Pratik Final Sınavı Çözümleri 2

Transkript

1 Pratik Final Sınavı Çözümleri 1 Algoritmalara Giriş 18 Mayıs 2003 Massachusetts Institute of Technology 6.046J/18.410J Profesörler Erik D. Demaine ve Charles E. Leiserson Pratik Final Sınavı Dağıtılan sınav kitapçığını, size söylenene kadar açmayın. Final, saat 12:00 de bitecektir. Bu sınav kapalı kitap tarzındadır. Sınava el yazımı bir A4 formül kağıdı ile girebilirsiniz. Kitapçığın her sayfasına isminizi yazın. Cevaplarınızı ayrılan yerde cevaplayın. Daha fazla yere ihtiyacınız olursa, sorunun bulunduğu kağıdın arkasını kullanın. Bir sorunun cevabını başka bir sorunun kağıdına yazmayın, çünkü kağıtlar notlandırma esnasında birbirinden ayrılabilir. Sürenizi akıllıca değerlendirin. Bir soruda gereğinden fazla zaman harcamayın. Bütün soruları okuyun, daha sonra en fazla bilgi ve fikir sahibi olduğunuz sorudan cevaplamaya başlayın. Gidiş yoluna da puan verileceğinden, cevabınızı açıkça ifade edin. Cevabın doğruluğunun yanında cevabı veriş şekliniz de puanlamaya etki edecektir. Düzenli olun. Bir algoritmayı açıklarken, ana fikri Türkçe açıklayın. Sözde kodu, sadece fikrinizi genişletmek için kullanın. Bol şanslar! İsim:

2 Pratik Final Sınavı Çözümleri 2 Problem 1. Kısa Cevaplar Aşağıdaki sorulardaki boşlukları doldurun. Birden fazla cevabı olan sorularda, en çok bilinen doğru cevabı tercih edin. Örnek, olarak karşılaştırma metodunu kullanarak n tane elemanı sıralamak için gereken süre kutu ye bilinen en doğru cevap O(n lg n) dir. Doğru olan ancak, "en uygun" olmayan yanıtlara kısmi puan verilmeyecektir. Buna karşılık, yanıtınızın açıklamasını yapmak zorunda değilsiniz. (a) QUICKSORT a bir değişiklik yapıldığını, PARTITION her çağrıldığında bölüntü yapılan dizilimin ortancasının bulunduğunu (SELECT algoritmasını kullanarak) ve ortancanın pivot olarak kullanıldığını düşünün. En kötü durumda algoritmanın koşma süresi kutu dir. (b) Bir veri yapısının foo işlemini desteklediğini, n foo luk bir dizinin en kötü durumda koşma süresinin Ө(n lgn) olduğunu düşünürsek, Bir foo işleminin amortize edilmiş süresi Ө(...kutu...) dir. Öte yandan, bir foo işleminin gerçek süre maliyeti Ө(.kutu.) kadar çok olabilir. (c) Yönlendirilmiş bir grafikte, s - t en kestirme yolunu polinomsal sürede bulan bir algoritma var mıdır? kutu (Evet / Hayır)

3 Pratik Final Sınavı Çözümleri 3 Problem 2. Doğru veya Yanlış Aşağıdaki sorularla ilgili, Doğru(D) veya Yanlış(Y) şıklarından birini işaretleyin. Cevaplarınızla ilgili açıklama istenmemekte. Boş veya yanlış cevaplar 0 puan alacaktır. D Y T(n) = 3T(n/3) + log n yinelemesinin Ana Metodu kulanarak çözümü, T(n) = Ө(n log n) dir. D Y Karşılaştırma modelinde çalışan algoritmalarda, herhangi bir n elemanın ortancasını bulmak Ω(n log n) e mal olur. D Y n düğümlü her ikili ağaç, O(log n) yüksekliğe sahiptir. D Y G=(V,E) gibi kenarlarında maliyet taşıyan bir grafiğimiz ve S V kümesi var; (u,v), S deki herhangi bir köşe ile V-S deki herhangi bir köşe arasındaki en az maliyetli kenar olsun. Bu durumda, G nin en az yayılan ağacı (u, v) kenarını içermek zorundadır. (Eğer gerekiyorsa, bütün kenarların maliyetinin birbirlerinden farklı olduğunu varsayabilirsiniz.) D Y T, G nin en az yayılan ağacı olsun. Herhangi s ve t köşe çifti için, s den t ye G nin içindeki en kısa yol, T nin içinde s den t ye olan yoldur. D Y Eğer L 1 problemi polinomsal zamanda L 2 problemine indirgenebiliyorsa ve L 2 nin polinomsal süreli bir algoritması varsa, L in de polinomsal süreli bir algoritması vardır. 1

4 Pratik Final Sınavı Çözümleri 4 Problem 3. Doğru veya Yanlış ve Gerekçeli Aşağıdaki soruların, doğru mu yanlış mı olduğunu belirtmek için D veya Y yi daire içine alın. Daha sonra yanıtınızın gerekçesini kısaca açıklayın. Yanıtlarınız, sadece D veya Y yi işaretlemenizle değil, gerekçenizi açıklamanızla da değerlendirilecektir. D Y Dinamik bir setin, INSERT(x,S), DELETE(x,S) ve MEMBER?(x,S) işlemleriyle bakımını yapan ve işlem başına O(1) sürede koşturan bir veri yapısı vardır. D Y n sayıda işlemin yapıldığı bir dizinin toplam amortize edilmiş maliyeti (her işlemin amortize edilmiş maliyetinin toplamı), toplam gerçek maliyet için bir alt sınır verir.

5 Pratik Final Sınavı Çözümleri 5 D Y G = (V,E) bir ağırlıklı grafik olsun ve M de G nin en az yayılan ağacı olsun. M deki her v 1 ve v 2 köşe ikilisi arasındaki yol G deki en kısa yol olmak zorundadır. D Y Aşağıdaki şekil, bir akış ağındaki, akışları ifade etmekte. a / b simgelemi b kapasitesine sahip bir kenarda a birim akış olduğunu anlatmakta. Aşağıdaki akış en fazla akıştır.

6 Pratik Final Sınavı Çözümleri 6 Problem 4. Karakter Dizimi Bir metni, düzgün bir şekilde dizgi için hazırlamak istediğimizi varsayalım. Girdimiz, n adet l 1, l 2,..., l n uzunluğunda kelime dizisi (sabit boyutta karakterlerin sayısı olarak ölçülmüş). Her satır en fazla P karakter alıyor, metin sola dayalı ve bir kelime satırlar arasında ikiye bölünmeyecek. Eğer bir satır, i den j ye kadar kelimeleri içermekte ise, satır sonundaki boşlukların sayısı; Satır sonunda çok fazla beyaz alan kalmasını istemiyoruz. Yani, satır sonlarında kalan boşlukların sayısının karelerinin toplamını en aza indirgemek istiyoruz. Bu sorunu çözmek için verimli bir algoritma yazın. Bu algoritmanın koşma süresi nedir?

7 Pratik Final Sınavı Çözümleri 7 Problem 5. Algoritmianın Prensesi Algoritmia daki politik ayaklanma, Prenses Michelle X. Goewomans ı sarayını terkedip Nebraska da bir çiftliğe yerleşmeye zorluyor. Prenses saraydaki bütün eşyalarını Algoritmia dan Nebraska ya Ferrari si ile taşıyacak; taşınma işlemini olabildiğince az gel-git yaparak çözmek istiyor. Basitlik için, prensesin Ferrari sinin büyüklüğünün 1 olduğunu ve n sayıda x 1, x 2,..., x n eşyasının da 0 ile 1 arasındaki gerçek bir sayılar boyutunda olduğunu varsayalım. Problem, prensesin bütün eşyalarını Algoritmia dan Nebraska ya taşımak için olabildiğince az arabalık yük şeklinde nasıl bölebileceğimizi bulmak ve Ferrarinin aşırı yüklü olmasından kaçınmaktır. Bu problem NP-zorluk derecesindedir. Aşağıdaki ilk-uyan yaklaştırma algoritmasını düşünelim. İlk olarak arabaya x 1 i koyalım. Daha sonra, i = 2, 3,...,n için, arabaya sığacak x i eşyalarını yer varsa sırasıyla arabaya yerleştirelim; yer yoksa, bir dahaki tura bırakalım. Mesela, x 1=0.2, x 2=0.4, x 3=0.6 ve x 4=0.3 ise, ilk yüklemede x 1, x 2 olacak, x 3 ikinci yüklemeye bırakılacak ve x 4 ilk yüklemeye dahil edilecektir. Verilen kararların çevrimdışı olduğunu ve prensesin eşyalarını herhangi biri yola çıkmadan partilere böldüğümüzü unutmayalım. (a) Prensesin kocası Craig, ilk-uyan algoritmasının her zaman yolculuk sayısını en aza indirdiğini iddia ediyor. Karşı bir örnek vererek Craig in iddiasını çürütün.

8 Pratik Final Sınavı Çözümleri 8 (b) İlk-uyan algoritmasının oran sınırının 2 olduğunu ispatlayın. (İpucu: Kaç parti yük, kapasitenin yarısından az dolu olur?)

9 Pratik Final Sınavı Çözümleri 9 Problem 6. Kral Artur un mahkemesinde gücün dağılımı Birçok problem, Kral Artur zamanında bile eniyileme (optimizasyon) problemidir. Kral Artur un mahkemesinde birçok şövalye vardır. Bu şövalyeler, Kral Artur un problemlerinin çoğunun temel kaynağıydı ve problemlerin bir kısmı hesaplamaya dayalı, bir kısmı ise değildi. Kral Arthur, hesaplamaya dayalı problemleri çözerken, çoğu zaman güçlü büyücüsü Merlin in sözünü dinlerdi. Rivayete göre, Merlin zaman makinasını kullanarak, 2000 yılındaki Algoritmalara Giriş dersini almış, bahsi geçen sorunları da bu derste edindikleri ile çözermiş. Bu sorunun 2 bölümünde, Merlin e sorulan problemleri göreceğiz. (a) Toprağa Hükmetmek Kral Artur un mahkemesi n tane şövalyeden oluşuyor. Kral Artur m tane ülkeye hükmediyor. Her i şövalyenin yönetebileceği ülke sayısının q i gibi bir kotası var. Her j ülkesinin de yönetilmeyi tercih ettiği bir Sj şövalyeler kümesi var. Kral Artur un, Merlin e verdiği görev şu; ülkeler, şövalyelere öyle bir dağıtılsın ki, hiçbir şövalye kotasını aşmasın ve her ülke kendi S j kümesinden bir şövalye tarafından yönetilsin. (i) Merlin in bu atamaların hesaplanmasında En Fazla Akış algoritmasını nasıl kullanabileceğini gösterin. Algoritmanın koşma süresini bulun. (v köşesi ve e kenarı olan bir ağda çalışan en-fazla-akış algoritmasının koşma süresi F(v,e) ise, koşma sürenizi bunun cinsinden açıklayabilirsiniz.)

10 Pratik Final Sınavı Çözümleri 10 (ii) Merlin Şık (i) deki algoritmayı çalıştırır, ancak, algoritma gereksinimleri karşılayan bir atama yapamaz. Kral Artur, Merlin den bu konuda bir açıklama ister. Merlin algoritmayı krala açıklar. Kral da algoritmanın doğruluğu konusunda ikna olur. Ancak, Kral Merlin in algoritmayı problemin verilen biçiminde doğru çalıştırdığına inanmaz. Merlin den bu özel durum için bir atama olamayacağını kendisine ispat etmesini ister. En Fazla Akış Yöntemi nden anladığınız kadarıyla hangi ispat yöntemini önerirdiniz? (İspat stratejinizin, bu problemin her örneklemesi için geçerli olması gerektiğini unutmayın.)

11 Pratik Final Sınavı Çözümleri 11 (b) Anlaşmazlık Çözümü : Artur, yıllık şövalyeler toplantısında bazı şövalyelerin anlaşmazlık yarattığını görür. Gizli ajanlarını kullanarak, bütün muhtemel düello çiftlerini belirler. En az sayıda şövalyeyi sürgüne göndererek, yıllık toplantıda herhangi bir düello çifti kalmamasını sağlamak ister. Merlin hangi şövalyelerin gönderileceğini belirleme noktasında görevlendirilir. Bir mükemmelliyetçi olarak Merlin, en küçük sürgüne gönderilecekler listesi üzerinde çalışmaya başlar. Buna karşın, uzun düşüncelerden sonra, herhangi bir algoritma ile uygun bir çözüm bulamaz. (i) Neden? (ii) Merlin gereksinimleri nasıl yumuşatırsa bir çözüm bulabilir?