Yayılma (Değişkenlik) Ölçüleri

Transkript

1 Yayılma (Değşel) Ölçüler Br ver set taıma yada farlı ver set brbrde ayırt etme ç her zama yalızca yer ölçüler yeterl olmayablr. Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla ve geellle artmet ortalama etrafıda değşm date alara hesaplaa statstlere yayılma (değşel) ölçüler adı verlr.

2 Freas Aşağıda graf = 500 hacml alıa farlı öre doğrultusuda oluşturula hstogramlardır. Her öre ortalaması yalaşı olara 00 olduğua göre öreğ ayı aaütlede alıdığı söyleeblr m? ,33 8,33 95,33 09,33 3, ,33 8,33 95,33 09,33 3,33 X X

3 Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla yayılım ölçüler artmet ortalama etrafıda değşmler date ala taımlayıcı statstlerdr. Br ver setde artmet ortalamalarda her br gözlem farı alııp bu değerler tümü topladığıda soucu 0 olduğu görülür. 3

4 Öre: 4,8,9,3,6 şelde verle br bast ver ç; Bu örete görüleceğ üzere gözlemler artmet ortalamada uzalığı alıp topladığıda 0 elde edldğde dolayı bu problem mutlaa değer ullaara veya aresel uzalı alıara ortada aldırılır. 4

5 7) Rage (Değşm Aralığı) Ver setde yayılımı fade etmede ullaıla e bast ölçü, değşm aralığıdır. Geel olara az sayıda ver ç ullaılır. E büyü gözlem değer le e üçü gözlem değer arasıda far değşm aralığıı verr. Ver setde te br gözlem aşırı derecede üçü veya büyü olmasıda etledğ ç br başa fadeyle örete yer ala sadece ver ullaılara hesaplamasıda dolayı tüm ver set değşelğ açılama ç yetersz almatadır. 5

6 Değşm Aralığı Öre: Aralı, ver set çde e büyü değerle e üçü değer arasıda uzalığı ölçere ver yayılımıı ortaya oyar. Öreğ aşağıda şelde gösterldğ üzere A hsse seed belrl br yılda 36$ la 3$ arasıda çeştll gösterre, B hsse seed 0$ la 58$ arasıda gösterd. Hsse seed fyatıda aralı A ç 36$-3$ = 4$ dır; B ç 58$-0$=48$.Aralıları ıyasladığımızda B hsse seed fyat aralığıı A ya göre daha ço değşel gösterdğ söyleyeblrz. B hsses aralığı A hsses aralığı Ücret ($) 6

7 Kartller Arası Far Dğer değşel 3. ve. artller arasıda fara dat çeer. Çeyre aralı olara adladırıla bu far, Q 3 -Q, bze ver set yarısıı çere geşlğ verr. 7

8 8) Ortalama Mutla Sapma(OMS) Ver setde her br gözlem değer artmet ortalamada farlarıı mutla değerler toplamıı öre hacme bölümesyle elde edlr. Gözlem değerler artmet ortalamada falarıı toplamı 0 olacağıda bu problem ortada aldırma ç mutla değer fades ullaılır. Bast verler ç: OMS Gruplamış verler ç: Sııflamış verler ç : OMS OMS f f f m f 8

9 Öre: İstatst I ders ala 0 öğrec vze otları aşağıda gb sıralamıştır. Bua göre vze otları ç ortalama mutla sapma değer hesaplayıız. 30,4,53,6,68,79,8,88,90, OMS 45 4,

10 Sııflamış Verler İç Ortalama Mutla Sapma Öreğ Sııflar f m If (m - )I de az 5 53,5 9, de az 7 60,5 80, de az 4 67,5 6, de az 9 74,5, de az 8 8,5 76, de az 4 88,5 66, da az 3 95,5 70,56 Toplam ,96 mf f 7,98 g. OMS f m 470,96 50 f 9.4 0

11 Yayılma Ölçüler Gerellğ Öre Öre Ölçümler,,3,4,5,3,3,3,4 Ortalama da Uzalılar -3, -3, 3-3, 4-3, 5-3 veya -, -, 0,, , 3-3, 3-3, 3-3, 4-3 veya -, 0, 0, 0, İ ver set ç uzalılar a) Öre b) Öre

12 9) Varyas Ortalama mutla sapmada ullaıla mutla değerl fadeler le şlem yapmaı zor hatta bazı durumlarda masız olması sebebyle ye değşel ölçüsüe htyaç bulumatadır. Mutla değer fadesde zorlu artmet ortalamada farları areler alımasıyla ortada almatadır. Ver setde her br gözlem değer artmet ortalamada farlarıı areler toplamıı öre hacm br esğe bölümesde elde edle yayılım ölçüsüe öre varyası adı verlr.

13 3 Bast verler İç: Aaütle Varyası: m : Aaütle Ortalaması N : Aaütle Hacm Öre Varyası : Gruplamış verler ç: Sııflamış verler ç : N m s ) ( f m f s ) ( f f s

14 4 fades statstte br ço formülde ullaılır ve areler toplamı olara adladırılır. Matematsel olara hesaplama olaylığı sağlaması açısıda formüllerde areler toplamıı açılımı ola aşağıda eştl ullaılablr.

15 5 s f f f f s f f m f m f s Gruplamış Verler İç: Sııflamış Verler İç : Bast Verler İç:

16 Öre: Br gömle fabrasıı satış mağazasıda br gü çde satıla gömleler bedelere göre satış adetler aşağıda verlmştr. Bua göre ver set ç varyas değerler hesaplayıız. Gömle bede Satış aded.f.f toplam f f f s 80,56 79 f

17 Sııflamış Verler İç Varyas Sııflar f m f (m - ) de az 5 53,5 707, de az 7 60,5 9, de az 4 67,5 80, de az 9 74,5 57, de az 8 8,5 75, de az 4 88,5 09, da az 3 95,5 659,57 Toplam ,48 mf f 7,98 g. s Öreğ f( m ) 6444,48 3,5 50 f 7

18 0) Stadart Sapma Varyas hesaplaıre ullaıla verler areler alıdığıda verler ölçü brm ares varyasıda ölçü brm mevcut ölçü brm ares olur. Öre: g, cm gb. Bu teledrme verler açısıda br alam taşımayacağıda varyas yere ortalama etrafıda değşm br ölçüsü olara ou poztf areöü ola stadart sapma ullaılır. 8

19 9 Bast Verler İç: Populasyo Stadart Sapması: : Populasyo Stadart Sapması N : Populasyo Hacm Öre Stadart Sapması : Gruplamış Verler İç: Sııflamış Verler İç : N m s ) ( f m f s ) ( f f s

20 Öre: İstatst I ders ala 0 öğrec vze otları aşağıda gb sıralamıştır. Bua göre vze otları ç varyas ve stadart sapmayı hesaplayıız. 30,4,53,6,68,79,8,88,90, s s , 504, s s 9 504,,45 İstatst I vzesde alıa otları ortalama etrafıda yalaşı olara pua değştğ görülmetedr. 0

21 Ayı soru areler ortalamasıı açılımı ullaılara çözüldüğüde ayı souçları verecetr. 30,4,53,6,68,79,8,88,90, s s s , s , ,45

22 CHEBYSHEV TEOREMİ Herhag br ver setde, verler ortalamaı K stadart sapma uzağıda buluması oraı -/K dır. Burada K, brde büyü poztf sayıdır. K= ve K=3 ç; Verler e az 3/4 ü (%75) ortalamaı stadart sapma uzagıda buluur. Verler e az 8/9 u (%89) ortalamaı 3 stadart sapma uzağıda buluur.

23 Öre: X değşe br sııfta İstatst I ders başarı otlarıı gösterme üzere, öre ortalamasıı 60 varyasıı 00 olduğu bldğe göre, verler ¾ ü hag aralıta değşr? 4 3 s ,80 3

24 Stadart Sapmaı Yorumlaması - Chebyshev teoremde, freas dağılımıı şele baılmasızı, ölçümler herhag br öreğe uygulaa ural: a- Ölçümlerde hçbr s yada ( s, s) aralığıa düşmemes mümüdür. b- Ölçümler e az ¾ ü ( s, s) aralığıa düşer.- ortalamaı c- Ölçümler e az 8/9 u ( 3s, 3s) aralığıa düşer.- d- Geellle, ölçümler e az (-/ ) ı ( s, s) aralığıa düşer. (>) 4

25 - Smer dağılışlarda stadart sapmaı yorumu: a- Ölçümler yalaşı %68 s yada ( s, s) aralığıa düşer.- ortalamaı stadart sapması ç b- Ölçümler yalaşı %95 ( s, s) aralığıa düşer.- ortalamaı stadart sapması ç c- Temelde, tüm ölçümler ( 3s, 3s) aralığıa düşer. -ortalamaı 3 stadart sapması ç 5

26 Ampr Kural 6

27 Ampr Kural 7

28 Ampr Kural 8

29 Öre ver set: 50 şret AR-GE ç harcaa gelrler yüzdeler burada terar verlmştr:

30 Öre: Aralıları çde ala bu ölçümler esr(fracto) hesaplayıız Çözüm: İl aralı = ( , ) = (6.5, 0.47) 50 ölçümü 34 üü ve ya %68 ortalamaı stadart sapması çersde olduğuu ortaya oyar. Aralı, = ( , ) = (4.53,.45) 50 ölçümü 47 s ya da %94 üü çerr. ortalama etrafıda 3 stadart sapma aralığı, = ( , ) = (.55, 4.43) tüm ölçümler çerr. 30

31 ) z Soru Verle br gözlem değer ortalamaı aç stadart sapma uzağıda olduğuu ölçer. Örelem Aaütle z = - s z = - µ odalı basamağa yuvarlaır. 3

32 z- soruu Yorumlaması Br ver ortalamada üçü olursa z-soru değer egatf olur. Olağa Verler : z soru ve s.s arasıda Olağadışı Verler: z soru < - veya z soru > s.s 3

33 33

34 Öre: 00 çel şçs yıllı gelrler celemş ve ortalaması = 4.000$ ve stadart sapması s=.000$ olara bulumuştur. Yıllı gelr.000$ ola Joe Smth z-soru açtır? 8.000$.000$ Joe Smth gelr 4.000$ $ 34

35 z= s = =-.0 buluur. Burada -.0 ı.000$ 4.000$.000$ alamı Joe Smth yıllı gelr ortalamaı stadart sapma altıdadır. z-soruu sayısal değer görel durumlar ç ölçümü yasıtmatadır. Br değer ç bulua e büyü poztf z-soru değer, bu değer dğer bütü ölçümlerde daha büyü olduğuu gösterr ve mutla değerce e büyü egatf z-soru değer de bu ölçümü dğer tüm ölçümlerde daha üçü olduğuu gösterr. Eğer z soru 0 veya 0 a yaı se ölçüm ortalamaya eşt veya ortalamaya ço yaıdır. 35

36 ) Değşel(Varyasyo) Katsayısı İ veya daha fazla populasyo üzerde ayı şas değşeler ç yapıla araştırmalarda değşeller arşılaştırılması ç ullaıla br ölçüdür. Stadart sapmayı ortalamaı br yüzdes olara fade ede ve veya daha fazla populasyoda varyasyou (değşelğ) arşılaştırmada ullaıla ölçüye varyasyo(değşel) atsayısı der. C V Varyasyo Katsayısı: s X *00 Öre: İstabul da ve Aara da yaşaya aleler aylı gelrler değşeller arşılaştırılması 36

37 Öre: A,B ve C hsse seetler apaış fyatlarıa lş yapıla br araştırmada, hsse seetler apaış fyatlarıı ortalamaları ve stadart sapmaları hesaplamış ve aşağıda tabloda verlmştr. Bua göre hsse seetler apaış fyatlarıı değşeller açısıda arşılaştırıız ve hag hsse seed fyatıda değşel daha fazladır fade edz. s A 8 B 5 C 5 3 C C C V A V B V C sa *00 *00 5 %5 X A 8 sb *00 *00 0 %0 X 5 B sc 3 *00 *00 0 %0 X 5 C Üç hsse seed apaış fyatlarıı değşeller arşılaştırıldığıda e büyü stadart sapma değer C hsse seedde olmasıa rağme e büyü varyasyo atsayısıa sahp olduğuda e fazla değşelğ A hsse seedde olduğu görülür. 37

38 Taımlamalar Smetr Verler Eğer ver smetr se ver hstogramıı sağ tarafı ve sol tarafı eşt büyülütedr Çarpı Verler Eğer ver çarpı se (smetr değlse), ver hstogramı br ısmı dğer ısmı büyütür veya üçütür. 38

39 Çarpılı 39

40 Çarpılı (Asmetr) Ölçüler Aaütleler brbrde ayırma ç her zama yalızca yer ve yayılım ölçüler yeterl olmayablr. Aşağıda farlı aaütlede alımış öreler ç oluşturula hstogramlar verlmştr. 40

41 3) Asmetr Ölçüler PEARSON ÇARPIKLIK ÖLÇÜSÜ mod S p s 3( X med) S p s veya S P < 0 Negatf çarpı(sola) S P > 0 Poztf Çarpı(Sağa) S P = 0 se dağılış smetr S b BOWLEY ÇARPIKLIK ÖLÇÜSÜ ( Q 3 Q ) ( Q Q ) Q 3 Q S b < 0 Negatf çarpı(sola) S b > 0 Poztf Çarpı(Sağa) S b = 0 se dağılış smetr 4

42 Öre: Aşağıda tabloda 30 gülü süre çde br restoraı ulladığı et mtarıı dağılımıda elde edle bazı taımlayıcı statstler verlmştr. Bua göre pearso ve bowley asmetr ölçüler hesaplayıp yorumlayıız. A r t m e t O r t. Mod Medya Q Q s S p 46,6 45,4 46, 4,5 5,9 54,46 3( X med) s 3(46,6 46,) 54,46 0,6 0 Sağa Çarpı, Poztf Asmetr S p mod s 46,6 45,4 54,46 0,6 0 Sağa Çarpı, Poztf Asmetr S b ( Q 3 Q ) ( Q Q Q 3 Q ) (5,9 46,) (46, 4,5) 5,9 4,5 0,4 0,0 0 Sağa Çarpı, Poztf Asmetr 4

43 Smetr Dağılım A.O = Med = Mod Sağa çarpı dağılım A.O > Med > Mod Sola çarpı dağılım A.O < Med < Mod İ modlu smetr dağılım Modu olmaya dağılım Tedüze dağılım 43

44 4) Sapa Gözlemler Sapa gözlem, dğer bütü gözlemlerde uzata bulua gözlemdr. Sapa gözlem ortalama üzerde öeml br etye sahp olablr. Sapa gözlem stadart sapma üzerde öeml br etye sahp olablr. Sapa gözlem dağılımı gerçe hstogramıı ölçeğ üzerde öeml br etye sahp olablr. 44

45 5) 5 Sayı Özet 5 sayı özet, br ver setde mmum değer,.kartl,.kartl(medya), 3.Kartl ve masmum değer çerr. Kutu grafğ(veya utu ve bıyı grafğ) br ver set ç, sıırları masmum ve mmum değer olma üzere, çde.kartl,.kartl(medya) ve 3.Kartl buludura utu şelde graftr. 45

46 Kutu Grafğ 46

47 Kutu grafğ hazırlama Q:Kutuu sol earı Q3:Kutuu sağ earı Q:Kutuu ortasıda çzg Sapa harç m.: Sol bıyı Sapa harç ma.: Sağ bıyı Sapa değer otrolu Q.5(Q3 Q) Q3 +.5(Q3 Q) bu değerler aşa verler * le gösterlr. 47

48 Öre: Yazlı ürüler sata br mağazada haftalı satıla t-shrt sayıları yada tabloda verlmştr. Verle tabloda beş sayı özet buluuz ve utu grafğ çzz

49 Çözüm: Öcelle verler yada gb sıralaırsa; Q =(3+)/4=8.sıraya arşılı gele ver olur. Q=8 Q 3 =3(3+)/4=4. sıraya arşılı gele ver olur. Q 3 =8 Mmum değer=7, Masmum değer=44 ve Medya(Q )= olur. Sapa değerler otrol etme ç; Q -,5(Q 3 -Q )=8-,5(8-8)=3 Q 3 +,5(Q 3 -Q )=8+,5(8-8)=43 buluur. Bu durumda elmzde 44 değer sapa değerdr ve * le gösterlr

50 45 * 44 sapa değer Medya(Q )= 0

51 Kutu Grafğ Fgure -6 5

52 Kutu Grafğ Fgure -7 5

53 6) Basılı Ölçüsü Aşağıda A ve B dağılımlarıı ortalamaları, değşel ölçüler ayı olmasıda dolayı ve hatta s de smetr olmalarıda dolayı bu dağılışı ayırt etme ç Basılı Ölçüsü ullaılır. A B m A = m B 53

54 Herhag br olasılı fosyouu şel le lgl parametrelerde br taes de basılı ölçüsüdür. Basılı Ölçüsü ortalamaya göre dördücü momette gdlere hesaplaır ve 4 olara gösterlr. 4 m 4 4 Bast Ser İç m 4 m 4 4 = 3 se Ser Normal 4 < 3 se Ser Bası 4 < 3 se Ser Svr Ya da Yüse 54