ( 5) delemii m çift ise çözümü yotu m te ise ( 5) delemii tüm ozitif çözümlei; jm jm j içi x y ile veili ( 5) delemii e üçü ozitif çözümü ( ) m m ( 4) delemii e üçü ozitif çözümü ( ) m m di ve di 7

78 ( 5) delemii diğe çözümlei e üçü ozitif çözüm ydımıyl bulubili 7 Yüzyıld Bhmgut x d y ± delemleii göz öüe ldı ve ( x dy )( z dt ) ( xz ± dyt) d( xt ± yz ) ( 5 ) özdeşliğii oluştudu Bu özdeşliğe Bhmgut Özdeşliği dei Teoem 5 ( 5) delemii bi çözüme shi olduğu vsyılsı ve ( s ) delemi e üçü ozitif çözümü olsu içi x ve x y d ( s d ) şelide tımlsı Bu tdide ( 5) ozitif çözümlei te ie ( x y ) ile veili ( 4) bu y ozitif tmsyılı delemii tüm delemii tüm ozitif çözümlei çift ie ( x y ) ile veili Özel ol ( 4) delemii temel çözümü ( x y ) İst: Öce ( x y ) i ( 4) delemii temel çözümü olduğu gösteileceti ( 4 ) delemii e üçü ozitif çözümü ( h ) di edili ( 5 ) Bhmgut Özdeşliğide ( x ) ; ( 4) çözümüdü içi çift ( ) ise g olsu Bu ttide s d < g h d elde x y d y ( g h d ) ( s d ) ( g h d ) delemii bi ozitif 73

79 ve böylece ( ) ( ) s d g h d s d < g h d olduğud elde edilmelidi Yi s d elde edilmelidi i bu imsızdı Böylece te olmlıdı ise ( s d ) ( g h d ) ve s d < g h d olduğud ( g h d ) < s d < g h d Bud dolyı dı ve böylece x y d g h d ve bud x g ve y h olu ( x y ) ( 4) delemii temel çözümü olduğud bu delemi tüm çözümlei çift ie ( x y ) le ile veili te ise ( x y ) ( 5) ozitif çözümüdü delemii bi Şimdi ( 5) delemii eyfi ( u v ) ozitif çözümü te olm üzee ( x ) fomuddı ( s d )( u v d ) b d yzılıs ( 5 ) Bhmgut Özdeşliğide ( b ) ( 4) çözümüdü Böylece bi te ie çift tmsyısı içi ( ) delemii bi ozitif y b d s d ve böylece ( s d ) x y d u v d Bud u x ve v y i bu d istı tmml 74

80 Teoem 53 ( 5) delemii (çözümü vs) e üçü ozitif çözümü ( s ) ( 5) delemii çözümü yos ( s ) ( 4) olsu içi x ve y ozitif tmsyılıı ile tımlsı Bu ttide x y d olsu delemii e üçü ozitif çözümü ( s d ) x s d ye; y x d ye e yı tmsyıldı Öe 5 9 u eiyoduu uzuluğu 5 olduğud x 9y delemii e üçü ozitif çözümü ( ) ( 73 ) tü Böylece ( s ) ( 73 ) Öcei ii souçt ve y 8 tmsyısı x ( ) x tmsyısı e üçü ozitif çözümü ( y ) ( 988 ) elde edili e e yı tmsyı 98 olduğud e yı tmsyı olduğud x 9y delemii x olu ( ) Yuıdie beze ol e yı tmsyı 5483 olduğud 9y çözümü ( y ) ( ) e e yı tmsyı 37 ve x delemii ( 3 ) te soi x tü (Böylece x 37 ve

81 ( ) ) So ol y e e yı tmsyı 99 ve 99 e yı tmsyı tı Böylece 9 x y delemii 9 ( 98 8 ) de soi çözümü ( y ) ( ) 4 4 x 99 ve y elde edili x olu Bu duumd 6 x d y N Delemi N sıfıd flı bi sbit tmsyı olsu d egtif ise x N ve y N d olcğıd ( 6 ) x d y N delemi sdece solu syıd çözüme shiti d bi tm e ( ) ( x y)( x y) N d ise elde edili ve N i çlı yımı solu yolu olduğud solu syıd çözüm vdı Böylece d i tm e olmy bi ozitif tmsyı olduğu vsyılbili Bi ozitif N syısı içi x d y ± N delemii çözümü d tm e değile d ye syoel ylşıml bulml ilgilidi ( 5) Bhmgut Özdeşliği ( 6) delemii bi çözümü ile ( 4) delemii bi çözümüü çımıı; ( 6) delemi içi bi bş çözüm oluştuduğuu göstei ( 4) delemii sosuz 76

82 çolut çözümü olduğud ( 6) delemii de (eğe vs) sosuz çolut çözümü olctı K eel udti syı cismi olsu K ı temel biimi ε > olm üzee ε ile gösteilsi Reel udti syı cisimlei N ( ε ) vey ( ε ) N olm üzee ii sııfı yılı N ( ε ) ise K ı he ε biimi içi N ( ε ) di ( ε ) içi ( ε ) N di K ( ) olmlıdı ε şğıdi teoem ullıl heslı N ise K ı he ε biimi d ( d > ) cismi içi N ( ε ) olmsı içi D 3( mod 4) Teoem 6 u ve v ozitif ve miiml değelee shi olm üzee ( ) u v u dv 4 ( 6) delemii te tülü belili tmsyı çözümü olsu Bu delemi tmsyıld çözümü yos ( u v ) u dv 4 u v d delemii bi çözümü olsu Bu ttide ε olu İst : ( u v) ( 6) u v d delemii bi tmsyı çözümü olsu ve ε oluştuulsu Bu duumd u bi tmsyıdı ve ( ) ± u dv N ε (ε K d bi biim olduğud) 4 77

83 Tesie K ı he biimi dv( mod ) u deliğii sğly u v tmsyılıyl bu fomd yzılbili Böylece u v ( 6) delemii bi tmsyı çözümü olu u v ε d eşleiği de göz öüe lııs ve olduğu göülüse ε > eşitsizliğii N ( ε ) ε ε N ( ε ) ε ε < ε < ε < ε < ε eşitsizlileie de olduğu göülü ve böylece diğe bi duumd bu u v > eşitsizliğie deti Şimdi u v d ε ( ) dizisi içi u v dizileii mooto t dizile olduğuu gösteme geeiyo ( 6 ) delemide v te u u d ttığı lşılcğıd he içi u > u ve v > v eşitsizlileide sdece biii sğldığıı gösteme yeteceti u ε ε v d ε ε N ( ε ) ise u ( ε ) ε ( ) u ε ε ( v v ) d ε ( ε ) ε ( ) ε ε ε elde edili Bu ttide ( v v ) d ε ( ε ) ε ( ) ε > 78

84 ( ε ) N ise ε ε elde edili Bu ttide çift ise ( v v ) d ε ( ε ) ε ( ) ε > te ise ( u ) d ε ( ε ) ε ( ) u ε > Bu teoem syeside veile bi d içi temel biimi belileye bi ul elde edili v 3 l dv m 4 syılıı bi e beliti belitmediği test edili Biimi vlığı teoemide e (tı işetiyle) eide soud buluu Ft v ye esi işeti veme dh uygudu Bu uy il duum: d m v 4 u u v ε d temel biimii vei Bu heslmld d i e çsız çsıı lml dh iyi souç elde edili d γ ie γ ( mod4) olduğud γ v m 4 ifdesiyle uğşmmız geeeceti d 4 γ olm üzee γ 3( mod 4) duumud 4 çı d ve u ullıl sdeleştiili ve yuıdi ifde γ v m ifdesie döüştüülü γ mod4 e göe e de ol bi sl ç shise sdece işeti göz öüe lımlıdı 79

85 Öe 6 γ 4 içi temel biimi belileyelim: γ 4 ( mod 4) ve 4 ü sl ol 7 çı içi 7 ( mod 4) olduğud sdece işetii göz öüe lmlıyız Şimdi 4v iceliğii e olmsıı istiyouz Mesel v 4 içi u 5 Böylece ε ( ε ) N olu Öe 6 γ 69 içi temel biimi belileyelim: γ 69 ( mod 4) ve 69 u sl ol 3 ve 3 çlı 3 3 ( mod 4) olduğud sdece işetii göz öüe lmlıyız Şimdi 69v 4 iceliğii e olmsıı istiyouz Öeği v 3 içi u 5 Böylece ε ( ε ) N olu Öe 63 γ 65 içi temel biimi belileyelim: γ 65 ( mod 4) ve γ i mod4 e göe e de ol sl çı yotu Bu yüzde sdece işetii değil he ii işeti de göz öüe lmlıyız Şimdi 65v m 4 ifdesii bi e olmsıı istiyouz v lıs u 6 olu Bu duum işetiyle sğldı Böylece 8 65 ε ( ε ) N olu 8

86 Öe 64 γ 34 içi temel biimi heslylım: γ 34 ( mod 4) ve 34ü mod4 e göe e de ol sl çı yotu Bu yüzde sdece işetii değil he ii işeti de göz öüe lmlıyız Şimdi 34v m iceliğii bi e olmsıı istiyouz v 6 lıs u 35 olu Bu duum işetiyle sğldı Böylece ε ( ε ) N olu So öe ( ε ) N içi öcei öete göüle ştı geeli olduğu m yeteli olmdığı bi öeti mod4 e göe e de ol sl çı olmy disimitl içi N ( ε ) i işeti oblemi ço smlı bi oblemdi 7 Süeli Kesile Yötemi İle Çl Ayım d i süeli esi yışımıı bi ylşımı ise d ( ) s olu ı bi çift değei içi s geelde bi tm edi ve bu duum dh so çılc ol büyü syılı çl yım lgoitmsıd temel oluştuu N bi te syı olsu b b olm üzee 8

87 N b yzılbilise N ( b)( b) şelide çlı yılbili Bu metod Femt metodu diye bilii Bu etili bi yötem değildi çüü b < < N ve b N olm üzee N şelide bi e m geetii b ( mod N ) olduğu vsyılsı Bu ttide ve ile b üzeidei sıılmld N ( b N ) ( b)( b) N b b yi ve b yi bölmez d : ( b N ) ve d : ifdeleii bulumsı içi Euclide Algoitmsı ullılı d ve d N i hs böleleidi Yi < d < N ve < d < N ( mod N ) x y ogüsı egede ogüsı ol bilii Böylece N i çlı yım oblemi N i şi olmy böleleii üete egede ogüsıı çözümleii bulm oblemie döüşü 7 egede çl yım metodu: N tm e olmy bi ozitif te tmsyı olsu d N olsu ve s l : s : : s s : s 8

88 şelide tımlı tmsyıl olsu Bu ttide ( ) s N Yi ( ) s ( mod N ) çift ise ve s bi e (diyelim s c ) ise bu ttide ( N ) ve y c( mod N ) x mod egede ogüsıı bi çözümüdü Eğe bu çözüm bi şi çözüm ise yi eğe ( mod N ) ± c ise yuıdi metod sdece ve N çlıı üeti Ft eğe ( mod N ) ± c değilse bu ttide bu metod N i hs böleleii vei egede Çl Ayım Metodu şğıdi gibi özetlei: N tm e olmy bi ozitif te tmsyı olsu Öcelile s ve l heslı Bu işlem bi tblod yılbili (Aşğıdi öeğe bıız) heslmsıı geemediğie dit edilmelidi ı ) çift olm üzee bi s oluştuulduğud edili ( te ie tüm s l ihml edili) s ı tm e olu olmdığı otol ) s c ve ± c( mod N ) ( mod N ) değilse ve b c olsu ( eğe ± c ise bi soi s ı tm e olu olmdığı otol edili) 3) d : ( b N ) ve d : ( b N ) ifdeleii bulumsı içi Euclide Algoitmsı ullılı Bu ttide d ve d N i hs böleleidi Aslıd Euclide Algoitmsı ile diyelim d buluduğud d N d d d N bu yüzde de heslı 83

89 4) d ve d de bii sl değilse yötem N i diğe çlıı d bulm içi te edili NOT: N i eiyodu ço üçü olbili öeği içi [ ] Bu gibi duumld s l sıd uygu ele bulumsı zolşı Bu duumd eiyot uzuluğuu bulumsı içi N bş bi ozitif tmsyı ile çılı Bu syıy bi doig ç dei Bu tei yım lgoitmsı N i eiyodu uzu ols bile ullılbili m çl s ı il 5 değei içi uygu ele üetmez Bu duumd bi doig ç ullılı yöteme yeide bşlı Öe 7 N 7683 olsu ( Peiyot uzuluğu olduğu içi bu syı seçildi) Aşğıdi tblo oluştuulsu: s Tm e ol il s ; s du böylece s ( mod7683 ) 4 7 ( mod 7683) Ac ( mod 7683 ) yi 3 olduğud egede 84

90 Çl Ayım Metodu 7683 ü hs böleleii vemez Ke ol iici s di Dolyısıyl ( mod7683 ) Böylece 45 9 ( mod 7683) s6 s ; ( ) ( ) 7 ve ( ) ( ) 73 olduğud 7 ve ü böleleidi Aslıd (73 syısı sl değil c ) NOT: N i eiyot uzuluğu m ise s di Bu öete m çift olduğud ( mod 7683 ) elde edili yi ( mod 7683 ) 9 s 7683 ü bölelei olduğu lşılı m 678 i bud 37 ve 59 u 85

91 3 EİPTİK EĞRİER 3 Eliti Eğilee Giiş Eliti eğile ii değişeli übi bi delemi sğly otlı ümesidi Bu bölümde itolojide de ullıl büyü syılı çl yım oblemi içi eliti eğile ullıl oluştuul lgoitm veileceti Bu tezde eliti eğilei icelemesii sebeleide bii de bi delemide { x y z} y z Femt x tmsyı üçlüleii bulm oblemii bu delem uygu bi döüşüm ydımıyl eliti eğiye döüştüülee bu eliti eği üzeidei syoel otlı bulm oblemie döüşmesidi (Geçete y z delemi x z X : x y x y 3 Y : 36 döüşümleiyle Y X 43 eliti eğisie döüşü X x y Y 36 3 hicide Y X 43 delemii syoel çözümü yotu) 86

92 Bu yüzde eliti eği üzeidei syoel otlı belilemesi geemetedi Rsyoel otlı belileebilmesi içi de eliti eğilei otlı üzeide bi tolm işlemi tımlm geei Tüm buld öce eliti eği tımlıdı K bi cisim olsu b c d e K olm üzee K cismi içi eliti eğii geel delemi 3 y xy by x cx dx e di Eliti eğii geel delemi fi döüşümle ullıl eğe ( K ) ch ise 3 y y x bx c vey 3 y xy x x b ; eğe ( K ) 3 ch ise 3 y x x bx c fomudi deleme döüşü Ayı şeilde eğe ( K ) 3 ch ise eliti eği delemi ( 3 ) y x 3 x b delemie döüşü ( 3 ) delemli eliti eği E ile gösteilsi Kteistiği ve 3 te flı ol cisimlele ilgileileceğide eliti eği delemi ol ( 3 ) delemi ullılctı 87

93 3 Pojetif Uzyl Bi eliti eğii otlıı bi Abeli gu y tolm işlemii veilebilmesi içi ojetif uzylı ıs bi tifii veilmesi geei Bu tolm işlemii tımıd eel esee di ol eliti eğii otlı üzeidei tolmı etisiz elemı ol şımız çıc ol ve sosuzdi ot ol dldııl otı tımı ihtiyç duyulu Gu siyomlıd bileşme özelliğii lşılbilmesi içi übi eğilei esişimleii iyi belilemesi geemetedi 3 {( ) } K ümesi üzeide şğıdi şeilde tıml bğıtı bi deli bğıtısıdı ( X Y Z ) ( X Y Z ) K 3 {( ) } içi eğe ( Y Z ) t ( X Y Z ) şeilde bi t K vs ( Y Z ) ve ( Y Z ) ( X Y Z ) X ve ( X Y Z ) X ile gösteili X olc otlı detile dei Bu deli bğıtısıd oluş deli sııflıı ümesie ii boyutlu ojetif uzy dei ve ( K ) ile gösteili ( K ) ( X Y : Z ) : ile gösteili ı elemlı d ojetif otl dei ve ( K ) d hehgi bi ( X Y : Z ) : otsıı llım Eğe 88

94 Z ise X Y x y : Y Z : olm üzee ( X : Y : Z ) ( x : y :) di Bu duumd ( K ) ( x : y :) şelidei elemlı ( K ) ı ( : y : ) K i elemlıyl biebi eşleebili x şelidei elemlı sosuzdi otl dei Böylece ( K ) K ( x : y : ) { x y K } ı şelide düşüülebili (Kumdui ve Romeo 998) Şimdi E eliti eğisii sosuzdi otlıı belileyelim ( x y) f tsyılı K cismide lı ii değişeli bi oliom olm üzee fi düzlemdei ( x y) f eğisie yeteice büyü bi uvveti ile çıc ( K ) ( 3 ) delemide X Y x : y : döüşümleii uygulyı bu eğiyi Z i Z Z d bi eliti eği ol düşüebiliiz X Y x : y : döüşümleii yı delemi he ii tfıı Z Z ile çs ojetif düzlemde eliti eği; ( X Y Z ) E {( X : Y : Z ) ( ) } K Y Z X 3 XZ 3 E : bz di olsu Z ise X elde edili X Y ve Z i üçü bide sıfı olmycğıd Y di Yi otsıı ϑ ile gösteelim E di sosuzdi ot sdece ( ::) 3 Z dı ( ::) 89