Yatrm getirileri bir gecikmeli hareketli ortalama modeline uyduunda performans kriterine dayal optimal amortisman süresinin belirlenmesi

Transkript

1 saisikçilr Drgisi (9) 7-8 saisikçilr Drgisi Yarm girilri bir gcikmli harkli oralama modlin uyduunda prformans kririn dayal opimal amorisman sürsinin blirlnmsi Yasmin Gnçürk Hacp Ünivrsisi Fn Fakülsi Akürya Bilimlri Bölümü 68-Byp, Ankara, Türkiy Tkin Sözr Hacp Ünivrsisi Fn Fakülsi Akürya Bilimlri Bölümü 68-Byp, Ankara, Türkiy Öz Bu çal!mada, faydas blirli mklilik planlarnda yarm girilri bir gcikmli harkli oralama modlin uyduunda kak oran riski il yükümlülüklrin yrin girilmm riskinin arlkl oralamasndan olu!an prformans kririni minimum yapan opimal amorisman sürsi blirlnmi! v bu sürnin modl paramrsi il bklnn giri orannndaki di!ikliklrdn nasl kilndii inclnmi!ir. Anahar Sözcüklr: Faydas$ blirli mklilik planlar$; Kak$ oran$ riski; Yükümlülüklrin yrin girilmm riski; Bir gcikmli harkli oralama modli (MA()), Opimal amorisman sürsi. Absrac Drminaion of h opimal amorizaion priod using prformanc criria whn ral ras of rurn follow firs ordr moving avrag modl In his sudy, opimal amorizaion priod is drmind by minimizing h prformanc criria which is a wighd avrag of conribuion ra risk and solvncy risk whn h ras of rurn ar assumd o b rprsnd by firs ordr moving avrag modl and i is invsigad how his priod is affcd by h changs in modl paramr and xpcd ra of rurn. Kywords: Dfind bnfi pnsion plans; Conribuion ra risk; Solvncy risk; Firs ordr moving avrag modl (MA(); Opimal amorizaion priod.. Giri Üylr mkli olduklarnda n kadar aylk balanaca mklilik arihindn önc ksin olarak bilinmmkl birlik, plan sözl!msind balanacak ayln ny bal olacann blirildii mklilik planlar faydas blirli mklilik planlar olarak adlandrlr. Bu planlarda, kaks blirli planlarn aksin yarm riski i!vrn arafndan üslnilir v mklilik fonuna i!vrnin yapaca kak fonun giri oranna baldr. Faydas blirli mklilik planlarnda, hr yl hr üy adna fona n kadar kakda bulunulmas grkii, yani yükümlülüün n kadarnn n zaman fonlanacana karar vrilmsi düznli aralklarla yaplan aküryal hsaplamalarla blirlnir. Hsaplamalar, yarm girisi, maa! ar!, nflasyon, masraflar, ölümlülük, maluliy, i!n ayrlmalar, i! yni giri!lr gibi krirlr ili!kin varsaymlara bal olarak yaplr.

2 Y. Gnçürk, T. Sözr / saisikçilr Drgisi (9) *!vrnin yükümlülüklrini yrin girck yrli fon mikarna ula!abilmk için hr yl fona n kadar kakda bulunulmas grkiini blirlmk amacyla kullanlan yönmlr aküryal fonlama yönmlri olarak adlandrlr v birysl v büünsl fonlama yönmlri olmak üzr iki grupa oplanr []. Birysl fonlama yönmlrind hrbir üy için aküryal yükümlülük v sandar kak hsaplandkan sonra oplam yükümlülük v oplam kak blirlnirkn, büünsl fonlama yönmlrind akif (haln çal!an) v pasif (mkli olmu!) üm üylr dikka alnarak oplam sandar kak hsaplanr. Aküryal drlndirm varsaymlarnn aynn gözlnmsi mümkün olmadndan, yani varsaym bozulumu söz konusu olduundan hrhangi bir anda fon fazlas ya da aç oraya çkar. Bu ndnl, fona yaplacak kak blirlnirkn sandar kakda ayarlama yaplr. Hrhangi bir anda oraya çkan fon fazlas ya da açnn amorismannda kullanlan farkl yönmlr vardr. Bu yönmlrdn n sk kullanlanlar, fonlanmam! yükümlülüün blirli bir dönm yaylmas yönmi v kayplarn amorisman yönmi olarak vrilbilir. Fonlanmam! yükümlülüün hangi sürd amoriz dilmsi grkiini blirlmk faydas blirli mklilik planlarnn sokasik konrolünd önmli olduundan, bu sürnin dikkali bir!kild sçilmsi grkir [5]. Srmay piyasasnda yarm araçlarnn girilri blirsiz olduu için faydas blirli mklilik fonlarnn sokasik konrolü, fona yaplacak kaklar il fonun yarm araçlarna ahsisinin konrolünü içrir [3]. Faydas blirli mklilik planlarnda, i!vrn v üylrin kar! kar!ya olduu iki ml riskn söz dilbilir: kak oran riski v yükümlülüklrin yrin girilmm riski. *!vrn yarm prformansnn mklilik fonuna yaplacak kaklarda bklnmdik önmli di!ikliklr ndn olmamasn isr. *!vrn kak oran riski minimum olacak!kild fona kakda bulunurkn, ayn zamanda yükümlülüklrini kar!layabilck fon büyüklüün d ula!mak isycindn, yükümlülüklrin yrin girilmm riski minimum olacak!kild mklilik fonuna kakda bulunur v fonu yarm araçlarna yönlndirir. Kak oran riski, fona yaplacak kaknn idal kakdan (sandar ya da hdf kak) sapma mikar il ölçülür v plann n kadar dngd olduunun bir gösrgsidir [4, 6, 8]. Gnl olarak üylr mklilik fonuna maa!larnn plan sözl!msind bliriln orannda kakda bulunduklarndan kak oran riski il ilgilnmzlr. Plan üylri kndilrin ahahhü diln yükümlülüklrin yrin girilmsini yani ödnck mkli aylklarnn güvncd olmasn, bir ba!ka dyi!l yükümlülüklrin yrin girilmm riskinin minimum olmasn isrlr [6]. Yükümlülüklrin yrin girilmm riski, mvcu mklilik fonunun idal fondan (aküryal yükümlülük ya da hdf fon büyüklüü) sapma mikar il ölçülür v plann üylr için n kadar güvnli olduunun bir ba!ka dyi!l yükümlülüklrin n kadar güvncd olduunun bir gösrgsidir [4] Hrhangi bir anda oraya çkan fon fazlas ya da açnn n önmli ndni yarm girisidir. Habrman, Bu v Mgaloudi, yarm girilrinin ayn dalml bamsz raslan di!knlri olmas durumunda kak oran riski il yükümlülüklrin yrin girilmm riskinin arlkl oralamasndan olu!an prformans kririni minimiz dn opimal amorisman sürsini blirlmi!lrdir [4]. Yarm girilrinin ayn dalml bamsz raslan di!knlri olduunu varsaymak oldukça kslayc bir yakla!mdr. Gnllikl hrhangi bir anda yarmn girisi daha önc gözlnn yarm girisi/girilrin baldr v yarm girilri ya da girilrin bir öncki yla gör di!imi duraandr. Bu ndnl, bu çal!mada yarm girilrinin duraan bir modl olan bir gcikmli harkli oralama (MA()) modlin uyduu varsaylarak Habrman, Bu v Mgaloudi nin anmlad prformans kririni minimum yapan amorisman sürsi blirlnmi!; opimal amorisman sürsinin modl paramrsi il bklnn giri oranndaki di!ikliklrdn nasl kilndii ara!rlm!r.. Prformans kriri Habrman, Bu v Mgaloudi nin anmlad kak oran riski il yükümlülüklrin yrin girilmm riskinin arlkl oralamasndan olu!an prformans kriri:

3 Y. Gnçürk, T. Sözr / saisikçilr Drgisi (9) s J E w (C() NC()) ( )(F() AL()) T T + s () biçiminddir. E!.() d C() (, +) ylnda fona yaplacak kak, F() annda fon büyüklüü; NC() (, +) ylnda hdf kak, AL() (, +) ylnda hdf fon büyüklüü, w (+ j), j> blirli bir priyoa fona yaplacak kaklar arlklandrmak amacyla kullanlan iskono fakörü v yükümlülüklrin yrin girilmm riskinin kak oran riskin gör görli önmini gösrn arlk fakörünü gösrmkdir. C() nin NC() dn fark kak oran riskini, F() nin AL() dn fark is yükümlülüklrin yrin girilmm riskinin bir ölçüsüdür. Hdf drlr olan NC() v AL() gnllikl aküryal fonlama yönmlri kullanlarak hsaplanmakadr. E!.() d NC() v AL() srasyla C() v F() nin bklnn drin!i olarak alnrsa prformans kriri, T sjt w VarC() + ( )VarF() s () biçimin dönü!ür. E!.() d T v s olarak alnrsa prformans kriri: J w VarC() + ( )VarF() (3) olarak ld dilir [4]. 3. Modl Aküryal drlndirm finansal v dmografik di!knlr ili!kin blirli varsaymlar alnda yaplmakadr. Bu çal!mada amaç; yarm girilri MA() modlin uyduu varsaym alnda opimal amorisman sürsini blirlmk olduu için bir mklilik plannda; ) Zamanla sadc yarm girisinin di!knlik gösrdii, ) Üy porföyünün yldan yla di!mdii, yani hr ya! grubunda ayn sayda üy olacak!kild yni üy giri!lrinin olduu, 3) Maa! ar!nn sabi olduu, yani maa!larn rl olarak armad, 4) Aküryal faiz oran i v nin sabi olduu, 5) (, + ) ylnda fonun rl giri orannn i( + ) v anlk rl giri orannn (+ ) ln[ + i(+ ) ] olduu, 6) Aküryal faiz orannn fonun uzun dönmd bklnn giri oranna!i, yani () E [ + i() ] E (+ i),i i v olduu,

4 Y. Gnçürk, T. Sözr / saisikçilr Drgisi (9) ) Fona yaplan kaklar il fondan yaplan ödmlrin yln ba!nda yapld, 8) Drlndirm arihi da fonun drinin( 9) Aküryal drlndirmnin hr yl yapld varsaylacakr. F ) bilindii yani PF() F olduu v Yukarda vriln varsaymlarna dayal olarak oplam sandar kak NC, oplam aküryal yükümlülük AL v ödnck mkli ayl B nin sabi olduu yani zamana bal olarak di!mdii söylnbilir. m amorisman sürsini v k /a gösrmk üzr m AL ( + i)(al + NC B) C() NC + k (AL F()) (4) (5) olarak ld dilir. Bu durumda fon düzyi, F( + ) [ + i() ][ F() + C() B] [ + i() ][ QF() + R] (6) olarak ld dilir. E!.(6) da Q k v i R NC B + kal AL(k d),d biçiminddir. + i F() nin varyans hsaplandkan sonra E!.(5) dn C() nin varyans bulunur: VarC() k VarF() (7) E!.(7), E!.(3) d yrin konulursa prformans kriri: J ( k + ) w VarF() (8) biçimind ld dilir. Prformans ölçüünd olarak alndnda amaç sadc yükümlülüklrin yrin girilmm riskini minimum yapan amorisman sürsini blirlmkir. Bu durumda balanacak mkli aylklarnn n kadar güvncd olduu fonlanmam! yükümlülüklrin, sandar kakya yaplan k kaklarla fonlanma hzna baldr. Fonlanmam! yükümlülüklr n kadar ksa sürd amoriz dilirs, mkli aylklarnn o kadar güvncd olduu söylnbilir. Prformans ölçüünd olarak alndnda amaç sadc kak oran riskini minimum yapan opimal amorisman sürsinin blirlnmsidir. Fonlanmam! yükümlülüklr n kadar uzun dönmd amoriz dilirs fona yaplacak kaklar da o kadar duraan olmakadr. Duraan kaklar i!vrnin naki ak!n daha kin bir biçimd planlamasna olanak vrdiindn, fonlanmam! yükümlülüklr uzun bir dönm yaylarak amoriz dilmlidir.

5 Y. Gnçürk, T. Sözr / saisikçilr Drgisi (9) Prformans ölçüünd < < olarak alndnda amaç, kak oran riski il yükümlülüklrin yrin girilmm riskini minimum yapan opimal amorisman sürsinin blirlnmsidir. arkça, yani i!vrn için kak oran riskinin yükümlülüklrin yrin girilmm riskin gör görli önmi arkça opimal amorisman sürsinin armas bklnir [4]. 4. Ya'r'm girilri bir gcikmli harkli oralama modlin uydu)unda prformans kriri Hrhangi bir annda yarm girisi daha öncki yl ya da yllardaki yarm girisin bal olduundan yani yarm girilri baml olduundan, bu bölümd yarm girilrinin MA() modlin uyduu varsaym alnda fon düzyi v fona yaplacak kaknn bklnn dri il varyansna ili!kin formüllr vrildikn sonra prformans kriri ld dilckir. i() hrhangi bir (, +) ylna ili!kin yarm girisini gösrmk üzr () ln( + i()), MA() modlin sahip olsun. Bu durumda, ( ) + () ( ) biçiminddir. Burada (),,,3,... oralamas v varyans olan Normal dalml bamsz raslan di!knlrini gösrmk üzr () nin bklnn dri, varyans v kovaryans, E [ ()] Var () ( + ), s Cov [ (), (s)], s >!iliklri yardmyla bulunur []. (), oralamal v dri E i varyansl Normal dalma sahip raslan di!kni olduundan () + (/) () + + v varyans Var ( ) sahip raslan di!knidir. () bklnn olan Lognormal dalma F(+) ili!kin E!.(6) bamsz iki raslan di!kninin çarpm olarak dü!ünülmycindn fon düzyinin bklnn dri bu!ilikn ld dilmz. Bu ndnl fon düzyin ili!kin bu!iliin bamsz raslan di!knlri olarak ifad dilmsi grkir: F() + i() Q F + R F Q + R () () F() + i() Q F() + R F Q + R Q +... () +() () +() () [ + ][ + ] + () j () (j) F() i() Q F() R F Q R Q j (9)

6 Y. Gnçürk, T. Sözr / saisikçilr Drgisi (9) Burada () (u) u biçiminddir. E!.(9) dan F() nin bklnn dri: () j () (j) EF() FQE + R Q E j () s () (s) FQ E + R Q E s () biçimind ld dilir. (),,,3,... oralamal v () (u) u raslan di!kni; oralamas Var [ ()] Var (u) ( ) u raslan di!knlridir. Bu ndnl E!.() da, varyansl Normal dalma sahip raslan di!knlri olduu için E () E (u) v varyans u olan Normal dalml v () Lognormal dalml () E () biçiminddir. () (s), E [ () (s)] ( s) oralama v Var [ () (s)] ( s) ( s ) varyans il Normal dalma sahip raslan di!kni olduu için Lognormal dalma sahip raslan di!kninin bklnn dri, () (s) (s) + (s) (s ) () (s) E! " (s)# + $ (s ) % & c s (s ) () olarak ld dilir. Burada c + biçiminddir. E!.() v E!. (), E!.() da yrin konulursa F() nin bklnn dri, ( ) R! Q c " EF() FQc + Qc Q # Qc $ % & (3) bulunur. E!.(5) in bklnn drinind E!.(3) konularak C() nin bklnn dri ld dilir: + ( ) EC() NC kal EF()

7 Y. Gnçürk, T. Sözr / saisikçilr Drgisi (9) ( ) R! Q c " NC + k AL F Q c + Qc Q # Qc $ % & (4) E!.(9) da F olarak alndnda s () (s) olduundan, s F() Q R () (s) () (r) s r F() Q Q R (5) s r olarak ld dilir. F() nin ikinci drcdn mrkzsl olmayan momninin bulunabilmsi için, E () (s) ( () (r) Var () (s) ( () (r) () s) +() (r) [ + ] + [ + ] E, r,s,,..., (6) hsaplanmas grkmkdir. r > s ikn () (s) + () (r) (r) (s) + [ () (r)] olduundan E!.(6) daki varyans rimi, [ + ] + ( ) Var [ (r) (s)] + 4Var [ () (r) ] + 4Cov [ (r) (s), () (r) ] Var () (s) () (r) Var (r) (s) () (r) (7) biçimind ifad dilbilir. r s Cov (r) (s), () (r) olduundan E!.(7), > > ' için Var () (s) + () (r) (r s) (r s ) + 4( r) 8( r ) 4 3 ( r) + ( s) 3( r) + ( s) 3 H(,r,s) (8) olarak ld dilir. E!.(6) da E [ () (s) + () (r)] ( s) + ( r) olduu için E!.(6),

8 Y. Gnçürk, T. Sözr / saisikçilr Drgisi (9) (s) + (r) + H(,r,s) () (s) +() (r) E! "! 3 " (s)# + $ (r)# + 3 $ % & % & 3 s r ( ) * (9) biçimini alr. Burada + (, ) v 3 * biçiminddir. r s için H(,r,s) 4Var [ () (s)] olduundan E!.(6), ( () (s) E (s) + Var () (s)! "! 3 " (s)# + + (s) $ # $ % & % & ( ) s () * () olarak ld dilir. E!.(5) in bklnn drind E!.(9) v E!.() yrin konulursa F() nin ikinci drcdn mrkzsl olmayan momni, E F() E Q Q R () (s) () (r) s r s r R R + Q r s r () (s) +() (r) (s) (( () (s)) Q Q E Q E r s Q s *( () () () Q( Q ) Q R Q ( Q ) Q Q ( ( () Q R * Q ()( Q ( ) ) + Q ( Q ()) ) ) Q ) () ld dilir. Yarm girilri MA() modlin uyduu varsayldnda E!.(3) v E!() dn F() nin varyans:

9 Y. Gnçürk, T. Sözr / saisikçilr Drgisi (9) R *( VarF() Q () Q ( ) Q Q Q ( ()( ()) ( )( ) ( ) R *( R * Q Q ( Q ) Q Q ( ) () ( ) ( Q c ) ( Qc ) ( )! + Q c " F Q c R # $ ( ) ( ) ( ) ) + () ( ) Q Q Q Q Q F Q c R c % Qc & () olarak bulunur. + için F() v C() nin varyans, lim Var F() R *( Q() R * () R ( + ( Q () ( Q ()) ( Q ()) ( Q () (3) + lim+ Var C() k lim+ Var F() (4) biçiminddir. Q( < v * m, Q () < olduunda lim+ Var F() yaknsakr. Bu durumda opimal amorisman sürsi! " # () $ v( ()) % & * m < m ln, v # $ + i (5)!isizliini salar. E!.(5) d m, amorisman sürsinin olas maksimum drini gösrmkdir [7]. E!.(), E!.(8) d yrin konularak yarm girilri MA() modlin uyduu varsayldnda prformans kriri,

10 Y. Gnçürk, T. Sözr / saisikçilr Drgisi (9) *( ) *( ) R w Q R wq R * () w F J ( k + ) + ( w )( wq ()) ( wq c ) R c + w ( Qc ) wqc wq c F R c w Q ( wqc )( wq c ) ( Q( )( w )( wq ()) ( Q( )( w( Q)( w( Q )) (6) biçimind ld dilir. * E!.(6) y minimum yapan k dri ( k ) hsaplandkan sonra opimal amorisman sürsi * m, * * ln( d / k ) i m,d ln( + i) + i (7) bulunur. 5. Opimal amorisman sürsinin olas' maksimum d)rlrinin hsaplanmas' Bölüm 4 d blirildii gibi, + için F() v C() nin varyanslarnn limii yaknsakr v opimal amorisman sürsi E!.(5) il vriln!isizlii salamakadr. >. için ()<!isizlii salanmadndan nin ngaif drlri için olas maksimum amorisman sürsi hsaplanm!r. i, v nin farkl kombinasyonlar için hsaplanan olas maksimum amorisman sürlri Çizlg d vrilmi!ir. Çizlg. Yarm girilri MA() modlin uyduunda i, hsaplanan olas maksimum amorisman sürsi v nin farkl kombinasyonlar için i % i 3 %

11 Y. Gnçürk, T. Sözr / saisikçilr Drgisi (9) Çizlg dn hrhangi bir için yarm girisinin varyans v bklnn yarm girisi i arkça olas maksimum amorisman sürsinin azald v nin dri arkça olas maksimum amorisman sürsinin ar söylnir. Bklnn yarm girisi arnda, fonlanmam! yükümlülük azalacandan amorisman sürsinin azalmas bklnn bir sonuçur. Bunun yansra, yüksk girili yarmda yarm girisinin di!knlii d yüksk olacandan fonlanmam! yükümlülük dolaysyla amorisman sürsi azalr. 6. Prformans kririni minimum yapan opimal amorisman sürsinin blirlnmsi Bu bölümd yarm girilrinin MA() modlin uyumlu olmas halind E!.(6) da vriln prformans kririni minimum yapan k blirlndikn sonra E!.(7) dn opimal amorisman sürsi hsaplanm!; opimal amorisman sürsinin modl paramrsi v bklnn giri oranndaki di!iklikn nasl kilndii ara!rlm!r.,.,.5,.8,,.7,.5,.3,. v i. için hsaplanan opimal amorisman sürlri Çizlg d, i.3 için hsaplanan opimal amorisman sürlri is Çizlg 3 d vrilmi!ir. Çizlg. Bklnn giri oran i. v. N için hsaplanan opimal amorisman sürsi Çizlg inclndiind hrhangi bir için modl paramrsi il opimal amorisman sürsinin v hrhangi bir,.3 için il opimal amorisman sürsinin doru oranl olduu,. için opimal amorisman sürsinin, daki di!imdn kilnmdii v E!.(5) dn hsaplanan olas maksimum amorisman sürsin!i olduu, arkça opimal amorisman sürsindki di!imin azald söylnbilir. için hsaplanan opimal amorisman sürsi, Çizlg d vriln amorisman sürsinin olas maksimum drin!i olduu görülmkdir. Çizlg 3. Bklnn giri oran i.3 v. N için hsaplanan opimal amorisman sürsi Bklnn yarm girisindki ar! fonlanmam! yükümlülüün azalmasna ndn olacandan hrhangi bir anda oraya çkan fon fazlas ya da açnn daha ksa sürd amoriz dilmsi bklnilir. Çizlg v

12 Y. Gnçürk, T. Sözr / saisikçilr Drgisi (9) Çizlg 3 dki sonuçlar kar!la!rldnda bklnn yarm girisindki ar!n opimal amorisman sürsind azal!a ndn olduu görülmkdir. 7. Sonuç Bu çal!mada, kak oran riski il yükümlülüklrin yrin girilmm riskinin minimum olmas için i!vrnin konrolü alndaki önmli paramrlrdn biri olan amorisman sürsinin blirlnmsi amaçlanm!r. Bu amaçla kak oran riski il yükümlülüklrin yrin girilmm riskininin arlkl oralamasndan olu!an prformans ölçüünü minimum yapan sür blirlnmi! v ld diln sonuçlar kar!la!rlm!r. Yarm girilrinin MA() modlin uyduu varsayldnda kak oran riski il yükümlülüklrin yrin girilmm riskininin arlkl oralamasndan olu!an prformans kririn ili!kin!ilik ld dildikn sonra, bu kriri minimum yapan amorisman sürsi blirlnmi!; opimal amorisman sürsinin modl paramrsinin ald dr il bklnn giri oranndaki di!ikliklrdn nasl kilndii ara!rlm!r. Bklnn yarm girisindki ar!n opimal amorisman sürsind azal!a ndn olduu, yarm girisinin varyans arkça opimal amorisman sürsinin azald v modl paramrsinin dri arkça opimal amorisman sürsinin ar görülmü!ür. Yarm girilri baml olduundan, mklilik fonu hangi yarm aracna yarlrsa o yarm aracnn gçmi! yllardaki giri oranlar inclnrk uygun zaman srisi modli blirlndikn sonra, opimal amorisman sürsinin blirlnmsi grkir. Kaynaklar [] G. Kingsland, (98), Combining Financial and Acuarial Risk: Simulaion Analysis, Journal of Financ 37, pp [] G.E. Box, G.M. Jnkins, (976), Tim Sris Analysis Forcasing and Conrol, Holdn-Day. [3] J-F. Boulir, E.Trussan, D. Florns, (995), A Dynamic Modl for Pnsion Funds Managmn, Procding of 5 h AFIR Inrnaional Colloquium, pp [4] J-F. Ricardo, J.P. Rincon-Zaparo, (), Minimizaion of Risks in Pnsion Funding by Mans of Conribuion and Porfolio Slcion, Insuranc: Mahmaics and Economics 9, pp [5] M.I. Owadally, S. Habrman, (999), Pnsion Fund Dynamics and Gains and Losss Du o Random Ras of Rurn. Norh Amrican Acuarial Journal 3, [6] S. Habrman, Z. Bu, C. Mgaloudi, (), Conribuion and Solvncy Risk in a Dfind Bnfi Pnsion Schm. Insuranc: Mahmaics and Economics 7, [7] S. Habrman, L.Y.P. Wong, (997), Moving Avrag Ras of Rurn and h Variabiliy of Pnsion Conribuions and Fund Lvls for a Dfind Bnfi Pnsion Schm. Insuranc:Mahmaics and Economics, [8] S. Habrman, (994), Pnsion Funding Modlling and Sochasic Invsmn Rurns. AcuarialRsarch Papr No. 6, Ciy Univrsiy, London, UK.