Bu içerik Yrd. Doç. Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ Hoca'mıza ve ÇOMÜ Üni.ye aittir.verdikleri emeklerden dolayı emeği geçen herkese çook tsk ederim...

Transkript

1 Bu içerik Yrd. Doç. Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ Hoca'mıza ve ÇOMÜ Üni.ye aittir.verdikleri emeklerden dolayı emeği geçen herkese çook tsk ederim... Dersin Adı: Dersin Kodu: Yarıyılı Dersin Türü: Ayrık Matematik Teorik- Sınıf içi uygulama BM 229 Haftalık ders saati/uygulama Saati 3 Yarıyıl /2. Sınıf - Güz 7.Bölüm öncesi Arasınav yapıldı ÇOMU Kredisi ECTS Statüsü: Seçmeli Eğitim Dili: Türkçe 3.5 Ders Sorumlusu: İletişim: Yrd. Doç. Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ iturkyilmaz@comu.edu.tr Tel: dahili: 2188 KONULAR İşlenecek Konular Dersler 1 Temel Bilgiler: Mantık, Kümeler ve Fonksiyonlar Ders01 2 Temel Bilgiler: Kümeler Ders02 3 Kanıtlama ve Matematiksel Muhakeme Ders03 4 Temel Bilgiler: Bağıntı ve Fonksiyonlar Ders04 5 Sayma Ders05 6 İleri Sayma Teknikleri Ders06 - Arasınav 7 İlişkiler Ders07 8 Graflar Ders08 9 Ağaçlar Ders09 10 Ağaçlar Ders10 11 Bolean Cebri Ders11 12 Hesaplama Modelleri Ders12 13 Hesaplama Modelleri Ders13

2 Dersin Amacı: Kesikli matematik dersinin birden fazla amacı vardır. Öğrenciler bazı matematiksel gerçekleri ve daha önemlisi bunları nasıl uygulayacaklarını öğrenmelidirler. Böyle bir ders öğrencilere matematiksel olarak düşünmeyi öğretecektir. Bu amaçları başarmak için bu derste problem çözerken matematiksel sonuç çıkarma ve farklı yollara vurguda bulunulacaktır. Bu derstesin beş önemli teması olarak adlandırılan matematiksel sonuç çıkarma, kombinatorik analiz, kesikli yapılar, algoritmik düşünme, uygulama ve modelleme konuları incelenecektir. 1. Matematiksel Sonuç Çıkarımı: öğrenciler, matematiksel düşünceleri inşa etmek geliştirmek ve okumak için matematiksel sonuç çıkarımını anlamak zorundadırlar. Bu ders, ispat metotlarının temelini inşa edebilmek için matematiksel mantık tartışmasıyla başlamaktadır. Hali hazırdaki ispatlama örneklerinin farklı tipleri içerisinden Matematiksel tümevarım tekniğine vurguda bulunulmaktadır. 2. Kombinatorik Analiz: Önemli problem çözme becerisi nesneleri numaralandırma ve sayma yeteneğidir. Numaralandırma tartışması bu derste sayma temel tekniği ile yapılmaktadır. Burada vurgu sayma problemlerini çözmek için doğrudan formül uygulama yerine kombinatorik analizin uygulanması üzerine olacaktır. 3. Kesikli Yapılar: Kesikli matematik dersinin amacı, öğrencilere kesikli yapılar diye adlandırılan; ayrık nesneler ve bu nesneler arasındaki ilişkileri ifade etmek için kullanılan soyut matematiksel yapılar üzerinde nasıl çalışılacağını öğretmek olmalıdır. Bu kesikli yapılar kümeler, permutasyonlar, ilişkileri graflar, ağaçlar ve sonlu durum makineleridir. 4. Algoritmik Düşünme: Bazı problemler algoritma belirlenerek çözülür. Algoritma tamamlandıktan sonra bunu uyarlayan bilgisayar programı inşa edilebilir. Algoritmayı belirlemeyi içeren bu aktivitenin matematiksel kısmı olan doğrulama; bu işlemlerin bilgisayar tarafından gerçekleştirilebilmesi için gerekli bilgisayar hafızası ve gerekli çalışma zamanı analizlerini içermektedir. Algoritmalar hem Türkçe hem de daha iyi anlaşılsın diye sahte kodlar yardımıyla ifade edilmektedirler. 5. Uygulama ve Modelleme: Kesikli matematik hemen hemen her akla yatkın çalışma alanlarında birden çok uygulamalara sahiptir. Ders içerinde bilgisayar bilimleri ve veri ağları konularında birçok uygulamayla karşılaşacağız. Bunlara ek olarak kimya, botanik, zooloji, linguistik, coğrafya, iş ve internet ile ilgili uygulamalarımızda olacaktır. Kesikli matematik kullanılarak yapılan modelleme son derece önemli problem çözme yeteneğidir. Bu derste öğrenciler sunulan bazı örneklerle kendi modellerini inşa ederek kendilerini geliştirme şansını yakalayacaklardır. Dersin Yöntemi: Haftalık dört saat üzerinden ders anlatımı yapılacaktır. Dersin Ön şartları: Yok. Materyalleri: Ders notlarının bir kısmı ve konularla ilgili alıştırmalar verilecektir. Değerlendirme Yöntemi: Bir ara sınav ve bir final olarak iki sınav yapılacaktır. Başarı Notu olarak ara sınavın % 40 ı finalin % 60 ının toplamı alınarak hesaplanacaktır. Devamlılık zorunludur, dersin %30 dan fazlasına devam etmeyen öğrenciler otomatik olarak başarısız sayılırlar. Derse Kayıt gerekli mi?: Dönem başında ders kaydı yaptırılmalı. Sınavlar için kayıt gerekli mi?: Hayır, bölümün sınav tarihine çizelgesine göre sınavlar yapılacaktır. Diğer Bilgiler: Bu ders, mühendislik bölümleri öğrencileri için uygundur.

3 Kaynaklar Ana Kaynaklar Kenneth H. ROSEN, Discrete Mathematics and its Applications, Mc Graw Hill, R. GARNIER and J. TAYLOR, Discrete Mathematics for New Technology, Adam Hilger Publishing, Yardımcı Kaynaklar Sait AKKAŞ, Soyut matematik, Gazi Üniversitesi, 1984.

4 Önermeler Ders Önermeler 1-2 1

5 Önerme Mantığı ve İspatlar Mantık önermelerin doğruluğunu kanıtlamak için kullanılır. Önermenin ne olduğu ile ilgilenmek yerine bazı kurallar koyar ve böylece önermenin genel formunun geçerli olup olmadığını yargılar. Mantığın bize sağladığı kurallar, belirtilen aşamalardan çıkan sonucun tutarlı olup olmadığını veya sonucun doğruluğunun ispatlanması aşamasındaki basamaklarda hatalı bir kısmın bulunup bulunmadığını değerlendirmemizi sağlar. 1-3 Önerme Örnekleri 1-4 2

6 Önerme Değişkeni 1-5 Birleşik Önerme 1-6 3

7 Değil Bağlacı Bütün köpekler vahşidir önermesinin tersi şunlar olabilir: Bütün köpeklerin vahşi olması söz konusu değildir. Köpeklerin hepsi vahşi değildir. Bazıköpekler vahşi değildir. Dikkate edilirse Hiçbir köpek vahşi değildir önermesi Bütün köpekler vahşidir önermesinin tersi değildir. Tersini alma işleminde, ilk ifadenin doğru olduğu her durumda ikinci ifade yanlış olmalı ya da tam tersi olmalıdır. Bütün köpekler vahşidir önermesi sadece bir köpeğin vahşi olduğu durumda yanlıştır ancak Hiçbir köpek vahşi değildir önermesi bu durumda doğru değildir. 1-7 Ve Bağlacı p: Güneş Parlıyor. q: Köpekler havlar. p q: Güneş parlıyor ve köpekler havlar

8 Veya Bağlacı (Dahili Birleşim) 1-9 Dar Veya Bağlacı (Harici Birleşim) Örneğin, Yarın yüzmeye gideceğim veya golf oynayacağım cümlesi iki işin birlikte yapılmayacağı anlamı taşıdığından harici tiptedir. Diğer taraftan, Adaylar 25 yaşın üzerinde veya en az 3 yıllık tecrübeye sahip olmalıdır cümlesinde iki şarttan en az birini sağlayan adaylar dikkate alınacakmış izlenimi verdiğinden dahili birleşimidir

9 Koşullu Bağlaç p: Kahvaltı yaparım. q: Öğlen yemeği yemem. p q : Eğer kahvaltı yaparsam, öğlen yemeği yemem. Yukarıdaki örnekteki p q için diğer alternatifler: Sadece eğer öğlen yemeği yemezsem kahvaltı yaparım. Kahvaltı yapmam öğlen yemeği yemeyeceğim anlamına gelir. Ne zaman kahvaltı yapsam öğlen yemeği yemem. Koşullu önermelerde, p önermesi önceki ve q önermesi sonraki olarak adlandırılır. p önermesi q için yeterli şart, q ise p için gerekli 1-11 şarttır. Koşullu Bağlaç Örnekleri

10 Koşullu Bağlaç Örnekleri 1-13 Karşılıklı Koşullu Bağlaç (Çift Yönlü Koşullu önermeler) p: Kahvaltı yaparım. q: Öğlen yemeği yemem. p q : Ancak ve ancak (sadece ve sadece) kahvaltı yaparsam öğlen yemeği yemem. Alternatif olarak; ancak ve ancak (Sadece ve sadece) öğlen yemeği yemezsem kahvaltı yaparım

11 Sağlıklı Formül 1-15 Sağlıklı Formül Örnekleri

12 Öncelik Sırası 1-17 Öncelik Sırası Örnekleri

13 Formül Nitelikleri 1-19 Totoloji Örneği

14 Çelişki Örneği 1-21 Üst Dil

15 Mantıksal Gerektirme 1-23 Mantıksal Gerektirme Örneği

16 Mantıksal Eşdeğerlilik İki önerme, kendilerini oluşturan bileşenlerinin tüm doğruluk değeri kümesi için aynı doğruluk değerin sahipse bu iki önerme mantıksal eşdeğerdir denir. P ve Q ya iki bileşik önerme dersek, P ve Q mantıksal eşdeğerse P Q veya P Q şeklinde gösterilir. Totolojiler ve çelişkilerde olduğu gibi mantıksal eşdeğerlilik de P ve Q nun yapılarının sonucudur Mantıksal Eşdeğerlilik Örneği

17 Mantıksal Anlam İki önerme arasında oluşabilecek bir diğer yapıya-bağımlı ilişki de mantıksal anlamdır. Eğer bir P önermesi her doğru olduğunda Q önermesi de doğru oluyorsa, P önermesi mantıksal olarak Q önermesi anlamına gelir. Ancak bunun tersi doğru değildir yani Q, P yanlış olduğunda da doğru olabilir. Mantıksal anlam ile sembolize edilir. P Q, P mantıksal olarak Q anlamına gelir demektir. P Q ile P Q bir totolojidir ifadeleri benzer ifadelerdir. P Q ise P doğru iken Q hiçbir durumda yanlış değildir. Bu da sadece P Q nun yanlış olduğu durumda mümkün olduğundan P Q bir totoloji olmalıdır Mantıksal Anlam Örneği Örnek: q (p v q) olup olmadığını gösteriniz. Çözüm: q önermesinin her doğru olduğu anda (p V q) nun da doğru olduğunu göstermek gerekir. Doğruluk tablosunu yaparsak: q nundoğru olduğu her durumda (1 ve 3. satırlar) p V q da doğrudur. p V q, q yanlış olduğunda da doğrudur (2. satır) Fakat bunun q, p V q ile mantıksal eşdeğerdir ifadesinin sağlanmasıyla bir alakası yoktur

18 Gödel Kuramı 1-29 Gödel Kuramı Mantıkta her önerme ya yanlış ya da doğrudur. Örneğin A önermesi insan bir ağaçtır yanlıştır; bunun karşıtı anti-a ise doğrudur: İnsan bir ağaç değildir. Bu özelliğe dayanarak Gödel, G önermesini yaptı: Öyle bir A önermesi bulunabilir ki ne A, ne de Anın karşıtı (anti-a) doğrudur. Böylece bomba patlamış oldu: Matematikte daima gösterilemeyen gerçekler olacaktır. Modern terimlerle söylersek bir bilgisayara hayal edilebilecek bütün matematik kuralları verilse bile, bilgisayar bazı problemleri asla çözemeyecektir. Hilbert, Matematiğin her problemini bir bilgisayar programıyla elde edip çözüme ulaştırabilme inancını taşıyordu. Gödel bunu kendi teoremiyle çürütmüştür da İngiliz matematikçisi Alan Turing, Gödel in buluşunu genelleştirdi. Turing şunu gösterdi: bir bilgisayar, kanıtlanamayacak bir matematiksel gerçekle karşılaşırsa, sonsuza dek çalışır, durmaz. Gödel şunu kanıtladı: Bir dilin tam tanımı, aynı dilde yapılamaz; çünkü bu yolla bir cümlenin doğruluğu tanımlanamaz

19 Önerme Hesabı Yaklaşımları 1-31 Eşdeğerlilikler 1 Aşağıdaki liste bir önceki konudaki teknikler kullanılarak ispatlanabilecek mantıksal eşitlikleri içerir. Bu kurallar p, q ve r gibi basit önermeler ve bunların yerine konabilecek yedek örneklerin tamamı için geçerlidir. Double negation Commutativity Associativity

20 Eşdeğerlilikler 2 idempotence identity 1-33 Eşdeğerlilikler 3 Distributivity absorbtion

21 Eşlik Kuralı (Duality Principle) Sadece ve bağlayıcılarını içeren herhangi bir p önermesi verilmiş ise, bu önermenin eşi yerine, yerine, t yerine f ve f yerine de t koyarak elde edilir. Örneğin, (p q) ~p nineşi (p q) ~p olmalıdır. Dikkat edilirse kesişim ve dahili birleşim dışındaki bağlayıcılarla bağlanmış bileşik önermelerin eşinin nasıl elde edildiğinden bahsedilmedi. Bunun önemi yoktur çünkü diğer bağlayıcılara sahip önermelerin hepsi sadece tersini alma ve kesişim bağlayıcılarını içeren mantıksal eşdeğer formunda yazılabilir. Eşlik kuralına göre eğer iki önerme mantıksal eşdeğerse, eşleri de mantıksal eşdeğerdir Eşdeğerlilik Hesabı Örneği (yerine koyma kuralı) Örnek: ( ~p q ) ~(p q) ~p olduğunu ispatlayınız. Çözüm: (~p q ) ~(p q) (~p q ) (~p ~q ) (De Morgan Kuralı) ~p (q ~q) (Dağılma özelliği) ~p t ~p

22 Eşdeğerlilik Hesabı Örneği (yerine koyma kuralı) 1-37 Akıl Yürütme

23 Akıl Yürütme - örnek Mehmet bir avukattır. Mehmet hukuk fakültesine gitti çünkü tüm avukatlar hukuk fakültesine gider. önermesini göz önüne alalım: Bu bir tezdir (argümandır). Mehmet hukuk fakültesine gitti. sonucunun doğruluğu Mehmet bir avukattır. ve tüm avukatlar hukuk fakültesine gider dayanakları sonucunda elde edildi. p: Mehmet bir avukattır. q: Tüm avukatlar hukuk fakültesine gider. r: Mehmet hukuk fakültesine gitti. Buradan; p q r Sembolü akıl yürütme sonucunda bir sonuç çıkarıldığını göstermektedir. Şimdi tezin dayanaklarının doğru olduğunu kabul edelim. Bu durumda sonuç doğru veya yanlış olabilir. Sonuç doğruysa argüman (tez, düşünce) doğru, yanlış ise tez yanlıştır Akıl Yürütme - örnek Bir tezin doğruluğunun araştırılması için 1.Tezin dayanaklarının ve sonucu tanımlanmalıdır. 2.Dayanaklar ve sonuçların doğruluk tabloları inşa edilmelidir. 3.Tüm dayanakların doğru olduğu satırlar bulunmalıdır aşamadaki her bir satır için sonuç doğruysa tezde doğru, aksi halde tez yanlıştır. Örnek: p q q p p q olduğunu gösteriniz. q p D D D Y Doğruluk tablosu yapacak olursak yandaki tablo elde edilir. Son satırdan görülebileceği gibi dayanaklar doğru olmasına karşılı sonuç yanlıştır. Sonuç olarak, tez yanlıştır. p D D Y Y q D Y D Y p q D Y D D q p D D Y D

24 Modus Ponens Doğrulama Metodu p D D Y Y q D Y D Y p r D Y D D Birinci satır dayanakların doğru olduğunda sonuçta doğru olduğundan tezin geçerli olduğunu göstermektedir 1-41 Moden Tollens - Reddetme p q p q ~q ~p D D D Y Y D Y Y D Y Y D D Y D Y Y D D D Son satır dayanakların doğru olduğunda sonuçta doğru olduğundan tezin geçerli olduğunu göstermektedir

25 Yanılgılar - dikkat Geçerli değildir! 1-43 Yanılgılar Öncülü reddetme yanılgısı Geçerli değildir!

26 Disjunctive Syllogism - Ayırıcı Kıyas 1-45 Disjunctive Addition Ekleme

27 Conjunctive Simplification Basitleştirme 1-47 Hypothetical Syllogism Varsayımlı kıyas

28 Varsayımlı kıyas örneği 1-49 Constructive Dilemma - Yapıcı ikilem p q r s p V r : Eğer Obama seçimleri kazanırsa başkan olacak. : Eğer McCane seçimleri kazanırsa başkan olacak. : Obama seçimleri kazanır veya McCane seçimleri kazanır. Sonuç olarak ya Obam veya McCane başkan olacak

29 Destructive Dilemma -Yıkıcı İkilem p q : Eğer Obama seçimler için yarışırsa başkan olacak. r s : Eğer McCane seçimler için yarışırsa başkan olacak. ~r V ~s : Obama başkan olamaz veya McCane başkan olamaz. Sonuç olarak ne Obam ne de McCane seçimler için yarışamaz Akıl Yürütme Örnekleri

30 Akıl Yürütme Örnekleri 1-53 Akıl Yürütme Örnekleri

31 Akıl Yürütme Örnekleri 1-55 Akıl Yürütme Örnekleri

32 Yüklem Açık Önerme 1-57 Çalışma Evreni

33 Yüklem - örnekler 1-59 Niceleyiciler En az bir tane vardır. x D, P(x) önermesi en az bir x değeri için yanlış olduğu gösterilirse bu önerme yanlış olur. Bu x örneğine karşıt örnek adı verilir

34 Niceleyiciler 1-61 Niceleyici Örnekler

35 Niceleyicilerin Değillenmesi 1-63 Niceleyicilerin Değillenmesi

36 Niceleyici Eşdeğerlilik 1-65 Niceleyici Gerektirmeleri

37 Çoklu Niceleyiciler 1-67 Çoklu Niceleyici Örnekleri

38 Çoklu Niceleyici Örnekleri 1-69 Sayısal Devre tasarımı Bu kısımda sayısal sistemlerin temel parçalarını göz önüne alarak sayısal devre tasarımı mantığı üzerinde duracağız. Sayısal sistemlerin amacı; voltaj ve akım gibi fiziksel varlıklar tarafından temsil edilen ayrık bilgileri düzenlemesidir. En küçük temsil birimi binary digit in kısaltması olan bit olarak isimlendirilir. Elektronik anahtarlar; yüksek voltaj ve alçak voltaj gibi iki fiziksel duruma sahip olduğundan, biz yüksek voltajı 1 ve alçak voltajı 0 ile temsil edeceğiz. Mantıksal kapı sayısal sistemlerdeki en küçük işlem ünitesidir. Bir veya birkaç bit girdi olarak alınır ve işlenerek bir bit sonuç üretilir. Devre, kablolarla birbirine bağlanmış çok sayıdaki mantık devresinden oluşur. Bir grup biti girdi olarak alır ve bir veya daha fazla bit çıktı üretir

39 Sayısal Devre tasarımı Beş temel mantık kapısı aşağıdaki gibidir: 1. NOT kapısı (inverter) 0 girdini 1 e, 1 girdisinide 0 a dönüştürür. ~p ile gösterilir. 2. AND kapısı: p ve q gibi iki bit alır. p ve q 1 ise çıktı 1 aksi halde çıktı sıfır olur. p q ile gösterilir. 3. OR kapısı: p ve q gibi iki bit alır. p ve q nun her ikisi de 0 ise çıktı sıfır aksi halde 1 olur. p V q ile gösterilir. 4. NAND kapısı: p ve q gibi iki bit alır. p ve q nun her ikisi de 1 ise çıktı sıfır aksi halde 1 olur. ~(p q) ile gösterildiği gibi p q ile de gösterilir. Scheffer stroke olarak adlandırılır. 5. NOT kapısı: p ve q dan en az biri 1 ise çıktı 0 aksi halde 1 olur. ~(p V q) ile gösterildiği gibi p q ile de gösterilir. Pierce arrow olarak adlandırılır Semboller

40 Örnekler P=0, Q=1 ve R=0 olduğuna göre S deki sinyal çıktısı ne olur Örnekler Her iki devrenin eşdeğer olduğunu gösteriniz

41 Örnekler P ve Q tek binary digit ve P+Q=RS olsun. Aşağıdaki Tabloyu tamamlayın Bu devre, half-adder (yarı-toplayıcı) devre olarak adlandırılır ve iki tek binary digitin toplamını hesaplar

42 Ders 2 Kümeler 1 Küme 2 1

43 Küme Gösterimi 3 Kapalı Gösterim Örnekleri 4 2

44 Küme İkilemi 5 Küme İkilemi 6 3

45 Sonlu Küme 7 Rasyonel Sayılar ve Doğal Sayılar 8 4

46 Altküme 9 Altküme Değil 10 5

47 Altkümeler Kümesi 11 Altkümeler kümesi örneği 12 6

48 Küme İşlemleri 13 Küme İşlemleri 14 7

49 Kartezyen Çarpım 15 Kartezyen Çarpım Örneği 16 8

50 Eşdeğerlilikler 17 Eşdeğerlilikler 18 9

51 De Morgan Kuralı 19 Eşdeğerlilik 20 10

52 Eşdeğerlilik Örneği 21 İçleme-Dışlama İlkesi 22 11

53 İçleme-Dışlama Örneği 23 İçleme-Dışlama Örneği 24 12

54 İçleme-Dışlama Örneği 25 İçleme-Dışlama Örneği 26 13

55 İçleme-Dışlama Örneği 27 14

56 Ders 3 Kanıtlama 1 Konular 2 1

57 Bazı kabul görmüş tanıtlama teknikleri Doğrudan tanıtlama: Sonucun, aksiyomlar, tanımlar ve daha önceki savların mantıksal olarak birleştirilmesiyle elde edildiği yöntem. Tümevarımla tanıtlama: Temel bir durumun tanıtlandığı ve bir tümevarım kuralı kulanılarak çok sayıda (sıkça sonsuz olan) başka durumların tanıtlandığı yöntem. Olmayana ergi tanıtı (Reductio ad absurdum olarak da bilinir): Bir özelliğin doğru olması durumunda mantıksal bir çelişkinin doğacağı dolayısıyla özelliğin yanlış olduğunun gösterildiği yöntem. Oluşturarak tanıtlama: İstenen özelliğe sahip somut bir örnek oluşturularak istenen özellikte bir nesnenin var olduğunun gösterildiği yöntem. Tüketerek tanıtlama: Tanıtlanacak önermenin sonlu sayıda duruma bölünerek her birinin ayrı ayrı tanıtlandığı yöntem. 3 Kaba Kuvvet Yöntemi 4 2

58 Temel Kurallar 5 Evrensel Özelleştirme Örneği 6 3

59 Evrensel Özelleştirme Örneği 7 Evrensel Genelleştirme Örneği 8 4

60 Boş Tanıt 9 Değersiz Tanıt 10 5

61 Doğrudan Tanıt 11 Doğrudan Tanıt Örneği Örnek: Tüm n tamsayıları için, n çift ise n 2 nin de çift olduğunu kanıtlayınız. İspat: n çift bir tamsayı olsun. Bu halde 2, n in çarpanlarından biridir ve n, m bir tamsayı olmak üzere n=2m şeklinde ifade edilebilir. Buradan yola çıkarak n 2 =(2m) 2 =4m 2 olur. 4m 2 ifadesi 2m 2 tamsayı olmak üzere 2(2m 2 ) şeklinde yazılabilir. Bu sebeple n 2 çifttir. 12 6

62 Dolaylı Tanıt 13 Dolaylı Tanıt Örneği Örnek: Ters pozitifini sağlayarak, her n tamsayısı için n 2 çift ise n de çifttir ifadesini ispatlayınız. İspat: İspatlanacak ifade P(n) n 2 çifttir, Q(n) n çifttir ve n seçilmiş bir tamsayı olmak üzere, P(n) Q(n) dir. Ters pozitif ise ~Q(n) ~P(n): n tek ise n 2 tektir. Bu ifadeyi n tektir in doğru olduğunu varsayarak ve n 2 nin tek olduğunu göstererek kanıtlayabiliriz. n tek bir tamsayı olsun. n =2m+1, m tamsayı n 2 =(2m+1) 2 =4m 2 +4m+1 =2(2m 2 +2m)+1, n 2 tektir. (2m 2 + 2m) tamsayı 14 7

63 Dolaylı Tanıt Örneği 15 Çelişkiyle Tanıt 16 8

64 Çelişkiyle Tanıt Örneği 17 Eşdeğerlilik Tanıtı 18 9

65 Eşdeğerlilik Tanıtı Örneği 19 Eşdeğerlilik Tanıtı Örneği 20 10

66 Eşdeğerlilik Tanıtı Örneği 21 Eşdeğerlilik Tanıtı Örneği 22 11

67 Tümevarım 23 Tümevarım 24 12

68 Tümevarım Örneği 25 Tümevarım Örneği 26 13

69 Tümevarım Örneği 27 Güçlü Tümevarım 28 14

70 Güçlü Tümevarım Örneği 29 Hatalı Tümevarım Örneği 30 15

71 Hatalı Tümevarım Örneği 31 Hatalı Tümevarım Örneği 32 16

72 Hatalı Tümevarım Örneği 33 Hatalı Tümevarım Örneği 34 17

73 Bağıntı ve Fonksiyon Ders Konular 4-2 1

74 Bağıntı 4-3 Bağıntı Örneği 4-4 2

75 Bağıntı Bileşkesi 4-5 Bileşke Matris Örneği 4-6 3

76 Birleşme Özelliği 4-7 Bileşke Özelliği 4-8 4

77 Bileşke Özellikleri 4-9 Evrik Bağıntı Ters Bağıntı

78 Evrik Bağıntı Özellikleri 4-11 Evrik Bağıntı Teoremleri

79 Evrik Bağıntı Teoremleri 4-13 Evrik Bağıntı Teoremleri

80 Bileşke Evriği 4-15 Bileşke Evriği Matrisi

81 Kümeiçi Bağıntı Yansıyan, reflexive Simetrik 4-17 Bağıntıların Özellikleri Tanım: R, A kümesi üzerinde bir bağıntı olsun. O halde R; i. Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır. (reflexive). ii. a,b A için arb, sadece ve sadece bra anlamına geliyorsa simetriktir (bakışlıdır). iii. a,b A için arb ve bra sadece ve sadece a=b anlamına geliyorsa ters simetriktir (ters bakışlıdır). iv. a,b,c A için arb ve brc sadece ve sadece arc anlamına geliyorsa geçişlidir (transitive)

82 Örnek Örnek: A={a,b,c,d} ve R={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(d,d)} olsun. R bağıntısı yukarıdaki tanımdaki hiçbir özelliği sağlamaz. R yansıyan değildir çünkü crc değildir; bu nedenle tüm x A için xrx doğru değildir. R simetrik değildir zira örneğin arc dir fakat cra değildir. R ters simetrik değildir zira arb ve bra dır fakat a=b değildir. R geçişli değildir çünkü arb ve brd dir fakat ard değildir UYARI Verilen digraphlar veya ikili matrisler ile bağıntı özelliklerinin anlaşılması mümkündür. Eğer bağıntı yansıyan bağıntı ise R nin digraphının her noktasından kendisine bir yönlü ok vardır. İkili matrisinde ise diyagonal elemanların hepsi 1 dir. Eğer R simetrik ise digraphtaki okların tamamı iki-yönlüdür. Ters simetrik ise okların hiçbiri iki yönlü değildir. Öte yandan geçişli bağıntıların digraphlarından veya ikili matrislerinden özellik tanımlamak zordur

83 Yansıma 4-21 Yansıma Örnekleri

84 Ters Yansıma 4-23 Bakışlılık - Simetrik

85 Bakışsızlık (simetrik değil) 4-25 Ters Bakışlılık (Ters Simetri)

86 Geçişlilik 4-27 Geçişsizlik

87 Ters Geçişlilik 4-29 Evrik Bağıntı

88 Özel Bağıntılar 4-32 Özel Bağıntılar

89 Özel Bağıntılar 4-34 Özel Bağıntılar

90 Eşdeğerlilik 4-42 Bölmeleme veya Eşdeğerlik Sınıfları

91 Fonksiyon 4-44 Birebir Fonksiyon

92 Örten Fonksiyon 4-46 Bijektif Fonksiyon

93 Altküme Görüntüsü 4-48 Fonksiyon Bileşkesi

94 Fonksiyon Bileşkesi Örnekleri 4-50 Fonksiyon Bileşkesi Teoremleri

95 Fonksiyon Bileşkesi Teoremleri 4-52 Birim Fonksiyon

96 Evrilebilir (Ters) Fonksiyon 4-54 Fonksiyon Evriği

97 Evrilebilir (Ters) Fonksiyon 4-56 Evrilebilir Fonksiyon

98 Permutasyonlar 4-58 Çevrimli Permutasyon

99 Permutasyon Bileşkesi 4-60 Çevrimli Permutasyon Bileşkesi

100 Transpozisyon Bileşkesi 4-62 Güvercin Deliği İlkesi

101 Güvercin Deliği İlkesi 4-64 Genelleştirilmiş Güvercin Deliği İlkesi

102 Güvercin Deliği İlkesi Örneği 4-66 Güvercin Deliği İlkesi Örneği

103 Güvercin Deliği İlkesi Örneği 4-68 Güvercin Deliği İlkesi Örneği Her x S için r x 2 p, r 0 ve obeb(2, p) 1. Buradan p nin tek olduğu ortaya çıkar. y T 1,3,5,...,199 ve T 100 S kümesinden 101 tane eleman seçildiğinden güvercin deliği ilkesinden dolayı p T olmak üzere r s gibi iki farklı eleman vardır. Burada, eğer r < s ise a b, aksi halde r > s ise b a dır. a 2 p ve b 2 p

104 Rekürsif Fonksiyonlar 4-70 Tümevarımla Tanımlanan Fonksiyon Örnekleri

105 Öklid Algoritması 4-72 Fibonacci Dizisi

106 Fibonacci Dizisi 4-74 Ackermann Fonksiyonu

107 Sıra Bağıntıları Ders Sıra Bağıntıları Birçok küme doğal olarak sıralanmış elemanlara sahiptir. Örneğin büyüklüğe göre sıralanmış reel sayılar kümesi. Benzer şekilde bir küme topluluğu eleman sayısına göre sıralanabilir. Örneğin, A B ise A, B den küçüktür deriz. Eşdeğerlik bağıntılarından farklı olarak birçok farklı tip sıra bağıntısı vardır. En genel sıra bağıntısı parçalı sıra bağıntısıdır. Tanım: Bir kümedeki parçalı sıra, yansıyan, ters simetrik ve geçişli olan bir bağıntıdır. Bir kümede parçalı sıra varsa bu kümeye parçalı sıralı küme denir

108 Sıra Bağıntıları - Örnek Örnek: Reel sayılar kümesi üzerinde x R y sadece ve sadece x y ise şeklinde tanımlanan R bağıntısı parçalı sıradır. Öte yandan, x S y sadece ve sadece x<y ise şeklinde tanımlanan S bağıntısı parçalı sıra değildir çünkü yansıyan değildir. Teorem: R, A kümesi üzerinde parçalı bir sıra ve B de A nın herhangi bir alt kümesi olsun. Bu durumda, S = R (B B) B üzerinde bir parçalı sıradır. 5-3 En büyük ve en küçük eleman Teoreme göre reel sayıların her hangi bir alt kümesi bağıntısı ile parçalı sıralıdır. Bu şekilde sıralanmış bazı reel sayı kümeleri en büyük veya en küçük elemana sahip olabilir, bazıları da olmayabilir. Örneğin, tam sayılar kümesinin en büyük veya en küçük elemanı yokken, pozitif tamsayıların en küçük elemanı 1 dir fakat en büyük elemanı yoktur. En büyük veya en küçük eleman bir tane olmayabilir. Örneğin, {a,b,c} kümesinin öz alt kümelerini eleman sayısına göre sıralarsak, en küçük eleman iken en büyük eleman üç tanedir çünkü üç tane iki elemanlı alt küme vardır

109 En büyük ve en küçük eleman Tanım: R, A kümesi üzerinde bir parçalı sıra olsun. A nın en büyük elemanı, tüm a A için a R α olmak üzere α elemanıdır. Tanım: R, A kümesi üzerinde bir parçalı sıra olsun. A nın en küçük elemanı, tüm a A için β R a olmak üzere β elemanıdır. Yeniden {a,b,c} nin öz alt kümeleri örneğine dönersek iki elemanlı her bir alt küme en büyük eleman olacaktır. O halde bu düşünceyi maksimal eleman tanımı ile formülize edebiliriz. Tanım: A, R sıra bağıntılı bir parçalı sıralı küme olsun. Tüm a A için x R a, x=a anlamına geliyorsa A daki x elemanı maksimaldır. Tanım: A, R sıra bağıntılı bir parçalı sıralı küme olsun. tüm a A için a R y, a=y anlamına geliyorsa y elemanı minimaldir. 5-5 Uygulama: İlişkisel Veritabanları Bilgiyi saklamak için tasarlanmış bilgisayar yazılıma veritabanı sistemi denir. Saklanmış verilerin işlenmesinin kontrol eden yazılıma da veritabanı yönetim sistemi (database management system) veya DBMS denir. Tüm veritabanı yönetim sistemleri, verinin özel bir tip yapıya sahip olduğunu ve DBMS in saklı veriyi, verinin kendi teorik modeline göre işlediğini varsayar. Bu yüzden bir çok değişik tip DBMS bulunur: ilişkisel, ağ ve hiyerarşik. Bu bölümde matematiksel bağıntıları esas alan ilişkisel veritabanı sistemlerinden bahsedilecektir de Matematikçi Edward Fredrik Codd IBM San Jose Laboratory da ilişkisel veri modelini tanımladı da Peter Chen Varlık İlişkisel (ER) modeli tanımladı. Bir veri birçok kısımdan oluşur. Örneğin, adres defterindeki bir kayıt isime, adrese, telefon numarasına göre sınıflandırılabilir. Verinin her bir parçası attribute (özellik, nitelik) olarak adlandırılır. Verilerin her zaman belli bir nitelik kümesine sahip olduğunu varsayarız ve bu nitelik kümesine kayıt tipi (record type) adı verilir. Tüm verilerin aynı tip olduğu ve veri tekrarının olmadığı tablolara birincil normal formdadır (first normal form, 1NF) denir. İlişkisel veritabanlarının temel kuralı tüm kayıt dosyalarının birincil normal formda olmasıdır

110 Normal Formlar Arası Geçiş Normal Olmayan Form (UNF) Satır içerisinde tekrar eden grupları kaldırın Birinci Normal Form (1NF) Anahtar olmayan her bir özellik tamamıyla birincil anahtara bağımlı olmalıdır. İkinci Normal Form (2NF) İlişki içerisinde geçişli bağımlılıklar olmamalıdır. Üçüncü Normal Form (3NF) Her bir bağımlı olunan özellik aday anahtar olmalıdır. Boyce-Codd Normal Form (BCNF) Çok değerli bağımlılıkları kaldırın Dördüncü Normal Form (4NF) Geri kalan anormallikleri kaldırın Beşinci Normal Form (4NF) 5-7 Uygulama: İlişkisel Veritabanları Tanım: Veri attribute (özellik) adı denilen bileşenlerine ayrılır. Bir kayıt tipi bir attributelar (veya fieldlar) kümesidir. Bir kayıt örneği (record instance), belli bir kayıt tipinin gerçek verisidir ve kayıt dosyası aynı kayıt tipinden olan kayıt örneklerinin kümesidir. Örnek: GYTE isimli bir yardım derneği kendisine yapılan bağışları yapan kişileri, isimlerini, adreslerini, telefon numaralarını ve bağışla ilgili diğer detayların bilgilerini tutmak istediğini varsayalım. Öncelikle bu dernek; bağışlayanın_adı, bağışlayanın_adresi, bağışlayanın_telefonu, bağış_miktarı ve bağış_tarihi şeklinde adlandırabileceğimiz attribute ları belirler. Bu beş attribute kayıt tipini tanımlar. Tablo 3.1 de bazı kayıt örnekleri gösterilmiştir. bağnın_adı bağnın_adresi bağnın_telefonu bağış_miktarı bağış_tarihi Giggs, R 33 New Street, Manchester Ocak 1997 Giggs, R 33 New Street, Manchester Mart 1999 Beatie, J 24 Oaks Road, Southampton Ekim 1998 Veron,S 2A Great Oldtown, London Kasım 2000 Veron,S 2A Great Oldtown, London Aralık

111 Uygulama: İlişkisel Veritabanları Bağış yapanın açık adresi sadece bir attribute ile etiketlendiğinden bu kayıt dosyasından coğrafik bilgiyi elde etmek kolay olmayabilir. Örneğin dernek, Manchester dan bağış yapanları bulmak isterse şehir adı tek başına bir attribute olarak istenmediğinden çok zor olacaktır. bağışlayanın_adresi isimli tek bir attribute cadde ve şehir olarak ikiye ayrılsaydı şirketin işi çok daha kolay olurdu. Bu örnek, attribute tanımlamak için önemli bir noktayı göstermiştir. Bir kayıt örneğindeki potansiyel yararlı bilgi parçalarının her biri bir attribute ile belirtilmelidir. Bu mecburi bir kural değildir zira potansiyel yararlı bilgi parçası verinin kullanıldığı yere göre değişir. Yukarıdaki örnekte eğer coğrafik konumun bir önemi yoksa adresleri tek bir attribute olarak belirtmek daha mantıklıdır. İlişkisel veritabanı modelinde kayıt dosyası bir tablo olarak gösterilir. Tablonun sütunları attribute isimlerini, satırları ise her bir kayıt örneğini oluşturur. 5-9 Uygulama: İlişkisel Veritabanları Bir kayıt tipinin A 1, A 2,, A n şeklinde n tane attribute ten oluştuğunu düşünelim. Bu durumda herhangi bir A i attribute u için bir veri girişleri kümesi olacaktır. X i ye de A i attribute u ile elde edilen değerler kümesi diyelim. X i kümeleri zamana bağımlıdır ve kayıt dosyasına yeni girişler oldukça veya kayıt silindikçe değişir. Bu notasyona göre; verilen bir kayıt örneği her bir x i, X i kümesine ait olmak üzere n-tuple (sıralı n-li, (x 1, x 2, x n )) dır. Bunun anlamı tüm kayıt örnekleri n tane aynı tip bilgi parçasından oluşur. x i X i olmak üzere tüm n-tupple ların (x 1, x 2,, x n ) kümesi X 1 X 2 X n kartezyen çarpımıdır. Bu yüzden R kayıt dosyası kartezyen çarpımın alt kümesidir R ( X 1 X 2 X n )

112 Uygulama: İlişkisel Veritabanları Örnek: A 1, A 2,, A 5 sırasıyla bağışlayanın_adı, bağışlayanın_adresi, bağışlayanın_telefonu, bağış_miktarı ve bağış_tarihi olsun. Her bir A i attribute u için bu attribute a karşılık gelen X i kümesi olduğunu varsayarız. O halde, bir kayıt örneği x i X i olmak üzere 5-tuple dır. Bu kayıt tipine göre önemli sayıda bilgi yinelemesi olur. Örneğin, bağış yapanın ismi, adresi ve telefonu her bağış yaptığında tekrar kaydedilir. Bu bilginin tutulduğu yerden kayıplara yol açacağı gibi kayıt dosyasının güncellenmesini de zorlaştırır. Mesela, iki bağış yapmış Mr. Giggs adres değiştirdi diyelim. Bu durumda, kayıt dosyasını güncelleştirmek için iki kayıtta da adresi değiştirmek gerekecektir Uygulama: İlişkisel Veritabanları Bu sebeplerle veriyi aşağıdaki gibi iki ayrı kayıt dosyasına bölmek daha mantıklıdır. A 1, A 2, A 3 : bağışlayanın_adı, bağışlayanın_adresi, bağışlayanın_telefonu A 1, A 4, A 5 : bağışlayanın_adı, bağış_miktarı, bağış_tarihi Bu durumda orijinal veritabanındaki yineleme probleminden kurtulmuş oluruz ve daha kolay güncelleme yapabiliriz. Mevcut durumda veritabanı iki ilişkili kayıt dosyası içerir; birisi X 1 X 2 X 3 ün, diğeri X 1 X 4 X 5 ün alt kümesidir. Tabii ki, iki kayıt dosyasını bağışlayanın_adı attribute u birbirine bağlar. bağnın_adı bağnın_adresi bağnın_telefonu Giggs, R 33 New Street, Manchester Beatie, J 24 Oaks Road, Southampton Veron,S 2A Great Oldtown, London bağnın_adı bağış_miktarı bağış_tarihi Giggs, R 100 Ocak 1997 Giggs, R 150 Mart 1999 Beatie, J 300 Ekim 1998 Veron,S 250 Kasım 2000 Veron,S 500 Aralık

113 Uygulama: İlişkisel Veritabanları Tanım: A 1, A 2,, A n attribute ler topluluğu olsun ve her bir A i ye ilişkin bir X i veri kümesi olduğunu düşünelim. İlişkisel veritabanı her biri bazı X i kümeleri arasındaki bağıntılar topluluğudur. Her bir bağıntı bir kayıt dosyasıdır. Kayıt dosyasındaki kayıt örneklerine anahtar (key) ile erişilir. Key, tek bir kayıt örneğini belirten attribute lar kümesidir, fakat bu kümenin hiçbir öz alt kümesi tek bir kayıt örneğini belirtme özelliğine sahip değildir. Pratikte bir çok olası anahtar seçme imkanı vardır. Key olarak kullanılabilecek attribute lar kümesine candidate key (aday anahtar) denir. Bunlardan biri gerçek key olarak seçilir ve buna primary (birincil) key denir. Örneğimizde, {bağışlayanın_adı} herhangi iki bağış yapanın adının aynı olmaması durumunda Tablo 1 için bir candidate keydir. Bu durumda her bir kayıt örneği bağış yapanın adı ile belirtilebilir. Öte yandan iki farklı bağış yapan kişinin aynı adı taşıması durumunda {bağışlayanın_adı} key olmaz bunun yerine {bağışlayanın_adı, bağışlayanın_telefonu} attribute kümesi key olarak kullanılabilir. İlişkisel veritabanları üzerinde beş çeşit işlem yapılabilir Uygulama: İlişkisel Veritabanları Selection (Seçme) c (R) Selection işlemi kayıt dosyasından verilen kriter kümesini sağlayan kayıt örneklerini listeler. Örneğin, X şehrinde yaşayan müşterilerin tüm isim ve adres kayıtlarını listelemek bir selection örneğidir. Selection işlemini yeni kayıt dosyaları tanımlamak yani veritabanındaki kayıt dosyalarının alt kümeleri şeklinde düşünebiliriz. Bu yeni kayıt dosyaları muhtemelen geçicidir ve veritabanını oluşturan kayıt dosyaları kümesine eklenmezler. Aynı zamanda selection kayıt dosyasının tablo gösterimi şeklinde de tanımlanabilir. Bu yeni kayıt dosyaları gerekli attribute lara sahip satırları çekerek elde edilir. Örneğin; GYTE veritabanında Ocak 1999 dan sonraki tüm bağışları seçmek istediğimizde Tablo 3.3 te gösterilen kayıt dosyasından ikinci, dördüncü ve beşinci satırlar elde edilecektir. Maaşı TL den fazla olan çalışanların hepsini bulunuz: Maaş > (Çalışanlar)

114 Uygulama: İlişkisel Veritabanları İzdüşüm (Projection) A1,,An (R) Selection tablodaki belli satırları geri döndürürken projection işlemi sütunları döndürür. Sütunlar attribute lara karşılık geldiğinden sonuçta ortaya çıkan kayıt dosyası orijinalden daha az sayıda attributelu kayıt tipine sahiptir. Projection işleminin resmi tanımı şöyledir: R, (A 1,, A p ) tipinde bir kayıt dosyası ve q p ve her bir B i aynı zamanda R nin attribute u olmak üzere (B 1,, B q ) kayıt tipi olsun. Yani, her bir B bir j için A j ye eşit olsun. Projection, kayıt örnekleri R nin her bir kayıt örneklerinin B i attribute larından oluşan (B 1,, B q ) tipinde yeni kayıt dosyası tanımlar. Örnek: Çalışanlar tablosundaki TCKN ve Adı özelliklerinin izdüşümünü bulunuz: TCKN, Adı (Çalışanlar) 5-15 İzdüşüm Örneği Çalışanlar TCKN Adı BölümNo Maaş Ahmet Kısa Ali Uzun Mehmet Kara Çalışanlar tablosundaki TCKN ve Adı özelliklerinin izdüşümünü bulunuz : P TCKN, Adı (Çalışanlar) P TCKN, Adı (Çalışanlar) TCKN Adı Ahmet Kısa Ali Uzun Mehmet Kara

115 Örnek Satma ilişkisi: Üretici Araba fiyat Toyota Sedan Toyota Ticari Honda Sedan Honda Ticari Fiyat := PROJ Araba,fiyat (Satma): Araba fiyat Sedan Ticari Sedan Uygulama: İlişkisel Veritabanları Doğal Birleşim (Natural Join) GYTE veritabanının örnekteki gibi ikiye ayrıldığını düşünelim. Bu durumda bağış yapanların isimlerini, telefon numaralarının ve bağış miktarlarını nasıl alabiliriz? Buradaki problem bağış yapanın telefon numarası ile bağış miktarlarının farklı kayıt dosyalarında olmalarıdır. O halde kayıt dosyalarını birleştirerek üç attribute u da içeren yeni bir kayıt dosyası üretmemiz gerekir. İki dosyada ayrıca bağışlayanın_adresi ve bağış_tarihi de bulunur ve sonuçta oluşacak birleşmiş tabloda bu attributeler de bulunacaktır. Ancak bu bir sorun değildir zira projection ile bu dosyadan gerekli kayıt tipleri çekilebilir. Natural join işleminin matematiksel temeli şöyledir: R ve S, (A 1,, A p, B 1,, B q ) ve (A 1,, A p, C 1,, C r ) tipinde kayıt dosyaları olsun. R ve S nin doğal birleşimi (A 1,, A p, B 1,, B q, C 1,, C r ) tipinde yeni bir kayıt dosyasıdır. Doğal birleşimim oluşturan kayıt örneklerinin hepsi (x 1,, x p, y 1,, y q ) R ve (x 1,, x p, z 1,, z r ) S özelliğine sahip (p+q+r)-tuple (x 1,, x p, y 1,, y q, z 1,, z r ) dır

116 Natural Join Çalışanlar Bağımlılar TCKN Örnek Çocuk_Adı TCKN Adı Ahmet Ahmet Kısa Ali Uzun Mehmet Mustafa Çalışanlar Bağımlılar = P TCKN, Adı, Çocuk_Adı (s TCKN=TCKN2 (Çalışanlar P TCKN2,Çocuk_Adı (Bağımlılar)) TCKN Adı Çocuk_Adı Ahmet Kısa Ahmet Ahmet Kısa Mehmet Ali Uzun Mustafa SELECT A.TCKN, A.Adı, B.B_adı FROM Çalışanlar A INNER JOIN Bağımlılar B on A.TCKN = B.TCKN; 5-19 Uygulama: İlişkisel Veritabanları Birleşim ve Fark (Union and Difference) Verilen iki aynı kayıt tipinde R ve S kayıt dosyasının birleşimi ve farkı, bildiğimiz küme teorisindeki birleşim ve fark işlemlerine karşılık gelir. Bu yüzden R S, ve R ve S deki kayıt örneklerinin tamamını (listeyi tekrarlamadan) içeren kayıt dosyasıdır. R-S ise R de bulunan fakat S de bulunmayan kayıt örneklerini içeren kayıt dosyasıdır

117 Cebirsel Yapılar Ders İkili İşlemler ve Özellikleri Kümelerdeki birleşim ve kesişim işlemleri iki kümeyi birleştirerek üçüncü bir küme ortaya çıkarırken, g o f bileşke fonksiyonu f ve g fonksiyonlarından farklı bir fonksiyon ortaya çıkarmaktadır. Diğer örnekler ise iyi bildiğimiz aritmetik işlemler yani toplama, çıkarma, çarpma ve bölme olabilir. Bu örneklerin ortak noktası özel bir kümenin elemanlarını birleştirecek kurallar tanımlıyor olmalarıdır. Bu konudaki amacımız için ise bu kuralların iki elemanı birleştirirken ortaya çıkacak sonucun da kümenin elemanı olmasını sağlaması gerekmektedir. Bu kriterleri sağlayan kurala ikili işlem denir

118 İkili İşlemler ve Özellikleri Yukarıda verdiğimiz örneklerin ikili işlem olup olmadıkları sorudaki kümeye göre değişir. Örneğin, pozitif tamsayılar kümesinde toplama işlemi ikili işlem iken çıkarma işlemi değildir. Çünkü verilen iki pozitif tamsayının çıkarılması sonucunda negatif bir tamsayı elde edilebilir. Öte yandan çıkarma işlemi tüm tamsayılar için bir ikili işlemdir. Bazı ikili işlemler için elemanların birleştirilme sıraları önemli iken bazıları için önemli olmayabilir. Örneğin, toplama işleminde m+n=n+m dir fakat m-n ile n-m aynı değildir. Bu nedenle, ikili işlem bir kümenin herhangi eleman çiftleri üzerinde değil sıralı ikilileri üzerinde etkilidir diyebiliriz. Özet olarak, bir ikili işlem için iki şey gereklidir: bir küme ve bu kümenin elemanlarının herhangi bir sıralı ikilisini birleştirerek sonucun yine kümenin bir elemanı olmasını sağlayan bir kural. 6-3 İkili İşlemler ve Özellikleri Tanım: Boş olmayan S kümesi üzerinde bir * ikili işlemi herhangi iki x,y S elemanı birleştirerek z S elemanını veren bir kuraldır ve z=x*y şeklinde gösterilir. Ayrıca ikili işlemler simge olarak,,,, işaretleri ile de gösterilebilir. Tanımdan da anlaşılacağı gibi bir ikili işlem S nin bir elemanını S ye ait olan x ve y elemanlarının tüm (x,y) sıralı ikililerine atayan bir fonksiyondur. Bu sıralı ikililerin kümesi tabii ki S S kartezyen çarpımıdır. Bu da bizi aşağıdaki tanıma götürür: Tanım: Boş olmayan S kümesi üzerinde bir ikili işlem f: S S S şeklinde bir fonksiyondur. x ve y S kümesinin elemanları ise f(x,y) yi x*y şeklinde gösteririz. x*y nin S kümesine ait olması gerektiği koşulu ikili işlemin kapalılık özelliğidir ve bu koşul sağlanırsa S, * işlemine göre kapalıdır deriz

119 İkili İşlemler ve Özellikleri Örnek 4.1: Sonlu bir küme üzerindeki bir ikili işlemin sonucu bir tablo ile de gösterilebilir. Örneğin S={a,b,c,d} kümesi üzerinde bir * ikili işlemi tanımlayalım: Tablo 4.1 i yorumlamadaki mantık şu şekildedir: Örneğin b*d işleminin sonucu b ile etiketlendirilmiş satır ve d ile etiketlenmiş sütunun kesişimi ile elde edilir. O halde, b*d=b dir. Benzer şekilde c*d=a, d*c=c, c*c=a dır. Şimdi de birleşme özelliğinin sağlanıp sağlanmadığını inceleyelim. Bu ifadeyi (a*b)*c yani önce a ve b yi sonra sonucu c ile birleştirmek şeklinde yorumlayabiliriz. Yada a*(b*c) yani a yı b*c işleminin sonucu ile birleştirmek şeklinde de yorumlayabilirdik. Bazı ikili işlemler için örneğin reel sayılar üzerindeki çıkarma işleminde iki yorum iki farklı sonuç verir. Birleşme özelliğine sahip değildir. Bazıları için ise hiçbir şey değişmez. Bu tip ikili işlemler birleşme özelliğine sahiptir denir. 6-5 İkili İşlemler ve Özellikleri Tanım: Bir S kümesi üzerindeki * ikili işlemi, tüm x,y,z S için (x*y)*z=x*(y*z) ise birleşme (associative) özelliğine sahiptir. Birleşme özelliğine sahip olmayan bir ikili işlemden ikiden fazla terim içeren ifadeler için ilk önce hangi elemanların işleme tabi tutulacağını belirtmek amacıyla parantez kullanılmalıdır. Hatırlarsak ikilli işlemi (x,y) sıralı ikilisi üzerinde tanımlamıştık. Tanımın haricinde, eğer x ve y bir kümenin elemanları ise x*y ve y*x de kümenin elemanları olmalıdır. Fakat bu işlemlerin sonucu aynı olmayabilir. Toplama işlemi gibi x*y=y*x olan bazı ikili işlemler için değişme özelliğine sahiptir denir. Tanım: Bir S kümesi üzerindeki * ikili işlemi, tüm x,y S için x*y=y*x ise değişme (commutative) özelliğine sahiptir. Belli ikili işlemlerde, kümenin herhangi bir elemanı ile birleştirildiğinde bu elemanı değiştiremeyen bir eleman vardır. Örneğin reel sayılardaki toplama işleminde sıfır bu özelliğe sahiptir: x+0 = 0+x = x. Eğer varsa böyle bir elemana etkisiz eleman denir

120 İkili İşlemler ve Özellikleri Tanım: * bir S kümesi üzerinde bir ikili işlem olsun. Tüm x S için x*e=e*x=x özelliğine sahip bir e S elemanı * işlemi için etkisiz eleman olarak adlandırılır. Dikkat edilirse, e etkisiz eleman olmak üzere, S kümesindeki tüm x elemanları için x*e=x ve e*x=x eşitliklerinin her ikisi de sağlanması gerekmektedir. Tamsayılardaki çıkarma işleminde 0 etkisiz eleman değildir. Çünkü x-0=x fakat 0-x=-x tir. Aşağıdaki son özellik ise sadece etkisiz elemana sahip ikili işlemlerle ilgilidir. Tanım: * bir S kümesi üzerinde bir ikili işlem olsun ve bir e S etkisiz elemanı olduğunu varsayalım. x, S in bir elemanıdır dersek, x in tersi bir y S elemanıdır öyle ki, x*y=y*x=e. Bir elemanın tersi tektir ve y=x -1 şeklinde yazılır. Aynı zamanda x=y -1. x -1 bazen 1/x ile karıştırılabilir. 1/x, sadece eğer S kümesi sıfır hariç reel sayılar kümesi ve * çarpma ikili işlemi ise x in tersidir. 6-7 İkili İşlemler ve Özellikleri Örnek 4.2: Tablo 4.1 de verilen ikili işlem birleşim özelliğine sahip değildir zira (b*d)*a = b*a = d iken b*(d*a) = b*d = b dir. Benzer şekilde bu ikili işlemin değişme özelliği de yoktur Çünkü b*a a*b dir. Tabloya bakıldığında etkisiz elemanın daolmadığı kolayca görülebilir. İkili işlemde etkisiz eleman olmayabilir fakat eğer varsa bu eleman tektir

121 İkili İşlemler ve Özellikleri Teorem 4.1: *, S kümesi üzerinde bir ikili işlem olsun. Eğer bir etkisiz eleman varsa bu eleman tektir. İspat: e 1 ve e 2 S kümesinde * işlemi altında etkisiz elemanlar olsun. e 2 bir etkisiz eleman olduğuna göre, e 1 *e 2 = e 2 *e 1 = e 1. Fakat e 1 de bir etkisiz eleman olduğuna göre e 2 *e 1 = e 1 *e 2 = e 2. Bu durumda açıkça görülüyor ki e 1 =e 2. O halde, etkisiz eleman tektir. 6-9 İkili İşlemler ve Özellikleri Teorem 4.2: *, S kümesi üzerinde birleşme özelliğine sahip bir ikili işlem ve e bu işlem altında bir etkisiz eleman olsun. Bu durumda bir elemanın tersi eğer varsa tektir. İspat: x S elemanın tersinin y ve z olduğunu düşünelim. O halde, y*x = x*y = e z*x = x*z = e. Bu durumda, y = y*e = y*(x*z) = (y*x)*z (birleşme kuralı) = e*z =z. Böylece x in tersinin tek olduğunu ispatlamış oluruz. Dikkat edilirse bu teoremin ispatında ikili işlemin birleşme özelliğine sahip olması gerekli şarttır. Eğer ikili işlem birleşme özelliğine sahip değilse ters elemanın tek olması garanti değildir

122 Cebirsel Yapılar Bir cebirsel yapı, bir veya daha fazla küme ile birlikte bir şekilde küme elemanlarını birleştirebilen bir veya daha fazla işlemden oluşur. Belli bir cebrik yapı için önemli olan çoğu özelliğinin içerdiği işlemlerden tahmin edilebilmesidir. Bunun anlamı ortak özelliklere sahip cebrik yapıların sınıflara (ailelere) ayrılabileceğidir. Verilen bir cebrik yapının hangi belli yapı ailesine ait olduğunu bulabilmek, bu ailenin tüm elemanlarının hangi karakteristik özelliklere sahip olduğu sonucuna varabilmemize imkan verir. Yani eğer belli bir yapının grup olduğunu anlayabiliyorsak bu yapının grupların tüm karakteristik özelliklerine sahip olduğunu varsayabiliriz. Burada inceleyeceğimiz cebrik yapılar tek bir S kümesi ile birlikte bu kümenin elemanlarını birleştiren tek bir ikili işlemden oluşur. Bu tip bir yapıyı iki gerekli kısımdan oluştuğunu belirtmek için (S, *) şeklinde (bir küme ve bu küme üzerinde bir ikili işlem) gösterebiliriz Cebirsel Yapılar Yarı-Gruplar İlk cebrik yapı sınıfımız için ikili işlemin sadece birleşme özelliğine sahip olması gerekir. Bu özelliğe sahip cebrik yapılara yarı-grup denir. Tanım: S, boş olmayanbirkümeve*, S üzerindetanımlı bir ikili işlem olsun. (S,*) yapısı Süzerinde* işlemi birleşme özelliğine sahipse yarı-grup tur. Eğer işlem hem birleşme hem de değişme özelliğine sahipse (S, *) yapısı değişken yarı-grup (Abelyen yarı grup) adını alır

123 Örnek: A sembollerden oluşan boş olmayan bir küme olsun. Böyle bir kümeye alfabe denir. Bazı alfabe örnekleri şunlardır: (a) A={α,β,γ,δ,φ,π } (b) A={a, b, c, d,, x, y, z} (c) A={, +, -,, /, $, %, &}. Bir A alfabesi verilmişse, bu alfabeden sonlu sıralı semboller dizisi tanımlayabiliriz ve buna kelime (string) deriz. Kelimenin uzunluğu içerdiği sembol sayısı kadardır. O halde, A bir alfabe diyelim ve A üzerindeki tüm kelimelerin kümesi A* kümesini düşünelim. A* kümesindeki elemanlar üzerinde bir ekleme (concatenation) işlemi tanımlayalım. x ve y, A* kümesinin iki elemanı ise x ve y nin ekleme işlemi x*y şeklinde gösterilir ve x ile y kelimelerinin yan yana yazılmaları ile elde edilir. Örneğin A={a, b,c, d} ise abd*cabc = abdcabc baaa*ccbabb = baaaccbabb. Verilen bir A alfabesi için A* üzerindeki ekleme işlemi bir ikili işlemdir ve tanımdan da açıkça anlaşılacağı gibi bu işlem birleşme özelliğine sahiptir. Bu nedenle, (A*, *) yapısı bir yarıgruptur Monoidler Yarı-grupların ikili işlemlerindeki tek kısıtlama, çok fazla ilginç özelliğin ortaya çıkmasına yetecek yapıyı vermez. Bu nedenle sıradaki cebrik yapı ailesinde birleşme özelliğine bir şart daha ekleyeceğiz- etkisiz elemanın varlığı. Bu iki özelliğe sahip cebrik yapıya monoid denir. Tanım: Bir monoid etkisiz elemana sahip bir (S, *) yarı-gruptur. Eğer *, aynı zamanda değişme özelliğine de sahipse monoid, değişken monoid (Abelyen monoid) diye adlandırılır. Örnek : Önceki örnekte kelimeler üzerindeki ekleme işlemini tanımlamıştık. A* kümesine boş kelimeyi (empty string) yani hiçbir sembol içermeyen kelimeyi eklediğimizi düşünelim. Boş kelimeyi λ ile gösterirsek, tüm x A* {λ } için x*λ = λ *x = x dir. O halde, (A* {λ }, *) yapısı bir monoid olur

124 Gruplar Cebrikyapıların tek bir işlem içeren en önemli ve ilginç örneklerinin çoğu, monoidleri tanımlayan iki şarta ek olarak bir üçüncü şartı daha sağlar. Bu şart da kümenin her bir elemanın işleme göre tersinin olduğudur. Bu şartı monoidlerin şartlarına eklersek grup olarak bilinen cebrik yapıyı tanımlamış oluruz. Tanım: Her bir elemanın tersinin olduğu monoide (S, *) grup denir. Yani (S, *) çifti şu üç şartı sağlar: (G 1 ) *, S üzerinde birleşme özelliğine sahiptir. (G 2 ) bir etkisiz eleman mevcuttur. (G 3 ) S in her bir elemanının tersi mevcuttur. Hatırlarsak, birleşme özelliğine sahip bir ikili işlemde ters elemanın tek olduğunu ispatlamıştık. Örnek 4.5: Bir önceki örnekte tanımladığımız (A* {λ }, *) monoid bir grup değildir. Boş olmayan bir x kelimesi için λ boş kelime olmak üzere, x*y = y*x = λ şartının sağlayan başka bir y kelimesi bulamayız. Bu nedenle, A* {λ } kümesinde λ haricinde hiçbir elemanın ekleme işlemi altında bir tersi yoktur GruplarveYarı-Gruplar Bu konuda daha önce bahsettiğimiz üç cebrik yapı içerisinde en önemli olan grup yapısından bahsedilecektir. Bu kısımda ve bundan sonraki kısımlarda belirtilmemiş ikili işlemler içeren ifadeler yazarken * simgesini göz ardı edeceğiz. Sadece yanlış anlamalara imkan verecek iki ikili işlemi birbirinden ayırt etmek için bu sembolü kullanacağız. Örneğin x*y yerine xy yazacağız (ancak çarpma işlemi ile karıştırmamalıyız). Ayrıca aşağıdaki gibi x in üslerini tanımlayacağız. n Z + olmak üzere x n = x*x* *x (n tane) ve n Z - olmak üzere x n = (x -1 ) n =x -1 * x -1 *x -1 * * x -1 (n tane) Ayrıca etkisiz elemanı da şu şekilde tanımlarız: x 0 =e (xe=ex=x). Herhangi bir (G,*) grubun en belirgin özelliği büyüklüğü yani grubun temelini oluşturan G kümesinin eleman sayısıdır. Buna (G,*) grubunun mertebesi (order) denir. Tanım: (G,*) grubunun mertebesi G kümesinin kardinalitesidir ve G şeklinde gösterilir

125 Teorem 5.1: (G,*) bir grup ise sol ve sağ sadeleşme kuralları uygulanabilir yani, a,x,y G ise 1. ax=ay ifadesinin anlamı x=y (sol sadeleşme kuralı) 2. xa=ya ifadesinin anlamı x=y (sağ sadeleşme kuralı) Teorem 5.2: (G,*) bir grupsa ve a, b G ise; (a) ax=b denkleminin x=a -1 b şeklinde tek bir çözümü vardır ve (b) ya=b denkleminin y=b a -1 şeklinde tek bir çözümü vardır. İspat: ax=b olsun. Bu denklemin her iki tarafını a -1 ile çarparsak: a -1 (ax)= a -1 b (a -1 a)x= a -1 b ex= a -1 b x= a -1 b. Böylece x=a -1 b denklemin bir çözümüdür. Bu çözümün tek çözüm olduğunu göstermemiz gerekir. x 1 ve x 2 her ikisi de ax=b nin çözümü olsun. O halde, ax 1 = ax 2 x 1 = x 2 Böylece x=a -1 b tek çözüm olduğu görülür. Bu iki teoremin yararlı bir sonucu sonlu sayıda elemana sahip bir grubun Cayley tablosuna yerleştirilmesidir. İkinci teorem her bir elemanın her satır ve sütunda tam olarak bir kere bulunmasını garantiler. Teorem 5.3: Eğer (G,*) sonlu bir grupsa, bu grubun Cayley tablosunda G nin her elemanı her bir satır ve sütunda sadece bir kez yer alır Periyodik (Cyclic) Grupları Tablo 5.1 deki Cayley tablosu ile tanımlanmış grubu ele alalım: Her bir elemanı n bir tamsayı olmak üzere a n biçiminde yazabileceğimizden bu grup için a 1 =a, a 2 =b, a 3 =c ve a 4 =e dir. Verilen herhangi bir eleman için bu gösterim aynı değildir. Örneğin, b = a 2 = a 6 = a -2 vs. yazabiliriz. Aslında kümenin her bir elemanını a nın kuvvetleri biçiminde göstermek için sonsuz sayıda yol vardır. {e,a,b,c} nin her elemanı a n biçiminde yazılabilir ve bu duruma a grubun bir üretecidir (generator) denir. Doğal olarak aklımıza diğer başka elemanlar da grubun üreteci midir sorusu aklımıza gelir. c elemanının da bir üreteç olduğunu fakat n çift ise b n =e ve n tek ise b n =b olduğundan b nin bir üreteç olmadığını söyleyebiliriz. En az bir tane üretece sahip gruplara periyodik veya dairesel (Cyclic) denir. Tanım: (G,*) grubu, n bir tamsayı olmak üzere her bir g G için bir g =a n G elemanı mevcutsa periyodik veya dairesel (cyclic) gruptur denir. (G,*) grubu a tarafından üretilmiştir denir ve a (G,*) grubunun üreticidir

126 Örnek 5.1: (Z,+) grubunun periyodic (cyclic) olduğunu ve üretecinin 1 olduğunu gösteriniz. Çözüm: Etkisiz eleman 0, ve 1 elemanının tersi-1 dir. n Z elemanı için n>0 olmak üzere; n= (n tane) =n 1 n<0 ise; n= (-1)+ (-1)+ + (-1) (n tane) = n (-1) = n 1. n=0 ise; n=0 1=n 1 Böylece (Z,+) halka grubudur ve 1 bir üreteçtir Dihedral Gruplar Yandaki şekilde köşeleri 1,2, ve 3 ile numaralandırılmış eşkenar üçgene göz atalım. Şimdi bu üçgenin köşelerinin yerlerinin değişimine yol açacak olası dönüşümlerini düşünelim. Örneğin, bu üçgen saat yönünün tersine merkezinden 120 o döndürülürse, Üçgenin en tepe noktası (1) ile bu noktanın karşısındaki kenarın orta noktasını birleştiren doğrudan yansıması ise; Bütün bu dönüşümlerin kümesine eşkenar üçgenin simetrileri kümesi denir. Bu tip, üç tane rotasyonları içeren, üç tane de aşağıdaki L 1, L 2 ve L 3 doğrularında yansımaları içeren altı tane simetri vardır

127 T={r 0, r 1, r 2, m 1, m 2, m 3 } kümesini ve * işlemini düşünelim ve a*b=ab nin anlamı a dönüşümünden sonra b dönüşümünü uygula olsun. Bu nedenle, r 1 *m 1 in anlamı üçgeni saat yönünün tersine 120 o çevir ve sonucu L 1 üzerinde yansıt. Ortaya çıkan sonuç tek bir m 2 dönüşümüne eşittir ve r 1 m 1 =m 2 yazılabilir. * işlemi değişme özelliğine sahip değildir çünkü m 1 r 1 =m 3 tür T kümesinin * işlemi altındaki Cayley tablosu Tabloda gösterilmiştir Açıktır ki *, T üzerinde bir ikili işlemdir ve (T,*) in değişme özelliğine sahip olmayan bir grup olduğunu gösterebiliriz. Etkisiz eleman r 0 dır ve her bir elemanın tersi vardır. Öte yandan her dönüşüm bir fonksiyon olarak düşünülürse * işleminin birleşme özelliğine sahip olduğu kolayca gösterilebilir. (T,*) grubu genellikle D 3 şeklinde ifade edilir ve eşkenar üçgenin simetri grupları veya 3. dereceden dihedral grup şeklinde isimlendirilir. Benzer simetri grupları tüm düzgün çokgenler için de geçerlidir. n. dereceden dihedral grup n kenarlı düzgün çokgenin simetri grubudur. 2n tane elemanı vardır ve D n şeklinde gösterilir

128 Permutasyon Grupları Tanım: S boş olmayan bir küme olsun. S in bir permutasyonu S ten S e bir bijeksiyondur. Belli bir bijeksiyonu tanımlamak için kullanılan yol genellikle S in tüm elemanlarının eşleşmelerinin etkilerini göstermektir. Örneğin, S={1,2,3,4} ise şu şekilde bir p 1 bijeksiyonu tanımlayabiliriz. p 1 (1)=2 p 1 (2)=4 p 1 (3)=3 p 1 (4)=1. p 1 i göstermenin daha uygun yolu, ilk satırı S in elemanlarından ve ikinci satırı bunlara karşılık gelen görüntülerinden oluşan bir dizi kullanmaktır. p 1 bijeksiyonu için şunu yazabiliriz: İlk satırda listelenen S in elemanlarının sırası önemli değildir. Önemli olan her bir elemanın altındakinin uygun bijeksiyondaki görüntüsünün olmasıdır.yani p 1 i şu şeklide de yazabiliriz: 6-23 Permutasyon Grupları Şimdi de A={1,2,3} kümesini düşünelim ve S 3 A nın tüm permutasyonlarının kümesi olsun.(s 3 notasyonunu kullanmamızın sebebi kümenin 3 elemanlı olduğunu belirtmektir). S 3 ün aşağıdaki gibi 6 elemanlı p 1, p 2,, p 6 olduğunu tahmin etmek zor değildir. S 3 üzerinde tanımlanabilecek doğal bir ikili işlem vardır ki bu fonksiyonların birleşmesidir. Bu nedenle, p i p j (p i, p j S 3 ) p i ve p j bijeksiyonlarının bileşkesi anlamına gelir. İşlem açıkça görüldüğü gibi bir ikili işlemdir. Çünkü S üzerindeki bijeksiyonların bileşkesi yine S üzerinde bir bijeksiyondur. Örneğin p 3 p 5 i düşünelim. Dizi biçiminde şöyle yazabiliriz: Bu dizi p 4 ü temsil eden dizidir, o halde p 3 p 5 =p 4 yazabiliriz

129 (S 3,*) için Cayley tablosu; aşağıdaki gibidir. (S 3,*) yapısının değişme özelliğine sahip olmayan bir grup olduğunu kolayca doğrulayabiliriz. Birleşme özelliği ise fonksiyonların bileşkesinin birleşme özelliğinden gelir. Eğer S={1,2,,n} ise bu durumda S =n ve permutasyonlar kümesi S n n(n-1)(n-2) 1=n! elemanlıdır. Bu nedenle S ten S e bijeksiyon tanımlarken S in ilk elemanı, S in herhangi bir elemanıyla; ikinci elemanı S in diğer n-1 elemanında biriyle vs. eşleştirilebilir. Bu da bize toplamda n! olası bijeksiyon verir. Herhangi bir pozitif n tamsayısı için * bijeksiyonların bileşkesini ifade etmek üzere, (Sn,*) n. dereceden simetrik grup şeklinde adlandırılan bir gruptur Morfizm ve Grup Kodları İsomorfizm (Isomorphism) Daha önceki konularda üç önemli grup ailesi (periyodik grupları, dihedrak gruplar ve permutasyon grupları) örneklerini incelemiştik. 3 elemanlı bir kümenin D 3 dihedral grubu ve S 3 permutasyon grubu için Cayley tablosu, aşağıdaki gibidir. Yukarıdaki tabloları karşılaştırırsak ilginç bir şekilde her iki tablonun isimlendirmeler dışında aynı olduğunu görürüz. İlk tabloda r 2 nin olduğu yerlerde ikinci tabloda p 3 ; m 3 ün olduğu yerlerde p 6 vardır vs. p 1, p 2,, p 6 dönüşümleri yerine sırasıyla r 0, r 1, r 2, m 1, m 2, m 3 kullanırsak iki tablo aynı olur. İki sonlu grup bu şekilde ilişkilendirilmiş ise izomorfik olarak adlandırılırlar. İzomorfik olmak grupların aynı olması demek değildir. Örneğimizde iki küme elemanları nasıl etiketlendirilirse etiketlendirilsin farklıdır ve ikili işlemleri aynı değildir. Öte yandan, izomorfik gruplar arasında çok yakın bir ilişki vardır öyle ki elemanları aynı olmasa da yapıları aynıdır ve bir şekilde bu ilişkiyi matematiksel olarak tanımlamamız gerekir

130 Cayley tablolarının isimlendirilme dışında aynı olması demek, D 3 ün elemanları ve S 3 ün elemanları arasında bire-bir eşleşme olması demektir. Bu bire-bir eşleşme grup yapısını muhafaza etme özelliğine sahip bir bijective fonksiyondur. Bu tip bir fonksiyona izomorfizm denir. Daha ciddi bir ifadeyle: (G,*) ve (G,o) şeklinde verilmiş iki grup varsa bir izomorfizm bijective bir f:g G fonksiyonudur öyle ki; g 1 * g 2 nin görüntüsü G kümesinin elemanıdır ve o işleminin g 1 ve g 2 nin görüntülerine uygulanması işleminin sonucudur. Aşağıdaki şekilde bu düşünceler özetlenmiştir Tanım: (G,*) grubundan (G,o) grubuna bir izomorfizm bir bijective f:g G fonksiyonudur ve tüm g 1, g 2 G için f(g 1 *g 2 )= f(g 1 ) o f(g 2 ) dır. Eğer böyle bir fonksiyon varsa (G,*) grubu (G,o) grubu ile izomorfiktir deriz ve (G,*) (G,o) şeklinde yazarız. D 3 ten S 3 e bir izomorfizm şeklinde tanımlanır. f: r 0 p 1, r 1 p 2, r 2 p 3, m 1 p 4, m 2 p 5, m 3 p 6 Daha genelleştirip n elemanlı bir kümenin tüm permutasyonlarının grubu n. derece bir dihedral ile izomorfik midir diye sorarsak cevap hayırdır. Çünkü, n>3 için bu grupların mertebeleri eşit değildir. O halde, D n S n şeklinde bir bijeksiyon mevcut değildir. n derece bir dihedral için D n =2n iken S n =n! dir

131 Örnek 5.2: (R, +) ve (R +, ) gruplarını düşünelim. f: R R + ve f(x)=2 x fonksiyonunun (R,+) dan (R +, ) ye bir izomorfizm tanımladığını gösteriniz. Çözüm: İki şeyi göstermemiz gerekir: a. f in bijeksiyon olduğunu, b. x,y R ise f(x+y)=f(x) f(y) olduğunu. f in bijeksiyon olduğunu doğrulamanın en kolay yolu y=f(x) in grafiğini çizmektir. Bu grafik şekilde gösterilmiştir. y- ekseninin pozitif kısmındaki tüm yatay doğrular grafiği tam olarak bir yerde kesiğine göre f bir bijeksiyondur. Ayrıca, f(x+y)=2 x+y = 2 x.2 y = f(x) f(y) O halde f in (R,+) dan (R +, ) ya bir izomorfizm olduğunu göstermiş olduk İki grubun izomorfik olup olmadığını belirlemek için birçok deneme yanılma yapmak gerekir ve bu da özellikle grupların mertebeleri büyükse çok zaman alır. Bu zaman izomorfizmin bilinen özellikleri kullanılarak azaltılabilir. Bu özelliklerin bir kısmı aşağıdaki teoremde listelenmiştir. Teorem 5.3: Eğer f:g 1 G 2 (G 1,*) ve (G 2,o) grupları arasında bir izomorfizm ise; 1) e, (G 1,*) da bir etkisiz eleman ise f(e) (G 2,o) da bir etkisiz elemandır. 2) (G 1, *), sadece ve sadece (G 2,o) değişme özelliğine sahip bir grupsa değişme özelliğine sahiptir. 3) a -1 (G 1, *) da a nın tersi ise f(a -1 ), f(a) nın (G 2, o) da tersidir. Yani, f(a -1 )=[f(a)] -1. 4) f -1 : G 2 G 1 ters fonksiyonu (G 2,o) dan (G 1,*) ya bir izomorfizm tanımlar. 5) (G 1,*) sadece ve sadece (G 2,o) cyclic ise cyclictir. 6) Eğer a G 1 ise a = f(a). Bu özelliklerin izomorfik gruplara uygulanabileceğini ve bu özelliklerden birinin olmaması durumunda sorulan iki grubun izomorfik olamayacağını kanıtlamak çok zor değildir. Bu nedenle, iki grubun izomorfik olmadığını göstermek için bir grup için geçerli diğeri için geçersiz olan bir özellik bulmak gerekir. Öte yandan iki grubun izomorfik olduğunu göstermek için ortak özelliklere sahip olduklarını göstermek yeterli değildir

132 İzomorfizm Prensibi İki grubun izomorfik olduğunu göstermek için birinden diğerine bir izomorfizm bulunmalıdır; iki grubun izomorfik olmadığını göstermek için bir grubun sahip olduğu diğerinin sahip olmadığı bir grup özelliği bulunmalıdır. Örnek 5.3: D 3 ve (Z/6, + 6 ) grupları izomorfik midir? Çözüm: Teorem 5.2 deki 2. maddeyi uygularsak bu iki grubun izomorfik olmadığını söyleyebiliriz. Çünkü (Z/6, + 6 ) değişme özelliğine sahipken D 3 değildir Morfizmler (G,*) ve (G,o) gruplarının izomorfik olması için bijective ve ayrıca grubun yapısını devam ettiren bir f:g G fonksiyonu tanımlayabilmemiz gerekir. Bijectivekoşulunu kaldırırsak morfizm olarak adlandırdığımız daha genel bir yapıkoruyan fonksiyon tanımlarız. Morfizmler sadece grup çiftleri arasında değil aynı zamanda herhangi iki cebrik yapı arasında da tanımlanabilir. Tanım: (A,*) ve (B,o) şeklinde iki cebrik yapı verilmişse, (A,*) dan (B,o) ya bir morfizm f:a B fonksiyonudur öyle ki tüm a 1, a 2 A için; f(a 1 *a 2 )= f(a 1 ) o f(a 2 ) Bir morfizm surjective olmak zorunda değildir o halde B de, A daki herhangi bir elemanın görüntüsü olmayan elemanlar olabilir. Eğer surjective ise bu morfizm epimorfizm olarak adlandırılır. Benzer şekilde bir morfizm injective olmak zorunda değildir o halde B de, A daki birden fazla elemanın görüntüsü olan elemanlar olabilir. İnjective bir morfizme monomorfizm denir. Bir izomorfizm hem surjective hem de injective olan bir morfizmdir. (A,*) ve (B,o) cebrik yapıları arasındaki morfizmler ile ilgili önemli olan, * işlemi altında A nın birçok özelliğinin, o işlemi altında görüntü kümesi f(a) da korunmasıdır. Teorem 5.4: (A,*) ve (B, o) cebrik yapılar ve f:a B bir morfizm olsun. (a) (A,*) bir yarı-grup ise (f(a),o) da yarı-grup tur. (b) (A,*) bir monoid ise (f(a),o) da monoid dir. (c) (A,*) bir grup ise (f(a),o) da grup tur

133 Teorem 5.5: (A,*) ve (B, o) cebrik yapılar ve f:a B, (A,*) dan (B,o) ya bir morfizm olsun. Bu durumda, (1) e, (A,*) da bir etkisiz eleman ise f(e), (f(a),o) da bir etkisiz elemandır. (2) (A,*) değişme özelliğine sahipse (f(a),o) da değişme özelliğine sahiptir. (3) a -1 (A,*) da a nın tersi ise f(a -1 ), f(a) nın (f(a), o) da tersidir. Yani, f(a -1 )=[f(a)] -1. (4) (A,*) bir periyodik grubu ise (f(a),o) da öyledir. (f(a),o) yapısı (A,*) ın morfik görüntüsü olarak adlandırılır. Eğer morfizm surjective ise (f(a),o), yukarıdakilerde (B,o) ile yer değiştirilebilir. Örnek 5.4: (Z,+) grubunu düşünelim. f:z Z, f(x)=2x şeklinde tanımlanmış olsun. f fonksiyonunun (Z,+) dan (Z,+) ya bir morfizm olduğunu ispatlayınız. Çözüm: Burada tüm x,y Z için f(x+y)=f(x)+f(y) olduğunu göstermeliyiz. f(x+y) = 2(x+y) = 2x+2y =f(x)+f(y). Böylece f in bir morfizm olduğunu kanıtlamış olduk. Fonksiyon injectivedir fakat surjective değildir. Görüntü kümesi çift tamsayılar kümesi (sıfır dahil) E dir ve Teorem 5.4(c) nin sonucunu doğrulayabiliriz. E kümesi toplama işlemi altında bir gruptur Grup Kodları Modern teknolojinin birçok uygulaması bir noktadan diğerine veri iletimini içerir. Bu iki nokta, bir bilgisayarın hafızasının bir yerinden başka yerine olduğu gibi kısmen yakın mesafede de olabilir, uydu haberleşmelerindeki gibi binlerce kilometre uzakta da olabilir. Her iki durumda da sistemin gerekli özellikleri aynıdır. Verinin iletildiği bir iletişim kanalı vardır ve kanalın bir ucundan alınan veri ile diğer ucundaki veri gönderilen veri aynıdır. Amaçlarımız doğrultusunda konuyla ilgili tüm veriyi her biri 0 veya 1 olan basamaklardan oluşan stringler ({0,1} alfabesinden oluşan kelimeler şeklinde düşünebiliriz. Bu tip kelimelere ikili kelimeler (binary words) ve bunların basamaklarına bit denir. Öte yandan, her ne kadar iletim sistemimizin tamamen güvenli olmasını istesek de zaman zaman bazı hataların olması, dış kaynaklardan gürültü gelmesi kaçınılmazdır. Bunlar iletimde hataya sebep olur ve gönderilen kelimenin alınan kelime ile aynı olmamasına neden olur. Bu nedenle, alınan kelimenin hatalı olduğunu anlayabilmek ve mümkünse gönderilen asıl kelimeyi belirlemek çok önemlidir. Asıl kelime belirlenemese bile en azından hatanın tespit edilmesi verinin tekrar istenmesine olanak sağlar

134 İletim hataları konusunda şu varsayımları yapmamız yararlı olur: a) İletilen verinin bir veya daha fazla bitinde 1 in 0 a veya 0 ın 1 e dönüşmesi şeklinde oluşurlar b) 1 in 0 a dönüşümü ile 0 ın 1 e dönüşümü ihtimali aynıdır. c) Ayrı bitlerde oluşan hatalar birbirinden bağımsız oluşur. d) İletilen kelimeyi oluşturan bitlerin her birinde hata olma oranı aynıdır. e) n<m için n tane hatanın olma olasılığı m tane hatanın olma olasılığından daha fazladır o halde, yanlış iletilen bir kelime için hata sayısının bir olma ihtimali en yüksektir Şimdi hata bulma ve düzeltmenin gerekli özelliklerini açıklamak için birkaç örneğe bakalım. Bir iletim kanalından iletilen verilerin, uzunluğu 3 olan ikili kelimeler kümesinin tüm elemanları olduğunu düşünelim. Bu kümeyi B 3 ile gösteririz ve B 3 ={000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}. 010 kelimesinin iletildiğini ve 3. basamakta hata olduğunu, böylece 011 kelimesinin alındığını düşünelim. Bu hatayı tespit edebilmenin imkanı yoktur zira 011 de bu kümenin elemanıdır ve alma ihtimali olduğumuz kelimelerden biridir. Eğer hatayı tespit edemezsek bunu düzeltme imkanımız da yoktur. Bu örnek hatayı tespit edebilmek için gerekli bir özelliği vurgulamaktadır: yanlış iletilen kelime, almayı beklediğimiz kelimeler kümesine dahil olmamalıdır. Yukarıdaki örnekteki kelimeler bir birine çok yakındır. Herhangi bir hata kümenin başka bir elemanına dönüşür. Bunun yerine iletilen kelimelerin {111, 100, 001, 010} kümesinin elemanları olduğunu düşünelim. Bu durumda 010 kelimesinin 3. basamağında hata meydana gelirse, 011 kelimesi alınacaktır ve bu kelime almayı beklediğimiz bir kelime değildir. Öte yandan, hata meydana geldiğini bilsek de hatanın nerede olduğunu bulamayız. Tek hatanın olma ihtimalinin en yüksek olduğunu kabul edersek iletilen kelime büyük ihtimalle 111, 001 veya 010 dur. Ancak unutmamak gerekir ki; çift hata tespit edilemez zira bir kelimenin herhangi iki basamağında meydana gelecek hata kümenin başka bir elemanına dönüşür

135 {111, 100, 001, 010} kümesinin elemanları hala birbirine çok yakındır. Sadece {000, 111} kümesinin elemanlarını ilettiğimizi düşünelim. Bu durumda bir veya iki basamaktaki hatalar tespit edilebilir ve tek bir hata olmuşsa düzeltilebilir. Örneğin, 011 kelimesini almışsak ona en yakın 111 kelimesini almamız gerektiğini anlarız. Öte yandan çift hatalar düzeltilemeyecektir. Eğer 000 kelimesinde çift hata meydana gelir ve 011 alınırsa, tek hata meydana geldiğini varsayıp esas gönderilenin 111 olduğunu zannedebiliriz. Bu kelime kümesi için iki tane hatayı tespit edebilir, fakat düzeltemeyiz. Bu örnekler hata tespitinin hata düzeltmekten daha kolay olduğunu gösterir. Öte yandan, ikisi de olası iletilecek kelimeler kümesindeki kelimelerin birbirinden farklılığına bağlıdır. Tanım: x ve y, n uzunluğunda ikili kelimeler olsun. x ve y arasındaki uzaklık (Hamming uzaklığı) d(x,y) şeklinde gösterilir ve x ve y nin farklılaştığı basamak sayısına eşittir. Örneğin, x= ve y= ise iki kelime birinci, ikinci, beşinci ve altıncı bitlerde farklılaşır. Bu nedenle d(x,y)=4 tür n uzunluğundaki x,y ve z için aşağıdaki uzaklık özelliklerini göstermek çok zor değildir. (a) d(x,y) 0 (b) d(x,y)=0 sadece ve sadece x=y ise (c) d(x,y)= d(y,x) (d) d(x,z) d(x,y)+ d(y,z) X kümesi üzerinde bu özelliklere sahip herhangi bir d:x x X R + {0} fonksiyonuna metrik adı verilir. Bu nedenle uzaklık B n kümesi üzerinde bir metriktir. Başarılı bir hata tespiti ve düzeltimi için olası iletilecek kelimeler kümesindeki farklı kelimeler arasındaki uzaklığın olabildiğince çok olması makbuldür

136 Pratikte hataların tespiti ve düzeltimi, kelimeleri iletimden önce kodlayarak gerçekleştirilir. Genellikle bu kelimenin sonuna bir veya daha fazla bit ekleyerek yapılır. Bunlara kontrol basamağı (check digits) denir ve alınan kelimenin bir kısmının veya tamamının doğruluğunu kontrol etmek için kullanılırlar. Böylece iletilen herhangi n uzunluğunda bir ikili kelime gönderilecek bilgiyi taşıyan bilgi biti denilen m basamak ile hata tespiti ve düzeltilmesine yarayan r=n-m kontrol basamağından oluşur. B n, n uzunluğundaki tüm ikili kelimelerin kümesini temsil ediyor dersek, kodlama mekanizmasını E: B m B n şeklinde bir fonksiyon olarak görebiliriz. Böyle bir fonksiyona encoding fonksiyonu, bu fonksiyonun görüntü kümesinin elemanlarına da codewords denir. Her codeword B m içinde tek bir kelimeye karşılık gelmek zorunda olduğundan bir encoding fonksiyonu injective olmalıdır. Her bir encoding fonksiyonu için E(x)=y olmak üzere bir codeword ü (y B n ) x B m a eşleştiren bir D: B n B m { hata } decoding fonksiyonu vardır. m<n olduğundan, codeword ler kümesi B n in öz alt kümesidir, o halde D nin tanım kümesinin codeword olmayan elemanları da vardır. Eğer bu kategoriye düşen bir w1 kelimesi alınmışsa, D(w1)=D(w) öyle ki w, w1 codeword üne en yakın yani en az sayıda bitte farklılaşan codeword tür. Buna en yakın komşu kodlaması denir. Eğer en yakın komşu tek değilse D(w1)= hata diyebiliriz Bir E: B m B n encoding fonksiyonu ve bir D: B n B m { hata } decoding fonksiyonu içeren bir coding/encoding prosedürüne (m,n) blok kodu denir. En basit encoding fonksiyonu codeword teki 1 lerin sayısını çift sayı yapacak şekilde seçilen bir biti kelimenin sonuna ekler. Böyle bir koda çift parite kontrol kodu (even parity check code) denir. Encoding fonksiyonu E: B m B m+1 şeklindedir ve örneğin eğer m=4 ise E(0011)=00110 ve E(1000)= Çift parite kontrol kodu için tek kontrol basamağı kullanılırsa, bir hata tespit edilebilir çünkü bu durumda tek sayıda bir vardır. Öte yandan, hatalar düzeltilemez çünkü hatanın nerede olduğunu söylemek mümkün değildir. İçinde k nın herhangi bir kombinasyonu veya daha az hata tespit edilebilecek bir kod, k-hata tespiti (k-error detecting); İçinde k nın herhangi bir kombinasyonu veya daha az hata düzeltilebilecek bir kod, k-hata düzeltimi (k-error correcting) olarak adlandırılır. Çift parite kontrol kodu 1-hata tespiti ve 0-hata düzeltimidir

137 Hataların tespit edilebilmesi ve düzeltilebilmesinin codewordler arasındaki uzaklığa bağlı olduğunu görmüştük. Kontrol basamakları içeren kodlar için her bir codeword çifti arasındaki uzaklık aynı olmak zorunda değildir o halde, kodun hata bulma ve düzeltme kapasitesini belirleyen faktör codeword çiftleri arasındaki uzaklığın minimumudur. Bir kodun minimum uzaklığı ayrı codeword çiftleri arasındaki tüm uzaklıkların minimumu olarak tanımlanır. Teorem 5.6: Bir kod sadece ve sadece minimum uzaklığı en az k+1 ise k-hata tespitidir. İspat: Bir codeword te herhangi sayıdaki hata, codeword başka bir codeword e dönüşmemiş ise tespit edilebilir. Eğer codeword ler arasındaki minimum uzaklık k+1 ise k+1 den daha az hata yeni bir codeword e yol açmaz ve tespit edilir. Bundan dolayı k veya daha az hata tespit edilebilir ve böylece kod k-hata tespitidir Teorem 5.7: Bir kod sadece ve sadece minimum uzaklığı en az 2k+1 ise k-hata düzeltimidir. Örnek 5.5: Aşağıdaki gibi tanımlanan E:B 2 B 6 encoding fonksiyonunu düşünelim. E(00)= E(01)= E(10)= E(11)= Bu kodun kaç tane hata tespiti ve düzeltimi yapabileceğini bulunuz. Çözüm: Codeword çiftleri arasındaki uzaklıklar aşağıdaki gibidir. d(001000, )=3 d(001000, )=3 d(001000, )=4 d(010100, )=4 d(010100, )=3 d(100010, )=3 Minimum uzaklık üçtür o halde, kod k+1=3 olmak üzere 2-hata tespitidir. 2k+1=3 olduğundan kod 1-hata düzeltimidir. Grupların kodlama teorisindeki önemini vurgulamak için n bit kelimeler kümesi B n üzerinde bir ikili işlem tanımlamamız gerekir

138 Tanım: x ve y n uzunluğunda codeword ler öyle ki, x in i. basamağı x i ve y nin i. basamağı y i olsun. x ve y nin toplamı x y şeklinde gösterilir ve + 2 toplam mod 2 olmak üzere, i. basamağı x i + 2 y i olan n bit kelimedir. Bu nedenle iki codeword ün toplamı gereken bitlere toplam mod 2 işlemi uygulanması ile elde edilir. Örneğin, = ve = Tanım: x kelimesinin ağırlığı(weight) w(x) ile gösterilir ve içerdiği birlerin sayısıdır. Örneğin, w(101101)=4 ve w( )=7. İki n bit ikili kelime x ve y arasındaki mesafe şöyle bulunur: d(x,y)=w(x y). Codeword ler kümesi işlemi altında bir grup olan koda grup kodu denir. B n kümesinin bu işlem altında bir grup olduğunu göstermek çok kolaydır. Öte yandan, bu çok yararlı bir codeword kümesi değildir. Çünkü, daha önce de bahsettiğimiz gibi kelimeler birbirine çok yakındır. Hata bulma ve düzeltme kapasitesinin minimum uzaklık ile ilgili olduğunu göstermiştik Herhangi bir kod için minimum uzaklığı bulmak tüm olası codeword çiftleri arasındaki uzaklıkları bulmayı içerir ve codeword lerin sayısı çok büyükse bu çok zahmetli bir iştir. Öte yandan, bir grup kodu için minimum uzaklığın tüm sıfır-olmayan codeword lerin minimum ağırlığına eşit olduğunu gösterebiliriz. Teorem 5.8: Bir grup kodunun minimum uzaklığı, tüm sıfır-olmayan codeword lerin minimum ağırlığına eşittir. Kontrol basamakları ekleyerek kelimeyi kodlayan bir E:B m B n (n>m) encoding fonksiyonu içerisinde 1 ve 0 lar bulunan G gibi m n tipindeki matrisler kullanılarak kolayca tanımlanabilir. Böyle matrisler kodlar için üreteç matrisi olarak adlandırılır. m bitlik bir kelimeyi encode etmek için kelimenin 1 m lik bir matris olduğunu görürüz ve bu satır matris ile G matrisini çarpar ve sonucun 2 modülüne göre değerlendiririz. Sistematik bir kod için codeword ün ilk m bitinin encode edilecek kelimenin m biti ile aynı olmasını talep ederiz. Bundan dolayı G matrisinin ilk m sütunu birim matris I m ile aynı olması gerekir

139 Örnek: E:B 3 B 6, her x G için E(x)=xG şeklinde tanımlanan encoding fonksiyonunu göz önüne alalım. 011 codeword olarak encode edilir. Diğer bir örnekte; 6-45 En genel halde x 1, x 2, x 3 rakamlarından oluşan üç-bit kelime için x 1 x 2 x 3 kelimesi ω 1 ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 olarak encode edilir ve ve buradan aşağıdaki denklem sistemi elde edilir: Codewordün son üç basamağı farklı bilgi bit parçaları için parite kontrolü olarak hareket eder. Codeworddeki altı bitinin birisinde meydana gelebilecek hata bu denklemlerden hangisinin sağlanmadığı kontrol edilerek belirlenir. Örneğin, dördüncü bitteki bir hata için sadece dördüncü denklem sağlanmaz, birinci bitteki bir hata için birinci ve dördüncü denklemler sağlanmaz

140 = =0 olduğundan yukarıdaki denklem sistemi aşağıdaki gibi yazılabilir: Bu denklem sistemi matris formunda aşağıdaki hali alır; Buradaki matris Parite kontrol matrisi olarak adlandırılır ve her doğru transfer edilen codeword iç denklemi sağlanır. Buradaki G üreteç matris ile H parite kontrol matrisi arasındaki ilişkiye dikkat edelim. Şeklinde tanımlana F matrisi için G matrisi (I 3 F) ve H matriside (F T I 3 ) olduğu görülür Üreteç matrisi Örnek olan E:B 4 B 7 encoding fonksiyonunu göz önüne alalım. Örneğin Buradaki G=(I 4 F) matrisi incelenecek olursa F matrisinin olduğu kolayca belirlenir. Dolayısıyla, G matrisine karşılık gelen parite kontrol matrisi olan H=(F T I 3 ) aşağıdaki şekilde bulunur: codeword u için sonuç olarak aşağıdaki doğrulama gerçeklenir:

141 Teorem: G üreteç matris olmak üzere E(x)=xG şeklinde verilen E:B m B n bir encoding fonsiyonu olsun. E(B m ) codewordler kümesi modülo 2 bit toplama işlemine göre bir gruptur. Verilen herhangi x 1, x 2 B m için E, (B m, ) den (B n, ) ye morfizmdir. (B m, ) bir grup olduğundan E(B m, )) de bir grup oluşturur Daha önceden bir kodun hata tespiti ve hata düzeltme kapasitesinin kodun minimum uzaklığına bağlı olduğunu görmüştük. Bir grup kode için minimum uzaklık; sıfırdan farklı codewordun minimum ağırlığıdır. Bu sonucu kullanarak; parite kontrol matrisinden kaç tane hatanın tespit edilebileceğinin veya düzeltilebileceğinin nasıl yapılacağını gösterebiliriz. r n tipindeki H matrisinin sütunlarının h 1, h 2,, h n şeklinde gösterildiğini ve bu sütunların k tanesi için ilgili satıra karşılık gelen elemanların toplamının sıfır olduğunu kabul edelim. Bu sütundaki elemanları h i1, h i2,, h ik ile gösterelim. n basamaklı w kelimesi H w T =0 bağıntısını sağlar ve bir codewordtur öyle ki i 1, i 2,, i k basamaklarında birler ve diğer basamaklarında sıfır vardır. Bunun böyle olduğunu göstermek için aşağıdaki H matrisini göz önüne alalım: Şimdi H nin birinci, üçüncü ve dördüncü sütunlarının toplamının sıfır olduğunu kabul edelim

142 Şimdi w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 basamaklarından oluşan ve w 1 = w 3 = w 4 =1, w 2 = w 5 =0 bağıntılarını sağlayan w kelimesini göz önüne alalım. Dolayısıyla bir codewordtür. Tersine; bir codewordün sadece i 1, i 2,, i k basamaklarında birler varsa H matrisinin i 1, i 2,, i k sütunlarının toplamı sıfırdır. Bu sonuç, G üreteç matrisi veya denk olarak H parite kontrol matrisi ile tanımlanan kelimenin minimum ağırlığının belirlenmesine imkan sağlar. Sonuç basit olarak; H matrisinin toplamı sıfır olan sütunlarının minimum sayısına karşılık gelir. Bir kod grup code olduğundan minimum ağırlık minimum uzaklığa eşit olduğundan kodun hata tespit ve hata düzeltme kapasitelerini belirleyebiliriz Örnek E:B 4 B 7, her x B 4 için E(x)=xG olan aşağıdaki G üreteç matrisini tarafından tanımlanan E encoding fonksiyonu yardımıyla tanımlanan grup kodunu göz önüne alalım. G ye karşı gelen parite kontrol matrisi şeklinde yazılır. Kodun minimum ağırlığını bulmak için H matrisinin toplamı sıfır olan sütunlarının minimum sayısını bulmalıyız. Toplamları sıfır olan iki sütun için elemanlarının her birinin tamamıyla aynı olması gerekir. Sıfırlanan hiçbir sütun olmadığında veya tamamıyla bir birinin eşiti olan sütun olmadığında minimum ağırlık en azından üçtür. Bu şu şekilde doğrulanabilir; 1, 2 ve 5. sütunların toplamı sıfır yapar (bunlar sadece toplamları sıfır olan sütunlar değildir). Bu kodun minimum ağırlığı üçtür ve codewordler arasındaki minimum uzaklık üçtür. Buradan bu kodun 2-hata tespiti ve 1- hata düzeltmeli olduğu sonucuna ulaşılır

143 Parite kontrol veya üreteç tarafından tanımlana bir sistematik kod verilmiş olsun. Alınan w kelimesinin decode edilmesi H w T =0 bağıntısının hesaplanmasını içerir. Bu değer w kelimesinin sendromu (syndrom) olarak adlandırılır. Eğer sendrom tamamı sıfır olan elemanlara sahipse, akla uygun olarak kelimenin doğru transfer edildiği sonucuna ulaşırız ve decodin aşaması ilk m bilgi basamaklarının seçimini içerir. Eğer sendromun bir vaya daha fazla elemanı sıfırdan farklı ise ne olur? Bu durumda en azından bir iletim hatasının meydana geldiğini biliriz. w r ile alınan kelimeyi ve w t ile de gönderilen kelimeyi gösterelim. w r kelimesi w t kelimesinin (modülo 2 ye göre) i. basamağına 1 eklenmesinden dolayı oluşacağından bu iki kelime farklılaşacaktır. e i. basamak hariç tüm basamakları sıfır olan ikili kelime (binary word) olarak tanımlanacak olursa, e hata deseni (error pattern) olarak adlandırılır ve w r =w t e olur Tanım: n basamaklı w t kelimesi gönderildiğinde n basamaklı bir w r kelimesinin alındığını kabul edelim. Hata deseni e 1,e 2,, e n basamaklarına sahip e ikili kelimesidir. Burada 0 wr ve wt ' nin i. basamağı aynıise ei = 1 wr ve wt ' nin i. basamağı farklıise w t kelimesinin i. Basamağında meydana gelen iletim hatası için Hw t T sendrom aşağıdaki şekilde karşımıza çıkar. Sonuç olarak, tek hata oluştuğunda, sendrom hatanın tam olarak hangi basamakta meydana geldiğini bize söyler

144 E:B 3 B 6, parite kontrol matrisi Örnek ile verilen encoding fonksiyonunu göz önüne alalım kelimesinin alındığını kabul edelim. Gönderilen kelimenin hangi kelime olabileceğini araştıralım. Önce gönderilen kelimenin sendromunu hesaplayalım Hw t T sıfır olmadığından bir codeword değildir ve doğru olarak transfer edilememiştir. Sonuç H matrisinin ikinci sütununu verdiğinden kelimenin ikinci basamağı yanlış iletilmiştir. Alınması gereken kelime olmalıydı. Dolayısıyla Kelime 110 olarak decode edilmelidir UYARI Sendromun sıfır olamadığını veya H nin bir sütunu ile aynı olmadığını kabul edelim. Bu durumda, hatanın birden daha fazla basamakta meydana geldiği sonucuna ulaşırız ve tek-hata-düzeltmeli kod ile alınan kelime akla uygun bir şekilde decode edilemeyecektir. Bu kısa kod teorisine giriş ile tek hata düzeltmeli kodlar üzerinde yoğunlaştık. Bu konunun incelenmesi, tek hatalı kelimeler ile karşılaşmanın çok hatalı kelimeler ile karşılaşmaktan daha sık karşılaşılabilecek durum olduğundan önemlidir. Uzay gemilerinden gönderilen kelimelerde olduğu gibi çok hatalı kelime transferinin az olmadığı durumlarda daha karmaşık hata tespit ve hata-düzeltme kapasitesine sahip kodlar kullanılmalıdır. Bu ise soyut cebir alanındaki teorilerin bu alana uygulanmasıyla yapılabilmektedir

145 Kafes Yapıları Ders Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)). b. Ters Simetrik :(Tüm a,b A için sadece ve sadece arb ve bra, a=b anlamına geliyorsa ters simetriktir) c. Geçişlilik : (Tüm a,b,c A için sadece ve sadece arb ve brc, arc anlamına geliyorsa geçişlidir(transitive)). Özelliklerine sahip olsun. Bu özelliği taşıyan kümelere kısmi sıralı kümeler(partially Ordered Set, POSET) denir. Örnek: Kümelerde alt küme( ) bağıntısı, Doğal sayılarda bölünebilirlik; a/b ak=b, a,k,b N ; 2/5 Sıralama için sembolü kullanılır. a b ; a, b nin önünde gelir anlamındadır. Kısmi sırlama denmesinin nedeni küme içinde birbiriyle karşılaştırılamayan elemanlar olabileceği nedeniyledir

146 Topyekün sıra: (Doğrusal sıra) : Kümenin her hangi iki elemanı arasında sıralama yapılabilirse topyekün sıra bağıntısı vardır. (Doğal sayılarda büyüklük, küçüklük bağıntısı ) Sözlük sırası : S ve T topyekün sıralı kümeler ise S T (kartezyen çarpım) kümesinde sözlük sırası: a, a S; b, b T olmak üzere; (a,b) < (a,b ) a < a yada a=a, b<b dür. Örnek: A= (1,2,3,4,6,8,12) kümesinde bölünebilirlik bağıntısıyla kısmi bir kısmi sıralama yapılırsa, bağıntı matrisi aşağıdaki şekilde olacaktır 8-3 Halef-Selef(Predecessor-Successor, ilk-öndegelen ilk-sonra-gelen) Bağıntısı: b, a nın halefi ise a<c<b olamaz. Yani a ile b arasında sırlanabilen bir c elemanı bulmak mümkün değildir, yani a << b dir. Bu durumda kısmi sıralı küme için yeni bir graf tanımı (hasse diyagramı) yapılarak çizilir. Hasse Diyagramı: a<<b şeklindeki çiftleri birleştiren ve en önde gelenin en alta konulduğu graftır (çizge)

147 Örnek A={1,2,3,4,5,6} kümesini ve bölünebilme bağıntısını göz önüne alalım. A kümesinin bölünebilme bağıntısına göre sıralanmasının Hasse diyagramını çiziniz. 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, , Örnek A={a, b, c} kümesinin altkümelerinden oluşan kümenin P(A) içerme bağıntısına göre sıralanmasının hasse diyagramını çiziniz. {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, {a} {a, b}, {a} {a, c}, {a} {a, b, c}, {b} {a, b}, {b} {b, c}, {b} {a, b, c}, {c} {a, c}, {c} {b, c}, {c} {a, b, c}, {a, b} {a, b, c}, {a, c} {a, b, c}, {b, c} {a, b, c}, 8-6 3

148 Düzgün Sayılama (Consistent Enumeration) : Bu f: S N bir fonksiyondur öyle ki a b f(a) f(b) Parantez içindeki sayıları vererek düzgün sayılama yapılabilir. Burada; En büyük (maximal) eleman (a) bir tane (Kendinden sonra gelen yok) En küçük (minimal) eleman (d,e) iki tane (Kendinden önce gelen yok) 8-7 Infimum, Supremum S bir POSET, A S alt POSET a A m v a olacak şeklide m v mevcut ise m v A nın bir alt sınırıdır. a A a m^ olacak şeklide m^ mevcut ise m^ A nın bir üst sınırıdır. Eğer A nın bir üst sınırı, A nın diğer bütün üst sınırlarından önde geliyorsa buna A nın supremumu denir. En küçük üst sınır (Least Upper Bound) = Supremum : sup(a) ile gösterilir. Eğer A nın bir alt sınırı, A nın diğer bütün alt sınırlarını ilk izleyen ise buna A nın infimumu denir. En büyük alt sınır (Greatest Lower Bound) = Infimum : inf(a) En Büyük Ortak Bölen (inf), en küçük ortak kat (sup) bu tanımlara uyar

149 8-9 Kafes - Lattice Tanım: A kısmi sıralı bir küme verilsin. Her x,y A öğeleri için sup{x,y} ve inf{x,y} varsa, A kümesine Latis veya Kafes denir ve sup{x,y}=x y ve inf{x,y} =x y şeklinde yazılır. Eğer A kısmi sıralı kümesi bir kafes ise x y gösterimi x ve y öğelerinin kesişimi ve x y gösterimi de x ve y öğelerinin birleşimi olarak okunur. Teorem: a,b ve c öğeleri A kafesinin keyfi öğeleri ise i. a a b ve b a b ii. a cve b c a b c iii. a b ave a b b iv. c ave c b c a b olur

150 Kafes Yapıları ve Özellikleri (Lattice Structures) L üzerinde karşılaşma (meet) ve birleşme (join) adı altında iki ikili işlem tanımlanan boş olmayan bir küme olsun. Karşılaşma ; birleşme birbirinin düali. Ancak işlemler aşağıdaki aksiyomları sağlamalıdır. L1 : Değişme : a b = b a ; a b = b a L2: Birleşme : (a b) c = a (b c) ; (a b) c = a (b c) L3: Yutma : a (a b) = a ; a (a b)= a Bu aksiyomlar birbirinin dualidir. Buna göre diğer tanımlanacak özelliklerinde bir duali vardır. 1: Sabit Kuvvetlilik (idempotence) a a = a a a = a [a (a b)] = a (a c) = a Teorem 1 : a b = a a b = b dir. b = b (b a) b = b a b = a (a b) a = a b bulunur Teorem 2 : L de a b= a (a b =b) şeklinde tanımlanan bağıntı bir sıra bağıntısıdır. a a = a (Yansıma) a b = a ve b a = b a=b (Antisimetri) a b = a, b c = b a c = a (Geçişme) Kafes bir kısmi sıralı kümedir denilebilir. Her POSET bir kafesmidir? Bu soruyu cevaplamak için aşağıdaki teoremin ispatı verilebilir. Teorem 3 : P (kısmi sıralı küme) her eleman çifti için (a,b) bir infimum ve bir supremum var olan bir kısmi sıralı küme ise P bir kafes yapısıdır. Bu durumda; a b = inf(a,b) a b = sup(a,b) olarak tanımlanır İspat: inf. ve sup. ifadelerinin kafes aksiyomlarının sağlayıp sağlamadıklarına bakalım.. inf(a,b) = inf(b,a) ; { a b = b a } inf(inf(a,b),c) = inf(a, inf(b,c)) ; { (a b) c = a (b c) } inf(a,sup(a,b)) = a yazabiliriz. ; { a (a b) = a } Bu aksiyomları sup için de gerçekleyebiliriz. Böylece bu aksiyomlar tanımlandığına göre P kısmi sıralı kümesi bir kafestir

151 Alt Kafes: M L (kafes), M bir alt küme. M nin alt kafes olabilmesi için M nin, işlemlerine kapalı olması gerekir. İzomorf Kafesler: (Aynı biçimde olan yapılar) L ve L kafesler olmak üzere; F : L L, f evirilebilir bir fonksiyon. f (a b) = f (a) f (b) ise f fonksiyonu bir izomorfizmdir. Karşılaştırma işlemi de L ve L nde bir izomorf kafes tanımlar. Düalite burada da geçerlidir. Sınırlı Kafesler (Bounded Lattices): Bir kafeste bir alt sınır varsa bunu ο simgesi ile göstereceğiz. Bir üst sınır varsa bunu Ι ile göstereceğiz. x L, ο x ; x L, x I şeklinde sınırları tanımlanabiliyorsa buna sınırlı kafes denir. Kafeste eleman sayısı sonlu ise sınırlar vardır. Eğer ο ve I mevcutsa, a için; a I=I ; a ο=a a I=a; a ο =ο Teorem: Sonlu kafes sınırlıdır. a1 a2 a3... an = I dır. a1 a2 a3... an = ο dır 8-13 Örnek U sonlu bir küme P(U) U nun alt kümeler kümesi olsun. :Sıra bağıntısı (içine alma) :Kesişme karşılama U : Birleşme bağıntıları olsun. U= {a,b,c} dersek hasse diyagramı aşağıdaki gibi olur

152 İşlemleri Dağılma Özelliği Gösteren Kafesler (Distribütif Lattice) : a,b,c L için a (b c) = (a b) (a c) ve; a (b c) = (a b) (a c) yazılabiliyorsa böyle kafeslere distribütif kafesler denir. Örnek : 36 nın bölenleri 12,6 ve 9 u alalım. 12 (6 9) = (12 6) (12 9) = = 6 Bütün elemanlar için bu yapılabilir. Karşı Örnek : Distribütif olmayan Kafes : Şekil (a) a (b c) = a (a b) (a c) = I c = c Şekil (b) a (b c) = a (a b) (b c) = I 8-15 Teorem: Şekil 6.6 de verilen örnek kafesten birini alt kafes olarak içine alan hiçbir kafes distribütif değildir. Tanım: Elemanları tümlenen sonlu kafesler(alt sınır o, üst sınır I) x a nın tümleyenidir. O halde; a x = I ve a x = o demektir. Bir kafeste her elemanın tümleyeni olmayabilir. Bazı elemanların tümleyeni tek olmayabilir. Kafeste üst ve alt sınır muhakkak tektir. Şekil 6.6 (a) için : c b = I ; c b = o a b = I ; a b = o (c, a ve b nin tümleyeni)

153 Boole Cebiri Ders Boole Cebiri Boole Cebri fikri ilk olarak George Boole tarafından 19. yüzyılın ortalarında ortay atıldı yılında yayınlanan The Laws of Thought adlı Boole un kitabı mantıksal düşünme süreçlerinin formalize edilmesini üzerine yazılmıştır. Boole temel olarak önermeler cebiri ile ilgilendi fakat son zamanlarda bu konu genişletildi ve soyut cebirin önemli bir konusu oldu. Boole cebirinin en önemli uygulaması elektronik devre tasarım ve analizidir. Bundan dolayı bilgisayarlar, telefon sistemleri ve elektronik kontrol sistemleri gibi sayısal cihazların tasarımında çok etkin bir şeklide kullanıldı ve halen kullanılmaktadır

154 Boole Cebirinin Özellikleri Sayısal bilgisayarlar ve sayısal elektronik devreler ikili sayı sistemini kullanarak işlem yaparlar. İkili sistemde kullanılan sayılar ise 1 ve 0 dan ibarettir. Boole cebri {0,1} kümesini kullanarak işlemler ve kurallar tanımlar. Boole cebrinde, en çok kullanılan üç işlem eşlenik, mantıksal toplama ve mantıksal çarpmadır. Eşlenik işleminde 1 0; 0 1 olur. Bir boole cebri sınırlı, dağılma özellikli, her öğenin bir tümleyeni olan bir kafes yapıdır. için + lojik (mantıksal toplama, OR) kullanılır. Aşağıdaki değerleri alır 1+1 = 1 ; 1+0 = 1; 0+1= 1; 0+0 = 0; için lojik (mantıksal çarpma, AND) kullanılır. Aşağıdaki değerleri alır 1 1 = 1 ; 1 0 = 0; 0 1= 0; 0 0 = Boole Cebri B = {0,1} verilsin. Eğer x değişkeni sadece B den değerler alırsa x e mantıksal değişken adı verilir. {x 1, x 2,, x n x i B, 1 i n} olmak üzere, B n den B ye tanımlanan bir fonksiyona n. dereceden mantıksal fonksiyon denir. Mantıksal fonksiyonun alacağı değerler çoğunlukla tablolar şeklinde gösterilir. Örneğin, x=1 ve y=0 iken F(x,y) nin değeri 1 dir. Diğer değerler Tabloda gösterilmiştir. x y F(x,y)

155 Boole Cebri Mantıksal fonksiyonlar (Boolean Functions), değişkenler ve mantıksal işlemlerden (Boolean expressions) oluşan ifadeler kullanılarak gösterilebilir. Eğer E 1 ve E 2 mantıksal ifadeler ise,, (E 1 E 2 ) ve (E 1 +E 2 ) de mantıksal ifadelerdir. b 1, b 2,, b n B olmak üzere n değişkenli F ve G mantıksal ifadeleri ancak ve ancak F(b 1,b 2,...,b n ) = G(b 1,b 2,...,b n ) ise eşdeğerdir. Aynı fonksiyonu temsil eden iki farklı mantıksal ifade eşdeğer olarak adlandırılır. Örneğin xy, xy+0 ve xy.1 eşdeğerdir. F mantıksal fonksiyonunun eşleniği F fonksiyonudur. Burada, F( x, x,..., x ) = F( x, x,..., x ) E n 1 2 n dir. F ve G, n. dereceden mantıksal fonksiyonlar olsun. Mantıksal toplam (F+G) ve mantıksal çarpım (F.G) aşağıdaki şekilde tanımlanır. (F+G)(x 1, x 2,, x n )= F(x 1, x 2,, x n ) + G (x 1, x 2,, x n ), (F.G)(x 1, x 2,, x n ) = F(x 1, x 2,, x n ). G(x 1, x 2,, x n ) 8-5 Derecesi iki olan mantıksal fonksiyon, B = {0,1} den eleman çiftlerinin oluşturduğu 4 elemanlı kümeden B ye bir fonksiyondur. Buradan 2. dereceden 16 adet mantıksal fonksiyon tanımlanabilir. Tabloda F 1,F 2,, F 16 nın değerleri görülmektedir. Tanım: Derecesi n olan mantıksal fonksiyon sayısı 2 2n adettir. 1 için 4 ; 2 için 16 ; 3 için 256,...) x 1 x 2 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F

156 Boole Cebrinin Özellikleri Özellik Açıklama Özellik Açıklama x = x x + x= x x. x= x x + 0 = x x.1 = x x + 1= 1 x.0 = 0 Çift Eşlenik Idempotence Etkisiz eleman Baskınlık x + ( y+ z) = ( x+ y) + z x.( y. z) = ( x. y). z x + yz = ( x + y)( x + z) xy ( + z) = xy+ xz x. y = x+ y x + y = xy x + x = 1 x. x = 0 Birleşme Dağılma De Morgan Baskınlık x + y = y+ x xy. = yx. Değişme 8-7 Dualite Prensibi Kuralların ispatı doğruluk tabloları yapılarak gerçeklenebilir. Ayrıca bu kurallar VEYA (OR +) ve VE (AND.) işlemleriyle de yazılabilir. Düalite kuralı : Bir boole ifadesinin düali mantıksal çarpım ile toplamların, ve 1 ile 0 ların yer değiştirmesiyle elde edilir. Örnek: x(y+0) ın düali x+(y.1) ve x.1 + ( y. z) in düali ( x + 1)( y+ z) dir. Yararlı bir notasyon: e x, eğer e= 0 x = x, eğer e=

157 Mantıksal Fonksiyonların Gösterilmesi Değişkenlerinin almış oldukları değerlere karşılık olarak elde edilecek olan mantıksal fonksiyonun gösterilmesi önemlidir. Bir mantıksal fonksiyon üç mantıksal operatör olan +. ve ile gösterilebilir. Bu bölümde önce mantıksal fonksiyonların gösterilmesi daha sonra da mantıksal fonksiyonların en küçük değişken kümesi ile gösterilmesi (indirgenmesi ) açıklanacaktır. Bu gösterimler mantıksal devre tasarımında oldukça önemli uygulamalara sahiptir. Örnek olarak Tabloda gösterilen F(x,y,z) ve G(x,y,z) fonksiyonlarının bulunması istenmektedir. F fonksiyonunun değeri x=z=1 ve y = 0 iken 1 değerini almaktadır. Diğer giriş değerlerinde 0 olmaktadır. Böyle bir ifade x, y ve z mantıksal çarpımı olan F F(x,y,z)= ( = x. xyz y.z ile temsil edilebilir. G nin bulunması ise, x = y = z = 1 veya x = =y= y = z=1= 1 durumunda 1 değerini alır diğerlerinde 0 olur. Bu durumda çarpımlar toplamı olarak Gxyz (,, ) = xyz+ xyz G(x,y,z)=x.y. z x.y. z elde edilir. 8-9 Tanım (Minterm veya complete product) : Mantıksal x 1, x 2,..., x n değişkenlerinin bir mintermi y 1 y 2... y n çarpımıdır. Burada yi = xi veya yi = xi dir. x 1, x 2, x 3 gibi üç değişken için sekiz değişik minterm vardır: y 1 y 2...y n mintermi ancak ve ancak her bir y i nindeğeri 1 ise 1 sonucunu verir. UYARI: Bir mantıksal fonksiyon ise mintermlerin çarpımı şeklinde ifade edilebilir. x e notasyonu kullanılarak n değişkenli bir x 1, x 2,..., x n minterm m e1 e 2 e n =x 1 e 1 x 2 e 2 x n e n Örneğin m =x 1 1 x 2 0 x 3 1 x 4 1 x 5 0 =x 1 x 2 x 3 x 4 x

158 Örnek F( x, y, z) = ( x+ y) z fonksiyonunu çarpımlar toplamı şeklinde ifade ediniz. Çözüm: İlk adım F fonksiyonunun değerinin bulunmasıdır. Bunun için Tablo oluşturulur. F(x,y,z) fonksiyonunun mantıksal eşdeğeri, fonksiyonun değerinin 1 olduğu durumlardaki değişkenlerin çarpımları 1 olacak şekilde çarpımlar toplamı şeklinde aşağıdaki ifade edilir. F( x, y, z) = x y z+ x y z+ x y z 8-11 Tanım (maxterm veya complete sum): Mantıksal x 1, x 2,..., x n değişkenlerinin bir maxtermi y 1 +y y n toplamıdır. Burada y i = x i veya y i = x i dir. Bir maxterm değişkenlerin almış oldukları değer sonucunda 0 değerini alır. Diğer bir deyişle y 1 + y y n maxtermi ancak ve ancak her bir y i nin değeri 0 ise 0 sonucunu verir. Bir mantıksal fonksiyon ise maxtermlerin toplamı şeklinde ifade edilebilir. x e notasyonu kullanılarak n değişkenli bir x 1, x 2,..., x n maxterm Örneğin M e1 e 2 e n =x 1 e 1 + x 2 e x n e n M =x x x x x 5 0 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x

159 Şimdi iki mantıksal fonksiyonun eşit olup olmadığına mantıksal ifadelere dönüştüren aksiyomları kullanmadan karar vermemize yarayan önemli bir teoremi verebileceğiz. Teorem, n değişkenli mantıksal ifadenin bu n değişkenin veya bir kısmının toplamı olarak tek bir şekilde ifade edilebilir. Mantıksal ifade olarak tanımlanmış olan fonksiyonun disjunctive (ayıran) normal formdır denir. Mintermlerin toplamından oluştuğundan minterm form olarak veya çarpımların kanonik toplam formu olarakta adlandırılır. Bu teoremi dikkate almadan evvel, mantıksal ifadenin disjunctive normal formu çıkaracağımız bir örnek inceleyelim. Bu metot disjunctive normal form elde edilebilecek kabul edilebilir bir metot olmasına rağmen en kolay yöntem değildir ve sonuçta uyarlayacağımız tek bir metot değildir Örnek: x 1, x 2, x 3 değişkenlerinden oluşan aşağıdaki mantıksal ifadeyi disjunctive normal formda yazınız. x 1 x 2 (x 1 +x 3 ) x 1 x 2 (x 1 +x 3 )= x 1 x 2 x 1 + x 1 x 2 x 3 Dağılma özelliği = x 1 x 1 x 2 + x 1 x 2 x 3 Değişme özelliği = x 1 x 2 + x 1 x 2 x 3 Idempotence özelliği = x 1 x 2 1+ x 1 x 2 x 3 Etkisiz eleman özelliği = x 1 x 2 (x 3 +x 3 ) + x 1 x 2 x 3 Değişme özelliği = x 1 x 1 x 3 + x 1 x 2 x 3 +x 1 x 2 x 3 Dağılma özelliği = x 1 x 1 x 3 + x 1 x 2 x 3 Değişme ve Idempoence özelliği

160 Teorem Sıfır olmayan f (x 1, x 2,..., x n ) boole fonksiyonu f (e 1, e 2,..., e n ) x 1 e 1 x 2 e 2 x n e n Formundaki tüm mümkün mantıksal ifadelerin toplamı olarak yazılabilir. Bundan dolayı Burada (e), (e 1, e 2,..., e n ) sıralı n linin tüm mümkün durumlarını gösterir ve e i =0 veya değerlerinden birini alır (i=1,2,,n). Bunlardan 2 n tane vardır Örnek : f(x 1,x 2 )=x 1 +x 2 Boole fonksiyonunu disjunctive normal formda yazınız. Teoreme göre f(x 1,x 2 )=x 1 +x 2 Boole fonksiyonunu aşağıdaki gibi yazılabilir: f ( x, x ) = f(0,0) x1x2 + f(0,1) x1x + f(1,0) x x2 + f(1,1) x x Doğruluk tablosuna benzer şekilde f(e 1,e 2 ) yi hesaplamak için tablo yapabiliriz. f ( x, x ) = 0x x + 1x x + 1x x + 1x x = xx + xx + xx

161 Örnek : f (x 1,x 2,x 3 )=x 2 x 3 +x 3 x 1 Boole fonksiyonunu disjunctive normal formda yazınız. Doğruluk tablosuna benzer şekilde f (e 1,e 2, e 3 ) yi hesaplamak için tablo yapabiliriz. f (e 1,e 2, e 3 )=1 olan e 1, e 2, e 3 leri bulalım f ( x, x ) = x x x + x x x + x x x Teorem: Verilen bir Boole fonksiyonun disjunctive normal formu tektir. Örnek : f ( x1, x2) = x1+ x1 ve g( x1, x2) = x x x1 fonksiyonları aynıdır. f( x, x ) = x x + x x + x x g( x, x ) = x x + x Fonksiyonunu disjucntive formda yazalım: g( x, x ) = x x + x x + x x = f( x, x ) 1 2 Sonuç olarak bu iki fonksiyon eşittir

162 Teorem Sıfır olmayan f (x 1, x 2,..., x n ) boole fonksiyonu e1 e2 en f ( e 1, e 2,..., e n) + x1 + x2 + + xn veya denk olarak e1 e2 en f ( e 1, e 2,..., e n) + x1 + x2 + + xn Formundaki tüm mümkün mantıksal ifadelerin toplamı olarak yazılabilir. Bundan dolayı e1 e2 en f ( x1, x2,..., xn) = * f( e 1, e 2,..., e n) + x1 + x2 + + xn ( e) = * f( e, e,..., e ) + M ( e) 1 2 n e1, e 2,..., e n Burada (e), (e 1, e 2,..., e n ) sıralı n linin tüm mümkün durumlarını gösterir ve e i =0 veya değerlerinden birini alır (i=1,2,,n). Bu formda yazılan fonksiyona conjuctive (birleştiren) normal formda yazılmıştır denir. Bu form maxterm form veya toplamları kanonik çarpım formuolarak ta adlandırılır. Teorem: Verilen bir Boole fonksiyonun conjunctive normal formu tektir Örnek :f (x 1,x 2 )=x 1 (x 1 +x 2 ) Boole fonksiyonunu conjunctive normal formda yazınız. Teoreme göre f (x 1,x 2 )= x 1 (x 1 +x 2 ) Boole fonksiyonunu aşağıdaki gibi yazılabilir: f ( x1, x2) = ( f(0, 0) + x1+ x2)( f(0,1) + x1+ x 2)( f(1, 0) + x 1+ x2+ )( f(1,1) + x 1+ x 2) Doğruluk tablosuna benzer şekilde f (e 1,e 2 ) yi hesaplamak için tablo yapabiliriz. f ( x, x ) = (0 + x + x )(0 + x + x )(1 + x + x )(1 + x + x ) = + + ( x x 2 1 2)( x1 x ) 1 1 = + + ( x x 2 1 2)( x1 x )

163 Örnek : f ( x1, x2, x3) = ( x1 + x2)( x 1+ x ) 3 Boole fonksiyonunu conjunctive normal formda yazınız. Doğruluk tablosuna benzer şekilde f (e 1,e 2, e 3 ) yi hesaplamak için tablo yapabiliriz. f (e 1,e 2, e 3 )=0 olan e 1, e 2, e 3 leri bulalım M ee e n ( a) x + x + x 1 2 ( b) x1 + x2 + x () + + c x1 x2 x3 f ( x, x,..., x ) = ( x + x + x )( x + x + x )( x + x + x ) 1 2 n Anahtar Devreleri Bilgisayar, telefon sistemleri, trafik ve tren sistemleri gibi birçok elektronik cihaz anahtarlar (switches) olarak bilinen devre elemanlarını içerisinde barındır. Anahtar kapalı iken elektrik akımı olurken anahtar açıkken elektrik akımı olmaz. Anahtar iki durumlu makine örneğidir; iki durumlardan birisi açık diğeri ise kapalıdır. Bir veya daha fazla anahtarın kullanıldığı devreler anahtar devreleri olarak adlandırılır. Şimdi A anahtarını içeren bir devreyi göz önüne alalım. Anahtarın durumunu x değişkeni ile gösterelim; x=0 ise A açıktır, x=1 ise anahtar kapalıdır

164 Seri Bağlama Bir devrede A 1 ve A 2 anahtarlarının aşağıdaki gibi seri olarak bağlandığını kabul edelim. Akımın karşıya geçebilmesi için iki anahtarında kapalı olması gerekir aksi durumlarda akım karşıya geçmez. Bu durumda f :{0,1} 2 {0,1}, f(x 1,x 2 ) fonksiyonu yardımıyla ifade edilebilir. Bu fonksiyonun x 1 ve x 2 için alabileceği değerler tablo da gösterilmektedir. f fonksiyonu f (x 1,x 2 )=x 1 x 2 fonksiyonuyla ifade edilebilir Paralel Bağlama Bir devrede A 1 ve A 2 anahtarlarının aşağıdaki gibi paralel olarak bağlandığını kabul edelim. Akımın karşıya geçebilmesi için iki anahtardan en az bir tanesinin kapalı olması gerekir aksi durumlarda akım karşıya geçmez. Bu durumda f : {0,1} 2 {0,1}, f (x 1,x 2 ) fonksiyonu yardımıyla ifade edilebilir. Bu fonksiyonun x 1 ve x 2 için alabileceği değerler tablo da gösterilmektedir. f fonksiyonu f (x 1,x 2 )=x 1 +x 2 fonksiyonuyla ifade edilebilir. A 1, A 2,, A n gibi n tane anahtardan oluşan devrenin durumları x 1, x 2,, x n gibi n tane tarafından ifade edilir. f : {0,1} n {0,1} fonksiyonun anahtarlama fonksiyonu adı verilir

165 Örnek Yukarıdaki devreyi ifade eden f anahtarlama fonksiyonunu hesaplayınız. x 1, x 2, x 3 ile A 1, A 2, A 3 anahtarlarının durumlarını gösterelim. f 1 (x 1, x 2 ) fonksiyonu ile A 1, A 2 anahtarlarının durumunu gösteren fonksiyon olsun. Bağlantı seri olduğundan f 1 (x 1,x 2 ) =x 1 x 2 dir. f 2 (x 3 ) ile de A 3 anahtarının durumunu ifade edelim. f 2 (x 3 )=x 3 olduğu açıktır. A 1 ve A 2 anahtarları paralel olarak A 3 anahtarına bağlanmıştır. Böylece anahtar sisteminin davranışı f ( x, x, x ) = f ( x, x ) + f ( x ) = xx + x Örnek Yukarıdaki devreyi ifade eden f anahtarlama fonksiyonunu hesaplayınız. x 1, x 2, x 3, x 4 ile A 1, A 2, A 3, A 4 anahtarlarının durumlarını gösterelim. f 1 (x 1, x 2 ) fonksiyonu ile A 1, A 2 anahtarlarının durumunu gösteren fonksiyon olsun. Bağlantı seri olduğundan f 1 (x 1,x 2 ) =x 1 x 2 dir. f 2 (x 3, x 4 ) ile de A 3, A 4 anahtarının durumunu ifade edelim. Bağlantı paralel olduğundan f 2 (x 3, x 4 )=x 3 + x 4 olduğu açıktır. A 1 ve A 2 anahtarları paralel olarak A 3 anahtarına bağlanmıştır. Böylece anahtar sisteminin davranışı f ( x, x, x, x ) = f ( x, x ) + f ( x, x ) = xx + x + x

166 Örnek Yukarıdaki devreyi ifade eden f anahtarlama fonksiyonunu hesaplayınız. f ( x, x ) = x x + x + x Örnek Yukarıdaki devreleri ifade eden f 1 ve f 2 anahtarlama fonksiyonunu hesaplarsak: f ( x, x ) = x x ( x x + x + x ) f ( x, x ) = x x f 1 ve f 2 fonksiyonlarının ilk bakışta eşit olduklarını görmek mümkün değildir. Bu ise fonksiyonları disjunctive (conjuctive) normal forma dönüştürerek kontrol edebiliriz. Diğer yöntem ise bütün mümkün durumları tablo yaparak fonksiyonların eşit olduğunu gözlemleyebiliriz

167 Örnek Merdivenlere yerleştirilmiş bir lambanın hem üst kattan hem de alt kattan kontrol edilmesi istenmektedir. Buradaki anahtarların durumu değiştirildiğinde lambanın da durumunun değişmesi istenmektedir. Bu şekilde işlevselliğe sahip devreyi tasarlayınız. A 1 Açık Açık Kapalı Kapalı A 2 Açık Kapalı Açık Kapalı Akım Yok Var Var Yok disjunctivenormal forma f ( x, x ) = x x + x x conjuctive normal forma f ( x, x ) = ( x + x ) + ( x + x ) Mantık Devreleri

168 Örnek Yukarıdaki gibi kapılardan oluşan sistemi mantıksal değişkenler cinsinden ifade ediniz. f ( x, x, x, x ) = x x + x x x 1, x 2, x 3 gibi girdi değişkenlerini alıp x x + x x çıktısını veren mantık kapılarından oluşan sistemi tasarlayınız Boole İfadelerinin Minimize Edilmesi Mantıksal fonksiyonlar ile tasarlanan mantık devrelerinde kullanılan elemanların sayısının en küçüklenmesi ve aynı zamanda eşdeğer mantıksal fonksiyonu sağlaması tasarımda önemli bir mühendislik problemidir. Bu nedenle mantıksal fonksiyonların eşdeğeri olan ve en az mantıksal devre elemanı ile gerçeklenebilen fonksiyonun bulunması gereklidir. Çarpımlar toplamı olarak ifade edilen aşağıdaki fonksiyonun eşdeğerini hesaplayalım. F( x, y, z) = x y z+ x y z = ( y+ y)( xz) = 1( xz) = xz Buradan ilk mantıksal ifade iki çarpma ve bir toplama elemanı ile gerçeklenebilirken indirgenen ifade tek çarpma elemanı ile gerçeklenebilmektedir. İfadelerin indirgenmesi için iki adet yöntem kullanılır. Bunlar Karnaugh Haritaları ve Quine-McCluskey Yöntemidir. Bu bölümde önce mantıksal ifadelerin indirgenme yöntemlerinin esasları anlatılacaktır

169 Verilen bir mantıksal ifadeye denk olan en basit mantıksal ifade aşağıdaki kriterleri sağlar: a) Çarpımların toplamı olacak şekilde terimler yardımıyla ifade edilebilmelidirler. b) Bu formdan başka daha az sayıda denk bir mantıksal ifade bulunmamalıdır. c) Bu formdaki denk mantıksal ifadeler aynı sayıda terime sahip olmalıdır. Yukarıdaki kriterleri sağlayan mantıksal ifadeler minimal formdadır veya minimaldir denir. Yukarıdan da anlaşılacağı gibi minimal formlar tek değildir. Mantıksal ifadenin minimal formunu elde etmek için kullanılacak teknik disjunctive normal form ile başlar. Sonra ikinci kriter sağlanacak şekilde terimlerin sayısının azaltılması amaçlanır. Daha sonra değişkenlerin sayısının azaltılması sağlanır Karnaugh Haritası Yöntemi Bu yöntemde mintermlere eşdeğer olan en kısa ifade hesaplanır. Yöntem iki, üç, dört, vs. mantıksal değişkenli ifadeler için farklı harita oluşturulmasını gerektirir. F( x, y) = xy + x y xy+ xy+ xy x + y Örnek olarak F(x,y) = x. y + x.y nin haritası Tablo 6.6(b) de, x. y + x.y+ x y ninki ise Tablo 6.6(c) de görülmektedir. Tablo (b) nin eşdeğeri yine kendisi (c) ninki ise x + y olarak elde edilir Minterimlerin yazılım sırasına dikkat edilirse, bitişik her bir satır veya sütunda değişkenin alabileceği değer 1 den 0 a yada 0 dan 1 geçer. Bu ise iki bitişik karenin birbiri ile komşu olmasını sağlar

170 Tablo 6.7(a) da üç değişkenli mantıksal ifadenin Karnaugh Haritası görülmektedir. Örnek olarak F(x,y,z) y, = z) x = y.z xyz + x. + xy y z z + x xy y z + x y z+ x y z nin haritası Tablo 6.7(b) de, xyz + xyz z + xyz x y.z + xyz x. y + z + xyz x y + z xyz + x y fonksiyonunki ise 6.7(c) de görülmektedir. (b) nin eşdeğeri y + xy x y, (c) ninki ise x x+ + y + z olarak elde edilir. 4 ve daha fazla değişkenli mantıksal ifadelerin indirgenmesi benzer şekilde Karnaugh Haritasının genişletilmesiyle yapılabilir. Ana kural, mintermlerde toplama giren eşlenik terimlerin haritada daire içerisine alınması ve grupta değişmeyen terimin sonuçta yer almasıdır Quine-McCluskey Yöntemi Karnaugh Haritası pratik bir yöntem olmasına karşılık dörtten fazla mantıksal değişkenli ifadelerde haritanın boyutu çok büyüyeceğinden tablo oluşturmak zorlaşır. Bu nedenle Quine-McCluskey yöntemi böyle ifadelerin indirgenmesinde kullanılabilir. Yöntemde mintermler en fazla 1 içeren dizilerine göre sırlanarak bu terimlerden indirgenme yapılır. Örnek olarak : F( x, y, z) = x y z+ x y z+ x y z+ x y z+ x y z ifadesinin indirgenmesini ele alalım. Bunun için önce yandaki Tablo teşkil edilir. Tabloda adım 1 ve 2 den indirgenen terimlerin toplamı fonksiyonun indirgenmiş değeridir. 1. adımda birbiriyle indirgenen terim numaraları gösterilmiştir. 2. adımda ise 1. adımdaki sonuçlardan birbiriyle indirgenen terimler gösterilmiştir. İndirgenemeyen terimler 1. adımda 5. terim 2. adımda ise 1. terimdir. Yani ifadenin indirgenmiş şekli F( xyz,, ) = z+ x y dir

171 Graflar - Çizgeler Ders Graflar ve Tanımlar Bir grafın ne olduğunu açıklamadan önce belki de ne olmadığını söylemek daha iyi olabilir. Bu bölümde kullanılan graf bir fonksiyonun grafiği değildir. O halde graf nedir? Basitçe bir graf düğüm olarak adlandırılan noktalar ve her biri bu noktaları veya sadece noktanın kendisini birleştiren ve ayrıt olarak adlandırılan çizgiler topluluğudur. Örnek olarak şehirleri düğüm (vertice) ve onları bağlayan yolları ayrıt (edge) olarak gösteren yol haritaları verilebilir. Bir grafı tanımlamak için öncelikle düğümlerin ve ayrıtların kümesini tanımlamamız gerekir. Daha sonra hangi ayrıtların hangi düğümleri bağladığını belirtmeliyiz. Bir ayrıt her iki ucunda da bir düğüm olacak şekilde tanımlandığından graftaki tüm ayrıtların uç noktalarını bir düğüm ile ilişkilendirmek gerekir. Bu nedenle, her bir e ayrıt ı için {v 1, v 2 } kümesi tanımlarız. Bunun anlamı e ayrıt ının v 1 ve v 2 düğümlerini bağladığıdır. v 1 = v 2 olabilir. {v 1, v 2 } kümesi δ(e) ile gösterilir ve düğümler kümesinin bir alt kümesidir

172 Tanım: Bir yönsüz (undirected) graf G şunlardan oluşur: G(V,E) i. boş olmayan sonlu bir V düğümler kümesi ii.sonlu bir E ayrıtlar kümesi ve iii.bir δ:e P(V) fonksiyonu öyle ki her bir e ayrıt i için δ(e) V nin bir veya iki elemanlı bir alt kümesidir. Şekil 7.1 deki G grafına bakalım. Açıktır ki G grafının düğüm kümesi {v 1, v 2, v 3, v 4 } ve ayrıt kümesi {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 }. δ:e P(V) fonksiyonu şöyle tanımlanmaktadır: δ: e 1 a {v 1 } δ: e 2 a {v 1,v 2 } δ: e 3 a {v 1,v 3 } δ: e 4 a {v 2,v 3 } δ: e 5 a {v 2,v 3 } Bu basitçe, e 1 in v 1 düğümünü kendisine, e 2 nin v 1 ve v 2 düğümlerini vs. bağladığını gösterir. 9-3 Yukarıda görüldüğü gibi bir ayrıt bir düğümü yine kendisine bağlayabileceği (loop) gibi v 4 teolduğu gibi bir düğüm hiçbir ayrıt ile bağlanmamış olabilir. Ayrıca iki düğüm birden fazla ayrıt ile de çoklu ayrıtlar (multiple edge) ile bağlanmış olabilir. Eğer bir graf, bir düğümü yine kendisine bağlayan (loop içermeyen) bir ayrıt ve aynı iki düğümü birden fazla bağlayan ayrıtlara (paralel ayrıtlar) sahip değil ise basit (simple) graftır. Dikkat edilmesi gereken bir nokta bir graf ile onu temsil eden diyagram aynı değildir. Daha önce de söylediğimiz gibi bir graf bir fonksiyon ile birlikte iki kümeden oluşur. Eğer bir G(V,E) graf paralel ayrıtlara sahip ise çoklu (multi) graftır

173 Şekil 7.1 kendi başına bir graf değildir sadece bir grafın gösterimidir. Verilen bir graf birbirinden çok farklı görünen iki graf ile gösterilebilir. Örneğin şekil 7.2 deki iki diyagram çok farklı görünmelerine rağmen aynı G garfını temsil ederler. Şekil 7.2(a) daki graf 7 düğümlü çember (Wheel) graf olarak adlandırılır ve W 7 şeklinde gösterilir. Tüm n pozitif tamsayıları için n düğümlü ve n ayrıtlı bir W n çember grafı vardır. 9-5 Eğer bir grafta ayrıtlardan düğümlere belirli bir yönce geçiş olduğu belirtiliyorsa bu graf, digraf olarak adlandırılır. Graftaki her bir ayrıtın kendine özgü ağırlıkları söz konusu ise ağırlıklı graf olarak alınır

174 Tanım: i. v ve w düğüm çiftini bağlayan bir e ayrıtı varsa bu iki düğüm komşudur (adjacent). Bu durumda hem v hem de w e ye değer deriz ve ayrıca e de v ve w ya değer deriz. ii. e 1, e 2, en ayrıtları en az bir ortak düğüme sahipse komşudur. iii. Bir v düğümünün derecesi (degree) σ(v), v düğümüne bağlı olan (incident) olan ayrıtların sayısıdır. Aksi belirtilmediği sürece v yi kendisine bağlayan ayrıt v nin derecesini iki arttırır. iv. Tüm düğümleri aynı r derecesine sahip grafa r dereceli düzenli (regular) graf veya r-derece graf denir. 9-7 Tanımlar i. Bir boş graf (null) veya tamamen bağlı olmayan (totally disconnected) graf ayrıt kümesi boş olan graftır. K 6 ii. Bir tam (komple) (complete) graf farklı düğüm çiftlerinin tümü bir ayrıt ile bağlı olan basit graftır ve n düğüm sayısı olmak üzere K n şeklinde gösterilir. iii. Düğüm kümesi, tüm ayrıtlerın v 1 in bir düğümüne v 2 nin bir düğümüne bağladığı {v 1, v 2 } şeklinde bir bölümlemeye sahip olan grafa iki parçalı (bipartite) graf denir. iv. Bir tam (komple) iki parçalı (complete bipartite) graf v 1 in tüm düğümlerini v 2 nin tüm düğümlerine tek bir ayrıt ile bağlayan iki parçalı graftır

175 Örnek: G, V düğüm setinin {V 1, V 2 } bölümlemesine sahip olduğu bir iki parçalı graf olsun. Dikkat edilirse G basit graf olmak zorunda değildir. Gereken tek şey her bir ayrıt V 1 in bir düğümü ile V 2 ninbir düğümünü bağlamalıdır. v 1 V 1 ve v 2 V 2 dersek, bunları bağlayan birden fazla ayrıt olabilir veya hiç ayrıt olmayabilir. G de loop olamayacağı da açıktır. Bir komple iki parçalı graf tamamen V 1 ve V 2 ile belirtilir. n ve m düğümlü komple iki parçalı graf K n,m ile gösterilir ve V 1 =n ve V 2 =m dir. Şekil 7.3 iki tane iki parçalı graf örneğidir. Her iki şekilde de V 1 in düğümleri içi dolu noktalar ile, V 2 nin düğümleri ise içi boş noktalar ile gösterilmiştir. (b) deki graf komple iki parçalı K 3,3 grafıdır. 9-9 Komşuluk Matrisi Tanım: G düğüm kümesi {v 1, v 2,.., v n } olan bir graf olsun. G nın komşuluk matrisi; a ij, v i ve v j yi bağlayan ayrı ayrıtların sayısı olmak üzere n x n A=A(G) matrisidir. Komşuluk matrisi v i ve v j yi bağlayan ayrıtların sayısı, v j ve v i yi bağlayan ayrıtların sayısıyla aynı olduğundan simetrik olmalıdır. v i düğümünün derecesi komşuluk matrisinden kolayca belirlenebilir. v i de bir loop yoksa bu düğümün derecesi matrisin i. sütunundaki değerlerin toplamıdır. Her bir loop dereceyi iki kere etkilediğinden i. sütundaki değerleri toplarken a ii diyagonal elemanın iki katı alınır

176 Örnek: Aşağıdaki A komşuluk matrisi (adjoint matrix) şekil 7.1 de gösterilen grafa aittir. A= V={v 1, v 2, v 3, v 4 } ile A nın satırları ve sütunları düğümleri temsil eder. Grafın iki özelliği matrise bakılarak hemen görülebilir. Öncelikle, diyagonale bakıldığında bir tek döngü (loop) vardır- v 1 den kendisine. İkincisi, son satır veya sütundaki 0 lar v 4 ün bir izole edilmiş düğüm yani başka hiçbir düğüme bağlı olmayan (kendisi dahil) bir düğüm olduğunu gösterir. Düğümlerin dereceleri matristen kolayca hesaplanabilir: σ (v 1 ) = =4 σ (v 2 ) = 1+2=3 σ (v 3 ) = 1+2=3 σ (v 4 ) = Tanım: Σ grafının tüm e ayrıtları için V Σ V G, E Σ E G ve δ Σ (e)=δ G (e) ise Σ grafı G grafının alt grafıdır (subgraph)denir ve Σ G şeklinde gösterilir. Σ grafının tüm e ayrıtları için δ Σ (e)=δ G (e) durumu Σ alt grafının ayrıtlarının G de olduğu gibi aynı düğümleri bağlaması gerektiği anlamına gelir. Eğer G nin diyagramından bazı düğümleri veya ayrıtları silerek Σ nin diyagramını elde edebiliyorsak Σ, G nin alt grafıdır. Tabii ki, bir düğümü siliyorsak ona bağlı (incident) olan tüm ayrıtları de silmeliyiz

177 Düğüm silinerek elde edilen altgraflar: Ayrıt silinerek elde edilen altgraflar: 9-13 Yollar ve Devreler Eğer bir graf çeşitli şehirleri bağlayan yol ağını temsil ediyorsa aklımıza şu soru gelebilir: her yoldan bir kere geçerek ve her şehre sadece bir kez uğrayarak aynı şehirden başlayıp aynı şehirde biten bir yolculuk yapılabilir mi? Tanım: i. G grafında n uzunluğunda ayrıt dizisi; i =1, 2,, n-1 için e i ve e i+1 komşu olmak üzere e 1, e 2, e n ayrıtlarının dizisidir. Ayrıt dizisi, δ(e i )={v i-1, v i } olmak üzere v 0,v 1,v 2, v n-1,v n düğüm dizisini belirler. v 0 a ilk düğüm, v n e son düğüm denir. ii. Bir yol (path) tüm ayrıtları birbirinden ayrı (distinct) olan ayrıt dizisidir. Buna ek olarak eğer tüm düğümler de birbirinden ayrı ise bu yol basit (simple) yoldur. iii. v 0 =v n ise ayrıt dizisi kapalıdır(closed). En az bir ayrıt içeren basit kapalı bir yol devre (circuit) olarak adlandırılır

178 Ayrıt Dizisi Bir ayrıt dizisi grafın diyagramında kalemi kağıdın üzerinden kaldırmadan çizebileceğimiz herhangi sonlu ayrıt dizisidir. Ayrıtlar tekrar edilebilir veya döngüler tekrarlanabilir vs. özelliklerine sahip ayrıt dizileri çok genel olduklarından kullanıma uygun değillerdir ve bu yüzden yollar tanımlanmıştır. Bir yolda aynı ayrıttan birden fazla geçmeye izin verilmediğine dikkat edilmelidir. Buna ek olarak eğer aynı düğümü birden fazla ziyaret etmiyorsak bu yol, basit yol olarak adlandırılır. Ayrıt dizisi veya yol, bir yerden başlayıp aynı yerde bitiyorsa kapalıdır denir. Yandaki graf için bir ayrıt dizisi: e 1,e 2,e 4,e 5,e 2,e 3 Basit yol: e 1,e 2,e 4 Kapalı yol: e 2,e 4,e G şekil 7.1 de gösterilen graf olsun. A ise bu grafın Komşuluk matrisidir. A nın (i,j). elemanı v i ve v j düğümlerini bağlayan ayrıtların sayısıdır. Bunu bu iki düğümü bağlayan 1 uzunluğunda ayrıt dizilerinin sayısı şeklinde düşünebiliriz. Bu durumda, komşuluk matrisinin karesi: A 2 de (i,j). eleman v i ve v j yi bağlayan 2 uzunluğunda ayrıt dizilerinin sayısını temsil eder. Örneğin, A(2,2) elemanı 5 tir ve v 2 yi kendisine bağlayan 2 uzunluğunda 5 tane ayrıt dizisi vardır: e 2,e 2 ; e 4,e 4 ; e 5,e 5 ; e 4,e 5 ; e 5,e

179 Açıklama Bunun niçin böyle olduğunu görmek zor değildir. A 2 nin (i,j). elemanı A nın i. satırı ile j. sütununun çarpılması ile elde edilir. Matris çarpımı n k = 1 aa ik kj Toplamdaki r. terim a ir a rj, v i ve v r yi bağlayan ayrıtların sayısı ile v r ve v j yi bağlayan ayrıtların sayısının çarpımıdır. Bir başka ifade ile v i ve v j yi v r aracılığı ile bağlayan 2 uzunluğundaki ayrıt dizilerinin sayısıdır. Tüm k değerleri için ortaya çıkanların toplanması v i ve v j yi bağlayan 2 uzunluğunda ayrıt dizilerinin sayısını verir. Benzer şekilde A 3 te (i,j). eleman v i ve v j yi bağlayan 3 uzunluğundaki ayrıt dizilerinin sayısıdır. Bu graf için 9-17 Teorem: G, v 1, v 2,, v n gibi n tane düğümden oluşan graf ve A matrisi de G nin komşuluk matrisi olsun. B=A + A 2 + A A n-1 Eğer her farklı i,j indisleri için b i,j 0 ise graf bağlantılıdır (connected) denir

180 Bağlantılılık (Connectedness) Bazı graflar tek bir parça halinde iken diğerleri çeşitli parçalardan oluşuyor olabilir. Bu fikri daha belirgin hale getirmek için yolları kullanabiliriz. Tanım: Bir graf eğer birbirinden ayrı düğümlerini bağlayan bir yol varsa bağlıdır (connected). Herhangi bir graf doğal olarak bileşen (component) adı verilen belli sayıda bağlı alt graflara bölünebilir. Bileşenler maksimal bağlı alt graflar olarak tanımlanabilirler. Bunun anlamı G 1, G in bağlı bir alt grafı ise ve kendisi G nin başka herhangi bir bağlı alt grafının alt grafı değilse, G nın bileşenidir denir. Bu ikinci durum maksimal terimi ile anlatmak istediğimiz şeydir yani Σ, G 1 Σolacak şekilde bir bağlı alt grafsa Σ= G 1, böylece G nin G 1 den daha büyük bağlı bir alt grafı yoktur Euler Yolları (Eulerian Paths) Euler 1736 yılında yazdığı makale ile graf teorisinin doğmasına sebep olmuştur. Bu makale aşağıda tanımlanan Königsberg Bridge Problemini çözebilen bir teoriyi içeriyordu. Pregel nehri Königsberg kasabasının içinden akmaktadır. Nehrin ortasında aşağıdaki şekildeki gibi nehrin kıyılarına ve birbirine köprüler ile bağlı iki ada bulunmaktadır. Königsberg kasabasının vatandaşları için problem, kıyıların veya adaların birinden başlayıp tüm köprülerden sadece bir kez geçerek başladığımız yere yürünebilirliğinin incelenmesidir

181 Euler öncelikle şekil 7.4 (b) deki gibi Königsberg coğrafyasının gerekli özelliklerini bir graf ile gösterdi. Her bir nehir kıyısı ve adalar bir düğüm ile köprüler de ayrıtlar ile temsil edildi. Graf teorisi terimleri ile problem şu hale geldi: grafın tüm ayrıtlarını içeren kapalı bir yol var mıdır? 9-21 Tanım: G grafındaki bir Euler Yolu, G nın tüm ayrıtlarını içeren kapalı bir yoldur. Bir graf içinde en az bir Euler Yolu barındırıyorsa bu graf Euler grafıdır. Bir yolda hiçbir ayrıtdan birden fazla geçilemeyeceğinden Euler yolu tüm ayrıtları sadece bir kez içerir fakat düğümlerden birden fazla geçilebilir. Bağlı bir G grafında Euler Yolu olup olmadığını belirlemek için gereken durumu tanımlamak çok kolaydır: bütün düğümlerin derecesi çift olmalıdır. Bunu görmek için G bağlı ve Euler yoluna sahip olsun. G bağlı olduğundan Euler yolunun düğüm dizisi bütün düğümleri içerir. Yol ne zaman bir düğümden geçse bu derecesine iki katkı yapar. Tüm ayrıtlar yolda bir kere bulunduğundan her düğüm çift dereceye sahip olmalıdır. Königsberg dekiler aradıkları yolu bulamamakta haklıdırlar zira böyle bir yol yoktur. Problemi temsil eden şekil 7.4 (b) deki graf bağlıdır fakat gerekli koşulu sağlamaz. Aslında tüm düğümlerin derecesi tektir

182 Teorem 7.2: Bağlı bir G grafı sadece ve sadece tüm düğümleri çift dereceli ise Euler grafıdır. Hamilton Devreleri (Hamiltonian Circuits) Benzer bir problem de herhangi bir ayrıttan birden fazla geçmemek kaydıyla her bir düğümü sadece bir kez ziyaret edip başladığımız yere geri dönebilir miyiz? Bu problem Hamilton tarafından irdelenmiştir ve ismi bu yollar ile birlikte anılmaktadır. Tanım: Bir graftaki Hamilton devresi tüm düğümlerden bir kez geçen bir devredir. Bir graf içinde bir Hamilton devresi barındırıyorsa Hamilton grafıdır. Örnek: Şekil 7.5 te iki tane Hamilton devresi vardır Euler grafları basit bir karaktere sahipken aynı durum Hamilton grafları için doğru değildir. Aslında bir asırdan beri üzerinde çalışıldığı halde Hamilton graflarının karakteri hakkında bir şey bilinmemektedir (Karakter ile bir grafın Hamilton olması için gerek ve yeter koşul kastedilmektedir). Bu graf teorisinin çözülememiş büyük problemlerinden biridir. Açık bir gerek koşul grafın bağlı olmasıdır. Ayrıca çeşitli yeter koşullar da bilinmektedir. Teorem 7.3: Eğer, G n ( 3) düğümlü basit bağlı bir graf ise ve tüm v düğümleri için derecesi σ(v) n/2 ise G Hamiltondur. Dereceler ile ilgili koşul G nın Hamilton olması için gerek koşul değildir o halde, bu koşulu sağlamayan bir graf da Hamilton olabilir. Şekil 7.5 (b) ye bakarak bunu görebiliriz. Grafın 15 düğümü vardır, her düğümün derecesi 3 tür fakat hala Hamilton grafıdır

183 Grafların İzomorfizmi Aşağıdaki gibi tanımlanan G ve Σ graflarını düşünelim. G in düğüm kümesi {1,2,3,4}, komşuluk matrisi A ve Σ nin düğüm kümesi {a,b,c,d}, komşuluk matrisi B olsun. G ve Σ graflarını temsil eden diyagramlar şekil 7.6 da gösterilmiştir Biraz dikkatli bakılırsa şekil 7.6 da gösterilen grafların aynı olduğu görülebilir. Σ grafındaki a,b,c,d düğümlerini 3, 4, 2, 1 şeklinde; ve f i ayrıtlarını i=1,,8 için e i ile tekrar etiketlersek şekil 7.6 daki iki diyagrama aynı grafın farklı gösterimleri şeklinde bakabiliriz. Tabii ki, G ve Σ grafları birebir aynı değildir. Örneğin farklı düğüm kümelerine sahiptirler. Öte yandan aynı yapıya sahiptirler. G ve Σ grafları izomorfiktir graflar diyebiliriz. Σ nın düğümlerini yeniden etiketleyerek G ve Σ nın düğüm kümeleri arasında bir bijeksiyon tanımlamış oluruz

184 Tanım: G ve Σ iki graf olsun. G den Σ a bir izomorfizm (Ө, Φ) bir bijeksiyon çiftinden oluşur. Ө: V G V Σ ve Φ: E G E Σ öyle ki G nin tüm e ayrıtları için eğer δ G (e) = {v, w} ise δ Σ (Φ(e))={ Ө(v), Ө(w)}. İki graf, bir graftan diğerine bir izomorfizm varsa izomorfiktir denir ve G Σ şeklinde gösteririz. δ G (e) = {v, w} ise δ Σ (Φ(e))={ Ө(v), Ө(w)} olması şartının anlamı iki grafın ayrıtları ve düğümleri arasındaki uyuşmanın doğru şekilde sağlandığından emin olmak içindir. Basit bir G grafı için G dan Σ ya bir izomorfizm tanımlamak için sadece uygun Ө: V G V Σ düğüm bijeksiyonunu belirlemek gerekir. Bunun nedeni herhangi düğüm çiftini birleştiren en az bir tane ayrıt vardır o halde, bir kez Ө tanımlandığında gerekli özellikleri sağlayan sadece bir tane Φ: E G E Σ fonksiyonu vardır. İzomorfik grafların aynı yapıya sahip olmaları gerektiğinden birine ait graf teorisine dahil herhangi bir özellik diğerinde de bulunmalıdır. Bu özelliklerin bir kısmı aşağıdaki teoremde sıralanmıştır Teorem: (Ө, Φ) G dan Σ ya bir izomorfizm olsun. Bu durumda; i. G ve Σ aynı sayıda düğüme sahiptir; ii. G ve Σ aynı sayıda ayrıta sahiptir; iii. G ve Σ aynı sayıda bileşene sahiptir; iv. birbirine karşılık gelen düğümler aynı dereceye sahiptir; v. G basitse, Σ da öyledir; vi. G Euler grafı ise Σ de Eulerdir. vii. G Hamilton grafı ise Σ de Hamiltondur. İzomorfizm Prensibi İki grafın izomorfik olduğunu göstermek için birinden diğerine bir izomorfizm bulunmalıdır; iki grafın izomorfik olmadığını göstermek için ise bir grafın sahip olduğu ama diğerinin sahip olmadığı graf teorisine dahil bir özellik bulunmalıdır

185 Graflarda İşlemler Birleşim: G 1 ve G 2 iki graf olsun. G 1 G 2 birleşimi de graftır öyle ki V(G 1 G 2 )= V(G 1 ) V(G 2 ) ve E(G 1 G 2 )= E(G 1 ) E(G 2 ) Kesişim: G 1 ve G 2 en az bir ortak düğümü olan iki graf olsun. G 1 G 2 kesişimi de graftır öyle ki V(G 1 G 2 )= V(G 1 ) V(G 2 ) ve E(G 1 G 2 )= E(G 1 ) E(G 2 ) Tümleyeni: _ G, n tane düğümü olan bir basit graf olsun. G, G nin tümleyeni K n complete grafından G nin ayrıtlarının silinmesiyle elde edilir Graflarda İşlemler Grafların çarpımı: G 1 :(V 1,E 1 ) ve G 2 :(V 2,E 2 ) iki graf olsun. G 1 ve G 2 graflarının çarpımı G 1 G 2 şeklinde yazılır ve (G 1 G 2 ) : (V,E), V= V 1 V 2 ve E ayrıtlar kümesi aşağıdaki bağıntılardan hesaplanır: (a,b) ve (c,d) düğümleri G 1 G 2 grafının iki düğümü ise bu iki düğüm arasında aşağıdaki bağıntılardan birisi varsa ikisi arasında bir ayrıt vardır: i. a=c ve b ile d bitişik ise ii. a ile c bitişik ve b=d

186 Bileşke G 1 :(V 1,E 1 ) ve G 2 :(V 2,E 2 ) iki graf olsun. G 1 [ G 2 ] bileşke graf aşağıdaki gibi tanımlanır: G 1 [ G 2 ] : (V,E) Buradaki V= V 1 V 2 ve E ayrıtlar kümesi aşağıdaki gibi hesaplanır: (a,b) ve (c,d) düğümleri G 1 [ G 2 ] grafının iki düğümü ise bu iki düğüm arasında aşağıdaki bağıntılardan birisi varsa ikisi arasında bir ayrıt vardır: i. a ile c bitişik ise ii. a = c ve b ile d bitişik ise 9-31 Grafın Düğümlerinin Birleştirilmesi u ve v G grafının iki farklı düğümü olsun. Bu G grafının iki düğümünü birleştirerek yeni G 1 grafını oluşturabiliriz. Bu u ve v ile bağlantılı olan ayrıtların tek bir x düğümü ile bağlanarak elde edilir

187 Komşuluk Matrisi (İki düğümün birleştirilmesinin ardından) u ve v gibi iki düğümün birleştirilmesi sonrasında komşuluk matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir: 1. u. satır u. satır ile v. satırın toplamları ile elde ediniz. Benzer bir şekilde u. sütunu u. ve v. sütun toplamıyla elde edilir. 2. v. düğüm ile ilgili satır ve sütunları siliniz. Sonuçta elde edilen matris komşuluk matrisidir. v 1 ile v 4 düğümlerini birleştirelim 9-33 Birleştirme Algoritması (Bağlantılılık) Aşağıdaki aşamalar G grafının bağlantılılığının kontrol edilmesi için kullanılır: 1. G yi temelini oluşturan basit graf ile değiştirelim. Köşegen haricindeki sıfırdan farklı her bir elemanı 1 ve köşegen üzerindeki elemanları da 0 ile değiştirelim. 2. Yeni bir graf oluşturmak için v 1 ile komşu olan v 1,v 2,,v n düğümlerinin ilkiyle birleştirelim. Yeni düğümü v 1 ile isimlendirerek grafı G ile gösterelim adımı tekrar edelim adım ve üçüncü adımı v1 ile v1 e komşu başka bir düğüm kalmayıncaya kadar tekrar edelim adımdan 4. adıma kadar ki kısmı en son grafın v2 ve geri kalan tüm düğümler üzerine uygulayalım. Sonuç graf boştur ve izole edilmiş düğümlerinin sayısı ilk grafın bağlantılı bileşenlerinin sayısıdır

188 Örnek Aşağıdaki grafı göz önüne alalım: G yi temsil eden basit graf v 1 ile v 3 düğümlerini birleştirelim: G yi temsil eden basit graf v 1 ile v 4 düğümlerini birleştirelim: G yi temsil eden basit graf v 1 ile v 2 düğümlerini birleştirelim: G yi temsil eden basit graf Son graf boştur ve süreç sona erer. İzole edilmiş nokta sayısı birdir. Bundan dolayı graf bağlantılıdır

189 Ağaçlar Ders 10 Ağaçlar İçerisinde çevrim (cycle) bulundurmayan bağlantılı grafların özel bir türüne ağaç adı verilir. Ağaçlar, fizikçi Gustava Kirşof tarafından 1847 de kablo ağlarındaki elektrik akışını formülize etmek için kullanılmıştır. Kirşof yasaları olarak adlandırılan denklemlerin tamamı bağımsız olmadığından Kirşof ağaçları kullanarak bu denklemlerin hangilerinin bağımsız olduğunu belirlemiştir. Ağaç terimi, bu çalışmalardan on yıl sonra İngiliz matematikçi Arthur Cayley tarafından verilmiştir. Cayley matematik içerisindeki bir problemi incelemek için ağaçlar üzerine odaklanarak çalışmalar gerçekleştirmiştir. Ağaçlar bir çok nedenden dolayı graf teorisi içerisinde önemli bir yere sahiptir. Ayrıca, ağaçlar graf teorisinin birçok uygulamasında ön plana çıkmaktadır

190 Ağaçlar Cayley kimyadaki izomerleri ağaçları kullanarak incelemiş ve teoriyi uygulamaya taşımına becerisini göstermiştir. Son zamanlarda, bilgisayar bilimcileri, hiyerarşik veritabanı kullanarak belirli tipteki verilerin depolanma ve düzenlenme uygulamasını, ağaçları kullanarak gerçekleştirmişlerdir. Bunlara ek olarak, sıralama, kodlama teorisi ve bazı optimizasyon problemlerinin incelenmesinde de ağaçlar kullanılmaktadır Ağaçlar Tanım: Ağaçlar içerisinde çevrim bulundurmayan bağlantılı graflardır. Buradan ağaçların döngü ve çoklu ayrıt bulunduramayacağı açıktır. Herhangi bir döngünün kendisinin bir çevrim olduğu unutulmamalıdır

191 Ağaçlar Graf teorisinde ağaçların öneminin bir nedeni, her bağlantılı grafın özel bir ağaç içermesidir. Bu tip ağaçlar geren ağaç (spanning tree) olarak adlandırılır. Diğer özelliklerin yanı sıra; geren ağaçlar grafın düğümlerinin herhangi bir çiftini bağlayan yolların bir uygun kümesini sunar. Tanım: Γ, V düğüm kümesi olan bir bağlantılı graf olsun. Geren ağaç, düğüm kümesi V olan bir ağaçtır ve Γ nın bir alt grafıdır. Dikkat: Geren ağaç, grafın tüm düğümlerinden oluşmaktadır. Teorem: Her bağlantılı graf bir geren ağaç içerir Ağaçlar Uyarı: Verilen bir Γ bağlantılı grafı genellikle birden fazla geren ağaca sahiptir. Örneğin K 6 tam grafı için iki farklı geren ağaç aşağıdaki şeklide gösterilmektedir

192 Ağaçlar Teorem: T, düğüm kümesi V ve ayrıt kümesi E olan bir ağaç olsun. Bu durumda i. Her u ve w gibi iki ayrık düğüm çifti için T içerisinde bir birlerini bağlayan tek bir yol vardır. ii. T deki herhangi bir ayrıtın silinmesi her birisi ağaç olan iki bileşenli bir graf oluşturur. iii. E = V - 1 Sonuç: Yukarıdaki özelliklerden herhangi birini sağlayan bağlantılı graf bir ağaçtır Örnek: Aşağıdaki düğüm sayılarına sahip kaç tane izomorf olmayan ağaç vardır. i. Üç düğüm 1 tane ii. Dört düğüm 2 tane iii. Beş düğüm 3 tane iv. Altı düğüm 6 tane

193 Tanımlar i. Bir ağaçta tam bir tane düğümün derecesi 2 ve diğerlerinin dereceleri 1 veya 3 ise tam ikili ağaç (full binary tree) olarak adlandırılır. ii. Derecesi 2 olan düğüm kök (root) olarak, iii. Derecesi 3 olan düğümleri karar düğümleri (decesion vertices), iv. Derecesi 1 olan düğümlerde yaprak düğümler (leaf vertices) olarak adlandırılır. İkili ağaçlar, genellikle bilgisayar bilimlerinde sıralama ve arama algoritmalarının tasarlanmasında kullanılmaktadır Tanım: T, r köküne sahip tam ikili ağaç olsun. v düğümünün seviyesi (level), T içerisinde r ile v yi birleştiren tek bir yolun uzunluğudur. Bu şekil 3 seviyeli tam ikili ağaçtır. 0 seviyeli düğüm kök olan r dir. 1 seviyeli düğümleri a ve b dir. 2 seviyeli düğümleri c ve d dir. 3 seviyeli düğümleri e ve f dir

194 Örnek: Seviye 1 ve seviye 2 tam ikili ağaçları çiziniz. Seviye 1 Seviye Örnek: a n, n seviyeli tam ikili ağaçların sayısını göstersin. n 2 için a n =2 a n-1 (a 0 +a 1 + +a n-2 )+(a n-1 ) 2 olduğunu gösteriniz. n seviyeli bir ağaç; 0 i,j n-1 ve i ve j den en az birisi n-1 e eşit olmak üzere iki parçadan oluştuğunu düşünelim: i seviyeli tam ikili ağaç j seviyeli tam ikili ağaç Eğer j=0 ise i = n-1: a 0 a n-1 tane böyle ağaç vardır. Eğer j=1 ise i = n-1: a 1 a n-1 tane böyle ağaç vardır. Eğer j = n-2 ise i = n-1: a n-2 a n-1 tane böyle ağaç vardır. Eğer j = n-1 ise i sayısı 0 ile n-1 arasındaki herhangi bir tamsayı değeri alabilir : a n-1 (a 0 +a 1 + +a n-2 + a n-1 ) tane böyle ağaç vardır. Böylece toplam n seviyeli tam ikili ağaçların sayısı a n = a 0 a n-1 + a 1 a n a n-2 a n-1 + a n-1 (a 0 +a a n-2 + a n-1 ) = a n-1 (a 0 +a a n-2 ) + a n-1 (a 0 +a a n-2 ) + (a n-1 ) 2 = 2 a n-1 (a 0 + a a n-2 ) + (a n-1 )

195 Örnek: Bir önceki örnekteki formülü kullanarak a 3 ve a 4 değerlerini hesaplayınız. a 0 =1, a 1 =1 ve a 2 =3 olduklarını bildiğimize göre a 3 = 2a 2 (a 0 +a 1 )+a 2 2 = 2 3 (1+1)+3 2 =21 a 4 = 2a 3 (a 0 +a 1 +a 2 )+a 3 2 = 2 21 (1+1+3)+21 2 =651 Teorem: i. T bir ağaç ise ayrıtlarının sayısı E = V -1 ii. T herhangi bir bağlantılı graf ise E V -1 iii.t ağaç olmayan bir bağlantılı graf ise E > V Örnek: K n,2 içerisinde kaç tane geren ağaç vardır. V nin { {x,y}, {1,2,,n} } şeklinde parçalanışa sahip olduğunu kabul edelim. Bu durumda K n,2 yandaki şeklinde şekil yardımıyla ifade edilebilir. K n,2 nin geren ağaçlarını şu şekilde tanımlayabiliriz: İlk olarak {1,2,,n} kümesinden bir k düğümünü seçelim ve bu düğümü x ve y nin her ikisi ile birleştirelim. Daha sonra e {1,2,,n} {k} şeklindeki her bir düğüm için rx veya ry den birisini geren ağacın bir ayrıtı olarak seçelim. K düğümünü seçmek için n tane durum vardır. Geriye kalan ayrıtların seçimi için ise n-1 eleman 2 farklı şekilde seçileceğinden 2 n-1 durum söz konusudur. Sonuç olarak geren ağaçların sayısı n 2 n-1 tane olur

196 Tanım: Γ bağlantılı bir graf olsun. t(γ), Γ nın içerisindeki geren ağaçların sayısını göstersin. e de Γ nın bir ayrıtı olsun. Bu durumda Γ- e: Γ daki e ayrıtının silinmesiyle elde edilen grafı gösterir. Γ \e: Γ dan e ayrıtının kısaltılması veya daraltılmasıyla (contracting) elde edilen grafı gösterir. Eğer Γ-e bağlantılı graf değilse e ayrıtı köprü (bridge) olarak adlandırılır Ödev: e, Γ nın köprü olmayan bir ayrıtı olsun. t(γ)=t(γ-e)+t(γ\e) olduğunu gösteriniz. Örnek: Yandaki şekilde verilen grafın geren ağaçlarının sayısını yukarıdaki formülü kullanarak hesaplayınız. Yukarıdaki formülü farklı seçimler yaparak bu örneğe uygulamak mümkündür

197 Tanım: u ve v, G grafının iki düğümü olsun. u ve v arasındaki uzaklık d(u,v) ile gösterilir ve u-v arasındaki en kısa uzaklıktır. Eğer u ile v arasında bir yol yok ise d(u,v)= olur. Tanım: V, G grafının düğüm kümesi olsun. v düğümünün eccentricity e(v) ile gösterilir ve e(v)=max{d(u,v): u V ve u v} şeklinde tanımlanır. Tanım: G bir graf olsun G nin yarıçapı rad(g) ile gösterilir ve rad(g)=min{e(v): v V } şeklinde tanımlanır. Tanım: G bir graf olsun G nin çapı diam(g) ile gösterilir ve rad(g)=max{e(v): v V } şeklinde tanımlanır. Tanım: V, G grafının düğüm kümesi olsun. Eğer e(v)=rad(v) ise v V düğümü merkez noktasıdır denir.g nin tüm merkez noktalarının kümesi G nin merkezi olarak adlandırılır Yukarıdaki her bir kenar uzunluğu 1 olan G grafını göz önüne alalım

198 Prim Algoritması Prim algoritması, bilgisayar bilimcisi Robert Prim tarafından 1957 yılında üretilmiştir. Gelişi güzel seçilen bir düğümden başlanarak en küçük geren ağacın inşası gerçekleştirilir. Her bir adımda o andaki en küçük geren ağaç içerisinde olmayan en yakın noktayı ağaca bağlayan ayrıtın ağaca eklenmesiyle oluşturulur. Bu ağaç verilen grafın tüm düğümlerinden oluşuncaya kadar genişletilir. Bu strateji; her bir adımda kısmi geren ağaç tüm mümkün bitişik ayrıtların arasındaki en küçük olan ayrıt ile artırılarak gerçekleştirildiğinden aç gözlülük prensibi üzerine çalışıyor da denir

199 Bazı Farklı Geren Ağaçlar

200

201

202

203

204 Prim Algoritması -Örnek Kruskal Algoritması Kruskal algoritması, Joseph Kruskal tarafından 1956 yılında verilmiştir. Grafın her bir düğümünün başlangıçta ayrık ağaç olduğu bir orman oluşturulur. Daha sonra ayrıtlar ağırlıklarına göre sıralanılır. Sıralanmış her bir (u,v) kenarları için; eğer u ve v iki farklı ağacın düğümleri ise iki ağaç tek bir ağaca birleştirilerek (u,v) ormana dahil edilir. Bu işlem tüm ayrıtlar işleninceye kadar devam eder

205

206

207

208

209 10-41 Düzlemsel Graflar Tanım: Düğümleri düzlemde noktalar ve ayrıtları sadece grafın düğümlerinde kesişen doğrular veya yaylar olan grafa düzlem grafı denir. Bir graf, eğer bir düzlem grafıyla izomorfik ise örneğin düzlemde hiçbir ayrıtı kesişmeden bir diyagram ile temsil edilebiliyorsa düzlemsel (planar) graftır

210 Euler Formülü G bağlı düzlemsel bir graf olsun. Düzlemde çizilen G nın diyagramı yüz (face) adını verdiğimiz bölgelere ayırır. Bağlı düzlemsel bir grafın düğümlerinin, ayrıtlarının ve yüzlerinin sayısı arasında bir ilişki kurmak için basit bir formül vardır. Aşağıdaki tablo bu formülü görmek için faydalı olabilir Bütün bu graflar bağlıdır ve düzlemseldir ve F, E, V sırasıyla yüzlerin, ayrıtların ve düğümlerin sayısı olmak üzere F = E - V + 2 ilişkisini sağlarlar. Bu ilişki tüm bağlı düzlemsel graflar için sağlanır ve Euler in formülü olarak bilinir. Teorem: G, V düğümlü, E ayrıtlı ve düzlemi F yüze veya bölgeye ayıran herhangi bir bağlı düzlemsel graf olsun. Bu durumda, F = E - V + 2 olur. İspat: G nın ayrıt sayısına tümevarım yöntemi uygulayarak ispat yapılabilir. E =0 ise V =1 (G bağlıdır o halde iki veya daha fazla düğüm olamaz) ve tek bir yüz vardır yani F =1. Bu nedenle bu durum için teorem doğrudur. Şimdi, teoremin n ayrıttan az graflar için de sağlandığını düşünelim. G, n ayrıtlı bağlı düzlemsel graf olsun; yani E =n. G bir ağaç ise V =n+1 (teorem 7.5) ve F =1 o halde, teorem bu durumda da sağlanır. Eğer G bir ağaç değilse G deki herhangi bir devreyi seç ve bir ayrıtını sil. Sonuçtaki graf G bağlıdır, düzlemseldir, n-1 ayrıtı, V düğümü, ve F -1 yüzü vardır. Tümevarımsal hipoteze dayanarak Euler in formülü G için sağlanır. F -1 = ( E -1) - V + 2 o halde, F = E - V

211 Tanım: Eğer bir graf, diğer bir grafın ayrıtlarına derecesi 2 olan düğümler ekleyerek veya çıkararak elde edilebiliyorsa bu iki graf homeomorfiktir (izomorfik kopyasıdır). Örnek: Şekil 7.8 de gösterilen grafların hepsi homeomorfiktir. (a) daki graftan (b) dekini elde etmek için 2 düğüm sileriz. (b) dekinden (c) deki grafı elde etmek için bir düğüm sileriz ve iki düğüm ekleriz. (d) den (e) yi elde etmek için bir düğüm ekleriz. (e) ve (f) deki graflar izomorfiktir- herhangi bir düğümün eklenmesine veya çıkarılmasına gerek yoktur Kuratowski nin Teoremi Bir Grafın düzlemsel olması için ancak ve ancak K 5 ve K 3,3 e homeorfik hiçbir alt grafının olmamasıdır

212 Yönlü Graflar Tanım: Yönlü graf veya digraf D, sonlu V=V D düğümlerinin, E=E D yönlü ayrıtlarının boş olmayan ve δ:e V V tasvirinden oluşur. Eğer δ(e)=(u,v) ise u, e ayrıtının başlangıç düğümü ve v ise son düğümü olarak adlandırılır. Verilen D digrafında ayrıtların yönlendirilmesi ihmal edilerek yönsüz Γ grafı elde edilir. Eğer döngü ve çoklu kenarlar yoksa digraf basit olarak adlandırılır. Bitişiklilik, bağlı olmak ve derece kavramları graflardakinin aynısıdır Tanım: Eulerian digraf, her ayrıtı içeren kapalı yönlü yol içeren digraftır. Tanım: Hamiltonian digraf her düğümden geçen yönlü çevrim içeren digraftır. Tanım: Son düğümü v olarak düşünülen ayrıtların sayısı v düğümünün iç-derecesidir. Tanım: Başlangıç düğümü v olarak düşünülen ayrıtların sayısı dış-derecesi olarak adlandırılır. Teorem: Bağlantılı digraf ancak ve ancak her düğümünün iç-derecesi dış-derecesine eşit ise Euleriandir

213 Köklü Ağaçlar Tanım: Köklü ağaç, T bir ağaç ve v* V T olan (T,v*) çiftidir. Buradaki ayrıcalıklı v düğümü ağacın köküdür. Köklü ağaçtaki yaparak derecesi bir olan ve köke eşit olmayan düğümdür. Karar düğümü (iç düğüm) kök veya yaprak olmayan düğümdür. Tanım: (T,v*) köklü ağaç olsun. T nin w düğümünün seviyesi, T içerisindeki v* ile w tekbir yolun uzunluğudur. Tanım: T nin yüksekliği, düğüm seviyelerinin maksimumudur

214 10-51 Tanım: (T,v*) köklü ağaç olsun ve p ise k > 0 seviyeli düğüm olsun. P ye bitişik olan k-1 seviyeli q düğümü p nin ebeveyni, p ise q nun çocuğu olur. q ya bitişik olan k seviyeli düğüm p nin kardeşi olarak adlandırılır. m-li ağaç, ebeveyn düğümü en fazla m çocuğa sahip köklü ağaçtır. İkili ve üçlü ağaçlar sırasıyla m=2 ve m=3 durumları için kullanılır. Eğer m-li ağacın her ebeveyn düğümü m çocuğa sahip ise ağaç dolu olarak adlandırılır. Eğer tüm yaprak düğümler köklü ağacın yüksekliği olan h seviyesinde ise tam olarak adlandırılır

215 Cebirsel ifadelerin Köklü Ağaçlar Yardımıyla İfadesi Bir ifade rekürsif olarak XαY şeklinde tanımlanabilir. Burada α ikili işlemin operatörü X ve Y ise işlemin operantları olarak adlandırılır. Böyle ifadeler, kökü α, sol çocuğu X ve sağ çocuğu Y olan ikili ağaç olarak ifade edilebilir. Aşağıdaki olağan notasyon infix form olarak da adlandırılır Bir ifadenin Prefix (Polish) form operatörün iki operandın önüne yazılmasıdır. XαY ifadesinin prefix formu αxy olur. xy z x yz Bir ifadenin Postfix (reverse Polish) form operatörün iki operandın ardına yazılmasıdır. XαY ifadesinin prefix formu XYα olur. xy z x yz

216 Örnek: Aşağıdaki ikili ağaçları infix, prefix ve postfix formunda yazınız

217 Algoritmalar ve Karmaşıklık Ders 11 Algoritma Ayrık matematikte karşılaşılan bir çok problem sınıfı mevcuttur. Örneğin, verilen tamsayı grubu içindeki en büyük olanının bulunması, verilen bir kümenin bütün alt kümelerinin listelenmesi, verilen bir tamsayı kümesinin artan sırada sıraya dizilmesi, verilen bir ağ da iki kenar arasındaki en kısa yol un bulunması gibi. Böyle problemler ile karşılaşıldığında, ilk olarak problemin matematiksel yapısını içeren bir modelinin bulunması gerekir. Böyle modellerde, permutasyonlar, bağıntılar, graflar, ağaçlar ve sonlu durumlu makineleri gibi ayrık yapılar sıkça kullanılmaktadır. Uygun matematiksel modelin kurulması çözümün ilk adımıdır. Modeli kullanarak çözümü gerçekleştiren bir yöntem her zaman gerekli olacaktır. Cevabı bulmak için sıralı adımları takip eden bir yordam (procedure) olacaktır. Böyle sıralı işlem adımlarına algoritma denir. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ

218 Algoritma Tanım: Bir hesaplamayı gerçekleştirmek veya bir problemi çözmek için kesin işlemlerin sonlu bir kümesine algoritma denir. Algoritmadaki her bir adım sonlu zamanda gerçekleştirilebilecek açık ve belirli talimatlar içerir. Her bir adımda çalıştırılacak işlemler açık olarak tanımlanmalıdır. İşlemin, adımların sonlu sayıda çalıştırılması sonucunda sonlandırılması garanti altına alınmalıdır. Algoritma kelimesi Türk Matematikçisi olan ve 9. yüzyılda yaşamış olan El-Harezmi nin isminden türetilmiştir. Aslen Türkistan da Aral gölünün güneyinde bulunan Harzem şehrindedir. Algoritma kelimesi Harezmi nin adından gelen Alkhorizmus=algorisma kelimesinin zamanla farklı dillerdeki kullanımındaki değişiminden türemiştir. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ 11-3 Algoritma Örnek: Sonlu sayıdaki tamsayılar kümesinin en büyük elemanın bulunması için bir algoritma kurulmaya çalışıldığında: Problemin uygulaması çeşitli alanlarda karşımıza çıkabilir: Üniversite öğrencileri arasında derecesi en yüksek olanın belirlenmesi, Bir spor organizasyonunda en yüksek dereceli olan sporcunun belirlenmesi gibi. Problemin birçok çözümü olabilir. Bu çözümlerden bir tanesi aşağıda verilmiştir. 1. Sayıların ilkini geçici en büyük olarak belirle. 2. Bir sonraki sayı ile geçici en büyük tamsayıyı karşılaştır. Eğer yeni sayı geçici en büyükten büyük ise yeni sayıyı geçici en büyük olarak belirle. 3. Eğer daha sayı var ise bir önceki adımı tekrarla. 4. Dizide başka eleman kalmamış ise dur. Bu noktada en büyük sayı geçici en büyük olarak belirlenmiş olan sayı olacaktır. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ

219 Pseudocode - Sahtekod Algoritma bir bilgisayar dili yardımı ile gösterilebilir. Ancak bunu anlamak çoğu zaman zor olur. Bunun yerine ortak olarak kullanılan pseudocode (sahtekod) ile ifade edilir. Bu kodda anahtar kelimeler İngilizce olarak ifade edilen işlem adımlarını gösterir. Pseudocode temel bilgileri: Bu bölümde sahtekod ile ilgili temel bilgiler(algoritmaları anlatmak için kullanılan) kısa olarak verilecektir. Bir algoritmanın sahtekodu procedure (yordam) ifadesiyle başlar. Bu algoritmanın ismini, girdi değişkenlerinin listesini ve bunların hangi tip olduklarını tanımlar. Örneğin, Procedure maximum(l: tamsayı listesi, a:integer) ifadesi algoritmanın sahtekod tanımlamasının ilk ifadesidir ve algoritmanın isminin maximum ve L listesindeki tamsayıların maksimumunu bulur. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ 11-5 Sahtekod Atama ve Diğer Tipten İfadeler Atama için := sembolü kullanılır. Atama ifadesi değişken := ifade formundadır. Örneğin; max := a x:= L listesindeki en büyük eleman gibi ifadeler atama işlemi için kullanılabilir. Bu ifadeyi gerçek bir programlama diline ifade etmek için birden fazla kod satırı yazılmak zorunda kalınabilir. Burada a ve b değişkenlerinin değerlerini değiştir gibi ifadelerde kullanılabilir. Not: Burada bu yazımların kullanılmasının amacı sahtekodu algoritmanın gerçek amacını gösterebilmek için kısa tutmaktır. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ

220 Sahtekod İfade Blokları İfadeler (statements) kompleks yordamları bloklar içerisinde gruplamak için kullanılır. Bu bloklar begin ve end ifadeleri kullanılarak tasarlanır. Bir blok içerisindeki ifadeler aynı miktarda biraz daha içeriden başlatılır. begin ifade1 ifade2 ifade n end Blok içerisindeki ifadeler sırasıyla çalıştırılır. Yorumlar Küme parantezleri içerisindeki ifadeler çalıştırılmaz. Böyle ifadeler, yordamın nasıl çalıştığı hakkında bilgi sunan yorum satırları olarak kabul edilir. Örneğin { x, L listesi içerisindeki en büyük elemandır} ifadesi okuyucuya x değişkeninin L listesinin en büyük elemanı olduğunu hatırlatır. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ 11-7 Sahtekod Koşullu Yapılar En basit koşullu yapı için if koşul then ifade kullanılmaktadır. Blok bir ifadenin çalıştırılması için if koşul then begin ifade bloğu end Diğer bir kullanım türü de if koşul then ifade1 else ifade2 Bir diğer türde if koşul_1 then ifade_1 else if koşul_2 then ifade_2 else if koşul_3 then ifade_3 else if koşul_n then ifade_n else ifade_n+1 Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ

221 Sahtekod Döngü Yapıları Sahtekod içerisinde kullanılan for, while do ve do until gibi üç değişik döngü yapısından bahsedilecektir: for yapısının tek bir ifade ile kullanılan basit formu for değişken:=başlangıç_değeri to son_değeri step artım ifade veya blok ifade içeren diğer bir formu for değişken:=başlangıç_değeri to son_değeri step artım begin ifade end Örneğin, 1 den n e kadar tamsayıların toplamını hesaplamak istersek sum:=0 for i:=1 to n sum:=sum+i Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ 11-9 Sahtekod Döngü Yapıları Bir şartın sağlandığı sürece bir veya daha fazla ifadenin çalıştırılabileceği döngüler while do yapısı ile gerçekleştirilir: while koşul [do] ifade veya while koşul [do] begin ifade bloğu end Örneğin 1 den n e kadar tamsayıların toplamını hesaplamak istersek sum:=0 k:=1 while k<n [do] begin sum:=sum+k k:=k+1 end Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ

222 Sahtekod Döngü Yapıları Bir şart sağlanıncaya kadar bir veya daha fazla ifadenin çalıştırılabileceği döngüler do until yapısı ile gerçekleştirilir. do begin ifade bloğu end until koşul Örneğin 1 den 10 e kadar tamsayıların toplamını hesaplamak istersek sum:=0 n:=1 do begin sum:=sum+n n:=n+1 end until n=10 Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ Sahtekod Örnek: Liste içerisindeki en büyük tam sayıyı bulma algoritması Procedure enbuyuk(a 1, a 2,..., a n : integers) enbuyuk := a 1 for i := 2 to n if enbuyuk < a i then enbuyuk := a i {işlem sonunda en büyük tamsayı bulunmuş olur} Başka bir algoritmada bu tamsayıları büyükten küçüğe doğru azalan şekilde sıralayıp ilk elemanı en büyük olarak almak olabilir. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ

223 Algoritmaların Özellikleri Algoritmalarda aşağıdaki özellikler bulunur ve bu özellikleri akıldan çıkartmamak gereklidir. Giriş : Belirlenen veri kümesinden algoritma giriş değerleri alır. Çıkış : Algoritma her bir giriş kümesinde çıkış değerleri üretir. Bu değerler problemin çözümüdür. Açıklık : Algoritmanın adımları açık olarak tanımlanmalıdır. Doğruluk : Algoritma her bir giriş kümesi için doğru çıkış üretmelidir. Sonluluk : Algoritma, her bir giriş kümesi için amaçlanan çıkışı, sonlu işlem adımı(büyük olabilir) sonunda üretmelidir Verimlilik : Algoritmanın her bir adımı tam ve sonlu bir zaman diliminde gerçeklenmelidir. Genellik : Yordam formdaki her probleme uygulanabilecek şekilde genel olmalıdır. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ Verilen listedeki en büyük tamsayıyı bulma algoritması bu açıdan değerlendirilirse; Giriş : Sonlu sayıda tamsayı kümesi Çıkış : kümedeki en büyük tamsayı Açık olarak adımlar tanımlanmıştır ve doğru sonuç üretir. Algoritma sonlu işlem adımı kullanır (n adım) Algoritma her bir adımda bir karşılaştırma işlemi yapar (verimlilik). Algoritma bu tür kümelerdeki en büyük tamsayıyı bulacak şekilde geneldir. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ

224 Arama Algoritmaları Sıralı listedeki bir elemanın yerinin bulunması çok değişik olarak karşılaşılan bir problemdir. Örneğin sözlükten bir kelime aranması gibi problemlere arama problemleri denir. Genel arama problemi aşağıdaki şekilde açıklanabilir: Farklı elemanları a 1, a 2,, a n olan bir listede bir x elemanın yerinin öğrenilmesi veya listede olup olmadığının öğrenilmesi şeklinde olabilir. Bu arama probleminin çözümü, x elemanına eşit olan a i elemanın yerinin bulunmasıdır. Eğer x =a i ise x listenin i. elemandır. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ Doğrusal Arama Algoritması Problemin çözümü için ilk algoritma doğrusal veya ardışık aramadır. Doğrusal arama algoritması, x ile a 1 karşılaştırarak işleme başlar. Eğer x =a 1 ise aranan eleman 1. elemandır. Eğer x a 1 ise, x ile a 2 karşılaştırılır. Eğer x =a 2 ise çözüm a 2 nin konumudur. Eğer x a 2 ise, x, a 3 ile karşılaştırılır. Bu işlem bir uyuşma bulununcaya kadar devam eder. Uyuşma olmadıkça işlem devam eder. Eğer bir uyuşma bulunamaz ise sonuç sıfır olarak elde edilir. Doğrusal arama algoritmasının sahtekodu aşağıda verilmiştir. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ

225 Procedure dogrusalarama(x:integer, a 1,a 2,,a n :farklı tamsayılar) i:=1 konum:=0 while( i n and x a i ) i:=i+1; if i n then konum:=i else konum:=0 Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ İkili Arama Algoritması Bu algoritmada verilen veriler artan şekilde sıralanmış olmalıdır. Veriler tamsayı ise en küçükten en büyüğe doğru sıralanmış, eğer kelime iseler alfabetik olarak sıralı şekildedir. Böyle bir veri kümesinde bir eleman aranması için algoritma ikili aramadır. İkili arama algoritmasının mantığı; sıralı veri kümesi ortadan iki kümeye ayrılarak bulunması istenen veri bu alt kümelerden hangisinin içerisinde olabileceğinin kontrolü prensibine bağlıdır. Arama işlemi alt kümelerde tekrarlanarak bulunması gerekli olan veri bulunmaya çalışılır. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ

226 Örnek: 1,2,3,5,6,7,8,10,12,13,15,16,18,19,20,22 sıralı dizisi içerisinde 19 tamsayısı aransın. Dizide 16 eleman bulunduğundan 1,2,3,5,6,7,8,10 ve 12,13,15,16,18,19,20,22 şeklinde 8 li iki alt kümeye ayrılır. 19 tamsayısı birinci alt kümenin en büyük elemanı ile karşılaştırılır. 10 < 19 olduğundan aranan sayı ikinci alt kümededir. Bundan sonra ikinci alt küme 12,13,15,16 ve 18,19,20,22 olmak üzere 4 elemanlı iki alt kümeye ayrılır. 16 < 19 olduğundan aranan tamsayı sağ alt kümede olabilecektir. Bu nedenle sağ alt küme yine 18,19 ve 20,22 olmak üzere iki elemanlı iki alt kümeye ayrılır. Şimdi 19 tamsayısı, son ikili kümenin en büyük elemanından büyük olmadığı için arama ilk kümenin 13. ve 14. elemanını içeren kümeyle sınırlanır. Böylece son kümede 18 ve 19 tamsayılı ve birer elemanlı iki alt kümeye ayrılır. 18 < 19 olduğundan arama 19 tamsayısından oluşan son kümeye sınırlanır ve kümenin 14. elemanı olarak bulunur. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ İkili Arama Algoritması Algoritmanın sahtekodu aşağıda verilmiştir. Procedure ikiliarama(x:integer, a 1,a 2,...,a n : artan tamsayılar) i:=1; {i, arama aralığının sol bitiş noktasını gösterir} j:=n; {j, arama aralığının sağ bitiş noktasını gösterir} while i<j do begin m:=[(i+j)/2]; if x>a m then i:=m+1; else j := m; end if x=a i then konum:=i else konum:=0; {konum, x e eşit olan terimin indisidir veya eğer x bulunamamış ise değeri sıfırdır} Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ

227 Algoritmaların Karmaşıklığı Algoritmaların özellikleri içerisinde verimlilik olması gerektiği açıklanmıştı. Algoritmanın verimliliği ne demektir? Bunun analizi nasıl yapılır? Verimliliğin bir ölçütü, algoritmanın belirli bir giriş verisine karşın, problemin çözümü için bilgisayarın harcadığı zamanın ölçülmesidir. Diğer bir ölçü ise belirli giriş verisine karşı bilgisayarın kullandığı bellek miktarıdır. Böyle sorular algoritmanın bir hesaplama karmaşıklığının geliştirilmesini gerektirir. Problemi çözmek için algoritmanın harcadığı zamanın analizi zaman karmaşıklığını, gerekli belleğin analizi ise yer (space) karmaşıklığının hesabını gerektirir. Yer karmaşıklığı probleminin çözümü, algoritmayı gerçeklerken kullanılan veri yapıları ile bağlantılıdır. Ancak bu konular içerisinde yer karmaşıklığından bahsedilmeyecektir. Algoritmanın zaman karmaşıklığı ise, belirli miktardaki giriş verisine karşılık, yapılan karşılaştırma, tamsayı toplama, tamsayı çıkartma, tamsayı çarpma ve bölme işlemleri ile diğer basit işlemlerin sayısı olarak hesaplanır. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ Bilgisayarda hesaplamalar genellikle aşağıdaki işlemler yardımıyla gerçekleştirilir: Atama Karşılaştırma (==,, >, <,, ) Aritmetik işlemler (+, -,, /) Mantıksal operasyonlar Bu operatörlerin çalıştırılması ne kadar zaman alır? Genelde, atama çok hızlı yapılır ve diğer işlemler daha yavaştır. Çarpma ve bölme de toplama ve çıkarmadan daha yavaştır. Kayan noktalarla işlem yapmak, tamsayılarla işlem yapmakta daha yavaştır. Çoğu algoritmada bu işlemlerden çok sayıda kullanılmaktadır ve hepsinin ne kadar zaman alacağını teker teker hesaplamak oldukça zor olacaktır. Bunun yerine çoğu algoritmada zaman karmaşıklılığı baskın olan tek bir işlem ile belirlenebilmektedir. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ

228 Algoritma karmaşıklık analizinde dikkat edilmesi gereken yaklaşımlar: Sadece en çok zaman kaybettiren işlemleri hesaba katınız. Hesaplama zamanının girdi boyutuna bağlı olarak değiştiğinde en kötü durumu analiz ediniz. Algoritma girdisinin genelde büyük olduğunu kabul ediniz. Eğer bir algoritmanın zaman karmaşıklılığının artış oranı diğerinin sabit bir katı olduğu durumlardaki iki zaman karmaşıklılığının ayırt etmeye çalışmayınız. Bu durumda her ikisi de aynı kabul edilir. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ Örnek ( Zaman karmaşıklığı için) Bir A dizisinin en küçük elemanını bulan algoritmanın zaman karmaşıklığının hesabı: Procedure enkucuk(a real array, enkucuk:real) enkucuk := A[1]; for i := 2 to n begin if A[i] < enkucuk then enkucuk := A[i] {en kötü durumda n-1 defa icra edilir} end {işlem sonunda en küçük ayı bulunmuş olur} Bu algoritmanın zaman karmaşıklığı en kötü durumda dizinin büyüklüğü mertebesindedir. Bu yordamın işlem sayısını hesaplamaya çalışalım: Karşılaştırma işlemlerinin sayısı : n-1 Atama işlemlerinin sayısı: n-1 ; Algoritmanın (zaman) karmaşıklığı O(n) dir. Karmaşıklığı ifade etmek için O(n) notasyonu kullanılır. O mertebe (order) işareti, (n) in sonlu bir çarpanla çarpımından daha küçüktür. İşlemlerin sayısı k n { k : sınırlı sabit, n : problemin büyüklüğü olarak tanımlanır} Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ

229 Örnekler En küçük sayıyı bulma algoritması : n-1: O(n) Hem en küçük hem de en büyüğü bulma : n-1 + n-2 = 2n-3 : O(n) Sıralama yapan algoritma (En küçükten büyüğe): (n-1) +(n-2) +(n-3) + +1 = n*(n-1)/ 2 = n 2 /2 n/2 : O(n 2 ) Algoritma A1 A2 Zaman Karmaşıklığı n nlog n Çözülebilen En büyük problem 1 sn. 1 dk. 1 saat Örnek algoritma En küçüğü bulma Sıralama(Quicksort) A3 n Geleneksel sıralama A4 n Matris Çarpımı A5 2 n Torba doldurma problemi Burada dikkat edilmesi gereken ilginç bir nokta, mertebe arttıkça çözebildiğimiz problem sayısı çok çabuk düşmesidir. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ Örnek: İkili arama algoritmasının karmaşıklık hesabının yapılması: Çözüm: Basitlik için a 1, a 2,.., a n listesinde n = 2 k eleman olduğunu varsayalım (k>0). Burada k = log 2 n olacaktır. Eğer kümedeki elemanların sayısı 2 nin katı şeklinde değil ise liste 2 k+1 elemanlı daha büyük bir liste olacaktır (burada 2 k < n < 2 k+1 gerçeklendiği açıktır). Aranan sayı bulununcaya kadar i ve j sayıları birbirine yaklaşır. İlk adımda liste 2 k-1 e sınırlanır. İkinci adımda liste 2 k-2 ye sınırlanır. En sonunda liste 2 1 = 2 elemanlı olarak kalır. Listede tek eleman kalınca karşılaştırma başka eleman olmadığını gösterir işlem k+1 adımda biter. İkili arama algoritmasını icra etmek için (her bir adımda 2 karşılaştırma yapıldığından) toplam 2k+2= 2log 2 n+2 karşılaştırma yapılır. Buradan ikili arama algoritmasının karmaşıklığının en kötü durumda O(log 2 n) olduğu söylenebilir. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ

230 Diğer bir karmaşıklık analizi ortalama durum analizidir. En kötü durum analizinden daha karmaşık olan bu analiz doğrusal arama algoritmasının karmaşıklık hesabında kullanılmıştır. Örnek: Aranan elemanın liste içerisinde olduğunu kabul ederek doğrusal arama algoritmasının en ortalama durum analizini yapınız: Çözüm: x in liste içerisinde olduğu n değişik mümkün girdi vardır. Eğer x listenin birinci terimi ise, üç karşılaştırma gerekir, biri listenin sonuna ulaşıldı mı, diğeri x ile birinci terimi karşılaştır, bir diğeri de döngü dışına çıkılması. Eğer listenin ikinci terimi ise ek iki karşılaştırmaya ihtiyaç vardır, dolayısıyla toplam beş karşılaştırmaya ihtiyaç vardır. Eğer x listenin i. terimi ise döngünün her bir i. Adımında iki karşılaştırma yapılmakta ve bir tane de döngü dışında yapılmaktadır. Sonuç olarak 2i+1 karşılaştırmaya ihtiyaç vardır. Böylece karşılaştırmaları ortalaması (2n+ 1) 2( n) + n = = n+ 2 = O( n) n n Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ Büyük-O (Big-O) Notasyonu f(n) ve g(n) iki zaman karmaşıklığı olsun. Eğer n sayısının yeteri kadar büyük değerleri için f(n) c g(n) olacak şekilde bir pozitif c sayısı varsa f(n) zaman karmaşıklığı O(g(n)) dir. Başka bir deyişle, n sayısı yeteri kadar büyük olduğunda, f(n), g(n) ile aynı büyüklüktedir. Ders 11 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ

231 Sonlu Durum ve Turing Makineleri Ders 12 Yrd.Doç.Dr. İbrahim TÜRKYILMAZ Sonlu Durum Makinesi Sonlu durum makinesi aşağıdakilerden oluşur: a) Bir σ başlangıç durumu, b) Sonlu sayıda duruma sahip olan sonlu durum kümesi S={s 0, s 1,, s n }, c) Giriş sembolleri, I={i 1, i 2,, i n }, d) Çıkış sembolleri, O={o 1, o 2,, o m }, e) Bu parametreler ile bir geçiş fonksiyonu tanımlanır f : S I S, f) Bir de çıktı fonksiyonu g : S I O, Böylece sonlu durum makinesi M=(S,I,O,f,g, σ) ile ifade edilir. O(t+1) çıkışı temelde I(t) ye bağlıdır. S(t) ye, o andaki durum veya makinelerin başından geçen olaylar (History) denir

232 Örnek I={a,b} gibi iki giriş sembollü ve O={0,1} gibi iki çıkış sembollü bir sonlu durum makinesi tanımlayalım. Bu makine I* dan herhangi bir stringi kabul eder ve stringin başındaki a lar kadar 1 çıktısı ve diğer durumlarda sadece 0 çıktısı verir. Ara durumlarda S={σ 0, σ 1 } dır ve σ 0 başlangıç durumdur. Herhangi bir b görülmediği durumlarda σ 0 durumundadır, b görüldüğü anda σ 1 durumuna geçilir. Geçiş ve çıkış fonksiyonu tabloda verilmiştir. Yanda da geçiş diyagramı sunulmuştur Örnek I={a,b} gibi iki giriş sembollü ve O={0,1} gibi iki çıkış sembollü bir sonlu durum makinesi tanımlayalım. Makine giriş sembolü değiştiğinde 1 diğer durumlarda 0 çıktısı vermesi istenmektedir. Geçiş diyagramı aşağıdaki gibidir

233 Örnek Seri Toplayıcı: İki basamaklı ikilik düzende sayıyı giriş kabul eder ve çıkış olarak toplamlarını verir. Giriş kümesi I={00, 01, 10, 11}. Çıktı kümesi ise O={0, 1}. Durum kümesi S={NC, C} dir. NC no-carry (taşıma yok), C carry (taşıma var) anlamındadır. Geçiş diyagramı aşağıdaki gibidir Sonlu durum otomatı Bir sonlu durum otomatı sonlu durum makinesi gibidir fakat çıktısı yoktur. Sadece kabullenme veya son durumlar olarak adlandırılan durumları vardır. Sonlu durum otomatı aşağıdakilerden oluşur: a) Bir σ başlangıç durumu, b) Sonlu sayıda duruma sahip olan sonlu durum kümesi S={s 0, s 1,, s n }, a) Giriş sembolleri, I={i 1, i 2,, i n }, b) Bir geçiş fonksiyonu f : S I S, c) Kabullenme veya son durumlar için F( S) alt kümesi Böylece sonlu durum otomatı A=(S, I, f, σ, F) ile ifade edilir. Eğer verilen string başlangıç durumdan son duruma ulaşıyorsa otomat verilen stringi kabul eder denir

234 Örnek Aşağıdaki geçiş diyagramı a ve b lerden oluşan ve a ile biten stringleri kabul eden otomata aittir. İlk diyagram sonlu durum makinesiyle aynı şemayı kullanmakta ve 1 kabul veya tanımayı; 0 ise kabul etmemeyi ifade etmektedir. Diğer diyagram ise kabul durumunu çift çember ile göstermektedir. Eğer iki sonlu durum otomatı tamamıyla aynı string kümesini kabul ediyorsa denktir denir. Aşağıdaki diyagramdaki sonlu durum otomatı yukarıdaki otomata denktir Örnek Aşağıdaki otomat a, b lerden oluşan ve çift sayıda a olan stringleri girdi kabul etmektedir. Aşağıdaki otomat a ile başlayan ve herhangi bir sayıda b ile devam eden stringleri girdi kabul etmektedir. Aşağıdaki otomat aba ile sonlanan stringleri girdileri kabul etmektedir

235 Örnek f S I s 0 s 1 s 0 s 1 s 1 s 0 start s 0 s 1 S={s0,s1}, I={0,1} 1 0 ve 1 sayılarından oluşan bir katarı girdi olarak kabul eden aşağıdaki sonlu durum otomatı, tek sayıda 1 girdilerini kabul eder. Son durum s 1 dir. Çıkışta bir işaret yok. Tek sayıda 1 vererek bunu yine s 1 e getirmek mümkün. Bu akseptör tek sayıda bir bulunan bir katarı kabul eder ( i kabul etmez, 6 adet 1 var). Sonuç : Sonlu akseptörü (durum otomatı) verilen bir katarın verilen bir gramere uygun olup olmadığını kontrol eder. Uygunluk son duruma erişip erişmeme ile anlaşılıyor Örnek I={0,1}, S={ s 0, s 1, s 2 }, s 2 dipsiz kuyu giren çıkamaz. 0 s 0 s s 2 0 V 1 Bu akseptörboş katar, 01,0101, gibi katarları kabul eder

236 Turing Makineleri Turing makinesi, Karmaşık matematiksel hesapların belirli bir düzenek tarafından yapılmasını sağlayan hesaplama makinesi. Karmaşık hesapların belirli bir düzenek tarafından yapılıp yapılanamayacağı 20.yy ın başlarında büyük bir tartışma konusu olmuştu. Öteden beri el ile veya zihinden yapılan hesaplamalar çok zaman almakla birlikte, birçok hatayı da beraberinde getiriyordu. Tüm bu tartışmalar sürerken, 1936 yılında, ünlü matematikçi Alan M. Turing "Saptama Problemi Hakkında Bir Uygulamayla Birlikte Hesaplanabilir Sayılar" (On computable numbers, with an application to the Entscheidungs problem) isimli bir makalesini yayınladı. Makalesinde teorik ve matematiksel temellere dayalı sanal bir makineden bahseden Turing, her türlü matematiksel hesabın bu sanal makineyle yapılabileceğini iddia ediyordu. Turing in 1950 yılında yayınlanan "Hesaplama Mekanizması ve Zeka" (Computing Machinery and Intelligence) isimli ikinci makalesi ise, makineler ve zekayla ilgili birçok tartışmalı konuya cevap niteliğindeydi. İşte bu makalelerde sözü geçen sanal makine daha sonraları Turing Makinesi (The Turing Machine) olarak isimlendirildi Turing Makineleri Bilgisayar bilimlerinin önemli bir kısmını oluşturan otomatlar ve Algoritma Analizi çalıştırmalarının altındaki dil bilimin (language science) en temel taşlarından birisidir yılında Alan Turing tarafından ortaya atılan makine günümüzde pek çok teori ve standardın belirlenmesinde önemli rol oynamaktadır. Turing makinesi aşağıdakilerden oluşur; Ardışık hücrelerden oluşan sonsuz teyp. Her bir hücre boş veya verilen alfabeden bir sembol içerir. Kontrol ünitesi sonlu talimatlar kümesini içerir. Teyp kafası teypten (band) semboller okur veya yazar (siler)

237 Turing Makineleri Bu makinelerde şerit şeklinde bellek vardır. Her bir bellek gözünde alfabenin sembollerinden biri olacaktır. Yine, Bir Q kümesi (başı q 0 ) Bir A alfabesi (b boşluk dahil) g : Q A Q A {R, L} kümesi bu şeridi okuyup kafanın sağ tarafa mı, yoksa sol tarafa mı hareket ettiğini belirtiyor. (q i, a j, q k, a l, Y) ile tanımlanır q i : Makinanın durumu a j : kafanın şeritten okuduğu sembol q k : Makinanın yeni konumu a l : Kafanın şerite yazdığı yeni karakter Y : R veya L olarak sağa yada sola doğru kafanın hareketi (bir göz hareket edecek şekilde). Böyle bir bellek özelliği olan soyut makine Turing Makinesi olarak bilinir. Turing Makinesi programı belirli bir işlemi yapan sıralı beşlilerden (q i, a j, q k, a l, Y) oluşur Örnek Yedi tane (s 0,0,s 0,0,R), (s 0,1,s 1,1,R), (s 0,B,s 3,B,R), (s 1,0,s 0,0,R), (s 1,1,s 2,0,L), (s 1,B,s 3,B,R) (s 2,1,s 3,0,R), sıralı beşli ile tanımlanmış ve şekil (a) da görülen band üzerinde çalıştırılmaya başlanan T Turing Makinesinde bandın son durumu ne olur? Bu sanal makine ne yapar?

238 Kümeleri Tanımlama için Turing Makinesini Kullanma Kümeleri tanımlama için Turing makinelerini kullanabiliriz. Bunu yapabilmek için son durum kavramının tanımlanması gerekmektedir. T Turing makinesinin son durumu, T yi tanımlayan sıralı beşlilerin ilk durumu olmayan durum olarak tanımlanabilir (bir önceki örnekte karşımıza çıkan s 3 durumu gibi). Tanım: V, I alfabesinin bir altkümesi olsun. T=(A,I,f,s 0 ) Turing makinesi, ancak ve ancak x banda yazıldığında başlangıç yerinden başlar ve son durumda durursa, V* içerisindeki x stringini tanır. V* ın bir A altkümesini tanımak için V içerinde olmayan semboller kullanabiliriz. Bunun anlamı, I giriş alfabesi V içerinde olmayan semboller içerebilir. Bu ekstra semboller genellikle taglar (markers) olarak adlandırılır. T Turing makinesinin V* içerisindeki x stringini ne zaman tanımaz? T durmadığında veya son durumda durmadığında, x stringi tanınmaz Örnek Soru: İkinci basamağında 1 olan stringleri tanıyan bir Turing makinesi tasarlayınız. (0 1)1(0 1)* şeklinde bir düzenli küme oluşturmalıdır. En soldaki boş bank hücresinden işlem başlayan ve sağa doğru hareket eden ve ikinci sembolü 1 olup olmadığını belirleyen. Eğer ikinci sembol 1 ise makine son duruma hareket etmelidir. Makine son duruma ulaşmadığında durmamalıdır. Böyle bir makineyi tasarlamak için (s 0,0,s 1,0,R), (s 0,1,s 1,1,R) sıralı beşlileriyle ilk sembol okunmalı ve Turing makinesi s 1 durumuna geçmelidir. Daha sonra, (s 1,0,s 2,0,R), (s 1,1,s 3,1,R) sıralı beşlileriyle ikinci sembol okunmalı ve 0 ise s 2 durumuna geçilmeli veya sembol 1 ise s 3 durumuna geçilmelidir. İkinci basamağında 0 olan stringi tanımamak için s 2 son durum olmamalıdır. İkinci basamağında 1 olan stringin tanınması için s 3 son durum olmalıdır. Böylece (s 2,0,s 2,0,R) sıralı beşlisini ekleyebiliriz. Boş string ve bir basamaklı bir stringi tanımak istemediğimizden (s 0,B,s 2,0,R) ve (s 1,B,s 2,0,R)

239 Turing Makinesiyle Fonksiyon Hesaplama Turing Makinesi fonksiyonların değerlerini bulan bilgisayarlar olarak ta düşünülebilir. Bu durum, x string girdisi verildiğinde band üzerindeki y stringinde duran bir Turing makinesi olarak düşünülebilir. T(x)=y tanımlanabilir ve T nin tanım kümesi T yi durduran stringler kümesidir, verilen x girdisi için T durmadığında T(x) tanımlı değildir. Turing makinesini fonksiyon hesaplayıcı olarak düşünmek için tamsayıların sıralı k-lılarının band üzerinde ifade etmenin bir yolunu bulmalıyız. Bir n tamsayısını ifade etmek için n+1 tane 1 kullanabiliriz. Böylece 0 ı ifade etmek için 1 stringini, 5 i ifade etmek için strigini kullanabiliriz. (n 1,n 2,, n k ) sıralı k-lısını ifade etmek için n 1 +1 tane 1, ardından *, n 2 +1 tane 1, ardından *, bu şeklide devam ederek n k +1 tane 1 kullanabiliriz. Örneğin (2,0,1,3) sıralı dörtlüsü için 111*1*11*1111 kullanabiliriz Örnek Soru: Negetif olmayan iki tamsayıyı toplayan Turing makinesini tasarlayınız. f(n 1,n 2 )=n 1 +n 2 fonksiyonunu hesaplayan Turing makinesine ihtiyacımız var. (n 1,n 2 ) çifti n 1 +1 tane 1, ardından * ve bunları takiben n 2 +1 tane 1 den oluşan bir string ile ifade edilir. T makinesi bu girdiyi alıp n 1 +n 2 +1 tane 1 olan bir çıktı vermelidir. Makine girdi stringinin en soldaki 1 den başlamalıdır ve bu 1 silinmelidir. n 1 =0 olduğunda, silme işleminden sora * dan önce hiç 1 olmadığından, * en soldaki 1 ile yer değiştirmeli ve makine durmalıdır. (s 0,1,s 1,B,R), (s 1,*,s 3,B,R), (s 1,1,s 2,B,R), (s 2,1,s 2,1,R), (s 2,*,s 3,1,R),

240 Örnek Bu sistemde 1 ve 4 sayılarını temsil etmek için aşağıdaki gösterim kullanılır. Yazacağımız program m=2 ile n=5 sayılarını toplayacaktır. Burada kafanın konumunun nerede olduğu önemlidir. Kafa en soldaki 1 in üzerindedir

241 Seyyar (Gezgin) Satıcı Problemi Ders 13 Seyyar (Gezgin) Satıcı Problemi San Francisco Seyyar satıcı problemi, en önemli algoritma problemlerinden biridir. NP-Tam olan problem şu şekildedir: Bir seyyar satıcı mallarını n farklı şehirlerde satmak istiyor. Öte yandan, mantıklı bir şekilde, bu satıcı bu şehirleri mümkün olan en kısa şekilde ve her bir şehre maksimum bir kere uğrayarak turlamak istiyor. Problemin amacı, satıcıya bu en kısa yolu sunabilmektir. Basit bir şekilde: İlk şehirde, satıcının n-1 değişik şehir yolu arasında seçim hakkı vardır İkinci şehirde, satıcının n-2 değişik şehir yolu arasında seçim hakkı vardır, vs. Genel olarak (n-1)! Farklı durum söz konusudur Dolayısıyla, sonuç olarak, Hamilton yolu ters sırada da ziyaret edilebileceğinden satıcının (n-1)!/2 değişik tur arasından seçim yapması yeterli olacaktır. Bu, 25 şehirlik bir tur için bile 24!/2=3,1*10 23 değişik tur etmektedir! Her bir yolu izlemek 10-9 saniye aldığı düşünülürse bu işlem yaklaşık olarak on milyon yıl serecektir. 2 1

242 Seyyar (Gezgin) Satıcı Problemi Su an itibariyle bulunabilmiş en güçlü kesin çözüm sunan algoritma (Dinamik Programlama) ile O(n 2 *2 n ) zamanda çözülebilmektedir. Mesela, 100 şehirlik bir tur için bu 1,26*10 30 adım etmektedir. Bugüne kadar çözülen en büyük seyyar satıcı problemi noktalıdır ve İsveç'te yerleşimi olan her nokta için çözülmüştür. Bu çözüm, Intel Xeon 2,8 Ghz bir işlemcinin 92 yılına denk bir sürede yapılmıştır (öte yandan, 96 bilgisayarlı bir ağ üzerinde çözüldüğünden çözülmesi 3 yıl sürmüştür). Şu anda çözülmeye çalışılan en büyük problem dünya üzerinde kayıtlı yerleşim olan her nokta için en kısa yolun ne olduğudur. Bu problem şehir içermektedir. Bu problem, seyyar satıcılardan öte internet üzerinde paketlerin yönlendirilmesi gibi konuların çözümünde de faydası olduğundan önemli bir problemdir. 3 EDSGER WYBE DIJKSTRA "Computer Science is no more about computers than astronomy is about telescopes." 4 2

243 EDSGER WYBE DIJKSTRA - 11 Mayıs 1930 doğdu 6 Ağustos 2002 de öldü de teorik fizikçi alarak Hollanda Leiden Üniversitesinden mezun oldu. - Bilgisayar Bilimlerindeki en prestijli ödül olarak kabul edilen ACM in A. M. Turing Ödülünü 1972 de kazandı den 2000 e kadar Austin Texas Üniversitesi, Bilgisayar Bilimlerinde, Schlumberger Centennial kürsü başkanlığını yaptı. - GOTO kullanmadan programlama yapılması gerektiği üzerinde çalışmalar yaptı. - Programlama üzerine yaptığı bir çok çalışması bulunmaktadır. 5 Tek-kaynaklı En Küçük Yol Problemi Single-Source Shortest Path Problem Bir graf içerisinde kanyak düğümden diğer düğümlere ulaşan en küçük yolun bulunması problemidir. 6 3