Örneğin, doğrusal zamanla değişmeyen bir sistemin durum uzayı modeli aşağıdaki gibidir.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Örneğin, doğrusal zamanla değişmeyen bir sistemin durum uzayı modeli aşağıdaki gibidir."

Transkript

1 DOĞRUSAL KONTROL SİSTEMLERİNİN KARARLILIĞI: Geelde doğrul kotrol temler trımı temde ögörüle belrl koşullr yere gelecek şeklde tem trfer fokyoud kutup ve ıfırlrı yerleştrme lmı d gelr. Trımd kullıl pek çok dvrış krter rıd e öeml koşul tem krlı olmıdır. Doğrul doğrul olmy zml değşmeye ve zml değşe tüm temler göz öüe lıdığıd krrlılık tımı çok frklı şekllerde verleblr. Alz ve trım mcıyl krrlılık kvrmı mutlk krrlılık ve görel krrlılık olrk ııfldırılır. Mutlk krlılıkt tem krrlı vey krrız olm oruu br evet y d hyır le cevpldırılblr. Br kez tem krlı bulumuş e tem e kdr krrlı olduğu d blmek ter görel krlılık bu krrlılık derece ölçüüdür. Krrlılığı tımıı vereblmek ç doğrul zml değşmeye temlerle lşkl şğıdk k frklı cevp şekl tımlmk gerekr. Sıfır grş cevbı: Sıfır grş cevbı dece bşlgıç koşullrı le lgldr tüm grşler ıfırdır. Sıfır durum cevbı: Sıfır durum cevbı dece grşle lgldr tem tüm bşlgıç koşullrı ıfırdır. Öreğ doğrul zml değşmeye br tem durum uzyı model şğıdk gbdr. ( A( Bu( y( C( Du( Durum deklem çözümü ve çıkış deklem çözümü e şğıdk gbdr. ( t At A( t ) e () e Bu( ) d Doğl çözüm t At A( t ) y( Ce () Ce Bu( ) d Du( Doğl çözüm Zorlmış çözüm Zorlmış çözüm t t Bu deklemlerde doğl çözüm tem ıfır grş cevbı dek düşmekte zorlmış çözüm e ıfır durum cevbı dek düşmektedr. Br tem grş ve bşlgıç koşullrı etkdek cevbı üperpozyo prebde Toplm cevp = ıfır grş cevbı + ıfır durum cevbı şeklde yzılblr. Bu tım ürekl ve yrık verl temler ç de geçerldr.. Sıırlı Grş Sıırlı Çıkış (SGSÇ) Krrlılığı (Sürekl Stemler): Doğrul zml değşmeye br tem grş u ( çıkışıı y ( ve drbe cevbıı g ( le fde edl. Sıfır bşlgıç koşullrıd br teme ıırlı br u ( grş uyguldığıd y ( çıkışı ıırlı e tem ıırlı grş-ıırlı çıkış (SGSÇ) krrlı y d btçe krrlıdır. u ( y ( ve g ( y brbre bğly kovolüyo tegrl u y ( ( t ) g( ) d () şekldedr. Deklem her k trfıı mutlk değer lıır u y ( ( t ) g( ) d ()

2 yd yzılblr. Eğer u ( y ( u( t ) g( ) d () M olu poztf br yı olmk üzere u( M () şeklde ıırlı e () eştzlğ y ( M g( ) d () şeklde yzılblr. Bezer şeklde y( de N olu poztf br yı olmk üzere y ( N () şeklde ıırlı e şğıdk koşulu gerçekleşme gerekr: y d herhg br olu poztf Q ç M g( ) d N (7) g( ) d Q (8) ğlmı gerekr. (8) koşulu g ( ) eğr ltıdk y göre lı olu olduğu lmı gelr.. Krktertk Deklem Kökler le Krrlılık Arıdk İlşk: Krktertk deklem kökler le (8) koşulu rıdk lşky götereblmek ç G () trfer fokyouu Lplce döüşümüü yzlım: t ( )] g( e (9) G( ) L[ g dt her k trfı mutlk değer lıır gerçek kımı olmk üzere e t t e edeyle t t G( ) g( e dt g( e dt () yzılblr. G () kutbu ol değer ç G () olduğud () deklem t g( e dt () şeklde yzılblr. Ayrıc krktertk deklem kökler ğ yrı -düzlemde y d j eke üzerde ol tem kutuplrı ç olduğud e t M () geçerldr ve () eştzlğ M g( dt g( dt () de görüldüğü gb SGSÇ krrlılık koşuluu ğlmz. Bu göre SGSÇ krrlılığı ç krktertk deklem kökler y d G () kutuplrı ğ yrı -düzlemde y d j eke üzerde bulummlıdır dğer br deyşle kutuplrı tümü ol yrı -düzlemde bulumlıdır. Eğer br tem j eke üzerde kutbu vr öreğ j ve j d ve tem grşe u( t üodl şret uygulır tem çıkışı y( t t bçmde olur ve bu ıırız br şrete krşı düştüğüde tem krrızdır.. Sürekl Stemler Sıfır Grş Krrlılığı (Amptotk Krrlılığı): Sıfır grş krrlılığı grşler ıfır olmı koşuluu ögörür ve tem dece bşlgıç değerler etkdek dvrışıı orgulr. Sıfır grş krrlılığıı d krktertk deklem kökleryle lşkl olduğu görülecektr. c mertebede br tem grş ıfır olduğuu ve bşlgıç koşullrıd kykl çıkışı y ( le fde edldğ vrylım. Bu durumd y (

3 şeklde fde edlr burd olup g k ( le y k ( t ) ( k ) y ( gk ( y ( t ) () k y ( k ) k d y( ( t ) () k dt tt ı ede olduğu ıfır grş drbe cevbı lşılır. Sıfır grş krrlılığı şöyle tımlır: eğer ıırlı y k ( t ) bşlgıç koşullrı etkdek br tem ıfır grş yıtı y ( t zmı ouz doğru gderke ıfır yklşıyor e tem ıfır grş krrlı y d krrlı; k hlde krrızdır. Mtemtkel olr fde edlre; doğrul zml değşmeye br tem ıfır grş krrlılığı herhg br ıırlı y k ( t ) dz ç şğıdk özellkler ğly y k ( t ) ye bğlı poztf br M yııı vrlığı le lşkldr:. t t ç y( M (). lm y( t İkc koşuld y ( gelğ zm ouz gderke ıfır yklştığıd ıfır grş krrlılığı mptotk krrlılık olrk d blr. Eğer () deklem her k trfıı mutlk değer lıır ( k k k k (7) ( k ) ( k ) y g ( y ( t ) g ( y ( t ) (8) elde edlr. Bşlgıç koşullrıı tümü olu kbul edldğde () koşulu şğıdk koşulu doğruluğuu gerekl kılr. k g k ( t Krktertk deklem kökü olmk üzere j olrk verlmş olu. Eğer kökü m det ktız ve ger kllrı ktlı mertebede e y ( cevbı K ve L bt ktyılr olmk üzere m m ç (9) t t y ( K e L t e () ütte t e ütel termler y ( yıtıı t ç belrledğde () ve (7) koşullrıı ğlmı ç ler gerçek kıımlrı egtf olmlıdır. Dğer br değşle krktertk deklem tüm kökler ol yrı -düzlemde yer lmlıdır. Bury kdr ltıllr ışığıd doğrul zml değşmeye temlerde ıırlı grşıırlı çıkış (SGSÇ) ıfır grş ve mptotk krrlılık ç gerekl ö koşul tüm krktertk deklem kökler ol yrı -düzlemde yer lmıdır. Bu göre br tem SGSÇ krrlı e bu yı d ıfır grş y d mptotk krrlı olduğu lmı d gelr. Geellkle krktertk deklem j eke üzerde ktız kökler bulumı ve ğ yrı -düzlemde hçbr kökü yer lmmı hl krrlılık ıırı y d krrızlık ıırı olrk dldırılır. Kurl dışı olrk tem br tegrtör olrk trlmı y d kotrol br hız kotrol tem olmı hlde tem d kökü y d kökler buluur ve krrlı ııfı dhl edlr.

4 Durum deklemler A mtr özdeğerler krktertk deklem köklere eşdeğer olduğud krrlılık koşullrı özdeğerlere eşdeğer ıırldırmlr getrr. Doğrul ürekl zml değşmeye tek grş- tek çıkışlı br tem krktertk deklem kökler y d A tem mtr özdeğerler ç j olrk verlmş olu. Eğer köklerde herhg br komplek e bu kökü komplek eşleğ de mevcuttur y kökler komplek eşlek çftler şekldedr. Krktertk deklem kökleryle lşkl tem krrlılık koşullrı şğıd Tblo- de özetlemştr. Tblo-: Doğrul Sürekl Zml Değşmeye Tek Grş Tek Çıkışlı (TGTÇ) Stemlere At Krrlılık Koşullrı. Krrlılık Koşulu: Kök Değerler: Amptotk krrlı olmk üzere tüm ler ç y d dece krrlı (kökler tümü ol yrı -düzlemdedr) Krrlılık ıırıd ç ktız herhg br kök ç y d krrızlık ıırıd olmı ve ol hçbr kökü bulummı ( j ekede e z br ktız kök bulumı ck ktlı kökler bulummı ve ğ yrı -düzlemde hçbr kökü bulummı) Not: bu kurlı dışıdk özel durumlr hrçtr. Krrız ç herhg br kök ç y d ktlı kök ç (ğ yrı -düzlemde e z br ktız kök y d j eke üzerde e z br ktlı kökü yer lmı). Aşğıdk örekte krktertk deklem köklere (trfer fokyou kutuplrı) bğlı olrk değşk krrlılık koşullrı t örekler verlmştr. Örek : Aşğıd krktertk deklem köklere eşdeğer tem trfer fokyou kutuplrı bğlı krrlılık koşullrı t örekler verlmştr. M ( ) ( )( )( ) SGSÇ vey mptotk krrlı y d dece krrlı. ( ( ) M ) ( )( ) SGSÇ vey mptotk krrlı y d dece krrlı. ( ( ) M ) ( )( ) dek kutup edeyle krrız. ( ( ) M ) ( )( ) j edeyle krrlılık y d krrızlık ıırıd. M ( ) ( ) ( ) j dek ktlı kutuplr edeyle krrız. M ( ) kutbu kıtlı yerleştrlmş e krrlı. M 7( ) SGSÇ vey mptotk krrlı y d dece krrlı. Aşğıdk şeklde Örek- de verle trfer fokyolrıı brm bmk cevplrı krşılştırmlı olrk görülmektedr.

5 Değşk Stemler Bmk Cevplrı 8 M M M 7 M Gelk M M - - M - Zm (ecod) Şekl. Örek- de verle trfer fokyolrıı brm bmk cevplrı.. Krrlılığı Belrleme Yötemler: Doğrul zml değşmeye tek grş tek çıkışlı br tem krrlılığı krktertk deklem kökler yer celeerek belrleeblr. Krrlılığı belrlemek ç tem yıtıı tümüü heplmk gerekmez. Şekl de -düzlemdek krrlı ve krrız bölgeler göterlmştr. Stem prmetreler tümü bldğde krktertk deklem kökler pek çok kök bulm progrmıd yrrlılrk bulublr. Krrlı Bölge Krrlı Bölge j -düzlem Krrız Bölge Krrız Bölge Şekl. -düzlemde krrlı ve krrız bölgeler. Krktertk deklemde trımd gerekl blmeye değşke prmetreler yer lblr ve bu edele kök bulm progrmlrı bulr uygulmz. Kökler çözmede doğrul ürekl temler krrlılığıı belrlemeye yry yötemler şöyle ırlblr:. Routh-Hurwtz Krter: Doğrul zml değşmeye bt ktyılı krktertk deklemler mutlk krrlılığı hkkıd blg ğly cebrel br yötemdr. Krter krktertk deklem köklerde herhg br ğ yrı -düzlemde yer lıp lmdığıı belrler. Ayrıc j -eke üzerdek ve ğ yrı -düzlemde bulu kökler yııı d verr.. Nyqut Krter: Açık çevrml tem Nyqut yer eğr dvrışı bkrk kplı çevrml tem ğ yrı -düzlem kutup ve ıfırlrı rıdk frk kouud blg ğly yrı grfkel br yötemdr.

6 . Bode Dygrmı: Çevrm trfer fokyou G ( j) H( j) gelğ debel cde ve G ( j) H( j) fzıı derece cde frekı bğlı olrk çzmdr. Bu çzmler dvrışı bkrk kplı çevrml tem krrlılığı belrleeblr.. Routh-Hurwtz Krter: Sbt ktyılı polom ıfırlrıı ğ ve ol yrı -düzleme göre deklem çözmede belrleye br yötemdr. Polomlrı ıfırlrı e koly kök bul blgyr progrmlrıyl belrledğde Routh-Hurwtz krter e z br blmeye prmetre le ıırldırılmış deklemler ç geçerldr. Doğrul zml değşmeye tek grş tek çıkışlı br tem krktertk deklem tüm ktyılr gerçek olmk üzere verlmş olu: F( )... () () deklem poztf gerçek kıımlı kökler bulummı ç şğıdk gerek ve yeter koşullrı ğlmı gerekr: ) Deklem ktyılrıı tümü yı şretl olmlıdır. ) Ktyılrd hçbr ıfır olmmlıdır. Bu koşullr () deklem ktyılrı cde şöyle fde edlr. tüm kökler () kökler kşer çrpım kombyou () kökler üçer çrpım kombyou ()... ( ) tüm kökler çrpımı () Bu göre kökler poztf gerçek kıımlrı olmdığı ürece bu orlrı tümü ıfırd frklı ve poztf olmlıdır. () deklem ğ yrı -düzlemde kökü bulummı gerek koşulu yeterl değldr çükü bt ktyılı br deklemde ktyılrı tümü ıfırd frklı ve yı şretl olblr ck bu rğme kökler tümü ol yrı -düzlemde bulumyblr... Hurwtz Krter: () deklemde tüm kökler ol yrı -düzlemde yer lmı ç gerek ve yeter koşul k ç dekleme t tüm Hurwtz determtlrıı poztf olmıdır. () dekleme t Hurwtz determtlrı de dh yükek mertebede ve egtf dl ktyılr ıfır lımk üzere şu şeklde türetlr.

7 7 D D D D () burdk determtlrı heplmıı zorluğu uygulmz görütüü vere ble Routh Hurwtz determtlrı yere br lteleme yötem gelştrerek şlem btleştrmştr... Routh Tblou: Routh ve Hurwtz krterler brleştrlmedek brc dım ktyılrı k tırd düzelemedr. İlk tır brc üçücü beşc... kc tır e kc dördücü ltıcı... termler ktyılrıd oluşur. (7) Üttek ltıcı mertebede br deklem ç belrtle şlemlerde türetle yı dz: A B C A B A D A A A A E C AD BC C A C C A C F E C ED F E F Değerledrme: Eğer Routh tbloud brc ütuudk elemlrı tmmı yı şretl e deklem kökler tümü ol yrı -düzlemdedr. Eğer brc ütudk elemlrı şret değşyor şret değşm kdr ğ yrı -düzlemde kök vrdır. Eğer tüm tır ıfır e l ekede kökler vr demektr. Hurwtz determtlrı le Routh ltelemedek brc ütu elemlrı rıdk lşk:

8 D D A D D C D D E D D F D D D Örek : Sdece br egtf ktyıı bulu ( ) ( )( )( ) (8) deklem göz öüe llım. Ktyılrı şret değştrmeme gerek koşulud Routh tet uygulmd tüm kökler ol yrı -düzlemde olmdığı görülür. Gerçekte deklem çrplrı yrılmış şeklde k kökü ve ğ yrı -düzlemde buluduğu görülür. Routh tblou şöyledr: İşret değşm İşret değşm - ( )() ()(). (.)() ( )(). Lte brc ütuud k şret değşm görüldüğüde deklem ğ yrı -düzlemde k kökü buluur k bu d doğru ouçtur. Örek : ( ) (9) deklem göz öüe llım. Deklemde ekk term bulumdığı ve ktyılrı hep yı şret tşıdığı göre ğ yrı -düzlemde ve j -eke üzerde br kökü bulummı gerek koşulu ğlmktdır. Ack yeterllk koşuluu d Routh tblou le deeme gerekr. Tblou lk ütuud k şret değşklğ görüldüğüde deklem ğ yrı -düzlemde k kutbu buluur. (9) deklem dört kökü çözülüre. j. 9 ve.7 j. elde edlr. So k kök ğ yrı -düzlemde olduğud tem krrızdır. ()() ()() 7 ( 7)() ()(). 7 8

9 .. Routh Lteleme So Ulşmd Kelmee At Özel Durumlr: Özel durumlr:. Routh ltelemedek br tırd lk elem ıfır ck dğerler ıfırd frklıdır.. Routh ltelemedek br tırdk tüm elemlr ıfırdır. İlk durumd eğer br tırı lk elemı ıfır e br ork tırdk elemlrı tümü ouz olur ve Routh lteleme kelr. Bu durumu şmk ç brc ütudk ıfır elemı yere herhg küçük br poztf yı kour ve Routh ltelemee devm edlr. Örek : Krktertk deklem ( ) () tırıı lk elemı ıfır olduğud tırıdk tüm elemlr ouz olcktır. Buu ç tırıdk lk elemı poztf br yıı le değştrp ltelemeye devm edelm. İşret değşm İşret değşm Lteleme lk ütuud k şret değşklğ görüldüğüde deklem ğ yrı -düzlemde k kutbu buluur. () deklem kökler çözülüre.97 j. 9 ve.7 j.98 elde edlr. So k kök ğ yrı -düzlemde olduğud tem krrızdır. Bu yötem deklem kökler f krmşık e doğru ouç vermedğ belrtlmeldr. İkc özel durumd Routh ltelemede lteleme o ermede br tırı tüm elemlrı ıfır olur şğıdk durumlrd br vey brkçı le krşı krşıy geldğ lşılır:. Deklemde gelğ eşt ck şret ter e z br çft gerçek kök vrdır.. Deklemde br y d dh fzl l kök çft vrdır.. Deklemde -düzlem merkeze göre metrk krmşık eşlek br çft kök vrdır (öreğ j j ). Bu durumd Routh ltelemede ıfır ol tırı br ütüdek tırdk A ( ) yrdımcı deklemde yrrlılır. Yrdımcı deklem hep çft br polomdur; bu dece çft ülerde oluştuğu lmı gelr. Yrdımcı deklem kökler özgü deklem de ğlr. Bu göre yrdımcı deklem çözülüre özgü deklem kökler de elde edlmş olur. Routh ltelemede tüm elemlrı ıfır ol br tırl krşılşılır şu dımlr uygulır:. Tüm elemlrı ıfır ol tırı br ütüdek tırd A ( ) yrdımcı deklem ktyılrı elde edlr.. Yrdımcı deklem ye göre türev lıır; da ( ) d elde edlr.. Sıfır elemlı tır yere da ( ) d ktyılrı yerleştrlr.. Sıfırlrı ye ktyılr le değştrldğ tırd Routh ltelemee orml şeklde devm. Routh ltelemedek brc ütudk şret değşmeler ormlde ypıldığı gb yorumlır. 9

10 Örek : ( ) () Sıfır tırı od öce gerçekleştğe göre tırı t yrdımcı deklem oluşturulur. A ( ) () A () ye göre türev lıır da( ) 8 d () bu göre tırıdk ıfırlr yere 8 ve ktyılrı yerleştrlr ve ltelemeye devm edlr 8 da ( ) d ktyılrı Tüm lte brc ütuud şret değşm olmdığıd deklem ğ yrı -düzlemde kökü yoktur. Yrdımcı deklem çözümüde özgü deklemde kökler ol j ve j kök çft buluur. Bu göre deklem j -eke üzerde k kökü vrdır ve tem krrlılık ıırıddır. Br tırd tüm elemlrı ıfır olduğu durumd yrdımcı deklem kökler tümü j -eke üzerde yer lır. Örek : Üçücü mertebede br kotrol tem krktertk deklem 7 ( ) 8.. K () olu. Routh-Hurwtz krter le e z br kökü j -eke üzerde yer lmı ve bşk hçbr kökü ğ yrı -düzlemde bulummı ç krrlılık ıırı t krtk K değer kolylıkl belrleeblr K K K Stem krlı olmı ç () deklem kökler ol yrı -düzlemde ve bu göre Routh lteleme brc ütu elemlrıı tümü yı şretl olmlıdır. Bu göre K 8. () ve 7. K () () de K 7. 7 ve () d K olmı gerektğ çıkr. Bu göre tem K y göre krrlılığı K 7.7 (7) eğer K 7. 7 lıır () krktertk deklem j -eke üzerde k kökü oluşur. Bu kökler bulmk ç K 7. 7 lıır yrdımcı deklem Routh ltelemede tırıdk ktyılr krşı düşer. Bu göre 9 A ( ) 8.. (-8)

11 kökler j97. 7 ve j97. 7 olrk elde edlr ve bu köklere krşı düşe K değer 7.7 dr. Ayrıc eğer tem K 7.7 değer le çlıştırılır tem ıfır grş cevbı 97.7 [rd/] çıl freklı öümüz br üodl şrete krşı düşer. Örek 7: Bt br trım problemde Routh-Hurwtz krter ıl uygulcğıı görmek ç kplı çevrml teme t krktertk deklem ( ) K ( K ) (9) şeklde verl. Amç tem krrlı yp K rlığıı belrlemektr. K+ K K( K ) K tırıd krrlılık koşulu K tırıd e K K () y d K. 8 vey K. 8 olrk elde edlr. K ve K. 8 koşullrı krşılştırılır kc koşulu dh bkı olduğu görülür. Bu göre tem krrlı olblme ç K ktyıı K. 8 koşuluu ğlmlıdır. K. 8 koşulu K egtf değer lmycğıd göz öüde buludurulmz.. Routh-Hurwtz Krter le Bğıl Krrlılık Alz: Routh-Hurwtz krrlılık krter tem mutlk krrlılığı hkkıd blg verr y krrlı olup olmdığı hkkıd blg verr. Stem trımı çııd bkıldığıd krrlı olrk trl br tem krrızlık ıırı e ord ykı olduğuu y bğıl krrlılığıı d blme gerekr. Sol yrı -düzlemde yı düşey eke üzerdek krktertk deklem kökler yı zm bte hptr. Zm bt e kökü buluduğu düşey eke le l eke rıdk mefe tere eşttr. Bu göre ol yrı -düzlemdek br düşey eke ğıdk br kökü zm bt düşey eke üzerdekde dh büyük y dh bkı olcktır. Bu durumd l ekee dh ykı ol bkı kökler krrızlık ıırı dh ykı olcktır. Bu göre bğıl krrlılığı ölçüü bkı kökü dğerlere göre dh büyük ol zm btdr. Routh-Hurwtz krrlılık krter bğıl krrlılığı heplmıd y bkı kökü yer heplmıd kullılblr. Krrızlık ıırı ol l eke ol kydırılmıyl ye br l eke ve ye br krktertk polom oluşturulur. Sor bu ye l eke ğıd kç te kök buluduğuu heplmk ç de Routh-Hurwtz krrlılık krter kullılblr. Buu uygulmk ç tem krktertk deklemde yere p koyrk elde edle ve p polomu ol ye krktertk dekleme Routh-Hurwtz krrlılık krter uygulblr. Böylece l eke ol kydırılmıyl elde edle ye düşey eke ğıdk kök yıı belrlemş olur. Örek 8: Üçücü derecede br tem krktertk deklem ( ) 8 9 olrk verlmektedr. Stem eke ğıd kutbu olup olmdığıı belrleyz. Çözüm: Bu durumd olck ve krktertk deklemde yere p yzdığımızd ye krktertk deklem p ye bğlı olrk şğıdk gb elde edlr. ( p ) p p p

12 Elde edle ye krktertk deklem gerek şrtı ğlmmktdır. Gerek şrt ğlmdığı ç () krktertk deklem eke ğıd kökü olduğu öyleeblr. () kç te köküü düşey eke ğıd olduğuu lmk ç Routh tblou oluşturulrk yeter şrt bkılmlıdır. Ye krktertk dekleme göre Routh tblou şğıdk gb olur. İşret değşm p - p - p p - Yeter şrt göre Routh tblouu brc ütuu bkıldığıd br det şret değşm olduğu görülür. Bu durumd ( p) kydırılmış ye l eke ol ğıd br te kökü vrdır. Bu ouç () eke ğıd br kökü olduğu lmı gelr. Zte ( ) ( )( )( ) şeklde olup eke ğıd de br det kökü vrdır. Örek 9: Üçücü derecede br tem krktertk deklem ( ) 9 K olrk verlmektedr. Bkı ol kökü zm bt. te küçük olmı ç K hg değerler lblr? Çözüm: Bkı zm bt. te küçük olmı ç bkı kökü buu ter değerde ol de old olmı gerekr. Bu durumd olck ve krktertk deklemde yere p yzdığımızd ye krktertk deklem p ye bğlı olrk şğıdk gb düzeler. ( p) ( p ) p p ( p ) ( p ) K p K Elde edle ye krktertk deklem gerek şrtı ğlyblme ç K K olmlıdır. Routh tblou şğıdk gb oluşturulur. p p K p K p K Yeter şrtı ğlmı ç y Routh tbloudk brc ütuu bütü elemlrıı yı şretl olmı ç şğıdk şrtlr ğlmlıdır. K K K K K K şrtı bkı kökü zm bt. te küçük olmıı y e ğdk krktertk deklem köküü eke olud olmıı grtler. Eğer K olur

13 kydırılmış eke tkımıı orjde y de br kök olur. Eğer K olur kydırılmış eke tkımıd düşey eke üzerde br komplek eşlek kök çft olur. 7. Durum Uzyı Modeller Krrlılığı: Doğrul zml değşmeye br tem durum uzyı model şğıdk gbdr. ( A( Bu( y( C( Du( Bu şeklde verle br tem krrlılığıı celemek ç A mtr özdeğerlere bkmk yeterldr. Eğer tem derece e boyutlu ol A mtr te özdeğer vrdır ve bu özdeğerler tem krktertk deklem y I A deklem kökler bulumıyl elde edlecektr. Bu özdeğerler olrk tımldığımızd bu özdeğerler tümüü gerçel kıımlrıı egtf olmı durumud durum uzyı model le verle tem krrlıdır der. A mtr özdeğerlerde br ble gerçel kımı poztf e durum uzyı model le verle tem krrızdır. Özdeğerlerde br çft l eke üzerde e tem krrızlık ıırıd çlışır ve brm bmk grş uyguldığıd çıkışıd bt gelkl lıım üretr. Bu lıımı frekı kökler l kımı eşttr. Eğer l eke üzerde brde fzl komplek eşlek kök çft vr e tem çıkış şret gelğ büyüyerek rt br üodl şret olur y tem krrız olur. A mtr özdeğerler tümüü gerçel kıımlrı egtf olmı durumud e tem grşe ıırlı br grş şret uyguldığıd tem ıırlı br çıkış şret üretecektr. Krrlılık vey krrızlık teme özgü br telktr ve durum uzyı model le verle temler krrlılığıı celeme ç A mtr blme yeterl olcktır. Krrlılık özellğ u ( grş şrete ve B mtre bğlı olmdığı yrıc bşlgıç koşullrıı krrlılık üzerde etk olmdığı uutulmmlıdır. Örek : Aşğıdk durum uzyı model verle tem krrlılığıı celeyz. y u Çözüm: Verle tem krktertk deklem şğıdk gb elde edlr. ( ) I A ( ) Gerek şrt göre bütü ktyılr yı şretldr. Routh tblou şğıdk gbdr.

14 9 Yeter şrt göre Routh tblouu brc ütuu bkıldığıd şret değşm olmdığı görülür. Bu ouc göre tem krrlıdır. Örek : Aşğıdk durum uzyı model verle tem krrlılığıı celeyz. u d c c c y u b b b Çözüm: Verle tem krktertk deklem şğıdk gb elde edlr. ) ( ) ( A I Krktertk dekleme bkıldığıd gerek şrt göre bu deklemde l term ktyıı d bğımız olrk her zm egtftr ve bt ktyılı term bulummktdır. Bu ebeple bu tem bütü değerler ç krrızdır. Bu yüzde Routh tblou kullılrk yeter şrt bkmy gerek yoktur. Krktertk deklem kökler y A mtr özdeğerler şğıdk gb heplır. A I )] ( [ ) ( ) ( Stem krrlı olblme ç bütü özdeğerler egtf şretl olmı gerekr. Oy herhg br değer ç özdeğerlerde hep egtf olmı mümkü değldr. Bu yüzde tem krrızdır.

Bu denklem, kapalı-döngü kutbunun var olma koşulunu, açı koşulu ve modül koşulu olmak üzere iki koşulu belirler. Burada G ( s)

Bu denklem, kapalı-döngü kutbunun var olma koşulunu, açı koşulu ve modül koşulu olmak üzere iki koşulu belirler. Burada G ( s) Kök-Yer Eğrileri: Kplı-dögü deeti iteii geçici-duru dvrışıı teel özellikleri kplı-dögü kutuplrıd belirleir. Dolyııyl probleleri çözüleeide kplı-dögü kutuplrıı - krşık yı düzleideki dğılıı rştırılı gerekir.

Detaylı

SİSTEM DİNAMİĞİ VE KONTROL

SİSTEM DİNAMİĞİ VE KONTROL SİSTEM DİNAMİĞİ VE KONTROL ) KONTROL SİSTEMLERİNE GİRİŞ: Kotrol: Br sste çıkışlrıı stee değerlere yöeltek y d öcede belrleş br dvrışı zleeler sğlk ç sste grşler üzerde ypıl şlelere kotrol der. Ototk Kotrol:

Detaylı

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ Geel olrk 4 tp yötem kullılır.. Düz çzg yötem: Mlı değer zml doğrusl olrk zldığı vrsyılır. Mlı hzmet ömrü boyuc her yıl ç yı mktr mortsm olrk yrılır. V V d = S d:

Detaylı

ÇSD SİSTEMLERİN ZORLANMIŞ TİTREŞİMİ

ÇSD SİSTEMLERİN ZORLANMIŞ TİTREŞİMİ ÇSD SİSELERİN ZORLANIŞ İREŞİİ u u u u bşlgıç koşullrı eksdek br N serbeslk derecel ssem hreke deklem mrs formd; u C u u şeklde yzılblr. Bu mrs formdk hreke deklem, u ve ürevler çere brbre bğlı N de deklem

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )

DETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( ) . BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,

Detaylı

Dış Etki Olarak Sıcaklık Değişmesi ve/veya Mesnet Çökmelerinin Göz Önüne Alınması Durumu

Dış Etki Olarak Sıcaklık Değişmesi ve/veya Mesnet Çökmelerinin Göz Önüne Alınması Durumu Dış Etk Olrk Sıcklık Değşmes ve/vey eset Çökmeler Göz Öüe Alımsı Durumu Dış etk olrk göz öüe lı sıcklık eğşm ve meset çökmeler hpersttk sstemlere şekl eğştrme le brlkte kest zoru mey getrr. Sıcklık eğşm:

Detaylı

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Sısl Alz SAYISAL ANALİZ EĞRİ UYDURMA (Curve Fttg) Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Sısl Alz İÇİNDEKİLER Eğr Udurm (Curve Fttg) E Küçük Kreler Yötem Doç.Dr.

Detaylı

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER 7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzyıı bir bşk W ektör uzyı döüştüre foksiyolr şu şekilde gösterilir: : V W Burd kullıl termioloji foksiyolrl yıdır. Öreği, V ektör uzyı foksiyouu

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedslk Mmrlık Fkültes İşt Mühedslğ Bölümü EPost: oguhmettopcu@gmlcom Web: http://mmfoguedutr/topcu Blgsyr Destekl Nümerk lz Ders otlrı hmet TOPÇU Ktsyılr mtrs Özdeğer Özvektör

Detaylı

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1

BÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1 SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie

Detaylı

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL

BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL BÖLÜM SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL. Blgsyrl türe.. Bölümüş rk tblolrıyl türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç er oktlrıd türe.. Yüksek mertebede türeler. Syısl tegrl.. Trpez krlı.. Romberg

Detaylı

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK:

= + + = ETKİNLİK: ( n ) ( ) ETKİNLİK: ERİLER Cebir kurllrı ile ck olu te yıyı toplybiliriz. Bu krşılık mtemtik de ouz yıd yıı toplmı ile de ık ık krşılşmktyız. Öreği; 3 yııı odlık çılımı; 3 3 3 = 0,333... = + + +... gibi bir ouz toplmdır.

Detaylı

UFUK ÖZERMAN- 2012-2013 Page 1

UFUK ÖZERMAN- 2012-2013 Page 1 - GÜZ P,Q,R fokiolrı poliom olmk üzr d d P Q R d d v P d d Q d P d R P p q dklmi içi P şrıı ğl = okı di ok dir, çözümlri di okıı civrıd şklid rrız. =+-+- +... = = okı; p=q/ P, q= R/ P fokiolrı okıd liik

Detaylı

BÖLÜM 2 EĞRİ UYDURMA VE İNTERPOLASYON

BÖLÜM 2 EĞRİ UYDURMA VE İNTERPOLASYON BÖÜ EĞRİ UYDURA VE İTERPOASYO - Grş İterpolo polomlrı Bölümüş rlr 4 Eşt rlılı ot dğılımlrı ç bt rlr 5 Küb ple eğrler Kım üb ple eğrler 7 Br üze üzerde terpolo 8 E-üçü reler lşımı Bölüm - Eğr udurm ve terpolo

Detaylı

basit cebirsel denkleminin geçerli olduğunu varsayalım. denklemine ait İAD. çıkış düğümüne olan ve kazancı a

basit cebirsel denkleminin geçerli olduğunu varsayalım. denklemine ait İAD. çıkış düğümüne olan ve kazancı a İşret Aış Drmlrı: İşret Aış Drmlrı (İAD), blo drmlrın bstleştrlmş hl olr örüleblr. Ft, İAD fzsel örünüş ve mtemtsel urllr bğlılı ısındn zım urllrı dh serbest oln blo drmlrındn frlıdır. Blo drmlrı, rmşı

Detaylı

Yaklaşık Temsil Polinomları

Yaklaşık Temsil Polinomları Yklşık Tesl ololrı Teke for eğrler tesl ede ofset oktlrıd htlı oktlr bulusı duruud terpolso pololrı sıırlı kullı lı bulblektedr. Arıc terpolso pololrı le verle oktlrd geçe eğrler elde edldğde teke for

Detaylı

F= 360. L sayıdaki kapitalin t ortak faiz oranı üzerinden getirecekleri faiz tutarları toplamı gerçek faiz metoduna göre: formülü ile hesaplanır.

F= 360. L sayıdaki kapitalin t ortak faiz oranı üzerinden getirecekleri faiz tutarları toplamı gerçek faiz metoduna göre: formülü ile hesaplanır. BİRDEN AZA KAPİTAE İİŞKİN AİZ İŞEMERİ: =,,,, >0 olmk üzere syıdk kpller, süreler ç fz orlrı üzerde fze verldğde oplu olrk bs fz urlrı: = formülü le hesplblr. ork fz orı olmk üzere, syıdk kpl ork fz orı

Detaylı

Önceki bölümde özetlenen Taylor metodlarında yerel kesme hata mertebesinin yüksek oluşu istenilen bir özelliktir. Diğer taraftan

Önceki bölümde özetlenen Taylor metodlarında yerel kesme hata mertebesinin yüksek oluşu istenilen bir özelliktir. Diğer taraftan III.5.RUNGE-KUTTA METODLARI Öcek bölümde özelee Talor meodlarıda erel kesme aa merebes üksek oluşu sele br özellkr. Dğer araa ürevler buluma ve esaplaması pek çok problem ç karmaşık ve zama alıcı olduğuda

Detaylı

BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ

BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ BÖLÜM. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKÖR VE MRİS CEBRİ Bölüm de, doğrusl regresyo tek değşkel bst model olrk ele lırk çıklmıştı. Bölüm de se çok değşkel (k değşkel) model ç grş ypılcktır. Çok değşkel

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known?

Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known? 1 Mrkov ve Chebychev Eşitsizlikleri Pr [ ] = 1 Pr [ < ] = 1 f ( ) dx = 1 () x dx F Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) Wht if ot kow? bilimiyor olbilir r.d. i sdece ortlmsıı ve vrysıı bildiğimizi vrsylım. Ortlm

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee

Detaylı

Polinom İnterpolasyonu

Polinom İnterpolasyonu Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır

Detaylı

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ Değşkeler Arasıdak İlşkler Regresyo ve Korelasyo Dr. Musa KILIÇ http://ks.deu.edu.tr/musa.klc 1. Grş Buda öcek bölümlerde celedğmz koular, br tek değşke ç yorumlamalar yapmaya yöelk statstk yötemler üzerde

Detaylı

0,1,..., n p polinomu bulma işlemine interpolasyon ve px ( )

0,1,..., n p polinomu bulma işlemine interpolasyon ve px ( ) Ç.Ü Fe Blmler Esttüsü Yl:29 Clt:2-1 İNTERPOLASYON VE KALAN TEORİSİ Iterpolto d Remder Theory Fge GÜLTÜRK Mtemt Ablm Dl Yusuf KARAKUŞ Mtemt Ablm Dl ÖZET Bu çlşmd İterpolsyo tmlmş, Lgrge İterpolsyo Formülü

Detaylı

BASİT RASSAL ÖRNEKLEME. Örnekleme ve Tahmin Teorisi. Örnekleme RASSAL ÖRNEKLEME

BASİT RASSAL ÖRNEKLEME. Örnekleme ve Tahmin Teorisi. Örnekleme RASSAL ÖRNEKLEME BASİT RASSAL ÖRNEKLEME Örekleme ve Thmi Teorii Solu Kitle BüyüklüğüN ol olu bir kitlede büyüklüğüde lıck bir öreği eçilme şı, büyüklüğüdeki bir bşk öreği eçilmei şı ile yı ie bu tür öreklemeye bit rtl

Detaylı

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei

Detaylı

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ

7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Syısl itegrsyo vey itegrl lm işlemi, litik olrk ir itegrli lımsıı çok zor vey olksız olduğu durumlrd vey ir işlevi değerlerii sdece

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ Mühedlk Fakülte, Make Mühedlğ Bölümü Zekerya Grg DENİZLİ, 05 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI Ööz Mühedlkte vermeye başladığım Otomatk Kotrol der daha y alaşılablme ç bu otlar hazırlamaya

Detaylı

YILLAR ÖSS-YGS ) a 0 ve b 0 olmak üzere; 8) Üslü Denklemler: a -1, a 0, a 1

YILLAR ÖSS-YGS ) a 0 ve b 0 olmak üzere; 8) Üslü Denklemler: a -1, a 0, a 1 YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS-YGS Böle: i,( 0 ÜSLÜ İFADELER R ve Z olk üzere te ı çrpıı deir. ii, (b 0 b b... te Not:.... dır. te... 0 ve... 0. 0 te 0 te ÜSLÜ ÇOKLUKLARLA İLGİLİ ÖZELLİKLER

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

THÉVENİN, NORTON, MAKSİMUM GÜÇ TEOREMİ ve DEVRE PARAMETRELERİ

THÉVENİN, NORTON, MAKSİMUM GÜÇ TEOREMİ ve DEVRE PARAMETRELERİ DENEY NO: 4 THÉENİN, NORTON, MAKSİMUM GÜÇ TEOREMİ ve DERE PARAMETRELERİ Mlzeme ve Cihz Litei:. 330 direnç det. k direnç 3 det 3.. k direnç det 4. 3.3 k direnç det 5. 5.6 k direnç det 6. 0 k direnç det

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SYISL ÇÖZÜMLEME SYISL ÇÖZÜMLEME 6. Hft LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ İÇİNDEKİLER Doğrusl Deklem Sistemlerii Çöümü Mtrisi Tersi ile Bilimeyeleri Bulm Örek uygulm MTLB t mtrisi tersii (iv komutu) lm Crmer Yötemi

Detaylı

Başlangıç değerleri. olduğundan iterasyona devam!

Başlangıç değerleri. olduğundan iterasyona devam! ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİESİ Mühedl Mmlı Fülte İşt Mühedlğ Bölümü E-Pot: ogu.hmet.topcu@gml.com Web: http://mmf.ogu.edu.t/topcu Blgy Detel Nüme Alz De otlı Ahmet OPÇU m X X X.5.5.5.5.75 -.5.5.875.75

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

MERAKLISINA MATEMATİK

MERAKLISINA MATEMATİK TRİGONOMETRİ : Siüs i b c R si si y si z İsptı : m(ëo).m(ëa) m(ëo).m(ëb) m(ëo).m(ëc) m(ëo) m(ëo) y m(ëo) z b c b c & si & si y & si y R R R R R R si si y b si z c & & & R R R & R.si & b R.siy & c R.siz

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

Temel Yapılar: Kümeler, Fonksiyonlar, Diziler ve Toplamlar

Temel Yapılar: Kümeler, Fonksiyonlar, Diziler ve Toplamlar Temel Yapılar: Kümeler, Fokyolar, Dzler ve Toplamlar CSC-9 yrık Yapılar Kotat uch - LSU Kümeler Küme, eeler düzez toparlamaıdır İglz alabedek el harler: V { a, e,, o, u} a V bv küçük pozt tek ayılar: Küme

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ

SAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüeyt BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüeyt BAYILMIŞ Syısl Alz SAYISAL ANALİZ İNTERPOLASYON Ar Değer Bulm Doç.Dr. Cüeyt BAYILMIŞ Syısl Alz İÇİNDEKİLER Ar Değer Hesbı İterpolsyo Doğrusl Ar Değer

Detaylı

2009 Soruları. c

2009 Soruları. c Hırvt ıstn Ulusl Mtemt ık Ol ımp ıytı Tkım Seçme Sınvı Geometr ı 2009 Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Hırvtistn d ypıln 2009 yılı TST yni Tkım Seçme Sınvın it geometri sorulrı

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İÇ-İÇE TASARIMLARDA DAYANIKLI ANALİZ VE UYGULAMALARI. İklim GEDİK

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İÇ-İÇE TASARIMLARDA DAYANIKLI ANALİZ VE UYGULAMALARI. İklim GEDİK NKR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSNS TEZİ İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ VE UYGULMLRI İklm GEDİK İSTTİSTİK NBİLİM DLI NKR 00 er hkkı sklıdır ÖZET Yüksek Lss Tez İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ

Detaylı

HARİTA MÜHENDİSLERİ için SAYISAL ÇÖZÜMLEME

HARİTA MÜHENDİSLERİ için SAYISAL ÇÖZÜMLEME HRİ MÜHENDİSLERİ ç SYISL ÇÖZÜMLEME Doç Dr emel BYRK GÜMÜŞHNE HRİ MÜHENDİSLERİ İÇİN SYISL ÇÖZÜMLEME Bu ktı er kkı sklıdır Yrı ılı olmksıı ktı tmmı ve erg r ölümü çr şeklde çoğltılıp ılm Yr dres: Doç Dr

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Taımlayıcı İstatstkler br değerler dzs statstksel olarak geel özellkler taımlaya ölçülerdr Taımlayıcı İstatstkler Yer Göstere Ölçüler Yaygılık Ölçüler Yer Göstere Ölçüler Br dağılımı

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın

Detaylı

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada

Detaylı

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler

Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler www.mustfygci.com.tr, 4 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Eşitsizlikler S yılr dersinin sonund bu dersin bşını görmüştük. O zmnlr dın sdece birinci dereceden denklemleri içeren mnsınd Bsit Eşitsizlikler

Detaylı

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM

ASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir

Detaylı

HAZIRLIK ZAMANLARININ ÖĞRENME ETKİLİ OLDUĞU ÇİZELGELEME PROBLEMLERİ

HAZIRLIK ZAMANLARININ ÖĞRENME ETKİLİ OLDUĞU ÇİZELGELEME PROBLEMLERİ Uludğ Üverte Mühedlk-Mmrlık Fkülte Derg, lt, Syı, 007 HAZIRLIK ZAMANLARININ ÖĞRENME ETKİLİ OLDUĞU ÇİZELGELEME PROBLEMLERİ Tmer EREN Ert GÜNER Özet: Çzelgeleme roblemler le lgl yıl çlışmlrd geellkle şler

Detaylı

4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR

4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR 4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR Tım 4.1. M, bi G gubuu bi lt kümei olu. M yi kpy, G i bütü lt guplıı keitie M i üettiği (doğuduğu) lt gup dei ve M ile göteili. M i elemlı d M gubuu üeteçlei (doğuylı) dei. Öeme

Detaylı

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere SERİLER Tım: bir reel syı dizisi olm üzere...... 3 toplmı SERİ deir. gerçel syısı serii geel terimi deir. S 3... toplmı SERİNİN N. KISMİ (PARÇA) TOPLAMI deir. S dizisie SERİNİN N. KISMİ TOPLAMLAR DİZİSİ

Detaylı

YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ

YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ YILLAR 00 003 00 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS 3 1 1 1 3 YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ YÜZDE: Bir syının yüzde sı= dır ÖRNEK(1) % i 0 oln syıyı bullım syımız olsun 1 = 0 = 0 ÖRNEK() 800 ün % ini bullım

Detaylı

ELİPSOİDAL YÜKSEKLİKLERİN ORTOMETRİK YÜKSEKLİĞE DÖNÜŞÜMÜNDE ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİNİN KULLANILABİLİRLİĞİ

ELİPSOİDAL YÜKSEKLİKLERİN ORTOMETRİK YÜKSEKLİĞE DÖNÜŞÜMÜNDE ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİNİN KULLANILABİLİRLİĞİ SÜ ü-m Fk Derg, c9, s, 4 J FcEgArc Selcuk Uv, v9,, 4 EİPSOİDA YÜSEİERİN ORTOETRİ YÜSEİĞE DÖNÜŞÜÜNDE ENTERPOASYON YÖNTEERİNİN UANIABİİRİĞİ Cevt İNA ve Ceml Özer YİĞİT SÜü-mFkültes, Jeod ve Fot ü Bölümü,

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME Syısl Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 7. Hft LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ (Devm) Syısl Çözümleme İÇİNDEKİLER Doğrusl Denklem Sstemlernn Çözümü İtertf Yöntemler Jcob Yöntem Guss-Sedel Yöntem

Detaylı

MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER. Bahar Hafta 1. Bu Hafta. Ders Hakkında Bilgiler. Özet. Ders Hakkında Genel Bilgiler. Matris işlemlerine giriş

MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER. Bahar Hafta 1. Bu Hafta. Ders Hakkında Bilgiler. Özet. Ders Hakkında Genel Bilgiler. Matris işlemlerine giriş MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER Bhr 2005-2006 Hft Bu Hft Özet Ders Hkkıd Geel Bilgiler Mtris işlemlerie giriş 2 Öğretim Üyesi: Öğr. Gör. Od No: 442, Tel: 293 3 00 / -- E-mil: ltuger@itu.edu.tr Ders Stleri: Slı

Detaylı

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır. LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;

Detaylı

2. Geriye doğru Yerine Koyma (Back Substitution): Bu adımda, son denklemden başlayarak herbir bilinmeyen bulunur.

2. Geriye doğru Yerine Koyma (Back Substitution): Bu adımda, son denklemden başlayarak herbir bilinmeyen bulunur. Guss Elimisyou Lieer deklem sistemlerii çözmede kullıl e popüler tekiklerde birisi Guss Elimisyou yötemidir. Bu yötem geel bir deklemli ve bilimeyeli lieer sistemi çözümüe bir yklşım getirmektedir....

Detaylı

DRC üst taban, 6 alt taban olmak üzere 12 mavi kare vardır. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat.

DRC üst taban, 6 alt taban olmak üzere 12 mavi kare vardır. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. Deneme - / Mt MATEMATİK DENEMESİ. 6 üst tn, 6 lt tn olmk üzere mvi kre vrdır. Ypının tüm yüzeyi kreden oluştuğun göre, 6 7. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur. ( ) 9 c

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı Trce ve Kellogg Yöemleri Kullılrk İegrl Operörlerii Özdeğerlerii Nümerik Hesı Erk Tşdemir () ; Yüksel Soyk () ; Melih Göce (3) (¹)Kırklreli Üiversiesi, Kırklreli, Türkiye, erksdemir@homil.com (²)Büle Ecevi

Detaylı

ZAMAN SKALASINDA BAZI KISMİ DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE

ZAMAN SKALASINDA BAZI KISMİ DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE ZAMAN SKALASINDA BAZI KISMİ DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE DOKTORA TEZİ Dez UÇAR DANIŞMAN Doç. Dr. Yaşar BOLAT MATEMATİK ANABİLİM DALI TEMMUZ AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA TEK DEĞİŞKENLİ KISITSIZ OPTİMİZASYON:

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA TEK DEĞİŞKENLİ KISITSIZ OPTİMİZASYON: DOĞRUSA OMAYAN PROGRAMAMA TEK DEĞİŞKENİ KISITSIZ OPTİMİZASYON: Kısıtsız optmzsyo herhg r kısıtlm olmksızı r oksyou mksmum vey mmum değerler rştırılmsı prolem le uğrşır. Y kısıtlrıı d sğlmsı gerekl ol r

Detaylı

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]

MATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ] 3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları LİMİT İÇ KAPAK Bu kitbı bütü ı hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI ittir. Kısme de ols lıtı pılmz. Meti, biçim ve sorulr, ıml şirketi izi olmksızı, elektroik, mekik, fotokopi d herhgi bir

Detaylı

ANALİZ III DERS NOTLARI. Prof. Dr. Nurettin ERGUN

ANALİZ III DERS NOTLARI. Prof. Dr. Nurettin ERGUN ANALİZ III DERS NOTLARI Prof. Dr. Nuretti ERGUN İ Ç İ N D E K İ L E R Syf No BÖLÜM Foksiyo Dizi ve Serileri... BÖLÜM Fourier Serileri... BÖLÜM 3 Özge Olmy Tümlevler...48 BÖLÜM 4 Dik Poliom Serileri...7

Detaylı

Ara Değer Hesabı (İnterpolasyon)

Ara Değer Hesabı (İnterpolasyon) Ar Değer Hesbı İterpolso Ardeğer hesbı mühedsl problemlerde sılıl rşılşıl br şlemdr. İterpolso Ble değerlerde blmee rdeğer d değerler bulumsı şlemdr. Geel olr se br osouu 0,,, gb rı otlrd verle 0,,, değerler

Detaylı

BÖLÜM 2: OLASILIK TEORĠSĠ

BÖLÜM 2: OLASILIK TEORĠSĠ BÖLÜM 2: OLSILIK TEORĠSĠ İsttstksel rştırmlrı temel koulrıd r souu öede kes olrk lmeye zı şs ğlı olylrı (deemeler) olsı tüm mümkü souçlrıı hg sıklıkl orty çıktığıı elrleyelmektr. Bu soru sttstkte olsılık

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Cilt/Vol.:5-Sayı/No: 2:195-200 (2004)

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Cilt/Vol.:5-Sayı/No: 2:195-200 (2004) ANADOLU ÜNİERSİTESİ BİLİM E TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIERSITY JOURNAL OF SIENE AND TEHNOLOGY lt/ol.:5-syı/no: :195-00 (004) DERLEME/REIEW KESİKLİ DEĞİŞKEN İÇEREN GRAFİKSEL MODELLER Hüly BAYRAK 1, Fr

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 5 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ Öğr. Gör. Dr. Mehmet Ali ALAN Cumhuriyet Üiversitesi İktisdi ve İdri Bilimler Fkültesi Öğr. Gör.

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................

Detaylı

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER HĐPERSTATĐK SĐSTELER Taım: Bütü kest zorları, şekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler belrlemes ç dege deklemler yeterl olmadığı sstemlere hperstatk sstemler der. Hperstatk sstemler hesabı ç, a) Dege deklemlere,

Detaylı

Yüksek Mertebeden Sistemler İçin Ayrıştırma Temelli Bir Kontrol Yöntemi

Yüksek Mertebeden Sistemler İçin Ayrıştırma Temelli Bir Kontrol Yöntemi Yüksek Mertebede Sstemler İç Ayrıştırma Temell Br Kotrol Yötem Osma Çakıroğlu, Müjde Güzelkaya, İbrahm Eks 3 Kotrol ve Otomasyo Mühedslğ Bölümü Elektrk Elektrok Fakültes İstabul Tekk Üverstes,34369, Maslak,

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.

MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır. gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1 IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi

Detaylı

Nümerik Analizin Amacı

Nümerik Analizin Amacı Doç.Dr. Nurett UMURKN Nümerk lz / 59 Nümerk lz mcı Mtemtksel prolemler çözümleelmes ç ugu ve e klşım vere ötemler ulmk, rıc ulrd lmlı ve dlı souçlr çıkrmktır. Çözümü stee prolem tımlmk ve souc vrck ötem

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2016 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2016 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ Mühedlk Fakülte, Make Mühedlğ Bölümü Zekerya Grg DENİZLİ, 06 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI Ööz Mühedlkte vermeye başladığım Otomatk Kotrol der daha y alaşılablme ç bu otlar hazırlamaya

Detaylı

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Doç. Dr. Mehmet AKSARALI www.mehmetaksarayl İstatstksel araştırmalarda k yada daha çok değşke arasıdak lşk celemes ç e çok kullaıla yötemlerde brs regresyo aalzdr. Değşkeler arasıdak lşk matematksel br

Detaylı

PARÇALI DOĞRUSAL REGRESYON

PARÇALI DOĞRUSAL REGRESYON HAFTA 4 PARÇALI DOĞRUSAL REGRESYO Gölge değşkenn br başka kullanımını açıklamak çn varsayımsal br şrketn satış temslclerne nasıl ödeme yaptığı ele alınsın. Satış prmleryle satış hacm Arasındak varsayımsal

Detaylı

İlişkisel Veri Modeli. İlişkisel Cebir İşlemleri

İlişkisel Veri Modeli. İlişkisel Cebir İşlemleri İlişkisel Veri Modeli İlişkisel Cebir İşlemleri Veri işleme (Mnipultion) işlemleri (İlişkisel Cebir İşlemleri) Seçme (select) işlemi Projeksiyon (project) işlemi Krtezyen çrpım (crtesin product) işlemi

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER

II. DERECEDEN DENKLEMLER ünite DEEEDE DEKEME Dereceden Denklemler TEST 0 x x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir 6 x + x + x işleminin sonucu kçtır? ) B) ) D) E) x + bx + = 0 x - denkleminin reel syılrdki çözüm kümesi bir elemnlı

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 2 / 3

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 2 / 3 Örnek : 4 10 tbnindki (3 + 3 + 3 + 3) syisinin üç tbnindki yzilisi sgidkilerden hngisidir? A)10110 B)10001 C)1001 D)100011 E) 1100 4 (3 + 3 + 3 4 + 3) = 1 3 + 3 3 1 0 + 0 3 + 1 3 + 1 3 + 0 3 Burdn ( 10110)

Detaylı

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere

Detaylı

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade

a bir reel (gerçel) sayı ve n bir pozitif tam sayı olsun. 1 dir. n a ye üslü ifade ÜSLÜ İFADELER A. Tı bir reel (gerçel syı ve bir pozitif t syı olsu.... te olck şekilde, te ı çrpıı ol deir. ye üslü ifde Kurl. sıfırd frklı bir reel syı olk üzere,. 0 0 0 ifdesi tısızdır.. ( R... 0 7..

Detaylı