Yrd. Doç. Dr. Coşkun YAKAR 2.BÖLÜM. LİMİT ve SÜREKLİLİK

Transkript

1 .ÖLÜM LİMİT ve SÜREKLİLİK.1. Limit: Analizin temelinde yatan birçok fikirler yada dallar aşağıda verilen üç problemin bir ürünüdür. unlar sırasi ile: Tanjant Doğrusu Problemi: Verilen bir fonksiyon 0 ve üzerindeki bir nokta TÐ! ßC! noktasına teğet olan doğrunun denkleminin bulunması problemi. u problemin çözümü diferansiyel analizi yada hesaplamayı doğurur. C düzleminde 0 fonksiyonunun grafiği üzerinde T noktasından başka bir noktada U noktası olsun, buna göre T ile Unoktaları arasındaki doğrulara eğrinin T noktasındaki secant doğruları denir. Eğer U noktasını eğri üzerinde T' ye doğru hareket ettirirsek, sonuç olarak secant doğrusu bir it pozisyonunda teğet olan doğruya dönecektir. u it pozisyonundaki doğruyu biz T noktasındaki tanjant doğrusu olarak düşünüp öyle ele alacağız. Alan Problemi: Verilen bir fonksiyon 0 olsun, 0 fonksiyonu ile - ekseni üzerindeki bir Ò+ß,Ó doğru parçası arasında kalan alanı bulunuz. Şekil: irçok düzlem bölgelerin alanları doğrularla sınırlıdır, alan daha küçük dikdörtgenlere yada üçgenlere bölünerek ve daha sonrada bunların toplanması ile elde edilebilir. (şekil:). Fakat sınırlandırılmış alan doğrusal olmayıp bir eğri tarafından sınırlandırılmış ise örneğin aşağıdaki gibi bir bölge ise daha genel bir yaklaşım gereklidir. u yaklaşımlardan bir tanesi eğri altında kalan eşit genişlikteki dikdörtgenlerle -şekilde olduğu gibi-, eğer bu dikdörtgenlerin sayısını arttırırsak eğri ile sınırlandırılmış bölgeye daha da yaklaşmış oluruz ve dikdörtgenler, eğri ile dikdörtgenler arasındaki boşluğu doldurmaya yaklaşırlar. u yaklaşımlar gitgide eğri altındaki alana yakınsarlar. u bize eğri altında kalan alanı bu yaklaşımların it değeri olarak tanımlamamızı öngörür. Anlık Hiz Problemi: Yer ve zaman grafiği verilen bir parçacık bir koordinat doğrusu boyunca hareket ediyor, parçacığın herhangi belirtilmiş bir anındaki hızını bulunuz. 37

2 Eğer bir parçacık bir = -yol ekseni boyunca hareket ediyorsa, onun ortalama hızı Z 9<> ; >! dan > zaman aralığı boyunca şöyle tanımlanır:! Z Þ 9<>? = ==? > > >! urada =! ve =, >! dan > zaman aralığı süresince alınmış yoldur. Geometrik olarak ortalama hız ÐZ9<> parçacığın yer-zaman grafiğinin Ð>! ß =! ve Ð> ß = noktalarından geçen secant doğrusunun eğimidir. iz parçacığın >! anındaki anlık hızını bulmaya çalışıyoruz, buna göre yer değişimi ve zaman değişimi sıfırdır. Fakat yeterince küçük zaman aralığında, parçacığın hızı o kadar değişmez; bu yüzden >>! anındaki anlık hızı ile ortalama hız arasındaki fark o kadar büyük olmaz, >> dan >> anına kadar, ancak! zaman aralığı küçük olmalıdır. u bize Z ile anlık hız Z ' ye yaklaşabilecegimizi gösterir. Yani: 9<> +83! Z Z Þ +83 9<> == >>! una ek olarak >, >!'a daha yakın oldukca daha iyi bir yaklaşım elde ederiz. Fakat, >ß> ' ye yaklaştıkça, secant doğrusunun eğimi, tanjant doğrusunun >>! noktasındaki eğimine yaklaşacak; ve biz Z +83 hızı > >! noktasındaki tanjant doğrusunun eğimi olarak tanımlayacağız. u tanjant doğrusu =@ - grafiğinin >>! noktasındaki teğet doğrusudur. urada it konusunun nasıl tanjant doğrusu, alan ve ani hız problemlerine uygulandığını gördük, şimdi direk olarak it konusuna konsantre olalım. Limit konusunun en temel kullanımı; bağımsız değişkenin verilen bir değere yaklaştığında fonksiyonun nasıl davrandığını tanımlama yöntemidir. Şimdi 0Ð $ fonksiyonunun davranışına,! a yaklaşırken bakalım: Grafik ve tablo gösterir ki: sağdan yada soldan,!' + yaklaşırken 0Ð de ' ye yaklaşır. unun anlamı ' i sıfıra yeterince yaklaştırdığımızda 0Ð de ' ye istediğimiz kadar yaklaşır. iz bunu şöyle ifade edebiliriz: ' $ in iti sıfır + soldan yada sağdan yaklaşırken' dir ve şöyle yazarız: Ä! Ð $ 38

3 iz burada 0 ' nin! civarındaki değerleri ile ilgilendik, fakat! noktasındaki değerlerini ele almadık. Tanım (Limit): 0Ðdeğerleri P sayısına istediğimiz kadar yakınyapabiliriz öyleki ne zaman yeterince + sayısına yakın ise, ve şöyle yazarız. Ä+ 0Ð Pß Ä + için 0Ð Ä PÞ a! için b $ $ ab! öyle ki! ± + ± $ olduğunda ± 0ÐP ± olsun.! È! Örnek: Verilen 0Ð fonksiyonu! noktasında belirsizlik şekline sahip olup È olduğunu gösteriniz. Ä! È Ä! È Ä! Ä! Ð ÐÈ ß Á! È!. unu ise sıfıra sağdan yada soldan yaklaşırken È Ä ile de gösterilebilirþ =38!! Örnek: Verilen 0Ð fonksiyonu! noktasında belirsizlik şekline =38 =38 Ä! sahip olup Þ Ve sıfıra yaklaşırken Ä ile gösterilir. Tanım (Tek Taraflı Limitler): Ne zaman yeterince + ' ya yakın Ð fakat + ' dan büyük ise 0Ð fonksiyonu istediğimiz kadar Psayısına yakın yapılabilir ve şöyle yazılır: ÐÞ 0Ð P + Þ (sağdan it) Ä+ a! için b $ $ ab! öyle ki + $ + olduğunda ± 0ÐP ± olsun. enzer olarak; ne zaman yeterince + ' ya yakın Ð fakat + ' dan küçükise 0Ð fonksiyonu istediğimiz kadar P sayısına yakın yapılabilir ve şöyle yazılır: 39

4 ÐÞ 0Ð P + (soldan it) Ä+ a! için b $ $ ab! öyle ki +$ + olduğunda ± 0ÐP ± olsun. ÐÞ ve ÐÞ ' ye tek taraflı itler denir ve şöyle gösterilir: Ä+! Ä+! için 0Ð Ä P için 0Ð Ä P. Örnek: Kabul ede ki 0Ð ll ß ß!! olsun. una göre ve Ä! ll ll Ä! Ä!! Ä! Þ Ä!! Ä! Tek ve İki Taraftan Limitler: Eğer Ä+ ( ß+ ' ya yaklaşırken) 0Ð fonksiyonu tek bir değere yaklaşmıyorsa (yakınsamıyorsa) + ( ß + ' ya yaklaşırken) iti yoktur denir. Örneğin: 0Ðfoksiyonunun Ä Ä! ll ll Ä! ve olduğundan ll Ä! değeri mevcut değildir. NOT: Eğer 0Ð ve 0Ð mevcut ve eşit ise Ä+ iken 0Ð Ä! fonksiyonunun iti vardır. Ä! Örnek: Eğer varsa tek ve iki taraftan itleri 0 noktasında bulunuz. =38Ð ß! 0Ð 0Ð 0Ð $ $ß! it mevcut değildir. Çünkü; Ä!! Ä!! olduğundan Ä! 0ÐÁ$ 0ÐÞ Ä! 40

5 Örnek: Eğer varsa tek ve iki taraftan itleri bulunuz 0Ð 0Ð 0Ð 0Ð Ä+ Ä+ 0Ð 0Ð Ä+ Ä+ Ä+ Ä+ Ê 0Ð Ê 0Ð Ê 0Ð Ä+ Ä+ Ä+ Sürekliliğe İlk akış: Düzlemsel eğriler ikiye ayrılır, bunlardan birincisi: eğri sıçrama yapmıştır yada noktada tanımsızdır, ikincisi ise: eğri ne sıçrama yapmış nede herhangi bir noktasında tanımsız da olmamıştır. una göre bir eğride sıçrama yada herhangi bir noktada tanımsızlık var ise bu tip eğrilere süreksizdir denir. Eğer eğri süreksiz değil ise bu tip eğrilerede sürekli eğriler denir. Verilen son iki örnek bir fonksiyonun grafiğinin sürekli olmasının ne anlama geldiğini açıklayan yararlı bir bakıştır. Verilen altı fonksiyondan, ikinci örneğin birinci grafiği hariç diğerlerinin hepsinde + noktasında kırılma (sıçrama) yada en az bir noktasında boşluk vardır. irinci örnekteki fonksiyonların grafiklerinde + noktasında soldan ve sağdan (bir taraftan it) itleri farklıdır. u tip kırılmalara yada süreksizliklere sıçrama süreksizliği denir. İkinci örnekteki son iki grafikte fonksiyonun + noktasındaki değeri fonksiyonların o noktadaki iki taraflı (soldan ve sağdan) itleri ile çakışmıyor. Üçüncü fonksiyonun grafiğinde bu fonksiyon basitce + noktasında tanımlanmamıştır. İkinci fonksiyonda + noktasında fonksiyon 0Ð+ şeklinde tanımlanmış fakat değeri, itin değerinden farklıdır. O noktada fonksiyonun değeri fonksiyonun ana grafiğinden ayrılıp yer değiştirmiştir. Eğer fonksiyondaki kırılma, boşluk yada noktanın yer değiştirmesinden dolayı oluyorsa bu tip süreksizliklere giderilebilir süreksizlik (kaldırılabilir süreksizlik) denir. irinci fonksiyonun grafiği + noktasında süreklidir çünkü 0 fonksiyonunun + noktasındaki değeri fonksiyonun + ' ya yaklaşırken soldan ve sağdan itlerine eşittir. undan dolayı grafikte ne boşluk nede sıçrama vardır. ütün bunlar bize bir fonksiyonun bir noktada süreksiz olmaması için aşağıda verilen üç koşulün sağlanmasını gerektirir (tavsiye eder). unlar; - Fonksiyon noktada tanımlı olmak zorundadır. - Soldan ve sağdan itler var olmalıdırlar. 41

6 $- Fonksiyonun o noktadaki değeri ile soldan ve sağdan itleri aynı olmalıdır. $Þ 0Ð+ olmalıdır. $Þ 0Ð ve 0Ð var ise 0Ð vardır. Ä+ Ä+ Ä+ $Þ$ 0Ð+ 0ÐÞ Ä+ SONSUZ LİMİTLER VE DİK ASİMTOTLAR: azen tek taraflı itler yada it var olmayabilir; çünkü fonksiyonlar sınırsız olarak artarlar yada azalırlar. Örneğin 0Ð fonksiyonunun ß sıfır' a yaklaşırken davranışı : u fonksiyonun grafiğini inceleyerek: Ä! iken 0Ð fonksiyonu pozitif ve belirsiz olarak artarß Ä! iken 0Ð fonksiyonu negatif ve belirsiz olarak azalır. iz bu it davranışını şöyle yazarak gösteririz: Ä! _ ve Ä! _Þ Sonsuz Limitler: Eğer 0Ð fonksiyonunun değeri ß + 'ya soldan yada sağdan yaklaşırken belirsiz olarak artıyor ise Ä+ _ ve Ä+ _Þ ve Ä+ ve Ä+ yaklaşırken 0Ðsınırsız olarak artar diyebiliriz. Sonuç olarak _ ve _ olduğundan _Þ Ä+ a+ b Ä+ a+ b Ä+ enzer olarak Ä+ ve Ä+ yaklaşırken 0Ðbelirsiz olarak azalıyorsa _ ve _ olduğundan _ ve Ä! Ä! Ä+ 0Ð fonksiyonuna sınırsız olarak artıyor denir. ÖRNEK : f fonksiyonunun x = a civarındaki itlerini uygun it notasyonu kullanarak bulunuz. a) f ( x ) = + 4

7 Ä+ + _ bu yüzden x Ä a 0Ð sınırsız olarak artıyor. Ä+ + _ x Ä a 0 Ð fonksiyonu sınırsız olarak azalıyor. b) 0Ð Ð+ Ð+ _ Ä+ Ð+ _ Ä+ olduğundan Ð+ _ oup Ä + 0Ðfonksiyonu Ä+ sınırsız olarak artıyor. c) 0Ð + Ä+ 0Ð Ä _ Ä+ 0Ð Ä _ Ä+ için 0sınırsız olarak azalandır. Ä+ için 0sınırsız olarak artandır. d) 0Ð Ð+ Ä+ yani Ä+ iken 0Ð Ä _ Ð+ _ Ä+ yani Ä+ iken 0Ð Ä _ Ð+ _ 43

8 Sonuç olarak Ä+ Ð+ _ + 'ya yaklaşırken 0Ð Ð+ fonksiyonu sınırsız olarak azalıyor. Ne zaman Ä+ yada Ä+ yaklaşırken 0Ð _ Ä+ ise C0Ðfonksiyonu Ceksenine paralel olarak + doğrusuna yaklaşır. enzer olarak Ä+ yada Ä+ yaklaşırken Ä+ olarak 0Ð _ ise C 0Ð fonksiyonu Ceksenine paralel + doğrusuna yaklaşır. Dikey Asimptot ( nonintersecting = kesişmezlik ) Ä+ yada Ä+ için 0ÐÄ _ yada 0ÐÄ _ oluyorsa + doğrusuna dikey asimptot denir. Örnek : Tanıma göre 0Ð fonksiyonun dikey asimptotu! doğrusu yada Ceksenidir. Cünkü Ä! iken 0ÐÄ _ ve Ä! 0ÐÄ _ dur. Yatay Asimptot sınırsız olarak arttığında 0Ðfonksiyonu bir Psayısına yaklaşıyorsa biz 0Ð P yazarız. Ä_ sınırsız olarak azaldığında 0Ð fonksiyonu bir Psayısına yaklaşıyorsa CP 0Ð P Ä_ yazar ve doğrusuna C0Ðfonksiyonunun yatay asimptotu deriz.! & Örnek : 0Ð! & Þ fonksiyonu için C! yatay asimptote ve! dikey asimptotdur. Çünkü! & Ä_ Ä_ Ð! &Þ! ve! & Ä0 Ä! Ð! &Þ _ Ä!! & _ 44

9 SONSUZLUKTA SONSUZ LİMİTLER Eğer Ä _ veya Ä _ için 0Ðfonksiyonunun değerleri sınırsız olarak artıyor ise 0Ð _ yada 0Ð _ Ä_ olarak yazılır. Ä_ Eğer Ä _ veya Ä _ için 0Ðfonksiyonunun değerleri sınırsız olarak azalıyor ise 0Ð _ yada 0Ð _ Ä_ olarak yazılır. Ä_ Örnek : C $ $ fonksiyonunu ve C nerede sınırsız olarak artan ve azalan olduklarını bulalım. fonksiyonunu alıp bu fonksiyonların Ä_ Ä_ $ $ _ 0 ß (Sınırsız olarak artar.) _ 0 á (Sınırsız olarak azalır.) Ä_ Ä_ $ _ Ä _ için 0 ß (Sınırsız olarak artar.) $ _ Ä _ için 0 á (Sınırsız olarak azalır.) Örnek : CÐ sinð ve CÐ cosð olarak artarken ve azalırken nedir? fonksiyonlarının itleri sınırsız u fonksiyonlar ve arasında salınım hareketi yaptıkları için Ä _ ve Ä _için fonksiyonların belli bir değeri olmayıp devamlı değişmektedirler. u fonksiyonlar belli bir sabit değere yakınsamazlar. undan dolayı sinðß cosð itleri yoktur. Ä _ LİMİT TEOREMLERİ : Teorem : Kabul ede ki à ß ß ß yada itlerinden herhangi birini temsil etsin. Ä+ Ä+ Ä+ Ä_ Ä_ 45

10 Eğer 0Ð 1Ð P mevcut ise, o zaman (a) Ò0Ð 1ÐÓ 0Ð 1Ð P P Toplamın iti ; Limitlerin toplamına eşittir. (b) Ò0Ð 1ÐÓ 0Ð 1Ð P P Farkın iti ; Limitlerin farkına eşittir. (c) Ò0Ð. 1ÐÓ Ò0ÐÓ Þ Ò 1ÐÓ P Þ P Çarpımın iti ; Limitler çarpımına eşittir. 0Ð 0Ð P 1Ð 1Ð P (d) Ò Ó burada P Á 0 ve 1Ð Á! Kesrin iti ; Limitlerin kesrine eşittir (e) Ò0ÐÓ Ò0ÐÓ P m'inci kuvvetten bir fonksiyonun iti; itlerinin m'inci kuvvetine denktir. (f) È8 8 É È8 0Ð 0Ð P burada P! ve n çift veya P! ve 8tek olmak üzere 8'inci kökten bir fonksiyonun iti ; itin 8'inci köküne denktir. Teoremde (a) ve (c) de itlerin toplamı ve çarpımı iki fonksiyon için verilmesine rağmen sonlu sayıdaki fonksiyonların toplamı ve çarpımı içinde doğrudur. Eğer 0 Ð ß 0 Ðß ÞÞÞß 0 Ð ler varsa o zaman 8 Ò0 Ð 0 Ð ÞÞÞ 08 ÐÓ 0 Ð 0 Ð ÞÞÞ 08Ð ve Ò0 ÐÞ0 ÐÞ ÞÞÞ Þ08 ÐÓ 0 Ð Þ 0 Ð Þ ÞÞÞ Þ 08Ð Ek olarak eğer 0 0 ÞÞÞ 08 0ise 8 Ò0ÐÓ Ò 0ÐÓ Ð/ doğrudur Örnek : 55ß +ß + Ä+ Ä+ Ä+ 8 8 Ä+ 8 Ð Ä+ Ð+ + 8 Ä _ Ä _ Ð!! Not : 5 0Ð 5 Þ 0Ð 5 Þ P 46

11 sin sin Ä! Ä! Ä! Örnek : Ð / / Ä_ Ä_ Ä_ Örnek : Ð 68 Ð M8Ð _! _ TEOREM : Herhangi bir 8'inci dereceden polinom : 8Ð +! + + ÞÞÞ ve + herhangi bir reel sayı olsun buna 8 göre :Ð ÞÞÞ++ :Ð+ Ä+ 8! 8 8 İSPATI : Ò+! +ÞÞÞ+Ó 8 8 Ä+ + + ÞÞÞ +! 8 8 Ä+ Ä+ Ä+ 8 +! ++ÞÞÞ++ 8 :Ð+ 8 Örnek : Ð Þ Ð ' & Ä, $ $ Ä, 8 fonksiyonunun Ä_ veya Ä_ için iti Ä_ 8 _ ß 8ßß$ßÞÞÞise Ä_ 8 8ßß'ßÞÞÞ 8ß$ß&ßÞÞÞ Örnek : Cdoğrusu için C Ä_ Ä_ parabolü için Ä _ C $ eğrisi için Ä_ Ä_ Ä_ $ $ Polinomlarının Ä _ veya Ä _ için iti : Ð+ +ÞÞÞ+ Ð ÞÞÞ+a Ä _! Ä _ Ä _

12 Ä_ ) ( $ ) Ä_ Örnek : Ð) ( ) _ Örnek : Örnek : Ä_ $ & Ð! $ & & _ Ä_ $ &! Ä$!!! Ð! Ð!!! Ä!! Ä! Ð! Ä! $ Örnek :!! Ð Ä Ä Ä Örnek : Ð! Ð Ä &' Ä ÐÞÐ$ Ä $ Örnek : Örnek : Aşağıda verilen itleri bulunuz. (a) Ä& (c) Ð&Þ Ð Ä& Ð&ÞÐ _ (b) Ä& mevcut değil. Ð&ÞÐ _ + + ÞÞÞ+ + Ä _,, ÞÞÞ, 7! 7 Ä _, 77 Örnek :! , ß 8 7ise =18Ð, Þ _ß 8 7 ise 7!ß 8 7 ise 8 8 $ $ Ä_ & & Ä_ && Örnek : (a) (b)! $ Ä_ (c) KÖKLÜ LİMİTLER : & _ (d) Örnek : Ð Ð Ä_ È Ä_ $ Örnek : Ä_ & & & Ä_ É $ $ $ Ä_ É Ð ÞÐ$ ±±Þ É Þ É ÞÐ$ Ä_ Ð$ 48 $ Ä_!

13 É Ð Ä_ Ð$ Ä_ $ È( Ä_ È$ & Örnek : Þ É Ä_ Þ É$ ( & ±± É Ä_ ±± É$ ( & Þ É É Ð Ä_ Ð$ Ä_ ( & È$ ß Ÿ & ise Örnek : 0Ð È$ ß & ise 0Ð? Ä& 0Ð Ð Ä& Ä& 0Ð Ð È$ Ä& Ä& Ê 0Ð ve 0Ð& olup noktasında süreklidir. Ä& LİMİTİN $, CİNSİNDEN TANIMI : Şimdiye kadar fonksiyonların somut itleri ; değişkenin bir sayıya yaklaştığında fonksiyonel bağlantının da herhangi bir sayıya yaklaşmasını gördük. unu şimdi $, >0 sayılarıyla ifade edeceğiz. una göre 0Ð fonksiyonunu ele alalım burada f:ir Ä IR. Şimdi! civarında bakzı değerleri alıp 0Ð in alacağı değerlere bakalım. 0Ð!Þ***** eğer!.!!!! 0.1 3=/ 0Ð Þ 0Ð!Þ*** eğer!þ!!!þ! ise 0Ð Þ! 0Ð!Þ** eğer!þ!!þ!! ise 0Ð Þ!! 0Ð!Þ* eğer!þ!þ!!! ise0ð Þ!!! Görüldüğü için değişkeni! (sıfır) a yaklaştığında 0Ð ifadesi de sayısına yaklaşmaktadır. Yani 'ler 0'ın komşuluğunda bulunurken 0Ð lerde in civarında bulunmaktadır. Sıfırın bir komşuluğu Ð ß ise Ÿ 0Ð Ÿ Í ±0б Ÿ Í ± ± Ÿ Í ± ± Ÿ 49

14 una göre ' ler 0' ın komşuluğunda seçildiğinde 0Ð ler de 1' in komşuluğunda kalırlar. Eğer 0Ð olarak seçilirse ±+± $ Ê ±0б doğruluğunda şüphe yoktur. TANIM : ir 0 fonksiyonu 0 À E Ÿ Ä reel değerli bir fonksiyon olsun. Her! için, eğer! ±+± $ olduğunda ±0ÐP± kalacak şekilde bir $! sayısı bulunabiliyorsa ß+ ' ya yaklaştığında 0nin iti P dir denir ve 0Ð P Ä+ biçiminde gösterilir. a!ß ±+± $ Ê ±0ÐP± NOT : u tanım itin tanımı olup, sağ ve sol taraftan it ise benzer olarak sırası ile a!ß b $ $ Ð b + +$ Ê ± 0ÐP ± ve a!ß b$ $ Ð b +$ + Ê ±0ÐP± Örnek : Limitin tanımını kullanarak Ð olduğunu gösteriniz. Her! için ± 0 ± $ ise ±0б olacak şekilde $ $ Ð değerini bulmalıyız. una göre ±0б = ±Ð± ±± $ ve $ $ Ð seçersek a! için ± ± $ Ê ± 0Ð ± Ê Ð Ä! Örnek : Ð & olduğunu gösteriniz. Ä$ a! için b$ $ Ð ± $± $ Ê ±0б ±0б ±Ð&± ±'± ±±Þ±$± Ê ± $ ± $ Ê Ð & Ä$ Ä! Örnek : È!olduğunu gösteriniz. Ä! a!ß!!$ Ê ±0Ð!± ± È!± Ê Ê$ Ä! È! 50

15 Örnek : Èitinin mevcut olmadığını gösteriniz.( 0Ðtanımlı değil) Ä! NOLU SAYFALAR... TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ W38ß G9=ß >+8ß -9>ß =/-ve -=-gibi trigonometrik fonksiyonların türevlerini bulmak için, radyan olarak kabul edilecek ve aşağıdaki itlere ihtiyacımız olacaktır. unlar : =38-9= ve!þ W38ve G9= fonksiyonlarının türevleri ile işe başlayalım.. =38 Ð =38.Ò W38Ó.. =38 Þ -9= -9= Þ=38=38-9= -9= Þ=38-9= =38 Š -9= =38 Š =38 Þ =38 Þ! -9= Þ Ò W38Ó -9=Þ. enzer olarak.ò -9=Ó =38 olarak elde edilir. Geri kalan trigonometrik fonksiyonların türevleri ise sırası ile:..ò>+8 Ó >+8 =/-..Ò-9>Ó Ð-9> -=-..Ò=/- Ó =/-Þ>+8..Ò-=- Ó -=-Þ-9> u türevler trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkilerden elde edilir. unlar ; =38-9= >+8-9= ß -9> =38 ß -=- =38 ß =/- -9= Þ Örneğin >+8 'in türevi :.... =38-9=. Ò=38Ó=38.Ò-9=Ó. Ò>+8 Ó.Ò-9=Ó Ò-9=Ó -9= =38-9= -9= =/-..Ò >+8 Ó >+8 =/- ÖRNEK: 0Ð Ð Þ>+8 fonksiyonunun türevini bulunuz. 0 Ð Ð =/- Þ>+8 C =38.C -9=....C Ð-9=Þ. Ò=38Ó=38.Ò-9=Ó. Ð-9= ÖRNEK: Eğer ise, türevini bulunuz. 51

16 Ð-9=Þ-9==38=38-9=-9= =38 Ð-9= Ð-9= -9= Ð-9= -9= -9=.yol: =38 Ð-9= C À -9=. -9= =38 =38. =38-9=. ÖRNEK: CÐ =/- ise. =/- ¹ 1.C. C =/-Þ>+8ß =/-Þ >+8 >+8 =/- =/-Þ=/- >+8Þ=/-Þ>+8 =/- =/- >+8 =/- >+8.C È ¹ =/-Ð >+8 Ð Ð $ È =38 ÖDEV: 0Ð -9= 0Ð -9= 0Ð Ð -=- -=- =/- 0Ð >+8 0Ð >+8 0Ð =38-9= =38 =/- 0Ð-9==38 0Ð >+8 0Ð =38-9= 0Ð =38Þ-9= 0Ð >+8Þ-9> 0Ð =/-Þ-9= ÖRNEK: Kabul ede ki güneş 100 m yüksekliğindeki bir binanın üzerinden yükseliyor ve ) da güneşin yükselme açısı olsun. ) =45 olduğunda binanın gölgesinin uzunluğu ' deki değişim oranının ) ya bağlı olarak bulunuz.!!!! >+8 Ê >+8)!! -9>) Ð)!! -9>).. 1.)!!-=-Ð) Ê.) ¹ ) 1!!-=-Ð!! Ð È ÖRNEK: ir uçak 3800 mt yükseklikte yere paralel olarak uçuyor ve uçakla 1 kule arasındaki uzaklık = ise buna göre yolun ) 'ya bağlı değişim oranı ) ' olduğunda ne olur? $)!! =.=Ð). ) ) =Ð ' $)!! -=- ' -9> ' 1 È$ ' 1 1 ' azaldı, sin ) =Ð) $)!!Þ-=-Ð) ) $)!! Ð -=- -9> =Ð $)!!ÞÞ $)!! È$ Ðyani azalma var) Ä $)!! Ä $)!! È$ + rttı. 5

17 ÖRNEK: Dünyanın yarıçapı < '$() km ve uydu ile uydunun kontrol merkezine olan uzaklığı olsun. una göre 'nin )'ya bağlı değişim oranın ) $! olduğunda bulunuz. < -9=) =38) =r Ð-=-) >+8) Ê < -9>) < < -=-) =38 ) < =38) Ê <-=-) ß < -=-) <Þ-=-) Þ-9= ) < -9=)-=-) -9= ) < =38 ) < -=- ) < =38 ) < Ð =38 ) $ ÖRNEK: A >+8ve > > > ise.a.a. $.>. Þ.> Ð >+8 ÞÐ> $> $ $ =/- Ð> > >ÞÐ> $> ÖRNEK: $$ 0ÐÐ! À?! 0Ð? Ð? $$.0.0.? $ $ $$? Ð $$Ð! ÞÐ..?... ÖRNEK: Ð a. Ò=38Ð Ó Ð b.ò>+8ð Ó Ð c È -=- Ð d $ ' Ð >+8 Ð e... È =38Ð -9= Ð f eger =secèa> à A =,>... ÖRNEK: ÐEger a CE-9=ÐA>ise.C.>.C.> ACÞ ÐEger b C E=38Ð$> ise C =38Ð$>Þ ÖRNEK: C-9=Ð$fonksiyonunun 1 noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz. ZİNCİR KURALI : CŠ ß $ $ C=38Ð ß $Þ Problem : Kabul ede ki 0 ve 1 fonksiyonlarının diferansiyellenebilir iki fonksiyon olsunlar, o zaman Ð091Ð 0Ð1Ð 'in türevini nasıl bulabiliriz. C Ð091Ð 0Ð1Ð À? 1Ð Ê.C Ð1Ð 0Ð?..?.?. 0Ð? 1Ð.?. 1 Ð 53

18 ...?. 0Ð? 1Ð Teorem : 1Ð fonksiyonu noktasında diferansiyellenebilir ve 0Ð fonksiyonu 1Ð noktasında diferansiyellenebilir ise Ð091Ð fonksiyonu noktasında diferansiyellenebilir. urada ;.C.C.?..?. C0Ð1Ð ve?1ð ise C0Ð?olup Þ ÖRNEK : C$-9=Ð? ÊC$-9=Ð?.C.C.? $ $..?. $ =38Ð?Ð $ =38Ð Þ $ =38 Ð.C.0Ð?.?.? Eger C0Ð? Ê 0Ð?..?.. Örnek : Ä! È itinin mevcut olmadığını gösteriniz.( 0Ðtanımlı değildir) a!ßb$ $ Ð!!$! Ê ±0Ð!± ± ȱ $! Ê mevcut değildir. Örnek : $ & ( olduğunu gösteriniz. Ä a!ß$ Ð! ±± $ iken ±0ÐÐ(± ± 0Ð( ± ± $&( ± ± $ ± ±ÐÞб ±±Þ±± kabul ede ki ±± 5olsun buna göre ±0ÐÐ(± Ÿ ±±Þ±± Ÿ ±±Þ5 Ê ± ± 5 olarak seçersek bu bize Ð $ & ( Ä Örnek : & 'olduğunu gösteriniz. Ä a!ßb$ $ Ð! ±± $ Ê ±0Ð'± ±0Ð'± ± &'± ±'±Þ±± 5±± kabul ede ki ±'± 5 MVolsun buna göre ±± 5 $ Ð una göre $ Ð için a! ve $ için b ±± Ê ± &' ± Ê & ' Ä 54

19 TEOREM : 0ß1 Eve 0ß1 À E MV Ä MV birer fonksiyon ve a MVolsun. Eğer 0Ð ve 1Ð itleri var ise ; Ä+ Ä+ (i)! MViçin! Þ0Ð! Þ0Ð Ä+ Ä+ (ii) Ð0 1Ð 0Ð 1Ð Ä+ Ä+ Ä+ (iii) Ð0Ð Þ 1Ð 0Ð Þ 1Ð Ä+ Ä+ Ä+ 0Ð 0 Ä+ Ä+ 1 1Ð (iv) a E Ð Ð burada 1Ð Á! ve 1Ð Á! Ä+ olduklarını itin tanımını kullanarak ispat ediniz. Yukarıdakilerin ispatı birbirine oldukça benzediği için onlardan sadece birini verip diğerlerini alıştırma olarak bırakıyoruz. İspat : 0Ð P Ä+ ve 1Ð P Ä+ olsun a!ßb$ $ Ð!,! ±+± $ Ê ±0ÐP ± ve ± g ÐP ± una göre ± 0Ð+ 1Ð ÐP P ± ± 0Ð P 1Ð P ± Ÿ ± 0Ð P ± ± 1Ð P ± u ise Ð0 1Ð 0Ð 1Ð P P Ä+ Ä+ Ä+ Ä+ Tanım : Eğer bir 0Ðfonksiyonu bütün ler için sınırsız açık bir aralıkta pozitif yönde tanımlanmış olsun ve sınırsız olarak büyüdüğünde 0Ð lerde bir L sayısına yaklaşıyorsa : 0 nin x Ä _ için iti L'dir denir. Ve 0Ð P yazılır. Ä_ a!ß br! öyleki her R için ± 0Ð P ± Örnek : Ä_ olduğunu tanım kullanarak gösteriniz. a!ß br! her R için ± 0Ð P ± ± 0Ð ± ± ± ± ± ± ± ± ± Ê ve Ê eğer Q alırsak için ± ± u ise Ä_ ±± Tanım : Eğer bir 0Ð fonksiyonu bütün ler için sınırsız açık bir aralıkta negatif yönde tanımlanmış ve sınırsız olarak küçüldüğünde 0Ð lerde bir P sayısına yaklaşıyorlarsa : 0 nin x Ä _ için iti P dir denir ve 0Ð P Ä_ yazılır. 55

20 a! için br! her R için ± 0Ð P ± Örnek : Ä_!olduğunu it tanımını kullanarak ispatlayınız. 0Ð ve P!, verilen her! için Q! sayısını bulmalıyız.! kabul edebiliriz çünkü Ä _ undan dolayı ± 0Ð P ± Ê ±! ± Ê Ê ± ± ±± Ä_ Ä_ ve ve ß burada N= seçersek olur ve bu! olduğunu eğer R! seçersek bu da! olduğunu gösterir. Örnek : Ä_ È È _Þ Ä_ È È Ä_ È È Ä ±±ÞÒÐ ÈÓ È _ È Ä_ Þ ÐÉÐ È _ Tanım : ir 0 fonksiyonu + yı içeren bir açık aralıktaki ler için tanımlanmış olsun. Fakat 0Ð+ da tanımlı olmak zorunda olmasın. una göre ; 0Ð _ Ä+ aq!ß b$!! ±+± $ Ê0ÐQ Limitinin _ olması da benzer şekilde tanımlanır. Tanım : ir 0Ð fonksiyonu + yı içeren bir açık aralıktaki ler için tanımlanmış olsun. 0Ð in + da tanımlı olması gerekli değil. una göre; 0Ð _ Ä+ aq!ß b$!! ±+± $ Ê0ÐQ 0Ðsağlar. Not : Eğer Ä+ 0Ð _ ise aq!ß b$! ++$ Ê0ÐQ Eğer Ä+ 0Ð _ise aq!ß b$! + - $ + Ê0ÐQ 56

21 enzer şekilde _ için ; Ä+ 0Ð _ aq!ß b$! ++$ Ê0ÐQ Ä+ 0Ð _ Ê aq!ß b$! + - $ + Ê0ÐQ Örnek : Ä _ olduğunu gösteriniz aq!ß b$! $ Ê0Ð Q Q Ê Q burada eğer Q Q $ = seçersek Ê 0Ð Q Ä Ê _ Örnek : Ä _olduğunu gösteriniz. aq!ß b$! $ Ê0Ð Q Ê Q Ê Q $ Q Ê $ Q seçersek Ê0Ð Q Ê _ Ä una göre x Ä 0Ðfonksiyonunun iti yoktur. 0Ð Ödev : fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir. 0Ð _ ve 0Ð _ Ä_ Ä_ itlerinin matematiksel tanımlarını yazınız. Şimdi bilinen itler yardımı ile bazı fonksiyonların itlerini kolayca hesaplamaya yarayan önemli bir teoremi ve bu teoremin ispatını vere Teorem : (Squeezing, Sıkıştırma, Sandviç Teoremi ) Kabul ede ki 0ß1@/ fonksiyonları 1Ð Ÿ 0Ð Ÿ Ð eşitsizliğini - yi kapsayan lerin bir açık aralığı için sağlasın, - için sağlamak zorunda olmasın. Eğer x Ä c için 1 ve fonksiyonlarının itleri aynı ise yani 1Ð Ð P ise Ä- Ä- o zaman x Ä c için 0 de aynı ite sahiptir, yani 0Ð P dir. 57 Ä-

22 İspat : 1Ð P Ä- ve Ð P Ä- olduğundan 1Ð 0Ð Ð için 0Ð P olduğunu göstermeliyiz ; bunun için Äa! için b$!ß öyleki ± - ± $ için ± 0ÐP ± Â olmalı yani ±0ÐP± = ± 0Ð 1Ð 1Ð P ± Ÿ ± Ð 1Ð 1Ð P ± Ÿ ± ÐP ± ± 1ÐP ± ± 1ÐP ± ± 0 1 ± Ÿ ± 1 ± Á ± P1P ± Ÿ ± P ± ± 1P ± Ÿ $ $ $ Çünkü a! için b$!ß öyleki ± - ± $ için ± 0Ð P ± ve ± hð P ± $ $ u da 0Ð PÞu ispat tek taraflı itler (sağ ve sol itler)için de doğrudur. Ä- Örnek : Þ =38 À ± Þ =38 ± Ÿ ± ± Þ ± =38 ± Ÿ ± ± Ä! Ÿ Þ =38 Ÿ Ê Þ =38! Ä! Ä! Ä! =38-9= Ä! Ä! Teorem : (a) (b)! C =38-9= C Dairenin kesmesinin alanı Çemberin Alanı D.K. Merkez Açısı Çemberin Merkez Açısı İspat : Ð (a) E ) 1< 1 Ê E < ) iz bu ispatı radyan için vereceğiz ve! yarıçapı ve merkezi açısı olan daire kesmesinin alanı E < ) Þ Þ ve bu daire kesmesinin alanı iki üçgen arasında olup bunların alanları küçükten büyüğe =38 >+8 ve Þ u alanlar aşağıdaki şekilde de gösterilmiştir. 1 EÐ Ÿ EÐ Ÿ EÐ s SEG SEG SEF 58

23 Þ=38 >+8 Ÿ Þ Ÿ =38ŸŸ>+8 Ÿ =38 Ÿ -9= ifadelerinin tersini alıp, eşitsizliğin yönünü değiştirirsek, buna göre =38-9= şimdi Sandvic teoremini(squeezing Theorem) kullanarak -9= olup bu da Ä! Ä! Ä! olduğunu gösterir. İspat : =38 (b) 'nin ispatı için biz (a) ' daki iti kullanacağız. una göre Örnek : (a) Ð Ð Þ Ä! -9= -9= -9= Ä! -9= -9= =38 =38 Ä! Þ Ð-9= Ä! Ä! -9=! Þ Þ! >+8 =38 Ä! Ä! -9= Þ Ð Þ Ð $=38Ð1 1Þ=38Ð1 Ä! Ä! Ä! 1 (b) $Þ =38??Ä!? 1 $Þ $Þ à? Ä!?Ä! =38Ð+ Ä! =38Ð, (c) + Þ Ä!, Þ =38+ + =38,, Ödevler : = =38+ =38, Ä!, =38,,, Ä! + Ä!, + Þ Þ +, (1) >+8Ð () Ä_ =38-9= 59

24 (3) (4) Ä! =38 =38 Ä! =38) 1 ) Ä! -9=) Ä! -9=Ð (5) (6) >+ (7) (8) >Ä+ =38Ð+> Ä! -9=Ð (9) 0Ðfonksiyonunu! noktasında sürekli yapan 5değerlerini bulunuz. (i) 0Ð =38+ ß Á!Ð+ =+,3> 5 ß! >+85 ß! (ii) 0Ð $ 5 ß! (iii) 0Ð =38Ð5 ±± ß Á! ß! (10) Eşağıdaki itlerin gerekli dönüşümlerini yaparak bulunuz. Ä_ Ä_ (a) Þ=38 (b) ÞÐ-9=Ð 1-9=Ð1Î (d) Ä1 =38Ð Ä (c) =38Ð1 > (f) 1 Ä Ä > 1 (e) > 1 ÞÐ Örnek : Sandvic (Squeezing Theorem) teoremini kullanarak aşağıdaki itleri hesaplayınız. (i) Þ -9= Ð! (ii) Þ =38 Ð! Ä!! 1! 1 Ä! È $ 1 1 (iii) Ÿ0П-9= a Ð ß 0Ð Ä! =38Ð ) ) Ä! ) (11) (1) Þ=38 Ä! -9= Ä! (13) (14) Ð=38Ð5 Ä! Ä! (15) (16) Limitte elirsizlik Şekilleri : =38 È =38 Ð5 7 $=38 Ä_ 60

25 Aşağıda verilen itlerin belirsiz cinsini bulunuz. (i) Ð (ii) Ä! (iii) Î _ )! Ä$ $! =38=38! ÐÞ!!! (iv) Ä! Ä!! (v) Ð É ÈÈ Ä_ (vi) Ä_ Î! Î Ð& ( _ (vii) (viii) Ð! Ä ÎÐ _ Ä Süreklilik : Tanım : ir 0 fonksiyonu -noktasında süreklidir denir. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanırsa : (i) 0Ð-tanımlanmış (ii) 0Ð mevcut (iii) Ä- 0Ð 0Ð- Ä- Eğer bu koşullardan enaz biri sağlanmıyorsa 0Ðfonksiyonu - noktasında süreksizdir denir. 0Ð fonksiyonu Ð+ß, aralığındaki her için yukarıdaki koşulları sağlıyorsa 0 Ð+ß,üzerinde süreklidir, benzer olarak 0 Ð _ß _ aralığındaki a için yukarıdaki koşulları sağlıyorsa 0Ð fonksiyonu MV de süreklidir denir. Örnek : Aşağıdaki verilen fonksiyonların noktasındaki sürekliliğini araştırınız. 0Ð 1Ð ' Ð ' ß Á (ß 5Ð ' ß Á )ß Teorem : Polinomlar her yerde süreklidir. :Ð :Ð+ Ä+ Teorem : Eğer 0 ve 1 fonksiyonları - noktasında sürekli ise (i) Ð0 1 fonksiyonu - ' de (ii) Ð0 1 fonksiyonu - ' de 61

26 (iii) Ð0Þ1 fonksiyonu - ' de süreklidir. (iv) Ð0Î1 fonksiyonu - ' de süreklidir eğer 1Ð- Á! ve Ð0Î1 süreksizdir eğer 1Ð-!Þ İspat : (iv) eğer 1Ð-! ise 0Ð-Î1Ð- tanımsız olup Ð0Î1 süreksizdir. Eğer 1Ð- Á! ise 0Ð- 1Ð- olduğunu göstermeliyiz. 0 ve 1 - noktasında sürekli olduğundan 0Ð Ä 0Ð- ve 1Ð 1Ð- Ä- una göre 0Ð Ä- 1Ð olup Ð0Î1Ð - noktasında süreklidir. Diğer şıklarda okuyucuya alıştırma olarak bırakıldı. ileşke Fonksiyonların Sürekliliği Teorem : Kabul ede ki? 6373>6/<./8 ß ß ß ß ß birini temsil etsin. Eğer 1Ð P ve 0 fonksiyonu Pnoktasında sürekli ise 0Ð1Ð 0Ð1Ð 0ÐP Örnek : ± ± ± Ð ± Ä Ä ± Ð ± ± ( ± ( Not : ±±fonksiyonu her yerde sürekli olduğundan ± 1Ð ± ± 1Ð ± Teorem : (i) Eğer bir 1 fonksiyonu - noktasında sürekli ve 0 'de 1Ð- olsun, buna göre 091 'da - 'de süreklidir. süreklidir. (ii) Eğer 0 ve 1 fonksiyonları heryerde sürekli ise Ð091 'da heryerde Ä- 0Ð Ä- 0Ð 0Ð- 1Ð Ä- 1Ð 1Ð- Ä- Ä- Ä- Ä_ Ä_ İspat : Sadece (i)'nin ispatını vereceğiz. (ii) 'nin ispatı -nisabit olarak alınması ile elde edilir. una göre Ð091Ð Ð091Ð- olduğunu herhangi bir Ägöstermeliyiz. Ð091Ð 0Ð1Ð 0Ð1Ð Ä- Ä- Ä- 0Ð1Ð- 0Ð1Ð- Ð091Ð- Ä- 6

27 Not : Sürekli bir fonksiyonun mutlak değer fonksiyonu süreklidir. Örnek : 1Ð* heryerde sürekli olduğundan ±* ± süreklidir. de heryerde Soldan ve Sağdan Süreklilik : ir 0 fonksiyonunun grafiği Ò+ß,Ó aralığında aşağıdaki gibi verilmiş olsun. Ä, 0Ð 0Ð, Ê0 sağdan süreklidir. - 0ÐÁ0Ð+. Ä+ Ê0 =96.+8 süreksizdir. Tanım : ir 0 fonksiyonu Ò+ß,Ó kapalı aralığında süreklidir denir ancak aşağıdaki koşullar sağlanmalıdır. (i) 0Ð+ß,üzerinde sürekli. (ii) 0+ 'nın sağında sürekli. (iii) 0, 'nın solunda süreklidir. Örnek : 0Ð È fonksiyonunun ÒßÓ aralığında sürekli olduğunu gösteriniz. (i) c Ðßolsun buna göre 0Ð È* È*- Ä- Ä0Ð- 0ß Ð ß aralığında süreklidir. (ii) 0Ð È* È*- 0Ð- Ä Ä (iii) 0Ð È* È*- 0Ð- Ä Ä soldan ve sağdan süreklidir Ê 0ÒßÓ de süreklidir. Ortalama Değer Teoremi : 0 kapalı bir Ò+ß,Ó aralığında sürekli bir fonksiyon ve 5 Ð0Ð+ß 0Ð, aralığında herhangi bir sayı olsun. una göre 0Ð 5olacak şekilde en az bir Ò+ß,Ó vardır. Teorem : (olzano Teoremi) 0 fonksiyonu Ò+ß,Óüzerinde sürekli ve eğer 0Ð+ve 0Ð,sıfırdan farklı ve ters işaretli olsun, buna göre 0Ð! denkleminin en az bir çözümü Ð+ß, aralığındadır. 0Ð,! b Ð+ß, 0Ð! 63

28 İspat : 0Ð+ ve 0Ð, farklı işaretli olduğundan, 0 0Ð+ile 0Ð,arasındadır. Ortalama - Değer teoremine göre enaz bir Ð+ß, öyle ki 0Ð!Þ Fakat, 0Ð+ ve 0Ð,sıfır olmadığından, Ð+ß,olmalıdır. $ Örnek : 0Ð $ fonksiyonunun Ð!ß aralığında enaz bir kökü olduğunu gösteriniz. 0 Ò!ß Ó aralığında sürekli olup 0Ð! ß 0Ð olduğundan 0Ð! b Ð!ß! & $ 0Ð 0Ð ß0Ð & b Ðß 0Ð!Þ $ Örnek : 1Ð Tanjant (Teğet) Doğruları Ve Değişim Oranları C 0Ð eğrisi üzerinde iki ayrık nokta T ve Uolsun. TÐ! ß0Ð! ve UÐß0ÐÞ u noktadan geçen sekand doğrusunun eğimi 7 =/- 0Ð 0Ð!! ve denklemi C0Ð 7 Ð Þ! =/-! TÐß0Ðnoktasındaki tanjant (teğet) doğrusunun eğimi!! 7 7 >+8 =/- Ä Ä!! 0Ð 0Ð!! 0Ð 0Ð =/-! > >+8 Ä!! 0Ð 0Ð!! enzer şekilde yol - zaman grafiği verilen bir parçacığın hareketindeki ortalama hız ve anlık hız ise! Z Z 9<> +83 == = >> >! >Ä>! Örnek : C olsun buna göre == >>!! 64

29 (a) C 'deki ortalama değişim 'e bağlı olarak Ò$ß&Óaralığı üzerinde bulunuz (b) C'deki ani değişim oranını 'e bağlı olarak noktasında hesaplayınız (c) C ' deki ani değişim oranını 'e bağlı olarak! noktasında bulunuz (a) C 0Ð! $ß & 0Ð 0Ð! 0Ð&0Ð$ '! ' 7 ) =/- Ä! &$! una göre Ò$ß &Ó aralığında iken C ) birim artar 0Ð 0Ð >+8 Ä >+8! (b) 7 = 7! Ð Ä ÒÐ Ó Ä Ð! Ð ÞÐ Ä Ð Ä! (c) 7 = Türev : >+8 Ä 0Ð 0Ð Ä Ð!!!!!! = Ä Ä Ð! Þ Ð! Ð!!!! Ð Ä!!! Önceki bölümde noktasındaki eğimi C0Ðfonksiyonunun tanjant doğrusunun! 7 >+8 Ä! 0Ð 0Ð!! olarak verildi. Hesaplamada kolaylık olması sebebi ile yeni bir değişken! olarak tanımlayalım. uradan! ve bunun sonucu olarak Ä! iken Ä!. u yüzden 7 >+8 Ä! 0Ð 0Ð! 0Ð! 0Ð! =! Tanım : Eğer TÐ! ßC! noktası C 0Ðfonksiyonu üzerinde bir nokta ise C0Ðfonksiyonunun! noktasındaki tanjant doğrusu (teğet) nun eğimi 65

30 m >+8 0Ð 0Ð!! urada it mevcut olmalıdır. Eğer it mevcut değilse, C0Ð fonksiyonunun! noktasındaki tanjant (teğet) doğrusu yoktur. una göre TÐ! ßC! noktasından geçen ve C 0Ðfonksiyonunabu noktada teğet olan tanjant doğrusunun nokta - eğim denklemi aşağıda olduğu gibidir. CC 7 Ð! >+8! Örnek : C parabolüne Ðß $ noktasında teğet olan tanjant doğrusunun denklemini bulunuz. Öncelikle C parabolüne Ðß $ noktasında teğet olan doğrunun denklemini bulalım.! 0Ð! 0Ð! 0Ð 0Ð m >+8 Ð Ð Ð Ð Ð Doğrunun nokta - eğim formunu kullanarak CC 7 Ð ÊC ÞÐ! >+8! ÊC Eğer seçilirse m = 0 Ð! >+8 0Ð0Ð C0Ð fonksiyonunun herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimidir. Tanım : una göre C0Ðfonksiyonunun 'e göre türevi 0Ð0Ð 0Ð tanımlanır. 0 mevcut olduğu bütün ' leri içerir. tanım kümesi itin Not : 0 'nin türev fonksiyonu 0 : (i) C0Ðfonksiyonunun herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimi ; (ii) C0Ðfonksiyonunun noktasındaki C'nin 'e göre ani değişim oranıdır. 66

31 $ Örnek : (a) C fonksiyonunun 'e bağlı türevini tanımı kullanarak bulunuz. (b) 0Ð ve 0 Ð fonksiyonlarının grafiklerini aynı düzlemde çizip grafikler arasındaki ilişkiyi gösteriniz. 0Ð $ $ 0Ð 0Ð ÒÐ ÐÐ Ó = ÒÐ Ó ÒÐÐ ÐÞ Ó $ $ Ò Ó $ 0 Ð fonksiyonunun C 0Ð fonksiyonunun noktasındaki teğet doğrusunun eğimi ve 0Ð fonksiyonunun eğiminin pozitif olduğu yerlerde türev 0Ðfonksiyonu pozitif, negatif olduğu yerlerde türev 0Ðfonksiyon negatif. $ C0Ð fonksiyonunun tanjant (teğet) doğrularının yatay olduğu durumlarda türev fonksiyonu sıfır yani 0Ð!. Fonksiyon bu durumları sağlayan 'ler için extreme değerlerini alır. Örnek : (a) 0Ð È fonksiyonunun türevini 'e bağlı olarak bulunuz. (b) CÈ eğrisinin noktasındaki tanjant doğrusunun eğimini bulunuz. (c) 0Ð ve 0Ðitlerini bulunuz. u itler 0 Ä! Ä_ fonksiyonunun grafiği hakkında ne söyler. 0Ð0Ð (a) 0Ð È È ÈÈ È È (b) 0Ð (c)! ise 0 Ð!Þ C È pozitif eğime sahip. teğet doğrunun eğimi dikleşiyor ve yataylaşıyor. 0Ð + _ 0Ð! Ä! Diferansiyellenebilirlik : Ä_!! ir 0 fonksiyonunun noktasındaki türevi 0 Ð 0Ð! 0Ð 0Ð!! olarak tanımlamıştık. 67

32 Limitin olması için yani türevin mevcut olması için sol ve sağ it mevcut ve eşit olmalıdır. u itin mevcut olduğu noktalara : 0 noktaları itinin olmadığı noktalara da ; 0 noktaları denir. fonksiyonunun diferansiyellenebilir fonksiyonunun diferansiyellenemez Eğer bu 0 fonksiyonu Ð+ß, açık aralığındaki bütün noktalar için diferansiyellenebilir ise, o zaman 0 Ð+ß,üzerinde diferansiyellenebilir denir. enzer olarak Ð+ß _ßÐ_ß,ve Ð_ß _Þ0 fonksiyonu eğer Ð_ß _aralığında diferansiyellenebiliyorsa 0 fonksiyona heryerde diferansiyellenebilirdir denir. Geometrik olarak, 0 fonksiyonunun diferansiyellenebilir noktaları C 0Ð 'in tanjant (teğet) doğrularının olduğu noktalar ve diferansiyellenemez noktaları ise C0Ð eğrisinin teğet doğrularının olmadığı noktalardır. Genel olarak, 0 fonksiyonu köşelerde, dik eğimi olan noktalarda ve süreksiz olduğu noktalarda diferansiyellenemez. unlar sırası ile köşe eğimi dik doğru süreksizlik noktası _'a yaklaşıyor teğetin eğimi _ yaklaşıyor. Örnek : C0Ð ±± fonksiyonunun! diferansiyellenemediğini gösteriniz. noktasında 0Ð! Ä! 0Ð0Ð! 0Ð! 0Ð!! 0Ð0Ð! ±±±!± ±± 0 Ð! ±± 0 Ð! ve ±± 0 Ð! olup 0Ð! Á 0Ð! bu yüzden 0 Ð! mevcut olmayıpß C0Ð ±± fonksiyonu! noktasında diferansiyellenemez. süreklidir süreksizdir 0Ð ß! ß! Diferansiyellenebilirlik Ve Süreklilik 68

33 C0Ðfonksiyonu! süreksizlik noktalarında diferansiyellenemez çünkü o noktada bir tane teğet doğrusu yoktur. Aşağıdaki teorem gösterir ki C0Ð fonksiyonu diferansiyellenebilirse sürekli fakat tersi her zaman doğru değildir. (Eğer 0Ð - fonksiyonu sabit bir fonksiyonsa, süreklilik türevlenebilirliği gerektirir.) Teorem : Eğer C0Ðfonksiyonu! noktasında diferansiyellenebiliyorsa, C0Ð fonksiyonu! noktasında süreklidir. (diferansiyellenebilirlik = Süreklilik) İspat : C0Ðfonksiyonu! noktasında dif.lenebilir (diferansiyellenebiliyor) olsun buna göre 0Ð!! mevcuttur.! 0Ð 0Ð C0Ð fonksiyonunun sürekli olduğunu göstermek için 0Ð 0Ð olduğunu göstermeliyiz. Yani Ä!! Ò0Ð 0Ð Ó! Ä! olmalıdır. una göre ;! yada Ò0Ð 0Ð Ó!!! 0Ð 0Ð!!!! Ò0Ð 0Ð Ó Ò Þ Ó 0Ð 0Ð!!! Þ 0 Ð Þ! Ê Ò0Ð 0Ð Ó Ò0Ð 0Ð Ó!!!! Ä! Ê 0Ð 0Ð Þ u da 0Ð fonksiyonunun ' da sürekli Ä olduğunu gösterir.!!! 69

34 70