Parçacık Hızlandırıcılarında RF ve Güç

Transkript

1 Parçacık Hızlandırıcılarında RF ve Güç Prof. Dr. Ömer Yavaş Ankara Üniversitesi Fizik Mühendisliği Bölümü V. UPHDYO, , Bodrum 1

2 İçerik Radyo Frekans ( RF ) Enerji Kazanımı Maxwell Denklemleri l ve Dalga Denklemleri l Silindirik Oyuklar ve Dalga Kılavuzları Faz hızı - Dalga Hızı Cut-Off Frekansının Fiziksel Anlamı TM ve TE kipleri (Cavity Modes) Pill-Box Cavity TM 010 Kipi ( Duran Dalga Sistemi ) RF Kavite Parametreleri Kavite Devre Denkliği Kavitelerin RF ile beslenmesi Güç Referanslar 2

3 Elektromanyetik Spektrumda Radyo Frekans ın ( RF ) Yeri 3

4 r d p dt z Giriş Lorentz kuvveti uyarınca yüklü bir parçacığa hareketi doğrultusunda hız kazandırabilmesi için elektrik alana ihtiyaç duyulur. = r q E Bu elektrik alan iki nokta arasına uygulanan sabit potansiyel farkı ile elde edilebileceği ( elektro statik hızlandırıcılar ) gibi değişen ğ ş potansiyellerle üretilen EM dalgalarının elektrik alan bileşeni de kullanılabilir. İki nokta arasına uygulanan sabit potansiyel birkaç 10 MV ile sınırlı olmasından dolayı ( voltaj boşalması ) değişen alanlı hızlandırıcılara ihtiyaç duyulmuştur. z Elektrostatik hızlandırıcının şematik görünümü 4

5 Giriş Eğer bir önceki slayttaki elektrotların kutuplarına verilen gerilimin değişken bir kaynak tarafından sağlandığını düşünürsek elektrik alan boşluklarda yön değiştirecektir. Hiç bir zaman tek yönlü olmayacaktır. Bu sistem ilk olarak 1920 li yıllarda Wideroe tarafından keşfedilmiştir ve halen günümüzde kullanılmaktır. Değişen alanlı Wideroe h hızlandırıcısı şematik görünümü 5

6 RF Hızlandırıcı elektrik alanını oluşturan güç kaynağının salınma frekansının mertebesinde olması nedeni ile bu tip hızlandırıcılara RF hızlandırıcılar denir. Gerek halka tip büyük ölçekli hızlandırıcılarda gerek doğrusal hızlandırıcılarda hızlandırmanın yapıldığı yer doğrusal olacağından RF doğrusal hızlandırıcı ( RF Linear Accelerator RF Linac ) olarak adlandırılmışlardır. Hızlandırmanın sağlanabilmesi ğ için parçacığın ğ hızı ile salınan RF in frekansı uyum içersinde olmalıdır. TRF RF alan periyodu v parçacığın hızı 6

7 Enerji Kazanımı Göreli dinamikte ikt enerji ve momentum tanımı E 0 durgun enerji, W kinetik enerji ve p momentum olmak üzere: Enerji değişimi yukarıdaki denklemden; Lorentz kuvveti ifadesini kullanarak E z oyuktaki elektrik alan olmak üzere; Enerji değişimi ğ ş elektrik alan cinsinden; Her iki tarafın integrali alınarak kolaylıkla gösterilebilir ki parçacığın oyuk (kavite) boyunca kazanacağı ğ enerji; Burada V oyuğun iki ucu arasındaki, yani oyuklar arasındaki açıklık ( gap ) voltajıdır. 7

8 Maxwell Denklemleri l ve Dalga Denklemleri l ur ur ur ur ur uur D = ρ, B = 0 B = μ H ur ur ur ur o.ü. ur uur r D ur ur B D = ε E H = j +, E = t t Dalga denklemlerini l i bulmak için; i ur ur ur ur ur ur ur A A A ( ) ( ) 2 Vektör denkliğini elektrik alana uygularsak; ur ur ur 2 E = B t ( ) 8

9 E Ve H için Dalga Denklemleri Bir önceki denklemde B yi μh olarak yazıp Maxwell in manyetik dönüşüm denkleminde yerine koyarsak; ur 2 E μ ur uur = ( H ) t 2 D J μ ur ur = + 2 t t Aynı işlemleri manyetik alan için yazarsak; ur ur 2 E 2 E με = t 0 2 uur uur 2 H 2 H με = 0 t 2 c = 2 1 με 9

10 Dalga Denklemlerinin Serbest Uzayda Genel Çözümleri Dalga denklemlerinden sadece elektrik alan bileşenini ele alalım: 2 ur E = 1 2 ur E c 2 t 2 Denklemin sol t arafı sadece konuma bağlı, sağ tarafı ise sadece zamana bağlıdır. Zamana bağlı kısım periyodik olmalı dolayısıyla; uuuur uuuur uuuur Dalga denkleminde yerine yazarsak; r E ( r, t ) = E () r). Tt () = Er () ). e i ω t r r r E ker k c ( ) = 0 ; = ω / Aradığımız elektrik alan bileşeninin z doğrultusunda olduğunu, kartezyen koordinatlarda nabla operatörünün üç bileşenli olarak ve en genel çözümü ile yazıldığını varsayalım; 10

11 Dalga Denklemlerinin Serbest Uzayda Genel Çözümleri Her bir terim diğerinden bağımsızdır ve çözümü basitleştirirsek; k x, k y ve k z dalga sayıları olarak adlandırılır ve birbirlerine bağlıdırlar. En genelde z yönünde elektrik alan bileşenleri kartezyen koordinatlar cinsinden; Eğer k z kompleks ise alanın genliği üstel olarak azalır (damping). Eğer kz gerçek sayı ise dalga ilerlemeye devam eder. k c = (k x2 +k y2 ) ilerleyen dalganın dalga sayısıdır ve CUT-OFF dalga sayısı olarak adlandırılır. X(x) ve Y(y) fonksiyonları sınır şartları yardımı ile bulunur. 11

12 Silindirik Oyuklar ve Dalga Kılavuzları Silindirik dalga kılavuzları hızlandırıcı yapı olarak kullanılırlar. Genel olarak hızlandırma yı sağlayan E alanının z doğrultusunda olması ve bu doğrultuda manyetik B alanının sıfır olması istenir. RF oyukları bu sınır koşullarını sağlayacak şekilde tasarlanır. En genel çözüm E(r)=R(r)Φ(φ)Z(z)T(t) şeklinde olacaktır. Z(z) ve T(t) bileşenleri açısal bileşen ile aynı davranıp periyodik olacaktır ve açısal bileşen genelde Φ(φ)=e -inφ ile verilir Radyal bileşen için; 12

13 Silindirik Oyuklar ve Dalga Kılavuzları Denkleminin çözümü Bessel fonksiyonları türünden olacaktır. Diğer bileşenler sınır şartlarının uygulanması ile bulunabilir ve en genelde aşağıdaki gibi verilir: 13

14 Faz Hızı - Dalga Hızı Faz hızı ; Grup hızı Ez alanının tepesinin hareket hızı faz hızı olarak adlandırılır. Gurup hızı dalga paketinin ilerleme hızıdır. Aşağıdaki ş ğ eşitlikten ş görüleceği ğ gibi faz hızı ışık ş hızının üstündedir. Hızlandırmanın sağlanabilmesi için faz hızı ile parçacık hızının senkronize olması gereklidir ve faz hızı yavaşlatılmalıdır. Bu dalga kılavuzuna bir sınırlama getirilmesi ile sağlanır. Konulan bu sınırlandırma dalga denklemine yeni bir sınırlandırma getirir. Yani elektrik alanın z doğrultusundaki bileşenleri oyuk duvarında sıfır olmalıdır. p tamsayı l oyuk boyu olmak üzere; Cut-off dalga sayısı böylece yeni bir değer alacaktır. 14

15 Cut-off Frekansının Fiziksel Anlamı ω > ω c == Reel k değeri mümkün. Dalga kompleks ve üsteldir. ω < ω c == k sanaldır,dalga üstel olarak z ile azalır sürüklenemez. Silindirik bir dalga kılavuzunda faz ve gurup hızını hesaplarsak; vgr 2 2 ω 1 ω ωc = = < k με ω vph 2 ω 1 ωc = = + > 2 k με k c c Parçacık ışık hızından yavaş hareket edeceğinden dalga parçacığın üzerinden sıçrayacaktır ve hızlandırma yapılmayacaktır. Bundan dolayı dalga kılavuzları l uzunluğunda sınırlandırılır. 15

16 TM ve TE Oyuk Kipleri ( Cavity Modes ) Literatürde; tü B 0,z 0 olan kipler Enine Manyetik Kip TM ( Transverse Magnetic ) Modes E 0,z 0 olan kipler Enine Elektrik Kip TE ( Transverse Electric )M Modes olarak adlandırılır. Genellikle kiple kendilerine ait indeks numaraları ile çağrılır. TE uv veya TM np ( Burada ikinci indis v veya p, z doğrusunda kaç sıfır olduğunu gösterir. ) TM kipinde i salınan elektrik alanın salınma periyoduna göre oyuklar adlandırılır. d l Şekilde çok hücreli oyuk verilmiştir. Bir t anında elektrik alanın yönü iki hücrede birisinde π diğerinde π/2 kadar farklı fazda salınmaktadır. 16

17 Pill-Box Cavity En basit hızlandırıcı oyuğu yapısı literatürde pill-box oyuk olarak adlandırılan silindirik simetriye sahip ve kısmen kısa l uzunluğa sahip oyuktur. Bu oyuğun geometrik yapısı salınan alanın elektrik alan bileşeninin doğrusal ve manyetik alan bileşeninin dairesel olmasına olanak verir. Sınır şartlarına göre; En basit kip TM01 kipidir ve sadece üç bileşeni ş vardır. k c oyuğun sınırları tarafından sınırlandırılır. 17

18 TM 010 Kipi ( Duran Dalga Sistemi ) TM 01 kipi sadece E z, E r, H θ alan bileşenlerine sahiptir. z=0 ve z=l sınır koşulları otomatik olarak aşağıdaki koşulu sağlar. kl = pπ ; p Bu dalga genellikle TM np kipinde adlandırılır ve sadece oyuğun boyutlarına bağlı olarak izinli frekanslara sahip olabilir. ω np pπ = + με a L a z L n oyuk boyu oyukyarıçapı 18

19 RF Kavite Parametreleri Geçiş Zamanı Katsayısı ( Transit Time Factor ) Şekildeki gibi bir pill-box oyuk içersinde eğer demet akış tüpü yeterince küçük ise alanın genliği sabit olacaktır. Böylece E z bileşeni; V : Uygulanan gerilim Parçacık t=0 anında oyuğun merkezinde ise z=v.t mesafesinde kazanacağı enerji; Burada T geçiş zaman katsayısı ve θ=ωg/v dir. T geçiş zaman katsayısı 0<T<1 arasında değerler alır. Örneğin; bir 2π kip yapıda g=l/v, θ= π ve T= olur. 19

20 RF Kavite Parametreleri Geçiş Zamanı Katsayısı ( Transit Time Factor ) En genelde eksen boyunca elektrik alan; Ve kazanılan enerji ve ψ p parçacığın giriş fazı olmak üzere; tanımını yaparak kazanılan enerji; Böylece bir parçacığın kazanacağı maksimum enerjiye karşılık gelen geçiş zaman katsayısı; Bu değer çok hücreli yapılar için bilgisayar yardımıyla hesaplanır. 20

21 RF Kavite Parametreleri Makas Empedansı ( Shunt Impedance ) Shunt empedansı R s, hızlandırıcı açıklığındaki voltaj V ile oyuk duvarlarında kaybolan P d gücünün oranlarını belirleyen bir katsayıdır ( RLC devrelerinde empedans ). Shunt impedance genellikle birim uzunluk üzerinden değerlendirilir ve bir ilerleyen dalgalı bir yapı için; Burada L oyuk uzunluğu, r birim uzunluktaki shunt empedansı E z hızlandırıcı alanın genliği dp d /dz birim uzunlukta giriş gücünün kaybolma oranıdır. Duran dalga sistemlerinde kesin olmayan shunt empedansı Z oyuktaki açıklık boyunca voltaj V nin integrali ile hesaplanır. Bu durumda geçiş zaman katsayısı yardımıyla birbirleri arasındaki ilişki; R s = Z T MHz frekansında çalışan proton linaklar da shunt empedansı 35 MW/m e kadar ulaşmıştır. Bununla beraber 3 GHz elektron linaklarda shunt empedansı100 MW/m mertebesindedir.

22 RF Kavite Parametreleri Kalite katsayısı (Quality Factor) olarak tanımlanır. Burada P d oyuk duvarlarında kaybolan enerji, ω çalışma açısal frekansı, W s oyuk duvarlarında depolanan enerjidir. Doğrudan ölçülebilen ve sadece oyuğun yapısına bağlı olacak şekilde tanımlanacak olursa Oyukta depolanan enerji Oyukta kaybolan enerji, R w yüzey direnci olmak üzere; R w yüzey direnci, δ cidar kalınlığı, σ yüzey iletkenliği, f frekans olmak üzere;, Böylece yüzeyde kaybolan enerji ve kalite katsayısı sırasıyla;, olur.

23 Pill-Box Kavite İçin Kalite Çarpanı TM 010 kipinde pill-box oyuğu ele alalım; ; Denklemde yerine yazılırsa; eşitliği ile; 3 GHz te çalışan bir pill box oyuk için oyuk yarıçapı a=3.8 cm, cidar kalınlığı δ=10-6 m ( bakır ) ise kalite faktörü Q=21590 elde edilir. Aynı frekansta ve boyutlarda süper iletken bir oyuk için cidar kalınlığı δ=10-9 m mertebesinde olduğundan kalite faktörü süper iletken bir yapı için 1000 kat daha fazladır. Nitekim Sc TESLA oyuğu içinkalitefaktörüq=8x10 9 dur. 23

24 RF Kavite Parametreleri Doldurma zamanı ( Filling time ) Kalite katsayısının oyukta depolanan ile kaybolan gücün oranı ile orantılı olduğundan bahsetmiştik. Oyuğa aktarılan EM enerji aşağıdaki gibi doyuma ulaşacaktır. Depolanan enerji E alanının karesi ile orantılı olduğundan ğ d enerji zamandan bağımsız ğ olarak 2τ sabit zamanında azalacaktır. Eğer oyuk bir RF alanı ile besleniyorsa enerji aşağıdaki gibi bir zamanda yapılanacaktır. Oyuğun enerji ile doldurulmaya başlandığından sabit değer alana kadar geçen bu süreye doldurma zamanı denir ve τ ile gösterilir. 24

25 Kavite - Devre Denkliği Maxwell Denklemleri ne göre oyuklarda alanlar TM 01 gibi kiplerde rezonansa gelirler. Zaman ortalamalı elektrik alanla depolanan enerji manyetik alanla depolanan enerjiye eşitlenir. Bir RF periyodu süresince enerji, elektrik ve manyetik alanlar l arasında salınacaktır. Bu durum rezonanstaki bir paralel RLC devresi ile özdeştir. Elektrik alanla zaman ortalamalı depolanan enerji ( kapasitör ); Manyetik alanla zaman ortalamalı depolanan enerji ( indüktans ); Rezonansta; Zaman ortalamalı depolanan enerji ve güç; Devrenin kalite katsayısı; ω 0, Q ve R/Q tanımlarından yola çıkarak RF oyuğu için bir RLC eşdeğer devresi kurmak mümkündür

26 Oyukların RF ile Beslenmesi RF gücünün üreteçten oyuklara aktarılması Bir koaksiyel hat ile (kısa mesafe, düşük güç < 100 kw, yüksek kayıp ), paketleyici oyuklar örnek olarak verilebilir. Bir dalga kılavuzu ile (yüksek güç, düşük kayıp). Dalga kılavuzu ile oyuk arasındaki bağlantı bir kısa koaksiyel hat ile yapılır ve görünür güç kaybı olmaz. Koaksiyel kablodaki bir seramik pencere dalga kılavuzu ile oyuğu birbirinden ayırır aynı zamanda vakum ortamı için de kullanılır. Oyuğu rezonansa getirmek için ayar yapılması gerekir ve bu ayar milleri ile yapılır. 26

27 RF Kaviteler 27

28 9 hücreli Sc TESLA RF Kavitesi 28

29 Sc RF Kaviteleri Cazip Kılan Nedir? 29

30 Devre Analojisine Geri Dönersek; R 0, Q surf Pratikte; 30

31 31

32 Klystron RF Güç Yükselteçleri Klystronlar RF ve mikrodalga sistemlerde elektron demetlerini hızlandırmak için güç gçüretiminde kullanılır. İletim fonksiyonu olarak adlandırılan k katsayısı, demet akımı ve hızlandırma voltajının birbirine oranıdır. 32

33 Güç Klaystronlardaki mikrodalgalar dalga kılavuzlarıyla hızlandırıcı yapılara aktarılır. Bu hızlandırıcıda ilerleyen formda bir e.m. dalga formu oluşturur. Demet enerjisi klystron başına sağlanan enerji ve toplam klaystron sayısı dikkate alınarak belirlenir. 33

34 Güç W P = = t iş zaman Elektrikte: P = V I = V R 2 = I 2 R Anlık Güç: P ( t ) = I ( t ) V ( t ) Ortalama Güç: P avg = T 1 i( t) v( t) dt T 0 34

35 Güç Hızlandırıcının demete aktarabileceği maksimum güç uygulanan RF gücü kadar olabilir. Kullanılan klystronun gücü hızlandırıcı yapı ile ulaşılacak olan demet enerjisini belirler. Örneğin ELBE laboratuvarında (Dresden) 10 kw klaystron kullanılmakta olup ve elektron demetinin ortalama akımı yaklaşık 1 ma civarındadır. Bunun anlamı 1 metrelik hızlandırıcı yapıya 10 kw RF gücü aktarılarak 10 MeV demet enerjisi elde edilmektedir. 35

36 Güç Güç sensörleri sinyalleri çok geniş bant genişlikleri üzerinden ölçer. Eğer 50 MHz ten 40 GHz e bir güç ölçer varsa bu banttaki her sinyal için ortalama güç ölçülebilir. Sadece belirli bir sinyalle ilgileniliyorsa ölçüm için bir ön filtre gereklidir. Ayrıca bantlar üzerindeki gürültü oldukça yüksek olabileceğinden ölçülebilen sinyal değerini oldukça etkileyebilmektedir. Bant dışış sinyaller olabilir. Özellikle hızlandırıcılarda, birden fazla olan çok geniş bant sinyalleri daha sonra sorun çıkarmasın diye ihmal edilir. 36

37 Güç Mikrodalga literatüründe güç dbm olarak ifade edilir. dbm bir terimdir ve 1mW lık sinyalin seviyesini gösterir. logaritmik P ( dbm ) P( watts) 10log 3 10 = 3 P( watts) = ( watts) = P( dbm) 10 Örneğin; 30 dbm Watt olarak gösterilmek istenirse; P = 1watt 37

38 Voltajla ilgileniliyorsa; V rms = P( watts) Güç R 2 P = V rms ohm luk direnç yapısı için 0 dbm ( veya 1 mw ) V rms = = 0. 22V Vrms V peak = = = V

39 Referanslar J. Le Duff, Hıgh-Frequency Non-Ferrıte Cavıtıes, CAS, RF Engineering ing Notes J. Le Duff, Dynamics and Acceleration in Linear Structures, CAS notes, 1994 Y. Papaphilippou, RF Cavities, 2005 USPAS notes Peter Tenenbaum, An Introduction to the Physics and Technology of e+e- Linear Colliders, 2003 USPAS Notes 39