Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674"

Transkript

1 kapak sayfası

2 İÇİNDEKİLER 7. ÜNİTE POLİNOMLAR Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler... 4 Polinom Kavramı Polinomlarda İşlemler... 9 Konu Testleri Polinomlarda Çarpanlara Ayırma... 7 Çarpanlara Ayırma Konu Testleri Polinom ve Rasyonel Denklemlerin Çözüm Kümeleri... 4 Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi ve Genişletilmesi Konu Testleri Yayımlayan: Sebit Eğitim ve Bilgi Teknolojileri AŞ Üniversiteler Mah. İhsan Doğramacı Bulv. No: ODTÜ Teknokent Ankara / TÜRKİYE Tel: Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / 06 ISBN Numarası: Sertifika No: 674 Bu kitabın her hakkı saklıdır. Kısmen ve kaynak gösterilerek de olsa kesinlikle hiçbir alıntı yapılamaz. Metin, biçim, sorular, yayımlayan şirketin izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir sistemle çoğaltılamaz, dağıtılamaz ve yayımlanamaz.

3 POLİNOMLAR Ünite-7 Kazanımlar Polinom Kavramı ve Polinomlarla İşlemler Gerçek katsayılı ve bir değişkenli polinom kavramını açıklar Polinomlarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapar Bir p() polinomunun q() polinomuna bölümünden kalan bulur Katsayıları tam sayı ve en yüksek dereceli terimin katsayısı olan polinomların tam sayı sıfırlarının, sabit teriminin çarpanları arasından olacağını örneklerle gösterir Polinomlarda Çarpanlara Ayırma Gerçek katsayılı bir polinomu çarpanlarına ayırır Polinom ve Rasyonel Denklemlerin Çözüm Kümeleri Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ile ilgili uygulamalar yapar Polinom ve rasyonel denklemlerle ilgili uygulamalar yapar. Raunt

4 POLİNOMLAR POLİNOMLAR Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler Polinom Kavramı n, n, n,..., 0 N ve a 0, a, a,..., a n R, a n 0 olmak üzere; P() = a n n + a n n a + a + a 0 biçimindeki ifadelere e baðlý, n inci dereceden bir deðiþkenli polinom denir. a n, a n-,..., a, a o reel sayýlarýna polinomun katsayýlarý denir. Sýfýrdan farklý a n reel sayýsýna polinomun baþ katsayýsý denir. in en büyük üssü olan n doðal sayýsýna polinomun derecesi denir ve der (P()) = n biçiminde gösterilir. a n. n, a n. n,..., a., a o ifadelerinden herbirine polinomun bir terimi denir. a 0 reel sayýsýna sabit terim denir. Örnek P() = polinomu veriliyor. a) Bu polinomun derecesi kaçtýr? b) Bu polinomun baþ katsayýsý kaçtýr? Çözüm a) der(p()) = 5 b) Baş katsayı: 8 c) Sabit terim: 0 d) Katsayılar toplamı: = c) Bu polinomun sabit terimi kaçtýr? d) Bu polinomun katsayýlar toplamý kaçtýr? Alıştırma Aþaðýdaki tabloyu örneðe uygun biçimde doldurunuz. 4 Raunt

5 Matematik-0 Ünite-7 Örnek Aþaðýdaki ifadelerden hangileri polinomdur? a) P() = b) Q() = 8 + c) R() = d) S() = e) T() = Çözüm P(), R(), T(), K() birer polinomdur. Q() ifadesinde in, S() ifadesinde ise in derecesi doğal sayı olmadığından, bu iki ifade de polinom belirtmez. / f =, z Np ve ( =, z N) f) K() = 0 Alıştırma m m m P() = ifadesi m = için polinom olur mu? Neden? m = için polinom olur mu? Neden? m = 4 için polinom olur mu? Neden? Bu ifadeyi polinom yapan tüm m tamsayý deðerlerini bir A kümesine yazýnýz. A = {...} Örnek 5 m 7 P() = m ifadesi bir polinom olduðuna göre, bu polinomun derecesi kaçtır? Çözüm P() ifadesi bir polinom ise, içerisindeki tüm terimlerin dereceleri birer doğal sayı olmalıdır. Buradan, 5 $ 0 m m 7 0 } m > 0 m > 7 m $ O halde m = 6 olmalıdır. ((m ), 5 i tam bölmelidir.) P() = = 8 + der(p()) = olur. Raunt 5

6 POLİNOMLAR Sabit Polinom a 0 olmak üzere, P() = a polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi 0 dýr. Örnek 4 P() = (m + ). + (n ). + 8 polinomu sabit polinom olduðuna göre, m.n kaçtýr? Çözüm 4 m + = 0 ve n = 0 olmalıdır. m = ve n = olur. O halde; m.n =. = 6 Alıştırma Tablodaki P() polinomlarýnýn sabit polinom olabilmesi için a ve b deðerlerini bularak boþ olan yerlere yazýnýz. Sýfýr Polinomu P() = 0 polinomuna sýfýr polinomu denir. Sýfýr polinomunun derecesi belirsizdir. Örnek 5 P() = (a + b 6) + a b polinomu, sýfýr polinomu olduðuna göre, a kaçtýr? Çözüm 5 a + b 6 = 0 ve a b = 0 olmalıdır. a + b = 6 + a b = a = 8 a = 4 6 Raunt

7 Matematik-0 Ünite-7 Alıştırma 4 Tablodaki P() polinomlarýnýn sýfýr polinomu olabilmesi için a, b ve c deðerlerini bularak aþaðýdaki boþ olan yerlere yazýnýz. Örnek 6 P( ) = olduðuna göre, P() polinomu nedir? Çözüm yazılarak + + Pff p p = 6. f p + 5 P() = + 9 Alıştırma 5 Aþaðýdaki tabloyu örneðe uygun biçimde doldurunuz. Tabloya göre; Sabit terim ile polinomlarýn = 0 için aldýðý deðerleri karþýlaþtýrýnýz. Katsayýlar toplamý ile polinomlarýn = için aldýðý deðerleri karþýlaþtýrýnýz. Bir polinomda katsayýlar toplamýný ve sabit terimi bulmak için bir yöntem oluþturabilir misiniz? Sonuç olarak; verilen polinomda katsayılar toplamı bulunurken yerine yazılır. Sabit terimi bulurken yerine 0 yazılır. Raunt 7

8 POLİNOMLAR Örnek 7 P() = ( + ) polinomunun katsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? Çözüm 7 P() = ( +. ) = () = 48 = 6 Örnek 8 P() bir polinomdur. P( + ) + P( ) = + olduðuna göre, P() polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayýlar toplamý kaçtýr? Çözüm 8 P( ) + P( ) değeri soruluyor. = 0 P() + P( ) = P() + P( ) = P( ) + P( ) = = Örnek 9 P() = ( ) 7 + ( + ) 7 polinomu düzenlendiðinde elde edilen tek dereceli terimlerin katsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? Çözüm 9 P( ) P( ) değeri soruluyor. P() = (. ) 7 + ( + ) 7 = + 7 P( ) = (.( ) ) 7 + ( + ) 7 = P( ) + P( ) + ( + ) 7 = = 8 Raunt

9 Matematik-0 Ünite-7 Örnek 0 P() =.( ) 5 6. ( + ) polinomunun sabit terimi kaçtýr? Çözüm 0 P(0) =.(.0 ) 5 6.(0 + ) =.( ) = 4 4 = 0 Polinomlarýn Eþitliði (Özdeþliði) P() ve Q() ayný dereceden iki polinom olsun. P() ve Q() polinomlarýnda eþit dereceli terimlerin katsayýlarý karþýlýklý olarak birbirine eþit ise bu iki polinom birbirine eþittir. P() ve Q() polinomlarýnýn birbirine eþitliði P() = Q() biçiminde gösterilir. Örnek P() = m + n + Q() = + n 5 polinomlarý veriliyor. Bu iki polinom eþit (özdeþ) olduðuna göre, m + n toplamý kaçtýr? Çözüm m = 0 ve n + = n 5 olmalıdır. (Aynı dereceli terimlerin katsayıları eşittir.) 6 = n m + n = 6 Polinomlarda Ýþlemler Toplama ve Çýkarma Ýþlemleri Herhangi iki polinom arasýnda toplama veya çýkarma iþlemi yapýlýrken ayný dereceli terimler arasýnda iþlem yapýlýr. Raunt 9

10 POLİNOMLAR Alıştırma 6 Aþaðýdaki tabloda boþluklarý doldurunuz. Tabloya bakarak; Q() polinomunu yazýnýz. P() Q() polinomunu yazýnýz. P() + Q() polinomunu yazýnýz. Örnek P() = Q() = polinomlarý veriliyor. a) P() + Q() polinomu nedir? Çözüm P() = Q() = ( ) + ( ) = + + P() Q() = ( ) ( ) = b) P() Q() polinomu nedir? Örnek P() = 5 + m Q() = 4 + p + n polinomlarý veriliyor. P() + Q() = (m ) a b olduðuna göre, a + b + m + n + p toplamý kaçtýr? Çözüm P() + Q() = ( 5 + m) + ( 4 + p + n ) = 4 + (p + ) + (n 5) + m = (m ) a b m =, p + = 4, = a, n 5 = 6, m = b m = p = n = = b 0 = b = 4 0 Raunt

11 Matematik-0 Ünite-7 Polinomlarda Çarpma Ýþlemi Ýki polinomu çarpmak için birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimiyle ayrý ayrý çarpýlýr. Çarpýmlardan elde edilen ayný dereceli terimler toplanýr. Örnek 4 P() = Q() = + 4 olmak üzere, P().Q() polinomu nedir? Çözüm 4 P(). Q() = ( ) ( + 4) = = = Bir Polinomun Bir Sabitle Çarpýmý Bir P() polinomunu bir c reel sayýsýyla çarpmak için, P() in her teriminin katsayýsý c ile çarpýlýr. Örnek P() = polinomu verilsin. a).p() =.(4 + 5) = tir. b).p() =.(4 + 5) = dur. Raunt

12 Sınav Kodu: M0079 POLİNOMLAR Konu Testi. 8 n n 6 P() =. + + olduðuna göre, P() polinomunun derecesi kaçtýr? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 4. P() = ( + ). ( a ) + 4 Q() = 4 + b + c polinomlarý veriliyor. P() = Q() olduðuna göre, a + b + c toplamý kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 4. P() = (a ) + (b + 4) + c polinomu sýfýr polinomu olduðuna göre, a + b + c toplamı kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) 5. ( ). P( + ) = + k eþitliði veriliyor. Buna göre, P( + ) polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6. P( + ) = + olduğuna göre, P( ) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 6. P( + ) + P( ) = + 8 olduðuna göre, P() polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr? A) 5 B) 6 C) 8 D) 0 E) Raunt

13 Matematik-0 Ünite-7 7. der(p()) = 4 ve der(q()) = 5 olduðuna göre, P ( 4). Q(P( )) polinomunun derecesi kaçtýr? A) 66 B) 64 C) 48 D) 8 E) 0. P() = + + polinomu veriliyor. P(). Q() = 9 + m + n olduðuna göre, Q() polinomunu nedir? A) B) + C) D) E) = ( + a + b) olduðuna göre, a. b kaçtýr? A) B) 0 C) D) E). ( ). P() = 4 + a + olduðuna göre, P() polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 9. P() = + Q() = olduðuna göre, P(). Q() polinomunda li terimin katsayýsý kaçtýr? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4. P() + P( ) = olduðuna göre, P( ) polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Raunt

14 POLİNOMLAR Polinomlarda Bölme Ýþlemi P(), Q(), R(), K() birer polinom olsun. der (P()) der (Q()) der (K()) < der (Q()) P() = Q(). R() + K() ise P() polinomunun Q() polinomuna bölünmesinden elde edilen bölüm polinomu R(), kalan polinomu K() tir. Bu bölme iþlemi P() Q() K() R() biçiminde gösterilir. Bu bölme iþleminde P() e bölünen, Q() e bölen, R() e bölüm, K() e kalan denir. K() = 0 ise P(), Q() e tam bölünüyor denir. P() = Q(). R() + K() eþitliðine bölme özdeþliði denir. Örnek 5 Çözüm 5 P() = ( + ).( ) + + Bir P() polinomunun + ile bölünmesinden elde = edilen bölüm ve kalan + olduðuna göre, = + 5 P() polinomu nedir? Örnek 6 P() = polinomununun e bölümünden elde edilen bölüm ve kalan nedir? Alıştırma 6 Bölme iþlemini yaparak tablodaki boþluklarý doldurunuz. Çözüm B() = + K() = Raunt

15 Matematik-0 Ünite-7 P() Polinomunun a ile Bölümünden Elde Edilen Kalan a birinci dereceden bir polinom olduðundan, P() polinomunun a ile bölünmesinden elde edilen kalan bir k sabit sayýsýdýr. P() k a Q() bölme iþleminden P() = ( a). Q() + k bölüm özdeþliði yazýlabilir. Bu eþitlikte, = a yazýlýrsa P(a) = k bulunur. Buna göre, bir P() polinomunun ( a) ile bölümünden elde edilen kalan P(a) dýr. Örnek 7 P() = polinomunun ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? Çözüm 7 P() değeri soruluyor. P() = = Alıştırma 7 Aþaðýda verilen polinomlarýn baþka bir polinoma bölünmesi ile elde edilen kalaný, bölme iþlemi yapmadan kýsa yoldan örneðe uygun þekilde doldurunuz. Örnek 8 P() = + a + 7 polinomunun + ile bölümünden elde edilen kalan olduðuna göre, a kaçtýr? Çözüm 8 P( ) = dir. P( ) = ( ) + a.( ) + 7 = = 4 a + 7 = = a a = 6 Raunt 5

16 POLİNOMLAR Örnek 9 P() = polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? Çözüm 9 P f p değeri soruluyor. Pf p= 4. f p + 8. f p + = = 8 Örnek 0 P() = 4 + a polinomunun ile tam bölünebilmesi için a kaç olmalýdýr? Çözüm 0 P( ) = 0 olmalıdır. P( ) =.( ) 4 +.( ) a = a = 0 a = 6 P() Polinomunun a ile Bölümünden Elde Edilen Kalan P() a B() K() bölme iþleminden P() = ( a). B() + K() yazýlabilir. Bu eþitlikte, her bir yerine a yazýlýrsa K() elde edilir. 6 Raunt

17 Matematik-0 Ünite-7 Örnek P() = polinomunun + ile bölümünden elde edilen kalan nedir? Çözüm + = 0 = olur. P() = biçiminde yazarsak; K() = ( )( ) ( ) + ( ) + 4 = = 6 Alıştırma 8 Aþaðýda verilen polinomlarýn baþka bir polinoma bölünmesi ile elde edilen kalaný, bölme iþlemi yapmadan kýsa yoldan örneðe uygun þekilde doldurunuz. Örnek P( + ) = a + eþitliði veriliyor. P() polinomunun ile bölümünden kalan 8 olduðuna göre, P() polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? Çözüm P() = 8 dır. P() =? P( + ) = a + = P() =. a. + = 8 a = P( + ) = + + = P() = = 7 Raunt 7

18 POLİNOMLAR Örnek Bir P() polinomunun ( ) ile bölümünden elde edilen kalan 5, ( + ) ile bölümünden elde edilen kalan olduðuna göre, P() polinomunun ( + ).( ) ile bölümünden kalan nedir? Çözüm P() = 5, P( ) = dır. P() = ( + )( ).B() + a + b = P() = a + b = 5 = P( ) = a + b = Buradan; a + b = 5 a + b = a = a = b = K() = + bulunur. Örnek 4 Bir P() polinomunun Q() polinomu ile bölümünden elde edilen bölüm ( ), kalan ( + 7) dir. Q() polinomunun + + polinomu ile bölümünden kalan 5 olduðuna göre, P() polinomunun ( ). ( + + ) ile bölümünden elde edilen kalan nedir? Çözüm 4 P() = Q(). ( ) + ( + 7) Q() = ( + + ).B() + 5 P() = [( + + ).B() + 5 ]. ( ) + ( + 7) = ( )( + + ).B() = ( )( + + ).B() K() = Örnek 5 P() bir polinomdur. ( + ). P() = + a olduðuna göre, P() in + ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm 5 = 0 = ( ) + a.( ) 0 = + a a = ( + ).P() = ± + = P() P( ) = ± 0 8 Raunt

19 Sınav Kodu: M0080 Matematik-0 Ünite-7 Konu Testi. P() = 4 m polinomu veriliyor. P( ) polinonumun çarpanlarýndan biri + olduðuna göre, m kaçtýr? 4. P() = + a + b polinomu + polinomu ile tam bölünebildiðine göre, a + b kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 A) B) C) D) 0 E). P() = m + n polinomunun ile bölümünden kalan 8 olduðuna göre, m.n çarpımı kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 5 5. Bir P() polinomunun ( + ). ( ) ile bölümünden kalan 4 7 dir. Buna göre, P( + ) polinomunun ( ) ile bölümünden kalan kaçtýr? A) 5 B) 4 C) D) E) 6. P( + ) = ( + ). Q( ) +. P() = ( + ). Q() + Q() = ( 4). T() + 5 olduðuna göre, P() polinomunun ( 4) ile bölümünden kalan kaçtýr? eþitliðinde P() ve Q() birer polinomdur. P() polinomunun ( ) ile bölümünden kalan 7 olduðuna göre, Q() polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan kaçtýr? A) B) 5 C) 7 D) 40 E) 4 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Raunt 9

20 POLİNOMLAR 6a a+ 7. a Z olmak üzere, P() = ifadesi bir polinom belirttiðine göre, bu polinomun derecesi en çok kaç olabilir? A) B) C) 4 D) 5 E) 6. P() = + m + 7 polinomu + ile tam bölünebiliyor. Buna göre, P( ) in sabit terimi kaçtır? 7 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 4 8. P() = + 4a + 5 polinomu veriliyor. P() in sabit terimi ile P() in katsayýlar toplamýnýn toplamý 0 olduðuna göre, P() in ile bölümünden kalaný kaçtır? A) 76 B) 75 C) 7 D) 70 E) 68. P() polinomunun + ile bölümünden kalan 5 ve ile bölümünden kalan olduðuna göre, P() in + ile bölümünden kalan nedir? A) + B) + C) + D) E) 9. P() = 4 + m + m + polinomunun ile bölümünden kalan k, + ile bölümünden kalan k ve k k = 9 ise m kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5. P() üçüncü dereceden bir polinomdur. P() = P( ) = P() = 0 P() = a. P( ) olduðuna göre, a kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 0. ( ) P() = a + eþitliði veriliyor. Buna göre, P() kaçtır? 4. P( ) + P( + ) = olduðuna göre, P() polinomu nedir? A) 0 B) C) 4 D) 9 E) 0 A) B) C) + D) + E) + 0 Raunt

21 Sınav Kodu: M008 Matematik-0 Ünite-7 Konu Testi. P() = 4 m + 5 m m ifadesi bir polinom olduðuna göre, m kaçtýr? A) 5 B) 4 C) D) E) 6. P(, y) = (a ) y + (b ) y y Q(, y) = 4 y y + (c + ) y iki deðiþkenli polinomlarý veriliyor. P(, y) = Q(, y) olduðuna göre, a + b + c kaçtýr? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 8 n. P() = n polinomunun derecesi kaçtýr? A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 0. P() ve Q() iki polinomdur. 7. P() = + m + 7 polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan 5 olduðuna göre, m kaçtýr? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 4 der[q()] = 4 der[p(). Q()] = 6 olduðuna göre, der[p()] kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 6 4. P() = (a ) + (b+) + a b polinomu bir sabit polinom olduðuna göre, P() kaçtýr? 8. Bir P() polinomunun Q( + ) polinomuna bölümünden elde edilen bölüm B( ), kalan K( + ) tür. Q(4) = 5 B() = K(6) = olduðuna göre, P() kaçtýr? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) B) C) 5 D) 7 E) 8 9. P() = (a ) b 5. P() polinomunun katsayýlar toplamý 5 tir. P() = + a olduðuna göre, a kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) 5 polinomunun ile bölümünden kalan, ( ) ile bölümünden kalan dir. Buna göre, a + b toplamı kaçtýr? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) Raunt

22 POLİNOMLAR 0. P() ve Q() polinomlarýnýn ( + ) ile bölümünden kalanlar sýrasýyla ve olduðuna göre, aþaðýdaki polinomlardan hangisi daima ( + ) ile kalansýz bölünebilir? A) P( + ) + Q() B) P() + Q() 4. P() = 4 + a + b polinomu ( ) ile kalansýz bölünebildiðine göre, a + b toplamı kaçtýr? A) 40 B) 6 C) 0 D) 6 E) 8 C) Q() P() D) P() Q() E) P() Q() 5. P() = polinomunun ( kaçtýr? ) ile bölümünden kalan. Bir P() polinomunun ( 4). ( + ) ile bölümünden elde edilen kalan (6 + 4) tür. Buna göre, P() polinomunun ( + ) ile bölümünden elde edilen kalan kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) A) B) C) 4 D) 4 E) P() = + a + b + 8 polinomu ( 9) ile tam bölünebildiðine göre, a + b toplamı kaçtýr?. P() = polinomunun + ile bölümünden elde edilen kalan aþaðýdakilerden A) 0 B) 6 + C) 6 + A) B) 6 C) 8 D) 0 E) 7. Baþ katsayýsý olan ikinci dereceden bir P() polinomunda, D) 4 E) 4 + olduðuna göre, oraný kaçtýr?. Bir P() polinomunun ( ) ile bölümünden elde edilen kalan, ( + ) ile bölümünden elde edilen kalan dir. Buna göre, P() polinomunun ( ). ( + ) ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden A) 7 B) 4 C) D) E) A) B) 9 C) 7 D) 5 E) 8. P() polinomdur. P( ) = 4 + olduðuna göre, P( + ) polinomunun ( ) ile bölümünden elde edilen kalan kaçtýr? A) 5 B) C) D) E) Raunt

23 Sınav Kodu: M008 Matematik-0 Ünite-7 Konu Testi. P() = 6 + 0, polinomu veriliyor. Aþaðýdakilerden hangisi bir polinom deðildir? A) P( ) B) P( ) C) P( ) 6. P() = ( ) 8 polinomunda tek dereceli terimlerin katsayýlarý toplamý kaçtýr? A) 64 B) C) 4 D) 0 E) 6 4 D) P( ) E). P( ) = + olduðuna göre, P(4 ) polinomu aþaðýdakilerden A) 4 B) 4 C) 4 D) 4 E) P() bir polinomdur. P( ). ( + ) = + m + 6 olduðuna göre, P( 4) kaçtýr? A) 4 B) C) 4 D) 8 E). P( ) = olduðuna göre, P(4 + ) polinomunun ( ) polinomu ile bölümünden elde edilen kalan kaçtýr? A) 5 B) 4 C) D) E) 8. P(Q()) = polinomu veriliyor. Q() polinomu ( ) ile tam bölünebildiðine göre, P() polinomunun sabit terimi kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) 4. P() = ( ). ( + ) polinomunun sabit terimi a, baþkatsayýsý b olduðuna göre a. b kaçtýr? A) 9 B) C) 0 D) E) 9. P() ve Q() birer polinomdur P() = n 6 + n + polinomunun derecesi en az kaç olabilir? A) B) C) D) 4 E) 5 P(). Q( + m) = eþitliði veriliyor. Q(m) = olduðuna göre, P() polinomunun ile bölümünden elde edilen kalan kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) Raunt

24 POLİNOMLAR P( ) + P( + ) = 5 + olduðuna göre, P() polinomunun + ile bölümünden kalan kaçtýr? Yukarýdaki bölme iþlemine göre, P() polinomunun derecesi kaçtýr? A) 4 B) 8 C) 0 D) 6 E) 7 A) B) C) D) 4 E) 5 5. ( ). P( + ) + ( ). P( + ) = a. Bir P() polinomu + ile bölündüðünde 5 kalanýný ve ile bölündüðünde kalanýný veriyor. Bu P() polinomunun ( + ) ( ) çarpýmý ile bölümünden elde edilecek kalan aþaðýdakilerden A) + B) + 4 C) 5 D) E) + eþitliði veriliyor. P() polinomunun sabit terimi 0, katsayýlar toplamý olduðuna göre, a kaçtýr? A) B) 0 C) 9 D) 8 E) 6. P() ve Q() polinomları için P( ) = ve Q( ) = olduğuna göre,.p()+.q() polinomunun + ile bölümünden kalan kaçtır?. ( ). P( + ) = + a 5a + olduðuna göre, P() polinomunun sabit terimi kaçtýr? A) B) 5 C) 7 D) 8 E) 9 A) 5 B) C) 0 D) E) 5 7. P() = ( + ). ( + ) polinomunda 4 lü terimin katsayýsý kaçtýr? A) B) C) 6 D) 0 E) k + = ( + ). P() olduðuna göre, P() polinomu aþaðýdakilerden A) + 5 B) 4 C) + 4 D) 4 + E) P() polinomu 6 6 ile bölündüğünde bölüm Q(), kalan 4 + tür. P() polinomunun + ile bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden A) ( 6).Q() B) ( 6).Q() + 4 C) ( 6).Q() 5 D) ( 8).Q() + E) ( 8).Q() Raunt

25 Sınav Kodu: M008 Matematik-0 Ünite-7 Konu Testi a+. a+ P() = +. a+ + 4 ifadesinin bir polinom belirtmesi için a tam sayýsý kaç olmalýdýr? 6. P() = ( ) 5 + ( + ) polinomunun sabit terimi kaçtýr? A) 6 B) C) 4 D) 6 E) 0 5 A) B) C) D) E). P() = n 8 + 4n n polinomunun derecesi kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 5 7. Bir P() polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan 4 tür. Bu P() polinomunun derecesi çift olan terimlerinin katsayýlarýnýn toplamý 6 olduðuna göre, P() in katsayýlarý toplamý kaçtýr? A) 0 B) 8 C) 6 D) 4 E). P() = (a ) + (b + ) (c + ) + 4 polinomu veriliyor. P() = 6 P( ) = 4 olduðuna göre, b kaçtýr? A) B) C) D) E) 8. Bir P() polinomunun ile bölümünden elde edilen bölüm Q(), kalan dur. Buna göre, P() polinomunun ( ) ile bölümünden elde edilen bölüm aþaðýdakilerden A). Q() B). Q() + + C). Q() + 4. ( + a). (b ) = 6 + eþitliði her reel sayýsý için saðlandýðýna göre, a. b kaçtýr? D). Q() + E). Q() + A) 9 B) 7 C) D) 7 E) 9 5. P() = ( a) + (b + ) + c 4 polinomu, sýfýr polinomu olduðuna göre, a + b + c toplamı kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 5 9. Bir P() polinomu ( ) ile tam bölünebilmektedir. Buna göre, P( + ) polinomu aþaðýdakilerden hangisine tam bölünür? A) B) C) D) E) 4 Raunt 5

26 POLİNOMLAR 0. Aþaðýdaki polinomlardan hangisinin bir çarpaný ( + ) deðildir? A) P() = B) P() = C) P() = 7 5 D) P() = 4 + E) P() = + 5. P() polinomu ( ) ile bölündüðünde bölüm ( ) ve kalan ( + 8) dir. P() polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan kaçtýr? A) 8 B) 0 C) D) 6 E) 8. P() = 7 9 polinomun ile bölümünden kalan kaçtýr? A) B) C) 0 D) E). P() = + m + n polinomunun çarpanlarýndan ikisi ( ) ve ( + ) olduðuna göre, diðer çarpaný aþaðýdakilerden 6. Bir P() polinomunun ( ) ile bölümünden kalan 7, ( + ) ile bölümünden kalan dir. Buna göre, P() polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden A) + 5 B) 5 C) D) + 5 E) 5 A) + B) + C) D) + 5 E). P( ) = 4 + n. n + polinomu veriliyor. P( + ) polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan 6 olduðuna göre, n kaçtýr? 7. P() = polinomunun + ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden A) 5 4 B) 6 + C) D) 7 E) A) B) C) D) 0 E) 9 4. P( + ) = ( + ). Q(+) + eþitliði veriliyor. Q( + ) polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan olduðuna göre, P() polinomunun ( + ) ile bölünmesinden kalan kaçtýr? A) B) 4 C) 6 D) 45 E) 5 8. P() = 4 polinomunun ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden A) + B) C) D) E) + 6 Raunt

27 Matematik-0 Ünite-7 Polinomlarda Çarpanlara Ayırma Çarpanlara Ayırma P(), A(), B() polinomlarýnýn herbiri sabit polinomlardan farklý üç polinom olsun. P() = A(). B() ise, A() ve B() polinomlarýna P() in birer çarpaný denir. P() polinomu, herbiri en az birinci dereceden olan birden fazla polinomun çarpýmý olarak yazýlamýyorsa, P() polinomuna indirgenemez polinom denir. Baþ katsayýsý olan indirgenemez polinoma asal polinom denir. Bir polinomu birden fazla polinomun çarpýmý olarak yazmaya bu polinomu çarpanlara ayýrma denir. Çarpanlarýn sýrasý önemli olmamak üzere, her polinom asal polinomlarýn çarpýmý olarak tek türlü yazýlabilir. Örnek 6 P() = polinomunun çarpanları nelerdir? Çözüm = ( ) ( + 5) +5 Örnek 7 P() = + 4 Q() = R() = 4 + polinomları çarpanlarına ayrılabilir mi? Çözüm 7 P(), Q(), R() polinomları birer indirgenemez polinom olduklarından çarpanlarına ayrılamazlar. Örnek 8 P() = + Q() = + 7 R() = 4 Çözüm 8 P(), Q(), R() polinomları birer asal polinom olduklarından çarpanlarına ayrılamazlar. polinomları çarpanlarına ayrılabilir mi? Raunt 7

28 POLİNOMLAR HATIRLATMA. a 0 olmak üzere P() = a + b biçimindeki polinomlarý indirgenemez polinomlardýr.. a 0 olmak üzere, P() = a + b + c polinomu, b 4ac < 0 olduðunda indirgenemez bir polinomdur. b 4ac 0 olduðunda çarpanlarýna ayrýlabilir bir polinomdur. Çarpanlara Ayırma Metotları Polinomlarý çarpanlarýna ayýrmada genel bir kural yoktur. Bir polinomu çarpanlarýna ayýrmak için aþaðýda vereceðimiz metotlarýn biri veya birkaçý kullanýlabilir. Ortak Çarpan Parantezine Alma Metodu Bir polinomun her teriminde ortak bir çarpan varsa, bu metot kullanýlýr. Her terimde ortak olan çarpan parantezin önüne yazýlýr. Parantezin içine de her terimin ortak çarpana bölünmesinden elde edilen bölümler yazýlýr. P(). Q() + P(). R() polinomunun her teriminde P() ortak çarpaný vardýr. Bu polinomu, P(). Q() + P(). R() = P(). [ Q() + R()] biçiminde ortak çarpan parantezine alabiliriz. Örnek Aþaðýdaki çarpanlara ayýrma iþlemlerini inceleyiniz. a. 6 =.. =. ( ) b. a b ab = ab (a b) c. ( y).( y) = ( y). [( y) ] = ( y). ( y ) d. ( + ) 6 = ( + ).( + ) = ( + ). ( + ) = ( + ). ( + ) e. 6 y y y 4 = y. (y y ) f..(y + ) (y + ) + 4(y + ) = (y+). ( + 4) Gruplandýrarak Çarpanlarýna Ayýrma Verilen polinomun bütün terimlerinde ortak olan bir çarpan bulunmayabilir. Bu durumda terimler, ortak çarpan parantezine alýnabilecek biçimde gruplandýrýlabilir. 8 Raunt

29 Matematik-0 Ünite-7 Örnek Aþaðýdaki çarpanlarýna ayýrma iþlemlerinde gruplandýrma metodu kullanýlmýþtýr. Gruplandýrýlan terimleri deðiþtirerek ayný sonuca ulaþmaya çalýþýnýz. a. ab b + a = (ab b) + (a ) = b.(a ) +.(a ) = (a ). (b + ) b = ( + ) + ( + ) =. ( + ) +.( + ) = ( + ). ( + ) c. + 6 = ( + ) ( + 6) =.( + ). ( + ) = ( + ). ( ) d. a + b + ab = (a + ab + b ) = (a + b) = (a + b ). (a + b + ) e. ab + 4a b + 6a + 4b = (ab + 4a b) + (6a + 4b) = ab(b + 4a) + 4(4a + b) = (4a + b). (ab + 4) Tamkare Özdeþliðinden Faydalanarak Çarpanlara Ayýrma ( + y) = + y + y ( y) = y + y Özdeþliklerinin sað taraflarýna benzeyen üç terimliler, özdeþliðin sol tarafý gibi, tamkare olarak yazýlabilirler. Örnek Aþaðýdaki çarpanlarýna ayýrma iþlemlerini inceleyiniz. a = +. (). (5) + (5) = ( + 5) b. a 4ab + 4b = a. a. (b) + (b) = (a b) c. 9y 4 y + 4 = (y ).(y ). + = (y ) Raunt 9

30 POLİNOMLAR d. y + 8y + 6 = (y) +.(y) = (y + 4) e. n + n y n + y n = ( n ) +.( n ). (y n ) + (y n ) = ( n + y n ) f. a a + = a = (a. a.( ) ) + ( ) g a + 9a = (4) +.(4).(a) + (a) = (4 + a) h. 0,6. + 0,09 =.. (0,) + (0,) = ( 0,) Ýki Kare Farký Özdeþliðinden Faydalanarak Çarpanlarýna Ayýrma a b = (a b). (a + b) özdeþliðinin çarpanlarýna ayýrma iþleminde nasýl kullanýldýðýný, aþaðýdaki örneklerde inceleyiniz. Örnek a. 9 = = ( ). ( + ) b. a 4 6 = (a ) 4 = (a 4). (a + 4) = (a ). (a + 4) = (a ). (a + ). (a +4) c. ( + ) 4.( + ) = ( + ) [.( + )] = [( + ).( + )]. [(+) +.( + )] = ( + 6). ( ) = ( 5). (5 + 7) d. 4 y = (y ) ( ) = (y ).(y + ) e. 4 4 = = f = (59 409). ( ) = = Raunt

31 Matematik-0 Ünite-7 Ýki Küp Farký ve Ýki Küp Toplamý Özdeþliklerinden Faydalanarak Çarpanlarýna Ayýrma a b, a + b biçimindeki iki terimlileri, özdeþliklerden faydalanarak çarpanlarýna ayýrabiliriz. a b = (a b). (a + ab + b ) a + b = (a + b). (a ab + b ) özdeþliklerinin çarpanlarýna ayýrma iþleminde nasýl kullanýldýðýný, aþaðýdaki örneklerde inceleyiniz. Örnek a. + = + = ( + ). ( + ) b. a 6 7 = (a ) = (a ). [(a ) + a. + ] = (a ). (a 4 + a + 9) c. + 5 = = ( + + ( 5) 5).( ) d. 64a (a ) = (4a) (a ) = [4a (a )]. [(4a) + (4a). (a ) + (a ) ] = (4a a + ). (6a + 8a 4a + 4a 4a + ) = (a + ). (8a 8a + ) e. 6 + y 6 = ( ) + (y ) = ( + y ). ( 4 y + y 4 ) + b + c Biçimindeki Ýkinci Dereceden Üç Terimlinin Çarpanlarýna Ayrýlmasý + b + c = ( + m). ( + n) biçiminde çarpanlarýna ayrýlmýþ olsun. Eþitliðin sað tarafýný düzenleyip polinomlarýn eþitliðini kullanýrsak; + b + c = + n. + m. + m.n + b + c = + (n + m) + (n. m) n + m = b n. m = c elde edilir. O hâlde, + b + c biçiminde baþ katsayýsý olan ikinci dereceden üç terimlileri çarpanlara ayýrmak için toplamlarý b, çarpýmlarý c olan m ve n gerçek (reel) sayýlarý aranýr. Böyle m ve n sayýlarý bulunursa; + b + c = ( + m). ( + n) biçiminde çarpanlarýna ayrýlýr. Eðer, b 4ac < 0 ise bu üç terimli çarpanlara ayrýlamaz. Raunt

32 POLİNOMLAR a + b + c Biçimindeki Ýkinci Dereceden Üç Terimlilerin Çarpanlarýna Ayrýlmasý a + b + c biçimindeki polinomlar b 4.a.c < 0 ise, çarpanlarýna ayrýlamaz. b 4ac 0 ise, çarpanlarýna ayrýlýr. Bu nedenle, önce b 4ac nin kontrol edilmesi faydalý olur. a + b + c ifadesini çarpanlarýna ayýrmak için a ve c nin çarpanlarýndan faydalanýlýr. Çarpýmlarý a olan iki sayý m ve n, çarpýmlarý c olan iki sayý p ve q olsun. a c m p n q Eðer m.q + n.p = b oluyorsa; a + b + c = (m + p). (n + q) biçiminde çarpanlarýna ayrýlýr. m, n, p, q sayýlarý, m.q + n.p = b olacak biçimde a ve c nin çarpanlarý olan sayýlardan aranýr. Örnek ifadesini çarpanlarý nedir? Çözüm = ( + ) ( + 5) + +5 Örnek 0 4 7y + 5y ifadesini çarpanları nedir? Çözüm 0 4 7y + 5y = ( y) (4 5y) y 4 5y Örnek a. = ( ). (4 + ) dir. b. 5a 6a + 5 = (5a ). (a 5) tir. c. 6a + 7a = (6a ). (a + ) tür. Örnek Aþaðýdaki çarpanlara ayýrma iþlemlerini inceleyiniz. a = + ( + ). +. = ( + ). ( + ) b = + ( 5 ). + ( 5).( ) = ( + ( 5)). ( + ( )) = ( 5). ( ) c. a 5a 6 = a + ( 6 + ). a + ( 6). = (a + ( 6)). (a + ) = (a 6). (a + ) d ifadesinde b 4ac = ( 5) 4..9 = 5 6 = < 0 olduðundan, bu ifade çarpanlara ayrýlamaz. Raunt

33 Matematik-0 Ünite-7 Örnek Aþaðýdaki ifadeleri çarpanlarýna ayýrýnýz. a) b) c) 6 d) 8 Çözüm a) ( + ) ( + ) b) ( ) ( 5) c) ( ) ( + ) d) ( 4) ( + ) e) ( ) ( ) f) ( + ) ( + ) g) (n ) (m + ) e) f) g) mn + (n m) Terim Ekleyip Çýkararak Çarpanlara Ayýrma Bazý üç terimlilere uygun bir ifadeyi ekleyip çýkararak iki kare farkýna dönüþebilen bir polinom elde edilebilir. Örnek ifadesinin çarpanlarý nedir? Çözüm = = ( + ) = ( + + ) ( + ) Raunt

34 POLİNOMLAR Örnek Çözüm 4 + 4y 4 ifadesinin çarpanları nedir? 4 + 4y y 4 y = ( + y ) 4 y = ( + y ) (y) = ( + y y) ( + y + y) Örnek 4 Aþaðýdaki ifadeleri çarpanlarýna ayýrýnýz. a) b) m 4 m + c) a 4 5a + 9 Çözüm 4 a) = ( + 8) (4) = ( + 8 4) ( ) b) m 4 m + + m m = m 4 m + m = (m ) m = (m m) (m + m) c) a 4 5a a 9a = a 4 6a + 9 9a = (a ) (a) = (a a) (a + a) 4 Raunt

35 Sınav Kodu: M0084 Matematik-0 Ünite-7 Konu Testi 6. a b = 5 a. b = 4 olduðuna göre, 9a + 4b ifadesinin deðeri kaçtýr? 4.. y = y = 5 olduðuna göre, 4 + y 4 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 7 B) 7 C) 70 D) 68 E) 66 A) 6 B) 8 C) 40 D) 4 E) y = 5 z y = olduðuna göre, z + z y zy ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 6 B) 4 C) D) 0 E) = olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) y = 4y olduðuna göre, oraný kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 4 Raunt 5

36 Sınav Kodu: M0085 POLİNOMLAR Konu Testi. Ýki sayýnýn toplamý 7, kareleri toplamý olduðuna göre, bu iki sayýnýn çarpýmý kaçtýr? A) 8 B) 9 C) D) E) 4. a + b = 6. y = 4 y y = olduðuna göre, y nin pozitif deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) 4 7 a. b = 6 olduðuna göre, a + b ifadesinin deðeri kaçtýr? 7. a. b = a + 6b = 4 A) 4 B) C) 0 D) E) 4 olduðuna göre, 9a + 6b ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 96 B) 88 C) 76 D) 6 E) 5. = a olduðuna göre, 4 + ifadesinin a cinsinden eþiti aþaðýdakilerden A) a B) a + C) 4a D) 4a E) 4a y = 6 y + y = olduðuna göre, + y toplamýnýn pozitif deðeri kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) y z = y z + yz = 7 olduðuna göre, kaçtýr? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) y = 8 y + y = 6 olduðuna göre,.y çarpýmý kaçtýr? 5 A) B) C) D) 7 E) 5. a = olduðuna göre, a a a ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr? A) B) 8 C) D) E) 6 0. = y 4 = y 6 olduðuna göre, + y kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 6 Raunt

37 Matematik-0 Ünite-7. + y = 4. y = olduðuna göre, 4 y 4 ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr? 5. a ve b doğal sayılardır. a b = 7 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 9 B) 6 C) D) 5 E) 6 A) 48 B) 48 C) 96 D) 96 E) 00. a + a b = 9 b + ab = 8 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 6. a b = 4 ve a.b = 6 5 olduğuna göre, 9a + 4b toplamı kaçtır? A) 4 B) C) 6 D) 8 E) 4. = 666 ve y = 444 olduğuna göre, = 0 ( y) + 4y ( + y) 4y ifadesinin sonucu kaç- olduğuna göre, tır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 4 E) 49 A) 5 B) 6 C) 5 D) 6 E) 4. m m = 4 4 olduğuna göre, m + nin değeri kaçtır? m A) 4 B) C) 6 D) 0 E) 5 8. y y = 4 olduðuna göre y + y ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) Raunt 7

38 Sınav Kodu: M0086 POLİNOMLAR Konu Testi 8. P() = ( ) 4 4( ) + 6( ) polinomunun A) 6 B) 8 5 = için deðeri kaçtýr? C) 4 D) E) y = 4 + y = 5 olduðuna göre,. y çarpýmý kaçtýr? 4 A) B) C) D) 5 E) 5. ( ) 8( ) + ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden A) 4 B) C) + D) E). P(, y) = + y 4y polinomunun alabileceði en küçük deðer kaçtýr? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden A) + B) + C) + D) E). + y =. y = olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden A) 5 B) 4 C) D) E) A) 4 B) + C) + + D) 4 E) Raunt

39 Sınav Kodu: M0087 Matematik-0 Ünite-7 Konu Testi 9. Aþaðýdakilerden hangisi (5 + + ). ( 9) ifadesinin çarpanlarýndan biri deðildir? A) 5 + B) + C) D) + E) + 6. (y ) (y ) ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden A) + B) y C) + D) y E). Bir sayının karesi ile katı toplanıyor ve sonuç 0 çıkıyor. Bu sayının karesi aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) 9 C) 5 D) 6 E) ve y birer reel sayý olmak üzere, + y 4 + 6y + 9 ifadesinin alabileceði en küçük deðer kaçtýr?. ( y ) ( + y + ) A) 7 B) 4 C) 6 D) 0 E) 9 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden A) B) y + C) y D) y E) y 8. y my y + my 4. Aþaðýdaki ifadelerden hangisinin bir çarpaný ( + ) deðildir? A) + B) + 8 C) 4 + D) E) 4 + ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden A) m B) y + m C) + m D) + y E) y m 5. a(b + ) b(a + ) ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıdakilerden A) (a + b) ( ab) B) (a b) (ab ) C) (a b) (ab + ) D) (a b) ( ab) E) (a + b) ( + ab) (m + 6n) + mn ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden A) + n B) m + n C) + n D) + m E) + n Raunt 9

40 POLİNOMLAR (a b ) 4a ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ biçimi aþaðýdaki-lerden A) (4a 4b ). (4a + 4b ) B) 6(a b ). (a + b + ) C) 4(a b ). (a b + ) D) 6(a b ) (a b + ) E) (4a 4b ). (4a 4b + ) 5. a ve b iki doðal sayýdýr. a b = 4 olduðuna göre, a. b çarpýmýnýn en büyük deðeri kaçtýr? A) B) 7 C) 0 D) 5 E) 4. (a b + c) (a + b c) ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden A) a B) b C) c D) a + b + c E) a + b + c 6. a b = 5 y = olduðuna göre, a ay b + by ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) 0. + y 6 + 4y + = 0 denklemini saðlayan ve y deðerlerinin çarpýmý kaçtýr? A) 6 B) C) D) E) = 0 olduðuna göre, + ifadesinin deðeri kaç olabilir? 7. (a b) (b c) (b a) (c b) ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden A) (a b) (b c) (a c) B) (a b) (b + c) (a c) C) (a + b) (b c) (a c) D) (a + b) (b + c) (a c) E) (a + b) (b + c) (a + c) A) B) C) D) E) 6 4. ( ) 4( ) 5 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden A) + B) + C) D) 5 E) 4 8. y = 7. y = olduðuna göre, 6 + y 6 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 8 B) C) 65 D) 96 E) 9 40 Raunt

41 Matematik-0 Ünite-7 Polinom ve Rasyonel Denklemlerin Çözüm Kümeleri P() ve Q() birer polinom ve Q() 0 olmak üzere, Rasyonel ifadeler çok deðiþkenli olabilir. P() Q() ifadesine rasyonel ifade denir. P(, y) Q(, y) ifadesi iki deðiþkenli; P(, y, z) Q(, y, z) ifadesi, üç deðiþkenli birer rasyonel ifadedir. Ayný biçimde, P() P(, y) P(, y),, Q(, y) Q() Q(y), P() Q(y) ifadeleri de birer rasyonel ifadedir. Rasyonel ifadelerde toplama, çýkarma, çarpma, bölme, sadeleþtirme, geniþletme iþlemleri, reel sayýlardaki iþlemler gibi yapýlýr. Rasyonel Ýfadelerin Sadeleþtirilmesi ve Geniþletilmesi P(), Q() ve R() birer polinom olsun. P() P().R() ve Q() Q().R() P() P().R() = Q() Q().R() rasyonel ifadeleri birbirine denktir. Yani, tir. Burada, P() Q() rasyonel ifadesine P().R() Q().R() rasyonel ifadesinin sadeleþmiþ (kýsaltýlmýþ) biçimi, rasyonel ifadesine de rasyonel ifadesinin geniþletilmiþ biçimi denir. Ýþlemlerin tanýmlý olmasý için Q() 0 ve R() 0 olmasý gerektiðine dikkat ediniz. Örnek 5 rasyonel ifadesi nedir? Çözüm 5 + = ( )( ) 4 + = ( ) ( ) ( )( ) = ( )( ) Raunt 4

42 POLİNOMLAR Rasyonel Ýfadelerin Toplamý ve Farký A() P() ve B() Q() birer rasyonel ifade olmak üzere; A() B() + P() Q() = A(). Q() + P().B() B(). Q() A() B() P() Q() = A().Q() P().B() B().Q() tir. Rasyonel ifadeleri toplarken aþaðýdaki sýra izlenebilir.. Rasyonel ifadelerin pay ve paydalarý çarpanlarýna ayrýlýr.. Pay ve payda arasýnda varsa sadeleþtirmeler yapýlýr.. Rasyonel ifadelerin paydalarýndaki polinomlarýn EKOK u bulunur. 4. Paydalarý eþit olan rasyonel ifadelerin paylarý toplanýp paya, ortak payda da paydaya yazýlýr. Rasyonel ifadelerde çýkarma iþleminde de ayný sýra izlenir. Örnek 6 4 iþlemini sonucu nedir? Çözüm 6 ( )( + ) ( 4)( + ) ( 4) ( ) 4 + = ( )( + )( 4) ( )( + )( 4) Rasyonel Ýfadelerin Çarpýmý ve Bölümü A() P() ve B() Q() birer rasyonel ifade olmak üzere, A() P() A(). P(). = B() Q() B(). Q() A() : B() P() Q() = A() Q(). B() P() = A().Q() B().P() tir. Rasyonel ifadeleri çarparken aþaðýdaki sýra izlenebilir.. Rasyonel ifadelerin pay ve paydalarý çarpanlarýna ayrýlýr.. Pay ve payda arasýnda varsa, sadeleþtirmeler yapýlýr.. Paylarýn çarpýmý pay, paydalarýn çarpýmý payda olarak yazýlýr. 4. Yapýlabilen sadeleþtirmeler yapýlýr. Ýki rasyonel ifadeyi bölerken, birinci rasyonel ifade aynen býrakýlýr, ikinci rasyonel ifade ters çevrilerek, birinci rasyonel ifade ile çarpýlýr. 4 Raunt

43 Matematik-0 Ünite-7 Örnek ifadesinin sonucu nedir? + Çözüm 7 ( + )( + ) ( )( ). ( + )( ) ( )( + ) + = + Aþaðýdaki rasyonel ifadeleri sadeleþtiriniz. a. b. Örnek : Çözüm 8 ( )( ) ( 5)( + ) a. + = = = ( )( ) ( )( + ) ( + )( 5) ( 5 )( 5+ ) b. : ( )( + ) ( ) ( + )( 5).( ) =. = ( )( + ) ( 5 )( 5+ ) 5 + c = c. ( )( ) 500.( ) = = Rasyonel Ýfadenin Basit Kesirlerin Toplamı Olarak Yazılması a, b, c, A, B R; n N + ve a + b + c indirgenemez polinom olmak üzere, A + B biçimindeki rasyonel kesirlere basit kesir denir. n ( a + b + c) A (a + n b) ve a + b + c polinomunda b 4ac < 0 ise polinom indirgenmez (çarpanlarýna ayrýlamaz) olduðunu biliyorsunuz. b 4ac 0 ise, bu ifade birinci dereceden iki çarpanýn çarpýmý olarak yazýlabilir. Bu tanýma göre, 5, ( + ), 4 +, rasyonel kesirleri birer basit kesirdir. Payýnýn derecesi paydasýnýn derecesinden küçük olan reel katsayýlý bir deðiþkenli her rasyonel ifade basit kesirlerin toplamý olarak bir türlü yazýlabilir. Rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamý olarak yazmak ilerideki konularda bir çok zorluðu ortadan kaldýracaktýr. P() rasyonel ifadesini basit kesirlere ayýrmak için þu yolu izleyiniz: Q() P() polinomunun derecesi Q() in derecesinden daha büyük veya eþitse önce P() i Q() e bölüp bölüm kýsmýný ayýrýnýz. Raunt 4

44 POLİNOMLAR P() Q() B() K() Bu bölme iþlemine göre, P() Q() K() = B() + yazýlabilir. Q() Bu eþitlikte K() in derecesi Q() in derecesinden küçüktür. Q() çarpanlarýna ayýrýlýr. Her bir çarpan bir kesrin paydasý olacak biçimde basit kesirlerin toplamý olarak yazýlýr. Eðer, der (P()) < der (Q()) ise bölme iþlemi yapýlmadan iþleme devam edilir. Aþaðýdaki bazý rasyonel ifadelerin, basit kesirlerin toplamý olarak nasýl yazýldýklarýna dikkat ediniz. K() (a+ b).(c + d) A B = + a+ b c + d K() (a+ b).(c + d) = A B + a+ b (a+ b) C + c + d K() (a+ b).(c + d+ e) A B + C = + a+ b c + d+ e Bunlara benzer özdeþlikler yazýlarak; A, B, C,. katsayýlarý bulunur. Örnek 5 + kesrini basit kesirlerin toplamý olarak yazmaya çalışalım. + = ( + 4)( ) tür. Payýn derecesi paydanýn derecesinden küçük olduðundan bölme iþlemi yapmadan basit kesirlerin toplamý olarak yazabiliriz. 5 5 = = + ( + 4). ( ) A B olur. Eþitliðin sað tarafýnda paydalarý eþitlersek; 5 A.( ) + B.( + 4) = ( + 4)( ) ( + 4)( ) elde edilir.bu eþitlikte paydalar eþit olduðundan paylar da eþittir. 5 = A. ( ) + B. ( + 4) olur. Bu eþitliðin sað tarafýný in kuvvetlerine göre düzenlersek; 5 = (A + B). + ( A + 4B) olur. 44 Raunt

45 Matematik-0 Ünite-7 Polinomlarýn eþitliðinden ayný dereceli terimlerin katsayýlarýný eþitleyerek A ve B yi bulalým. A + B = 5 A + 4B = A = bulunur. B = Buna göre, 5 = olur. Örnek 9 Çözüm 9 Aþaðýdaki rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamý biçimi nedir? a) 7 = ( 5)( + ) A B a) = b) = ( + )( ) 7 = A.( + ) + B( 5) = 8 = 6B = B = 5 = 6.A = A b) 7 = ( 5)( + ) + 6 = ( + )( ) A B = A( ) + B( + ) = 7 = B 7 = B = 5 = A 5 = A + 6 = ( + )( ) Raunt 45

46 Sınav Kodu: M0088 POLİNOMLAR Konu Testi 0 9. : 4 ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden A) B) + C) D) 4 E) 4. y + y + y : y y + y ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden A) B) C) D) E) ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden A) + 4 D) + B) E) + C) ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden A) B) + C) ( + ) D) (+) E) ( ). y + y + y. y + ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden A) + y B) C) D) E) ifadesinin en sade biçimi aþadakilerden A) B) + C) D) E) 46 Raunt

47 Matematik-0 Ünite iþleminin sonucu kaçtýr? A) B) C) 4 D) 5 E) m ifadesi sadeleþebilir bir rasyonel kesir olduðuna göre, m reel sayýsýnýn alabileceði deðerlerin çarpýmý kaçtýr? A) 4 B) C) D) E) y = y olduðuna göre, kaçtýr? 5 A) B) y y ifadesinin deðeri C) D) 4 E) 5. a b = olduðuna göre, a b a + b a b + 4b 4 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 4 B) C) D) E) : ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden A) B) + C) D) E) +. a + K M a = + 5a + 4 a a 4 olduðuna göre, K + M toplamý kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Raunt 47

48 Sınav Kodu: M0089 POLİNOMLAR Konu Testi ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden A) B) + C) + 8 D) E) : 6 ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden A) B) 4 C) ( + ). ( ).( + ) D) E) ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden A) B) + C) + D) E) 6. y. y ( + y) ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden A) y B) y C) y D) y + y E). ( + ) +.( + ) ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden A) B) C) ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden D) E) 4. y + y y y y y y A) B) ( + ) C) + D) E) ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden m ( ).( + 4) A) y B) y C) D) y y E) + y y ifadesi sadeleþebilen bir kesir olduðuna göre, m nin alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? A) 47 B) 64 C) 79 D) 80 E) 8 48 Raunt

49 Matematik-0 Ünite-7 9. > : H.( + ) + + ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden A) + B) + D) + E) ( + ) C) 4. 4 a a + a + a ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden a + A) B) C) a D) a E) a a + 8 = b olduðuna göre, a + b kaçtýr? A) 7 B) C) D) 8 E) 5. : + + ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) + B) + + C) + 4a + ab b a + b. a b = 5 olduðuna göre, a. (a 4) kaçtýr? A) 5 B) 4 C) 4 D) 5 E) 8 D) + E) = 6. ( a+ b c) ( a b c) a b+ bc abc ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden eþitliðine göre, kaçtýr? A) B) C) 8 D) 7 E) 64 A) 8 a c b D) 4.( c a) 4 B) ( a c) b E) 4c a b C) ( a b ) abc ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden + A) + D) + B) + + E) + + C) a b 7a 6ab+ b ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) a b B) a b C) a b a+ b D) a b a+ b E) a b Raunt 49

50 Sınav Kodu: M0090 POLİNOMLAR Konu Testi. a olmak üzere, a + 5 = 6 a olduğuna göre, a+ a kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4. y y : y y y ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden A) B) y C) y D) E) y. + m 4 ifadesi sadeleþtirilebilir kesir olduðuna göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? A) 8 B) 6 C) 8 D) 0 E) A = + + B olduðuna göre, + A + B ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðdakilerden A) B) + 4 C) D) + E). y a + = + ay olduðuna göre, a nýn ve y cinsinden ifadesi aþaðýdakilerden A) + y D) y B) y E) ( y + C) ) y 6. + = 8 9 olduğuna göre, ( ) + işleminin sonucu ( ) kaçtır? A) 0 B) 4 C) 8 D) 46 E) 5 50 Raunt

51 Matematik-0 Ünite : ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden 0. b + a b ifadesinin rasyonel katsayılı çarpanlarının toplamı aşağıdakilerden A) a B) a C) a + b D) b E) b A) B) C) + D) + E) 8. ( + ) ( 4 + ) ( 8 + ) = olduğuna göre, 6 nın türünden değeri aşağıdakilerden A) 4 B) 8 C) 4 + D) 8 + E) ifadesinin eşiti kaçtır? A) 004 B) 4008 C) 8008 D) 806 E) iþleminin sonucu aþaðýdakilerden + A) B) + + D) E) + + C) +. a by + b ay = a + b = olduðuna göre, y + y ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 48 B) 9 C) 6 D) 8 E) 5 Raunt 5

52 POLİNOMLAR a + b + 4 = + olduðuna göre, a + b kaçtýr? A) B) C) D) E) m + + n kesrinin sadeleþtirilmiþ biçimi göre, m + n kaçtýr? olduðuna A) 5 B) 7 C) D) 5 E) n + +. n n n + iþleminin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden A) B) + C) D) E) 7. + y y y. y + y y + 6 ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden + y A) D) B) + 4 E) y C) 5. a + = 6 b + = 8 olduðuna göre, kaçtýr? A) B) C) D) E) 8. : ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) B) C) D) E) Raunt

53 Sınav Kodu: M009 Matematik-0 Ünite-7 Konu Testi işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin basit kesirlere ayrýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden A) B) C) A) + B) D) 7 E) C) E) + D) iþleminin sonucu aþaðýdakilerden A) a + B) a + C) a + D) a E) a 5. + = 4 olduğuna göre, f4 + p ifadesinin değeri kaçtır? A) 8 B) C) 4 D) 6 E) 0. 5 = 4y olduðuna göre, ( 4y) 0y ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 5 B) 5 C) 0 D) 5 E) sayısı aşağıdakilerden hangisine tam olarak bölünemez? A) B) 5 C) D) 5 E) 57 Raunt 5

54 POLİNOMLAR : + ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden A) B) + C) D) + E) A B = olduðuna göre, A + B toplamý kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) y = 4 y + y = 09 olduğuna göre, kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) : 4 ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) + B) C) D) E) y z = 0 olduðuna göre, ( y) z (y z). a b a b a b a b ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden ifadesinin deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) a+ b A) a b ab D) a + b B) a b ab C) a + b ab E) a + b 54 Raunt

55 Matematik-0 Ünite-7. ( ) + P() = ( + )( + ) Q() = P() olduðuna göre, Q() hangisine eþittir? ifadesi aþaðýdakilerden y y + 4y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden A) + y + B) + y C) + y D) y E) + y + ( ) A) + ( + ) B) C) D) + E) 4. a + b a b a b + a b 7. a b b a a b + +. b a a ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden A) a B) a C) b D) b E) ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden ab a b a b A) B) C) a a a + b a b a b D) E) a a y 4 + 8y + 6 ifadesinin en küçük deðeri için. y çarpımı kaçtýr? A) B) C) D) E) 8 Raunt 55

56 POLİNOMLAR NOT : Raunt

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir?

POLÝNOMLAR TEST / Aþaðýdakilerden hangisi polinom fonksiyonu deðildir? POLÝNOMLAR TEST / 1 1. Bir fonksiyonun polinom belirtmesi için, deðiþkenlerin kuvveti doðal sayý olmalýdýr. Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi bir polinomdur? 5. m 4 8 m 1 P(x) = x + 2.x + 2 ifadesi bir

Detaylı

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 1. Yandaki tablonun kutucuklarýna terimler yazýlmýþtýr. Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? x x 4 x 3x 6x 5. P(x). Q(x) çarpým polinomunun derecesi 5 tir.

Detaylı

EÞÝTSÝZLÝKLER. I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik. Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik

EÞÝTSÝZLÝKLER. I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik. Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik l l l EÞÝTSÝZLÝKLER I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik Çift ve Tek Katlý Kök, Üslü ve Mutlak Deðerlik Eþitsizlik l Alýþtýrma 1 l Eþitsizlik

Detaylı

Polinomlar II. Dereceden Denklemler

Polinomlar II. Dereceden Denklemler Ödev Tarihi :... Ödev Kontrol Tarihi :... Kontrol Eden :... LYS MATEMATİK - II Ödev Kitapçığı 1 (MF-TM) Polinomlar II. Dereceden Denklemler Adý Soyadý :... BÝREY DERSHANELERÝ MATEMATÝK-II ÖDEV KÝTAPÇIÐI

Detaylı

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler

LYS MATEMATÝK II. Polinomlar. II. Dereceden Denklemler LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçığı 1 (MF - TM) Polinomlar II. Dereceden Denklemler Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de

Detaylı

DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER

DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER bilgi Üslü Doğal Sayılar DOĞAL SAYILARLA İŞLEMLER Bir bardak suda kaç tane molekül vardýr? Dünya daki canlý sayýsý kaçtýr? Ay ýn Dünya ya olan uzaklýðý kaç milimetredir? Tüm evreni doldurmak için kaç kum

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No MATEMATÝK - II POLÝNOMLAR - IV MF TM LYS1 04 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr

Detaylı

Aþaðýdaki tablodaki sayýlarýn deðerlerini bulunuz. Deðeri 0 veya 1 olan sayýlarýn bulunduðu kutularý boyayýnýz. b. ( 3) 4, 3 2, ( 3) 3, ( 3) 0

Aþaðýdaki tablodaki sayýlarýn deðerlerini bulunuz. Deðeri 0 veya 1 olan sayýlarýn bulunduðu kutularý boyayýnýz. b. ( 3) 4, 3 2, ( 3) 3, ( 3) 0 Tam Sayýlarýn Kuvveti Sýfýr hariç her sayýnýn sýfýrýncý kuvveti e eþittir. n 0 = (n 0) Sýfýrýn (sýfýr hariç) her kuvvetinin deðeri 0 dýr. 0 n = 0 (n 0) Bir sayýnýn birinci kuvveti her zaman kendisine eþittir.

Detaylı

LÝMÝTTE BELÝRSÝZLÝKLERÝN GÝDERÝLMESÝ

LÝMÝTTE BELÝRSÝZLÝKLERÝN GÝDERÝLMESÝ LÝMÝTTE BELÝRSÝZLÝKLERÝN GÝDERÝLMESÝ Limit iþlemini yaparken deðiþkenin yerine deðerini koyduðumuzda, Örnek + 4 Belirsizliklerin Giderilmesi belirsizliklerinden herhangi biri meydana geliyorsa aþaðýda

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER 6. ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler... 4 a + b + c = 0 Denkleminin Genel Çözümü... 5 7 Karmaşık Sayılar... 8 4 Konu Testleri

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

KÖKLÜ SAYILAR TEST / 1

KÖKLÜ SAYILAR TEST / 1 KÖKLÜ SAYILAR TEST / 1 1. Aþaðýdakilerden hangisi reel sayý deðildir? A) B) C) 0 D) 8 E). 6 2 9 A) 16 B) 18 C) 20 D) 2 E) 0 2. Aþaðýdakilerden hangisi irrasyonel sayýdýr? 6. Aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2017

Kanguru Matematik Türkiye 2017 Kanguru Matematik Türkiye 07 4 puanlýk sorular. Bir dörtgenin köþegenleri, dörtgeni dört üçgene ayýrmaktadýr. Her üçgenin alaný bir asal sayý ile gösterildiðine göre, aþaðýdaki sayýlardan hangisi bu dörtgenin

Detaylı

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1

YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 1. x +6x+5=0 5. x +5x+m=0 denkleminin reel kökü olmadýðýna göre, m nin alabileceði en küçük tam sayý deðeri kaçtýr? A) {1,5} B) {,3} C) { 5, 1} D) { 5,1} E) {,3} A)

Detaylı

Polinomlar. Rüstem YILMAZ

Polinomlar. Rüstem YILMAZ Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir

Detaylı

5. 2x 2 4x + 16 ifadesinde kaç terim vardýr? 6. 4y 3 16y + 18 ifadesinin terimlerin katsayýlarý

5. 2x 2 4x + 16 ifadesinde kaç terim vardýr? 6. 4y 3 16y + 18 ifadesinin terimlerin katsayýlarý CEBÝRSEL ÝFADELER ve DENKLEM ÇÖZME Test -. x 4 için x 7 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) B) C) 9 D). x 4x ifadesinde kaç terim vardýr? A) B) C) D) 4. 4y y 8 ifadesinin terimlerin katsayýlarý toplamý kaçtýr?.

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI

MATEMATİK SORU BANKASI Bu kitap tarafından hazırlanmıştır. MATEMATİK SORU BANKASI ISBN-978-605-6067-8- Sertifika No: 748 Konu Kavrama s e r i s i Üniversiteye Hazırlık & Okula Yardımcı Bu kitabın tüm basım ve yayın hakları na

Detaylı

A A A A) 2159 B) 2519 C) 2520 D) 5039 E) 10!-1 A)4 B)5 C)6 D)7 E)8. 4. x 1. ,...,x 10. , x 2. , x 3. sýfýrdan farklý reel sayýlar olmak üzere,

A A A A) 2159 B) 2519 C) 2520 D) 5039 E) 10!-1 A)4 B)5 C)6 D)7 E)8. 4. x 1. ,...,x 10. , x 2. , x 3. sýfýrdan farklý reel sayýlar olmak üzere, ., 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ve 0 sayýlarý ile bölündüðünde sýrasýyla,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ve 9 kalanlarýný veren en küçük tamsayý aþaðýdakilerden hangisidir? A) 59 B) 59 C) 50 D) 5039 E) 0!- 3. Yasin, annesinin

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.08.0 ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 0-0 Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren uy gu lana cak olan prog ra ma gö re

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - I

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - I BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - I SAYI BASAMAKLARI - II MF TM YGS LYS1 05 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II II. DERECEDEN DENKLEMLER - IV MF TM LYS1 08 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten

Detaylı

1. BÖLÜM. 4. Bilgi: Bir üçgende, iki kenarýn uzunluklarý toplamý üçüncü kenardan büyük, farký ise üçüncü kenardan küçüktür.

1. BÖLÜM. 4. Bilgi: Bir üçgende, iki kenarýn uzunluklarý toplamý üçüncü kenardan büyük, farký ise üçüncü kenardan küçüktür. 8. SINIF COÞMY SORULRI 1. ÖLÜM DÝKKT! u bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 3. 1. 1 1 1 1 1 1 D E F 1 1 1 C 1 ir kenarý 1 birim olan 24 küçük kareden oluþan þekilde alaný 1 birimkareden

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Çarpanlara Ayırma 5 52 Polinomlar 53 100 İkinci Dereceden Denklemler 101 120 Karmaşık Sayılar

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II EÞÝTSÝZLÝKLER - I MF TM LYS1 13 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar

Detaylı

DERSHANELERÝ MATEMATÝK - I

DERSHANELERÝ MATEMATÝK - I B Ý R E Y D E R S H A N E L E R Ý S I N I F Ý Ç Ý D E R S A N L A T I M F Ö Y Ü DERSHANELERÝ Konu Bölüm DAF No. FONKSÝYONLAR - I MF-TM 53 MATEMATÝK - I 53 Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry

Detaylı

MODÜLER ARÝTMETÝK TEST / 1

MODÜLER ARÝTMETÝK TEST / 1 MODÜLER ARÝTMETÝK TEST / 1 1. m Z, x y(mod m) ise xy=m.k, k Z olduðuna göre, aþaðýdaki eþitliklerden hangisi yanlýþtýr? 5. 3x+1 2(mod 7) olduðuna göre, x in en küçük pozitif tam sayý deðeri kaçtýr? A)

Detaylı

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir.

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. a, b, c birbirinden farklý rakamlardýr. 2a + 3b - 4c ifadesinin alabileceði

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Gerçek Sayılar... 4 Doğal Sayılarda İşlemler... 4 Tam Sayılar... 4 Rasyonel Sayılar... 5 İrrasyonel Sayılar... 5 Gerçek (Reel) Sayılar... 6 9 Konu

Detaylı

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir.

DENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. 3 2x +1 = 27 olduðuna göre, x kaçtýr? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 4. Yukarýda

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2017

Kanguru Matematik Türkiye 2017 4 puanlýk sorular 1. Dünyanýn en büyük dairesel pizzasý 128 parçaya bölünecektir. Her bir kesim tam bir çap olacaðýna göre kaç tane kesim yapmak gerekmektedir? A) 7 B) 64 C) 127 D) 128 E) 256 2. Ali'nin

Detaylı

3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? AA 2 1 1 2 1. BÖLÜM

3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? AA 2 1 1 2 1. BÖLÜM 7. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? 2 1 1 2 A) B) C) D) 3 2 3

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II II. DERECEDEN DENKLEMLER - II MF TM LYS 06 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra

Detaylı

HATIRLAYALIM TAM SAYILAR

HATIRLAYALIM TAM SAYILAR HATIRLAYALIM bilgi TAM SAYILAR Sayıların önüne koyulan "+" ve " " işaretleri sayıların yönünü belirtir. Önünde "+" işareti olan tam sayılar "pozitif tam sayılar", önünde " " işareti olan tam sayılar "negatif

Detaylı

ünite doðal sayýsýndaki 1 rakamlarýnýn basamak deðerleri toplamý kaçtýr?

ünite doðal sayýsýndaki 1 rakamlarýnýn basamak deðerleri toplamý kaçtýr? ünite1 TEST 1 Doðal Sayýlar Matematik 4. 10 491 375 doðal sayýsýndaki 1 rakamlarýnýn basamak deðerleri toplamý kaçtýr? 1. Ýki milyon yüz üç bin beþ yüz bir biçiminde okunan doðal sayý aþaðýdakilerden A.

Detaylı

1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn

1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn 4. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM 3. DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn toplamý kaçtýr? A) 83 B) 78 C) 91 D) 87

Detaylı

DOÐRUNUN ANALÝTÝÐÝ - I

DOÐRUNUN ANALÝTÝÐÝ - I YGS-LYS GEOMETRÝ Konu Anlatýmý DOÐRUNUN ANALÝTÝÐÝ - I ANALÝTÝK DÜZLEM Baþlangýç noktasýnda birbirine dik olan iki sayý doðrusunun oluþturduðu sisteme dik koordinat sistemi, bu doðrularýn belirttiði düzleme

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

3.14159265358979323846264 3383279502884 Matematik 6 KAZANIM ODAKLI 0112358132134 Kısa Bilgi Bol Alıştırma Çözümlü Sorular Yıldızlı Sorular Tudem Eğitim Hiz. San. ve Tic. A.Ş 1476/1 Sok. No: 10/51 Alsancak/Konak/ÝZMÝR

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA

MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA MATEMATİK DERSİ UZAKTAN EĞİTİM DERS NOTLARI 3. HAFTA 3. Ondalık Sayılarda İşlemler: Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama-çıkarma

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

4. 5. x x = 200!

4. 5. x x = 200! 8. SINIF COÞMY SORULRI 1. ÖLÜM 3. DÝKKT! u bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. adým (2) 2. adým (4) 1. x bir tam sayý ve 4 3 x 1 7 5 x eþitsizliðinin doðru olmasý için x yerine

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek... 3. Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek... 1. rnek... 2. rnek... 4. 9. Sýnýf / Sayý..

Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek... 3. Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek... 1. rnek... 2. rnek... 4. 9. Sýnýf / Sayý.. Kümeler II. KÜMLR. TNIM Küme, bir nesneler topluluðudur. Kümeyi oluþturan nesneler herkes tarafýndan ayný þekilde anlaþýlmalýdýr. Kümeyi oluþturan nesnelerin her birine eleman denir. Kümeyi genel olarak,,

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız.

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız. POLİNOMLARDA Polinomlarda To plama ve Çıkarma P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) + Q(x) veya P(x) Q(x) işlemi yapılırken eşit dereceli terimlerin katsayıları işlemine göre toplanır veya çıkarılır. Örnek...1

Detaylı

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME

BÖLME ve BÖLÜNEBİLME BÖLME ve BÖLÜNEBİLME A. BÖLME A, B, C, K birer doğal sayı ve B 0 olmak üzere, bölme işleminde, A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir. A = B. C + K dır. Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)

Detaylı

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c 138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,

Detaylı

8. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI

8. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI 8. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI Tudem Eğitim Hiz. San. ve Tic. A.Ş 1476/1 Sokak No: 10/51 Alsancak/Konak/ÝZMÝR Yazarlar: Tudem Yazý Kurulu Dizgi ve Grafik: Tudem Grafik Ekibi Baský ve Cilt:

Detaylı

YENÝ SINAV SÝSTEMÝNE ve YENÝ LÝSE PROGRAMINA UYGUNDUR. Muharrem DUÞ

YENÝ SINAV SÝSTEMÝNE ve YENÝ LÝSE PROGRAMINA UYGUNDUR. Muharrem DUÞ YNÝ SINV SÝSTMÝN ve YNÝ LÝS PROGRMIN UYGUNUR Muharrem UÞ SRÝ : MPS opyright Karekök ðitim asým Yayým Tur.Ltd. Þti. Sertifika No: 098 ISN: 978-97 - 900 - - 9 u kitabýn ve sistemin her hakký saklýdýr. Tüm

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

YGS Seti www.pianalitikyayinlari.com. YGS Matematik Soru Bankası. Yayýna Hazýrlýk Sürat Dizgi Grafik. Baský Tarihi Nisan 2012

YGS Seti www.pianalitikyayinlari.com. YGS Matematik Soru Bankası. Yayýna Hazýrlýk Sürat Dizgi Grafik. Baský Tarihi Nisan 2012 YGS Seti www.pianalitikyayinlari.om YGS Matematik Soru Bankası Copyright Sürat Basým Reklamýlýk ve Eðitim Araçlarý San. Ti. AÞ Bu kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn, kitabý yayýmlayan þirketin ön eden

Detaylı

4. f(x) = x 3 3ax 2 + 2x 1 fonksiyonunda f ý (x) in < x < için f(x) azalan bir fonksiyon olduðuna

4. f(x) = x 3 3ax 2 + 2x 1 fonksiyonunda f ý (x) in < x < için f(x) azalan bir fonksiyon olduðuna Artan - Azalan Fonksionlar Ma. Min. ve Dönüm Noktalarý ÖSYM SORULARI. Aþaðýdaki fonksionlardan hangisi daima artandýr? A) + = B) = C) = ( ) + D) = E) = + (97). f() = a + fonksionunda f ý () in erel (baðýl)

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

6. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI

6. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI 6. SINIF MATEMATIK KAZANIM ODAKLI SORU BANKASI Tudem Eğitim Hiz. San. ve Tic. A.Ş 1476/1 Sokak No: 10/51 Alsancak/Konak/ÝZMÝR Yazarlar: Tudem Yazý Kurulu Dizgi ve Grafik: Tudem Grafik Ekibi Baský ve Cilt:

Detaylı

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 POLİNOMLAR Test -. I. P x x 5 II. III. P x x P x ifadelerinden hangileri polinom belirtir? 6. P x x x x 7 polinomunun katsayılar toplamı A) B) C) D) 0 E) 9 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III

Detaylı

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır. Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I YGS Temel Matematik. 8 + 4. + 8 : 4 işleminin sonucu A) 8 B) 9 C) D) 5 E) 8 5. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

ÝÇÝNDEKÝLER 1. ÜNÝTE 2. ÜNÝTE

ÝÇÝNDEKÝLER 1. ÜNÝTE 2. ÜNÝTE ÝÇÝNDEKÝLER. ÜNÝTE ÇEVREMÝZDEKÝ GEOMETRÝ... Açýlarý Ýsimlendirme... Açýlarý Ölçme... Açý Çeþitleri... Üçgen Çeþitleri... 7 Üçgenlerin iç Açýlarýnýn Ölçüleri Toplamý... 9 Ölçme ve Deðerlendirme... Kazaným

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I

ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I YGS-LYS GEOMETRÝ Konu Anlatýmý ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I 1. Çember Denklemi: Analitik düzlemde merkezi M(a, b) ve yarýçapý r birim olan çemberin denklemi, (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 (x - a) 2 + y 2 = r 2

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması

POLİNOMLAR. Polinomlar. Konu Kavrama Çalışması POLİNOMLAR Polinomlar f: A B biçiminde tanımlanmış f(x) fonksiyonunda, A kümesi tanım kümesi ve B kümesi değer kümesidir. Fonksiyonlarda, fonksiyonu tanımsız yapan değerler tanım kümesinde yer alamaz.

Detaylı

1. Bir yel deðirmen motoru þekildeki gibi 3 diþliden oluþuyor.

1. Bir yel deðirmen motoru þekildeki gibi 3 diþliden oluþuyor. 6. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 36 12 6 O 1 O 2 O 3 1. Bir yel deðirmen motoru þekildeki gibi 3 diþliden oluþuyor. 3. A = 3

Detaylı

10. 4a5, 2b7 ve 1cd üç basamaklý sayýlardýr.

10. 4a5, 2b7 ve 1cd üç basamaklý sayýlardýr. 5. ACB + AC BC iþlemine göre, A.C çarpýmý kaçtýr? 0. 4a5, b7 ve cd üç basamaklý sayýlardýr. 4a5 b7 cd A) B) 4 C) 5 D) 6 E) olduðuna göre, c + b a + d ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 8 B) C) 5 D) 7 E) 8 (05-06

Detaylı

ünite1 1. Aþaðýdaki kavram ve gösterimi çiftlerinden hangisi doðrudur? A. ýþýn, B. doðru parçasý, d C. nokta, A D. doðru,

ünite1 1. Aþaðýdaki kavram ve gösterimi çiftlerinden hangisi doðrudur? A. ýþýn, B. doðru parçasý, d C. nokta, A D. doðru, ünite1 Geometri Matematik E 1 3. 1. þaðýdaki kavram ve gösterimi çiftlerinden hangisi doðrudur?. ýþýn, B B. doðru parçasý, d. nokta,. doðru, B Y erilen açýnýn gösterimi aþaðýdakilerden hangisi olabilir?.

Detaylı

HAFIZA TEKNÝKLERÝ ile MATEMATÝK

HAFIZA TEKNÝKLERÝ ile MATEMATÝK BÖLÜM 8 HAFIZA TEKNÝKLERÝ ile MATEMATÝK Birler Hanesi "5" Olan Ýki Basamaklý Sayýlarýn Karesi Örnek 1: 35² = 1225 Bu iþlemi basit bir yöntem ile 2 saniye içinde gerçekleþtirmeniz mümkündür. Tek yapmanýz

Detaylı

ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS. Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR. Temmuz Dahil

ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS. Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR. Temmuz Dahil ÖSYM nin Sorduğu Tüm Sorular DGS Tamamı Çözümlü ÇIKMIŞ SORULAR 00 00 005 006 007 008 009 00 0 Temmuz Dahil Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ ÇIKMIŞ SORULAR ISBN 978-975-879-06- Kitapta yer alan bölümlerin tüm

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2017

Kanguru Matematik Türkiye 2017 4 puanlýk sorular 1. Bir dik ikizkenar ABC üçgeni, BC = AB = birim olacak þekilde veriliyor. Üçgenin C köþesini merkez kabul ederek çizilen ve yarýçapý birim olan bir yay, hipotenüsü D noktasýnda, üçgenin

Detaylı

önce biz sorduk KPSS Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Eğitimde

önce biz sorduk KPSS Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Eğitimde KPSS 2017 önce biz sorduk 120 Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Eğitimde 30. yıl Editör Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker Yazar Komisyon KPSS Matematik-Geometri

Detaylı

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir.

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. 1 B)ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER: Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. Çarpanlara Ayırma Yöntemleri: 1)Ortak Çarpan Parantezine Alma:

Detaylı

1 ÜNİTE SAYILAR VE İŞLEMLER

1 ÜNİTE SAYILAR VE İŞLEMLER 1 ÜNİTE SAYILAR VE İŞLEMLER TAM SAYILARLA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ 7.1.1.1. Tam sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini yapar. 7.1.1.2. Tam sayılarla işlemler yapmayı gerektiren problemleri çözer. 7.1.1.3.

Detaylı

ÇARPANLARA AYIRMA. çözüm. Çarpanlarına Ayrılacak İfade Ortak Çarpan İfadenin Çarpanlarına Ayrılmış Hali. 2a+4 2 2a+4=2.(a+2) 5x+5 5 5x+5=5.

ÇARPANLARA AYIRMA. çözüm. Çarpanlarına Ayrılacak İfade Ortak Çarpan İfadenin Çarpanlarına Ayrılmış Hali. 2a+4 2 2a+4=2.(a+2) 5x+5 5 5x+5=5. ÇARPANLARA AYIRMA ÇARPANLARA AYIRMA Bir polinomu farklı polinomların çarpımı şeklinde yazabilme işlemine çarpanlara ayırma işlemi denir. P()=A().B().C() şeklindeki yazılımda A(), B(), C() polinomlarına

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II

BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II KARMAÞIK SAYILAR - II MF TM LYS 3 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar

Detaylı

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3

4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3 LYS ÜNÝVSÝT HAZILIK ÖZ-D-BÝ YAYINLAI MATMATÝK DNM SINAVI A Soru saýsý: 5 Yanýtlama süresi: 75 dakika Bu testle ilgili anýtlarýnýzý optik formdaki Matematik bölümüne iþaretleiniz. Doðru anýtlarýnýzýn saýsýndan

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek... POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek

Detaylı

Kanguru Matematik Türkiye 2015

Kanguru Matematik Türkiye 2015 3 puanlýk sorular 1. Hangi þeklin tam olarak yarýsý karalanmýþtýr? A) B) C) D) 2 Þekilde görüldüðü gibi þemsiyemin üzerinde KANGAROO yazýyor. Aþaðýdakilerden hangisi benim þemsiyenin görüntüsü deðildir?

Detaylı