çözümler bulabilen,kapasite kullanma miktarı sınırlı,kolay ve basit bir model grubunun

Transkript

1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA PRIMAL VE DUAL İLİŞKİSİNİN İRDELENMESİ VE BİR ÖRNEK UYGULAMASI The primal ad dual problem s focuses i Liear Programmig Sait PATIR* ÖZET Doğrusal programlama,işletme sorularıda kullaıla optimallik tekikleride biridir. Doğrusal programlama problemii birici şeklie asıl veya primal problem deir.bu problemi simetriğie ikicil veya dual problem deir. Primal problemi dual probleme çevirirke,değerler ayı kalırke döüşüme uğrarlar. Bu çalışmada, primal problemi duale döüştürülmesi irdelemiş ve seçile örek problem her iki şekle göre çözülerek, souçları karşılaştırılmıştır. Aahtar Kelimeler: Doğrusal programlama,primal problem,dual problem,dualite ABSTRACT Liear Programmig (LP) is oe of the techiques which is used for solvig problems. The basic form of Liear programmig problem is called Primal problem. The symmetric of this problem is called secodary or Dual problem. While primal problem is chaged ito dual problem its value is costat. This study focused o that how primal problem chage to the dual problem by illustratig a case. Keywords: Liear Programmig, Primal problem, Dual Problem, Duality I.GİRİŞ Doğrusal programlama yötemi,optimum kılma amacı ve sıırlayıcı şartları doğrusal foksiyo ile ele alıması varsayımıa dayamaktadır. Doğrusal programlama(dp),diğer bir çok matematik,istatistik modeller gibi çok sayıda işletme problemie,yaklaşık optimum çözümler bulabile,kapasite kullama miktarı sıırlı,kolay ve basit bir model grubuu arama ve deeme esasıa dayaa çözümleri, değişkeler arasıdaki ilişkileri doğrusal * İöü Üiversitesi, İktisadi ve İdari Bilimleri Fakültesi,İşletme Bölümü Sayısal Yötemler Aa Bilim Dalı Öğretim Üyesi,Malatya. 72

2 olduğu hallerde kullaılabilecek bir işletme ve saayi mühedisliği aracıdır 2. Başka bir ifadeyle,dp,sıırlı kayakları e etki bir biçimde asıl kullaılması gerektiğii saptama tekiği ve bir karar verme aracıdır 3. Yai DP,değişkelere ve kısıtlayıcılara bağlı kalarak amaç foksiyouu e uygu (maksimum ve mimimum)kılmaya çalışır 4. Doğrusal programlama problemii ise,doğrusal bir foksiyou, eşitsizlik ve eşitlik şeklideki doğrusal kısıtlayıcıları ile, maksimize veya miimize ede bir problemdir 5. Geel olarak, bir doğrusal programlama problemi aşağıdaki gibi ifade edilebilir Amaç Foksiyou Zmax/mi= CjXj J = Kısıtlayıcılar aijxj J = {,=, } bi,{ İ=,2,.m} Pozitif Olma Xj 0,{J=,2,.} DP problemi, geel bir çözüm metoduu geliştirilmesi içi stadart form olarak adladırıla geel formatta ifade etmek gerekir.stadart formu özellikleri ; - egatif olmaya sağ taraf sabitleriyle birlikte,bütü kısıtlar eşitlik halie döüştürülmeli, - değişkeleri tamamı pozitif olmalı ve - amaç foksiyou maksimize ve miimize olmalıdır 6. Yılmaz Tuluay ;Matematik Programlama ve işletme Uygulamaları,Bayrak Matbaacılık,,İstabul 987, s, İlhami,Karayalçı.,(993),Yöeylem-Hareket-Araştırması,Operatios Research,Geliştirilmiş 3.Baskı.Meteş Kitapevi.İstabul.993,s.. 3 Hülya H,Tütek.,Şevkiaz Gümüşoğlu.,Sayısal Yötemler Yöetsel Yaklaşım, Geişletilmiş 2.Basım.Beta Yayıevi,İstabul,994,s.3. 4 Ahmet Öztürk.,992),Yöeylem Araştırması,Geişletilmiş III.Basım,Uludağ Üiversitesi Basımevi.,992,s.7. 5 Bazaraa,M.S,Jarvis,J,.J.(977),Liear Programmig Ad Network Flows,Joh Wiley Sos,İc,Caada- America.,977,s Taha Hamdy.,.Operatios Research,A İtroductio,Fourth Editio,Collier Macmilla.ic.Caada- America,987,s

3 II. DP DA KULLANILAN TEMEL KAVRAMLAR Bir doğrusal programlama problemii çözümüde kullaıla kavramlar problemi çözümüü alamak içi öem arz etmektedir. Temel Çözüm(Basic Solutio); cebirsel olarak (-m) değişke kümeside sıfıra eşitlemek üzere kurula birik(uique) çözümdür 7. Mümkü Temel çözüm(feasible Basic Solutio);bütü (m) değişkeleri egatif olmamayı sağlaya temel çözümdür 8. Mümkü Olmaya Temel Çözüm(İfeasible Basic Solutio);değişkelerii biri veya daha fazlası egatif değer alabile temel çözümdür. 9 Temel Değişke(basic variables);başlagıç temel çözüme (iitial basic solutio) gire değişkelere temel değişke deir.başlagıç çözüme giremeyelere de temel olmaya değişkeler(obasic variables) deir 0. Aylak Değişke(Slack Variable:Si) ( ) şeklideki her bir kısıtı, eşitlik şeklie döüştürürke, gölge (slack) değişke ilave edilir. Bu değişke amaç foksiyouda sıfır katsayıyla gösterilir ve temel çözüm sürecide yer alır. Artık Değişke(Surplus Variable:Vi) seklideki her bir kısıt,eşitlik şeklie döüştürülürke, bir artık değişke çıkarılır Artık değişke, eşitliği sol tarafıda yer alır ve egatif katsayılı bir değişke olarak gösterilir.amaç foksiyouda katsayısı sıfırdır,optimal çözüme sorada girebilir. Yapay (Sui) Değişke(Artificial Valuables: Ai); ve = şeklideki her bir kısıta yapay değişke ilave edilir.başlagıç temel çözümde yer alır. Maksimizasyo amaçlı bir 7 Hamdy.,.s,69. 8 Ahmet Acar., Liear Proggrammig For Maagerial Decisio, A No- Algorithmic Apporach With Computer Applicatios,Middle East Techical Uiversity,Akara,989,s.5. 9 Acar,s.5. 0 Wager,H,M., Priciples Of Operatios Research With Applicatios To Maagerial Decisios,Pretice- Hall.İc.,Caada-America,969..s

4 problemde,yapay değişkei katsayısı (-M) dir,miumum amaçlı problemde ise (M) dir.optimal çözümde yer almaz 2. İterasyo; Simpleks yötemle mümkü temel çözümleride hareketle,temel çözümleri elde edildiği yielee aşamalardır 3. III. DP DA PRİMAL PROBLEM İLE DUAL PROBLEMİN İLİŞKİSİ Her doğrusal programlama problemii ilişkili olduğu bir ikiz problemi vardır.herhagi bir doğrusal programlama problemi primal ve asıl olarak adladırılırke diğerie yai ikizie dual (dualite) veya ikilik adı verilir 4.Dualite kavramı,doğrusal programlamaya özgü bir kavram değildir,matematik,fizik,istatistik ve mühedislikte de ortaya çıkmaktadır.dualitede doğrusal programlama sorularıda hem kurumsal hem pratik açıda yararlaılmaktadır.buları aşağıdaki gibi sıralayabiliriz 5. - Bazı durumlarda dual soruu çözmek,primali çözmekte daha kolaydır. - Dualite başlagıç çözümü mümkü olmadığı durumlarda simpleks yötemii kullamaya imka taır.bu tekik dual simpleks olarak adladırılır. - Dualite doğrusal proğramlama sorularıı açıklaya güçlü teoremler ortaya koyar. - Bir primal soruu dual çözümü matematiksel özelliklerii yaı sıra öemli ekoomik yorumlar getirir. - Dualite bir doğrusal programlama soruuu formulasyoudaki yada katsayılarıdaki değişmeleri çözümü asıl etkileyeceğii araştırmada (yai duyarlılık aalizide) kullaılır. İbrahim Eroğlu.,İbrahim Gügör.,Primal-Dual Doğrusal Programlama Modelleri Arasıdaki İlişkiler,SDÜ,İ.İ.B.F,Dergisi,997.s Wager,a,g,e,s.2. 3 Eroğlu,a.g.e,s Öztürk,a,g,e,.s.92 5 Tütek,a,g,e,s,74. 75

5 Verile her bir doğrusal problem Caoical 6 formda bir primal problemdir.aşağıda geel(caoical) formatta bir primal-dual problemii görebiliriz. Tablo.. Primal Dual İlişkisii Geel Görüümü Primal Problem Dual Problem Zmax = cjxj J = Kısıtlar = J aijxj bi( i =,2,..., m) m Wmi = biyj i= Kısıtlar m i= aijyj cj( j =,2,... ) Pozifif Olma xi 0 Pozifif Olma yj 0 IV.PRİMALİN DUALE DÖNÜŞTÜRÜLME KURALLARI Bir primal problemi duale döüştürülürke aşağıdaki değişiklikler yapılır 7. a) Primal problem maksimizasyo amaçlı ise,buu duali bir miimizasyo problemidir. b) Primal problemi amaç katsayıları,dual problemi sağ taraf sabitlerii oluşturur. c) Primal problemii sağ taraf sabitleri,dual problemii amaç katsayılarıı oluşturur. d) Primal problemi kısıtlayıcı sayısı,dual problemi değişke sayısıa eşittir. e) Primal problemi değişke sayısı,dual problemi kısıt sayısıa eşittir. f) Maksimizasyo amaçlı primal problemde kısıtlayıcıları yöü( )şeklide ike,miimizasyo amaçlı dual problemi kısıtlayıcıları yöü( ) şeklide olur. g) Her iki problemdeki değişkeler egatif olmamalıdırlar. h) Primal problemi değişkeleri işareti sıırlamamış ise, buları karşılığı dual kısıtlayıcıları(=)eşitlikte olur. 6 Bazaraa, a,g,e, s..5 76

6 i) Primal problemi kısıtlayıcıları(=)eşitlikte ise,bulara karşılık gele dual değişkeleri işareti sıırlamamış olur. j) Simetri kuralı gereği,dual problemi duali primal problem olacaktır. Primal ile dual arasıdaki bezer özellikleri görmek içi, geliştirile iki teorem vardır.bular sırasıyla aşağıdaki gibi özetleebilir. Teorem ı. Primal problemi optimal çözümü X T = T -.b ve bua karşılık gele amaç foksiyo değeri C T X T olsu. Dual problem optimal çözümü w=c T T - olup amaç foksiyo değeric T X T ye eşittir. Primal problem bir maksimum problemi olsu Max= cx ax b x 0 Problemi duali aşağıdaki gibidir. Mi=b' w c' a'w c' w 0 Teoremi geçerliliği içi iki soucu elde edilmesi gerekir,bular; ) X, primal problemi optimal mümkü çözümü,w, de dual problemi optimal mümkü bir çözümü göstermek üzere, w'b cx olur.burada, x ve w birer optimal mümkü çözüm olduğuda ax b x 0 7 Öztürk,a.g.e,s

7 a'w C' w 0 olucaktır.kısıtlayıcıları ifade ede eşitsizlikleri w' 0 ve x 0 ile çarpıca w'ax w'b w'ax cx elde edilecektir, burada: w' b cx olacaktır 8. 2) Primal (max) problemi ve dual (mi ) problemii, her ikisii de optimal mümkü çözümü elde edilebiliyorsa 9.Bular ya birbirlerie eşittirler,yada dual(mi) değeri primal(max) değeride büyüktür. Z max =Y mi veya; Z max Y mi olacaktır. 3) Şayet primal problem sıırsız bir çözüme sahipse,dual problem de mümkü bir çözüm değildir 20. Teorem ıı. Primal problemi optimal değeri x j * j=,2,3. ve buu dual optimal çözümü y i * i=,2,..m olsu.her ikisi de optimal olmak şartıyla aşağıdaki ifadeler yazılabilir. y i *. ( ( aijxj * bi) = 0, m j= x j *.( ( aijyj * cj) = 0, i= içi i =,2,,m içi, j =,2, 8 Zeki Avralıoğlu;Doğrusal Programlama ve Tarımsal İşletmelerde Bir Uygulama,Akara iktisadi ve Ticari İlimler akademisi İstatistik ve Temel Bilimler Fakültesi,Yayı No:39-98/,Akara 98,s Geiş Bilgi İçi Bakıız: S.Joh Croucher: Operatios Research A First Course,Pergamo Pres,New York,980 78

8 Problemi (primal-dual) kısıtlarda biride, bir gölge(slack) değişke varsa, buu ilişkili olduğu diğer problemdeki değişkei değeri sıfıra eşit olacaktır. Bu teoreme tamamlayıcı gevşeklik( complemetary slackess) adı da verilmektedir 2. Aşağıda geel (caoical) formda verile problemde buu görebiliriz. (ı)maksimize cjxj kısıtlar j= (ıı) j= aijxj bj içi, i=,2,,h m (ııı) aijxj = 0 içi, i= h+,h+2,..,m j= (ıv) (v) x j 0 içi, j =,2,.,k x j işareti sıırlamamış, j= k+,k+2,..,. Ve (ı')miiimize biyi m i= kısıtlar (ıı') m i= aijyi ci içi, j=,2,,k (ııı') (ıv') (v') m i= aijyi = 0 içi, j= k+,k+2,.., y i 0 içi, i =,2,.,h y i işareti sıırlamamış, i= h+,h+2,..,m. 20 Acar,,a,g,e.s, Wager,a,g,e. s,

9 Dual teorem her iki problem içi geçerlidir. Diğer bir alatımla,primal ve dual soruları optimal çözümüde,problemlerde biride gölge değişkeler çözümde ise,diğer problemde bu değişkee karşılık gele değişke sıfıra eşittir.eğer kısıt,eşitlik olarak sağlaır ve gölge değişkei sıfıra eşit olursa diğer problemde,bu kısıta karşılık gele değişke çözümdedir 22. Primal dual ilişkisii aşağıdaki gibi özetleyebiliriz. Tablo.2.Primal Dual İlişkisideki Döüşüm Kuralları Primal(maksimize) Amaç Foksiyo Sağ Taraf Sabiti Dual(miimize) Sağ Taraf Sabiti Amaç Foksiyo J ici Sütü Katsayıları J ici Satır Katsayıları İ ici Satır Katsayıları J ici Negatif Olmaya Değişke J ici İşareti Sıırlamamış Bir Değişke İ ici Şeklideki Bir Eşitsizlik İlişkisi İ ici Eşitlik Şeklideki Bir İlişki İ ici Sütü Katsayıları J ici Şeklideki Bir Eşitsizlik İlişkisi J ici Eşitlik Şeklideki Bir İlişki İ ici Negatif Olmaya Bir Değişke İ ici İşareti Sıırlamamış Bir Değişke KAYNAK:Harvey M,Wager: Priciples Of Operatios Research With Applicatios Decisios Pretice-Hall.İc.,Caada-America,969.s.37. To Maagerial Primal ile dual arasıdaki döüşümü aşağıdaki gibi özetleyebiliriz. 22 Tütek,a.g.e,s.84 80

10 Tablo3.Primal Problemi Duale Döüştürülmesi Primal Problem Z max/(mi)= cjxj J = Dual Problem W mi/(max)=biyi m i= İ.Primal Kısıt J.Dual Değişke j= aijxj = bi Yi kısıtsız j= aijxj bi Yi 0 j= aijxj bi Yi 0 J.Primal Değişke İ.Dual Kısıt xj = kısıtsız m i= aijyi =cj xj 0 m i= aijyi cj m i= aijyi cj xj 0 KAYNAK:Frederick S.Hillier,Gerald J.Lieberma: İtroductio to Operatios Research,Fourth Editio, Holde Day,İc, Califoria,986.s

11 ÖRNEK PROBLEM(I) Primal Problem Zmax=6xı+8x 2 Kısıtlar 4xı+2x xı+4x xı+x 2 22 Stadart Primal Problem Zmax=6xı+9x 2 +0S+0S2+0S3 4xı+2x 2 +S=30 2xı+4x 2 +S2=24 3x +x 2 +S3=22 xı,x 2 0 xı,x 2, S,S2,S3 0 Problemi simpleks yötemle çözümü souda oluşa optimal değerleri aşağıdaki gibidir. Tablo.4.Örek Problem(I) i Çözüm Soucu TEMEL Xı x 2 S3 S2 S3 Ç:V 6xı 0 / x 2 0 -/6 / s /6 -/4 C-Z 0 0-2/ Dual Problem Wmi=30Y+24Y2+22Y3 4Y+2Y2+3Y3 6 2Y+4Y2+Y3 8 Y,Y2,Y3 0 Stadart Dual Problem Wmi=30Y+24Y2+22Y3+MA+0V+MA2+OV2 4Y+2Y2+3Y3+A-V=6 2Y+4Y2+Y3+A2-V2= 8 Y,Y2,Y3,A,A2,V,V2 0 82

12 Tablo.5.Örek Problem(I) İçi Dual Çözümüü Soucu Temel Y Y2 Y3 A V A2 V2 Ç.V 30Y 0 5/6 /3 -/3 -/6 /6 2/3 24Y2 0 -/6 -/6 /6 /3 /3 5/3 C-Z 0 0 M-6 6 M Örek problem(ı) i çözüm soucuda yukarıdaki teoremleri geçerliliği görülmektedir. Bular; Teorem ı i geçerliliği ola Z=W sağlamıştır. Zmax=60 = Wmi=60 Teorem ıı i geçerliliği ola; X3Yı=0, 0./3 = 0 X 4.Y2=0, 0.5/3 = 0 X5.Y3=0,. 0 = 0 Elde edilmişlerdir.ayrıca,her iki tablou optimal so tablosuu (c-z) satırıa bakarak hagi değişkei çözüme gireceğii ve e değer alacaklarıı da bulmak mümküdür. Öreği,dual tabloda bakarak;x,değişkei 6 değeriyle,x2,değişkeide 3 değeriyle primalde çözüme gireceği görülmektedir. Ayı şekilde primal tabloya bakarak Y i 2/3 la,y2 i de 2 değeriyle çözüme gireceği görülmektedir. ÖRNEK PROBLEM (2) PRİMAL PROBLEM Z max = 6X+7X2 Kısıtlar 3X+4X2 30 DUAL PROBLEM Wmi = 5Y+7Y2+2Y3+4Y4 kısıtlar Y+Y2+Y3+Y 3 4 X+3X2 26 Y+2Y2+2Y4 5 X + X2 = 8 Y 0,Y2 0,Y3,kısıtsız X,X2 0 83

13 Tablo.6.Örek Problem (2) İçi Primal Dual Döüşümü Primal Problemi Stadart Şekli Her Bir Kısıt İçi Dual Değişke Zmax=6X+7X2+OX3+-MX4+0X5-MX6 Kısıtlar 3X+4X2+X3=30 Y 4X+2X2+X4-X5=26 X +X2+X6 = 8 X,X2, X3,X4,X5,X6 0 Y2 Y3 Primal Kısıtlayıcılar Xj 30 Xj 26 Xj = 8 Dual Değişke Y 0 Y2 0 Y3, kısıtsız Dual Problem Dual Kısıtları Primal Değişkeleri WMi=30Y+26Y2+8Y3 Kısıtlar 3Y+4Y2+Y3 6 4Y+3Y2+Y3 7 Y 0 -Y2 0 Y2 -M Y3 -M Y,Y2,Y3,kısıtsız X X2 S A V A2 Primal ve Dual problemleri ayrı ayrı simpleks yötemle çözelim. 84

14 Tablo.7. Örek Problem(2) i Primal Çözümü Aşama Tem. 6X 7X2 0S -MA 0V -MA2 Ç.V 0 0S MA MA2 C-Z 6+5M 7+4M 0 0 M 0 34M 0S 0 7/4-3/4 0 ¾ 22/2 6X 3/4 0 ¼ 0 -/4 3/2 -MA2 0 /4 0 -/4 /4 3/2 C-Z 0 5/2+ 0-3/2 0 3/2 39 /4M -3/4M -/4M -3/2M 2 0S X /2 2 7X C-Z M+ -M Çözüm souda X=2,X2=6 Zmax=54 elde edilmiştir. Primali dual çözümüde, kısıtsız ve Y j 0 eşitliğii sağlamaya Y2 ve Y3 değişkeleri aşağıdaki gibi taımlamak gerekir. Y2=Y 2 -Y 2 Y3=Y 3 - Y 3 Bua göre dual problemi stadart formu aşağıdaki gibi olacaktır. Wmi = 30Y+26Y 2-26Y 2 +8Y 3-8Y 3 +MA+MA+0V+0V2 85

15 3Y+4Y2-4Y2 +Y 3-Y 3+A-V=6 4Y+3Y2-3Y2 +Y3 -Y3 +A2-V2=5 Y,Y2,Y2,Y3,Y3, A,A2,V,V2 0 Problemi çözümü aşağıdaki gibidir. Tablo 8: Örek Problem (2) i Dual Çözümü AŞM T. Y Y2 Y2 Y3 Y3 A A2 V V2 Ç.V MA MA C-Z -7M -7M 7M -2M +2M 0 0 M M 3M Y2 3/4 - /4 -/4 /4 0 -/4 0 6/4 MA2 7/4 0 0 /4 -/4-3/4 3/4-0/4 C-Z -7/4M 0 0 -/4M /4M /4M 0 26/4- M 56/4 +42/4 +6/4-6/4-26/4 3/4M 0/4M Y2 0-64/448-24/ / 2/ /448 2/ /448 2 Y 0 0 4/28-4/28-2/28 4/7 2/28-4/7 40/28 C-Z M+3.24 M Y3=Y 3-Y 3 = = 0.5 Y2=Y2-X4 =2.5-0=2.5 Wmi=54 olarak gerçekleşmiştir. 86

16 Örek problemi soucuda Teorem ı i birici soucu elde edilmiştir.yai Primal problemi çözümü Zmax=54,ve dual problemi çözüm soucu Wmi=54 dir. Teorem I içi problemi optimal soucu=. Zmax = Wmi=54 elde edilmiştir. Teorem ıı içi, örek problemde aşağıdaki souçları çıkarabiliriz. X.Y7= 2.0 = 0 X2.Y8= = 0 X3.Y= = 0 X4.Y2=0.2.5 = 0 Elde edilmiştir.böylece örek problemde(ıı) de her iki teoremi geçerliliği görülmektedir. 4.PRİMAL DUAL İLİŞKİSİNİN EKONONOMİK YORUMU Dual değişkeleri optimal değerleri gölge fiyatlar olarak adladırılır.gölge fiyatlar,herhagi bir üretim kayağıı miktarıı bir birim arttırması veya azaltması durumuda amaç foksiyoda meydaa gelecek artış veya azalış olarak taımlaır.dual problemlerde,elverişli kayakları e etki dağıtımı, tüm kayakları toplam marjial değerlerii(maliyetlerii) kısıtlayıcılara bağlı kalarak ürü kârıda az olmayacak şekilde e küçükleme yai miumumu yapılarak sağlaır. 23.Modelde bulua sağ taraftaki sabit değerler sıırlı kayakları miktarıı belirtirke,gölge fiyatlar da, primal modeli optimum çözümüde de alaşılacağı gibi, her kayağı birimii değerii gösterirler. Optimal çözümde,fazla kapasitesi bulua herhagi bir kayak içi sıfır gölge fiyat söz kousudur 24.Primal problem eldeki kayakları kullaılarak,bir birim mamul üretilmesi halideki kârdaki artışı göstere bir kâr maksimizasyou olurke,buu duali eldeki hammadde ve diğer girdilerideki birim maliyet azalışıı göstere gölge fiyatları içi bir maliyet miimizasyou olacaktır. 23 Öztürk;a.g.e.s, Tuluay;,a.g.e. s,

17 5. UYGULAMA Uygulama alaı olarak bir tekstil işletmesi seçilmiştir. Bu işletme ürülerii;resmi ve özel kuruluşlara,şahıs ve dış ülke ihracatıa yöelik olarak,pamuk ve setetikte elde etmektedir.ürüleri çok geiş bir yelpazesi bulumaktadır ve o sekiz ürü çeşidi tespit edilmiştir.ürüler, üretime dört farklı departmada işleerek elde edilmektedirler.departmalarda kullaıla makieler saat olarak kısıtlara alımıştır.birim maliyetleri e azıı elde etmek üzere pirimal problemi modeli aşağıdaki gibi oluşturulmuştur. Karar değişkeleri; X=Goble döşemelik üretim miktarı (metre), X2=Lüks goble üretim miktarı (metre), X3=Süper goble üretim miktarı (metre), X4=Jakarlı döşemelik üretim miktarı (metre), X5=Polyesterli perde üretim miktarı (metere), X6=Setetik perdeler üretim miktarı (metre), X7=Jakar perdeler üretim miktarı (metre), X8= Yatak örtüsü üretim miktarı (metre), X9=Karyola örtüsü üretim miktarı (metre), X0=Pike örtüsü üretim miktarı(metre), X=Erbaş içi yazlık elbiselik kumaş üretim miktarı (metre), X2=Yazlık elbiselik kumaş üretim miktarı(metre), X3=Mevsimlik elbise kumaşı üretim miktarı(metre), X4=Kışlık elbise kumaşı üretim miktarı(metre), X5=Yazlık gömlek kumaşı üretim miktarı(metre), X6=Mevsimlik gömlek kumaşı üretim miktarı(metre), X7=Kışlık gömlek kumaşı üretim miktarı (metre), 88

18 X8= Erbaş içi kışlık kumaş üretim miktarı(metre). Amaç satırdaki maliyetler bir metre kumaşı işleme maliyeti olarak alımış ve kısıtlayıcılarda bu mamulleri işleme süreleri makie saati üzeride hesaplamıştır.ürüler sırasıyla ; iplik,dokuma ihzar,dokuma mamul ve terbiye bölümleride işlemektedirler. Kısıtlayıcıları sağ taraf sabitlerii makieleri gülük çalışma saatlerii dakikaya çevrilerek hesaplamıştır. Maliyetler (TL olarak) /000 le çarpılarak verilmiştir,uygulamaı doğrusal programlama modeli aşağıdaki gibidir. ZMi=6700X+7500X2+8000X3+7000X4+5000X5+6000X6+6750X7+000X8+6000X9+4000X0+4500X +6000X2+3500X3+6600X4+3500X5+3500X6+5500X7+7000X8 Kısıtlar.00X+.05X2+.07X3+.05X4+.00X5+.009X6+.0X7+.020X8+.05X9+.07X0+.009X+.08X2+.0 0X3+.022X4+.05X5+.009X6+.09X7+.00X X+.00X2+.09X3+.022X4+.08X5+.008X6+.08X7+.030X8+.08X9+.06X0+.00X+.07X X3+.02X4+.07X5+.007X6+.08X7+.08X X+.020X2+.020X3+.00X4+.022X5+.0X6+.020X7+.08X8+.00X9+.0X+.09X2+08X3+.0 8X4+.09X5+.0X6+.020X7+.07X X+.08X2+.07X3+.008X3+.09X4+.09X5+.07X6+.00X7+.022X8+.005X9+.009X0++.08X+.02 0X2+.022X3+.009X4+.022X5+.07X6+.022X7+.009X8 350 X,X2,X3,X4,.,X8 0 Problem QSB paket programıyla çözülmüştür,yedi iterasyo soudaki değerler şöyledir. X5=73333,336 birim, Zmi= olmaktadır. Daha sora problemi duali alımış ve aşağıdaki değerler elde edilmiştir. Wmax=00Y+080Y2+40Y3+350Y4 Kısıtlar.00Y+.08Y2+.020Y3+.025Y Y+.00Y2+.020Y3+.08Y Y+.09Y2+.020Y3+.08Y Y+.022Y2+.00Y3+.008Y

19 .00Y+.08Y2+.022Y3+.09Y Y4.008Y2+.0Y3+.07Y Y+.08Y2+.020Y3+.00Y Y+.030Y2+.08Y3+.022Y Y+.08Y2+.00Y3+.005Y Y+.06Y2+.08Y3+.009Y Y+.00Y2+.0Y3+.08Y Y+.07Y2+.09Y3+.020Y Y+.020Y2+.08Y3+.022Y Y+.02Y2+.08Y3+.009Y Y+.07Y2+.09Y3+.07Y Y+.007Y2+.0Y3+.07Y Y+.08Y2+.020Y3+.022Y Y+.08Y2+.07Y3+.009Y Y,Y2,Y3,Y4 0 Problem iki iterasyo soucuda aşağıdaki değerleri bulumuştur. Y=09374,98, Y4= 09375,0, Wmax= olarak gerçekleşmiştir. Zmi< Wmax olarak gerçekleşmiştir.dual çözüm soucu, primal çözümü bir üst sıırıı oluşturmuştur. 6.SONUÇ VE ÖNERİLER Doğrusal programlama işletmelerde ortaya çıka problemler içi kullaıla bir optimallik tekiğidir.doğrusal programlamada primal ile Dual ilişkisii ve çözüm sürecii ele aldık ve ekoomik yorumu üzeride durmaya çalıştık. Farklı ve çeşitli ürüler ürete işletmeler içi primal çözüm süreci uzu olabilir veya mümkü soucu vermeyebilir.bu edele modeli 90

20 oluşturula problemi duali alıarak çözümleebilir.büyük ölçekli ve çok sayıda mamul ürete işletmeler içi primal çözüm süreci yerie dual çözümü öere biliir. KAYNAKÇA Acar.,A, Liear Proggrammig For Maagerial Decisio, A No- Algorithmic Apporach With Computer Applicatios,Middle East Techical Uiversity,Akara,989,s.5. Başar; F,2002, Lieer Cebir,Uğurel Matbaası Mimar Sia Cad..No.3,s,4-90,Malatya. Bazaraa Mokhtar,S,Jarvis J,987, Lieer Programmig ad Network Flows,Joh Wiley & Sos Caada/America,s,60. Eroğlu,A.,Gügör,İ.,977,Primal-Dual Doğrusal Programlama Modelleri Arasıdaki İlişkiler,S.Demirel Üiversitesi,İktisadi ve İdari Bilimler fakültesi Dergisi,s, Fredrich S,Hillier ad Gerald J,Lieberma, 986,İtroductio to Operatios Research Fourt Editio,Holde Day,Ic,s,34-67, America,986. Groucher J, S,980,Operatios Research A First Course,Pergoma Pres, New York,980. Karayalçı.,İ,(993),Yöeylem-Hareket-Araştırması,Operatios Research,Geliştirilmiş 3.Baskı.Meteş Kitapevi.İstabul.993,s.. Hamdy.T,.Operatios Research,A İtroductio,Fourth Editio,Collier Macmilla.ic.Caada-America,987,s.65. Öztürk.,A,992),Yöeylem Araştırması,Geişletilmiş III.Basım,Uludağ Üiversitesi Basımevi.,992,s.7. Tuluay;Y,Matematik Programlama ve işletme Uygulamaları,Bayrak Matbaacılık,,İstabul 987, s,257 Tütek,H H,., Gümüşoğlu.,Ş,Sayısal Yötemler Yöetsel Yaklaşım, Geişletilmiş 2.Basım.Beta Yayıevi,İstabul,994,s.3 Wager,H,M., Priciples Of Operatios Research With Applicatios To Maagerial Decisios,Pretice-Hall.İc.,Caada-America,969..s.03. Yılmaz;Z,995,Sayısal Yötemler,Uludağ Üiversitesi Basımevi Bursa. 9