BÖLÜM CROSS METODU (HARDY CROSS-1932)

Transkript

1 Bölüm Cross Yöntem 5.1. CROSS ETODU (HARDY CROSS-193) BÖÜ 5 Hperstat sstemlern çözümünde ullanılan cross yöntem açı yöntemnn özel br hal olup moment dağıtma (terasyon) metodu olara da ullanılmatadır. Açı metodunda düğümlerde moment ve yatay dengeler yazılara düğümlerde dönüş açıları ve deplasmanlar bulunara sstem çözüldüğü halde Cross metoduyla hperstat sstemlern çözümünde önce rjt düğüm notalarında dönüşler sıfır yapaca şelde ltlenr. Kltleme anastrel momentlern farının ters şaretls olan br dış momentle yapılır. Yan açı metodunda olduğu gb düğümde toplam moment sıfır olaca şelde düzenlenr. Bu uygulanan dış moment düğümde sadece dengey sağlama çn abul edlen br moment olduğu çn aranan moment olara abul edlmemeldr. Bu ltleme momentnden dolayı düğümde br dönüş ve bu dönüş sonucunda da düğümde çubuların uçlarında br moment oluşacatır. Bu yöntemde br düğüme; 1. Düğüm notalarında dış yülerden dolayı oluşan anastrel momentler,. Komşu düğümlerden gelen (E/ den 1/) momentler, 3. Brm yatay (δ=1) yülemelernden gelen (=-3/ ve =-/) momentler, olma üzere bu üç momentn farı TERS şaretl olara o düğüme brleşen çubu uçlarına rjtller oranında dağıtılır ve çubularının ucuna düşen momentn yarısı da omşu düğüme gönderlr. j Tüm düğümlerlerde dönüş açıları 0 Tüm düğümlerlerde dönüş açıları=0 j j 1.Dğer bütün düğümler ltl, sadece serbest. ϕ bulundutan sonra aynı alsın ve j serbest 06

2 Cross Yöntem Bölüm 5. İterasyon 1. Bütün düğümlerde dönüş açıları sıfır. Sadece notası serbest yan ϕ 0 olsun ve buradan ϕ olayca bulunur. 3. Sadece j notası serbest yan ϕ j 0 olsun ve ϕ yuarıda bulunan değerde olsun. Buradan ϕ blndğne göre ϕ j olayca bulunur.. Sadece notası serbest yan ϕ 0 olsun ve ϕ -ϕ j yuarda bulunan değerde olsun. Buradan ϕ ve ϕ j blndğne göre ϕ olayca bulunur. 5. Yuarıda şlemler dönüş açısı olan bütün düğümler çn yapılır ve l dönüş açıları bulunmuş olur. Yan başlangıçta sıfır olan dönüş açıları yerne değerler bulunmuş olur.. İterasyon 1. İşlemler terar baştan başlanara yapılır n nc düğüme adar yapılır ve nc terasyon tamamlanır.. İterasyon 1. Değşm sıfır olduğu zaman terasyona son verlr. Ve böylece düğümlerde dönüş açıları bulunur..5 N/m 3 N/m 7. N 3 N m 7. m 1. m. m 09 m Düğümlerde anastrel momentler açı metodunda olduğu gb bulunur..5 x x 7. 1 = 1 = =.86Nm 3 = 3 = = 1.96Nm 1 1 Pab(l + b) 7.x1.x.(3.6 +.) = = x3.6 3 =.80Nm Bu anastrel momentler düğümlere uygulanara düğümlerde momentlern dengede olması çn esl çzglerle gösterlen momentler düğümlere uygulanara bütün düğümler ltlenr. nolu düğüm sabt mesnet olduğu çn sadece dış yülerden dolayı oluşan br moment (3 x 0.9=.7 Nm) bulunmatadır =.86 1 =.86 3 = = = x0.9 = = =8.16 Daha sonra düğümlerden stenlen br tanes açılır. Bu düğümler açma şlemne ltleme moment olan anastrel momentler farının ters şaretlsnn mutla değerce büyü olanından başlama terasyonun adım sayısını azaltacağından daha uygundur. Bu örnete üç nolu düğüm açılara anastrel momentler farı olan esl çzglerle gösterlen ltleme moment 8.16 Nm l moment bulunur. Anca, nolu düğümde onsolda yüten dolayı oluşan br.7 Nm l br moment bulunmatadır. Konsol yülerden dolayı oluşan momentlern, enar mesnette 07

3 Bölüm Cross Yöntem dış yü olan momentlern yarısı ve br düğümde bulunan dengeleyc momentn yarısı arşı mesnede aşağıda abulden dolayı geçer. Yan, düğümde dengeleyc momentten dolayı br dönme ve bunun sonucunda da br moment oluşacatır. Oluşan bu momentn yarısı aynı şarette çubuğun dğer ucuna geçer. Komşu düğüm mafsallı se bu momentn yarısı geçmeyecetr. Açı metodunun esasını teşl eden bu abuller açı metodu denlemlernn çıarılmasında aşağıda şelde elde edlmşt. ϕ Hç şel değştrmes olmayan eleman = / + Uç momentler ve olsun Buna göre mesnednde momentn yarısı mesnedne artı olara geçer. Konsol momentler sağdan sola artı soldan sağa es geçer. Çerçevelerde se mütemad rşlern tam ters olmatadır. Bu durum açı yöntemnde tablo halnde açılanmıştır. _ 3 = =.8.7/= Klt moment= = x0.9 = Nm l dengeleyc lt moment düğüme brleşen çubuların toplamı br olan ve rjtller date alınara hesaplanan dağıtma sayıları oranında ters şaretl olara paylaşılara düğüm denges sağlanır. Çubulara gelen bu momentlern yarısı aynı şarette çubuğun dğer ucuna yan omşu düğümlere gönderlr. Sstemn çözümü çn dğer bütün düğümlern denges sağlanması şartından dolayı aynı şlem dğer omşu düğümlerde yapılır. Komşu düğümde dengeleyc moment o düğümde önceden bulunan lt moment (anastrel momentler farı olan moment) le omşu düğümde dengelemeden gelen momentn toplamı ters şaretl olara düğüme brleşen çubuların dağıtma sayıları oranında dağıtılara düğüm denges sağlanmış olur. Bu dengeden dolayı oluşan momentlern yarısı çubuğun dğer ucuna yan düğüm notasına gönderlr. Bu şleme omşu düğümlerden gelen momentlern üçülmes durumunda son verlere her çubuğun ucunda momentler toplanara son verlr. Bu toplam sonucu her düğümde momentlern toplamı açı metodunda olduğu gb sıfır olmalıdır. Br çubuğun uç moment, 1. Anastrel momentler. Düğümde dengelemeden dolayı dağıtma sayısı oranında gelen moment 3. Çubuğun dğer ucunda düğüm dengelemesnden dolayı o uçta oluşan momentn yarısı momentlernn toplamıdır. 08

4 Cross Yöntem Bölüm DÜĞÜ NOKTAAR SABİT (δ=0) SİSTEER Düğüm notaları sabt sstemler. bölümde açılanan sstemlerdr. Bu sstemlern cross yöntem le çözümünde yatay deplasmanlar [δ=0] sıfır alınmatadır ϕ 0 ϕ =0 ϕ 3 =0 ϕ 1 =0 =toplam anastrel momentler 1 Herhang br çerçeveden alınan yuarıda düğümünde moment denges yazılır se, ( ) ϕ + = 0 φ = [ ' ' ] 1 = ( φ ) + 1 = ' 1 ( φ ) + 5 = ( φ ) + ' 5 = ( φ ) = ( φ ) Bu denlemlerde ϕ nn yuarıda bulunan değerler yerne yazılırsa, = (φ ) = + ' ' ( ) 1 d = 1 1 ' ' ( ) 3 = + ' ' ( ) 3 = + ' ' ( ) 3 = - d d d = ' ' ( ' ' ( = = ' 5 ' ' ( ) ) ) Σd=1 = + ( ) ' ' ' d 5 = ' 5 ' ' ( ) 5 = + ( ) ' 5 ' '

5 Bölüm Cross Yöntem [d 1 + d + d 3 + d + d 5 ] bunların her brne DAĞTA SAYS denr ve her düğüm çn toplamları her zaman =1 olması gerer. Bu d n sayıları düğüme brleşen çubuların = 1.5 ve/veya = rjtller oranına göre değşen dağıtma sayılarıdır. ϕ A + ϕ B+ ϕ ϕ B A B ϕ A ϕ B ϕ A ϕ A A B A ϕ A - ϕ B- ϕ B ϕ A ϕ A ϕ B B A ϕ A ϕ A Hperstat br sstemm Cross metodu le çözümünde zlenen yol sırasıyla; 1. Düğüme brleşen çubuların ve/veya değerler ve bunlara bağlı olara bulunan dağıtma sayıları hesaplanır. d 1 = 1 n d = n d 3 = 3 n. Çubuğun mesnet şartlarına yüleme durumuna göre anastrel momentler hesaplanır. 3. Çözüm şeması hazırlanara dağıtma sayıları ve anastrel momentler belrlenr.. Düğümlerde bulunan anastrel momentler şaretlerne göre toplanara mutla değerce büyü olan momentn bulunduğu düğümden dağıtıma başlanır. 5. Dağıtma sayılarına göre dağıtılan anastrel momentler şaretlernn ters olara dağıtılır. Yan anastrel moment es se artı, artı se es olara dağıtılır. 6. çubularında dağıtım sonucu bulunan j moment çubuğun dğer ucuna yarısı aynı şarette geçer. Bu geçş çubularında yapılmaz. ϕ E = ϕ + 7. Düğümlerde dağıtılaca moment sıfıra yalaşınca dağıtıma son verlr. _ E = ϕ 10

6 Cross Yöntem Bölüm 5 8. Düğümlerde dağıtım bttten sonra anastrel momentler dahl bütün momentler şaretler le toplanır. (br düğümde bulunan momentlern toplamı sıfır olacağına dat edlmeldr değlse hesaplar ontrol edlr) 9. Çözüm sonucu bulunan momentler şaretlerne göre [saat yönü +, ters -] düğüm notalarına şaretlenere momentler çeme meydana getren yüze çzlr. 10. Çubu uçlarında bulunan bu momentlere ve dış yülere göre çubu açılı momentler, esme ve esenel uvvetler bulunara sstemn stenlen, V ve N alanları çzlr. ÖRNEK 5.1: Şelde yülemes le brlte verlen mütemad rşn moment ve esme uvvet dyagramlarını Cross metodu le çznz. N N 0.8 N/m 1.5. m. m. m 5 m P a( a) x.(6.6.) 0.8 x 5 Anastrel 1 = 1 = = =.93 Nm 3 = =.50Nm Anastrel momentler ve dağıtma sayıları tablo yapılara yazılır. Daha sonra dağıtım yapılaca düğümde dağıtılaca moment bulunur. Örneğn düğümünde dağıtılaca =.93-.5=0.3 tm olara bulunur. Bu far moment artı şaretldr. Düğümde dengenn olablmes çn bu momentn es şaretl olara dağıtılması gerer. Yan düğümde dağıtılaca momentn ters şaretls olan =-0.3 tm dağıtılır. 1 = d 1 =0.603x(-0.3)= Düğümde dağıtım sonucu bulunan momentlern 3 = d 3 =0.397x(-0.3)= toplamı dağıtılan momente eşt olmalıdır (0.3). Düğüm Çubu uçları Çubuların değerler Dağıtma sayıları 0.55/[ ]= /[ ]=0.397 Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca moment ( ) = x0.603= x0.397= Uç momentler N N 0.8 N/m 1.5. m. m. m 5 m

7 Bölüm Cross Yöntem 1. açılıta maxaç= ((.059 x. 3.06)) = 1.7 Nm 1. açılıta maxaç= ((.059 x x. 3.06)) = 1.60 Nm. açılıta maxaç= ((1.66 /0.8)) x 0.5 = 1.33 Nm veya. açılıta maxaç= ((.53 /0.8)) x = 1.33 Nm Verlen bu sstemde blnmeyen ϕ dr. Burada ϕ nn bulunması çn, 1 1 = 1ϕ ϕ = 1 bağıntısından hesaplanır. Burada 1 moment düğümünde anastrel ve omşu düğümlerden gelen momentlern harcnde dağıtım sonucunda bulunan momentlern toplamıdır elemanı ϕ = = = elemanı ϕ = = = olur. x 0.55 x ÖRNEK 5.: Verlen rşn moment alanının Cross yöntemn ullanara çzm.[bütün rşler E] 1.6 N/m 8 N.5 N/m m 5.5 m m m 5 m 1.5 m Çözüm: Elemanların değerler ve anastrel momentler hesaplanır. -3. =0.73 =0.333 = Anastrel 1.6 x5.5 8 x x 8 xx.5 x5 1 = = 6.05Nm 3 = = 3.56Ntm 3 = = 7.11Nm 3 = = 7.81Nm Düğüm 1 3 Çubu uçları değerler Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca moment 3 ( )= ( )= Uç momentler Dağıtım sonucu bulunan moment değerler saat yönü artı ters es olma üzere çubu uçlarına şaretlenere moment alanı aşağıda şelde çzlr

8 Cross Yöntem Bölüm N/m 8 N.5 N/m Kesme uvvet dyagramı, m 5.5 m m m 5 m 1.5 m oment dyagramı açılıta maxaç= ((.35 /1.6)) x =.05 Nm. açılıta maxaç= (.5 x.11) =.87 Nm 3. açılıta maxaç= ((7.016 /.5)) x = 3.05 Nm ÖRNEK 5.: Verlen rşn moment alanının Cross yöntemn ullanara çzm.[bütün rşler E].5 N/m 3 N/m 7. N 3 N m 7. m 1. m. m 09 m ÇUBUK UÇ OENTERİ Düğüm Çubu değerler x/3.6=0.556 x1.03/7.=0.87 x1.03/7.= x/3.6=0.17 Dağıtma sayıları 0.555/( )= 0.87/( )= /( ) = /( ) = Klt moment 1.35 [.7/] -.7 Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca = [-3.9/] 9.51x x = x x Uç momentler Örne daha önce açı yöntemne göre çözülmüş ve aynı değerler bulunmuştur..5 N/m 3 N/m 7. N 3 N m 7. m 1. m. m 09 m

9 Bölüm Cross Yöntem Uygulama: Verlen mütemad rşn verlen yüler ve mesnet hareetlernden dolayı oluşan alanının elde edlmes N/m 8 N/m N m 3m 5 m 6 m m Nm Çözüm: Verlen dış yülerden ve mesnet çöme ve dönmelernden oluşan anastrel momentler Pab x x3 Pba x3 x 1 = = = 1.Nm 1 = = = 0.96Nm [Tel yü] 5 5 q x5 3 = 3 = = =.167Nm [Düzgün yayılıyü] 1 1 7q 7 x8 x 6 3 = = = 16.80Nm [Üçgen yayılıyü] =0. =0. =0.5 m 3 m 5 m 6 m Nm 1. Nm 0.96Nm Nm.17 Nm.17 Nm 16.8 Nm mm Eşt çöme Eϕ/5= =Eϕ/5 1 3Eδ/6 =6.7 6Eδ/5 = mm 1 8 mm (-) alınır 8 mm 6Eδ/5 =151.3 (+) alınır 3Eδ/6 =6.7 E E 6E = + ϕ + ϕ δ E E 6E = + ϕ + ϕ δ ÇUBUK UÇ OENTERİ Düğüm Çubu değerler Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dış yülerden esnet çömes esnet dönmes Dağıtılaca = = Uç momentler

10 Cross Yöntem Bölüm 5 ÖRNEK 5.: Verlen mütemad rşn moment ve esme uvvet alanlarının Cross yöntemn ullanara çzm.[bütün rşler E] 6 N Nm Nm 1 3 m m m m m E=sabt / / = = = Nm Nm Nm 1 =0.375 = = + = + = m m m 8 8 / / Düğüm 1 3 Çubu uçları onsol onsol değerler Dağıtma sayıları Anastrel momentler (1/) (/).00 Düğüm Dağıtılaca moment = Uç momentler N Nm Nm m m m m m SONUÇ AAN ÖRNEK: Şelde rşn açı metoduyla moment alanını çzm. 3 =0.333 m 0 N 0 N 1 m m 1 6 m =0.50 a Anastrel momentler 31 = 13 = [/ ] = [0 / ] = Nm b + = + = Düğüm Çubu uçları Çubuların değerler Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca moment /= /=-.0 Uç momentler Sonuç ÖRNEK 5.: Şelde verlen rşn moment alanını Cross metoduyla çznz. (=sabt) m N/m 8 m m m xx1= Nm xx1= Nm N/m 11.7 =0.375 = m m = = Sonuç alanı 15

11 Bölüm Cross Yöntem Düğüm Çubu uçları 1- onsol onsol Çubuların değerler Dağıtma sayıları Anastrel momentler - [-.00] [-.00] Düğüm Dağıtılaca moment +-16=-10== ÖRNEK 5.5: Şelde verlen rşn moment alanını Cross metoduyla çznz. Çözüm: İl önce sstemn taşınan ve taşıyan ısımları ayrılara taşınan ısmın mesnet tep uvvet taşıyan hperstat ısma atarılır ve hperstat ısmın çözümü yapılır. Taşınan zostat ısım.5 m 1.5 m mafsal m m.5 N/m N/m.5 m.5.5 m.5 N/m 1 m m m Taşıyan hperstat ısım N m Nm Nm 0.03 N/m Nm.00 m m q x Anastrel moment 3= 3= = =.67Nm 1 1 Düğüm m m m Çubu uçları Konsol Konsol - Çubuların değerler Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca moment 6-.67= = , , Uç momentler

12 Cross Yöntem Bölüm 5 ÖRNEK 5.6: Şelde çerçevenn moment alanının Cross metoduyla belrlenmes. 5 N N/m 1.5 m Anastrel momentler.0 m 3.0 m 5.0 m 3.0 m ➄ Pab (b + ) 5 x3 x( + 5) 1.5x 1 = = =.0Nm = = =.00Nm x5 1 Düğüm Çubu uçları Çubuların değerler Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca moment.+= Uç momentler oment alanı.9m ➄ 17

13 Bölüm Cross Yöntem CROSS BÜTÜN SİSTE HESABA ESAS SİSTE BÜTÜN SİSTE HESABA ESAS SİSTE SİETRİK SİSTE SİETRİK YÜKEE P P P / / q P / q P P / P P / / q P / / / q / / P Kayıcı anastre SİETRİK SİSTE ANTİETRİK YÜKEE P P / / E q q E1 P / q E/ E1/ P / q P / q P / q / ÖRNEK 5.3: Şelde verlen mütemad rşn moment alanını Cross metoduyla ve smetr özellğnden yararlanara çznz. (=sabt) 1.8 N/m.5 N/m 1.8 N/m m 6.5 m 5.6 m 5.6 m 6.5 m m Çözüm: Smetr esen mesnetten geçtğ çn yarım sstem aşağıda şelde belrlenere çözüme başlanır. 1.8 N/m.5 N/m N/m.5 N/m m 6.5 m 5.6 m Anastrel momentler.5 x x = = 6.53 tm 1 = = 9.51tm 1 8 Düğüm Çubu uçları Çubuların değerler Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca moment ( )= m 5.6 m Uç momentler Bulunan uç momentlernn aynı sstemn açı metoduyla çözümüyle bulunan momentlerle aynı olduğu görülür. Açı le çözüm sonuçları aşağıda verlmştr. 1 = 0.31 ( x (-1.003)) = 7.3 Nm 18

14 Cross Yöntem Bölüm 5 3 = ( x (-1.003)) 6.53 = -7.5 Nm 3 = ((-1.003)) = 6.17 Nm 1 = 1.8 x x 0.5 =-3.60 Nm Kesme uvvet dyagramı, oment dyagramı açılıta max aç = ((5.9 / (x1.8) 3.6 =.17 Nm. açılıta max aç = ((6.807 /(x.5)) = Nm veya. açılıta max aç = ((7.193 /(x.5)) = Nm ÖRNEK 5.7: Şelde verlen sstem ve yülemes smetr sstem smetr özellğn ullanara Cross metoduyla çözünüz. (δ=0) N/m N/m 3 = 0.33 = 0.5 = m = 0. = m 8 m 6 m 1 6 m m Anastrel momentler, - 3 = 3 =x6 /1 =6 Nm - 35 = 53 = x 8 /1 = Nm Düğüm Çubu uçları DağıNma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca moment Uç momentler

15 Bölüm Cross Yöntem N/m m 6 6=x6/ aç=x8x8/ =5.83 tm 0.373=.35/6 1.83=8.898/ toplam Kesme uvvet dyagramı oment dyagramı açılıta maxaç= ((.890 /)) x = 3.73 Nm veya 1. açılıta maxaç= ((7.111 /)) x = 3.7 Nm. açılıta maxaç= ((8 /)) x = 5.89 Nm 0

16 Cross Yöntem Bölüm 5 ÖRNEK 5.8: Sstemn smetr özellğn ullanara Cross metoduyla moment alanın çzm. N/m N 8 N N/m m Çözüm: Verlen bu sstemn çözümü aşamada yapılır. 6 m 1 m 3 m m 6 m 1. Sstem önce herhang br smetr yüleme durumu çn çözülür. Burada seçlen smetr yüleme hal aşağıda gb seçlere çözümü yapılmıştır. Burada dat edlmes gereen smetr esennn estğ çubuğun değernn 0.5 atı alınmasıdır ( = 0.5 ). N/m N 8 N N/m 3 N/m N 8 N Anastrel momentler ( - çubuğunun tamamında hesaplanır), q x 3 x 6 P Pab 8 x8 x1x7 1 = 13.5Nm 9.53Nm 8 = 8 = = 8 + = 8 + = 8 Smetr sstem smetr yüleme durumu Düğüm Çubu uçları Çubu değerler Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca 6 m 1 m 3 m m 6 m = Uç momentler m 6 m 1 m 3 m m 6 m m Bu aşamada antmetr yüleme hal çn çözülür. Antmetr yüleme durumu le smetr yüleme durumunun toplamları başta verlen yüleme durumunu vermeldr. Antmetr yüleme durumu ve çözümü aşağıda verlmştr. Burada dat edlmes gereen smetr esennn estğ çubuğun değernn 1.5 atı alınmasıdır ( =1.5 ). 1 N/m N N 1 N/m 1 N/m N N 1 N/m m 0.5x1.5=0.75 m 6 m 1 m 3 m m 6 m 6 m 1 m 3 m m 6 m Anastrel momentler ( - çubuğunun tamamında hesaplanır), qx 1x 6 Pab Pab x1x7 x7 x1 1 = = =.5 tm = = tm = Smetr sstem antmetr yüleme durumu Düğüm Çubu uçları Çubu değerler x1.5=0.75 Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca = Uç momentler

17 Bölüm Cross Yöntem Çözümü yapılan smetr sstemn yarısında çubu uç momentlernn bulunması smetr ve antmetr yüleme durumları çn bulunan moment değerlernn şaretler date alınara toplanmasıyla bulunur. Örne olara - çubuğunun uç moment, smetr yülemeden bulunan 10.3 Nm değer le antmetr yüleme sonucu bulunan tm değernn toplamına eşttr ( = = Nm). Çözümü yapılmayan sstemn dğer yarısında çubu uç moment değerler, smetr yüleme durumu çn yapılan çözümde bulunan çubu uç momentlern ters şaretl değerler le antmetr yüleme durumu çn bulunan çubu uç momentlernn toplamıdır. Örne olara - çubuğunun uç moment, smetr yülemeden bulunan 10.3 Nm değernn ters şaretls olan Nm moment değer le antmetr yüleme sonucu bulunan Nm değernn toplamına eşttr ( = =7.6 Nm). Benzer şelde dğer çubu uç momentler aşağıda gb bulunur. Smetr sstem antmetr yüleme durumu Düğüm Çubu uçları Uç momentler(smetr) Uç momentler (antmetr) Σ N/m =x6/ 1.58=15.5/ Q oment alanı açılıta max aç = ((9. /)) x 0.5 = Nm veya 1. açılıta max aç = ((1.58 /)) x = Nm. açılıta max aç = (( = 5.3 Nm

18 Cross Yöntem Bölüm DÜĞÜ NOKTAAR HAREKETİ (δ 0) SİSTEER Düğüm notaları hareetl sstemler. bölümde açılanan rterler sağlayan sstemlerdr. Bu sstemlern Cross yöntem le aşağıda maddeler halnde açılanara çözümü yapılmıştır. Cross yöntem le düğüm notaları hareetl sstemlern çözümü; A q q 1.5 P ➄.67 B q q 1.5 A H 30 Düğüm notaları sabt sstem P ➄.67 B H 10 H A 1. Verlen sstem l önce yatay ve/veya düşey hareetler [H 10, H 0, H 30 ] tutulara düğüm notaları sabt sstem halne getrlr.. Bu düğüm notaları sabt sstemn dış yülerden oluşan moment alanı elde edlr. 3. Düğüm notaları sabt sstemn moment alanı ve dış yülern date alınması suretyle yatay denge yazılara yatay at uvvetler [H 10, H 0, H 30, H n0 ] bulunur.. Sonra düğüm notaları sabt sstemn her br atına brm [δ =1] deplasmanlar verlere moment alanı [ 1 ] elde edlr [ 1 ] alanında yatay denge yazılara yatay uvvetler [H 11, H 1, H 13.. H 1n ] bulunur. 6. Bu şlem her br deplasman [δ 1, δ, δ 3.. δ n ] çn brm yüleme yapılara moment değerler elde edldten sonra yatay denge yazılara [H 1, H, H 3.. H 1n ] değerler bulunur B A H 10 =6.09/1.5+0./7=.09 H 0 =[[ ]- [ ]]/+0./7= δ 1=1 İçn çözüm oment değerler A N/m N/m x6/-[ ]/6=1.78 N B H 30 =.6 B H 11 =6.1/ /7=.35 H 1 = =[ ]/ 0.67 H 13 =0.11 3

19 Bölüm Cross Yöntem 7. Bu şlemler ayrıca aşağıda tabloda 3 atlı yapı çnde sırası le elde edlmştr. CROSS ETODUNDA DÜĞÜ NOKTAAR HAREKETİ SİSTEERDE YATAY DENGE P H 30 H 31 VERİEN ESAS SİSTE P 3 P P 1 Hareetl sstem δ 1 0 δ 0 δ 3 0 SABİT SİSTE. KAT YATAY DENGE P 3 P 1 Hareetsz sstem δ 1= 0 δ = 0 o δ 3= 0 δ 1 = 0 δ = 1 δ 3 = 0 δ H KAT YATAY DENGE H 30 δ1 = 1 1 δ = 0 δ 3 = 0 H 3 H H 1 3. KAT YATAY DENGE δ 1 = 0 3 δ = 0 δ 3 = 1 H 1 δ 1 H 11 δ 3 H 33 H 3 H Her deplasman ve dış yüler çn moment alanlarından elde edlen yatay denge denlemler sonucu bulunan [H 1, H, H 3.. H 1n ] değerler ullanılara, H 10 + H 11 δ 1 + H 1 δ + H 13 δ 3 = 0 H 0 + H 1 δ 1 + H δ + H 3 δ 3 = 0 H 30 + H 31 δ 1 + H 3 δ + H 33 δ 3 = 0 denlem elde edlr. 9. Bu denlem sstem çözülere deplasman değerler [δ] bulunur. Bu şelde δ ların gerçe değerler bulunup yerlerne yazılırsa bu H yatay uvvetlern sıfır olduğu görülür. 10. Bulunan δ değerler j = δ 1 +. δ + 3. δ 3... n. δ n bağıntısında yerne yazılara sonuç moment alanı elde edlr. Sstemn esme ve esenel uvvet değerler çn, 1. Dış yülerden dolayı düğüm notaları sabt sstemde oluşan [V ve N] alanları çzlr.. Sonra düğüm notaları sabt sstemn her br atına brm [δ =1] deplasmanlar verlere esme ve esenel uvvet alanı [V 1 N 1 ] elde edlr. 3. oment çn yapılan bütün şlemlern aynısı bu est tesrler çnde yapılır. Sstemn esme ve esenel uvvet değerler moment çn yapılan şlemler aynı yapılara, V j = V 0 + V 1. δ 1 + V. δ + V 3. δ 3... V n. δ n N j = N 0 + N 1. δ 1 + N. δ + N 3. δ 3... N n. δ n bağıntıları le elde edlr.

20 Cross Yöntem Bölüm 5 ÖRNEK 5.9: Şelde verlen çerçevenn CROSS yöntemyle moment alanının çzm. 8 N 6 m 10 m Çözüm: Önce sstem düğüm notaları sabt sstem halne getrlr, sonra δ=1 çn çözüm yapılır. Deplasmandan [δ] oluşan moment ve esme δ δ 6E = δ _ 6E = δ + δ' dan oluşan esme uvvetler E 6E δ + δ 1E V = V = = δ 3 = 6E 6E 3E 3E = δ _ + + 3E δ 3E V = V = = δ 3 6E 6E = δ δ = 0 E İ ucu moment taşıyan çubularda = ve 3E br ucu moment taşıyan çubularda = ısaltması yapılaca olur se deplasmanlardan dolayı oluşan çubu uç momentler; δ = değer 1 } } δ 6E 3 E 3 çubularında E olması durumunda 1 = = δ = = = OUR ' değer 1 } δ = 3E 3E } δ ' çubularında 3E olması durumunda 1 = δ = = = 3 8 N Anastrel moment olmadığı çn 0=0 dır. H 10=0 3 3x0.333 =0.00 = = 0.17 x0.5 = = x0.333 = = =0.333 =0.5 δ=1 çn çözüm Açılıta yü olmadığı çn (anastrel moment sıfır) dış yülere göre çözüm yapılmaz ve δ=1 çn çözüm yapılara yatay deplasman bulunur. 5

21 Bölüm Cross Yöntem δ=1 çn çözüm Düğüm Çubu uçları Çubu değerler Dağıtma sayıları Anastrel [100 atı] Düğüm Dağıtılaca = Uç momentler = = H 1 = = H 11 δ - H 0 = 0 [ ] δ - 8 = 0 δ = = Çubu uç momentler 1 =1.60 x (-13.3) = tm 1 =1.60 x (-9.85) = tm =1.60 x (9.85) = tm 3 =1.60 x (6.79) = tm 3 =1.60 x (-6.79) = tm Not: [ ] δ/100-8 = 0 δ=800/5.01= Sonuç alanı 3 = x (-6.79/100) = tm AYNS ÖRNEK 5.10: Şelde verlen çerçevenn CROSS yöntemyle moment alanının çzm. [ mesnednn anastre olması le mafsallı olması durumunda değşm gözlenr] 8 N m 10 m 8 N Anastrel moment olmadığı çn 0=0 dır. H 10=0 3 3x0.333 = = 0.17 = x0.5 = = = 3x0.333 = =0.333 = x0.5 = =

22 Cross Yöntem Bölüm 5 Açılıta yü olmadığı çn (anastrel moment sıfır) dış yülere göre çözüm yapılmaz ve δ=1 çn çözüm yapılara yatay deplasman bulunur. δ=1 çn çözüm Düğüm Çubu uçları Çubu değerler Dağıtma sayıları Anastrel (10 atı) Düğüm Dağıtılaca = Uç momentler = = H 1 = = H 11 δ - H 0 =0 ( ) δ - 8 = 0 δ = = Çubu uç momentler 1 =1.083 x (-13.7) = Nm 1 =1.083 x (-10.8) = Nm 3 =1.083 x (9.) = 9.99 Nm 3 =1.083 x (-10.86) = Nm 3 =1.083 x (10.8) = Nm 3 =1.083 x (-9.) = Nm Sonuç alanı Sonuç alanı mesnednn anastre olması le mafsallı olması durumunda momentlerde değşm yuarıda moment alanlarının arşılaştırılması sonucu görüleblr. 7

23 Bölüm Cross Yöntem ÖRNEK 5.11: Şelde verlen çerçevenn CROSS yöntemyle moment alanının çzm. m =0.0 m N 5 m m N =0.375 Çözüm: Sstem önce düğüm notaları sabt sstem halne getrlere dış yüler altında çözülere yatay denge yazılır ve [H 0 ] bulunur. Düğüm notaları sabt sstem 5 m m 3 Anastre moment 1= x = 3Nm Düğüm notası sabt sstem ve dış yülerden oluşan N =H 0 Bundan sonra δ=1 çn çözüm yapılara olonda yatay denge yazılara [H 11 ] bulunur. x0.375 Anastre moment 1= = atalınır 1= δ=1 çn =h 11 Bulunan bu değerler ullanılara aşağıda şelde yatay deplasman [δ] bulunur. H 11 δ + H 0 = 0.19 δ = δ= = Çubu uç 1 = x[ 9.675] = 8 Nm 3 = x[ 9.675] = 8 Nm 3 = x[.838] = Nm Sonuç alanı

24 Cross Yöntem Bölüm 5 ÖRNEK 5.11: Verlen rşn moment alanını Cross metoduyla çznz. (=sabt) m 1.5 N/m Çözüm: Sstem daha önce düğüm notaları sabt sstemler bölümünde 3.6 çözülmüş ve moment alanı aşağıda şelde bulunmuştu. Bu moment alanından yatay H 10 uvvet aşağıda şelde bulunur. Daha sonra yatay brm yüleme çn çözüm yapılara yatay H 11 uvvet bulunur ve yatay deplasman değer δ bulunara alanı elde edlr. -3/h=-3x1/3=1-3/h=-3x1/3=1 8 m m δ 1=1 çn 3 m 7.7 xx1= Nm =1.00 ( )/3=3.6 H 10= ( )/3=3.6 xx1= Nm N/m = m m Sonuç alanı.73 ( )/=3.03 H11=3.03 ( )/3=3.03 Düğüm Çubu uçları 1- onsol onsol Çubuların değerler Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca moment H δ H = δ 3. 6= 0 δ= 1.01 = x 6.36 =.01 Nm, 1 = x.73 = 3.99 Nm 1 = x.73 = 7.99 Nm 3 = x0 =.00 Nm Sonuç alanı ÖRNEK 5.1: Çerçevenn moment alanını CROSS metodunu ullanara çzm. 1.5 m 9.6 N.5 m 6 m Anastrel momentler 1.5 m 9.6 N 6 m Düğüm notaları sabt sstem o.5 m H 10 1 = -8 x.5 /1 = Nm 1 = 8 x.5 /1 = 13.5 Nm 3 = -9.6 x.5 x 1.5 / 6 = -.70 Nm 3 = -9.6 x 1.5 x.5 / 6 = 8.10 Nm 9

25 Bölüm Cross Yöntem Düğüm Çubu uçları Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca moment ( )= ( )= Uç momentler H x N.5 + = Bu durumda yatay denge yazılırsa, H1 o = 0 H1 o = δ 1 çn çözüm. 3 = = =0.889 =1.333 =0. 3 = = 0.96 δ=1 çn çözüm Düğüm Çubu uçları Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca moment ( ) = Uç momentler H = 3.1N δ=h 10 / H 1 = / 3.1 = Bu durumda yatay denge yazılırsa, 3.1 H1 = 0 H1 = 3. 1 = x δ = x.8 = Nm 1 = x = Nm Sonuç alanı

26 Cross Yöntem Bölüm 5 3 = x = Nm 3 = x.68 = Nm 3 = x.68 = Nm 3 = x.793 = Nm Düğüm Çubu uçları Dış yülerden uç momentler ( 0 ) δ 1 =1 uç momentler ( 1 ) ÖRNEK 11: Verlen çerçevenn cross 10 N 8 N/m 8x.5 10 x.5x1.5 10x.5 x1.5 Anastrel 1 = 1 = = 13.5Nm 3.81Nm 3 8.Nm 1 = 6x6 = = 6x6 = 1. DŞ YÜKER İÇİN ÇÖZÜ Düğüm Çubu uçları Çubu değerler Dağıtma sayıları Anastrel Düğüm m 10 N 3 6 m Dağıtılaca m 10 N 8 N/m m 10 N 6 m = x10.69= x10.69= x0.5= m = x0.5= x5.= x5.= Uç momentler N 8 N/m m 10 N 6 m 0..5 m H 10= N/m 15.0 H 10=0 3 = = = = x.5/-(( )/.5)+10=6.86 =1.33 =0.89 =0. δ=1 çn çözüm Not: 10 N yatay uvvet hesaplara atılmadığı çn yatay dengede dğer uvvetlern tes yönünde hesaba atılır. 3.5 m 1.8/.5=0.33 = 0. = H 1= =

27 Bölüm Cross Yöntem δ=1 çn çözüm Düğüm Çubu uçları Çubu değerler Dağıtma sayıları Anastrel Düğ üm Dağıtılaca x59.3= x59.3= x0.5= = x0.5= x1.81= x1.81= Uç momentler m H 11= ( )/.5)= /.5=..5 m H 11= = m 7.60 H 11 δ + H 10 = δ+6.53=0 δ = = = x δ = x 7.60 = Nm 1 = x = Nm 3 = x =31.67 Nm 3 = x = 3.71Nm 3 = x = Nm Sonuç alanı NOT: δ=1 durumunda anastrel momentler 100 atı alındığı çn δ değern 100 e bölere yapıldığı zaman aşağıda gb aynı sonuçlar elde edlr. H 11 δ + H 10 = 0 = x δ (δ/100)+6.53=0 δ = = = x (7.60/100) = Nm 1 = x (35.88/100) = Nm 3 = x (35.88/100) =31.67 Nm 3 = x (19.10/100) = 3.71Nm 3 = x (19.10/100) = Nm 3

28 Cross Yöntem Bölüm 5 ÖRNEK 5.13: Şelde çerçevenn moment alanının Cross Yöntemyle belrlenmes N/m 1.5 m 5 m 5 m Anastrel momentler 3 x 1 = 1 = = tm 1 Düğüm Çubu uçları Dağıtma sayıları Anastrel momentler - Düğüm Dağıtılaca moment Uç momentler Bulunan uç momentlernden oluşan H yatay uvvet aşağıda şelde hesaplanır. 33

29 Bölüm Cross Yöntem 3 N/m x + = = x + = 6.8 Yatay denge H = x = N 0.5x5+ 0. H 0 = = Anastrel momentler, ( ucu anastre çubularda 6 dğerlernde 3 ve 100 atı alınmıştır) 1 6x100 = δ = 37.5δ = = 6x1.x δ x = 36δ = x1.5x100 = 5 6.δ x = 8.8δ = 8.8 Sstemn brm yatay yüleme durumunda şel değştrme hal, uç momentler ve yatay denge aşağıda gb elde edlr. δ 6. δ 5 δ δ Düğüm Çubu uçları Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca moment 5.0 m 5.0 m 3 -[36-8.8]= [ ]= Uç momentler = H11= = x H1= =

30 Cross Yöntem Bölüm 5 Yatay denge H = =.995 N H 11 δ - H 0 = 0 -(.995) δ = δ = = Çubu uç momentler : 1 =0.136 x (-36.5) 5.09 = Nm 1 =0.136 x (-35.5) +1.8 = Nm 3 =0.136 x (35.5) 1.8 = 3.01 Nm 3 =0.136 x (3.19) 0. = 3.9 Nm 3 =0.136 x (-3.19) +0.= -3.9 Nm ÖRNEK 5.1: Şelde çerçevenn moment alanının Cross metoduyla bulunması. m Anastrel momentler x 3 x 7 1 = =.5 tm 3 = 8 1 = tm Düğüm Çubu uçları Çubuların değerler Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca moment = Uç momentler

31 Bölüm Cross Yöntem ÖRNEK 5.15: Şelde [düğüm notaları sabt] sstemn moment alanın ve H 1 uvvetnn bulunması. 30 N/m 30 N/m ➄ H1 30 N/m 30 N/m ➄ 3 7. m 3 7. m ➅ ➅ 6 m 6 m 3 m 6 m 6 m 3 m Anastrel momentler 30 x6 = = 5 = 5 = = 90Nm x(( ) ) 56 = = 8.15Nm 8 Genel durum çn çözüm Düğüm ➄ Çubu uçları ➄ ➄- ➄-➅ Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca = = = Uç momentler Bulunan çubu uç momentlernden yatay denge aşağıda şelde yazılır = = xcos.6= ➄ 30x7.8 = t/m = ➅ Yatay denge H = = t 36

32 Cross Yöntem Bölüm 5 ÖRNEK 5.16: Şelde verlen sstemn moment alanının CROSS yöntemyle elde edlmes. 6 N N/m 6 m 6 m ➄ ➅ m m 6 N =0.375 =0.667 Çözüm: İl önce sstem aşağıda şelde düğüm notaları sabt hale getrlr ve buna göre çözüm yapılara bu mesnedn yatay tep uvvet (H 10 ) bulunur. =0.50 N/m = m 6 m ➄ =0.375 ➅ m m H 10 GENE DURU İÇİN ÇÖZÜ ( δ = 0 ) Düğüm ➄ Çubu ➄ ➄- ➄-➅ Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca = = Uç momentler Bulunan uç momentlernden dolayı yatay denge yazılara sstem düğüm notaları sabt hale getrme çn çerçevenn üst ısmına onan mesnedn yatay teps aşağıda şelde bulunur. H10 = = /+.93/= /= /= /+.93/= /= /=0.565 İnc adım olara da olonların rjtllerne göre brm deplasman verldğnde oluşan momentlere göre sstem br defa daha çözülere yatay mesnet teps (H 11 ) bulunur. x0.375 = = h 3 3x0.5 = = h 6 m 6 m ➄ ➅ H 11 x0.375 = = h 3 3x0.5 = = h 37

33 Bölüm Cross Yöntem δ = 1 İÇİN ÇÖZÜ Düğüm ➄ Çubu ➄ ➄- ➄-➅ Dağıtma sayıları Anastrel (100 atı) Düğüm Dağıtılaca = = = Uç momentler H11 = = /= ( )/= /= /= ( )/= /=3.89 H 10 = =3.83 H 11 = =.68 H 10 + H 11 δ 1 = δ = 0 δ 1 = 3.83 /.68 = Çubu uç momentler aşağıda tabloda hesaplanmıştır. Çubu ucu 0 1 δ 1 Sonuç = x δ 1 Düğüm denges Sonuç esme uvvet ve moment alanı, V sonuç.71 sonuç =6/-.571/.357 =( )/ =(.619)/

34 Cross Yöntem Bölüm 5 ÖRNEK 5.17: Düğüm notaları hareetl sstemn alanının CROSS yöntemyle elde edlmes. N/m N/m ➄ ➄ H 1 6 m 6 m ➅ m m İl önce sstem aşağıda şelde düğüm notaları sabt hale getrlr ve buna göre çözüm yapılara bu mesnedn yatay tep uvvet (H 1 ) bulunur. 6 m 6 m ➅ m m Anastrel momentler x6 x6 3= 3= = 6Nm 35= 53= = 6Nm 1 1 GENE DURU İÇİN ÇÖZÜ ( δ = 0 ) Düğüm ➄ ➅ Çubu ➄ - ➄- ➄-➅ ➅-➄ Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca = = Uç momentler Bulunan uç momentlernden dolayı yatay denge yazılara sstem düğüm notaları sabt hale getrme çn çerçevenn üst ısmına onan mesnedn yatay teps aşağıda şelde bulunur. H 1 = = /= /= ( )/6= /= /= ( )/6=0.75 İnc adım olara da olonların rjtllerne göre brm deplasman verldğnde oluşan momentlere göre sstem br defa daha çözülere yatay mesnet teps (H 11 ) bulunur. 39

35 Bölüm Cross Yöntem 3 3x0.5 = = h x0.75 = = h =0.667 =0.75 =0.667 =0.50 ➄ 3 3x0.67 = = h 6 = x0.5 = = h ➅ 3 3x0.67 = = h 6 GENE DURU İÇİN ÇÖZÜ ( δ =1 ) Düğüm ➄ ➅ Çubu ➄ - ➄- ➄-➅ ➅-➄ Dağıtma sayıları Anastrel momentler Düğüm Dağıtılaca = Uç momentler H 11 = = /= ( )/= ( )/6= /= ( )/=16.96 H 1 = =0.05 H 11 = = ( )/6=11.3 H 1 + H 11 δ 1 = δ = 0 δ 1 = 0.05 / =

36 Cross Yöntem Bölüm 5.Çubu uç momentler Uç 0 1 δ 1 (10-6 ) Sonuç = x δ Örne: Şelde verlen sstemn alanının elde edlmes (Cross) N 5 m 7 m m 10 N 5 m 7 m H Düğüm notası sabt sstem m Düğüm Çubu uçları Dağıtma sayıları Anastrel momentler -5 5 Düğüm Dağıtılaca moment [5+1.93]= Uç momentler N m 7 m ( )/5= H ( )/5+1.68/7=1.67=H 10 m Dış yülerden yanda denge yazılara düğüm notaları sabtlğn sağlayan H 10 bulunur. δ 1 =1 brm yülemes yapılıp sstem terar aşağıda şelde çözülür. Düğüm Çubu uçları Dağıtma sayıları Anastrel momentler -8-8 (dönüş)+8.57 Düğüm Dağıtılaca moment Uç momentler /=x0.38/7= /=3x0.8/5= 0.8-3/=3x0.8/5= 0.8 1

37 Bölüm Cross Yöntem N.50 5 m 7 m 1. m /=x0.38/7= ( )/5= H /7=11.967=H 11 H10 + H11δ 1 = δ 1 = 0 δ 1 = /=3x0.8/5= 0.8 Sonuç moment değerler Düğüm Çubu uçları Uç momentler (düğüm sabt) Uç momentler (δ=1) SONUÇ =sabt+(δ=1) xδ ÖRNEK: Şelde verlen sstemn moment alanının CROSS yöntem le elde edlmes. ➄ =0.1 E=sabt 3 m = N/m 3 m =0.1 = m Çözüm: Bu sstemn çözümü düğüm notaları sabt sstemde dış yülern olması durumu, brnc at çn δ 1 =1 ve nc at çn δ =1 olma üzere 3 aşamada yapılır. Düğüm notaları sabt sstemn dış yüler altında çözümü d Σ N/m ( )/3=.187 0x3/-(( )/3)=6.8 H 0=.187 H 10=8.669 δ 1 =1 çn çözüm [ 1 ] d ( )/3=9.733 ( )/3= ( )/3=8.8 H 1=9.733 H 11=

38 Cross Yöntem Bölüm Σ δ =1 çn çözüm [ ] d Σ /=3x0.667/3= /=3x0.667/3=0.667 ( )/3= ( )/3= ( )/3=9.7-3/=3x0.667/3= /=3x0.667/3=0.667 H = H 1=.893 Yuarıda 3 çözümden bulunan değerler ullanılara, H 10 + H 11 δ 1 + H 1 δ = δ δ = 0 H 0 + H 1 δ 1 + H δ = δ δ = 0 denlem elde edlr. Bu denlemn çözümünden δ 1 =1.19 ve δ =0.683 olara bulunur. Bu değerler ullanılara çubu uç momentler aşağıda hesaplanara dyagramı çzlmştr. = + δ + δ j o 1 1 = = 70.55N 1 = = 19. 5N 1 = = 13.51N = = 5.9N N 1.93 N = = 5.9N 3 Sonuç alanı = = 5.9N N 60 N 3 m 3 m ÖRNEK: Şelde verlen sstemn moment alanının CROSS yöntem le elde edlmes.(konsollar 1. m, Tel yüler sol tarafa 6.9 N H N/m 1.13 N/m.613 N/m 7.63 N 1.55 N/m =8 =8 =0.0 =0.0 =0.5 =0.5 H m A 7 m 3

39 Bölüm Cross Yöntem Çözüm: Sstem düğüm notaları hareetl olduğu çn önce düğüm notası sabt hala getrlere çubu uç momentler [ 0 ] bulunur. Kolon uç momentlernden olonların arşıladığı esme uvvet ve yatay denge yazılara at yatay uvvetler [H 10, H 0 ] belrlenr. Konsol 1 Konsol 3 -A - - A B B d Σ Düğüm notaları sabt sstemde dış yülerden dolayı oluşan yatay uvvetler [H 10, H 0 ] aşağıda şelde hesaplanır H =[ ]/ H 0 = H = H 10 = δ 1 =1 çn çözüm Konsol 1 Konsol 3 -A - - A B B d Σ

40 Cross Yöntem Bölüm 5 δ 1 =1 çn çözüm sonucu bulunan momentlerden yatay uvvetler [H 11, H 1 ] hesaplanır H =[ ]/ H 1 = H = H 11 =6.093 δ 1 =1 çn çözüm δ =1 çn çözüm Konsol 1 Konsol 3 -A - - A B B d Σ δ =1 çn çözümünde bulunan momentlerden yatay uvvetler [H 1, H ] hesaplanır H H = H = H 1 = δ =1 çn çözüm H 10 + H 11 δ 1 + H 1 δ + H 13 δ 3 + H 1n δ n = 0 H 0 + H 1 δ 1 + H δ + H 3 δ 3 + H n δ n = 0 :: :: :: :: :: :: H n0 + H n1 δ 1 + H n δ + H n3 δ 3 + H nn δ n = 0 Denlem yazılara δ lar aşağıda tabloda bulunur. ΣX 1 = H 10 H 11δ 1 H 1δ = δ δ = 0 δ 1 = ΣX = H 0 H 1δ 1 H δ = δ δ = 0 δ =

41 Bölüm Cross Yöntem Bulunan bu δ değerler aşağıda moment denlemnde yerne yazılara stenlen çubularda uç momentler hesaplanır. j = δ 1 +. δ + 3. δ 3... n. δ n ΣX 1 = H 10 H 11δ 1 H 1δ = δ δ = 0 δ 1 = ΣX = H 0 H 1δ 1 H δ = δ δ = 0 δ = δ 1 ve δ n gerçe değerler 10 na bölünere bulunur. Şelde at yüseller değş sstemde yatay deplasmanlar aşağıda şelde yapılır. δ 3=1 δ =1 δ 3=1 δ 1=1 δ =1 δ 1=1 δ 1=1 δ =1 δ 3=1 δ 3=1 δ 3=1 δ 1=1 δ =1 δ =1 δ =1 δ 1=1 δ 1=1 Şelde yüleme durumu verlen smetr sstemn Cross yöntem le çözümü, a. Sstem antmetr yülü, b. Düğüm notaları sabt hale getrlr. c. Sstem bu halyle yarım sstem olara çözülür. 6

42 Cross Yöntem Bölüm 5 Not: Yarım sstem düğüm notaları sabt olduğu çn dış yülerden oluşan yatay tepler [H 10 ve H 0 ] yatay dengeden hemen bulunur. P P 1.5 H 0=P 1.5 H H P P 1.5 H 10=P 1.5 H H 1 Smetr sstem Antmetr yüleme δ 1=1 δ =1 ÖRNEK 5.0: Şelde verlen sstemn moment alanın Cross yöntem le çzm. A N/m 1.5 N/m N ➄.67 B m 1.5 m 1.5 m A N/m 1.5 N/m H 30 N ➄.67 B H 10 H 0 6 m m m Dış yüler çn çözüm Düğüm Uç -A ➄ ➄- ➄-B d Σ H 10 =6.09/1.5+0./7=.09 H 0 =[[ ]- [ ]]/+0./7=0.13 N/m N A B N/m A H 30 =.6 x6/-[ ]/6=1.78 B 7

43 Bölüm Cross Yöntem δ 1 =1 çn çözüm Düğüm Uç -A ➄ ➄- ➄-B d Σ H 11 =6.1/ /7=.35 H 1= =[ ]/ A B 0.67 H 13=0.11 δ =1 çn çözüm Düğüm Uç -A ➄ ➄- ➄-B d Σ H 1 =0.8 H = =[ ]/ A B 0.5 H 3 =0.30 8

44 Cross Yöntem Bölüm 5 δ 3 =1 durumu çn orta olonun deplasmanı durumu date alındığında saat dönüş yönü artı ters se es olara abul edlmş ve anastrel momentler buna göre bulunmuştur. δ 3 =1 çn çözüm Düğüm Uç -A ➄ ➄- ➄-B d Σ δ/ 3δ/ 3δ/ δ 3=-1 δ 3=1 3δ/ H 31 =0.1 H 3 = =[ ]/ 3δ/ 3δ/ δ 3= A 0.0 B H 33 =.8 ΣX 1 = H 10 H 11δ 1 H 1δ H 13δ 3 = δ 1-0.8δ 0.1δ 3 = 0 δ 1 = 0.15 ΣX = H 0 H 1δ 1 H δ H 3δ 3 = δ 1.1δ -0.31δ 3 = 0 δ = 9.1 ΣX = H 30 H 31δ 1 H 3δ H 33δ 3 = δ δ -.8δ 3 = 0 δ 3 = Örne olara bazı uç momentlernn hesabı aşağıda tabloda verlmştr. Uç o δ 1 δ δ 3 1 = x3.11 (-.1)x x1.00 = = x x x(-1.5) = A = x(-6.1) 1.07x x0.5 = Σ=0 9

45 Bölüm Cross Yöntem ÖRNEK 5.1: Şelde verlen çerçevenn moment alanının Cross yöntem le hesabı N/m N N/m N 6 N 1.5 ➄ 6 N 1.5 ➄ H 0 N/m N m N/m N N 1.5 ➅.5 m N 1.5 H 30 ➅ H 10 A B A B 8 m 3 m 3 m