ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ"

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Yüksek Lisas Tezi İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER VE İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER TARAFINDAN DOĞURULAN YARIGRUPLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 0

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER VE İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER TARAFINDAN DOĞURULAN YARIGRUPLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu tez / /0 tarihide aşağıdaki jüri üyeleri tarafıda oybirliği/oyçokluğu ile kabul edilmiştir.... Doç. Dr. Goca AYIK Prof. Dr. Hayrullah AYIK Doç. Dr. Periha Diç ARTUT DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu Tez Estitümüz Matematik Aabilim Dalıda hazırlamıştır. Kod No: Prof. Dr. Mehmet Rifat ULUSOY Estitü Müdürü Not: Bu tezde kullaıla özgü ve başka kayakta yapıla bildirişleri, çizelge ve fotoğrafları kayak gösterilmede kullaımı, 5846 sayılı Fikir ve Saat Eserleri Kauudaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER VE İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER TARAFINDAN DOĞURULAN YARIGRUPLAR Solu bir X {,,, } ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Daışma : Doç. Dr. Goca AYIK Yıl:0, Sayfa: 87 Jüri : Prof. Dr. Hayrullah AYIK : Doç.Dr. Periha Diç ARTUT = K kümesi üzeride taımlaa tüm kısmi döüşümler yarıgrubu, tüm döüşümler yarıgrubu ve permütasyo grubuu sırasıyla P, T ve S ile gösterelim. Öcelikle bazı özel elemalar, doğuray kümesi, Gree deklik bağıtıları, P, T, S i özellikleri ve bu yarıgrupları bazı özel alt yarıgrupları gibi yarıgrup teorideki gerekli kavramları verdik. ST = T S olsu. Bu tezde P, T ve ST i bazı özellikleri, özellikle idempotet elemalar, bu yarıgrupları rak özellikleri ve bu yarıgrupları bazı alt kümeleri ve alt yarıgrupları ile ilgili literatürde ola bilgiler derlemiştir. Aahtar Kelimeler: Sigüler döüşümler yarıgrubu, idempotet elema,idempotet rak I

4 ABSTRACT MS THESIS IDEMPOTENT TRANSFORMATION AND SEMIGROUPS GENERATED BY IDEMPOTENT TRANSFORMATION ÇUKUROVA UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATİCS Supervisor Jury : Assoc. Prof. Dr. Goca AYIK Year:0, Pages: 87 : Prof. Dr. Hayrullah AYIK : Assoc. Prof. Dr. Periha Diç ARTUT Let P, T ad S respectively deote the partial trasformatio semigroup, full trasformatio semigroup ad permutatio semigroup defied o a fiite set X =,, K,.We first give some ecessary cotets of semigroup theory such as { } special elemets, geeratig set, Gree equivalece relatios, properties of P, T, S ad some special subsemigroup of these semigroups. Let ST = T S. I this thesis, we make a survey of some properties of P, T ad ST, especially idempotet elemets, rak properties of these semigroups ad some special subsets ad subsemigroups of these semigroups. Keywords: Sigular trasformatio semigroup, idempotet elemet, idempotet rak II

5 TEŞEKKÜR Yüksek lisas eğitimim süresice desteğii ve alayışıı eksik etmeye değerli daışmaım Doç. Dr. Goca Ayık a teşekkür ederim. Ayrıca, Çukurova Üiversitesi Matematik Bölümü öğretim üyeleride Prof. Dr. Hayrullah Ayık a çalışmalarıma ola katkısıda dolayı teşekkürlerimi suarım. Eğitimim süresice bei her zama destekleye aeme, babama ve kardeşlerime teşekkür ederim. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT... II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER... IV ÇİZELGELER DİZİNİ... VI ŞEKİLLER DİZİNİ... VIII. GİRİŞ.... TEMEL TANIM VE TEOREMLER Yarıgruplar Doğuray Kümeleri Döüşüm Yarıgrupları Gree Deklik Bağıtıları Döüşümleri Orbitleri T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI T ve P Yarıgruplarıı Doğuray Kümeleri T ve P Yarıgruplarıı Altyarıgrupları Stirlig Sayıları Catala Sayıları Altyarıgrupları Rak Özellikleri İDEMPOTENTLER TARAFINDAN DOĞURULAN DÖNÜŞÜM YARIGRUPLARI ST Yarıgrubuda İdempotetleri İdirgeemez Çarpımı ST Yarıgrubuu Rak Özellikleri KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ IV

7 V

8 ÇİZELGELER DİZİNİ SAYFA Çizelge.. İzomorfik Olmaya Grup ve Yarıgrup Sayıları... Çizelge.. D-sııfıı yumurta kutusu... 4 Çizelge 3.. Sm (, ) Stirlig Sayıları Çizelge 3.. C Catala Sayıları VI

9 VII

10 ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA Şekil.. α döüşümüi orbit grafiği... 7 Şekil 3.. Altıgei 4 farklı şekilde üçgelere ayrılışı Şekil 4.. Bir I T4 Şekil 4.. Bir I T5, alt kümesii ( I ), alt kümesii ( I ) Γ grafiği Γ grafiği VIII

11 IX

12 . GİRİŞ. GİRİŞ Yarıgrup, sadece birleşme özelliğii sağlaya bir ikili işlem taımlamış boşta farklı kümelerdir. Yarıgruplar, grup yapısıda daha az koşulu sağladığıda dolayı ayı elema sayısıa sahip birbirie izomorfik olmaya yarıgrupları sayısıı gruplara orala çok fazla olduğu, yarıgrup yapısıı ilk dikkat çeke özelliğidir. Aşağıdaki tabloda derecesi e fazla 8 ola izomorfik olmaya grup ve yarıgrup sayılarıı görmekteyiz. Çizelge.. İzomorfik Olmaya Grup ve Yarıgrup Sayıları Derece Grupları Sayısı Yarıgrupları Sayısı Öreği yukarıdaki çizelgedeki derecesi 8 ola yarıgruplar hakkıdaki bilgiler Satoh, S., Yama, K. ve Tokizawa, M., tarafıda 994 yılıda yapıla çalışmada bulua bilgilerde alımıştır. Bu çalışmada,843,0,8 adet birbirie izomorfik olmaya derecesi 8 ola yarıgrubu mevcut olduğu bu yarıgrupları da,805 taesii değişmeli yarıgrup olduğu bulumuştur. X boşta farklı herhagi bir küme olmak üzere X kümesie taımlı tüm döüşümleri kümesii TX ile gösterelim. X kümeside T X kümesi bileşke işlemi ile bir yarıgrup olup bu yarıgruba tüm döüşümler yarıgrubu deir. T X yarıgrubuu bir alt yarıgrubua döüşüm yarıgrubu diyeceğiz.

13 . GİRİŞ Yarıgruplarda da grup teorideki Cayley teoremii bezer ifadesi vardır. Her solu yarıgrup solu bir döüşüm yarıgrubua gömülebileceğide döüşüm yarıgrupları yarıgrup teoriside öemli bir yere sahiptir. Bu sebeple T X i yapısıı ve elamalarıı özelliklerii bulmak ve T X i doğuray kümesii bulmak kousuda uzu zamadır çalışılmaktadır. Bu çalışmalara örek olarak Araujo, Braco, Ferades, Gomes, Ruskuc (00), Ayık, Ayık, Howie (005), Ayık, Ayık, Howie, Ülü (005), Ayık, Ruskuc (999), Feraedes (00), Gayushki, Mazorchuk (008), Gomes, Howie, (987), Gomes, Howie (99), Higgis, Howie, Ruskuc (998), Howie (966),Howie (995), Howie, McFadde (990), Howie (97), Howie (978), Howie, Ruskuc (994),Keares, Szedrei, Wood (00), Lipscomb, (996), Ruskuc (998) makalelerii verebiliriz. X boşta farklı herhagi bir küme olsu. Eğer x domα içi x α = oluyorsa α ya X üzeride bir kısmi döüşüm (foksiyo) deir. X üzerideki tüm kısmi döüşümleri kümesi P ile gösterilir. X kümesi solu X = {,, K, } x kümesi olarak alıırsa taımlaa tüm döüşümler ile tüm kısmi döüşümleri yarıgrupları sırasıyla T ve P ile gösterilsi. Klasik solu döüşümler yarıgrubu hakkıdaki termiolojiyi bir arada bulacağımız kayaklara örek olarak Gayushki, Mazorchuk (008), Howie (966), Howie (995), Higgis (99) kayak ve çalışmalarıı verebiliriz. T ve P yarıgruplarıı ve buları bazı alt yarıgruplarıı doğuray kümeleri ve rak özellikleri so yıllarda ağırlıklı olarak çalışıla koular arasıdadır. yarıgrupları sırasıyla T i altyarıgrupları ola sıra koruya ve sıra azalta döüşüm O ve D ile gösterilsi. Bu tezde bu yarıgrupları idempotet elemalarıı Gree deklik bağıtıları ve orbitleri icelemiştir. Ayrıca, tüm döüşümler yarıgrubuu idempotet elemaları tarafıda doğurula altyarıgruplar ile idempotet raklar hakkıdaki çalışmalar derlemiştir. T S kümesii elemaları sigüler döüşüm olarak adladırılıp tüm sigüler döüşümleri kümesii ST ile gösterelim. Döüşüm yarıgruplarıı doğurayları ile ilgili ilk çalışmalarda biri, yarıgrup teorisie yö verelerde biri

14 . GİRİŞ ola J.M. Howie i, sigüler döüşümler yarıgrubuu idempotetler tarafıda doğurulduğuu göstere 966 yılıda yayımlaa çalışması olmuştur. Stirlig ve Catala sayıları T ve P i bazı alt yarıgruplarıı elema sayıları ve bazı alt yarıgrupları belli tipteki elemaları sayıları belirlediği çalışmalarda karşımıza çıkmaktadır. Bu sebeple Stirlig ve Catala sayıları taımlamıştır. Stirlig ve Catala sayılarıa rak hesaplamalarıda karşılaşılmakta olup ilgili çalışmalar ve souçlar üçücü bölümde derlemiştir. Öcelikle E( ST ) ile sigüler döüşümler kümesideki tüm idempotetleri kümesii gösterelim. Sigüler döüşümler kümesideki tüm idempotetleri sayısı ( ) E ST = r r = r r dir. S i birim döüşümü idempotet olup bu sayılalara ekleerek, T deki tüm idempotetleri sayısı buluur. Bu sayı aşağıdaki gibi ifade edilmiştir. r E( T ) = r r r= r + = r= r r dir. Bu tezde sigüler döüşümler yarıgrubu ST = T S içi doğuray kümesi oluştura çalışmalar araştırılıp derlemiştir. Hatırlaacak olursa α ST ise imα dir. K kümesii * r, { α α } K = T im = r * r, : olarak taımlayalım. Bu durumda dikkat edilecek olursa 3

15 . GİRİŞ K *, = S ve U r = K * r, = ST dir. J.M. Howie i (966) daki çalışmasıda, eğer bir X ST içi K X ise *, ST = X olduğu gösterilmiştir. Yie ayrıca J.M. Howie i 966 daki çalışmasıda olmak üzere her α D elemaı defecti ola idempotetleri çarpımı olarak yazılabileceği gösterilmiştir. I defecti ola idempotetlerde oluşa bir küme olsu. Köşe kümesi ola ve kear (ok) listesi gösterelim. I kümesii, i I j içi ( ji, ) oklarıda oluşa grafiği ( I ) X Γ ile ST i bir doğuray kümesi olması içi gerek ve yeter koşulu Γ ( I ) ı tam ve sıkı bağlatılı olması gerektiği J. M. Howie tarafıda 978 de yapıla çalışmada gösterilmiştir. S bir yarıgrup olsu. Bu yarıgrubu idempotet rakı { } ( ) mi : ( ) idrak S = A A E S ve A = S olarak taımlaır. J.M. Howie, (978) deki çalışmasıda sigüler döüşümler yarıgrubuu idempotet rakıı ( ) ve (987) de de Gomes ile birlikte yaptığı çalışmada sigüler döüşümler yarıgrubuu rakıı idempotet rakıa eşit olduğuu göstermiştir. 4

16 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Bu bölümde, yarıgrup teoriside yer ala ileride kullaacağımız bazı temel taım ve teoremleri vereceğiz. Yarıgruplar hakkıdaki geel termioloji içi Howie (995), klasik solu döüşümler yarıgrubu hakkıdaki termioloji içi Gayushki, Mazorchuk (008), Higgis (99) kayakları kullaılmıştır... Yarıgruplar Taım..: S boş olmaya bir küme olsu. µ : S S S taımlı foksiyoua S üzeride bir ikili işlem ve ( S, µ ) ikilisie bir grupoid deir. Her s, t S içi ( s, t) µ yerie s t veya st ve ( S, µ ) yerie ( S,.) yazılır. Taım..: ( S,.) bir grupoid olsu. Eğer, her s, t, u S içi ( s t) u = s ( t u). işlemi birleşmeli ise ( S, µ ) ikilisie bir yarıgrup deir. Eğer bir tek yarıgrupta bahsediliyorsa veya S üzeride ikili işlem belli ise ( S,.) yerie kısaca S olarak alıır. yarıgruptur. NZQRC,,,, ve Z sayı kümeleri hem toplama hem çarpma ile birer Taım..3: S bir yarıgrup olsu. i. Her s, t S içi st = ts oluyorsa S yarıgrubua bir değişmeli yarıgrup, ii. Her a, s, t S içi as = at ike s = t oluyorsa S ye sol sadeleşmeli yarıgrup 5

17 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER iii. iv. Her elemaı idempotet ola bir yarıgruba bad Değişmeli batlara yarılatis deir. Taım..4: S bir yarıgrup olsu. Eğer elemaı varsa elemaı varsa s S içi z s = s olacak şekildeki z S z S elemaıa bir sol sıfır elema, s z = z olacak şekildeki z S z S elemaıa bir sağ sıfır elema deir. z S elemaı hem sağ sıfır elema hem de sol sıfır elema ise z ye sıfır elema deir. Öerme..5: Bir S yarıgrubuu sıfır elemaı varsa tektir. İspat: 0 ve ' 0, bir S yarıgrubuu iki sıfır elemaı olsu. olur. = ( ıı ğ ) ' 0 00, 0, sfr elema oldu uda = ' ( ıı ğ ) ' 0,0, sfr elema oldu uda Taım..6: S bir yarıgrup olsu. Her bir sol birim elemaı, s S içi es = s oluyorsa e S ye S i se = s oluyorsa e S ye S i bir sağ birim elemaı deir. Hem sol hem de sağ birim ola elemaa birim elema deir. Öerme..7: Bir S yarıgrubuu birim elemaı mevcut ise tektir. İspat: e, f S, S yarıgrubuu iki birim elemaı olsu. e birim elema olduğuda e f = f ve f birim elema olduğuda f e = e olup f = ef = fe = e olacağıda e = f yai birim elema tektir. 6

18 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER Taım..8: S bir yarıgrup olsu. Eğer S bir birim elemaa sahip ise S ye bir mooid deir. S bir yarıgrup olsu. Eğer S de birim elema mevcut ise birim elema ile sıfır elema mevcut ise 0 ile gösterilir. Eğer S S, = S, S S olarak taımlaa S üzeride ikili işlem s, t S içi st, t, st = s,, s, t s = t = s = t = şeklide taımlaır ise S bir mooid olup bua gerekli ise S ye birim elema ekleerek elde edile mooid deir. sıfır elema ekleerek elde edile yarıgrup deir. 0 S bezer şekilde taımlaır ve gerekli ise S ye Taım..9: S bir yarıgrup ve a S olsu. Eğer, a = a ise a elemaıa S i bir idempotet elemaı deir. Eğer S sıfırlı bir yarıgrup ve tamsayısı varsa a elemaıa S i bir ilpotet elemaı deir. k a S içi a = 0 pozitif k Bir S yarıgrubuu tüm idempotet elemalarıı kümesii E( S) ile ve bir sıfırlı S yarıgrubuu tüm ilpotet elemalarıı kümesii N( S ) ile gösterelim. deir. e = e olmak üzere tek elemalı S = { e} yarıgrubua trivial (aşikar) yarıgrup 7

19 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER Taım..0: S bir yarıgrup olsu. Eğer a S içi as=s ve Sa=S oluyor ise S ye bir grup deir. Diğer bir deyişle, S bir yarıgrup ve e S ike a S içi ea=a=ae ve ba=e=ab olacak şekilde bir b Svar ise S ye bir grup deir. Taım..: S bir yarıgrup ve φ T S olsu. i. T T ise T ye S i bir alt yarıgrubu, ii. ST T iii. ise T ye S i bir sol ideali, TS T ise T ye S i bir sağ ideali, iv. ST T ve TS T ise T ye S i bir ideali deir. S bir yarıgrup ve φ T S, T de S i alt yarıgrubu ise T S ile T de S i ideali ise T < S ile gösterilir. Taım..: ST, iki yarıgrup ve herhagi bir f : S T döüşümü her xy, S içi f ( xy) = f ( x) f ( y) oluyorsa f döüşümüe (yarıgrup) homomorfizm deir. Taım..3: ST, iki yarıgrup ve herhagi bir f : S T döüşüm olsu. i. f örte bir homomorfizm ise f ye epimorfizm, ii. iii. f birebir bir homomorfizm ise f ye moomorfizm, f birebir ve örte bir homomorfizm ise f ye izomorfizm, deir. S ve T yarıgrupları arasıda bir izomorfizm var ise S ile T ye izomorfik yarıgruplar deir ve S T ile gösterilir. Ayrıca f : S S döüşümü bir homomorfizm ise f ye edomorfizm, f izomorfizm ise f ye otomorfizm deir. 8

20 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER Taım..4: X φ bir küme olsu. X X kartezye çarpımıı her alt kümesie bir bağıtı deir. Eğer α, X üzeride bir bağıtı ise α {( xy, ) X X :( yx, ) α} = bağıtısıa α i ters bağıtısı deir. X üzerideki tüm bağıtıları kümesi gösterilir. B x ile Taım..5: α, X üzeride bir bağıtı olsu. i. Her x X içi ( xx, ) α ise α ya yasımalı, ii. Her xy, X içi ( xy, ) α ( yx, ) α ise α ya simetrik, iii. Her xy, X içi ( xy, ),( yx, ) α x= y ise α ya ati simetrik, iv. Her xyz,, X içi ( xy, ),( yz, ) α ( xz, ) α ise α ya geçişmeli bağıtı deir. Eğer α bağıtısı yasıya, simetrik ve geçişmeli bir bağıtı ise α ya deklik bağıtısı, eğer α bağıtısı yasıya, ati simetrik ve geçişmeli bir bağıtı ise α ya (kısmi) sıralama bağıtısı deir. B x üzeride bir o ikili işlemi her, Bx αβ içi α o β {( x, y) : z X içi ( x, z) α ve ( z, y β} = ) şeklide taımlası. Taımlaa bu ikili işlem ile (,o) üzeride tüm bağıtılar yarıgrubu deir. B bir yarıgrup olup bua X x Taım..6: α Bx alalım. { x X : y X içi( x, y } dom α = ) α { x X : y X içi( y, x } im α = ) α 9

21 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER şeklide taımlaa X kümesii altkümelerie sırasıyla α ı taım kümesi ve görütü (imaj)kümesi deir. Ayrıca, x X ve φ Y X içi { y X : ( x, y } x α = ) α ve y = U x Y xα olarak taımlaır. Souç olarak x domα olması içi gerek ve yeter şart x α φ olmasıdır. Eğer α bir deklik bağıtısı ise X kümesii ayrık alt kümelere parçalaması e öemli özellikleride biridir. Bu durumda x X içi α = { y X :( xy, ) α} x kümesie x i deklik sııfı deir. Dikkat edilecek olursa α x ve xα ayı kümelerdir. Baze bu kümeler x α olarak da gösterilir. Tüm deklik sııflarıı kümesi X α ile gösterilip X α { α : x X} = olarak taımlaır. α ters bağıtısı ve {(, ): } bağıtısıdır. Ayrıca { : } i I i x x = xx x X kümesi X üzeride birer deklik αi i I, X üzerideki deklik bağıtılarıı bir kümesi ise I α kümesi de X üzeride bir deklik bağıtısıdır. Taım..7: S bir yarıgrup ve R de S üzeride bir bağıtı olsu. i. Eğer a S ve (,) st R içi ( as, at) R ise R ye sol uyumlu, ii. Eğer a S ve (,) st R içi (sa,ta) R ise R ye sağ uyumlu 0

22 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER deir. Ayrıca, her ( uv, ),(,) st R içi ( us, vt) R oluyor ise R ye uyumlu bağıtı deir. Taım..8: S bir yarıgrup ve R de S üzeride bir deklik bağıtısı olsu. Eğer R sol uyumlu ise R ye sol kogrüas, R sağ uyumlu ise R sağ kogrüas deir. Ayrıca, R uyumlu ise R ye kogrüas deir. Öerme..9: S bir yarıgrup ve ρ, S üzeride bir bağıtı olsu. ρ i bir kogrüas olması içi gerek ve yeter koşul ρ i hem sol hem de sağ kogrüas olmasıdır. İspat: : ρ bir kogrüas olsu. Eğer (,) st ρ ve a S ise yasımalılıkta ( aa, ) ρ ve uyumlulukta ( as, at) ρ ve ( sa, ta) ρ olur. Böylece ρ hem sol hem de sağ uyumlu olur. : ρ hem sol hem de sağ kogrüas olsu. (,),( st s, t ) ρ alalım. O zama sağ uyumlulukta ( ss, ts ) ρ ve sol uyumlulukta ( ts, tt ) ρ olur. Böylece geçişmelilikte ( ss, tt ) ρ dır. Yai ρ bir kogrüastır. Taım..0: S bir yarıgrup ve R, S üzeride herhagi bir bağıtı olsu. O halde R S S olup S üzeride R yi içere e az bir kogrüas vardır. S üzeride R yi içere tüm kogrüasları arakesiti de R yi içere bir kogrüas olup bu kogrüasa R tarafıda doğurula kogrüas deir ve # R ile gösterilir. { ρ: ρ ve ρ, üzeride bir kogrüas } # R = I R S taımda kolayca görülüyor ki # R, R yi içere e küçük kogrüastır. Öerme..: S bir yarıgrup ve R, S üzeride herhagi bir bağıtı olmak üzere

23 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER {(, ):,,(, ) } c R = xay xby xy S ab R şeklide taımlaa c R kümesi, R yi içere e küçük sol ve sağ uyumlu bağıtıdır. İspat: uv, c R i, R yi içerdiği açıktır. c R ve w S alalım. O zama bazı v xby olur. Böylece wu wx ay wu, wv gösterilir. Şimdi c R elde edilir. Yai c R i sol uyumlu olduğuu göstermek içi xy, S ve ab, ve wv R içi u xay ve wx by dir ve dolayısıyla c R sol uyumludur. Sağ uyumluluk da bezer şekilde c R i e küçük olduğuu gösterelim. S, R yi içere sol ve sağ uyumlu bir başka bağıtı olsu. O zama tüm xay, xby S olur. Dolayısıyla c R xy, S ve tüm ab, R içi S dir. # c Öerme.. S yarıgrubu üzerideki her R bağıtısı içi R ( R ) e = dir. c İspat: Yukarıdaki Öerme de ( R ) e i c R yi ve elbette R yi içere bir deklik c bağıtısı olduğu açıktır. ( R ) e i bir kogrüas olduğuu göstermek içi hem sol c hem de sağ uyumlu olduğuu göstermeliyiz. st, R S R R olmak üzere bazı içi st, olduğuda c c c S e ve a S olsu. O zama c S olur. S S c c S S c S R R R R c elde edilir. Böylece hem S hem de c e S sol ve sağ uyumludur. as, at S R c e c ve sa, ta S R dir ve dolayısıyla R e bir kogrüastır., S yarıgrubu üzeride R yi içere

24 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER c e R i S yarıgrubu üzeride R yi içere e küçük kogrüas olduğuu göstermek içi S yarıgrubu üzeride R yi içere başka bir kogrüasıı ele alalım. c bağıtısıdır ve R olduğuda c e c c R olur. Yai, c R yi içere bir deklik dır. Taım..3: S bir yarıgrup ve ρ, S üzeride bir kogrüas olsu. S i ρ ile bölümüde elde edile S ρ bölüm kümesi, xρ, yρ S ρ içi ( x ρ)( yρ) = ( xy)ρ şeklide taımlaa çarpma işlemi ile bir yarıgrup olup bu yarıgruba S i ρ ile elde edile bölüm yarıgrubu deir. Taım..4: S bir yarıgrup ve ρ, S üzeride bir kogrüas olsu. ρ : S S ρ a a aρ şeklide taımlaa ρ, örte bir homomorfizm olup bu homomorfizme doğal homomorfizm deir. Teorem..5: ST, iki yarıgrup ve φ : S T bir homomorfizm olsu. Bu durumda ker φ = φo φ = {( ab, ) S S: aφ = bφ} S üzeride bir kogrüastır. 3

25 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER İspat: kerφ, S üzeride bir deklik bağıtısı olup a b ve c d olduğuda a c b d olduğuda ac bd olup ac bd ab,, cd, ker içi olur. φ bir homomorfizm, ker dir. Yai ker bir kogrüastır. Taım..6: S bir yarıgrup ve R de S üzeride bir bağıtı olsu. Eğer cd, S içi c=sat ve d=sbt olacak şekilde st, S ve ( ab, ) R R mevcut ise c ile d bir basit R-bağlatılıdır veya c, d de bir R bağıtısı kullaılarak elde edilmiştir deir ve c R d ile gösterilir. (, cd) R ( R ) c c dir. c R d ise d R c olduğu açıktır ve Ayrıca, S bir yarıgrup ve R de S üzeride bir bağıtı olsu. Eğer ( ab, ) Siçi a=b veya ci = sat i i i, ci+ = si+ bt i i+ ile basit R-bağlatılı olacak şekilde ( a, b) R R i i R olmak üzere ci c i + bir a = c c... c c = b S i elemalarıı solu bir dizisi var ise a ile b R i bir soucudur veya a ile b R-bağlatılıdır deir, a b ile gösterilir. R.. Doğuray Kümeleri Taım..: S bir yarıgrup ve X de S i boş olmaya bir alt kümesi olsu. S i X kümesii içere tüm altyarıgruplarıı arakesiti de X kümesii içere bir altyarıgrup olup bu altyarıgruba S i X tarafıda doğurula alt yarıgrup deir ve < X > ile gösterilir. M bir mooid (grup) ve φ X M olsu. X i içere S i e küçük mooidie (altgrubua) X tarafıda doğurula alt mooid (alt grup) deir. 4

26 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER sg Notasyoda karışıklığı ölemek içi X tarafıda doğurula alt yarıgrup < X >; X tarafıda doğurula alt mooid mg < X > ve X tarafıda doğurula alt grup gg < X > ile gösterilir. Öerme..: S bir yarıgrup ve X ile Y, S i boş olmaya iki alt kümesi olsu. Eğer X Y ise < X > < Y > dir. İspat: < X >= T ve < Y >= U olsu. X T ve X Y U olduğuda X U T olur. U T de S i bir alt yarıgrubu olup X i içerir. U T T ve T de X i içere e küçük alt yarıgrup olduğuda U T = T olur ve dolayısıyla T U olur. Öerme..3: S bir yarıgrup ve φ X S olsu. O halde, X üzerideki tüm solu çarpımları kümesi, bir diğer deyişle + { xx... x : Z vex, x,..., x X} kümesi X i doğurduğu alt yarıgruba eşit olur. + İspat: T { xx... x : Z vex, x,..., x X} = olsu. Z + içi x, x,..., x X < X > olduğuda xx... x < X > yai T < X > olur. Ayrıca, X T ( = ) ve x, x,... xm, y,..., y X içi u = xx... x y... y m de X üzeride solu bir çarpım olup u T dir. Böylece, T de X i içere bir alt yarıgrup olup X T ve taım gereği < X >= T olur. Özel olarak, solu bir yarıgrup ayı zamada kedisi içi bir solu doğuray kümesi olup solu doğuraylıdır. 5

27 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER Taım..4: S bir yarıgrup ve S =< X > olsu. Eğer X ={ x } şeklide tek elemalı bir küme ise S ye moojeik (tek doğuraylı) yarıgrup deir ve S = x şeklide de yazılabilir. Taım..5: S bir yarıgrup ve φ X S olsu. Eğer < X >= S ise X e S i bir doğurayı deir. Eğer bir solu φ X alt kümesi içi S =< X > ise S ye solu doğuraylı bir yarıgrup deir. S solu doğuraylı bir yarıgrup olsu. O zama, { X X S X < < X >= S} mi :,, pozitif tamsayısıa S i yarıgrup rakı deir; rak(s) veya s-rak(s) ile gösterilir. Taım..6: S bir yarıgrup ve A da S i boş olmaya bir alt kümesi olsu. Eğer S i her doğurayı A yı içeriyor ise A ya S i idirgeemez elemalarıı bir kümesi deir. Taım..7: S bir yarıgrup ve a S olsu. Eğer her st, S içi st = a olduğuda s = a veya t = a olmak zoruda ise a S ye S i bir asal elemaı deir. Öerme..8: S bir yarıgrup olsu. A S taımlaa A kümesi idirgeemez elemalarda oluşur. =( S ) { a S: aasal} olarak İspat: Asal ve idirgeemez elema taımlarıda açıktır. Not: a hem asal hem idempotet olabilir. Bu durumda a S S dir. Öerme..9: S solu doğuraylı bir yarıgrup olsu. S i (varsa) asal elemaları ve S S kümesii elemaları idirgeemezdir. 6

28 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER İspat: S solu doğuraylı bir yarıgrup ve X φ de S i herhagi bir doğurayı olsu. Eğer S S φ ise bir s S S alalım. S =< X > olduğuda s = xx... x olacak şekilde x, x,..., x X vardır. olursa s = x( xx 3... x ) olur ki bu S S olması ile çelişir ve s X olur. Böylece, S S X olur. Dolayısıyla, S S i elemaları idirgeemezdir. Şimdi s S asal elemaıı olsu. S =< X > olduğuda s = xx... x olacak şekilde x, x,..., x X vardır. = ise s = x X olur. ise s = x( xx 3... x ) şeklide düşüülürse s asal olduğuda s = x ise s X olur. s = x... x olması durumuda = ise s = x X olur. Eğer, s = x( x3... x ) olup bezer şekilde devam edildiğide < olduğuda e az bir i içi s = xi olmak zorudadır. O halde, s X olur. Böylece, asal elemalar da idirgeemezdir. Öerme..0: S solu doğuraylı bir yarıgup ve T S olsu. Eğer S T, S i bir ideali ise S i her doğurayı T i bir doğurayıı içerir. Bir başka deyişle, X S i bir doğurayı ise T X de T i bir doğurayı olur ve T de solu doğuraylı olur. Taım..: S bir yarıgrup ve X de S i bir solu doğurayı olsu. Eğer, X = rak( S) ise X e bir miimal doğuray kümesi deir. Eğer X sadece idirgeemez elemalarda oluşa bir doğuray kümesi ise X e miimum doğuray kümesi deir. Taım..: S bir yarıgrup ve T S olsu. Eğer, S T < ise T ye S i solu ideksli altgrubu veya S ye T i bir küçük geişlemesi deir. Öerme..3: S bir yarıgrup, T T =< T X > olur. S ve S T < S olsu. Eğer S =< X > ise 7

29 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER İspat: S =< X >ve Y = T X olsu. Herhagi bir t T içi t S =< X > olduğuda t = xx... xi xx i i+... x olacak şekilde x, x,..., xi, xi, xi+,..., x X vardır. Eğer herhagi bir i içi xi S T olsaydı S T < S olduğuda t = xx... x xx... x olurdu ki bu da t T ile çelişir. O halde, tüm i i i+ x, x,..., x T olur ve dolayısıyla x, x,..., x Y = T X olur. Böylece, t Y yai < Y >= T olur..3. Döüşüm Yarıgrupları Bu bölümde tüm döüşümler yarıgrubu ve tüm kısmi döüşümler yarıgrubu, yarıgrubu elamaları, doğuray kümeleri ve rak özellikleri iceleecektir. X φ bir küme olmak üzere X üzerideki tüm bağıtıları kümesi daha öce gösterildi. B x ile Taım.3.: x olsu. Eğer x domα içi x α = oluyorsa α ya X Bx üzeride bir kısmi döüşüm (foksiyo) deir. X üzerideki tüm kısmi döüşümleri kümesi P x ile gösterilir. üzerideki tüm kısmi döüşümler yarıgrubu deir. P x kümesi bileşke işlemi ile yarıgrup olup bu yarıgruba X Öerme.3.: X φ olmak üzere P x kümesi B x i bir altyarıgrubudur. İspat: αβ, Px olsu. Eğer dom( αo β) = φ ise αo β bir boş bağıtı olup P x i bir elemaıdır. dom( αo β) φ ise herhagi bir x dom( αo β) alalım. O zama, y X içi (x,y) ( αo β) olup (x,z) α ve (, zy) β olacak şekilde bir z X vardır. ( xu, ) α ise α Px olduğuda u=z olmak zorudadır. Ayrıca, (, zv) β ise 8

30 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER β P x olduğuda v y = olmak zorudadır. O halde, x( α β ) = { y} o olup ( αo β) Px olur. Taım.3.3: X φ olsu. α Px içi dom α = X oluyor ise α ya bir tam döüşüm deir. X üzerideki tüm tam döüşümleri kümesi T x ile gösterilir. T x kümesi bileşke işlemi ile yarıgrup olup bu yarıgruba X üzerideki tüm (tam) döüşümler yarıgrubu deir. Öerme.3.4: T x kümesi P x i bir alt yarıgrubudur. İspat: αβ, Tx olsu. O zama, domα = domβ = X olup x X içi xα = xβ = dir. dom( αo β) X dir. Herhagi bir x X elemaıı alalım. x domα olduğuda ( xy, ) α olacak şekilde bir y X vardır. Ayrıca, y domβ olup ( yz, ) β olacak şekilde bir z X vardır. Böylece, ( xy, ) o( yz, ) = ( xz, ) αo β olup x dom( αo β) olup X dom( αo β) dır yai X = dom( αo β) dır. O halde, αo β T x dir. Taım.3.5: X φ olsu. α Tx içi im α = X oluyor ise α ya bir örte döüşüm deir. Eğer x, y X içi x α = yα ike x = y oluyorsa α ya bir birebir döüşüm deir. α Tx hem örte hem de birebir döüşüm ise α ya X üzeride bir permütasyo deir. X üzerideki tüm permütasyoları kümesi S x ile gösterilir. Eğer X solu bir küme ise X yerie X {,,, } = K ve B, P, T, S x x x x sembolleri yerie B, P, T, S sembolleri kullaılır. Taım.3.6: α P olsu. ker α {( x, y) xα = yα} = : 9

31 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER şeklide taımlaa ker α kümesie α ı çekirdeği (keral) deir. Teorem.3.7: i. im( α o β ) imβ ii. kerα ker( α o β ) dır. α, β T olsu. O zama, İspat: i. y im( α o β ) olsu. O zama ( x, y) α o β olacak şekilde bir x vardır. Bileşkei taımıda ( x, z) α ve ( z, y) β olacak şekilde X bir z vardır. Böylece ( z, y) β olup y imβ olur. X ii. ( x, y) kerα olsu. O zama, x α = yα olup β iyi taımlı olduğuda ( x α ) β = ( yα) β yai x ( α o β ) = y( α o β ) olup ( x, y) ker( α o β ) olur. Taım.3.8: α T \ S ise α ya bir sigüler döüşüm deir. Sigüler döüşümleri oluşturduğu küme Sig ya da ST ile gösterilir. Dolayısıyla, Sig = = ST T \ S dır. Taım iceleirse α ST imα olduğu kolayca görülür. Öerme.3.9: ST kümesi T i bir idealidir. İspat: α T, β ST içi im( α o β ) imβ ve 0

32 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER im( α o β ) imβ olduğuu biliyoruz. Burada, ST i T i bir sol ideali olduğu açıktır. Diğer tarafta, β ST ve α T olsu. Foksiyou taımı gereği im β = X β dır. Burada, X ( β o α) = ( X β ) α X β yazılır. Böylece, i bir idealidir. β oα ST olup ST, T i bir sağ idealidir. Dolayısıyla, ST, T.4. Gree Deklik Bağıtıları Gree deklik bağıtıları, bir yarıgrubu elemalarıı, doğurdukları esas idealler vasıtasıyla sııfladırmaya yaraya beş tae deklik bağıtısıdır. James Alexader Gree tarafıda ilk kez 95 yılıdaki bir çalışmasıda taımlamıştır. Bir yarıgrubu içide bölüebilmei doğasıı alamak içi de Gree bağıtıları yararlıdır. Bu bağıtılar grupta da geçerlidir ama kullaışlı bilgiler vermez. Gree deklikleri ile çalışırke bir S yarıgrubu ile doğruda çalışmak yerie S mooidi ile çalışırız. Böylece bir elema tarafıda doğurula ideali o elemaı içermesi garati altıa alımış olur. Taım.4.: S bir yarıgrup ve a S olsu. S i a yı içere e küçük (sağ-sol) idealie a tarafıda doğurula (sağ-sol) ideal deir. Yai a S elemaı tarafıda doğurula sol ideal,

33 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER { : } Sa = sa s S ve sağ ideal { : } as = as s S olur. Ayrıca, a S elemaı tarafıda doğurula iki yalı ideal (veya kısaca ideal) { :, } SaS = sat st S olarak taımlaır. Dikkat edilecek olursa as kümesi aslıda { : } { : } U{ } U { } as = as s S = as s S a = as a şeklidedir. Bezer şekilde { } Sa Sa a = U { } SaS SaS as Sa a = U U U dir. Taım.4.: S bir yarıgrup olsu. S üzeride taımlaa L = {( ab, ): Sa = Sb } R = {( ab, ): as = bs } J= = {( ab, ): SaS = SbS }

34 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER bağıtılarıa sırasıyla sol, sağ ve J -Gree deklik bağıtıları deir. Eğer ( ab, ) S içi ( ab L, ) ise a ile b L-bağlatılıdır, ( ab R, ) ise a ile b R-bağlatılıdır ve ayrıca ( ab, ) J ise a ile b J-bağlatılıdır deir. Sırasıyla alb, arb, ajb ile gösterilir. Öerme.4.3: S bir yarıgrup ve ab, S olsu. O halde, i. ( ab L, ) olması içi yeter ve gerek şart a = sb ve b= ta olacak şekilde st, S olmasıdır. ii. ( ab R, ) olması içi yeter ve gerek şart a = bu ve b= av olacak şekilde uv. S olmasıdır. iii. ( ab J, ) olması içi yeter ve gerek şart a = sbu ve b= tav olacak şekilde stuv,,, S olmasıdır. İspat: i. ( ) ( ab L, ) vardır. Bezer şekilde b ve ( ) a Sb= Sya Saolup Sa= Sb a Sb olup a = xb olacak şekilde = ya olacak şekilde = xb ve b= ya olacak şekilde y S olduğu gösterilebilir. xy, S var olsu. Sa = Sb ve burada ( ab, ) L dir. x S Sa = Sxb Sb ii. ve iii. de bezer şekilde gösterilebilir. Öerme.4.4: S bir yarıgrup olsu. S üzeride sağ ve sol Gree deklik bağıtıları değişmelidir. Bir başka deyişle, L o R=Ro Ldır. İspat: Howie (995), Propositio..3 e bakıız. 3

35 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER Taım.4.5: L ve R deklik bağıtılarıı içere S i e küçük deklik bağıtısıa D-Gree deklik bağıtısı deir. Bir D=Lo R olduğu kolayca gösterilir. başka deyişle, D=L R dır. Burada da Taım.4.6: H-Gree deklik bağıtısı da H=L R olarak taımlaır. D=Lo R=R o L olduğuda D, L ve R yi içere bir deklik bağıtısı olup bir D-sııfı D ise D L-sııflarıı ve ayı zamada R-sııflarıı bir bileşkesidir. Ayrıca, ab, S içi L a ve b R ayı D- sııfı tarafıda içeriliyor ise La Rb φ dır. Gerçekte de a La D ve b Rb D ise ab, D yai ( ab, ) D olur. Dolayısıyla, ( ac, ) L ve (, cb) Rolacak şekilde c S vardır. c La ve c Rb olup c La Rb dır. Böylece, bir D-sııfı her satırı R-sııfı, her sütuu bir L-sııfı ve her bir hücresi de H-sııfı ola bir yumurta kutusu şeklidedir. Çizelge.. D-sııfıı yumurta kutusu L a R a a H a Teorem.4.7 (Gree Teoremi): S bir yarıgrup, ab, S ve arb olsu. O halde, as = b ve bt = a olacak şekilde st, S vardır. Bu seçili s ve t içi g : L L g : L L s a b t b a x xs y yt 4

36 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER olarak taımlası. O zama, g s ve g t birbirlerii tersi olup - ve örtedir. Ayrıca bular bir H-sııfıı yie bir H-sııfıa götürür. Yie bezer şekilde, S bir yarıgrup, ab, S ve alb ike tb= ave sa = b ise λ : R R λ : R R s a b t b a x sx y ty olarak taımlaa döüşümler birbirlerii tersi olup - ve örtedirler. Ayrıca bu döüşümler bir H-sııfıı bir H-sııfıa götürürler. İspat: Howie (995), Lemma.. ve Lemma.. ye bakıız. Souç.4.8: S bir yarıgrup olsu. ( ab, ) S içi ( ab, ) Doluyor ise La = Lb, R a = Rb ve Ha Hb = olur. Bir başka deyişle, bir D-sııfı içideki herhagi iki L- sııfı (R-sııfı veya H-sııfı) eşit sayıda elema içerir. İspat: Howie (995), Lemma..3 e bakıız. Teorem.4.9: H bir H-sııfı olsu. O halde, H ya bir gruptur ya da H H = φ dır. İspat: Howie (995), Theorem..5 e bakıız. Souç.4.0: S bir yarıgrup ve H, S de bir idempotet elema içeriyor ise S i bir altgrubudur. H-sııfı olsu. Eğer H bir Souç.4.: S de bir H-sııfı e fazla tae idempotet elema içerir. 5

37 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER.5. Döüşümleri Orbitleri Taım.5.: α T ve xy, X olsu. X üzerideki α bağıtısı r q + { } x α y xα = yα olacak şekilder, q Z 0 olmasıdır. X üzeride bir deklik bağıtısıdır. Bu deklik bağıtısıı deklik sııflarıa α ı orbitleri deir. α T içi α ı orbit grafiği Γ α ile gösterilir. kümesi V ( Γ ) ve kearları kümesi E ( Γ ) α α Γ α grafiği i köşeleri ( ) ( ) ( ) { } V Γ = X, E Γ = xx, : x X α α α şeklide taımlıdır. Örek.5.: α = Ω = {,,3,4,5,8,9} ve { 6,7} Ω = olur. alalım. α T i orbitleri Not: α T içi α ı orbitleri Ω, Ω,..., Ω m ve i ri Ω = ( i m) olsu. Γ α ı m tae bağlatılı bileşei vardır ve bu bağlatılı bileşeler ( α Ω ) i ( Γ α, Ω ) = {(, α): Ωi} Γ : V Γ =Ω α, Ωi i, i E xx x i i dır. Ayrıca, her i içi Γi, Ωi r i köşeli ve r i kearı ola bağlatılı bir grafik olup, ağaç olmaz, dahası; Γ i, Ω de bir tek patika ve devir vardır. Γ i α ı grafiği 6

38 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER Şekil.. α döüşümüi orbit grafiği olur. 7

39 .TEMEL TANIM ve TEOREMLER 8

40 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI X {,,..., } = kümesi üzerideki simetrik grup, tüm döüşümler yarıgrubu, kısmi döüşümler yarıgrubu ve sigüler döüşümler yarıgrubuu öceki bölümde taımladık ve sırasıyla S, T, P ve ST ile gösterdik. 3.. T ve P Yarıgruplarıı Doğuray Kümeleri Bu bölümde bazı döüşüm yarıgruplarıı doğuray kümeleri ve rakları bulumuş olup bu bilgileri derleyeceğiz. αβ, T içi i. im( αβ) im( β) ii. ker( α) ker ( αβ ) olduğuu bir öceki bölümde ispatlamıştık. Teorem 3..: αβ, T olsu. O halde i. α L β imα = imβ ii. αrβ kerα = ker β iii. α D β imα = imβ iv. αh β imα = imβ ve kerα = ker β olmasıdır. İspat: i. ( ) α L β olsu. O halde, α vardır. Dolayısıyla, = γβ ve β σα = olacak şekilde γσ, T 9

41 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI imα = im( γβ) imβ = im( σα) imα olup imα = imβ olur. ( ) imα = imβ = i, i,..., i m olsu. O zama, { } A A A =, i i... im α... m β B B... m = i i im... B olacak şekilde X i ( ) m i i A = ve ( B ) m i i = parçalaışları vardır. Her j m içi k j B alalım ve j γ A A... m = k k km... A olarak taımlayalım. Böylece, γβ A A... A B B... B m m = k k k m i i i m A A... A α i i... im m = = olur. Bezer şekilde, σα ii. ( ) α R β olsu. O zama, α vardır. Dolayısıyla, = β olacak şekilde bir σ taımlaacağıda ( αβ L, ) dir. = βγ ve β ασ = olacak şekilde γσ, T kerα = ker( βγ) kerβ = ker( ασ) kerα olup kerα = ker β olur. 30

42 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI ( ) kerα = ker β olsu. Bu deklik bağıtısıı deklik sııfları A, A,..., A m olsu. O zama, A A A =, i i... im α... m β A A... m = j j jm... A olacak şekilde i, i,..., im, j, j,... jm X vardır. Şimdi, γ : X X döüşümüü x X içi xγ ik, x= jk( k m) = x, diğer olarak taımlayalım. O halde, βγ {,,..., } A A... A j j... j X j j j m m m = j j j m i i im A A... A α i i... i m m = = olur. Bezer şekilde, ασ olur. = β olacak şekilde bir σ taımlaacağıda ( αβ R, ) iii. ( ) α D β olsu. D=Lo R olduğuda α Lγ = γ R β olacak şekilde bir γ T vardır. O halde, imα = r ise imγ = imα olduğuda imγ = r olup kerγ ı r tae deklik sııfı vardır. γ R β olduğuda kerγ = ker β olup ker β da r tae deklik sııfı vardır. Dolayısıyla, imβ = r dır. ( ) Diğer tarafta, imα = r = imβ olsu. O zama, 3

43 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI A A... A = i i... ir r α ve β B B... B r = j j... jr şeklide olur. Dolayısıyla, γ B B... B r = i i... ir alıır ise α Lγ ve γ R β olacağıda α D β olur. Öerme 3..: P, T + i bir altyarıgrubua izomorfiktir. İspat: α P olsu. Her x X + içi * α : X+ X+ i xα * xα x domα X = + x domα olarak taımlayalım. O zama, * α T + olur. φ : P T+ döüşümüü αφ * = α ( α P ) olarak taımlayalım. αβ, P olsu. α β α β taımlı ve birebir olması gerekir. * * = = olması içi yeter ve gerek şart φ i iyi ( α β) = [ α βα ] dom o im dom () dır. Şimdi ( α βφ ) αφ βφ α β * * o = o = o olduğuu gösterelim. () eşitliği göz öüe alıdığıda x X + içi 3

44 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI x( αoβ) * x( αoβ), x [ imα domβα ] = +, diğer x( αoβ), xα [ imα domβ] = +, diğer ( xαβ ), ( xα) domβ = +, diğer = x α β * * ( o ) olduğuda φ bir homomorfizmdir. Böylece, P im T φ + olur. Öerme 3..3: S i her elemaı ayrık devirleri bir çarpımı olarak yazılabilir. Ayrıca, ( ii i... 3 i r ) S i bir devri ise ( ii i... i ) = ( i i )( i i )...( i i )( i i ) 3 r r r r r 3 şeklide traspozisyoları çarpımı olarak yazılabildiğide S i her elemaı traspozisyoları çarpımı olarak yazılabilir. Tümevarım yötemi ile buu göstermeye çalışalım. α = ( 3... ) ve ( ) β = olsu. O zama, i içi ( ) i i i i α βα = α βα i (... )( )(... ) = i ifadeside 33

45 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI ( )( )( ) = α βα = i i= = 3... = 3... = ( 3) α βα α βα = = ( 34) M M ( ) ( )( )( ) ( ) = α βα = i, = elde ederiz. Böylece, ( ) ( ) ( ), 3,..., αβ, olur. Teorem 3..4: 3 içi S = αβ, ve rak( S ) = dir. İspat: Her i j içi j i ise = ise ( ij), αβ olduğuu biliyoruz. j i > ( i i+ )( i+ i+ )...( j j )( j j)( j j )...( i+ i+ )( i i+ )... i i i+... j j j+... =... i j i+... j i j+... = ( i j) olup ( i j) αβ, dır. 34

46 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI Teorem 3..5: T = αβγ,, olmak üzere Ayrıca, γ ij : X X döüşümüü x X içi 3... γ = 3... olsu. xγ ij j, x= i = x, x i olarak taımlayalım ( γ γ) =. O halde, γ αβγ,, dır. ij İspat: i, j 3 içi... i i i i i+... ( i) oγ o ( i) = = γi... j j j+... j... j j j+... ( j) oγ o ( j) = = γ j ( i) o( j) oγ o ( j)( i)... i i i+... j j+ = = γ... i j i+... j j+ ij ( i j) oγ o ( i j) = γ ji olur. Böylece, i j X içi γij αβγ,, olur. Teorem 3..6: 3 içi T = αβγ,, ve rakt = 3 dür. İspat: α T olsu. Eğer imα = ise α S olup α αβ, αβγ,, olur. imα olduğuu varsayalım. O halde, e az bir z X imα mevcuttur. 35

47 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI Ayrıca, α, değildir. Dolayısıyla, iα = jα ike i j olmak üzere e az bir çift ( i, j ) vardır. ^ : X X α döüşümüü x X içi ^ z, x= i xα = xα, x i olarak taımlayalım. O zama, α ij ^ = γ α olur. Ayrıca, ^ imα = imα + olur. Eğer α ^ ise α ^ S αβγ,, olduğu aşikardır. Eğer α ^ ise bezer şekilde S ^ ^ imα ^ = imα + ve ^ α kl ^ ^ = γ α olacak şekilde kl ve α buluur. İmaj her defasıda arttığıda solu adım sora, X ^ ^ T ^ M ^ ^ α = γγ... γ α αβγ,, ij kl pq olduğu görülür. 36

48 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI Teorem 3..7: αβ, P olsu. O zama, i. α L β imα = imβ ii. α R β kerα = ker β dır. İspat: i. ( ) αβ, P içi α L β olsu. λα = β ve γβ = α olacak şekilde λγ, P vardır. Dolayısıyla ( ) ( ) imα = im γβ imβ = im λα imα olup imα = imβ olur. ( ) imα = imβ olsu. α A A... A A m m+ = X X... Xm Xm+ ve β B B... B B m m+ = X X... Xm Xm+ ( m A + veya B m + φ olabilir.) Her i m içi bir yi Ai seçelim (fix) ve λ B B... B B m m+ = Y Y... Ym Ym+ olarak taımlayalım. 37

49 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI λα B B... B B A A... A A m m+ m m+ = Y Y... Ym Y m+ X X... Xm X m+ B B... B B m m+ = X X... Xm Xm+ olur. Bezer şekilde, ii. ( ) γ P mevcut olup α L β olur. αβ, P içi α R β olsu. αλ = β ve βγ = α olacak şekilde λγ, P vardır. Dolayısıyla ( β) = ( αλ) ( α) = ( βγ) ( β) ker ker ker ker ker olup ker( β) ker ( α) = olur. ( ) ker( β) ker ( α) = olsu.o zama α A A... A A m m+ = X X... Xm A A... Am Am+ ve β = Y Y... Ym olacak şekilde Xi, Yi X vardır. Her i m içi bir Zi Xi seçelim ve {,,..., } Y = X Z Z Z olmak üzere m Z Z... Z Y = P Y Y... Ym m λ olarak taımlayalım. O zama αλ A A... A A Z Z... Z Z m m+ m m+ = X X... Xm Y Y... Ym Y m+ A A... A A m m+ = Y Y... Ym = β 38

50 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI olur. Bezer şekilde βγ = α olacak şekilde γ P buluur. α R β olur. Öerme 3..8: rak( P ) = 4 dür. İspat: α P olsu. O zama α A A... A A, m m+ = X X... Xm β A A... A A m m+ = ( x A m X X... Xm A + m+ ise xβ = x) ve λ A A... A A m m+ = A A... Am ( x A A... Am içi xλ = x)... i K olarak taımlaır ise α = λβ olur. i X içi ξi =... _ K taımlayalım. Eğer A = m+ φ ise λ = X ve β = α olup souç açıktır. Eğer {,,..., } A = i i i φ ise o zama m+ r olarak λ = ξξ... i i ξ ir olur. Böylece α = ξξ ξβolur.... i i ir 3... α =, α3 = 3... ve α4 = ξ α = ( ), (... ) 39

51 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI alalım. β α, α, α3, ξi α, α, α4 ve α α, α, α3, α4 olur. Böylece rak( P ) 4 olur. Ayrıca, T P, SP P T P olur. Dolayısıyla = < ve rak( T ) = 3 olduğuda rak( P ) 3+ = 4 rak( P ) = 4 olur. Taım 3..9: Bir α döüşümü içi Fix( α), Shift ( α), Def ( α) kümelerii ve fix( α), shift ( α), def ( α) pozitif tamsayılarıı { α } Fix( α) = x X : x = x Def( α ) = X im ( α) Shift( α ) = X Fix ( α) fix( α) = Fix ( α) def( α) = Def ( α) shift( α) = Shift ( α) olarak taımlayalım. Def ( α) kümesie α ı (defect kümesi) oksalık kümesi, Fix ( α) kümesie α ı (fixleri kümesi) sabitleri kümesi, Shift ( α) kümesie α ı (shiftleri kümesi) değişeleri kümesi deir. Taım 3..0: φ A X olsu. Eğer xyz,, X içi xz, A ve x< y< z olduğuda y A ise A ya koveks küme deir. mi A= r ve max A q = ise A { rr,,..., q, q} = + dır. 40

52 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI 3.. T ve P Yarıgruplarıı Bazı Altyarıgrupları Solu bir X {,,, } = K kümesi üzeride tüm döüşümler yarıgrubuu T ile göstermiştik. Bu bölümde tüm döüşümler yarıgrubu T i bazı özel alt yarıgruplarıı taıtarak bu güe kadar belirlee özellikleri hakkıda bir derleme yapılacaktır. r olmak üzere K r, kümesi { α α } K = T im r r, : olarak taımlaır. Dikkat edilecek olursa K, = T ve K =, ST dir. Teorem 3..: K r, kümesi T yarıgrubuu bir alt yarıgrubudur. İspat: αβ, Kr, alalım. O halde imα r ve im r olduğuda β dir. im( αβ) imβ ( αβ) im imβ r dir. Böylece αβ K r, olup K, r T dir. Teorem 3..: K r, kümesi T yarıgrubuu bir idealidir. İspat: α K r, ve β T elemalarıı alalım. O halde im r olduğuda α ve im( βα) imα ( βα) im imα r 4

53 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI olup βα K r, dir. Böylece K r, kümesi T yarıgrubuu bir sol idealidir. imβ = k olsu. k r ise bezer şekilde im( αβ) imβ = k r olup αβ K r, dir. k > r = olup ( αβ) (( α) β) ise αβ ( imαβ ) im im im r dir. Her durumda αβ K r, olup K r, kümesi T yarıgrubuu bir sağ idealidir.o halde K, r < T dir. Dikkat edilecek olursa K K L K K,, r, r, K < K <L< K < K,, r, r, dir. Taım 3..3: α T alalım. xy, X içi x y ike xα yα oluyor ise α ya bir sıra koruya döüşüm deir. X üzeride taımlı tüm sıra koruya tam döüşümler yarıgrubua sıra koruya döüşüm yarıgrubu deir ve Öreği O 3 ü tüm elemaları aşağıdadır. O ,,,, 3 3 = ,,,, O ile gösterilir. Teorem 3..4: O kümesi T yarıgrubuu bir alt yarıgrubudur. İspat: αβ, O olsu. Eğer x y ise α O olduğuda ve xα yα dir. β O olduğuda ( xαβ ) ( yαβ ) olur yai x( αβ) y( αβ ) olur bu da αβ ı sıra koruya döüşüm olduğuu gösterir. Dolayısıyla, O T dir. O i elema sayısı = olur. 4

54 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI Öerme 3..5: αβ, O olsu. i. α L β imα = imβ ii. α R β kerα = ker β iii. α D β imα = imβ dır. İspat: A {,,..., r}, A { r, r,..., r },..., A { r, r,..., } üzere, = = + + = + + olmak m m m α O ise parçalaışı { } A A... A = i i... im m α A, A,..., A m ve olacak şekilde i i... im dir. Teoremi i.,ii.,iii. şıklarıdaki ( ) yölü ispatlar yukarıda Teorem 3.. deki ispatı ayısıdır. ( ) ispatları yapalım. i. imα = imβ olsu. O zama, X i bir sıralı koveks T üzerie ola A A... A =, i i... im m α β B B... B m = i i... im olacak şekilde X i sıralı koveks parçalaışları { } r i i I A ve { } r B vardır; ayrıca i i I... r i i i olur. Öce her k m içi bir jk Ak seçelim. A k ları sıralı koveks parçalaış olduğuda j j... jm olup γ B B... B m = j j... jm olarak taımlaır ise şekilde bir γ O dır ve γα = β olur. Bezer şekilde, λβ = α olacak γ O mevcut olup α L β olur. ii. kerα = ker β olsu. O zama, 43

55 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI A A... A =, i i... im m α β A A... A m = j j... jm olacak şekilde m X i α { A i } i= = sıralı koveks parçalaışı ve {... },{... } i < i < < i j < j < < j X m m vardır. B = {,,..., i} {,..., } B = i + i... {,..., } = {,,..., } B = i + i m m m B X i m+ m olmak üzere γ B B... B B m m+ = j j... jm olsu. O halde, γ O dır ve αγ = β olur. Bezer şekilde, βλ = α olacak şekilde λ O mevcut olup α R β olur. iii. imα = imβ olsu. O halde, α A... Am B B... Bm =, β = i... i j j... j m m 44

56 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI olacak şekilde... m X i { A } ve { } i i i ve j j... jm vardır. i B sıralı koveks parçalaışı ve i γ B B... B i i... im m = O olup bezer şekilde α Lγ ve γ R β olduğuda α D β olur. Soru 3..6: α O ise α ı orbitlerii grafiğii bulalım. Cevap: α O ise x X olsu. Şimdi xxα xα xα xα xα m m+ m+ r,,,...,,,...,,... dizisii ele alalım. Bu dizi sosuza dek farklı elemalarda oluşamayacağıda dolayı x m m r α = xα + olacak şekilde mr, Z + vardır. Biz bu koşulu sağlaya e küçük m ve sora e küçük r yi seçelim. r olsaydı, α O olduğuda Birici durumda xα m m r xα + ike m m+ m+ r xα xα... xα olur. m+ m+ r m xα xα = xα çelişkisi elde edilir. Bezer şekilde diğer durumda da çelişki elde edilir. Dolayısıyla, r = olmak zorudadır. Souç olarak, α O ise α ı orbitlerideki devirler birer halkadır Öerme 3..7: α O ise α ı orbitleri kovekstir. 45

57 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI İspat: α ı herhagi bir orbiti Ω olsu. Ayrıca, x y ola xy Ω, mevcut olsu. Kabul edelim ki x<y ve bir z X içi x< z< y olsu. O zama, xα zα yα olur. Bir t Ω içi Ω daki halka t olsu. O halde, y r α = t olacak şekilde mr, Z + { 0} O zama, xα m = t ve vardır. Geelliği bozmaksızı, m r olsu. r m ( r m) m xα = xα + = xα = t r m ( r m) m r m r m xα = xα + = xα α = tα = t y r α = t olup r r r t xα zα yα t = = olduğuda z r α = t yai z Ω olur. Taım 3..8: α T alalım. x X içi xα x oluyor ise α ya sıra azalta döüşüm deir. X üzeride taımlı tüm sıra azalta döüşümler yarıgrubua sıra azalta döüşümler yarıgrubu deir ve D ile gösterilir. Öreği D 3 ü tüm elemaları aşağıdadır D =,,,,, 3 3 Teorem 3..9: D kümesi T yarıgrubuu bir alt yarıgrubudur. İspat: αβ, D olsu. x X içi xα x ve xβ x olup x( αβ) = ( xαβ ) xα x olduğuda αβ D olur. Dolayısıyla, D T dır. D i elema sayısı da! olarak buluur. Dikkat edilecek olursa D ve O de birim döüşümde başka permütasyo yoktur. α D içi α = α ve 46

58 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI D 3... S = O S = I = 3... dır. Taım 3..0: döüşüm deir. α T alalım. x X içi xα x oluyor ise α ya sıra arttıra X üzeride taımlı tüm sıra arttıra döüşümler yarıgrubua sıra artıra döüşümler yarıgrubu deir ve r olmak üzere D r, kümesi * D ile gösterilir. D r, = { α D : imα r } olarak taımlaır. D r, kümesi kümesi D yarıgrubuu bir alt yarıgrubudur. DP ( ) r ( ) =, DPr D = r r, D { α D : imα = r } olarak taımlaır. ( ) r DP kümesie D r, i Rees bölümü deir Taım 3..: α T alalım. xy, X içi xα x ve x y ike xα yα oluyor ise α ya sıra koruya ve azalta döüşüm deir. X üzeride taımlı tüm sıra koruya ve azalta döüşümleri yarıgrubua sıra koruya ve azalta döüşümler yarıgrubu deir ve C ile gösterilir. Dikkat edilecek olursa C = O D 47

59 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI dir. Öreği C 3 ü tüm elemaları aşağıdadır. C =,,,, 3 3 Tüm kısmi döüşümleri yarıgrubuu yarıgruplarıı taıyalım. r olmak üzere PK r, kümesi P ile göstermiştik. Şimdi { α α } K = P im r r, : P i bazı alt olarak taımlaır. PK, r kümesi P yarıgrubuu bir alt yarıgrubudur Stirlig Sayıları Stirlig sayılarıı hagi problemlere cevap oluşturduğuu alatarak taımlamaya çalışalım. A= { wxyz,,, } ve {,,3} B = olsu. Bu durumda f : A B şeklide 3 4 =8 tae foksiyo vardır. B i elemalı alt kümelerii sayısı 3 = dir. Öreği B i, {,} B alt kümesii alırsak f : A {,} şeklideki foksiyoları sayısı 4 =6 dır. Dikkat edilecek olursa f : A {,} şeklideki foksiyolar A da B ye örte olmaya foksiyoları bir kısmıdır. B i, { } B alt kümesii alırsak : { } f A şeklideki foksiyoları sayısı 4 = dir. f : A { } şeklideki foksiyolar da A da B ye örte olmaya foksiyoları bir kısmıdır. Fakat örte olmaya foksiyoları sayarke f : A { } sabit foksiyou B i {,,,3 } { } ve { } öz alt kümeleri içi üç defa saydık. Tüm 48

60 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI bu durumları dikkate alırsak A da B ye örte foksiyoları sayısı (tüm foksiyoları sayısıda örte olmayaları sayısı çıkarılarak) = 36 dır. Geel olarak A foksiyoları sayısı = m ve B = solu kümeleri içi A da B ye örte m k k + + k + k m m + L+ ( ) + ( ) ( ) ( ) L ( ) ( ) ( ) ( ) m m k m k m dir. Daha kısa olarak ifade etmek istersek A da B ye örte foksiyoları sayısı = m ve B = solu kümeleri içi A k k k m k m ( ) ( k) = ( ) ( k) k= 0 k= 0 dir. Bu sayı sadece örte foksiyoları vermei dışıda başka problemleride yaıtı olarak düşüebilirz. Bu problemlere örek olarak aşağıdaki problemi verebiliriz. Geel olarak m olmak üzere m tae eseyi kutuya hiçbir kutu boş kalmayacak biçimde kaç farklı şekilde dağıtabiliriz? Bu problemi de yukarıdaki örte foksiyolar gibi düşüürsek cevap ayı sayıdır. Yai geel olarak m olmak üzere m tae eseyi kutuya hiçbiri boş kalmayacak şekilde k k k m k m ( ) ( k) = ( ) ( k) k= 0 k= 0 49

61 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI farklı şekilde dağıtabiliriz. Kabul edelimki, bu kutuları farklı yapa üzerlerideki etiketler olsu. Yai etiketler çıkarıldığıda kutular tamame ayı kutular olsu. Bu tae farklı etiketi bu kutuya! farklı şekilde dağıtabileceğimizde, m tae eseyi kutuya hiçbiri boş kalmayacak şekilde k m k m ( ) ( k) = ( ) ( k)! k! k k= 0 k= 0 farklı dağıtabiliriz. Bu sayıya ikici tip Stirlig Sayısı deir ve Sm (, ) ile gösterilir. Sm (, ) = k, m! k= 0 k k m ( ) ( ) ( ) Dikkat edilecek olursa m elemalı bir kümede elemalı bir kümeye örte foksiyoları sayısı Sm! (, ) şeklide ifade edilebilir. Bazı Stirlig sayıları aşağıdaki çizelgede ifade edilmiştir. Çizelge 3.. Sm (, ) Stirlig Sayıları m

62 3. T ve P YARIGRUPLARI VE BAZI ALT YARIGRUPLARI Yukarıda bahsedile dağıtım problemide boş kutu olmasıa izi verilirse, yai problem m olmak üzere m tae eseyi tamame ayı ola kutuya kaç farklı şekilde dağıtabiliriz olsu. Bu durumda m tae eseyi tae, tae,, tae tamame ayı ola kutuya dağıtacağız. O halde m eseyi tamame ayı ola kutuya olmak üzere m tae i= Smi (,) farklı şekilde dağıtabiliriz. Öreği 4 farklı eseyi 3 tae tamame ayı ola kutuya 3 i= S(4, i) = S(4,) + S(4,) + S(4,3) = = 4 farklı şekilde dağıtabiliriz. ( Smi (,) sayıları Çizelge. de alımıştır.) Stirlig sayılarıı cevap olduğu problemlere aşağıdaki öreğide verebiliriz. Örek 3.3.: 505 pozitif tamsayısı sıra gözetmeksizi kaç farklı şekilde pozitif tamsayı çarpalarıa ayrılabildiğii bulalım. Buu içi öce 505= olup 5 tae asal çarpa olduğua dikkat edelim. Kutulara sayı yerleştirmek olarak problemi düşüürsek 505 sayısıı çarpalarıı kutulara yerleştirile sayıları çarpımı olarak belirleyelim. O halde kutuya kutuya 3 kutuya 4 kutuya ve 5 kutuya sayıları dağıtabiliriz. Öreği iki kutuya sayıları atmak demek 505= ( 3 5 7) ( 3) = yada 5

Leyla Bugay Haziran, 2012

Leyla Bugay Haziran, 2012 Sonlu Tekil Dönüşüm Yarıgruplarının Doğuray Kümeleri ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Haziran, 2012 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup terimi ilk olarak 1904 yılında Monsieur l

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ YARIGRUPLARIN OTOMORFİZMLERİ VE TAKDİMLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2012 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YARIGRUPLARIN

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LATİS SIRALANMIŞ -BÖLÜNEBİLİR RUPLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA,008 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ LATİS SIRALANMIŞ -BÖLÜNEBİLİR

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı 5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

DOKTORA TEZİ. Metin KOÇ

DOKTORA TEZİ. Metin KOÇ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ Metin KOÇ SONLU SIRAKORUYAN DÖNÜŞÜMLERİN YARIGRUBUNUN ORBİTLERİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2010 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Detaylı

MATEMATİK ANABİLİM DALI

MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.

2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. 2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio)

Detaylı

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 200 ANKARA ii Mehmet YILDIZ tarafıda hazırlaa MÖBİUS

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK *

BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK * BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK * Fteess Codtos For Soe Segroup Fales ad Costructos ad Effcecy Basr ÇALIŞKAN Mateatk Aabl Dalı Hayrullah AYIK Mateatk Aabl Dalı ÖZET

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ Dyae YAŞAR SONLU DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA ÇARPANLARA AYIRMA MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI ADANA, 2009 ÖZ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ SONLU DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA

Detaylı

Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.

Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. 2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ Chiese Remaider Theorem A.KILIÇ & V.SERT 2012 Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ İçidekiler Sayfa o Semboller 2 Ösöz 3 Öbilgiler 4 Geel Halkalar içi Çi Kala Teoremi 7 Çi Kala Teoremii Tamsayılar Halkasıa

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 009 ANKARA Muhib ABULOHA tarafıda hazırlaa KONİK METRİK UZAYLAR

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR

IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR Bölüm 1 IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR Bir öceki bölümde bir yüzeyi oktalar yeterice küçük kom³uluklaryla ilgileebildik. Bu prosesi soyut realizasyou içi, souçta bizi diferesiyelleebilir maifold

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

ab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur.

ab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur. 3.ALT GRUPLAR HG, Tanım 3.. (G, ) bir grup ve nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ) bir grup ise H ye G nin bir alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Not 3.. a)(h, ), (G, ) grubunun alt grubu

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ -CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER ESRA ULUOCAK DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

LİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ

LİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Aye KOÇ I MATRİSLER I.1. Taım F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., içi aij F ike a11 a12... a1 a21 a22... a 2 M M... M am1 am2... am (1) şeklide dikdörgesel

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

Tanım Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string) X kümesindeki. boş karakter dizgisi (null string) denir ve l ile gösterilir.

Tanım Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string) X kümesindeki. boş karakter dizgisi (null string) denir ve l ile gösterilir. BÖLÜM 3 Karakter Dizgileriil i Tanım 3.1.1 Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string) X kümesindeki öğelerden oluşan bir sonlu dizidir. Hiç bir öğesi olmayan bir karakter dizgisine boş karakter

Detaylı

RANKI 2 OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI 1 Reports Of Free Groups Otomorfizm Rank 2 Lie Algebras

RANKI 2 OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI 1 Reports Of Free Groups Otomorfizm Rank 2 Lie Algebras RANKI OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI Reports Of Free Groups Otomorfzm Rak Le Algebras Özge ÖZTEKİN Matematk Aa Blm Dalı Name EKİCİ Matematk Aa Blm Dalı ÖZET Bu çalışmada,

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Ebubekir TOPAK SERBEST LİE CEBİRLERİNDE HESAPLAMALAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2008 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SERBEST

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi. Quadratic (Exceptional) Jordan Algebra of Dimension 54

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi. Quadratic (Exceptional) Jordan Algebra of Dimension 54 Afyo Kocatepe Üiversitesi Fe ve Mühedislik Bilimleri Dergisi Afyo Kocatepe Uiversity Joural of Sciece ad Egieerig AKÜ FEMÜBİD 8 (08) 00 (- 55) AKU J. Sci. Eg. 8 (08) 00 (- 55) DOİ: 0.5578/fmbd.66855 54

Detaylı

kavramını tanımlayıp bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir grup üzerinde tanımlı

kavramını tanımlayıp bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir grup üzerinde tanımlı Bölüm 5 Permütasyon Grupları Bu bölümde sonlu bir kümenin permütasyonlarını araştıracağız. Öncelikle permütasyon kavramını tanımlayıp bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir rup üzerinde tanımlı eşlenik

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ (

Detaylı

için Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak

için Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak 7. Bölüm Grupları olmak üzere grubunu nasıl inşa ettiğimizi hatırlayalım. grubunun alt grubu grubu tüm olacak şekilde tüm sınıflardan oluşmuştur. Sınıfların toplamını ile, yani ile tanımlamıştık. Şimdi

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER ERDENER KAYA MERSİN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ MERSİN HAZİRAN 7 TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI

Detaylı

T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ

T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ Tezi Hazırlaya Abdulkadir KURAG Tez Daışmaı Doç. Dr. Necdet BATIR Matematik Aabilim Dalı Yüksek

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: ve iki grup ve f : G H bir fonksiyon

Detaylı

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI T.C ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI ÖĞRETİM ÜYELERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR:

Detaylı

Cahit Arf Matematik Günleri 10

Cahit Arf Matematik Günleri 10 Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir

sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörleri taımlamak içi iki yol vardır: uzayda oktalara karşılık gele bir koordiat sistemideki oktalar veya büyüklük ve yöü ola eseler. Bu kısımda, ede iki vektör taımıı buluduğu açıklaacak

Detaylı

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK GERÇEL ANALİZ Hüseyi IRMAK Prof. Dr. Hüseyi IRMAK Çakırı Karateki Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Çakırı 207 2 . BÖLÜM DİZİ KAVRAMI Dizi kavramı matematik bilimide oldukça kullaışlı

Detaylı

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 Karakter Dizgisi Karakter Dizgisi Üzerine İşlemler Altdizgi Tanım 3.1.1: Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string)

Detaylı

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri =2. Kısmı Başı= 14. Kümeleri Niceliklerii Kıyaslaışı ve Sosuzluğu Mertebeleri Sosuz kümeleri iceliklerii kıyaslamak içi, öğe sayısı yaklaşımı yetersizdir. Farklı bir yaklaşım gereklidir. İki küme A, B

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI

GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ANABİLİM DALI GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI Şerife TUNÇEZ YÜKSEK LİSANS TEZİ Daışma

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı