Contents. Bu notlar Feza Gürsey Enstitüsü nde düzenlenen Grup/Temsil kuramından kesitler başlıklı programda verdiğim dersin notlarıdır.

Transkript

1 İKILI KÜME İZLEÇLERINE GIRIŞ OLCAY COŞKN Contents 1. Giriş 1 2. İkili Kümeler 1 3. İkili Küme İzleçleri: Tanım 4 4. Örnekler 5 5. Basit ikili küme izleçlerinin sınıflandırılması 6 References 7 1. Giriş Bu notlar Feza Gürsey Enstitüsü nde düzenlenen Grup/Temsil kuramından kesitler başlıklı programda verdiğim dersin notlarıdır.(şubat İkili Kümeler Bu bölümde ikili kümeler kuramını sunacağız. Bu kuramın ayrıntıları [1] da bulunabilir. H ve K sonlu öbekler ve Y de sonlu bir küme olsun. Eğer Y kümesi üzerinde birbiriyle değişmeli bir sol H-etkisi ve bir sağ K-etkisi varsa, Y kümesine bir (H, K-ikili kümesi denir. Bu etkilerin değişmeli olması aşağıdaki eşitliğin her h H, y Y ve k K için sağlamnası demektir; h (y k = (h y k. İlk amacımız bütün (H, K-ikili kümelerini sınıflandırmak olacak. Bunun için aşağıdaki tanıma ihtiyacımız var. Y bir (H, K-ikili kümesi ve y de bu kümenin bir öğesi olsun. Bu öğenin Y içindeki (H, K-yörüngesi Y içinde H ve K etkisiyle elde edilebilecek öğelerin kümesi olarak tanımlanır ve H y K ile gösterilir. Bu kümeyi aşağıdaki gibi yazabiliriz. H y K = {z Y h H, k K : h z k = y}. Bu tanımın sonucu olarak Y ikili kümesini yörüngelerinin ayrık birleşimi olarak aşağıdaki şekilde yazabiliriz: Y = H y K. y H\Y/K Yukarıdaki birlşim Y ikili kümesinin (H, K-yörüngelerinin temsilcileri üzerinden yapılmaktadır. Yörünge tanımının bir diğer sonucu olarak geçişli ikili küme tanımını sadece bir tane (H, K-yörüngesi olan ikili küme olarak yapabiliriz. Yukarıdaki gözlemimizle birlikte her (H, K-ikili kümesini geçişli ikili kümelerin ayrık birleşimi olarak yazabileceğimiz sonucuna ulaşırız. Bu durumda bütün (H, K-ikili kümelerini 1

2 2 OLCAY COŞKN sınıflandırma sorununu geçişli ikili kümelerin sınıflandırılması sorununa ildirgemiş oluyoruz. Y ve Z (H, K-ikili kümeleri ve f : Y Z işlevi verilsin. Eğer f işlevi (H, K-etkisi ile değişmeli ise f işlevine bir (H, K-ikili kümeleri yapı dönüşümü diyeceğiz. Burada f işlevinin (H, K-etkisiyle değişmeli olması f(h y k = h f(y k eşitliğinin bütün h H, k K ve y Y için sağlanması demektir. Bu tanımın sonucu olarak bütün (H, K-ikili kümeleri yerine sadece (H, K-ikili kümelerinin eş yapı dönüşüm sınıflarını düşünebiliriz. Son olarak eğer Y bir (H, K-ikili kümesi ise Y kümesini (h, k y := h y k 1 etkisi ile bir H K-kümesi olarak görebiliriz. Benzer şekilde her bir H K- kümesini bir (H, K-ikili kümesi olarak görebiliriz. Dahası herhangi bir (H, K- ikili kümesinin geçişli olması bu kümenin yukarıdaki gibi H K- kümesi olarak görüldüğünde geçişli olmasına denktir. Bu denkliği ve geçişli H K-kümelerinin sınıflandırılmasını kullanarak geçişli (H, K-ikili kümelerinin eş yapı dönüşüm sınıflarını aşağıdaki şekilde tarif edebiliriz. Sav 2.1. Geçişli (H, K-ikili kümelerinin eş yapı dönüşüm sınıfları ile H K öbeğinin altöbeklerinin eşlenik sınıfları arasında birebir ve örten bir işlev vardır. Bu işlev verinen geçişli bir (H, K-ikili kümesi ile bu kümeden seçilen herhangi bir öğenin H K içindeki sabitleyicisini eşler. ( Bundan sonra H K içindeki sabitleyicisi olan geçişli (H, K-ikili kümesini H K [ ile, bu kümenin eş yapı dönüşüm sınıfını ise H K ] ile göstereceğiz. Şimdi (H, K-ikili kümelerinin Burnside öbeği ni bu kümelerinin eş yapı dönüşüm sınıfları üzerindeki özgür değişmeli öbek olarak tanımlayalım ve bu öbeği B(H, K ile gösterelim. Bu durumda [ H K ] B(H, K = Z H K H K olur. Yukarıdaki toplam H K nın altöbeklerinin eşlenik sınıflarının temsilcileri üzerinden yapılmaktadır. Yorum 2.2. Herhangi bir (H, K-ikili kümesini B(H, K nın bir üyesi olarak gösterebileceğimiz açıktır. Ancak B(H, K-nın tüm üyeleri ikili kümeler değillerdir. Eksi işaretli semboller içeren üyelere sanal ikili küme diyelim Bileşke çarpımı. İkili kümelerin bileşke çarpımını aşağıdaki gibi tanımlarız. H, K ve L sonlu öbekleri ile (H, K-ikili kümesi X ve (K, L-ikili kümesi Y verilsin. X ve Y nin Mackey çarpımını X Y çarpımının K-yörüngelerinin kümesi olarak tanımlayalım ve X K Y ile gösterelim. Burada K nın X Y üzerindeki etkisi k (x, y = (x k 1, ky ile verilir. Bu küme H nin soldan çarpma ve L nin sağdan çarpmasıyla bir (H, L- ikili kümesi olur. Bu çarpmayı doğrusal olarak genişletirsek B(H K B(K L den B(H L ye her iki konaçtada doğrusal olan bir dönüşüm elde etmiş oluruz. Alıştırma. Yukarıdaki Mackey çarpmasının birleşmeli olduğunu gösterin.

3 İKILI KÜME İZLEÇLERINE GIRIŞ 3 Geçişli kümelerin Mackey çarpımı aşağıdaki eşitlikle bulunur. G H ve V H K verilsin. Bu altöbeklere karşılık gelen ikili kümelerin çarpımı ( H K ( K L ( H L K = V (x,1 V olur. Burada x p 2 (\K/p 1 (V V = {(h, l H L : k K (h, k ve (k, l V } ve K nın p 1 (V ile p 2 ( altöbekleri aşağıdaki gibi tanıımlanır: p 1 ( = {h H : (h, k for some k K} ve p 2 ( = {k K : (h, k for some h H}. ( ( Bunu ispatlamak için X = ve Y = olsun. Bu durumda X K H K Y nin H L-yörüngelerinin p 2 (\K/p 1 (V kümesi ile sayılabileceğini ve bu kümeden seçilen her bir ikili eşküme temsilcisi x p 2 (\K/p 1 (V için, bu temsilciye karşılık gelen yörüngenin sabitleyicisinin H K öbeğinin (x,1 V altöbeği olduğunu göstermemiz gereklidir.. Şimdi x X ve y Y sabitleyicileri ve V olan üyeler olsun. Alıştırma. X K Y nin her (H, L-yörüngesinin bazı k K için (x, K ky formunda bir üye içerdiğini gösterin. Bu alıştırmayı kullanırsak sadece yukarıdaki gibi iki üyenin ne zaman birbirine eşit olduğunu göstermemizin yeterli olduğunu görürüz. Bunun için (x, K k 1 y ve (x, K k 2 y üyelerinin aynı (H, L-yörüngesinde olduklarını varsayalım. Bunun anlamı H L den seçilen bir (h, l üyesi için K L V (x, K k 1 y = (hx, K k 2 yl eşitliğinin sağlanacak olmasıdır. Ancak bunun anlamıda bir k K için (x, k 1 y = (hxk 1, kk 2 yl eşitliğinin sağlanmasıdır. Şimdi bu ise (h, k ve (k1 1 kk 2, l 1 V olacak şekilde (h, k, l H K L üyesinin olması demektir. Son olarak bu üyenin varlığı k p 2 ( ve k1 1 kk 2 p 1 (V koşullarını sağlayan bir k K olmasına denktir ve bu da bizim istediğimiz sonuç. Alıştırma. (x, K ky üyesini içeren yörüngenin sabitleyicisinin (k,1 V olduğunu gösterin Temel ikili kümeler. Bouc [1] geçişli ikili kümelerin beş tane özel ikili kümenin Mackey çarpımı olarak yazılabileceğini kanıtlamıştır. Şimdi bu sonucu gözden geçireceğiz. Önce bazı gösterimleri üretmemiz gerekiyor. H sonlu bir öbek ve J bu öbeğin bir alt öbeği ve N de J nin bir normal altöbeği olsun. Ayrıca M ve L eş yapılı sonlu öbekler olsun ve φ : L M bu öbekler arasında bir eşyapı dönüşümü olsun. Bu gösterimlerle beş temel ikili küme aşağıdaki gibi tanımlanabilir. 1. Aktarım (H, J-ikili kümesi: Akt H J := ( H J T ve T = {(j, j : j J}. 2. Şişirme (J, J/N-ikili kümesi: Şiş J J/N := ( J J/N ve I = {(j, jn : j J}. 3. Eş yapı (M, L-ikili kümesi: c φ M,L = ( M L C φ 4. Söndürme (J/N, J-ikili kümesi: Sön J J/N = ( J/N J D J}. I ve C φ = {(φ(l, l : l L}. ve D = {(jn, j : j

4 4 OLCAY COŞKN 5. Kısıtlav (J, H-ikili kümesi: Kıs H J = ( J H R Yorum 2.3. Makale boyunca Akt H J J Kıs G J, Şiş K J J Kıs G J Akt H J Kıs G J, Şiş K J Kıs G J vb gösterimlerini kullanacağız. ve R = {(j, j : j J}. vb gösterimleri yerine Aşağıdaki sav geçişli ikili kümelerin yukarıda tanımlanan beş temel ikili kümenin çarpımı olarak nasıl yazıldığını açıkça göstermektedir. Kanıt için [1] makalesine bakılabilir. Sav 2.4 (Bouc. H K nın herbir altöbeği L için aşağıdaki eşitlik sağlanır. ( H K = Akt H p 1 (Şiş p 1( p 1 (/k 1 ( cφ p 1 (/k 1 (,p 2 (/k 2 ( Sönp 2( p 2 (/k 2 ( KısK p 2 (. Yukarıda adı geçen H nin k 1 ( altöbeği ile K nın k 2 ( altöbeği k 1 ( = {h H : (h, 1 } ve k 2 ( = {k K : (1, k }. eşitlikleri ile tanımlanır. Ayrıca φ : p 2 (/k 2 ( p 1 (/k 1 ( eş yapı dönüşümü lk 2 ( yu mk 1 ( ile eğer (m, l ise eşleyen dönüşümdür. Kanıt. Alıştırma Birleştirmeler. Beş temel ikili kümeyi kullanan Bouc un çarpanlara ayırma savını ikili kümelerin birleşmelerini kullanarak basitleştirebiliriz. Dikkat edilirse hem aktarım hem de şişirme ikili kümeleri sağdan sola doğru bakıldığında bir öbeği ondan daha büyük bir öbekle ilişkilendiriyor ve benzer şekilde kısıtlav ve söndürme ikili kümeleri bir öbeği ondan daha küçük bir öbekle ilişkilendiriyor. Bu benzerlikleri kullanarak aktarım ikili kümesi ile şişirme ikili kümesinin Mackey çarpmasına büyütme ikili kümesi, söndürme ve kısıtlav ikili kümelerinin Mackey çarpımınada küçültme ikili kümesi diyelim ve bu kümeleri aşağıdaki gibi gösterelim. Byt H J/N := Akt H J Şiş J J/N Kçt H J/N := Sön J J/NKıs H J. Bu gösterimi kullandığımızda Bouc un savı ( H K = Byt H p 1 (/k 1 ( c φ p 1 (/k 1 (,p 2 (/k 2 ( KçtK p 2 (/k 2 (. şeklini alır. 3. İkili Küme İzleçleri: Tanım 3.1. İkili Kümeler lamı. R değişmeli bir halka ve G de sonlu öbeklerin eş yapı dönüşüm sınıflarının temsilcilerini içeren bir küme olsun. C R ile aşağıdaki ulamı göstereceğiz. C R ulamının nesneleri G deki öbekler olsun. G den verilen G ve H öbekleri için, Yapı C (G, H := RB(H G := R Z B(H G olarak tanımlansın. C R deki yapı dönüşümlerinin bileşkesi ikili kümeler için tanımladığımız Mackey çarpmasının Burnside öbeklerine R-doğrusal genişletilmesiyle elde edilsin.

5 İKILI KÜME İZLEÇLERINE GIRIŞ 5 Yorum 3.1. Aşağıdaki şekil ikili kümelerin yapı dönüşümü olarak düşünülmesinde yardımcı olacaktır.. K Kıs K p 2 ( H. Akt H p 1 ( p 1 (. p. 2 ( k. 2 ( k 1 (. Şiş p 1( p 1 (/k 1 ( 1 Sön p 2( p 2 (/k 2 ( 1 Burada kısıtlav ve söndürmenin ilgili kısımları keserek K öbeğinin içindeki p 2 /k 2 parçasını elde ettiğini, daha sonra eş yapı ikili kümesinin bu parçayı p 1 /k 1 öbeğine taşıdığını ve sonrasında da şişirme ve aktarımın bu öbeğe ilgili parçaları ekleyerek H öbeğini oluşturduğunu görebiliriz Şimdi R üzerinde bir ikili küme izleci C R den R-mod a R-doğrusal bir izleç olarak tanımlanır. F ile ikili küme izleçlerinin izleç ulamını gösterelim. Bu durumda F in nesneleri ikili küme izleçleri, yapı dönüşümleri ise izleçlerin doğal dönüşümleri olur. Eğer R halkası tamsayılar halkası olarak seçilirse, C Z yi kısaca C olarak yazacağız. 4. Örnekler 4.1. Burnside izleci. B ile göstereceğimiz Burnside izleci C ulamından verilen H öbeğini sonlu H-kümelerinin Burnside öbeğine götürsün. Bir diğer değişle, B(H öbeği C ulamındaki bir üyeli öbekten H-öbeğine giden yapı dönüşümlerinin öbeği olsun, B(H := B(H, 1. Ayrıca verilen bir (K, H-ikili kümesi X in B altındaki görüntüsü soldan çarpma ile verilsin, B(X : B(K B(H, [K/V ] [X K K/V ]. Alıştırma. Yukarıda tanımlanan B nin bir ikili küme izleci olduğunu gösterin. Alıştırma. Temel ikili kümelerin B altındaki görüntülerini bulun ve elde ettiğiniz bu dönüşümlerin öbek etkileri kuramında benzer olarak isimlendirilen dönüşümlere karşılık geldiğini gösterin Adlanım halkası izleci. R F ile verilen bir H öbeğini o öbeğin F cismi üzerindeki adlanımlarının halkası olan R F (H e götüren izleci gösterelim. Burada R F (H öbek olarak basit adlanımların eş yapı dönüşüm sınıfları üzerinde tanımlı özgür abelyen öbektir. Aynı zamanda R F (H i H nin öbek cebiri F H nin basit parçalarının ürettiği özgür abelyen öbek olarakta düşünebiliriz. Bir diğer denk tanımlamada eğer F nin belirtkesi sıfır ise H nin karakter öbeği olarak yapılabilir.

6 6 OLCAY COŞKN Bu izleç (K, H-ikili kümesi X i aşağıda gösterilen dönüşüme götürür. X : R F (K R F (H, [M] [F X F K M]. Burada F X ile vektör uzayı olarak temeli X kümesi olan vektör uzayına eşit olan ve (F H, F K etkisinin (H, K nın X üzerindeki etkisinin doğrusal genişletmesi olarak tanımlanan (F H, F K-ikili parçasını gösteriyoruz. Alıştırma. Eğer F nin belirtkesi sıfır olduğunda, R F nin bir ikili küme izleci olduğunu gösterin. Alıştırma. Eğer F nin belirtkesi sıfırdan farklı olduğunda, R F nin bir ikili küme izleci olmadığını gösterin. Alıştırma. Temel ikili kümelerin R F altındaki görüntülerini bulun ve elde ettiğiniz bu dönüşümlerin parça kuramında benzer olarak isimlendirilen dönüşümlere karşılık geldiğini gösterin Doğrusallaştırma dönüşümü. Yukarıda tanımladığımız ikili küme izleçleri arasında bir doğal dönüşüm bulunmaktadır. Bu dönüşüm verilen bir H-kümesi X i F X parçasına gönderen eşleme doğrusal genişletme ile B(H den R F (H e bir öbek dönğşümü verir. Bu dönüşüme doğrusallaştırma dönüşümü diyelim, doğ H : B(H R F (H, [X] [F X] Alıştırma. Doğrusallaştırma dönüşümü (doğ H H in ikili küme izleçleri dönüşümü olduğunu gösterin. (İpucu: Tanım gereği her H için doğ H nin bir öbek dönüşümü olduğunu ve bu dönüşümlerin ikili kümelerin etkileri ile uyumlu olduğunu göstermek yeterli olacaktır. 5. Basit ikili küme izleçlerinin sınıflandırılması Bu bölümde Bouc un basit ikili küme izleçlerini sınıflandırıp tarif ettiği sonuçları inceleyeceğiz. Ayrıntılar [1] de bulunabilir. H sonlu bir öbek olsun. E H ile H nin C ulamındaki özyapı dönüşümlerinin halkasını gösterelim. Bu halkanın üyeleri bütün (H, H-ikili kümeleridir ve birim elemanıda H ikili kümesidir. Bu halkanın H nin bütün özeşyapı dönüşümlerini içerdiği açıktır ve aynı şekilde her bir iç özeşyapı dönüşümü birim dönüşüme eşittir. Bunun anlamı dış özeşyapı dönüşümleri öbeği Dış(H nin öbek cebiri RDış(H nin bu halkanın bir althalkası olduğudur. Bu althalkanın tümleyeni olan I H ideali E H de bulunan geçişli ikili kümelerden daha küçük bir öbek üzerinden çarpanlarına ayrılabilerler tarafından üretilir. Alıştırma. I H nin E H nin ikiyönlü ideali olduğunu gösterin. Bu durumda E H halkasını şeklinde parçalayabiliriz ve böylece E H = I H ROut(H. E H ROut(H örten bir dönüşümünü elde etmiş oluruz. Sonuç olarak herhangi bir basit RDış(H- parçası V basit bir E H -parçası V ye genişletilebilir. Şimdi e H ile H de hesaplama izlecini gösterelim, bir diğer değişle, e H : F E H - mod izleci herhangi bir ikili küme izlecini bu izlecin H deki değerine götürsün. Bu değerin E H -parçası olduğu açıktır. L H,? ile de e H izlecinin sol ekleniği olsun. Açık olarak eğer V bir E H -parçası ve K sonlu bir öbekse L H,V (K = Hom C (H, K EH V

7 İKILI KÜME İZLEÇLERINE GIRIŞ 7 olur. Her hangi bir ikili kümenin L H,V üzerindeki etki dönüşümlerin bileşkeleri alınarak tanımlarır. L H,V izlecinin sadece bir tane azami altizleci vardır ve bu izleç aşağıdaki gibi tarif edilir. J H,V (K = { φ i v i ψ Hom CG (K, H, (ψφ i v i = 0}. i i Bundan dolayı L H,V nin bu azami altizlece oranı basit ikili küme izleci olur ve bu oran izlecini S H,V := L H,V /J H,V ile gösteririz. Dahası aşağıdaki sav doğrudur. Sav 5.1. (Bouc [1] Her basit ikili küme izleci bazı sonlu öbekler ve basit RDışHparçası V için S H,V bisit izleciyle eşyapışıdır Basit izleçlerin farklı bir kurulumu için [2] ye bakılabilir. References [1] S. Bouc, Foncteurs d ensembles munis d une double action, J. Algebra, 183 (1996, [2] O. Coşkun, Alcahestic subalgebras of the alchemic algebra and a correspondence of simple modules, J. Algebra, 320, (2008