2.1 BÖLÜNEBÝLME VE BÖLME ALGORÝTMASI

Transkript

1

2 .1 BÖLÜNEBÝLME VE BÖLME ALGORÝTMASI a. Bölüebilme a 0, a ve b tam sayý olsu. q bir tam sayý olmak üzere, b = q a ise a böler b veya b, a ý bir katýdýr deir. Eðer a, b yi bölerse a b þeklide, a, b yi bölmezse a b þeklide gösteririz. a. a b olduðuda, b = a x olacak þekilde bir x tam sayýsý vardýr. k b = k a x = a (k x) olduðuda k b sayýsý a ý bir tam katýdýr. O hâlde a b k dir. b. a b b = a x olacak þekilde bir x tam sayýsý vardýr. c = b y olacak þekilde bir y tam sayýsý var- b c dýr. c = a x y = a (x y) olduðuda a c dir. c. a b s ve a c t dir. Teorem: a, b ve c tam sayýlar olsu. i. a b ise, a k b, k herhagi bir tam sayý Burada, b s = a t 1, c t = a t olacak þekilde t 1 ve t tam sayýlarý vardýr. ii. a b ve b a ise, a = b dir. iii. a b ve b c ise, a c dir. iv. a b ve a c ise, a b + c ve a b c dir. v. a b ve a b c ise, a c dir. vi. a > 0, b > 0 ve a b a b dir. Bir sayýsý ile bölüdüðüde 0 kalaýý veriyorsa, k pozitif tam sayý olmak üzere, = k þeklide yazýlýr ve çifttir diye okuur. sayýsý ile bölüdüðüde 1 kalaýý veriyorsa, = k + 1 yazýlýr ve tektir diye okuur. Her tam sayý 3k, 3k + 1 ve 3k + formudadýr. Her tam sayý 4k, 4k + 1, 4k + ve 4k + 3 formudadýr. Bua göre, b s + c t = a t 1 + a t = a (t 1 + t ) olur ki bu da a b s + c t demektir. herhagi bir doðal sayý olmak üzere, 3 + sayýsýý 3 ile bölüdüðüü gösterelim. sayýsýý 3 ile bölümüde kalalar. 0,1 veya dir. Böylece üç durum icelemelidir. i. sýfýr kalaýý verirse, 3 ve sayýlarý 3 ile tam bölüür dolayýsýyla, 3 + sayýsý 3 ile bölüür. ii., 1 kalaýý verirse, 3, 1 kalaýý verir, ise kalaýý verir. O hâlde, 1 + sayýsý 3 ile bölüür. iii., kalaýý verirse sayýsý 1 ve 3 sayýsý kalaýý, ise, 1 kalaýý verir. + 1 sayýsý 3 ile tam bölüür. a. a b ise, a k b, k Z olduðuu, b. a b ve b c ise, a c olduðuu, c. a b ve a c ise, a b s + c t, s ve t herhagi iki tam sayý olduðuu gösterelim. x, y, z doðal sayýlar olmak üzere, x + y = z eþitliði saðlamaktadýr. Bua göre, x, y ve z de e az birii 3 ile tam bölüebildiðii gösterelim. 68 Meraklýsýa Lise Matematik

3 x, y ve z de hiç birii 3 ile tam bölüemediðii kabul edelim. Bua göre, x, y ve z sayýlarýý 3 ile bölümüde kala 1 dir. x + y i 3 ile bölümüde kala olur. z i 3 ile bölümüde kala 1 olduðuda, bu eþitlik mümkü deðildir. O hâlde, x, y ve z de e az biri 3 ile bölümelidir. a + 1 sayýsýý 3 ile bölüdüðü bilidiðie göre, 4 + 7a ý 3 ile bölüdüðüü gösterelim. k Z olmak üzere, a + 1 = 3k dir. Bua göre, 4 + 7a = 4(a + 1) + 3a þeklide yazýlýrsa, ifadei 3 ile bölüdüðü görülür. tamsayý olmak üzere, + 1 ve ( + 1) + 1 sayýlarýý ayý ada böle bütü pozitif d tamsayýlarýý bulalým. d ( + 1) ve d [( + 1) + 1] veya d ( + + ) dir. Burada, d [( + + ) ( + 1)] veya d ( + 1) O halde, d ( ) dir. d [4( + + ) ( )] veya d (4 + 7) dir. Souçta, d [(4 + 7) ( + 1)] veya d 5 olur. Bu da d i 1 veya 5 olduðuu gösterir. = içi verile deðeri saðladýðý görülür. + a ve 35 b i 11 ile bölüdüðü biliiyor. Bua göre, a + b i 11 ile bölüdüðüü gösterelim. a + b = ( + a) (35 b) + 33 þeklide yazýlacaðýda, 11 ile bölüdüðü gösterilmiþ olur. x ve y tamsayýlardýr. 9x + 5y ifadesi 17 ile bölüebiliyorsa, x + 3y ifadesii de 17 ile bölüdüðüü gösterelim. Hagi pozitif tam sayýlarý içi + 1 sayýsý + 1 ile bölüür? 1 = ( 1) ( + 1) olduðuu biliyoruz. Burada, ( + 1) 1 yazýlabilir. ( + 1) 1 + ( + 1) 1 olduðuda, ( + 1) olmalýdýr. N içi ( + 1) olduðuda, + 1 = ise, = 1 dir. O halde, verile þartlarda tek pozitif tam sayý 1 dir. 17 (x + 3y) 17 [13(x + 3y)] veya 17 (6x + 39y) 17 (9x + 5y) dir. Terside yaparsak, 17 (9x + 5y) 17 [4(9x + 5y)] veya 17 (36x + 0y) 17 (x + 3y) olur. a 3 olmak üzere, (a 3) a 3 3 þartýý saðlaya bütü tamsayýlarý bulalým. 69

4 a 3 7 = (a 3)(a + 3a + 9) olduðuda, (a 3) (a 3 7) dir. (a 3) (a 3 3) olduðuu kabul edelim. (IV. teoremde) a 3 ifadesi (a 3 3) (a 3 7) = 4 farkýý da böler. Yai, terste söylersek, (a 3) 4 ise, a 3 ayý zamada, (a 3 7) + 4 = a 3 3 toplamýý da böler. 4 ü böleleri 1,, 3, 4, 6, 8, 1, 4 olduðuda, a 3 sayýsý bularda birie eþit olmalýdýr. Buu maasý; a {1, 9, 5, 3, 1, 0, 1,, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 7} dir. i i i i i i i içi, 3 i = 9 t þeklide olur. Yai, 3 i 9 t, t N dir. i i O halde, A() = t = 9t + 18 dir. 9 A() olduðu görülür., 1 de büyük bir tamsayý olsu. Bua göre, a. ardýþýk iki tek tamsayýý toplamý ve b. ardýþýk üç tamsayýý toplamý 3 ise, bu sayýlarý bulalým. a. = (k 1) + (k + 1) ise, k = dir. = ( 1 1) + ( 1 + 1) olur. b. 3 = (m 1) + m + (m + 1) m = 3 1 ve 3 = (3 1 1) ( ) olur. + 1 þartýý saðlaya sosuz tae doðal sayýsý olduðuu gösterelim. k N olmak üzere, = 3 k þeklideki sayýlarý þartlarý saðladýðý görülür. Ýspatýý tümevarým yötemi ile yapabilirsiiz sayýsýý böle de küçük e büyük böle kaçtýr? N olmak üzere, olduðuu gösterelim. A() = olsu. 4 = (3 + 1) þeklide yazýp, biom teoremii kullaalým: = Burada, = ve = 1001 ( ) = ( ) = = (x ) =(x +1) (x 4 x +1) dir = olur. 7, 11, 13 ve 101 i kedi aralarýda çarpým varyasyolarý 9901 sayýsýý geçemez. O halde, cevap 9901 dir. 70 Meraklýsýa Lise Matematik

5 m ve pozitif tam sayýlar olmak üzere, 36 = m m deklemii saðlaya kaç (m, ) sýralý ikilisi vardýr? A) 3 B) C) 4 D) 0 E) Sosuz çoklukta (1997 UMO) m + m = 36 m + 3m 4 = (m + 4) (m ) dir. (m + 4) (m ) = 5 olduðuda, sayýý çarpalarý farký 5 ile bölümelidir. Bua göre, 69 = = = = 47. görüldüðü gibi bütü sayýlar istee þartý saðlamaktadýr. Cevap: E m + + m = 36 ( m)( + m) + ( + m) = 36 ( + m)( m) = 36 dýr. + m + m = 3 olduðuda, çarpalarý toplamlarý 3 ü katý olmalýdýr. 36 : (1, 36), (, 18), (3, 1), (4, 9), (6, 6), (1, 3), (18, ) ikilileride sadece (3, 1), (6, 6) ve (1, 3) ikilileri þartlarý saðlar. m 3 m 1 m 6 m 1 5 ve m olamaz. 4 ve m, 3 i, ( ) (99 98 ) (3 ) ( 1 ) çarpýmýý bölmesii saðlaya e küçük tamsayýsý kaçtýr? A) 49 B) 53 C) 97 D) 103 E) Hiçbiri ( ) (99 98 ) (3 ) ( 1 ) = tür. (007 UMO) m 1 m 3 5 ve m 7 dir., m Z + içi (4, ); (5, 7) olmak üzere, iki tae (m, ) ikilisi vardýr. Cevap: B Verile çarpýmý kuvvetlerii sayýsýý buluruz þeklide yazarsak, 3 ü 66 7 olduðuda, 3 k içi k i e büyük deðeri 97 buluur. Þimdi, çarpýmýý 99 ( ) þeklide yazýp 99! içideki 3 ü kuvvetlerii sayýsýý bulalým. Aþaðýdaki sayýlarda hagisi, m ve tam sayýlar olmak üzere, m + 3m 4 þeklide ifade edilemez? A) 69 B) 76 C) 91 D) 94 E) Hiçbiri (1999 UMO) olduðuda 3 m içi m i e büyük deðeri 48 olur. Souç olarak i e büyük deðeri = 49 buluur. Cevap: A 71

6 b. Bölme Algoritmasý a Z +, a ve b tam sayýlar olsu. b = q a + r, 0 r < a þartýý saðlaya tek þekilde q ve r tam sayýlarý vardýr. Buradaki q tam sayýsýa bölüm ve r ye kala deir. r = 0 ise, b = q a ifadesie kalasýz bölme deir. r < q ise, a ile q yer deðiþtirebilir. i sayýsýý tam bölebilmesi içi e büyük deðeri e olmalýdýr? ve x y (x y)(x y) dir. Burada, (3 1) pozitif bir tamsayý olsu ifadesii ile bölüdüðüü; fakat 4 ile bölüemediðii gösterelim. Açýkça görülür ki 3 tektir ve çifttir. 3 = (3 ) 1 = 9 1 = (8 + 1) 1 yazýlýp, biom açýlýmý uygulaýrsa, m m m m m 1 m 1 m (x y) x x y xy y 1 m 1 eþitliðide, x = 8, y = 1 ve m = 1 koyalým. Eþitliði saðý (y m = 1 hariç) 8 i bir katýdýr. Yai 4 ile bölüür. 3 ifadesi 4 ile bölüüce 1 kalaýý verir ifadesi 4 ile bölüürse, kalaýý verir. Daha öce, 3 k + 1, k Z + olduðuu göstermiþtik. Cevabýmýz, = 1 dir. k+ 3 k + 1 ifadesi doðrudur. k tek sayý ve pozitif tamsayý olmak üzere, + k 1 dir. Bölüme sorularýda kullaýla özel yollarda birisi verile ifadeyi çarpalara ayýrmadýr. E çok kullaýla iki taesi aþaðýdadýr. i) pozitif tamsayý ise, x y = (x y) (x 1 x y xy + y 1 ii) pozitif tek sayý ise, x + y = (x + y) (x 1 x y +... xy + y 1 dir ifadesii + 10 ile bölüebilmesii saðlaya e büyük pozitif tamsayýsýý bulalým. Bölme logaritmasýa göre, = ( + 10) ( ) 900 Eðer + 10 sayýsý, sayýsýý bölüyorsa, + 10 sayýsý 900 sayýsýý da bölmelidir. 900 sayýsýý böle e büyük sayý 900 olduðuda, + 10 = 900 = 890 olmalýdýr tae sayýsýý 1001 ile bölüdüðüü gösterelim. Yukarýdaki çarpalara ayýrma kuralýý dikkate alarak, ( 10 ) 1 00 ta e ( 10 1) ( 10 ) ( 10 ) elde edilir = 1001 olduðuda, verile ifade 1001 ile bölüür. 7 Meraklýsýa Lise Matematik

7 m > 0 olmak üzere, ( + 1) ( m 1) olduðuu gösterelim. 1 x, y 1 olsu. m 1 m m olduðuda, 1 1 dir..1 ALIÞTIRMALAR (ler: 369) 1. Ýki basamaklý sayýlarda kaç taesi rakamlarý toplamýa bölüebilir?. N olmak üzere, 3 + sayýsýý 3 ile bölüdüðüü gösteriiz. 1 Burada, yazýlýp, 1 1 olduðu görülür. 3. p > 3 ve p asal sayý olmak üzere, 4 (p 1) olduðuu gösteriiz. m Dolayýsýyla, 1 1 elde edilir. 4. > 3 olmak üzere, ( 3) ( ) olmasý içi hagi deðerleri almalýdýr? k 1 ve tek sayý olsu. herhagi bir pozitif tamsayý olmak üzere, 1 k + k k ifadesii + ile bölümediðii gösterelim. = 1 içi ifadei doðru olduðu açýktýr. toplamý A ile gösterelim. içi verile A = + ( k + k ) + (3 k + ( 1) k ) + +( k + k ) k pozitif tek sayý olduðu içi, her i içi, i k + (+ i) k ifadesi i+(+i) = + ile bölüür. Böylece, A ifadesi + ile bölüdüðüde kalaýý verir. Dolayýsýyla, A toplamý + ile bölümez ( + > ) 5. Ardýþýk tamsayýý çarpýmý ile tam bölüür. Gösteriiz. 6. m ve tamsayýlar olmak üzere, 1000 de küçük pozitif tamsayýlarda kaç taesi, m formuda yazýlamaz? sayýsý 7 5 sayýsýý bölecek þekilde kaç tae tamsayýsý buluabilir? 8. ( + 113) ( + 114)... ( + 17) sayýsý aþaðýdakilerde hagisie bölümeyebilir? A) 11 B) 3 6 C) 5 3 D) 7 3 E) 91 73

8 sayýsýý 178 ile bölüebildiðii gösteriiz sayýsýý 100 ile tam bölüebilmesi içi hagi pozitif tamsayý çýkarýlmalýdýr? x 5 14x 5 ve 6 9 sayýlarýý ikisi de tamsayý olacak biçimde kaç tae x tamsayý vardýr? (003 AMO) 17. a + b + c sayýsý 6 sayýsýý bölecek þekilde, kaç tae üç basamaklý abc sayýsý vardýr? de küçük kaç tae pozitif tamsayýsý içi, + 3 sayýsý 4 ile kalasýz bölüebilir? (1994 CAMO) 18. sayýsý! sayýsýý bölemeyecek þekilde 50de küçük kaç tae pozitif tamsayýsý vardýr? 1. m Z + olmak üzere, (1994 SSCBMO) (100 m 1) (00 m 1) olduðuu gösteriiz ifadesii de büyük iki tamsayýý çarpýmý olduðuu gösteriiz. 14. Kaç farklý tamsayýsý içi, ile 1000 arasýdaki tamsayýlarda kaç taesi egatif olmaya iki tamsayýý kareleri farký olarak yazýlabilir? (1997 AIME) 0. 3, 15, 4, 48,... þeklide tamkareleri 1 eksiði 3e bölüe sayýlarý sýralamasýyla elde edile sayýlarda 1994ücü terimi 1000 ile bölümüde kala kaçtýr? (1994 AIME) bir tamsayýdýr? (007 UÝMO) sayýsý 31e bölüecek þekilde 31de büyük e küçük pozitif tamsayýsý kaçtýr? de küçük kaç doðal sayýsý içi, ifadesi 101 ile bölüür? (008 UÝMO). 19da 80e kadar tüm iki basamaklý sayýlar arka arkaya yazýlarak, sayýsý elde ediliyor. Bu sayýý 1980e tam bölüebildiðii gösteriiz. (1980 SSCB) 74 Meraklýsýa Lise Matematik

9 3. k tek sayý ise, ( + 1) (1 k + k k ) x + ise, 7 (15x 11x 14) olduðuu gösteriiz. olduðuu gösteriiz. (1986 Kaada M.O.) (a + b ) ise, 3 a ve 3 b olduðuu gösteriiz ifadesii 10 ile bölümüü saðlaya tamsayýlarýý buluuz. 3. ( + 1) ( 4 + ) + 3( ) ifadesii + ile bölümesii saðlaya e büyük pozitif tamsayýsýý buluuz ifadesii 11 ile bölüemediði gösteriiz. 33. ile baþlaya 98 ardýþýk pozitif tam sayýý toplamý 19 ile bölümektedir. Bua göre, e küçük deðerii buluuz. 6. N olmak üzere, toplamýý + ile bölüemediðii gösteriiz ifadesii i alabileceði herhagi bir tamsayý deðeri içi, 1897 ile bölüebileceðii gösteriiz tae bölüdüðüü gösteriiz ifadesii i alabileceði herhagi bir tamsayý deðeri içi 1946 ile bölüebildiðii gösteriiz. 36. ab + b + 7 i a b + a + b yi bölmesii saðlaya bütü (a, b) pozitif tamsayý ikililerii buluuz. (39. IMO) ile bölüe ve sou 1986 ile bite e küçük pozitif tamsayýyý buluuz. 9. (1000 m 1) (1978 m 1) ifadesii saðlaya hiç bir m pozitif tamsayý olmadýðýý gösteriiz. 37. x y x y i tamsayý olmasýý ve 1995 ile bölümesii saðlaya bütü pozitif (x, y) tamsayý ikililerii buluuz. (1995 BMO) 75

10 . Asal Sayýlar 1 ve kediside baþka pozitif bölei olmaya 1 de büyük pozitif tam sayýlara asal sayýlar deir. Ya da sadece iki pozitif bölei ola pozitif tam sayýlara asal sayýlar deir. 1 de büyük ve asal olmaya tam sayýlara ise bileþik sayý deir. a ve b > 1 olmak üzere, = a b þeklide yazýlabile sayýlara bileþik sayýlar deir. 1 sayýsý e asal, e de bileþik bir sayýdýr. Teorem i. Eðer p bir asal sayý ve p a b ise p a veya p b dir. Geel olarak, eðer p, p 1, p,..., p asal sayýlar ve p p 1 p... p ise, p, p 1, p,..., p sayýlarýda birie eþittir. ii. > bir doðal sayý ise, ile! arasýda e az bir asal sayý vardýr. iii. Sosuz çoklukta asal sayý vardýr. 1 de büyük iki doðal sayýý çarpýmý þeklide yazýlamaya sayýlar asal sayýlardýr. Pozitif tamsayýlar 3 sýýfa ayrýlýr. Birici sýýfta sadece 1, ikici sýýfta asal sayýlar ve üçücü sýýfta ise bileþik sayýlar yer alýr. p asal sayý ve herhagi bir tamsayý olmak üzere, ya p ya da (p, ) = 1 dir. 1 olmak üzere, p a ise, p a dýr. Teorem i. 1 de büyük her tam sayýý e az bir asal bölei vardýr. ii. bir bileþik sayý ise sayýsýý ñ de büyük olmaya bir asal çarpaý vardýr. iii. > 1 içi tam sayýý ñ de küçük bir asal bölei yoksa, bir asal sayýdýr. 101 asal mýdýr? E büyük asal sayý olmadýðýý gösterelim. Bir a içi asal sayýlarý solu çoklukta olduðuu varsayalým: Bu sayýlar p 1, p,..., p olsu. A = p 1 p... p + 1 sayýsýý göz öüe alalým. Bu sayý p 1, p,..., p sayýlarýda hiçbirie bölümez. Öyleyse baþka bir asal sayý olabilir. A sayýsý p 1, p,..., p asal sayýlarýda hagisie bölüürse bölüsü, 1 kalaýý verir. Öyleyse A sayýsý solu kabul ettiðimiz p 1, p,..., p asal sayýlarda birie eþit deðildir. Dolayýsýyla, p de büyük bir asal sayýdýr. Yai, asal sayýlar solu deðildir. ó dur. 10 da küçük asal sayýlar 101 i bölmezse, bu sayý asaldýr. Yai, 3, 5 ve 7 ye bölümediði içi 101 asaldýr. Asal sayýlar, pozitif tam sayýlarda meydaa gelir. Her pozitif tam sayý asal sayýlarý çarpýmý þeklide tek türlü yazýlýr. 1 de büyük her pozitif tam sayýý bir asal bölei vardýr. > 1 olmak üzere, herhagi ardýþýk tae tek doðal sayýý toplamýý bileþik sayý olduðuu gösterelim. Ýlk sayýmýza a diyelim. Verilelere göre, a+(a+)+(a+4)+...+(a+(1))=a+( (1)) =a+(1) = (a+1) dir. 76 Meraklýsýa Lise Matematik

11 ( 1) + 1 sayýsý ile bölüürse, sayýsýý bir asal sayý olduðuu gösterelim. Ýspat tae ardýþýk pozitif tam sayýda oluþa, A = ( + 1)! +, ( + 1)! + 3,..., ( + 1)! + ( + 1) kümesii göz öüe alalým. Bu elemalarý hiçbirii asal olmadýðýý gösterelim. Eðer sayýsý 4 te büyük bileþik bir sayý ise, ( 1)! sayýsý k < + 1 baðýtýsýý saðlaya her bir k tam sayýsý içi, ile bölüür. Gerçekte de k ve sayýlarý de kü- k ( + 1)! dir. Dolayýsýyla k ( + 1)! + k olur. O hâlde, çük olmak üzere, = k olsu. Eðer k ise, ( 1)! A kümesii elemalarý tümü bileþik ola tae ardýþýk çarpýmý, bu sayýlarý ve olarý çarpalarýý kapsar. sayýdýr. Eðer k = ise, = k, k > dir. Burada ( 1)! çarpýmý k ve k çarpalarýý içie aldýðýda iþlem tamamdýr. 3! + 1 < p 3! + 8 þartýý saðlaya hiç bir p asal sayýsý olmadýðýý gösterelim. Teorem bileþik bir tam sayý ise, sayýsýý ñ yi geçmeye asal bir çarpaý vardýr. Bu aralýktaki p sayýlarý 3! +, 3! + 3,..., 3! + 8 þek- Ýspat bileþik bir tam sayý ise a ve b tam sayýlar, 1 < a b < olmak üzere, = a b dir. a ñ olmalýdýr. Diðer türlü, b a > ñ ve a b > ñ ñ = olur. Þimdi a ý bir asal bölei olmalýdýr. Bu ayý zamada i böleidir. Yai bu böle ñ dir. lidedir. Bu sayýlarý hepsii bileþik sayý olduðuu gösterelim. 3!+= = ( ) 3!+3= =3 ( ). 3!+8= =8 ( ) dir. 0 tae ardýþýk bileþik sayý bulalým. 0 +, 0 + 3,..., dir. Bu sayýlarý hepsi bileþik sayýdýr. Teorem Asal sayýlar sýra ile yazýldýðýda, herhagi iki asal sayý arasýda oluþa geiþ aralýklarda birisi geliþigüzel seçilirse, k Z + olmak üzere, bu aralýkta k tae ardýþýk bileþik sayý vardýr. p > 3 içi bütü asal sayýlar, bir tam sayý olmak üzere p = 6 1 formudadýr. 3 4, 4 5 ve 5 3 sayýlarýý asal yapa bütü pozitif tamsayýlarýý bulalým. Bu üç sayýý toplamý çifttir. O halde, e az biri çifttir. Çift ola tek asal sayý dir. Sadece 3 4 ve 5 3 çift olabilir. 3 4 = ve 5 3 = eþitlikleri çözülürse sýrasýyla = ve = 1 buluur. = içi verile sayýlar iceleirse, üç sayýý da asal olduðu görülür. 77

12 p ve p + asal sayýlar ise, p 3 + i de asal olduðuu gösterelim. p tek olmalýdýr. p = 3 içi p + = 11 ve p 3 + = 9 dur. p > 3 içi p = 6 1 alýýrsa, p + sayýsý 3 ile bölüür. O hâlde, p = 3 dýþýda bu þartlarý saðlaya baþka bir asal sayý yoktur. + 1 = a, = b olsu. 5+3=4(+1)(3+1)=4a b =(a+b)(ab) dir sayýsý asal ise, a b = 1,... (I) a + b = (II) olmalýdýr. a b = 1 (I) (II) : b = 5 olur.... (III) = b b + 1 = (IV) Þimdi, (III) + (IV) yapýlýrsa, b b + 1 = yai (b 1) = olacaðýda, a b 1 dir sayýsý asal deðildir. p 3 + p + 11p + ifadesii asal yapa e büyük p asal sayýsý edir? f(p) = p 3 + p + 11p + olsu. f(3) = 71 bir asal sayýdýr, fakat f(3k + 1) = 3(9k 3 + 1k + 16k + 5), f(3k + ) = 9(3k 3 + 7k + 9k + 4) asal deðildir. Bua göre, ifade e büyük deðerii p = 3 içi almaktadýr. p > 3 ve asal sayý ise p 1 i 4 ile tam bölüdüðüü gösterelim. p > 3 içi p = 6 1 alalým. p = p 1 = 1(3 1) olur. (3 1) ifadesi her zama çifttir. Yai k þeklidedir. Öyleyse, p 1 = 4 k dir. 17p 65 p ve q asal ve x px + q = 0 deklemii farklý pozitif tam kökleri varsa, p ve q asal sayýlarýý bulalým. x 1 ve x (x 1 < x ) farklý iki pozitif tamsayý kök olsu. p = x 1 + x, q = x 1 x dir. q asal olduðuda, x 1 = 1 dir. Böylece, q = x ve p = x + 1 ise ardýþýk iki asal sayý ve 3 tür. Yai p = 3, q = dir. + 1 ve birer tam kare ise, sayýsýý asal olmadýðýý gösterelim. ( Z + ) sayýsýý bir tamsayý olmasýý saðlaya e büyük p asal sayýsý edir? A) 3 B) 67 C) 101 D) 151 E) 11 (000 UMO) t Z olmak üzere 17p 65 t 17p t 5 (t 5)(t 5) t 5 t p p p deklemleri çözüldüðüde, p = 33 veya p = 67 ve burada p = 67 buluur. Cevap: B 78 Meraklýsýa Lise Matematik

13 p 4 7p + 1 sayýsýý, bir tam sayýý karesie eþit olmasýý saðlaya kaç p asal sayýsý vardýr? A) 0 B) 1 C) 4 D) Sosuz çoklukta E) Hiçbiri p = içi ifade tamkareye eþit olmaz. p t 3 içi iceleme yapalým: N olmak üzere p 4 7p + 1 = t p (p 7) = t 1 p + p (p 7) = (t 1) (t + 1) dir. 3 içi, p 7 > p olacaðýda / p = t 1 p 7 = t + 1 (000 UMO) p ve p + asal sayýlýrsa, p sayýsýý e çok kaç asal bölei olabilir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 (006 UMO) p asal sayýsý içi p + de asal sayý ise p > dir. O hâlde, p 3 içi p 1, (mod 3) içi p + 0 (mod 3) olacaðýda, p > 3 asal sayýlarý içi p + asal sayý olamaz. p = 3 içi p + = 11 olup, p = 30 olduðuda 30 u ise 3 tae asal bölei vardýr. Cevap: C t = 10 buluur. t = 10 içi, p = 3 tür. Cevap: B 5p ( p+1 1) sayýsýý tam kare yapa kaç p asal sayýsý vardýr? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) Hiçbiri (003 UMO) 5p( p+1 1) = t ise, p > 5 içi p+1 1 5k (mod p) olmalýdýr. O halde, Fermat teoremide p1 1 (mod p) yazýlabilir. p (mod p) dir. Yai ifadeyi tam kare yapa p asal sayýlarý, 3 veya 5 olabilir. p = ve p = 5 içi tam kare olmadýðý görülür. p = 3 içi, t = 15 çýkar. Cevap: B pozitif tamsayýsýý kaç deðeri içi 5 8, 7 19 ve sayýlarýý üçü de asaldýr? A) 3 B) C) 1 D) 0 E) Sosuz çoklukta (009 ÝMO) 5 8, 7 19 ve sayýlarýý üçü birde asal ise, 5 8 olacaðýda 6 olmalýdýr. = 6 içi,,3 ve 61 sayýlarýý üçü de asal olur. Cevap: C 79

14 toplamý tek ike ye, çift ike + 1 e bölüür.. Ardýþýk 3 tam sayýý çarpýmý 6 ý bir katýdýr. 3. Ardýþýk 3 sayýý küpleri toplamý 9 u bir katýdýr. 4. Ýki tam sayýý kareleri toplamý 4k + 3 formuda olamaz. 5.! souda M tae sýfýr olsu. M /4 tür. 6. x (x + 1) (x + ) (x + 3) + 1 = (x (x + 3) + 1) 7. >1, Z içi (1+1/+1/ /) Z dir formudaki sayýlar bileþik sayýdýr.. ALIÞTIRMALAR (ler: 375) sayýsý asal olacak þekilde kaç pozitif tamsayýsý vardýr?. 3 10, 6 13 ve 5 13 sayýlarýý hepsii asal yapa kaç tae doðal sayýsý vardýr? 3. x 4 + 4y 4 sayýsýý asal yapa bütü x, y pozitif tamsayýlarýý buluuz. 101 asal 1001 = = = = = toplamý asal mýdýr? tae sayýsýý asal olmadýðýý gösteriiz? 403 = = = asal 004 = = = ifadesii asal sayý olmasýý saðlaya tüm tamsayý deðerlerii buluuz. 7. p, p + 10, p + 14 sayýlarý asal olacak þekilde kaç tae p asal sayýsý vardýr? 007 = = = = asal 8. tamsayýsýý kaç farklý deðeri içi, sayýsý asaldýr? (009 UMO) 80 Meraklýsýa Lise Matematik

15 9. Z + olmak üzere, kaç tae asal sayý formuda yazýlamaz? , ,... sosuz sayý diziside kaç tae asal sayý vardýr? ve 5 13 tamsayýlarýý ikisii de asal yapa kaç tamsayýsý vardýr? 18. Kaç tae p asal sayýsý içi, p + 1p 1 sayýsý asaldýr? (III. ÝBO) 19. p asal ise, p + formuda kaç asal sayý vardýr? 11. asal deðilse, 1 asal olamaz. Gösteriiz. 0. Kaç farklý p asal sayýsý içi, p + p 1 1. i böle sayýsý tek ise, + 1 i asal olmadýðýý gösteriiz? ifadesi yie bir asal sayýdýr? 13. p q = 1 eþitliðii saðlaya bütü p ve q asal sayýlarýý buluuz. 1. p > asal sayýsý içi, (p 1) toplamýý p ile bölüdüðüü gösteriiz.. 15 x 3 x sayýsý asal olacak þekilde kaç pozitif tamsayýsý vardýr? (Kaada Oly. Com.) sayýsýý asal olmasýý saðlaya kaç tae x tamsayýsý vardýr? (00 UMO) 3. p, q asal sayýlar olmak üzere, 15. Bir tamsayýý 5. kuvvetie eþit ola 6p + 1 formudaki tüm p asal sayýlarýý buluuz. p(p + 3q 1) = q(q + 3p + 1) eþitliðii saðlaya kaç (p, q) ikilisi vardýr? (006 UMO) , 10101, ,, tae 1 diziside kaç tae asal sayý vardýr? (1993 UMO) 4. p asal ve Z + olmak üzere, (1 + p) = 1 + p + p eþitliðii saðlaya kaç (p, ) sýralý ikilisi vardýr? (001 UMO) 81

16 5. p tek asal sayý olmak üzere, p 1 m toplamýý e sadeleþmiþ hali ise, p sayýsýý m sayýsýý böldüðüü gösteriiz. 6. p ve q aralarýda asal sayýlar olmak üzere,.3 EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN ve ASAL ÇARPANLAR E Büyük Ortak Böle a ve b yi ayý ada böle e büyük pozitif tam sayýya a ile b i e büyük ortak bölei deir ve (a, b) ile gösterilir. Yai, a, b, d Z, d a, d b ise d ye a ile b i ortak bölei deir. p q ise, p sayýsýý asal çarpaýý buluuz. 7. a, b, c ve d tamsayýlar olmak üzere, a b = c d ise, a b c d 011 sayýsýý asal olamayacaðýý gösteriiz. 8. a b + b c + c a > a b c þartýý saðlaya bütü a, b ve c asal sayýlarýý buluuz. 9. a, b ve c sýfýrda farklý tamsayýlar ve a c olmak üzere, a a b c c b 1. E büyük ortak bölei bölme algoritmasý ile de bulabiliriz.. a ve b ikisi de sýfýr ise obeb de söz edilemez. 3. Eðer a = 0 ve b 0 ve a b ise, d i bütü pozitif böleleri kümesi a ve b i ortak böleleridir. Bu böleleri e büyüðü b yi de böldüðüde bua obeb deir. a = 10, b = 6 olsu. a ý böleleri kümesi = {10, 5,, 1, 1,, 5, 10} b i böleleri kümesi = {6, 3,, 1, 1,, 3, 6} a ile b i ortak bölelerii kümesi = {, 1, 1, } obeb (a, b) = dir. a ile a ý b ile b i böleleri ayý olduðuda (a, b) = (a, b) = (a, b) = (a, b) olacaðý görülür. (a, b) = (b, a), (a, 1) = 1, (a, 0) = a dýr. ise, a + b + c sayýsýý asal olamayacaðýý gösteriiz. 30. p, bir asal sayý olmak üzere, k p k (1999 RMO) ifadesii pozitif tamsayý yapa tüm k tamsayýlarýý buluuz. (1997 Spaish) Teorem a ve b her ikisi de sýfýrda farklý ve d = (a, b) olsu. d, a ve b i lieer kombiezou olarak ifade edilir. Yai, x ve y tam sayý olmak üzere, d = ax + by dir. Eðer, c, a ve b i herhagi bir ortak bölei ise, c böler (a, b) dir. Yai, d = (a, b) ve d = ax + by olduðuda c a ve c b ise, c d dir. 8 Meraklýsýa Lise Matematik

17 1000 ve 000 sayýlarý m 5 formuda olduðu içi; a, b, c, sayýlarý da ayý formdadýr. a = m 1 5 1, b = m 5, c = m (1), m i, j egatif olmaya tam sayýlar ve i, j = 1,, 3 tür. [r, s] i taýmýda, [a, b] = 3 5 3, [b, c] = ve [c, a] = tür....() max(m 1, m } = 3, max{m, m 3 } = 4, max{m 3, m 1 } = 4 tür....(3) max( 1, } = 3, max{, 3 } = 3, max{ 3, 1 } = 3 tür....(4) (3) de m 3 = 4 veya m = 3 olmalýdýr. Deðer olarak 0, 1,, 3 deðerlerii alýr. Bular 7 tae 3 lü oluþtururlar. Yai, (0, 3, 4), (1, 3, 4), (, 3, 4), (3, 0, 4), (3, 1, 4), (3,, 4) ve (3, 3, 4) tür. (4) de 1, ve 3 te ikisi 3 diðeri 0, 1,, 3 deðerleride birii alýr. Bu þekildeki üçlüleri sayýsý 10 dur. Yai, (3, 3, 0), (3, 3, 1) (3, 3, ), (3, 0, 3), (3, 1, 3), (3,, 3), (0, 3, 3), (1, 3, 3), (, 3, 3) ve (3, 3, 3) tür. (m 1 m, m 3 ) üçlülerii seçimi ( 1,, 3 ) üçlülerii seçimide baðýmsýz olduðuda, istee üçlüleri sayýsý: 7 10 = 70 tir. Asal Çarpalar Kuralý = P 1 1 P... P r ifadeside bir tam kare olabilmesi içi her i içi i leri çift, tam küpe olabilmesi içi i leri 3 ü katý... þekilde devam eder. Yai; = P 1 1 P... P r r 1.(a, a)=a,.(a, b)=(b,a) 3.((a, b), c)=(a, (b, c)) 4.(a, [a, b])=a 3 = P P 3... P r 3 r... olur. [a, a]=a...yasýma özelliði [a, b]=[b, a]... deðiþme özelliði [[a, b], c]=[a, [b, c]]... birleþme özelliði [a, (a, b)]=a...yutma özelliði ñ i irrasyoel olduðuu gösterelim. m, Z, (m, ) = 1 içi, ñ = m/ olsu. ñ = m ve m = olur. Asal çarpalara göre, sol tarafta bir çift kuvvet olduðu halde sað tarafta i kuvveti tektir. Çeliþki elde ettiðimizde ñ = m/ þeklide yazýlamaz. 3 4 ü irrasyoel olduðuu gösterelim. m, Z, (m, ) = 1 içi, 4 = olsu. m 3 = 4 3 ve m 3 = þeklide yazýlabilir. Sað tarafta 3 ü kuvveti 1 olduðuda þartlarý saðlamaz. Dolayýsýyla irrasyoeldir. 3 m tam kare, tam küp ve tam beþici kuvvet 3 5 olacak þekilde e küçük sayýsýý bulalým., 3 ve 5 e bölüebildiðie göre = a 3 b 5 c þeklide yazýlabilir ve = a1 3 b 5 c tam karedir. a 1 çift ayrýca a, 3 ve 5 i tam katý olmalýdýr. Bu þartlarý saðlaya a ý e küçük deðeri 15 tir. Bezer düþüceyle b = 10 ve c = 6 buluur. Dolayýsýyla i e küçük deðeri dýr bir tam kare olacak þekilde yalýz ve yalýz bir tae deðeri buluduðuu gösterelim. 85

18 = m, m Z olsu. 8 ( ) = m asal çarpalar kuralýda dolayý = k, k Z olmalýdýr. Burada 8 = k 9 ve 8 = (k 3)(k+3) olur. 8 ifadesi i tam kuvveti olduðuda (k 3) ve (k + 3) de i tam kuvvetidir. k 3 = t, k + 3 = s ve t, s N olsu. k 3 = t, k + 3 = s ise 6 = s t t ( st 1) = 3 olduðuda, t = ise t = 1, s1 1 = 3 s = 3 buluur. k = 5 içi, 8 = 16 ise = 1 buluur ,,,..., þeklideki 999 kesirde, pay ve payda toplamý 1998 dir. Bua göre, kaç tae kesir sadeleþmeye kesirdir? Eðer kesri sadeleþebilir ise sayýsý 1998 i 1998 bir çarpaý ve ayý zamada 1998 i bir çarpaýdýr i çarpalarý, 3 ve 37 ise biz, 3 ve 37 i katlarýý kümede çýkarmalýyýz. O hâlde, geriye 999 sayýda i katlarý ola 499 sayýyý çýkarýrsak 500 taesi kalýr. Buda 3 ü katlarý ola 167 taesii çýkarýrsak 333 kalýr. So olarak 37 i katlarý ola 9 sayýyý da çýkarýrsak geriye 34 kalýr. Ýspat c, m ve i ortak bölei ise c böler m t dir. Dolayýsýyla c, ve m t i ortak böleidir. Ayý þekilde c, ve m t i ortak bölei ise, c, m ve i ortak böleidir. Souç olarak, m ve i e büyük ortak bölei, ile m t i de e büyük ortak böleidir. ; (936,40) sayýlarýý e büyük ortak bölelerii bulalým. Öermeye göre yaparsak, t = 1 içi; (936,40) = (40,936 40) olur. Bu þekilde devam edersek, e büyük ortak bölei buluruz. Soucu daha çabuk bulmak içi; 936 = olduðuda t = 3 alýýrsa, (936, 40) = (40, 936, 3 40) = (40, 16) buluur. Öerme uygulaýrsa, (40, 16) = (16, 40 16) = (16, 4) = (4, ) = (4, 0) = 4 olur. Teorem: (Öklid Algoritmasý) a b ve a ile b pozitif olsu. (a, b) yi bulmak içi m = a, = b ve m i ile bölümeside kala r olsu. r 0 içi yerie m ve yerie r yazýlýr ve yaý iþlem devam ettirilir. r = 0 ise (a, b) = dir. a = b q 1 + r 1, 0 r 1 b b = r 1 q + r, 0 r r 1 r 1 = r q 3 + r 3, 0 r 3 r... r = r 1 q + r, 0 r r 1 r 1 = r q buluur. Burada r sýfýrda farklý so kaladýr. Yai (a, b) = r dir. Öklid Algoritmasý Öklid teoremie geçmede öce, teoremi daha iyi kavrayabilmek içi aþaðýdaki öermeyi iceleyelim. Öerme: m ve i, ikisi de sýfýrda farklý tam sayýlar olsu. t tam sayý olmak üzere, (m, ) = (, m t) dir. x ve y tam sayýlar olmak üzere, ax + by = (a, b) ifadesi öklid Algoritmasýý geiþletilmiþ halidir. r i a ve b i lieer kombiezou olduðuu göstermek içi, soda baþa doðru r 1, r,..., r, r 1 i yok edilmesiyle a, b ve r arasýda bir baðýtý buluur. 86 Meraklýsýa Lise Matematik

19 A = 40, b = 936 olsu. (a, b) sayýsýý ve (a, b) = ax + by baðýtýsýý saðlaya x, y tam sayýlarýý bulalým. 936 = = = þimdi 4 = = 40 ( ) = = dýr. x = 4, y = 1 dir ve + 7 sayýlarýý e büyük ortak böleii bulalým. ( + 13, + 7) = ( + 7, + 13 ( + 7) = ( + 7, + 6) = ( + 6, + 7 ( + 6)) =( + 6, 1) = 1 dir. (00 +, 00 +, ,...) (00 HMMT) I. Yol: 00 + = 00(000 + ) + = 000(00 + ) + 6 dýr. Öklid algoritmasýa göre, obeb(00 +, 00 + ) = obeb(004,6) = 6 buluur. II. Yol: 00 +,00 +,... dizisideki hersayý ile bölüür. Diðer yada, 00 = = dir. Bütü pozitif k tamsayýlarý içi, 00 k = 3 a k + 1, (a k tam sayý) Böylece 00 k + ifadesi 3 ile bölüür. ve 3 aralarýda asal sayýlar ise bu dizii her terimi 6 ile bölüür. E büyük ortak böle 6 dýr. 1+1 kesrii herhagi bir doðal sayýsý tarafýda 30+ sadeleþtirilemediðii gösterelim. (30 +, 1 + 1) = (1 + 1, 30 + (1 + 1)) = (1 + 1, 6) = ( 6, ) = (6, 1) = 1 dir. ( 100 1, 10 1) sayýlarýý e büyük ortak böleii bulalým. 0 = t olsu. (t 6 1, t 5 1) = t 1 yai, 0 1 dir. Aþaðýdaki deklem sistemii saðlaya x ve y pozitif tamsayýlarýý bulalým. ((x, y) = d gösterimi x ve y i e büyük ortak bölei d dir.) a. x + y = 150 b. (x, y) = 45 c. x y = 8400 (x, y) = 30 7x = 11y (x, y) = 0 a. (x, y) = 30 x = 30 x 1 ve y = 30 y 1, x (x 1, y 1 ) = 1 dir. x + y = x y 1 = 150 x 1 + y 1 = 5 tir {30, 60, 90, 10} ve y = 150 x tir. 87

20 b. (x, y) = 45 x = 45 x 1 ve y = 45 y 1 ; (x 1, y 1 ) = 1 olur. 7 x = 11 y 7 45 x 1 = y 1 x 1 = 11 ve y 1 = 7 dir. x = = 495 y = 45 7 = 315 tir. = 48m + 47 = 49k + 47, m, k N Bu eþitlikte 48m = 49k ve (48, 49) = 1 olduðuda m = 49 r olacak þekilde bir r N vardýr r sayýsý 4 ile bölüdüðüde kala 47 sayýsýý 4 ile bölümeside elde edile kala ile ayýdýr. Cevap: A c. (x, y) = 0 x = 0 x 1 ve y = 0y 1 (x 1, y 1 ) = 1 dir. x y = 0 0 x 1 y = 400 x 1 y 1 1 = x 1 y 1 dir (x, y) = (0, 40) veya (60, 140) olur. Doðal sayýlarda tam kareleri atýlmasýyla elde edile, 3, 6, 8, 10 11, 1, 13, 14, 15, 17,... dizisii terimi edir? A) 036 B) 037 C) 038 D) 039 E) = 1936 < 1994 < 05 = 45 (1994 UMO) olduðuda, 1994 sayýsýda öce 44 tae tam kare atýlmýþtýr. Fakat = 038 olduðuda 1994 te 038 e kadar ola sayýlar içide sadece bir tae tam kare (05 = 45 ) vardýr. Bu sayýyý da dizide çýkartýrsak, dizii terimi 039 olur. Cevap: D Bir doðal sayýsý 48 ile bölüdüðüde kala 47 oluyor. Ayý sayý 49 a bölüdüðüde kala yie 47 dir. Bu sayýsý 4 ye bölüüce kala e olur? A) 5 B) 7 C) 13 D) 4 E) 41 (1995 UMO) Odalýk yazýlýmý beþ basamaklý bir sayýý biler basamðý 3 olup, bu sayý 37 ve 173 ile bölüüyorsa, bu sayýý yüzler basamaðý kaçtýr? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 A = a3bcd olsu. (37, 173) = 1 olduðuda, A = k dir. (00 UMO) A = 6401 k durumuu saðlaya k tam sayýsý 13 tür. A = = 8313 olduðuda A sayýsýý yüzler basamaðýdaki rakam dir. (k i bir basamaklý olamayacaðýý görüüz.) i (1003 ) Cevap: B sayýsýý bölmesii saðlaya e büyük tam sayýsý kaçtýr? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) (1003 ) a b a (1003) b 5 k 5 olup, e büyük tamsayýsý dir. (006 UMO) Z dir. Cevap: C 88 Meraklýsýa Lise Matematik

21 11 3 3, ( N) kesrii kýsalta k 1 doðal sayýsýý rakamlarýý toplamý kaçtýr? (1999 AMO) Verile kesri kýsalta sayý pay ve paydaý obebi ola (3 +, ) = ( 4, ) = ( 4, 47) = 47 sayýsýý bölmelidir. 47 asal ve k 1 olduðuda, k = 47 ve = 11 olur. Verile kesirde pay ve paydadaki sayýlarý her ikisi de bir d 1 sayýsýa bölüüyorsa, bu sayýlarý farký ola + 3 sayýsý da dye bölümelidir. (m ( + 3) 1, m( + 3) + + ) = ( m( + 3) 1, + 3) = 1 dir. O hâlde, hiç bir (m, ) çifti yoktur. OBEB(x, y) + OKEK(x, y) = x + y + 4 deklemii saðlaya kaç tae (x, y) pozitif tamsayý çifti vardýr? OBEB(x, y) = m olsu. OBEB(a, b) = 1 olmak üzere, x = ma ve y = mb yazýlabilir. OKEK (x, y) = m a b olduðu dikkate alýýrsa, OBEB(x, y) + OKEK(x, y) = x + y + 4 deklemi m + mab = ma + mb + 4 olur. Burada, m(a 1) (b 1) = 4 elde edilir. (005 AMO) i) m = 1 içi (a = 5, b = ) veya (a =, b = 5); ii) m = içi (a = 3, b = ) veya (a =, b = 3) iii) m = 4 içi çözüm yoktur. O halde, deklemi 4 tae pozitif tamsayý çözümü vardýr ,,, kesirlerii hiçbiri sadeleþmeyecek biçimde alýmýþ doðal sayýlarýý e küçüðüü rakamlar toplamý edir? 3 k (k ) 3 k k (003 AMO) olduðuda, öcelikle 11, 1,..., 55 sayýlarýý her biri ile aralarýda asal ola, e küçük 3 + sayýsýý bulmalýyýz. O halde,, 3, 5,..., 53 asallarýa bölümeye ve 3 + formuda olup, 53 te büyük e küçük sayý 59 dur. 3 + = 59 = 19 olur. 19 u rakamlarý toplamý = 10 dur., (k 11, 1,, 55 ) i bölei olup, ý bölei olmaya pozitif sayýlarý sayýsý olsu. sayýsýý 50 ile bölümüde kala edir? (004 AMO) m( 3) 1 m( 3) kesri sadeleþecek þekilde kaç tae (m, ) pozitif tamsayý çifti vardýr? (005 AMO) = sayýsýý pozitif bölelerii sayýsý = dir. Bu sayýda OBEB(60 50, ) = sayýsýý pozitif bölelerii sayýsýý 61 51i çýkarýrsak, (mod 50) buluur. 89

22 a = + 5, ( = 1,,3,...) dizisi verilsi. Her içi a ve a +1 sayýlarýý OBEBi d ile gösterilsi. d i alabileceði e büyük deðer edir? (006 AMO) d = (a, a +1 )=( +5, + + 6) = ( + 5, +1) olacaðýda, d [( + 5) ( + 1)] = 10 olur. Bua göre, d ( + 1) ve d (10 ) olmasýda dolayý, d (( + 1) + (10 )) = 1 d 1 olur. OBEB (x, y) = 5! ve OKEK (x, y) = 50! ve x y olacak þekilde kaç tae pozitif tamsayý çifti vardýr? (1997 Kaada M.O) P 1, P,..., P 1, 7 de 47 ye kadar ola asal sayýlarý göstersi P1 P P1 ve a1 a a3 b1 b b P P P yazalým. 4, 3, 5, P 1, P,..., P 1 sayýlarýý her biri, 50 sayýsýý böleceðide, tüm asal çarpalarý kuvvetleri 5 sayýsýý asal çarpalarýý kuvvetleride farklý olacaktýr. Yie, x,y 50 olduðuda, x 1 3 P1 15 y 1 3 P 15 1 Birbiride farklý olmasý gerekmeye ve toplamlarý 1350 ola 3 pozitif tamsayýý EKOKuu alabileceði e küçük deðeri rakamlarý toplamý edir? a 1 + a a 3 = 1350 = (010 AMO) yazýlabilir. Bua göre, ( i, i ) sayýlarýý büyük olaý 50, küçük olaý 5 sayýsýý çarpaýý i-ici kuvveti olacaktýr. Bua göre, x içi 15 seçeek, bularý yarýsý da y sayýsýda büyüktür. O halde, istee þekilde 15 /= 14 seçeek vardýr OBEB,,,, deðerii bulalým. olduðuda e az bir k içi a k 59 olmalýdýr. Dolayýsýyla, sayýlarý EKOKua m deilirse, m 59 olmalýdýr. 59 asal olduðu içi a j ler 59 veya 1 de oluþmalýdýr = p q, p + q = 3 sistemii saðlaya p, q N bulmalýyýz. Deklemi saðlaya p ve q tamsayýlarý yoktur. O halde, m 60 olmalýdýr. m = 60 içi 1350 = yazýlabileceðide, m = 60 týr. Rakamlarý toplamý = 6 dýr. Verile ifadei obebi d olsu OBEB özellikleride, d bu toplamý bölmesi gerektiðide, d sayýsý i bir kuvveti olabilir d ve k 1 1 Formuda olduðuda, d e fazla 1 olabilir. 009 dur. 90 Meraklýsýa Lise Matematik

23 .3 ALIÞTIRMALAR (ler: 381) de küçük kaç tae k pozitif tamsayý içi (k 5) ve (7k 3) sayýlarý aralarýda asal deðildir? 6. Z + olmak üzere, aþaðýdakilerde hagisi e az bir pozitif tamsayýsý içi sadeleþtirilebilir? 1 1 A ) B ) C ) D ) E) (1993 Spaish M.O.). pozitif bir tamsayý olmak üzere, ifadesi sayýsýý aþaðýdaki deðerleride hagisi içi sadeleþtirilemez? A) 01 B) 011 C) 010 D) 009 E) a, b Z + olmak üzere, obeb( a 1, b 1) = obeb(a, b) 1 olduðuu gösteriiz , 15 7 ve sayýlarýý e az birii bölei ola pozitif tamsayýlarý sayýsýý buluuz? (005 AIME) 8. 1 m < 15 olmak üzere, OBEB( m 1, 1) = 1 olacak þekilde kaç tae (m, ) tamsayý ikilisi vardýr? (1998 AIME) 4. pozitif bir tamsayý olmak üzere, ve ( + 1) sayýlarýý e büyük ortak bölei f() olsu. f() sayýsýý maksimum deðeri kaçtýr? (1985 AIME) 9. 1,, 3,..., 9 sayýlarýý ortak katlarýý e küçüðüü buluuz. 5. m ve aralarýda asal doðal sayýlar olduðua göre, OBEB (m +, m + ) kaç farklý sayý olabilir? (1963 SMO) 10. x, y, z tamsayýlar olmak üzere, (x, y) (x,z) (y,z) [x, y, z] = [x,y] [x, z] [y, z] (x, y, z) eþitliðii doðru olduðuu gösteriiz. 91

24 11. OKEK(6 6, 8 8, k) = 1 1 olacak þekilde kaç tae k pozitif tamsayý vardýr? (1998 AIME) 1. çift pozitif tamsayý ve (a, b) = 1 ola pozitif tamsayýlar olmak üzere, a + b a + b þartýý saðlaya a ve b sayýlarýý buluuz. (00 RMO).4 BÝR TAM SAYININ BÖLENLERÝ a. De Paligac Formülü > 1 ve i = 1,, 3,..., k içi p i asal sayýlar olmak üzere, r1 r rk 3 k p p p olsu. [x], x sayýsýý tam deðerii göstermek üzere, sayýsýý asal çarpalara göre yazýlýþýda, herhagi bir p asal çarpaýý kuvveti, p p 3 p toplamýa eþittir. a 1 b a ve b doðal sayýlar ve bir tamsayýdýr. b a obeb( a, b ) a b 14. m ve pozitif tamsayýlar olmak üzere, A = + 3m + 13, B = 3 + 5m + 1, C = 6 + 8m 1 olduðuu gösteriiz. (1996 Spaish) sayýlarýý obebi d i bütü deðerlerii kümesi M dir. Bir k tamsayýsýý bütü bölelerii kümesii M olduðuu ispatlayýýz. 000 sayýsýý odalýk yazýlýmý souda tam olarak kaç sýfýr vardýr? A) B) 499 C) 65 D) 999 E) Hiçbiri (003 UMO) 000 sayýsýý içide çarpaýý sayýsý 5 çarpaýý sayýsýda fazla olacaðýda kaç tae 5 olduðuu bulmamýz yeterlidir. Bua göre, m, Z + içi, obeb(m, ) + okek(m, ) = m + ise, bu sayýlarda birii diðerii böldüðüü ispatlayýýz. (1995 Rusya M.O.) tae sýfýr vardýr. Cevap: B 16. Ýki pozitif tamsayýý toplamý 94 ve ortak katlarýý e küçüðü 884 ise, bu sayýlarý buluuz. (1994 AIME) Ýlk 100 tek sayýý çarpýmý P olsu. P sayýsý, 3 k ile bölüecek þekildeki e büyük k sayýsý kaçtýr? (006 AIME) 9 Meraklýsýa Lise Matematik

25 P olduðuda, 00 içideki 3 çarpaý sayýsýda, 100 içideki 3 çarpaý sayýsýý çýkarmamýz gerekir. Bua göre, olduðuda, = 49 buluur ve b. Bir Tam Sayýý Pozitif Bölelerii Sayýsý p 1, p, p 3,..., p r farklý asal sayýlarý içi, Bir tamsayýsý içi, + 1 sayýsýý pozitif bölelerii sayýsý aþaðýdakileri hagisi olamaz? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) Hiçbiri (005 UMO) p, q, r sayýlarý asal olmak üzere, + 1 sayýsýý pozitif bölelerii sayýsýý; A) z olmasý içi, + 1 = p olmasý gerekir. = 1 içi iki tae böle olur. B) 4 olmasý içi, + 1 = p q olmasý gerekir. = 3 içi böle sayýsý 4 olur. C) 6 olmasý içi, + 1 = pq ve = 7 alýabilir. D) 8 olmasý içi, + 1 = pqr veya pq 3 ve = 13 içi böle sayýsý 8 olur. O halde, cevap E þýkkýdýr. P 1 r 1 P Pr ise, sayýsýý tüm pozitif bölelerii sayýsý: () = ( 1 + 1) ( + 1)... ( r + 1) dir. ( harfi tau þeklide okuur.) p ve q farklý asal sayýlar, a ve b farklý pozitif tamsayýlar ve = p a q b olmak üzere, sayýsýý pozitif bölelerii sayýsý 81 ise, 3 sayýsýý pozitif bölelerii sayýsý kaçtýr? = p a q b sayýsýý pozitif bölelerii sayýsý, ( ) (a 1)( b 1) 81 (1996 UMO) olur. a b ve pozitif tamsayýlar olduðuda bu eþitlik acak, 3 7 þeklide olabilir. Yai, a + 1 = 3 ve b + 1 = 7 O halde, 3 = p 3a q 3b = p 3 q 39 pozitif sayýsýý bölelerii sayýsý, 3 ( ) ( 3 1)( 39 1) 160 buluur. a = 1 ve b = 13 olur. P 3 + P + P ifadesii 4 tae pozitif bölei (çarpaý) olmasýý saðlaya e küçük P asal sayýsý edir? P 3 + P + P = P(P + 1) ifadesii P asal ike 4 tae bölei varsa, (P + 1) i 1 bölei olmalýdýr. P + 1 i asal çarpalarýý kuvvetleri, a, b, c,.. olmak üzere, (P + 1) = (P 1 a b c P 1 P1... ) dir. Böylece, (a + 1)(b + 1)(c + 1)... = 1 dir. Bu ise acak P + 1 i iki çarpaý a + 1 = 3 ve b + 1 = 7 ike olur. a = 1 ve b = 3 tür. Dolayýsýyla, P + 1 ifadesi (P 1 P 3 ) formudadýr. 4 = 3 3 içi, P = 3 olur. 93

26 4 sayýsýý böleleri, {1,, 3, 4, 6, 8, 1, 4} olduðuda, bu bölelerde 1 + p + p p formuda yazýlalarý bulalým: 1 + p = 3 p = dir. 1 + p = 4 p = 3 tür. 1 + p = 6 p = 5 tir. 1 + p = 8 p = 7 dir. 1 + p = 1 p = 11 dir. 1 + p = 4 p = 3 olduðuda, 4 ü çarpalarýda 3, 4, 6, 8, 1 ve 4 çarpalarý {1 + p + p p } formuda yazýlabilir. Bularý arasýda çarpýmý 4 olacak þekilde alabileceðimiz tek sayý 4 tür. O halde, pozitif bölelerii toplamý 4 ola tek sayý p = 3 tür..4 ALIÞTIRMALAR (ler: 384) 1. x y = 7 (x + y) deklemii kaç tae (x, y) pozitif tam sayý çözüm ikilisi vardýr?. Z + x y olmak üzere, = deklemii kaç tae (x, y) pozitif tam sayý çözümü x+ y vardýr? 3. 8 tae pozitif tam bölei ola e küçük tam sayýyý buluuz sayýsýý pozitif böleleride çift olalarýý toplamýý bulalým sayýsýý çift böleleri 1 a 3 ve 0 b 3 olmak üzere, a. 5 b formudadýr. Bu formdaki pozitif böleleri toplamý, ( )( ) ( ) Her Z içi f()= olsu. 3 f() i > 1 içi tam sayý olamayacaðýý gösteriiz. 5. p ve q farklý asal sayýlar. a ve b farklý pozitif sayýlar ve = p a q b olmak üzere; sayýsýý pozitif bölelerii sayýsý 81 ise 3 sayýsýý pozitif bölelerii sayýsý kaçtýr? elde edilir. Bir pozitif tamsayýsý içi () = ise, sayýsýa mükemmel sayý deir. Bir pozitif tamsayýsý içi ( ()) = ise, sayýsýa süper mükemmel sayý deir. p asal ise, (p) = p + 1 olduðuda, hiç bir asal sayý mükemmel sayý deðildir. (6) = 1, (8) = 56 mükemmel sayý, ( (16)) = 3 süper mükemmel sayýdýr. 6. = olsu. i de küçük ve yi bölmeye kaç tae pozitif tam bölei vardýr? 7. a. () = 36 ola bir tam sayý buluuz. b. < 100 içi () = 1 ola tüm tam sayýlarý buluuz. 95

27 8. a. () = 7 ola bütü tam sayýlarý buluuz. b. () = 51 eþitliðii saðlaya deðeri var mýdýr? c. () = 4 þartlarýý saðlaya bütü deðerlerii buluuz. d. () = 91 eþitliðii saðlaya bütü deðerlerii buluuz. 15. Kediside ve 1 de farklý pozitif bölelerii çarpýmýa eþit ola ilk 10 sayýý toplamýý buluuz. (1987 AIME) 9. a ve b sayýlarý 133 sayýsýý pozitif böleleri olmak üzere; (a, b) ikililerii düþüüüz. Bu ikililerde kaç taesi içi b, a yý tam böler? 16. sayýsý 75 i katý ola ve tam 75 pozitif bölei ola e küçük pozitif tamsayý olduðua göre, 75 kaçtýr? (1990 AIME) tae pozitif bölei ola e küçük pozitif tam sayýý 10 tabaýa göre yazýlýmýda, rakamlarý kareleri toplamý kaçtýr? 11. Bir tam sayýsýý farklý tam sayý bölelerii sayýsý N() olsu. Öreði 4 sayýsýý böleleri 1,, 3, 4, 6, 8, 1 ve 4 olduðuda N(4) = 8 dir. Bua göre, N(1) + N() N(1989) toplamý tek mi yoksa çift midir? 17. Kaç tae pozitif tamsayýý kediside baþka 50 de küçük tam 3 tae pozitif bölei vardýr? (005 AIME) sayýsýý kaç tae pozitif bölei tam 004 tae pozitif tam sayýya bölüebilir? (004 AIME) 1. 1 a 001, 1 b 001 dir. a ve b i e küçük ortak katýý 001 olmasýý saðlaya kaç tae (a, b) pozitif tam sayý ikilisi vardýr? sayýsýý a, b > 0 olmak üzere, a 3 b formudaki tüm bölelerii toplamý kaçtýr? (1989 Avust - Pol. M.O) tae tek pozitif tamsayý bölei ve 1 tae çift pozitif tamsayý bölei ola e küçük pozitif tamsayýý rakamlarý toplamý kaçtýr? (000 AIME) 14. Pozitif bölelerii sayýsýý karesie eþit kaç tae pozitif tamsayý vardýr? (1999 Kaada M.O) 0. p + 11 sayýsýý tam 6 tae pozitif bölei olacak þekilde kaç tae p asal sayýsý vardýr? (1995 Rusya M.O) 96 Meraklýsýa Lise Matematik

28 sayýsýý rastgele seçilmiþ bir pozitif böleii ü bir tam katý olmasý olasýlýðý edir?. (+1)(+)... (5 1) 5 (000 UÝMO) sayýsýý 5 86 ya bölümesii saðlaya e küçük pozitif tamsayýsýý rakamlarý toplamýý buluuz. (005 AMO) 3. m ve sayýlarý 000 sayýsýý pozitif böleleri olmak üzere, (m, ) ikililerii düþüüüz. Bu ikililerde kaç taesi içi sayýsý myi tam böler? (000 AMO) 4. Kaç (m, ) pozitif tamsayý ikilisi içi, sayýsý m ile bölüür? (009 UMO).5 Modüler Aritmetik m pozitif bir tam sayý olsu. Eðer m sayýsý iki tam sayýý farký a b yi bölüyorsa, modül m ye göre, a dektir b deir ve a b (mod m) þeklide yazýlýr. Diðer yada, modül m ye göre, a dek deðil b ise a b (mod m) þeklide ifade edilir. Buradaki m modüldür. a b (mod m) de, b ye a ý modül m ye göre kalaý deir. Buu tersi de doðrudur. 0 b m 1 ike, b ye a ý modül m ye göre egatif olmaya e küçük kalaý deir. 0 (mod m) yazýlýr. 8 8 (mod 10), 1 3 (mod ) 5 (mod 3) 4 0 (mod 4) + 1 = 1 (mod ) dir. Bir A sayýsý m ile bölüebiliyorsa A a b (mod m) acak ve acak a b farkýý m ile bölüüyorsa saðladýðýý gösterelim. a b (mod m) ise a ve b i m ile bölümleride ortak kala r olmak üzere, a = mk 1 + r, b = mk + r dir. Böylece, a b farký m ile bölüebilir. Ayý soucu þu þekilde de okuyabiliriz. Eðer, a b farký m ile bölüebilirse a ve b i m ile bölümüde kalalar ayýdýr. 5. () ile pozitif tam sayýsýý pozitif tam sayý bölelerii sayýsý gösteriliyor. (1 ve dahil) Öreði; (1) = 1 ve (6) = 4 tür. S() de S() = (1) + () + (3) () þeklide taýmlaýyor. 005 içi S() i tek olduðu durumlarý sayýsý a ile ve çift olduðu durumlarý sayýsý b ile gösteriliyor. Bua göre, a b kaçtýr? (005 AIME) i. a b (mod m) ifadesi m a b veya a = b + k m, k Z þeklide alaþýlmalýdýr. ii. Eðer a, m i bir katý ise a 0 (mod m) dir. iii. Ýki sayýý modül m ye göre dek olabilmeleri acak ve acak m ile bölümüde kalalarý eþit olmasýyla mümküdür. iv. modül m de kalalar 0, 1,,..., m 1 de birisidir. 97

29 76, 447, 5054, 641 sayýlarý iki basamaklý bir m sayýsýa bölüdüðüde ayý kalaý veriyorlar. Bua göre, m i deðerii bulalým. m ( ) m 1746 ve m ( ) m 58 ve m ( ) m 1358 ve Görüldüðü gibi sayýlarý farkýý böle tek ortak sayý iki basamaklý 97 sayýsýdýr. O halde, m = 97 dir k sayýsýý 17 ile bölümesii saðlaya e küçük pozitif k sayýsýý bulalým sayýsýý 7 ile bölümüde kala edir? Öcelikle, (mod 7 ) yazabiliriz (mod7) ve (mod 7) bilgisii kullaýrsak, (mod 6) buluur. Bu da, = 6k + 3, k O halde, Z + dir k (mod 7 ) olduðuda, kala 6 dýr. 7 7 m 7 m m 1 (mod 17 ) ( ) 1 1 (mod 17 ) Bua göre, ( ) ( ) 64 (mod 17 ) olmak üzere, ifadesii 10 ile bölüebilmesi içi e küçük pozitif tamsayýsý kaç olmalýdýr? olur. O halde, e küçük k deðeri = 63 olur ifadesii 49 ile bölümeside elde edile kalaý bulalým. a + b = (a + b) (a 1 a b b 1 ) olduðuu biliyoruz. ( Z + ) Dolayýsýyla, = (6 + 8) ( ) = 14 M, M = dir. O halde, M ( 1) ( 1) ( 1) (mod 7 ) 73 terim olur. 7 m olduðuda, m ve kala sýfýr elde edilir. N = olsu. N (mod 10) olur. Yaklaþýk deðerii tahmi edelim ve = 1000 alalým. N 1 + ( 4 ) 50 + (3 4 ) 50 + (4 ) (mod 10) Þimdi = 1001 alalým. N (mod 10) Böylece e küçük = 1001 olur. herhagi bir tek doðal sayý olmak üzere, sayýsýý + ile bölüemediðii gösterelim. 99

30 modül + de verile ifadeyi ikiþerli gruplarsak, (mod ) olur. Böylece ispat tamamlaýr sayýsýý so dört rakamýý bulalým sayýsýý 77 ile tam olarak bölümesii ve 1 77 koþuluu saðlaya kaç tae tamsayýsý vardýr? (1996 UÝMO) ( 5) olduðua göre, ifadesi daima 7 ye bölüeceðide, bu sayýý 77 ye bölüebilmesi içi, 5 sayýsý 11 ile bölüebilmelidir. Yai, 5 0 (mod 11) olmalýdýr. Bua göre, 5 (mod 11) 8 (mod 11) olur. Yai, = 11k + 8, k Z olmalýdýr aralýðýdaki 11k + 8 formudaki sayýlar, 8, 19, 30, 41, 5, 63 ve 74 olmak üzere 7 taedir. 7 4 = (mod 10 4 ) 7 8 = (7 4 ) = ( ) = (400) (mod 10 4 ) 7 16 ( ) 9601 (mod 10 4 ) 7 3 ( ) 901 (mod 10 4 ) 7 64 ( ) 8401 (mod 10 4 ) 7 18 ( ) 6801 (mod 10 4 ) O halde, 7 18 sayýý sodört rakamý 6801 dir sayýsýý 11 ile bölümesii saðlaya 003 te büyük e küçük tamsayý edir? (003 UMO) pozitif bir tamsayý ise, 3 i 3 ye bölümüde kala aþaðýdakilerde hagisi olamaz? A) 1 B) 11 C) 15 D) 5 E) Hiçbiri (003 UÝMO) (mod 3) (mod 3) 3 9 (mod 3) (mod 3) (5) (mod 3) (mod 3) (mod 3) (mod 3) olduðuda, kalalar 3, 9, 7, 17, 19, 5, 11, ve 1 olabilir. Fakat 15 olamaz. Cevap: C Bir pozitif tamsayýý 5 ici kuvveti mod 11de 1 veya 1 olabilir (mod 11) (mod 11) 5 3 (mod 11) (mod 11) (mod 11) olduðuda, sayýsýý 11 ile bölümesi içi = 5k olmalýdýr. O halde, (mod 11) olduðuda, = 005 olmaz (mod 11) olduðuda = 010 istee küçük tamsayýdýr. 100 Meraklýsýa Lise Matematik

31 sayýsý 3 tabaýa göre yazýldýðýda so iki basamak e olur? icelememizi (mod 9) da yapacaðýz (mod 9 ) dekliðie göre, (004 UMO) (mod 9), 7 4 (mod 9), (mod 9) olduðuda, (mod 3) te ifadesii degii bulalým. 3, 4k 9, 4k 1 3 (mod 11) 5, 4k 3 4, 4k elde edilir. O halde, 006 = olduðuda ( ) 9 4 (mod 11) 3 6 ( 1) 1 10 (mod 11) olur. Cevap: E (mod 3 ) olur. O halde, (mod 9 ) elde edilir. 7 sayýsý 3 tabaýa göre yazýldýðýda 7 = (1) 3 olduðuda, so iki rakamý 1 olur sayýsý koþuluu saðlaya tamsayýlarýda kaç taesi içi 7 ye bölüür? A) 8 B) 30 C) 3 D) 34 E) Hiçbiri (1993 UÝMO) toplamý, 11 modua göre aþaðýdakileri hagisie eþittir? A) 0 B) 1 C) D) 5 E) (mod 11) (mod 11) (mod 11) (mod 11) olduðuda, üsleri modül 5 te deðerlerii bulalým. 1 (mod 5) 3 3 (mod 5) 4 (mod 5) 4 1 (mod 5) olduðuda, ve (mod 7) ise, (mod 7) 5 4 ve 3 (mod 7) ise, (mod 7) ve (mod 7) ise, (mod 7) 5 4 ve (mod 7) ise, (mod 7) ve (mod 7) ise, (mod 7) ve (mod 7) ise, (mod 7) görüldüðü gibi, k Z içi, = 6k + veya = 6k + 4 olmalýdýr aralýðýda = 6k + formuda,, 8, 14, 0,..., 98 olmak üzere, 17 sayý vardýr. = 6k + 4 formuda ise, 4, 10, 16,..., 100 sayýlarý olmak üzere, 17 sayý vardýr. O halde, toplam 34 tae tamsayýsý vardýr. Cevap: D 101

32 1 a 37, 1 b 37 koþullarýý ve 37 i 1 + 7a + 8b + 19ab ifadesii bölmesii saðlaya kaç (a, b) tamsayý ikilisi vardýr? A) 37 B) 63 C) 73 D) 36 E) Hiçbiri (009 UÝMO) 1 + 7a + 8b + 19ab 1 + 7a + 8b + 56ab (mod 37) (7a + 1) (8b + 1) (mod 37) elde edilir. Yai verile ifadei 37 ile bölüebilmesi içi, (7a + 1) (8b + 1) çarpýmýý 37 ye bölümesi gerekir. 37 asal olduðuda, bu çarpalarda herhagi birii 37 i katý olmasý gerekir. O halde, k Z içi, Sayýlarý tek tek iceleyelim: (1) (mod 4) (mod 3) olduðuda, bu iki sayýý tamkare olmasý mümkü deðildir = 1 ( ) = 1 14 olduðuda tamkare olmadýðý kolayca görülebilir = (11 1) ifadeside 11 = a deirse, a + (a + 1) + a (a + 1) = (a + a + 1) elde edilir. Bu da = 133 olur. O halde, verile sayýlarda sadece biri tamkaredir. Cevap: A 37k 1 k 1 7 a 1 37k ise, a 5k 7 7 eþitliðide, 1 a 37 dikkate alýýrsa, k = 4 ve a = 1 buluur. b ise, 1 ile 37 arasýdaki tüm deðerleri alabilir. Ayý þekilde, m Z içi, 8b 1 37m ise, b 4m 5b 1 eþitliðide, m = 5 ve b = 3 buluur. Bu b deðerleri içi, 37 tae a deðeri vardýr. (1, 3) ikilisi iki kez sayýldýðýda, toplam 74 1 = 73 ikili vardýr. 8 Cevap: C Aþaðýdaki sayýlarda hagisi sayýsýý böler? A) 19 B) 17 C) 13 D) 11 E) Hiçbiri (010 UMO) x deirse, x olur , , , 11, sayýlarýda kaçý bir tamsayýý karesie eþittir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 0 (009 UMO) Bua göre, x x 1 þeklide olur. x + x + 1 = x(x + 1) + 1 gibi düþüürsek, 1 eksiði ardýþýk iki sayýý çarpýmýdýr. Þýklarda buu saðlaya sadece 13 var. x 3 (mod 13) içi x + x (mod 13) olur. Cevap: C 10 Meraklýsýa Lise Matematik