P = {x A (y A y x) f(y) x} (22.6) M p = {m A m p f(p) m} (22.8)

Transkript

1 Bölüm 22 SEÇME AKS YOMU SEÇME AKS YOMU VE E DE ERLER 22.1 G R Bir X kümesi dü³ünelim. Bu küme ya bo³tur ya de ildir. De ilse, X kümesine ait bir ö e seçilebilir. imdi ba³ka bir Y kümesi daha dü³ünelim. X ile Y nin kartezyen çarpmn X Y ile göstermi³tik. E er X ile Y den birisi ya da ikisi de bo³sa X Y de bo³ olacaktr. E er her ikisi de bo³ de ilse, bir x X ve bir y Y vardr ve bu iki ö enin olu³turdu u (x, y) sral çifti X Y kartezyen çarpmna aittir; dolaysyla bu kartezyen çarpm bo³ küme de ildir. Bu dü³ünü³le, giderek, sonlu sayda bir kümeler ailesinin kartezyen çarpmnn bo³ olmas için, bu kümelerden en az birisinin bo³ olmasnn gerekli ve yeterli oldu unu söyleyebiliriz. Bunu ba³ka türlü söylersek, "Sonlu sayda bo³ olmayan kümelerin kartezyen çarpm bo³ de ildir" diyebiliriz. Gerçekten, bunu sonlu tüme varm yöntemiyle kolayca gösterebiliriz. Acaba ilk bak³ta pek do al görünen bu özeli i, sonsuz sayda kümeler ailesi için de söyleyebilir miyiz? Cebir, analiz, topoloji gibi alanlarda önemli bir araç olarak kullanlan bu özelik ve buna e³de er olan ba³ka özeliklerin varl ispatlanamad. Bunun üzerine, 1900 yllarnda Alman matematikçi Ernst Zermelo bu özeli in bir aksiyom olarak kabul edilmesini önerdi. "Seçme Aksiyomu" diye adlandrlan bu özeli i ³öyle ifade edebiliriz: Teorem [Seçme Aksiyomu] Bo³ olmayan kümelerden olu³an bo³ olmayan bir ailenin kartezyen çarpm bo³ de ildir. Bunu daha iyi açklamak için herhangi bir {A ı : ı I} ailesinin kartezyen çarpmn anmsayalm: Π ı I A ı ile gösterdi imiz bu çarpm, her ı I için f(i) A ı ko³ulunu sa layan bütün f : I ı IA ı (22.1) 257

2 258 BÖLÜM 22. SEÇME AKS YOMU fonksiyonlarnn olu³turdu u küme idi. Bu f fonksiyonlarndan herbirisine bir seçme fonksiyonu denilir. Kartezyen çarpmn bo³ olmamas demek, en az bir seçme fonksiyonu var demektir (bkz. (22.1)) Hemen belirtelim ki Seçme Aksiyomu, yukardakine denk olan de i³ik ba³ka biçimlerde de ifade edilebilir. Biraz sonra onlar görece iz SEÇME AKS YOMU BA IMSIZDIR Seçme Aksiyomu matematikte önemli uygulamalar olan bir varsaymdr. Bu bakmdan, matematikçilere büyük bir çal³ma konusu olmu³tur. Burada, Seçme Aksiyomu için de, Sürey Hipotezi için elde edilen sonuçlarn benzerlerinin varl n söylemekle yetinece iz. Bu sonuçlar, yine, Kurt Gödel (1940) ve Paul Cohen (1965) tarafndan verilmi³tir. Ksaca özetlersek, Gödel, Kümeler Kuramnn aksiyomlarna Seçme Aksiyomu eklendi inde sistemde bir çeli³ki do mad n; yani, Kümeler Kuramnn öteki aksiyomlaryla birlikte Seçme Aksiyomunun çeli³mez bir sistem olu³turdu unu gösterdi. Cohen ise, Seçme Aksiyomunun, Kümeler Kuramnn öteki aksiyomlarndan ba msz oldu unu gösterdi. Buna göre, Seçme Aksiyomunu varsayan bir Kümeler Kuram kurulabildi i gibi, bu aksiyomu varsaymayan bir Kümeler Kuram da kurulabilir. Her iki sistem kendi içlerinde tutarldr (çeli³mez), ama birbirlerinden farkl sistemler olurlar. [10] 22.3 SAB T NOKTA TEOREM Tanm Tikel sral bir kümenin tümel sral her alt kümesi bir zincirdir. Özel olarak, tümel sral her küme bir zincirdir. Tanm (E, ) tikel sralanm³ sistem ve a E olsun. E nin a³a daki üç özeli e sahip bir B alt kümesine içeren bir küme diyece iz: (i) a B (ii) f(b) B (iii) B içindeki her zincirin en küçük üst snr yine B ye aittir. Teorem (E, ) tikel sralanm³ sistemi içindeki her zincirin bir üst snr var olsun. E er f : E E azalmayan bir fonksiyon ise, f fonksiyonu altnda sabit kalan bir w E ö esi vardr. spat: ise x E x f(x) (22.2) ( w E)f(w) = w (22.3)

3 22.3. SAB T NOKTA TEOREM 259 oldu unu göstermeliyiz. Bira E ö esi seçelim. Bu ispat boyunca seçti imiz bu a ö esi sabit kalacaktr. E nin bütün içeren alt kümelerinden olu³an aileye B diyelim. E kümesinin içeren bir küme oldu u apaçktr; yani B ailesi bo³ de ildir. Kolayca görülece i üzere içeren kümelerin arakesiti de içeren bir kümedir; öyleyse, A = B = {B : B B} (22.4) arakesiti, en küçük içeren kümedir. imdi A = {x E a x} (22.5) kümesini dü³ünelim. Bunun içeren bir küme oldu unu gösterece iz, a A oldu u apaçktr; yani A kümesi (i) ko³ulunu sa lar. A kümesinin ve f fonksiyonunun tanmndan, her x A için a x f(x) E çkar. Öyleyse f(a) A olur; yani (ii) ko³ulu sa lanr. Son olarak, A içinde herhangi bir Z zinciri alalm. Z nin en küçük üst snr t olsun. E er t / A olsayd, A nn tanm gere ince, t a olurdu. Öte yandan, her r Z için r t dir. u halde, her r Z için r t a olacaktr, ki bu, A kümesi Z yi kapsamaz, demektir. Bu çeli³ki kabulümüzden geldi ine göre, t A olmaldr; yani (iii) ko³ulu da sa lanr. Böylece A nn içeren bir küme oldu u görülüyor. Ohalde, en küçük içeren kümeyi kapsar; yani A A dr. Buradan (iv) x A a x oldu u çkar. imdi de bir P kümesini ³öyle tanmlayalm: P = {x A (y A y x) f(y) x} (22.6) Bu kümenin bo³ olmad m görmek için, örne in, a P (22.7) oldu unu hemen gösterebiliriz. Gerçekten, (iv) gere ince, hiçbir y A için y a olamayaca ndan, (22.6) tanmndaki önerme do ru olur. Buradan hemen görülece i üzere, a ö esi, P nin en küçük ö esidir. imdi P içinde sabit bir p ö esi seçelim ve buna ba l olan bir M p kümesini ³öyle tanmlayalm: M p = {m A m p f(p) m} (22.8) Teoremin ispatn a³a daki be³ admda tamamlayabilece iz. 1.Adm: M p içeren bir kümedir. a ö esi, P nin en küçük ö esi oldu undan, a p dir. Öyleyse, (22.8) den, a M p olur. Demek ki M p kümesi (i) ko³ulunu sa lyor. imdi M p nin (ii) ko³ulunu sa lad n gösterelim. Herhangi bir m M p seçelim. Üç durum vardr:

4 260 BÖLÜM 22. SEÇME AKS YOMU 1.Durum: E er f(p) m ise, (22.2) den, f(p) m f(m) olur, ki bu (22.8) gere ince f(m) M p olmas demektir. 2.Durum: m = p ise f(m) = f(p) olur. Oysa p M p ve f(p) M p oldu u (22.8) den hemen görülür. 3.Durum: m p ise, p P oldu undan, (22.6) gere ince, f(m) p olacaktr, ki bu (22.8) den f(m) M p olmas demektir. Böylece f(m p ) M p çkar. imdi de p M p nin (iii) ko³ulunu sa lad n gösterelim. N kümesi, M p içinde herhangi bir zincir ve N nin en küçük üst snr u olsun. N M p oldu undan, (22.8) gere ince, iki durum dü³ünülebilir: Ya her y N için y p dir ya da f(p) y ko³ulunu sa layan baz y N ö eleri vardr. Birinci durum varsa, p, N kümesinin bir üst snrdr; dolaysyla, p, N nin en küçük üst snrndan küçük olamaz; yani u p dir. Bu durumda, (22.8) gere ince, u M p olur. kinci durum varsa; yani baz (belki de her) y N için f(p) y ko³ulu sa lanyorsa, y u oldu undan, yine f(p) u olacaktr. Bu durumda da, (22.8) gere ince, u M p olur. Böylece M p nin içeren bir küme oldu unu göstermi³ oluyoruz. 2.Adm: M p = A dr. 1.Admdan M p B çkar. Ohalde (22.4) gere ince M p A olacaktr. Oysa (22.8) den, M p A olarak tanmlanm³tr. Demek ki M p = A dr. Bu e³itlikten ³u özeli i yazabiliriz: (v) (x P z A) (z x f(x) z) 3.Adm: P = A dr. a P oldu unu (22.7) den biliyoruz; yani P kümesi (i) ko³ulunu sa lar. imdi P nin (ii) ko³ulunu sa lad n gösterelim. Herhangi bir x P verilsin, f(x) P oldu unu gösterece iz. Bunun için, (22.6)) gere ince, (z A) (z f(x)) f(z) f(x) (22.9) oldu unu göstermeliyiz, (v) gere ince, x P ve z A varsaymmz ya z x ya da f(x) z olmasn gerektirir. Oysa ikinci durum z f(x) oldu u kabulümüze aylardr. Demek ki yalnzca z x durumu varolabilir. x P oldu undan, e er z x ise, (22.6) ve (22.2) den f(z) x f(x) olur. E er z = x ise f(z) = f(x) olur. Böylece x P ise f(x) P oldu u; yani f(p) P oldu u görülür. Son olarak, P nin (iii) ko³ulunu sa lad n gösterelim. P içinde bir F zinciri verilsin. F nin en küçük üst snrna v diyelim, v P oldu unu göstermek için, (22.6) ya göre, (z A z v) f(z) v (22.10)

5 22.4. SA VE E DE ERLER 261 oldu unu göstermeliyiz, (v) den hemen görülece i üzere, her x F için ya z x ya da x f(x) z olacaktr. E er ikincisi sa lanyor olsayd v z olurdu, ki bu kabulümüze aykrdr. Ohalde her x F için z x olacaktr. E er z x ise f(z) x v (P nin tanmndan) olur. E er z = x ise z v oldu undan, F içinde öyle bir y ö esi vardr ki z y olur; aksi halde F nin en küçük üst snr v de il z olmal idi, ki bu olamaz. Ohalde f(z) y v olacaktr. Demek ki her iki halde de (22.10) sa lanyor; Öyleyse v P dir. Böylece P nin içeren bir küme oldu u gösterilmi³ olmaktadr; dolaysyla (22.4) den P A çkar. Oysa (22.6) tanmndan P A dr. Demek ki P = A dr. 4.Adm: A kümesi E içinde bir zincirdir. A = P oldu unu dü³ünürsek (v) den her x,z A için ya z x ya da x f(x) z çkar; yani x,z A (z x) (x z) (22.11) olur, ki bu, A nn E içinde tam sral bir alt küme oldu unu, dolaysyla bir zincir oldu unu söyler. 5.Adm: A nn en küçük üst snr f nin sabit bir noktasdr. A mn en küçük üst snrna w diyelim. A kümesi içeren oldu undan, w A ve dolaysyla f(w) A dr. En küçük üst snr tanmna göre f(w) w olmak zorundadr. Oysa (22.2) den, w f(w) dr. öyleyse w = f(w) olacaktr SA ve E DE ERLER Matemati in birçok probleminde do rudan do ruya Seçme Aksiyomu (SA) kullanlmaz. Seçme Aksiyomu yerine ona e³de er olan baz özelikler kullanlr. Gerçekte, Seçme Aksiyomunun e³de erleri pek çoktur. Ancak burada, çok sk kullanlan üç tanesini vermekle yetinece iz. Önerme A³a daki önermeler birbirlerine e³de erdir. SA Seçme Aksiyomu: Bo³ olmayan kümelerden olu³an bo³ olmayan bir ailenin kartezyen çarpm bo³ de ildir. HB Hausdor Büyükçelik lkesi: Bo³ olmayan tikel sralanm³ her küme içinde daima büyükçe (maksimal) bir zincir vardr. ZT Zorn Teoremi: Bo³ olmayan ve her zinciri bir üst snra sahip olan tikel sralanm³ bir kümenin büyükçe bir ö esi vardr. WO yi Sralama Teoremi: [Zermelo] Her küme iyi sralanabilir.

6 262 BÖLÜM 22. SEÇME AKS YOMU spat: Bu dört Önermenin birbirlerine denk oldu unu ispatlamak için ³u sray izleyece iz: [SA] [HB] [ZT] [WO] [SA] SA HB Seçme Aksiyomunu varsayarsak, gösterece iz ki bo³ olmayan tikel sralanm³ her küme içinde büyükçe bir zincir vardr. Bunu biraz daha açklayalm: (L, ) tikel sralanm³ bir küme olsun. L içindeki bütün zincirlerden olu³an aileye L diyelim; yani L, L nin tümel (tam) sral bütün alt kümelerinin ailesi olsun. L ailesi kapsama ba ntsna göre tikel sraldr. Gösterece iz ki (L, ) tikel sralanm³ sisteminin bir büyükçe ö esi vardr. spat olmayana ergi yöntemiyle yapaca z. (L, ) tikel sralanm³ sisteminin büyükçe bir ö esi var olmasn. Bu durumda her A ö esinden (kümesinden) daha büyük olan; yani A B olan, bir B L kümesi daima varolacaktr. Buna göre, her A L için ailesini tanmlayalm. olaca apaçktr, öyleyse L A = {B L A B} (22.12) L A L (22.13) A = {L A A L} (22.14) ailesi bo³ olmayan L A kümelerinden olu³an bo³ olmayan bir ailedir. Seçme Aksiyomuna göre (22.14) ailesinin kartezyen çarpm bo³ de ildir; yani öyle bir f : L L A (22.15) fonksiyonu vardr ki olur. (22.12) ve (22.16) den çkar. Oysa (22.13) ve (22.15) den A L A L f(a) L A (22.16) A L A f(a) (22.17) f : L L (22.18) yazabiliriz. (22.17) ko³ulu (L ) sistemi ile bu f fonksiyonunun Sabit Nokta Teoremi nin ko³ullarn sa lad n gösterir. Öyleyse ( Ω L)f(Ω) = Ω (22.19) olmaldr. (22.17) ile (22.18) nin çeli³ikli i, (L. ) sisteminin büyükçe bir ö esinin var olmad kabulümüzden gelmektedir. Demek ki L nin bir büyükçe ö esi vardr. L nin tanm gere ince, varl n söyledi imiz bu büyükçe ö e (L, ) içinde bir büyük zincirdir,

7 22.4. SA VE E DE ERLER 263 HB ZT: Hausdor Büyüklük lkesini kabul ederek Zorn Teoremini ispat edece iz. (L, ) tikel sralanm³ bir sistem olsun. [HBi] gere ince, bunun içinde büyük bir zincir vardr. Bu zinciri D ile gösterelim. [ZT] nin varsaymndan D nin bir üst snr vardr; buna x diyelim. Gösterece iz ki bu x ö esi (L, ) nin büyükçe bir ö esidir. Gerçekten, x y ko³ulunu sa layan bir y L \D ö esi var olsayd, D büyükçe bir zincir oldu undan D {y} kümesi de ayn ba ntsna göre bir zincir olurdu. Oysa D büyükçe bir zincir oldu undan bunu kapsayan ba³ka bir zincir var olamaz. O halde hiç bir y L için x y olamaz; yani x ö esi (L, ) sisteminin büyükçe(maksimal) bir ö esidir. ZT WO: S herhangi bir küme olsun. Bütün G S S grakleri içinde öyle bir tanesinin varl n gösterece iz ki, bu gra e tekabül eden ba nt, S üzerinde bir iyi sralama ba nts olacaktr. spat dört admda tamamlayaca z. 1.Adm: Grak ile ba nt birbirlerini tek olarak belirlediklerine göre, yalnzca graklerle ilgilenmek yetecektir. Önce bir gösterim tanmlayaca z: E er A, S nin herhangi bir G gra inin temsil etti i ba ntya göre iyi sralanm³ bir alt kümesi ise, bunu ksaca, (A, G) ile gösterelim. S kümesinin herhangi bir ba ntya göre iyi sralanm³ bütün alt kümelerinin ailesini Z ile gösterelim: Z = {(A,G) G, A S üzerinde bir iyi sralama gra idir} (22.20) Simdi Z üzerinde simgesiyle gösterece imiz bir ba nty ³öyle tanmlayalm: Her A,G),(A,G ) Z için (a) A A (A,G) (A,G ) (b) G G (c) x A y A \A (x,y) G (22.21) 2.Adm: olsun.(z, ) nin tikel sralanm³ bir sistem oldu u kolayca görülebilir. kümesi Z içinde bir zincir olsun. A = {(A ı,g ı ) ı I} A = ı IA ı G = ı IG ı diyelim. Bu durumda (A,G) Z dir. Gerçekten, A S olaca açktr. Öyleyse, G A A gra inin belirledi i ba ntnn A üzerinde

8 264 BÖLÜM 22. SEÇME AKS YOMU bir iyi sralama ba nts oldu unu göstermek yetecektir. imdi bunu gösterelim. Ba nt dönü³lüdür: x A ı(ı I x A ı ) (x,x) G ı G den istenen ³ey çkar. Ba nt antisimetriktir: (x,y),(y,x) G ( ı I)( j I)[(x,y),(y,x) G ı ] dr. Oysa A bir zincir oldu undan ya G ı G j ya da G j G ı dir. Birincisinin oldu unu varsayalm. Bu durumda (x,y) G j ve (y,x) G j dir. G j antisimetrik oldu undan, bu, x = y olmasn gerektirir. Ba nt geçi³lidir: (x,y),(y,z) G ( ı I)( j I)[(x,y),(y,z) G ı ] dir. Z bir zincir oldu undan ya G ı G j ya dag j G ı olacaktr. Birincisi varolsun. Bu, (x,y) G j (y,z) G?j olmasn ve bu da (x,z) G j G olmasn gerektirir. Buradan, söz konusu ba ntnn bir tikel sralama ba nts oldu unu söyleyebiliriz. Ba nt iyi sralamadr: Bunu göstermek için, sözkonusu sralama ba ntsna göre A nn her alt kümesinin en küçük ö esinin oldu- unu göstermeliyiz. A nn bo³ olmayan bir alt kümesine D diyelim. D B ı olacak ³ekilde bir ı I varolacaktr. D B ı B ı ve B ı iyi sral oldu undan D B ı B ı nin (B ı,g ı ) içinde en küçük ö esi vardr. Buna b diyelim: ( y D B ı ) (b,y) G ı dir. imdi bu b ö esinin D nin (A,G) içinde en küçük ö esi oldu unu gösterece iz. Bir x D seçelim. ki hal vardr: x A ı (b,x) G ı G x / A ı ( j I) x A j A j A ı (A j,g j ) (A ı,g ı ) (A ı,g ı ) (A j,g j ) dir. b A ı, x (A j \ A ı ) ve (A ı,g ı ) (A j,g j ) oldu undan (22.21) gere ince (b,x) G j G olacaktr. Öyleyse b, D nin (A, G) içinde en küçük ö esidir. 3.Adm: Bundan önceki admda kabul edilen varsaymlar altnda (A, G), A nn bir üst snrdr.