MUKAVEMET I SUNU DERS NOTLARI EskiĢehir Osmangazi Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi ĠnĢaat Mühendisliği Bölümü.

Transkript

1 skiģhir Osmangai Ünivrsitsi Mühndislik Mimarlık Fakültsi ĠnĢaat Mühndisliği Bölümü MUKVMT I SUNU DRS NOTLRI 0 Hakan ROL H. Slim ġngl Yunus ÖZÇLĠKÖRS

2 MUKVMT I TML ĠLKLR KSĠT ZORLMLRI GRĠLM ġkġl DĞĠġTĠRM V MLZM BĞINTILRI GRĠLM-ġKĠL DĞĠġTĠRM NLĠZĠ

3 OSMNGZİ ÜNİVRSİTSİ MÜHNDĠSLĠK MĠMRLIK FKULTSĠ ĠNġT MÜHNDĠSLĠĞĠ BÖLÜMÜ MUKVMT I DRS LNI DRS STĠ : Cuma I.Öğrtim 09:00-:00 II.Öğrtim 4:00-7:00 SINIF : 7 KRDĠSĠ : +0 ÖĞRTĠM ÜYSĠ : Dr. Yunus ÖZÇLĠKÖRS Oda No: Tlfon: 6 -Mail: unuso@ogu.du.tr GÖRÜġM STĠ : ÖĞRTĠM ÜYSĠ : Dr. Slim ġngl Oda No:40 Tlfon: -Mail: ssngl@ogu.du.tr GÖRÜġM STĠ : ÖĞRTĠM ÜYSĠ : Dr. Hakan ROL Oda No:4 Tlfon: 8 -Mail: hrol@ogu.du.tr GÖRÜġM STĠ : DRSĠN MCI :Mühndislik fakültsi öğrncilrin, apı v makin lmanlarında, tkisi altında oldukları dış üklr sbbil oluşan grilm v şkil dğiştirmlrin, bir matmatik disiplin içind, apı malmsi drslrind apılan dn sonuçları, mühndislik limitlri içind kalmak kadıla apılan basitlştirici kabullr il statik drslrind alınan gnl dng kavramları kullanılarak hsaplanması için grkli altapının haırlanmasıdır. KONU BġLIKLRI - Tml prnsiplr: Giriş nali öntmlri, Kuvvt ük tiplri, Dng koşulları, İç kuvvtlr (Ksit tsirlri)nin inclnmsi, İç Kuvvt Bilşnlri Msnt tiplri, Yük, ksm kuvvti v momnt ilişkilri Ksit tsiri diagramları, (intgrason Yöntmi, Ksitlr öntmi) -Grilm Kavramı : Giriş, Grilm tahmini, Grim bilşnlri, Grim tansörü, ksnl kuvvt, Ortalama kama grilmsi, Basit apı lmanlarında grilm ugulaması, İnc cidarlı basınç kapları, mnit (Güvnlik) grilmsi mnit faktörü

4 -ġkil dğiģtirm, malm iliģkilri : Giriş, Birim şkil dğiştirm, Birim şkil dğiştirm bilşnlri,şkil dğiştirm tansörü, Mühndislik malmlri Grilm-birim şkil dğiştirm diagramları, Hook Kanunu, oisson oranı, Gnllştirilmiş Hook Kanunu, şkil dğiştirm nrjisi. 4-Grilm v Ģkil dğiģtirm analii: Giriş, Dülm grilm hali, sal grilmlr, n büük kama grilmsi Mohr grilm dairsi, Grilmnin dğişimi v difransil dng dnklmlri, Dülm şkil dğiştirm hali, şkil dğiştirmnin ölçülmsi, Grilm-şkil dğiştirm ilişkilri. DĞRLNDĠRM I. Yarııl içi % Il. Yarııl içi % Bilgi Yoklamaları % Final % 50 (Sınavlar kapalı dün olarak apılacak, formül safası vrilcktir) TLFĠ SINVI Sölü v/va aılı olarak apılacaktır. (Öğrncinin hangi sınava katılmadığına bakılmaksıın tüm konular kapsanacaktır.) DRS KĠTBI Dr.C, UĞURL, Mchanics of Matrials, Mc.Graw-HiIl 99 Dr. Mustafa ĠNN Cisimlrin Mukavmti, ĠTÜ Vakfı Yaını,990 YRDIMCI KYNKLR Dr. Mhmt H. OMURTG, Mukavmt Cilt I v Cilt II Birsn aınvi, Dr. Mhmt H. OMURTG, Mukavmt Çöümlü roblmlri, Cilt I, Cilt II, Birsn aınvi, Frdinand.BR &.Russl JOHNSTON, Mchanics of Matrials, McGraw-Hill Book Comp R.C.HIBBLR,Mchanics of Matrials, rntic Hall Intrnational, Inc Dr.N. KDIOĞLU, Dr.H. NGĠN, Dr.M. BKĠOĞLU,Mukavmt roblmlri CiltI, Cilt II, Bta Basıim Yaım Dağıtım.~ Dr.Uğur RSOY & Dr.Tanvir WSTl, Introductor Mchanics of Dformabl Bodis. MTU Dr.HiImi DMĠRY, Mukavmt,Çağlaan Kitabvi, 997 4

5 TML ĠLKLR GĠRĠġ Mukavmt, ük tkisi altındaki cisimlrin grilm v Ģkil dğiģtirm durumunun -iç davranıģın- inclndiği ugulamalı mkaniğin bir dalıdır. Buradaki cisim klimsil çubuklar, plak v kabuklar, kolon v millr il bu lmanların birlģtirilmsil oluģan apı v makinlr kastdilmktdir. Cisimlrin daanımı va Ģkil dğiģtirn cisimlr mkaniği olarak da adlandırılan malm mkaniğind önclikl grilm analii v cisimlrin mkanik öliklri inclnir. Malm mkaniği çalıģmaları, kuvvt tkisindki cisimlrd dng kavramının anlaģılmasıla baģlar. Statik drsind dngdki katı cisimlrin dıģ davranıģı inclnirkn mukavmtt dıģ üklrdn oluģacak iç kuvvtlr v Ģkil dğiģtirm araģtırılır. Burada ilk olarak statik dng dnklmlri v ük tkisindki bir cisimd ugulanması ürind durulacaktır. Daha sonra malm dformason asaları v gomtrik ugunluk koģulları l alınacaktır. Katı cisimlrin ük tkisindki davranıģlarının inclnmsi Galilo Galili (564-64) il baģlaıp kuvvt tkisindki cisimlrin Ģkil dğiģtircğini ilk dfa ifad dn Robrt Hook (65-70) la dvam dr. O amandan bu ana pk çok mühndis, bilim adamı v matmatikçi grilm analiin katkıda bulunarak bu gün kullandığımı ni öntmlrin gliģimind önmli rol onamıģtır. MÇ Mukavmtt tml amaç, cisimlrin ük taģıma kapasitlrinin daanım, rijitlik v stabilit bakımlarından araģtırılmasıdır. Söü diln kavramlarla bir cismin sırasıla sürkli Ģkil dğiģtirm va kırılmaa karģı dirnci, Ģkil dğiģtirm dirnci v cismin dng konumunun kararlılığı kastdilmktdir. Grçk apılardaki karmaģık grilm durumunu dnsl olarak tspit diln ksnl grilm bağlaan kırılma torilrinin vrcği grilm düi, ban daanım için bir ölçü olarak kullanılır. Göçm va kırılma n gnl anlamıla apının hrhangi bir parçasının kndisindn bklnn iģlvi rin gtirmmsi olarak tanımlanacaktır. 5

6 Örnğin lman Ģklindki kalıcı dformason, dng konumundaki dğiģiklik v apı lmanının kullanımına ngl olacak Ģkil dğiģimlri biim için arı arı birr göçm biçimidir. Mukavmtin baģlıca uğraģı alanları Ģöl ötlnbilir. - Yük tkisindki cisimlrd grilm v Ģkil dğiģtirm durumunun araģtırılması - Yapıların hasar görmdn v/va göçmdn v kndisindn bklnn iģlvi kabtmdn taģıabilcği n büük ükün hsap ada dnl bulunması - Blirli Ģartlar altında tanımlanmıģ üklr karģı n tkin Ģkild dirnbilck malmnin sçimi v lman Ģklinin blirlnmsi boutlandırma- Tknolojidki gliģm, apı v makinlrin daha karmaģık hal glmsin ol açmaktadır. Bu durumda mühndislrin grilm, Ģkil dğiģtirm v malm davranıģı konularını ii kavraıp bu konularda ustalaģmaları grkmktdir. Bu drst Ģkil dğiģtirn cisimlr mkaniğinin tml kavram v bilgilrinin vrilmsi kadar ugulamadaki kullanılıģı hususu ürind d durulacaktır. Konunun tam olarak anlaģılması anında pratik problmlrin çöümünd kullanımını görmk n ii öğrnm öntmidir. NLĠZ YÖNTMLRĠ Yüklrin Ģkil dğiģtirn cisimlr ürindki tkisinin inclndiği a) Mukavmt b) lastisit torisi olmak ür agın olarak kullanılan iki farklı aklaģım bulunmaktadır. Bu iki aklaģım arasındaki tml fark, Ģkil dğiģtirmlrin tanımından v apılan basitlģtirmlrdn kanaklanmaktadır. Mukavmtt, mühndislik ugulamalarıla dnsl çalıģmaların sonuçlarından fadalanılarak baı basitlģtirici kabullr altında problmin çöümü aranır. lastisit Torisind is hr adıma matmatik açıdan aklaģılır. Dolaısıla üklm v problm Ģklinin basit olduğu durumlarda ksin sonuca ulaģılır. lastisit Torisind ksin sonuca ulaģmada matmatik güçlüklr bulunur. Yapı lmanlarının analiind aģağıda vriln hususların düģünülmsi grkir 6

7 - Statik dng: Yapı lmanının bütününd va lmandan alınan hrhangi bir parçada kuvvt dng dnklmlri sağlanmalıdır. - ġkil dğiģtirmlr: Yapı lmanını oluģturan malmnin davranıģı grilm-birim Ģkil dğiģtirm (σ-ε ) bağıntısına ugun olmalıdır. - Gomtri: Yapı lmanında Ģkil dğiģtirmdn sonra hrhangi bir kopma kırılma v kütl kabı olmamalı, apı lmanı bütünlüğünü korumalıdır. Yukarıdaki ilklrin ugulanmasıla bulunan grilm v birim Ģkil dğiģtirmlrin lmanın sınır koģullarına ugun olması grkir. Bu durum, sınır koģullarının sağlanması olarak ifad dilir. nalid hr aman ukarıdaki adımların vriln sırala ugulanması grkmbilir. Grilm v Ģkil dğiģtirm analiind, Ģkil dğiģtirm nrjisi kavramından harktl gliģtiriln nrji öntmlri, dng öntmi rin kullanılabilir. Hr iki öntm üklm v lman Ģklinin dünli olması durumunda trli hassaslıkta sonuç vrirkn karmaģık problmlrin çöümünd d saısal öntmlrin ugulanabilcği tmli oluģtururlar. KUVVT V YÜKLRĠN SINIFLNDIRILMNSI Cism tkin bütün kuvvtlrl msntlrd oluģan raksionlar dıģ kuvvtlr olarak düģünülür. Bu kuvvtlri ü v cisim kuvvtlri olarak sınıflandırmak mümkündür. Tkil tiptki ü kuvvti sonlu bir alana ada tk bir noktaa tkirkn cisim kuvvtlri, çkim kuvvti va mantik kuvvtlr gibi cismin hr bir hacim lmanına tkid bulunur. Dünanın cisimlr uguladığı çkim kuvvtin ağırlık adını vrioru. Ġç kuvvtlr is cismin bünsini oluģturan malm parçaları arasındaki tkilģim kuvvtlri olarak algılanır. Cism tkin üklr tkil va aılı kuvvtlrl kuvvt çiftlri olabilir. ğr kuvvtin tkidiği alan lmanın boutları il kıaslandığında küçük kalıorsa kuvvti tkil kuvvt olarak kabul tmk mümkündür. Cism avaģça tki dn durağan üklr statik üklr, anidn tkin üklr d darb ada çarpma üklri dnir. Yükün cism binlrc dfa tki dip kaldırılması is tkrarlı üklm olarak isimlndirilir. ksi blirtilmdikç cismin ağırlığı ihmal dilip, üklmnin statik olduğu kabul dilcktir. SI birim sistmind kuvvt birimi nwton (N), ugulamada çoğu aman kilonwton (kn) olarak kullanılır. 7

8 Yüklrin Sınıflandırılması : ) ġiddti amanla dğiģn üklr (Dinamik üklr) ) ġiddti amanla dğiģmn üklr (Statik üklr) tkim Biçimin Gör Yüklrin Sınıflandırılması: ) Tkil ük ) Yaılı ük a) ğri bounca aılı ük b) lana Yaılı üklr c) Hacm aılı üklr Dügün aılı ük Üçgn aılı ük arabolik aılı ük q R ql L 0 qd q L q 0 L R q d q 0 0 L q 0 q q 0 sin L L R q0 sin d L 0 L L L STTĠK DNG KOġULLRI Yapı v makin lmanlarının tasarımında bu lmanlarda oluģan iç kuvvtlrin dağılımının bilinmsi grkir. DıĢ v iç kuvvtlrin blirlnmsind statiğin tml kavramları il dng koģulları kullanılır. Daha sonra görcğimi bilģk iç kuvvtin bilģnlrinin ksit orlarının- oluģturacağı dformasonlar mühndislr açısından öl bir anlama sahiptir. Cism tkin kuvvt sistminin bilģksi sıfırsa, cisim dngddir. Nwton un birinci asasına gör parçacığa tkin bilģk kuvvt sıfır is parçacık a harktsi kalır ada sabit hılı dügün doğrusal harkt apar. Statik adından da anlaģılacağı ür tmld cisim va parçacığın harktsi olma durumunu inclr. Üç boutlu bir cismin dngsi düģünüldüğünd, statikç dngnin olabilmsi için aģağıdaki dnklmlrin sağlanması grkir. 8

9 F 0 F 0 F 0 M 0 M 0 M 0 Daha açık bir ifad il cism tkin kuvvtlrin hrhangi bir doğrultudaki toplamı il hrhangi bir ksn trafında oluģturacağı momntlr toplamı sıfır olmalıdır. ğr cism tkin kuvvtlr tk bir (-) dülmin içind v dngd is ukarıdaki bağıntılardan üçünün otomatik olarak sağlanacağı ΣF =0, ΣM =0, ΣM =0 aģikardır. Dolaısıla dülm problmlrd üç bağımsı dng dnklmi bulunmaktadır. F F 0 M 0 0 Dülm Hal için çıkça kuvvtlrin hrhangi iki doğrultudaki (,) toplamı il dülm içindki hrhangi bir noktasına va ksnin gör bilģk momnt sıfır olmalıdır. Yukarıdaki dnklmlrin rin aģağıdaki iki arı dnklm takımı kullanılabilir. F 0 M 0 M 0 B Burada v B noktalarını birlģtirn doğru ksnin dik olmamalıdır. M 0 M 0 M 0 B C Burada da, B v C noktaları anı doğru ürind bulunmamalıdır. ltrnatif dng dnklmlri, kuvvt toplamının momnt toplamı il dğiģtirilmsi olula ld dilmiģtir. Momnt alınacak noktanın dikkatlic sçilmsi durumunda altrnatif dnklmlr cbrik hsapları önmli ölçüd basitlģtirir. 9

10 Ġvmli harkt dn bir cisimd statik dng dnklmlri aılırkn ilav olarak atalt kuvvtlrinin d dikkat alınması grkir. Yapı analii bakımından atalt kuvvtlrinin dıģ üklr klnrk, cismin ürindki tüm kuvvtlrin tkisi altında dngsinin inclnmsi D lmbrt ilksi olarak adlandırılır. Mühndislik problmlrinin büük çoğunluğu dngdki apı v makinlrl ilgilidir. Gnllikl üklr adını vrcğimi tanımlı v blirli kuvvtlr tkisind raksionlar adını vrcğimi üklri dngln bilinmn kuvvtlrin bulunması sö konusudur. Yalnıca dng dnklmlri ardımıla bütün kuvvtlrin blirlnbildiği problmlr iostatik, dng dnklmlrinin bütün kuvvtlrin blirlnmsin tmdiği problmlr d hiprstatik dnir. Hiprstatiklik drcsi, bilinmn bağımsı kuvvt saısı il aılabiln dng dnklmi saısı arasındaki farktır. Statiktki dng dnklmlri il blirlnbilck olan dıģındaki hr bir raksiona hiprstatik bilinmn (Rdundant) adı vrilir. Hrhangi bir sistmdki hiprstatik bilinmn saısı il hiprstatiklik drcsi birbirin Ģittir. ĠÇ KUVVTLR : KSĠM YÖNTMĠ Cism dıģ kuvvtlr tkidiğind, cisimd bir Ģkil dğiģimi il birlikt cismi oluģturan parçacıklar arasında bu parçacıkları bir arada tutacak iç kuvvtlr ortaa çıkar. ġimdi mukavmttki ana konulardan biri olan iç kuvvtlri ksim öntmi ardımıla inclm baģlaabiliri. Ksim öntminin ugulanmasındaki adımlar Ģöl sıralanabilir. - Cismin, bağlı olduğu diğr cisimlrdn arılarak msnt raksionları da dahil olmak ür tki dn bütün kuvvtlrin göstrildiği çiimlr Srbst Cisim Diagramı (SCD) adı vrilir. Ugulamada cismin apacağı Ģkil dğiģtirmlr cismin kndi boutları anında ihmal dilbilck kadar küçük olacağından SCD çiimind dikkat alınmalar. - Bilinmn dıģ kuvvtlrin blirlnmsi amacıla SCD ürindki kuvvt sistmi için dng dnklmlri aılır. DıĢ Kuvvtlr Ksim Dülmi Ġç Kuvvtlr 0

11 - Cisim hrhangi bir rdn haali bir dülml ksilrk iki arılır. arçalardan biri gö önün alınarak. adımdaki iģlmlr tkrarlanır. Madmki cisim bir bütün olarak dngddir, ksiml ortadan kaldırılan iç kuvvtlrin dikkat alınması Ģartı il o bütündn arılan hrhangi bir parçanın da dngd olması grkir. Bu noktada, dıģ kuvvtlrin iç kuvvtlrl dnglnmkt olduğunu, diğr bir diģl dıģ kuvvtlrin, lman bounca ksim dülmin bağlı olmak kadıla- iç kuvvtlr Ģklind aılı olarak dvam ttiklrini sölbiliri. n büük grilmi oluģturan iç kuvvtlrin bulunduğu r lmanın kritik ksiti adı vrilir. lman ürind alnıca tk bir kuvvt tki diorsa kritik ksitin r v doğrultusuna gölml karar vrilbilir. KSĠT ZOR(LM)LRI Yapı lmanlarının büük bir çoğunluğu çubuklardan mdana glir. Bir apı lmanının çubuk olarak isimlndirilbilmsi için uunluğunun, nksit büük knarının 5 katından daha fala olması grkir. Çubukların hrhangi bir ksitin tkin iç kuvvtlri, nksitin ağırlık mrkind tkin bir kuvvtl bir kuvvt çifti vktörü olarak göstrbiliri. Ġç kuvvtlrin bilģksi olan bu iki vktör, nksit dik v tğt doğrultulardaki bilģnlrin arılabilir. N, S, M b v M il göstriln bu bilģnlrdn alnıca birinin bulunması halin, basit mukavmt hallri adı vrilir. F F F M s ğilm Momnti M M Burulma Momnti M b R N ksnl kuvvt F 4 F 5 S Ksm Kuvvti R

12 KSNL KUVVT -kashi-kaiko Bridg from th air -

13 KSM KUVVTĠ

14 4

15 KSM KUVVTİ 5

16 6

17 Hr bir bilģn bir mukavmt halini göstrir. Bir ksitt bu tsirlrdn bir kaçı bir arada bulunursa bu duruma bilģik mukavmt hali dnir. Kullanılacak olan sağ-üçlü koordinat takımının ksni hr aman çubuk ksni il çakıģtırılacak, ksni ukarı, ksni is okuucua doğru önlndirilcktir. Sağ Üçlü ksn Takımı (+) ksn önlri Kuvvt çifti vktörünün önlri daima sağ-l kuralı il blirlnck v kuvvt vktörlril karıģmaması için uçlarında çift ok göstrilcktir. Dik ksitt bulunan iç kuvvtlr ksit or(lama)ları adı vrilir. Hr bir ksit oru çubukta farklı bir Ģkil dğiģtirm mdana gtirir. R ksnl kuvvti lmanın bounu uatmaa ada kısaltmaa çalıģır. ğr bu kuvvt ksim üindn uaklaģıorsa ksnl çkm, ksim üin doğru önlnmiģ is ksnl basma kuvvti adını alır. R, R ksm kuvvtlri komģu malm parçalarını ksrk birbirindn aırmaa çalıģır. Gnllikl S harfil göstrilir. M burulma momnti va tork lmanı kndi ksni trafında döndürm çalıģır v gnllikl T harfi il göstrilir. M, M ğilm momntlri is çubuğu bükm çalıģır 7

18 BilĢk kuvvtin ksnlr doğrultusundaki bilģnlri BilĢk kuvvt çiftinin ksnlr doğrultusundaki. bilģnlri M (ğilm Momnti) R R R S (Ksm Kuvvti) N (Normal Kuvvt) S (Ksm Kuvvti) M (ğilm Momnti ) R R i R j R k R Ni S j S k M Ti M j M k T, M b (Burulma Momnti) M M M i M j M k Hrhangi bir apı lmanı ksit orlarından bir va bir kaçına va tamamına anı anda maru kalabilir. Tasarımda hr bir ksit oru arı olarak l alınıp çöüm apılır. Daha sonra bulunan sonuçların ugun Ģkild birlģtirilmsil nihai çöüm ulaģılır. Dolaısıla ksit orlarıla ksit orları kullanılarak bulunan grilm v birim Ģkil dğiģtirmlrin hsaplanmasında ksim öntmi ilk adım olarak karģımıa çıkmaktadır. Ugulamada bütün kuvvtlr tk bir dülm içind tki ttiğindn (- dülmi) problm büük ölçüd basitlģmktdir. Dülmsl problmlrd ksit tkin üç ksit oru ksnl kuvvt N, ksm kuvvti S v ğilm momnti M dir. Bir dülmin normal vktörünün koordinat ksni il anı önlü olması durumunda bu dülm poitif dülm aksi hald ngatif dülm dnir. Nwton un üçüncü asasına gör ksit orları ksiml arılan parçalara Ģit v ıt önlü olarak tkir. 8

19 KSĠT TSĠRLRĠ ĠÇĠN OZĠTĠF YÖN KBULLRĠ Bir dülm, o dülmdn dıģarıa doğru önln birim vktörl tarif dilir. Normallri, koordinat ksnlrinin poitif önlri il çakıģan dülmlr sırasıla +i, +j, +k dülmlri dnir. Ģağıda sol tarafta göstriln v normali + ksni önünd olan (+i) dülm poitif dülmi va sağ ksit d dnmktdir. ksnl kuvvt, ksm kuvvti v ğilm momnti için poitif dülmd koordinat ksnlri önündki, ngatif dülmd is koordinat ksnlrin trs önlü kuvvtlr poitif kabul dilcktir. Bu iģart kabulü çubukların ük tkisi altındaki davranıģına adapt dilbilir. Örnğin poitif ksnl kuvvtlr çubuk bounu uatır. + / + j Sol ksit/ dülmi M - / - i M dülmi + / + k dülmi N S M M S N M S S N T Sağ ksit/ + / + i dülmi Dülm çubukta + iç kuvvtlr Dülm çubukta iç kuvvtlr M b N N S M S S M M S N 9

20 MSNT TĠLRĠ V GÖSTRĠM ġkġllrġ nı dülmdki üklrin tkisind bulunan apı lmanlarının msnt tiplri aģağıda göstrilmiģtir. Bu göstrim Ģkillri apı lmanlarının SCD çiilirkn kullanılır. Harktli mafsal, apı lmanının bir doğrultudaki r dğiģtirmsin v dönmsin iin vrn ancak blirli bir doğrultudaki r dğiģtirm ngl olan msnt tipidir. Sabit mafsal, lmanın dönmsin iin vrn ancak hrhangi bir doğrultudaki r dğiģtirmsin ngl olan bir msnt tipidir. Sabit v harktli mafsallara basit msntlr dnir. nkastr ada sabit msnt, lmanın r dğiģtirmsin v dönmsin ngl olan msnt tipidir. Dolaısıla sabit msntlrd hm momnt hm d hrhangi bir doğrultudaki kuvvt karģı konur. Bu kuvvt ü tğt v normal doğrultulardaki bilģnlrin arılabilir. Srbst cisim diagramlarında hr bir msnttki raksion kuvvti (R) v momnt (M) göstrilir. lmandaki iç kuvvtlrin bulunmasına raksionların blirlnmsindn sonra baģlanır. ) Harktli Mafsal B) Sabit Mafsal C) nkastr Msnt R M 0 0 M 0 R M R R R R 0

21 H R K T L Ġ M F S L

22 S B Ġ T M F S L BÜKRŞ T BİR LIŞ-VRİŞ MRKZİ, TMMUZ 004 Rsim : inģ. müh. rtan Gai Konuk

23 TSRIMD BġLIC DIMLR Tasarımın ana amacı, apı lmanlarının vriln üklri göçmksiin taģıabilcği v kndisindn bklniln iģlvlri rin gtirbilcği ugun malm, lman Ģkil v boutlarının blirlnmsidir. Bu aslında bir optimiason problmidir. Yukarıda söü diln amaçlara ulaģmadaki tkinlik kullanılan malm v apım malitinin minimum apılmasıla baģarılır. Yük tkisindki bir lmanın tasarımında aģağıdaki hususlar gö önün alınmalıdır.. lmanın kndisindn bklniln iģlvlri hangi durum(lar)da kabdcği blirlnmlidir.. Vriln üklmdn oluģacak grilm v birim Ģkil dğiģtirm durumu tspit dilmlidir.. Grilm v birim Ģkil dğiģtirm gibi önmli büüklüklrin lmanda göçm oluģturmaksıın alabilcği n büük dğrlri blirlnmlidir. 4. Güvnlik katsaıları sçilmlidir. Yukarıdaki iģlm adımları, vriln problmin apısına bağlı olarak uaıp kısalabilir. k çok tkinin dikkat alınması sö konusu olduğunda çoğunlukla bir dnm-anılma iģlmil tasarım sonuçlandırılır. Bu drst lman malmsi il gomtrik boutlar öncdn sçilmiģ olduğundan tasarım sırasında alnıca daanım koģulunun sağlanması ürind durulacaktır. Basit mukavmt hallrinin inclndiği bölümlrd çıkartılacak formüllr, ugun lman boutlarının sçimind kullanılacaktır. lmanların tasarımında dikkat alınması grkn diğr hususlar da üklm sonucu lmanda oluģacak dformasonun hsaplanması v burkulmadır. Bu konulara daha sonraki bölümlrd açıklık gtircği.

24 Kullanılan Birim Sistmi Faktör Hc ĠĢart Kuvvt F N, kn 0 Trra T Uunluk L mm, m 0 9 Giga G Zaman t sn 0 6 Mga M lan mm, m 0 Kilo k Hacim V mm, m 0 Hkto h talt Momnti I mm 4, m 4 0 Dka da Mukavmt Momnti W mm, m Momnt M Nm, knm Grilm, N/m, N/mm lastisit Modülü Ga Ġvm a m/sn ĠĢ-nrji W,U Joul Faktör Hc ĠĢart 0 - Dsi d 0 - Santi c 0 - Mili m 0-6 Mikro 0-9 Nano n ascal a N m Ma MN m Ma 0 N mm 6 0 N 6 N m m Ma 0 - iko p 0-5 Fmto f 0-8 tto a 4

25 ÇUBUK MUKVMTĠNĠN SSLRI Yapılar boutları bakımından - Çubuklar (tl, halat, kablo, dirk, kiriģ, kmrlr, Bir boutlu taģııcı cisimlr - Lvha, plak v kabuklar (DöĢm plakları, kubb v tonolar) - Üç boutlu apılar (ğrılık barajları) Ģklind üç sınıfa arılabilir. Mukavmtt alnı çubuk Ģklindki cisimlr inclncktir. Çubuklar ksn v dik ksiti il blirginlģir. ksn gnl olarak bir ua ğrisi olup, çubuğun büük olan boutunu tmsil drkn dik ksit is kapalı bir ğri il çvrlnmiģ dülm parçasıdır. Sabit ksitli, doğru ksnli çubuklara primatik çubuklar dnir. Çubuğa tkin dıģ kuvvtlr çoğu dfa aılı olup doğrultuları gnllikl çubuk ksnindn gçr. ğr dıģ kuvvtlrin tsir çigilri çubuk ksnindn gçmiorsa bu kuvvtlr çubuk ksnin kuvvt çiftlri il birlikt taģınır. KSĠT ZORLRININ BULUNMSI Ksit orlarının bulunmasında aģağıdaki öntmlr kullanılabilir. - Ksim öntmi (STTĠK) DıĢ kuvvtlrin tkisi altındaki sistmin msnt tpkilri hsaplanır. lman, sürksilik göstrdiği noktalardan bölglr arılır. Bu noktalar, tkil üklrin ugulandığı noktalar, aılı üklrin baģladığı v bittiği rlr v çubuk ksitinin dğiģtiği noktalardır. Hr bir bölgdki ksit orları aılan dng dnklmlri ardımıla hsaplanır. - Ġntgrason öntmi Ksit orlarına ait difransil dng dnklmlri, sınır koģulları dikkat alınarak çöülür. 5

26 YYILI YÜKLR TKĠSĠNDKĠ DOĞRU KSNLĠ BĠR KĠRĠġT KSĠT ZORLRININ DĠFRNSĠYL DNG DNKLMLRĠ Gnllikl ksni bounca tkin aılı üklri ğilm dirnçlri ardımıla msntlrin aktaran bir boutlu (n ksit boutları küçük, uunluğu büük olan) apı lmanlarına kiriģ adı vrilir. ġimdi dıģ üklrl ksit orları arasındaki bağıntıları ld tmk istioru. Ģağıda göstriln basit kiriģ v ksnlri doğrultusunda q v q aılı üklri tkisin. q v q sırasıla v ksnlri doğrultusunda tki dn aılı üklrin Ģiddtindki dğiģimi koordinatına bağlı olarak ifad dn fonksionlardır. Yaılı üklr v msnt raksionları altında dngd olan kiriģtn d kalınlıklı küçük bir parça çıkartılsın. Bütünü dngd olan çubuktan alınan bu küçük parçanın da ürin tkin üklr v ksit orları altında dngd olması grkir. lınan d kalınlıklı parçanın sağ üündki orlamaların sol üdki orlamalardan dn, ds v dm kadar farklı olduğu kabul dilmiģtir. ksnlr doğrultusundaki dng dnklmlrindn kiriģ ait aģağıdaki üç difransil dnklm bulunur. q q d M N S o q d d q d S + ds N + dn M + dm F 0 N dn N q d 0 F 0 S ds S q d 0 d M 0 M dm M qd Sd 0 dn d q ds d q dm d S ds d dm d M d M q q d d d d d 6

27 KiriĢ difransil dnklmlrinin intgrasonu il ksit orları fonksionları blirlnbilir. Ġntgrason sabitlrinin bulunmasında ksit orlarının baģlangıç dğrlrindn ararlanılır. Ġntgrason öntmi öllikl aılı ük fonksionlarının vrildiği hallrd kolalık sağlar. Öncki safada çıkarttığımı difransil dnklmlri blirli iki nokta arasında msla v noktaları arasında intgr drsk aģağıda göstriln ifadlr ld dilir. Bu ifadlrin sağ taraflarındaki intgrallrin fiiki anlamları sırasıla ngatif iģartl sö konusu noktaların arasındaki aılı ük fonksionlarının altında kalan alan il in ngatif iģartl ksm kuvvti diagramının altında kalan alan olarak sölnbilir. Sö konusu dnklmlrin sol tarafları is sırasıla hr bir ksit orundaki dğiģimi vrmktdir. dn q N N q d YFK d ds q S S q d YFK d dm d S M M S d KKDK Yaılı ük fonksionu altında kalan alan Yaılı ük fonksionu altında kalan alan Ksm kuvvti diagramı altında kalan alan KĠRĠġ TKĠL YÜK V MOMNT TKĠMSĠ HLĠ Ksit orlamalarına ait difransil dng dnklmlri bulunurkn gö önün alınan çubuk parçası ürind hrhangi bir tkil kuvvt ada kuvvt çifti tkimdiği düģünülmüģtür. ğr tkil kuvvt v kuvvt çiftlri varsa kuvvt orlarında sürksilik olacaktır. Hrhangi bir ksitt v ksnlri doğrultusunda v tkil kuvvtlri il bir M momnti tkisin. Tkilliğin olduğu rdn alınacak bir lman ürind dng dnklmlri aıldığında andaki bağıntılara ulaģılır. M N S M N N S S M M S М M N 7

28 ÖRNK 0 kn ġkildki konsol kiriģin msnt tpkilrini hsaplaıp, Ksm kuvvti v momnt fonksionlarını bularak diagramlarını çiini. 6 kn m S C 4 m 6 m [kn] B o S M N 0 F 0 6 S 0 M o M 0 S kn M 6 6 M 4 _ 4 00[kNm] _ 4 0 N M S o F 6 o 0 S kn M M 8

29 R ÖRNK S q L R [kn] _ q L L (-) M + (+) q L 8 + B R B q L q =-q [knm] ġkildki kiriģin msnt tpkilrini hsaplaıp, Ksm kuvvti v momnt fonksionlarını bularak diagramlarını çiini. F 0 R 0 F 0 M R R B ql B L 0 R L ql 0 M dm q d d M q c c d Sınır ġartları (Msnt ġartlarından) M c L S q q S q c M L 0 c L M R B q R q L q q q Maksimum Momnt v Yri S 0 M ma L q q 0 L M ma L L L L q 8 9

30 S ÖRNK [kn] M [kn]m 6 kn m _ kn _ q =-(-) m Tğt ata +, B 4 kn dm d S 6kN/m M ġkildki konsol kiriģin msnt tpkilrini hsaplaıp, Ksm kuvvti v momnt fonksionlarını bularak diagramlarını çiini. 0 bölgsi ds ds S c c 4; S 4 d S 5 dm 4 4 M 4 c c ; d M 0 M 4 0 S c 0; S 6 c 6; S 6kN d dm d 4bölgsi va B bölgsi dm q d 6 M 6 c 0; M 0 c 0; M 6 knm dm ; 4 S 5 S c c 4 c ; c M 6 c d M c c S 4 M 4 0

31 ÖRNK 4 ġkildki basit kiriģin msnt tpkilrini hsaplaıp, Ksm kuvvti v momnt fonksionlarını bularak diagramlarını çiini. Nümrik ugulama L=7 m. q 0 =0 kn/m R q( ) q0 sin l B L R l l ql 0 F 0 R q( ). d q0 sin d l 0 0 ds ql q( ) q sin S cos c d l l q0l q0l 0; S c 0 S cos l 0 0 q l q l S M c d l l dm 0 0 cos sin ql 0 0; M 0 c 0 M sin l ql 0 S ( ) cos l 0*7 S( ) cos 7 ql 0 M( ) sin l M 0*7 ( ) sin 7

32 R q( ) q0 sin l B L R Sri Sri Sri S M 0 -,87 0 0,5 -,705,0476-0,075,545,5-7,405 0,9547 -,898 8,8597,5-9, ,708-4, ,4067,5 8, , , ,4059 4,5 9, ,7066 5,895 8,8574 5,5 7,406 0, ,0758,5409 6,5,709,0476 7,87-0, *7 S( ) cos 7 M 0*7 ( ) sin

33 Momnt S Ödv sorusunun çöümü q( ) q0 sin l ġkildki çıkmalı kiriģin msnt tpkilrini hsaplaıp, Ksm kuvvti v momnt fonksionlarını bularak diagramlarını çiini. Nümrik ugulama L=7 m. q 0 =0 kn/m B C L L/ 0 l 0 q0l q0l S ( ) cos l 4 l.5l q0l q0l S ( ) cos l 0 l q0l q0l M ( ) sin 4 l 4 l.5l q l q l q l M ( ) sin 4 l Sri Sri Sri Sri

34 ÖRNK 5 ġkildki çıkmalı kiriģin msnt tpkilrini hsaplaıp, Ksm kuvvti v momnt fonksionlarını bularak diagramlarını çiini.,5 q 4 B 0 m 4 m 8 m,5kn/m 0 0bölgsi ds dm d d,5,5 0 S c c S 0,5,5 0 M c c M 0 S M 9, 57,6,4 kn 8,57 kn 0 4bölgsi S [kn] 8,57 5, , ds d,5,5 0 S c c, S 6, dm d,5,5,4 M,4 c S,4 9, M [knm] 7, c4 M 7,6 4, M 57,6,4 4, -,4 0 4 S 0 4,8m M 4,8, 4 - dm d 4 bölgsi ds d 4,5 S,5 c5 c5 80 S 0 4,5 80 M,5 80 c6 c6 M M,5 80 S,

35 Ġki a da daha fala çubuğun (kiriģ lmanının) uçlarından rijit Ģkild birlģtirilmsil oluģturulan taģııcı sistmlr çrçv dnir. Çrçvi oluģturan lmanlar çģitli doğrultularda uanırlar. Tk katlı tk açıklıklı çrçvlr portik adı vrilmktdir. Sanai apılarında sıkça karģılaģılan portiklrin açıklığı 6-0 mtr civarındadır. Yan tarafta bir sanai apısının taģııcı sistmi Ģmatik olarak göstrilmiģtir. Çrçv lmanlarına ait ksit orları, lmanlara ait ksn takımları kullanılarak blirlnir. Gnld lmanlara çrçvnin içindn bakılarak lmanın sol ucuna koordinat takımının mrki apıģtırılır. ksni lman ksni il çakıģtırılır. ksni (bakıģ önünd) ukarı doğru, ksni d kağıt dülmin dik doğrultuda v okuucua önlck biçimd göstrilir. ġimdi atala α açısı apan bir lmanın hrhangi bir ksitindki Ksm kuvvti (S) il Normal kuvvt (N) i kolaca hsaplamak ür iki bağıntı çıkaralım. B C D S oitif S v N ksit tsirlri N Yatala hrhangi bir α açısı apan çubukta gö önün alınan ksitin solunda kalan parçadaki (apıdaki) Yata v DüĢ doğrultudaki bilģk kuvvtlr Y v D olarak blirlndiğind sö konusu ksittki ksm kuvvti S v normal kuvvt N; v doğrultularında aılacak toplam kuvvt sıfır dnklmlrindn hsaplanabilir. Y oitif Y v D kuvvti D F 0 S Y *sin Dcos 0 F 0 N Y *cos D*sin 0 S Y *sin Dcos N Y *cos D*sin 5

36 ÖRNK 6 40 kn/m 0 kn 80 kn B C D 6,8 8,5 kn m 4 m m m,5 kn ġkildki çrçvnin msnt tpkilrini hsaplaıp, Ksm kuvvti v momnt fonksionlarını bularak diagramlarını çiini. Msnt tpkilrini hsaplamak için apının tamamında dng dnklmlri aılırsa, M 0 C 8,5 kn F 0 0 kn C M 0,5kN Öncki safada çıkartılan iki bağıntıı kullanarak üklmd va lmanların doğrultusunda dğiģm olan kritik noktalardaki orlamaları hsaplaalım. S Y *sin Dcos N Y *cos D*sin noktasının Sağı B noktasının Solu Y=-0 kn S N M =0 D=-,5 kn S N M 0 0,6,50,8 70 kn 0 0,8,50,6 97,5kN 0 Y=0 S N B M =70 D=-,5 kn L SB,50,8 kn,5 0,6, kn N L B 5 M L B 00,5,5 4 70kNm B noktasının Sağı D noktasının sağı S=,5 kn Y=0 kn B M=70 D=-,5 kn N=0 R SB R N B,5,5kN, M R B 70kNm Y=0 D=-8,5 S=8,5 D M=65 N R N D R SD 8,5 kn 8, M R D 00.5,5 6 65kNm 6

37 Bundan öncki problmlrdki (tkil va aılı) üklr a lmanın sol ucuna apıģtırdığımı, ksnlri doğrultusundaki bilģnlri cinsindn vrilmktdi a da sö konusu ksnlr doğrultusundaki bilģnlrin kolaca arılabilmktdi. Bu problmdki 40 kn/m lik düģd dügün aılı ükün B lmanının ucuna apıģtırılan v ksnlri doğrultusundaki iki bilģn arılması (diğr bir ifad il q, q ük fonksionlarının blirlnmsi) grkir. 40 kn/m 0 kn 80 kn B C D 8,5 kn 6,8 m 4 m m m,5 kn 40 kn/m 0 kn 96 kn 7 kn B lmanı 0 5m M knm B 7 kn q=-7/5 =-4.4 kn/m B 96 kn q=96/5 =9. kn/m dn dn q 9. N 9. c 0; N 97.5 c 97.5 d d N kn ds ds q 4.4 S 4.4 c 0; S 70 c 70 d d S kn dm d dm S M c M c d ; 0 0 B - 97, S [kn] 70 M [knm],5 N [kn] 7

38 BC lmanının ortasına tkin 80 kn lık bir tkil kuvvt bulunmaktadır. Dolaısıla D noktasından öncki v sonraki ksit oru fonksionları birbirindn farklıdır. Önclikl koordinat takımını lmanın sol ucu olan B noktasına apıģtırarak, koordinatının 0 il m. arasında dğiģtiği BD kısmında gçrli olan ksit orları fonksionlarını blirllim. Ksit orlarının =0 daki baģlangıç dğrlrini daha önc çıkartılan S v N bağıntıları il blirlmiģtik. ġimdi anı dğrlri ksim öntmi il hsaplaalım. BC lmanında q, q ük fonksionlarının hr ikisi d sıfırdır. S B M N F 0 N 0 BC lmanı 0 m dn dn q 0 N c d d 0; N 0 c 0 N 0 kn 40 kn/m 0 kn 4 m,5 kn 6,8 m F 0 S.5 kn 40 kn/m 0 kn M 0 M 0*.5.5* 4 0* 0 M 70 BC lmanı 4m knm dn dn q 0 N c d d 4; N 0 c 0 N 0 kn 80 kn B C D 6,8 8,5 kn m 4 m m m,5 kn,5 Sıfır 97,5 + N [kn] 8,5 +,5 + + S [kn] - ds ds q 0 S c d d 0; S.5 c.5 S.5 kn ds ds q 0 S c d d 4; S 8.5 c 8.5 S 8.5 kn dm dm S.5 M.5 c d d 0; M 70 c 70 M.5 70 knm dm dm S 8.5 M 8.5 c d d 4; M 0 c 0 M knm + M [knm] 8

39 Örnk 7 B 5 m 0kN/m 50 kn 5 kn 0 kn 78 kn 4 m 78,8 kn 5 m - 78,8-6,0 N [kn] D C 8 kn/m 7, kn 7, - 6 m ġkildki çrçvnin msnt tpkilrini hsaplaıp, Ksm kuvvti v momnt fonksionlarını bularak diagramlarını çiini. S B =-9,567 kn 78 kn BC lmanı ds 0 S 0 c B lmanı ds q 0 S c 78kN d dm d dn d 78 M 78 c q d dm 0 9,567 M 5 9,567 c d dn d q 78,8 kn M = -90 knm 0 N c N =-6,0 kn 0 N c S 78kN M 78 N 78, 8kN S 0 9,567 kn M 5 9, N 6, 0kN , S [kn] 8 + M [knm] 60, S=-48 kn N =-7, kn 7, kn M = -44 knm 48 kn 8 kn/m CD lmanı ds 8 S 8 c d dm d dn d q 48 8 M 4 48 c 0 N c M S 8 48kN N 7, kn 9

40 Örnk 8 S [kn] 0 kn - daki tğt ata dğil + o arabol 0 kn B - 4 kn m m 0 kn 4 kn B q C 4 kn C 4 kn v B noktalarından msntli bir çıkmalı kiriģin ksm kuvvti diagramı Ģkild göstrilmiģtir. Yüklm durumunu blirlip ğilm momnti diagramını çiini. Ksm kuvvti diagramındaki hr ıplama, o noktada bir tkil kuvvtin bulunması anlamına glir. Dolaısı il msnt raksionunun 0 kn, B dki msnt raksionunun da 4 kn olduğunu düģünbiliri. rıca çıkma ucunda 4 kn lık bir tkil kuvvt tkimktdir. -B arasında ksm kuvvti diagramının 0 olması bu noktalar arasında 0 bir aılı ük fonksionunu akla gtirmktdir. Yin ksm kuvvti diagramının noktasındaki tğtinin ata olmaması bu noktadaki aılı ük Ģiddtinin sıfırdan farklı olduğunu, tğt ğiminin dan B gittikç artması aılı ük Ģiddtinin d büümkt olduğunu göstrir. B v C noktaları arasında ksm kuvvti diagramının sabit olması (ğim sıfır) bu noktalar arasında aılı üklmnin olmadığına iģart tmktdir. ġimdi söünü ttiğimi üklm durumunu smbolik olarak andaki Ģkil ürind göstrlim. Trap aılı ük, biri q Ģiddtind dügün aılı diğri q Ģiddtind üçgn aılı iki arı üklm arılıp kiriģin tamamı için aılacak iki dng dnklmindn q v q ük Ģiddtlri kolaca hsaplanabilir. q B 0 kn 4 kn kn 4,67 4 kn 8 kn.67 0 kn 4 kn M 0,5 q q, F 0,5 q q M F?? , q q,67 kn / m 4,67 kn / m 40

41 S [kn] 0 kn - daki tğt ata dğil.67 kn/m + o arabol B 4.67 kn/m 0 kn B - 4 kn m m 4 kn C C v B noktaları arasındaki aılı ük fonksionu blirlndiktn sonra intgrason öntmi il ksm kuvvti v ğilm momnti fonksionları hsaplanıp diagramları çiilir. 0 bölgsi ds 4,89, 67 4,89, 67 d 0 S 0 c 0 S, 445,67 0 S c dm,445,67, 445, 67 0 M 0 c d 0 M 0 c q ( ).67 M [knm] 4 knm M 0,85, ,6 knm - Maksimum momntin ri, Ksm kuvvtinin SIFIR olduğu rdir. S 0, 445, ,55 m -,64m X,55 0,85,55,5,55 0,55 9, knm M 6 4

42 ÇalıĢma Soruları ġkildki çrçvnin msnt tpkilrini hsaplaıp, Ksm kuvvti v momnt fonksionlarını intgrason öntmil bularak diagramlarını çiini. v B noktalarından msntli bir çıkmalı kiriģin ksm kuvvti diagramı Ģkild göstrilmiģtir. Yüklm durumunu blirlip ğilm momnti diagramını çiini. B 80 kn B C 40 kn/m m 6,8 4 m C S [kn] m m kn B dki tğt ata dğil 4 m m - + o arabol B - kn C 8 kn m m 4

43 GRĠLM Mühndislrin ük tkisi altındaki bir lmanın davranıģını tanımlamakta kullandığı iki kavram; Grilm v Birim ġkil DğiĢtirm dir. Grilm v bilģnlrini tanımlamakta ksim mtodunu kullanıp, ksnl kuvvttn oluģan normal grilm il ortalama kama grilmsinin bulunuģu ürin duracağı. Sonra, öğrndiklrimiin çģitli problmlrd nasıl kullanıldığı açıklanacak ksnl üklü çubukların ön boutlandırılması v mnit grilmsi inclncktir. TNIM : GRĠLM Ndn normal aakkabı il kara gömüln, bata çıka adım atabiln biri hdik gidiğind ni ağmıģ kar ürind bil batmadan rahatça ürübilmktdir? Ndni birim alana gln ağırlığın ikinci durumda aalması olarak sölnbilir. Kuvvt tkisind dngd olan bir lmanın içindki hrhangi bir noktadaki iç kuvvtin Ģiddtin ani birim alana düģn iç kuvvt grilm adını vrioru. Grilm birimi ascal dır Ugulamada daha çok Mgaascal (Ma) kullanılır. F F Grilm ( ; ) N mm N m ascal a Mgaascal Ma Hdik F O F andaki Ģkild dngd olan bir cisimdn ksilrk alınan bir parçanın ksim dülmi ürind alınan hrhangi bir o noktası v bu nokta civarındaki alanı il bu alana tkin F iç kuvvti göstrilmiģtir. O noktasına apıģtırılan koordinat takımının ksni ksim dülmin dik olan doğrultu il çakıģtırılmıģtır. 4

44 F iç kuvvtinin ksnlr doğrultusundaki bilģnlri sırasıla F, F, F olarak bilinsin. Bu grilm bilģnlrini alanına bölrk sıfıra gidrkn limiti alınırsa hr bir ksn doğrultusundaki grilm bilģni tanımlanmıģ olur. Yü dik doğrultudaki grilm normal grilm adı vrilip σ (sigma) harfi il göstrilirkn, ksim üi içindki grilmlr d kama grilmsi dnir v τ (tau) harfi il göstrilir. Hr grilm bilģnin klnn iki indisdn birincisi ksim dülminin normalinin doğrultusunu, ikinci indis is grilm bilģninin kndi doğrultusunu blirtir. Örnğin τ normali ksni olan dülmd ksni doğrultusundaki kama grilmsidir. F O F F F F lim 0 F df lim 0 d F df lim 0 d df d Grilm; a) iç kuvvtin (F) noktadan noktaa dğiģmsin bağlı olarak dğiģir. b) F nin tkidiği noktadan gçn dülmin doğrultusuna da bağlı olarak dğiģir. Bir noktadaki grilmnin tam olarak tanımlanması için o noktadan gçn bütün dülmlrdki (saısı sonsu) grilmlrin vrilmsi grkir. Örnğin andaki Ģkild göstriln v o noktasının bulunduğu rdn çıkartılan dört ülünün üç üündki iç kuvvtlr vrilmiģ is dördüncü üdki iç kuvvti a da grilm durumunu alnıca dng dnklmlri ardımı il bulmak mümkündür. f,, 44

45 Grilmnin BilĢnlri Bir noktadan gçn sonsu saıdaki dülmin hr birindki grilmnin diğr bir diģl GRĠLM HLĠ nin blirtilmsi için o noktadan gçn üç dik dülmdki grilm bilģnlrinin vrilmsi trli olur. Dülmlr o noktadan gçn ksnlr dik olarak sçilirs sonsu küçük boutlu bir kübik lman ld dri. Grilmlrin lmanın ülrin aılı v O v O noktasındaki grilmlrin Ģdğr olduklarını düģünüoru. Grilmlr hr dülmin mrkind bir vktörl göstrilmiģtir. Bir noktada üç dik dülmdki toplam 9 grilm bilģni il vriln grilm hali göstrimin GRĠLM TNSÖRÜ dnir. T O O d Grilm tansörünün hr bir satırında alnıca blirli bir dülmdki grilm bilģnlri sıralanırkn hr bir sutunda is blirli bir koordinat ksni doğrultusundaki grilmlr göstrilmktdir. Skalr büüklüklrin tarif dilmsind bir rakam v birimin vrilmsi trli olurkn vktörl büüklüklrin anlaģılmasında bir rakam v birim trli olmamaktadır. Örnğin bir r dğiģtirmnin 5 m olduğu sölmk cismin son konumu hakkında hiçbir bilgi vrm. Yapılması grkn Ģ cismin baģlangıç konumuna bir ksn takımı apıģtırmak v r dğiģtirmnin m., 4 m., 0 m. gibi bu ksnlr doğrultusundaki üç bilģnini vrmktir. Vriln bu üç paramtr il cismin son konumu tam olarak tarif dilmiģ olur. Bir noktadaki grilm hali il daha sonra görcğimi bir noktadaki birim Ģkil dğiģtirm hali hp tansörl büüklüklr olup doku bilģni vrilmdn tam olarak anlaģılamaan büüklüklrdir. d d. 45

46 Kama grilmsinin ölliklrinin bulunması için dng dnklmlrini aalım. M F F 0; F ddd ddd 0 ; Otomatik olarak sağlanır DĠK DÜZLMLRDKĠ KYM GRĠLMLRĠ ġġttġr. M 0 M 0 bulunur. ĠĢart kabulü, dülmin normali il grilmnin önünün hr ikisinin d poitif va ngatif olması durumunda grilm OZĠTĠF kabul dilir. ġimdi grilm halinin dülmi ürindki idüģümünü alalım (+ önündn bakıldığında).,, 0,, 0 T T T T Tk ksnli, (bir boutlu) Grilm Hali (Yalnıca normal grilm varsa) Ġki ksnli Grilm Hali (Ġki tan normal grilm varsa) Tam Kama Hali (Yalnıca Kama grilm varsa) Dülm Grilm Hali 46

47 ksni Doğrultusunda Kuvvtlrl Yüklü Doğru ksnli Çubukta ksnl Normal Kuvvtlr Bu durumda ksnl normal kuvvt v uama va kısalma sö konusudur. ÖRNK ġkild görüln üklr tkisindki alüminum çubuğun ksnl kuvvt diagramını çiini. 4 B C D Yük Diagramı L/4 L/ L/4 B arası; N() BC arası; B N() Srbst Cisim Diagramları CD arası; N() D ksnl Kuvvt Diagramı 47

48 Çubuk bouna ksni doğrultusunda birkaç ksnl kuvvtl üklü is ksnl normal kuvvtlr ksittn ksit dğiģir. Bu amaçla önclikl ksnl normal kuvvt diagramı çiilmlidir. Bunun için;. Önclikl raksionlar hsaplanır. Yüklmd dğiģm olan hr bir bölgd (ükt sürksilik olan hr bir bölgd) arı bir ksim apılarak o bölgdki ksnl normal kuvvt, dng dnklmi aılarak hsaplanır. ksnl kuvvt diagramı çiilir. Diagramın kapanması hsaplamaların doğruluğunu kontrol tmk için kullanılabilir. NORML GRĠLM Cismin hrhangi bir ksitindki grilm, sabit Ģiddt va dügün aılı is buna basit grilm adı vrilir.yük taģıan lmanların çoğunun düģünüln bir ksitindki iç kuvvtlr a ksnl kuvvttir a da ksm kuvvtidir. Örnğin kablolar, kafs kiriģ lmanları, ksnl üklü çubuklarda ksnl normal kuvvt, iki çubuğu birlģtirn cıvata, pim v prçinlrd is ksm kuvvti sö konusu olduğundan normal grilm il kama grilmsini hsaplamakta doğrudan grilmnin tanımını v dng dnklmlrini kullanmak mümkündür. Grçk grilm aılıģını bulmak için Ģkil dğiģtirmlri dikkat almak grklidir. ksnl kuvvtl üklü primatik bir çubuk düģünlim. F ata b h 0 ksnl Çkm grilmsi I I Çubuk ksni il 90 o lik açı apan I-I ksitini düģünlim. Ksim üindki grilm Ģkild dügün aılı olarak göstrilmiģtir. I-I ksitindn ksip aırırsak; I I bh Bu nksittki üniform grilmnin dğridir. Bunun için; nksitin ağırlık mrkindn ugulanmalı Çubuk doğru ksnli, apıldığı malm homojn olmalı Ksim dülmi çubuk uçlarından uak olmalı Ġl vriln üç kritrin sağlanması grkir.. kritr sağlanma is momnt oluģur grilm nksit dügün aılma. 48

49 ÇTL UÇ ÖRNĞĠ Rsim: Dr. hmt Ncati YLGĠN 49 Rsim: Dr.Ģrf ÜNLÜOĞLU

50 ÇTL UÇLU BĠRLġĠMLR Çatal uçlardan pim kuvvtin aktarılması arım silindirik bir ü ürindn diğr bir diģl tmas üi aracılığı il grçklģmktdir. ğr bir kuvvt arım silindirik bir ü ürindn bir lmandan baģka bir lmana aktarılıorsa sö konusu üd oluģan grilmlr ilm grilmsi adı vrilir. (Makin mühndisliğind is bu grilm atak grilmsi dnilmktdir.) Grçkt dügün aılı olmaan ilm grilmlri kuvvtin pim çapı lvha kalınlığından oluģan arım silindirik üin i düģüm alanına bölünmsil hsaplanır. d b b c c C Çatal uç / t =d*t b im Tmas üi v ilm grilmlri / t =d*t Çatal uçlardaki kuvvtin pim aktarılması 50

51 5 c b c b d t S S d c b c b td d t t im d t l B Çubuğundaki ilm grilmsi td l Çatal uçlardaki ilm grilmsi t t t b B c c b b C ZĠLM GRĠLMSĠ

52 ORTLM KYM GRĠLMSĠ t t t d b b / c c / im Kama grilmlri, ugulanan kuvvtlrin cismin bir parçasının komģu parçalara naaran ksm ğilimind olması halind ortaa çıkar. Çatal uçlu birlģimdki pim, ksnin dik doğrultudaki ksm kuvvtinin tkisil b-b v c-c ksitlrindn arılmaa karģı komaktadır. imin bütünü dngd olduğuna gör arılma ülrinin hr birind / ksm kuvvtlri oluģmaktadır. Kama grilmlrinin ugulanan kuvvt parall dülmlrd oluģması halind dirkt ksm hali dnir. b b B b c c C b b / b b c c / c c C C Normal grilmnin trsin kama grilmlri dügün aılmalar, pimin aktardığı kuvvtin, ksiln pim alanına bölünmsil bulunan dğr ortalama kama grilmsini vrir. ort ksiln d 4 5

53 RÇĠNLĠ v CĠVTLI BĠRLġĠM KĠRĠġ KĠ LIġ-VRĠġ MRKZĠ BÜKRġ KOLON KĠ ROCTR-GMBL GBZ Rsim : inģ.müh. rtan Gai Konuk 5 Rsim : inģ.yük müh. Bora Karakurt

54 Rsim : inģ.yük müh. Bora Karakurt 54 Rsim : inģ.yük müh. Bora Karakurt Rsim : inģ.yük müh. Bora Karakurt

55 Çlik apı lmanlarının birlģtirilmsind prçin, bulon (cıvata) va kanak kullanılır. rçin, kür takksi bir baģ v hafif konik gövddn oluģan bir birlģtirm lmanıdır. Kııl rnk alıncaa kadar ısıtılan prçin lmanlara açılan dliktn gçirilir. Diğr uçtan çıkan konik kısım dövülrk kür takksi biçimi vrilir. Konik olan prçin gövdsi dövülm sırasında silindir dönüģrk dliği tam olarak kapatır. ski apılarda kullanılan prçin, kanak tknolojisindki ilrlm sbbil günümüd kullanılmamaktadır. rçin ada kanakla birlģtiriln apı lmanlarını, lmanlara arar vrmdn sökmk mümkün olmadığından bu birlģim araçları kalıcı apılarda kullanılır. Bir apının ilrid sökülrk baģka bir r taģınması sö konusu is bulon (cıvata) dniln birlģim aracı kullanılır. Cıvata altıgn bir baģ v ürin diģ açılmıģ silindirik bir gövddn oluģur. lmanlara açılan dliktn gçiriln cıvatanın diģli ucuna somun adı vriln bir parça anahtar ardımıla sıkılır. Hafif ğik ülr takılan cıvatalarda somun takılmadan önc ükün aılmasını sağlamak amacıla pul dniln halka Ģklindki mtal parçalar kullanılır. Çlik apılardaki titrģimlr sbbil amanla somunların gvģmsi sö konusudur. Somunların gvģmsin ngl olmak için a rondla adı vriln alar a da çift somun sıkılması oluna gidilir. Dirkt ksm halin örnklr: - rçinli va bulonlu civatalı- birlģim Kama grilmsi hsabı b B ort m d S 4 t d = bir prçinin taģıdığı kuvvt m = bağlantıdaki lman saısı - 55

56 rçin/cıvata gövdsind va lvhada dlik knarında oluģan ilm grilmsi Rsimlr: Connctions Taching Toolkit rr S. Grn, h.d. & Thomas Sputo, h.d.,.. & atrick Vltri ilm t min d Burada; bir prçin/civataa düģn kuvvti, d prçin / cıvata çapını, t min birlģim bölgsin gln ada gidn lvha kalınlıkları toplamından küçük olanını göstrmktdir. ZaıflamıĢ ksittki çkm grilmsi : Yırtılma grilmsi d ırtılma t b k d min / / t Burada; aıflamıģ ksit tkin çkm kuvvtini, b lvha gniģliğini k aıflamıģ ksitt bulunan prçin saısını, t min birlģim bölgsin gln ada gidn lvha kalınlıkları toplamından küçük olanını göstrmktdir. 56

57 - Bir plak ürind dlik açılması (ımbalama grilmsi) Dlm Ucu d t lak ÖRS S d ort r t Japona da bulunan bu köprü ımbalama tkisi üündn 57 kullanılama hald

58 Örnk t=0 mm t =5 mm d F c ġkild 40 kn luk düģ kuvvti taģıan kafs sistm görülmktdir. Bütün pimlr 0 mm çapa sahiptir. Çatal uçlardaki kalınlık 0 ar mm, bağlantı lvhasının kalınlığı 5 mm dir. lmanlardaki normal grilmlri C mafsalındaki kama v ilm grilmlrini hsaplaını. C t=0 mm 50 kn B düğüm noktasının dngsindn çubuk kuvvtlri kolaca hsaplanabilir. m = 0.00 m 0 kn B 40 kn 00 6 B 7.50 a 7. 5Ma BC 50 a 5Ma 0.00 Basma Çkm = m.5 m B = 40 kn C a 79. 6Ma d ilm a 66.7Ma Msnt lvhasında ilm 50 a 5Ma Çatal uçta 58

59 Örnk Ksici uç F B Civata kskisin 00 N luk kuvvti ugulanmıģtır. a) Civataa v, B, C noktasındaki pim gln kuvvtlri hsaplaını. b) D parçasının alanı 0-4 m dir. Bu lmandaki grilmi blirlini. B F B 5 D 75 mm B C = 00 N 5 mm 480 mm Bir apı ada makin içrisind alnıca iki piml bağlanan bir lman bulunuorsa v bu lmanın ürin hiç bir dıģ kuvvt tkimiorsa bu lmanın görvi pimlri birlģtirn doğrultuda kuvvt aktarmaktır. Ksm kuvvti v momnt oluģma. (iki kuvvt tkisind dngd olan cisim konusunu hatırlaını) Q F F at F 0 0 B 4 M B 0 00Q 75F F Q F 0 F düş F B Q F B 4 Q Q Q sap F B =0 F B 480 mm = 00 N M C FB F 0 FC 00 F B FB 8000 N Q 4kN F C kn 5 mm F C F F 0 0 C F Q FB 8 4 kn F C D Ma NOT : Ksici uç v sapta ğilm v ksm tkisi vardır. 59

60 ĠNC CĠDRLI BSINÇ KLRI 500 Gallon, 000 psi rs. Vssl 60

61 ĠNC CĠDRLI BSINÇ KLRI Ugulamada rastladığımı otomobil lastiklri, boru, tank v LG tüplri gibi basınç kapları tmld ksnl kuvvt taģıan araçlardır. Basınç kaplarının t kalınlığı/ iç arıçap, /0 dan küçük is bu tip basınç kaplarını inc cidarlı olarak sınıflandırmaktaı. Ġnc cidarlı basınç kaplarında normal grilm kalınlık bounca sabit kalırkn kalın cidarlı basınç kaplarında dğiģmktdir. Ġnc cidarlı basınç kaplarında arıca iç v dıģ arıçap arımı apılma (Bu iki dğr birbirin çok akındır). Burada, inc cidarlı silindirik v kürsl basınç kaplarını l alacağı. Basınç kabının cidarları ar gibi mmbrandavrandığından ğilm momnti oluģmaacaktır. Kap ksnl simtrik apısı il taģıdığı madddn kanaklanan basınç tkisi il srbstç Ģkil dğiģtirirkn alnıca mmbran grilmlri adı vriln dügün aılı normal grilmlr oluģur. Bu kabul, kabın rahatça Ģkil dğiģtirmdiği uç bölglri il msntlri dıģında oldukça isabtlidir. Silindirik kapların uçlarındaki kapak kısımlarında ksm kuvvtlril ğilm momntlri ortaa çıkar. Ksm kuvvti il ğilm momntindn kanaklanan bu grilmlr sürksilik grilmlri adı vrilir. Sürksilik grilmlrini aaltmak için kapaklara ugun bir ğrilik vrilir. Bu bölümd vriln bağıntılar, sıvı va gadan oluģan p iç basıncı halind kullanılabilir. Vakum kapları il dnialtılar gibi dıģ basınç altında kalan araçların inclnmsind p nin iģartinin ngatif alınması trlidir. DıĢ basınç halind hsaplanacak grilmlrin kap cidarlarında burkulma oluģturan kritik grilmlrdn küçük olmalıdır. SĠLĠNDĠRĠK BSINÇ KLRI ġkild göstriln iç arıçapı r, t kalınlığı t, manomtr basıncı p olan silindirik hava tankı va bolri düģünlim. Manomtr basıncı; içtki basıncın, dıģ basıncı n kadar aģtığını vrmktdir. Kap cidarı ürind göstriln küçük bir ü lmanına tki dn, c v a grilmlrini blirlmk istioru. c grilm bilģnin, çvrsl grilm, tğtsl grilm va halka grilmsi; a grilm bilģnin is ksnl va bouna grilm adları vrilir. Çvrsl grilmi hsaplamak ür L boundaki arım silindirik bir lmanı içindki akıģkanla birlikt aıralım. kıģkanın kndi ağırlığı il basınç kabının kndi ağırlığının ihmal dilbilck kadar küçük olduğunu düģünüoru. ksnl doğrultudaki basınç il grilmlri basitlik ndni il Ģkil b d göstrilmdi. ġkildki kap cidarlarında taģınan ksnl kuvvt, c (tl), anı dülmdki akıģkan basıncından oluģan kuvvt is p(rl) dir. 6

62 c t r L c t r t a (a) L p (b) p (c) a DüĢ doğrultudaki toplam kuvvtin sıfır olması grktiğindn; c tl p rl c ksnl grilm, silindirik basınç kabından alınan v Ģkil c d göstriln srbst cisim diagramı kullanılarak hsaplanabilir. Bu diagramdaki cidarın taģıdığı ksnl kuvvt a (rt) ; taģınan akıģkanın oluģturacağı ksnl kuvvt p(r ) dır. ksnl kuvvtlrin Ģitliğind, a rt p r a pr t pr t CHOID bulunur. ld diln grilm bağıntılarından, c = a olduğu görülmktdir. 6

63 KÜRSL BSINÇ KLRI Kürsl basınç kaplarındaki grilmlr, silindirik kapların inclnmsind ugulanan iģlmlr bnr Ģkild bulunabilir. Kürsl kaptan alınan küçük bir lmana tkin grilmlr simtri ndnil birbirin Ģittir. Kürsl kap tam ortasından arıldığında; r p r Yaılacak dng dnklmi rt p, r çvrsl grilm için pr t t sonucunu vrir. Bu sonuç, kürnin çapını içrn bütün ksimlrd anı kalır. Radal doğrultudaki grilm kabın iç üünd p; dıģ üünd sıfır olacak Ģkild dğiģir. Ġnc cidarlı kaplarda bu grilm c v a grilmlrindn çok küçük olduğundan gnllikl ihmal dilir. Ġnc cidarlı basınç kaplarındaki grilm, iki ksnli grilm hali olarak düģünülbilir. Örnk 4 Uçlarında arım kür Ģklind kapaklar bulunan silindirik tank.8 Ma lık basınçlı hava il doldurulmuģtur. Tankın arıçapı 50 mm, t kalınlığı 8 mm olduğuna gör silindirik v kürsl kısımlarda oluģacak grilmlri hsaplaını. Kürsl kapaklardaki grilm il silindirik kısımdaki bouna grilm anıdır. pr.850 a. 56Ma t 8 silindirik kısımdaki çvrsl grilm pr Ma c t 8 n büük radal grilm tankın iç üünd r. 8Ma dır. 6

64 MNĠYT GRĠLMSĠ: GÜVNLĠK KTSYISI Yapıların tasarım v analiind karģılaģılan çvrsl tkilr, kullanım üklri, malm ölliklri gibi çģitli blirsiliklr karģı ugun bir güvnlik katsaısı sçilmsi önmlidir. Blirsilik doğuran alanların baģında grilm v Ģkil dğiģtirm kabullri glmktdir. Yapının imalatında v kullanımı sırasında oluģacak grilmlr ksin olarak bilinmdiğindn güvnlik katsaısına ban chalt katsaısı adı vrilir. Baı durumlarda malm, ürindki ük sabit olduğu hald Ģkil dğiģtirm dvam dr. Zamanla oluģan bu Ģkil dğiģimin sünm adı vrilir. Diğr taraftan Ģkil dğiģtirmnin sabit olduğu hallrd grilmdki aalmaa is gvģm dnir. KurĢun, lastik v baı plastiklrd sünm normal sıcaklıklarda mdana glmktdir. k çok mtald sünm olaına rgim sıcaklığının üd 5-50 si düindki sıcaklıklarda görülmktdir. Hrhangi bir malmnin sünm hıı alnıca sıcaklığa dğil anı amanda grilm düi il ük gçmiģin d bağlıdır. Sünm kanaklı dformasonları aaltmak amacıla grilmlrin küçük tutulması fadalıdır. Güvnlik katsaısı, apı lmanına ugulanacak ükün, o lamanın taģıabilcği n büük ükü aģmamasını garanti dr. Güvnlik katsaısı, apı lmanının (göçmksiin) taģıabilcği n büük ükün kullanım ükün oranıdır. Güvnlik Katsaısı = n Büük Grilm Kullanım Grilmsi f s maks m n büük grilm, a akma grilmsidir ada çkm (basınç) mukavmtidir. Güvnlik katsaısının oldukça küçük olması, mnit grilmsinin oldukça büük olmasını, bu durumda da apının kullanımı sırasında problm çıkabilcği göstrir. Diğr taraftan oldukça düģük mnit grilmsi v oldukça üksk güvnlik katsaısı il apı ağır v fala malitli olur. Güvnlik katsaısı, gnllikl.5 va üstünd sçilir. Sçim d tcrüb v mühndislik önsisi önmlidir. Güvnlik katsaıları pk çok ülkd standart v öntmliklrl blirlnmktdir. 64

65 Örnk 5 Çapı.5 m, t kalınlığı mm olan çlik silindirik tankın σ nbüük = 40 Ma, f s = olduğuna gör taģıabilcği p basıncını hsaplaını. Çvrsl v ksnl grilmlr, mnit grilmsini aģmamalıdır. maks 40 pr 0 m 0 Ma ; c m p 0. 48Ma fs t 750 pr m t a m p 0.96Ma t r Bulunur. Manomtr 0.48 Ma ı aģmamalıdır. Çkm v Kısa Basma Çubuklarının Tasarımı ksnl üklü primatik çubukların mukavmt önündn boutlandırılmasında.mümkün göçm modunun blirlnmsi: Çoğunlukla göçmd normal grilmnin tml bir büüklük olduğu kabul dilir..yük il grilm arasındaki bağıntının aılması:.n Büük Çkm mukavmtinin blirlnmsi: Malmnin σ-ε diagramındaki n büük ordinatı σ maks 4.Güvnlik katsaısının sçilmsi: nmit grilmsinin hsaplanmasında güvnlik katsaısı f s kullanılır. m f maks s Grkli nksit alanı m Olur. Yukarıda söü diln iģlmlr çkm v kısa basınç çubuklarının boutlandırılmasında kullanılır. Narin basınç çubuklarının boutlandırılması daha sonra inclncktir. ğr çubuk n ksitind ani bir dğiģim varsa ukarıdaki iģlmlr. adımdaki grilmnin hsabında grilm ığılması katsaısı kullanılarak tkrarlanır. 65

66 Örnk 6 = 60 kn m ġkild göstriln kar ksitli alüminum B çubuğu il dairsl ksitli çlik C çubuğunun nksit alanlarını hsaplaını. lüminum v çlik çubuklar için n büük grilmlr sırasıla 75 v 480 Ma v güvnlik katsaısı.5 dir. B C Örnk 7 C v düğümlrind 50 v 0 kn luk üklri taģıan kafsin C, D, CD v C çubuklarının alanlarını hsaplaını. mnit grilmsi çkmd 40, basmada 00 Ma dır. R R B m B R m m a a b 50 kn 0 kn b Çubuk kuvvtlrini, ksim öntmini kullanarak (statik bilgilrinidn ararlanarak) kolaca bulabilirsini. C D m F B 4. m F c 90 kn 70 kn 45 0 kn 90 kn 70 kn 50 kn C 0 kn M B 0 FC * FC.4 kn 7.8 MC 0 FB * FB 45.5 kn? 7. F kn 99 kn kn 0 kn 0 0 C m kn D al 0 Ma ç 9 Ma B.7 mm a 6. 4mm 0.40 C 580. mm d 7. 8mm 9 90 D B D 707.mm C CD C mm 4.9 mm 66

67 Örnk 8 ġkild göstriln çubuğa ugulanabilck n büük kuvvtini; çkm grilmsinin 00 Ma, basma grilmsinin 40 Ma ı aģmaması koģulula hsaplaını. N B mm 900 mm 400 mm + B - 5 C B 00. 5kN 5 5 BC kn 900 CD 40 56kN 400 D 40 8kN 400 D C D -.5; 5.;56;8. kn m min 5 Örnk 9 ġkild göstriln sistm dngddir. a) Normal grilmnin 40 Ma dğrini aģmaması koģulu il CD çubuğunun çapını, b) B dki 8 mm çaplı pimdki kama grilmsini, c) B msndindki atak grilmsini, d) B msndin bağlanan çubuktaki atak grilmsini hsaplaını. D C a) b) c) d) 60 o 5 kn 00 mm 50 mm B 6 mm 0 mm M B sin kN B 6 mm 8 mm CD 40 d 7. 5mm d 4 B kN B 5sin kn 940 B cos kN 9.95 Ma atak 97. Ma atak Ma 08 67

68 Örnk 0 ġkild görüln iki plak dört adt 0 mm çaplı prçinl birlģtirilmiģtir. m = 00 Ma, m = 80 Ma, m ilm = 40 Ma olduğuna gör bu birlģimin taģıabilcği n büük kuvvtini hsaplaını. 5 mm 80 mm 00 mm 0 mm Bir prçinin ksilm v ilm gör taģıabilcği kuvvt kn 4* 00.5 kn kn 4* kn 00 Üst lvhada Yırtılmaa gör tahkik; üst lvha aa üst lvha bb üst lvha cc a b c 0 mm kn / kn 00 * 0 5 / kn Çok saıda birlģim lmanının bulunduğu sorularda hr prçin ada civatanın Ģit kuvvt taģıdığı kabul dilir. Ģağıdaki Ģkild üst lvhadaki kuvvtinin a ksitini aģınca /4 kadar aalarak /4 dğrin düģtüğü, b ksitindn sonra */4 kadar daha aalarak /4 dğrin indiği, c ksitindn sonra üst lvhada hiç kuvvt kalmadığı Ģmatik olarak göstrilmiģtir. lttaki lvhada baģlangıçta sıfır olan kuvvt a, b v c ksitlrindn sonra arta arta n sonunda dğrin ükslmktdir. kn m 5 mm 0 /4 /4 lt lvhada Yırtılmaa gör tahkik; alt lvha cc alt lvha bb alt lvha aa /4 / kn min 90; kN 0 0 mm / kn 0 * 0 0 / kn Yırtılma bakımından kritik olan ksit a birinci a da ikinci ksittir. 68

69 Örnk ġkild göstriln pim bağlantılı çrçvd a) 50 mm nksit alanına sahip C çubuğundaki normal grilmi, b) D noktasında çift tsirli olarak çalıģan 0 mm çaplı pimdki kama grilmsini hsaplaını. m C im bağlantılı çrçvlrd ilk adım msnt raksionlarının hsaplanmasıdır. Daha sonra çrçv lmanları tkr tkr l alınıp hr bir lmanda üç adt dng dnklmi aılması olula istnn kuvvtlr kolaca bulunur. 6 m B D M B 0 0cos kN F 0 B. 66kN F 0 B 8. 66kN m 6 m 8.66 kn 0 o 0 kn C çubuğu, iki ucu mafsallı olduğundan alnı ksnl kuvvt taģır. M CD D C 6. kn 0 C cos C.55 kn.55 kn C = 6. kn 60 C Ma 50 CD çubuğunun dngsi D D.89kN.55kN D.89 kn D kN.55 kn 906 D 75. 8M

70 Örnk 5 kn 50 mm 50 mm çaplı makara, 5 mm çaplı mil 5*5*5 mm boutlara sahip bir kama il bağlanmıģtır. Kamadaki kama grilmsini hsaplaını. 5*5*5 mm boutlu kama Örnk m arıçaplı kürsl bir basınç kabı; iki arım kür parçanın Ģit aralıklarla rlģtiriln 40 adt cıvata ardımıla birlģtirilmsindn oluģmaktadır. Ġç basınç 600 ka olarak vrildiğin gör cıvata çapı d il basınç kabının t kalınlığı t i hsaplaını. Cıvata v kürsl kabın mnit grilmlri sırasıla 00 v 50 Ma olarak bilinmktdir. kn 5 mm t M Fkama.5 Fkama kn 0.8 m Ma 55 d Örnk Bir barajın türbinlrin su iltn cbri boru 0 m lik su ükü altındadır. Boru çapı 900mm dir. Boru malmsinin n büük grilmsi 00 Ma, güvnlik katsaısı.6 dır. Borunun n küçük t kalınlığı t n olmalıdır? (g su = 9.8 kn/m ) pr c 50 t t t 4.8mm m p g h kn / m p.77 Ma Bir civataa düģn kuvvt N maks 00 c t min mm t f.6 s d 9.6 mm d 4 70

71 ÇalıĢma Soruları ġkild göstriln birlģim, lvhaların alt v üst ülrin rlģtiriln 5 mm kalınlıklı bağ lvhaları v 4 adt 9 mm çapındaki prçinl apılmıģtır. ç m = 0 Ma, m =70 Ma, m ilm = 40 Ma olarak bilindiğin gör birlģimin mnitl taģıabilcği kuvvtini bulunu. ġkild göstriln BC rijit lmanı CD üksk mukavmtli tli v noktasından ugulanan kuvvti il dngddir. Tlin taģıabilcği n büük çkm grilmsi = 50 Ma v güvnlik katsaısı,; B noktasındaki pimin taģıabilcği n büük kama grilmsi = 00 Ma v güvnlik katsaısının,0 olduğu bilindiğin gör tlin v pimin n küçük çapı n olmalıdır? 0 mm ġkild göstriln üç lmanlı kafs sistm noktasından kuvvti tkimktdir. C v D noktasından mafsalla birlģtiriln, ksnl ük taģıan CD lmanı 050 mm dikdörtgn ksitlidir. noktasından ugulanan kuvvtinin Ģiddti 0 kn olduğunda CD çubuğunda oluģan normal grilmi hsaplaını. 7

72 BĠRĠM ġkġl DĞĠġTĠRM V MLZM (BÜNY) BĞINTILRI Bir öncki bölümd bir apı ada makin lmanındaki grilmlr inclndi. ġimdi grilm kadar önmli bir konu olan Ģkil dğiģtirm konusunu l alacağı. ġkil dğiģtirm va dformason analii, birim Ģkil dğiģtirmlrin tanımları il baģlar. Birim Ģkil dğiģtirmlr dformasonun Ģiddtinin ölçülmsind kullanılır. Ġlriki bölümlrd malmlrin önmli karaktristik ölliklri tanımlanacaktır. Mühndislikt kullanılan malmlrin ksnl çkm dni ardımıla blirlnn mkanik ölliklri ürind durulacaktır. Tk ksnli, çok ksnli v ksm kuvvtlri tkisind grilm v birim Ģkil dğiģtirm arasındaki bağıntılar l alınıp Ģkil dğiģtirm nrjisi kavramı il tkrarlı üklmlrin oluģturacağı kırılma olaına giriģ apılacaktır. DıĢ kuvvtlrin tkisi altında bulunan bir cismin hr noktası r dğiģtirir. Hrhangi bir noktanın r dğiģtirmsi; Ģkil dğiģtirmdn ada rijit cisim harktlrindn (ötlnm v dönm) va bu iki tkinin bilģimindn mdana glir. Cisim içindki noktaların birbirlrin gör olan konumlarında bir dğiģm varsa cisim Ģkil dğiģtirmiģtir dnir. Hrhangi iki nokta arasındaki uaklık ada hrhangi üç nokta arasındaki açı dğiģmiorsa r dğiģtirmnin sbbi rijit cisim harktlri olabilir. Bu bölümd ük tkisindki mühndislik apılarında, Ģkil dğiģtirm il ortaa çıkan küçük r dğiģtirmlr inclncktir. ġkil dğiģtirm sonucu cismin hacmind ada biçimind dğiģm olabilir. Bir apı lmanındaki grçk grilm aılıģının blirlnmsind bu apı lmanındaki Ģkil dğiģtirmnin dikkat alınması grkir. DıĢ üklr v sıcaklık tsiri tkisindki hiprstatik apıların analiind Ģkil dğiģimi kullanılarak hiprstatik kuvvtlrin hsaplanması için grkn ilav dnklmlr sağlanır. Toplam ksnl Ģkil dğiģtirm d il göstrilcktir. Cisim içrisindki hrhangi bir noktada, v ksnlri önündki r dğiģtirm bilģnlri u, v v w il tanımlanacaktır. Birim Ģkil dğiģtirmlri in anında küçük, çarpımlarıla karlrini ihmal dilbilck kadar küçük kabul tmkti. 7

73 BĠRĠM ġkġl DĞĠġTĠRM TNIMLRI Normal birim Ģkil dğiģtirm primatik bir çubuk ürind tanımlanacaktır. L Birim bodaki uunluk dğiģimi: Uama oranı B B L ükü ugulandıktan sonra çubuk boundaki toplam uama Çubuk baģlangıç bou u u+u > 0 UZM < 0 KISLM BĠRĠMSĠZ Kama Ģkil dğiģtirmsi, baģlangıçta dik olan iki doğru arasındaki açının Ģkil dğiģtirm sonrası dikliktn saptığı dğrin tanjantına dnir. çı küçük olduğundan tanjantı rin radan cinsindn kndisi aılabilir. g g > 0 DĠK ÇI KÜÇÜLÜR g < 0 DĠK ÇI BÜYÜR BĠRĠMSĠZ lastik bölgd Ģkil dğiģtirmlr 0.00 va 000 dğrlrini pk aģma. Uunluk v açıdaki dğiģimlr uniform is dikdörtgn için aldığımı iki formül trli hassasitt sonuç vrir. Uniform olmaan bir Ģkil dğiģtirm sö konusu is bir noktadaki birim Ģkil dğiģtirmlrin tanımlanması grkir. 7

74 Örnk b O b b B Üçgn BC plağı, BC Ģklini alacak biçimd üniform Ģkil dğiģtirm apmıģtır. a) OC ksni doğrultusundaki normal Ģkil dğiģtirmi, b) C knarı bounca normal Ģkil dğiģtirmi, c) C v BC knarları arasındaki kama Ģkil dğiģimini, hsaplaını. C 0.00b C OC 0.00 b b b 0.00b b b C 50 b b Cˆ B tan b Radan cinsindn o g Dik açıdaki dğiģim = = o CB açısı aaldığı için kama Ģkil dğiģimi poitiftir. ÖRNK ÖRNK Kürsl bir balonun 00 mm olan çapı, ĢiĢirildiktn sonra 0 mm olmuģtur. Ortalama çvrsl uama oranını hsaplaını. Çvr= D, D 0 : ilk çap Ġçi boģ bir silindir iç basınç tkisind 00 mm olan iç çapı 0.5 mm, 400 mm olan dıģ çapı 0. mm artmıģtır. a) Çvrsl doğrultudaki n büük uama oranı b) Radal doğrultudaki ortalama uama oranını hsaplaını. Ġç çvrdki uama oranı iç c D D c D 0 D D D DıĢ çvrdki uama oranı diş c Radal doğrultudaki uama oranı r t t

75 ÖRNK 4 B ÖRNK 5 B a=40 mm 0 mm ġkild görüln dikdörtgn lvha, üklmdn sonra bir parall knara dönüģmüģtür. Lvhanın B v CD knarları mm uaıp 0.00 radan saat dönüģü önünd dönrkn D v BC knarları is 0.00 mm kısalarak radan saat dönüģ önün trs önd dönmüģtür. a=40mm, b=0mm olduğuna gör dülm birim Ģkil dğiģtirm bilģnlrini hsaplaını. C b=0 mm D B mm ġkild görüln inc dikdörtgn plak iki ksnli çkm grilmlri tkisind uama oranlarını apmaktadır. C köģgnindki bo dğiģimini hsaplaını. C 5 mm D 0.06 B C D C D 0. C g C köģgninin Ģkil dğiģtirdiktn sonraki ilk uunluğu; mm D knarındaki toplam Ģkil dğiģtirm= B knarındaki toplam Ģkil dğiģtirm= C köģgninin ilk uunluğu= 5 0 D 0. mm B 0. 06mm 5.6mm C köģgnindki bo dğiģimi; C 0. 4mm 75

76 ġkil DğiĢiminin BilĢnlri Üniform Ģkil dğiģtirm oksa birim Ģkil dğiģtirm cismin içind noktadan noktaa dğiģir. Daha önc adığımı bağıntıların uunluğundaki bir B doğru parçası il ilgili olması grkir. ksnl kuvvt altında doğru parçasının uçları u v u + u r dğiģtirmlrini aparak v B noktalarına glir. Yani doğru parçasının bounda u kadarlık bir uama grçklģir. Tanım grği normal Ģkil dğiģtirm u du lim 0 d dır. Burada limitin anlamı düģünülürs Δ, sıfıra gidrkn alnıca noktasında doğrultusundaki uama oranı ifad dilmktdir. Dülm va iki ksnli Ģkil dğiģtirm durumunda üklm öncsi v sonrası cisim içindki hr nokta in anı dülm içind kalırlar. Bu durumda birim kalınlıklı d v d boutlu bir lman doğrusal v açısal Ģkil dğiģtirm apabilcktir. Bir dülm lmanın doğrusal Ģkil dğiģtirmlri u u d u d u d u d u u v v d d d v d v d v d v v d d Bir dülm lmanın açısal (kama) Ģkil dğiģimi u d u C B B C D d v d v D d u d v d g v u d v d v d u d u u d v d u v d d Örnğin u nun ksni doğrultusundaki dğiģimi (hıı) u, u daki u u artıģ is ddır. Burada sonsu küçük lmanın baģlangıçta düģ olan knarının ğimi olur. 76

77 u v v, v nin fonksionu olduklarından kısmi türv göstrimi (notasonu) kullanılmaktadır. Bnr Ģkild u d B v d C v d ata knar da v v u açısı apacak Ģkild ükslir. g u v Bir noktadaki dülm Ģkil dğiģtirm halini anlatabilmk için ukarıda tanımlanan üç birim Ģkil dğiģtirm bilģninin vrilmsi grkir. Öncki safada süprpoison kuralı kullanılarak ld diln bir noktadaki doğrusal v açısal dülm Ģkil dğiģtirm bilģnlrini tk bir Ģkil ürind tkrar göstrlim. Yr dğiģtirm fonksionlarındaki dğiģimi aģağıdaki biçimd amak mümkündür. u u du d d v v dv d d Bu ifadlrdki hr trim, fiiksl anlamından harktl andaki Ģkil ürind iģartlnmiģtir. d Dülm lmanın doğrusal Ģkil dğiģtirmlri u v d dd d d d u v d d Dülm lmanın çısal Ģkil dğiģtirmlri g B C u Rijit ötlnm d u D v d u u d v d v d d u v v u d d d d d d 77 D u d v d

78 UYGUNLUK DNKLMLRĠ Bir noktadaki dülm Ģkil dğiģtirm hali örnğin dülmi için, v ksnlri doğrultusundaki uama oranları il dülmindki kama açısı ardımıla tanımlanmaktadır. Bir noktadaki üç boutlu Ģkil dğiģtirm halinin tanımlanmasında, v ksnlri doğrultusundaki uama oranları il, v dülmlrindki kama açılarının vrilmsi trlidir. Knarları d, d v d olan üç boutlu bir primatik lmanın apacağı Ģkil dğiģtirmi tanımlamakta aģağıdaki altı adt Ģkil dğiģtirm bilģnlri kullanılır. Bu Ģkil dğiģtirm bilģnlri tıpkı grilm halin bnr bir simtrik tansör oluģturur. u, v, w u v, v w, u g g g w g g g g g g ğr bir noktadaki Ģkil dğiģtirm halini anlatan 6 bağımsı Ģkil dğiģtirm bilģni biliniorsa, primanın boutlarındaki v Ģklindki dğiģimi tam olarak blirlbiliri. 6 adt birim Ģkil dğiģtirm bilģni, ksnlr doğrultusundaki üç adt rdğiģtirm fonksionlarına türvlrl bağlıdır. Dmk ki bu büüklüklr birbirlrindn bağımsı olamalar.,,, g, g v g nin sağlaması grkn 6 adt ifad UYGUNLUK dnklmlri dnir. Ġki boutlu problmlrd alnıca adt ugunluk dnklmi vardır. Ugunluk dnklmlri Ģkil dğiģtirmnin sürkli v tk dğrli olduğunu v Ģkil dğiģtirm sırasında cismin içind kütl kabı (boģluk) olmaacağını ifad drlr. g Dülm Hali için Ugunluk dnklmi 78

79 Örnk m lik kar BCD plağının üklmdn sonraki hali Ģkil ürind ksikli çigilrl göstrilmiģtir. köģsind, dülm Ģkil dğiģtirm bilģnlrinin ortalama dğrlrini hsaplaını. 0.5 mm u B 0. mm u 400 mm C D 0.7 mm D B 0.5 mm 0. mm 400 mm v v ub u vd v g ÖRNK 7 ġkild göstriln bisiklt frn lastiği V ksm kuvvti tkisil dform olup B C D Ģklini almıģtır. Kama açısının; a) hrhangi bir noktada, b) Yükskliğin ortasında c) Orijind aldığı dğrlri hsaplaını. B b=00 mm h=0.5 mm B a V h b u h, v 0 b u v h g b C D C g Ngatif iģart açının arttığını göstrir. a) b) c) g g g

80 ÖRNK 8 ġkild görüln inc üçgn plak, uniform Ģkil dğiģtirm aparak B C biçimini almıģtır. v uama oranları il C v BC knarları arasındaki kama açısını hsaplaını ÖRNK 9 ġkild göstriln çubukta oluģacak n büük uama oranını; lmanın uunluğu doğrultusundaki rdğiģtirm fonksionunu a) u L0.mm m m.mm B B C m b) u L 0 sin L olması durumları içi arı arı hsaplaını..5mm C tan 90.5 g radan o a) b) L du d du 0 L maks L L 0 cos d L L maks 80

81 Mühndislikt Kullanılan Malmlr ksnl üklü çubuk problmini tkrar l alalım. Yaılabilck iki dnklmd; Grilm-DıĢ ük u Birim Ģkil dğiģtirm - rdğiģtirm.,, u Olmak ür üç bilinmn vardır. Grkli olan bir ilav dnklm σ-ε iliģkisi malm kanaklıdır. Sonuçta lman ürindki üklrdn oluģan rdğiģtirmlr v malmlrin mkanik ölliklri birlģtirilbilir. Bün Bağıntılarının Dnsl Olarak Blirlnmsi Malmnin ük altındaki davranıģını tanımlamakta grilm v birim Ģkil dğiģtirm kavramlarının kullanılacağı daha önc GRĠLM konusu anlatılırkn sölnmiģti. Bu bölümün baģında uama oranı v kama açısı adı vriln iki birim Ģkil dğiģtirm kavramı açıklandı. Malmnin ük altındaki davranıģını blirlmk amacıla ksnl çkm v ksm dni gibi basit dnlr apılır. ksnl çkm dnind gnllikl silindirik numunlr kullanılır. Numun ugulanan çkm kuvvti avaģ avaģ arttırılarak numunnin boundaki uamalar ölçülür. DüĢ ksnd ugulanan çkm kuvvti ata ksnd numun boundaki uamaı göstrn kuvvt-dplasman diagramından alnıca o numun hakkında bilgi alınabilir. Malm davranıģını btimln sabitlrin bulunmasında birim alana gln kuvvt il birim bodaki dğiģimi ifad dn σ-ε diagramı trcih dilir. Ġki v üç ksnli grilm halind, bün bağıntılarının dnsl olarak blirlnmsi pratik bakımdan mümkün dğildir. Hm apılması grkn dn saısı çok faladır, hm d dnlrin apılmasında tknik orluk sö konusudur. Bu sbpl tk ksnli çkm v ksm dni sonuçları çok ksnli grilm tkisindki malm davranıģını ifad tmk ür gnllģtirilir. Yük altındaki malmd oluģan grilmlri, birim Ģkil dğiģtirmlr bağlaan bün ada malm bağıntılarına gnllģtirilmiģ Hook asaları adı vrilir. ġimdi mühndislikt kullanılan çģitli mtallr, plastiklr, ahģap, sramiklr cam v bton gibi malmlrin önmli ölliklrini tanımlaacağı. 8

82 LSTĠK MLZM lastisit : Yüklrin kaldırılması il ilk Ģkillrin gri dönm öliğidir. Yüklmnin büüklüğün bağlı bir ölliktir. lastisit : Ġlk Ģkl dönüģ olmaan malmlr has bir ölliktir. Sünklik : Kırılmadan önc büük Ģkil dğiģtirm apabilm ölliği. Örnk: çlik, çģitli alaģımlar, nalon Gvrklik : Kırılmadan önc çok a dformason apma ölliğidir. Örnk: Dökm dmir, bton SÜNK Yüklm Grilm Sıcaklık Hıı ġkli GVRK KOMOZĠT MLZM Ġki va daha fala saıda malmdn oluģan bün dnir (Çlik lifli cam, polimrlr) Matris adı vriln bağlaıcı içind üksk daanımlı malmnin katılmasından oluģur. Homojn malmlr gör daha üksk daanım/ö ağırlığa sahiptir. Mukavmt drsind HOMOJN ĠZOTRO malmlr l alınacaktır. Ġotrop malmnin ük altındaki davranıģı öndn bağımsıdır. Örnğin iotrop malmdn apılmıģ bir küb ugulanan ük, hangi doğrultuda tkirs tkisin anı Ģkil dğiģimi ölçülcktir. hģap is aniotrop bir malmdir. Kuvvt tkisindki davranıģı ön bağlıdır. hģabın büüm doğrultusunda tkin ükü taģıma ölliği ii ikn nin doğrultuda tkin üklri taģıma ölliği düģüktür. Sünklik önmli bir malm ölliği olduğu kadar apısal davranıģ açısından da aranan bir ölliktir. Dprm gibi çok büük orlamalar gldiğind hr lmanın taģıabildiği kadar kuvvti taģıması falasını is komģulara aktarabilmsi (üklrin nidn dağılımı) ancak apı lmanlarının kırılmadan büük Ģkil dğiģtirm apabilmsi il diğr bir diģl sünk davranıģla mümkündür. Sünk davranıģda büük dformasonlar sö konusu olduğundan orlanmaı habr vrm ölliği bulunmaktadır. Gvrklik is sünkliğin trsi bir öllik olarak dformason apma kabilitinin olmaması dmktir. Gvrk davranıģta malm ada apı anidn göçrk büük mal v can kabına sbp olur. Gvrk davranıģta habr vricilik oktur. 8

83 GRĠLM-BĠRĠM ġkġl DĞĠġTĠRM DĠYGRMI σ-ε diagramları malm ölliklrinin blirlnmsind kullanılır. Diagramlar ksnl çkm dni apılarak çiilir. Gnllikl dairsl ksitli bir numun dn altin taklılır v oda sıcaklığında avaģ avaģ arttırılan ksnl çkm kuvvti ugulanır. Numundki uamaları ölçmk için kstansomtr adı vriln bir alt kullanılır. Grilm Ma Ölçk N Ölçk M Grilm Ma Ölçk M Ölçk M Solda vriln diagram, apı çliği için σ-ε diagramıdır. OBCD diagramının ilk kısmı ölçk dğiģtirilrk nidn çiilmiģtir. OBCF grçk grilm-grçk uama oranı diagramı Diagramlar: Uğural, 99 Birim ġkil DğiĢtirm Uama Oranı Grçk grilm- grçk uama oranı diagramı malm konusundaki araģtırmalarla plastik davranıģın inclnmsind kullanılır. DĠYGRMIN O KISMI : lastik bölg, noktasına kadar σ-ε doğrusal noktasından sonra malmd grilm artmaksıın uama görülür. Gnllikl v B akma noktası anı alınır. Orantı sınırı pl a kma sınırı 8

84 KISMI :lastik bölg, CD arasında uamalar grilmnin artmasıla mümkün, buna pklģm adı vrilir. C noktasından sonra ulaģılan D noktası σ çkmdaanımı adı vrilir. σ = Kırılma daanımı, Kırılmada parçalar çubuk ksnin 45 o açı apan ülr oluģturur. Klasik diagramlar, grçk grilm grçk Ģkil dğiģtirm diagramlarındaki açılmanın sbbi uamaların tk bir ksitt birikmsidir. Buna boun vrm dnir. Boun vrm Standart Sünklik Ölçülri: L kıırılm L L 0 Uama Yüdsi = 00 % 5 0 (Yapı çliğind) lan alma Yüdsi = 0 00 % 50 0 kıırılm (Yapı çliğind) lüminum, magnum v bakırda blirgin bir akma noktası görülm. kma grilmsini bulmak ür 0.00 lik uama oranına karģı gln noktadan baģlangıç tğtin parall çiilir. lastik bölgdki numundn ük kaldırılırsa baģlangıç tğtin parall olarak ük boģaltma ğrisi (doğrusu) görülür. BG//O, B noktasındaki uama malmd kalıcı olur. Ynidn üklndiğind GB v orijinal diagram ürindki ğri bounca ilrlnir. Sünk malmlrin ksnl çkm v ksnl basınç altındaki davranıģları anıdır. Gvrk malmlrin çoğunda ksnl basınç daanımları, çkm daanımlarından faladır. Malm ölliklri dirkt ksm v burulma dnlril d bulunabilir. Bu dnlrd τ-γ diagramları çiilir. kma grilmsi v daanım sınırı çkm dnlrind bulunanın arısı mrtbsind ld dilir. 84

85 HOOK YSSI V OISSON ORNI Yapı malmlrinin çoğunda σ-ε diagramları doğrusal lastik bir bölg il baģlar. Ġfadsi HOOK asası olarak bilinir. : lastisit modülü (Young Mudülü) Birimi grilm birimi il anı [a, Ma] BaĢlangıç tğtinin ğimidir. Çlik için 00-0 Ga dır. ε : boutsu büüklük Orantı limiti üstündki noktalardaki diagram ğimin tğt modülü t adı vrilir. ğim = t Yin orantı limiti üstünd oranına Skant modülü adı vrilir. Bu s üç dğr malmnin çkm v basınçtaki rijitliğinin ölçüsü olarak kullanılır. 0 pl ğim = s lastisit ölliği ksm kuvvti taģıan bir lman ürind bnr Ģkild ölçülbilir. g diagramının doğrusal lastik olduğu kısımdan ğim = Gg Kama Modülü [a, Ma] Kama grilmsi Kama Ģkil dğiģtirm için Hook Yasası dnir. Çkm grilmlri ugulandığında lmanın bou uarkn lmanın n ksit alanı aalır (nin doğrultuda büülm olur). lastik bölgd; n = - nin Uama Oranı Bouna (ksnl) Uama Oranı n : oisson Oranı : 0. Çlik için 0.5 kauçuk gnllikl bton arasında dğiģir. 85

86 Örnk 0 ġkild görüln çlik dikdörgn blok iki ucundan ugulanan çkm kuvvti tkisinddir. = N luk çkm kuvvti ugulandığında = 0.07 mm artıģ, = mm aalma ölçülmüģtür. v n ü hsaplaını. ÖRNK ġkild görüln lmanın ürin üklmdn önc 00 mm lik BCD karsi çiilmiģtir. Yüklmdn sonra kar, Ģknar dörtgn Ģklini aldığına gör lastisit modülü il oisson oranını hsaplaını. B 85 Ma C 4.5mm 85 Ma D.7 mm 4.mm 0.6 mm 5.4 mm Yüklnmdn önc köģgn uunluğu; Ma L Ma n * 0 Ma nin bouna C BD mm n nin bouna 86

87 HCĠM DĞĠġĠMĠ : d.d.d hacimli bir küp lman ürin alnıca grilmsi ugulaalım. d d d n n Kübün son hacmi V d d d d d V V V 0. ihmaldilir v mrtb trimlr d d d V d Birim Hacim DğiĢimi V V0 V V V 0 0 n n n n Çkm Grilmsi Hacmi rttırır. Basma Grilmsi Hacmi altır. SıkıĢtırılama cisimlrd Linr lastik bölgd n < n 0 n lastik bölgd n = 0.5 (hacim sabit kalır) 87

88 ÖRNK ġkild görüln dökm dmirdn apılmıģ silindir, ksnl doğrultuda 40 Ma, radal doğrultuda 0 Ma lık basma grilmlri tkisinddir. = 00 Ga, n = 0.5 alarak silindirin bou v çapındaki dğiģimlri v hacimdki dğiģimi hsaplaını. 00 mm 0 mm ÖRNK Çapı 5 mm, bou 0 mm olan bir çubuğun ksnl çkm kuvvti altında hacminin 5 mm arttığı gölnmiģtir. ksnl kuvvti () hsaplaını =70 Ga, oisson Oranı=0. 5 mm 40Ma 0Ma 0 mm L mm d mm V V V 0 0 n n V n V V ( 0.) N n V V mm Hacim aalması 88

89 GNLLġTĠRĠLMĠġ HOOK YSLRI Tk ksnli, - bağıntısı iki v üç ksnli grilm hali için gniģltilbilir. Dn sırasında, normal grilmlrin kama birim Ģkil dğiģtirmsi oluģturmadığı va kama grilmlrinin d normal birim Ģkil dğiģtirmsin ol açmadığını görmkti. Malmnin linr lastik, Ģkil dğiģtirmlrin küçük oldukların kabul dildiğindn süprpoison ilksindn fadalanarak iki v üç ksnli grilm durumu için Hook asaları formül dilbilir. Birim kalınlıklı lmanın iki ksnli grilm tkisind olduğunu düģünlim. grilmsindn ksni doğrultusunda / kadar uama oluģur. grilmsi is ksni doğrultusunda n / kadar kısalmaa ndn olur. v grilmlrinin tkisi altında v doğrultusundaki uama oranlarını; n Ġki ksnli grilm tkisindki lman n n Tam kama tkisindki lman Tam kama düģünüldüğünd is lastik grilm Ģkil dğiģtirm bağıntısı g olmakta idi. grilmsi alnıca G kama birim Ģkil dğiģtirmsi oluģturmaktadır. Yukarıdaki ifadlri grilmlr cinsindn aarsak; n n n n n n n n g G n n g Gg bulunur. Bu ifadlr iki boutlu grilm halinin HOOK YSLRI dnir. 89

90 Bnr Ģkild üç boutlu grilm halinin GnllĢtirilmiĢ Hook Yasalarını Ģöl aabiliri. n n n Bu ifadlri grilmlr cinsindn aarsak; n G n n n G n n g g g G G G Gg Gg O O d d d n G n n Gg Daha önc doğrusal v açısal Ģkil dğiģtirmlri incldiğimi lmanın diagonalindki bo dğiģimi normal birim Ģkil dğiģtirm v il kama birim Ģkil dğiģimi g dn oluģacağını görrk kama modülü G nin v n il ilgili olması grktiği sonucuna varırı. Bu durum ilri bölümlrd tkrar l alınacaktır. G n Sonuç olarak iotrop malmlrin iki bağımsı lastik sabitinin olacağını bu sabitlrin d ksnl çkm dni il v ν Ģklind bulunduğunu, Kama modülü G nin v ν cinsindn ifad dilbilcğini sölbiliri. 90

91 Örnk 4 Bir noktadaki Ģkil dğiģtirm bilģnlri = 900, = -00 v g = 600 olarak bilinior. Bu Ģkil dğiģtirm durumunu oluģturacak dülm grilm halini blirlini. =00 Ga oisson oranı= ( ( 00)) 0 9. n n ( ) n n 0. Ma Ma Gg g ( ) ( 0.) Ma ÖRNK 5 0 mm ġkild görüln blok bütün ülrindn tkin p = 50 Ma lık üniform basınç tkisinddir. = 00 Ga, n = 0. alarak hacimdki v hr bir knarındaki bo dğiģimini hsaplaını. 40 mm 00 mm mm p p n p n p n p n p p n p n p p n p V V mm V mm mm

92 ÖRNK 6 0X0 mm. Lik kar plağın ġkild göstriln dülm grilm hali tkisind C köģgninin ğimindki dğiģimi hsaplaını. =70 Ga, oisson Oranı=0. ÖRNK 7 Uunluğu L, kalınlığı t v gniģliği b olan lvha iki rijit duvarın arasına Ģkild göstrildiği gibi rlģtirilmiģtir. ksnl basınç kuvvti taģıan lvhadaki grilm v birim Ģkil dğiģtirm bilģnlrini blirlini. =80 Ma 0 mm D C B =60 Ma L b t 0 mm 0 0 g g g 0 bt n 9.40 n B ( ) BC ( ) tan ( çı dg gim dg tan tan radan ) n 0 n n n n n n n n bt bt n n n bt bt n n fktif lastisit modülü fktif poisson oranı Bu dğrlr gniģ kiriģ v plaklarda kullanılmaktadır. 9

93 ġkġl DĞĠġTĠRM NRJĠSĠ DıĢ üklrin cismin Ģkil dğiģimi sırasında aptıkları iģ Ģkil dğiģtirm nrjisi olarak cismin içind dpolanır. nrji kabının olmadığı, tam lastik cisimlrd ükün kaldırılması il (Ģkil dğiģimini ok drk) gri alınabilir. Bu bölümd vrilck Ģkil dğiģtirm nrjisi kavramı statik v dinamik üklrl ilgili çģitli problmlrin çöümünd kullanılacaktır. ġkil dğiģtirm nrjisnin n büük fadası lmandaki kırılmanın blirlnmsi il darbli üklmnin malm ürindki tkisinin inclnmsind ortaa çıkmaktadır. Tk ksnli grilm halind Ģkil dğiģtirm nrjisini blirlmk ür avaģ avaģ artan grilmsin maru bir lman düģünlim. lmanın ülrind dd kuvvti tkir. ksni doğrultusunda d kadar bir uama oluģur. Linr lastik malmlr için Hook asası d d d U*0 u 0 Orantı sınırı Non-Linr lastik Linr lastik ġkil dğiģtirm sırasında lmanın ülrin tkin ortalama kuvvt d d olur. Bu kuvvtin aptığı iģ, ani Ģkil dğiģtirm nrjisi du, d d d olur. du d d d dv du SI birim sistmind iģ v nrji birimi Joul (J) dür. (N.m) Birim hacimdki Ģkil dğiģtirm nrjisi nrji oğunluğu adını dv alır v U 0 il göstrilir. U 0 Bu alan Ģkild mavi olarak göstrilmiģtir. diagramının ürindki alana Komplmantr nrji oğunluğu adı vrillip * U 0 il göstrilir. 9

94 ġimdi kama grilmsi taģıan bir lman düģünlim. Üst ü tkin dd kuvvti g d rdğiģtirmsini oluģtursun. Grilmlr sıfırdan baģlaıp avaģ avaģ artarak son dğrin ulaģtığından ortalama kuvvt d d Olur. Tam kama halind nrji oğunluğu; du dv U 0 d d g d d d d g G Bulunan bu ifadnin g diagramının altındaki alana Ģit olduğu sölnbilir. Gg U dv G Kama grilmsindn oluģan Ģkil dğiģtirm nrjisi ukarıdaki ifadnin hacim ürindn ntgrali alınarak ld dilir. Bu ifad burulma tkisindki millrl, ksm kuvvti tkisindki kiriģ problmlrind kullanılabilir. n gnl grilm durumunda Ģkil dğiģtirm nrjisi aģağıdaki biçimlrd aılabilir. U 0 g g g U o n G sal ksn takımı kullanıldığında n U o 94

95 SI birim sistmind nrji oğunluğu birimi J/m gldiğindn bu hr aman poitif bir büüklüktür. dür va (pascal). ġkil dğiģtirm nrjisi ifadsind s in karsi Kırılma Göçm a Rilans Modülü Tokluk Modülü ε diagramında akma noktasının altında kalan alan va akma grilmsin ulaģan bir malmdki Ģkil dğiģtirm nrjisi oğunluğu Rilans Modülü adını alır. Rilans modülü malmnin kalıcı Ģkil dğiģimi apmadan utabilcği nrjinin ölçüsünü vrir. Örnğin umuģak çlik; m kj ε diagramının altındaki bütün alan Tokluk Modülü adını alır v malmnin kırılmaksıın utabilcği nrji miktarını göstrir. Tk ksnli normal grilm durumunda Ģkil dğiģtirm nrjisi, nrji oğunluğu ifadsinin hacim ürind ntgr dilmsi olu il; U dv Bulunur. Bulunan bu ifad ksnl üklm v kiriģlrin ğilmsi problmlrind kullanılabilir. 95

96 ÖZL DURUM: Ġki ucundan N ksnl kuvvti tki dn primatik çubuğa dpolanan Ģkil dğiģtirm nrjisinin hsabı N dv=.d N d L N N L U dv d U ÖRNK 9 ġkild göstriln konik çubuk kuvvti tkisi altında dngddir. Çubukta dpolanan Ģd ni hsaplaını. min r r L 5r ÖRNK 8 0 mm çaplı mtr uunluğundaki çubukta dpolanan Ģkil dğiģtirm nrjisi 70 J dür. kuvvtinin dğrini hsaplaını. =00 Ga U L L * 70 *000 * N u du d L L 4 4 r r min L L d L du U dv d 8 u min L U 0 min 96

97 ÖRNK 0 Ġġ-NRJĠ YÖNTMĠ ĠL DLSMN HSBI ğr bir kafs kiriģ sadc bir tk kuvvt tki diorsa kuvvtin tki ttiği noktadaki r dğiģtirmi iģ-nrji öntmi il hsaplaabiliri. DıĢ kuvvtin aptığı iģ (W), kafs sistmd dpolanan toplam Ģkil dğiģtirm nrjisin (U) Ģit olmalıdır. DıĢ Kuvvt sıfırdan baģlaıp avaģ avaģ artarak son dğrin ulaģtığı için apılan iģi ortalama kuvvt r dğiģtirm olarak amak mümkündür. ġkild göstriln iki çubuklu kafs sistmd B düğümündki düģ r dğiģtirmi iģ-nrji öntmil hsaplaını. =70 Ga m C L=.5 m =0.00 m =0.004 m L=.5 m B =40 kn n NL i i W U dış i i F 0 FBC 50kN F 0 FB 0kN F CB =50 kn B F B =0 kn 40 kn U 4.7 J W B B 4.7 B.40 m 97

98 Grilm, Ma Tkrarlı Yüklm V Yorulma Yapı lmanlarının göçm grilmsindn oldukça küçük grilm dülrin binlrc dfa üklnmsi halind kırılmasına orulma adı vrilir. Yorulma çatlağının gnllikl grilmnin oğunlaģtığı bölglrdki iç apı kusurlarından/çatlaklarından baģladığı, ü kalitsi, kimasal apı v iç apı kusurlarıla ilgili olduğu sölnbilir. Yorulma ömrü va daanıklılık gnllikl kırılma oluģturan grilm tkrar saısı il ölçülür. Dnsl olarak malm iki grilm sınırı arasında sürkli dğiģn grilm durumuna kırılıncaa kadar dvam dilir. Yorulma dni sonuçları aģağıdaki gibi arı logaritmik bir diagram ürind iģartlnir. Sürkli Daanım Sınırı Çlik lüminum Yorulma Ömrü N, Dvir Saısı. Uğural, 99 ÖRNK ġkild görüln bloğa = 7800 N luk ksnl kuvvt tkimktdir. Bloğun v ksnlri doğrultusunda Ģkil dğiģimi ngllndiğind ksnl doğrultudaki uama oranı n olur? ( = 69 Ga, ) =7800N n 0.6 mm 9.5 mm 9 mm =7800N Ma Ma

99 ÖRNK ġkild görüln dikdörtgnlr priması Ģklindki bton blok = 00 kn, = 50 kn v = 50 kn luk kuvvtlrin tkisi altındadır. a) Bloğun boutlarındaki dğiģmlri b) Bloğun alnıca üündn tkiip öncki üklmnin sbp olduğu r dğiģtirmi ( ksni doğrultusunda) oluģturacak kuvvtini hsaplaını. ( = 4 Ga, ) n 0. a) 000 0Ma mm 500 5Ma Ma 00 mm 50 mm mm mm mm b) Ma 0.5*00* N 05kN 99

100 ÖRNK Uçları kapalı olan v p iç basıncı tkisind bulunan bir silindirin arıçapındaki v L boundaki dğiģmnin pr cr prl al r n n, L n n t t Formüllril hsaplanabilcğini göstrini. r arıçap; t t kalınlığını göstrmktdir. pr t r pr pr c n t t pr t çvr r ' r cr r c r L pr r r r c t pr pr L n t t c n n prl L L LL t a n n ÖRNK mm çaplı pirinç çubuk ( = 0 Ga, n 0.0), bron bir borunun için gçirilmiģtir. irinç çubuğa 78 kn luk ksnl basınç kuvvti ugulandığında çubuk üi grilmsi olarak bron borula tmas tmktdir. Bron borunun iç çapını hsaplaını pirinç 87. 8Ma 6 nin d iç bron 50.8 nin mm 00

101 ÖRNK 5 50 mm çaplı 00 mm. boundaki alüminum çubuk = 00 kn luk ksnl kuvvt tkisinddir. ( = 70 Ga, n 0.0 ) Yük tkisi altında çapının alabilcği n küçük dğr v hacminin ulaģacağı n küçük dğr n olur? Çapın minimum olması için ugulanması grkn ksnl kuvvt çkm kuvvti olmalıdır. Buna gör; Ma bouna nin n bouna d mm min Hacmin n küçük dğri olması için ugulanması grkn ksnl kuvvt basma kuvvti olmalıdır. Buna gör; 0.86Ma bouna nin bouna nin V mm V min mm 0

102 GRĠLM V BĠRĠM ġkġl DĞĠġTĠRM NLĠZĠ Daha öncki bölümlrd l aldığımı grilm v birim Ģkil dğiģtirmlri tanımlamakta lman ksnin dik doğrultuda alınan ksitlri kullandık. Bu bölümd is ğik bir dülm ürind bulunan bir noktadaki grilm v birim Ģkil dğiģtirm hali inclncktir. Grilm v birim Ģkil dğiģtirm bilģnlri hr aman ük tkisindki lmanda gö önün alınan noktanın konumuna bağlıdır. Dolaısı il grilmnin noktadan noktaa dğiģimi d l alınacaktır. Bu bölümd dülm grilm v dülm Ģkil dğiģtirm durumları ürind durulacaktır. Burada çıkarılacak formüllr il tanıtılacak grafik tknik çģitli üklr maru lmanın bir noktasındaki grilm v birim Ģkil dğiģtirm dönüģümünün analiind büük kolalık sağlar. Öllikl grafik tkniğin bir noktadaki grilm dğiģiminin anlaģılması bakımından arı bir önmi vardır. Ġlridki bölümlrd linr lastik malmlrd, G v n arasındaki bağıntının bulunmasında dönüģüm asaları kullanılmıģtır. DÜZLM GRĠLM X X 5 4 Grilmlr koordinat ksnlrinin hrhangi birindn bağımsı is (burada ksni) iki boutlu grilm hali sö konusu olur. Örnğin; ksnl üklü bir çubuğun ğik bir ksitind oluģan grilmlr, burulma tkisindki bir mil, ksnin dik doğrultuda üklnmiģ bir kiriģ. Bu grilm hali bir dn fala ük tkisindki lmanın hrhangi bir noktasından gçn bütün dülmlrd d oluģur. TNIMLR: Ġki boutlu problmlr dülm grilm v dülm Ģkil dğiģtirm olmak ür iki sınıfa arılabilir. Bu durum, kalınlığı bounca dügün aılı üklr tkisindki inc lvhalarda karģımıa çıkar. Lvha inc olduğundan iki boutlu grilm bilģnlrinin kalınlık bounca dğiģmdiği, v diğr grilm bilģnlrinin d sıfır olduğu kabul dilbilir. 0

103 Dülm grilm halin bir diğr örnk, apı v makin lmanlarının srbst ülri vrilbilir. Dülm grilm halind, 0 ;,, 0 olur. Bu grilmlrin gnllģtirilmiģ Hook asalarında aılmasıla, n n n bulunur. ilk iki dnklmdn çöülüp d rin aılırsa, g, g g 0 G n n Bu ifad dülm dıģı asal birim Ģkil dğiģimi nin dülm içi v birim Ģkil dğiģimi cinsindn ifadsidir. Dülm Ģkil dğiģtirm halind v bnr Ģkild sıfır alınabilir. ncak sıfır dğildir v dğri v cinsindn hsaplanabilir., v sıfırdan farklı dğrlr alabilir. macımı cismin içindki bir noktadan alınan sonsu küçük lman ürindki, v grilm bilģnlrinin dönüģüm dnklmlrini çıkartmaktır. Ģağıdaki Ģkild bir grilm lmanı göstrilmiģtir. ' O ' ' O ' ġimdi lmanın ksni il açısı apacak şkild dönmsi durumunda v dönmüş ksn takımındaki -a da diğr bir ifad il dülmindki- grilm bilşnlrini bulmak istioru. doğrultusundaki grilm sıfır olmasa bil Ģu anda ilgi alanımı dıģındadır. Grilm lmanın üç boutlu görünüģü unutulmadan problmi basitlģtirmk ür lmanın dülmsl göstriliģini vrmk adttndir. ġkildn d fark dilbilcği gibi lmanın parall ülrindki grilm bilģnlrinin Ģiddtlri dğiģmmktdir. 0

104 ĞĠK DÜZLMLRDKĠ GRĠLMLR ġimdi, göstriln birim kalınlıklı (safa dülmin dik doğrultudaki kalınlık) lmanın Ģkildki, ksn takımını, rfrans ksnindn baģlaıp saat dönüģün trs önd açısı kadar döndürrk ı v ı dönmüģ ksn takımını oluģturalım. macımı ğik dülmindki v grilmlrini bulmaktır. ı ksninin doğrultusunu göstrn açısı, saat dönüģ önün trs olduğundan poitiftir. ı ksnin dik olan B knarına tkin grilmlr, andaki kama ürind poitif önd göstrilmiģtir. B knarının bulunduğu üin alanı is 0 v 0B knarlarının bulunduğu ülrin alanları sırasıla, 0 =cos v 0B =sin olur. ı v ı doğrultularındaki kuvvtlrin dngsindn, ' O ' ' ' Cos Cos O B Sin Sin F 0 : cos cos cos sin sin sin sin cos 0 F 0 : cos sin cos cos sin cos sin sin 0 Dnklmlri basitlģtirip nidn dünlrsk, cos sin sin cos cos sin sin cos grilmsi trimind rin +/ aılarak hsaplanabilir. sin cos sin cos 04

105 Yukarıda çıkarılan dnklmlrd cos cos sin cos sin cos sin trigonomtrik bağıntılarını kullanarak cinsindn aabiliri. Bu durumda grilm dönüģüm dnklmlri, cos sin sin cos cos sin ' biçimind aılabilir. n son ld diln bağıntılar bir noktadaki grilm halinin ani dik iki dülmdki üç grilm bilģninin bilindiği durumda, açısı il tanımlanan bütün mümkün B ülrindki grilmlrin hsaplanmasında kullanılabilir. Grilm, birim Ģkil dğiģtirm v atalt momnti gibi büüklüklr ikinci mrtbdn tansörlr olup ukarıdaki bağıntılarla dönüģtürülürlr. Daha sonra görcğimi MOHR dairsi, tansörl büüklüklrin dönüģümünd kullanılan grafik bir göstrim tarıdır. Son ld diln ilk iki bağıntı taraf tarafa toplanırsa; Sabit ifadsi bulunur. Dolaısıla iki dik dülmdki normal grilmlrin toplamı açısından bağımsı olup dğiģmmiģ. Bu durum üç ksnli grilm halind d gçrlidir. Ģağıdaki problmd açısına bağlı olarak grilmlrin dğiģimi inclncktir. 05

106 Örnk ġkild bir makin parçası ürindki bir noktadaki grilm hali göstrilmiģtir. a-a v b-b doğrultularına parall dülmlrdki normal v kama grilmlrini hsaplaıp önlnmiģ bir lman ürind göstrini. a 5 Ma b ı doğrultusu ğik dülm dik olarak sçilmktdir. Burada,, takımındaki grilm halini ı, ı takımına dönüģtürmk istioru. Grilmlr v dönüģlri kndi iģartlri il kullanmaa dikkat dilmlidir. 0 Ma b 45 o 60 o 5 Ma 0 Ma 6 Ma a o a) 45 0Ma 5Ma 6 Ma 0 5sin 90 6cos Ma cos90 6 sin cos90 6sin 90. Ma 5 Ma 5 o b) Ma 5Ma 6 Ma sin 40 6cos Ma cos 40 6sin 40. Ma cos 40 6sin 40. Ma 06

107 SL GRĠLMLR: N BÜYÜK KYM GRĠLMSĠ Bir noktadaki grilmlrin Ģiddtlrinin o noktadan gçn dülm bağlı olduğunu daha önc blirtmiģtik. n büük grilmlr il bu grilmlrin tkidiği dülmlrin apıdaki göçm il ilgili olması sbbil biim için arı bir önmi vardır. nbüük grilmsini hsaplamak ür a gör türvini alarak sıfıra Ģitllim. d d sin cos 0 tan p Kutu içrisind göstriln bağıntıdan bulunacak açısı n büük v n küçük normal grilmnin tkidiği dülmi göstrdiğindn rin p il aılmıģtır. tan = tan(+) olduğundan birbirindn 80 o farklı p açıları ukarıdaki bağıntıı sağlarlar. Dolaısıla p v bundan 90 o farklı iki dülm, normal grilmnin n büük v n küçük olduğu iki dik dülmi göstrir. ġimdi normal grilmnin maksimum v minimum olduğu dülmlrdki kama grilmlrini hsaplaalım. r p tan p sin p cos p r r r 0 r Kama grilmsinin sıfır olduğu dülmlrdki n büük v n küçük normal grilmlr SL grilmlr adı vrilir. maks min r r, Saısal olarak büük olan normal grilmi il göstrip n büük asal grilm adını vrlim. maks min 07

108 v σ asal grilmlrinin doğrultularını va tkidiği dülmlri göstrn p açılarını pı v p ıı il göstrcği. ' ' Yukarıda ildiğimi bnr iģlmlr aparak n büük kama grilmsil tkidiği dülmlri araģtıralım. p O ' ' p d d d d 0 bağıntısından, cos sin 0 tan s bulunur. Burada s n büük kama grilmsinin tkidiği dülmi göstrmktdir. Çrçv içindki bağıntıı birbiril 90 o lik açı apan iki arı doğrultu da sağlar. Bu doğrultuları s ı v s ıı il göstrlim. sal doğrultular il n büük kama grilmsi doğrultusunun kıaslanmasıla aralarında 45 o lik açı bulunduğu anlaģılır. n büük kama grilmsinin dğrini hsaplaalım. r s tan s cos sin s maks min s maks r r r maks min r 08

109 Fiiksl olarak cbrik iģart anlamsı olduğundan n büük kama grilmsindki iģart dikkat tmdn maksimum kama grilmsi adı vrilir. ğr v asal grilmlr olursa olacağından 0 bulunur. ' maks ' ' Kama KöĢgni ' maks ' ' s ' ' maks ' ' r r toplamı sıfır olmadıkça maksimum kama grilmsinin bulunduğu dülmlrd normal grilm d olur. ' sal grilmlrin tkidiği dülmlrd kama grilmsi bulunmamasına karģın maksimum kama grilmsinin tkidiği dülmlrd normal grilm bulunur. Bu grilmnin hsaplanması için bağıntısında s aılması trlidir. Grilm tkisindki bir lmanda n büük kama grilmlrini göstrn okların buluģtuğu köģlri birlģtirn diagonal KYM KÖġGNĠ dnir. Bu diagonal maksimum asal grilm doğrultusundadır. rıca n büük asal grilm, n büük kama grilmsinin önünün blirlnmsind d kullanılabilir. 09 ' ' s ' ' ' ' 45 o maks p ' '

110 Üç ksn doğrultusundaki, v grilmlrinin anı noktaa tkidiğini düģünlim Ģağıdaki Ģkild grilmlrin olarak sıralandığını kabul dlim. Grilmlrin tkidiği noktadan alınan lmanın üç farklı öndn görünüģü Ģklin an tarafında vrilmiģtir. Bu durumda n büük kama grilmsinin, maks maks ifadsil hsaplanacağı v n büük v n küçük asal grilmnin tkidiği dülmlri iki aıran doğrultularda olacağı anlaģılmaktadır 0

111 Örnk ġkild bir dülm grilm hali göstrilmiģtir. a) sal grilmlri hsaplaını. b) Maksimum kama grilmsini v ilgili normal grilmi bularak a v b Ģıklarında bulduğunu grilmlri önlnmiģ bir lman ürind göstrini Ma 5 Ma Ma, Ma o 5.7 p tan.7 7 ı p ıı p o 7 Ma 7 Ma Hangi dülmin hangi asal grilmnin doğrultusunu göstrdiğini bulmak için dönüģüm dnklmind =.7 o aalım. 5 Ma Ma o 0. 09Ma.7 bulunur. Sonuç olarak, 0.09Ma.7.09Ma.7 ı p ıı p o o b 7 maks Ma arıca bağıntısı da anı sonucu vrmktdir. o ın tkidiği dülm, ı o 7. s tan maks 5.59Ma s. Ma o o *5 ıı maks 5.59Ma s 76.7 Sö konusu dülmlrdki normal grilm, maks ın doğrultusunu bulmakta kama diagonali kullanılabilir Ma o Bu noktadaki grilm hali matris formunda, = 0 o =.7 o = -. o Ma Ma Ma vrilbilir.

112 DÜZLM GRĠLM HLĠ ĠÇĠN MOHR DĠRSĠ Grilm dönüģüm dnklmlrin grafik bir orum gtirmk mümkündür. Bu kısımda, bir noktadaki grilm halinin anlaģılmasını büük ölçüd kolalaģtıran v dülmlrin dğiģmsil grilmlrdki dönüģümlrin hıla apılmasını sağlaan grafik bir tknik ürind durulacaktır. Bu amaçla, Ġfadlrini tkrar aalım. cos sin sin cos Dnklmlrin karlri alınıp toplanırsa, ( ) ( ) bulunan bu bağıntı, - ksn takımında r ( ) arıçaplı çmbr dnklmi olur. Çmbrin mrki d dir.

113 MOHR DĠRSĠNĠN ÇĠZĠLMSĠ Mohr dairsinin çiimind önclikl ata v düģ kartn ksn takımı, grilm ölçklri anı olacak Ģkild çiilir. + i dülmindki grilm hali rfrans alınır. Bu dülmdki normal grilm il kama grilmsi koordinat dğrlri olarak alınıp - dülmind bir nokta () iģartlnir. Bnr Ģkild + j dülmindki grilm hali ardımıla ikinci bir nokta () blirlnir. Bu iki noktaı birlģtirn doğrunun ata ksni kstiği nokta, dairnin mrki olup C harfi il göstrilir. C mrkli C ada C arıçaplı dair çiilir. Grilm lmanı il Mohr dairsi ürindki dönüģ önlrinin anı olabilmsi için ksninin poitif önünü aģağı alıoru. Mohr dairsi, bütün tansörl büüklüklr ugulanabilmktdir. Ölçkli olarak çiim apıldığında sonuçların grafik olarak okunması mümkündür. Çoğunlukla kaba bir çiim apılarak uunluk v açı dğrlri trigonomtri ardımı il hsaplanır. Bu tknikl çok ksnli grilm durumlarının pk çoğu l alınabilir. Mohr dairsindki v noktaları asal grilmlri; D v noktaları da n küçük v n büük kama grilmlrinin tkidiği dülmlri göstrmktdir. Mohr dairsindn, n büük kama grilmlrin tkidiği dülmlrin asal grilmlrin bulunduğu dülmlrl 45 0 lik açı aptığı da görülmktdir. Dairnin mrki C, b nin tkidiği dülmlrdki normal grilm nü sağlamaktadır. ' ' O ; ' F C D s ; b rfrans noktası : p ( ; ) ; ( ; ) ' ; ' ' '

114 Mohr Dairsinin Yorumu Mohr dairsindki dönüģ önü il açısının dönüģ önü anıdır. Dair ürindki lık açı dönüģü grilm lmanının kadarlık dönüģün karģı glir. Dairnin arıçapı CX CF FX maks CX olup maksimum kama grilmsi ın Ģiddtin Ģittir. v dülmlrindki grilmlr dair ürind v B noktalarıla tmsil dilir. B dn farklı hr bir çap, orijinal ksn takımına gör kadar bir açıla dönüln v dülmlrindki grilm halini göstrir. Dair ürindki noktasının koordinatları grilm dönüģüm dnklmlrini vrmktdir. CX il C arasındaki açı p olsun. Mohr dairsindn CX cos p CX sin p va açı farklarının trigonomtrik Ģitliklrini aarak, CX cos p cos sin p sin CX cos CF, CX sin FX p p ifadlri rin aılırsa, CX sin p cos cos p sin CF cos FX sin CF sin FX cos CF, FX grilm dönüģüm dnklmlri ld dilir. Bölc dair ürind açısıla blirlnn noktasının, grilm lmanında açısıla dönülrk bulunan dülmindki grilm bilģnlrini göstrdiği anlaģılmaktadır. 4

115 Burada sık karģılaģılan grilm durumlarına ait Mohr dairlri göstrilmiģtir. DğiĢik üklm durumlarındaki malm davranıģını, göstriln grilm durumlarından ld tmk mümkündür. Ģağıda görüln Ģit çkm v basma halind olup arıca d sıfır olmaktadır. Dolaısıla hm dülm grilm hm d dülm Ģkil dğiģtirm hali sö konusudur. Bu haldki lmanın 45 o döndürülmsil tam kama hali bulunmaktadır. Üç ksnli çkm halind Mohr dairsi çiilirkn lmanın hr bir üündki durumun arı arı çiimi apılmaktadır. Ģ Çkm v Basma; Tam kama =- Yanal Basma V Çkm Üç ksnli Çkm =- 45 =- maks O O maks = O maks 5

116 Örnk Öncki problm Mohr dairsi ardımıla çöülcktir. 7 Dairnin mrki, ksni ürind, C 4. 5Ma dadır. Ma 5 Ma Rfrans noktası koordinatları (7, 5) dir. sal grilmlr, 5 7, sal grilm dülmlri, o p tan 6. 4 Dolaısıla 7 OC C o p Ma o p Ma.09 Ma (, -5) 7 Ma 5 Ma D Ma 7 Ma o p Ma b) n büük kama grilmsi D v noktasıla tanımlandığından 7 b Ma Bu grilmlrin tkidiği dülmlr, o o o s o o o s Va -. 0 O C s p X (7, 5) 6

117 YönlnmiĢ lman ürind grilm halinin göstrilmsi: sal grilmlrin göstrimind, Mohr dairsindki rfrans noktasından baģlanarak n kısa oldan noktasına gidilir. C açısı birinci asal doğrultunun rfrans ksni il aptığı açının iki katını göstrir. Bu açının arısı ksnindn baģlanıp Mohr dairsi ürind göstriln önd alınarak birinci asal ksn çiilir. Bu asal ksn 90 drc klnrk ikinci asal ksn blirlnir. sal ksnlrin ürin smbolik bir birim boutlu kar lman rlģtirilir. sal doğrultulardaki grilmlr lmanın ülrind vktörlrl göstrilir. n büük kama grilmlrinin göstrimi için, Mohr dairsindki rfrans noktasından baģlanarak n kısa oldan noktasına gidilir. C açısı n büük poitif kama grilmsinin tkidiği dülmin normalinin rfrans ksni il aptığı açının iki katıdır. Bu açının arısı ksnindn baģlanıp Mohr dairsi ürind göstriln önd alınarak birinci ksn çiilir. Bu ksn 90 drc klnrk ikinci ksn blirlnir. ksnlrin ürin smbolik bir birim boutlu kar lman rlģtirilir. Kar lmanın ülrind sırası il v D noktalarındaki grilm hali vktörlrl tmsil dilir. sal Grilmlrin önlnmiģ lman ürind göstrimi i 0.09 Ma.09 Ma,.09 Ma 0.09 Ma, b O C 6,4 Ma (, -5) d D 6,6 76,7 Ma Ma D X (7, 5) n büük kama Grilmlrinin önlnmiģ lman ürind göstrimi 5.59Ma 7

118 Örnk 4 ġkild ahģap bir apı lmanı ürindki grilm hali vrilmiģtir. hģabın büüm doğrultusundaki liflrin parall dülmlrdki normal v kama grilmsi ndir?.07 Ma ' 4.8 Ma 5.07 Ma 4.8 Ma (-4.8;0) ' C 0 o 0 o (.07;0) Mrk Yarıçap C. 8Ma r 0. 45Ma.8.45cos 0.6Ma.45sin 0.75Ma.8.45cos 0 4.7Ma 0 o o çmbr ürind saat trs önd dönülck. Ma ' ' Ma X.75 Ma Y Ma Ma 8

119 GRĠLMNĠN CĠSĠM ĠÇĠNDKĠ DĞĠġĠMĠ Daha önc ük tkisindki bir cisimd grilmnin noktadan noktaa dğiģtiğindn sö tmiģtik. Grilmdki bu dğiģim lastisit torisind difransil dng dnklmlri il vrilir. Ġki boutlu hald, birim kalınlıklı d, d knar uunluklarına sahip bir lmana tkin grilmlr aģağıdaki Ģkild göstrilmiģtir. d O dano noktasına harkt dildiğind grilmdki artıģ, örnğin grilmsi için Talor srisi açılımıla, d d O d biçimind ifad dilbilir. Burada in v il dğiģtiği düģünüldüğündn kısmi d türv kullanılmıģtır. Diğr grilm bilģnlrinin d anı Ģkild dğiģtiği düģünülrk d andaki Ģkil ürind göstrilmiģtir. Görüln lmanda M o 0 O d bağıntısının sağlanması koģulundan, d d dd dd 0 d dd d dd d v d nin bulunduğu üçlü çarpımlar ihmal dilrk, doğrultusundaki kuvvtlrin dngsi için, dd d d d d v bnr bir dnklmin 0 0 F 0 0 için aılıp sadlģtirilmsi sonucu daha önc bulunan sonuca ulaģılır. ld dilir. Yanda çrçv içrisindki bağıntıların hr malm için sağlanması grkir. Bu dnklmlr, normal grilmdki dğiģimin ancak kama grilmlrindki dğiģml mümkün olduğunu göstrmktdir. rıca bu bağıntılarda gibi üç,, bilinmn grilm bulunduğundan grilm analiindki problmlrin içtn hiprstatik olduğunu da anlıoru. Mukavmt drslrind apılan Ģkil dğiģtirm hipotlri v 9 sonlu bir lman parçasının dngsinin düģünülmsil hiprstatiklik ortadan kalkmaktadır.

120 Üç boutlu grilm halind is ukarıda açıklanan hususların gnllģtirilmsindn fadalanabiliri. Ġlk bölümd söü diln tam anali matmatik açıdan burada baģlamaktadır. Ġki boutlu latisit problmind,,,,, g, u v v dn oluģan ski büüklük araģtırılır.bu ski bilģnin lman içind gçrli olan ski dnklm k olarak öncki konularda vriln sınır koģullarını sağlaması grkir. lastisit torisinin çöüm mtotlarından burada sö dilmcktir. lastisitnin tml dnklmlrinin buraa alınmasındaki amaç katı mkaniğindki önmli problmlrin tmlindki basit aklaģımları öğrncilr tanıtmaktır. rıca bundan sonraki bölümlrd kuvvt_dformason bağıntılarının kritik dğrlrinin hsabında bu formulason kullanılacaktır. lastisit torisi v Mukavmttki aklaģımların hr biri arı arı önmli olup birbirlrin katkıda bulunurlar. DÜZLM BĠRĠM ġkġl DĞĠġTĠRM Ġki boutlu va dülm birim Ģkil dğiģtirm durumunda, ükün tkimsindn önc v sonra hr noktanın anı dülm (,) içind kaldığı varsaılır. Bölc = g = g = 0 olup,, v g sıfırdan farklı dğrlr alacaktır.bu birim Ģkil dğiģtirmlr bağlı olan, v grilm bilģnlri sıfırdan farklıdır. GnlĢtirilmiĢ Hook asalarından; n 0 bulunur. Daha önc bir noktadaki grilm halinin iki dik dülmdki grilm bilģnlri il vrilmsi grktiği göstrilmiģti. Bnr bir durum birim Ģkil dğiģtirm hali için d sö konusudur. DÜZLM ġkġl DĞĠġTĠRM HLĠNĠN DÖNÜġÜMÜ Birim kalınlıklı, d, d knar uunluklarını sahip v D köģlri doğrusal Ģkil dğiģtirm apan bir lman düģünlim. noktasının v ksnlri doğrultusundaki r dğiģtirmlri u v v olsun. C noktasının rdğiģtirmlri sırasıla u+du v v+dv dir. YrdğiĢtirmdki dğiģim; u u v v du d d dv d d olarak ifad dilir. Ģağıdaki Ģkild sö konusu lmanın C köģgnindki uama göstrilmiģtir. 0

121 ' B d C B ' d ds C' du cos dv sin ds ds ds C D du dv F Dformasondan sonra B C D Ģklini alan lmanda C il C arasındaki küçük açı, C noktasının v ksnlri doğrultusunda aptıkları rdğiģtirmlr d sırasıla CF v FC il göstrilmiģtir. Ģağıdaki türtmlrd Cos =, Sin = tan = alınacaktır., koordinat takımı Ģkildki gibi sçilirs bu ksn takımına gör birim Ģkil dğiģtirm bilģnlri, v g olur. C' cos C' du cos dvsin Yaılabilir. Normal birim Ģkil dğiģtirm tanım grği; C' ' ds Burada ds, C köģgninnin baģlangıç uunluğudur. Son iki d bağıntı birlģtirilir, rin cos, d rin sinaılırsa, ds ds u u cos v v sin ' d d d d ds ds dir. cos sin g sin cos ' ld dilir. Bu ifad çift açı cinsindn; Olur. doğrultusundaki uama oranı için rin +/ aarsak; g ' cos sin g ' cos sin Bulunur. Kama açısı g nün bulunması için ilk olarak doğrultusundaki dönm nın hsaplanması grkir. Ynidn Ģkl dönrk;, C aılabilir. çı v birim Ģkil dğiģtirm küçük tan C dvcos du sin C' sin olduğundan ds olur. C' sin ' ds sin ' ds 0 C v v cos u u sin d d d d ds ds ds

122 Grilm dnklmlri ġkil dğiģtirm dnklmlri v sin cos sin cos cos ld dilr. doğrultusunun dönmsi için rin +/ aılarak; g '' Çift açı cınsindn; g ' ' u sin v u sin cos cos sin v u sin cos sin cos kama açısı v dönmlri arasındaki farka Ģittir. sin cos g cos sin sin g cos g ' ' Halin dönüģür. Yukarıda çrçv içrisind vriln bağıntılar birim Ģkil dğiģtirm bilģnlrinin dönüģüm dnklmlridir. SL ġkġl DĞĠġTĠRMLR: MKSĠMUM KYM BĠRĠM ġkġl DĞĠġĠMĠ Grilm dönüģüm dnklmlri il birim Ģkil dğiģtirm bilģnlrinin dönüģüm dnklmlri kıaslandığında büük bir bnrlik görülmktdir. ğr grilm dönüģüm dnklmlrind rin, rin d g / aılırsa Ģkil dğiģtirm dönüģüm dnklmlri bulunmaktadır. cos sin cos sin sin cos g ' cos sin g ' cos sin g ' ' sin g cos

123 sal birim Ģkil dğiģtirmlr va uama oranları il doğrultuları; g, tan p g sal dülmlrd kama açıları ok olur. Maksimum kama Ģkil dğiģimi olan dülmlr, asal dülmlrl 45 o lik açı apar v Ģu ifadl vrilir: g b k g n büük kama birim Ģkil dğiģiminin oluģtuğu dülmlrdki uama oranları ' dir. Üç boutlu analidki grçk maksimum kama Ģkil dğiģimi, v cbrik olarak n büük v n küçük asal Ģkil dğiģtirm olmak kadıla; g b grçk bağıntısından hsaplanır. ğr, v asal grilm doğrultuları olursa 0 olup arıca g g g 0 olur. Bu durumda, v ksnlri arıca asal Ģkil dğiģtirm ksnlridir. Dolaısıla iotrop malmlrd asal grilm v asal Ģkil dğiģtirm ksnlri çakıģırlar. Bu durumun ugulamadaki anlamı, vriln bir grilm durumuna ait asal ksnlri bulmada istr grilm; istr Ģkil dğiģtirm bağıntılarının kullanılabilcği olmasıdır.

124 DÜZLM ġkġl DĞĠġTĠRM HLĠ ĠÇĠN MOHR DĠRSĠ Dülm Ģkil dğiģtirm halindki Mohr dairsi, dülm grilm halind çiiln Mohr dairsin bnr olarak çiilir. Yata ksnd uama oranları (), düģ ksnd kama açılarının arısı (g/) alınmalıdır. ksnlrin poitif önlri sağa v aģağı doğrudur. Kama birim Ģkil dğiģimindki iģart kabullri daha önc kama grilmsi için apılan iģart kabulün ugun olmalıdır. Kama birim Ģkil dğiģimi poitif is noktası ksninin g/ kadar altına, noktası is ksninin (g/) kadar üstünd iģartlnmlidir.,,,, D v noktalarıla ilgili büüklüklr Mohr dairsi kullanılarak kolaca hsaplanabilir. ' ' ; g D ; g b O rfrans noktası : ( ; g / ) ( ; g / ) ' F C s p ' ; g ' ' ' g ; g 4

125 Örnk 5 Bir noktadaki Ģkil dğiģtirm bilģnlri = 900, = -00 v g = 600 olarak bilinior. Mohr dairsini kullanarak asal Ģkil dğiģtirmlri v maksimum kama Ģkil dğiģimini blirlip önlnmiģ lmanlar ürind göstrini. D Dairnin Yarıçapı = Dairnin Mrki = r OC R OC R (-00; -00) O C s p I (900; 00) I 600 p tan o I 5.5 o, 98 p II o 05.5, 8 p g g b 66 va II I o o s p Mohr dairsindn n büük kama birim Ģkil dğiģiminin asal ksnlrl 45 o lik açı aptığı görülmktdir. g b ın olduğu dülmdki uama oranları, OC = = dır. Mohr dairsind maksimum poitif kama açısı ksninin alt tarafında noktası il tmsil dilmktdir. 5

126 YönlnmiĢ lman ürind Ģkil dğiģiminin göstrilmsi: D sal Ģkil dğiģtirmlrin lman ürind göstrimind Mohr dairsindki rfrans noktasından baģlanarak n kısa oldan noktasına gidilir. C açısı birinci asal doğrultunun rfrans ksni il aptığı açının iki katını göstrir. Bu açının arısı ksnindn baģlanıp Mohr dairsi ürind göstriln önd alınarak birinci asal ksn çiilir. Bu asal ksn 90 drc klnrk ikinci asal ksn blirlnir. sal ksnlrin ürin smbolik bir birim boutlu kar lman rlģtirilir. sal doğrultulardaki Ģkil dğiģtirmlr uama a da kısalma ksikli çigilrl birim lman ürind iģartlnir. (-00; -00) g O C 59 (900; 00) n büük açısal Ģkil dğiģtirmlrin göstrimi için Mohr dairsindki rfrans noktasından baģlanarak n kısa oldan noktasına gidilir. C açısı n büük poitif açı boulmasının oluģtuğu birinci dülmin normalinin rfrans ksni il aptığı açının iki katıdır. Bu açının arısı ksnindn baģlanıp Mohr dairsi ürind göstriln önd alınarak birinci ksn çiilir. Bu ksn 90 drc klnrk ikinci ksn d göstrilir. ksnlrin ürin smbolik bir birim boutlu kar lman rlģtirilir. Kar lmanın hr iki ksn doğrultusunda aptığı birim bo dğiģimi birbirin Ģit olup dğri, Mohr dairsinin mrkinin absisidir. Kama açısının doğru olarak çiilbilmsi hususunda v d dülmlrind tkin smbolik kama grilmlrinin düģünülmsi dformason halinin çiimind büük kolalık sağlar. i 8 05,5 98 5,5 sal Ģkil dğiģtirmlr v doğrultuları d 400 b 60,5 9,5 gb= D n büük kama Ģkil dğiģtirmlrinin 6 önlnmiģ bir lman ürind göstrimi

127 Bu örnktki lmanın dülm grilm tkisi altında olduğu düģünülür is n = 0. için üçüncü doğrultudaki asal uama oranı n n 0. g olarak hsaplanabilir. Grçk n büük kama açısı; b grçk Bu durumda dülm içi maksimum kama açısının hr aman n büük kama açısını göstrmdiğini sölbiliri. Örnk 6 Öncki örnkt vriln Ģkil dğiģtirm halind; (a) sal grilmlrl doğrultularını, (b) n büük kama grilmsi v doğrultularını hsaplaını. = 00 Ga, n = 0. Öncki örnktn = 98, = -8, g b = 66 n n Ma Ma b g b n b 89. 7Ma Ma ' d 4. Ma 4.Ma 4.6 Ma 60,5 D 89.7 Ma sal Grilmlr v doğrultuları 04 Ma 04 Ma 5,5 4.6 Ma 9,5 4. Ma n büük kama grilmlri v doğrultuları 7

128 BĠRĠM ġkġl DĞĠġĠMĠNĠN ÖLÇÜLMSĠ Dülm Ģkil dğiģtirm apan bir lmanın srbst üindki uama oranının ölçülmsi amacıla optik, lktriksl v mkanik sistmlr gliģtirilmiģtir. Yagın olarak kullanılan v doğru sonuç vrn öntmd lktriksl saslı strain gag ölçrlr kullanılır. Bu kısımda srbst ü apıģtırılan strain gag lr v öl dünlnmiģ Ģkillri ürind durulacaktır. Yüin dıģ normalini doğrultusu olarak alırsak = = = 0 olur. Sö konusu grilm durumunda dülm dıģı lastik dformasonları önlck hr hangi bir kısıt olmadığından dülm içi,, g Ģkil dğiģtirm bilģnlrin ilavtn dülm dik doğrultuda normal birim Ģkil dğiģtirm d oluģur. GnllĢtirilmiĢ Hook asalarında g = g = 0 olduğu için anı amanda asal Ģkil dğiģtirmdir. Dülm dıģı asal uama oranı, grçk maksimum kama birim Ģkil dğiģiminin blirlnmsi açısından önmlidir. Dülm Ģkil dğiģtirm hali için çıkarılan bağıntılarda asal Ģkil dğiģimi v cinsindn bulunmakta idi. Dolaısıla bir öncki kısımda apılan türtmlr burada da gçrlidir. Strain gag lr iki tabaka kağıt a da plastik arasına rlģtiriln aprak biçimli çok inc kalınlıklı lvha/küçük çaplı tldn oluģur. Gnllikl 0.0 mm çaplı tl ada 0.00 mm kalınlıklı aprak lvha kullanılır. Ölçr pullar dıģ üdn ölçüm apılacak ü apıģtırılırlar. Yük tkisi altında sö konusu üd Ģkil dğiģimi olduğunda tl ıgara ül birlikt uar ada kısalır. Bu bo dğiģimi ölçrin lktriksl dirncind dğiģim ol açar. Ölçrin uçlarına bağlanan bir akım köprüsü lktrik dirncindki dğiģimi uunluk dğiģimin dönüģtürür. Bu amaçla kullanılan akım köprüsün Whatston köprüsü adı vrilir. Strain Gag Mtal Yaprak Rot 8