SOYUT CEBİR II Bahar Dönemi

Transkript

1 B A A R D Ö N E M I A S Ü S O Y U T C E B I R I I D E R S N O T L A R I İster stemez otlarda hatalar buluablr.bu otlarda yazıla herşey %00 doğru olarak kabul etmey.sadece szlere extra yardımcı çerk olarak hazırlamıştır.atalarımız ve kusurlarımız ç özür dlerz Ders Notları'ı Wp tabalı stemzde de ulaşablrsz...ye açıldığıda şu alık çok az çerk var.ama e kısa sürede tüm Ders Notları'ı oraya aktarmayı düşüüyoruz... Bu ve dğer tüm Ders Notları'ı htyaç duyulması halde burda dreblrsz... SOYUT CEBİR II Bahar Döem Ders Notları * semh-matematkuygulamalar.yolaste.com stes tarafıda hazırlamıştır.şu alık deeme amaçlıdır... Tüm kusurlarıma rağme,her türlü hatalarımı affede,sabrede arkadaşıma alayışıda dolayı çook tsk ederm... ÖZÜR: Bu döem gördüğüm tüm dersler et ortamıa aktarmayı düşüüyordum.zama ımı gereksz yere harcadığımda dolayı maalesef bu sözümde duramadığım.bu yüzde özür dlememz gereke km varsa herkeste özür dlerz... er türlü stek,öer ve şkayetlerz ç semhsy54@gmal.com adrese mal atablrsz & TARİLERİ ARASINDA SOYUT CEBİR II DERSİNDE YAZDIĞIMIZ NOTLARDIR Yazımsal ve blgsel hatalar ç de mal atablrsz PAZARTESI Baze Btmek Blmeye Dertler Yağmur Olur Üstüe Yağar; Ama Regarek Gökkuşağı da Yağmurda Sora Çıkar...! * Soyut Cebr II dersmzde yazdığımız Soyut Cebr II Notlarıdır. E kısa sürede öğrecye ödev bırakıla spat ve ödevler çözümler de eklemeye çalışacağım.tab yapablrsem veya bulablrsem b yerde... (Km söyledğ e öem var k bu öğüdü aklımızda çıkarmayalım yeter.e zor aımızda ble sabredelm.çükü sabır br erdemdr...) Kmseye ked alatmaya çalışma.çükü se ked alatmaya çalıştıkça daha çok yalış alaşılıyorsu... (Bu laf tamame hatalıdır.çükü ede doğru alaşılıyorsu...)

2 Vze Öces [.DERS] 3 Şubat 05 - Pazartes ALKALAR Br kümes üzerde; + : ve : kl şlemler verls.bu takdrde, ( x, y) x + y ( x, y) xy ) (, + ) abel grup ) x, y, z ç 3) x, y, z ç x ( y + z) = x y + x z ve ( y + z) x = y x + z x se (, +, ) yapısıa halka der. 4) x ç xe = ex = xo.ş e = e elemaı varsa bu elemaa halkaı brm der. * (, + ) grubuu da brm vardır.alkada bu brme.şlem brm (halkaı sıfırı) der. 0 le gösterlr.geel olarak 0 dır.acak ve acak = {0 } = { e } olduğuda 0 = olur. 5) x, y ç xy = y x se halkası değşmel halkadır. SORU: halkasıda ( x + y) =? x ( y z) = ( x y) z CEVAP: ( x + y) = ( x + y) ( x + y) = x ( x + y) + y ( x + y) = x x + x y + y x + y y = x + x y + y x + y Örek: ( Z, +, ), ( Q, +, ), ( R, +, ), ( C, +, ) brer brml,değşmel halkalardır. SORU: ( Z, +, ) br halka mıdır? CEVAP: ) (Z,+) abel gruptur. ) x, y, z Z ç x (y z) = (x y) z (,+, ) br halkadır. 3) x, y, z Z ç x ( y + z) = x y + x z 4) Brml değl Zdr. 5) x, y, z Z ç x y = y x dr. Ya brml olmaya değşmel halkadır. + Örek: br halka Z ç Mat ( ) = {( aj ) : aj } matrsler kümes matrslerdek toplama ve çarpma şlemlere göre br halkadır.eğer brmlyse matrs brml halkadır.acak geellkle matrsler.şleme göre değşmel olmadığıda matrsler halkası değşmel değldr. + Örek: Z ç ( Z, +, ) yapısı [ x] + [ y] = [ x + y] ve [ x] [ y] = [ x y] şlemleryle brlkte brm,değşmel br halkadır. x e = x 4) [ x] [ e] = [ x] [ e] _[] Z ( Z = {[0],[],...[ ] })? 5) [ x y] = [ y x] = [ y] = [ x] [ ] [ ] [ ] [ ] x y = y x [] 5 [] 3 {6,...} {4,7...}

3 Vze Öces [.DERS] 5 Şubat 05 - Çarşamba br halka; 0 herhag br küme olsu.o halde = { f f : fox} foksyoları kümes ( f + g)( x) = f ( x) + g( x) ve ( f g)( x) = f ( x) g( x) oktasal toplam ve çarpma şlemleryle brlkte br halkadır.gösterelm: atırlatma => ) (, + ) abel grup G) f, g f + g = G) f, g, h [( f + g) + h]( x) = [ f + ( g + h)]( x) G3) f ç f + e = f o.ş e( x ) = 0 foksyou vardır. G4) f + g = 0 o.ş f = g foksyou vardır.? G5) f, g ç ( f + g)( x ) = (g+f)(x) f ( x) + g( x) = g(x)+f(x) halka = ( g + f )( x) ) f, g ç [ f ( g h)]( x) = [( f g) h]( x) [ f ( g h)]( x) = ( f g)( x) h( x) = f ( x) g( x) h( x) y y y3 = f ( x) ( g( x) h( x)) = [ f ( g h)]( x) halka Bu 3 aksyom sağladığı ç (, +, ) br halkadır. e = eştlğ sağlaya e foks you varsa, e( x ) halkaı brmdr. 3) f, g, h ç [ f ( g + h)]( x) = ( f g)( x) + ( f h)( x) = f ( x) ( g + h)( x) = f ( x) [( g( x) + h( x)] = f ( x) g( x) + f ( x) h( x).ödev ( A, + ) abel grup Ed ( A) = { f : A A} grup homomorfzmler kümes olsu. A f, g A, a Aç ( f + g)( a) = f ( a) + g( a) ve ( f g)( a) = f ( g( a)) şlemleryle brlkte ( Ed( A ), +, ) halka mıdır? alkaı Özellkler Teorem: br halka olsu. ) x ç x 0 = 0 x = 0 ) x, y ;( x) y = x( y) = ( xy) ) x, y ;( x)( y) = xy v) dak x x... x çarpımı paratezde bağımsızdır. v) brml br halka olsu. 0 + m m x, m, No.ü x elemaı x = ; x = x; x = x xşeklde taımlası. x x = x x ve ( x ) m m v) x y j ç ( x ) ( ) ( ) dr. y j = x y j = j= = j= * Üsttek teoremmzde v. şık 3 aksyomuu geelleştrlmş haldr.ayrıca v. şık ç de aksyomuu geelleştrlmş haldr dyeblrz.. = x dr. m m Uyarı halkasıda; ) egatf tamsayısı ç x taımlamamıştır(çükü halkada.şleme göre her elemaı ters olma zorululuğu yok). ) brml halkasıda; = 0 se = {0 } dır (Ya halka 0 ta oluşuyor.alka sıfır halkası).geel olarak brml halka delce akla 0 gelr. ) Gruplarda taımlaa kısaltma aksyomu ( ab = ac b = c) halkalar ç a 0olsa ble geçerl değldr(kısaltma aksyomu

4 = = = = ) v) a 0, b 0 ke a b = 0 olması mümküdür. a, b G; ab ac a ab a ac eb ec b c = A 0 matrs B 0 matrs 0matrs Uyarı halka olsu. x, Z o.ü x elemaı (, + ) toplamsal grubudak x. kuvvetdr.mesela 3x = x + x + x, ( )x = x x dr.acak tamsayılar halkasıysa x elemaı ı ve x elemalarıı çarpımı olarak açıklaablr.geel olarak bu durum doğru değldr. = = +... x = x = x + x +... x = x tae tae Vze Öces [3.DERS] Mart 05 - Pazartes Br alkaı Terser brml br halka olsu.erhag br x ç x y = y x = o.ş y varsa x terserdr,der. x = y le gösterlr.alkada ters ola elemaları oluşturduğu küme T()le göstereceğz.ör;,t(q) =Q *,T(R) =R *, T(C) =C *...gb. Örek Z de tersr elemalar, [ r] = [s] = [] şartıı sağlamalı.bu da [r] = [] (r,) = ( r ve aralarıda asal) olmalı.böylece [r], Z de tersrdr.mesela; = 8 ç T(Z 8)={[],[3],[5],[7]} = ç T(Z )=Z 0,T (Z) = {,} ya r + s mod dr.bu da * asalsaz 0 harç tüm elemaları tersrdr.tersr dışıdak elemalara da sıfır böle der.tersrlğ e öeml özellğ;.şleme göre sadeleşme özellğdr. Ödev A = A T T ( M x )( ) = G L( ) göst. ve A abel grup o.ü T(Ed(A)) = OtoA olduğuu det A gösterz. gruptur. Öerme: brml br halka olsu.o halde Alt alkalar T() = {x xy = yx = }kümes dak.şleme göre (,+, ) halka olsu. 0 U o.ü (U,+, ), dak şlemlere göre halka yapısı oluyorsa Uya ı alt halkası der. U le gösterlr. Teorem (Alt halka krter): (,+, ) halka 0 U se U ) x, y U x + y Uve x y U ) x ç x U Uyarı ) U ) 0 U = 0 )Geel olarak U dır.çükü halka brml olmak zoruda değl.varsayalım halkamız brml;o zama da Ubrml olmak zoruda değl.eğer Ubrmlyse U = olma zorululuğu yok. Örek N Z Q R Colduğuda Z Q R Cdr.Acak N Zolmasıa karşı N Z değldr.çükü N grup yapısı oluşturmuyor. = 0 ( N)ı ters yok. Örek Nç Z Zdr. = ke Zbrml halkadır.dğer hallerde brm yoktur.

5 Örek ( Z0, +, ) brml halkası verls. U 0 = {[0],[],[4],[6],[8]} ç ( U 0, +, ) ( Z0, +, ) dr. Z = [] ve 0 0 U = [6] dur.farkedersek yukarıda yazdığımız gb, 0 0 U olduğuu gördük Z0 0 * Br halkasıı her alt halkası.şleme göre ı br alt grubudur. * elemalı solu br halkada herhag br alt halkaı elema sayısı br böledr.ya Z u 0 4elemalı br alt halkası olamaz.ama, veya 5elemalı alt halkası olablr. * Br alt halkaı toplamsal eşkümeler (kosetler) halkaı ayrışımıı oluşturur.ya kesşmler boş,brleşmler halkayı oluşturur. Vze Öces [4.DERS] 4 Mart 05 - Çarşamba alkaı Çarpımı ve Kk halka olsu. xk = {( h, k) h, k K} kümes h, h, k, k K o.ü ( h, k ) + ( h, k ) = ( h + h, k + k ) şlemyle brlkte br abelya gruptur ve h, h, k, k K o.ü (h,k ) (h,k ) = (h h,k k )şlemyle brlkte br halka yapısı oluşturur.bu halkaya halkaları çarpımı der. ( K,+, ) halkası olarak gösterlr.eğer ve Khalkaları brml veya değşmelyse K da brml veya değşmeldr. K ı sıfırı 0 = (0,0 ) ve K ı brm = (, ) dır. K K K K Teorem: ve Kbrml halkaysa K ı terser T( K) = T() T(K) dır. SORU: T(Z Z) =? CEVAP: T(Z Z) = T(Z) T(Z) ={,}x{,} ={(, ),(,),(, ),(,)} (ya kartezye çarpımı) alkaı omomorfzmler ve İzomorfzmler (,+, ), (K,, )herhag k halka f : Kbr foksyo olsu. f (x + y) = f (x) f (y)ve f (x y) = f (x) f (y)oluyorsa f foksyoua br homomorfzm der.omomorfzm e öeml özellğ şlem korumasıdır.-,örte halka homomorfzme halka zomorfzm (kısaca zomorfzm) der. UYARI ) alka homomorfzm özel olarak grup homomorfzm olduğuda f : K homomorfzm ç f (0 ) = 0 dır.ama ve K brml halkalar olsalar ble geel olarak f ( ) = fades doğru değldr.acak K K f 0ve f örtese f ( ) = dır. ÖRNEK f : R Mat (R) x 0 x 0 0 K f br homomorfzmdr. R o.ü ) f br zomorfzmse f de br zomorfzmdr. ) f : K br zomorfzmse K zomorftur,der. R 0 0 f ( R ) = = Mat

6 Teorem: f : Khalka homomorfzm olsu.o halde; ) U alt halkasıysa f (U) = {f (x) x U} Kdır.Ayı şeklde f (V) = {x f (x) V} dır. ) er homomorfzm Çekf vardır. Çekf = {x f (x) = 0 K } K dır. ) ve Kbrml halka f 0, f örtese f ( ) = dır. K İspat:. ve. şıkları spatı öğrecye bırakıldı.. şıkkı spatı; f (x) = f (x ) f (x) = f (x) f ( ) eştlğ sağlatablmek ç f ( ) = olmalı.ayrıca bu spat; ve Khalkaları ç f,brm brme götürür mü sorusuu da cevabıdır... K SORU: m / se f : Z Z foksyou br halka homomorfzm mdr? m [ x ] [x m] böyle m bakalım! CEVAP: x, y Z, f ([x ] +[x ]) = f ([x ]) + f ([y ]) f ([x ] [x ]) = f ([x ]) f ([y ]) m m = [x ] +[y ] = [x m] [y m] f ([x ] [x ]) = f ([ x y ]) = [x y] m = [x] m y] m = f ([x] ) f ([y] ) mk SORU: (,+, ) halkası verls.o halde x 0 ç Φ : br homomorfzm mdr? Gösterz. f f (x ) Φ( f + g) = Φ( f ) + Φ(g) Φ( f g) = Φ( f ) Φ(g) x halka olduğuda aksyomu = ( f + g)(x 0 ) halka olma şartıı sağlar. = f (x 0 ) + g(x 0 ) 0 A A gde homomorf. foxolar kümes Teorem (alkalar ç Cayley teorem): er brml halka br edomorfzm halkasıı alt halkasıa zomorftur.(ya Ed(, +, )? bu halkayı bulacağız.) (İspatı öğrecye bırakıldı) Vze Öces [5.DERS] 9 Mart 05 - Pazartes alka Tpler Sıfır Böle br halka olsu. a 0 ke a b = 0 o.ş b 0, b varsa bu elemaa sıfır böle der.sıfır böle ters yoktur. Z da 6 [] [3] = [0] ve [3] [4] = [0]dır.Bu yüzde [],[3],[4] sıfır böledr. yok * ) 0 elemaı sıfır böle değldr. ) a b = 0 a = 0veya b = 0veya a = b = 0se halkaı sıfır böle ÖRNEK R [0,] f halkasıda (brm aralıkta Rye gde sürekl foksyolar ya [0,] R) 0;0 x x+,0 x f (x) =, g(x) = f 0, g 0 ke f g = 0, f ve g;r [0,] halkasıı sıfır bölelerdr. x ; x 0, x 0 ÖRNEK = M ( R ) de... M tpde matrs sıfır böle çerdğde sadeleştrme yapılamaz. / m ke ama (m,) = a olsu.o halde [m], Z br sıfır böledr.ör; m =, = 8 ç 9 / = 3 4, 8 = 4 ç; x a bölmez m y a x = 3, y = olsu. [4] 8 [] 8 = [0] dır. m = x a, = y a [m] [y] = [my] = [(xa) y] = [x (ay)] = [x ] = [0] * Z de sıfır böle sayılar elerdr,dye sorulduğuda sıfır böle sayılar; aralarıda asal olmaya sayılardır. s

7 ÖRNEK {0}, K {0}değşmel halka olsu.o halde x, y Kç (x 0) (y 0) = (0,0)olduğuda K çarpım halkası sıfır böle çerr.(bu örek; tamlık bölges çarpımı ye br tamlık bölgesdr,buu belrtr.brazda göreceğz.ayı öreğ ele alacağız.) ÖRNEK Z,Q,R,Chalkaları sıfır böle çermez. Öerme: br halka olsu. ı sıfır böle çermemes ç gvyş sadeleştrme kuralıı geçerl olmasıdır.ya sıfır böle çermez a 0ç ax = ay x = y. İspat: ( ) sıfır böle çermez a(x y) = 0;a = 0 x y = 0 olmalı.öermemzde a 0olduğuda x y = 0olmalı.Burda da x = ydr. ( ) a 0,a b = 0 olsu. b = 0 olduğuda a b = 0 ve a b = a 0 olur.bu eştlğ doğru olması ç a = 0 b = 0olmalı.Öermemzde a 0dı.Ya b = 0olmalı.O halde sadeleştrme verle sıfır böle çermez..alka Tp - Tamlık Bölges Brml,değşmel halkası;sıfır böle çermyorsa bu halkaya tamlık bölges der.ör; (Z, +, ),(R, +, ),(Q, +, ),(C, +, ) halkaları tamlık bölgesdr. * br tamlık bölgesyse {0} dır.ya halka sıfır halkası olamaz. ÖRNEK br tamlık bölges olsu.u U U br tamlık bölgesdr.(alkalardak brme atıf var.bazı hallerde ( halkasıı tamlık bölgesyse) halkaı brmyle alt halkaı brm ayı olablyor.ör;z( ) = {a + b a,b Z} C ç = + 0, c = + 0 ve = c = Z( ) old.z( )br tamlık bölgesdr. ÖRNEK asalsa Z br tamlık bölgesdr.ya tüm elemaları ters vardır.sıfır böle yoktur. Z = {0,...( )} çz de asalsa tüm elemaları ters vardır.sadeleştrme kuralı geçerldr.o halde Z br tamlık bölgesdr. Br alkaı Karakterstğ olmak zoruda değl brml br halka olsu. = 0 o.ş e küçük Z+ (varsa) elemaıa ı karakterstğ der. Kar() le göst.böyle br poztf tamsayı yoksa Kar() = 0 dır.ör; Z de Kar( Z ) = dr.zde Kar(Z) = 0dır. smetrk fark SORU: (P( ),, )halkasıı karakterstğ edr? CEVAP: 0küme P( ), kuvvet kümesdr.karakterstk kuralı gereğ A P( ) ç A = olmalı.burda otasyo çarpma gb görüse de bz.şleme göre hareket edeceğz. A = A A = (A A) (A A) = 0 old. A = dur.burda Ademek Akümes halkaı lk şleme göre kez tekrarlaması demek

8 Vze Öces [6.DERS] Mart 05 - Çarşamba.alka Tp Csm Brml,değşmel halkasıı sıfırda farklı her elemaı tersrse bu halkaya csm der.ya x ç ) x x =, x ) x y = y x ) 0 şartlarıı sağlaya her halka csmdr.ör; Q, R, C csmdr.acak (Z, +, ) csm değldr.ama tamlık bölgesdr.t(q) =Q *,T(R) =R *,T(C) =C * dr.alteratf taımsa; F kümes + ve şlemleryle aşağıdak şartlar sağlaırsa br csm yapısı oluşturur. F) (F,+) abel grup F) (F *, ) abel grup F3) x, y, z F, x (y + z) = x y + x z (y + z) x = y x + z x Alt Csmler F br csm E F olsu.o halde E, F şlemlere göre br csmse E(brml,değşmel halka özellğ sağlamak zoruda) ye F br alt csm der.ör;q R Cdr.Q,R,R,C br alt csmdr... Teorem (Alt csm krter): F br csm E Fols. E, F alt csm o.ü gvyş ) x, y E x + y E x y E ) x E x E x 0, x E olmasıdır. Csmle,alt csm brm ayıdır.ya x = x = dr.mesela Q R Cbrer F E F F E F csmdr.buları brmler ayı elemalarda bahseder.farklı değldrler. ÖRNEK E =Q( ) = {a + b a,b Q},R brer alt csmdr.gösterelm: q = a + b q + q Q( ) a,b, a,b Qç a,a Q( )ç q = a + b q q Q( ) q + q = (a + b ) + (a + b ) = (a + a ) + (b + b ) (m, Q) m q q = (a + b ) (a + b ) = a (a + b ) + b (a + b ) = a a + a b + a b + b b ) ) = (a a + b b ) + (a b + a b ) m a b a b q = (a + b ) q = (a + b ) Q( ) ( a + b ) = = = a + b a b a b a b Teorem: er csm br tamlık bölgesdr.(ama bu teorem ters doğru değldr.) Q Q = m +, m, Q İspat: F csmse F br tamlık bölgesdr.verlelerde yola çıkarak F br csmse F brml,değşmel br halkadır.buu tamlık bölges olduğuu göstermek ç sıfır böle çermedğ göstermemz yeterl. aksyomuda dolayı x, y F, x y = 0 F ve x 0 ke xtersr olacağıda x F vardır. (x x) = y = y = y (x y) = y x 0F = y 0F = ydr.o halde x y = 0ke 0 F = y olması F br sıfır böle çermedğ spatıdır.dolayısıyla F br tamlık bölgesdr. Z tamsayılar halkası br tamlık bölges değldr. Teorem: er solu tamlık bölges br csmdr.(burada solu tamlık bölgesde kasıt; değl.elemaları solu olalar...mesela Z tamlık bölges değl ama Z br tamlık bölgesdr. 6 7 Z ler, m Z ler İspat: Öğrecye bırakıldı. Teorem: Z br csmdr asalsa İspat: Z csmse Z br tamlık bölgesdr. (r, ) = ke ar + b = o.ş r / olablmes göstermelyz.buu tümevarım yötemyle yapacağız. ar + b = demek r = a, = b demekz de her elemaı ters vardır demektr. r bölmez

9 Vze Öces [7.DERS] 6 Mart 05 - Pazartes Br Tamlık Bölges Kesrler Csm Teorem:T br tamlık bölges olsu. ) S = T (T \ {0})üzerde (x, y) (x ', y ') xy ' = yx ' şeklde x taımlaa bağıtısı br dek bağıtısıdır. (x, y) sıralı kls temsl ettğ deklk sııfıa kesrler der. le x x ' gösterlr. [(x, y)] =, = x y x x ' xy '+ x ' y x x ' xx ' xy ' = yx ' ) + =, = şlemleryle brlkte S üzerde y y y ' y y ' yy ' y y ' yy ' S deklk sııflarıı oluşturduğu = { x x T, y T / { 0 }} kümes br csmdr.bu csme T tamlık bölges y kesrler csm der. KesT = S le gösterlr. * Bu teorem spatıı gösterrke ) (KesT, +) abel grup ) (KesT / {0}, ) abel grup x x3 x x x x3 ) ( x + ) = + olduğuu göstermelyz. y y y y y y y 3 3 Souç:T tamlık bölges; KesT br T * alt halkasıa zomorftur. ve x = x dr. x? x T T İspat: f : T KesT, f (T ) = T * KesT ç; ) f,- m? Şmd f ( x ) = f ( x ) = x = x x T x + y x y )(İşlem koruması) f (x + y) =? f (x) + f ( y) = + = f (x) + f (y) evet vardır.? xy x y x f (x y) = f (x) f ( y) = y = ) f örtedr. Souç olarak T tamlık bölges KesT br T * alt halkasıa zomorftur. Ya T f (T ) = T * KesT dr. Souç: KesT, T tamlık bölges çere e küçük csmdr. eşttr T T T T T T T T T T T İspat:Q, T y çere ve Q KesT özellğde br csm olsu.br öcek Souç gereğce T f (T )olduğuda x, y T ç x Q, y Q dır.ayrıca y 0 ( y ) = Qdır.O halde y x ( ) ( ) = x Q K e s T Q olur lk Q KesT demştk.o yüzdeq = KesT dr. y y y ÖRNEK asalke Z ve Qu kedsde başka alt csmler (hakk alt halkaları) yoktur.mesela Z 5 elemalarıda br kısmıı alırsak csm yapısı oluşturamayız.em. Işleme göre hem de.şleme göre abel grup olmaz.ayrıca.şlem.şlem üzerde dağılma özellğ sağlamaz.kapalılık sağlamaz. SORU: T =Zse Kes(Z) =? x CEVAP: K e s ( Z ) = { x Z, y Z \ { 0 }} = Q (Rasyoel sayılar kümes yavaşta oluşturuyoruz.doğal sayılardak y deklk bağıtı taımlayarak tamsayılara geçtk.tam sayılarda extrada br csm (kesr csm) taımladık Qya geçtk.) SORU: T = [Z ] = { m + m, Z} kümes br tamlık bölgesdr. Kes[Z ] =? m + CEVAP: m ( a b ) + b ) ) = = m a + b + (mb + a = {x + y x, y Q} a + b a + b a + b a + b Q Q =Q[] Öerme: T br tamlık bölges ve KesT kesrler csm olsu. f : T F - homomorfzm o.ü φ = KesT F homomorfzm brcktr. a f (a) f (b b )

10 T F İspat: ր φ buu homomorfzm olduğuu gösterceğz.göstermes öğrecye ödev bırakıldı. KesT f Ödev: Alt csmler kesşmler de br alt csmdr. * Br tamlık bölges karakterstğ ya sıfırdır ya asaldır.ya mesela (Z, +, )tamlık bölges o. asal olmalı.sıfır böle çermyor ve asalke Kar (Z ) = dr.o zama Kar(Z) = 0 dır.bu otumuzu doğrular.ayrıca Kar(Q) = 0, Kar(R) = 0, Kar(C) = 0 dır. A, F br alt csmyse 0 A = 0 ve F A = olmak zorudadır. F Vze Öces [8.DERS] 3 Mart 05 - Pazartes İdealler ve Bölüm alkaları br halka, (, +)abel grup, (A, +) (, +)olsu.o halde {[x]} = A + x x A = bölüm kümes [x] + [ y] = [x + y] şlemleryle brlkte br abel gruptur.[x] [ y] = [x y] şlemler taımlayacağız.burda eştlğ sağ tarafı [x] ve [y] temslc seçmde bağımsız olmayablr.[x] = [x '] ve [y] = [ y '] se [x y] = [x ' y ']y taımlılık şartı her grup ç sağlamayablr.q de [] = []ve [ / ] = [ / ] ke Z 3 [ ] [ ],[ ] [ ], ( ) = Z dr.ya toplamsal otasyoda her halka grup olduğuda bölüm grupları taımlayablrz. br halka A olsu.o halde; I) (A, +) (, +) (ya x, y A ç xy A) I) a A, x ç ax A, xa A Bu şart sağlaıyorsa Aya ı br deal der. A le gösterlr. ) ı her zama{0 } ve keds o.ü deal vardır. ) er deal br alt halkadır.ama ters doğru değldr.buu br örekle açıklayalım: Örek: Z Q,Z Qdur.PekZ,Qu br deal m?gösterelm: 3 3 x Q, y Z ç x y Zolmalı. x = ç Z olur.ya her alt halka deal değldr. 5 5 ) I şartıda x dır.ama Aı elemaı olmak zoruda değldr.acak xa Aolmak zoruda v) brml br halka A A = (bu çok öeml) v) Adeal boş küme olamaz. (Çükü ( A, + ) alt grup olduğuda0(brm) elemaı olmak zoruda) Örek: erhag Z ç Z = {k k Z},Z br dealdr,gösterelm: I) (Z, +) (Z, +)şartıı sağlar.e kaba halyle x, y Ake x y = (x y) = p Z q I) x Z, y Z ç x y Zm? (k) y = (ky) = q Z Z her deal Ztpdedr.Çükü I şartı althalka özellğ sağlar.i şartıı da çarpımsal dealler sağlar. te a gde foksyolar kümes Örek: br halka herhag br küme halkası verls.o halde herhag Y kümes ç A = { f f : Y ; f (y) = 0 } kümes br dealdr,gösterelm: I) (A, +) (, +) f, g A = 0 0 ( f g)(x) = f (x) g(x) ; f-g Aolmalı = 0 O halde A I) f A, g ç ( f g)(x) = f (x) g(x) ( f g )(x) = 0 f g A t r. = 0 g(x) atırlatma => f : K halka homomorfzmyse; ) f,- se br moomorfzmdr. ) f,örtese br epmorfzmdr. ) f,- ve örtese zomorfzmdr. v) f :,homomorfzmse br edomorfzmdr. v) f :,otomorfzmse br edomorfzmdr. Moomorfzme örek; f : Z Z foksyou,epmorfzme örek; f :Z Z foksyou m [x] 4[x] x x p

11 Örek: f : K br homomorfzm olsu. Çekf = {x f (x) = 0 } kümes ı br dealdr,gösterelm: I) x, y Çekf f (x - y) = f (x) - f (y) f (x y) = 0 K = 0 0 x y Çekf K K I) x Çekf, y ç f ( x y) = f (x) f (y) = 0 f (y) f (x y ) = 0 x y Çekf K K K Örek: Z[] = {a + b a,b Z} Q, A = {a + 0 a Z} o.ü A,Z[] br deal m,gösterelm: a (x + y) A ax + ay Aolmalı.Özel olarak, ay 0 ax + ay Adır. * İdealler kesşmler ye br dealdr.ideal aleler kesşm de dealdr. der. ı kedsde ve 0 da farklı deallere öz deal der.öz deal çermeye halkayaysa bast halka Vze Öces [9.DERS] 5 Mart 05 - Çarşamba Üreteçl İdealler br halka olsu. ı tüm A dealler kapsaya kesşme ya A kümese tarafıda üretle deal der. < > = A Ile gösterlr. Teorem: brml,değşmel halka = {x, x,...x } se < > = { h x h } buda başka < >, ı boş alt kümes tarafıda üretle dealdr. < >= {0}sıfır dealdr. İspat: Öğrecye bırakıldı. brml,değşmel halka o.ü ) solu ve = {x, x...x }, > 0 se tarafıda üretle deal < >=< x, x...x > şeklde göst. ) = {x}, < {x} >=< x >= {hx h } deale tarafıda üretle (esas) deal der. ı her deal tek üreteçlyse a tek üreteçl dealler halkası der. ) A, soluysa olur. A =< >se Aya solu üreteçl deal der. v) x, x...x se < x, x...x >=< x > + < x >... < x >dr. Örek: Z her deal Ztpdedr. < >= Z = {k k Z}dr. Ztek üreteçl dealler halkasıdır. = = Örek: = {4,6} Z, I = {4,6} = {4m + 6 m, Z} = {4,6} = {(m + 3 m, Z} Z = {k(m + 3 k = m + 3 Z} çft tamsayılar kümes Eğer bu örekte I = {,3} Z olsa; <,3 >= {m + 3 m, Z}dr. Özel olarak m =, = ç; <,3 >= { + 3, Z} = {k Z} =Z Ya I = {,3}deal Z keds üretr. Şmd braz başa döersek; I = {,3} Z; <,3 >= {m + 3 m, Z} =< Z 3Z > =< Z > + < 3Z > =Z Örek: f : Z homomorfzm çekrdeğ Z tek üreteçl dealdr. Ör; f : Z ç x Ç e k f = < > = { x x } dr.

12 Örek: Mat ( R) halkasıı dealler {0}ve kedsdr.ya br bast halkadır. * er csm br bast halkadır. Bölüm alkası Öerme: f : K halka homomorfzm olsu.o halde ) A f (A) f ( ) ( Kı değl) dır. ) B K f (B) dır. İspat: f (A) = { f (a) : a A}, f ( ) = { f (x) : x }dr. I) f (a), f (b) f (A) ç taım gereğ f (a) f (b) f (A)dır.Pek böyle m? Buu göstermek ç f br homomorfzm olduğuda f (a) f (b) = f (a b) f (A) dır.çükü a b Ave A dır.böylece I şartıı sağlamış olduk. I) f (x) f (a) = f (xa) f (A)ve ayı şeklde f (a) f (x) = f (ax) f (A)olmalı.Pek böyle m? xa A A olduğuda f (x) f (a) = f (xa) f (A)ve ax A A olduğuda f (a) f (x) = f (ax) f (A)dır. A Pek ede Kı deal değl? Çükü f : K ç örtelkte bahsedlmyor. Örek: f (B) = {x f (x) B}, ı br dealdr,gösterelm: I) B K, x, x f (B)se f (x ) f (x ) B f (x x ) B x x f (B) I) h, x f (B)se f (hx) = f (h) f (x) f (hx) B hx f (B)dr.Ayı şeklde xh f (B)dr. B Kdır. f (B) dır. Ödev: f : K homomorfzm verls. A ke f (A) f ( )se Kı deal olmadığıa br örek vereblr msz? y y A x A kümese göre kalalar sııfı Öerme: br halka A olsu.bu durumda ) x y x y A x y mod Aşeklde taımlı bağıtı üzerde br deklk bağıtısıdır.daha somut fade edersek;al le Vel ayı sııfta,cebr derse göre deklk sııfı,derstek dğer kşlerdr.br x elemaıı deklk sııfı [x]=a+x={a+x a A,x } le gösterlr. )Tüm deklk sııflarıı kümes = {[ x ] : x } A,[x] + [y] = [x + y] ve [x] [y] = [x y] şlemleryle brlkte br halkadır.bu halkaya ı A deale göre bölüm halkası der.daha somut br fadeyle bölüm halkası matematkç olup cebr ders ala öğrecler sııf lstesdr.mesela Our u deklk sııfı,sııf arkadaşlarıdır. (Burda deklk bağııtısı, de halka olduğuu göstermes öğrecye ödev bırakıldı ) f : A bölüm foksyou örte homomorfzm (epmorfzm)dr.ayrıca her homomorfzm Çekf x [x] = A + x vardır.normalde Çekf = {x f (x) [0]}dır.Buu bu foksyoa drgersek; Çekf = {x x + A [0]}olur. Bu durum acak Çekf = A olduğuda olur.ya bölüm foksyou örte homomorfzm (epmorfzm) se Çekf = Adır.

13 Vze Öces [0.DERS] 30 Mart 05 - Pazartes f : A f (x + y) = [x + y] f (x y) = [x y] x A + x = [x] = [x] [y] = f (x) + f (y) = [x] [y] = f (x) f (y) f ( ) = A x ç f (x) f ( ) = = {x + A x }, Çekf = A A x A Çekf f (x) = [x] = [0] A + x = A + 0 x A Z Z deale göre; Ya Çekf = A dır. Z = {Z + x x Z} =Z Z = {0,...( )} Z < >= {k + x kx Z} = Z = {[0],[] } Ya k Z Z dr. 3Z 3Z + 3Z + Z 3Z = {3Z + x x Z} = {3Z,3Z +,3Z + } = {[0] 3,[] 3,[] 3} Z 4Z, 4 Z Z dealdr Z = {4Z + x x Z} 4Z = {4Z + 0, 4Z + } geş küme 4 e bölüe ye bölüe kümeler alıır Örek: ı tae deal vardır. ve {0 } dır. { + x x } = {0 } = {0 } = } {0 } {{0} + x x = {0} {0} f : + x = [0] br zomorfzm vardır. {0} {0 } + x x [x] 0 x alkalar ç İzomorfzm Teoremler Teorem (.İzomorfzm Teorem): f : K halka zomorfzm olsu. f ( ) dır. Çekf İspat: Öğrecye bırakıldı. Örek: Z < > f () dr. Z Z / h Φ - örte Z = Çekf < > Z Φ < > Z / < > +x [x]

14 Çekf = {x Z f (x) = [0] < > } = Z =< > Z Çekf =Z < > =Z Z = f (Z) Teorem: br halka o.ü A ve B olsu.o halde A + B = {a + b a A,b B} kümes ı br alt halkası ve A B A dır. Teorem (.İzomorfzm Teorem): br halka A ve B olsu. A + B B A A B dr. f İspat: A h Φ A A B A + B B A B = Çekf Teorem (3.İzomorfzm Teorem): A B se; ) B A A ) ( ) (B ) A A B ( dr. ( f : ) A ( B ) A, h B (A h), Çekf B ) A İspat: ( A ) (B ) A B Çekf B Çekf olmalı (( ) (B ), ) (, ) dr. A A Çekf ( ) ( Örek: Çekf olmalı.msal 3 ) dr. ( m ) m ( ) 3

15 Vze Sorası [.DERS] Nsa 05 - Çarşamba Vze Sıavı Soru ve Cevapları - ( P( x),, ) halka olduğuu gösterz.karakterstlğ buluuz. ) ( P( x), ) abel grup mu? G) Kapalılık AB P( x) dr. G) Brleşme ( AB) C A( BC) dr. G3) Brm elema ( A) A ( A ) ( A) A A dr. G4) Ters elema? AA ( A A) ( A A) ( A kedsdr.) ) A üzerde A( BC) ( A B) ( AC) o.ş dağılma özellğ var mı? A{( B C) ( C B)} [ A ( B C)] [ A ( C B)] [( A B) ( AC)] [( AC) ( A B)] ( A B) ( AC) 3)? A ( B C) ( A B) C ( A,, ), x A o.ü x 0 x x x... x 0, A ; + tae Şmd de karakterstlğe bakalım: AA olduğuda A dur.ya Kar( P( x)) dr. - f ( r) 0 S abel grup ve EdA { f f : A A} grup homomorfzm f, g A ( f g)( a) f ( a) g( a), A ( f g)( a) f ( g( a)) şlemleryle brlkte ( A,, ) halka mıdır?bu halka değşmel mdr? A ) ( A, ) abel grup A se )? f (g h) f g f h ( f g)h)(x) ( f g)(h(x)) h( f g)(x) h(( f g)(x)) f (h(x)) g(h(x)) h( f (x) g(x)) f h g h h( f (x)) h( f (x)) h homomorfzm f g g f, f g g f I geel olarak değşmel değl

16 3 - f T ( EdA))? OtoA EdA, f ters olması,-,örte homomorfzm (zomorfzm) 4 - Cayley teorem örek Ed, : Ed Çek {0} f f () x { Ed} 5 - ) Br tamlık bölges e az elemaa sahptr {0, } ) Br csm karakterstğ ya 0 ya da asal sayıdır.karakterstk o.ü eğer asalsa;,,,, ç karakterstk taımı gereğ x 0 ya 0 dr. ( ) 0 olur k; ( ) ( ) 0 olur. karakterstk karakterstk olup h ) h lpotetse ( h) brmdr. h 0 ;, h da brmdr. 3 o.ü h ( h) ( h h h... ) v) er deal br alt halka,her halka da br alt grup olduğuda dolayı v) br tamlık bölges se {0 } dır.(sorumuzu bu şıkkıda {0 } yazmıştı.yalış blg) v) Br csm brml her alt halkası br tamlık bölgesdr. v) f csm, karf 0 br alt halka çerr. K { x y x, y F, y 0} se f ya zomorf br alt csm vardır.er brml halka ye zomorf ola 6 - f : R S halka homomorfzm Çekf { x, f ( x) 0} o.ü f - dr Çekf {0 } se f ( ) f, - se r Çekf olsu. f ( r) 0 S olduğuda f (0 R) 0, S K { x y x, y F, y 0} olur. r 0 R ya Çekf 0 R Çekf {0 }, r, r ç f ( r ) f ( r ) alalım: R R f r ya f ( r r ) 0 S olur ( f homomorfzm ), r r 0 R ya r r olur. f,- dr. ( ) f ( r ) 0 S

17 Vze Sorası [.DERS] 9 Nsa 05 - Çarşamba Maksmal İdealler ve Asal İdealler br halka I o.ü ı br deal ols.o halde ) ı I yı kapsaya I da başka hçbr deal yoksa I ya ı maksmal deal br dğer deyşle I J o.ş J yoktur. ) değşmel halka ols. x, y ç x I veya y I se I deale ı asal deal der. ÖRNEK p asal o.ü asal ve maksmal dealler bulalım: p böler xy pp asal deal olduğuu göstermek stersek; xy pse k ç xy p k olup p xy se p asal olduğuda p x veya p y dr.ya y p veya x pm o.ş m,vardır. x pveya y pdr.maksmal olduğuu göstereceğz: pi o.ü I br deal ols. her deal I tpdedr.ama p polup p dr. Böylece k o.ü p k dır.souç olarak p ve p asal olduğuda veya p olmak zorudadır..durum ( p ) olamaz.aks halde I polurdu.o halde olup I dr. * p asalke hem asal hem de maksmal deal tpdedr. ÖRNEK 4deal asal deal değldr.ya 8 474olmasıa rağme 44ve 74dr.Ayrıca4 deal maksmal deal de değldr.çükü 47dr. ÖRNEK değşmel halka olsu. ı sıfır böle olmaması ç gvyş {0}ı asal deal olmasıdır.ya {0}asal deal xy {0} x 0 y 0 ı sıfır böle yoktur. Teorem: brml,değşmel br halka, I olsu.o halde ) I maksmal dealdr I ) I asal dealdr I br tamlık bölgesyse * f ( ) se Çekf deal,maksmal dealke br csmdr. Çekf br csmse İspat:Öğr.bırakıldı. Teorem: Brml,değşmel halkasıda her maksmal deal,asal dealdr. İspat: I maksmal deal olsu. I maksmal deal I I csmdr (br öcek teoremde dolayı) tamlık bölgesdr. I asal dealdr. Teorem ters doğru değldr.ya her asal deal maksmal deal değldr.mesela{0}, asal deal olmasıa rağme,maksmal deal değldr. Teorem: Brml,değşmel solu halkasıda her asal deal,br maksmal dealdr. İspat: T solu tamlık bölges olsu. I T o.üt I solu tamlık bölgesdr.burda I asal dealdr I I (solu) tamlık bölgesdr br maksmal dealdr I br maksmal dealdr.er maksmal deal,br asal dealdr.

18 Teorem:, K brml,değşmel halka f : K örte homomorfzm olsu.o halde ) K br csmse Çekf, ı maksmal dealdr.. ) K br tamlık bölgesyse Çekf, ı br asal dealdr. İspat:.İzomorfzm Teorem gereğ f ( ) K Çekf d ) K csmse de Çekf csmdr.teoremde dolayı Çekf maksmaldr. ) I asal dealdr Çekf tamlık bölges ( K tamlık bölges olduğuda).dolayısıyla Çekf br asal dealdr. ÖRNEK ç br csmdr. br csmdr.dolayısıyla maksmal dealdr.ayrıca asal dealdr.tab asalsa Aks halde csm olamazdı.ya; Çekf f x Çekf { x f ( x) 0 } { x x k 0} ÖRNEK U { f f : sürekl foksyo } althalkası verls.o halde x ç I { f U : f ( x) 0} kümes U u br maksmal dealdr,gösterelm: g : U foksyou örte br homomorfzm ve Çek { f U f ( x) 0} I br csm x olduğuda I x deal U u br maksmal dealdr (maksmal deal,buda başka br deal olmaması gerektğ söyler).ya; x U U ( U ) Çek yapısıı oluşturduğumuzu düşüdüşüelm: csm Çek csmdr. I maks- U x U mal dealdr. Çek foksyo olarak düşüürsek; f f f ( x) Çekf ( f I ) f ( x) g( x) olarak düşüürsek; g( x) Çekf x g( x) 0 dır.ya ( f I ) f ( x) dr. x olduğuda Vze Sorası [3.DERS] 4 Mayıs 05 - Pazartes Polom alkaları brml,değşmel halka, [ ] {a 0,a,a...} ç a ve yalız solu sayıda a elemaı ç a 0} kümes verls.bu küme halkası üzerdek ve şlemler üzerde a a x, a x...a x verle polom ([x],,) yapısı br halkadır. 0 şeklde ) ([ ],) abel gruptur. G) p(x), q(x), r(x) [ ] G) p(x) e(x) p(x) [ p(x) q(x)] r(x) p(x) [q(x) r(x)] e(x) 0 [ ] [ ] G3) p(x) q(x) b b x b x... 0 G4) p(x) q(x) q(x) p(x) (a0 b 0) (a b )x (b0 a 0) (b a )x...(b a) x

19 ) [ p( x) q( x)] r( x) p( x) [ q( x) r( x)] p( x) a a x... a x 0, 0 3) p( x) [ q( x) r( x)] p( x) q( x) p( x) r( x) q( x) b b x... b x, r( x) c0 cx... cx 4) p( x) q( x) q( x) p( x) (değşmel) 5) e x0 [ ], o.ş p( x) e p( x) vardır. (brml) halkası brml ve değşmelyse [ ] de brml ve değşmeldr. f ( ) a x, f ( ) 0 olsu.o halde f ( ) sıfırda farklı e az br katsayısı vardır.böylece 0 ç a 0 o.ş a 0 katsayısıa başkatsayı der. a x terme başterm sayısıa da polom dereces 0 der.sabt polom; P( x) cx, der( P( )) 0,sıfır polom da q( x) 0, der( q( x)) ( dur.ama bazı kayaklarda yoktur,dye de geçer ) * Eğer ax baştermde a se f ( ) polomua da mok (başkatsayısı ola polom) der. Teorem: f (x), g(x) [ ]olsu. ) der[f (x) g(x)] max{derf (x),derg(x)} ) der[ f (x)derg(x)] derf (x) derg(x) ) tamlık bölgesyse [ ] tamlık bölgesdr. der[ f (x)g(x)] derf (x) derg(x) Katsayıları da oluşa polomlar,dereces öemsz 6 ÖRNEK [ ] da 6 f ( x) 3x, g( x) 3x ç ) der( f ( x) g( x)) olmalı. derf derg.dolayısıyla derf derg 0 olduğu ç üsttek teorem. şıkkı doğrudur ve f ( x) g( x) 6x 9x ç der[ f ( x) g( x)] dr.böylece olduğu ç üsttek teorem. şıkkı da doğrudur.dolayısıyla bu örekte üsttek teorem doğruluğuu görmüş olduk Teorem: br tamlık bölgesyse T( [ ]) T( ) Souç: halkayke [ ] halkaydı.ama F csmke F[ ] csm değldr,halkadır sadece (dereces 0 ola polomları ters vardır) Souç: br tamlık bölges değlse [ ] de tamlık bölges değldr (Ters de doğru) Teorem: brml halka f (x), g(x) [ ], g(x) mok olsu. f (x) g(x)q(x) r(x) dr.burda r(x) 0 veya der(r) derg o.ş q(x), r(x) [ ] vardır. * br tamlık bölgesyse q(x), r(x) polomları tek türlüdür. Teorem (Polomlar İç Bölüm Algortması): F br csm f (x), g(x) F[ ], g(x) 0 olsu.o halde f (x) g(x)q(x) r(x) dr.burda r(x) 0 veya der(r) derg o.ş br tek q(x), r(x) F[ ] polomu vardır. ÖRNEK [ ] de f (x) x 4 3x 3 x 4x, g(x) x x 3 polomları ç q(x) x x 3, r(x) x 3 5

20 Vze Sorası [4.DERS] Mayıs 05 - Pazartes Br Polomu Sıfırları Teorem: brml,değşmel halka, x ç x : [ ] taımlı foksyo br halka f ( ) f ( x) homomorfzmdr.bua yerdeğştrme homomorfzm der. Teorem spatıda, f ( )+ g( )= f ()+ g() olduğuu göstermelyz. ( a a a a... b b... b ) ( a b ( a b ) ( a b )...( a b ) ) ( a a... a... b ) ÖRNEK f ( ) 3[ ], g( ) 3[ ] bu foksyou görütüler brbre eştse bu foksyo brbre eşttr.burda; : f ( ) f ( x) o.ü x 0 ç f (0) g(0), x ç [ ] f () g(), x ç f () 0 g() brml,değşmel halka f ( ) [ ] ve x ç gf ( ) 4 [ ] o.ü f : x f ( x) a0 a... a şeklde taımlaa foksyoa f ( ) polomua karşılık gele polom foksyou der. f ( ) [ ] polomu ç f ( x) 0 o.ş tüm x elemalarıa f ( ) sıfırı ( f ( ) 0 deklem köküdür) der. x, f ( ) br köküdür f ( x) 0, ÖRNEK f ( ) 4 [ ] ç 4 ( )( ) dr. ÖRNEK g( ) 4 ç 4 olduğuda dr.ya g( ) foksyouu 4 4 de kökü yok. da çalışıyor olsaydık,kökler olacaktı. Teorem: f ( ) [ ], der( f ), x olsu.o halde q( x) [ ] ç f ( ) q( x) ( x) f ( x) dr.ayrıca q( x) [ ] ve f ( ) 0 dr.(kala Teorem gereğce) Teorem: f ( ) [ ], der( f ), x olsu. x, f ( ) br sıfırı o. gvyş ( x), f ( ) br çarpaı olamalıdır. 3 3 ( ) ( ) ÖRNEK f ( ) x f ( x) x x 0 ( ) f ( ) x ( x) ( x... x ) tpdedr.katsayıları gözardı ettk ÖRNEK f ( ) [ ] de kökü var mı, [ ] de kökü var mı,bakalım: f ( ) 0 f ( ) olduğuda ( )( ) dr.ya [ ] de kökü vardır. [ ] de yok. tamlık bölgesyd,csmd.o yüzde dereces kadar (ya ) kökü var. (Tamlık bölgesde polomu dereces,kökü kadardır.) Teorem: tamlık bölges f ( ) 0 [ ] ve polomu dereces olsu.o halde f ( ) polomuu da e çok tae sıfırı vardır.ya f ( x) 0 şartıı sağlaya x ler sayısı e fazla taedr. ÖRNEK f ( ) 3 6[ ] ç f (0) f (3) olmasıa ragme f () 0 f () f (4) f (5) dr.ya 4 tae kökü var. [ ] br tamlık bölges olmadığıda polomumuzu kökü derecesde farklı çoktı.ç br 6 kökü de olmayablrd de.

21 4 ÖRNEK f ( ) 4 [ ] çarpalarıı bulalım: x ç f ( ) 0 olduğuda 4 ( ) f( ) olarak yazılablr. f ( ) ve f () 0 olduğuda 3 ( ) f( ) dr. f ( ) 3 ç f (3) 0 olur. 3 ( 3) ( ) ç 3 ( 3)( ) 5 ( 3)( ) dr.ya f3 4 ( 4) ( )( )( 3)( ) dr. polom) dur. bu gösterm tek türlü dğl,çükü modlarda çalışıyoruz Souç: br tamlık bölges, f ( ) [ ], der( f ) m olsu. m tae sıfırı (kökü) varsa f ( ) 0 (sıfır

22 Vze Sorası [5.DERS] 8 Mayıs 05 - Pazartes KONULARIMIZLA İLGİLİ BAZI ÖRNEK SORU VE CEVAPLAR - br halka I da br deal olsu. I[ ] de [ ] de br deal olduğuu gösterz. f, g I[ ] ç f g I[ ] ve f I[ ], g [ ] se fg, gf I[ ] olmalı.ilk durum ç celeyelm: f ( x) a a... a a, ( 0 0 g( x) b b... b b, ( 0 0 a, a... a k I ) b, b... b k I ) ( f g)( x) f ( x) g( x) ( a b ) ( a b )...( a b ) a b 0 0 {,... }, ( a b ) I ( I deal) O halde fg dealdr..durum ç celersek; f I[ ], g [ ],( fg)( x) f ( x) g( x) ( a b ) ( a b ) ( a b a b a b )... I Böylece fg I[ ] dr.bezer şeklde gf I[ ] dr.o halde I[ ], [ ] dealdr. - brml,değşmel br halka, I da br deal olsu. [ ] ( I)[ ] I[ ] old.göst. : [ ] ( I)[ ], f ( ) a a... a a0 [ ] br polom,foksyoumuz da; f ( f ) ( f )( ) ( a I) ( a I)...( a I) ( a I) I [ ], g( ) b b... b b [ ] 0 olsu. f g f g? 0 f g a b ( {,,... } ) {0,... }, a b olduğuda I 0 ( g)( x) ( b ) ( b I )...( b I) b I a I b I dır. Ya y taımlıdır. halka homomorfzması mı bakalım: ( f g) ( f ) ( g) ve ( f g) ( f ) ( g)? ( f g) ( f ) ( g) f ( ) a a... a a [ ], g( x) b b... b b [ ], m olsu. m m 0 m m 0 m (( f g)) ( a I)... ( a b I)...( a b I) ( a b I) m m? 0 0 ( f ) ( g) ( a I ) ( a I )...( a I) ( a I) ( b I) ( b I) ( b I ) m m ( a I )...( a I b I )... ( a I b I ) ( a I b I ) m m 0 0 ( a I )...( a b I )...( a b I ) ( a b I ) m m m 0 0? Burda da ( f g) ( f ) ( g) old.görürüz.ayı yötemler uygulayarak ( f g) ( f ) ( g) olduğuu görürüz.ya halka homomorfzmdr. örte m? h( ) ( c I ) ( c I )...( c I ), ( c, c... c dr) f ( ) c c... c c [ ] olup, ( f ) h olduğuda örtedr..izomorfzm Teorem uygulamaya çalışacağız. Çek { f [ ] ( f ) 0} olduğuu bulacağız. Çek { a a... a a a, a,... a, a I I ( ={,,...}) 0 0 { a a... a a a, a,... a I} 0 0 { f [ ] f I[ ]}.zomorfzm teoremde [ ] Çek ([ ]) olduğuu söyler.erşey yere yazarsak; [ ] I[ ] ([ ]) dr.

23 Vze Sorası [6.DERS] 0 Mayıs 05 - Pazartes Souç: br tamlık bölges f ( x), g( x) [ ] olsu.bu polomu dereceler de küçük, t F elemaıı farklı değerler (ya t x, x... x ) ç f ( t) g( t) se f ( ) g( ) dr.farklı polomlar,farklı polom foksyoları belrtr. Uyarı: tamlık bölges yere herhag br değşmel halka alıırsa souç doğru değldr. f ( ) 3 [ ].Bu durumda f ( ) ( )( ) kökler ve dr.buu yaısıra ayı polomu 4 ve 5 de sıfırıdır. 6 Souç: tamlık bölges f ( ) [ ], derf 0 olsu. x, x... x, f ( ) tae farklı sıfırıysa o haldeu, f ( ) başkatsayısı o.ü f ( ) u ( x )( x)...( x ) dr.(bu fade Soyut Matematk te p gördüğümüz Wlso Teorem verr.ya x ( ) ( )... ( ( p )), p 3 ç 3 ( )( ) ( 3 ) ( ) olarak buluruz. ( ) ( )...( p ), p ( ) ( )...( p ) mod p.dolayısıyla ( p )! ( ) mod p (Wlso Teorem) dr.) Teorem : F br csm olsu.o halde F[ ] csm değldr. F[ ] her deal tek üreteçl br dealdr.ya I F[ ], d( ) F[ ] se I d( ) d( ) F( ) dr.burda d( ) mokse,bu üreteç tektr. Uyarı: Bu so teorem ç F csm yere herhag br değşmel halka veya tamlık bölges alıırsa teorem geçerl değldr.çükü [ ] polom halkasıı dğer br üreteç olarak (, ) vardır.