Bilinen Türevlerden Yeni Türevler Elde Etmek. Polinomların ve. Üstel Fonksiyonların Türevleri. Çarpım Kuralı f ve g türevlenebilir ise,

Transkript

1 Bilinen Türevleren Yeni Türevler Ele Etmek Bilinen Türevleren Yeni Türevler Ele Etmek Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, x [cf(x)] = c x f(x) ir. Toplam-Fark Kuralı f ve g türevlenebilir ise, ir. x [f(x)±g(x)] = x f(x)± x g(x) Çarpım Kuralı f ve g türevlenebilir ise, ir. [f(x)g(x)] = f(x) x x [g(x)]+g(x) x [f(x)] Bölüm Kuralı f ve g türevlenebilir fonksiyonlarsa, ir. x [ ] f(x) g(x) = g(x) x [f(x)] f(x) x [g(x)] [g(x)] 2 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 1/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 2/ 99 Polinomların ve Üstel Fonksiyonların Türevleri Sabit Fonksiyon Türevi : x (c) = 0 Kuvvet Kuralı Her n gerçel sayısı için, ir. x (xn ) = nx n 1 : x (10x3 6x+5) = 10 x (x3 ) 6 x (x)+ x (5) = 10(3x 2 ) 6(1)+0 = 30x 2 6 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 3/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 4/ 99

2 : Aşağıaki türevleri alınız. (a) f(x) = 1 x 2 (b) y = 3 x 2 Çözüm : İki uruma a, fonksiyonu x in üssü olarak yenien yazarız. (a) f(x) = x 2 oluğunan, n = 2 için Kuvvet Kuralını uygularız: f (x) = x (x 2 ) = 2x 2 1 = 2x 3 = 2 x 3 (b) y x = x ( 3 x 2 ) = x (x2/3 ) = 2 3 x(2/3) 1 = 2 3 x 1/3 : y = x 4 6x 2 +4 eğrisi üzerineki, teğet oğrusunun yatay oluğu noktaları bulunuz. Çözüm : Yatay teğetler, türevin 0 oluğu noktalaraki teğetlerir. Öncelikle, y x = x (x4 ) 6 x (x2 )+ x (4) ele eeriz. = 4x 3 12x+0 = 4x(x 2 3) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 5/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 6/ y x = 4x(x2 3) Dolayısıyla, x = 0 ve x 2 3 enkleminin kökleri olan x = ± 3 için y/x = 0 olur. Bu neenle, verilen eğri x = 0, x = 3 ve x = 3 için yatay teğetlere sahiptir. Bu eğerlere karşılık gelen noktalar (0,4), ( 3, 5) ve ( 3, 5) ir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 7/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 8/ 99

3 ... : f(t) = t(1 t) fonksiyonunun türevini alınız. Çözüm 1 : Çarpım kuralını kullanarak, f (t) = t x (1 t)+(1 t) x ( t) = t( 1)+(1 t) 1 2 t 1/2 = t+ 1 t 2 t = 1 3t 2 t Çözüm 2 : Üs kuralını kullanarak, f(t) fonksiyonunu yenien yazarsak, türevini çarpım kuralını kullanmaan a alabiliriz. Böylece, f(t) = t t t = t 1/2 t 3/2 f (t) = 1 2 t 1/2 3 2 t1/2 ele eilir ve bu sonuç Çözüm 1 ekiyle aynıır. Yukarıaki örnek, bazen fonksiyonların çarpımını saeleştirmenin, çarpım kuralını kullanmaktan aha kolay oluğunu gösterir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 9/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 10/ 99 : g(4) = 2 ve g (4) = 3 olmak üzere, f(x) = x.g(x) ise, f (4) eğerini bulunuz. Çözüm : Çarpım kuralını uygulayarak, f (x) = ( ) x.g(x) = x. x x (g(x))+g(x). ( ) x x = x.g (x)+g(x). 1 2.x 1/2 = x.g (x)+ g(x) 2 x ele eeriz. Dolayısıyla, f (4) = 4.g (4)+ g(4) 2 4 = = 6.5 olur. 2.2 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 11/ 99 : y = x2 +x 2 x 3 olsun. +6 Bu uruma, y = ele eilir. (x 3 +6) x (x2 +x 2) (x 2 +x 2) x (x3 +6) (x 3 +6) 2 = (x3 +6)(2x+1) (x 2 +x 2)(3x 2 ) (x 3 +6) 2 = (2x4 +x 3 +12x+6) (3x 4 +3x 3 6x 2 ) (x 3 +6) 2 = x4 2x 3 +6x 2 +12x+6 (x 3 +6) 2 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 12/ 99

4 Not : Üstel Fonksiyonun Türevi F(x) = 3x2 +2 x x fonksiyonunun türevini bölüm kuralını kullanarak almak mümkünür. Ancak, önce bölmeyi yapmak ve fonksiyonu F(x) = 3x+2x 1/2 biçimine yazıktan sonra türevi almak çok aha kolayır. Doğal Üstel Fonksiyonun Türevi : Üstel Fonksiyonun Türevi : ır. x (ax ) = a x lna x (ex ) = e x a > 0, a 1 gerçel sayısı için Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 13/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 14/ 99 : f(x) = e x x, ise f ve f fonksiyonlarını bulunuz. Çözüm : Fark kuralını kullanarak, f (x) = x (ex x) = x (ex ) x (x) = ex 1 ele eeriz. İkinci türevi, f nün türevi olarak tanımlaık. Bu neenle, f (x) = x (ex 1) = x (ex ) (1) = ex x ele eeriz. : y = e x eğrisinin hangi noktasınaki teğet oğrusu y = 2x oğrusuna paralelir? Çözüm : y = e x oluğunan, y = e x ir. Soruaki noktanın x koorinatı a olsun. Bu noktaaki teğet oğrusunun eğimi e a olur. Teğet oğrusu, eğimi, y = 2x oğrusunun eğimiyle aynı, başka bir eyişle 2 oluğuna, bu oğruya paralel olacaktır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 15/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 16/ 99

5 ... Eğimleri eşitlersek, e a = 2 a = ln2 ele eeriz. Dolayısıyla, aranılan nokta (a,e a ) = (ln2,2) ir. : (a) f(x) = xe x ise, f (x) i bulunuz. (b) f nin n-inci türevi, f (n) (x) i bulunuz. Çözüm : (a) Çarpım kuralınan, ele eeriz. f (x) = x (xex ) = x x (ex )+e x x (x) = xe x +e x.1 = (x+1)e x Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 17/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 18/ (b) Çarpım kuralını ikici kez kullanarak, f (x) = x [(x+1)ex ] = (x+1) x (ex )+e x x (x+1) = (x+1)e x +e x.1 = (x+2)e x ele eeriz. Çarpım kuralının art ara uygulanmasıyla, f (x) = (x+3)e x f (4) (x) = (x+4)e x ele eilir. Aslına, art ara gelen her türev alma ile başka bir e x terimi eklenir, bu neenle olur. f (n) (x) = (x+n)e x : y = e x /(1+x 2 ) eğrisinin (1,e/2) noktasınaki teğet oğrusunun enklemini bulunuz. Çözüm : Bölüm kuralınan, ele eeriz. y (1+x2 ) x = x (ex ) e x x (1+x2 ) (1+x 2 ) 2 = (1+x2 )e x e x (2x) (1+x 2 ) 2 = ex (1 x) 2 (1+x 2 ) 2 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 19/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 20/ 99

6 Bu, (1, e/2) noktasınaki teğet oğrusunun yatay ve enkleminin y = e/2 oluğunu ifae etmekteir. [Foksiyonun artan oluğuna ve (1, e/2) eki teğet oğrusunu keserek geçtiğine ikkat einiz.] y x = ex (1 x) 2 (1+x 2 ) 2 Dolayısıyla, (1, e/2) eki teğet oğrusunun eğimi, y x = 0 x=1 ır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 21/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 22/ 99 Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (sinx) = cosx x (cscx) = cscxcotx x x (cosx) = sinx (secx) = secxtanx x x (tanx) = sec2 x x (cotx) = csc2 x : f(x) = secx fonksiyonunun türevini alınız. Hangi x 1+tanx eğerleri için f nin grafiğinin yatay teğeti varır? Çözüm : Bölüm kuralı f (x) = (1+tanx) x (secx) secx x (1+tanx) (1+tanx) 2 = (1+tanx)secx tanx secx sec2 x (1+tanx) 2 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 23/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 24/ 99

7 ... : cos x fonksiyonunun 27 inci türevini bulunuz. verir. f (x) = secx [tanx+tan2 x sec 2 x] (1+tanx) 2 = secx (tanx 1) (1+tanx) 2 Yanıtı saeleştirmek için, tan 2 x+1 = sec 2 x özeşliğini kullanık. secx hiç sıfır olmaığınan, yalnız tanx = 1 için f (x) = 0 oluğunu görürüz ve bu n tamsayı olmak üzere x = nπ +π/4 eğerine gerçekleşir. Çözüm : f(x) = cosx fonksiyonunun ilk bir kaç türevi aşağıaki gibiir: f (x) = sinx f (x) = cosx f (x) = sinx f (4) (x) = cosx f (5) (x) = sinx Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 25/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 26/ Zincir Kuralı F(x) = x 2 +1 Arışık türevlerin, ört aıma bir yineleniğini ve n, 4 ün bir katı olmak üzere, f (n) (x) = cosx oluğunu görürüz. Bu neenle, olur ve üç kez aha türev alırsak ele eeriz. f (24) (x) = cosx f (27) (x) = sinx fonksiyonunun türevini almanızın isteniğini varsayalım. Daha önce öğreniğimiz türev alma kuralları ile F (x) i hesaplamanız olanaklı eğilir. F nin bir bileşke fonksiyonu oluğunu gözlemleyiniz. Gerçekten e y = f(u) = u ve u = g(x) = x 2 +1 ise y = F(x) = f(g(x)), bir başka eyişle F = f g yazabiliriz. f ve g nin her ikisinin e türevlerinin nasıl alınacağını biliyoruz, olayısıyla F = f g fonksiyonunun türevinin, f ve g nin türevleri cinsinen nasıl bulunuğunu söyleyen bir kural yararlı olacaktır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 27/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 28/ 99

8 Zincir Kuralı Zincir Kuralı Bu, türevleri eğişim hızları olarak ele alığımıza, akla yatkın görünmekteir. f g bileşke fonksiyonunun türevi, f ve g nin türevlerinin çarpımıır. Bu, türev alma kurallarının en önemlilerinen biriir ve Zincir Kuralı olarak alanırılır. u/x i, u nun x e göre eğişim hızı, y/u yu, y nin u ya göre eğişim hızı ve y/x i, y nin x e göre eğişim hızı olarak üşününüz. u, x in iki katı bir hızla eğişiyorsa ve y, u nun üç katı hızla eğişiyorsa, y nin x in altı katı bir hızla eğişmesi mantıklı görünmekteir ve bu neenle olmasını bekleriz. y x = y u ux Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 29/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 30/ 99 Zincir Kuralı : F(x) = x 2 +1 ise F (x) i bulunuz. Zincir Kuralı f ve g türevlenebilir fonksiyonlar ve F = f g fonksiyonu, F(x) = f(g(x)) biçimine tanımlanan bileşke fonksiyonu ise, F türevlenebilir bir fonksiyonur ve F, F (x) = f (g(x))g (x) (1) çarpımı ile verilir. Leibniz gösterimine, y = f(u) ve u = g(x) türevlenebilir fonksiyonlarsa, y x = y u ux ir. (2) Çözüm : (Denklem (1) yi kullanarak): Bu bölümün başına F fonksiyonunu f(u) = u ve g(x) = x 2 +1 olmak üzere F(x) = (f g)(x) = f(g(x)) biçimine ifae etmiştik. oluğunan, ele eeriz. f (u) = 1 2 u 1/2 = 1 2 u ve g (x) = 2x F (x) = f (g(x)) g (x) 1 = 2 x x = x x 2 +1 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 31/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 32/ 99

9 ... Zincir Kuralı (Denklem (2) ü kullanarak): u = x 2 +1 ve y = u ise F (x) = y u ux = 1 2 u 2x = 1 2 x x = x x 2 +1 ir. NOT Zincir Kuralı nı kullanırken, ışarıan içeriye oğru hesap yaparız. Formül (1), önce ıştaki f fonksiyonunun (içteki g(x) fonksiyonuna) türevini alığımızı ve aha sonra bunu, içteki fonksiyonun türeviyle çarptığımızı söyler. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 33/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 34/ : (a) y = sin(x 2 ) ve (b) y = sin 2 x fonksiyonlarının türevini alınız. Çözüm : (a) y = sin(x 2 ) ise, ıştaki fonksiyon sinüs ve içteki fonksiyon kare alma fonksiyonuur, olayısıyla Zincir Kuralı nan ele eeriz. y x = x sin(x2 ) = cos(x 2 ) x x2 = 2xcos(x 2 ) (b) sin 2 x = (sinx) 2 oluğuna ikkat einiz. Buraa, ıştaki fonksiyon kare alma ve içteki fonksiyon sinüs fonksiyonuur. Dolayısıyla, y x = x (sinx)2 = 2sinx cosx olur. Yanıt, 2sinxcosx olarak bırakılabilir ya a (yarım açı formülü olarak bilinen trigonometrik özeşlik kullanılarak) sin 2x olarak yazılabilir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 35/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 36/ 99

10 : y = (x 3 1) 100 fonksiyonunun türevini alınız. Çözüm : Zincir Kuralı kullanılarak ele eilir. y x = x (x3 1) 100 = 100(x 3 1) 99 x (x3 1) = 100(x 3 1) 99 3x 2 = 300x 2 (x 3 1) 99 : g(t) = ( ) t 2 9 fonksiyonunun türevini bulunuz. 2t+1 Çözüm : Zincir Kuralı ve Bölüm Kuralı nı birleştirerek ( ) t 2 8 ( ) g t 2 (t) = 9 2t+1 t 2t+1 ( ) t 2 8 (2t+1) 1 2(t 2) = 9 2t+1 (2t+1) 2 = 45(t 2)8 (2t+1) 10 ele eeriz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 37/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 38/ 99 : y = e sec3θ fonksiyonunun türevini alınız. : y = e sinx fonksiyonunun türevini alınız. Çözüm : Buraa içteki fonksiyon g(x) = sinx ve ıştaki fonksiyon f(x) = e x üstel fonksiyonuur. Dolayısıyla, Zincir Kuralı nan, olur. y x = x (esinx ) = e sinx x (sinx) = esinx cosx Çözüm : Dıştaki fonksiyon üstel fonksiyon, ortaaki fonksiyon sekant fonksiyonu ve en içteki fonksiyon üç katını alma fonksiyonuur. Dolayısıyla, y θ = e sec3θ θ (sec3θ) = e sec3θ sec3θtan3θ θ (3θ) = 3e sec3θ sec3θtan3θ ele eeriz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 39/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 40/ 99

11 Parametrik Eğrilerin Teğetleri Parametrik Eğrilerin Teğetleri x = f(t) y = g(t) parametrik enklemleriyle verilen eğriyi ele alalım: f ve g türevlenebilir fonksiyonlar ve y, x in türevlenebilir bir fonksiyonu olmak üzere, eğri üzerineki bir noktaaki teğet oğrusunu bulmak isteiğimizi varsayalım. Eğimi yani y x ele eeriz. i bulmamız gerek. Zincir Kuralınan y t = y x x t x t y t = y x x t 0 ise, eşitlikten y/x i çekebiliriz. x t 0 ise y x = y t x t ir. (3) Eğriyi bir parçacığın izleiği yol olarak üşünürsek, y/t ve x/t parçacığın üşey ve yatay hızları olur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 41/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 42/ : x = 2sin2t y = 2sint parametrik eğrisinin ( 3,1) noktasınaki teğet oğrusunun enklemini bulunuz. Çözüm : t parametre eğerine karşılık gelen noktaa, eğim ir. y x = y t x t = t (2sint) = t (2sin2t) 2cost 2(cos2t)(2) = cost 2cos2t ( 3,1) noktası t = π/6 parametre eğerine karşılık gelir, bu yüzen bu noktaaki teğetin eğimi y x = cos(π/6) 3/2 3 t=π/6 2cos(π/3) = 2(1/2) = 2 olur. Dolayısıyla, teğet oğrusunun enklemi 3 3 y 1 = 2 (x 3) ya a y = 2 x 1 2 ir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 43/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 44/ 99

12 Kapalı Türev Alma Kapalı Türev Alma Şimiye kaar karşılaştığımız fonksiyonlar, bir eğişkenin bir başka eğişken cinsinen açık olarak ifae eilmesiyle tanımlanabiliyoru. Örneğin, y = x 3 +1 ya a y = xsinx veya genel olarak, y = f(x) gibi. Buna karşılık, bazı fonksiyonlar veya x 2 +y 2 = 25 (4) x 3 +y 3 = 6xy (5) gibi x ve y arasınaki bir bağıntı aracılığıyla kapalı olarak tanımlanır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 45/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 46/ 99 Kapalı Türev Alma Kapalı Türev Alma Bazı urumlara, böyle bir enklemen y yi x e bağlı bir fonksiyon (veya fonksiyonlar) olarak ele etmek olanaklıır. Örneğin, Denklem (4) en y yi çekersek, y = ± 25 x 2 ele eeriz, ve böylece kapalı Denklem (4) in belirleiği iki fonksiyon f(x) = 25 x 2 ve g(x) = 25 x 2 ir. f ve g nin grafikleri x 2 +y 2 = 25 çemberinin alt ve üst yarı-çemberleriir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 47/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 48/ 99

13 Kapalı Türev Alma Kapalı Türev Alma Denklem (5) an elle hesap yaparak y yi, x e bağlı bir fonksiyon olarak ele etmek kolay eğilir. Yine e (5), Descartes folyumu olarak alanırılan, şekile gösterilen eğrinin enklemiir, ve kapalı olarak y yi x e bağlı çeşitli fonksiyonlar olarak tanımlar. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 49/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 50/ 99 Kapalı Türev Alma Kapalı Türev Alma f nin Denklem (5) ile kapalı olarak tanımlanan bir fonksiyon oluğunu söyleiğimize, x 3 +[f(x)] 3 = 6xf(x) eşitliğinin, f nin tanım kümesineki her x eğeri için oğru oluğunu kasteeriz. Neyse ki y nin türevini bulmak için verilen enkleme y yi x cinsinen çözme gereksinimi uymayız. Onun yerine kapalı türev alma yöntemini kullanabiliriz. Bu, enklemin iki tarafının x e göre türevini almayı ve sonuçtaki enklemleren y nü çekmeyi içerir. Bu bölümeki örnekler ve alıştırmalara her zaman, verilen enklemin kapalı bir biçime y yi x e bağlı türevlenebilir bir fonksiyon olarak tanımlaığı ve olayısıyla, kapalı türev alma yönteminin uygulanabiliği varsayılmıştır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 51/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 52/ 99

14 ... : (a) x 2 +y 2 = 25 ise y x i bulunuz. (b) x 2 +y 2 = 25 çemberinin (3,4) noktasınaki teğetinin enklemini yazınız. Çözüm : Birinci Çözüm: (a) x 2 +y 2 = 25 enkleminin iki tarafının türevini alalım: x (x2 +y 2 ) = x (25) x (x2 )+ x (y2 ) = 0 y nin x e bağlı bir fonksiyon oluğunu anımsayarak ve Zincir Kuralı nı kullanarak, ele eeriz. Dolayısıyla x (y2 ) = y (y2 ) y x = 2yy x 2x+2y y x = 0 ır. Şimi bu enklemi y/x için çözeriz: y x = x y Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 53/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 54/ (b) (3,4) noktasına x = 3, y = 4 ür. Buraan y x = 3 4 ele eeriz. Dolayısıyla çemberin (3, 4) noktasnaki teğetinin enklemi y 4 = 3 (x 3) ya a 3x+4y = 25 ir. 4 İkinci Çözüm: x 2 +y 2 = 25 enkleminen, y = ± 25 x 2 ele eeriz. (3,4) noktası y = 25 x 2 üst yarı-çemberinin üzerine oluğunan, f(x) = y = 25 x 2 fonksiyonunu ele alırız. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 55/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 56/ 99

15 ... NOT Zincir Kuralı nı kullanarak türev alırsak f (x) = 1 2 (25 x2 ) 1/2 x (25 x2 ) = 1 2 (25 x2 ) 1/2 x ( 2x) = 25 x 2 ele eeriz. Böylece f 3 (3) = = 3 olur ve birinci NOT 1 Az önceki örnek, enklemen y yi x cinsinen çekmek olanaklı olsa bile kapalı türev almanın aha kolay olabiliğini göstermekteir. NOT 2 y/x = x/y ifaesi türevi, x ve y nin her ikisi cinsinen vermekteir. Bu ifae enklem tarafınan hangi fonksiyonunun belirleniğinen bağımsız olarak oğruur. çözüme oluğu gibi teğetin enklemi 3x+4y = 25 ir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 57/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 58/ 99 NOT Örneğin, y = f(x) = 25 x 2 için ve y = g(x) = 25 x 2 için ele eeriz. y x = x y = y x = x y = x 25 x 2 x 25 x 2 = x 25 x 2 : (a) x 3 +y 3 = 6xy ise, y nü bulunuz. (b) x 3 +y 3 = 6xy enklemiyle verilen Descartes folyumu eğrisinin (3, 3) noktasınaki teğetini bulunuz. Çözüm : (a) y yi x e bağlı bir fonksiyon olarak üşünerek, y 3 terimi için zincir ve 6xy terimi için çarpım kuralını kullanarak, x 3 +y 3 = 6xy enkleminin iki tarafının x e göre türevini alırsak, ya a ele eeriz. 3x 2 +3y 2 y = 6y +6xy x 2 +y 2 y = 2y +2xy Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 59/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 60/ 99

16 Bu enklemen y nü çekersek: x 2 +y 2 y = 2y +2xy y 2 y 2xy = 2y x 2 (y 2 2x)y = 2y x 2 y = 2y x2 y 2 2x x = y = 3 için y = = 1 ir. Bu neenle folyumun (3, 3) noktasınaki teğetinin enklemi y 3 = 1(x 3) ya a x+y = 6 ır. ele eeriz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 61/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 62/ : sin(x+y) = y 2 cosx ise y nü bulunuz. Çözüm : x e göre kapalı türev alarak ve y nin x e bağlı bir fonksiyon oluğunu anımsayarak, cos(x+y) (1+y ) = 2yy cosx+y 2 ( sinx) ele eeriz. (Sol tarafta zincir kuralını ve sağ tarafta çarpım ve zincir kurallarını kullanığımıza ikkat einiz.) cos(x+y) (1+y ) = 2yy cosx+y 2 ( sinx) y içeren terimleri bir araya toplarsak, cos(x+y)+y 2 sinx = (2ycosx)y cos(x+y) y ele eeriz. Bu neenle, y = cos(x+y)+y2 sinx 2ycosx cos(x+y) olur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 63/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 64/ 99

17 Ortogonal Yörüngeler Ortogonal Yörüngeler Kesişim noktalarınaki teğet oğruları ik olan iki eğri, ortogonal olarak alanırılır. Aşağıaki örnekte, kapalı türev almayı kullanarak iki eğri ailesinin birbirinin ortogonal yörüngeleri oluğunu, bir başka eyişle bir aileeki her eğrinin iğer aileeki her eğriye ik oluğunu göstereceğiz. Ortogonal yörüngeler fiziğin çeşitli alanlarına karşımıza çıkar. Örneğin, bir elektrostatik alanın kuvvet çizgileri, sabit potansiyel çizgilerine iktir. Termoinamike, izotermler (eş sıcaklık eğrileri) ısı akış çizgilerine iktir. Aeroinamikte, akış çizgileri (hava akımının yönünün eğrileri) hız-eş-potansiyel eğrilerinin ortogonal yörüngeleriir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 65/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 66/ : xy = c c 0 (6) enklemi bir hiperbol ailesini verir. (c nin farklı eğerleri farklı hiperbolleri verir. x 2 y 2 = k k 0 (7) enklemi, asimptotları y = ±x olan bir iğer hiperbol ailesini verir. (6) ailesineki her eğrinin, (7) ailesineki her eğriye ortogonal oluğunu, bir başka eyişle bu iki ailenin birbirinin ortogonal yörüngeleri oluğunu gösteriniz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 67/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 68/ 99

18 ... Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi Çözüm : Denklem (6) ün kapalı türevini alınca, y +x y x = 0 ve böylece y x = y x ele eeriz. Denklem (7) ün kapalı türevini alınca, 2x 2y y x = 0 bu neenle y x = x y ele eeriz. (8) ve (9) an, iki aileen seçilen birer eğrinin kesişim noktasına, teğetlerinin eğimlerinin çarpımının 1 oluğunu görürüz. Dolayısıyla, eğriler ik açılarla kesişirler. (8) (9) Ters trigonometrik fonksiyonların türevlenebilir oluklarını varsayarak, bunların türevlerini almak için kapalı türev alma yöntemini kullanabiliriz. arcsin fonksiyonunun tanımını anımsayınız: y = sin 1 x siny = x ve π 2 y π 2 anlamına gelir. siny = x in x e göre kapalı türevini alırsak, ele eeriz. cosy y x = 1 veya y x = 1 cosy Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 69/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 70/ 99 (arcsin) (arctan) y x = 1 cosy π/2 y π/2 oluğunan, cosy 0 ır, bu yüzen cosy = 1 sin 2 y = 1 x 2 olur. Dolayısıyla, y x = 1 cosy = 1 1 x 2 ir. arctan fonksiyonunun türevinin formülü e benzer bir yolla ele eilir: x (tan( 1) (x)) = 1 1+x 2. x (sin 1 x) = 1 1 x 2 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 71/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 72/ 99

19 Logaritma Fonksiyonlarının Türevi : f(x) = xarctan x fonksiyonunun türevini alınız. Çözüm : f (x) = x = ( ) ( x) 2 2 x 1/2 +arctan x x 2(1+x) +arctan x özel olarak a = e alırsak x (log ax) = 1 xlna (10) x (lnx) = 1 x. (11) En sık karşılaşılan ters trigonometrik fonksiyonlar yukarıa görüklerimizir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 73/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 74/ 99 Logaritma Fonksiyonlarının Türevi : y = ln(x 3 +1) fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm : Zincir kuralını kullanmak için u = x 3 +1 iyelim. Bu takire y = lnu ve y x = y u u x = 1 u u x = 1 x 2 +1 (3x2 ) = 3x2 x 3 +1 Genel olarak örnekte verilen zincir kuralı ile formül 11 yi birleştirirsek ele eeriz. x (lnu) = 1 u ux veya x (lng(x)) = g (x) g(x) (12) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 75/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 76/ 99

20 : f(x) = ln x ise f (x) türevini bulunuz. : f(x) = lnx fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm : Buraa logaritma fonksiyonu iç fonksiyon oluğunan Zincir kuralını kullanarak f (x) = 1 2 (lnx) 1/2 ele eilir. x (lnx) = 1 2 lnx 1 x = 1 2x lnx Çözüm : oluğunan olarak ele eilir. f(x) = f (x) = { lnx, x > 0 ln( x), x < 0 1 x, x > 0 1 x ( 1) = 1 x, x < 0 Böylece her x 0 için f (x) = 1/x olur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 77/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 78/ : y = x3/4 x 2 +1 (3x+2) 5 fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm : Denklemin her iki tarafının logaritmasını alıp, basitleştirmek için logaritmanın özelliklerini kullanalım: lny = 3 4 lnx+ 1 2 ln(x2 +1) 5ln(3x+2) kapalı olarak tanımlanan bu fonksiyonun x e göre türevini alırsak olur. y x y = x x x x+2 Buraan y/x i çözersek ele eeriz. y x = y y x y = 3 4x + x x x+2 ( 3 4x + x x x+2 = x3/4 x 2 +1 (3x+2) 5 ) ( 3 4x + x x ) 3x+2 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 79/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 80/ 99

21 Not: Taban eğişken, üs sabit oluğuna, Kuvvet kuralı [(x n ) = nx n 1 ] ile; taban sabit, üs eğişken olan [(a x ) = a x lna] üstel fonksiyonların türev alma kurallarını, birbirinen ikkatlice ayırt etmelisiniz. Genel olarak üs ve tabanlar için ört urum söz konusuur. 1 x (ab ) = 0 (a ve b sabittir.) 2 x [f(x)b ] = b[f(x)] b 1 f (x) 3 x [ag(x) ] = a g(x) (lna)g (x) 4 x [f(x)]g(x) türevini bulmak için aşağıaki örnekte oluğu gibi logaritmik türev kullanılabilir. : y = x x fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm 1 : Logaritmik türevi kullanırsak ele eeriz. lny = lnx x = xlnx y y = x 1 x +(lnx) 1 2 x ( 1 y = y x + lnx ) 2 = x x x ( ) 2+lnx 2 x Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 81/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 82/ Doğrusal Yaklaştırımlar ve Diferansiyeller Çözüm 2: Diğer yöntem için x x = ( e lnx) x yazalım. ( x ) x = ( e ) xlnx = e xlnx x x x ( xlnx) ( ) = x x 2+lnx 2. x y = f(x) eğrisinin (a,f(a)) noktasınaki teğet oğrusunun enklemi y = f(a)+f (a)(x a) ir. f(x) f(a)+f (a)(x a) (13) yaklaştırımına f fonksiyonunun a noktasınaki oğrusal yaklaştırımı ya a teğet oğrusu yaklaştırımı enir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 83/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 84/ 99

22 Doğrusal Yaklaştırımlar L(x) = f(a)+f (a)(x a) (14) fonksiyonuna f fonksiyonunun a noktasınaki oğrusallaştırılması enir. x, a ya yakın oluğuna f(x) L(x) oğrusal yaklaştırımı gerçek eğere yakınır. : f(x) = x+3 fonksiyonunun a = 1 noktasınaki oğrusallaştırılmasını bulunuz ve bunu kullanarak 3.98 ve 4.05 sayılarının yaklaşık eğerlerini hesaplayınız. Çözüm : f(x) = (x+3) 1/2 fonksiyonunun türevi f (x) = 1 2 (x+3) 1/2 = 1 2 x+3 ür. Buraan f(1) = 2 ve f (1) = 1 4 ele eeriz. Bu eğeri enklem 14 e yerine koyarsak oğrusallaştırmanın L(x) = f(x)+f (1)(x 1) = (x 1) = x 4 oluğunu görürüz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 85/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 86/ Doğrusal Yaklaştırımlar L(x) = x 4 Buna karşılık gelen (13) oğrusal yaklaştırımı ür. Özel olarak, x x = ve 4 olur = = = Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 87/ 99 teki oğrusal yaklaştırım şekile gösterilmiştir. Gerçekten x, 1 e yakın iken teğet oğru yaklaştırımının verilen fonksiyona iyi bir yaklaştırım oluğunu görebilirsiniz. Elbette bir hesap makinesi 3.98 ve 4.05 in yaklaşık eğerini bize verir, fakat oğrusal yaklaştırımlar tüm bir aralık üzerine kullanılabilecek bir yaklaştırım verir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 88/ 99

23 Diferansiyeller Diferansiyeller Diferansiyellerin geometrik anlamı aşağıa gösterilmiştir. Türevlenebilir bir f fonksiyonu için, y = f(x) ise, x iferansiyeli bağımsız bir eğişkenir. Diğer bir eyişle, x e herhangi bir gerçel sayı eğeri verilebilir. Buraan y iferansiyeli y = f (x)x (15) enklemi ile x cinsinen tanımlanır. Sonuç olarak y bir bağımlı eğişkenir; y eğişkeni x ve x eğerlerine bağlıır. Eğer x e özel bir eğer verilir ve x, f nin tanım bölgesinen özel bir sayı olarak alınırsa, y nin sayısal eğeri bulunur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 89/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 90/ 99 Diferansiyeller Diferansiyeller P(x,f(x)) ve Q(x+ x,f(x+ x)), f nin grafiği üzerineki noktalar ve x = x olsun. y eki eğişimin karşılığı y = f(x+ x) f(x) PR teğet oğrusunun eğimi f (x) türeviir. Dolayısıyla, S en R ye olan yönlü uzaklık f (x)x = y ir. ir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 91/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 92/ 99

24 Diferansiyeller Diferansiyeller Sonuç olarak, x eğeri x miktarı kaar eğiştiğine, y, y = f(x) eğrisinin artma yaa azalma miktarını, y ise teğet oğrusunun artma yaa azalma miktarını (oğrusallaştırmaaki eğişimi) göstermekteir. Şekilen x küçülükçe y y yakalaşımının aha iyi oluğunu söyleyebiliriz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 93/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 94/ 99 Diferansiyeller Örneğin f(x) = x+3 fonksiyonu için Eğer x = x a yazarsak, x = a+x olur ve (13) eki oğrusal yaklaştırımları iferansiyel gösterimi ile yenien yazarsak olur. f(a+x) f(a)+y y = f (x)x = x 2 x+3 ele eilir. Eğer a = 1 ve x = x = 0.05 alırsak, y = = ve 4.05 = f(1.05) f(1)+y = eğerini buluruz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 95/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 96/ 99

25 ... Son örneğimiz, yaklaşık ölçümler sonucu meyana gelen hataları hesaplamaa iferansiyellerin kullanımını göstermekteir. : Bir kürenin yarıçapı en fazla 0.05 cm lik ölçüm hatası ile 21 cm olarak ölçülmüştür. Yarıçap için bu eğer kullanılırsa kürenin hacim hesabına yapılan maksimum hata ne olur? Çözüm: Kürenin yarıçapına r ersek, havim V = 4 3 πr3 ür. Eğer r nin ölçüm hatası r = r ile gösterilirse, V nin hacim hesabına buna karşı gelen hata V ir ve V = 4πr 2 r iferansiyeli ile yaklaştırılabilir. r = 21 ve r = 0.05 alınırsa, V = 4π(21) 2 (0.05) 277 olur. Hacim hesabınaki maksimum hata yaklaşık 277 cm 3 tür. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 97/ 99 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 98/ 99 Not Not: teki mümkün olabilecek hata olukça büyük gözükmesine rağmen, bu hatanın büyüklüğü, hatanın toplam hacime bölünmesi ile ele eilen göreli hata ile aha iyi anlaşılır: V V V V = 4πr2 r 4 = 3 r 3 πr3 r. Böylece, hacimeki göreli hata, yarıçaptaki göreli hatanın yaklaşık 3 katı olur. te yarıçaptaki göreli hata yaklaşık olarak r/r = 0.05/ hacimeki göreli hata ise yaklaşık ir. Hatalar yarıçapta %0.24 ve hacime %0.7 olmak üzere yüzelik hata olarak a ifae eilebilir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 99/ 99